О парадоксе лжеца

В 6 веке до н.э. древнегреческий философ Эпименид обнаружил (или позаимствовал у кого-то) знаменитый парадокс (версия парадокса лжеца): "Все критяне лжецы!". Парадоксальность этого утверждения становится очевидной, если учесть, что сам Эпименид был критянином. В отличие от классической более простой версии этого парадокса: "Я лгу!", парадокс Эпименида может быть разрешен как ложное утверждение, в случае, если было бы известно, что хотя бы один критянин говорит правду. Утверждению "Я лгу!" невозможно приписать никакого определенного истинного значения, поскольку утверждение а) неявно содержит автореференцию (ссылку на себя); б) содержит утверждение ложности, которое неявно включено в бесконечную цепочку отрицаний как истинности, так и ложности этого утверждения. Чтобы абстрагироваться от эффекта субъекта (Я), в современной версии этот парадокс формулируют в безличной форме: "Это утверждение ложно!," которое по- прежнему содержит автореференцию и утверждение ложности. Парадокс лжеца и его разрешение стимулировали развитие математической логики и теории формальных языков. Наиболее последовательное разрешение этого парадокса предложил американский математик польского происхождения Альфред Тарский. Он предложил использовать иерархию языков, в которой утверждения об истинностном значении предложений в каком-то языке можно делать только на языке более высокого уровня из этой иерархии. Другими словами, в такой системе выражение типа "Это утверждение ложно!" является просто синтаксически недопустимым. Это представляется разумным, поскольку в любой практике мы используем истинностные суждения к каким-то определенным внешним утверждениям, не совпадающим с самим истинностным суждением. Проблема заключается в том, что иерархия языков Тарского оказывается неполной в том смысле, что можно построить простые осмысленные высказывания, которые не вписываются в построенную иерархию. Для этого достаточно сформулировать верное высказывание, включающее номер языка из иерархии как параметр, то есть некоторую формулу. Например: "Для всякого n существуют предложения в языке n-ого уровня, для которых можно сформулировать утверждение об их ложности на языке n+1 уровня." Это утверждение, очевидно, верно, но из-за произвольности n утверждение о его истинности нельзя поместить ни в какой определенный член построенной иерархии языков. Мы вынуждены ввести новую иерархию метаязыков, которая позволяет делать истинностные утверждения об исходной иерархии в целом и в которой истинностные утверждения тоже упорядочены. Затем нам придется сделать аналогичный прием для иерархии метаязыков и т.д. Если перейти к индуктивному пределу этой процедуры и рассмотреть все иерархии метаязыков всех уровней, то система Альфреда Тарского как-будто бы приобретает законченность. Но какой ценой: мы получаем как минимум бесконечный набор истинностных типов, параметризуемых бесконечномерной матрицей, в которой строки - это уровни метаязыков, а столбцы - это типы метаязыков. А как быть с утверждениями-формулами, которые перемешивают элементы этой матрицы, взятые из разных столбцов? Короче: чтобы не возникало таких монстров, проще всегда говорить правду! :) Кстати, утверждение "Я говорю правду!" содержит автореференцию, но не содержит утверждения о лжи и не является парадоксом (оно, к примеру, вполне может быть истинным) .Краткое резюме: ложь - источник всех проблем!