Флатландия. Сферландия

Предисловие

Многомерные пространства давно утратили тот ореол таинственности, которым они были некогда окутаны. Идеи и методы многомерной геометрии (причем не только евклидовой, но и неевклидовой) находят ныне столь широкое применение, что трудно понять, как наши предки могли обходиться без них. К услугам многомерной геометрии прибегают химик, исследующий свойства многокомпонентных систем, и физик, пытающийся выяснить отдельные подробности поведения многих тел (трудности проблемы n тел столь велики, что вынуждают говорить о «многих телах» всякий раз, когда n ≥ 3), астроном и биолог. Проектировщик машин, создавая зубчатую передачу с большим числом шестерен, также вынужден будет воспользоваться методами многомерной геометрии, если хочет, чтобы его творение не просто соответствовало назначению, а выполняло свою функцию (в том или ином смысле) оптимально.

Четырехмерное евклидово пространство, ближайшего по размерности соседа привычного нам трехмерного пространства, постигла та же участь, что и другие многомерные пространства: оно утратило былую экзотичность и стало привычным инструментом в руках современного исследователя.

Четырехмерный мир — далеко не самое удивительное из того, что создано математической мыслью. Пытаясь найти ответы на внешне простые, но в действительности необычайно глубокие вопросы, математики совершили немало удивительных открытий. Они узнали, что существует не одна, а несколько геометрий, что размерность геометрической фигуры нельзя определять по такому интуитивно очевидному признаку, как «запас» принадлежащих фигуре точек, поскольку, например, множество точек, составляющих отрезок, равномощно множеству точек, составляющих квадрат или куб (иначе говоря, отрезок содержит «столько же» точек, сколько их содержит квадрат или куб), что размерность пространства не обязательно должна быть конечной и даже целой.

Не следует думать, будто столь странное па первый взгляд понятие, как нецелая размерность, является своего рода математическим курьезом и не имеет отношения к действительности.

Как доказывается в механике, простейшая из задач N тел — задача трех тел — приводит к необходимости рассматривать пятимерное пространство, а при произвольном N ≥ 3 — пространство с числом измерений, равным 3N − 4. Но почему нельзя считать N нецелым? Что мешает нам, например, говорить о π-мерном мире? Формулы n-мерной геометрии нам удается без особых ухищрений распространить на случай n = π. Но самое главное состоит в том, что представление о нецелых размерностях оказывается весьма эффективным в теории фазовых переходов и теории ноля. При рассмотрении некоторого процесса в системе с огромным числом частиц (или степеней свободы) может оказаться, что со временем в него вовлекаются все новые и новые частицы (участвует все большее число степенен свободы). Поэтому и число переменных, которые приходится учитывать в уравнениях, меняется со временем. Быть может, число переменных удобно считать не дискретной, как обычно, а непрерывной величиной. Тут-то и появляются пространства размерности π, √2 и 1,879. Правда, трудно сказать, понадобится ли кому-нибудь рассматривать треугольник в π-мерном пространстве и нужно ли выяснять, чему равна сумма его углов. Возвращаясь из π-мерного пространства в «обычное» 4-мерное, невольно испытываешь большое облегчение — настолько все становится простым и понятным!

Изучать многомерные, и в частности четырехмерные, пространства можно по-разному. Ничто не мешает, например, воспользоваться аксиоматическим методом, неоднократно доказавшим свою мощь, тем более, что, по словам известного геометра Г. С. М. Кокстера, «аксиоматический подход рассеивает таинственность, не уменьшая очарования самой идеи».

Однако для первого знакомства с четырехмерным миром нам кажется более подходящим метод аналогии. Основываясь на наглядно-геометрических представлениях о размерности геометрических фигур, мы можем совершать постепенное восхождение по шкале размерностей и переходить от одномерных фигур к двумерным, от двумерных — к трехмерным и, наконец, сделать решающий шаг: воспользоваться замеченными закономерностями и перейти к рассмотрению четырехмерных фигур. Таков обычный путь использования аналогии — лестницы, ведущей от известного к неизвестному и позволяющей не только овладевать накопленными знаниями, но и открывать новое. Менее традиционное применение аналогии состоит в том, что мы мысленно пытаемся представить себе трудности, с которыми сталкивается двумерное существо при попытке наглядно вообразить себе третье измерение, и экстраполируем свое превосходство над обитателем двумерного мира… на самих себя!

Именно этот не совсем обычный способ изучения (или, лучше сказать, «постижения») геометрии четырехмерного евклидова пространства и искривленного расширяющегося пространства избрали авторы «Флатландии» и «Сферландии»: английский педагог Эдвин Э. Эбботт и голландский ученый Дионис Бюргер. Написанные в разное время различными авторами и на разных языках, эти произведения объединены не только преемственностью тематики, но и «родственными узами» героев, от лица которых ведется повествование. Если у Эбботта в роли рассказчика выступает Квадрат, то у Бюргера его сменяет Шестиугольник, который доводится Квадрату пнуком. Мир, в котором живет Шестиугольник, устроен гораздо сложнее евклидовой плоскости его деда: этот мир искривлен (Шестиугольник обитает на поверхности огромной сферы) и к тому же расширяется. В этом различии — отзвук великих перемен в воззрениях на природу реального пространства, происшедших с выхода и свет первого издания «Флатландии» A880 г.) до появления «Сферландии» A957 г.). Юмор, причудливая, подчас гротескная литературная форма, множество убедительных математических подробностей двумерного бытия сделали произведения Эбботта и Бюргера необычайно популярными. Их (наравне с бессмертной «Алисой» Льюиса Кэррола) охотно цитируют авторы серьезных научных трактатов по многомерной геометрии и теории относительности.

Не следует думать, будто произведения Эбботта и Бюргера, столь разительно отличающиеся от обычных «курсов», «введений» и «популярных очерков», служат своего рода четвертым измерением, «перпендикулярным» всей прочей литературе но занимательной математике. Яркие и самобытные, эти книги преследуют ту же цель, что и их «трехмерные» (то есть более привычные по форме) сородичи по жанру: учить математике так, как постигают мир дети, — играя. Именно общность цели в гораздо большей степени, чем сходство тех или иных особенностей изложения, роднит «Флатландию» и «Сферландию» с произведениями таких мастеров этого жанра, как Кэррол, Гарднер и Штейнгауз, уже известными нашему читателю.

Вместе с тем нельзя не отметить, что во Флатландии, и даже в Сферландии, с точки зрения физики не все обстоит благополучно. На первый взгляд кажется, что обитатели двумерия действительно не могут ничего узнать о существовании третьего измерения. Уступая искусству авторов, читатели склонны согласиться и с тем, что четвертое измерение, возможно, существует, но просто недоступно нашему непосредственному восприятию.

Все это правильно лишь до тех пор, пока речь идет о геометрии и о механике. (Кстати, говоря об измерении расстояний при помощи света, автор «Сферландии» действует в приближении геометрической оптики: свет распространяется в виде «лучей», а не «волновых фронтов»!) Прямая «выглядит» одинаково и в двух, и в трех измерениях, и по траектории материальной точки нельзя определить размерность того пространства, в котором она движется. Но стоит лишь от механики частиц перейти к распространению волн, как все изменяется.

Если в двумерном мире распространяются колебания, то картина будет различной в зависимости от того, будут ли сами колебания истинно двумерными или двумерны лишь приборы и наблюдатель, регистрирующие трехмерные колебания. Колебания, происходящие в трехмерном пространстве, нельзя удержать на двумерной поверхности: они будут расходиться в трех измерениях, и двумерный наблюдатель обнаружит утечку энергии. (Удержать на плоскости можно лишь цилиндрическую волну, излучаемую перпендикулярным плоскости стержнем. Однако цилиндрическая волна, пройдя через какую-то точку, не исчезнет бесследно. Она оставит за собой «хвост» — колебания, приходящие от все более и более удаленных точек излучателя.) В теории дифференциальных уравнений доказывается, что волны в пространствах четной и нечетной размерностей ведут себя неодинаково. Различаются по своему поведению в пространствах четной и нечетной размерностей и волновые функции. Изучая квантовые свойства атома, можно убедиться в том, что наше пространство трехмерно.

Более того, даже в обычной механике «изгнать» трехмерность пространства далеко не просто. Например, используя при решении задачи принцип наименьшего действия, мы сравниваем действие вдоль всех возможных траекторий. При этом, разумеется, немаловажную роль играет выбор класса допустимых траекторий. Разрешив сравнивать траектории, выходящие за пределы трехмерного пространства, мы будем вынуждены приписать такому расширению нашего мира конкретные физические свойства, например высказать какие-то утверждения о скорости распространения света, характере полей и т. п. вдоль четвертого измерения, ибо в противном случае любая «волновая задача» утратит смысл. Следовательно, если бы наш трехмерный мир был вложен в четырехмерное пространство (подчеркнем, что речь идет не о четырехмерном пространстве — времени, а о четырех пространственных измерениях!), то физические свойства четвертого измерения мы могли бы изучить, оставаясь в своем трехмерном пространстве. Справедливость законов волновой механики и термодинамики убедительно свидетельствует о том, что наш мир истинно трехмерен. Аналогичным образом мог бы узнать о размерности того пространства, к которому он прикован по воле авторов «Флатландии» и «Сферландии», и обитатель двумерного мира.

Быть может, сын или внук Шестиугольника еще напишут о тех изменениях во взглядах на структуру пространства, которые произошли в Сферландии при жизни их поколения.

Более традиционному комбинаторному изложению первоначальных сведений из геометрии четырехмерного пространства посвящены очерки, составляющие дополнение к «Флатландии» и «Сферландии». Их авторы — участники и один из арбитров (профессор Генри Мэннинг) конкурса на лучшую популярную работу о четвертом измерении, проведенного в 1910 г. редакцией журнала Scientific American. В конкурсе приняли участие 245 авторов из разных стран мира: США, Турции, Австрии, Голландии, Индии, Австралии, Германии. Победителем стал американец Грэхэм Денби Фитч. По просьбе редакции Scientific American он написал (уже вне конкурса) также вторую статью «Неевклидова геометрия и четвертое измерение». Сборник работ, представленных на этот конкурс, впервые вышел в 1910 г. под названием «Простое объяснение четвертого измерения» и был переиздан в 1960 г.

Читателям предстоит проделать немалое путешествие по просторам Флатландии и Сферландии, и нам не хотелось бы задерживать их на самом пороге удивительных приключений. Поэтому мы закончим свое напутствие словами известного венгерского математика Ласло Фейеша Тота: необходимо «создавать бесконечное множество новых миров, законы которых можно постичь, хотя нога человека никогда не оставит на них следа».

Ю. Данилов

Я. Смородинский