Искусство неопределенности: как управлять шансом, невежеством, риском и удачей

@importknig

Перевод этой книги подготовлен сообществом "Книжный импорт".

Каждые несколько дней в нём выходят любительские переводы новых зарубежных книг в жанре non-fiction, которые скорее всего никогда не будут официально изданы в России.

Все переводы распространяются бесплатно и в ознакомительных целях среди подписчиков сообщества.

Подпишитесь на нас в Telegram: https://t.me/importknig

Введение

Я возвратился и увидел под солнцем, что бег не для быстрого, и битва не для сильного, и хлеб не для мудрого, и богатство для людей разумных, и благосклонность для людей искусных; но время и случай случаются с ними со всеми".

- Екклесиаст 9:11, Новая Библия короля Якова

Это было 29 января 1918 года, и 35-летний офицер газовой службы британской 104-й бригады Ипрского участка отправился с сайта на очередной день инспекции к северу от Пашендейла на Западном фронте. Ужасные бои предыдущего года в этом районе, унесшие около 250 000 жизней с каждой стороны, оставили после себя пустынный пейзаж из грязи и руин. Его маршрут пролегал по дорогам и траншеям, которые были отмечены немецкой артиллерией, и за шесть недель пребывания на посту в его дневнике появились различные записи: "Узкий побег на обратном пути", "Повезло, что успел проскочить", "Артиллерийский обстрел". В тот день он посетил траншею Eagle недалеко от линии фронта, но на обратном пути его, как он выразился позже, "взорвали", и он оказался на полевом перевязочном пункте. Затем он был доставлен на машине скорой помощи в 64-й пункт медицинской помощи. Казалось, что его удача закончилась. Но так ли это?

Этим офицером-газовиком был мой дед, Сесил Шпигельхальтер, и по иронии судьбы его переживания в тот день оказались очень удачными. После ранения он был признан непригодным к службе на передовой и провел остаток войны в тылу. Тем временем его старый батальон, 18-й, Ланкаширских фузилеров, был переброшен на Сомму, якобы спокойный район после сражений 1916 года, унесших около миллиона жертв. Но они как раз успели к началу масштабного весеннего наступления 1918 года, сражаясь в отчаянных арьергардных боях, а затем переходя в наступление в тщетных попытках отвоевать территорию.

В предыдущем году ему тоже повезло. Его произвели во вторые лейтенанты - самое опасное звание в армии, требующее, чтобы он первым поднимался в атаку и побуждал своих людей следовать за ним. Но он заболел тяжелой лихорадкой и выздоравливал в лагере Тиртл-Бридж в Йоркшире, в то время как его батальон участвовал в одних из самых тяжелых боев войны.

Конечно, если бы один из тех снарядов упал чуть ближе или если бы ему пришлось вести своих людей в атаку, меня, возможно, не было бы здесь, чтобы рассказать эту историю. И это лишь одно из длинной цепи случайных событий, приведших к моему существованию: моя мать была захвачена пиратами в Южно-Китайском море на сайте , а затем эвакуировалась из Шанхая в 1937 году под обстрелом; мои родители встретились на войне; мой отец избежал авиакатастрофы в RAF, а затем едва не умер от туберкулеза. Когда в ноябре 1952 года на Великобританию обрушились холода, они жили в едва отапливаемом каменном коттедже, без телевизора и ничего не делали, кроме как рано ложились спать, чтобы согреться ... и вот я здесь.

Я не думаю, что имеет смысл пытаться оценить численную вероятность рождения каждого из нас. Все, что мы можем сказать, - это то, что, как и все остальное, что происходит в этом неизмеримо сложном мире, каждый из нас - результат непредвиденной и непредсказуемой последовательности небольших происшествий, или "микроконфликтов". Но что лежит в основе и движет этой хрупкой цепочкой событий?

Наши чувства по этому вопросу зависят от нашей философии и даже от наших духовных убеждений. Такие термины, как судьба, рок, фортуна, Божья воля, карма, предполагают наличие первопричины или даже предопределенности, в то время как такие слова, как шанс, случайность, превратность, удача, навевают мысли о капризной и неконтролируемой случайности. Это глубоко личное, не поддающееся рациональному осмыслению, как в старой поговорке азартных игроков: "Не везет тем, кто суеверен". Но каким бы ни было наше мировоззрение, переживания Сесила отражают существенную неопределенность нашей жизни, как нашего появления на свет, так и того, что происходит с нами и миром.

Это постоянное состояние неопределенности - неотъемлемая часть человеческого существования. Она может быть обыденной ("Что на обед?") или экзистенциальной ("Будет ли катастрофическая глобальная война в ближайшие сто лет?"), и степень неопределенности в нашей жизни может значительно варьироваться в зависимости от времени и места. На протяжении всей истории человечества огромная масса людей жила повторяющейся и неизменной жизнью, не имея возможности развиваться и меняться, хотя, конечно, они не были свободны от риска. Историк культуры Джерри Тонер отмечает, что средняя продолжительность жизни в римскую эпоху составляла около двадцати пяти лет, при этом голод, холод, болезни и насилие брали свое. 1 В глобальном масштабе некоторые периоды были особенно нестабильными и вполне оправданно заслуживают названия "эпохи неопределенности"; например, в 1930-е годы наблюдался длительный период роста национальной и международной напряженности, который в итоге привел к масштабному конфликту.

Недавняя пандемия выявила множество уязвимых мест в обществе, а популистское давление на демократию, войны и конфликты, изменение климата и другие глобальные угрозы могут заставить нас почувствовать, что мы живем в очередной век неопределенности. Есть и внутренние проблемы: в опросе Ipsos "Что беспокоит мир в декабре 2022 года" 2 на вопрос "Какие три темы вызывают у вас наибольшее беспокойство в вашей стране?" было дано шесть первых ответов : инфляция, бедность, преступность, безработица, коррупция и качество здравоохранения. Инфляция недавно вышла на первый план, а Covid-19 был временным включением, но эти шесть тем были обычными подозреваемыми в течение последних лет.

В некоторых отношениях наша жизнь также может показаться менее предсказуемой, чем жизнь предыдущих поколений. Хотя детских болезней было больше, а средняя продолжительность жизни была значительно меньше, чем сегодня, в молодости я мог получить студенческие гранты, государственное образование, здравоохранение и другие послевоенные нововведения в Великобритании, и у меня было неосознанное предположение, что я могу получить приемлемую работу и оставаться на ней годами, если она меня устраивает - именно так и произошло, поскольку я проработал в Совете медицинских исследований тридцать два года. Теперь же отсутствие безопасности в работе и гиг-экономика стали нормой. Двадцать один процент представителей миллениалов (1981-96 годов рождения) говорят, что меняли работу в течение последнего года, что более чем в три раза превышает аналогичный показатель среди представителей других поколений. 3 Такая неопределенность, однако, не обязательно может быть только негативным фактором - начало новой работы в незнакомой организации может восприниматься и как источник беспокойства, и как большая возможность.

Неопределенность - это все нас, но, как и воздух, которым мы дышим, она имеет тенденцию оставаться неизученной. В этой книге мы попытаемся что-то с этим сделать.

Всю свою карьеру я занимался исследованиями, направленными на снижение неопределенности в отношении того, что происходит, что может произойти и даже причин, по которым это происходит. Как правило, это связано с изучением массы данных и оценкой того, что мы можем узнать из имеющихся свидетельств. Эта книга возникла из моего собственного опыта попыток оценить и затем объяснить другим, насколько мы можем быть уверены в утверждениях, сделанных в условиях неопределенности.

Вся эта работа преподала мне один главный урок, который проходит через все идеи, вопросы и истории в этой книге. Проще говоря, неопределенность - это отношения между кем-то (возможно, "вами") и внешним миром, поэтому она зависит субъективной перспективы и знаний наблюдателя. Поэтому наши личные суждения играют важную роль, когда мы сталкиваемся с неопределенностью, независимо от того, размышляем ли мы о своей жизни, взвешиваем то, что говорят нам люди, или проводим научные исследования. Опять же, толерантность к неопределенности может сильно различаться у разных людей - одни могут испытывать чувство восторга от непредсказуемости, в то время как другие чувствуют хроническую тревогу.

Но если неуверенность носит личный характер, это не значит, что она связана только с чувствами. В книге "Мышление, быстрое и медленное" 4 психолог Дэниел Канеман популяризировал идею двух систем мышления: одна - быстрая и интуитивная, а другая - более взвешенная и аналитическая. Когда дело доходит до работы с неопределенностью, он утверждает, что первая, быстрая система склонна к излишней уверенности, пренебрегает важной справочной информацией, игнорирует качество и количество доказательств, испытывает неоправданное влияние от того, как поставлен вопрос, слишком много внимания уделяет редким, но драматическим событиям и подавляет сомнения. Это не те качества, которые следует поощрять.

Напротив, эта книга посвящена попытке неспешно поразмыслить над нашим "незнанием". Такой аналитический подход должен не только принести некоторую ясность в нашу собственную ситуацию, но и позволить нам судить о том, что любой человек - будь то политик, журналист, ученый или какой-нибудь авторитет в социальных сетях, выражающий полную уверенность в своих странных убеждениях, - ведет себя гораздо увереннее, чем следовало бы.

Как и подобает книге о неопределенности, я сосредоточусь на том, что, по крайней мере теоретически, может стать определенным. Это может показаться очевидным, но это означает, что я смогу избежать личных сомнений, например, по поводу лучшей песни Beatles, или того, что надеть сегодня вечером, или существования Бога. Это не поддающиеся проверке "факты", и поэтому, хотя мы можем сказать, что мы "не уверены", на самом деле мы выражаем мнение, нерешительность или веру, которые (к счастью) не входят в мою компетенцию.

Исходя из этого, вот краткий обзор того, как мы будем деконструировать идею неопределенности. Начнем с того, что наш повседневный язык полон таких слов, как маловероятный, возможный, вероятный, вероятный, редкий и так далее, но эти расплывчатые термины легко понять неправильно, и мы увидим, что они могли даже увеличить риск ядерной войны. Если мы хотим лучше понять, что такое неопределенность, нам нужно начать использовать цифры, и первый шаг - попытаться определить, что мы подразумеваем под такими словами, как вероятно. Простая викторина может показать, что мы не только можем выразить свое невежество в цифрах, но и оценить, насколько хороши наши суждения, - и посмотреть, как думают суперпрогнозисты.

Но если так полезно выражать нашу неопределенность в цифрах, почему идея вероятности появилась так поздно, хотя люди тысячелетиями играли с костяшками и костями? Только в эпоху Возрождения была предпринята попытка проанализировать, что происходит при бросании костей, а затем, подобно выбросу воды из плотины, эта область взорвалась и нашла применение в пенсионном обеспечении и аннуитетах, астрономии и праве, а также, разумеется, в азартных играх. Признаться, теория вероятности может быть непростой - даже вопросы школьных экзаменов могут вызвать недоумение. Но она может помочь нам ответить на такие вопросы, как , были ли за всю историю две колоды карт в абсолютно одинаковом порядке после хорошей тасовки, и понять, как математические способности Казановы привели к необычайному успеху французской лотереи. Хотя следует признать, что вероятность - очень странная штука: для нее не существует измерительных приборов, так что является ли она "объективным" аспектом мира, или все дело в глазах смотрящего ? Существует ли она вообще?

Меня часто спрашивают "какова вероятность этого?" после того, как произошло нечто удивительное, и это привело меня к личному увлечению совпадениями и удачей. Вероятность может помочь объяснить, почему удивительные события происходят так часто, хотя вы все еще можете быть поражены загадкой брюк Рона Бидермана в главе 4, а как насчет мистера и миссис Хантроддс из Уитби, чьи рождение, брак и смерть пришлись на 19 сентября? Каковы шансы такого союза? И повезло или не повезло иллюзионисту Деррену Брауну, когда он в телевизионном эфире подбросил десять голов подряд?

Если разобрать понятие "удача", то окажется, что наиболее важной ее разновидностью является "конститутивная удача" - по сути, то, кем вы родились. Конечно, мы можем думать об этом только потому, что мы родились, и мы уже отметили хрупкую цепь событий, которые привели каждого из нас в этот мир. Но действует ли мир, включая наше рождение, по сложным механическим законам, или нашей жизнью управляет настоящая случайность? Я постараюсь обойти стороной этот многовековой вопрос, хотя, каким бы ни было ваше мнение, нет никаких сомнений в том, что "эффективная" случайность чрезвычайно полезна, будь то обеспечение справедливого распределения, уравновешивание групп, получающих разное медицинское лечение, назначение футбольных пенальти или создание атомной бомбы. Но являются ли генераторы случайных чисел или британская лотерея действительно случайными?

Как только мы принимаем личное, субъективное представление о вероятности и неопределенности, мы естественным образом приходим к байесовскому анализу, в котором мы используем теорию вероятности для пересмотра наших убеждений в свете новых доказательств. Эти идеи сыграли решающую роль при взломе кодов Аланом Тьюрингом во время Второй мировой войны, а теперь помогают нам интерпретировать несовершенные данные, такие как автоматическое распознавание лиц в толпе. Возможно, у нас даже есть байесовский мозг.

Конечно, никакие новые данные не смогут изменить наше мнение, если мы обладаем закрытым умом, который отказывается признавать неопределенность, хотя, как ни странно, Оливер Кромвель может многому научить нас в отношении такого смирения. К счастью, во время пандемии Ковида было проявлено некоторое смирение, когда для оценки постоянно меняющегося уровня заражения в Великобритании одновременно использовалось до двенадцати различных методов - хорошая иллюстрация того, как важно изучать разнообразие мнений при обосновании утверждений на статистических моделях.

Этот пример также показывает, что, хотя научные исследования, как правило, достаточно хорошо признают неопределенность, любые рассчитанные пределы погрешности обычно слишком малы, поскольку они обусловлены тем, что все предположения статистической модели верны, а это уже стало клише, что "все модели ошибочны". Кроме того, у нас неизбежно возникает ощущение, что некоторые анализы лучше других, поскольку доказательства более весомы и понимание лучше. Многие организации, впервые появившиеся в разведывательном сообществе, сочли полезным выражать степень доверия к любому анализу, как это сделала наша команда при оценке количества людей, заразившихся гепатитом С в результате переливания инфицированной крови в Великобритании.

Хорошо, когда пытаешься понять, что произошло, но часто остается неясным, почему что-то произошло, и кто или что в этом виновато. Стоит ли человеческая деятельность как за глобальным повышением температуры, так и за беспрецедентно теплой осенью 2023 года в Великобритании? Почему в 1980 году бесследно затонул британский корабль, вдвое превосходивший по размерам "Титаник"? В гражданских судах судьи могут использовать теорию вероятности, чтобы решить, виновато ли воздействие химикатов на работе в раке бывшего сотрудника, а в уголовных процессах для вынесения приговора нужны доказательства "вне разумных сомнений". К сожалению, истории матерей, которые были ошибочно осуждены за убийство своих детей, показывают, что вероятности могут использоваться в судах не по назначению, когда утверждается, что события слишком маловероятны, чтобы быть простым совпадением.

Возможно, архетипическое проявление неопределенности происходит при прогнозировании будущего, будь то результаты футбольных матчей на следующий день , погода на следующей неделе или экономический рост в следующем году, а возможно, вас даже интересует, сколько вы проживете и достигнет ли глобальное потепление катастрофических масштабов в этом веке. Все эти прогнозы требуют сочетания математического моделирования и большой доли суждений. Особый интерес вызывают риски кризисов и катастроф, и мы рассмотрим на сайте вероятность аварии на атомной станции в 1975 году, в результате которой погибло более тысячи человек, а также суждения 2023 года о том, столкнется ли правительство Великобритании со стратегическим захватом заложников и другими угрозами в течение следующих пяти лет.

Есть одна неизбежная цитата, когда речь заходит о неопределенности:

Как мы знаем, есть известные вещи; есть вещи, которые мы знаем, что знаем. Мы также знаем, что есть известные неизвестные; то есть мы знаем, что есть вещи, которых мы не знаем. Но есть и неизвестные неизвестные - те, о которых мы не знаем, что не знаем.

- Министр обороны США Дональд Рамсфелд в 2002 году

В то время это было широко высмеяно, но с тех пор признано важным вкладом в язык непознанного. Наука обычно занимается "известными неизвестными" - там, где мы можем перечислить возможности, построить математические модели и выразить нашу неопределенность в цифрах. В отличие от этого, "неизвестные неизвестные" Рамсфельда могут включать в себя заблуждения - то, что мы ошибочно считаем известным, например, неоспоримые (но неуместные) допущения в нашем анализе или уверенный (но неадекватный) список возможных будущих событий. Одна из целей этой книги - привить достаточное смирение , чтобы превратить неизвестные неизвестные в известные или, по крайней мере, признанные неизвестные, и таким образом, надеюсь, избежать полной неожиданности. Для этого может потребоваться признать глубокую неопределенность - ограничения всей нашей концептуализации мира, отражающие границы наших представлений о том, что может произойти. Это требует признания пробелов в нашем понимании и границ нашего воображения, и вместо того, чтобы проводить еще более сложный анализ и пытаться выработать оптимальный курс действий, возможно, лучше искать гибкие стратегии, которые должны быть устойчивы к большинству возможных вариантов.

Рамсфелд все же опустил одну комбинацию - неизвестные знания, которые философ Славой Жижек описал как "вещи, о которых мы не знаем, что знаем, все бессознательные убеждения и предрассудки, которые определяют, как мы воспринимаем реальность и вмешиваемся в нее". 5 В более общем смысле эта категория может включать точное понимание, о котором мы не знаем, что оно у нас есть, - так называемые негласные знания.

В то время как огромные усилия были направлены на разработку технических методов оценки величины рисков, проблемам распространения информации о неопределенности уделялось мало внимания. Политики могут преувеличивать свою уверенность, как, например, во время подготовки к войне в Ираке в 2003 году, но если мы хотим, чтобы наша информация заслуживала доверия, мы должны ясно представлять потенциальную пользу и вред от любых решений, даже если это просто указать, сколько телевизора должен посмотреть человек, прежде чем он сможет рассчитывать на легочную эмболию.fn2 Частым оправданием умалчивания о неопределенности является то, что это может означать, что аудитория потеряет доверие к коммуникатору , но мы увидим доказательства того, что все может быть наоборот.

Все мы принимаем решения в условиях неопределенности, и хотя в теории существует формальный механизм для определения наилучших действий, как люди мы склонны в основном использовать свои инстинкты, возможно, представляя себе истории о том, что может произойти, если нам повезет или не повезет. Мы ожидаем большего от государственных регуляторов в области охраны здоровья и безопасности, , которым поручена деликатная задача принятия решений о "допустимых" рисках для сотрудников и общественности, что означает, что в Великобритании существует официальный "приемлемый" риск быть убитым на работе. Хотя были проблемы с определением того, сколько подгоревших тостов безопасно употреблять каждый день.

И наконец, мы заглянем в будущее, где нас ждут искусственный интеллект, изменение климата, международная нестабильность и множество угроз и возможностей. Мы должны признать, что не знаем того, чего не знаем, что наше понимание всегда неадекватно и что мы должны искренне признать нашу неопределенность. Но это базовое смирение не должно мешать нам рассматривать возможные варианты будущего, принимать решения и жить дальше.

После этого краткого обзора содержания книги - небольшое извинение перед теми, кто опасается математики. Я боюсь, что невозможно полностью избежать технического материала при обсуждении вероятности, но он сведен к минимуму, и его можно пропустить, если вы предпочитаете. Большинство работ дается в сносках, чтобы не отвлекать тех, кто не хочет прерывать поток. В глоссарии даются определения и дополнительные технические пояснения к терминам, выделенным жирным шрифтом, а к каждой главе даются полные концевые сноски.

Терминология может быть запутанной. В повседневном языке такие слова, как вероятность, шанс и вероятность, часто используются как взаимозаменяемые, но я буду немного педантичнее. Вероятность будет использоваться для чисел, выражающих неопределенность, хотя, когда вероятности могут быть в целом согласованы благодаря общему пониманию основного процесса, например, при подбрасывании монет, я буду называть их шансами - Я также буду использовать шанс как более общий термин для обозначения непредсказуемости. Вероятность, как правило, ограничивается ее техническим значением, описанным в главе 7. Риск может означать практически все, что угодно, и в повседневном языке часто используется для описания как угрозы ("разбитая брусчатка - это определенный риск"), так и вероятности события ("риск упасть невелик"). Я буду использовать термин в свободной форме и позволю ему принимать значение из контекста.

Эта книга предназначена для широкого круга читателей: студентов, изучающих вероятность и желающих выйти за рамки стандартной математической программы; всех тех, кто работает в сфере, связанной с "риском", и хочет выйти за пределы своей конкретной области; ученых, которые хотят изучить способы передачи информации о количественной и неколичественной неопределенности, возникающей их работе; и, возможно, самое главное, заинтересованных граждан, которые в значительной степени полагаются на "экспертов" и хотят оценить их надежность.

Неизбежная неопределенность - часть человеческого бытия, и лишь меньшинство людей хотят знать, что они получат на Рождество, или (если предположить, что это возможно), когда они умрут. Явное и порой некомфортное сознание неопределенности - часть того, что делает нас людьми. Хотя мы можем предпочесть игнорировать его, я надеюсь, что эта книга поможет читателям принять и, возможно, даже насладиться опытом незнания.

Резюме

Само наше существование зависит от хрупкой цепи непредсказуемых событий.

Нам всем приходится жить в условиях неопределенности: что произойдет, что могло случиться в прошлом и как устроен мир.

Неопределенность - это отношения, в которых субъект рассматривает объект, в отношении которого он не уверен.

Мы по-разному относимся к совпадениям и удаче, а также сомневаемся в будущем .

Вероятность - это формальный язык неопределенности, но любое его применение подразумевает модель реального мира, зависящую от множества предположений.

Вероятностные модели всегда неадекватны, и нам, возможно, придется признать более глубокую неопределенность.

Мы можем предпочесть игнорировать неопределенность, но было бы лучше признать ее.

ГЛАВА 1. Неуверенность - это личное

Нет такой вещи, как абсолютная уверенность, но есть уверенность, достаточная для целей человеческой жизни.

- Джон Стюарт Милль, «О свободе»

Подбрасывание монеты - это архетипический пример работы с неопределенностью. Представьте, что я стою перед вами с обычной монетой в руке и собираюсь ее подбросить. fn1 Затем я спрашиваю вас о вероятности того, что она окажется головой. Вы радостно отвечаете "половина", или "50 %", или "50 на 50", или "один к двум".

Затем я подбрасываю монету, ловлю ее, но закрываю, чтобы вы не увидели, хотя я быстро заглядываю. Затем я спрашиваю, какова ваша вероятность того, что это голова?

Ситуация изменилась: теперь все решает случайность - нет случайности, только незнание. Мало того, я знаю ответ, а вы - нет, и эта ситуация может нервировать некоторых . Большинство людей теперь не решаются дать ответ, но в конце концов могут повторить "половина" или что-то подобное, хотя и с некоторой неохотой.

Это простое упражнение дает несколько уроков. Во-первых, обратите внимание, что я использовал термин "ваша вероятность", а не "вероятность", подчеркивая вашу роль как владельца неопределенности, что делает вас субъектом. Моя вероятность была бы другой, либо 1, либо 0, в зависимости от того, упала ли монета головой или решкой вверх. Во-вторых, объект неопределенности изначально был результатом будущего подбрасывания, где неопределенность обусловлена тем, что мы можем назвать случайностью или неизбежной непредсказуемостью; это иногда называют алеаторной неопределенностью, касающейся будущего, которое мы не можем знать. Но теперь объектом является текущее состояние монеты, а неопределенность обусловлена отсутствием у вас знаний; это называется эпистемической неопределенностью, касающейся того, чего мы в настоящее время не знаем.

Древние оракулы, как принято считать, занимались исключительно неизвестным будущим, но классик Эстер Эйдиноу отмечает, что они чаще использовались для разрешения эпистемической неопределенности, их также спрашивали о неизвестном настоящем и неизвестном прошлом; например, оракула Додоны спрашивали о том, "кто украл овчины, кто украл серебро или кто убил кого-то". 1.

На протяжении всей книги мы будем продолжать исследовать неуверенность как в том, чего мы не можем знать (пока), так и в том, чего мы не знаем (но, возможно, могли бы). Но теперь мы готовы попытаться ответить на важнейший вопрос:

Что такое неопределенность?

В большинстве формальных определений говорится, что это "отсутствие уверенности", поэтому нам необходимо рассмотреть определения "уверенности". Консенсус в этом вопросе таков

Уверенность: твердая уверенность, не вызывающая сомнений, в том, что что-либо действительно так и есть.

Это ясно выражает мысль о том, что уверенность - это личное чувство. Следовательно, так же как и неуверенность, которая возникает, когда у человека нет твердых убеждений и есть сомнения. Это отражено в более формальном определении, 2 , которое лично мне кажется привлекательным:

Неуверенность: осознанное понимание незнания.

Важнейший момент, отраженный в этих определениях, заключается в том, что (за возможными субатомными исключениями, к которым мы вернемся в главе 3) мы будем рассматривать неопределенность не как свойство мира, а как наше отношение к нему. Это означает, что два человека или группы людей могут, вполне обоснованно, иметь разные степени неопределенности относительно одной и той же вещи, поскольку они обладают различными знаниями или перспективами, как мы обнаружили в случае с вращающейся монетой. fn2 Эта жизненно важная идея будет проходить через всю книгу.

Как только мы признаем, что неопределенность - это отношения, мы можем изучить их возможные характеристики. К ним относятся:

Субъект, который испытывает неопределенность, будь то отдельный человек или консенсус группы, поэтому в идеале мы всегда должны говорить "моя вероятность" или "ваша вероятность", или то, что подходит. Хотя я склонен использовать "вероятность" или "шанс", когда есть общее согласие, скажем, из-за четкого физического механизма, лежащего в основе, как, например, при подбрасывании монеты, розыгрыше лотереи или определении даты рождения.

Объект, в отношении которого они испытывают неуверенность, может быть любым аспектом мира, который хотя бы потенциально поддается проверке; скажем, о том, что происходило в прошлом, что происходит в данный момент, общепринятые факты, как все работает, что стало причиной, и что может принести будущее. Как уже говорилось во Введении, такое внимание к четко определенным объектам означает, что мы не будем касаться многих более свободных способов использования термина "неопределенность", таких как свободно плавающие идеи беспокойства, непроверяемые утверждения о том, есть ли Бог или нет, нерешительность в отношении того, что делать, или неточность, возникающая из-за расплывчатости языка.

Контекст, с точки зрения того, что известно или предполагается тем, кто испытывает неопределенность - это становится жизненно важным, когда мы начинаем думать о статистических моделях.

Источник, с точки зрения того, что является причиной неопределенности - это может быть естественная вариативность всего, что мы хотим измерить, "случайность", присущая природе , различия между людьми, ограниченность знаний, неоднозначная информация, огромная сложность, которая ограничивает понимание, ограничения в вычислениях, возможность ошибок или просто неустранимое незнание того, что происходит.

Выражение неопределенности, словесное, числовое или визуальное, которое, как правило, дает представление о величине и основано на понимании фона и предположениях.

В соответствующих случаях эмоциональная реакция на неопределенность, также известная как "аффект", которая может выражаться в ужасе, волнении, тревоге, покорности и т. д. и может иметь физические проявления в виде "бабочек в животе", расстройства сна и т. д.

В примере с подброшенной монетой субъект - вы, объект - результат подбрасывания монеты, контекст (после благоразумной проверки , что я не подменил двухкопеечную монету) - то, что монета предполагается честной, источник неопределенности - тот факт, что я подбросил монету и скрыл результат, выражение - числовая вероятность, а эмоциональная реакция вполне может быть раздражением.

Подброшенная монета - это крайний пример асимметрии информации, когда один участник знает больше, чем другой. Но, как показывает следующая история , даже небольшая асимметрия в неопределенности может оказаться очень выгодной (если вы сможете выйти сухим из воды).

Как выиграть 7,7 миллиона фунтов стерлингов в карты?

Ответ прост - вы жульничаете. По крайней мере, так решил Верховный суд Великобритании fn3 после того, как звездный игрок в покер Фил Иви выиграл такую сумму в казино Crockfords в Лондоне в 2012 году. Как говорится в решении суда, 3 Иви играл в пунто-банко, разновидность баккара, в которой карты берутся из "башмака" из восьми перетасованных колод, и каждый игрок старается как можно ближе подойти к девяти. После того как в 9 часов вечера 20 августа был запущен новый ботинок, Айви и его спутница начали обращаться с необычными просьбами, чтобы определенные карты были помещены обратно в ботинок в определенной ориентации, утверждая, что это "на удачу". К 10 часам вечера колода была исчерпана, и он попросил снова использовать ту же колоду, так как "выиграл £40 000 этой колодой", а также попросил, чтобы карты тасовались не вручную, а в машине (что гарантированно сохраняло их ориентацию). К 4 часам утра 21-го числа Иви выиграл 2 миллиона фунтов стерлингов и попросил оставить ему тот же башмак, чтобы он мог вернуться к игре снова. Он вернулся в 3 часа дня и к 6.40 вечера выиграл на сайте в общей сложности более 7,7 миллиона фунтов стерлингов. Понятно, что Crockfords заподозрили неладное, но не смогли сразу понять, что он сделал.

Подсчет карт, при котором игрок ведет подсчет сыгранных карт, законен (хотя и не одобряется казино), но в Punto Banco он малоприменим. Вместо подсчета карт Иви использовал сортировку по краям. Карты имеют определенный рисунок, часто сетку из кругов, на обороте, , и при изготовлении колоды левый и правый края могут не пересекаться одинаково, что означает, что ориентацию карты можно определить по обороту. Иви старался, чтобы важные карты (в этой игре особенно важны семерки, восьмерки и девятки) заменялись в одной ориентации, чтобы их можно было определить по обратной стороне, когда они снова появятся в колоде. Верховный суд посчитал, что он изменил баланс игры с преимущества в 1% в пользу казино до более чем 6% в свою пользу.

Crockfords, что примечательно, поняли это только после изучения видеозаписей. Они отказались платить, и Иви обратился в суд, где свободно признал свою стратегию, но заявил, что не считает ее мошенничеством, а просто "преимущественной" игрой, похожей на подсчет карт. Его адвокаты утверждали, что он не был нечестным в соответствии с принятым английским законодательством, которое требует, чтобы человек знал, что его действия являются нечестными. Дело дошло до Верховного суда, который вынес решение не в пользу Айви, в корне изменив юридический критерий нечестности, потребовав лишь, чтобы "разумный человек" счел действия нечестными, независимо от собственного восприятия виновного.

Этот пример демонстрирует субъективность неопределенности. Действия Айви никоим образом не изменили случайность в порядке карт - "шансы" появления каждой карты не изменились. Но, внимательно изучив рисунок на обратной стороне карт, он изменил степень своей личной неуверенности в том, какой будет следующая карта, и таким образом смог адаптировать свои ставки - карты по-прежнему, строго говоря, были "неизвестны", но они стали чуть менее неизвестны для него, поскольку его вмешательство привело к заметной асимметрии в знаниях между ним и казино. Но он не только потерял свой выигрыш, но и столкнулся с огромными судебными издержками.

Попробуйте провести такой мысленный эксперимент:

Запомните время и дату и закройте глаза. Подумайте, что вы будете делать через 1 минуту. Теперь попробуйте представить себе 1 час, 1 день, 1 неделю, 1 год, 20 лет.

На короткое время мы хорошо представляем себе, что может произойти, но по мере того как горизонт удлиняется, возможности будущего разрастаются, как нити спагетти. Мы даже не можем представить себе всех возможностей, не говоря уже о том, чтобы знать, какой из них мы выберем и удастся ли нам, как моему деду, избежать (надеюсь, метафорических) взрывающихся снарядов.

А теперь попробуйте вспомнить, что вы делали ровно 1 день назад, 1 год назад, 10 лет назад?

Это совсем другое, чем попытка заглянуть в будущее. В принципе, мы можем узнать, что произошло в прошлом, но мы не можем сразу вспомнить конкретную цепочку событий, которые привели нас туда, где мы сейчас находимся, - большая часть прошлого вскоре исчезает в довольно нечетком пятне. Как мы видели в случае с подброшенной монетой, наша неуверенность может быть связана как с тем, что мы не можем знать, так и с тем, чего мы не знаем. Но что мы при этом чувствуем?

Как вы реагируете на неопределенность?

Психологические исследования, а также наш собственный опыт свидетельствуют о широком разнообразии наших реакций на осознание незнания, которое мы называем неопределенностью. Наши реакции можно разделить на когнитивные (как мы думаем), эмоциональные (как мы чувствуем) и поведенческие (что мы делаем). В таблице 1.1 перечислены различные способы, с помощью которых исследователи описывают возможные реакции, и вы, возможно, захотите сделать паузу и подумать, где вы находитесь на этих осях: например, когда вы сталкиваетесь с неопределенностью, вы отрицаете ее или признаете, она вызывает у вас страх или смелость, вы пытаетесь избежать ее или приблизиться к ней? Конечно, ваш ответ может зависеть от контекста, так же как и склонность человека к риску может варьироваться в разных областях; 4 Я знал людей, которые , казалось, шли на огромный физический риск, но при этом очень осторожно обращались с деньгами.

ПОСМОТРЕТЬ ПОЛНОЕ ОПИСАНИЕ

Таблица 1.1

Когнитивные, эмоциональные и поведенческие аспекты реакции на неопределенность, показывающие потенциальный диапазон реакций.

Разработано множество шкал для измерения непереносимости неопределенности, позволяющих ответить на различные утверждения: от "Непредвиденные события меня сильно расстраивают" до "Когда приходит время действовать, неопределенность меня парализует". Те, кто высоко оценивает и с трудом переносит неопределенность, могут также подвергаться повышенному риску клинически выраженной тревоги и депрессии. 6

Существуют руководства по преодолению неопределенности, и хотя в этой книге не будет советов по самопомощи, я не могу удержаться и не рассказать свою собственную историю. Мой отец (сын Сесила) был энтузиастом путешествий, но с возрастом он все чаще страдал от того, что называл "лихорадкой путешествий" (Reisefieber по-немецки, resfeber по-шведски) - яркий термин, обозначающий острую тревогу перед поездкой, вызванную, в основном, неуверенностью в том, что все может пойти не так. В итоге он перестал ездить в отпуск. Поэтому, когда я начал испытывать аналогичную тревогу перед поездкой, я обратился к психотерапевту. Она порекомендовала небольшой курс когнитивно-поведенческой терапии (КПП), который включал в себя признание психических и физических симптомов тревоги, но убеждение себя в том, что они, по сути, неотличимы от чувства волнения перед перспективой путешествия. Мышление" от угрозы к возможности - как в первой строке таблицы 1.1 - оказалось достаточно эффективным для того, чтобы изменить мою реакцию на значительную неопределенность путешествия.

Предвкушение приключений - не единственная ситуация, в которой люди могут наслаждаться неопределенностью. Когда около 1000 взрослых в Германии 7 спросили: "Хотели бы вы сегодня узнать, когда вы умрете?", 88 % ответили "нет" (8 % не уверены, и только 4 % сказали "да"). Когда их спросили, хотят ли они узнать результат футбольного матча, 77 % ответили "нет", хотя 23 % хотели бы. А когда речь зашла о желании узнать, что им подарят на Рождество, большинство (60 %) не захотели этого знать, 33 % не определились и только 7 % сказали, что хотят. Иногда мы просто предпочитаем не знать.

И даже если мы хотим знать, мы все равно можем жить с неопределенностью и даже приветствовать ее. Физик-теоретик Ричард Фейнман утверждал: "Я достаточно умен, чтобы знать, что я тупой", и спокойно относился к тому, что не до конца понимает вещи, говоря: "Я могу жить с сомнениями, неуверенностью и незнанием". Это прекрасный пример того, как нужно относиться к неизбежному незнанию в нашей жизни. 8

Не всем удается выразить такое смирение. Как мы увидим далее, политики и официальные органы могут считать, что им необходимо излучать абсолютную уверенность, особенно когда они хотят уменьшить тревогу и успокоить общественность. После того как бычья губчатая энцефалопатия (БГЭ), известная как "коровье бешенство", была обнаружена у британского скота, было неясно, может ли она передаваться людям, но правительство утверждало, что британская говядина безопасна, и в 1990 году тогдашний министр сельского хозяйства получил широкую огласку, съев бифбургер со своей четырехлетней дочерью во время посещения лодочного шоу на Восточном побережье.fn4 Последующее расследование показало, что правительство было озабочено предотвращением чрезмерной реакции на BSE, и это привело к тому, что оно отрицало неопределенность в отношении возможного вреда. 9 С тех пор более 170 человек в Великобритании умерли, заразившись вариантом болезни Крейтцфельдта-Якоба (vCJD) от употребления инфицированной говядины.

Это подводит нас к такой сложной теме, как риск в самом широком смысле этого слова, охватывающий все неприятное, что может случиться либо с человеком, либо с обществом. Психологи, такие как Пол Словик, говорят о двух взаимодополняющих подходах к таким угрозам: риск как чувство и риск как анализ; аналог двойной системы Канемана, с которой мы познакомились во Введении. Эта книга в первую очередь посвящена аналитическому подходу к риску и неопределенности, использованию цифр, статистических моделей и т. д. Но именно чувства, связанные с риском, как правило, доминируют в нашем личном отношении к опасностям, с которыми мы можем столкнуться.

Исследования, проведенные Словиком и другими учеными в 1980-х годах, показали, что когда неспециалистов спрашивали о "рисках", их восприятие в большей степени касалось характеристик возможного события, известного как опасность, чем разумной вероятности того, что оно действительно произойдет. Например, лев в крепкой клетке - это опасность, но не риск, пока дверь остается закрытой. Полет на коммерческом самолете - это опасность, поскольку существует явная возможность пострадать, находясь на высоте пяти миль в довольно тяжелом аппарате, но риск ничтожно мал (опять же при условии, что дверь остается закрытой). Характеристики, влияющие на восприятие риска, делятся на две широкие оси, отражающие, являются ли опасности "нестрашными/страшными" и "известными/неизвестными". 10 Опасность более "страшна", если она неконтролируема, непроизвольна, фатальна, несправедлива и увеличивает риск для будущих поколений - вспомните ядерные аварии. Потенциальная угроза более "неизвестна", если она ненаблюдаема, нова и плохо понятна - например, отношение к электромагнитному излучению от мачт мобильных телефонов. Такие привычные занятия, как езда на велосипеде, хотя и потенциально рискованные, не являются ни неизвестными, ни страшными.

За прошедшие десятилетия наши опасения несколько изменились - в 1980-х годах одной из главных угроз на оси "неизвестное" были микроволновые печи (хотя, признаюсь, у меня до сих пор есть подозрения относительно этой загадочной технологии). А угрозы, связанные с изменением климата и искусственным интеллектом, похоже, не совсем естественно вписываются в эти оси. Однако основной урок остается в силе: наше беспокойство, как правило, связано не столько с неуверенностью в том, произойдет ли что-то , сколько с неуверенностью в том, каким оно будет, если произойдет. Говоря словами Г. П. Лавкрафта, "самая древняя и сильная эмоция человечества - страх, а самый древний и сильный вид страха - страх перед неизвестным" 11.

Резюме

Неопределенность - это отношения - с субъектом, который наблюдает, объектом, в отношении которого он не уверен, источником, способом выражения, а иногда и эмоциональной реакцией.

В общем, мы можем иметь алеаторную неопределенность в отношении будущего, которое мы не можем знать, или эпистемическую неопределенность в отношении настоящего или прошлого, которое мы не знаем.

Неуверенность - дело личное, и наши собственные знания могут означать, что мы имеем совсем другую неуверенность, чем кто-то другой.

Когнитивные, эмоциональные и поведенческие реакции на неопределенность сильно различаются у разных людей, а крайняя нетерпимость к неопределенности может стать источником тревоги и депрессии.

Бывают обстоятельства, когда мы предпочитаем неведение.

Нам нужно смирение, чтобы признать неопределенность.

В нашем личном беспокойстве по поводу потенциальных угроз, как правило, преобладает неуверенность в том, что может произойти, а не неуверенность в том, произойдет ли это.

ГЛАВА 2

.

Учет неопределенности в цифрах

"Мы требуем жестко определенных зон сомнений и неопределенности!

- Дуглас Адамс, "Путеводитель автостопщика по Галактике

Мы видели, что неопределенность лучше всего рассматривать как отношение, выражающее "ваше" незнание о чем-то ощутимом. Но незнание - это не все или ничего, и когда мы используем в повседневном языке такие выражения, как "вероятно" и "почти наверняка", , мы, по сути, сообщаем о степени неопределенности, и естественный следующий шаг - быть более точным и выразить нашу неопределенность в виде числовой шкалы. Это могло бы помочь избежать катастрофического недопонимания.

После того как в 1959 году к власти на Кубе пришли революционеры Фиделя Кастро, Центральное разведывательное управление США (ЦРУ) совместно с кубинскими изгнанниками разработало план свержения нового режима и восстановления дружественного США правительства . К моменту инаугурации президента Кеннеди в январе 1961 года планы были хорошо проработаны, но когда Объединенный комитет начальников штабов США оценил предложение о вторжении, они отнеслись к нему несколько скептически и посчитали, что вероятность успеха составляет около 30 %. Когда бригадный генерал Дэвид Грей составлял отчет для президента Кеннеди, он перевел это число в "справедливый шанс", под которым он подразумевал "не слишком хороший".

Но Кеннеди, по-видимому, истолковал "справедливый шанс" как означающий, что шансы были разумными, и позже поддержал вторжение. 1 17 апреля 1961 года 1500 кубинских изгнанников, высадившихся в заливе Свиней на южном побережье Кубы, встретили сильное сопротивление, возглавляемое самим Фиделем Кастро - более ста человек были убиты, а большинство остальных взяты в плен. Операция потерпела полное фиаско, стала большим позором для США и привела к сближению Кубы с Россией - последующий ракетный кризис 1962 года оказался в опасной близости от ядерной конфронтации.

В своей книге "Bay of Pigs - The Untold Story" Питер Уайден сообщает, что Грею никогда не приходило в голову, что отказ от использования числовой вероятности может привести к непониманию. Залив Свиней также использовался в качестве примера "группового мышления", когда инакомыслие замалчивается. Генерал Тейлор, проводивший расследование катастрофы, позже сказал Уайдену: "Наступает момент, когда нельзя советовать с помощью намеков и предположений. Вы должны посмотреть ему в глаза и сказать: "Я думаю, что это паршивая идея, господин президент. Шансы на успех - один к десяти". И никто этого не говорил".

Если бы я сказал вам, что запор является "распространенным" побочным эффектом приема статинов, как вы думаете, какая доля людей, принимающих этот препарат, столкнулась бы с этим осложнением? Когда этот вопрос задали 120 пациентам, принимающим статины, средний ответ составил 34 %. 2 Но истинный показатель гораздо ниже - около 4 %. Причина, по которой запор официально считается "распространенным" побочным эффектом, заключается в том, что Европейское агентство по лекарственным средствам (EMA) и британское Агентство по регулированию лекарственных средств и товаров медицинского назначения (MHRA) предписывают, чтобы любой побочный эффект с частотой встречаемости от 1 до 10 % был обозначен в информационном листке для пациентов как "распространенный", а все, что выше 10 %, - как "очень распространенный". 3

Этот пример подтверждает историю с заливом Свиней, показывая опасность использования слов для выражения величины, поскольку для разных людей они могут означать совершенно разные вещи. В профессиональном медицинском сообществе принято считать, что побочные эффекты встречаются редко, и поэтому даже частота их возникновения в 4 % считается обычной. Но в обычном языке это слово используется не так.

Обычный, редкий, много и так далее - это расплывчатые описания частоты, используемые в повседневном языке. Еще более распространенными являются выражения неопределенности; подумайте, как часто вы говорите "мог бы", "возможно", "может быть", , "возможно", "вероятно", "возможно". Я утверждал, что лучше использовать вероятности, если это возможно, но поскольку люди могут не захотеть выразить свою неопределенность в цифрах и пожелать использовать только привычные языковые термины, возникает важный вопрос:

Что мы подразумеваем под такими терминами, как "вероятный"?

22 января 2010 года уровень террористической угрозы в Великобритании был повышен до "серьезного", что, согласно официальному определению , означает "вероятность нападения высока". 4 Учитывая то, как большинство людей может интерпретировать слово "высока", это звучит довольно устрашающе, поэтому тогдашний министр внутренних дел Алан Джонсон счел необходимым сказать: "Это означает, что вероятность террористической атаки высока, но я должен подчеркнуть, что нет никаких разведданных, позволяющих предположить, что нападение неизбежно". 5 К счастью, теракта не было.

Многочисленные исследования показали, что трактовка таких слов может существенно различаться у разных людей и в разных контекстах . Например, когда 5000 человек из 25 стран спросили, как бы они интерпретировали слово "вероятно" с точки зрения процентной вероятности, медиана (среднее значение) ответа составила 60 %, но при этом наблюдался огромный разброс, причем каждый десятый ответ лежал вне широкого диапазона от 25 до 90 %. 6

Такая расплывчатость, естественно, привела к попыткам стандартизировать использование таких терминов, чтобы хотя бы в определенных контекстах можно было достичь некоторого согласия. Один из наиболее широко используемых "переводов" был разработан Межправительственной группой экспертов по изменению климата (МГЭИК) и представлен в таблице 2.1. Обратите внимание, что медианная интерпретация "вероятности" общественностью (60 %) даже не входит в интервал (66-100 %), установленный МГЭИК, , и общий вывод состоит в том, что общественная интерпретация этих терминов консервативна, в смысле ближе к 50 %, чем к правилам, указанным в таблице. 7

В качестве примера его использования можно привести сообщение МГЭИК от 2014 года о том, что "период с 1983 по 2012 год был, вероятно, самым теплым 30-летним периодом за последние 1400 лет в Северном полушарии", а затем внизу страницы напомнил читателю об определении , согласно которому "вероятно" означает 66-100%. Мы отмечаем довольно широкие и перекрывающиеся интервалы в таблице 2.1; на самом деле, поскольку утверждение не описывается как "очень вероятное", мы можем более точно интерпретировать заявленную вероятность как лежащую между 66% и 90%.

После фиаско в Заливе Свиней разведывательное сообщество продолжает прилагать усилия к тому, чтобы сделать более прозрачными свои степени неопределенности. В техническом отчете НАТО с замечательным названием "Варианты расплывчатого словоблудия" обобщены данные о текущем использовании "шкал оценочной вероятности" в агентствах по всему миру; 9 Таблица 2.2 иллюстрирует различные переводы только для слова "вероятно".

Срок

"Вероятность" исхода (вероятность)

Практически наверняка

99-100%

Крайне вероятно

95-100%

Очень вероятно

90-100%

Скорее всего,

66-100%

Скорее всего, чем нет

50-100%

С такой же вероятностью, как и нет.

33-66%

Маловероятно

0-33%

Очень маловероятно

0-10%

Исключительно маловероятно

Таблица 2.1

Вероятностные интервалы, соответствующие различным словесным терминам, в соответствии с требованиями Межправительственной группы экспертов по изменению климата (МГЭИК). 8

Агентство, использующее "вероятно

Обязательная интерпретация в виде диапазона вероятностей

НАТО

60-90%

Секретариат канадской разведки (также "вероятно", "вероятно")

70-80%

Директива разведывательного сообщества США (ICD) 203 (также "вероятно", "вероятно")

55-80%

Вероятностная шкала оценки оборонной разведки Великобритании (также "вероятная")

55-75%

Норвежская разведывательная доктрина (также "вероятная")

60-90%

Межправительственная группа экспертов по изменению климата

66-100%

Европейское управление по стандартизации пищевых продуктов

Таблица 2.2

Примеры интерпретаций слова "вероятный", утвержденных различными агентствами.

Это лишь пример попыток стандартизировать общение, и, как мы увидим в главе 9, многие агентства также рекомендуют использовать меры аналитической уверенности.

Вербальные выражения часто предпочитают коммуникаторы, поскольку они позволяют избежать неуместно точной вероятности истинности утверждений, хотя, возможно, парадоксально, но исследования показывают, что такая точность означает, что потребители научных утверждений часто предпочитают цифры. 10 Риск неправильного толкования вербальных терминов может только увеличиться в аудитории с разными родными языками. В настоящее время принято рекомендовать, чтобы при использовании слов в официальных сообщениях они определялись в числовых диапазонах и чтобы аудитории неоднократно напоминали о "переводе". На практике читатели часто игнорируют эти рекомендации, 11 но это не уменьшает их важности.

Мы видели, что фраза "справедливый шанс" была неверно истолкована перед вторжением в залив Свиней в 1961 году. Пятьдесят лет спустя советы президентам стали более многочисленными и разнообразными.

Какова была вероятность того, что до знаменитого рейда в 2011 году Усама бен Ладен находился в комплексе в Абботтабаде?

После десятилетней охоты за людьми, последовавшей за нападением на Всемирный торговый центр 11 сентября 2001 года, американская разведка решила, что, возможно, обнаружила Усаму бен Ладена, проживающего в комплексе в Абботтабаде в Пакистане. Но они не были уверены, и 28 апреля 2011 года ведущие члены кабинета и другие сотрудники встретились и обсудили возможные варианты. Мнения разделились: одни советовали проявить осторожность, другие рекомендовали провести рейд. Но были и численные оценки - Барак Обама позже сказал: "Некоторые из наших офицеров разведки считали, что вероятность того, что бин Ладен находится в комплексе, составляет всего 40 или 30 % fn1 . Другие считали, что она достигает 80 или 90 %". В конце довольно продолжительного обсуждения, в ходе которого все давали свои оценки, я сказал: в основном это 50 на 50" 12. Обама, очевидно, покинул совещание, сказав, что сообщит им свое мнение. Утром он одобрил рейд.

Неясно, что скрывается за обамовским "50 на 50". Если это реальная оценка, основанная на объединении предлагаемых мнений, то она кажется довольно низкой. Возможно, это просто сокращение от "мы не знаем". Хочется надеяться, что это не является неуместным предположением, что если мы не знаем, то это 50:50.

Теперь мы знаем, что бин Ладен находился в комплексе и был убит, что, предположительно, оправдывает тех, кто давал высокую вероятность его присутствия там. Некоторые утверждают, что широкое разнообразие мнений советников разведки должно было быть сведено к единой оценке вероятности, прежде чем представлять ее Обаме 13 , но лично я считаю, что человек, принимающий решения, должен знать, когда его советники расходятся во мнениях - Обаме нужно было синтезировать услышанное и взять на себя окончательную ответственность. Сообщается, что Обама сказал: "В этой ситуации вы начали получать вероятности, которые маскировали неопределенность, а не предоставляли вам более полезную информацию" 14. Но я не согласен - не маскировали неопределенность, вероятности выводили ее на чистую воду, а не полагались на "туманное словоблудие".

Истории, рассказанные в этой главе, надеюсь, подтолкнули к мысли о том, что лучше попытаться обозначить цифрами степень нашего незнания или, наоборот, уверенности. Некоторым это дается с трудом. Хуже того, некоторые люди могут заблуждаться относительно имеющихся у них знаний и заявлять уверенности или, по крайней мере, высокой уверенности в фактах, которые на самом деле таковыми не являются. К счастью, простой формат викторины с тщательно подобранной системой оценок показывает, что можно легко определить количественную оценку нашей неуверенности и быстро выявить тех, кто слишком самоуверен.

Знаете ли вы, чего не знаете?

Рассмотрите приведенные ниже вопросы - в каждом случае правильным ответом будет либо (A), либо (B). Правила просты:

Решите, какой ответ, по вашему мнению, наиболее вероятен.

Оцените свою уверенность по шкале от 5 до 10. Так, если вы уверены, что вариант (A) правильный, то поставьте ему 10/10, но если вы уверены только на 70 %, то 7/10. Если вы не имеете ни малейшего представления, то поставьте 5/10 любому из вариантов.

Никакого мошенничества.

Никакого мошенничества.

1. Что выше?

(A) Эйфелева башня в Париже

(B) Эмпайр Стейт Билдинг в Нью-Йорке

2. Кто старше?

(A) Принц Уэльский (Уильям)

(B) Принцесса Уэльская (Кейт)

3. Что больше?

(A) Хорватия

(B) Чешская Республика

4. В какой стране больше населения?

(A) Люксембург

(B) Исландия

5. В каком из них больше слов?

(А) Ветхий Завет (версия короля Якова)

(B) Война и мир (на английском языке)

6. Какие фильмы имели самый высокий рейтинг на IMDb (2023)?

(A) Крестный отец 2

(B) Паддингтон 2

7. Что больше?

(A) Венера

(B) Земля

8. Что находится дальше всего на севере?

(A) Нью-Дели

(B) Катманду

9. Что весит больше?

(A) Лондонский двухэтажный автобус (пустой)

(B) Два средних самца африканских слонов

10. Кто умер первым?

(A) Бетховен

(B) Наполеон

Попробуйте ответить на эти вопросы, используя правила 1-4, прежде чем проверять ответы в конце главы. В табл. 2.3 показано, как вы должны оценить себя, когда выяснится истинный ответ.

Если вы абсолютно правы и поставили 10/10 за правильный ответ, то вы получите двадцать пять баллов за этот вопрос. Если же вы полностью ошиблись и поставили 10/10 за неправильный ответ, то вы теряете семьдесят пять баллов. Если же ваша уверенность была 5/10 для любого из ответов, то вы остаетесь на прежнем месте. Очевидно, что подсчет баллов асимметричен, наказывая неудачу больше, чем вознаграждая успех, поэтому за уверенность в себе и ошибку полагается суровое наказание - это очень суровый учитель.

Это не произвольное наказание, а следствие разработки правила подсчета очков, которое поощряет честность. Можно показать (см. конец главы), что если, скажем, вы уверены в варианте (A) на 70 %, то ваша ожидаемая оценка будет максимальной, если вы скажете 7/10 за (A), а не преувеличите и не заявите 10/10 за (A). Такое правило подсчета очков называется "правильным".

Вы разгадали закономерность в оценках? Попробуйте вычесть двадцать пять из каждого числа в таблице 2.3. Тогда станет ясно, что штрафы (отрицательные баллы) -1, -4, -9 и так далее зависят от квадрата вероятности неправильного ответа. Поэтому это правило оценки известно как квадратичная оценка - это также версия того, что известно как оценка Брайера, по имени метеоролога, который продвигал это правило в 1950-х годах как способ обучения и оценки синоптиков, когда они давали вероятности будущих событий, таких как дождь. В конце главы мы увидим, что если бы мы просто использовали вероятности, а не их квадраты при выставлении оценок , то это ошибочно побуждало бы нас преувеличивать , а не быть честными.

Ваша уверенность в правильности ответа (из 10)

5

6

7

8

9

10

Очко, если вы правы

0

9

16

21

24

25

Очко, если вы ошиблись

0

-11

-24

-39

-56

-75

Таблица 2.3

Правило подсчета баллов в викторине: после того, как вы поставили оценку от 5 до 10 за ответ, который, по вашему мнению, наиболее вероятен как правильный. Найдите закономерность в оценках.

Как вы справились с ответами на десять вопросов? Используя эти викторины со школьной аудиторией, я обнаружил, что они выявляют три широких класса людей: тех, кто

Разумный положительный балл, скажем, выше 80 за десять вопросов, кто знает достаточно много.

Довольно низкая оценка, близкая к 0, от людей, которые с осторожностью осознают, чего они не знают, и поэтому склонны давать 5, 6 или 7 в качестве ответов.

Большой отрицательный балл от людей, которые мало что знают, но думают, что знают (по моему опыту работы с молодыми аудиториями, эта черта самоуверенности чаще встречается у студентов мужского пола). Вы не хотите, чтобы такие люди были вашими консультантами.

Обратите внимание, что отрицательный балл означает, что вы справились хуже, чем просто ответив "5" на каждый вопрос, что, по сути, является стратегией человека или чего-то, кто абсолютно ничего не знает об ответах и просто отвечает "5" на все . Как это делает шимпанзе.

Это эпистемическая неопределенность, а рейтинг уверенности можно рассматривать как вашу личную вероятность выбрать правильный ответ (если разделить на 10, чтобы превратить, скажем, 7 в 0,7 или 70 %). Таким образом, эта простая викторина несет в себе глубокий урок. Она показывает, что эпистемическая неопределенность может быть количественно выражена в виде вероятностей, которые обязательно субъективны и выражаются человеком на основе имеющихся у него знаний. Под "субъективными" мы подразумеваем, что, хотя это числа, они не являются свойствами внешнего мира, которые можно измерить; мы измеряем время с помощью часов, вес с помощью весов, расстояние с помощью линейки, но нет прибора, который мог бы сказать нам о вероятности - это всегда суждение или расчет, основанный на предположениях. Приведенные вами числа не должны рассматриваться как воплощение некоего "истинного убеждения", которое мы могли бы найти, если бы достаточно глубоко покопались в вашем сознании, а были сконструированы в зависимости от контекста - в данном случае викторины.

Но чтобы эти суждения были действительно полезными, вероятности людей должны обладать некоторыми разумными свойствами. Во-первых, в идеале они должны соответствовать реальному миру, в том смысле, что если кто-то дает вероятность 7/10 ряду событий, то около 70 % этих событий должны произойти на самом деле. Во-вторых, вероятности должны дискриминировать, то есть событиям, которые происходят, должны быть присвоены более высокие вероятности, чем тем, которые не происходят. Если мы отвечаем 5 на каждый вопрос, мы вполне можем оказаться калиброванными (предполагая, что количество правильных ответов A и B примерно одинаково), но при этом мы не проявляем никакого мастерства. Можно показать, что правильное правило подсчета очков поощряет как калибровку, так и дискриминацию, 15 , и что хорошие синоптики обладают как калибровкой, так и дискриминацией.

Четко определяя вероятности событий, мы можем избежать менталитета "или-или", требующего упрощенного прогноза того, что должно произойти, который затем доказывает, что он либо верен, либо нет. Но отучить людей от этого бинарного образа мышления может быть сложно. Нейт Сильвер с сайта FiveThirtyEight имел хорошую репутацию в предсказании результатов выборов, и 8 ноября 2016 года, в день президентских выборов в США, он дал вероятность победы Дональда Трампа 28,6 %. 16 Это меньше, чем вероятность один к трем, но Трамп, конечно, победил, и Сильвер был широко обвинен неудаче, потому что не назвал выборы в пользу Трампа, хотя вероятностные прогнозы никогда ничего не "называют".

Вероятность Сильвера примерно эквивалентна тому, чтобы поставить 7 баллов за ответ (A) на вопрос викторины, а затем обнаружить, что правильный ответ - (B). Вряд ли это серьезная ошибка, fn2 тем более, что оценка Сильвера была более протрамповской, чем у других комментаторов, а Эндрю Прокоп написал в Vox: "Модель Нейта Сильвера дает Трампу необычно высокие шансы на победу. Может ли он быть прав?" 17 Конечно, Сильвер не был ни прав, ни неправ, хотя если бы он неоднократно давал такие вероятности, как эта, разумное правило подсчета баллов выявило бы его плохую работу.

Поскольку для обратной связи нам нужны немедленные ответы, подобные быстрые тесты обязательно должны оценивать эпистемическую неопределенность фактов и исторических событий. Однако аналогичные методы можно использовать и для оценки прогнозов будущего. Группу экспертов можно сравнить по их оценкам за тестовые вопросы, и простые правила подсчета баллов позволят нам определить людей, к мнению которых стоит относиться серьезно. Тем, у кого высокие баллы, можно придать дополнительный вес при вынесении групповых суждений. 18

Это было проверено в в ходе длинной серии экспериментов, проведенных командой под руководством политолога Филипа Тетлока. В их проекте Good Judgement Project сотни энтузиастов-любителей делали прогнозы - их просили не сказать, что произойдет, а дать вероятности для строго определенных и проверяемых событий, которые будут решены в течение разумного периода времени, например "Реструктурирует ли Италия или объявит дефолт по своему долгу к декабрю 2011 года?" (вопрос был задан 9 января 2011 года). 19 После того как было известно, что события либо произошли, либо нет, вероятности были оценены с помощью правила подсчета очков Брайера. Синтезированные суждения победили на крупном конкурсе прогнозов.

Исследуя, кто получил лучшие оценки, команда Тетлока обнаружила, что нет особой разницы в том, был ли прогнозист консерватором или либералом, оптимистом или пессимистом. Важно то, как они думают, а не то, что они думают. Так какой же тип мышления оказался наиболее эффективным?

Кто вы - лиса или еж?

Должен признаться, что "Война и мир" показалась мне довольно тяжелой, но я помню блестящие батальные сцены - то, как они были рассказаны с точки зрения одного человека, не имеющего ни малейшего представления о происходящем, не имеющего никакого грандиозного плана. Лев Толстой превосходно показал, как герои подвергаются ударам обстоятельств и просто пытаются извлечь максимум пользы из того, что выпало на их долю. Но Толстой находился в глубоком внутреннем конфликте. В отличие от того, что он так ловко изображал в своих произведениях, втайне он отчаянно хотел верить в некий великий принцип, который управляет тем, как устроен мир. Когда философ Исайя Берлин написал свое ставшее знаменитым эссе о дилемме Толстого , он назвал его "Еж и лиса", по строчке из стихотворения греческого поэта Архилоха: "Лиса знает многое, но еж знает одно большое дело". По словам Берлина, Толстой был "лисой, горько желающей видеть в манере ежа".

Подумайте о людях, которых вы знаете, будь то частные или публичные персоны. Являются ли они ежами, с одним всеобъемлющим взглядом на мир через , который они интерпретируют вокруг себя? Или это лисы, не имеющие больших принципов или философии, которые приспосабливаются к тому, что появляется, меняя по пути свое мнение? Политики, конечно, склонны быть ежами, но некоторые из них более прагматичны и лисицы, чем другие.

Итак, кому бы вы больше доверили делать предсказания о будущем: уверенному в себе ежу или неуверенной лисе? В интерпретации Тетлока, у ежей есть одна большая теория, например, марксистская, христианская, либертарианская и так далее, которую они используют в качестве основы для предсказаний, что позволяет им делать заявления с большой уверенностью. В то время как лисы скептически относятся к великим теориям, осторожны в своих прогнозах и готовы корректировать свои идеи, когда сталкиваются с новыми доказательствами. Тетлок обнаружил, что лисы гораздо лучше предсказывают, чем ежи , причем ежи особенно плохо предсказывают предметы, о которых, как им казалось, они много знают - они просто слишком уверены в себе (как вы могли обнаружить, выполняя тест выше).

В своей книге Future Babble, 20 журналист и соратник Тетлока Дэн Гарднер выделяет три характеристики хороших прогнозистов:

Агрегация: они используют множество источников информации, открыты для новых знаний и с удовольствием работают в команде.

Метапознание: они понимают, как они сами мыслят, и какие предубеждения есть у каждого из нас, например, поиск подтверждения заранее установленных идей.

Смирение: они готовы признать неопределенность, признать ошибки и изменить свое мнение. Вместо того чтобы говорить, что произойдет, они готовы дать лишь вероятности будущих событий, признавая как известные неизвестные, так и неизвестные неизвестные.

Я лично стремлюсь к таким качествам в своих суждениях, хотя мне трудно иметь достаточно открытый ум и осознавать свои собственные фиксированные идеи. Я также ищу эти черты в людях, которые интерпретируют происходящее и предсказывают, что произойдет. Поэтому, когда кто-то говорит вам о том, что ждет вас, страну или мир , спросите себя - кто он: еж или лиса?

Оценка вероятностей

Викторина может навести на мысль, что привлечение людей к оценке вероятностей - это просто забавная игра, но это может быть очень серьезным занятием. Вместе с коллегами я опросил многих специалистов по раку, чтобы выяснить их мнение об эффективности новых методов лечения, что позволило нам оценить общую вероятность того, что запланированное клиническое испытание даст убедительный результат. Не все врачи с энтузиазмом высказывали свое мнение, поэтому мы усаживали их, по интервьюеру с каждой стороны, и не позволяли им встать, пока не получали распределение вероятностей возможного выигрыша в выживаемости от нового лечения. 21 Такие опросы теперь регулярно используются при планировании испытаний лекарств в фармацевтической промышленности, 22 в идеале проводятся очно, хотя существует и интерактивное программное обеспечение.

Нет смысла проходить этот процесс, если испытуемые не являются экспертами в своих областях, с большим соответствующим опытом работы на сайте . Им также необходимо обучение оценке вероятностей с быстрой обратной связью, которую может обеспечить подобная викторина, которую вы только что провели. Это поможет противостоять тенденции к излишней самоуверенности, хотя необходимо следить за тем, чтобы избежать известных предвзятостей - например, если какое-либо событие занимает более важное место в сознании человека из-за тревоги или недавнего освещения, то оно может показаться более вероятным. Аналогично, хотя может быть полезно начать с приблизительной цифры, необходимо следить за тем, чтобы не слишком сильно "привязываться" к первоначальному суждению. Не существует оптимального способа получения информации о вероятности , , что указывает на необходимость интерактивного опроса с использованием нескольких "рамок", например, с использованием как "95 % выживаемости", так и "5 % смертности", или как "10 %", так и "10 из 100".

Традиционный подход заключается в разумных коэффициентах ставок; например, если вы готовы поставить три к одному на то, что событие произойдет, это должно означать, что вы оцениваете его вероятность более чем в 25 %. fn3 Но эти мыслительные эксперименты смешиваются с отношением к азартным играм и вашим ощущением ценности денег, поэтому лучшим подходом может быть сравнение с известной вероятностью. У меня есть картонное "колесо вероятности", состоящее из желтого круга, который я могу покрыть синей накладкой в любой желаемой пропорции. Затем я могу спросить кого-нибудь: что, по-вашему, более вероятно - наступление события X или случайное попадание дротика в синюю, а не желтую область? Область можно регулировать до тех пор, пока испытуемый не останется равнодушным.

Когда мы выясняли у врачей, с которыми беседовали, целые распределения вероятностей, мы просили их присвоить 100 баллов различным участкам шкалы, по сути, позволяя им построить гистограмму. Хорошо известно, что распределения людей имеют тенденцию быть слишком узкими из-за чрезмерной привязки к центральной оценке , поэтому мы пытались преодолеть эту самоуверенность, спрашивая, действительно ли они уверены, что эффект не может быть за пределами указанного ими диапазона. Они были очень довольны, когда мы разрешили им встать и уйти.

Вместо того чтобы использовать только одно мнение, мы взяли простое среднее значение распределений клиницистов, хотя, как уже говорилось, можно увеличить вес тех, кто обладает доказанным опытом в оценке вероятности. 23 Биржи ставок, где люди делают и принимают ставки, являются еще одним источником групповых суждений и позволяют нам получить представление о том, что "рынок" считает разумными коэффициентами на данный момент. Например, мы можем посмотреть на общепринятую вероятность победы Барака Обамы на президентских выборах в США в 2008 году, выраженную в каждый день fn4 в течение года, предшествующего выборам. Вероятность его победы начиналась всего с 7 %, а затем неуклонно росла до 60 %, когда он получил номинацию в июне 2008 года. Она ненадолго упала до 45 %, когда соперник Обамы Джон Маккейн вышел в лидеры после краха банка Lehman Brothers в сентябре, но затем вероятность Обамы неуклонно росла до 100 %. Эти цифры не являются "объективным" утверждением о мире, и не существует "истинной" вероятности - они являются отражением коллективных субъективных суждений с учетом текущего состояния знаний. Быстрое изменение вероятностей после получения новой информации свидетельствует о том, что участники биржи ставок проявили хорошее поведение, как лисы, - их коллективные суждения, можно сказать, демонстрируют "мудрость толпы".

Рассказы, приведенные в этой главе, призваны убедить вас в том, что всякий раз, когда это возможно, неопределенность должна быть выражена в цифрах, что поможет избежать неверного толкования и обеспечит надежную основу для оценки утверждений о неопределенных событиях. Конечно, если у нас есть хорошие данные, относящиеся к суждению, которое мы пытаемся вынести, то мы должны использовать статистические модели, чтобы помочь оценить вероятности (см. главу 8).

Не все считают разумным выражать нашу эпистемическую неуверенность в отношении прошлых событий в терминах вероятности. Члены Апелляционного суда Англии в 2013 году четко заявили, что "нельзя правильно сказать, что вероятность того, что что-то произошло, составляет 25 %... Либо произошло, либо нет" 24. Я немного сочувствую - я бы не стал называть эпистемические вероятности "шансами". В любом случае, судья Верховного суда лорд Леггатт позже не согласился с этим, заявив, что разумно оценивать вероятности прошлых событий при наличии веских доказательств, дающих "обоснованную веру". 25

Это подтверждает тот факт, что человеческое суждение всегда является неотъемлемой частью любой оценки неопределенности, и справедливо признать, что выразить его в цифрах может быть непросто. Поэтому может возникнуть соблазн попытаться обойтись только словами - в конце концов, именно так мы поступаем в повседневных разговорах.

Похоже, есть два типа ситуаций, когда может быть разумным утверждать, что существует "более глубокая" неопределенность, которая не может быть легко количественно оценена:

Хотя вопрос и контекст четко определены, основополагающие данные либо недостаточны, либо могут сильно измениться, что заставляет нас не спешить с определением числа или даже диапазона. Мы рассмотрим этот вопрос "низкой уверенности " в главе 9.

Мы просто не знаем достаточно о том, что происходит, и поэтому не можем даже перечислить возможные исходы, не говоря уже о том, чтобы определить их вероятности. Это и есть настоящая "глубокая неопределенность" (см. главу 13).

Пока же мы примем вызов, связанный с использованием чисел для выражения неопределенности, а это значит, что нам необходимо понять основную теорию вероятности, или, как ее раньше называли, "доктрину шансов".

Кстати, вам может быть интересно, умели ли наши врачи оценивать преимущества новых методов лечения. Оказалось, что они склонны к излишнему оптимизму, хотя, учитывая их значительную неуверенность, сильного противоречия с данными, которые наблюдались позже, как правило, не было. Так, например, при оценке преимуществ новой схемы лучевой терапии при раке легкого в 1989 году эксперты предположили снижение месячного риска смертности на 24 %. 26 Когда исследование было завершено и опубликовано двенадцать лет спустя, в 2001 году, заявленное снижение составило... 24 %! 27 Очень впечатляюще, но, возможно, здесь не обошлось без доли везения.

Резюме

Слова сами по себе плохо передают степень неопределенности, поскольку их толкование может сильно различаться у разных людей, на разных языках и в разных контекстах.

Было много попыток создать "переводы" между повседневными словами и диапазонами вероятностей.

Мы можем обозначить нашу неуверенность цифрами, а правила подсчета очков позволяют оценить, насколько хороши эти цифры.

Правила подсчета очков поощряют лис , а не ежей.

Мы можем получить от людей информацию о вероятности, но они должны много знать об оцениваемом вопросе, а сам процесс должен быть интерактивным.

Вероятность может и должна быстро меняться по мере появления новой информации.

Когда это возможно, мы должны использовать цифры, чтобы выразить нашу неуверенность.

Ответы на викторину

1. (A) 300 м (330 м до кончика)

vs (B) 381 м (443 м до вершины)

2. (A) Родился 21/6/82

vs (B) Родился 9/1/82

3. (A) 56 000 км2

против (B) 79 000 км2

4. (A) 523,000

против (B) 328 000

5. (A) 610,000

против (B) 590,000

6. (A) 9.0

против (B) 7,8

7. (A) Радиус 6 051 км

радиус 6 371 км по сравнению с радиусом (B)

8. (A) 28,6° С.Ш.

против (B) 27,7° с.ш.

9. (A) 12,4 тонны

vs (B) 10,9 тонн

10. (A) 1827

против (B) 1821

Почему правило подсчета очков в таблице 2.3 поощряет честность

Предположим, что моя честная вероятность для варианта B составляет 70%, и поэтому я выбрал 7 в качестве уровня доверия. Тогда я считаю, что с вероятностью 70 % выиграю 16, а с вероятностью 30 % проиграю 24, и поэтому мой "ожидаемый" fn5 балл составляет (0,7 × 16) - (0,3 × 24) = 4. Но предположим, что я был самонадеян и решил преувеличить и заявить, что уверен в себе на 10/10. Тогда вероятность того, что я получу 25, составляет 70 %, а вероятность того, что я потеряю 75, - 30 %, и, таким образом, моя ожидаемая оценка (0,7 × 25) - (0,3 × 75) = -5, что ниже, чем если бы я решил выразить свое истинное мнение. Таким образом, хотя в данном случае мне может повезти, в среднем я заплачу за честность.

Однако предположим, что мы используем правило, показанное в табл. 2.4, которое является линейным и симметричным.

На первый взгляд это правило может показаться разумным, так как по сути оно наказывает по расстоянию от правильного ответа. Если использовать предыдущий пример, то, как и раньше, мой ожидаемый балл при честном ответе составляет (0,7 × 10) - (0,3 × 10) = 4. Но если я преувеличиваю, то ожидаемая оценка будет (0,7 × 25) - (0,3 × 25) = 10! Таким образом, это "неправильное" правило подсчета баллов поощряет людей лгать о своей неуверенности.

Ваша уверенность в правильности ответа (из 10)

5

6

7

8

9

10

Очко, если вы правы

0

5

10

15

20

25

Очко, если вы ошиблись

0

-5

-10

-15

-20

-25

Таблица 2.4

Неуместное правило подсчета очков, поощряющее преувеличенные и нечестные заявления.

ГЛАВА 3

.

Укрощение шанса с помощью вероятности

В предыдущей главе мы сосредоточились на том, как выразить цифрами нашу личную неуверенность в конкретных событиях, основанную на наших суждениях и свойственную только нам. Но если вы изучали вероятность в школе или колледже, то, скорее всего, шли совсем другим путем - через подбрасывание монет, бросание кубиков, лотереи и другие ситуации, в которых действует "случай", включая пресловутые вопросы о носках в ящиках.

Настало время обратиться к более традиционному подходу, исторически уходящему корнями в игры и азартные игры. Это может показаться возвращением в школу, но на примере простых игр мы можем интуитивно понять формальные правила вероятности. Это может помочь вам ответить на некоторые сложные экзаменационные вопросы и даже организовать лотерею.

Несколько лет назад я попросил нашего местного мясника купить баранью ногу, но сделал необычную заявку: чтобы он включил в нее голеностопный сустав. Тогда я провел грязное, очень любительское препарирование и извлек небольшую кость, встроенную в лодыжку, которая обеспечивает сочленение между ногой и стопой - она известна как таранная кость у человека или астрагал у животных, часто переводимый как костяшка. Как показано на рисунке 3.1, ее форма означает, что у нее есть четыре возможных грани, на которые она может приземлиться, когда бросается на поверхность. По меньшей мере 5 000 лет люди из самых разных культур - от Греции до Монголии - играли в азартные игры, бросая костяшки или используя их для предсказания судьбы.

Рисунок 3.1

Астрагал ягненка, извлеченный мной, и четыре возможных варианта его приземления. На основе 200 бросков я получил лицо 1 в 10 % бросков; лицо 3 - в 43 %; лицо 4 - в 36 %; лицо 6 - в 11 %.

Вероятность выпадения четырех возможных граней практически одинакова: Я бросил 200 раз и получил процентное соотношение, указанное в подписи к рисунку 3.1, в то время как историк статистики Флоренс Найтингейл Дэвид сообщил, что аналогичные частоты составляют примерно 10%, 40%, 40% и 10%. fn1

Среди римлян была популярна игра - бросать четыре астрагала и делать ставки на результат, причем "венерианским" считался бросок, когда все четыре лица были разными. Они также использовались в качестве оракулов в храмах, причем Венера считалась благоприятной, а "собаки" (все с лицом 1) - неблагоприятной. fn2 Великий римский историк Суетоний сообщает , что поэт Проперций однажды сказал: "Когда я искал Венеру с благоприятными тали, проклятые собаки всегда выпрыгивали наружу". 1.

Постепенно астрагал странной формы был заменен более симметричными игральными костями, которые использовались в азартных играх. На терракотовом образце из долины Инда, найденном около 3000 лет назад, цифры от 1 до 6 были написаны по стандартной схеме, когда противоположные грани складываются в 7. Но хотя огромные суммы денег должны были быть поставлены на кон в результате бросания небольших предметов на землю или стол, никто, похоже, не применял беспристрастный аналитический подход к происходящему вплоть до 1500-х годов. В связи с этим возникает вопрос:

Тысячелетиями люди бросали предметы и играли в азартные игры на то, как они приземлятся. Почему же идея вероятности утвердилась лишь сравнительно недавно?

Существует множество объяснений этой странной причуде истории: классические цивилизации ценили логические доказательства, а не эксперименты; ранние азартные устройства, такие как астрагалы, не имели точной симметрии; азартная игра считалась делом рук богов; числовые системы на Западе были неадекватными (представьте себе, что вы занимаетесь математикой с римскими цифрами) примерно до 1200 года, когда Леонардо Пизано, более известный как Фибоначчи, популяризировал индусско-арабскую систему, с основанием 10 и нулем. По какой-то причине сама идея числовых шансов просто не рассматривалась.

Возможно, нам не стоит удивляться. Как уже отмечалось, вероятность - неуловимое явление, не поддающееся прямому наблюдению и измерению. Более того, как мы видели в главе 1, она может иметь двойственную природу: как мера эпистемической неопределенности, выражающая разумную степень веры в то, что может быть известно, но не известно, и как алеаторная мера будущей случайности или шанса в отношении событий, которые еще не решены. И именно по второму пути произошел прорыв, когда азартные игроки наконец-то начали анализировать игры, на которые они ставили столько денег.

Джероламо Кардано жил в Италии примерно с 1500 по 1571 год, в период бурного развития искусства и математики , известный как эпоха Возрождения. Он начал жизнь незаконнорожденным ребенком, обезображенным чумой, и, по его собственному признанию, был "вспыльчив, однолюб и любил женщин", но стал богатым и знаменитым врачом. 2

Он также зарабатывал и проигрывал большие деньги на азартных играх и около 1550 года решил изложить накопленную мудрость в книге Liber de ludo alae ("Книга об азартных играх"). 3 В коротких главах он рассказывает о способах мошенничества ("самое большое преимущество - иметь своих сторонников, если хочешь выиграть нечестно"), fn3 роли удачи и разнице между картами и костями. Но его слава связана с тем, что он первым отметил, что симметрия игральных костей означает, что вероятность выпадения чисел должна быть одинаковой, в безобидной на первый взгляд фразе "Я могу так же легко бросить один, три, пять, как два, четыре, шесть".

Сосредоточившись на перечислении всех возможностей, он подошел к идее вероятности. Обычная игра состояла в том, чтобы бросить две кости и сделать ставку на общее число двух граней, и он увидел, что существует 36 возможных основных исходов броска одной кости, а затем другой, включая (1,1), (1,2) и так далее. Он назвал список всех возможных исходов "схемой", и они приведены в таблице 3.1, а итоговые суммы показаны в сетке.

Затем он подсчитал количество способов, которыми можно получить, скажем, 10, как долю от общего числа возможных исходов: "Точка 10 состоит из (5,5) и (6,4), но последняя может выпасть двумя способами, так что все число способов получения 10 будет равно 1⁄ 12 от схемы". Сейчас это может показаться довольно очевидным, но это был большой шаг осознать, что при игре на двух костях есть только один способ выбросить в сумме 2, но гораздо больше способов получить, скажем, 7.

Второй бросок

1

2

3

4

5

6

Первый бросок

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

Таблица 3.1

Тридцать шесть возможных основных исходов при бросании двух игральных костей с указанием суммы граней.

Несмотря на то, что Кардано никогда не писал об этом прямо, его принято считать родоначальником так называемой "классической" вероятности, которую преподают в школах по всему миру: из набора равновероятных исходов какая часть является "благоприятной"? Например, если вы хотите бросить на 7, то 6 из 36 исходов будут "благоприятными", и поэтому вероятность равна 1⁄ 6.

Важно различать исходные результаты последовательности бросков, которые можно считать равновероятными, и любые события, представляющие интерес, которые вычисляются на основе этих результатов, например, общий итог, максимальный бросок, минимальный бросок и так далее. Каждый из них представляет собой отображение набора основных исходов на одно число , а технический термин для обозначения результирующего события - случайная величина. Даже если исходные результаты равновероятны, возможные значения случайной переменной не равновероятны, как это определил Кардано, когда увидел, что 3 возможных результата отображаются на общее число 10.

Таким образом, на случайной величине появляется распределение вероятностей, и, следуя Кардано, мы можем использовать таблицу 3.1 , чтобы получить распределение вероятностей для суммы двух игральных костей, как показано на рисунке 3.2.

Среднее значение, взвешенное по вероятностям каждого события, равно 7. fn4 Это значение известно как ожидание случайной величины, также известное как ее среднее значение, и оно будет часто встречаться в этой книге.

Рисунок 3.2

Распределение вероятностей для суммы двух игральных костей в предположении, что кости идеально симметричны, бросаются честно и независимо друг от друга.

Обратите внимание на явные предположения о том, что (а) кости симметричны и брошены таким образом, что можно предположить, что вероятность появления граней одинакова, и (б) что они независимы, то есть результат первого броска не влияет на второго броска. Повторять эти предостережения было бы утомительно, но всегда следует помнить, что любая оцененная вероятность зависит от множества предположений.

Кардано действительно кое-что напутал. Несмотря на то что он с восхитительной ясностью заявлял, что его анализ предполагает, что "кубик честный", к сожалению, он забыл об этом предписании, когда дело дошло до обсуждения астрагалов, когда он неявно предположил , что шансы на появление четырех граней равны, и утверждал, что венерка "будет выпадать в 6 раз чаще, чем при броске с одинаковыми гранями". Это было безнадежно неверно: На рисунке 3.1 показано, что два лица 3 и 4 имеют сильное предпочтение, и поэтому, используя мои наблюдаемые пропорции, вероятность того, что все четыре лица будут одинаковыми, составляет около 5 %, по сравнению с 4 %, если все они будут разными (бросок Венеры). Тот факт, что не заметил этого, говорит о том, что он редко, если вообще когда-либо, играл костяшками, предпочитая более сложные (и дорогие) кости. Он также считал, что для честных костей "шансы на то, что данное очко выпадет в трех бросках, равны", то есть, например, вероятность выпадения "3" в трех бросках составляет 50:50. Правильный ответ - 42 %, чуть меньше 50:50. fn5

Кардано прожил до семидесяти четырех лет, но, как и в случае со многими выдающимися людьми, его дети принесли ему разочарование: один сын был закоренелым преступником, который стал официальным пыточным и палачом, а другой сын, по иронии судьбы, был казнен за отравление своей жены. Дополнительным несчастьем стало то, что книга Кардано об азартных играх была опубликована только в 1663 году, через девяносто лет после его смерти, и к тому времени все его идеи были приписаны другим.

Пока рукопись Кардано терялась в его бумагах, некоторые лучшие умы Европы начали работать над азартными играми. Галилео Галилей много (и нудно) писал о способах подсчета числа благоприятных исходов, а в середине 1650-х годов Пьер де Ферма и Блез Паскаль вели переписку, которую часто считают основой теории вероятности , хотя, как и Кардано с Галилеем, они занимались в основном перечислением возможных исходов - слово "вероятность" в современном смысле не использовалось до выхода в 1713 году фундаментальной работы Якоба Бернулли "Искусство строить предположения" ("Ars Conjectandi").

Одной из проблем, с которой столкнулись Фермат и Паскаль, была "проблема очков", поставленная за 200 лет до этого: если игра прерывается, как справедливо разделить ставку ? Ниже приведен (очень вымышленный) пример.

Не имея ничего другого, Ромео и Джульетта играют в игру, в которой они подбрасывают (честную) монету, причем Ромео выигрывает 80 дукатов, если первой выпадет три головы, а Джульетта - если три решки. Монету подбрасывают три раза, и последовательность равна THT. Наступает рассвет, Ромео заявляет, что ему нужно уехать, и игру приходится прекратить. Как следует разделить ставку?

Ромео говорит, что их нужно разделить поровну, по 40 дукатов каждому, так как игру может выиграть любой из них. Но Джульетта замечает, что это несправедливо - она лидирует, и для победы ей нужен еще один хвост. Нужно подсчитать, насколько велики шансы в ее пользу.

Один из подходов заключается в том, чтобы перечислить все возможные варианты развития игры . К пяти подбрасываниям она должна закончиться, так как должно быть по крайней мере три головы или три хвоста, и если мы предположим, что они продолжаются до самого горького конца, то игра может закончиться так

THT HH - Ромео побеждает

THT HT - Джульетта побеждает

THT TT - Джульетта побеждает

THT TH - Джульетта побеждает

Если предположить, что монета честная, то все эти "возможные варианты развития событий" равновероятны, и поэтому вероятность того, что Джульетта победит, составляет три шанса из четырех .

Этот метод кажется несколько неуклюжим, поскольку две заключительные игры могли быть остановлены после четырех подбрасываний. Вместо этого мы можем подумать о том, чего бы мы ожидали, если бы в каком-то причудливом сценарии "Дня сурка" они играли в одну и ту же игру 100 раз. Это показано на рисунке 3.3 в формате, известном как дерево ожидаемых частот.

Рисунок 3.3

Дерево ожидаемых частот, показывающее, что произойдет, если прерванная игра Ромео и Джульетты будет продолжаться 100 раз. Джульетта выигрывает в 75 случаях из 100 возможных.

OceanofPDF.com

Мы ожидаем, что Джульетта выиграет при следующем подбрасывании в 50 из продолженных игр, а в 25 - после еще двух подбрасываний, одного "головы" и одного "хвоста". Мы не знаем, какой из этих равновероятных "возможных вариантов развития событий" произойдет, и поэтому разумная вероятность того, что Джульетта в конце концов выиграет конкретную игру, снова будет равна 75⁄ 100 3 = ⁄ 4.

Альтернативный подход - нарисовать дерево вероятностей, как на рисунке 3.4, которое показывает, как могут возникнуть различные возможные варианты развития событий, с предполагаемой вероятностью спуска по каждой ветви. Существует вероятность 1⁄ 2 того, что их следующий бросок (четвертый) будет головой, что поставит их в равное положение, и в этом случае существует еще одна вероятность 1⁄ 2 того, что любой из них может выиграть на пятом броске. Для соответствия частот на рисунке 3.3 нам нужно получить итоговую вероятность выигрыша Ромео 25⁄ 100 1 = ⁄ 4, которую мы просто получим, перемножив вероятности по ветке вниз, чтобы получить 1 2 1 2⁄ × ⁄ = ⁄ 4 1. Аналогичным образом, чтобы получить частоту победы Джульетты на на рисунке 3.4 (75⁄ 100 3 = ⁄ 4), мы складываем вероятности на концах соответствующих ветвей, чтобы получить 1 4 1 2⁄ + ⁄ = ⁄ 4 3.

Мы показали три альтернативных способа решения "проблемы очков": (а) перечислить все возможные будущие игры, (б) посмотреть, что произойдет при многих повторениях, и (в) вычислить вероятности одной продолженной игры. В каждом случае мы получаем, что вероятность победы Ромео или Джульетты находится в соотношении 25:75. Но это не обязательно говорит нам о том, как должна быть разделена ставка.

Помните, что ожидание случайной величины - это средний результат, взвешенный по соответствующим вероятностям. Когда игра прерывается, Ромео с вероятностью 25 % выигрывает 80 дукатов, а с вероятностью 75 % - 0, поэтому его ожидаемый выигрыш составляет (80 × 25 %) + (0 × 75 %) = 20, в то время как у Джульетты ожидаемый выигрыш составляет 60 дукатов. Паскаль, Фермат и все остальные, работавшие над проблемой очков, неявно предполагали, что справедливо разделить ставку в соответствии с ожидаемым выигрышем каждого участника, и поэтому Ромео должен получить 20, а Джульетта - 60.

Рисунок 3.4

Дерево вероятностей для одного случая прерванной игры Ромео и Джульетты. Джульетта имеет 1 2 1 4⁄ + ⁄ = ⁄ 4 3вероятности победы.

Вопрос определения исхода прерванной игры может показаться довольно узким, но он имеет огромное значение в крупных однодневных турнирах по крикету. Когда игра прерывается из-за дождя или плохого освещения, необходимо определить, сколько пробежек установить в качестве цели для команды соперника. Метод Дакворта-Льюиса-Стерна (DLS), первоначально изобретенный статистиками Фрэнком Даквортом fn6 и Тони Льюисом, устанавливает эту цель как оценку ожидаемого количества пробежек с учетом имеющихся "ресурсов", в смысле калиток и мячей, оставшихся для игры. Метод неоднократно пересматривался, становился все более сложным, и его последствия не всегда ясны . Например, во время однодневного матча между сборными Англии и Вест-Индии в 2009 году в Гайане тренер сборной Вест-Индии отозвал свою команду из-за плохого освещения, считая, что они выполнили задачу Дакворта-Льюиса-Стерна. Но он не учел, что один из игроков выбыл из игры последним мячом, и этот досадный просчет привел к тому, что Англия была объявлена победительницей с отрывом в один мяч. Это должно стать уроком для всех, кто сталкивается с решениями, принятыми по формулам.

Хотя дерево вероятностей на рисунке 3.3 для игры Ромео и Джульетты может показаться интуитивно понятным и довольно простым, оно позволяет раскрыть основные правила вероятности:

Вероятность события - это число от 0 до 1: невозможные события имеют вероятность 0 (например, что победит не Ромео или Джульетта), а определенные события имеют вероятность 1 (что кто-то победит).

Правило дополнения": вероятность того, что событие не произойдет, равна 1 минус вероятность того, что оно произойдет. Например, вероятность того, что Джульетта выиграет, равна 1 минус вероятность того, что выиграет Ромео: 1 - 1 4 3⁄ = ⁄ 4.

Сложение, или правило ИЛИ: сложите вероятности взаимоисключающих событий (то есть они не могут произойти одновременно) , чтобы получить общую вероятность. Например, вероятность выигрыша Джульетты равна 3⁄ 4, поскольку это может произойти через "хвост при четвертом броске" с вероятностью 1⁄ 2, ИЛИ "голова + хвост" с вероятностью 1⁄ 4.

Умножение, или правило AND: перемножьте вероятности, чтобы получить общую вероятность наступления последовательности независимых событий (то есть одно не влияет на другое). Например, вероятность появления головы и головы равна 1 2 1 2⁄ × ⁄ = ⁄ 4 1.

Эти правила означают, что после построения дерева вероятностей

Чтобы получить общую вероятность достижения конца ветки, перемножьте вероятности разветвлений в этой ветке (правило 4).

Чтобы получить общую вероятность события (скажем, победы Джульетты), сложите общие вероятности для каждой из ветвей, ведущих к этому событию (Правило 3).

И это все! Вся теория вероятностей может быть сведена к этим простым идеям. Они окажутся необычайно полезными.

Во многих азартных играх разумно предположить, что повторные наблюдения независимы - результат первого броска монеты не влияет на вероятности, связанные со вторым броском. Но часто нам нужны вероятности, которые меняются в зависимости от предыдущих результатов - это называется условной вероятностью. Например, как знает каждый карточный игрок, после того как из колоды карт выпал туз, вероятность того, что следующая карта будет тузом, уменьшается.

Как и предупреждали, вот и носки.

Мне лень подбирать чистые носки. Однажды утром в ящике лежат вперемешку два фиолетовых и четыре зеленых носка, и я достаю два наугад, не глядя на них. Какова разумная вероятность того, что у меня есть подходящая пара?

Это известно как выборка без замены, поскольку я сохраняю каждый выбранный носок, а не кладу его обратно в ящик, и поэтому вероятности для последующих носков меняются. Мы можем построить таблицу, аналогичную таблице для двух игральных костей Кардано (табл. 3.2), отметив, однако, что некоторые ячейки таблицы невозможны, поскольку один и тот же носок не может быть вытянут дважды. Простое перечисление дает вероятность 7⁄ 15 для пары.

Мы также можем построить дерево вероятностей (рис. 3.5) для возможных исходов. Например, существует 2 6 1⁄ = ⁄ 3 вероятность того, что первый носок фиолетовый; затем остается пять носков, из которых один фиолетовый, поэтому вероятность того, что второй тоже фиолетовый, равна 1⁄ 5. Правило 4 гласит, что для получения общей вероятности каждого типа пары (фиолетовый/пурпурный, фиолетовый/зеленый, зеленый/пурпурный, зеленый/зеленый) мы должны перемножить вероятности по ветвям, получив значения, показанные справа на рисунке 3.5. Таким образом, общая вероятность получить фиолетовый + фиолетовый - это вероятность того, что первый носок будет фиолетовым, умноженная на условную вероятность того, что второй будет фиолетовым, учитывая, что первый был фиолетовым. fn7 Это 2 6 1 5⁄ × ⁄ = ⁄ 230.

Вероятность получить пару равна, согласно правилу 3, вероятности фиолетового + фиолетового плюс вероятность зеленого + зеленого, что составляет 2⁄ 30 + 12⁄ 30 = 14⁄ 30 7 = ⁄ 15, что обнадеживающе совпадает с ответом, полученным в результате исчерпывающего перечисления всех возможностей.

Эти идеи могут показаться довольно простыми, но, как мы увидим, они вызвали немалое замешательство, когда появились в вопросе школьного экзамена.

Таблица 3.2

Все возможные результаты случайного выбора двух носков из двух фиолетовых (обозначенных P1 и P2) и четырех зеленых (G1 - G4). Из 30 возможных исходов, которые считаются равновероятными, 14 приводят к появлению пары носков. Таким образом, разумная вероятность того, что будет выбрана пара, составляет 14⁄ 30 7 = ⁄ 15 =47%.

Рисунок 3.5

Дерево вероятностей для случайного выбора двух носков из ящика с двумя фиолетовыми и четырьмя зелеными носками. Вероятность того, что пара совпадет, равна 2⁄ 30 + 12⁄ 30 = 14⁄ 30.

Ярким солнечным утром в четверг, 4 июня 2015 года, более 100 000 15-16-летних школьников Англии нервно сидели в своих экзаменационных залах, собираясь приступить к экзамену по математике высшего уровня Edexcel GCSE. 4 Они перелистали бумагу и после обычных геометрии и алгебры добрались до вопроса 19, где нашли этот вопрос о сладостях Ханны.

В пакете находится n конфет. 6 конфет оранжевые. Остальные конфеты желтые. Ханна берет случайную конфету из пакета. Она съедает конфету. Затем Ханна берет наугад еще одну конфету из пакета. Она съедает конфету. Вероятность того, что Ханна съест две оранжевые конфеты, равна 1⁄ 3.

(a) Покажите, что n2 - n - 90 = 0. [3 балла].

(b) Решите n2 - n - 90 = 0, чтобы найти значение n. [3 балла].

Многим студентам и их семьям этот вопрос показался не просто сложным, а озадачивающим. В социальных сетях появились такие комментарии, как "Ты, воттттттттт, откуда это вообще взялось?!" и "Почему, Ханна, почему ты должна есть эти сладости?" 5 Петицию с требованием заставить Edexcel изменить границы оценок подписали тысячи человек, а сладости Ханны стали предметом национальных обсуждений, решения которых предлагались на телевидении и в новостных СМИ. Представьте, что вам шестнадцать лет и вы снова в экзаменационном зале - сможете ли вы решить задачу о сладостях Ханны? Пожалуйста, попробуйте, прежде чем читать приведенное ниже решение, в котором используется уровень алгебры, ожидаемый от школьников.

Решение проблемы со сладостями Ханны

Имеется n конфет, 6 из которых оранжевые, поэтому вероятность того, что первая конфета оранжевая, равна 6⁄ n. После того как Ханна съела эту конфету, осталось n - 1 конфет, из которых 5 оранжевых. Поэтому вероятность того, что вторая конфета оранжевая, равна 5⁄ (n-1). Вероятность того, что обе конфеты оранжевые, равна произведению этих вероятностей, которое, как нам сказали, равно 1⁄ 3. Итак,

Перестановка дает

n ×(n-1)= 90

что означает, что

n2 − n - 90 = 0

как требуется для части (a). Для части (b) либо решите квадратное уравнение по стандартной формуле (которая была приведена в экзаменационной работе), либо убедитесь, что уравнение складывается из

(n - 10)(n + 9) = 0.

Чтобы это было верно, n должно быть либо 10, либо -9, а поскольку n должно быть положительным, мы заключаем, что в пакете было n= 10 конфет; 6 оранжевых и 4 желтых.

Это шесть баллов за GCSE по математике!

Все эти примеры основаны на перечислении равновероятных исходов, и некоторые из этих перечислений могут стать сложными. К сожалению, это привело к тому, что способы подсчета числа "перестановок и сочетаний" стали основной и в целом непопулярной частью преподавания вероятности, несмотря на то, что эти методы подсчета не имеют никакого отношения к неопределенности. Однако некоторое знакомство с ними полезно, и поэтому я довольно извинительно включаю некоторые детали.

В качестве простого примера предположим, что я забыл четырехзначный PIN-код своей новой банковской карты, хотя помню, что он состоит из цифр 6, 7, 8 и 9, расположенных в определенном порядке. Я стою перед банкоматом/АТМ. Сколько попыток мне потребуется, чтобы быть уверенным в том, что я ввел правильный код? fn8

По сути, это еще одна проблема "выборки без замены". Первая цифра, которую я ввожу, может быть любой из четырех вариантов; вторая может быть любой из трех оставшихся; третья может быть одной из двух оставшихся; и у меня нет выбора относительно последней цифры. Это означает, что существует

4 × 3 × 2 × 1 = 24

различных чисел, которые я могу ввести - это перестановки из 6, 7, 8, 9, такие как 6789, 6879, 6897 и так далее. Существует полезная математическая нотация для общего числа перестановок: 4!, известное как "факториал 4" - в школе мы называли его "4-крик". Общее правило гласит, что если у нас есть n предметов, то существует n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... 1 порядков, в которых они могут быть расположены; полезная, но, по-видимому, странная конвенция состоит в том, чтобы присвоить 0! значение 1.

Как показывает следующий пример, n-кривые могут быть очень большими.

Возьмите пачку карт и хорошенько их перетасуйте. Кто-нибудь за всю историю получал точно такой же порядок карт после хорошей тасовки?

В результате перетасовки вы получили определенный порядок расположения пятидесяти двух карт в колоде. Из общего правила о перестановках следует, что существует

52 × 51 × ... × 1 = 52!

разных порядков. Если вы начнете вводить это число в калькулятор, оно быстро вырастет до очень большого числа, примерно 8 × 1067 - это 8 с 67 нулями после них. Это немного больше, чем количество атомов в нашей галактике, Млечном Пути. 6

По оценкам, на Земле когда-либо существовало около 100 миллиардов человек, и предположим, что в среднем они прожили семьдесят лет (их библейский срок годности - три десятка лет и десять). Если бы все они ничего не делали в своей жизни, кроме одного тасования каждые десять секунд, это составило бы всего 2 × 1019 перетасованных пачек. Это, конечно, сильно преувеличено по сравнению с реальным количеством тасований в истории, но даже в этом случае вероятность совпадения с вашим личным тасованием была бы всего 1 к 1048.

Поэтому мы можем быть абсолютно уверены том, что именно такая тасовка никогда не делалась раньше. Стивен Фрай в телевизионной программе QI категорически утверждал, что никто и никогда не делал такой тасовки, какую он только что сделал, 7 но мы не можем быть так абсолютно, полностью, логически уверены. Вероятность того, что за всю историю было две одинаковые тасовки, гораздо выше, но она все равно практически равна нулю. fn9

Возможно, вы почувствовали отсутствие у меня энтузиазма по поводу обучения методам подсчета, а не важным идеям вероятности. Но неоспоримо, что подсчет количества способов расположения предметов сыграл фундаментальную роль в развитии теории вероятностей и статистики, а также был жизненно важен при проведении лотереи.

Следующий вопрос относится к 1700-м годам и является частью большого интеллектуального развития, которое влияет на обширные области статистического моделирования сегодня.

Если подбросить честную монету много раз, какова вероятность того, что выпадет определенное количество голов?

Если мы предположим, что каждое подбрасывание независимо и голова выпадает с вероятностью 1⁄ 2, то вероятность появления каждой конкретной последовательности будет одинаковой; например, при четырех подбрасываниях HHHH так же вероятна, как и HTTH, и каждая из них имеет вероятность 1 2 1 2 1 2 1⁄ × ⁄ × ⁄ × ⁄ = ⁄ 1 224 1 = ⁄ 16. Это может показаться не совсем интуитивным, поскольку вторая последовательность может показаться более "типичной", чем та, в которой встречаются только головы, точно так же, как в лотерее номера шаров (27, 22, 6, 48, 50, 7) могут показаться более вероятными, чем (1, 2, 3, 4, 5, 6). Но наша интуиция, как это часто бывает в случае с вероятностью, окажется ошибочной.

Однако если мы просто считаем количество голов как случайную переменную , а не реальную последовательность, то возможные события уже не являются равновероятными. Более вероятно, что мы получим две головы и два хвоста, чем все головы - в этом случае наша интуиция окажется верной. Но насколько более вероятно?

Как и в случае с бросанием Кардано двух костей, если нам нужно получить распределение этой случайной величины, мы должны определить количество способов получить определенное общее число голов. К счастью, это позволяет сделать то, что стало известно как "треугольник Паскаля", , хотя Паскаль признавал, что не он его придумал. Кстати, это прекрасный пример закона Стиглера об эпонимии, который гласит, что все, что названо в честь кого-то, на самом деле не было изобретено этим человеком; естественно, историк статистики Стивен Стиглер признает, что не он придумал этот закон. 8

На рисунке 3.6 показаны первые несколько строк треугольника, который имеет удовлетворительный вид: каждая запись является суммой двух записей над ней.

Например, если мы подбрасываем четыре монеты по одной, то ряд 4 показывает, что существует шестнадцать возможных последовательностей, причем

1 способ получить 0 голов (TTTT)

4 способа получить 1 голову (HTTT, THTT, TTHT, TTTH)

6 способов получить 2 головы (HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH)

4 способа получить 3 головы (HHHT, HHTH, HTHH, THHH)

1 способ получить 4 головы (HHHH)

Рисунок 3.6

Треугольник Паскаля. Ряд n показывает количество способов получить определенное число событий в последовательности из n возможностей.

Поскольку вероятность выпадения каждой конкретной последовательности одинакова, это означает, что вероятность выпадения двух голов в шесть раз выше, чем вероятность выпадения ни одной.

Теперь полезно ввести некоторые обозначения, извините, если они покажутся сложными. r-й элемент в n-й строке треугольника - это число способов выбора r различных элементов из пула n, которое соответствует основной формуле, записываемой как nCr или , где . fn10 Например, если на уроке физкультуры 12 детей стоят у стены на перекладине, и мы хотим выбрать команду из пяти человек, то существует различных команд, которые можно было бы выбрать.

Число голов в последовательности подбрасываний монет соответствует так называемому биномиальному распределению , fn11 . Примеры показаны на рисунке 3.7. Высота столбиков пропорциональна записям в треугольнике Паскаля, которые называются биномиальными коэффициентами.

Эти распределения позволяют оценить вероятность различных отклонений от абсолютно равномерного распределения голов и решек. Например, для 100 подбрасываний существует 6% вероятность получить распределение 60:40, или более экстремальное, в пользу голов или решек.

Эти вычисления могут быть очень неуклюжими, но, к счастью, почти 300 лет назад математик Абрахам де Муавр понял, что для больших n существует хорошее гладкое приближение к биномиальному распределению, как показано на пологой кривой для 1 000 подбрасываний на рисунке 3.7(d). Сначала нам нужно ввести идею дисперсии распределения, которая является одним резюме его разброса. fn12 Гладкое приближение, найденное де Муавром, теперь известно как нормальное или гауссово распределение, и имеет те же матожидание (среднее) и дисперсию, что и биномиальное.

Рисунок 3.7

Биномиальное распределение вероятностей для числа голов при n подбрасываниях честной монеты. При большом n это распределение стремится к гладкой, приблизительно нормальной кривой.

OceanofPDF.com

Кстати, из формулы нормального распределения следует, что вероятность получить одинаковое количество голов и хвостов равна примерно . fn13 Например, при 100 подбрасываниях вероятность получить ровно 50 хвостов и 50 голов равна примерно . Возможно, любопытно, что π, отношение окружности круга к его диаметру, тесно связано с вероятностью получить одинаковое количество голов и решек.