Нулик - мореход

Смелость + находчивость = удача

Наконец-то моя заветная мечта сбылась: я попал на настоящий корабль.

Как вам должно быть известно, я перебрал много профессий - был Нуликом-крановщиком, Нуликом-фокусником, Нуликом-пограничником... Даже Нуликом-профессором! А теперь я Нулик-мореход.

Я очень люблю плавать, да всё как-то не приходилось. Хотя на уроках учительница не раз говорила: "Опять ты, Нулик, плаваешь!" И ставила мне в классном журнале... Ну, что она там ставила, не так уж интересно. То ли она скажет теперь, когда я поплыву по-настоящему, к тому же на Фрегате капитана Единицы!

Да, у меня от счастья так закружилась голова, что я забыл вам представиться. Будем знакомы: Нулик из государства чисел Карликании. Живу я в городе Арабелле, на Восьмой улице, в доме номер восемь, на восьмом этаже, в восьмой квартире. И мама моя, представьте себе, тоже Восьмёрка. Я её очень люблю, и она меня тоже, но почему-то частенько качает головой и вздыхает: "Ох, горе ты моё!" Это она про меня...

А теперь всё по порядку. Буду краток. Я всегда краток. Вас, конечно, интересует, кто помог мне попасть на Фрегат капитана Единицы? Никто! Только смелость. Я очень смелый! Шесть раз поднимал телефонную трубку и всё не решался позвонить капитану. В седьмой раз я смело набрал номер и сказал:

- Здравствуйте, капитан Единица! Правда, что завтра, первого нуляля, вы отправляетесь в плавание? Если так, очень прошу вас взять меня с собой. Я никогда не плавал, а это должно быть весело!

- Во-первых,- ответила трубка,- почему ты звонишь мне ночью? По ночам я сплю. Во-вторых, я и в самом деле завтра, первого нуляля, отправляюсь в рейс. В-третьих, там будет не только весело, но и трудно. В-четвёртых, твоя мама никогда не разрешит тебе броситься в пучину невероятных опасностей, неслыханных лишений и отчаянных схваток! Конечно, кроме опасностей, лишений и схваток, нас ждут волшебные открытия. Но без согласия мамы я ни за что не возьму тебя с собой.

Я не только смел, но и находчив, и потому ответил так:

- Величайший из капитанов, моя мама-Восьмёрка сама - да, сама! - умоляет вас взять меня с собой. Она говорит, что такому опытному, знаменитому, храброму капитану, как вы, она может доверить даже меня. Она просит вас...

- Ну, если мама сама... тогда другое дело! Я счастлив оказать ей эту услугу. Так и быть, назначаю тебя юнгой. Но тебе придётся здорово поработать.. На моём Фрегате лентяев не держат. Спокойной ночи!

- Подождите! Вы не сказали главного: куда мы плывём?

- Это секрет! Но тебе, мой юнга, я его открою. Наш путь лежит через геометрические - треугольные, прямоугольные, шестиугольные, пирамидальные и прочие - моря и океаны. Мы будем качаться на рейдах, проходить заливы и проливы в приливы и отливы, мы увидим гавани, порты, бухты...

- Ух, ты! - выдохнул я и спросил, где стоит Фрегат.

- В бухте А,- ответил капитан.- Да не в букве, а в бухте. И вообще не мешай мне спать. Привет маме.

Одно дело было сделано: капитана я уговорил. Оставались самые пустяки - уговорить маму.

Я её тотчас разбудил. Мама перепугалась, решила, что я заболел, но я выпалил единым духом: что совершенно здоров что. сейчас звонил капитан Единица он не хотел её будить а у него неприятность заболел юнга и капитан умоляет отпустить меня в рейс а я сказал что мама ни за что на это не согласится... Уф!

- Что ты?!- Мама всплеснула руками.- Разве я могу запретить тебе ехать, если сам капитан умоляет? Да, но как я отпущу тебя одного в такое опасное плавание? Что мне делать?

Я дал маме слово, что всё будет о'кэй, и она тотчас же позвонила капитану, снова разбудила его и долго благодарила за заботу, а капитан долго благодарил маму за доверие.

Вот так я и очутился на Фрегате. Я поступил нехорошо? Возможно. Но что поделаешь, наука требует жертв!

Лиха беда начало!

Начинаю свой судовой журнал. Очень прошу вас, читайте его понемногу, по одной главке в день - так, как я его буду писать. А то поспешишь - людей насмешишь!

Итак, внимание! Торжественная церемония отплытия начинается. Вот уже капитан Единица появляется на своём мостике. Вот уже раздаётся его команда: "Отдать концы!" - и... грянула отвальная:

Тут отдали эти самые концы, и Фрегат медленно двинулся вдоль бухты А. Почему эта бухта так называется, мне ещё неизвестно. Пока что осваиваю Фрегат.

Первым делом я увидал пушку. Нечего и говорить, что она мне страшно понравилась. Вот бы пальнуть из неё разок!

У пушки суетились капитан Единица и штурман Игрек. Я спросил, не собираются ли они дать салют? Но капитан только плечами пожал: кто же салютует из телескопа?! К тому же Фрегат не военное, а учебное судно. Да, я и забыл, что здесь придётся учиться...

Я стал допытываться, что это капитан разглядывает в телескоп.

- Телеграфные провода, - отвечал он. - Хочу убедиться, что они не провисли, а остались прямыми линиями, как и положено. Кстати, знаешь ли ты, что такое прямая линия?

Ну, я, конечно, сказал, что прямая линия - это такая линия, которая прямая. Капитан возмутился: не определение, мол, а кит знает что! А штурман прямо зарычал от негодования:

- Разрази меня гром, бом-брам-фок! Прямая линия - это же кратчайшее расстояние между двумя точками!

- Верно, да не совсем,- возразил капитан.- Кратчайшее расстояние между двумя точками - всего лишь отрезок прямой. А прямая тянется в обе стороны бесконечно.

Я взял карандаш и прямо на палубе нарисовал длиннющий отрезок прямой. Но капитан сказал, что моя прямая - вовсе не прямая, а...

Это я и сам видел. Кривой она получилась потому, что палубу качает. А вообще-то я умею рисовать прямые линии. Такие прямые, как верёвки, что натягивают паруса: проведи по ним смычком, и они запоют!

- Бом-брам-фок!- снова загремел штурман.-Во-первых, не верёвки, а ванты. А во-вторых, они слишком толсты, чтобы называться прямыми линиями.

- Видишь ли,- пояснил капитан,- прямые в геометрии - дело особое. Хочешь видеть настоящие геометрические прямые - взгляни на здешние телеграфные провода.

Я взглянул на берег и... никаких проводов не увидел. Тогда капитан велел мне посмотреть в телескоп, и - вот так штука! - между столбами в самом деле были натянуты провода, тоненькие-претоненькие. Капитан сказал, что они вовсе не имеют толщины, только длину, и так тонки, что без волшебного телескопа их не увидишь, разве что вообразишь.

Но вот вопрос: как эти воображаемые провода держатся на столбах? Оказалось, так же, как и любые другие провода - на изоляторах. А изоляторами здесь служат геометрические точки. И вот почему их тоже не видно. Ведь у геометрических или математических точек (что одно и то же) нет ни длины, ни ширины, ни толщины! Они тоже воображаемые.

Штурман покрутил ещё какие-то винтики, и я наконец увидел крохотные точки-изоляторы.

- Здорово вы мне всё это доказали... - начал я, но тут же осекся, потому что случилось что-то непонятное.

Сверкнула молния, загремел гром. Фрегат качнуло так, что я чуть не полетел за борт, а море закипело, и из него вылез бородатый старик в золотой, обросшей водорослями короне. Старик размахивал огромной трезубой вилкой и чуть не угодил мне в глаз.

- Кто нарушает законы бухты А? - грозно завопил он.- Кто тут собирается что-то дока... и так далее?!

Капитан и штурман бухнулись на колени и, перебивая друг друга, заголосили:

- Ваше нептунское величество! Повелитель морей и океанов! Простите его! Он не нарочно!

Здравствуйте! Оказывается, я же ещё и виноват!

- О горе мне и всему подводному царству! - застонал старик.- Неужели этот юнга не знает, что А-сокращённое название бухты Аксиома, где что-либо доказывать строго воспрещается?!

- Ваше величество, могучий царь Нептун! - взывал капитан. - Стоит ли волноваться из-за новичка, который понятия не имеет об аксиоме? Поберегите свои нервы!

Услыхав про нервы, Нептун вдруг притих, задумчиво почесал трезубцем в затылке, потом нерешительно хмыкнул и вдруг... нырнул в воду.

Сообразив, что опасность миновала, я потребовал объяснений, но получил их только через несколько часов, когда злосчастная бухта осталась далеко позади.

Капитан подозвал меня и спросил:

- Станешь ли ты дружить с тем, кто может ни с того ни с сего обидеть собаку? Или мучить кошку?

- Само собой, не стану,- сказал я.

- А придёшь ли на помощь другу, если он попал в беду?

- Что за вопрос? Конечно, приду. Ясно, как шоколад, и не требует доказательств.

- Прекрасно! - обрадовался капитан.- Именно так мы и объясняем значение слова "аксиома". Аксиома - это то, что само собой разумеется и доказательств не требует. Впрочем, учёные говорят немного иначе. По их мнению, аксиомой называется то, что принимается без доказательств.

- Что в лоб, что по лбу! Одно и то же!

- Ошибаешься, - возразил капитан. - По мнению математиков, аксиома не то что бы НЕ ТРЕБУЕТ доказательств - её НЕВОЗМОЖНО доказать. Поэтому и приходится ПРИНИМАТЬ её на веру.

Я спросил: как учёные придумывают эти аксиомы? Оказалось, они их вовсе не придумывают, а принимают после долгих наблюдений и опытов.

- Всякая наука начинается с аксиом, - заключил капитан.

Так вот почему мы начали рейс из бухты А: всё всегда начинается с начала!

Я спросил капитана, какую он знает самую простую математическую аксиому? Он ответил, что все аксиомы простые, и, в свою очередь, пожелал узнать, сколько, по-моему, прямых линий можно провести через две точки. Я догадался, что, наверное, не больше одной.

- Правильно! То, что ты сказал, и есть математическая аксиома,- похвалил меня капитан. (Люблю, когда меня хвалят!)

- Теперь уж вовек не забуду, что между двумя точками можно провести только одну прямую! - хвастливо сказал я.

Но тут снова откуда-то появился штурман Игрек и заявил, что я сказал чепуху. Потому что между двумя точками можно провести не одну, а сколько угодно прямых.

Он взял лист бумаги, поставил по краям две точки и провёл между ними штук пятнадцать прямых! Из чего следует, что говорить надо не "МЕЖДУ двумя точками", а "ЧЕРЕЗ две точки".

Вот как важно подобрать точное слово, если хочешь, чтобы тебя правильно поняли!

Тень на плетень

Денёк выдался что надо! Солнце светит вовсю. Ветер попутный. Паруса раздувает. Фрегат мчится вперёд...

Но самое главное - у меня появился друг. Младший кок. Знаете, кто такой кок? Самая важная персона на корабле! Он готовит для команды всякие вкусные вещи.

Зовут моего нового друга Пи. Странное имя! Наверное, так сокращённо зовёт его мама, а полное имя у него другое. Ну, хотя бы Пиноккио, то бишь Буратино. И так как это одно и то же, то он с одной стороны Пи, а с другой - Бу.

Тут мне пришла в голову блестящая идея: почему бы и мне не обзавестись сокращённым именем? Например, Ну? А что, кажется, неплохо! Обдумаем на досуге...

Между прочим, Пи на Фрегате почти так же недавно, как я. И он здесь тоже работает и учится. Это у капитана Единицы воспитательная система такая... Что ж, будем набираться ума-разума вместе. Так веселей!

Познакомился я с Пи самым приятным образом. Утром он принёс мне в каюту завтрак. Всё моё самое любимое! ПИ-рожки с капустой, ПИрожные с кремом и аПИльсиновый сок. Мы с ним всё это враз уничтожили, подружились навеки и тут же разошлись по своим делам: Пи - вниз, в камбуз, а я - наверх, на капитанский мостик. Нет, не командовать, конечно, а спросить, нет ли каких поручений.

Капитан одной рукой крутил штурвал, другой придерживал торчащую изо рта трубку.

- Зюйд-вест! - обрадовался он. - Ты явился как раз вовремя. Идём мимо архипелага Фигурный. Вернее, не мимо, а внутри.

Действительно, всё кругом настолько кишело островками, что воды почти не было видно. Островки были самых причудливых очертаний, и капитан, огибая их, выделывал такие кренделя, что куда там фигуристам на льду!

- Уж не назван ли этот архипелаг в честь чемпионов по фигурному катанию? - сострил я.

Но капитан сказал, что кое-что общее тут и впрямь найдётся. И очертания островов, и то, что рисуют коньками фигуристы на льду, - всё это одинаково напоминает геометрические фигуры.

- Почему же только напоминает? - не согласился я.- Вот, например, этот островок - самый настоящий треугольник.

- Верно, - кивнул капитан, - но только наполовину. Раз треугольник настоящий, значит, уже не геометрический. Геометрические фигуры, так же как и геометрические линии и точки,- понятия воображаемые. Они не имеют толщины.

- Понятно! - вздохнул я. - Значит, увидеть геометрическую фигуру без вашего волшебного телескопа нельзя.

- Как сказать, - хитро улыбнулся капитан. - Точку и линию, в самом деле, без волшебства не увидишь, а вот фигуру...

Капитан достал сигнальный треугольный флажок, снял его с древка и велел мне крепко держать его за два конца, а сам ухватился за третий и сильно натянул.

- Вот тебе и геометрический треугольник! - победоносно заявил он.

- Э, нет, - энергично запротестовал я, - меня не проведёшь! У этого флажка толщина хоть и маленькая, а всё-таки имеется.

- Не туда смотришь! - усмехнулся капитан. - Ты не на флажок - на палубу смотри.

И правда: на ярко освещённой палубе чернела чёткая треугольная тень от натянутого флажка. Я только в затылке почесал - как Нептун!

- Так-то! - засмеялся капитан. - Фигура есть, а толщины нет.

Тут он выдернул у меня из рук флажок, и воображаемый геометрический треугольник, будто корова языком слизала!

- Выходит, геометрия - только тень всего, что нас окружает, - заключил я.

- Ну, это ты, брат, хватил! Это уж не обобщение, а упрощение.

Тут капитан резко крутанул штурвал, и, надо сказать, вовремя: ещё миг - и мы бы налетели на очередной островок.

- Вот что значит два дела делать: вести корабль и языком болтать, - смутился он. - А островок, между прочим, прелюбопытный. Называется Прямоугольный треугольник. Это потому, что один из углов у него прямой.

- А другие - кривые? - съязвил я.

- Кит знает, что ты мелешь!- проворчал капитан. - Углы бывают прямые, острые и тупые.- При слове "тупые" он выразительно посмотрел на меня.- Острый угол всегда меньше прямого, а тупой - больше. Углы принято измерять в градусах или ещё в...

Я перебил его, вспомнив, что температуру тоже измеряют в градусах. Но он сказал, что никакой путаницы быть не может. Одно дело градусы температурные, другое - градусы угловые.

Слово "градус" в переводе с латинского означает "ступень" или "шаг". Когда у больного повышается температура, ртуть в градуснике поднимается вверх по шкале, как по ступенькам лестницы. А вот стрелки часов - те шагают по угловым градусам. Например, кончик секундной стрелки за один полный оборот, то есть за 60 секунд, описывает окружность и отмеряет при этом угол в 360 градусов, что записывается так: 360°. Значит, за секунду стрелка пробегает 6 градусов (360:60=6). За ту же секунду минутная стрелка отмеряет угол в 60 раз меньший - ведь в минуте 60 секунд. Ну, а часовая стрелка движется ещё медленнее: в 12 раз.

Капитан вынул часы.

- Три часа, - сказал он. - Как раз то, что нам надо. В это время угол между часовой и минутной стрелками равен 90 градусам, а именно это и называется прямым углом. Стрелки в этом случае располагаются, как принято говорить, взаимно перпендикулярно. Точь-в-точь как два берега этого Прямоугольного острова, которые примыкают к прямому углу. Их, между прочим, называют катетами, а третий берег, расположенный против прямого угла, - гипотенузой. Понятно?

- В общем, да,- важно сказал я.- Но один вопросик всё же имеется. Почему окружность делится на 360 градусов? Почему не на 425? Или 621?

- Так уж вышло, - хмыкнул капитан.

- Но почему? - не отставал я.

Капитан погладил меня по голове и сказал, что это разговор особый.

- Давным-давно, - начал он, - в Древнем Вавилоне, лет этак пять тысяч тому назад, а может, и ещё раньше - у древних шумеров (была когда-то и такая народность) счёт вели не по десяткам, как у нас, а по шестидесяткам. Вот оттуда-то и пошло деление окружности на 360 градусов. Ведь 360 не что иное, как 60, повторённое 6 раз. Но самое любопытное дальше. Знаешь ты, что такое квадрат? Разумеется, знаешь, но на всякий случай напомню. Квадрат - прямоугольник, все стороны которого одинаковы. Так вот, как ты думаешь, чему равен каждый из углов квадрата?

- 90 градусам, - выпалил я. - На то он и прямоугольник.

- Ну, а сумма всех четырёх углов квадрата?

- Трёмстам шестидесяти градусам.

- Иначе говоря, числу градусов в окружности.

- Любопытно! - задумался я.- А вот чему равна сумма углов этого прямоугольного острова, натощак не подсчитаешь. Один-то угол у него прямой, а два других невесть какие! Ведь у разных прямоугольных треугольников они могут оказаться любыми.

- Любыми, да не совсем, - сказал Единица. - Каждый из двух других углов должен быть непременно острым, то есть меньше девяноста градусов, потому что сумма всех трёх углов всегда равна ста восьмидесяти градусам.

- Ну да?! - удивился я. - У всех прямоугольных треугольников?

- Не только у прямоугольных. Ста восьмидесяти градусам равна сумма углов всякого треугольника.

Ну и дела! Сговорились они, что ли? Я уж приготовился к очередному вопросу, но тут вахта капитана кончилась, и он удалился в свою каюту, а я побежал к Пи, чтобы поделиться с ним своей потрясающей новостью.

Но Пи сказал, что если это и новость, так только для меня. Лично он узнал об этом много раньше. Ещё вчера!

Ну, я слегка загрустил, но он тут же развеселил меня, сообщив, что с завтрашнего дня мы с ним будем узнавать все потрясающие новости вместе.

Вдоль берега точных доказательств

Управившись со своими делами, мы с коком вышли на палубу. Капитан был уже там и рассматривал что-то в бинокль. Зюйд-зюйд-ост! - приветствовал он нас.- Фрегат идёт вдоль Берега Точных Доказательств. Здесь надо вести судно особенно осторожно: всюду подстерегают подводные камни. Один неумелый манёвр, и можно утонуть в море Ошибок. Впрочем, штурман Игрек моряк опытный...

-Хотел бы я знать, что это такое - Берег Точных Доказательств? - шепнул я на ухо Пи.

Но капитан всё равно услышал и протянул нам что-то вроде значка. Оказалось, однако, что это не значок, а герб Берега Точных Доказательств. На нём были всякие геометрические фигуры и надпись: "Слава точным и кратким доказательствам!"

Да, это вам не бухта Аксиома, где ничего доказывать нельзя! Здесь не только можно, а и нужно. Но капитан сказал, что без аксиом и тут не проживёшь. Потому что без них ничегошеньки не докажешь. Ни одной теоремы!

Опять новое слово! Теорема. Мы спросили, что это такое, и узнали, что "теорема" - слово греческое, и означает оно "обдумывание". Чтобы доказать теорему, надо много думать.

-В таком случае доказывать теоремы - дело трудное,- сказал я.

Трудное,- согласился капитан,- но вполне возможное. Если только думать логически, то есть последовательно. Умение рассуждать последовательно необходимо каждому, а математику - особенно.

Мы попросили капитана доказать какую-нибудь теорему. Он нарисовал два прямоугольных треугольника (теперь-то я знаю, что это за штука!) и велел запомнить, что точки, где сходятся стороны треугольника, называются вершинами. Таких вершин у треугольника, само собой разумеется, три. Он обозначил их латинскими буквами. В одном треугольнике- большими (А, В, С), в другом - маленькими (а, в, с).

-Эти два треугольника замечательны тем, что меньшие и большие их катеты одинаковы по длине. Требуется доказать, что в этом случае треугольники конгруэнтны.

Как он сказал? Кон-гру... Ну и словечко!

Мы с Пи так хохотали, что чуть в воду не свалились!

-В чём дело? - растерялся капитан.- По-моему, я не сказал ничего смешного.

Лицо у него было такое обиженное, что нам сразу расхотелось смеяться, зато очень захотелось узнать, что за слово такое.

Тут капитан подобрел и спросил, известно ли нам, что такое равенство двух фигур?

- Уж конечно, известно,- бодро заявил я.- Это когда две фигуры равны между собой.

Тут я с капитаном поменялся ролями: на сей раз хохотал он, а обижался я. Но потом он признал, что, в общем-то, объяснение у меня правильное. Только вместо "равны между собой" теперь говорят коротко и ясно - конгруэнтны.

Вот так коротко! Вот так ясно! Да этакого натощак и не выговоришь!

Но капитан сказал, что это разве с непривычки не выговоришь, а вообще-то слово как слово. По-латыни - "совпадение". Если две геометрические фигуры или линии при наложении друг на друга полностью совпадают, значит, они конгруэнтны.

После этого спорить было бесполезно, и мы перешли к теореме.

- Займёмся доказательством,- предложил капитан.

- Ну, это просто,- сказал Пи.- Вырежем из бумаги два прямоугольных треугольника, у которых меньшие и большие катеты одинаковы, наложим один на другой, и если треугольники совпадут, стало быть, они конру... конгруэнтны.

- Не доказательство, а кит знает что! - проворчал капитан.- Во-первых, нам может только показаться, что треугольники одинаковы. Ведь ножницы, циркуль, линейка, да и глаз человеческий - всё это инструменты далеко неидеальные. Во-вторых, если даже допустить, что треугольники действительно одинаковы и совпали в точности, то мы докажем лишь то, что совпали именно эти два треугольника. А теорема должна быть справедливой для всех прямоугольных треугольников с соответственно конгруэнтными катетами.

- Что же делать? - растерялся я.

Что? - Капитан прищурился и пососал свою трубку.- Прежде всего, отказаться от бумажных треугольников и заменить их воображаемыми. Ну и, конечно, рассуждать логически. Итак, у нас есть два воображаемых треугольника, у которых катеты соответственно конгруэнтны. Допустим, что я мысленно накладываю вершину прямого угла одного треугольника на вершину прямого угла второго. То есть точку А на точку а. А потом накладываю друг на друга два конгруэнтных катета. Совпадут концы этих катетов - точки В и в?

- Совпадут,- ответил Пи.- Ведь катеты конгруэнтны…

- Верно. Теперь допустим, что два катета крепко-накрепко склеились. Належатся друг на друга два других катета?

- Ясно, належатся,- ответил я.- Углы между катетами у обоих треугольников прямые - по 90 градусов.

- И длины у катетов тоже одинаковые,- добавил Пи.

- А вы делаете успехи,- заметил капитан.- Итак, логика помогла нам выяснить, что и два других катета обоих треугольников накрепко склеились. Остаётся установить, совпали ли гипотенузы.

Мы с Пи понимали, что гипотенузы обязательно совпадут, но капитан потребовал, чтобы мы это до-ка-за-ли! Да, нелёгкая это работа - из болота тащить бегемота! Хорошо ещё, капитан задал наводящий вопрос: все ли вершины треугольника совпали?

- Все! - заявил Пи.

- Значит,- сообразил я,- совпали и гипотенузы ВС и вс!

-Ой, ли? А из чего это следует? - прищурился капитан. Из чего? Ах я чудак этакий! Да из аксиомы! Из аксиомы о том, что через две точки можно провести только одну прямую!

-Логично,- кивнул капитан.- Теперь теорема доказана: треугольники в точности наложились один на другой. Стало быть, они кон-гру-энт-ны!

-Ура! Да здравствуют аксиомы! - закричали мы с коком. Вот какая у нас с ним конгруэнция!

День рождения капитана

За утренним кофе Пи с важным видом перелистал мой судовой журнал и заявил, что хотя и неплохо написано, всё же он будет меня ре-дак-ти-ро-вать. Это значит, что писать мне придётся не так, как хочу я, а так, как хочет он.

Я было заартачился, но Пи сказал, что так уж полагается и что делает он это из самых лучших побуждений, потому что иначе мои писания никто издавать не станет.

- Посмотри только, что у тебя нацарапано: аПИльсиновый сок.

- Ну и что?

- А то, что нет слова "аПИльсиновый". Есть "аПЕльсиновый".

- Зато "апильсиновый" смешнее.

- Это по-твоему. А по-моему, просто неграмотно.

- А по-моему, у тебя нет этого... как его... чувства юмора!

- Это у меня нет чувства юмора? Нет, это у тебя нет чувства юмора...

Слово за слово - мы поссорились.

И вдруг раздался отчаянный треск. Кораблекрушение?! Ничего подобного! Трещали бамбуковые заросли на островке, мимо которого проходил наш Фрегат. Они здесь были необыкновенно густые и высокие, и островитяне срубали их маленькими топориками.

- Идём мимо Бамбукового острова,- сказал Пи, сразу позабыв о нашей ссоре, и безо всякой связи добавил: -Отсюда вытекает, что сегодня день рождения нашего капитана.

- Почему это день рождения вытекает из острова? - удивился я.

- Да потому, что рождение своё капитан Единица отмечает не по календарю, а в тот день, когда Фрегат проходит мимо Бамбукового острова.

- Ну да?! А ты откуда знаешь?

- От штурмана Игрека. На этом острове бамбук -тоже своего рода единица. Местная единица измерения длины. Вроде нашего метра.

- Ну и что?

- Как ты не понимаешь! - рассердился кок.- Капитана-то нашего как зовут? Единица. Стало быть, он бамбуковой единице что-то вроде тёзки. Только та чуток подлиннее будет. Когда-то древние бамбукяне подобрали небольшой такой бамбуковый стебелёк, метров с пять, и приняли его за эталон. И теперь он хранится у них в музее имени капитана Единицы.

- Таким бамбучищем мало что измеришь,- заметил я.-А единицы поменьше у них тоже есть?

- Ага. Сотая часть бамбука - бука, а десятая часть буки - минибука.

- Совсем как сантиметр и миллиметр,- сообразил я.-Скажи, а ты не знаешь, с чего это бамбукяне на берегу так суетятся? Топливом, что ли, запасаются?

- Ну, это, говорят, сложная история,- отмахнулся Пи.- Так что спроси лучше у капитана. Да смотри не забудь его поздравить.

- За кого ты меня принимаешь? - гордо возразил я.

Только мы вышли из каюты, как на острове грохнул салют. Островитяне побросали свои топорики и приветствовали капитана радостными возгласами. А капитан, в новенькой, с иголочки, парадной форме, приложил руку к козырьку своей фуражки и засиял, как медная пуговица.

Потом запустили фейерверк. Вот было красиво! А когда всё кончилось, я таки поздравил капитана с днём рождения и попросил рассказать про Бамбуковый остров.

И что бы вы думали? Оказалось, у острова этого тоже форма прямоугольного треугольника! Но самое интересное, что стороны его равны трём, четырём и пяти бамбукам. А 3, 4 и 5-числа весьма примечательные. Ведь это единственные последовательные натуральные числа, которые могут быть сторонами прямоугольного треугольника!

И тут капитан рассказал нам одну правдивую легенду.

Случилось это давным-давно, когда на Бамбуковом острове было всего-навсего три жителя: мама и два сына. Маму звали Гипотенузой, а сыновей - Катетами: старшего Катетом- большим, а младшего - Катетом-маленьким.

Все трое очень любили плавать. А чтобы дети не заплывали чересчур далеко, мама раздобыла канат и отгородила им в море квадратный участок возле самого длинного берега - того, что в 5 бамбуков длины. И так как каждая из четырёх сторон этого квадрата была равна пяти бамбукам, площадь для плавания оказалась вполне подходящей: 25 квадратных бамбуков. Ведь площадь квадрата равна произведению двух его сторон. А пятью пять - двадцать пять!

И вот однажды мама отправилась путешествовать, а сыновей оставила дома. Только она уехала - те сразу стали ссориться. Каждый говорил, что другой мешает ему плавать стилем брасс. И решили они друг от друга отгородиться - разделить плавательный участок на две части. Такие уж они были нехорошие, эти Катеты.

Ну, Катет-большой достал новый канат, отмерил 4 бамбука по берегу, столько же отложил на одной стороне прежней канатной ограды и отделил себе славный участок в 16 квадратных бамбуков (4 x 4 = 16). А оставшиеся 9 квадратных бамбуков (25 - 16 x 9) отдал брату.

Очень скоро Катет-маленький понял, что его обделили, потому что брату достался удобный квадратный бассейн, а ему два каких-то закутка, где ни кролем, ни брассом не развернёшься.

Дело дошло до драки, да хорошо, мама вернулась вовремя. Она отшлёпала обоих, выкинула лишние канаты в море и сказала, что теперь весь этот участок оставляет только для себя, а сыновьям отделила два новых, тоже квадратных, участка. Один примыкал к берегу длиной в 4 бамбука, другой - к берегу длиной в 3.

Так каждый из братьев получил по собственному участку для плавания: старший - площадью в 16, младший - в 9 квадратных бамбуков. И оказалось, что площади участков обоих братьев в сумме равны маминому участку:

3 х 3 + 4 х 4 = 5 х 5.

Теперь все купались, не мешая друг другу, а потом шли на берег греться и пить кофе. Вот и вся легенда!

Остаётся добавить, что описанное в ней примечательное свойство любого прямоугольного треугольника называется теоремой Пифагора - по имени древнегреческого математика, который вывез эту теорему из Египта. И звучит теорема так: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

- А ещё эту теорему называют "пифагоровы штаны",-добавил Пи.- Наверное, потому, что рисунок её напоминает плохо скроенные трусики.

- Плохо скроены, да крепко сшиты,- заметил капитан.

- Недаром они так долго служат людям.

- Любопытная легенда,-сказал я,- но всё это дела давно минувших дней. А я хочу знать, что происходит на острове сейчас.

Капитан, однако, пропустил мой намёк мимо ушей. Видимо, ему показалось, что он и так достаточно поработал языком в день своего рождения. Так что ответ на свой вопрос я получил только на следующее утро. К тому же не от капитана, который всё ещё отдыхал после вчерашнего банкета, а от штурмана Игрека.

Бег на длинную дистанцию

Рассказ штурмана Игрека начался знаменитым восклицанием "Бом-брам-фок!" и был так обильно сдобрен морскими словечками, что пришлось переводить его с морского на общедоступный. Как я с этим справился, судите сами.

Прошли годы. Много правителей сменилось на Бамбуковом острове. И вот появился нынешний - самый любознательный, но и самый нетерпеливый, по прозвищу Хочувсёзнатьскорейскорей.

День-деньской сидит он в своём дворце, построенном на самой вершине прямого угла, читает учёные книги, придумывает мудрёные задачи и сам же их решает. А верный его слуга с чудным таким именем Периметр три раза на дню обегает остров и докладывает правителю, что новенького.

Периметр - бегун на славу! Фигура его то и дело мелькает перед глазами бамбукян.

- Аи да Периметр! Что за Периметр! - слышится повсюду.

Жители так привыкли к этому имени, что незаметно для себя стали называть периметром не только бегуна, но и путь, который он проделывает вдоль берегов треугольного острова, то бишь сумму длин трёх его сторон, а там и сумму сторон всякого многоугольника: квадрата, ромба... Словом, любого.

Как уже было сказано, Периметр бегун хоть куда! Но нетерпеливому Хочувсёзнатьскорейскорей всё кажется, что он движется чересчур медленно. Он не раз пытался убедить его бегать быстрее, но из этого ничего не вышло. И тогда Хочувсёзнатьскорейскорей придумал вот что. Если нельзя сократить время пробега, стало быть, надо сократить путь.

- Да, да,- заявил он, - остров надо перестроить. Да так, чтобы периметр у него стал меньше. Но при этом владения мои не должны уменьшиться не то что на одну квадратную буку, но даже на минибуку! Посему объявляю всебамбуковый конкурс по реконструкции моего острова. И прошу также учесть, что треугольная форма мне надоела и не худо бы заменить её прямоугольной. Итак, думайте!

- Ну и что же, - спросил Пи, когда Игрек умолк, - додумались?

- Где там! - вздохнул штурман. - Всё ещё ищут подходящую длину сторон.

- Так вот почему они всё время рубят тростник! - догадался я и тут же закричал: - Идея! Немедленно включаемся во всебамбуковый конкурс! Предложение первое: стороны нового прямоугольного острова должны быть равны одному и двум бамбукам. При этом периметр прямоугольника получится 6 бамбуков ( 1 + 2 + 1 + 2 = 6 ), а это ровно вдвое меньше нынешнего периметра острова, который равен двенадцати бамбукам ( 3 + 4 + 5 = 12 ).

- Ура! - завопил кок.- Премия! Требуем премии!

- Ишь чего захотели! - ухмыльнулся Игрек.- Обойдётесь и без премии.

- Это почему же?

- Да потому, что вы не учли самого главного: после реконструкции площадь острова должна остаться неизменной.

- А чему она равна, площадь острова? - спросил я упавшим голосом.

- С того-то и надо было начинать! - укоризненно покачал головой штурман. - Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

- Ну, это ещё надо доказать,- возразил я.

- С нашим удовольствием, бом-брам-фок! - гаркнул штурман. - Возьмём два одинаковых прямоугольных треугольника...

- Вы хотите сказать - конгруэнтных, - важно перебил я.

- Ясное дело, конгруэнтных, - проворчал тот. - Итак, стало быть, возьмём два конгруэнтных прямоугольных треугольника и приложим друг к другу так, чтобы совпали их гипотенузы. Что получим?

- Прямоугольник, что же ещё? - сказал Пи. - А площадь прямоугольника будет равна произведению двух его сторон: 3 x 4 = 12. В таком случае, площадь каждого из двух треугольников равна половине от двенадцати, то есть шести. Что и требовалось доказать!

Но тут, к великому нашему огорчению, оказалось, что площадь предложенного мною прямоугольника со сторонами 1 и 2 равна вовсе не шести, а всего-навсего двум квадратным бамбукам. Потому что 1 x 2 = 2. Стало быть, площадь не осталась неизменной, а уменьшилась в три раза.

- Что ж,- уныло вздохнул я,- придётся нам поискать другой прямоугольник. Такой, чтобы площадь его была конгруэнтна площади острова.

- Бом-брам-фок! - вскипел штурман.- Что он такое говорит, этот невежда? Какая может быть конгруэнтность у прямоугольника и треугольника? Равновеликость - дело другое. Но конгруэнтность - никогда!

Вот так история! Его послушать, так разные по форме фигуры конгруэнтными быть не могут, а равновеликими сколько угодно. Как же так?

Но Игрек объяснил, что, говоря о равновеликости, мы имеем в виду не формы фигур, а всего лишь величины их площадей. А величины эти могут быть одинаковыми и у разных, неконгруэнтных фигур...

После этого мы с Пи без труда нашли прямоугольник, равновеликий острову. И даже не один, а целых три: со сторонами 1 и 6; 1,5 и 4; 2 и 3. При этом площадь каждого равна шести квадратным бамбукам.

Оставалось выбрать самый выгодный из трёх, с наименьшим периметром. Стали проверять. У первого периметр оказался равен четырнадцати ( 1 + 1 + 6 + 6 ), у второго - одиннадцати ( 1,5 + 1,5 + 4 + 4 ), у третьего - десяти ( 2 + 2 + 3 + 3 ).

Ну, первый прямоугольник ни в какие ворота не лезет - его периметр больше, чем у острова. Зато у второго - поменьше, а у третьего ещё меньше двенадцати: всего лишь десять бамбуков.

На радостях мы сплясали, и Пи потребовал, чтобы Игрек немедленно отправил наше решение в конкурсную комиссию. Но тот только хмыкнул: а ну как найдётся равновеликий прямоугольник с ещё меньшим периметром?

- Не может быть! - вскипел я.

- А вот и может,- сказал штурман.- Да будет вам известно: из всех равновеликих прямоугольников . наименьший периметр у квадрата.

Мы было снова обрадовались, но оказалось, найти сторону этого квадрата - дело нелёгкое. Попробуйте-ка подобрать такое число, чтобы оно, умноженное само на себя, давало в ответе шесть!

Вот если бы площадь была равна, скажем, двадцати пяти, задача решалась бы просто. Тогда сторона квадрата должна быть равна пяти ( 5 x 5 = 25 ). А тут - голову сломаешь!

Вот бамбукяне её и ломают. Потому что нет на свете такой единицы длины, которой можно измерить нужную им сторону квадрата. Как говорят математики, сторона этого квадрата несоизмерима ни с какой единицей длины, иными словами - иррациональна. А бамбукяне об иррациональных числах понятия не имеют. И мы с коком тоже.

Так что пришлось нам от участия в конкурсе отказаться.

Но тут штурман предложил нам другую задачу: как лучше разрезать остров, чтобы превратить его в прямоугольник со сторонами в 2 и 3 бамбука, не уменьшив при этом его площади ни на одну минибуковку?

На сей раз нам повезло: как ни трудна была задача, мы её решили.

Прежде всего нарисовали прямоугольный треугольник с катетами в 3 и 4 сантиметра (сантиметры как-никак удобнее бамбуков). Гипотенуза, само собой, оказалась равной пяти сантиметрам. Затем, не трогая катета, равного трём сантиметрам, отложили на другом катете 2 сантиметра от вершины прямого угла, то есть половину этого катета. Два эти отрезка (2 и 3) приняли за стороны прямоугольника и построили его так, как показано на рисунке.

Оказалось, что кусочек, который вышел при этом за треугольник, в точности конгруэнтен тому кусочку, который мы от этого треугольника отрезали (на рисунке оба эти кусочка заштрихованы).

Вот и всё. И волки сыты, и овцы целы. А почему заштрихованные кусочки конгруэнтны, это уж докажите сами.

Заодно поразмыслите и над тем, как разрезать треугольный остров, чтобы превратить его в прямоугольник со сторонами 1 и 6 бамбуков.

Засим, как говорит капитан, разрешите пожелать вам удачи и распроститься до завтра.

У праздничка

Проснулся я рано и стал думать, что бы такое выкинуть? И представьте себе, придумал. Решил устроить себе день рождения. Почему это капитану можно, а мне нельзя?

Перво-наперво я отправился в радиорубку и сам отстукал телеграмму: "Дорогая мама, поздравляю тебя с днём моего рождения. Подарки посылай на Фрегат. Твой Нулик".

Так,- сказал я сам себе.- Одно дело сделано. Остаётся известить команду Фрегата.

Команда явилась в полном составе, сверкая улыбками и надраенными пуговицами, а капитан от имени всех торжественно потряс мне руку и объявил, что сегодня я совершенно свободен и могу делать всё, что угодно.

Тут я срочно вспомнил, что мне давно уже угодно по лазать по мачтам, и мы с Пи отправились на палубу.

Мачта у самого носа Фрегата называется фок-мачтой. Мы на неё не полезли, потому что есть ещё грот-мачта. Она самая высокая и находится как раз посередине судна. А наверху у неё маленькая площадочка со странным названием "марс".

С марса, говорят, очень красивый вид, но мы туда тоже не полезли - всё-таки страшновато! А мачту на корме называют бизанью. Она низенькая, и потому лазить на неё не интересно.

В общем, мы остались на палубе. В конце концов, здесь тоже неплохо и вполне прилично видны все паруса.

Между прочим, у каждого паруса своё имя. Чем выше парус, тем название у него длиннее. Это потому, что паруса прикрепляются к мачтам, а мачты состоят из нескольких частей. И каждая называется по-своему.

Первый ярус мачты называется просто мачтой, второй -брам-стеньгой, а третий - бом-брам-стеньгой.

На первый взгляд, названия нелепые, но на самом деле очень даже лепые, они помогают узнать, на какой мачте и на каком ярусе укреплён парус.

Вот, например, грот-бом-брам-стаксель означает, что па рус по имени стаксель находится на грот-мачте, на её бом-брам-ярусе, то есть на самом верху.

Паруса здесь и треугольные, и квадратные, и ещё какие-то... Словом, всякие геометрические фигуры - от математики даже и в выходной никуда не денешься!

Стаксель, например,- парус треугольный: он висит впереди грот-мачты. А есть ещё другой треугольный парус -топсель. Его, видите ли, почему-то вешают всегда вверх ногами, а головой - то есть вершиной - вниз.

Вот сколько я уже здесь всего узнал. Придётся-таки идти в капитаны. Как пить дать! Не пропадать же моим знаниям зазря.

Ну, пока мы с Пи развлекались и распевали на разные голоса "стаксель-топсель, топсель-стаксель", Фрегат наш не заметно подошёл к рандеву - так по-нашему, по-морскому, называется место, где условились встретиться суда.

Здесь уже стояла шхуна. Шхуна - это корабль такой. Только у неё не три мачты, как у нас, а семь, и все до одного паруса косые.

Послышались приветственные гудки. Сигнальщики на обоих судах замахали флажками.

Вскоре к Фрегату подошла шлюпка с гостями. Гости с капитаном шхуны во главе поднялись на палубу, где уже стоял наш капитан, и оба капитана долго трясли друг другу руки. Потом все ушли в кают-компанию, а мы с Пи чуть замешкались, чтобы обменяться впечатлениями.

И вдруг...

И вдруг кто-то схватил меня за ногу. Потом за другую. Ну, я упал и, конечно, очень рассердился. А когда встал, увидел двух презабавных мартышек, и злости моей как не бывало!

Мартышки стали меня теребить, залезать мне пальцами в уши и в нос... Я смеялся, отбивался... А потом схватил их на руки и решил ни за что с ними не расставаться!

Но тут вернулись наши гости, и капитан Единица при казал мне немедленно отдать обезьянок хозяевам. Я уже готов был разреветься, но капитан шхуны объявил, что привык дарить друзьям то, что пришлось им по вкусу и отдал мне обезьянок насовсем.

Я так обалдел, что на радостях забыл поблагодарить. Хорошо, капитан Единица потихоньку напомнил! Я спохватился и благодарил так долго, что теперь уж пришлось меня останавливать.

А тут ещё Пи во всеуслышание заявил, что подарок кстати, потому что сегодня день моего рождения. И все опять стали меня поздравлять, а капитан шхуны - тот даже отдал мне честь и произнёс юбилейную речь. Очень, между прочим, интересную. До того интересную, что я запомнил её слово в слово.

Дорогой Нулик! - сказал он.- Мы счастливы, что день твоего рождения совпал с нашим рандеву. Это знаменательно. Ведь мы возвращаемся из далёкой Индии, которая справедливо считается родиной Нуля!

Рад отметить, что среди всех десяти цифр нашей десятичной системы счисления Нуль - едва ли не самая важная. Напрасно древние римляне говорили, что из ничего ничего и не выйдет. Достаточно познакомиться с Нулём, чтобы понять: из НИЧЕГО получается НЕЧТО. Недаром сказал один поэт: "Из ничего подобного выходит кое-что!"

Но не надо забывать, что Нуль не только цифра. Нуль ещё и число, притом с удивительными свойствами.

Нуль смел и справедлив. Что сталось бы без него с положительными и отрицательными числами? Они бы давно взаимоуничтожились! Хорошо, что Нуль стоит между ними, как верный страж мира, и, подобно зоркому пограничнику, храбро разводит их полки.

Нуль проворен и сообразителен. Без Нуля любая счётная быстродействующая машина мгновенно превращается в без действующую. Вы спросите, почему? Да потому что работать ей помогают всего две цифры, два незаменимых числа: Единица (тут оратор низко поклонился нашему капитану) и Нуль (теперь он поклонился мне). Единица означает "да", а Нуль-"нет". И этого, оказывается, вполне достаточно, чтобы решить самую сложную задачу. Да здравствует Нуль!

Но Нуль не только смел, справедлив и проворен. Нуль - грозная сила. Он запросто увеличивает и уменьшает любое число вдесятеро. Ему ничего не стоит уничтожить какое угодно большое число, приблизясь к нему со знаком умно жения. Ибо все знают, что всякое число, помноженное на нуль, тоже становится нулём.

А что станет с числом, к которому приблизится Нуль со знаком деления? Всякое, даже самое малое число, делённое на нуль, непременно превратится в бесконечно большую величину. А бесконечно большие величины бесконечно растут. И вот почему деление на нуль строжайше запрещено.

Но я ещё не кончил! Смелый, справедливый, проворный и грозный Нуль умеет и пошутить. Трудно себе представить, что произойдёт, если нуль вздумает разделиться на нуль. В этом случае может появиться любое - слышите? - любое число! Определить значение такого числа не так-то просто. Вот почему такие величины в математике называются неопределённостями.

Я мог бы ещё долго перечислять замечательные качества нашего дорогого юбиляра. Но время моё истекло. А потому ещё раз провозглашаю: да здравствует Нуль! Ура!

- Ура! - закричали все и бросились меня качать.

Я взлетал так высоко, что в полном смысле слова чувствовал себя на седьмом небе от счастья.

Но после удачи всегда жди огорчений...

Первое огорчение исходило от капитана Единицы. Он сказал, чтобы я не слишком-то зазнавался, потому что речь капитана шхуны, собственно говоря, относится не ко мне лично, а к нулю вообще.

Но ещё больше огорчила меня моя дорогая мама-Восьмёрка. Среди всеобщего ликования послышался голос из репродуктора: "Радиограмма юнге Нулику. Нулик, не валяй дурака, твоё рождение через три месяца. Целую. Мама".

Все так и застыли с открытыми ртами, а я чуть не сгорел от стыда и со всех ног бросился в свою каюту.

Вот какой я сам себе праздничек устроил. Хоть больше никому на глаза не показывайся! И не показался бы, если б не Пи.

Вечером он как ни в чём не бывало принёс мне ужин. Мы с ним поболтали о том о сём, но о недавней истории он и словом не обмолвился.

А потом он сбегал за обезьянками и сказал, что наконец-то придумал, как их назвать. Стаксель и Топсель - вот как. А сокращённо - Стакс и Топе. Они ведь умеют висеть вниз головами не хуже иных парусов!

Отличные имена, правда? Не знаю, как вам, а мне они до того понравились, что я почти забыл о своём позоре и даже рискнул выйти на палубу. Ну и неудобно было - жуть! К счастью, все, так же как и Пи, сделали вид, будто ничего не случилось. И скоро я уже носился по Фрегату и куролесил вовсю.

Вот что значит настоящая дружба!

Бесподобные отношения

Ужасно не люблю числа семь. Да и за что его любить?

Судите сами: чуть я поторопился, а мама сейчас же: "Нулик, семь раз примерь, один - отрежь!" Или стоит мне забросить шахматы и увлечься теннисом, а мама тут как тут: "Нулик, у тебя семь пятниц на одной неделе!" Так мне эта семёрка опротивела - сил нет!

Вот и сегодня - взглянул на календарь и ахнул: седьмое нуляля! Стало быть, жди какой-нибудь пакости. Но никакой пакости не вышло. Наоборот: день выдался очень весёлый.

Как вам, например, понравится такое: мыс Отношений? Да, да, именно так называется берег, вдоль которого идёт наш Фрегат, и мы с коком чуть со смеху не лопнули, услыхав это названьице. Добро бы ещё мыс Добрых отношений. Или, на худой конец, мыс Плохих отношений... Но просто отношений?! Смешно!

Пи, впрочем, смеялся, как выяснилось, не над названием мыса, а надо мной. По его словам, мыс Отношений ни к добрым ни к плохим отношениям отношения не имеет. Это, видите ли, мыс Отношений математических.

Уж этот Пи! Вечно он всё узнаёт первым.

Я, конечно, потребовал объяснений, но Пи сказал, что сегодня не в форме, из чего я понял, что он знает немногим больше меня. Так что пришлось обратиться к капитану Единице.

Капитан написал на листке блокнота вот что: 12 : 4 = 3.

Ну, мы сразу сообразили, что это пример на деление. Верно,- сказал капитан,- но тот же самый пример на деление можно рассматривать как пример на отношение чисел. Разделив 12 на 4, мы выясним, как эти числа относятся друг к другу. Ага! - обрадовался я.- Значит, у чисел всё-таки есть какие-то отношения!

- Разумеется,- подтвердил капитан,- но не добрые и плохие, а ЧИСЛОВЫЕ. И если у нас с тобой (тут капитан подмигнул мне), если у нас с тобой отношения могут меняться в зависимости от твоего поведения (сегодня -хорошие, завтра - плохие), то у чисел они не меняются никогда. Отношение двенадцати к четырём всегда равно трём, десяти к двум - пяти, тридцати шести к четырём - девяти...

- Значит, разные числа относятся друг к другу по-разному? - сообразил Пи.

- Не всегда,- возразил капитан.- В том-то и дело, что есть множество пар РАЗНЫХ чисел, которые относятся друг к другу совершенно ОДИНАКОВО. Как вы уже знаете, отношение двенадцати к четырём равно трём. Но ведь трём равно и отношение шести к двум, и восемнадцати к шести, и ста двадцати к сорока... Таких пар можно подобрать сколько угодно.

- Что верно, то верно,- сказал я.- У меня к числам тоже самые разные отношения. Вот, например, к семёрке... Увы,- вздохнул капитан,- у тебя, Нулик, ко всем числам отношение совершенно одинаково безразличное. Ведь отношение нуля и к пяти, и к десяти, и к ста, и к миллиону одно и то же: оно равно нулю! Ибо на сколько нуль ни дели. нуль так нулём и останется.

Интересно, на что он намекает?

Но капитан ни на что не намекал. Он снова вынул блокнот и написал: 12 : 4 = 6 : 2.

- Видите,- сказал он,- здесь написаны два отношения. Между ними я поставил знак равенства и получил ПРОПОРЦИЮ. А пропорция и есть равенство двух отношений. Числа, образующие пропорцию, соответственно пропорциональны.

- Что значит "соответственно"? - спросил я.

- А то, что делимое каждого из отношений (12 и 6) пропорциональны их делителям (4 и 2).

Ничего не скажешь, понятно. Но, по правде говоря, суховато. Во всяком случае, ничего интересного от мыса Отношений мы уже не ждали. И напрасно!

Фрегат подошёл к причалу, и все сошли на берег. Мы с Пи двинулись за капитаном и штурманом и попали -куда бы вы думали? В кино, вот куда. Капитан сказал, что хочет объяснить нам числовые отношения наглядно.

Фильм назывался... Эх, забыл! Ну да не в том дело. Главное, было очень весело.

Герой перепрыгивал с небоскрёба на небоскрёб, болтал ногами в воздухе, держась за стрелки башенных часов, а потом летел вниз и плюхался прямо на спину лошади.

Да, но при чём тут всё-таки математика?

Это я понял только потом, когда сеанс окончился и капитан повёл нас в кинобудку. Здесь он попросил механика показать нам киноплёнку.

- Как видите,- сказал он, - плёнка состоит из отдельных кадров-картинок. Картинки эти до того маленькие, что и не разглядишь. На экране мы их видим увеличенными во много-много раз. Но при этом числовые отношения всех размеров изображения ничуть не меняются. Они остаются теми же, что на плёнке. Вот, скажем, небоскрёб. Высота его на плёнке, допустим, 8 миллиметров, а ширина - 2. На экране высота небоскрёба равна восьмидесяти сантиметрам, а ширина - двадцати. Сам дом вырос в сто раз, но отношение его высоты к ширине не изменилось. Восемь так относится к двум, как восемьдесят к двадцати. Следовательно, все размеры дома соответственно пропорциональны размерам на плёнке. Иными словами, на экране мы видим точное подобие того, что изображено на киноленте. Вот почему изображения, все размеры которых соответственно пропорциональны, называются подобными. В математике же подобными могут быть любые геометрические фигуры. К примеру, подобны два треугольника, все стороны которых соответственно пропорциональны. Однако углы их при этом остаются неизменными, то есть конгруэнтными.

Вот так компот! Выходит, подобные треугольники конгруэнтны?

- Что за чепуха! - рассердился капитан, услыхав моё замечание.- Я же не о треугольниках толкую, а об углах. Сами же подобные треугольники вовсе не конгруэнтны и, уж конечно, не равновелики: ведь площади у них совершенно различны!

Тут мне пришло в голову, что раз есть фигуры подобные, значит, должны быть и какие-то бесподобные. Это я, конечно, так сострил, но капитан сказал, что бесподобные фигуры и впрямь найдутся, и повёл нас в комнату смеха.

Да, на мысе Отношений тоже есть комната смеха - прямо как в нашем Парке науки и отдыха. И здесь тоже, как водится, понаставлены всякие зеркала. В одном ты - кубышка, поперёк себя толще, в другом - долговязая жердь.

Я очень люблю смотреться в такие зеркала и каждый раз хохочу до упаду. Только прежде я смеялся просто так, а сегодня по научному, потому что понял, что меня смешит.

Оказывается, смеюсь я оттого, что вместо подобной себе фигуры вижу неподобную, непропорциональную, где привычное соотношение всех частей тела изменено, нарушено. Вот что значит побеседовать с капитаном Единицей!

Впрочем, любопытство моё на том не успокоилось, и я спросил, для чего всё-таки нужны все эти подобия и неподобия, пропорциональности и непропорциональности? Да затем, сказал капитан, что без правильных пропорций не создашь ничего путного.

Когда архитектор строит дом, он заботится не только о его прочности и удобстве, но и о том, чтобы на него приятно было смотреть. А приятно смотреть на здание с красивыми пропорциями. Конечно, найти такие пропорции нелегко. Для этого надо быть не только хорошим строителем, но и художником с тонко развитым чувством прекрасного.

Капитан сказал, что чувство это было в высшей степени свойственно древним грекам. Недаром же созданные ими статуи и храмы до сих пор остаются для нас недосягаемыми образцами гармонии. А всё оттого, что греки знали совершенные, идеальные соотношения между частями целого. Потому-то найденные ими пропорции называют классическими. А ещё их называют золотым сечением. И это такое сечение отрезка прямой, при котором меньшая его часть так относится к большей, как большая ко всему отрезку в целом.

- Но ведь о золотом сечении знали не только древние греки. Оно известно и сейчас,- вмешался Пи.- Почему же нынешние дома вовсе не похожи на древнегреческие?

- В самом деле, почему? - подбоченился я.

- Наверное потому, что всё хорошо в своё время,-сказал Единица.- Мы можем любоваться древнегреческими зданиями, но копировать их сейчас было бы глупо. Ведь древние греки жили совсем не так, как мы. У них были иные потребности. И всё же напрасно вы думаете, что классические пропорции в наше время забыты. Они сплошь да рядом используются в современных постройках. Но рядом с прежними возникают новые вкусы, новые соотношения. Потому что всё на свете меняется. В том числе и понятие о прекрасном.

- Нет,- заявил я,- кое-что всё-таки остаётся неизменным. Это отношения чисел. Шесть, делённое на два, как ни верти, всегда равно трём.

- Это уж точно,- подтвердил капитан.- Так же точно, как то, что геометрия стоит на трёх китах.

- Ну да? - удивился я.-Первый раз слышу. В древности думали, что на трёх китах Земля держится, но мама говорит, что это было давно и неправда.

- Земля Землёй,- спокойно сказал Единица,- а геометрия геометрией, даром что родилась она из землемерия...Геометрия - наука о воображаемом. И киты, на которых она держится, тоже не всамделишные, что, впрочем, не делает их менее надёжными. Я говорю о трёх самых главных, самых опорных понятиях геометрии, которые по математическому обычаю можно бы обозначить буквами: К, Р, П. Это Конгруэнтность, Равновеликость и Подобие.

- А ведь правда,- сказал Пи после некоторого раздумья.- С самого начала плавания по геометрическим морям и океанам у нас только и разговору что о конгруэнтности да равновеликости. А сегодня вот и о подобии.

- Наконец-то я понял,- выпалил я,- почему вы повторяете ваше любимое "кит знает что!". Вы имеете в виду кита геометрического. Только вот какого из трёх?

- Всех разом,- засмеялся он и повёл нас на Фрегат.

Пропащий остров

Если вы наблюдательны, то, должно быть, заметили, что в моём судовом журнале нет никаких записей за восьмое нуляля. И вот по какой причине.

Позавчера, вернувшись с прогулки по мысу Отношений, я вошёл в каюту и застал моих обезьянок в ужасном состоянии. Обе они лежали на полу и жалобно пищали, держась за животы.

Сначала я очень испугался, но потом заглянул в корзинку, которая ещё утром была доверху набита бананами, и увидел, что она пуста. Так вот в чём дело! Стакс и Топе объелись бананами.

Ну, я немедленно вызвал корабельного доктора, и тот отнёс обезьянок в изолятор, по дороге распорядившись, чтобы Пи сварил им рисовую кашку.

Очутившись в одиночестве, я загрустил, прилёг на койку и стал рассеянно отламывать по квадратику от шоколада, который мне дала с собой мама-Восьмёрка. Отломлю - и в рот, отломлю - и в рот...

Скоро шоколад исчез, а мне вдруг стало не лучше, чем Стаксу и Топсу, и меня тоже отправили в изолятор. Там-то я и провёл весь вчерашний день вместе с моими дорогими мартышками. Как говорится, болеть - так вместе!

Зато сегодня мне повезло. Случилось такое, что даже не верится!

Утром мы должны были по расписанию подойти к одному треугольному острову. И подошли. Но никакого острова не увидели!

- Кит знает что! - возмутился капитан и стал протирать свою подзорную трубу.- Неужто штурман сбился с кypca и привёл нас не туда?

Только штурман оказался ни при чём: он-то привёл нас туда, да вот остров исчез. Неужели украли? А может, ему просто вздумалось прогуляться?

Но капитан сказал, что острова если и совершают прогулки, то чрезвычайно редко и уж наверняка не тогда, когда ждут гостей.

Тут наверху послышался гул мотора. Мы задрали головы и... Что мы увидели! Высоко в небе летел вертолёт. С вертолёта свисал длинный трос с крюком на конце, а на крюке... На крюке легонько покачивался остров! Наш треугольный остров! Несмотря на предстоящих гостей, он всё-таки слетал погулять и теперь возвращался на место, хотя и с небольшим опозданием.

Ну все, понятно, страшно обрадовались, закричали, замахали бескозырками... А остров плавно снизился, стукнулся о борт нашего Фрегата, и скоро все мы были уже на земле.

У капитана оказались какие-то дела в порту, а мы с коком отправились осматривать берег.

Шли мы довольно уверенно, потому что один раз уже видели треугольный остров и знали, что у всякого треугольника имеются три вершины. Были они и здесь. У каждой вершины располагалась гавань, обозначенная латинской буквой: гавань А, гавань В и гавань С.

- Давай сперва отправимся к вершине прямого угла,- предложил Пи.- Тогда нетрудно будет понять, где здесь гипотенуза, а где катеты.

От гавани к гавани вдоль каждой из трёх сторон острова тянулись красивые зелёные бульвары. Мы обошли все, но ни один из них почему-то не назывался ни катетом, ни гипотенузой, а просто буквами: бульвар АВ, бульвар ВС и бульвар СА. Кроме того, все бульвары сходились в гаванях только под острыми углами - мы не нашли ни одного прямого. Что же это такое?

- А то,- догадался Пи,- что это не прямоугольный треугольник, а остроугольный.

Мы решили спросить об этом капитана и снова вернулись в гавань А. Капитан к тому времени уже освободился. Of подтвердил, что этот треугольник и вправду остроугольный.

А потом он предложил нам небольшую прогулку.

- Видите, из гавани А расходятся три нарядные, пряменькие улицы, выходящие на бульвар ВС,- сказал капитан.- Пусть каждый пойдёт по одной из этих улиц. Только, чур, одинаковым шагом. Вот так. Понятно? А теперь проверим, кто раньше всех придёт на бульвар.

Сказано - сделано. Признаться, я немного сплутовал и шёл чуть быстрее, чем условились,-уж очень мне хотелось прийти первым. Но как же я удивился, когда дошёл до бульвара ВС и увидел, что капитан уже там! Неужели и он сплутовал?

Последним удивился кок, хотя удивляться было нечему. Просто капитан хорошо знал этот остров и решил над нами слегка подшутить: выбрал самую короткую из трёх улиц - ту, что называется Высотой.

Капитан объяснил, что высотой треугольника называют отрезок прямой, который проводят из вершины какого-нибудь угла треугольника на противоположную ей сторону. И проводить прямую надо так, чтобы получились при этом прямые углы. Такую прямую ещё называют перпендикуляром. Так вот, этот-то перпендикуляр, то есть высота, и есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой ВС.

Я было обиделся: зачем капитан выбрал себе самую лучшую улицу? Но он сказал, что и две другие ничуть не хуже и что у каждой из них есть свои особенности.

Та, по которой шёл я,- у неё ещё такое красивое название: Биссектриса - делит угол треугольника при вершине А пополам.

- А какие особенности у моей улицы? - спросил Пи.

- Твоя улица привела тебя на самую середину бульвара, и называется она Медианой.

Вот какие занятные улицы выходят из гавани А! Но оказалось, что точно такие же улицы выходят и из гавани В и из гавани С. Ведь у любого треугольника три вершины - значит, три высоты, три биссектрисы и три медианы.

Я попросил капитана вернуться в гавань А по Биссектрисе, и вскоре мы дошли до перекрёстка, которого я раньше не заметил. Здесь сходились и две другие Биссектрисы.

- Как? Все три Биссектрисы встретились в одном месте? - недоумевал я.- Может, случайно?

Но капитан объяснил, что вовсе не случайно. В треугольнике все три биссектрисы всегда пересекаются в одной точке.

- О, это замечательная точка,- добавил он.- Расстояния от неё до каждой из трёх сторон треугольника все совершенно одинаковы.

Пи предложил, что и все три медианы, наверное, тоже пересекаются в одной точке. Ведь медиана небось не хуже биссектрисы! Мы не поленились это проверить, и вышло, что кок совершенно прав.

Но самое интересное было впереди. В точке пересечения трёх медиан мы обнаружили ввинченное в землю толстое кольцо - то самое, за которое вертолёт поднимал остров в воздух.

Я спросил, отчего кольцо ввинчено именно здесь? - Да оттого,- ответил капитан,- что на пересечении медиан находится центр тяжести треугольника.

- Вы хотите сказать, центр тяжести треугольного острова,- уточнил Пи. - Потому что какая же тяжесть у геометрического треугольника, если он воображаемый!

- Хорошее замечание, хвалю!-просиял капитан.- И всё-таки я не ошибся, когда назвал точку пересечения медиан центром тяжести треугольника. Так она называется как бы в напоминание о том, что будь треугольник не геометрический, а действительно существующий и потому обладающий весом, центр тяжести его придётся именно на этом месте. Наглядный тому пример - наш "пропащий" треугольный остров. Судя по всему, кольцо у него ввинчено как раз там, где положено, не то не висел бы он на крюке так ровнёхонько, а непременно наклонился бы, и все жители его попадали бы в море...

Вот какой попался нам остров.

Было на нём ещё много любопытных улиц, только осмотреть их нам, к сожалению, не пришлось. Прибежал штурман Игрек и напомнил, что по расписанию Фрегату пора отчаливать. Но мы таки уговорили капитана пройтись напоследок по Высоте и убедились, что и все три высоты треугольника тоже пересекаются в одной точке.

Когда Фрегат снялся с якоря, нам с коком вздумалось начертить по памяти план острова.

Сперва вычертили треугольник. Провели из вершины А высоту. Затем стали проводить биссектрису: для этого разделили угол А пополам, затем... Странное дело! Биссектриса совпала с высотой. Тогда мы разделили сторону ВС пополам и провели её медиану. Что такое?! И медиана совпала и с высотой и с биссектрисой! Точно та же история повторилась, когда мы проводили высоты, медианы и биссектрисы из вершин В и С.

Таким образом, вместо девяти отрезков у нас получилось внутри треугольника только три. И все они пересекались в одной общей точке.

Сначала мы никак не могли понять, как это вышло, но потом всё-таки додумались. А вот до чего додумались - не скажу: сами догадайтесь!

Чудесная пластинка

Бабах! Буме! Трах! Дзинь!

Фрегат валится на правый борт. Потом на левый. Чемоданы, графины, стаканы носятся по каюте как безумные...

- Мама! - крикнул я и проснулся.

По каюте действительно носились чемоданы, графины и стаканы. А заодно с ними Стакс и Топе. Выздоровели, голубчики!

И тут я вспомнил, что обещал моему другу Пи встать сегодня пораньше. Я быстро оделся, рассовал обезьянок по карманам и опрометью кинулся на палубу.

- Наконец-то, соня! - на ходу бросил мне Пи.- Чуть не проспал замечательного острова.

В самом деле! Про остров этот ещё вчера говорил нам капитан, и, судя по его рассказам, там не соскучишься.

Представьте себе огромную патефонную пластинку, надетую на диск проигрывателя. Только посерёдке у неё - там, где должен торчать шпенёк,- стоит высокая остроконечная башня - ратуша. От неё лучами расходятся прямые улицы. Все они ведут к морю. А чтоб жители пластинки ненароком не падали в воду, вся она по берегу обнесена красным канатом. Этот канат я увидел ещё с моря, и он мне очень понравился.

- Смотрите, смотрите, какой красивый красный круг! - завопил я.

- Наверное, ты хочешь сказать - окружность,-возразил капитан Единица.

Ну, я вежливо дал ему понять, что, по мне, всё едино: что круг, что окружность. Капитан ещё вежливее объяснил, что я говорю чушь. Окружность - линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. А круг -часть плоскости, ограниченная окружностью.

Что ж, учтём!

Сойдя на берег, мы с коком тотчас решили отправиться к ратуше и спросили какого-то прохожего, как туда быстрее добраться. Тот посмотрел на нас с недоумением:

- Разве вы не знаете, что на острове Круг все улицы, ведущие от ратуши к берегу, совершенно одинаковой длины?

- Ха! Может, скажете, они и называются все одинаково? - съязвил я.

- Конечно! - невозмутимо отвечал прохожий, с любопытством рассматривая Стакса и Топса, которые выглядывали из карманов моей куртки.- Улицы эти называются Радиусами, и мы различаем их только по номерам.

- И много у вас таких улиц? - спросил Пи.

- У нас двенадцать,- отвечал тот.- Но вообще-то радиусов в круге можно провести сколько угодно. Бесконечное множество.

Тут обезьянкам стало невмоготу в заточении. Они вырвались на волю и принялись носиться как сумасшедшие по сочному, ровно подстриженному газону между двумя соседними Радиусами.

Пока они веселились, мы с коком растерянно топтались на месте в ожидании неприятностей. Но жители острова, казалось, сами обрадовались возможности порезвиться и затеяли с обезьянами шумную возню.

- Неужели вам не жаль топтать такой прекрасный газон? - спросил я у одного из них.

Но он только плечами пожал.

- На то и газон, чтобы его топтать. В других странах что ни шаг - объявления: "По траве не ходить!", "Собак не выпускать!", "Цветов не рвать!", а у нас все секторы засеяны такой травой, что её и нарочно не вытопчешь.

- Какие такие секторы? - полюбопытствовал я.

Тот посмотрел на нас с явным сочувствием.

- Бедняги! Неужели вы не знаете, что сектор - часть круга между двумя радиусами?

- Выходит, ваш остров разделён на 12 секторов,- сообразил я.

- Уж конечно,- ухмыльнулся прохожий,- где 12 радиусов, там и 12 секторов. И заметьте: они у нас все совершенно одинаковые.

- Конгруэнтные,- уточнил я важно, чтобы удивить его своей образованностью.

- Постой-ка, Нулик,- вмешался Пи,- а ведь мы об этом кое-что слышали. Помнишь, капитан рассказывал о часах? Теперь я вижу, что остров Круг очень похож на циферблат. Циферблат тоже разделён на 12 частей. Стрелки часов - те же радиусы, а кончики их очерчивают окружности.

- Только окружности разные,- догадался я.- Ведь часовая стрелка короче минутной - значит, и окружность, которую она очерчивает, будет меньше.

- Такие окружности называются кон-цен-три-чес-ки-ми, - ввернул наш собеседник.

- Наверное, потому, что у обеих окружностей общий центр, - бросил я небрежно.

- Посмотрите-ка на них! - засмеялся круговчанин. Они всё же что-то соображают.

Его похвала так нас окрылила, что мы принялись соображать вовсю. Во-первых, вспомнили, что за полный оборот стрелка часов отмеряет угол в 360 градусов. А так как на острове 12 конгруэнтных секторов, нетрудно вычислить, что угол между двумя соседними улицами равен 30 градусам. Во-вторых...

Во-вторых не последовало, потому что пришёл капитан и повёл нас осматривать ратушу.

Снаружи это башня как башня: круглая, со шпилем и, конечно, с флюгером на макушке. Прямо как из сказки Андерсена. Зато внутри - совершенно современное здание!

Скоростной лифт взлетел и в одно мгновение доставил нас на самый верхний этаж.

Здесь, в круглом зале, посетители играли в кегли. Только эти самые кегли были расставлены чуть иначе: по окружности.

Игрок тоже становился на эту окружность и объявлял, какую кеглю собирается сбить. Затем, прицелившись, пускал шар по полу. Если собьёт - получает приз. Чем дальше кегля от игрока, тем приз больше. Это потому, что отрезок прямой, по которой катился шар, длиннее.

Отрезок этот называется хордой - так по крайней мере сообщил нам капитан.

Самый большой приз доставался тому, кто сбивал кеглю, стоящую в противоположной точке окружности. Ведь в этом случае шар катится по самой длинной хорде! Капитан объяснил, что эта хорда делит круг на две конгруэнтные части и называется диаметром.

- Но ведь диаметр - это же всё равно что два радиуса! - сообразил Пи.

- Весьма тонко подмечено,- сказал один из игроков, который оказался распорядителем,- а потому примите от нас этот маленький подарок.

И он протянул коку блестящий металлический обруч, перегороженный диаметром.

- Большое спасибо,- смутился Пи,- отличный обруч...Но что я с ним буду делать?

- А уж это, уважаемый Пи, вам следовало бы знать самому. Попробуйте-ка с помощью этого диаметра измерить длину обруча.

- Подумаешь! - фыркнул я.- Проще пареной репы!

- Вы так полагаете? - улыбнулся распорядитель и взял из рук недоумевающего кока обруч.

Обруч неожиданно распрямился, и распорядитель ловко подхватил выпавшую палочку-диаметр.

- Длина этой палочки один метр,- сказал он.- На ней, как видите, имеются деления: сантиметры и миллиметры. Вот и попробуйте с помощью этого диаметра вычислить длину обруча, иначе говоря, длину окружности.

Пи взял диаметр и стал откладывать его на распрямлённой окружности. Отложил три раза, но небольшой кусочек остался неизмеренным. Пи стал вычислять его длину. Возился он очень долго, но всё безуспешно.

- Примерно три метра и четырнадцать с половиной сантиметров,- неуверенно сказал он.

- Слишком много,- возразил распорядитель.

- Тогда будем считать ровно четырнадцать,- сказал я.

- А это уже слишком мало...

- Ну ладно,- сдался Пи,- пусть будет четырнадцать и две десятых.

- Опять много,- повторил распорядитель.

- Чего вы от меня хотите? - не выдержал кок.- То много, то мало... У меня точнее не получается!

Все рассмеялись, а распорядитель сказал: и прекрасно, что не получается! Потому что это не получается ни у кого.

- Видите ли, между длиной окружности и её диаметром установились очень сложные отношения,- разъяснил он и добавил небрежно: - Кстати, отношения эти условились обозначать греческой буквой "пи" (?). И для того чтобы вычислить длину окружности, надо это самое "пи" помножить на длину её диаметра.

Кок так и ахнул, а я так даже чуть не подавился. Вот оно что! Мне-то думалось, Пи - неполное имя, а это, оказывается, кое-что очень и очень полноценное...

- И подумать только, что вы ничего не знали о себе самом!-всплеснул руками распорядитель, обращаясь к Пи.- В таком случае почту за честь объяснить вам смысл вашего имени. Греческой буквой "пи" обозначают число, показывающее, сколько раз диаметр укладывается в своей окружности.

- А почему это число вздумали обозначать буквой, вместо того чтобы записать его цифрами? - поинтересовался я.

- Цифрами? - Распорядитель вздохнул и пожал плечами.- К сожалению, такое число можно записать только с помощью бесконечной десятичной дроби. Ни одно натуральное число, ни одна обыкновенная дробь для этого не годятся. Тут необходимо особое число - из тех, что называются иррациональными, то есть несоизмеримыми с единицей. А такие числа можно записать цифрами только приближённо. Как правило, "пи" принимают приближённо за три целых и четырнадцать сотых (3,14). Но существуют и такие таблицы, где "пи" вычислено с точностью до нескольких тысяч знаков после запятой. Впрочем, великий грек Архимед предложил очень удобное и достаточно приближённое значение "пи" и с помощью обыкновенной дроби: двадцать две седьмых (22/7).

Сделав своё сногсшибательное сообщение, распорядитель откланялся и отошёл. А кок прямо не знал, куда деваться от неловкости!

Вот он какой, Пи! Важная шишка, а ничуточки не важничает. И это несмотря на то, что число "пи", как выяснилось, нужно ещё и для вычисления площади круга. Только длину окружности надо при этом помножить не на весь диаметр, а лишь на четверть его...

Тут я посмотрел на кока и вдруг расхохотался: от смущения уши у него пылали, как два кусочка раскалённого чугуна. Засмеялся и капитан. Он сказал, что эти уши охладить не худо в душе, и повёл нас на крышу ратуши.

Душа там, правда, не было, зато было уютное кафе. Здесь мы ели мороженое и любовались красивым видом. А Стакс и Топе, позабыв о недавних неприятностях, снова лопали бананы.

Что было дальше, рассказывать не стану. У меня от этого Круга уже голова кругом пошла...

Обезьяньи гонки

Думаете, в математике чудес не бывает? Напрасно! Бывают, да ещё какие...

Расскажу, однако, всё по порядку, хотя порядок и мешает этому... как его... вдохновению.

Сегодня мы - я, капитан Единица, Пи... Нет, не так. Штурман Игрек говорит, что "я" всегда должно быть на конце. Итак, сегодня мы - капитан Единица, Пи, Стакс, Топс и я - отправились в Ботанический сад имени Мёбиуса.

Про Мёбиуса я до сих пор ничего не слыхал и подумал, что это, должно быть, учёный садовод или ботаник. Оказалось, ни то, ни другое. Мёбиус - немецкий математик, и с чего это его именем назвали ботанический сад, понять решительно невозможно.

Может, он просто любил гулять в этом саду? Так нет же! Он и не бывал-то здесь никогда. Да и что тут гулять? Ни единого цветочка. Только листья. Обыкновенные листья.

Впрочем, вру. Листья совсем не обыкновенные. Во-первых, растут прямо из земли, во-вторых, очень разнообразны по форме и расцветке. При этом каждый лист высотой с дерево. Да и ширины порядочной.

Не мудрено, что Стакс и Топс прямо влюбились в эти листья и стали бегать по ним как угорелые. Вверх-вниз, вверх-вниз... Причём Стакс по одну, а Топс по другую сторону листа. Ведь у всякого листа две стороны, как и у той страницы, на которой я пишу свой рассказ. По крайней мере так мне казалось до сих пор... Но я опять забежал вперёд.

Когда мы вдоволь налюбовались причудливыми яркими листьями, капитан Единица указал нам на один из них, изогнутый восьмёркой. Я, конечно, сразу вспомнил о маме и сказал, что лист этот очень на неё похож.

- Ну, эта восьмёрка особая, - сказал капитан,- и не худо бы устроить на ней обезьяньи гонки.

Обезьянки, казалось, только того и дожидались и быстро вскарабкались на лист. Стакс занял место на внутренней его стороне, Топс - на наружной. Пи хлопнул в ладоши, и бег начался.

Но что это? Стакс, который бежал внутри листа, оказался снаружи, а Топс наоборот - внутри. Странно! Могу поклясться, что никто из них не перелезал на другую сторону.

Потом им надоело бегать в одном направлении, и они помчались в разные.

Вдруг - хлоп! Обезьянки стукнулись лбами и с визгом шлёпнулись на землю.

Мы с Пи ничего не понимали.

- Так не бывает! - заявил я. - Ведь они бежали по разным сторонам листа?

- Странный вопрос, - пожал плечами капитан. - Ты же сам видел!

- В чём же дело?

- Дело в том, что это лист Мёбиуса.

- Понимаю! - догадался я. - Мёбиус не просто математик. Он - математик-волшебник.

- Да, - подтвердил капитан. - Мёбиус вырастил лист с волшебными свойствами. У обычного листа две стороны, две поверхности. У листа Мёбиуса - только одна! И очень загадочная. Со многими секретами.

Тут появился научный сотрудник сада. Он любезно предложил нам выбрать в подарок любой из растущих здесь листов Мёбиуса, чтобы изучить его свойства дома, на досуге.

Из скромности мы выбрали самый маленький листик - не больше надувной резиновой лодки. Я продел голову в одно отверстие "восьмёрки", Пи - в другое, и мы всей компанией двинулись обратно, на Фрегат.

Решено было приступить к исследованиям немедленно. Но капитан посоветовал нам для удобства экспериментировать не на самом листе - очень уж он велик, а на бумажной его модели.

Мы вырезали длинную, не менее полуметра, полоску бумаги пальца в три шириной. Соединили концы, перевернув сперва один из них на обратную сторону, и в таком положении концы эти склеили.

Потом мы взяли карандаш и стали водить им вдоль листа до тех пор, пока он снова не вернулся к началу своего путешествия. И увидели, что карандаш обошёл лист и снаружи, и внутри. И стало быть, лист односторонний. У него всего одна поверхность.

Потом капитан велел нам разрезать лист на две части по линии, очерченной карандашом.

- Кто знает, может быть, тогда каждый из вас получит по собственному листу Мёбиуса,-сказал он, загадочно щурясь.

Мы аккуратно разрезали лист ножницами по долевой линии, но вместо двух листов перед нами был по-прежнему один. Зато вдвое уже и вдвое длиннее. Вот те на! Единицу разрезали пополам и снова получили единицу, да ещё вдвое большую. Ну и листик придумал этот Мёбиус!

- Теперь проверим, остался ли удвоенный лист односторонним,-сказал капитан.

А с чего бы ему превращаться в двусторонний? Но проверить всё-таки не мешает.

Снова провели карандашом вдоль листа и снова вернулись к исходной точке. Значит, лист односторонний. Каким он был, таким он и остался, голубчик!

- Ой ли? - усомнился капитан. Мы с Пи ещё пазок внимательно осмотрели лист, и что бы вы думали? Оказалось, что карандаш обошёл его только с одной стороны. Вторая чиста. Выходит, лист из одностороннего превратился в двусторонний?

- Вот именно,- кивнул Единица.- Но это не беда. Разрежьте лист пополам снова.

Конечно, никто из нас уже не надеялся получить из одного листа два, и всё-таки лист раздвоился. Только на сей раз две его части цеплялись друг за дружку, как звенья цепочки. Попробуй, разними!

- Заколдованный лист! - вздохнул Пи и, по-моему, не ошибся.

Мы совсем уже обалдели, но капитан сказал, что надо сделать ещё один лист Мёбиуса.

- Для чего? - спросил я.

- Там видно будет, - ответил он.

Когда лист был готов, капитан снова велел нам обвести его карандашом, но не посередине, а на расстоянии хотя бы одной трети ширины листа. Ну, мы так и сделали, а потом разрезали лист по карандашной линии, и знаете, что получилось? Лист как был, так и остался ОДНОСТОРОННИМ!

Режешь посередине - двусторонний, не посередине - односторонний. Чудеса! Не верите? Проверьте сами.

Операция "Объемкость"

Проснувшись и посмотрев в иллюминатор, я увидел, что Фрегат находится почти у самого берега, и подумал было, что мы собираемся пришвартоваться. На палубе, однако, я понял, что мы идём проливом, причём довольно узким.

Это, вероятно, не больно-то нравилось штурману Игреку (вести судно по такому коридору - задача не из лёгких), зато очень понравилась мне, потому что с палубы было отлично видно всё, что происходит на берегу.

А происходило там вот что: на земле стояли сосуды самой разной величины и формы. Люди брали одни сосуды, зачерпывали ими воду из пролива и переливали в другие.

- Эй, на берегу-у-у!-крикнул я.- Что вы там переливаете из пустого в порожне-е-е-е?

- Измеряем ёмко-о-ость,- отвечали мне.

- А что это за штука - ёмкость? С чем её едят?

- Так называется наш остров.

- Ну и что из того? - удивился я.- При чём тут ваши кувшины?

- А при том, что ёмкость - это вместимость сосуда,-снова ответили с берега.- Вот мы и узнаём, сколько воды помещается в каждом.

- Но зачем вы всё-таки переливаете воду из одного сосуда в другой? - приставал я.

К тому времени Фрегат порядком отдалился от моих собеседников, и отвечали мне уже другие, которые сказали, что иначе объём причудливого сосуда не вычислить.

Вот чудаки! То они вычисляют ёмкость, то объём. Сами не знают, что измеряют...

Но оказалось, что объём воды в сосуде - это и есть его ёмкость.

- И как же вы эту объёмкость находите? - снова спросил я.

Но мы опять уже отъехали, и отвечали мне снова другие.

Так вот и продолжалась эта переходящая беседа, из которой я узнал-таки кое-что интересное.

Вычислить ёмкость сосуда замысловатой формы очень даже непросто. Тут без высшей математики не обойдёшься. Чтобы облегчить эту задачу, нередко прибегают к хитрости: сперва наполняют водой "сложный" сосуд, а затем переливают её в сосуд попроще, ёмкость которого вычислить - сущие пустяки.

Лучше всего взять для этого сосуд в форме куба, потому что объём вычисляется именно в кубических единицах. Ну, а что такое куб, известно всякому малышу, играющему в кубики. Куб - геометрическое тело, у которого шесть сторон, вернее, граней. Все эти грани совершенно одинаковы, и каждая из них - квадрат. А у квадрата все стороны равны.

Поставим куб на стол. Грань куба, которая соприкасается со столом, назовём основанием куба. Вычислим площадь основания. Для этого перемножим две его стороны, как это делала мама-Гипотенуза. А потом площадь основания умножим ещё и на высоту куба. Это и будет его объём.

Бывает, что вода из "сложного" сосуда не всегда заполняет куб доверху. Но это не беда! Измерялыцики быстро устанавливают, какого уровня достигла жидкость в кубе, то есть на какую она поднялась высоту, и умножают эту высоту на площадь основания куба. Одна минута - и ёмкость вычислена!

Мне не терпелось проделать тот же опыт самому. Я побежал в камбуз, всё объяснил коку, и операция "Объёмкость" началась!

Кок достал с полки фигурный графин с апельсиновым со ком и сказал:

- А теперь давай куб!

Легко сказать - давай! А откуда я его возьму? И тут я, к счастью, вспомнил, что штурман Игрек только что купил небольшой аквариум, который ещё не заселён рыбками.

Мы взяли графин и ринулись в логово тигра. Сами понимаете, что тигр - я хочу сказать: штурман - стоял в это время на вахте. Иначе мы не были бы такими храбрыми.

Итак, тигрек... то бишь Игрек стоял на вахте, аквариум стоял на столе. Кок вылил в него апельсиновый сок, достал из кармана рулетку, и тут... Тут оказалось, что аквариум - вовсе никакой не куб, потому что грани у него не квадратные.

Мы глядели друг на друга жалкими глазами и думали только о том, как бы вылить сок из аквариума обратно в графин. И надо же: как раз в это время послышались шаги.

Только мы успели спрятаться за занавеской, как в каюту вошёл Игрек (времени мы, что ли, не рассчитали? Или вахта у него кончилась досрочно?). Взглянув на свой аквариум, он вздрогнул и остановился как вкопанный. Потом подошёл к столу, опустил палец в оранжевую жидкость и осторожно облизнул...

От страха мы с коком совсем перестали дышать и чуть не задохлись. Но, вместо того чтобы рассвирепеть, штурман вдруг расхохотался. Да так, что стёкла задрожали: бом-брам-фок!

Ну, мы, конечно, сразу осмелели и вылезли на свет божий. И правильно сделали. Потому что Игрек очень даже хорошо помог нам вычислить эту самую объёмкость графина. И то, что аквариум не был кубом, нисколько ему не помешало, ведь объём прямоугольного аквариума вычисляется точно так же, как и объём куба. А нам это и в голову не приходило...

Всё шло как по маслу.

Сначала вычислили площадь основания. Одна его сторона была равна двадцати сантиметрам, другая - двадцати пяти. Перемножили 20 и 25 и нашли, что основание аквариума равно пятистам квадратным сантиметрам ( 20 см x 25 см = 500 кв. см ).

Затем измерили высоту. Это было очень просто, потому что сок поднялся всего на два сантиметра. Помножили 500 квадратных сантиметров на 2 сантиметра и выяснили, что ёмкость нашего графина равна 1000 кубических сантиметров ( 500 кв. см x 2 см = 1000 куб. см ). А это не что иное, как один литр.

И тут кок вспомнил, что графин-то литровый. Так что можно было всего этого не делать.

Пришёл капитан Единица, и мы вчетвером выпили этот злополучный сок. И каждому досталось по стакану.

А потом штурман вымыл аквариум, накрыл его куском стекла и сказал, что в таком виде он - чистый параллелепипед!

- Чистый, потому что вымытый? - спросил я.

- Чистый, потому что вылитый,- сказал штурман, и оба громко захохотали.

Я не знал, что и думать, и очень на них рассердился. Но потом они всё-таки объяснили, что "чистый параллелепипед", так же как и "вылитый", не стоит понимать впрямую.

В данном случае это выражение образное, означающее "похожий на что-то". Потому что аквариум и в самом деле похож на геометрическое тело, называемое параллелепипедом.

- Заметьте также,- добавил капитан,- что куб есть частный случай параллелепипеда. Это параллелепипед, у которого все грани конгруэнтны.

Мы с коком целый день потом повторяли новое словечко: "Пера... лиле... перал-леле..." Повторяли до тех пор, пока не научились выговаривать быстро и правильно: параллелепипед!

У открытого корыта

Сегодня я весь день ждал неприятностей, потому что тринадцатое число, говорят, несчастливое. Но ничего плохого не случилось. Даже наоборот. Вот и верь после этого приметам!

С утра кинули якорь, и капитан объявил, что мы целый день простоим в порту Максимум.

К пристани в это время пришвартовывался огромный плавучий элеватор, и портовые рабочие подкатывали к нему какие-то странные железяки.

- Что там за корыто и каждое открыто? - спросил я скороговоркой.

- Не корыта, а желоба,- уточнил капитан.- По ним на элеватор потечёт зерно.

- Почему же не по трубам? - прицепился Пи.

Капитан пожал плечами и сказал, что так уж решили математики. Здравствуйте! При чем здесь математики?

Но оказалось, что именно они рассчитали, как надо загибать листы, чтобы получился самый выгодный, самый экономичный жёлоб.

Нечего и говорить, что мы потребовали объяснений, но вместо объяснений капитан молча протянул нам с коком по стакану лимонада с торчащей из него соломинкой. Мы стали было тянуть сок через соломинки, но скоро нам это наскучило, и мы прикончили лимонад залпом.

Капитан поинтересовался, почему мы отказались от соломинки.

- Так вкуснее,- сказал я.

- И быстрее,-добавил Пи.-У соломинки отверстие больно маленькое.

Глаза у капитана заблестели, и он даже пальцами щёлкнул от удовольствия.

- Ага! Понимаете, значит, что через широкое отверстие жидкость льётся быстрее, чем через узкое. Так и с желобами. Чем экономичнее жёлоб, тем быстрее наполнится элеватор и тем скорее люди получат хлеб.

- Но при чём тут всё-таки математика? - не сдавался я.- Просто надо сделать желоба побольше - и вся недолга.

- Думаешь, больше - значит и экономичнее? - прищурился капитан.- Боюсь, что всё это много сложнее. Железные листы для желобов сюда присылают определённого размера, шириной в 120 сантиметров каждый, и математики много потрудились, чтобы сделать из них желоба наиболее выгодные. Оказалось, для этого надо загибать их на расстоянии тридцати сантиметров от каждого края. Это и будет высота жёлоба. А на ширину останется 60 сантиметров. Таким образом, площадь сечения...

- Чего-чего? - перебил Пи.

- Я говорю, площадь сечения жёлоба, - повторил капитан. - Хотите знать, что это такое? Тогда представьте себе, что жёлоб накрыт крышкой и вы смотрите в него на свет, как в трубу. Что вы увидите?

- Небо, должно быть, - догадался я.

- Верно, - сказал капитан,-но не всё небо, а только кусочек его. Площадь этого кусочка и называют площадью поперечного сечения жёлоба.

Единица быстро подсчитал на бумажке, чему равна площадь сечения жёлоба, сделанного из ста двадцатисантиметрового листа, и вышло тысяча восемьсот квадратных сантиметров ( 30 см x 60 см = 1800 кв. см ). Так вот, по словам капитана, большей площади сечения из такого листа нипочём не получится. Это уж точно!

Но я всё-таки не поверил и решил убедиться сам. И убедился. Сначала выгнул - мысленно, конечно,-жёлоб высотой в 20 сантиметров. При этом ширина получилась 80 сантиметров. А площадь сечения почему-то уменьшилась: 20 см x 80 см = 1600 кв. см.

Тогда я попробовал увеличить высоту: загнул с каждой стороны листа по 50 сантиметров. На Ширину осталось 20 сантиметров. Снова подсчитал площадь сечения. На сей раз она стала совсем маленькая: 50 см x 20 см = 1000 кв. см. Как говорится, загибали - веселились, подсчитали - прослезились...

- Кит знает что! - воскликнул я, невольно подражая капитану. - Хвост вылез - нос увяз, нос вылез - хвост увяз...

- Сразу видно, что ты не математик,- сказал капитан.- Математик не стал бы перебирать варианты. Он бы сразу вычислил то, что в математике называется максимумом.

- Выходит, чтобы получить жёлоб-максимум, надо всегда загибать лист на 30 сантиметров с каждого края,-заключил Пи.

- Угу, - поддакнул капитан. - Но только на листе шириной в 120 сантиметров. А вообще-то на одну четверть ширины. Например, при ширине 160-на 40 сантиметров, при ширине 180-на 45... Таков закон высшей математики.

- Понятно,- протянул я.- Значит, высшая математика - наука о желобах.

Но капитан сказал, что высшую математику интересуют не только желоба, а тысячи самых разнообразных вопросов. В том числе не только максимумы, но и минимумы. Если, например, загнуть лист ста двадцати сантиметров ширины на расстоянии шестидесяти сантиметров от каждого края, то на ширину жёлоба ничего не останется, и площадь сечения будет равна нулю. Разумеется, это самая маленькая изо всех возможных площадей, то есть площадь-минимум. Хотя иногда минимум бывает и поменьше нуля.

- Наверное, тогда, когда минимум - число отрицательное, - сообразил я.

- Молодец, - сказал капитан и похлопал меня по плечу.

И тут мы заметили, что вдоль берега кто-то бежит. Да так быстро! Уж не Периметр ли? Но капитан сказал, что не Периметр, а... пример. Живой пример на минимум. Почтальон со срочным поручением на Фрегат от начальника почты.

- Зачем же тогда ваш пример бежит посуху, вместо того чтобы плыть? - удивился Пи. - Разве он не знает, что кратчайшее расстояние между двумя точками - прямая?

Но оказалось, что дело тут не в кратчайшем расстоянии, а в минимуме времени. Вся штука в том, что почтальон бежит гораздо быстрее, чем плавает. И мы решили, что раз так, почтальону следует большую часть пути бежать, а вплавь пуститься только тогда, когда он очутится прямо против Фрегата.

Почтальон, однако, прыгнул в воду гораздо раньше, чем мы полагали: добежал до красного флажка и - бултых! Красный флажок, как выяснилось, установили те же математики, и хорошо сделали. Потому что в этом случае на путь уйдёт и в самом деле минимум времени. Но почему?

Мы уж хотели спросить об этом у самого почтальона, но он, поднявшись на корабль и передав пакет Единице, тут же свалился и заснул. Так что за объяснениями пришлось обращаться опять-таки к капитану.

Тот начал с того, что установил по справочнику ближайшее расстояние от Фрегата до берега и расстояние от этой ближайшей точки до почты. Оказалось, первое в три раза меньше второго. Что же до скорости передвижения почтальона, то капитан и раньше знал, что бегает тот в два раза быстрее, чем плывёт, одолевая вплавь 4 метра в секунду.

Далее капитан выяснил, на каком расстоянии от почты вбит на берегу красный флажок и сколько времени потратил почтальон на весь путь от почты до Фрегата. Расстояния я не запомнил, а время оказалось числом иррациональным - примерно 9 минут и 53 секунды.

Капитан, впрочем, добавил, что если бы почтальон бежал по берегу до тех пор, пока не окажется точно против Фрегата, то времени на путь ушло бы больше: не 9 минут и 53 секунды, а 10 минут и 25 секунд.

- Ну, а если бы он сразу поплыл, от самой почты? -поинтересовался Пи.

- О, тогда бы он плыл больше тринадцати минут. К счастью, он доверяет высшей математике и потому уложился в минимум времени. А всё для чего? - Капитан посмотрел на нас хитрыми глазами.- Чтобы передать Нулику вот это!

И капитан подал мне посылку, где оказались хлорвиниловый пакет с маленькими шоколадками, какая-то картонка и письмо от мамы-Восьмёрки. Я, конечно, сразу развернул его и стал читать:

"Милый сыночек! Посылаю тебе твои любимые сладости, но есть их не смей... (Это ещё что за новости?) есть их не смей, пока не решишь моей задачи. К шоколаду приложена квадратная картонка со стороной в 60 сантиметров. Надо выгнуть из неё самую вместительную коробку. Крышку делать не нужно, но шоколад должен заполнить коробку доверху, вровень с краями. Да, не забудь угостить своих друзей! Горячий привет капитану Единице. Целую. Мама".

Я грустно посмотрел на шоколадки, и мы с Пи отправились в каюту - колдовать над коробкой-максимум.

Сперва я хотел загнуть края на четверть ширины с каждой стороны. Но вышла бы при этом не коробка, а жёлоб.

- Ясное дело, жёлоб,- подтвердил Пи. - Ведь делая жёлоб-максимум, надо искать максимальную площадь сечения, а делая коробку-максимум - максимальный объём.

В общем, мы этот максимальный объём до самого вечера проискали. Зато нашли! Сделали коробку высотой в 10 сантиметров, то есть загнули её со всех четырёх сторон на 1/6 ширины. И получили объём в 1600 кубических сантиметров. Потому что ширина дна при этом - 40 сантиметров, а 40x40x10=1600. Коробки большего объёма из такой картонки никому не выгнуть - можете не сомневаться! А кто сомневается, пусть проверит сам.

Между прочим, шоколадки в коробке уложились до единой, и я честно разделил их между всеми. Вот я какой справедливый. Прямо Нулик-праведник!

Тьфу-тьфу, не сглазить!

Заметили? В моём журнале снова пропуск. А всё моя несчастная страсть к шоколаду! Хоть я и Нулик-праведник, а шоколада мне досталось вполне достаточно, чтобы снова попасть в изолятор. Я и попал. Хорошо ещё, что случилось это не тринадцатого, а четырнадцатого, не то пришлось бы мне снова поверить в приметы...

Но настоящая неприятность стряслась ещё позже - сегодня.

На рассвете я проснулся от страшного вопля, сразу узнал голос штурмана и, кое-как одевшись, выскочил на палубу.

Игрек сидел на бочке, обхватив голову руками, и мычал, как раненый бык. Подле него суетились Пи и капитан Единица.

Оказывается, ночью, когда штурман стоял на вахте, к Фрегату подплыла шлюпка, и на палубу шлюпнулась... то есть шлёпнулась какая-то корзина. После этого шлюпка удалилась, а штурман, наоборот, приблизился к корзине и осторожно приподнял крышку. Под крышкой, как в тёплом гнёздышке, мирно спали девять пушистых зверьков. Каждый не больше ладони.

- Странно, бом-брам-фок! - пробормотал штурман и, почесав в затылке, вернулся к прерванному дежурству.

После смены Игрек отнёс корзину в каюту и уснул как убитый. Но не прошло и получаса, как зверьки в корзине подняли возню, а потом выбрались на волю... И тут началось такое, что бедный штурман чуть не спятил.

Пушистые подкидыши носились по каюте, отчаянно визжа и царапаясь. Очень скоро лицо и руки Игрека были исцарапаны до крови, а одежда изодрана в клочья. Он с криком выскочил из каюты, и тут-то его обнаружили капитан Единица и кок. Заглянув в штурманскую берлогу, капитан испуганно отшатнулся. Он тотчас понял, что кто-то подбросил на Фрегат диких котят породы тьфу-тьфу - тех самых, что водятся на необитаемом острове Мяу. А с ними лучше не связываться! Будешь потом вспоминать и отплёвываться всю жизнь: "тьфу-тьфу!", непременно добавляя при этом "не сглазить!", чтобы, не дай бог, не повстречаться с ними снова...

Между прочим, тьфу-тьфу не только коварны и взбалмошны, но ещё и завистливы. А что может быть хуже зависти?

Раз завистник, значит, непременно ненавистник. Всё-то ему чудится, что другим лучше. И еда-то у них вкуснее, и постели мягче. Да и почёта больше! И вот почему тьфу - тьфу живут в постоянном раздоре, а уж общаться с ними - чистое наказание!

И тут выяснилось, что котят и впрямь подбросили в наказание. Штурман не сомневался, что это дело пирата по имени Чёрный альбинос, которого в прошлом году высадили на необитаемый остров Мяу за всякие тёмные делишки. Вот он и отомстил.

- Ох, ох! - стонал Игрек.- Сто чертей и одна кочерыжка! Пропала моя голова! Проклятые тьфу-тьфу сведут меняв могилу...

Но капитан сказал, что всё поправимо, и есть-таки способ утихомирить этих дьяволят. Стоит отделить их друг от друга, как они тотчас станут шёлковыми.

- Хорошо вам советовать,- причитал штурман,- а как мы их поймаем? Я, во всяком случае, для этого не гожусь!

- Не вы, так я,- сказал Пи и храбро ринулся в каюту. Здесь он мигом стянул с койки одеяло и набросил его на драчунов, которые сплелись в один пушистый комок и с шипением катались по полу. И что бы вы думали? Котята мигом присмирели.

Теперь надо было подумать о расселении. Хорошо бы, конечно, соорудить каждому по клетке, но клетки не скоро сделаешь. Я уж хотел перегородить для этой цели пустую коробку-максимум. Но она и для одного-то котёнка мала, не то что для девяти.

И снова нас выручил Пи.

- Ладно,- сказал он со вздохом,- так и быть, жертвую свою круглую коробку. Правда, я берёг её для большого праздничного торта, который собирался испечь ко дню нашего возвращения из плавания, да, видно, не судьба... Так что берите, берите, пожалуйста!

- Благородно! Великодушно! - сказал капитан растроганным голосом.- Остаётся подумать, как разделить коробку на девять совершенно равных отделений, чтобы котята и тут не завидовали друг другу.

- Ясно,- сообразил я,- все отсеки должны быть конгруэнтны.

- Не конгруэнтны, а равновелики,- уточнил он.-Для этого достаточно разделить дно нашей коробки, то есть круг, на девять равновеликих частей.

- Но ведь это же очень просто! - обрадовался я.-Разделим окружность на девять одинаковых дужек и соединим точки деления с центром круга радиусами. Вот вами девять одинаковых секторов. То есть отсеков. В общем, отсекторов...

- Для начала разделим 360 на 9,- предложил Пи.- Так мы узнаем, что на каждое отделение придётся по сорока градусов. А потом...

- Вот именно, что потом? - поинтересовался Единица.

- А потом возьмём транспортир... oКапитан поморщился.

- Транспортир - прибор ненадёжный. Истые геометры транспортирами не пользуются. Их оружие - только циркуль да линейка. К тому же слепая, без делений... Впрочем, должен вас огорчить. Да будет вам известно, что разделить круг на девять конгруэнтных секторов, как предлагает Нулик, даже и этим способом невозможно. Такое и Пифагору не удавалось!

- Выходит, одинаковые отсеки котятам не достанутся? -огорчились мы.

- Одинаковые по форме - не достанутся. Но ведь я уже говорил, что это и не обязательно. Важно, чтобы все девять помещений были одинаковы по площади, иными словами, равновелики. А это, к счастью, задача разрешимая.

Тут капитан удалился в свою каюту, а когда вернулся... Но о том, что было, когда он вернулся, поговорим завтра.

Циркуль, линейка, голова

Когда капитан вернулся, в руках у него был чертёж. Мы с Пи заглянули в него и только плечами пожали: из чего следует, что круг разделён на равновеликие части?

Но капитан словно бы и не заметил нашего недоверия. Он положил чертёж на бочку и стал объяснять.

- Перед вами круг с двумя взаимно перпендикулярными диаметрами. Каждый диаметр разделён на три равные части, а каждая из этих трёх равных частей, в свою очередь, представляет собой диаметр малого круга. Как видите, таких малых кругов в большом круге пять, и они совершенно одинаковы, то есть конгруэнтны. Известно, что если диаметр круга уменьшить, допустим, в три раза, то площадь круга уменьшится при этом в трижды три раза. Иными словами, площадь круга зависит от диаметра, взятого во второй степени (или, как говорят, от диаметра в квадрате). Отсюда следует, что площадь каждого из пяти малых кругов в девять раз меньше большого. Ведь три в квадрате равно девяти (3² = 9)!

Капитан перевёл дух и продолжал:

- Остаётся вычислить, чему равна площадь каждой из четырёх заштрихованных частей, заключённых между малыми кругами.

- Ну, это просто! - сейчас же выскочил я.- Если площадь большого круга принять за 9/9, то площадь всех пяти малых кругов составит 5/9, а на оставшиеся четыре части придётся 4/9. И части эти, само собой, тоже конгруэнтны.

- Отсюда ясно,- подытожил Пи,- что площадь каждой из заштрихованных частей также составляет 1/9 часть площади большого круга. Вот и выходит, что площадь большого круга разделена на девять равновеликих частей.

- Ура! - заорал я и завертелся на одной ножке.-Задача решена! Но вот как вам удалось сделать такой точный чертёж? Неужели только с помощью циркуля и линейки?

- О чертеже - потом,- сказал Единица.- Сперва разгородим коробку и расселим буянов, пока они не разбушевались снова.

В общем, не прошло и часа, как все девять тьфу-тьфу мирно спали в своих равновеликих отсеках. А во сне им, между прочим, цены нет! Я даже думаю, не отсюда ли пошла поговорка: "Хорош, когда спит!" Эти, во всяком случае, были так хороши, что штурман Игрек, несмотря на свои болячки, прямо влюбился в них. Он то и дело заглядывал в коробку, гладил то одного, то другого и даже называл милыми крошками, не забывая, впрочем, каждый раз сплюнуть через левое плечо: "Тьфу-тьфу, не сглазить!" Должно быть, на всякий случай...

Но капитан нашёл-таки способ отвлечь его: хватит ему умиляться! Пусть лучше объяснит нам, как сделать чертёж.

Сказать по правде, мы не очень-то обрадовались. Штурман у нас - полная противоположность капитану: горячий, нетерпеливый, к тому же до отказа нафарширован морскими словечками.

На сей раз к обычному его присловью прибавилось нечто новенькое.

- Бом-брам-фок! - заревел он.- Четыре взмаха циркулем, один - линейкой!

Мы уж подумали, что это очередное морское изречение, но штурман объяснил, что четыре взмаха циркулем и один линейкой - вот всё необходимое, чтобы сделать наш чертёж, а затем уж и вообще решить любую геометрическую задачу на построение.

Далее выяснилось, что для решения любой задачи на построение надо, в свою очередь, уметь решать две простейшие. И так как никто не начинает со второго (кстати, любимая поговорка кока), Игрек начал объяснять первую.

- Отдать концы! - гаркнул он и начертил на бумаге отрезок прямой.- Вот вам отрезок АВ. Требуется провести через его середину перпендикуляр. Что ж вы стоите? Выполняйте!

Легко сказать - выполняйте! А как? Сперва стали искать середину. Пи согнул было листок так, чтобы точки А п В совместились. Но бумага, как на грех, не просвечивала, и у него ничего не вышло.

- Бом-брам-фок! Штурман в сердцах швырнул бумажку за борт и достал большой деревянный циркуль с угольком вместо мела. Потом он вынул из кармана ещё один уголёк и провёл отрезок АВ прямо на палубе.

- Так-то! -сказал он ядовито.- Небось палубы пополам не перегнёшь!

- Уж конечно,- подтвердил я.- Но что же нам делать?

- Что за вопрос! - вскипел он.- А циркуль на что? Он засек циркулем две дужки из точки А и две - из точки В, а точки пересечения дужек обозначил буквами С - НАД отрезком АВ и Д - это уж ПОД ним.

- Вот вам и четыре взмаха циркулем,-сказал он.-Остаётся один взмах линейкой.

Тут он схватил линейку, соединил точки С и Д и посмотрел на нас взглядом полководца, выигравшего битву.

- То-то, бом-брам-фок! С одной задачей покончено. Переходим ко второй.

Он снова вычертил отрезок АВ, а повыше и чуть правее точки А поставил ещё одну точку - С.

- Задачка - проще некуда,-заявил он - Предлагается провести через точку С отрезок прямой, параллельный отрезку АВ. Ну-ка, раз, два, взяли!

На этот раз нам повезло: мы почему-то сразу догадались, что засечку следует делать из точки С. Только на какое расстояние раздвинуть циркуль? Оказалось, на такое, чтобы уголёк пересек отрезок АВ. Так мы и сделали, а точку пересечения обозначили буквой Д.

Один взмах был позади, и мы перешли к следующему: воткнули ножку циркуля в это самое Д и тем же раствором провели вторую дужку, которая пересекла отрезок АВ чуть правее. Эту точку обозначили буквой Е.

Потом иголка воткнулась в точку Е, а ножка циркуля описала дугу над отрезком и засекла дужку примерно на уровне точки С. Это был уже третий взмах. Оставался четвёртый, и последний.

Тут циркуль снова вонзился в точку С и тем же раствором провёл четвёртую дужку, которая пересеклась с предыдущей. Эту четвёртую точку окрестили буквой F.

- Циркуль отставить! Линейку на абордаж! - скомандовал Игрек и соединил отрезком прямой точки С и F. Потом он отшвырнул линейку и заорал: - Отбой! Отрезок CF параллелен АВ!

Теперь можно было приступать к нашему чертежу, но штурман спохватился, что не познакомил нас с ещё одной, совсем крохотной, но необходимой задачкой на построение.

- Так как эта третья задачка сводится к двум первым, будете решать сами,-сказал он и снова начертил отрезок АВ.- Требуется разделить данный отрезок на несколько одинаковых частей. Хоть на три.

Что и говорить, не сразу нам это далось, зато теперь-то уж мы знаем, как это делается.

Берётся линейка, и к отрезку АВ из точки А проводится другой отрезок, любой длины и под любым острым углом. На нём, опять-таки от точки А, но уже с помощью циркуля откладываются ещё три совершенно одинаковых отрезка: АС, СД и ДЕ. Потом точки Е и В соединяются линейкой, а через точки Д и С проводятся отрезки, параллельные ЕВ (точки пересечения этих отрезков с АВ мы обозначили буквами К и F).

Так мы научились делить отрезок на равные части.

- Да, но почему эти отрезки равны между собой? Из чего это следует? Да из того, бом-брам-фок, что полученные нами треугольники AFC, АКД и ABE подобны! Ведь углы у них конгруэнтны! -загремел штурман.- А раз так - значит, стороны этих треугольников соответственно пропорциональны.

- Действительно,- согласился Пи.- Сторона АС относится к стороне АД как 1:2. Значит, как 1:2 относится также сторона AF к стороне АК. Отсюда AF = FK. По тем же причинам равны и отрезки FK и КВ.

Вот теперь можно было приступить к нашему чертежу.

Штурман начал с того, что вычертил окружность и предложил нам найти её центр.

- Что тут искать! - засмеялся я.- Центр там, где дырочка от циркуля.

- Э, нет, так дело не пойдёт! - сказал Игрек. Он достал блюдце, положил на палубу и обвёл угольком.

- Вот вам окружность без дырочки. Где у неё центр? Не знаете? А если я скажу, что диаметр, перпендикулярный к любой хорде, делит эту хорду пополам?

- Тогда другое дело! - обрадовался Пи.- Значит, надо провести какую-нибудь хорду, найти её середину, а затем провести через эту середину перпендикуляр. Так мы найдём диаметр круга. Теперь то же самое проделаем с диаметром, проведём через его середину перпендикуляр и получим, таким образом, ещё один диаметр. Ну, а точка пересечения двух диаметров и есть центр круга.

Тут мы принялись за дело, и через некоторое время на палубе появился чертёж капитана. Мы построили его сами, с помощью тех задач, с которыми нас познакомил штурман. При этом главную роль сыграли циркуль и линейка. Ну и, конечно же, голова! Без головы, как известно, ничего не делается. Даже глупости.

Порт Ариф

В пять утра меня разбудил Пи. Он сказал, что к нашему Фрегату пришвартовалась быстроходная бригантина, идущая в Карликанию, и хорошо бы отправить на ней Стакса и Топса. А то с ними на судне хлопот не оберёшься: того и гляди, свалятся в воду!

Как ни жаль было расставаться с обезьянками, я всё же согласился и быстро снарядил их в дорогу. Воротясь в каюту один, я ещё поспал немножко и проснулся в прескверном настроении. Очень уж мне не хватало моих мартышек!

Но на нашем Фрегате не соскучишься. Иной раз обыкновенные, казалось бы, вещи оборачиваются здесь самым неожиданным образом.

Знаете ли вы, например, что такое насморк? Думаете, насморк - это когда чихаешь и всё время лезешь в карман за носовым платком? Ничего подобного! Насморк - функция сквозняка. Двойка в дневнике - функция невыученного урока. А хороший нагоняй - функция этой самой двойки в дневнике. По-вашему, я выдумываю? Честное слово, нет!

Дело было так. Наш Фрегат вошёл в порт Ариф.

"Красивое название! Наверное, от слова арифметика",- подумал я и ошибся.

Ариф - название сокращённое, и в нём объединились два слова: аргумент и функция. Впрочем, аргумент и функция - тоже понятия математические. И то и другое - величины переменные. Только вот аргументы - народ независимый. Они изменяются по собственной воле. А функции целиком зависят от аргументов. Иногда от одного, иногда - от многих.

Вот, например, скорость нашего Фрегата - функция, которая зависит от многих аргументов. От силы ветра. От его направления. От умения команды ставить паруса. От искусства штурмана держать правильный курс. Влияет на скорость также и вес судна, и даже форма его. Словом, скорость Фрегата зависит кит знает от скольких причин... то бишь аргументов. И потому эта функция не простая, а сложная.

То же относится и к погоде. Она-то уж от чего только не зависит! От времени года, от климата, от силы ветра, от его направления... И так далее и тому подобное. Неудивительно, что бюро прогнозов так часто ошибается!

Всё это мы узнали от капитана, который, к счастью, не слишком долго задерживался на функциях сложных и предложил нам заняться функциями попроще. Такими, которые зависят только от одного аргумента.

Тогда-то я и придумал про насморк и про двойку в дневнике. Но капитану про двойку не понравилось. Ведь функция - понятие переменное, а двойка в дневнике лодыря увы, штука постоянная! Сказав это, он подмигнул, да так выразительно, что я даже обиделся, но тут же об этом позабыл, засмотревшись на берег, где четверо юнцов развлекались странной игрой.

Сперва они притащили откуда-то резиновый канат с крепко-накрепко сваренными концами. Потом разделили его на четыре равные части меловыми чёрточками, и каждый ухватился обеими руками за свою отметину. Канат натянул и принял форму квадрата.

Тогда игроки стали меряться силами. Каждый тянул на себя и при этом понемножку отступал назад. Резина растягивалась, квадрат увеличивался, хотя и оставался по-прежнему квадратом. Видно, силы у игроков были равные.

Я спросил: во что они играют? Но капитан сказал, что вовсе они не играют, а работают. Это, мол, дети функционариев, которые с малолетства привыкли трудиться. Получив аргумент от аргументариев, они тут же начинают функционировать.

- Что-то я не вижу здесь ни аргументариев, ни аргументов,- сказал я.

- Неправда,- возразил капитан.- Разве ты не замечаешь, что площадь квадрата всё время растёт?

Действительно, вначале квадратик был совсем небольшой, потом - с боксёрский ринг, а теперь бы в нём свободно разместилась добрая сотня грузовиков.

- Так вот,- продолжал капитан,- площадь квадрата -это функция, а сторона квадрата, точнее, длина её -аргумент. Кроме того, здесь есть и ещё одна функция.

- Где, где? - заволновались мы с Пи.

- Да тут же! - пояснил капитан.- Это периметр. Ведь периметр квадрата прямо пропорционален длине его стороны! Ясно?

- Ясно,- сказал Пи.- Но ведь площадь квадрата тоже как будто пропорциональна его стороне?

- Уж конечно,- подтвердил Единица.- Но вот растёт она куда быстрее, так как пропорциональна не первой, а второй степени стороны. Увеличьте сторону квадрата вдвое -площадь мигом возрастёт в четыре раза.

Он говорил, а юнцы всё растягивали и растягивали свой квадрат, но мы на них уже не смотрели. Нас заинтересовали маленькие функционята, которые выдували через соломинки мыльные пузыри самых разных размеров.

- Как ты думаешь,- спросил я у Пи,- где здесь аргумент, а где функция?

- Наверное, аргумент мыльного пузыря - это его радиус,- сказал он, немного подумав,- а функция - его объём.

- А ещё площадь мыльной плёнки,-добавил я.

- Ты хочешь сказать - поверхность шара,- уточнил капитан.- Математики называют это сферической поверхностью, а короче - просто сферой.

- Выходит, и здесь от одного аргумента зависят сразу две функции: объём шара и его сфера,- гордо заявил я.

- А зависимость от радиуса у обеих, наверное, квадратная,- предположил Пи.

- Так, да не так,- поморщился Капитан.- Поверхность в самом деле зависит от второй степени радиуса, а насчёт объёма - подымай выше! Объём зависит от третьей степени радиуса.

- Ого! - задохнулся Пи.- Значит, если радиус увеличить втрое, поверхность шара возрастёт в девять раз, а объём...

- А объём - в целых 27 раз! - хвастливо ввернул я.

- Молодцы!-растрогался капитан.- Уж не податься ли вам в функционарии?

- Ну уж нет,- запротестовал я.- Очень надо всё время от кого-нибудь зависеть. То ли дело стать аргументарием! Тут я бы ещё подумал...

Но капитан сказал, что всё на свете относительно. Аргумент в математике запросто превращается в функцию, и наоборот: функция - в аргумент. Это уж как выгоднее для данной задачи.

- А мама говорит, что думать о выгоде нехорошо,-сказал я.

- Смотря где и когда,-возразил капитан.- Искать, к примеру, выгоды в дружбе - дело последнее, а искать выгоды в математике - первое... Задачу, во всяком случае, надо решать самым выгодным способом. Иногда выгоднее, чтобы аргументом был радиус шара, а функцией - его объём. Иногда - наоборот: чтобы аргументом был объём, а функцией -радиус шара.

- А что от этого меняется? - спросил Пи.

- Очень даже многое,- ответил капитан.- Меняется функциональная зависимость. Поверхность шара, например, есть функция второй степени его радиуса. А вот радиус шара - это уже функция корня квадратного из величины поверхности. Впрочем, иногда зависимость в обоих случаях сохраняется. И происходит это тогда, когда функция прямо пропорциональна аргументу. Тогда и аргумент прямо пропорционален функции.

- А пример? - сейчас же прицепился я.

- Сколько угодно,- ответил капитан.- Периметр квадрата прямо пропорционален длине его стороны. Но и сама сторона квадрата тоже прямо пропорциональна его периметру. Так что, в данном случае, что мы приняли за аргумент, а что - за функцию, значения не имеет. Ведь характер функциональной зависимости при этом не изменится.

Тут на берегу появились ещё два малыша, у каждого в руках по котёнку. Малыши подошли к тем, что выдували мыльные пузыри, и стали сажать на эти самые пузыри котят Один посадил котёнка на радужный шарик величиной с апельсин, другой - на шар размером с большой мяч.

Ну, с шарика поменьше котёнок тут же свалился, зато другой котёнок сидел себе на своём 'большом шаре как ни в чём не бывало.

Нечего и говорить, что мы с Пи от изумления рты разинули. Где это видано, чтобы котят сажали на мыльные пузыри? И что это за мыльные пузыри, которые при этом не лопаются? Но капитан сказал, что, путешествуя на таком Фрегате, как наш, и не такое увидишь!

- Нет, вы лучше над другим подумайте,-предложил он.- Почему это один котёнок на шаре не удержался, а другой - наоборот?

- Наверное, потому, что у маленького шарика поверхность крутая, а у большого - пологая, - догадался Пи.

- Отлично! - обрадовался капитан. - Правда, математики выражаются чуть иначе. Они говорят, что у одних поверхностей кривизна большая, а у других - маленькая. Чем больше радиус шара, тем меньше его кривизна. Вот и выходит, что котята познакомили вас ещё с одной функцией радиуса. И функция эта не прямо, а обратно пропорциональная.

- Совсем как у земного шара,- сообразил я.- У Земли радиус огромный, а кривизна такая маленькая, что её почти и не заметно.

Но тут капитана вызвали в рубку, и он так и не успел похвалить меня за отличный пример, зато, уходя, велел нам вычислить, сколько диагоналей у выпуклого многоугольника. Так, мол, мы выясним, какова функциональная зависимость между числом его диагоналей и числом сторон.

По правде говоря, мы приступили к делу не сразу, а после порядочной разминки. Как говорится, функция не волк, в лес не убежит. Кроме того, надо было хорошенько вспомнить всё, что нам известно о многоугольнике.

Признаться, меня очень смущало слово "выпуклый". То, что многоугольник - замкнутая геометрическая фигура, состоящая из отрезков прямой, ясно каждому. То, что диагональ - это отрезок прямой, соединяющий вершины многоугольника, не лежащие на одной стороне, тоже ни для кого не секрет. Но что такое выпуклый многоугольник?

К счастью, Пи оказался образованнее меня. Он уже где-то читал, что многоугольники бывают выпуклые и звёздчатые И первые отличаются от вторых тем, что все их диагонали находятся внутри многоугольника.

Теперь можно было заняться решением. Не скажу, что оно далось нам сразу, но всё-таки далось. А вот что за функция у нас получилась, рассказывать не стану. Над этим поразмыслите сами.

Полный назад!

Вот уже четвёртый день идём в сплошном тумане. Дальше борта не видать ни зги. Ползём как улитки, а капитану вроде и горя мало. Знай себе мурлычет под нос: "На заре туманной юности..."

- Этак мы далеко не уплывём,- не выдержал я.

- Ну, это ещё не известно,- усмехнулся Единица.- За ночь мы уплыли почти на четыре тысячи...

- ...миллиметров,- сострил я.

- На четыре тысячи лет! - внушительно заявил он.- Я ещё с вечера дал команду: "Полный назад". И сейчас мы находимся примерно в двадцатом веке до нашей эры. В Древнем Египте. Должны же вы, наконец, познакомиться с родиной геометрии!

В это время туман стал быстро редеть, и мы увидели берег, где копошились какие-то полуобнажённые фигуры.

- Смотрите, смотрите! - возбуждённо закричал Пи.- Кто это там верёвкой размахивает?

- Вероятно, гарпедонапт,- небрежно сказал капитан.

- Кто-кто? - переспросил я.

- Гар-пе-до-напт,- повторил Единица раздельно.- А по-нашему - землемер. Древнеегипетские землемеры измеряли землю верёвкой с узелками, что не помешало им стать неплохими геометрами. Некоторые учёные считают гарпедо-наптов первыми геометрами в истории человечества.

- Дорогу! Дорогу Ахмесу! Дорогу писцу фараона! -донеслось до нас с берега, и мы увидели странное шествие.

Четверо дюжих чернокожих молодцов несли какую-то будочку, со всех сторон обвешанную богато расшитыми занавесками. Молодцы были совсем голые, если не считать коротких, раздувающихся на ветру юбочек. Их глянцевые, будто смазанные жиром, тела так и сверкали на солнце!

Я спросил, что за будочка такая? Уж не киоск ли для мороженого? Но капитан сказал, что это не киоск, а носилки. Носилки Ахмеса.

- Разве этот Ахмес болен? - удивился я.

- Не думаю,- возразил Единица.- Это в наши дни на носилках переносят больных. А когда-то таким способом путешествовали важные персоны.

Пи посмотрел на него с явным недоверием.

- При чём тут важные персоны? Насколько я понимаю, это всего-навсего носилки придворного писца.

- Думаешь, писец не может быть важной персоной? -усмехнулся капитан.- Как бы не так. Писцы в древности - это ведь не просто переписчики, а весьма образованны и уважаемые люди. К тому же, как правило, прекрасны математики. В Египте было даже целое сословие царски писцов.

- Выходит, древний писец - что-то вроде учёного.- сказал я.- Но из чего это следует?

- Странный вопрос! - пожал плечами капитан.-Из папируса.

Я уж подумал, что он имеет в виду папиросы, но оказалось, что речь идёт о свитках плотной бумаги, которые египтяне изготовляли из стеблей тростника под названием папирус.

Многие папирусы сохранились до нашего времени, записи египетских писцов поведали дальним потомкам давно исчезнувшем государстве, о его обычаях, верованиях и науках, в том числе и о египетской геометрии. О ней, к слову сказать, историки узнали из свитка, названного учёными папирусом Ахмеса.

В общем-то, папирус Ахмеса - это что-то вроде задачника, где собраны задачи по арифметике и геометрии, необходимые любому землемеру, строителю или купцу. И задачи эти позволяют судить о том, что знали египтяне из математики.

Конечно, на наш взгляд, знали они не так уж много. Но в глазах древних египтян человек, который может составить или даже просто переписать такой задачник, выглядит существом необычным. Ведь он должен не только хорошо владеть египетским письмом (а оно, как известно, было не из лёгких!), но и прекрасно разбираться в самих задачах. А по тем временам, далёким и тёмным, такое было доступно лишь избранным...

Пока капитан рассказывал, носилки успели уже скрыться из виду. Тут только мы с коком спохватились, что так и не повидали Ахмеса, и очень расстроились. Капитан тоже расстроился, но, как всегда, сумел нас утешить.

Он достал из кармана фотографию какой-то скульптуры, и мы увидели человека, сидящего скрестив ноги на коврике. В руке у него была тоненькая тростинка, заменяющая египтянам перо. Глаза глядели выжидательно и чуть насмешливо.

- Вот вам скульптурное изображение египетского писца,-сказал Единица.- Оно дошло до нас из тьмы веков и позволяет судить сразу и о высоком уровне египетского искусства, и о том, что представлял собой писец в Древнем Египте.

- По-моему, это парень с умом,- сказал я.- Вон у него какое смышлёное лицо!

- А по-моему, не только с умом, но и с достоинством,- добавил Пи, внимательно вглядываясь в фотографию.- Он хорошо знает цену своим знаниям и способностям. Сразу видно: человек науки.

- Совершенно с вами согласен,-сказал капитан, очень довольный.- И всё же наукой в полном смысле слова египетскую математику не назовёшь. Египетская геометрия, к примеру,- просто набор практических сведений, добытых опытом, но математически не обобщённых и не доказанных. Разумеется, египтяне знали способы вычисления площадей разных геометрических фигур и даже поверхностей и объёмов некоторых тел. Однако способы эти были сложны и не отличались математической точностью. Но что там умели в совершенстве, так это вычислять объём пирамиды (есть такое геометрическое тело),

притом не только полной, но и усечённой - со срезанной верхушкой. На сей раз способ оказался таким точным, что им пользуются доныне...

Откровенно говоря, я не очень-то понял, что такое пирамида.

Но тут на берегу показалось странное сооружение из желтоватого камня, очень похожее на бумажный пакет из-под молока, но такой огромный, что мне даже неуютно стало. Очень уж маленьким я себе показался в сравнении с этой громадиной...

- Знакомьтесь! - торжественно объявил капитан. - Пирамида Хеопса!

- Бедняга Хеопс! - посочувствовал Пи.- Не хотел бы я жить в такой штуке.

- А кто тебе сказал, что он здесь живёт? - удивился капитан.- Пирамиды в Египте строили не для живых, а для мёртвых. Правда, египетский фараон Хеопс возвёл её для себя ещё при жизни, то есть где-то за три тысячи лет до нашей эры... Но с тех пор он давно уже успел умереть.

- А зачем ему понадобилась такая махина, да ещё после смерти? - спросил я.

- На этот вопрос не сразу ответишь,- сказал капитан, помедлив.- Большую роль здесь играли воззрения и религиозные обычаи древних египтян. Но, на мой взгляд, главную причину следует искать в желании утвердить своё могущество, прославиться в веках. В пышном надгробии фараоны видели как бы символ своего бессмертия. Что ж, отчасти они были правы. Что мы знаем о Хеопсе? Ничего или почти ничего. А имя его живёт до сих пор. И всё благодаря пирамиде, которая куда интереснее того, для кого построена.

- Вот уж ничего интересного! - пренебрежительно проворчал я.- Разве что громадная очень.

- Это на твой взгляд,- язвительно осклабился капитан.- А учёные почему-то иначе думают...

- Как же, как же! - подхватил Пи.- Я вот слыхал, будто бы размеры пирамиды Хеопса, углы наклона её граней и внутренних коридоров выбраны не случайно: все они связаны с различными астрономическими величинами. Отсюда следует, что древние египтяне хорошо знали и размеры нашей Земли, и наклон её оси, и даже расстояние от неё до Луны...

- Да,-подтвердил Единица,-есть такое мнение. Но наши, современные египтологи с ним не согласны. Во всяком случае, не все. Ну да это не единственный спорный вопрос в египтологии. Египет - одна из самых удивительных и загадочных стран древнего мира. Недаром же символом её считают сфинкса - колоссальное каменное изваяние, что-то вроде сочетания льва с человеком...

Ну, мы, понятно, забросали капитана вопросами и выяснили, что "сфинкс", как и "пирамида" - слова древнегреческие. У египтян они звучали иначе. Но именно в греческом переводе их переняли другие народы. А слово "пирамида", кроме того, вошло ещё в математику: так называется геометрическое тело, чьим основанием может быть любой многоугольник, зато боковые грани - обязательно треугольники, которые сходятся в одной точке, то есть в вершине пирамиды.

- Ну, а сфинкс? - нетерпеливо понукал я.

Капитан сказал, что на этот счёт существует занятное предание. Жил, дескать, когда-то злой демон по имени Сфинкс. Мстительные боги повелели ему уничтожить целый народ. Долго он думал, как ему поступить, и наконец надумал - засел в большую пещеру и всем прохожим задавал одну и ту же загадку: кто ходит утром на четырёх ногах, в полдень - на двух, а вечером - на трёх? Всякого, кто не мог её отгадать (а отгадавших пока что-то не было), он убивал. Так он погубил много ни в чём не повинных людей. Но боги предупредили Сфинкса, что если кто-нибудь ответит на его вопрос правильно, придётся ему лишить жизни себя самого. И вот однажды у пещеры остановился юноша по имени Эдип. Выслушал он Сфинкса и сказал: "Я разгадал твою загадку. Она имеет в виду человека. Ведь именно человек ребёнком ползает на четвереньках, потом ходит на двух ногах, а под старость - опираясь на палку". И при шлось Сфинксу броситься со скалы. А Эдип вскоре стал царём. С тех пор сфинкс считается символом загадочности.

Фрегат подошёл чуть ли не к самому берегу, и пирамида всплыла перед нами во всей своей царственной необъятности. (Не подумайте, что это мои слова! Их подсказал мне мой редактор Пи, а сам вычитал их в каком-нибудь журнале.)

Капитан сказал, что среди всех пирамид Египта эта - самая высокая. Основание её - квадрат со стороной 233 метра, стены - равнобедренные треугольники. Вершина пирамиды находится на расстоянии 146,5 метра от земли. Ну и высота! И как только умудрялись рабы поднимать такие огромные глыбы? Ведь у них не было подъёмных кранов!

Говорят, сперва пирамиду делали ступенчатой. По этим-то ступенькам и волокли люди тяжёлые камни. А потом ступеньки сравнивали, и получались гладкие стены. Впрочем, всё это только догадки...

Мы с коком решили обязательно побольше разузнать о Древнем Египте. По словам капитана, о нём написана целая гора книг. Ну, горы-то, пожалуй, нам не одолеть, а одну-две книжки прочитать надо. Непременно!

Воротясь в каюту, мы с Пи, надумали вычислить объём Хеопсовой пирамиды, благо нам это не впервой: мы ведь уже вычисляли объём куба, а потом и параллелепипеда, то бишь аквариума, и знаем, что для этого надо площадь основания помножить на высоту. Стало быть, и объём пирамиды вычисляется так же. Нужно лишь сперва вычислить площадь её основания. И так как это квадрат со стороной в 233 метра, нетрудно подсчитать, что площадь его равна 54 289 квадратных метров (233 x 233 = 54289).

Потом мы умножили площадь основания на высоту, получили число 7953338,5 кубометра (54 289 x 146,5 = 7 953 338,5) - и тут же побежали хвастаться к капитану.

Капитан, впрочем, сказал, что хотя всё и правильно, да не совсем: полученное нами число надо разделить на три. Почему? Да потому, что объём пирамиды равен всего лишь одной трети объёма параллелепипеда с той же высотой и с тем же основанием. Именно так вычисляли объём пирамиды древние египтяне.

- А вы уверены, что они не ошибались? - сказал я.

- Конечно! - обиделся капитан. - Справедливость этого правила давным-давно доказал древний грек по имени Эвдокс.

- На Эвдокса надейся, а сам не плошай, - сказал я и выразительно посмотрел на Пи.

Кок понял меня с полуслова (что значит настоящий друг!) и срочно вспомнил, что в камбузе у него имеется подходящая четырёхугольная банка с манной крупой и с квадратным основанием.

Мы быстро соорудили из картона пирамиду с точно таким же основанием и с такой же высотой, как у банки. Потом перевернули пирамиду вниз головой, то бишь вершиной, вынули картонное дно и высыпали туда крупу. И что же вы думаете? Нам пришлось ровно три раза наполнять пирамиду доверху, чтобы в ней побывало всё содержимое банки.

Выходит, египтяне знали, что делали: объём пирамиды и в самом деле равен одной трети объёма параллелепипеда с той же высотой и тем же основанием.

Так команда "Полный назад!" помогла нам продвинуться в геометрии.

На обратном пути

Плывём вдоль берегов Древней Греции. До начала нашей эры остаётся менее шестисот лет.

Лево по борту показался весельный корабль. Завидев нас, загорелые, обнажённые до пояса гребцы подняли вёсла, а их капитан - смуглый бородач в белоснежном хитоне (это у них, у греков, такая длинная рубаха, перехваченная поясом) - сложил ладони рупором и зычно закричал:

- Салют капитану Единице! Благополучного возвращения в будущее!

- Привет славному Пифагору! - гаркнул в свою очередь Единица.-Счастливого плавания к берегам Африки! Добрых математических находок, занятных теорем!

Вот так встреча! Мы с коком даже растерялись от неожиданности: неужели это тот самый Пифагор, именем которого называется теорема о прямоугольном треугольнике?

- Он и есть,- подтвердил капитан и добавил, чуть понизив голос: - Хотя, помнится, я уже говорил, что теорему эту Пифагор не придумывал, а всего лишь вывез из Древнего Египта. Учёные, видите ли, бывают разного толка. И Пифагор скорее относится к собирателям и распространителям знаний, нежели к первооткрывателям. И всё же трудно переоценить его заслуги перед наукой. Неутомимый путешественник и верный рыцарь математики познакомил греков с математическими сокровищами Вавилона и Египта, что сыграло немалую роль в развитии древнегреческой, а отсюда и всей мировой математики!

Встречный корабль давно уже скрылся из виду, а Фрегат всё плывёт и плывёт, и как в кино мелькают перед нами страницы древнегреческой истории.

Сейчас, например, происходит сражение между ионийцами и мидянами (каких только народов не было на свете!). Противники дерутся отчаянно. Крики, топот, ржание, лязг мечей... Вот уже удача на стороне ионийцев. Мидяне обороняются из последних сил. И вдруг...

И вдруг среди бела дня небо потемнело, и через каких-нибудь десять - пятнадцать минут наступила самая что ни на есть настоящая ночь.

- В чём дело? - встревожился я.

- Солнечное затмение,- невозмутимо пояснил капитан, а потом как закричит: - Да здравствует Фалес Милетский!

Тем временем ионийцы и мидяне побросали оружие и разбежались кто куда. Ну, битве, само собой, конец. И прекрасно! Охота была калечить друг друга...

- Мы за мир! - запел я во всё горло, и все на Фрегате так и прыснули.

А потом я, как водится, спросил, кто такой Фалес Милетский, и узнал, что это самый прославленный из семи мудрецов древности - великий астроном, предсказавший солнечное затмение, которое мы сейчас наблюдаем.

Между прочим, Фалес, как и Пифагор, тоже отлично знал не только греческую, но и вавилонскую науку и время затмения рассчитал по вавилонским астрономическим таблицам.

Как и многие учёные, Фалес был очень рассеян. Говорят, однажды, наблюдая движение звёзд, он оступился и упал в колодец, а какая-то рабыня, смеясь, сказала: "Хочет знать, что на небе, а что под ногами - не видит!"

А ещё Фалес был замечательным философом и математиком. Ему принадлежит доказательство многих геометрических теорем, дошедших до греков от вавилонян и египтян. Только ни те, ни другие доказать их так и не смогли, а вот Фалес смог! Недаром древнегреческий философ Платон частенько говаривал, что греки всегда доводили до совершенства то, что переняли у других народов.

А Фрегат плывёт всё быстрее и быстрее, и вот мы уже в пятом веке до нашей эры.

Иные времена - иные лица. Давно уже нет в живых ни Пифагора, ни Фалеса, а добытое их трудами не умирает. Наука идёт вперёд!

Большие успехи сделала и геометрия, чему очень способствовали последователи Пифагора - пифагорейцы, а их в это время появилось немало. Это они написали учебник "Предание Пифагора", по которому обучали геометрии всех желающих. К сожалению, книга погибла, и содержание её дошло до нас в пересказе более поздних учёных.

Пифагорейцы, впрочем, занимались не только геометрией но и другими науками. Кстати, "наука" - по-древнегречески "математа". Помимо геометрии, пифагорейцы изучали три математы: астрономию, арифметику и музыку.

- Вот те на! А я-то думал, музыка - искусство!

- Правильно! - подтвердил капитан. - Музыка - искусство, основанное на гармонии.

- Не только на гармонии, - запротестовал я. - И на рояле, и на скрипке, и на саксофоне...

Но оказалось, что капитан имел в виду не гармонь - музыкальный инструмент, а гармонию - науку о созвучиях, иначе говоря, о соразмерном слиянии музыкальных звуков. И, как всякая наука, гармония без математики не обходится.

- Кстати, знаете ли вы, отчего звучит скрипичная струна? - продолжал капитан. - Она звучит потому, что смычок заставляет колебаться струны. Струны, в свою очередь, заставляют колебаться воздух и образуют звуковые волны. А те уже попадают к нам в уши, заставляя вибрировать барабанные перепонки. И тогда мы слышим прекрасную музыку.

- А отчего это одни звуки бывают тонкие, высокие, а другие - низкие, густые? - спросил Пи.

- Это зависит от длины струны, - объяснил Единица. - Чем струна короче, тем звук выше.

Я вспомнил, что у рояля струны и в самом деле разной длины, зато у скрипки - совершенно одинаковой, а звуки, между прочим, тоже получаются разные. Почему?

- Да потому что скрипач прижимает струну пальцем,-сказал капитан,- и звучит при этом не вся струна, а только часть её. Кстати, хотите знать, кто первый вычислил, на какие части следует делить струну, чтобы получать звуки разной высоты? Пифагор!

- Правда? - удивился Пи. - Да ведь это открытие! Настоящее открытие! А вы говорили, Пифагор - всего лишь собиратель и распространитель знаний...

- Боюсь, ты не так меня понял, - возразил капитан. - Я вовсе не хотел сказать, что открытий у Пифагора не было совсем. Как видишь, открытия были, и искать их следует прежде всего в пифагоровом учении о гармонии.

- Вы хотите сказать, о музыке? - важно заметил я.

- И о музыке, - согласился капитан. - Но музыка - всего лишь одно из проявлений гармонии. Пифагор же считал, что на гармонии основано всё, решительно всё! Гармония, по его мнению, управляет миром. А так как всякое проявление гармонии сводится к соотношению чисел, Пифагор и его последователи стали приписывать числам особую, таинственную, божественную власть... Впрочем, тут надо бы потолковать не только об открытиях, но и о заблуждениях пифагорейцев, да это уж разговор не для нас с вами. Так что отложим до другого раза...

Ну вот, так я и знал! Как только что-нибудь интересное, так отложим до другого раза... Я уж хотел рассердиться, да не успел: Фрегат сделал мощный рывок лет этак на двести вперёд, и мы попали во времена для геометрии знаменательные, потому что именно тогда жил великий Эвклид!

Не подумайте только, что я знал о нём раньше. Про Эвклида нам рассказал всё тот же капитан Единица.

Оказывается, этому замечательному древнегреческому учёному удалось совершить то, что не удавалось никому прежде. Он свёл воедино все накопившиеся за многие века сведения по геометрии и сделал это так, что каждая теорема логически вытекает из предыдущих и служит, в свою очередь, опорой последующим. Стройное здание геометрии, возведённое Эвклидом, оказалось таким прочным, что служит людям и теперь.

- Да, это человек! - сказал Пи с уважением.

- На такого человека не худо бы взглянуть,- добавил я и выразительно посмотрел на капитана.

- Нет ничего проще! - отвечал тот и указал на берег.

И правда: там на берегу, у самой воды, на большом, до блеска отполированном волнами камне, сидел смуглый темнобородый грек. В руке у него была тонкая палочка, и он чертил ею на песке какую-то фигуру. Ветер трепал его волосы, рвал на нём старый плащ, но он, казалось, ничего не замечал, поглощённый своими мыслями...

Было в этом что-то такое, что у меня в носу защипало, и я ни с того ни с сего полез за фотоаппаратом. Просто так, чтобы не пустить слезу. Но капитан вдруг страсть как обрадовался и сказал, что это я здорово придумал: ведь до нас не дошло ни одного изображения Эвклида, и потому снимок мой будет уникальным!

- А вот и неверно, - заявил Пи. - Скульптурный портрет Эвклида сохранился, и я сам видел его фотографию в одном журнале.

- Должен тебя огорчить, - вздохнул капитан. - Ты видел изображение другого Эвклида. Он был тоже учёный, но жил в другие годы. Вот и вышла путаница...

Нечего и говорить, что после всего сказанного я просто умирал от желания заполучить фотографию Эвклида. Только ничегошеньки из этого не вышло! Нет, щёлкнуть-то я щёлкнул, но второпях забыл снять крышку с объектива, а когда спохватился - Эвклид был уже далеко...

Теперь наш Фрегат летел так быстро, что ничего не разглядишь. Я и не заметил, как мы перескочили в нашу эру, а когда узнал, расстроился. Жаль стало, что не всё увидал.

Но капитан сказал, что никто не обнимет необъятного. На первый раз и этого хватит! Хотя кое о чём он нам ещё порасскажет - потом, в свой срок...

Телеграмма-молния

Утром я по привычке взглянул на свой автоматический календарь и сразу вспомнил, что мы уже в двадцатом столетии. Но вот что меня удивило: на календаре стояло 25 нуляля. А ведь я точно помню, что лёг спать двадцать третьего! Неужели я проспал лишние сутки?

- Вот именно,- подтвердил Пи, который как раз вошёл в каюту.- Всё дело в резком перепаде времени. Так на тебя подействовал быстрый переход из одной эры в другую. Но тыне расстраивайся! Что такое сутки по сравнению с вечностью? К тому же вчера снова был такой туман, что сквозь него всё равно ничего не увидишь. Зато сегодня...

В самом деле, сегодня денёк что надо! Небо синее, море спокойное, добродушное, совсем как капитан Единица, когда он в хорошем настроении.

После завтрака мы тотчас отправились на капитанский мостик, к штурману Игреку, который безмятежно посасывал свою трубку, напевая под нос "Ничего в волнах не видно...".

"Ничего в волнах не видно" - это его любимая песня, но на сей раз она оказалась явно некстати, потому что очень скоро в волнах показалась какая-то странная штуковина.

- Лево по борту вижу незнакомый предмет! - заорал я во всю глотку.

- Бом-брам-фок! - встрепенулся штурман и посмотрел в указанном направлении. - Так и есть! А я-то и не приметил...

Он тотчас вызвал капитана, тот приказал немедленно спустить шлюпку, и через некоторое время "незнакомый предмет" очутился на борту.

То была тёмно-зелёная, крепко закупоренная бутылка, а в бутылке...

- Телеграмма-молния! - сказал капитан Единица.

- Вот так молния! - расхохотался я. - Плавает небось с прошлой эры. Может, её ещё Эвклид написал...

Мы с трудом извлекли из бутылки засунутую туда бумажку. Но там оказалось что-то непонятное: "15° 30'14" зап. долг. 3° 10'05" сев. шир. Рыбаки".

Впрочем, капитан, как видно, всё-таки разобрался в этой абракадабре, и брови у него съехались к переносице.

- Дело серьёзное! Идём на выручку, - сказал он и приказал изменить курс.

Я спросил, откуда он знает, куда плыть?

- Но ведь тут же всё написано, - возразил он. -Точные координаты.

Я снова заглянул в бумажку и опять ничего не понял. Правда, слово "координаты" я слышал не впервые, но почему-то так и не удосужился спросить, что это такое. Пришлось спрашивать сейчас. Капитан, как всегда, не оставил моего вопроса без ответа и, пока Фрегат шёл себе по указанному адресу, рассказал вот что.

Координаты - это просто-напросто два числа, указывающие расстояния, по которым можно найти местонахождение любой точки или предмета на поверхности. Но поверхности бывают разные. Поверхность стола - плоская. Поверхность Земли - выпуклая, сферическая. А потому для разных поверхностей нужны и разные системы координат.

Чтобы найти точку на плоскости, применяют систему прямолинейных координат, а короче - прямолинейные координаты. Если же ищешь точку на сфере, удобнее прибегнуть к координатам криволинейным.

Пи спросил, как же всё-таки искать точку на плоскости?

Вместо ответа капитан вынул из кармана орешек и положил его на стол.

- Давайте определим координаты орешка,- сказал он.- Для этого выберем сперва оси координат, то есть две прямые, от которых и будем отсчитывать расстояния до орешка.

Ну, мы стали выбирать прямые и выбирали бы до вечера, если бы капитан не сказал, что прямые должны быть взаимно перпендикулярные, а потому очень удобно принять за оси координат две взаимно перпендикулярные стороны стола.

Так мы и сделали, и капитан обозначил одну сторону, то есть ось, латинской буквой икс (х), а другую - тоже латинской буквой игрек (у) (наверное, в честь нашего штурмана!). Угол стола, то есть точку, где оси х и у сходятся, он обозначил буквой О и сказал, что эта точка называется началом координат.

Теперь проведём от орешка два перпендикуляра,- предложил он,- один перпендикуляр на ось х, другой - на ось у, и измерим расстояния от начала координат до оснований этих перпендикуляров. Попросту, до тех точек, где перпендикуляры пересекаются с осями.

- В каких единицах будем измерять? - деловито спросил я.

- Да в каких угодно,- ответил капитан. - Хоть в километрах. Хотя километры для стола, пожалуй, длинноваты...

Решили вычислять в сантиметрах. Пи вынул из кармана рулетку, и мы увидели, что по оси х координата орешка равна шести сантиметрам, а по оси у - восьми.

- Вот вам и точные координаты орешка на столе,-сказал капитан, довольно потирая руки. - Шесть и восемь. И запомните, пожалуйста, что первое число всегда означает расстояние по оси х (между прочим, число это называется абсциссой точки), а второе расстояние - по оси у (его называют ординатой точки). Смотрите не меняйте эти числа местами, не то попадёте совсем по другому адресу. Понятно?

- Понятно, - кивнул я. - Только мы-то ведь ищем точку не на столе, а на Земле. А у Земли какие же края? Земля -шар.

- Неужели?! - хмыкнул капитан. - Всегда от тебя услышишь что-нибудь новенькое! Земля, конечно, шар. Правда, чуточку сплющенный, но это не в счёт. А я уже говорил: чтобы найти точку на шаре, прямолинейные координаты не годятся. Здесь нужны координаты криволинейные. Вообще-то криволинейных координат много. Но те, что пригодны для сферы, называют географическими. Ведь они тесно связаны с географией! Итак, чтобы найти точку на земной поверхности, за оси координат принимаются две взаимно перпендикулярные окружности. Одна из них - та, что делит Землю на северное и южное полушария,- называется экватором, другая - пересекающая Северный и Южный полюсы,- нулевым меридианом.

Тут мне страсть как захотелось узнать, отчего меридиан назвали нулевым: недаром я Нулик! Оказывается, через Северный и Южный полюсы можно провести сколько угодно меридианов, да вот вопрос: от какого из них вести отсчёт? Посовещавшись, выбрали меридиан, который проходит через пригород Лондона - Гринвич. И вот почему нулевой меридиан называют ещё и гринвичским.

Нулевой - гринвичский... Вот здорово! Я даже запрыгал от радости и тут же решил переименоваться из Нулика-праведника в Нулика Гринвичского. Но капитан строго заметил, что это к делу не относится, и снова вернулся к разговору об экваторе. Экватор, по его словам, разделили на 360 одинаковых частей, начиная с той точки, где он пересекается с нулевым меридианом, и провели 180 меридианов, разделив таким образом Землю на 360 долек.

- Прямо как апельсин,- засмеялся Пи.- Только что долек у апельсина поменьше.

Но я всё-таки не понял, как же так? Экватор разделили на 360 долек, а меридианов получилось всего-навсего 180!

- Так ведь каждый меридиан пересекает экватор не в одной, а в двух точках, - объяснил капитан. - А 360, делённое на 2, и есть 180.

Тут он достал карандаш и блокнот, нарисовал две взаимно перпендикулярные окружности, разделил экватор на 360 частей и провёл 180 меридианов. Затем он разделил расстояние между экватором и каждым полюсом на 90 равных частей и провёл 90 параллельных экватору окружностей - они так и называются параллелями.

- А это уже больше похоже на арбуз, нарезанный кружками,- сказал Пи (вечно у него на уме съедобное! Одно слово - кок).

- Так как у Земли два полюса,- продолжал капитан,-параллелей у нас, само собой, получилось 180, как и меридианов. Только меридианы по длине все одинаковы, а параллели - нет. Ведь чем параллель ближе к полюсу, тем радиус у неё меньше. А уж на самом полюсе он и вовсе превращается в точку.

- Значит, на полюсе параллель равна нулю! - победоносно закончил я.

- Ну да, самая маленькая параллель - полюс - равна нулю, а самая большая - экватор - нулевая по счёту,- подытожил Пи.

- Весьма тонко подмечено,- одобрил капитан.- Но двинемся дальше. Разделив сферу на 180 меридианов и 180 параллелей, мы как бы поместили земной шар в сетку...

- ...в авоську, - ввернул Пи.

- В самом деле похоже, - улыбнулся Единица и продолжал: - Расстояние между двумя ближайшими меридианами, отсчитанное по дуге любой параллели, условились считать одним градусом географической долготы, а расстояние между двумя параллелями, отсчитанное по дуге любого меридиана,- одним градусом географической широты. Каждый градус, в свою очередь, делится на 60 минут, минута -на 60 секунд. И если добавить, что градусы обозначаются кружком, минуты - одной вертикальной чёрточкой, а секунды - двумя, то теперь вы, пожалуй, сможете и сами разобраться в адресе, указанном рыбаками.

Я выхватил у него бумажку и прочитал: "Пятнадцать градусов тридцать минут четырнадцать секунд зап. долг..."

- Что ж ты запнулся? - спросил капитан. - "Зап. долг." - значит "западной долготы". Это сказано для того, чтобы понятно было, в какую сторону от гринвичского меридиана следует отмерять градусы долготы: на запад или на восток.

После этого действительно ничего не стоило прочитать записку до конца: "15 градусов 30 минут 14 секунд западной долготы, 3 градуса 10 минут 5 секунд северной широты" Туда-то мы и направляемся!

В это время с марса закричали: Люди за бортом!

Что тут началось! Все забегали, заволновались, и через несколько минут потерпевшие очутились на Фрегате. Все они были очень измучены и еле держались на ногах, но сразу же, пришли в себя, как только попробовали снадобья, приготовленного коком.

Пи сказал, что это его собственное изобретение. Оно называется "коктейль для утопающих". И когда только он успел его приготовить?

Так благополучно закончилась эта история. А скоро приключилась и другая.

Наступил полдень. Солнце висело над самой головой. Капитан сказал, что мы огибаем западный берег Африки, и посоветовал быть начеку, потому что нас ожидает...

Он не успел договорить. Волны закипели, забурлили, и из пучины вынырнул наш старый знакомый - Нептун. Я уж подумал, что опять в чём-то провинился. Но Нептун вовсе не выглядел сердитым. По-моему, он был даже чересчур весел, если только не навеселе...

Фрегат остановился. Спустили трап прямо в воду, и его величество повелитель морей и океанов проследовал на палубу, где уже построилась для встречи вся наша команда.

Нептун торжественно обошёл всех, каждому пожал руку, но когда поравнялся со мной и с Пи, неожиданно сгрёб нас в охапку и швырнул прямо за борт!

Ну, мы, понятно, заорали не своим голосом, но нас быстро выудили обратно. Все хлопали, смеялись, а мы стояли мокрые, взъерошенные, злые.

И тут Нептун подошёл к нам, будто ничего не случилось, крепко расцеловал и поздравил с посвящением в моряки.

Тогда только мы поняли, в чём дело. Есть у моряков такой обычай: всех, кто впервые пересекает экватор, окунать в море. А наш Фрегат как раз подошёл к экватору! И, стало быть, теперь мы с Пи настоящие морские волки.

По этому случаю кок налил себе и мне "коктейля для утопающих". Мы хлопнули по стаканчику и побежали переодеваться.

Домашние задания

Двенадцать суток - и ни одной стоянки! Всё на воде да на воде. Так я, чего доброго, разучусь ходить по суше...

- Ты что такой кислый? - спросил капитан.

- Соскучился по твёрдой почве, - буркнул я.

- Вот как! - прищурился он. - Но разве наш Фрегат стоит не на твёрдой почве?

Ну и шутник! Мы с коком расхохотались. Но оказалось, капитан вовсе не шутит.

- Ведь у нас Фрегат математический, а разве математика не та твёрдая почва, на которой развиваются самые разнообразные науки? - спросил он. - Начать с того, что возникла она как подспорье для астрономии, а это самая древняя и самая необходимая людям наука.

- Почему самая необходимая? - удивился я. - Астрономия изучает небесные тела, а люди-то живут на Земле.

- Но Земля - тоже небесное тело, - отвечал капитан, - стало быть, между ней и другими небесными телами существует взаимосвязь. Это-то и понял в глубокой древности человек, когда научился сопоставлять разные явления. Он увидел, что многое, происходящее на Земле, связано с тем, что происходит на небе. С движением Солнца, например. Человек заметил, что Солнце появляется всегда с одной стороны неба, а уходит в другую. В зависимости от этого на Земле становится то светло, то темно. По Солнцу человек научился отмерять сутки, отделять день от ночи. Точно так же по движению Солнца среди звёзд человек разделил свою жизнь на годы и месяцы. Звёзды помогали ему определять, когда следует ожидать разлива рек, когда начинать сев. Они не давали ему заблудиться в открытом море. Вот почему я сказал, что астрономия в далёкие времена была самой жизненно необходимой наукой. Но астрономия никогда не могла бы существовать без математики, так же, впрочем, как и другие науки. Постепенно математика проникала в самые разнообразные отрасли человеческой деятельности и знаний. Без неё невозможно было бы ни землемерие, ни судостроение, ни мореплавание, ни торговля. А в наше время без математики не обходится ни одна наука. Физика, химия, медицина, агрономия, философия, политическая экономия, статистика, логика... Даже языкознание! Словом, - заключил капитан, - теперь вы, надеюсь, согласны, что математика - поистине твёрдая почва любой науки, а стало быть, и всей нашей жизни.

- Вы забыли о кулинарии, - сказал Пи. - Хорошему кулинару тоже без математики не обойтись. Он должен точно рассчитать, сколько ему потребуется продуктов, чтобы вкусно и сытно накормить едоков.

- Да,- согласился капитан, - умение считать - великое дело. Но ещё важнее умение мыслить. Тем более, мыслить математически. Для примера предложу вам одну задачку. Что-то вроде небольшого домашнего задания. Не возражаете? Ну, мы, конечно, не возражали, и капитан тотчас приступил к делу.

- Представьте себе маленький шарик - ну, хотя бы горошину, которая опоясана ниточкой по экватору. Снимем эту ниточку (разумеется, мысленно) с горошины, выпрямим её и удлиним другой ниткой ровно на один метр. Далее уложим эту удлинённую нитку на столе так, чтобы она образовала окружность, а горошину поместим в центре окружности. А потом измерим зазор между ниткой и поверхностью горошины, и окажется, что он равен примерно 16 сантиметрам - уж поверьте мне на слово!

- Ну и что? - спросил я разочарованно.

- Сейчас увидишь, - сказал Единица. - Проделаем тот же опыт, но уже не с горошиной, а с земным шаром.

- Ого-го-го! - воскликнул Пи. - Земля - не горошина!

- А воображение на что? - спросил капитан. - Итак, мысленно снимем с Земли экватор, распрямим его. Получится приличная ниточка длиной этак в 40 миллионов метров. И удлиним её тоже ровно на один метр.

- Всего-навсего на один? - переспросил Пи.

- Всего-навсего. А дальше всё, как с горошиной: соединим концы удлинённого экватора, снова придадим ему форму окружности и наденем эту окружность на земной шар. Нам придётся её придерживать, чтобы она не свалилась, потому что между экватором и поверхностью земного шара появится зазор. И как вы думаете, какой?

- Наверное, его и в микроскоп не разглядишь, - предположил я. - Что такое один метр по сравнению с сорока миллионами!

- Вот и видно, что математически ты мыслить не умеешь! - сказал капитан. - Расстояние между новым, удлинённым, и прежним экватором Земли будет то же, что и у горошины: около 16 сантиметров!

У нас от изумления глаза на лоб полезли.

- Чем зря таращиться, вспомнили бы лучше, каково отношение длины любой окружности к её диаметру, и подсчитали бы величину обоих зазоров,- посоветовал Единица.

Мы попросили его высказаться подробнее, но он стоял на том, чтобы мы решили задачу дома, по возвращении из плавания, для удобства проверив её на шаре диаметром в 100 сантиметров.

Но тут ему показалось, что одной задачи для домашнего задания мало, и он предложил нам вторую, о которой вспомнил, как видно, тут же, на месте.

Как раз в это время Фрегат наш вошёл в шлюз канала, и все мы стояли на корме, глядя, как медленно закрываются шлюзовые ворота. Сперва расстояние между створками было не менее 30 метров, потом оно стало постепенно уменьшаться. Вот уже просвет превратился в узкую длинную щёлку. Щёлка становилась всё меньше и меньше и наконец исчезла совсем. Да иначе и быть не могло! Так по крайней мере думал я.

Но капитан сказал, что веков двадцать пять назад в Древней Греции жил один мудрец по имени Зенон. Так вот, он утверждал, что можно сделать такую щель, которая не закроется, хотя и будет всё время уменьшаться. Эта-то задача и стала нашим вторым домашним заданием, которое мы с Пи записали от слова до слова:

"Однажды быстроногий Ахиллес решил состязаться в беге с черепахой. По условию он должен был бежать ровно в 10 раз быстрее её, но при этом дать ей 100 метров форы -то есть поставить её на 100 метров впереди себя. И вот состязание началось. Когда Ахиллес пробежал 100 метров, отделявших его от черепахи, её уже на этом месте не было: за это время она продвинулась вперёд на 10 метров. Ахиллес пробежал и эти 10 метров. Но за это время черепаха ушла вперёд ещё на 10 сантиметров. Так расстояние между ними всё время уменьшалось: то оно было равно одному сантиметру, потом одному миллиметру, одной десятой миллиметра, одной сотой, тысячной, миллионной, миллиардной... Черепаха всё время оказывалась впереди своего соперника. Хоть на самую малость, но впереди! Каким образом лучший бегун Греции не смог догнать самое медлительное существо на свете - черепаху?"

- Вы, конечно, понимаете, что Зенон малость ошибся,- сказал капитан, кончив диктовать.-А в чём его ошибка - потрудитесь разобраться сами.

- И потрудимся, - сказал я. - Но, во-первых, при чём здесь щель?

- Щель в данном случае - расстояние между Ахиллесом и черепахой, которое всё время уменьшается, но никогда не исчезнет.

- А это как раз то, чего я не понимаю во-вторых...

- ...и над чем тебе предстоит подумать дома, - закончил Единица.

И тут я разворчался. Зачем ломать голову над ошибками такого, с позволения сказать, мудреца?

Капитан задумчиво помолчал.

- Не торопись с выводами, юнга. Зенон, конечно, ошибся. Но он был, пожалуй, первым учёным, который представил себе бесконечно малую величину - то есть такую величину, которая всё время стремится к нулю, но никогда его не достигает. Вот и выходит, что Зенон как бы предвидел появление того самого научного понятия, которое много веков спустя, в XVII столетии, почти одновременно открыли два великих человека, англичанин Исаак Ньютон и немец Готфрид Вильгельм Лейбниц. А ведь это открытие означало целый переворот в науке! С помощью бесконечно малых величин учёным удалось решить многие, до тех пор нерешённые задачи. А главное, с тех пор практическое применение математики значительно расширилось. Кстати, изучение бесконечно малых величин остаётся одной из главных задач математики и доныне.

- Выходит, ошибки тоже иногда бывают полезными, - сказал Пи.

И тут мы с ним ни с того ни с сего развеселились и пустились куролесить вовсю: кувыркались по палубе, делали мостик и ещё невесть что.

- Да вы, я вижу, настоящие акробаты, - добродушно рассмеялся капитан. - Раз так, давайте проведём небольшое спортивно-математическое состязание.

В руках у него непонятным образом появилась мягкая широкополая шляпа из белоснежного фетра, на которой легонько трепыхалось курчавое страусовое перо. Чудесная была шляпа! Мы так и впились в неё глазами и очень обрадовались, когда узнали, что капитан собирается нам её подарит?, Правда, для этого надо сперва решить одну пустяковую задачку.

Сказав это, капитан повёл нас вниз, в большой зал кают-компании, и предложил тянуть жребий: кому из нас быть абсциссой, кому - ординатой. Ну, мне досталась абсцисса, а Пи, само собой, ордината. А потом капитан объяснил, что на полу, под ковром, находится кнопка звонка, и наша задача отыскать её.

Если принять за оси координат взаимно перпендикулярные кромки ковра, то координаты этой кнопки в сумме равны одиннадцати метрам. При этом абсцисса на 10 метров больше ординаты. Остаётся решить, какова длина абсциссы и какова длина ординаты. После этого каждый из нас должен на руках пробежать своё расстояние вдоль кромок ковра, а оттуда и до пересечения перпендикуляров, восстановленных из этих точек. И если мы рассчитали правильно, то обязательно попадём туда, где спрятана кнопка. Прозвучит звонок -и дело в шляпе!

Ну, мы посовещались немного, а потом встали на руки и побежали вдоль кромок. Я пробежал десять метров, Пи -один. Потом мы пробежали по перпендикулярам до точки нашего взаимного пересечения и... никакого звонка не последовало. Как же так? Всё как будто верно. Ведь сумма координат равна одиннадцати, а это и есть 10 + 1 !

- Так-то так,- сказал капитан.- Сумма у вас, действительно, правильная. Но вы забыли, что путь одного из вас должен быть на десять метров больше, чем путь другого, а у вас он больше только на девять метров ( 10 - 1 = 9 ). Выходит, с задачей вы пока не справились. Так что пусть уж она будет вашим третьим домашним заданием.

После этого мы с позором удалились, а шляпа -белоснежная мягкая фетровая шляпа - так и осталась у капитана. Неужто не найдётся на свете никого, кто бы помог нам её заполучить?

В проливе Бесконечности

На рассвете вошли в пролив Бесконечности. Капитан приказал швартоваться, и все отправились на берег. Наконец-то я очутился на самой что ни на есть настоящей твёрдой почве...

Но что это? Навстречу нам поднялось с земли какое-то бородатое чудище. Вообще-то я не из трусливого десятка: если и нырнул за спину капитана, так только на всякий случай. Впрочем, ничего такого не случилось.

Чудище оказалось всего-навсего моряком с корабля, затонувшего здесь примерно 150 лет назад. Все матросы погибли, а этого подобрали чуть живого и обратили в рабство. С тех пор местный правитель заставляет его каждый день выполнять одну и ту же работу.

Правитель, кстати, совсем ещё молоденький: ему пошёл всего лишь три тысячи сто восьмидесятый годок. А дети у него и совсем крошки! Мальчику две тысячи сто восемьдесят пять лет, а девочке как раз вчера стукнуло тысяча двести тридцать два.

Ну, мы, конечно, удивились, когда капитан сказал, что в этом проливе живут вечно. Как-никак - пролив Бесконечности!

Потом он спросил у матроса, какую такую работу заставляет его делать правитель?

- Известно какую, - вздохнул бородач. - Кубики-шарики, шарики-кубики... Ну и понаделал я их за полтора-то века - не сказать! А им всё не так...

- Кому это "им"? - полюбопытствовал я.

- Да деткам правителя, - пояснил он. - Уж такие они привередливые, такие завидущие! Казалось бы, чего у них только нет, разве что птичьего молока, а им всё мало...

Ну, мы, понятно, стали его тормошить, расспрашивать и узнали вот что.

- Когда привели меня во дворец в первый раз, - начал матрос, - правитель поглядел на меня и сказал: "Ну, моряк, благодари судьбу! Ты у меня без работы не останешься. Наказываю тебе сделать такую игрушку, чтобы пришлась по вкусу разом и сынку моему, и дочке. А то у них четыре миллиарда триста восемьдесят цацок, а ни одна не по нраву! Даю тебе сутки сроку: угодишь обоим - награжу, не угодишь - пеняй на себя!"

Стал я думать, что бы такое смастерить? А потом и надумал: сделаю что-нибудь попроще. А ну как оно-то и понравится? Соорудил я им прозрачный кубик. Небольшой такой - ребро сантиметров в десять, не выше, а грани хоть и прозрачные, а все в разные цвета покрашены. Что ни грань - другая окраска. Прямо радуга... Всю ночь я с этим кубиком провозился, а наутро понёс во дворец.

Сынок правителя поглядел, поморщился и сказал: "Эка невидаль - кубик! Вот кабы сделать для него футляр, и чтобы футляр тот был - разъёмный шарик, и чтобы кубик точно в него вписывался!"

А дочка тоже поморщилась и так сказала: "Кубик как кубик - мне такой ни к чему! Вот кабы сам он был разъёмным футлярчиком, а в футлярчике - шарик, да чтобы точно в него вписывался - тогда бы я ещё подумала!" Вот оно, значит, как. Одному - одно, другому - другое. Ему подавай шарик, чтобы туда кубик влезал, ей - тот же кубик, только с шариком внутри...

На другое утро принёс я свою работу во дворец - всё честь по чести, как велено! Один шар около кубика описывается, другой в тот же кубик вписывается. А детки опять носы воротят. Сынок говорит: "Хорошо бы около большого шарика ещё один кубик описать!" А дочка своё ладит: пусть, говорит, в маленький шарик ещё один кубик вписывается... И опять промудрил я до рассвета. А утром всё повторилось сызнова. Сынок требует около большого кубика ещё один шарик описать, а дочка - в маленький кубик ещё один шарик вписать...

Так оно с тех пор и пошло. Одни сутки мастерю по два шарика, другие - по два кубика. А чтобы счёт дням не потерять, каждая пара шариков и кубиков у меня номерами помечена: 1, 2, 3 и так далее. Дескать, сделано в первые сутки, на вторые или там на двадцать пятые...

Матрос кончил рассказывать, тяжело вздохнул и задумался.

- Н-да, незавидная у вас работка, - сказал Пи. - И как только вам удаётся делать одни кубики и шарики всё больше и больше, а другие - мал мала меньше? Ведь самый малюсенький из них, поди, и в микроскоп не разглядишь!

- На то и пролив Бесконечности, - отвечал тот.

- А где же вы их храните? - поинтересовался я.

- Где? - переспросил матрос и вдруг засмеялся: - А нигде! До вчерашнего дня стояли они у меня на берегу друг за дружкой, по росту. А нынче ночью надумал я бежать. Надоели мне эти приказы-капризы хуже горькой редьки! Ну, сложил я все шарики и кубики по порядку один в другой, и - бултых в воду...

- Не может быть! - в один голос закричали мы с Пи. - Неужто мы так и не увидим вашей работы?!

- Кто его знает! - уклончиво хмыкнул матрос. - Коли очень захотите, может, и увидите. Не наяву, так в уме...

- Вы хотите сказать, в воображении? - уточнил я.

- Вот-вот, - обрадованно закивал матрос. - С воображением да с соображением чего не увидишь!

- Ваша правда, - подтвердил капитан. - Но вы забыли про знания. Чтобы вообразить себе что-нибудь как следует -ну хоть ваши кубики и шарики, необходимо кое-что смыслить в геометрии. Надо, например, знать, что, с точки зрения геометрии, шар только тогда считается вписанным в куб по-настоящему, когда поверхность его касается всех шести граней куба, иначе говоря, имеет с ним шесть точек касания. Если же речь идёт о шаре, описанном вокруг, или, как говорят математики, около куба, значит, подразумевается, что поверхность его непременно проходит через все восемь вершин куба.

- Э, нет, - не согласился я, - раз шар описан около куба, стало быть, куб у него внутри. Но тогда с вершинами куба соприкасается не поверхность шара, а его внутренность...

- Вероятно, ты хотел сказать, внутренняя сторона его оболочки, - подсказал капитан. - Что ж, ты был бы прав, если бы речь шла о мячике - резиновом или, там, целлулоидовом, в который вписан кубик - деревянный или, скажем, пластмассовый. Иначе говоря, если бы имелись в виду тела физические. Но мы-то говорим о телах геометрических! Стало быть, у них не оболочка, а поверхность. А поверхность, как ты уже знаешь, двухмерна и толщины не имеет...

Тут я почему-то вспомнил треугольную тень от вымпела и перевёл разговор на другую тему.

- Интересно,- спросил я, обращаясь к матросу,- что вы смастерили под самый конец: шарики или кубики?

- А вы подумайте сами, - предложил тот. - Пробыл я здесь... ну, в общем, неважно сколько, и сделал всего 109 575 штук. В первые сутки - один кубик, а потом - по очереди - то по два шарика, то по два кубика. Вот и сосчитайте, что вышло последним.

- Прекрасная арифметическая задача, - похвалил капитан, - и, надеюсь, Нулик и Пи благополучно решат её дома. А сейчас нам пора на корабль. Ведь вы, надо думать, спешите? - добавил он и этак искоса, бочком посмотрел на матроса.

Нет, что ни говорите, а наш капитан самый удивительный из всех капитанов на свете! И как он только догадался, что матрос собирается бежать именно на нашем Фрегате?

А когда все мы были уже далеко от пролива Бесконечности, капитан задал нам ещё одну задачку, на сей раз геометрическую: во сколько раз диаметр описанного около куба шарика больше, чем диаметр вписанного? И ещё он сказал, что для этого надо сравнить диаметры этих шариков с ребром куба, а кроме того, знать теорему Пифагора, да хорошенько вспомнить, что такое диагональ.

Как видите, нелёгкая нам досталась работа, но уж во всяком случае не труднее той, что пришлось делать матросу. Так что вернёмся домой - повоюем!

Дракон Архимеда

Ну и потрудились мы сегодня!

С утра капитан Единица приказал всем, а значит, и нам с коком, сойти на берег и помочь местным жителям достроить стадион. Оказывается, завтра здесь открывается всеинтегральная олимпиада, а стадион не готов.

Ну, я, понятно, не сразу уразумел, какая такая олимпиада?

- Всеинтегральная, - терпеливо повторил капитан и объяснил, что мы находимся на острове Интеграл, герб которого изображён здесь на всех флагах.

По случаю предстоящей олимпиады флагов на острове и впрямь хватало, и что ни флаг - то дракон. А может, змея? Этого я так толком и не выяснил, потому что штурман Игрек велел нам поторапливаться (бом-брам-фок!), и мы рысью побежали к стадиону.

Представьте себе толстую, распиленную вдоль трубу. Так вот, половинку такой трубы и напоминал стадион. Один его проём служил входом и должен был оставаться открытым, другой следовало застеклить. Не то все зрители начнут чихать и кашлять. Недаром кашель - функция сквозняка...

На площадке перед стадионом лежали стопки нарезанных полосками стёкол. Полоски были самые разные: длинные и короткие, узкие и широкие... Мы взяли одну, не широкую и не узкую, и тут только увидели, что у неё нет никакой толщины.

"Эге! Дело пахнет геометрией!" - сразу смекнул я и не ошибся.

По словам главного архитектора, лежащие здесь полоски - это не стёкла, а кусочки геометрической или, попросту, математической плоскости. А то, что у математической плоскости толщины не бывает, я теперь и во сне помню. Другое дело, как её изготовляют, эту математическую плоскость?

Я спросил об этом у архитектора, но вместо ответа он предложил нам вообразить геометрическую точку, которая движется в одном направлении и выпускает из себя капельку краски т- тоже, конечно, воображаемую. Ясно, что капелька как бы нарисует весь путь точки, то есть прямую линию. И у этой прямой есть уже одно измерение: длина.

- Теперь, - сказал архитектор, - представим себе, что получится, если эта начерченная краской прямая покатится, как карандаш, по гладко отполированному столу?

- Получится окрашенная плоскость, - сказал Пи.

- Верно, - согласился архитектор. - А у плоскости есть уже два измерения: длина и ширина. Теперь остаются сущие пустяки: застеклить полосками этой плоскости полукруглый проём стадиона.

По правде говоря, нам с Пи хотелось отделаться от работы поскорее, и вот почему мы отобрали полоски пошире. Но ничего хорошего из этого не вышло. Ведь полоски прямоугольные, а проём - полукруглый. И осталось при этом много незастеклённых прорех. Мы хотели было залатать их кусочками плоскости, отломанными от других полосок, но главный архитектор издали погрозил нам пальцем и указал на огромный плакат:

Ничего не поделаешь, пришлось начинать всё сначала. На сей раз отобрали полоски поуже. И всё-таки дырок осталось - будь здоров! Разве что поменьше размером.

Тогда мы придумали вот что: набрать самых что ни на есть коротких полосок, застеклить ими прорехи - и дело с концом!

Действительно, не прошло и часа, как с дырками было покончено. Но главный архитектор, поглядев на нашу работу, только за голову схватился: ведь теперь наши прямоугольные плоскости торчали зубцами над крышей!

Пришлось застеклять проём в третий раз. Наученные горьким опытом, мы набрали полосок таких узких, что и не ухватишь. Получилось вроде бы неплохо, но главный сказал, что щели, хоть и незаметные, всё равно остались, и все спортсмены наверняка простудятся.

К тому времени мы с Пи совсем уже выдохлись и чуть не плакали от досады и усталости. И тут...

И тут появился наш дорогой, наш несравненный капитан Единица. И всё сразу пошло как по маслу. Оказывается, мы всё время отбирали полоски, годные только для прямоугольных проёмов, в то время как для полукруглых нужны особые, волшебные. Бесконечно малые по ширине.

Бесконечно малые? Стойте! Что-то такое мы об этом уже слышали...

- Ну конечно, - подтвердил Пи. - Вспомни задачу Зенона про Ахиллеса и черепаху.

- Молодцы, ребята! - обрадовался капитан. - Зенон был первым, кто представил себе бесконечно малую величину -иначе говоря, такую математическую величину, которая всё время стремится к нулю, но никогда его не достигает. Именно таковы и наши волшебные полоски. Ширина их всё время сама по себе убывает и непрерывно стремится к нулю. Но самое интересное, что при этом изменяется и высота полоски. Выступающие уголки её постепенно скругляются, сглаживаются.

- Выходит, высота этого выступающего кусочка плоскости есть функция ширины полоски, - сообразил я.

И тут случилось нечто небывалое. Капитан, всегда такой! спокойный и рассудительный, бросился мне на шею и рас целовал в обе щеки.

- Ай спасибо! - повторял он, улыбаясь во весь рот. - Вот спасибо! Теперь я вижу, что труды мои не пропали даром. Вы таки кое-что усвоили из пройденного...

Когда он наконец чуток успокоился, мы пошли за волшебными полосками, и я спросил, много ли их понадобится? Оказалось, не просто много, а бесконечно много. Вот здорово! Значит, бесконечным множеством бесконечно малых по ширине полосок можно точно застеклить площадь любой формы?!

- Ну конечно! - подтвердил Единица. - А из этого, в свою очередь, нетрудно понять, что площадь есть не что иное, как сумма бесконечного числа волшебных полосок. И называется эта сумма интегралом. С помощью интеграла можно вычислить кучу интереснейших вещей: самые разнообразные площади, объёмы, орбиты, скорости огромных планет и крохотных электронов... В общем, там, где требуется вычислить сумму бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых, без интеграла не обойдёшься.

- Всё это очень хорошо, - сказал Пи, - но почему у этого интеграла на гербе дракон?

- Не дракон, а что-то вроде латинского "эс" - S, - засмеялся капитан. - Недаром S - первая буква слова "сумма". Вот она и стала знаком интеграла.

- Интересно, а кто был первым интегральщиком на свете? - спросил Пи.

- Самым-самым? - Капитан почесал за ухом.- Самым первым можно, пожалуй, считать великого древнегреческого учёного Архимёда. Человечество обязано Архимеду многими открытиями в самых разных областях: в математике, механике, физике, инженерном и военном деле... Научное наследие Архимеда огромно. И немалое место занимает в нём трактат об исчислении песчинок.

- Об исчислении чего? - удивлённо переспросил я.

- Песчинок,- повторил капитан.- Архимеду захотелось узнать, сколько потребуется песчинок, чтобы заполнить ими шар - такой огромный, что в нём запросто может поместиться не только Солнце со всеми планетами, но и всё звёздное небесное пространство.

- И что же, удалось ему это? - полюбопытствовал Пи.

- Представь себе, удалось,- сказал капитан.- И раз так, значит, Архимед вычислил сумму огромного числа чрезвычайно малых слагаемых. А это хоть и не совсем, но почти интеграл. ,Вот почему Архимеда считают родоначальником интегрального исчисления, то есть математического метода, который по-настоящему стал развиваться только две тысячи лет спустя.

Пока Единица разглагольствовал, мы с коком времени зря не теряли. Полоски оказались и впрямь волшебными, и скоро проём был застеклён так аккуратно, что ни одной щёлочки и в микроскоп не углядишь.

- Что и говорить, проинтегрировано на славу! - сказал главный архитектор, придирчиво оглядев застеклённое пространство.

На радостях он подарил нам по медальке со знаком интеграла (мы тут же окрестили его драконом Архимеда) и сказал, что с этой минуты нас можно считать завзятыми интегральщиками.

Ну, мы, конечно, сделали серьёзные лица и вежливо поблагодарили, а потом не выдержали и со всех ног побежали на Фрегат.

Конический дуэт

Утром на Фрегате появилась завлекательная афиша:

Весь день я и Пи только и делали, что смотрели на часы, ожидая, когда наступит 18.00. Правда, при чём тут пергское время, мы не больно-то поняли. А ещё нас очень рассмешила ошибка в объявлении, где вместо слова "комический" значилось "конический". Хотя капитан Единица утверждал, что никакой ошибки нет, потому что дуэт, по всей вероятности, будет и комическим и коническим одновременно.

И вот наконец долгожданное пергское время настало.

Нечего и говорить, что мы с коком ворвались в кают-компанию раньше всех и уселись в первом ряду, аккурат против занавески, откуда должны были по нашим расчётам выходить артисты.

Но клоуны, вопреки нашим ожиданиям, появились прямо из публики, притом с разных сторон. Маленький, толстенький Ап был в белом балахоне с разноцветными блёстками, а длинный, тощий Ол - в кургузом пиджаке и длинноносых ботинках. Да, забыл сказать: у Апа на голове был шлем, очень похожий на те, что носят мотоциклисты, и Ол, взглянув на него, закричал:

- Эй, Ап, что это у тебя на голове? Сейчас же сними эту дурацкую полусферу!

- Ха-ха! - отвечал Ап. - А вот и не сниму!

- Ну и не надо! - сказал Ол и загнутым носком своего клоунского башмака сшиб шлем с головы Апа.

Ну, у того, как водится, брызнули из глаз фонтанчики. А Ол положил шлем на наковальню, взял большущий молоток и стал колотить, крича во всё горло:

- Я из него лепёшку сделаю!

Но сколько он ни колотил, шлем хоть и сплющился, а в лепёшку почему-то не превращался. И тут уже у Ола брызнули фонтанчики из глаз, а Ап, наоборот, захохотал, и мы с Пи тоже, да так громко, что капитану пришлось нас останавливать. Он сказал, что, во-первых, смеяться так громко неприлично. А во-вторых, клоуны показывают очень серьёзные вещи. И даже не столько показывают, сколько доказывают.

- Что, что доказывают? - сейчас же прицепился я.

- Да то, что сферу никаким способом в лепёшку, то есть в плоскость, не превратишь, - пояснил капитан. - На языке математики это означает, что сферическая поверхность в плоскость не развёртывается - стучи по ней молотком хоть до скончания века!

Честно говоря, мы слушали капитана вполуха: очень уж интересно было, что делается на сцене.

Ап начертил на полу окружность, затем достал из кармана красную нитку и аккуратно поставил её на окружность. А потом отнял руку, и, можете себе представить, ниточка так и осталась стоять вертикально. Как стальная!

- Скажи, пожалуйста, Ап, что ты там делаешь? - спросил Ол.

- Да вот, новую шляпу, - отвечал тот, - цилиндр!

- А ниточка зачем? Чтобы шить?

- Не угадал! Ниточка поможет мне образовать цилиндрическую поверхность.

- Уж не хочешь ли ты сказать, что ниточка будет образующей твоего цилиндра? - снова спросил Ол.

- Вот теперь угадал! - обрадовался Ап. - И сейчас я отправлю эту ниточку в кругосветное путешествие.

- В кругосветное? - удивился Ол.

- Ну да, по окружности, - пояснил Ап.

- А ниточка не заблудится? - испугался Ол.

- Уж конечно, не заблудится! - заверил его Ап. На путь истинный её будет направлять окружность.

- Выходит, окружность у тебя будет направляющей?

- Да, да, да! - захлопал в ладоши Ап.

И тут красная ниточка быстро побежала по окружности, по-прежнему сохраняя вертикальное положение. А вслед за ней, по всей её высоте, побежала блестящая красная полоса. Когда же ниточка вернулась к началу своего пути, на сцене стоял великолепный красный цилиндр - правда, без полей.

Ну, Ап, конечно, схватил его и тут же нахлобучил на голову. Но Олу новая шляпа не понравилась. Он сдёрнул её с головы приятеля, вытащил из цилиндра красную ниточку - образующую, и тогда цилиндр развернулся и превратился в красный прямоугольник. Одна сторона прямоугольника равнялась длине направляющей бывшего цилиндра, а другая - высоте образующей.

У Апа снова брызнули из глаз фонтанчики, а капитан сказал, что на сей раз клоуны наглядно убедили нас в том, что цилиндрическая поверхность - не сфера, и потому запросто развёртывается в плоскость.

К тому времени Ап уже утешился и придумал новую забаву. Он снова заставил красную ниточку путешествовать по окружности, но на сей раз не в вертикальном положении, а с наклоном. При этом верхний конец ниточки пришёлся точно над центром окружности. Ниточка бежала по окружности всё с тем же наклоном, а когда вернулась к месту своего старта, на сцене стоял остроконечный колпак. Да, да, самый настоящий клоунский колпак! А по-научному -конус.

Ап завизжал от восторга и хотел уже надеть его на голову, но тут Ол схватил турецкий ятаган, размахнулся - и хвать по колпаку! Видно, ему хотелось разрубить конус точно надвое. Но, вместо того чтобы пройти через ось конуса (капитан сказал, что так называется высота конуса, иначе говоря перпендикуляр, соединяющий вершину конуса и центр его основания), лезвие скользнуло где-то рядом, параллельно оси колпака.

Ну, Ол, понятно, рассердился и стал махать своим ятаганом как бешеный, а в это время Ап заменил рассечённый конус целым, и Ол снова рассек его, но уже в другом направлении. Ап опять заменил рассечённый конус новым...

Так продолжалось довольно долго, и всякий раз ятаган рассекал конус по-другому и от него отскакивал кусок другой формы. В конце концов мне это надоело.

- Не пойму, с чего он так прицепился к этому колпаку? - сказал я с досадой.

Но оказалось, что Ол машет своим ятаганом не без смысла. Он хочет показать, что каждое новое сечение образует на поверхности конуса другую кривую.

Если рассечь конус параллельно оси, чуть отступя от вершины, получится кривая, похожая на подкову с расходящимися концами - её называют гиперболой. Чем конус выше, тем концы гиперболы расходятся больше.

Мы с Пи было подумали, что гипербола получилась бы и в том случае, если бы Ол не промахнулся и рассек конус точно по его оси. Но оказалось, ничего подобного. При этом получается обыкновенный равнобедренный треугольник. Каждая боковая сторона у него - образующая конуса, а основание - диаметр окружности, то есть направляющей.

А вот если рассечь конус параллельно образующей, получится кривая под названием парабола. Она тоже похожа на подкову, только концы её почти параллельны друг другу.

Если же косым ударом отсечь у конуса верхушку, то кривая на поверхности получится замкнутой, яйцеобразной. И такую кривую называют эллипсом.

Но самое забавное случилось тогда, когда ятаган Ола отсек верхушку конуса параллельно основанию. На сей раз кривая на поверхности оказалась окружностью.

- Теперь вы видите,- сказал капитан,- что форма кривой всякий раз меняется в зависимости от наклона ятагана а лучше сказать - от наклона сечения. И вот почему кривые эти называются кривыми конических сечений, а представление нынешнее - коническим дуэтом.

- Остаётся выяснить одно,- сказал Пи.- Почему представление началось в 18.00 по пергскому времени?

- А потому, что теорию конических сечений разработал один из величайших геометров Древней Греции - Аполлоний Пергский, - объяснил капитан. - И вот, кстати, отчего клоуны отщипнули себе по кусочку его имени: Ап и Ол.

Между тем представление подходило к концу. Ол уже отбросил свой ятаган и снова ухватился за кончик красной ниточки. Когда он её выдернул, остроконечный колпак развернулся, и мы увидели, что конус превратился в сектор круга.

Так мы убедились, что конус, как и цилиндр, в плоскость разворачивается. Не то что полусфера! Уж она-то плоской нипочём не станет... А когда конический дуэт окончился, капитан сказал, что с одним из конических сечений нам ещё предстоит познакомиться поближе. Только уже не сегодня, а завтра. Как говорится, хорошенького понемножку...

От конического до космического - один шаг

Завтра! Если бы я знал, что со мной случится завтра, я бы не спал так спокойно.

И вот он наступил, самый замечательный день в моей жизни! День, о котором только и говорить, что стихами.

Правда, это я уж потом сочинил, а тогда не до стихов было. Мы ведь и в самом деле побывали в космосе -капитан Единица, Пи и я. На корабле "Космос-1".

Скажу не хвастаясь: вёл я себя храбро. Весь полёт просидел как привязанный. Ну да меня ведь и вправду привязали к креслу. И кока тоже. Один капитан остался непривязанным и потому плавал и кувыркался в воздухе вовсю.

Капитан сказал, что если бы не ремни, мы с коком тоже могли бы поплавать, потому что находимся в состоянии невесомости. Иначе говоря, потеряли свой вес. И куда он только девался?

- Вот бы сюда мою маму-Восьмёрку! - вздохнул я.-Она так мечтает похудеть!

- Для этого вовсе не обязательно летать в космос,-возразил Единица.- Вес можно потерять и другим способом.

- Вы говорите о диетическом питании? - спросил Пи (кто о чём, а Пи - о питании!).

- Скорее о лечебной гимнастике,- улыбнулся капитан.- Чтобы стать невесомым, достаточно спрыгнуть... э-э-э, ну, скажем, со шкафа. Ведь всякое тело при свободном падении теряет свой вес.

- А когда же он к нему возвращается? - спросил я.

- Как только на пути падающего тела появляется препятствие, мешающее ему падать дальше,- отвечал Единица.- А попросту -как только грохнешься на пол.

- Не понимаю,- пожал плечами Пи,- вы говорите, что невесомость появляется при свободном падении. Но мыто сейчас никуда не падаем!

Капитан от возмущения даже перевернулся в воздухе:

- Как это не падаем?! Вот именно падаем. Каждую минуту. Каждую секунду. Непрерывно! Потому что нас притягивает Земля. Если бы не земное притяжение, мы давно бы уже улетели к какой-нибудь далёкой звезде. Туда, куда нас вытолкнула ракета.

- Трудно с вами разговаривать! - вздохнул я.- То мы падаем на Землю, то летим туда, куда нас вытолкнула ракета.

- Правильно,- сказал капитан.- Мы одновременно летим в двух направлениях, и оба они противоречат друг другу, вроде бы ссорятся. Ну, а наш космический корабль, чтобы не очень их огорчать, выбирает ни то, ни другое, а третье. Так из двух направлений образуется одно - кривая, по которой мы обращаемся сейчас вокруг Земли. Иначе говоря, орбита корабля.

- Кривая, по которой мы обращаемся вокруг Земли,- задумчиво повторил Пи.- Держу пари, что это окружность.

- Не держи, проиграешь!-сказал капитан.- Потому что это не окружность, а эллипс.

Эллипс! Та самая кривая, что появилась на поверхности конуса, когда Ол отсек от него наискось верхушку. Так вот что имел в виду капитан, когда намекал на более близкое знакомство с одним из конических сечений! Выходит, от конического до космического - один шаг...

- Разумеется, - подтвердил капитан мои рассуждения. - Ведь по эллипсу обращаются не только космические корабли вокруг Земли, но и планеты вокруг Солнца. И не только планеты, но и большинство комет. Правда, люди узнали об этом не сразу. Когда-то, в древности, думали, что Земля неподвижна, а все небесные тела обращаются вокруг неё. Землю тогда считали центром Вселенной. И только в XVI столетии великий польский астроном Николай Коперник открыл, что Земля - такое же небесное тело, как и другие планеты, и что все они с Землёй заодно обращаются вокруг Солнца - каждая по своей орбите. Долгое время учёные, совсем как ты, Пи, считали, что орбиты эти - окружности. Но немецкий астроном Иоганн Кеплер - он жил чуть позже Коперника - установил, что планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам.

- Насчёт планет - понятно,- сказал Пи. - Но меня интересуют кометы. Помнится, вы сказали, что по эллипсам обращаются не все кометы, а только большинство. Значит, остальные всё-таки движутся по окружности?

- Как бы не так! - усмехнулся капитан.- Иные кометы огибают Солнце по гиперболе, а возможно, и по параболе...

- Ого! - ужаснулся Пи. - Хорошо, что наш "Космос- 1" не комета. Не то не видать бы нам больше ни Земли, ни нашего родного Фрегата.

- Да здравствует эллипс! - закричал я и с ходу попросил капитана, чтобы он научил нас чертить эту замечательную кривую.

Капитан, однако, заметил, что чертить эллипс в состоянии невесомости не слишком удобно, и обещал вернуться к этому вопросу в более подходящей обстановке.

Разумеется, он сдержал слово. В точно предусмотренное время "Космос-1" совершил мягкую посадку на палубу Фрегата, и не прошло и часа, как нас пригласили в капитанскую каюту, где приготовлена была чертёжная доска с листом плотной бумаги.

Капитан взял нитку (прямо как клоун Ап!), сделал на обоих концах по узелку, воткнул в каждый узелок по обыкновенной канцелярской кнопке, а кнопки воткнул в бумагу на некотором расстоянии друг от друга, так, чтоб нитка лежала свободно. Потом он выбрал острый карандаш, туго натянул остриём нитку и, не ослабляя натяжения, провёл карандашом по бумаге. Получилась фигура, похожая на куриное яйцо, у которого оба конца тупые.

- Вот вам и эллипс,- сказал капитан. - Примерно такой путь совершает Земля вокруг Солнца.

- А где же тогда находится Солнце? - спросил я. - Наверное, посередине?

- Не угадал,- ответил капитан голосом Апа. - Солнце находится в одном из фокусов эллипса.

- Ха-ха-ха! - закатился я. - Фокусы эллипса! Можно подумать, эллипс работает в цирке.

- Не болтай глупостей,- остановил меня капитан.-Фокусами эллипса называются точки, куда воткнуты кнопки. А "фокус" слово латинское, и означает оно "очаг".

- А что, здорово! - восхитился Пи. - Солнце и в самом деле жаркий очаг, который согревает нашу Землю.

На том и закончился этот конически-космический день.

Трезубец Ньютона и другие

Мы с коком сидели на корме и болтали о вчерашнем полёте. Но тут откуда-то вынырнул штурман Игрек и заявил, что нечего бить баклуши и не пора ли нам драить палубу?

Сказать по чести, драить палубу - не самое моё любимое занятие, и я сделал вид, что ничего не слышал. Но штурман пригрозил, что если мы немедленно не примемся за дело, так не видать нам праздника света как своих ушей. Ведь сегодня 31 число, предпоследний день месяца нуляля (да, не удивляйтесь: в нуляле 32 дня!), и именно в этот день, вернее, вечер происходят удивительные вещи.

Ничего не поделаешь, пришлось браться за швабру...

Когда свечерело, Фрегат стал на рейд вблизи красивой бухты. Все вышли на палубу. И вдруг высоко в воздухе появилась бесконечная светящаяся проволока. Она ярко выделялась на тёмном небе, разделяя его по горизонтали надвое.

Потом появился обруч, тоже светящийся. Он вскочил на проволоку, и на нём зажглась красная лампочка.

Заиграла музыка, и обруч плавно покатился по проволоке. Он катился всё быстрее и быстрее и вскоре исчез из виду. Зато линия, которую прочертила красная лампочка, так и осталась висеть в воздухе - точь-в-точь бесконечный железнодорожный мост, построенный из красных светящихся арок.

Я удивился: ведь лампочка вращается заодно с обручем -значит, должна вычерчивать в воздухе окружности, а получаются почему-то арки!

Но капитан Единица сразу раскусил, в чём моя ошибка. Оказывается, я не подумал о том, что лампочка не только вращается вместе с обручем, но одновременно движется заодно с ним по прямой. Да, лампочка движется по прямой, а получается при этом кривая, составленная из арок. Чудно! Но ещё чуднее, что кривая эта называется циклоидой. Так же, кстати, как и бухта, где мы остановились.

Капитан сказал, что "циклоида" - слово греческое, которое происходит, в свою очередь, от слова "циклос", по-нашему "круг". Вот почему слово это частенько встречается там, где речь идёт о круговом движении, то есть о вращении. Воздушный вихрь, например, называется циклоном. Ведь вихрь - это кружение воздуха!

А вот прибор для кружения самых маленьких, как говорят, элементарных или простейших частиц материи называется циклотроном. Таких частиц знают уже очень много: электроны, протоны, нейтроны, мезоны... А учёные открывают всё новые и новые. И помогает им в этом циклотрон.

Циклотрон - сооружение, очень похожее на огромную, пустую внутри баранку. Ещё его называют ускорителем. Ведь он заставляет находящиеся в нём частицы материи кружиться с бешеной скоростью! При этом одни частицы бомбардируют другие, разбивают их. И появляются новые, ещё неизвестные частицы материи. А физики изучают их повадки. Хотя многие из этих частиц живут ничтожные доли секунды...

Между прочим, одна из них называется пи-мезон. И можете себе представить, как это обрадовало кока. Ещё бы! Мало того, что имя Пи играет важную роль в геометрии, оно, оказывается, и в физике кое-что значит...

Но вернёмся всё-таки к празднику света.

Пока капитан рассказывал про циклотрон, светящийся обруч, который укатился на восток, успел вернуться обратно, только почему-то уже с запада, и остановился там, откуда начал своё путешествие.

И тут светящаяся проволока исчезла. Обруч повис в воздухе. Красная лампочка на нём погасла, но тут же вспыхнула на другом обруче, поменьше.

Снова заиграла музыка. Маленький обруч вскочил на большой, покатился по нему, и лампочка стала чертить в воздухе светящуюся линию. А когда маленький обруч вернулся на место, в небе светился красивый красный цветок.

Капитан сказал, что эта новая светящаяся кривая называется эпициклоидой. Я уже хотел спросить о смысле этого названия, но не успел, потому что маленький обруч забрался внутрь большого и снова покатился по его окружности. Красная лампочка нарисовала в воздухе ещё одну кривую -гипоциклоиду.

Тогда только капитан разъяснил, что "эпи" по-гречески означает "над", а "гипо" - "под". Когда маленький обруч катится поверх большого, получается эпициклоида, когда внутри него - гипоциклоида.

- Стало быть, надциклоида и подциклоида, - перевёл Пи и тут же озабоченно спросил: - Но как же тогда понимать выражение "в эпицентре событий", которое так часто встречается в газетах?

- В самом деле,- оживился капитан,- в этом не худо бы разобраться. Иные люди очень любят изъясняться научно но нередко употребляют словечки, точного смысла которых не знают. Возьмём фразу: "Мы находимся в эпицентре землетрясения". Что это значит? А то, что мы с вами находимся НАД центром землетрясения, в то время как центр его -где-то ПОД нами, в земных недрах. Выходит, в данном случае частица "эпи" вполне к месту. А вот выражение "мы находимся в эпицентре событий" - это уже бессмыслица. Человек, употребивший его, должен, как минимум, висеть где-нибудь в воздухе, наблюдая оттуда то, что происходит внизу, на земле. Так что лучше уж сказать просто "в центре".А ещё лучше- "в самой гуще событий"...

Когда с эпицентрами было покончено, Пи снова вспомнил об эпициклоидах, а заодно и обо всех светящихся кривых, которые мы только что видели.

- Конечно же,- сказал он,- все они очень красивы, но какой от них прок?

- Очень даже большой,- ответил капитан.-Особенно в технике. Циклоида, например, используется и в автомобиле, и в токарном станке, и в часах, и в лебёдке, которая выбирает наш якорь... Словом, всюду, где нужно заставить вращаться вал. Тут-то и выручают зубчатые колёса - шестерёнки. А изгибы этих зубцов нередко имеют форму циклоиды. Зубья одной шестерёнки попадают между зубьями другой. Происходит сцепление, точнее, циклоидальное зацепление. Одна шестерёнка заставляет вращаться другую, укреплённую на валу. Ну, а вал приводит в движение машину.

Тут нам с коком ужасно захотелось проверить, как шестерёнки зацепляются зубьями, и он растопырил пальцы, а я всунул между них свои. Казалось бы, ясно? Так нет же! Мы стали кататься по палубе, налетели друг на друга, и получилось такое циклоидальное зацепление, что нас насилу расцепили.

А праздник света всё ещё продолжался. Только уже не в воздухе, а на воде, откуда стали появляться различные светящиеся фигуры. Одна - похожая на улитку, другая - на сердце, третья - на трилистник... Всех не упомнишь!

Оказалось, что всё это тоже геометрические кривые. И капитан сказал, что их, как и всякую кривую, легко вычертить в системе координат. Если, конечно, знаешь уравнение этой кривой.

- Выходит, по каждому уравнению можно вычертить кривую? - спросил Пи. - Конечно! - подтвердил капитан.

Но самое интересное, как всегда, произошло напоследок.

Когда все улитки и трилистники погасли, над водой всплыл ярко светящийся трезубец. Ну, я, само собой, подумал, что это трезубец Нептуна и, по правде говоря, струхнул. Старик, чего доброго, опять швырнёт меня в воду, а ночные купания мне не больно по душе!

К счастью, выяснилось, что Нептун тут ни при чём. Трезубец оказался геометрической кривой, уравнение которой нашёл великий английский учёный Ньютон. И вот почему её величают трезубцем Ньютона.. Мне этот трезубец очень понравился, и я его непременно построю. Конечно, не сейчас, а когда-нибудь. Когда смогу разобраться в уравнении Ньютона. Правда, до этого ещё далеко. Зато близко до дома. Ведь завтра мы возвращаемся в Карликанию!

Между прочим, заметили вы, как похожи имена Нептун и Ньютон? Капитан сказал, что когда-то в России Ньютон именовался Невтоном. Так по крайней мере называл его великий русский учёный и поэт Михаило Ломоносов в одном из своих стихотворений. А Невтон - это уже почти Нептун! Так что трезубцы у обоих оказались неспроста.

Прощальная-причальная

Что со мной происходит? С одной стороны, я чуть не прыгаю от радости, как только вспомню, что скоро буду дома, с другой - едва не плачу при мысли, что должен покинуть Фрегат.

Капитан сказал, что это парадокс. Опять новое слово! Не иначе, какая-то болезнь...

Впрочем, Пи сбегал за словарём и выяснил, что "парадокс" - никакая не болезнь, а просто-напросто греческое слово, которое можно бы перевести как "забавное несовпадение". В общем, нечто неожиданное и даже противоречащее здравому смыслу.

Ну, с несовпадением я ещё кое-как примирился, но почему оно забавное? Что, например, забавного в разлуке? Что забавного в том, что, получая одно, непременно теряешь другое? И почему это нельзя быть дома и на Фрегате одновременно?

Все эти мысли так меня расстроили, что я и впрямь чуть не заревел. Но тут вдали показалась бухта А - та самая, откуда началось наше плавание, и слёзы мои высохли сами собой.

Капитан в последний раз пригласил нас на свой мостик и произнёс прощальную речь:

- Друзья мои, вот и подошёл к концу славный месяц нуляля, а вместе с ним и наше плавание. За это время вы многое увидели и многое узнали. И всё же не мешает вам запомнить, что это лишь капля в море, именуемом Геометрией. Ведь мы только и успели слегка оглядеться во владениях Эвклида, и до настоящего знакомства с ними нам ещё далеко. А уж за границы эвклидовой геометрии мы и вовсе не заглядывали! Между тем есть в математике и такие области, где действуют совсем другие законы. Так, например, сумма углов треугольника там вовсе не равна 180 градусам. Да и в ходу там совсем иные теоремы, иные формулы. Это владения других, неэвклидовых геометрий, а в них не так-то легко разобраться! Возможно, когда-нибудь мы и отправимся туда на нашем Фрегате, но уж во всяком случае не прежде, чем ты, Нулик, и ты, Пи, благополучно окончите десятилетку. Ведь для того чтобы как следует освоиться с новыми, неэвклидовыми геометриями, надо хорошенько изучить старую, эвклидову. Так что работы у вас впереди достаточно. А посему позвольте пожелать вам удачи и... До новых встреч!

Тут капитан обнял каждого из нас и потихоньку смахнул слезу. Затем подошёл штурман Игрек. Он тоже обнимал нас и смахивал слёзы. Потом нас обнимал и обливал слезами весь экипаж. Неудивительно, что когда всё это кончилось, мы были так же мокры, как в тот раз, когда Нептун швырнул нас в море.

Итак, с прощаньем покончено. Начинаются встречи!

Фрегат уже входит в бухту.

С берега машут платками. А вот и моя дорогая мама-Восьмёрка со Стаксом и Топсом на руках! Грохочет якорная цепь. С пристани доносится троекратное "ура!", и команда Фрегата запевает прощальную-причальную:

На том заканчивается мой судовой журнал. Надеюсь, вы прочтёте его не без пользы и удовольствия. Если у вас возникнут какие-нибудь вопросы, напишите. Непременно напишите! Особенно про то, как вы решили задачи.

Мой адрес: государство чисел Карликания, город Арабелла, Восьмая улица... Впрочем, все это я уже говорил в самом начале. Да и вообще, пишите мне лучше по адресу: Дом детской книги, 125047, Москва. улица Горького, 43. Так-то будет вернее. Гуд бай!

1976

Москва