Система Диофанта

День 1 Постановка и решение задачи

= Точно — это про тебя.

— Математику, я люблю со школы, читал множество книг, а сейчас вот задумался, из всего чем нас мучили, в жизни пригодилась только элементарная арифметика[1].

Но может я просто не замечал, что некие практические задачи можно было бы решить дифференцированием, интегрированием, поиском экстремумов и подобным.

= Знаешь анекдот: Дети решите задачу «У Маши 4 груши...» «Но, Марья Ивановна мы проходили только про яблоки».

— Да, да я именно об этом. Для примера я взял квадратные уравнения [КУ], уж сколько нас ими жучили, сколько перерешали примеров, а за всю рабочую практику, ни разу не понадобилось... решил поискать в интернете, нечто подобное: «практическое применение квадратного уравнения»

= Представляю, чего ты там только не нашел. Потом проверю.

— Да, нашел много, но в одной из первых была ссылка на задачу сформулированную еще в древней Греции.

Два числа в сумме дают 20, а их произведение равно 96. Ну, ясное дело, надо определить эти числа.

Стало интересно, неужели я, такой крутой, не решу древнюю задачу.

Приведу это, совсем простое, решение подробно, по шагам, дабы ты смог его проверить.

1. Дана система:

x + y = 20

xy = 96

(фигурную скобочку системы на тексте не изобразить, да ты меня простишь)

2. из второй строки системы находим у

y = 96 / x

3. подставляем найденный у в первую строку

x + 96/x = 20

4. умножаем все на х

x² + 96 = 20x

5. переносим правую часть и приводим к общепринятому виду (это называется приведенное квадратное уравнение)

x² — 20x + 96 = 0

Вот тут я притормозил. Да, видимо жучили нас мало, за полвека формулу я забыл, если бы мне ее показали я узнал бы ее слету, вот, что значит нет постоянной практики.

= Так в чем проблема, посмотри в Интернете.

— Нет, легкие пути не для нас.

Тут я посмотрел на вторую строку системы

xy = 96

из этого следует, что в 96, в качестве сомножителей содержатся оба корня!!!

т.е. если, это самое, 96 разложить на простые сомножители (а это задача 6 класса) и из их комбинации выбрать дающие в сумме 20, то вот оно - дерево и мужик в пиджаке!!!

— Делаем, давай я изложу опять до идиотизма просто:

96 — четное — делим на два в результате 48

48 — четное — делим на два в результате 24

24 — четное — делим на два в результате 12

12 — четное — делим на два в результате 6

6 — четное — делим на два в результате 3

в итоге:

96 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3

= Спасибо за идиота, но бухти дальше.

— Предположим что первый корень = 2 тогда второй 48

= Не подходит, в сумме не 20, а 50

— Хорошо, тогда первый корень 2 • 2 = 4, а второй 2 • 2 • 2 • 3 = 24

= Опять не пойдет, в сумме 28.

— Попытка номер... первый корень 2 • 2 • 2 = 8, а второй, что осталось: 2 • 2 • 3 = 12

= Ну, надо же, угадал!

— Не угадал, а вычислил.

= Погоди, я проверю.

— Я уже все проверил. Вся сходится.

В том числе проверил и по стандартной формуле нахождения корней квадратного уравнения, забавно, что при этой проверке я ошибся, запутался в арифметике.

= Не забавно, а показательно.

— Возможно. Так я наслаждался победой целый день, а на следующий — до меня дошло!!!

= Что дошло, к чему восклицания?

— Просмотри, выше изложенное, ничего не замечаешь?

= Пока ничего.

— Хорошо, изложу доступнее:

система:

x + y = S

xy = M

тождественна:

x² — Sx + M = 0

= Ну, и что. Согласен, я тебе верю.

— В математике, верить нельзя. Надо проверять доказательства.

= Ладно, доказал, но к чему ты ведешь?

— Посмотри же! Любое приведенное квадратное уравнение легким движением можно превратить в систему, а точнее коэффициент S является суммой корней (с минусом), и коэффициент M их произведением.

Отсюда следует, что 90% «школьных» приведенных КУ можно легко решить в уме.

КУ

Попробуем?

= Давай.

— Напомню последовательность действий:

1. разложение коэффициента M на простые сомножители

Простых чисел до 100 не так уж много:

2. выбор полученных корней в сумме дающих S

= Все понятно, поехали.

— Для x² — 7x + 10 = 0 корни будут 2 и 5.

= Да, я вижу, (x² — [2+5]x + [2 • 5] = 0) проверим:

2 • 2 — 7 • 2 + 10 = 4 — 14 + 10 = 0

5 • 5 — 7 • 5 + 10 = 25 — 35 + 10 = 0

Все сошлось, я тоже хочу попробовать.

— Пробуй: x² — 16x + 39 = 0

= Корни 3 и 13. Ну, надо же! Я Вижу!!! Еще хочу!

x² — 3x + 2 = 0

корни 1 и 2.

= Попался! Это все знают! 1 не является простым числом.

— Ну и что, хоть горшком назови, ну пусть 1 будет «сверх простым числом», но корнем этого уравнения оно является.

= Тогда я предлагаю такое уравнение x² — 4x = 0 и корни будут 0 и 4.

— Согласен. А реши такое x² + 18x + 65 = 0

= Решение 5 и 13.

— Неверно.

= Погоди, проверю 13 • 5 = 65; 13 + 5 = 18 ты не прав. Все верно.

— А ты подставь корни в квадратное уравнение.

= Да, не получается, а в чем дело.

— Ты забыл смотреть на знаки. Ответ будет -5 и -13

= Ну, надо же. А я думал, что все проще некуда.

— Давай разберемся со знаками. Вот базовая формула: x² — Sx + M = 0. При коэффициенте M плюс будет если оба корня положительны или оба они отрицательны. Знак при S зависит от суммы положительных или отрицательных корней взятой со знаком минус.

= Чего-то ты перемудрил.

— Ну смотри. Если при M стоит минус. Значит насторожись, один из корней отрицателен.

Если + Sx + M, то к гадалке не ходи, оба корня отрицательны. Ну лучше опробуем все это на практике.

x² — [5+2]x + [5•2] = x² — 7x + 10 = 0

x² — [-2+5]x + [-2•5] = x² — 3x — 10 = 0

x² — [-5+2]x + [-5•2] = x² + 3x — 10 = 0

x² — [-5 + -2]x + [-5•-2] = x² + 7x + 10 = 0

= В общем понятно, - потренироваться надо.

— Приступай.

x² — 8x + 12 = 0;

x² — 2x — 3 = 0;

x² — 5x + 4 = 0;

x² — 13x + 12 = 0;

x² — 7x + 12 = 0;

x² — 15x + 26 = 0;

x² + 14x + 45 = 0;

x² + 3x - 70 = 0;

x² — 12x + 35 = 0;

— А дальше тренируйся дома «на кошках». Открой учебник и пиши ответы.

— Давай разберем еще два случая.

x² — 10x + 100 = 0

= Чего-то не понял.

— Уравнение решения не имеет. 100 = 2•2•5•5 при любой комбинации сомножителей сумма будет больше 10.

= Занятно.

x² — 6x + 9 = 0

— Уравнение имеет единственное решение 3.

— А если так, x² — 5x + 9 = 0 то решений нет.

= Ну, надо же. И все исходит из волшебной системы?!!

— Как видишь, большинство «школьных» уравнений, ты решишь одной левой.

Но возможны и сложности, например, такой коварный случай:

x² + 4x + 2 = 0

= Как было сказано «два плюса значит — два отрицательных корня», но не соображу, как может сумма быть больше произведения?

— Подумай! Достаточно абсолютному значению хотя бы одного из корней быть меньше единицы, и в данном случае корни:

—2 — √2 ≈ -3.414213562373095

и

—2 + √2 ≈ -0.5857864376269049

= Т.е. просто глянув на формулу можно многое сказать о корнях, да интересно.

= А что ты называешь «школьным» уравнением.

— В свое время, учась в школе, я заметил, что школьная математика дается в «приглаженном» виде, посмотри в геометрических задачах все углы — 30°, 45°, 60°, 90° а алгебре, как правило, в задании и в ответе целые числа. Последние называются Диофантовы уравнения.

//

Диофантово уравнение — это уравнение вида P(x₁, ... , x_m) = 0,

где P — целочисленная функция (например, полином с целыми коэффициентами), а переменные принимают целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта.

//

— Кстати задача, которую мы изначально решали, также приписывается Диофанту.

= Вот приду завтра в школу и умою всех отличников.

— / _{вот выйду из тюрьмы. Куплю костюм с отливом}.../

= Скажу Нельке «открой задачник на любой странице и выбери пример» и с ходу раз — ответ, и пока она пыхтит, проверяет, второй пример, третий.

— / _{Куплю костюм с отливом. И в Гагры}.../

= Слушай. Чё-то мне не верится, что за две с половиной тысячи лет никто не нашел такого способа.

— И мне не верится. Но, мы не специалисты, наверное профессиональный математик скажет «на такой-то странице такой-то работы Гаусса или скажем Эйлера есть упоминание о данной теме, в качестве курьеза[2]».

— Но мне кажется, что это тайный инструмент составителей задачников для школьников. Согласись, что составить задачу с заданными свойствами ничего не стоит.

= Тогда Нельке я скажу «назови мне два числа, и я тебе напишу квадратное уравнение, где корнями буду эти два числа». Так пожалуй еще круче. .... но придется признаваться как я это делаю.

— Да не проблема, расскажи и покажи. Но, во время демонстрации помни о коварных случаях например x² — 5x — 3 = 0.

= Ничего, выкручусь, по крайней мере поражу народ своим анализом корней, а затем скажу, что сегодня с отрицательными корнями не хочу возится.

= А, вот еще вопрос. Мы с тобой рассматривали уравнения типа x² + bx + c = 0, а если будет полное квадратное уравнение: ax² + bx + c = 0?

— Элементарно, Ватсон. Раздели полное уравнение на а, и получишь приведенное, а дальше ты знаешь.

= Но тогда получатся дробные коэффициенты.

— Мудрость состоит в том, что не стоит бараном упираться в любой принцип, ежели разделение дроби на сомножители составляет трудность, вспоминай о дискриминанте и прочих радостях стандартной формулы.

Но давай поиграемся с корнями 0.5 и 1.5

x² — [0.5 + 1.5]x + [0.5 • 1.5] = x² — 2x + 0.75 = 0

давай для удаления дроби, умножим на 100

100x² — 200x + 75 = 0

Т.е. по крайней мере составлять уравнение по любым корням ты сможешь, и разбитое сердце для Нелли обеспеченно.

= Я тоже хочу попробовать.

— Ну, давай, давай что-нибудь не обычное, пусть будет корень из тринадцати, итак корни КУ 1 + √13 и 1 — √13.

= Крибле крабле бумс: x² — 2x — 12 = 0

= «Айнун цванцих фирун зихцих» или как говорили древние финики «Повторение мать мучения»

— Финикийцы?!

= Финики — веселее. Давай я повторю все что понял:

--------------------------------------

1. Посмотреть на знаки

--------------------

— + оба корня положительны

— — один корень отрицателен, но положительный больше*

+ — один корень положителен, но отрицательный больше*

+ + оба корня отрицательны

* больше при сравнении абсолютных величин корней.

--------------------

2. Если M меньше S значит абсолютная величина хотя бы одного корня больше нуля, но меньше единицы.

3. Если M удалось разложить на множителе и их сумма (с учетом знаков) равна S — демонстрируем свои феноменальные способности.

3а. Иначе, быстренько считаем дискриминант или шустренько врем «голова заболела,... я уже устал,... на сегодня достаточно...»

4. В случаях 2 и 3а — плавно переходим к демонстрации изготовления уравнений по заданным корням, это дело беспроигрышно (главное не запутаться в арифметике).

--------------------------------------

— Отлично. Теперь ты готов к подвигам?

— Проверим. Реши такое: — x² — 7x — 12 = 0

= Два минуса значит...

— Два плюса!! И минус с Гриффиндора за невнимательность. Учитывай коварство противника.

= Понял -3 и -4.

— Я не сказал бы, что ты готов. Побольше тренеруйся и внимательность.

= Спасибо, за отличный прикол. Это будет ШОУ!!!

— Успехов в кардио-математических делах.

День 2 Тренировка

= Спасай!!!

/ _{Шеф! Все пропало!} /

= Шоу под угрозой, а отказаться нельзя.

/ _{Все, кина не будет. Электричество кончилось.} /

— Что случилось?

/ _{У тебя там не закрытый… а открытый перелом?} /

= Сгорел уже на третьей задаче! Хорошо еще, что хвалился своим друзьям, и как заклинило, отговорился, что надо делать уроки и т.п. Но завтра в школе они всем расскажут, и с меня потребуют демонстрацию.

/ _{Семё-ё-н Семёныч!…} /

— Я тебе говорил, что фокусы, как и экспромты, надо тщательно готовить. Потренировался бы побольше, подготовил..., а это мысль...

— Все мои проблемы я...

= Я знаю, все твои проблемы ты решаешь программным путем.

— Да, именно так. План такой: как генерировать квадратные уравнения мы знаем, а значит пишем программку...

/ _{Лёгким движением руки брюки превращаются… Брюки превращаются… Превращаются брюки…} /

Так, это дело займет не пять минут, посмотри пока фильм.

= Брильянтовую ногу?

— Можно и это, но я имел в виду «Праздник святого Йоргена»

............

= Фу..... черно-белый! Немой!!!

— Ну, и что. Фильм тридцатого года, но зато здорово объясняется, как надо готовить чудеса.

...........

— Оторвись, потом досмотришь.

/ _{Дичь не улетит, она жареная} /

— В последнее время я учусь работать с Питоном. Достаточно интересный язык, но особо хвалить или ругать рано, надо получше познакомится.

— Но для начала одно предупреждение. Питон очень требователен к правильному применению отступов, к сожалению fb2 «съедает» лишние пробелы или табуляции, да, есть теги для оформления кода, но не все читалки правильно их воспринимают.

/ _{Я считаю, что человеку можно верить только в самом крайнем случае.} /

Поэтому для зрительного восприятия отступов группы пробелов (табуляцию) я заменю группой точек и пробелов « . . »

= Ясно, при необходимости заменить их на табуляцию. Но не растягивай, у меня время поджимает.

/ _{Цигель, цигель ай лю-лю} /

— Давай разберем, то, что сделано.

— Вариант первый (пробный) для выяснения принципа работы программы.

1 | # -*- coding: utf-8 -*-

2 | import random

3 |

4 | def gen_number():

5 | . . prime_number =(1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17)

6 | . . sign_number =(0, 1, 2, 3)

7 | . . nu = random.choice(prime_number)

8 | . . sign = random.choice(sign_number)

9 | . . if sign == 0:

10 | . . . . nu = nu * -1

11 | . . return nu

12 |

13 | def show_numb(a):

14 | . . if a > 0:

15 | . . . . return ' + '+ str(a)

16 | . . return ' - ' + str(abs(a))

17 |

18 | for i in range(100):

19 | . . x1 = gen_number()

20 | . . x2 = gen_number()

21 | . . b = x1 + x2

22 | . . c = x1 * x2

23 | . . #print 'x1 = '+str(x1) + ' x2 = '+str(x2)

24 | . . if b != 0:

25 | . . . . print 'x^2 '+ show_numb(b*-1) + 'x ' +show_numb(c)

Строка 2 — подключаем библиотеку для работы со случайными числами.

Строка 4 — функция генерирующая случайное число со случайным знаком

Строка 5 — кортеж из простых чисел, из которых случайно мы будем выбирать ___

Строка 6 — из этого кортежа будем выбирать знак. Минус будет засчитываться только если выпадет 0 (ясно все остальные вероятности = плюс) чем больше этих «ненужных» чисел, тем меньше вероятность выпадания минуса. Вот такая шутка.

Остальные строки функции прозрачны. Не будем сотрясать воздух.

Строка 13 — функция Показа числа. В общем все понятно: если число положительно то перед ним напишем «+», иначе «-».

= А если будет ноль?

— Посмотри внимательно.... нуля не будет.

/ _{Только нэ суетись! Кутузов!!} /

Строка 18 — основной блок программы. В данном случае это цикл повторяющийся 100 раз

Задумываются два числа (из простых чисел с произвольным знаком)

Эти числа умножаются и складываются. Результат выводится на экран.

Строка 24 — исключает из рассмотрения случаи с коэффициентом b равным нулю, уравнение при этом будет слишком примитивно.

= Ты пропустил 23 строку!

— Она закомментирована и нужна была только в отладке для проверки результатов.

— Как видишь, ничего сложного.

= Ну, не знаю, но я...

/ _{Как говорит наш дорогой шеф, в нашем деле главное — этот самый реализьм!} /

— Хорошо, переходим к реальной программе.

1 | # -*- coding: utf-8 -*-

2 | import random

3 |

4 | def gen_number(k):

5 | . . prime_number =(1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17)

6 | . . sign_number =(0, 1, 2, 3)

7 | . . nu = prime_number[random.randint(0, k)]

8 | . . sign = random.choice(sign_number)

9 | . . if sign == 0:

10 | . . . . nu = nu * -1

11 | . . return nu

12 |

13 | def show_numb(a):

14 | . . if a > 0:

15 | . . . . return ' + '+ str(a)

16 | . . return ' - ' + str(abs(a))

17 | . .

18 | TopList = ['', '','']

19 |

20 | f1 = open("quadratic.htm", 'w')

21 | f2 = open("answer.htm", 'w')

22 |

23 | for ind in TopList:

24 | . . f1.write(ind + '\n')

25 | for ind in TopList:

26 | . . f2.write(ind + '\n')

27 |

28 | f1.write('\n')

29 | f2.write('

\n')

30 | tr = 0

31 | count = 1

32 |

33 | for i in range(300):

34 | . . x1 = gen_number(4)

35 | . . x2 = gen_number(7)

36 | . . b = x1 + x2

37 | . . c = x1 * x2

38 |

39 | . . if b != 0:

40 | . . . . if tr == 0:

41 | . . . . . . f1.write('

')

42 | . . . . . . f2.write('

')

43 | . . . . f1.write('

\n')

46 | . . . . f2.write('

\n')

49 | . . . . count += 1

50 | . . . . tr += 1

51 | . . . . if tr == 3:

52 | . . . . . . f1.write('

')

53 | . . . . . . f2.write('')

54 | . . . . . . tr = 0

55 |

56 | f2.write('

') 44 | . . . . f1.write(str(count) + ') x2 '+ show_numb(b*-1) + 'x ' +show_numb(c) + ' = 0' ) 45 | . . . . f1.write('	') 47 | . . . . f2.write(str(count) + ') x1 = '+ str(x1) + '; x2 = ' + str(x2) ) 48 | . . . . f2.write('

\n')

57 | f2.write('')

58 | f2.close()

59 | f1.write('\n')

60 | f1.write('')

61 | f1.close()

62 |

63 | print 'Done.'

— // ^{Наверняка, что-то можно было бы сделать лучше...} //

/ _{Я вас отвезу! Скорей! Я же только учусь...} /

= О поле, поле кто тебя усеял?

/ _{Я думаю, Семён Семёныч, что каждый человек способен на многое. Но, к сожалению, не каждый знает, на что он способен.} /

— В принципе то же самое, но разберем отличия:

1. итог выводится не на экран, а в файл. Точнее в два файла "quadratic.htm" — задания и "answer.htm" ответы.

2. т.к. это HTML файлы, то не помешает записать «шапки» файлов (строки 23 — 26) и правильно завершить файлы (строки 56 — 61).

3. для приятного восприятия (и экономии бумаги) информацию записываем в таблицы (за число столбцов отвечает переменная tr, точнее строка 51)

4. для удобства пользования введена нумерация задач (за это дело отвечает переменная count)

5. изменена функция Генератор Чисел (gen_number). Я посчитал, в предыдущей версии, могут получаться слишком громоздкие числа и это может затормозить «молниеносность»

В данном случае задумывается одно число однозначное, второе как и было...

— Ну, вот и все, остальные отличия — мелочь.

= Все это очень хорошо, но я просил помочь, а ты меня питонами пугаешь.

/ _{Ты что, глухонемой, что ли?}

_{— Да!}

_{— Понятно.} /

— Ну ты даешь. В качестве примера в приложениях я дам тебе два файла, но дело в том, что там около 160 задач (удаление повторяющихся вариантов, не сделано), а если завтра тебе окажется этого мало. Тогда пожалуйста. Запускай программу измени пару, тройку строк и получи лист с нужными задачами.

Теперь распечатай файлы и за работу.

— Повторюсь. ТщательнЕЕ нужно готовится к выступлениям, тщательнЕЕ.

— Тебе потребуется мгновенно выяснить делители свободного члена. Я посмотрел в Интернете запрос «признаки делимости» - довольно интересно, 2 и 5 ты и так знаешь, посмотри только 3, а с 11 — достаточно просто, тебе встретятся только 22, 33, 44 и т.д. имеет смысл запомнить ряды для 13 (26, 39, 52...) и 17 (34, 51, 68...)

— Далее, ты помнишь правила знаков?

= Да там все просто, я все понял.

/ _{Да… Бедняга. Ребята, на его месте должен был быть я!}

_{— Напьёшься — будешь.} /

— Этого совершенно не достаточно. Решения уравнений должны быть максимально быстры, а этого не достичь без тренировок и упражнений данных в приложении «маловато будет».

Питон (Python) можно инсталлировать в ЛЮБОЙ операционной системе, а в Ubuntu он стоит по умолчанию. Учебников и советов в Интернете достаточно, если надо обращайся и ко мне, я хотя и не волшебник люблю все чудесное.

/

_{Теперь вот такое предложение. А что, если…}

_{— Не стоит.}

_{— Ясно. Тогда, может быть, нужно…}

_{— Не нужно.}

_{— Понятно… Разрешите хотя бы…}

_{— Вот это попробуйте! Вам поручена эта операция, так что действуйте.}

/

День 3 Задачи

— Рассказывай. Как успехи.

= Норма-а-а-льно.

/ _{а что она, а что она, она по прежнему не мной увлечена} /

— А подробнее.

= Новизна фокуса прошла. Все уже знают секрет. Но мы нашли еще одно применение: проверяем правильность решения КУ, очень удобно.

= Но у меня два вопроса.

— Попробуй.

= 1. как ты узнал сколько получится формул?

— Подобную задачу я решал еще в 9 классе.

В те времена я прочел рассказ Артура Кларка «Девять миллиардов имен Бога.» и меня заинтересовало — вот это ЧИСЛО писатель просто выдумал или все таки вычислил, я решил проверить. Решение искал очень, ОЧЕНЬ долго, смешны теперь две вещи, во-первых решение можно было найти за час-полтора, и второе, совершенно не помню, что у меня получилось, т.к. процесс решения забрал столько сил и вызвал такую гордость.... что в результате получилась подмена целей и конечная ЦИФРА меня уже не столь интересовала. Ну можно назвать и третью причину для смеха, в 10 классе я узнал, что МОИ формулы носят имя очень известного (общеизвестного) ученого.

= Конечно, это очень интересно, но я хотел бы конкретики.

— Хорошо, приступим, данная задача намного проще. Поинтересуйся в тексте программы; сколько вероятных значений может принять второй корень.

= Сейчас сообразим..... 8 значений.

— Ну, а первый корень может принимать одно из пяти значений.

— Значит так, переберем не повторяющиеся комбинации значений корней:

запишем в список 8 вариантов значений x₂ при x₁ = 1

добавим в список 8 вариантов значений x₂ при x₁ = 2

добавим 8 вариантов значений x₂ при x₁ = 3

.............

= Остановись, все предельно понятно 8 * 5 = 40

— Далее. У нас возможны 4 варианта распределения знаков по корням.

= Ясно! 40 * 4 = 160. Но ты сказал что будет меньше.

— Посмотри на 39 строку. Мы исключили из рассмотрения равные корни с разными знаками, т.к. уравнение x² — 0x — 25 = 0 ну уж слишком очевидно. Если очень хочется узнать, точное число комбинаций, то есть два пути или вычислить сколько будет этих самых, разнополых близнецов или написать программу удаления повторяющихся значений : )

= Но практика показала, что даже 110[_{для второй версии данного текста я отсортировал список уравнений удалив повторы}] слишком мало.

— Как я понял мы подползли ко второму вопросу. Именно для этого я тебе дал текст программы, коею надо изменить.

— Согласен, разбираться в чужой программе тяжело. Но попробуем. Есть два варианта — выбирать тебе.

1 — вернуться к функции gen_number() из первой версии программы.

= Так, 8 * 8 * 4 = 256.

2 - изменить 34 строку программы на x1 = gen_number(4) * gen_number(4)

= Пробуем, 8 * 5 * 5 * 4 = 800. Вот это уже достойно.

— Рад, что тебе понравилось, мне не трудно выложить еще парочку приложений, но решить такие уравнения в уме будет уже труднее (хотя возможно полезнее).

= Спасибо конечно, но, как я уже сказал, новизна прошла...

— Конечно, лежать на диванчике спокойнее.

Умные люди_{лежащие на диване} знают, что все здесь изложенное чепуха, т.к. практической пользы для разумных людей в вышесказанном нет, но может найтись такой чудак, который сделает свои, для нас разумных неожиданные выводы.

Большая часть математики выросла из таких вот глуповатых, детских вопросов.

= Например?

— Прочитай, как Джонатан Свифт издевался в «Путешествиях Гулливера» над Раймундом Луллием. И конечно же, этот умнейший человек не мог себе представить, что такая вот смешная «логическая машина Луллия» будет одним из истоков создания математической логики, а из нее вырастут и наши любимые компьютеры.

Ты прочитал книгу про Жар Холодных Чисел?

/ _{Опять ошибся в названии}/[3]

= Ну,.... не дочитал.

— ТШёРТ ПОПеРи!!! Ну как мне заставить тебя учится!

— Давай современнее. Почитай о Великой теореме Ферма. 350 лет сильнейшие математики решали задачу — условие которой записывается в одну строчку, да, задача решена, но главное, попутно открыты новые пути, разработаны новые методики...

Ладно, давай не будем претендовать на великие открытия. Но развить свои способности тебе вполне доступно.

= Предлагаешь в цирке удивлять фокусами?

— Неплохая мысль. Цирк и занимается демонстрацией сверх возможностей человека.

Но фантастическими возможностями вычислений обладали как известные ученые (на ум приходит индийский математик Сриниваса Рамануджан) так и не известные счетоводы ( подпольный Корейко).

А лишних знаний и умений не бывает. Меня всегда возмущает афоризм

«Учиться никогда не поздно» - отличная отмазка для лентяев «Если никогда не поздно - отложим»

Можно привести сотни примеров, когда... поздно, - простейший:

В темном переулке тебе навстречу идут трое...

Давай введем новый афоризм «Учись пока не поздно!»

Ни я, ни кто-либо другой не могут гарантировать, что изучение такой-то темы приведет тебя к небывалым успехам. Но любой тебе скажет, что спокойное, жвачное лежание на диване приведет только к ожирению мозга.

= Понятно. Как говорят древние... «Айнун цванцих — фирун зихцих», что означает

«Никто не знает где начало того конца, которым оканчивается начало».

* * *

— Интересно, помнишь ли ты с чего я начал это повествование?

= Отлично помню, со старческого ворчания.

— И все-таки мне хочется понять, для чего можно использовать квадратные уравнения.

= Я тоже поинтересовался, нашел презентацию одного восьмиклассника, вычисление площадей, взлет самолета, стрельба из пушки, фонтаны, архитектура и прыжки в высоту. Практически я занимался только последним, но обходился без уравнений.

— Да, в интернете можно найти многое, вот один десятиклассник написал работу более подробную в том числе привел:

Разные способы решения квадратных уравнений

1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.

2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.

3. СПОСОБ: Решение КУ по формуле.

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов КУ.

7. СПОСОБ: Графическое решение КУ.

8. СПОСОБ: Решение КУ с помощью циркуля и линейки.

Как видишь, наш способ четвертый.

Если опять посмотреть на систему Диофанта и изложить ее словами получится:

«Дана площадь прямоугольника и его полупериметр найти его стороны» честно говоря, трудно себе представить, такую задачу в практике.

Квадратные уравнения нужны для решения задач с телом брошенным под углом к горизонту. Потому что траекторией движения этого тела является парабола. Под эту строку попадает большинство упомянутых тобою задач.

Ссылка на применение в архитектуре.... не совсем точно. Чаще в строительстве применяется не парабола а внешнее похожая на нее - цепная линия, очень интересная штука.

Вот, что говорит по этому поводу Википедия:

Цепная линия — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить или цепь (отсюда название) с закрепленными концами в однородном гравитационном поле.

y = (a/2)*(e^x/a + e^-x/a)

Мыльная пленка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.

Перевернутая цепная линия — идеальная форма для арок. Перевернутая мыльная пленка — идеальная форма для ангаров.

В нете выяснилось, что мой вопрос (запрос) не оригинален вот фрагмент форума:

«

Где в жизни могут пригодиться квадратные уравнения по алгебре 8 класса?

Mefody66

2 года назад

90% задач школьной алгебры от изучения квадратных уравнений и до 11 класса, и даже частично первые курсы института - это задачи, которые сводятся к квадратным.

Изначально уравнения могут быть какими угодно - степенными, логарифмическими, тригонометрическими, даже интегралы.

Собственно, все обучение на то и рассчитано - свести уравнение к квадратному, способ решения которого известен.

Странно, что они не учат решать хотя бы кубические уравнения. Формулы Кардано было бы достаточно.

Я уж молчу про уравнения 4 степени и теорему, что уравнения 5 степени и выше принципиально неразрешимы в радикалах.

Так что на ваш вопрос ответ однозначный - квадратные уравнения нужны для дальнейшего обучения.

А вот после обучения - да, они почти совсем не нужны.

Irina8

2 года назад

Это не так важно, может они вообще нигде не пригодятся на практике в жизни. Но знание, которое даёт математика - умение мыслить, очень пригодится в жизни. Развитие ума и умственных способностей ещё не кому не помешали. Это помогает правильно рассуждать, предусматривать каждый шаг и позволяет вовремя понять и оценить свои поступки. Математика людям помогает хорошо устроиться в жизни и быть счастливым, так как он заранее может рассчитать все результаты своего сделанного шага и вовремя свернуть с неправильного направления.

КриКСА

2 года назад

В колледже и институте. Больше нигде мне не пригодились.

Как говорят-что высшая математика пригодится лишь учителю высшей математики (Но мне все равно нравились квадратные уравнения, для меня это как кроссворды. Интересно же)

»

= Наш человек!

— Вот такой глас народа[-?-]. Но, видишь ли, если бы квадратных задач в природе не существовало их бы не придумали еще в древней Греции.

= «Айнут цванцих...» Да эти Древне-Грецкие философо-математики просто богатенькие буратины от нечего делать измышлявшие мозгодробительные задачки.

— Не все и не всегда.

= А, знаю Архимед.

— Еще Герон Александрийский. Но к сожалению, ни один из них не оставил задачник.

— Пришлось поискать более современный:

ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П.

СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА, 1965

Задачи на составление квадратных уравнений

Задача 1. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 кв. м.

[x² + 10x — 1200 = 0]

Да! Вот это задача! Если известно, что одна сторона больше другой на 10 м, то значит эти стороны были измерены (а иначе как узнали площадь) и вычислить периметр можно без всяких квадратненьких уравниловок. Так зачем же «огород городить».

Задача 2. Бригада лесорубов должна была по плану заготовить в несколько дней 216 куб. м дров. Первые три дня бригада выполняла ежедневно установленную планом норму, а затем каждый день заготовляла 8 куб. м сверх плана. Поэтому уже за день до срока было заготовлено 232 куб. м дров. Сколько дров в день должна была заготовить бригада по плану?

[x² + 48x — 1728 = 0]

Уругвайскому шпиону дадено задание вызнать производительность труда русских лесорубов (проклятые буржуины хотят заставить работать своих рабов не хуже). В местном трактире шпион подслушал похвальбу («нам задали свалить 216 кубов, мы 3 дня примерялись, а потом как разошлись, да по 8 кубов, да поверх плана, так что за день до срока наваляли 232 куба — во как!»). Да, болтун — находка для шпиона.

Вот так задача обретает смысл.

Задача 3. Два автомобиля выходят из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости другого, и поэтому первый автомобиль приходит на место на 1 ч раньше второго. Определить скорость обоих автомобилей, если известно, что расстояние между городами 560 км.

[x² + 10x — 5600 = 0]

Опять бессмыслица если известна разность то известны и скорости. Что, снова вводить промышленный шпионаж и ... Так школьники станут параноиками.

Задача 4. Теплоход прошел по течению реки 48 км и столько же против течения и потратил на весь путь 5 ч. Определить скорость теплохода в стоячей воде, если считать скорость течения реки 4 км/ч.

[5x² - 96x — 80 = 0]

Вот! Другое дело. Чисто производственный момент. После капитального ремонта надо определить характеристики транспорта.

Задача 6. Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 28 км, и через час встречаются. Не останавливаясь, они продолжают путь с той же скоростью. Первый велосипедист прибывает в пункт В на 35 мин раньше, чем второй в пункт А. Определить скорость каждого велосипедиста.

[x² + 68x — 1344 = 0]

Вспомнилась книга «Архипелаг Исчезающих Островов» Платова. Хорошая книга, хотя может сегодня она читается уже не так, но вот цитата:

«

Условия предложенной классу задачи выглядели, кажется, так: два путешественника отправились из пункта А в пункт Б, причем, как водится, один позже другого. Требовалось узнать, через сколько времени второй догонит первого, если… И так далее.

Покосившись на соседа, я увидел, что он отложил перо и рассеянно смотрит в угол, шевеля губами. — Ты что? — шепотом спросил я.

— Да вот не пойму, почему второй догонял первого, — также шепотом ответил он. — Может, сыщик был? Или мститель?

Я задумался.

— И что за пункты такие? — продолжал бормотать сосед. — А и Б?.. А и Б?..

— Если А — это Африка, — неуверенно предположил я. — Б — Бразилия… Тогда можно понять. Оба путешественника добывали алмазы в Африке на копях…

— Ага! И первый у второго похитил алмаз? Обстановка уточнялась. Было совершенно очевидно, что составители задачника Шапошников и Вальцев умолчали о многом. Одна красочная подробность выяснялась за другой.

— А тот — в погоню за ним…

— На шхуне через Атлантический океан…

— Да, на шхуне… Настигает его в Бразилии на берегу и…

»

Задачи 5 и 7. Не понравились.

Задача 8. За 4 дня совместной работы двух тракторов различной мощности было вспахано 2/3 колхозного поля. За сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым трактором отдельно, если первым трактором можно вспахать все поле на 5 дней скорее, чем вторым трактором?

[x² - 17x + 30 = 0]

Тракторист задумал подхалтурить в соседней деревне, и вот он сидит на кухне и пачкает бумагу считая и решая приглашать ли напарника или он все деньги заработает и один «да я на 5 дней скорее вспашу»

Задача 9. Колхоз купил для заправки тракторов на а рублей лигроина и на такую же сумму керосина, всего n кг. Сколько килограммов куплено лигроина и сколько керосина, если килограмм первого на b рублей дороже килограмма второго?

..

Ревизор обнаружил документацию на закупку ..... надо выяснить сколько должно быть товара на складе.... не ворует ли председатель. (Больше всех в колхозе работала кобыла Зорька, но все равно ее председателем не выбрали.) Что-то меня все поворачивает на криминальные темы, хотя детективы всегда читают охотнее мемуаров.

Вывод: большинство задач высосаны из пальца составителя, однако ЕСТЬ задачи, которые могли возникнуть в практике.

— Тщательнее надо изобретать задачи.

= Ругать легко. Попробуй сам.

— Хорошо. Попробую.

— Во время решения задачи, фоном, должен звучать «Шторм» Вивальди.

= Понял. Надо решить за время звучания (а Ванесса Мэй обязательна?).

— Корабль водоизмещением 1 тыс. тонн попал в 8 бальный шторм, к несчастью работает только один насос (два сломались, а третий пропил боцман). Штурман получает задание вычислить, успеет ли судно дойти до порта (120 миль) при скорости 12 узлов. Если известно, что производительность рабочего насоса 1000 литров в час, а поступление воды, при таком шторме всегда было 2400 литров в час. А запас плавучести 300 тонн. (ну, ты понимаешь, я ни разу не моряк и в цифрах мог напутать, главное — прочувствовать напряжение момента)

= Да, не хочу в капитаны. Это же какие надо нервы.

= Пойду перечитаю Остера, может и там есть что-то квадратное. _{и спокойное}

— Почитать - дело нужное. Прочитай наконец «Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики», "Я хочу в школу" Жвалевского и «Волшебный двурог» Боброва.

= Домашнее задание растет.

— Ладно, давай прощаться, а то и правда вспомню еще что-либо.

— Вспомнил! Арнольд!

Я уже говорил, что академикам противопоказано писать учебники, им невместно написать что-то живое — хихикающее. Но по крайней мере одно исключение есть - Владимир Игоревич Арнольд, очень интересный человек. К сожалению его книги на флибусте только в pdf и djvu, но где-то у меня есть недоделанная книга в fb2 найду, доделаю, выложу.

= «Айнун цваних фирун захцих» или как говорит наш дорогой шеф «Он слишком много читал».

* * *

день четвертый - ничего не произошло.

* * *

День 5

= Привет! Показал я твой «шторм» соседу. Он сказал, что это смертельно опасная задача.

— Да?

= Моряк или умрет со смеху или убьет составителя.

— Надо же! Оказывается это рискованное занятие. Ты был прав, ругать других действительно легче, чем делать самому.

А я никак не оставлю тему квадратных уравнений, и вроде все сказано, поставлена точка, но появляются новые идеи......

— Для разминки приведу забавное доказательство теоремы Виетта.

Напишем базовую формулу: x² — bx + c = 0 мы знаем что b — это сумма, а с ...

= Уже сто раз говорил...

— Не злись. Давай развернем эту запись. Я не хочу для обозначения корней писать x₁, x₂, а то от х в глазах рябить будет. Давай использовать i и j.

x² - (i+j)*x + i*j = 0

преобразуем

x² - ix - jx + ij = 0

= Ну, и чего получилось?

— Фокус, покус! Ведь i и j это корни уравнения. Подставь-ка вместо x - i или j.

= Да. Действительно забавно, простейшей алгеброй все доказано.

— Обрати внимание, нигде не сказано, что j и i — целые, это могут быть любые числа и не только числа.

— Но давай пойдем дальше. Есть разные способы решения КУ, в том числе графические.

= Да, читал я. Не точно, не всегда достижимо, только, что наглядно.

— Вот наглядность мне сейчас и нужна, да и еще кое что. Рассмотрим только один способ.

Как видишь, строится парабола и места пересечения с осью абсцисс (y = 0) и будут корнями. Чтобы построить параболу ax² — bx + c = 0, для начала нужно знать координаты вершины

= Что-то подозрительно знакома мордочка у y₀.

— Дело упрощается тем, что в нашем случае a = 1.

— Смотри, у нас есть координата x₀ вершины параболы, она простейша [ -b/2 ] корни КУ находятся на одинаковом расстоянии от этого числа. Вообще x₀ очень хитрое число, ЛЮБЫЕ два числа отстоящие от него на одинаковые расстояния, дают в сумме b.

Остается только подобрать два симметричных относительно x₀ числа дающих в произведении c.

= Т.е. это другой способ, и про первый можно забыть.

— Забывать ничего не будем! Первый метод «соМножителей» если так сойдутся звезды позволит там «молниеносно» решить КУ, второй «Слагаемых» гарантирует успех, но немного медленнее.

— Не забывай о коварстве составителей. Если y₀ окажется положительной, то парабола не пересечет ось абсцисс, т.е корней не будет...

= То-то я вижу, что-то знакомое — дискриминант.

— Не совсем, но родственник дискриминанта пусть это будет Д ( Д = — дискриминант ).

Давай спланируем алгоритм действий.

1. оцениваем знак выражения 4c — b², ежели минус идем далее (этот пункт можно удалить, если мы решаем подготовленные Питоном КУ).

2. оцениваем знаки корней по известной нам таблице.

3. если удается, находим корни в соМножителях

4. ну а если дошли до этого пункта, делаем глубокомысленный вид (тренируем актерское мастерство) и начинаем перебор.

= Например?

— Хорошо, поехали:

x² - 22x - 75 = 0

1. [- 75] — ясно что Д отрицателен

2. [ - - ] - один корень отрицателен, но положительный больше

3. [ 75 ] допустим нам лень искать делители, но пятерка там точно есть.

4. [x₀ = 11] обозначим смещение корней относительно точки x₀ как z. Допустим отрицательный корень [ -5 ] тогда z = 16 и следовательно x₂ = 11 + 16 = 27

= Все отлично!

— Погоди, что-то тут не так, 27 * 5 = 135, не сходится. Т.е. [-5] слишком далеко ушло в минус. Давай попробуем предыдущее простое число [-3] тогда z = 14 и следовательно x₂ = 11 + 14 = 25 и 25 * 3 = 75. Вот теперь — все отлично.

= А можно было сделать проще, без всяких z. Когда предположен один корень второй просто вычисляется x₂ = b — x₁ т.е. 22 - (-3) = 25.

— Ты мыслишь, значит ты существуешь!!!

— Повторю свое заклинание «только постоянные экзерсисы приведут тебя к успеху».

= Я только не совсем понял для чего нам x₀.

— Ну скажем, это якорь на который мы ориентируемся при поиске корня. Для поиска можно воспользоваться двоичным поиском.

= А это что такое?

— Лучше показать это на примере.

Я задумываю число больше 0 и меньше 100 (ну вот записываю _{«задумано 43»} ). Ты говоришь предположение, в ответ я могу дать 3 возможных ответа «задуманное больше», «задуманное меньше» и «Поздравляю».

= 99?

— Задуманное меньше.

= 98?

— Задуманное меньше. Но прервем игру. Выбранная тобой стратегия не рациональна. Если задумано 1, то тебе придется задать 99 вопросов.

= Так, что надеясь на удачу выбирать случайное число.

— Не будем вручать удачу случаю. Действуй так в качестве запроса выбирай середину исследуемого диапазона и при каждой итерации этот диапазон будет в два раза уменьшаться. Попробуем сначала?

= 1. Не совсем понял, но 50.

— Задуманное меньше.

= 2. 25?

— Задуманное больше.

= 3. Догадался, остался диапазон от 49 до 26. Тогда 38?

— Задуманное больше.

= 4. 44?

— Задуманное меньше.

= 5. 41?

— Задуманное больше. Надеюсь ты все понял, и следующим вопросом выиграешь.

= "Ацнун цванцих.." [Главное, системный подход] - подумал принц целуя тысяча двадцать третью лягушку.

— Завтра организуй в классе соревнование по скорости угадывания. Не гарантирую 100% выигрыш, но в большинстве случаев — сработает.

— Но вернемся к тренировке:

x² — 1,6x + 0,63 = 0

1. [4* 0,63 — 1,6² = -0,04] — Д отрицателен

2. [ - + ] - оба корня положительны

3. [ 0,63 ] делители искать не будем.

4. [x₀ = 0,8] меньший корень лежит в диапазоне от 0 до 0,8

. . . . 1. x₁ = 0,4 x₂ = 1,6 — 0,4 = 1,2 0,4*1,2=0,48

да, тяжелый случай; 0,48 < 0,63 и это значит, что корни взяты слишком далеко от x₀

. . . . 2. x₁ = 0,6 x₂ = 1,6 — 0,6 = 1 0,6*1=0,6

0,6 < 0,63 обнадеживает, что мы идем правильным путем.

. . . . 3. x₁ = 0,7 x₂ = 1,6 — 0,7 = 0,9 0,9*0,7=0,63

Дело сделано! В уме такое решить затруднительно, но тренируйся.

— Так дело не пойдет. Не готовы мы еще решать ЛЮБЫЕ задачи, а значит опять подготовим НАШИ КУ

изменяем функцию генерации числа

4 | def gen_number(k):

5 | . . prime_number =(1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17)

6 | . . sign_number =(0, 1, 2, 3)

7 | . . nu = prime_number[random.randint(0, k)]

8 | . . sign = random.choice(sign_number)

9 | . . if sign == 0:

10 | . . . . nu = nu * -1

11 | . . nu = nu + 0.1 * random.randint(0, 9)

12 | . . return nu

опять распечатываем полученные файлы и поражаем одноклассников (после солидной тренировки)

= Попробуем?

— x² - 6.3x + 9.9 = 0

1. т.к. формула сгенерирована из подготовленных чисел решение гарантированно есть.

2. [ - + ] - оба корня положительны

3. т.к. КУ сделано с дробями то делители искать не будем.

4. [x₀ = 3,15] меньший корень лежит в диапазоне от 0 до 3,15

. . . . 1. x₁ = 1,3 x₂ = 6,3 — 1,3 = 5 5*1,3=6,5

Маловато будет... И так далее. Но я то знаю ответ x₁ = 3 x₂ = 3,3

x² - 10.09x - 112.493 = 0

x² - 15.14x + 57.232 = 0

x² - 22.78x + 92.644 = 0

x² + 4.49x - 87.986 = 0

x² + 15.36x + 36.704 = 0

x² - 6.4x + 5.4 = 0 _{слабо, увидеть корни без решения}

. . . . .

= Хе, хе, хе. Зря ты не хочешь посмотреть формулу корней квадратного уравнения

= Смотри: x_1,2 = -b/2 ± z ничего не напоминает?

/ _{странно было бы если бы не напоминало} /

— О! Давай развлечемся! Так, "a" как и положено будет равно 1. Подставляй в нужном виде i и j. Нет, никакой бумаги, все в уме. И далее... волшебное превращение квадрата суммы в квадрат разности; затем в простую разность, знакопеременно сражающуюся с суммой и после упрощения останется последний герой.

= Как интересно. Прямо триллер.

— Естественно. Математика чрезвычайно эмоциональное занятие.

— Но, давай прощаться. У тебя есть ТРИ метода поиска корней и в зависимости от ситуации ты выберешь самый эффективный.

= У нас в классе этим уже особо не удивишь. Пожалуй, пойду заниматься с сестренкой ей в следующем году найдется кого удивить мгновенными решениями.

— Заодно почитай с ней Яков Исидорович Перельман «Быстрый счет [Тридцать простых приемов устного счета]», да и остальные книги Перельмана очень и очень достойны внимания. Если хочешь, открой более современную Билл Хэндли «Считайте в уме как компьютер».

= Ну, ладно, пока.

Вот такие дела.

День 7 Чет - нечет

— Привет.

= Привет^?

_{Шо опять!!!}

— Как ты знаешь, последние годы я развлекаюсь изготовлением fb2-версий книг. Последняя моя работа «Энциклопедический словарь юного математика» 1989 года издания (ясно, что статьи этой книги написаны намного раньше) несколько забавна здесь статья о вычислительной технике, ну что поделать, развитие стремительно (по закону Мура), а в остальном... математика штука стабильная, хотя... К недостаткам можно отнести, то, что упор в рассказе сделан на советских математиках, т.е. «за бортом» оказались... Но в целом, очень и очень интересно, в том числе и о КУ.

^{= Щас спою.}

— Так вот. Если в КУ ax² + bx + c = 0 коэффициент b — четен ТО назовем половинку b как h (half - половинка) изменяем запись ax² + 2hx + c = 0 то корни будут:

Но если, в нашем случае, a = 1, то:

= Да! Существенные сокращения вычислений!

= Попробуем?

— Вперед. Пусть корни будут 3 и 5 тогда КУ будет x² - 8x + 15 = 0 или x² - 2·4x + 15 = 0

= Под корнем будет 16 — 15 ...... да, сложнейшие вычисления и корень равняется 4 ±1 т.е. подтверждается!

_{ЗАРАБОТАЛО!!!}

= Как же мы сами до такого не додумались?!!!

— Слушай, обидно, клянусь, самому обидно.

— Хорошо, давай теперь проанализируем новый параметр — четность. Как всегда, рассматриваем формулу x² - Sx + M = 0.

= S будет четен если корни оба четны или нечетны. Т.е. S будет нечетным только тогда, когда нечетен только один из корней.

— Хорошо, далее.

= Произведение может быть нечетным только если нечетны оба корня.

— Давай изложим это в виде таблицы:

= Ты упустил еще одну комбинацию.

— Все учтено ^{могучим ураганом}. Как ты помнишь, мы рассматриваем в основном Диофантовы уравнения, если ты еще помнишь, что это.

= Помню, помню. Забудешь тут. Ну и что?

— Перечитай свои-же рассуждения, и получится, что S и M одновременно нечетными быть не могут и если такое есть, то уравнение не Диофантово. Например: x² — 9x + 13 = 0.

= Значит. Кроме анализа знаков, полезно проверить и четность, интересная информация.

— Еще из таблицы следует что S в диофантовых уравнениях чаще четен!

= О сколько нам открытий чудных явили эти два числа^{S и M}.

— Хорошо, но нам пора прощаться. Сказать хотелось-бы многое о многом, но такое растекание по клавиатуре отдаляло-бы нас от задачи поставленной в аннотации. Поэтому:

Если у тебя есть фонтан, заткни его; _{дай отдохнуть и фонтану.}

День 11 теорема Виета

— Привет! Пути к достижению цели, заявленной в аннотации, определены. И получить мгновенное решение уравнения, возможно, ограничивают только недостаточные тренировки.

_{«Я не боюсь того, кто изучает 10'000 различных ударов. Я боюсь того, кто изучает один удар 10'000 раз»}^{Назови автора цитаты?}

= Допустим, а о чем ты хочешь поговорить?

— Смотри!:

(x — x₁)(x — x₂) = 0

= Ну, и что? Видел я где-то это уравнение, но не вижу пользы. Если корни уже известны, то решать нечего.....

— Меня все время интересовало, откуда в теореме Виета, такие коэффициенты «сумма» и «произведение» корней? Слишком красиво!

Но посмотри внимательно на это уравнение.

1. для выполнения равенства — необходимо и достаточно, чтобы x равнялся или x₁ или x₂.

2. раскрой скобки

........

(x — x₁)(x — x₂) = x² — (x₁ + x₂) x + (x₁ * x₂)

= Нечто подобное ты проделал в самом начале — при решении системы Диофанта.

— Да, круг замкнулся. И вопросов больше нет.[4]

День 23 Графическое решение

— Давай еще раз займемся графическим решением КУ.

— Напомню популярные способы:

1. Формула y = x² + bx + c, описывает параболу. Функция получает значение «ноль» при пересечении этой, самой параболы с осью абсцисс.

Т.е. для графического решения КУ предлагается построить параболу и посмотреть где она пересечет ось X.

= Ну, в принципе, построить параболу по точкам — можно. …. Но это не наш метод.

_{- Согласен, к формулам подходить надо «по-мягше»}

_{= И смотреть на них «по-ширше»}

2. Уравнение x² + bx + c = 0 можно перезаписать как: x² = - bx — c. Формула y = x² описывает параболу вершина коей будет расположена в начале координат. В свою очередь формула y = - bx — c отобразится прямой. Решением искомого уравнения будут ординаты точек пересечения этой параболы и той прямой.

= Так,… что тут сказать…. оно может и умно, но построений еще больше, а следовательно……….

= Еще я нашел какие то «нормо...»

— Нет, «номограммы» - отличная штука, но только, если требуется ПОСТОЯННЫЕ вычисления. Например вы лесник, и вам постоянно требуется вычислять кубатуру древесины по диаметру и длине дерева, ИЛИ вы постоянно подбираете точные сопротивления для настройки вольтметров ИЛИ вам надо знать время сброса бомбы (для попадания в цель) учитывая скорость и высоту самолета (на самом деле еще несколько параметров).

В подобных случаях ЗАРАНЕЕ строятся хитро размеченные прямые и кривые, и опытный оператор приложив линейку, за доли секунды находит ответ.

z²+pz+q = 0

* * *

* * *

* * *

Что-то мне это напоминает? Что же напоминает? Уже долгое время я смотрю на этот корень и… вижу что-то знакомое

= И что же?

— Видишь ли, если я так сразу скажу, то сработает эффект «Колумбова яйца»[1] - реакция будет: «Ну, это-же элементарно»

= Хватит интриговать, рассказывай!

— Сейчас, все поймешь сам. Расскажи, что ты видишь.

= Ну, корень, под корнем разность квадрата числа и еще одного числа.

— Хорошо! А теперь представь, что это не «еще одно число», а «некое число --- в квадрате»

= Теперь и мне что-то напоминает.

— Сосредоточься, напрягись «крибле — крабле — бумс»

= Теорема Пифагора???

— Бинго!!!

= Да, похоже на теорему Пифагора, но, что это дает?

— Разжевываю:

1 Гипотенуза нам известна (h)

достаточно:

2 вычислить (корень из с — назовем его v) - это один катет,

3 взять циркуль,

4 построить прямой угол

5 отложить на одной стороне v

6 циркуль раскрыть на расстояние h

7 и сделать засечки (x₁ и x₂) на другой стороне прямого угла.

Т.к. я разжевывал максимально мелко, то получилось вроде-бы длинно, но займет это дело пять секунд. (правда еще 1.5 часа на поиски циркуля и линейки)

= ?

— Повторю вывод. При данном методе графического решения КУ, надобно произвести только два вычисления

1. h = -b/2

2. v = (корень квадратный из с)

а дальше, поработать с линейкой и циркулем. ^{И ни каких Али-Бабов.}

= Не увижу! Не поверю!

— Хорошо. Пусть корнями будут x₁ = 2 и x₂ = 8. [честно признаюсь, для примеров я подобрал очень легкие уравнения]

Тогда уравнение будет x² -10x + 16 = 0.

h = 10/2 = 5

выполняем самое сложное вычисление:

v = корень квадратный из 16 = 4

по оси Х откладываем h = 5

из полученной точки проводим перпендикуляр (как его построить отвлекаться не буду. Ты должен это знать. И строить его циркулем и линейкой 3 секунды)

откладываем на перпендикуляре значение v = 4

раскрываем циркуль на размер h = 5

делаем две засечки на оси ОХ. Это и есть ДЕРЕВО (т. е. корни квадратного уравнения)

= Да не может быть! Так просто!

— Попробуй сам.

……….

= Проверил. Получается. Но, что делать когда корни разных знаков, ведь тогда не разница квадратов, а сумма.

— Молодец. А подумать! Сумма квадратов — это что?

= Гипотенуза?

Пример

Задаем корни x₁ = -2 и x₂ = 8

Получится уравнение x² -6x - 16 = 0.

Производим вычисления h = 3; v = 4

При разнополых корнях порядок действий немного изменяется.

По прежнему на оси ОХ откладываем h = 3

Перпендикуляр в данном случае не нужен.

V = 4 откладываем на оси OY [на рисунке я ошибся и отложил v в отрицательную сторону, но ущерба ошибка не принесла никакого. Посмотри внимательно и поймешь, что v можно откладывать в любую сторону]

Теперь самое забавное, ножку циркуля ставим в точку x = 3 и раскрываем его до точки y = 4 полученным радиусом R делаем засечки на оси OX.

Все — корни получены.

= Как-то это сложнее.

— Нисколько, дело практики.

+ + +

# В любом случае — решение КУ - это решение прямоугольного треугольника.

# таким значком я буду помечать упоминание КУ-треугольника

= Но графическое решение дает только приближенное решение!

— Ничего страшного. Точные значения совсем рядом, и тебе не составит труда за пару проверок их найти.

* * *

— О графическом решении КУ — пожалуй, все.

Но есть дополнение к анализу КУ.

+ + +

Я считал их совершенно банальными, однако надо поставить точку и над этим i.

— Разберем оставшиеся возможные варианты КУ.

{1}. Напиши уравнение в котором оба корня равны, но противоположны по знаку.

= Надо подумать, в чем подвох….. Так, если они равны и противоположны, то сумма будет равна нулю, значит b = 0. И уравнение будет:

x² + c = 0

— Нет, ошибка. Если знаки противоположны то произведение отрицательно.

x² - c = 0

— Т.к. решение уравнения элементарно, то обычно в заданиях его не используют.

= А графическое решение?

— Корни разнополые, и методику ты знаешь, НО

# треугольник КУ вырождается в отрезок (см. черную параболу [2])

{2}. А теперь напиши уравнение, в котором один из корней равен 0.

= Теперь меня не обманешь, с = 0, значит:

x² - bx = 0

— Как видишь, решение еще проще, делишь все на x, и получаешь ответ.

(голубая парабола [1])

^{= интересное название}

# треугольник опять превратился в отрезок

{3}. Теперь напишем уравнение в котором есть только одно решение и это решение 0.

x² = 0

= Тут решать нечего.

— Да, решать нечего, но подумать есть о чем.

Формула y = x² описывает параболу, вершина которой, находится в начале координат.

# треугольник уменьшится до точки (красная парабола [3])

А если вершина не в начале координат, то формула будет y = (x - h)² [почему минус? ... подставь значения х и h ... сообразишь].

Откроем скобки в уравнении (x - h)² = 0:

x² — 2hx + h² = 0

= Хе, хе, хе — опять то-же самое уравнение.

— Ты прав, структурно уравнение, обычное приведенное, НО ты можешь отчетливо видеть признак единственного решения уравнения [c = h²].

# напомню, треугольник все еще точка

Из этого варианта вытекает четвертый.

= Как? Еще и четвертый?

— Итак, вариант КУ НЕ ИМЕЮЩЕГО решения

Мы уже знаем формулу параболы «гуляющей» вершиной по оси ОХ:

y = (x — h)²

Добавим сюда еще смещение по оси ОУ

y = (x — h)² - d

т. е. «гуляем» по всему полю оси координат.

Я утверждаю, что такая формула правильнее выражает графическое изображение параболы. Смещение по оси ОХ — h, смещение по оси ОУ — d.

Откроем скобки:

и сравни с привычной формой уравнения

y = x² — 2hx + h² — d

x² — bx + c = 0

т. е. c — на самом деле состоит из двух частей c = h² — d

Отсюда: d = h² - c

= Погоди, погоди! Получается, что дискриминант…

— Совершенно верно. Нужен для вычисления смещения параболы по оси ОУ.

Если d — меньше нуля (парабола выше оси ОХ) — решения у уравнения нет.

Если d — равно нулю (вершина параболы лежит на оси ОХ) — решение единственное.

Если d — больше нуля (вершина параболы ниже оси ОХ) — обычные два ответа.

# Мы убедились, что в граничных случаях ( {1},{2},{3} ) треугольник решения КУ вырождается.

- Хи-хи-хи _{(это очень и очень смешно)}

- Подведем ИТОГ графическому решению КУ.

Сейчас меня интересует только подкоренное выражение:

Посмотри внимательно.

= Как-то ты странно написал. Ну b/2 — это мы уже расшифровывали.

= А зачем ты возводишь в степень квадратный корень? Это же тавтология.

- Повторюсь СМОТРИ ВНИМАТЕЛЬНО!!

= ?

= !

= Понял! b/2 — это среднее арифметическое, а корень из произведения x₁ и x₂ их среднее геометрическое (это же 7 класс — поэтому сразу не узнал)

- Итого под корнем у нас средние арифметическое и геометрическое.

- А теперь фокус!

- Поищи-ка в интернете «среднее геометрическое» и посмотри связанные с ним картинки.

Довольно скоро ты найдешь такую:

= Ну и где смеяться?

- СМОТРИ ВНИМАТЕЛЬНО!!!

= Но это же вторая руна!!

- Вот это и есть... _{три тополя на Плющихе}

= Интересно. Мы с тобой рассуждаем о КУ уже 6 дней. Создается впечатление, что такие разговоры можно вести бесконечно.

— Согласен.

Болтать есть много о чем:

* о том, что парабола есть геометрическое место точек…… ^{и сравни это определение с соответствующим для эллипса, гиперболы, окружности}

* о том, что задача попадания бомбы (снаряда) в цель — это построение КУ по заданным координатам

* о том, что «Гиперболоид инженера Гарина» должен был называться «Параболоид….

* о том, что лучше для создания арок и мостов Парабола, Гипербола или Цепная линия?

Каждая из этих тем требует большого и неоднозначного обсуждения.

= Но?

Но пора заканчивать дозволенные речи. ^{А перечисленные темы пусть будут домашним заданием.}

_{I'll be back}

Приложение 1. Задачи.

Приложение 2. Ответы.

Приложение 3. Усложненные задачи.

Приложение 4. Ответы к приложению 3

Приложение 5. Последняя версия программы генерации задач

* Введена блокировка повторяющихся уравнений. (строки 48, 49 и функция comp_List)

* Убрав второй сомножитель в строке 41 — откажемся от усложнения уравнений.

* В строке 50 фрагмент «and abs(c) < 126» ограничивает величины цифр в уравнениях.

Ясно, что поиграв с кодом этого примера можно получить самые разнообразные листинги КУ.

.1 | # -*- coding: utf-8 -*- 

.2 | import random

.3 | 

.4 | def gen_number(k):

.5 | . . prime_number =(1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17)

.6 | . . sign_number =(0, 1, 2, 3)

.7 | . . nu = prime_number[random.randint(0, k)] 

.8 | . . sign = random.choice(sign_number)

.9 | . . if sign == 0:

10 | . . . . nu = nu * -1

11 | . . return nu

12 | 

13 | def show_numb(a):

14 | . . if a > 0:

15 | . . . . return ' + '+ str(a)

16 | . . return ' - ' + str(abs(a))

17 | 

18 | def comp_List(L, m):

19 | . . for k in L:

20 | . . . . if k == m :

21 | . . . . . . return False

22 | . . return True

23 | . . 

24 | TopList = ['', '','']

25 | 

26 | f = open("quadratic.htm", 'w')

27 | f2 = open("answer.htm", 'w')

28 | 

29 | for ind in TopList:

30 | . . f.write(ind + '\n')

31 | for ind in TopList:

32 | . . f2.write(ind + '\n')

33 | 

34 | f.write('\n')
35 | f2.write('
\n')
36 | tr = 0
37 | count = 1
38 | List = []
39 | 
40 | for i in range(50000):
41 | . . x1 = gen_number(4) * gen_number(4)
42 | . . x2 = gen_number(7)
43 | . . b = x1 + x2
44 | . . c = x1 * x2
45 | . . 
46 | . . m = str(b) + ' ' + str(c)
47 | . . . . . . 
48 | . . if comp_List(List, m):
49 | . . . . List.append(m)
50 | . . . . if b != 0 and abs(c) < 126:
51 | . . . . . . if tr == 0:
52 | . . . . . . . . f.write('
')
53 | . . . . . . . . f2.write('
')
54 | . . . . . . f.write('
\n')
57 | . . . . . . f2.write('
\n')
60 | . . . . . . count += 1
61 | . . . . . . tr += 1
62 | . . . . . . if tr == 3:
63 | . . . . . . . . f.write('
')
64 | . . . . . . . . f2.write('')
65 | . . . . . . . . tr = 0
66 | 
67 | f2.write('



















')
55 | . . . . . . f.write(str(count) + ') x2 '+ show_numb(b*-1) + 'x ' +show_numb(c) + ' = 0' )

56 | . . . . . . f.write('

')
58 | . . . . . . f2.write(str(count) + ') x1 = '+ str(x1) + '; x2 = ' + str(x2) )

59 | . . . . . . f2.write('








\n')

68 | f2.write('')

69 | f2.close()

70 | f.write('\n')

71 | f.write('')

72 | f.close()

73 | 

74 | print 'Done.'