Загадковий нічний інцидент із собакою

101

Містер Джевонс сказав, що мені подобається математика, оскільки вона безпечна, оскільки в ній треба розв’язувати задачі, які можуть бути цікавими й складними, але на них усе одно можна знайти чітку відповідь. Він мав на увазі, що математика не схожа на життя, тому що наприкінці життя немає чітких відповідей.

Я знаю, що малося на увазі, бо він сам мені про це сказав.

Це тому, що містер Джевонс не розуміється на числах.

Ось відомий випадок, у якому йдеться про Парадокс Монті Голла, і я наводжу його в своїй книжці, оскільки він наочно пояснює, що я маю на увазі.

Колись в американському журналі «Парейд» була колонка під назвою «Спитайте в Мерилін». Цю колонку вела Мерилін вос Савант, і в журналі було написано, що в неї найвищий у світі коефіцієнт інтелекту і це зареєстровано в Залі слави Книги світових рекордів Ґіннеса.

У цій колонці вона відповідала на запитання з математики, які їй надсилали читачі.

У вересні 1990 року Крейґ Ф. Вітікер з Колумбії, штат Меріленд, поставив їй наступне запитання (це не те, що називається «пряма цитата», оскільки я спростив її та зробив легшою для розуміння):

«Ви потрапили на телевізійну ігрову вікторину. Метою цієї вікторини є виграти головний приз — автомобіль. Ведучий показує вам троє дверей. Він каже вам, що за одними з цих дверей стоїть автомобіль, а за двома іншими — кози. Він просить вас обрати якісь двері. Ви обираєте, але двері не відчиняються. Потім ведучий вікторини відчиняє одні з тих дверей, які ви не обрали, і за ними стоїть коза (оскільки він заздалегідь знає, що за тими дверима). Він каже, що вам надається останній шанс змінити свій вибір перед тим, як двері відчиняться й ви отримаєте автомобіль або козу. Тож він питає, чи ви не хочете змінити вибір і відчинити натомість інші двері. Що вам робити?»

Мерилін вос Савант сказала, що завжди треба змінювати вибір і обирати інші двері, оскільки в тебе є 2 шанси з 3, що саме за тими дверима буде автомобіль.

Але якщо дослухатися до інтуїції, то можна вирішити, що ваші шанси складають 50 на 50, оскільки є однакові шанси, що автомобіль може опинитися за будь-якими з тих двох дверей.

Багато людей написали в той журнал і сказали, що Мерилін вос Савант помиляється, навіть коли вона дуже детально пояснила, чому мала рацію. З усіх листів, які вона отримала з приводу цього питання, у 92 % говорилося, що вона помиляється, а їй писали математики й учені. Ось що вони їй казали:

«Мене дуже непокоїть низький рівень математичних навичок у нашому суспільстві. Будь ласка, не погіршуйте ситуацію та визнайте свою помилку».

Роберт Сахс, доктор філософії,

Університет Джорджа Мейсона

«У нашій країні й так панує математична безграмотність, навіщо ж її пропагує особа з найвищим у світі коефіцієнтом інтелекту? Ганьба!»

Скотт Сміт, доктор філософії, Університет Флориди

«Мене приголомшує те, що після того, як вас виправили принаймні три математики, ви все одно не визнаєте своєї помилки».

Кент Форд, Державний університет міста Дікінсон

«Я певен, що ви отримаєте багато листів від старшокласників і студентів коледжів. Можливо, вам слід записати кілька адрес — на випадок, якщо знадобиться допомога з вашою колонкою».

У. Роберт Сміт, доктор філософії, Державний університет штату Джорджія

«Ви геть помиляєтеся… Скільки розлючених математиків потрібно для того, щоби ви змінили свою думку?»

І. Рей Бобо, доктор філософії, Університет міста Джорджтаун

«Якщо всі ці доктори філософії помиляються, то нашій державі буде непереливки».

Еверетт Гарман, доктор філософії, Дослідницький інститут Армії США

Але Мерилін вос Савант мала рацію. І це можна показати двома різними способами.

По-перше, можна розв’язати таку математичну задачу:

Позначимо двері X, Y та Z відповідно.

Позначимо той випадок, коли автомобіль стоїть за дверима Х, як Сх тощо.

Позначимо той випадок, коли ведучий відчиняє двері Х, як Нх тощо.

Припустимо, що ви обрали двері Х. Імовірність того, що ви виграєте автомобіль, якщо зміните свій вибір, обчислена за формулою:

P(Hz^Cy) + P(Hy^Cz) =

= P(Cy) · P(Hz | Cy) + P(Cz) · P(Hy | Cz) = (⅓ · 1) + (⅓ · 1) = ⅔

Другий спосіб отримати цю відповідь — накреслити схему ймовірних результатів, наприклад:

Тобто якщо ви зміните вибір, то в двох випадках із трьох ви отримаєте автомобіль. А якщо залишите вибір, то ваші шанси отримати автомобіль — 1 до 3.

І це доводить, що не завжди можна покладатися на інтуїцію. За допомогою інтуїції люди приймають життєво важливі рішення. Але за допомогою логіки можна отримати правильну відповідь.

Це також доводить, що містер Джевонс помилявся і що числа бувають дуже складними й суперечливими. І саме тому мені подобається Парадокс Монті Голла.