Загадковий нічний інцидент із собакою

Додаток

Задача

Доведіть, що:

«Трикутник зі сторонами, які можна виразити формулами n² + 1, n² – 1 та 2n (де n > 1), є прямокутним».

Доведіть від супротивного, що обернене твердження невірне.

Розв’язання

Спочатку нам треба визначити, яка зі сторін трикутника, сторони якого виражені формулами n² + 1, n² – 1 та 2n (де n > 1), є найдовшою. Це можна виразити так:

n² + 1 – 2n = (n – 1)²,

і якщо n > 1, тоді (n – 1)² > 0.

Отже, n² + 1 – 2n > 0,

отже, n² + 1 > 2n.

Аналогічно (n² + 1) – (n² – 1) = 2,

отже, n² + 1 > n² – 1.

Це означає, що n2 + 1 є найдовшою стороною трикутника, сторони якого виражені формулами n² + 1, n² – 1 та 2n (де n > 1).

Це також можна продемонструвати за допомогою наступного графіка (але це нічого не доводить):

Згідно з теоремою Піфагора, якщо сума квадратів двох катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, то цей трикутник є прямокутним. Отже, для того, щоби довести, що цей трикутник прямокутний, нам треба показати це на наступному прикладі.

Сума квадратів двох катетів дорівнює (n² – 1)² + (2n)²

(n² – 1)² + (2n)² =

= n⁴ – 2n² + 1 + 4n² = n⁴ + 2n² + 1.

Квадрат гіпотенузи дорівнює (n2 + 1)2

(n² + 1)² = n⁴ + 2n² + 1.

Отже, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, і цей трикутник є прямокутним.

А обернене твердження від «Трикутник зі сторонами, які можна виразити формулами n² + 1, n² – 1 та 2n (де n > 1), є прямокутним» — це «Прямокутний трикутник має сторони, довжину яких можна виразити формулами n² + 1, n² – 1 та 2n (де n > 1)».

А доведення від супротивного означає, що треба довести існування прямокутного трикутника, сторони якого не можна виразити формулами n² + 1, n² – 1 та 2n (де n > 1).

Позначимо гіпотенузу прямокутного трикутника ABC як AB.

Нехай AB = 65,

нехай BC = 60.

Отже CA = √ (AB2 – BC2) =

= √ (652 – 602) = √ (4225 – 3600) = √ 625 = 25.

Нехай AB = n² + 1 = 65,

тоді n = √ (65 – 1) = √ 64 = 8,

отже, √ (n² – 1) = 64 – 1 = 63 ≠ BC = 60 ≠ CA = 25

і 2n = 16 ≠ BC = 60 ≠ CA = 25.

Таким чином, трикутник ABC є прямокутним, але в нього немає сторін, які можна виразити формулами n² + 1, n² – 1 та 2n (де n > 1). ЩТД (Що й треба було довести).