Флатландия. Сферландия

Генри П. Мэннинг Что такое четырехмерная геометрия?

Грэхэм Д. Фитч Популярное объяснение четвертого измерения

Представить себе наглядно четвертое измерение невозможно. Тем не менее четвертое измерение — не абсурд, а полезное математическое понятие, лежащее в основе развитой непротиворечивой геометрии. Чтобы получить хотя бы частичное представление о том, что такое четвертое измерение, и хотя бы в общих чертах представить себе его, необходимо воспользоваться аналогией с пространством меньшего числа измерений.

Мы говорим, что множество одно-, двух- или трехмерно в зависимости от того, сколько чисел (одно, два или три) необходимо задать для того, чтобы полностью определить любой из элементов этого множества. Если пространство рассматривать как множество точек, то прямую можно назвать одномерным пространством, потому что положение точки на прямой полностью определяется заданием одного числа: расстояния от некоторой! фиксированной до рассматриваемой точки. Аналогично; плоскость является двумерным пространством, а множество точек, образующих пространство, в котором мы живем, трехмерно. Действительно, точное положение любой точки на Земле известно, коль скоро заданы ее широта, долгота и высота над уровнем моря. Если мы) обратимся к четырем переменным, каждая из которых может принимать независимо от других численные значения, то получим четырехмерное множество. Такое множество, если оно состоит из точек, образует четырехмерное пространство.

Если все точки нашего пространства (3-пространства) соединить с некоторой воображаемой точкой вне его, то множество точек, лежащих на проведенных прямых, образует 4-пространство (гиперпространство). Точка, двигаясь, порождает линию. Линия, двигаясь в поперечном направлении, порождает поверхность. Поверхность, двигаясь в сторону от себя, порождает объемное тело. Тело, двигаясь из нашего пространства, порождает гипертело, или конечную часть гиперпространства. Допустимо рассуждать и несколько, иначе. Можно считать, что гиперпространство порождается всем нашим пространством, когда последнее Движется параллельно самому себе в некотором не содержащемся в нем направлении. Наше пространство в свою очередь можно считать порожденным аналогичным движением неограниченной плоскости, а плоскость — порожденной движением неограниченной прямой. Любое пространство можно рассматривать как границу между двумя частями пространства более высокой размерности. Любая неограниченная плоскость разделяет наше пространство на две равные бесконечные части. Точно так же каждое 3-пространство разделяет гиперпространство на две равные бесконечные области, а само 3-пространство образует границу между ними, обладающую бесконечно малой толщиной в четвертом измерении.

Две плоские фигуры (например, два треугольника), если они лежат в одной плоскости, могут частично перекрываться, но пересекаться они будут лишь в том случае, если лежат в различных плоскостях. Аналогично два объемных тела (например, два куба), если они лежат в одном и том же 3-пространстве, могут частично перекрываться, но пересекаться они будут лишь в том случае, если лежат в различных 3-пространствах. В гиперпространстве мы встречаемся со следующими возможными случаями пересечения. Гипертело и 3-пространство пересекаются, образуя трехмерное тело. Два 3-пространства пересекаются по некоторой плоскости, три 3-пространства пересекаются по прямой, четыре 3-пространства пересекаются в одной точке, 3-пространство и плоскость пересекаются по прямой, 3-пространство и прямая пересекаются в одной точке и две плоскости пересекаются в одной точке. Если пересечение находится в бесконечности, то говорят, что такие элементы параллельны. Если два 3-пространства параллельны, то все фигуры или тела в одном 3-пространстве расположены на равных расстояниях от другого 3-пространства. В случае плоскостей существуют два случая параллельности, и параллельные плоскости либо абсолютно, либо неабсолютно параллельны в зависимости от того, расположены, ли они в одном и том же или в различных 3-пространствах (или в зависимости от того, как они пересекаются в бесконечности: по прямой или лишь в точке).

На плоскости к данной прямой в данной точке можно восставить лишь один перпендикуляр. В 3-пространстве можно провести бесконечно много перпендикуляров, образующих плоскость, перпендикулярную данной прямой, а в гиперпространстве бесконечное множество плоскостей, перпендикулярных данной прямой, образуют 3-пространство, перпендикулярное данной прямой. В четырехмерном пространстве 3-пространство может также быть перпендикулярным плоскости или другому 3-пространству. Говоря о перпендикулярных плоскостях в четырехмерном пространстве, следует различать два случая: неабсолютно перпендикулярные и абсолютно перпендикулярные плоскости. Отличаются они тем, что неабсолютно перпендикулярные плоскости лежат в одном и том же 3-пространстве, а абсолютно перпендикулярные плоскости не принадлежат одному 3-пространству. В последнем случае каждая прямая, лежащая в любой из двух плоскостей, перпендикулярна каждой прямой, лежащей в другой плоскости.

Положение точки на плоскости можно задать, указав, на каком расстоянии она находится от каждой из двух перпендикулярных прямых. Положение точки в нашем пространстве мы определим, если будет известно, на каком расстоянии она находится от каждой из трех взаимно перпендикулярных плоскостей, а положение точки в гиперпространстве будет определено, если мы зададим расстояния от этой точки до каждого из четырех взаимно перпендикулярных 3-пространств. В гиперпространстве эти расстояния мы будем измерять вдоль четырех взаимно перпендикулярных прямых, которые, если разбить их на пары, образуют шесть взаимно перпендикулярных плоскостей, а если выбрать из них всеми возможными способами тройки, определяют четыре взаимно перпендикулярных 3-пространства, о которых мы упомянули выше. В нашем пространстве плоскость определяется по крайней мере тремя точками. В гиперпространстве, для того чтобы определить 3-пространство, необходимы по крайней мере четыре точки. 3-пространство можно также определить при помощи двух непересекающихся прямых или при помощи плоскости и не принадлежащей ей точки.

Так же как части нашего пространства ограничены поверхностями, плоскими или искривленными, части гиперпространства ограничены гиперповерхностями (трехмерными), то есть плоскими или искривленными 3-пространствами. Гиперпространство содержит не только бесконечно много плоских 3-пространств, аналогичных нашему пространству, но также бесконечно много искривленных 3-пространств, или гиперповерхностей различных типов. Например, гиперсфера представляет собой замкнутую гиперповерхность, все точки которой находятся на равном расстоянии от ее центра. Пять точек, не лежащих в одном и том же 3-пространстве, полностью определяют гиперсферу, подобно тому как четыре точки, не лежащие в одной и той же плоскости, полностью определяют сферу, а три точки, не лежащие на одной и той же прямой, определяют окружность. Все плоские сечения гиперсферы имеют форму окружностей, а все ее сечения 3-пространствами — форму сфер. Гиперсфера радиуса R, проходящая через наше пространство, казалась бы нам сферой, радиус которой постепенно увеличивается от 0 до R, а затем убывает от R до 0.

В то время как в нашем трехмерном пространстве существует лишь пять правильных многогранников (тел, ограниченных равными правильными многоугольниками), а именно: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр, в гиперпространстве существует шесть правильных гипертел, ограниченных равными правильными многогранниками. Перечислим их: C₅ (гипертело, ограниченное 5 тетраэдрами), C₈ (гипертело, ограниченное 8 кубами), C₁₆ (гипертело, ограниченное 16 тетраэдрами), C₂₄ (гипертело, ограниченное 24 октаэдрами), C₁₂₀ (гипертело, ограниченное 120 додекаэдрами), и C₆₀₀ (гипертело, ограниченное 600 тетраэдрами). Математики подробно изучили все правильные гипертела и построили модели их проекций в наше пространство. Из всех правильных гипертел простейшим является C₈ (или гиперкуб), потому что все его грани взаимно перпендикулярны, хотя их и больше, чем у C₅. Гиперкуб служит стандартной единицей при измерении гиперобъема в 4-пространстве. Для получения гиперкуба достаточно переместить куб в направлении, перпендикулярном нашему пространству, на расстояние, равное длине ребра куба. На рис. 1 пунктиром показаны прямые, лежащие в гиперпространстве. ABCDEFGH означает символически начальное положение куба, а A'B'C'D'E'F'G'H' — его конечное положение. Направление AA' по предположению перпендикулярно нашему пространству. Проектируя ребра гиперкуба на наше пространство (имеется в виду, что мы не опускаем перпендикуляры из вершин гиперкуба на наше пространство, а проводим прямые из некоторой близко лежащей точки, проходящей через вершины гиперкуба), мы получаем проволочную модель, изображенную на рис. 2. Восемь граничных кубов представлены на этой модели в следующих проекциях: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12), (9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16), (13, 14, 15, 16, 1, 2, 3, 4), (1, 5, 9, 13, 2, 6, 10, 14), (2, 6, 10, 14, 3, 7, 11, 15), (3, 7, 11, 15, 4, 8, 12, 16), (4, 8, 12, 16, 5, 9, 13, 1). Форма гиперкуба обусловлена взаимным расположением восьми перечисленных кубов. Сам же гиперкуб содержит бесконечно много кубов так же, как трехмерный куб содержит бесконечно много квадратов. При движении куба, порождающем гиперкуб, вершины исходного куба порождают ребра, ребра исходного куба — грани (квадраты), а грани исходного куба — кубы, ограничивающие гиперкуб. Это позволяет подсчитать число элементов гиперкуба.

Каждая вершина гиперкуба принадлежит одновременно четырем взаимно перпендикулярным ребрам, шести граням и четырем кубам, каждое ребро — трем граням и трем кубам, а каждая грань — двум кубам. Таким образом, каждый куб имеет по одной грани, общей с шестью из семи других кубов. Следовательно, гиперкуб можно рассматривать как тело, состоящее из кубов, которые возникли при движении граней исходного куба, а те из кубов, которые лежат в нашем пространстве, параллельны породившим их граням.

Вращение на плоскости может происходить лишь вокруг точки, в 3-пространстве возможно вращение вокруг прямой, а в гиперпространстве — вокруг осевой плоскости. Две симметричные плоские фигуры, например треугольники A и B (рис. 3), нельзя совместить никаким движением в плоскости, но, повернув один из них на 180° в третьем измерении, мы без труда совместим их.

Аналогично два симметричных объемных тела (грани которых равны, но расположены в ином порядке), такие, как полые пирамиды C и D (рис. 4), нельзя совместить никаким движением в нашем пространстве, но, повернув любую из них на 180° в гиперпространстве, мы без труда совместим их. Поворачиваемая пирамида исчезнет из нашего пространства и после поворота на 180° и возвращения в наше пространство ее легко будет «надеть» на другую пирамиду. В нашем пространстве два вращательных движения всегда можно заменить одним результирующим движением, аналогичным исходным, но отличающимся от них лишь положением оси вращения. В гиперпространстве в общем случае построить результирующее вращательное движение для двух вращений не удается. Следовательно, в гиперпространстве существует два различных типа вращательных движений, и тело, совершающее два вращательных движения, находится в совершенно ином состоянии, чем тело, участвующее лишь в одном вращательном движении. Если тело совершает лишь одно вращательное движение, то целая плоскость в нем остается неподвижной. Если тело совершает двойное вращательное движение, то ни одна его часть не остается неподвижной, за исключением точки, принадлежащей двум плоскостям вращения. Если оба поворота одинаковы, то каждая точка в теле, за исключением неподвижной точки, описывает окружность.

Движение в гиперпространстве отличается большей свободой, чем в нашем пространстве. В нашем пространстве твердое тело обладает шестью степенями свободы, а именно тремя сдвигами вдоль оси и тремя поворотами вокруг оси. Закрепив неподвижно три точки твердого тела, мы лишим его способности двигаться вообще. В гиперпространстве твердое тело с тремя неподвижно закрепленными точками по-прежнему сохраняет способность вращаться вокруг плоскости, проходящей через эти точки. Твердое тело в гиперпространстве обладает десятью степенями свободы, а именно четырьмя сдвигами вдоль четырех осей и шестью поворотами вокруг шести плоскостей. Чтобы лишить твердое тело способности двигаться в гиперпространстве, необходимо закрепить четыре его точки.

В гиперпространстве гибкую сферу можно, не растягивая и не разрывая, вывернуть наизнанку. Два звена цепи в четырехмерном пространстве можно разъять, не распиливая ни одно из них. Все наши узлы в четырехмерном пространстве были бы совершенно бесполезны. Например, узел, изображенный на рис. 5, в четырехмерном пространстве можно было бы развязать, оставляя при этом концы веревки по-прежнему прикрепленными к стенке. В нашем пространстве точка может войти внутрь окружности и выйти из нее, не пересекая при этом саму окружность. В гиперпространстве тело могло бы войти внутрь сферы (или любой другой замкнутой поверхности) и выйти из нее, не пересекая при этом поверхности сферы. Короче говоря, все наше пространство, в том числе и внутренность самых плотных тел, открыто наблюдению и более грубому вмешательству со стороны четвертого измерения, незримо простирающегося в невидимом направлении из каждой точки пространства.

Для чего же понадобилось вводить понятие гиперпространства? Услышав такой вопрос, мы могли бы ответить, что оно позволяет глубже понять геометрию. Например, окружность, рассматриваемая лишь как одномерное множество точек, обладает весьма немногими свойствами, в то время как у окружности на плоскости имеется центр, радиус, касательные и т. д., а окружность в 3-пространстве обнаруживает многочисленные геометрические связи со сферой, конусом и т. д. Аналогичным образом возрастает число свойств любой заданной кривой или поверхности при рассмотрении их в гиперпространстве. Кроме того, в 3-пространстве существуют некоторые одномерные множества (например, винтовая линия), не известные в пространстве двух измерений. В гиперпространстве возможны кривые и поверхности, с которыми нам не приходилось сталкиваться в нашем пространстве. Пространство меньших размерностей содержится в пространстве высших размерностей (если пространства искривлены, то размерности не обязательно должны отличаться на единицу). И так же как понимание планиметрии существенно расширяется при рассмотрении плоских фигур в 3-пространстве, так и многие вопросы стереометрии получают неожиданное освещение при рассмотрении их с точки зрения гиперпространства. Области математики, ранее недоступные геометрии, ныне, с появлением геометрии четырех измерений, обрели свою геометрическую интерпретацию. Наконец понятие четвертого измерения знаменует разрыв между геометрическим пространством и реальным пространством, которое утрачивает свой обязательный характер, и расширяет наш кругозор во многих других отношениях.

Неевклидова геометрия и четвертое измерение

Четвертое измерение — побочная ветвь так называемой неевклидовой геометрии, позволившей пролить свет на основания математики и природу пространства.

Более двух тысяч лет Евклид считался неуязвимым. Его аксиомы принято было рассматривать как незыблемые законы реального пространства, а его теоремы — как безупречные логические следствия из этих аксиом. Оба мнения оказались ошибочными. Аксиомы Евклида в действительности представляют собой абстрагированные из свойств реального пространства допущения, и его теоремы следуют не только из принятых им аксиом[14]. В основе метода Евклида лежит проверка равенства, или конгруэнтности, прямых, углов, плоских фигур и т. д. путем наложения их, и, таким образом, приводимые Евклидом доказательства по существу основаны на интуиции. Аксиому «абсолютной подвижности» (то есть аксиому, предполагающую, что фигуры в пространстве можно свободно перемещать с одного места в другое, не меняя их размеров и формы), которая, например, не выполняется на яйцевидной поверхности, но играет существенную роль при любых геометрических измерениях, Евклид принимает молчаливо, не формулируя ее в явном виде. (Гильберт отверг доказательство путем наложения фигур, ибо само движение основано на некоторых геометрических соображениях и потому не может служить основанием геометрии.) Другое неявное допущение Евклида состоит в том, что прямую можно неограниченно продолжать. Истинность этого утверждения, справедливого в евклидовой геометрии, нарушается в некоторых неевклидовых геометриях (например, в римановой геометрии).

Евклид доказывает, что «если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны», но доказать вытекающие одно из другого обратное и противоположное утверждения («если внутренние накрест лежащие углы не равны, то прямые пересекаются», «если прямые параллельны, то внутренние накрест лежащие углы равны») он не смог бы. Чтобы иметь возможность продвигаться дальше, Евклид принял свой знаменитый пятый постулат, который понадобился ему для доказательства важной теоремы о том, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам. Математикам, жившим в более поздние эпохи, этот постулат о параллельных не казался ни самоочевидным, ни не зависимым от остальных аксиом. Его считали ошибочным. На протяжении веков неоднократно предпринимались бесплодные попытки доказать его. И все же Евклид оказался прав. Пятый постулат или какая-нибудь эквивалентная аксиома (например, утверждение о том, что две пересекающиеся прямые не могут быть одновременно параллельными одной и той же прямой) необходим для построения евклидовой геометрии.

Неевклидова геометрия появилась именно из попыток опровергнуть евклидову теорию параллельных. Если пятый постулат действительно содержится в других аксиомах Евклида, то его отрицание должно приводить к противоречию. Но лишь в тридцатых годах прошлого века русский математик Лобачевский и венгр Бойяи независимо друг от друга показали, что отрицание пятого постулата приводит к системе двумерной геометрии, столь же непротиворечивой, как геометрия Евклида. Новая геометрия основана на допущении о том, что через данную точку можно провести по крайней мере две разные прямые, не пересекающие данной прямой.

Предложенное Евклидом доказательство утверждения о том, что сумма углов треугольника не больше двух прямых углов, по-прежнему считалось верным до тех пор, пока в 1854 году немецкий математик Риман не показал, Что в нем непременно должна содержаться ошибка. Действительно, евклидово доказательство не содержало ни одной посылки, которая была бы неверна как в сферической, так и в плоской геометрии треугольников, и тем не менее заключение теоремы для сферических треугольников было неверным. Опираясь на этот факт, Риман показал далее, что можно построить еще одну непротиворечивую геометрию двух измерений, основанную на допущении о том, что через данную точку нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной прямой.

Итак, мы имеем три непротиворечивые геометрии двух измерений, как правило, однако, противоречащие друг другу.

Рассмотрим прямую PC (рис. 1), вращающуюся против часовой стрелки вокруг точки P. Логически возможны три различных случая. Когда вращающаяся прямая перестанет пересекаться с горизонтальной прямой справа, то она либо немедленно пересечет ее слева, либо в течение некоторого времени будет поворачиваться вокруг точки P и лишь затем пересечет горизонтальную прямую слева, либо, наконец, в течение некоторого времени будет пересекать горизонтальную прямую и справа, и слева. Первая возможность приводит к евклидовой геометрии, вторая — к геометрии Лобачевского и третья — к римановой геометрии.

То, что в одной геометрии считается прямой, отнюдь не является прямой в другой геометрии, но во всех трех геометриях прямая является кратчайшим расстоянием между двумя точками. Такие кратчайшие линии называются геодезическими. В этой связи уместно упомянуть о том, что вплоть до недавнего времени обычную прямую на плоскости мы могли проводить лишь с помощью линейки. Разумеется, при этом необходимо было еще предположение о том, что проведенная линия является прямой. Метод построения прямой был открыт лишь в 1864 году, когда француз Поселье предложил свой семизвенный шарнирный механизм для точного решения задачи о построении прямой. Инверсор Поселье (рис. 2) состоит из двух стержней равной длины, прикрепленных к неподвижной точке A. Другими концами стержни скреплены с двумя противоположными вершинами ромба, образованного четырьмя меньшими стержнями равной длины. Наконец, седьмой стержень соединяет вершину C ромба с неподвижной точкой B. Расстояние AB равно длине звена BC. Если точка C будет описывать дугу окружности с центром в точке B, то точка P, как легко доказать средствами элементарной геометрии, опишет прямую, перпендикулярную прямой AB.

Если пространство определить как «любой неограниченный континуум геометрических объектов», то две неевклидовы геометрии, логически ничем не уступающие евклидовой геометрии, следует считать не согласующимися с реальностью до тех пор, пока не будет открыто пространство, для которого они были бы верны. Однако было обнаружено, что риманова геометрия представляет собой не что иное, как геометрию на сферической поверхности (двумерном пространстве постоянной положительной кривизны), если дуги больших кругов считать геодезическими (кратчайшими линиями). В 1868 году итальянец Бельтрами открыл поверхность, на которой реализуется геометрия Лобачевского, — так называемую псевдосферическую поверхность бесконечной протяженности (двумерное пространство постоянной отрицательной кривизны). В нашем пространстве можно связно представить лишь ограниченные полоски псевдосферы. Псевдосфера представляет собой седловидную поверхность (напоминающую внутреннюю поверхность тора), а выпуклости главных кривизн обращены в противоположные стороны, в силу чего ее кривизна отрицательна. Евклидова геометрия выполняется на плоскости (двумерном пространстве нулевой кривизны). Таким образом, нетрудно видеть, что все три геометрии реализуются в пространствах постоянной кривизны. На псевдосфере прямая имеет на бесконечности две различные точки, на плоскости одну, а на сфере не имеет ни одной.

Аксиома Евклида о том, что между двумя прямыми, или, если рассматривать более общий случай, двумя геодезическими, не заключено пространство, не выполняется в сферической геометрии. Пятый постулат Евклида, утверждающий, что две прямые (то есть две геодезические) пересекаются, если сумма внутренних углов треугольника меньше двух прямых углов, не выполняется в геометрии на псевдосфере. Можно показать, что пятый постулат Евклида не требует и не допускает доказательства, поскольку он по существу является определением того типа пространства, для которого его утверждение верно (то есть определением обычной евклидовой геометрии).

Риман также показал, что существует три логически возможных типа трехмерных пространств, свойства которых аналогичны свойствам перечисленных выше двумерных пространств. Эти пространства отличаются лишь так называемой мерой кривизны пространства (имеется в виду чисто аналитическое выражение, а не кривизна, доступная нашему непосредственному восприятию). Если кривизна пространства равна нулю, то мы имеем дело с евклидовым пространством. Если кривизна положительна, то пространство сферическое, а если кривизна отрицательна, то пространство псевдосферическое. В сферическом пространстве кратчайшие линии замыкаются, и макушка нашей собственной головы может служить великолепной моделью такого пространства. Сферическое пространство не имеет границы, но протяженность его конечна, а сумма углов треугольника превышает два прямых угла на величину, пропорциональную площади треугольника. В псевдосферическом пространстве кратчайшие линии уходят в бесконечность так же, как в евклидовом пространстве, но сумма углов треугольника меньше двух прямых на величину, пропорциональную площади треугольника. И в сферическом, и в псевдосферическом пространстве не существует подобных фигур неодинаковой величины, ибо в каждом случае треугольники различной величины должны иметь различные углы.

Ли доказал, что свободное движение может происходить лишь в трех названных нами пространствах. Существуют другие формы неевклидовых пространств, не допускающих свободное движение. Киллинг назвал их пространствами Клиффорда — Клейна.

Имея три различные непротиворечивые геометрии одного ранга для исследования свойств трехмерных точечных множеств, естественно рассматривать пространство любого типа как некое геометрическое место точек в пространстве более высокого числа измерений, а это приводит к рассмотрению пространства четырех измерений, свойство которого в случае нулевой кривизны мы подробно обсудили в предыдущем очерке.

Евклидово пространство, рассматриваемое как совокупность величин, доступных измерению, не соответствует наиболее общему представлению о трехмерном множестве, поскольку удовлетворяет некоторым специальным условиям. Например, евклидовость пространства можно охарактеризовать тремя условиями: 1) свободной подвижностью твердых тел; 2) существованием единственной геодезической, соединяющей любые две точки пространства; 3) существованием параллельных. Но евклидово пространство можно определить и двумя другими условиями: 1) свободной подвижностью и 2) постулатом подобия. Все эти условия не являются необходимыми атрибутами мышления, и если они выполняются для реального физического пространства, то этот факт необходимо устанавливать опытным путем так же, как это принято в других эмпирических исследованиях, то есть путем наблюдения и эксперимента. Рассуждая чисто логически, мы не можем требовать, чтобы объективный мир непременно соответствовал нашей субъективной интуиции.

Однако мы никогда не сможем доказать, что наше пространство является строго евклидовым, поскольку неизбежные ошибки наблюдения приводят к тому, что результаты измерений колеблются в узком интервале, И хотя в пределах, допускаемых точностью измерений, наше пространство, по-видимому, можно считать евклидовым, наши измерения доказывают лишь, что кривизна пространства мала, но не позволяют утверждать, что она равна нулю. В сферической и псевдосферической геометрии разность между суммой углов треугольника и двумя прямыми углами тем больше, чем больше площадь треугольников. Но даже треугольники, построенные в межзвездном пространстве для изучения параллаксов светил, исчезающе малы по сравнению с размерами самого пространства, и вопрос о том, будет ли сумма углов достаточно больших треугольников всегда равна двум прямым углам, остается открытым. Даже наши несовершенные измерения могут установить, что в реальном пространстве выполняется геометрия Лобачевского (или Римана). Например, так произойдет, если мы сумеем произвести угловые измерения с точностью до одной миллионной секунды и при этом выяснится, что сумма углов некоторого межзвездного треугольника меньше (или больше) двух прямых углов на две миллионных секунды.

Относительно реального физического пространства мы не можем с уверенностью сказать, является ли оно евклидовым или неевклидовым. Геометрия не может пролить свет па природу реального пространства. Исследование реального пространства — эмпирическая наука, в то время как геометрия представляет собой творение чистого мышления, раздел чистой математики. Говоря о чистой математике, мы имеем в виду некую совокупность гипотетических дедуктивных теорий, каждая из которых состоит из определенной системы исходных неопределяемых понятий или символов и исходных недоказываемых, но непротиворечивых допущений (обычно называемых аксиомами) и. логически выводимых из них следствий, полученных строго дедуктивными рассуждениями без обращения к интуиции. В этом смысле чистая математика представляет собой не что иное, как символическую или формальную логику. Чистая математика занимается извлечением следствий, а не приложениями. С другой стороны, естественные науки, носящие эмпирический характер и всецело зависящие от наблюдения и эксперимента, не могут достичь абсолютной точности и поэтому не могут стать строго математическими. Таким образом, достоверность геометрии зиждется лишь на необходимости, с которой ее выводы следуют из непротиворечивых посылок. Чистая математика не занимается вопросом о том, в какой мере полученные выводы применимы к материальному миру. Таким образом, геометрия, если говорить о ее приложении к реальному миру, полезна, хотя к ее выводам следует относиться с известной осторожностью.

Из того факта, что все разделы чистой математики, включая геометрию, носят строго дедуктивный характер и в действительности представляют собой не что иное, как формальную логику, следуют важные философские выводы. Они решительно опровергают Канта, который основывал всю свою философию на предполагаемой возможности образования «синтетических априорных суждений», то есть получение абсолютной истины интуитивным чистым мышлением, совершенно независимо от опыта. Для подтверждения своей точки зрения Кант ссылался на существование геометрии. Такой аргумент мог считаться неопровержимым лишь до открытия неевклидовой геометрии. Другой далеко идущий вывод сводится к следующему. Метафизические аксиомы представляют собой лишь имитацию геометрических аксиом и, подобно последним, будут отброшены. Поэтому нам представляется уместным закончить наш очерк следующими словами знаменитого немецкого математика Гильберта: «Наиболее многообещающим и значительным достижением прошлого века следует считать открытие неевклидовой геометрии».

Платониды[15] Граница четырехмерного единичного гиперкуба и другие особенности четырехмерного пространства

Школьник рано знакомится с измерением отрезков, площадей и объемов. Измеряя отрезок, школьник находит его длину. Измеряя площадь фигуры, школьник разбивает ее на квадраты или прямоугольники, поскольку ему известно, что площадь прямоугольника равна произведению ширины на высоту. Измеряя объем тела, школьник разбивает его на несколько прямоугольных параллелепипедов или кубов, поскольку ему известно, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению длины на ширину и на высоту. Отрезок имеет одно измерение (длину), прямоугольник — два взаимно перпендикулярных измерения (длину и ширину), прямоугольный параллелепипед — три измерения, каждое из которых перпендикулярно двум другим (длину, ширину и высоту). Изобразим единицы линейных, квадратных и кубических мер (например, сантиметр, квадратный сантиметр и кубический сантиметр) в виде отрезка AB, квадрата ABCD, сторона которого равна отрезку AB, и куба ABCDEFGH, ребро которого по длине совпадает с отрезком AB, а грань имеет размеры квадрата ABCD (рис. 1). Единичный отрезок AB можно считать состоящим из бесконечно большого числа M точек, распределенных непрерывно от одного конца A отрезка до другого конца B.

Тогда квадрат ABCD содержит M × M = M² точек, а куб ABCDEFGH содержит M × M × M = M³ точек[16]. Из любой точки отрезка AB в любую другую точку того же отрезка можно перейти, двигаясь в одном фиксированном направлении, а именно в направлении отрезка AB. Аналогично из любой точки квадрата ABCD в любую другую его точку можно перейти, двигаясь вдоль двух фиксированных направлений, параллельных двум сторонам квадрата, сходящимся в одной вершине, а из любой точки куба ABCDEFGH в любую другую его точку можно попасть, двигаясь вдоль трех фиксированных направлений, параллельных трем ребрам куба, сходящимся в одной вершине (направление вперед и назад при движении вдоль любого направления мы не различаем). Таким образом, если говорить о движении, переводящем одну точку фигуры в другую, то единичный отрезок следует считать одномерным, единичный квадрат — двумерным и единичный куб — трехмерным.

В трехмерном пространстве нет такого движения, которое нельзя было бы разложить на движение но трем взаимно перпендикулярным направлениям. На Земле нет такой точки, которой нельзя было бы достичь, двигаясь на север или на юг, на запад или восток и вверх или вниз. В комнате нет ни одной точки, до которой нельзя было бы добраться, двигаясь вдоль длины, ширины и высоты. Зрение позволяет нам воспринимать непосредственно лишь два измерения предмета (ширину и высоту), в то время как третье измерение (расстояние до предмета) мы оцениваем по мышечному усилию, необходимому для того, чтобы сфокусировать глаза на интересующем нас предмете. Мы не обладаем органом чувств, способным воспринимать четвертое измерение, перпендикулярное трем остальным измерениям. Весь человеческий опыт позволяет нам довольствоваться тремя измерениями.

Но оставим опыт и обратимся к рассуждениям по аналогии. Четвертое измерение можно ввести следующим образом. Объем четырехмерного куба равен произведению длины, ширины, высоты и некоторого четвертого измерения. Чтобы вычислить объем четырехмерного прямоугольного параллелепипеда, необходимо произвести четыре линейных измерения, причем каждое в направлении, перпендикулярном трем остальным. Следовательно, четвертое измерение образует прямой угол с каждым из трех направлений, вдоль которых мы измеряем длину, ширину и высоту трехмерного прямоугольного параллелепипеда. Четырехмерный единичный куб должен иметь ребро, совпадающее с отрезком AB, грань совпадающую с квадратом ABCD, и основание, совпадающее с кубом ABCDEFGH. Четырехмерный единичный куб содержит M × M × M × M = M⁴ точек. Перейти из одной его точки в любую другую можно, двигаясь в четырех фиксированных направлениях, параллельных четырем его ребрам, сходящимся в одной вершине.

Квадрат ABCD (рис. 1) мы получим из отрезка AB, передвинув этот отрезок со всеми его M точками на расстояние, равное 1 см в направлении, перпендикулярном единственному измерению отрезка AB. Каждая точка отрезка AB при движении описывает некоторый отрезок, и, таким образом, квадрат ABCD содержит M отрезков, так же как и M² точек. Куб ABCDEFGH мы получим из квадрата ABCD, сдвинув квадрат ABCD на расстояние, равное 1 см, в направлении, перпендикулярном двум измерениям квадрата. При движении M отрезков и M² точек квадрата опишут соответственно M квадратов и M² отрезков. Следовательно, куб ABCDEFGH содержит M квадратов, M² отрезков и M³ точек. Аналогично четырехмерный единичный куб мы получим из трехмерного куба ABCDEFGH, передвинув этот куб на расстояние, равное 1 см, в направлении, перпендикулярном каждому из трех измерений куба, то есть в направлении четвертого измерения. При движении M квадратов, M² прямых и M³ точек трехмерного куба ABCDEFGH опишут соответственно M кубов, M² квадратов и M³ отрезков. Следовательно, четырехмерный единичный куб содержит M кубов, M² квадратов, M³ отрезков и M⁴ точек. Обратимся теперь к рассмотрению элементов, образующих границы единичных отрезков, квадратов, кубов и четырехмерных кубов. У единичного отрезка AB имеются две граничные точки («вершины»). У единичного квадрата ABCD — четыре вершины, у единичного куба ABCDEFGH — восемь вершин (по четыре от начального и конечного положения производящего квадрата), а у четырехмерного единичного куба — 16 вершин (по восемь вершин от начального и конечного положения производящего куба). Подсчитаем число ребер. У единичного отрезка AB есть лишь одно ребро (сам отрезок AB). У единичного квадрата ABCD — четыре стороны, («ребра»), у единичного куба ABCDEFGH — двенадцать ребер (по четыре ребра от начального и конечного положений производящего квадрата и четыре ребра, описанных четырьмя вершинами производящего квадрата), а у четырехмерного единичного куба тридцать два ребра (по двенадцать ребер от начального и конечного положений производящего куба и восемь ребер, описанных восемью вершинами производящего куба). Подсчитаем теперь число граней. У единичного квадрата ABCD есть лишь одна грань (сам квадрат ABCD). У единичного куба ABCDEFGH имеется шесть граней (по одной грани от начального и конечного положения квадрата ABCD и четыре грани, описанные сторонами производящего квадрата), а у четырехмерного единичного куба имеются двадцать четыре грани (по шесть граней от начального и конечного положений производящего куба и двенадцать граней, описанных ребрами производящего куба). Подсчитаем наконец число граничных кубов. У куба ABCDEFGH есть лишь один граничный куб (сам куб ABCDEFGH), а у четырехмерного единичного куба имеется восемь граничных кубов (по одному кубу от начального и конечного положения производящего куба и шесть кубов, описанных гранями производящего куба).

Предположим, что граница квадрата ABCD сделана из проволоки. Перерезав проволоку в вершине D, мы сможем развернуть границу квадрата и совместить ее с прямой, на которой лежит отрезок AB. При этом у нас получится одномерная фигура (рис. 2) длиной в четыре единицы. По обе стороны исходного единичного отрезка AB располагаются единичные отрезки DA и BC. Кроме того, к отрезку BС примыкает еще один единичный отрезок CD. Предположим теперь, что грани куба ABCDEFGH сделаны из тонкой фольги. Разрезав фольгу вдоль ребер EF, GH, HE, AE, BF, CG и DH, мы сможем развернуть поверхность куба на плоскость и получим двумерную фигуру, составленную из шести квадратов. К квадрату ABCD с каждой стороны примыкают единичные квадраты. Кроме того, к одному из таких квадратов примыкает еще один единичный квадрат FEGH (рис. 3). Аналогично если предположить, что кубы, ограничивающие четырехмерный единичный куб, сделаны из дерева и мы провели распилы вдоль соответствующих граней, то граничные кубы можно будет развернуть в трехмерную фигуру, составленную из восьми единичных кубов. К каждой грани куба ABCDEFGH примыкает по одному кубу. Кроме того, к свободной грани одного из примыкающих кубов «приклеен» еще один куб (рис. 4). Восемь кубов, образующих трехмерную фигуру, изображенную на рис. 4, составляют границу четырехмерного куба.

Ниже перечислены элементы, составляющие единичный отрезок, квадрат, куб и четырехмерный куб, а также их границы.

Приведенные выше рассуждения допускают непосредственное обобщение па случай единичного куба и более высоких размерностей.

Если одномерный отрезок неограниченно продолжить вправо за точку B и влево за точку A, так что длина его превзойдет любое сколь угодно большое число, то получится одномерное пространство. Аналогичным образом двумерное, трехмерное и четырехмерное пространства мы получим, неограниченно продолжив в обе стороны единичный квадрат, куб и четырехмерный куб.

Одномерный единичный отрезок отделен от остальной части одномерного пространства, в котором он лежит, двумя точками. Двумерный единичный квадрат отделен от остальной части двумерного пространства, в котором он расположен, четырьмя отрезками (сторонами). Трехмерный единичный куб отделен от остального пространства шестью квадратами. Аналогично четырехмерный единичный куб отделен от остальной части четырехмерного пространства, в котором он лежит, восемью кубами. Предположим, что мы хотим построить замкнутую фигуру любого числа измерений в пространстве того же числа измерений. Тогда в одномерном пространстве нам понадобятся для этого две точки, в двумерном пространстве — по крайней мере три прямые, в трехмерном пространстве — по крайней мере четыре плоскости и в четырехмерном пространстве — по крайней мере пять трехмерных пространств.

Так же как и в единичном отрезке, квадрате, кубе и четырехмерном кубе, из одной точки пространства в другую мы можем попасть, двигаясь вдоль фиксированных взаимно перпендикулярных направлений, число которых совпадает с размерностью пространства.

Время можно представить в виде одномерного пространства, ибо оно течет лишь в одном направлении из бесконечно далекого прошлого в бесконечно удаленное будущее (рис. 5). Настоящее время можно изобразить точкой, перемещающейся с постоянной скоростью по шкале времени (или неподвижной точкой, относительно которой равномерно перемещается шкала времени). Любого момента времени можно достичь, пройдя определенное расстояние (годы, месяцы и т. д.) от некоторой выбранной точки (начала новой эры).

Любая часть земной поверхности, если рассматривать ее как плоскость, представляет собой область двумерного пространства. Следуя по меридианам и параллелям, мы всегда можем добраться до любой точки земной поверхности. Примером трехмерного пространства может служить пространство, в котором находится наша Вселенная. Представить себе наглядно четырехмерное пространство невозможно.

Если два отрезка AB и B'А', принадлежащие одному и тому же одномерному пространству, симметричны относительно точки O этого пространства (рис. 6), то отрезок AB нельзя передвинуть в этом пространстве так, чтобы соответственные точки симметричных отрезков совпали (точка A с точкой A', точка B с точкой B' и т. д.). Для того чтобы совместить соответственные точки симметричных отрезков, необходимо повернуть отрезок AB в двумерном пространстве вокруг точки O как вокруг центра. Грубо говоря, отрезок AB нужно поднять в двумерное пространство, перевернуть и лишь после этого наложить на отрезок B'А'. Если два треугольника, лежащих в одном и том же двумерном пространстве, симметричны относительно прямой (рис. 7), то наложить их так, чтобы соответственные линии и точки совпали, можно лишь в том случае, если мы повернем один треугольник в трехмерном пространстве вокруг оси симметрии. Если не стремиться к особой строгости, то можно сказать, что один треугольник необходимо поднять над плоскостью в трехмерное пространство, перевернуть и лишь тогда наложить его на другой треугольник. Если два многогранника лежат в одном и том же трехмерном пространстве и симметричны относительно плоскости (рис. 8), то совместить их так, чтобы соответственные точки, ребра и плоскости совпали, можно лишь в том случае, если мы повернем один многогранник в четырехмерном пространстве вокруг плоскости симметрии. Грубо говоря, это означает, что мы поднимаем многогранник в четырехмерное пространство, поворачиваем его там и опускаем снова в исходное трехмерное пространство. Правая рука и ее зеркальное отражение (левая рука) симметричны относительно плоскости зеркала, поэтому, повернув правую руку вокруг плоскости зеркала в четырехмерном пространстве, мы могли бы превратить ее в левую. При таком повороте правая перчатка стала бы левой. Иначе говоря, бросив правую перчатку в направлении четвертого измерения и поймав ее вновь, мы увидим, что она стала левой.

Мы не можем указать, в каком направлении проходит четвертое измерение, или определить, существует ли четырехмерное пространство, даже если оно находится совсем рядом, так же как двумерные люди, обитающие в двумерном пространстве, не могут указать, в каком направлении проходит третье измерение или обнаружить существование трехмерного пространства, даже если их собственное пространство вложено в это трехмерное пространство и является его частью (подобно тому, как плоскость является частью трехмерного пространства). Предположим, что двумерное пространство, моделью которого может служить страница нашей книги, населено двумерными существами. Эти существа обладают длиной и шириной, способны передвигаться в длину и ширину и, возможно, даже наделены сознанием. Обитатели двумерного мира не имеют толщины, они не могут ни приподняться над страницей, ни опуститься под нее и лишены способности даже мысленно представить себе направление, перпендикулярное плоскости страницы. Двумерные обитатели страницы не знают, что такое «верх» и «низ». Предположим, что они наделены интеллектом, позволяющим им исследовать свой мир в такой же мере, в какой человек исследует свою Вселенную. Предположим, что у обитателей плоского мира имеются дома, амбары и что жизнь на плоскости течет столь полно, сколь это вообще возможно на плоскости. Дома и амбары в плоском мире не будут иметь ни крыш, ни потолков, а лишь одни стены. Для того чтобы отделить любой предмет па плоскости от остальной части пространства, достаточно провести три прямые. Сам обитатель плоского мира сможет увидеть своего соседа лишь в виде отрезка, так как будет смотреть на его многоугольный контур в плоскости многоугольника. До внутренних точек многоугольника (внутренностей обитателя плоского мира) можно добраться, лишь проникнув сквозь его контур, ибо в плоском мире, как уже говорилось, не существует понятий верх и низ. Убедить обитателя плоского мира в том, что третье измерение существует, прикасаясь к внутренним точкам его многоугольника или пытаясь вывести его из плоскости, — задача совершенно безнадежная. Даже если обитатель плоского мира воспримет рассуждения по аналогии относительно свойств третьего измерения, сама идея о том, что кто-то может заглянуть в его внутренности, не может не вызвать у него бурного протеста. Даже под прямым углом к двум известным ему измерениям все должно обстоять так же, как в его родном пространстве. Аналогично если мы хотим обнаружить четвертое измерение, то должны понять, что оно проходит через все точки нашего трехмерного пространства, как внутри, так и снаружи нас.

Даже если бы кто-нибудь объяснил обитателю двумерного мира, что трехмерное существо, двигаясь вдоль третьего измерения, могло бы проникнуть в накрепко запертый амбар и похитить все, что там хранится, не открывая ни одной двери и не взламывая стен, или прикоснуться к сердцу жителя книжной страницы, то и тогда третье измерение не стало бы понятнее обитателю плоского мира. Мы также не можем представить себе, в каком направлении должен двигаться четырехмерный грабитель, для того чтобы похитить сокровища из самого надежного сейфа, или путь, по которому четырехмерный врач сможет прикоснуться к самой сокровенной части человеческого сердца, не прорезая при этом ни кожи, ни даже стенки сердца. И все же маршруты и грабителя, и врача лежат вдоль четвертого измерения. Следуя такому маршруту, четырехмерное существо могло бы извлечь содержимое куриного яйца, не нарушив целостности скорлупы, или опустошить бутылку ликера, даже не потрудившись извлечь из нее пробку. Если бы такие четырехмерные существа обитали в пространстве, содержащем наше трехмерное пространство, то нам бы они казались «искуснейшими из духов». Отсутствие подобных духов свидетельствует о том, что четырехмерный мир, который бы содержал наше пространство и был населен столь причудливыми обитателями, в природе не существует.

Алгебра требует, чтобы геометрия помогла ей найти наглядное выражение для любой изучаемой ею задачи. А поскольку в алгебраической задаче могут встречаться четыре, пять или большее число неизвестных, как, впрочем, и любое меньшее их число, то алгебра настоятельно требует рассмотрения пространств, размерность которых равна четырем, пяти, а также любым другим числам, как большим, так и меньшим. Вероятно, понятие четвертого измерения позволит найти объяснение некоторым физическим явлениям. Вместе с тем следует сознавать, что пространство четырех измерений, так же как и пространство более высокого числа измерений, представляет собой лишь фиктивные геометрические образы, соответствующие тем или иным алгебраическим величинам.

Перси У. Гумаер Правда и ложь о теории четвертого измерения

Нередко теория, развитая из самых лучших побуждений каким-либо выдающимся авторитетом, приобретает дурную славу, ибо становится достоянием невежественных людей, которые приспосабливают ее или даже обобщают для своих собственных целей, далеких от первоначальных намерений ее создателя. Печальной жертвой превратностей судьбы такого рода стала теория четвертого измерения.

Идея четвертого измерения появилась как чисто математическое понятие, позволяющее значительно упростить рассуждения, но не допускающее наглядной интерпретации. Аналогию с понятием четвертого измерения можно усмотреть в использовании отрицательных чисел. Всякий, кому приходилось вычитать из числа 3 число 7 и получать −4, знает, как следует понимать полученный результат. Однако никому и в голову не придет, будто полученный ответ означает, что в действительности могут существовать отрицательные количества предметов. Нетрудно понять, что если в саду росло четыре дерева и спилили четыре из них, то ни одного дерева не стало, но никто не станет представлять себе наглядно минус четыре дерева, ибо даже мысленно мы можем представить себе лишь такие величины, которые получаются в результате пересчета реально существующих предметов. Однако отсутствие опыта не мешает нам вводить отрицательные числа как средство, позволяющее упростить вычисление. Идея четвертого измерения позволяет аналогичным образом упростить многие математические рассуждения, хотя из нее и не следует, будто четырехмерное пространство действительно существует.

Математические рассуждения позволили нам узнать многие свойства четырехмерного пространства. Иногда эти свойства используют для объяснения спиритических явлений, утверждая, будто четырехмерное пространство населяют духи, которых мы, человеческие существа, живущие в пространстве трех измерений, неспособны воспринимать, если только духи не соблаговолят спуститься в наше пространство. Свое утверждение обоснователи спиритизма пытаются доказать, ссылаясь на геометрические свойства четырехмерного пространства. Столь неожиданное расширение математического понятия создало у непосвященного читателя весьма превратное представление о четвертом измерении, и мы сейчас хотим провести грань между теорией четвертого измерения, развитой математиками и имеющей полное право называться научной теорией, и^-тем, что известно под названием четвертого измерения и используется для обоснования спиритизма.

Наглядные геометрические изображения широко используются в науке и других областях человеческой деятельности. Чертежи и фотографии находят широкое применение в технике. Ни один архитектор не приступит к возведению здания, не составив предварительно его чертежи. В математике возможность наглядно представить кривую, описываемую алгебраическим уравнением, также намного упрощает рассуждения.

До Декарта алгебру и геометрию считали различными математическими дисциплинами, никак не связанными между собой. Однако Декарт обнаружил, что алгебраические уравнения с двумя и тремя неизвестными удобно изображать в виде геометрических фигур. Рассмотрим метод Декарта на простом примере. Из элементарной алгебры известно, что в одном уравнении с двумя неизвестными, например в уравнении у = x² − 2х + 2, переменной x мы можем придавать любые значения. Подставив выбранное нами значение x в уравнение, мы найдем соответствующее ему значение неизвестной у. Например, если x = 1, то у = 1. Нетрудно проверить, что пары значений x = 2, у = 2; x = 3, у = 5; x = 4, у = 10; x = 5, у = 17 и т. д. также удовлетворяют уравнению. Чтобы представить себе уравнение у = x² − 2x + 2 наглядно, проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые. Эти прямые называются осями координат. От точки пересечения осей вдоль оси мы будем откладывать расстояния, равные в соответствующих единицах интересующему нас значению x, а по другой оси — расстояния, равные в соответствующих единицах значениям у. На рис. 1 правые концы отрезков, отложенных по оси x, обозначены буквами а, b, с, d и e, а верхние концы отрезков, отложенные вдоль оси у, — буквами а', b', с', d' и e'. Точки (а, а'), (b, b'), (с, с'), (d, d') и (е, е') называются точками кривой, описываемой уравнением у = x² − 2x + 2. Придавая переменной x значения, отстоящие друг от друга на сколь угодно малую величину, мы сможем нарисовать довольно подробный «портрет» нашей кривой. На рис. 2 показан отрезок кривой, описываемой уравнением у = x² − 2x + 2, который соответствует значениям x, заключенным в интервале от 0 до 5.

Возможно, что кому-нибудь график кривой покажется столь же мало понятным, как и описывающие кривую уравнения. Неспециалист, взглянув на чертеж, изображающий какой-нибудь предмет, увидит лишь хаотическое переплетение линий, в то время как опытному чертежнику или механику достаточно одного взгляда на чертеж, чтобы получить полное представление об устройстве предмета. Математик, взглянув на график, получает весьма точное представление о свойствах уравнения, описывающего соответствующую кривую.

Иногда у инженера или математика возникает необходимость наглядно изобразить алгебраическое уравнение, содержащее три неизвестных, например уравнение x + у + z = 10. Рассуждая по аналогии с уравнением, содержащим два неизвестных, мы можем получать значения z, соответствующие заданным значениям неизвестных x и у. Однако значения переменной z нельзя изобразить на одной плоскости со значениями переменных x и у. Нам необходимо иметь третью ось, ось z, вдоль которой мы будем откладывать значения z, и эта ось должна быть перпендикулярна осям x и у и проходить через точку их пересечения. Введя ось z, мы сможем изобразить наглядно уравнение с тремя переменными так же, как ранее мы изображали уравнение с двумя переменными. Придавая произвольные значения переменным x и у, мы будем вычислять соответствующее им значение переменной z и откладывать все три значения x, у и z, удовлетворяющие уравнению, вдоль соответствующих осей.

Наглядное представление уравнений с двумя и тремя неизвестными настолько помогает в решении трудных задач, что математик склонен интерпретировать аналогичным образом уравнение с четырьмя переменными, которые иногда встречаются в различных физических задачах. Для того чтобы наглядно изобразить уравнение вида x + y + z + w = 16, нам необходимо иметь четвертую ось, ось w, вдоль которой мы сможем откладывать значения переменной w. Такая ось должна быть перпендикулярна осям x, у и z в точке их пересечения. Дойдя в своих рассуждениях до этого места, математики обнаруживают, что зашли в тупик, ибо не могут построить четыре взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке. Это ограничительное свойство нашего пространства не позволяет математикам наглядно изображать уравнения с четырьмя переменными так же, как они изображали уравнения с двумя и тремя переменными, но это отнюдь не мешает им продолжать изучение уравнений с четырьмя неизвестными.

Люди постоянно размышляют о том, что бы произошло, если бы события развивались иначе, чем они развивались в действительности. Они пытаются предугадать, как развивалась бы история, если бы Наполеон выиграл битву при Ватерлоо. Физик вычисляет количество тепла, которое бы выделилось, если бы Земля внезапно остановилась на орбите. Не отстает от физика и математик. Не имея возможности построить четыре взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке, он тратит свое драгоценное время, пытаясь выяснить, что произошло бы в том случае, если бы ему все же удалось построить свои четыре перпендикуляра. Эти размышления и приводят математика к понятию четырехмерного пространства.

Возможно, что читатель, впервые услышавший о четырехмерном пространстве, составит себе неверное представление о нем. Когда неспециалист слышит о том, что в четырехмерном пространстве можно построить четыре взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке, он тотчас же пытается наглядно представить себе эти четыре перпендикуляра. Разумеется, все попытки оказываются бесплодными, и поэтому неспециалист всякое упоминание о четвертом измерении считает жульничеством или бессмыслицей. Однако столь суровый приговор несправедлив, ибо неспециалист неправильно понял то, что имеет в виду, говоря о четвертом измерении, математик. Математик отнюдь не желает сказать, что четыре взаимно перпендикулярные прямые действительно можно построить. Такое построение, насколько можно судить, действительно невозможно. Однако вполне допустимо спросить себя, что произошло бы в том случае, если бы нам все же удалось осуществить его. Именно это и не более того пытается сделать математик.

Реальная, физическая, возможность и возможность математическая не всегда совпадают. Правильное математическое утверждение нередко может не допускать физическую интерпретацию. Например, так произошло с пятым постулатом Евклида. Утверждение становится возможным с математической точки зрения, если оно непротиворечиво и если оно не противоречит другим допущениям данной теории. Отец геометрии Евклид утверждал в своем пятом постулате, что через данную точку можно провести лишь одну прямую, параллельную некоторой заданной прямой. В первой половине прошлого века русский математик Лобачевский усомнился в правильности постулата Евклида. Многократные попытки доказать этот постулат, рассуждал Лобачевский, неизменно оканчивались неудачей, поэтому можно предположить, что постулат неверен. Будем считать, что через данную точку можно провести не одну, а но крайней мере две разные прямые, не пересекающие данной прямой. Пользуясь чисто математическими рассуждениями, Лобачевский построил целую геометрию, основанную на своей новой аксиоме. Сама по себе эта геометрия абсолютно непротиворечива и поэтому математически возможна. Однако евклидова геометрия проще, привычнее и подтверждается даже самыми точными измерениями. Мы по-прежнему продолжаем пользоваться ею во всех измерениях и расчетах, так как, насколько можно судить по эмпирическим данным, евклидова геометрия правильна.

Наш опыт учит нас, что пространство трехмерно, однако утверждение о трехмерности пространства нельзя доказать абсолютно строго. Его следует принять за аксиому. Если бы какой-нибудь новый Лобачевский потребовал бы у нас подтверждений правильности нашей аксиомы, то мы не могли бы привести никаких убедительных доказательств. Новоявленный преобразователь геометрии мог бы усомниться в трехмерности пространства и предположить, что пространство четырехмерно. Приняв допущение об истинности новой аксиомы, он смог бы путем дедуктивных рассуждений построить целую геометрию. Новый Лобачевский вывел бы формулы для площади треугольников, объемов тел или для направления касательной к кривой. Пространство четырех измерений математически возможно, поскольку все утверждения и умозаключения относительно его внутренне непротиворечивы и согласуются с исходными аксиомами, однако никакие рассуждения не могут доказать, что четырехмерное пространство действительно существует, так же как Лобачевский не мог бы доказать, что кому-нибудь удастся провести через точку по крайней мере две прямые, не пересекающие третьей.

При рассмотрении уравнений с двумя переменными мы можем, не прибегая к графикам, установить многие свойства кривых, соответствующих этим уравнениям. Производя над алгебраическим уравнением различные действия, математический анализ позволяет вычислять длину любого отрезка кривой, устанавливать направление касательной к кривой в любой точке или находить точки пересечения двух кривых. Метод изучения свойств четырехмерного пространства во многом аналогичен описанным выше методам изучения свойств двумерных и трехмерных пространств. Мы знаем, что любое уравнение с четырьмя переменными соответствует некоторой конфигурации в пространстве четырех измерений. Применяя к уравнению методы аналитической геометрии и математического анализа, мы можем определить свойства интересующей нас плоской фигуры, трехмерного тела или четырехмерного гипертела, описываемых данным уравнением. Для того чтобы изучить свойства четырехмерных тел, нам вовсе не нужно строить их. Так же как мы изучали свойства кривых и поверхностей по их уравнениям, мы можем определить свойства конфигурации, описываемой уравнениями с четырьмя переменными.

Некоторые свойства четырехмерной геометрии настолько своеобразны и неповторимы, что кажутся непостижимыми. Например, полую гибкую сферу в пространстве четырех измерений можно было бы вывернуть наизнанку, не разрывая и не растягивая ее поверхность. Если какое-нибудь тело могло бы двигаться в пространстве четырех измерений, то его нельзя было бы удержать четырьмя стенами комнаты и, пройдя ничтожный отрезок в неведомом нам четвертом измерении, такой предмет легко становился бы невидимым. В пространстве четырех измерений предмет можно вращать вокруг плоскости, хотя в пространстве трех измерений предмет может вращаться лишь вокруг прямых или точек.

Подробное изучение столь необычных свойств этого гипотетического пространства, представляющее несомненный интерес, не входит в задачу настоящей статьи. Геометрические доказательства потребовали бы знания довольно тонких математических фактов, а чудес, которые мог бы совершить каждый, кто владеет тайной проникновения в четвертое измерение, хватило бы на несколько популярных статей.

Часто приходится слышать вопрос: существует ли в действительности четвертое измерение? Ответ на этот вопрос зависит от того, что мы понимаем под «существованием». Если существование означает, что мы можем составить полное представление о предмете и это представление не будет противоречить другим ранее установленным представлениям и результатам нашего опыта, то можно сказать, что четырехмерное пространство существует. С другой стороны, если под существованием понимать объективную реальность, то на приведенный выше вопрос можно ответить лишь одно: не знаем.

Все наше знание в конечном счете берется из опыта, по количество и степень воспринимаемого нами ограничено несовершенством наших органов чувств. Существует много явлений, не воспринимаемых непосредственно нашими органами чувств, о которых мы знаем лишь косвенно. Нам известно, что в инфракрасной и в ультрафиолетовой областях Спектра существуют световые волны, невидимые нашему глазу. Обычно в тех случаях, когда какое-нибудь явление недоступно наблюдению, это воспринимается как свидетельство того, что оно не существует. Например, в течение долгого времени, исходя из накопленного опыта, полагали, что способностью самостоятельно передвигаться с места на место обладают лишь животные, но не растения. Однако заглянув в усовершенствованный микроскоп, мы увидели, что микроскопические растения обладают не меньшей подвижностью, чем микроскопические животные. Поэтому не всегда ненаблюдаемое явление следует считать несуществующим. Утверждая, будто ненаблюдаемое явление не существует, мы уподобляемся ребенку, который считает, что у всех людей достаточно пищи, а у всех детей непременно имеются няни. Ребенок рассуждает так потому, что не видел ничего другого. Мы, взрослые, обычно рассуждаем так же.

Хотя мы не можем догматически отрицать существование четырехмерного пространства, несмотря на то что такое пространство недоступно нашему непосредственному восприятию и нам трудно представить себе его наглядно, все же мы можем с уверенностью сказать, что наша Вселенная, по крайней мере в известной нам части, и все сущее в ней в силу какого-то не известного нам закона ограничено пространством трех измерений.

Уильям С. Дэвидсон Восходящая шкала размерностей

Приступая к выяснению возможности существования размерности, выходящей за рамки наших современных представлений, нам необходимо воспользоваться аналогией. Сравнивая пространства одного, двух и трех измерений, мы сможем подметить то общее, что позволит нам вывести формулы и, глядя на них, высказать абстрактные суждения о свойствах того или иного тела в четырехмерном пространстве. Дабы не впасть в противоречие, нам необходимо быть столь же осторожными в своих умозаключениях, как астроному, пытающемуся высказывать какие-то утверждения относительно обитателей далекой планеты. Рассматривая условия, делающие возможной жизнь на его собственной Земле, он может подметить ряд закономерностей и попытаться привести их в полную гармонию с условиями, господствующими на интересующем его небесном теле.

Хотя реальные изображения прямых и точек имеют ощутимый размеры по всем направлениям, не следует забывать, что всюду далее мы будем иметь в виду абстрактные прямые и точки. Последние характеризуются лишь положением в пространстве, а первые мы определяем как линии кратчайшего расстояния между двумя точками. Говоря о поверхности, мы также будем иметь в виду лишь абстрактную, воображаемую поверхность независимо от того, располагается ли она свободно в пространстве или ограничивает какое-нибудь тело. Такая поверхность полностью лишена толщины, и бесконечное множество абстрактных поверхностей, наложенных друг на друга, имело бы нулевую суммарную толщину.

Мы начнем с того, что рассмотрим, как ограничено восприятие пространства у существа, живущего в мире одного измерения, то есть на бесконечной кривой в пространстве, конечный отрезок AB которой мы условно изобразим на рис. 1. Предположим, что в различных точках этой кривой находятся три существа a, b и с, причем существо а имеет вид точки, существо b — небольшого отрезка, а существо с по форме напоминает существо b, но имеет несколько большую длину. Мы различаем существа а, b и с по форме потому, что наблюдаем за ними извне. Однако существу а другое существо b представляется в виде точки, так же как существу b — существо с. Такое «точечное» восприятие обусловлено тем, что одномерным существам известно лишь расстояние (вдоль кривой) и положение на ней. Все остальное, что так или иначе связано с каким-нибудь третьим геометрическим свойством, для одномерных обитателей кривой лишено смысла. Существо а, наблюдая существо b, может видеть его лишь в виде точки, потому что смотрит «в торец» отрезку b. Предположим, что существа а, b и с сохраняют свое относительное расположение на кривой на протяжении всей своей жизни. Поскольку каждое из существ в этом случае будет располагать лишь весьма ограниченными сведениями о жизни двух других обитателей кривой, то они будут строить различные умозаключения о том, что представляют собой их соседи. Так, существо а, сознавая собственную точечную форму и видя существо b лишь с «торца», сделает вполне логичный, хотя и неправильный вывод: на кривой обитают лишь точечные существа. Существо b, сознавая свою длину и видя своих соседей а и с в виде точек, решит, что оно удостоилось особой милости творца, вознесшего его в нарушение всех законов природы над его собратьями по пространству.

На рис. 1 мы изобразили произвольную кривую, или траекторию, в пространстве, но для того, чтобы избежать излишних усложнений на последующих рисунках, мы в дальнейшем условимся изображать одномерное пространство в виде прямой. Отрезок прямой можно рассматривать как траекторию точки, ограниченную ее начальным и конечным положением в пространстве. Отрезок прямой — это частный случай движения точки из одного положения в другое по кратчайшему пути AB (рис. 2). Если отрезок AB мы передвинем по кратчайшему пути из начального в конечное положение A'В', то получим плоскую фигуру — прямоугольник. Если отрезок AB переместится по кратчайшему пути па расстояние, равное своей длине (рис. 3), то получится плоская фигура, которая называется «квадрат». Таким образом, квадрат можно назвать элементарной фигурой в двумерном мире, так же как отрезок прямой мы называем элементарной фигурой в одномерном мире.

Переходя от линейного мира к плоскому, мы обнаруживаем, что число различных форм геометрических фигур неизмеримо возросло. Так, в нашем двумерном мире могут существовать не только обитатели, имеющие вид точек и прямолинейных отрезков, но и многочисленные другие фигуры, среди которых мы встретим немало знакомых, например квадрат, прямоугольник и окружность. Как и обитатели одномерного мира (рис. 1), двумерные существа могут знакомиться с бесконечным разнообразием окружающих их форм или устанавливать степень родства с другими двумерными существами лишь путем тщательного изучения конфигурации своих соседей. Некоторое представление о том, сколь утомительно однообразное зрелище открылось бы взору наблюдателя в таком двумерном мире, можно получить, если вырезать из бумаги различные по форме фигуры и рассматривать их с «торца». Узкая длинная полоска представилась бы наблюдателю в виде точки или прямолинейного отрезка в зависимости от того, откуда бы он смотрел на полоску: с конца или сбоку. Квадрат, окружность, треугольник или прямоугольник показались бы нашему наблюдателю прямолинейными отрезками различной длины. Неплохо было бы наделить по крайней мере несколько обитателей двумерного мира разумом, способным воспринимать математические истины. Такие «математически образованные» плоские существа могли бы установить простейшие геометрические свойства фигур. Предположим, что обитатели двумерного мира столкнулись с проблемой доказательства по методу Евклида равенства треугольников ABC и abc (рис. 4), относительно которых известно следующее: сторона AB равна стороне ab, сторона AC равна стороне ac, а угол CAB равен углу cab. Двумерные геометры вполне справились бы с совмещением треугольников ABC и abc, поскольку для этого треугольники не нужно выводить из плоскости.

Расположим теперь те же треугольники так, как показано на рис. 5. При тех же предположениях относительно равных элементов треугольников ABC и abc может показаться, будто этот случай ничем не отличается от случая, изображенного на рис. 4. Однако более внимательное рассмотрение показывает, что прежде чем наложить один треугольник на другой, его необходимо перевернуть. Ясно, что такое переворачивание требует трех измерений и предложенное Евклидом доказательство равенства треугольника выходило бы за пределы понимания существ, владеющих лишь понятиями «длина» и «ширина».

Предположим теперь, что наш двумерный мир «пронзен» прямой LN (рис. 6), изготовленной из абсолютно проницаемого материала. Прямую LN можно перемещать параллельно самой себе, не вспарывая при этом плоский мир и не извлекая ее из плоскости. Ясно, что обитатели двумерного мира смогут увидеть лишь точку P. Существа подобного вида встречались им и раньше. Точка P будет свободно перемещаться по всей плоскости, явно «не желая» расставаться с двумерным миром, хотя в действительности она принадлежит прямой, способной разместиться лишь в трехмерном пространстве.

Перейдем теперь к рассмотрению знакомых всем нам предметов, а именно предметов, находящихся в трехмерном пространстве. Все формы материи, доступные нашим ощущениям, занимают некоторую часть пространства и обладают длиной, шириной и высотой. Плоскость, прямая и точка существуют в теории лишь для того; чтобы человек мог строить приближенные образы в соответствии с тем, что он наблюдает в материальном мире. Природа действует посредством универсальных законов и строит применительно к условиям, руководствуясь неписаными законами экономии. Прямая и плоскость встречаются в природе исключительно редко, главным образом среди низших форм растений и животных, но человек, пренебрегая более тонкими соображениями, определяющими выбор тех или иных средств в природе, и постоянно совершая ошибки, вынужден достигать своих целей простейшими и наиболее прямыми из доступных ему методов. Поэтому он принимает за единицу длины некий отрезок прямой, за единицу площади — плоскую фигуру, известную под названием квадрата, и за единицу объема — тело, ограниченное шестью гранями и известное под названием куба. Мы видели, что на плоскости квадрат можно построить, перемещая отрезок в перпендикулярном ему направлении на расстояние, равное длине отрезка. Аналогично можно построить и куб в трехмерном пространстве. Представим себе, что квадрат ABА'В' (рис. 3) перемещается па расстояние, равное длине любой из его сторон, в направлении, перпендикулярном плоскости квадрата. В результате такого перемещения мы получим (рис. 7) трехмерную фигуру — куб.

Предположим, что исходный отрезок AB, позволивший нам построить квадрат и куб, мы выбрали длиной в два дюйма. Тогда самому отрезку мы могли бы поставить в соответствие число 2, квадрату — число 2², а кубу — число 2³. Поскольку существуют числа 2⁴, 2⁵ и т. д„геометрический смысл которых неизвестен, естественно возникает вопрос: не могут ли эти числа соответствовать неким объектам, восприятие которых лежит за гранью человеческих возможностей, но было бы доступно каким-нибудь высшим существам, если бы таковые обладали соответствующими органами чувств? Человеческий разум не в силах наглядно представить себе четырехмерное пространство, в котором могло бы находиться тело, соответствующее числу 2⁴, но, рассуждая по аналогии, мы в состоянии выяснить несколько интересных фактов относительно фигуры, играющей в четырехмерном пространстве такую же роль, какую в нашем пространстве играет куб.

Мы видели, что: 1) точки ограничивают отрезок прямой; 2) отрезки прямых ограничивают квадрат; 3) квадраты ограничивают куб. Таким образом, в каждом измерении единичная фигура ограничена единичными фигурами на единицу меньшего числа измерений. Следовательно, четырехмерный аналог куба ограничен трехмерными кубами. Строя квадрат, мы передвинули единичный отрезок по кратчайшему пути' из начального положения в конечное, причем длина пути была равна длине самого отрезка. Аналогично куб мы построили, переместив квадрат из начального положения в конечное, отстоящее от начального на расстояние, равное длине стороны квадрата. И в том, и в другом случае движение происходило в направлении, перпендикулярном всем и каждой из границ производящей фигуры.

Отсюда мы заключаем, что и четырехмерный аналог куба можно построить, переместив куб на расстояние, равное длине любого из его ребер, в направлении, перпендикулярном всем ребрам производящего куба. Нашему разуму это направление представляется столь же чуждым и странным, как высота — существу, обитающему в двумерном мире.

При движении отрезка прямой, заметающего квадрат, число границ вновь построенного квадрата было равно удвоенному числу отрезков (исходный отрезок плюс отрезок в конечном положении) плюс два отрезка, порожденные при движении концами исходного отрезка. Аналогично в число граней куба следует включить два квадрата (производящий квадрат в исходном и в конечном положении) плюс четыре квадрата, порожденных при движении четырьмя сторонами исходного квадрата. Отсюда ясно, что в число кубов, ограничивающих четырехмерный аналог куба, должны входить два куба (производящий куб в исходном и в конечном положении) плюс шесть кубов, порожденных при движении гранями исходного куба, то есть всего восемь кубов.

Возвращаясь к квадрату и кубу, нетрудно видеть, что число вершин у построенной фигуры всякий раз оказывается вдвое больше, чем у производящей фигуры. Так, прямолинейный отрезок с двумя конечными точками («вершинами») порождает квадрат с четырьмя вершинами, а у куба число вершин достигает восьми. Следовательно, у четырехмерного аналога куба число вершин равно шестнадцати. Число ребер, или отрезков прямых, соединяющих вершины, можно подсчитать следующим образом. У квадрата четыре стороны («ребра»): две из них образуют производящий отрезок в начальном и конечном состоянии, две другие вычерчивают при движении концы производящего отрезка. У куба двенадцать ребер: восемь из них дает производящий квадрат в исходном и конечном положении, а остальные вычерчивают при движении вершины квадрата. Таким образом, число ребер у каждой фигуры равно удвоенному числу ребер у производящей фигуры плюс те ребра, которые порождают при своем движении вершины производящей фигуры. Следовательно, у четырехмерного аналога куба имеется 12 × 2 + 8 = 32 ребра. Итак, четырехмерный аналог куба ограничен восемью кубами, шестнадцатью вершинами и тридцатью двумя ребрами. Если ребро производящего куба имеет в длину 2 дюйма, то «объем» четырехмерного куба выразился бы числом 2⁴.

Сколь ни любопытными могут показаться приведенные выше геометрические утверждения, они меркнут в сравнении с теми драматическими последствиями, к которым приводит понятие четвертого измерения. Для существа, способного воспринимать лишь длину и ширину, прямая, проведенная нами на плоскости, стала бы столь же непреодолимым препятствием, каким служил бы для нас каменный забор, неограниченно простирающийся в высоту. Но это еще не все. Мы, трехмерные существа, можем дотронуться до любой части внутри плоской фигуры, не прикасаясь к ее границе. Представим себе, что на плоскости внутри некоторой замкнутой кривой находятся несколько двумерных существ. Каково бы было их изумление, если бы они узнали, что некие высшие существа обладают способностью проникать сквозь любое известное им ограждение, даже не прикасаясь к нему! Нечто аналогичное можно представить себе и в нашем мире. Предположим, что существо A, запертое в герметически закрытом бронированном сейфе, внезапно обнаруживает рядом с собой некое существо B, спустившееся из четвертого измерения.

Из приведенных выше соображений ясно, что если бы мы обладали способностью перемещаться в четвертом измерении, то могли бы без труда съесть мякоть плода, оставив в неприкосновенности его кожуру, или полакомиться орехом, не разбив его скорлупы. Нам не понадобились бы окна и двери для доступа света и сообщения с внешним миром: четвертое измерение лишило бы былой эффективности стены, пол и потолок, ограждающие наше жилище от внешнего мира.

Развитие наших органов чувств происходит очень медленно и, согласно теории эволюции, зависит от того, в какой мере мы пользуемся ими. Поэтому мы вправе утверждать, что сейчас подошли неизмеримо ближе к восприятию четвертого измерения, чем при возникновении этого понятия.

Отсюда мы заключаем, что и четырехмерный аналог куба можно построить, переместив куб на расстояние, равное длине любого из его ребер, в направлении, перпендикулярном всем ребрам производящего куба. Нашему разуму это направление представляется столь же чуждым и странным, как высота — существу, обитающему в двумерном мире.

При движении отрезка прямой, заметающего квадрат, число границ вновь построенного квадрата было равно удвоенному числу отрезков (исходный отрезок плюс отрезок в конечном положении) плюс два отрезка, порожденные при движении концами исходного отрезка. Аналогично в число граней куба следует включить два квадрата (производящий квадрат в исходном и в конечном положении) плюс четыре квадрата, порожденных при движении четырьмя сторонами исходного квадрата. Отсюда ясно, что в число кубов, ограничивающих четырехмерный аналог куба, должны входить два куба (производящий куб в исходном и в конечном положении) плюс шесть кубов, порожденных при движении гранями исходного куба, то есть всего восемь кубов.

Возвращаясь к квадрату и кубу, нетрудно видеть, что число вершин у построенной фигуры всякий раз оказывается вдвое больше, чем у производящей фигуры. Так, прямолинейный отрезок с двумя конечными точками («вершинами») порождает квадрат с четырьмя вершинами, а у куба число вершин достигает восьми. Следовательно, у четырехмерного аналога куба число вершин равно шестнадцати. Число ребер, или отрезков прямых, соединяющих вершины, можно подсчитать следующим образом. У квадрата четыре стороны («ребра»): две из них образуют производящий отрезок в начальном и конечном состоянии, две другие вычерчивают при движении концы производящего отрезка. У куба двенадцать ребер: восемь из них дает производящий квадрат в исходном и конечном положении, а остальные вычерчивают при движении вершины квадрата. Таким образом, число ребер у каждой фигуры равно удвоенному числу ребер у производящей фигуры плюс те ребра, которые порождают при своем движении вершины производящей фигуры. Следовательно, у четырехмерного аналога куба имеется 12 × 2 + 8 = 32 ребра. Итак, четырехмерный аналог куба ограничен восемью кубами, шестнадцатью вершинами и тридцатью двумя ребрами. Если ребро производящего куба имеет в длину 2 дюйма, то «объем» четырехмерного куба выразился бы числом 2⁴.

Сколь ни любопытными могут показаться приведенные выше геометрические утверждения, они меркнут в сравнении с теми драматическими последствиями, к которым приводит понятие четвертого измерения. Для существа, способного воспринимать лишь длину и ширину, прямая, проведенная нами на плоскости, стала бы столь же непреодолимым препятствием, каким служил бы для нас каменный забор, неограниченно простирающийся в высоту. Но это еще не все. Мы, трехмерные существа, можем дотронуться до любой части внутри плоской фигуры, не прикасаясь к ее границе. Представим себе, что на плоскости внутри некоторой замкнутой кривой находятся несколько двумерных существ. Каково бы было их изумление, если бы они узнали, что некие высшие существа обладают способностью проникать сквозь любое известное им ограждение, даже не прикасаясь к нему! Нечто аналогичное можно представить себе и в нашем мире. Предположим, что существо A, запертое в герметически закрытом бронированном сейфе, внезапно обнаруживает рядом с собой некое существо B, спустившееся из четвертого измерения.

Из приведенных выше соображений ясно, что если бы мы обладали способностью перемещаться в четвертом измерении, то могли бы без труда съесть мякоть плода, оставив в неприкосновенности его кожуру, или полакомиться орехом, не разбив его скорлупы. Нам не понадобились бы окна и двери для доступа света и сообщения с внешним миром: четвертое измерение лишило бы былой эффективности стены, пол и потолок, ограждающие наше жилище от внешнего мира.

Развитие наших органов чувств происходит очень медленно и, согласно теории эволюции, зависит от того, в какой мере мы пользуемся ими. Поэтому мы вправе утверждать, что сейчас подошли неизмеримо ближе к восприятию четвертого измерения, чем при возникновении этого понятия.