А ну-ка, догадайся!

4. ВЕРОЯТНОСТЬ Парадоксы о случайном и ставках

Теория вероятностей играет настолько важную роль в современной науке, что ей непременно будет отводиться все большее место в элементарных курсах математики. Многие (начиная еще с Цицерона) видят в теории вероятностей путеводную нить, которая позволяет постичь хаос повседневной жизни. С утра и до вечера мы живем, подсознательно заключая пари о вероятности исхода того или иного события, крупного или незначительного.

Если квантовую механику считать последним словом в физике, то в основе всех фундаментальных законов природы лежит случай.

В теории вероятностей чаще, чем в большинстве других областей математики, встречаются результаты, противоречащие интуиции, а против решений иных задач восстает здравый смысл.

Представьте себе, например, что вы вызвали лифт. Казалось бы, кабина с равной вероятностью может прийти и снизу, и сверху.

Как ни парадоксально, те, кто так считает, заблуждаются. Вы пришли в незнакомую вам семью, где растут четверо детей. Казалось бы, с наибольшей вероятностью можно ожидать, что у счастливых родителей два мальчика и две девочки. Но те, кто так думает, также заблуждаются.

Приводимые ниже простейшие понятия теории вероятностей помогут вам постичь, почему при одновременном бросании 3 игральных костей шансы на выигрыш ниже шансов на проигрыш и почему различные удивительные совпадения в действительности не так уж удивительны (о последних речь пойдет в следующей главе).

Парадоксы для этой главы я отбирал, следя за тем, чтобы их можно было легко понять и промоделировать с помощью таких доступных «подручных средств», как монеты или игральные карты. Каждый из собранных в главе парадоксов решается путем перебора всех возможных исходов даже в тех случаях, когда задача допускает более простое и изящное решение. Избранный мной более громоздкий подход позволяет глубже и основательнее разобраться в существе задачи.

Хотя в конечном счете все сводится к вероятности только одного типа, обычно принято различать вероятности трех основных типов.

1. Классическая, или априорная, вероятность. Все исходы испытания, или опыта, предполагаются равновероятными. Если испытание имеет n равновероятных исходов и нас интересует вероятность наступления k из них, образующих некоторое подмножество, то эта вероятность равна дроби k/n. Например, если вы бросаете игральную кость, изготовленную «честно», из однородного материала, то любая из шести граней выпадает равновероятно. С какой вероятностью выпадает четное число очков? Из 6 равновероятных исходов бросания игральной кости (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков) четное число выпадает в 3 случаях (когда выпадает 2, 4 и 6 очков). Следовательно, вероятность выпадения при одном бросании четного числа очков равна 3/6 = 1/2

Иначе говоря, при одном бросании шансов за то, что выпадет четное число очков, ровно столько же, сколько за то, что выпадет нечетное число очков. Это честная игра (шансы на выигрыш и проигрыш равны).

2. Частота, или статистическая вероятность. Ее вводят, когда события априори неравновероятны. Лучшее, что можно сделать в таких случаях, — это многократно повторить или пронаблюдать интересующее нас событие и установить частоту различных исходов испытания. Например, если игральная кость каким-то образом утяжелена, но внешне не отличается от однородной, то вы бросаете ее несколько сот раз и по исходам бросаний заключаете, что вероятность выпадения, скажем, 6 очков составляет 7/10 вместо 1/6 для «честной» игральной кости.

3. Индуктивная вероятность. Под индуктивной вероятностью понимают меру правдоподобия, приписываемую ученым какой-нибудь закономерности или теории. Недостаточное знание явлений природы исключает введение классической вероятности, а эксперименты или наблюдения слишком редки и неопределенны для того, чтобы мы могли воспользоваться точными частотными оценками. Приведем пример индуктивной вероятности. Некий ученый, проанализировав все известные данные, пришел к заключению, что черные дыры скорее всего не существуют. Такого рода вероятностные оценки, неточные в силу самой своей природы, непрерывно изменяются по мере появления новых данных, подтверждающих или опровергающих исходную гипотезу.

Два последних парадокса в этой и в следующей главах затрагивают понятие индуктивной вероятности. Если вас заинтересуют парадоксы такого рода, то, прочитав о них побольше, вы погрузитесь в глубокие воды современной теории вероятностей и философии науки.

_{У Джонсов пятеро детей — все девочки.}

_{М-с Джонс. Надеюсь, наш следующий ребенок не будет девочкой.}

_{М-р Джонс. Дорогая, после того как у нас родилось пять девочек, наш следующий ребенок непременно будет мальчиком. Верно ли это?}

_{Многие игроки думают, будто в рулетку можно выиграть, если, дождавшись длинной серии выпадений на красное, поставить на черное. Эффективна ли такая система?}

_{Эдгар Аллан По считал, что если два очка выпадают два раза подряд, то при следующем бросании кости вероятность того, что выпадет два очка, меньше 1/6. Верно ли это?}

_{Ответив утвердительно на любой из трех приведенных выше вопросов, вы попадете в ловушку, известную под названием «ошибка игрока». В каждом из трех случаев следующее событие полностью независимо от всех предыдущих событий.}

_{Вероятность того, что у Джонсов шестой ребенок будет девочкой, такая же, как вероятность того, что первый ребенок у них девочка. Вероятность того, что при игре в рулетку следующее число будет красным, такая же, как вероятность того, что красным было любое из предыдущих чисел. Вероятность выпадения двух очков при очередном бросании игральной кости всегда равна 1/6.}

_{Действительно, представьте себе, что мистер Джонс бросает вполне доброкачественную симметричную монету и она пять раз подряд падает вверх гербом. Шансов за то, что при очередном бросании она выпадет вверх гербом, столько же, сколько и прежде: пятьдесят на пятьдесят. Монета «не помнит», какой стороной она падала вверх в предыдущих бросаниях.}

Если наступление события А каким-то образом влияет на наступление события В, то говорят, что событие В зависит от события А. Например, вероятность того, что, выходя завтра из дому, вы захватите с собой зонт, зависит от того, велика ли вероятность дождя назавтра (точнее, от того, как вы оцениваете эту вероятность). События, о которых обычно говорят, что они «не имеют ни малейшего отношения друг к другу», называются независимыми. Вероятность того, что, выходя завтра из дому, вы захватите с собой зонт, никак не зависит от вероятности того, что президенту США на завтрак подадут яйца всмятку.

Большинство людей с трудом верят, что «родственные узы», незримо связывающие, по их мнению, однотипные события, никак не сказываются на вероятности отдельного независимого события. Например, во время первой мировой войны солдаты на фронте во время артиллерийского обстрела предпочитали искать укрытие в свежих воронках от снарядов. Прятаться в старых воронках они считали рискованным, так как в них при очередном обстреле скорее может угодить новый снаряд. В свежей воронке солдаты какое-то время чувствовали себя в безопасности, так как считали совершенно невероятным, чтобы два снаряда попали подряд в одно и то же место.

Много лет назад рассказывали анекдот об одном человеке, которому приходилось много летать на самолетах. Панически боясь, как бы кто-нибудь из пассажиров не пронес тайком на борт самолета бомбу, этот человек имел обыкновение возить с собой в портфеле свою «собственную» бомбу, правда незаряженную. Вероятность того, что кто-то из пассажиров пронесет на борт одну бомбу, этот человек считал малой, а вероятность того, что на борту самолета одновременно находятся две бомбы, — ничтожно малой по сравнению с первой. Разумеется, вольно ему было возить с собой «собственную» бомбу: вероятность того, что кто-то другой пронесет бомбу на борт самолета, от этого ничуть не менялась, подобно тому как не меняется исход бросания одной монеты от того, что бросают другую монету.

При игре в рулетку наибольшей популярностью пользуется «система», известная под названием «система Д'Аламбера». В основе ее лежит все та же «ошибка игрока»: те, кто придерживается ее, совершенно упускают из виду, что независимые события независимы. Следуя системе Д'Аламбера, игрок делает ставку на красное или черное (или заключает пари с равными шансами на выигрыш и проигрыш), увеличивая ставку после каждого проигрыша и уменьшая после каждого выигрыша. Сторонники системы Д'Аламбера явно полагают, будто маленький шарик, брошенный на вращающееся колесо рулетки, каким-то образом «помнит», что помог им выиграть, и при следующем бросании менее охотно соглашается помочь им, уменьшая шансы на выигрыш. Если шарик приводит их к проигрышу, то из «сочувствия» при следующем бросании он охотнее идет на помощь проигравшему, повышая шансы на выигрыш.

То, что колесо рулетки каждый раз крутится независимо от всей предыстории, служит весьма простым доказательством невозможности разработать такую систему игры в рулетку, которая обеспечивала бы игроку преимущество перед игорным домом.

Слово «шансы» имеет два значения. Шансы на то, что брошенная не фальшивая монета упадет вверх «орлом» (или «решкой»), равные, или 1 к 1 (50 на 50 и т. д.). Стремясь извлечь прибыль, букмекер может принимать ставки на «орла» из расчета 4 к 5 (если вы поставите на «орла» 5 долларов и «орел» выпадает, то букмекер выплатит вам 4 доллара).

««Орел» идет 4 к 5», — заявляет букмекер, занижая истинные шансы на выигрыш. В своем «Полном руководстве по азартным играм» Джон Скарн характеризует подобную ситуацию следующим образом:

В постскриптуме к детективному рассказу «Тайна Мари Роже» Эдгар Аллан По сетует на почти полную невозможность убедить обычного читателя в том, что «при игре в кости двукратное выпадение шестерки делает почти невероятным выпадение ее в третий раз и дает все основания поставить против этого любую сумму». Игральная кость, так же как и монета, колесо рулетки и другие «рандомизирующие» устройства, порождает серию независимых событий: на исход очередного бросания никак не влияет вся предыдущая серия бросаний.

Если вы склонны поверить в какую-нибудь из разновидностей ошибки игрока, испытайте ее «в деле»: сыграйте по системе, основанной на приглянувшемся вам варианте ошибки. Например, начните бросать монету, делая ставку 1 к 1 после того, как она выпадает 3 раза подряд вверх одной и той же стороной. Ставьте всегда на противоположную сторону. Иначе говоря, после серии из трех «орлов» ставьте на «решку», а после серии из трех «решек» ставьте на «орла». Сделав 50 ставок, вы обнаружите, что примерно в половине случаев проиграли (мы не утверждаем, что число проигрышей будет в точности равно 25, но оно заведомо будет близко к 25): вероятности выпадения «орла» и «решки», конечно же, равны.

_{При подсчете вероятностей легко допустить ошибку. Перед вами супружеская чета — кот и кошка.}

_{Правильно ли рассуждал м-р Кэт? Проверим его теорию. Пусть М означает «мальчик», а Д — «девочка». Выпишем все 16 возможных комбинаций.}

_{Только в 2 из 16 случаев все четверо котят одного пола. Вероятность рождения 4 мальчиков или 4 девочек составляет поэтому 2/16 или 1/8. М-р Кэт был прав, считая такое событие маловероятным.}

_{А какова вероятность рождения двух мальчиков и двух девочек?}

_{М-р Кэт считал такую комбинацию наиболее вероятной. Два мальчика и две девочки рождаются в 6 случаях из 16. Вероятность такой комбинации равна 6/16 или 3/8, что больше, чем 1/8. Возможно, м-р Кэт прав.}

_{Для того чтобы окончательно выяснить, прав ли м-р Кэт, нам осталось вычислить вероятность рождения трех мальчиков и одной девочки или трех девочек и одного мальчика. Они рождаются в 8 случаях из 16, поэтому комбинация 3: 1 встречается с вероятностью 8/16, или 1/2, то есть более вероятна, чем комбинация 2:2. Не ошиблись ли мы?}

_{Если мы правильно вычислили все вероятности, то они в сумме должны составлять 1. Их сумма действительно равна 1. Следовательно, мы учли все возможные пропорции полов в группе из 4 котят.}

_{М-р Кэт ошибался. С наибольшей вероятностью можно утверждать, что у него родились либо 3 сына и 1 дочь, либо 3 дочери и 1 сын.}

Большинству людей кажется удивительным, что в семье с четырьмя детьми более вероятно встретить трех мальчиков и одну девочку или трех девочек и одного мальчика, чем двух мальчиков и двух девочек.

Тем не менее это действительно так, в чем нетрудно убедиться, рассматривая достаточно длинную серию бросаний 4 монет. Если вы запишете исход каждого бросания, то через 100 бросаний убедитесь, что примерно в 50 случаях 3 монеты выпадали одной стороной, а 1—другой и только в 33 случаях 2 монеты выпадали одной стороной и 2 монеты — другой стороной.

Возможно, вы захотите узнать вероятности различных пропорций между числом мальчиков и девочек в семьях с 5 и 6 детьми. Эти вероятности также можно вычислить, составляя подробные перечни всех возможных комбинаций, но такой подход слишком громоздкий. Более изящные и короткие способы вычисления интересующих вас вероятностей вы найдете в различных книгах по теории вероятностей.

Столь же расходится с интуицией и ответ аналогичной задачи о наиболее вероятном распределении 4 мастей во взятке при игре в бридж. С наименьшей вероятностью все 13 карт во взятке могут оказаться одной масти. (Шансы против того, что вам при раздаче достанутся 13 карт одной масти, составляют 158 753 389 899 к 1.) Но какое распределение мастей наиболее вероятно?

Даже искушенные игроки в бридж нередко отвечают, будто наиболее вероятно распределение 4, 3, 3, 3, но это не верно: наиболее вероятно распределение 4, 4, 3, 2. Взятка с таким распределением мастей встречается примерно с частотой 1:5, в то время как распределение 4, 3, 3, 3 встречается с частотой 1 к 9 или 10. Даже распределение 5, 3, 3, 2 встречается чаще — с частотой примерно 1:6.

Время от времени приходится слышать или даже читать о том, будто кому-то из любителей бриджа при раздаче досталось 13 карт одной масти. Шансы против такого события астрономически велики. Такого рода истории — либо розыгрыш, либо кто-то из игравших, желая подшутить над партнером, тайком подтасовал карты, либо раздающий, распечатав новую колоду карт, случайно дважды идеально перетасовал ее внахлест. При идеальном тасовании внахлест колоду делят точно пополам и, держа одну половину в правой, а другую в левой руке, сбрасывают поочередно по одной карте из каждой руки на стол так, чтобы они ложились внахлест. В только что распечатанных колодах карты подобраны по мастям. После двух идеальных тасований внахлест, сняв колоду любым образом, раздающий получит возможность раздать 4 взятки, в каждой из которых все карты будут одной масти.

_{Во многих азартных играх нельзя полагаться на интуицию, ибо последствия могут быть самыми неприятными. Вот, например, один нехитрый жульнический трюк с 3 картами и шляпой.}

_{Взглянув в зеркало, вы легко поймете, как сделаны эти карты: одна карта с двух сторон выглядит как туз пик, другая с одной стороны выглядит как туз пик, а с другой — как туз бубен, и третья с двух сторон выглядит как туз бубен.}

_{«Банкомет» кладет все три карты в шляпу, перемешивает их и предлагает вам вытянуть любую карту и положить на стол. Затем он заключает с вами пари (и вы, и он ставите поровну), что снизу эта карта выглядит так же, как сверху. Предположим, что сверху извлеченная вами карта выглядит как пик бубен.}

_{Желая создать у вас впечатление, будто игра ведется честно, банкомет обращает ваше внимание на то, что ваша карта заведомо не может выглядеть с двух сторон как туз пик. Следовательно, вы вытащили из шляпы либо туза пик — туза бубен, либо туза бубен — туза бубен. У одной из этих карт на обороте изображен туз бубей, у другой — туз пик. И у вас, и у банкомета шансы на выигрыш (по словам банкомета) равны.}

_{Но если игра честная, то почему ваши денежки так быстро перешли к банкомету? Да потому, что его рассуждения — сплошное надувательство. В действительности его шансы на выигрыш не 1:1, а 2:1!}

_{Подвох в рассуждениях банкомета в том, что в действительности шествуют не две, а три равновероятные возможности. Извлеченная вами из шляпы карта могла быть тузом пик — тузом бубен, тузом бубен — тузом бубен (вверя стороной А) и тузом бубен — тузом бубен (вверх стороной В).}

_{Низ совпадает с верхом в 2 случаях из 3. Следовательно, в длинной серии игр банкомет выигрывает 2 игры из каждых трех игр.}

Эту карточную игру для демонстрационных целей придумал математик Уоррен Уивер, один из создателей теории информации. Он рассказал о ней в своей статье «Теория вероятностей», опубликованной в октябрьском номере журнала Scientific American за 1950 г.

Один из способов правильного подсчета шансов на выигрыш в игре Уоррена Уивера приведен выше.

А вот еще один. Масти на противоположных сторонах двух карт совпадают. Взяв наугад карту из шляпы, вы с вероятностью 2/3, то есть в 2 случаях из 3, выберете одну из этих карт (либо туза бубен — туза бубен, либо туза пик — туза пик). Следовательно, с вероятностью 2/3 картинка на нижней стороне карты совпадает с картинкой на ее верхней стороне.

Карточная игра Уоррена Уивера представляет собой вариант так называемого парадокса Бертрана с коробками. Французский математик Жозеф Бертран привел его в своей книге по теории вероятностей в 1889 г. Представим себе 3 коробки. В одной из них находятся 2 золотые монеты, в другой —2 серебряные монеты и в третьей — 1 золотая и 1 серебряная монеты. Выберем наугад 1 коробку. Ясно, что в ней с вероятностью 2/3 окажутся две одинаковые (либо золотые, либо серебряные) монеты.

Предположим, однако, что мы извлекли из выбранной нами коробки одну монету и та оказалась золотой. Это означает, что в выбранной нами коробке обе монеты не могут быть серебряными. Следовательно, в нашей коробке находятся либо 2 золотые монеты, либо 1 золотая и 1 серебряная монеты. Так как оба случая равновероятны, кажется, будто вероятность выбрать коробку с двумя одинаковыми монетами упала до 1/2. (Разумеется, все наши рассуждения остаются в силе и в том случае, если извлеченная из коробки монета оказалась серебряной.)

Могло ли на вероятности обнаружить в коробке две одинаковые монеты каким-то образом сказаться то, что мы вынули одну из монет и посмотрели, золотая она или серебряная? Ясно, что не могло.

А вот еще один парадокс, тесно связанный с парадоксом Бертрана. Предположим, что вы бросаете 3 монеты. С какой вероятностью выпадут 3 «орла» или 3 «решки»? Для того чтобы 3 монеты легли вверх «орлами» или «решками», по крайней мере 2 из них должны выпасть вверх «орлами» или «решками». Бросив третью монету, вы либо получите третий «орел» или третью «решку», либо 1 монета ляжет не так, как 2 остальные. Шансов на то, что третья монета выпадает вверх любой стороной, 50 на 50. Следовательно, имеется 50 шансов на 50 за то, что третья монета выпадает вверх той же стороной, как и 2 остальные. Следовательно, с вероятностью 1/2 вы получите 3 «орла» или 3 «решки».

В том, что приведенное выше рассуждение неверно, мы легко убедимся, выписав все возможные исходы бросания 3 монет (О — «орел», Р — решка»):

Как вы видите, 3 «орла» или 3 «решки» выпадают только в 2 случаях из 8. Следовательно, правильно подсчитанная вероятность этого события равна 2/8 = 1/4.

Рассмотрим еще один парадокс, также связанный с тем, что при подсчете вероятности принимаются во внимание не все возможные исходы. У мальчика 1 шарик, у девочки 2 шарика. Они катают шарики по направлению к вбитому в землю колышку. Выигрывает тот, чей шарик окажется ближе к колышку.

Предполагается, что мальчик и девочка одинаково искусны в игре, а расстояния измеряются достаточно точно, и ничьих быть не может. С какой вероятностью выиграет девочка?

Рассуждение 1. Девочка катает 2 шарика, мальчик — только 1 шарик. Следовательно, вероятность выиграть у девочки в 2 раза больше, чем у мальчика, то есть равна 2/3.

Рассуждение 2. Пусть А и В — шарики девочки, С — шарик мальчика. Могут представиться 4 случая.

1) И А, и В ближе к колышку, чем С.

2) Только А ближе к колышку, чем С.

3) Только В ближе к колышку, чем С.

4) С ближе к колышку, чем А и В.

В 3 случаях из 4 девочка выигрывает. Следовательно, вероятность того, что она выиграет, равна 3/4.

Какое из рассуждений правильно? Для того чтобы докопаться до истины, составим исчерпывающий перечень возможных исходов бросаний 3 шариков. В него войдут не 4, а 6 возможных случаев.

Если считать, что на первом месте стоит ближайший к колышку шарик, то равновероятны следующие расположения шариков:

В 4 случаях из 6 девочка выигрывает. Это подтверждает вывод, полученный с помощью первого рассуждения: девочка выигрывает с вероятностью 2/3.

_{Тем, кому приходится часто пользоваться лифтом, вероятно, доводилось не раз обращать внимание на один странный теоретико-вероятностный парадокс. Предположим, что лифты в этом здании ходят независимо и среднее время ожидания на каждом этаже одинаково.}

_{Мистер Верх работает в конторе на одном из верхних этажей. Он очень удивлен.}

_{Мисс Низ работает в конторе на одном из нижних этажей. Каждый день она в обеденный перерыв поднимается в ресторан, расположенный на верхнем этаже здания.}

_{Мисс Низ также очень удивлена.}

_{Загадка с лифтами решается просто. По вызову мистера Верха сверху могут прийти только лифты, находящиеся в зачерненном участке шахты. Длина этого участка мала по сравнению с длиной остальной, более светлой части шахты. Следовательно, вызванный им лифт с большей вероятностью придет снизу. Так же решается и загадка, мучившая мисс Низ.}

Парадокс с лифтом впервые появился в книге математических задач на смекалку, выпущенной физиком Джорджем Гамовым и его другом Марвином Стерном. Объясняя парадокс с одним лифтом, Гамов и Стерн допустили небольшую ошибку. Они утверждали, что вероятности, «разумеется, останутся такими же», если лифтов будет два или больше.

Первым, кто понял, что это не так, был известный специалист по вычислительной математике из Стэнфордского университета Дональд Кнут. В статье «Задача Гамова — Стерна о лифте»[22] Кнут получил несколько неожиданный результат: с увеличением числа лифтов вероятность того, что на любом этаже (кроме первого и последнего) первым придет лифт снизу, стремится к 1/2, и вероятность того, что первым придет лифт сверху, также стремится к 1/2.

В действительности эта ситуация еще более парадоксальна, чем в первоначальном варианте задачи.

Результат Кнута означает, что если вы находитесь на одном из последних этажей и стоите перед дверями одного из лифтов, то с высокой вероятностью именно тот лифт, который вы ждете, придет снизу, рели же вы готовы сесть в любой лифт, который остановится на вашем этаже, то вероятность того, что первым придет лифт снизу, будет иной. При неограниченном увеличении числа лифтов эта вероятность стремится к 1/2. То же верно и относительно лифтов, приходящих по вызову на нижние этажи сверху.

Разумеется, мы предполагаем, что лифты ходят независимо, с постоянной скоростью и что среднее время ожидания одинаково для всех этажей. Если число лифтов невелико, то вероятности изменяются незначительно. Но если число лифтов достигает 20 или более, то вероятности для всех этажей, кроме первого и последнего, мало отличаются от 1/2.

_{У одного парня были две знакомые девушки, и он никак не мог выбрать, с кем из них отправиться на свидание. Одна из девушек жила к востоку от того места, где жил он сам, другая — к западу.}

_{Ежедневно парень в случайное время спускался на станцию метро и садился в первый попавшийся поезд.}

_{Поезда в восточном и западном направлениях шли с интервалом в 10 мин.}

_{Девушка, жившая к востоку от того места, где обитал наш сердцеед, сказала ему как-то раз на прощание.}

_{На следующий вечер девушка, жившая к западу от дома нашего героя, сердито упрекнула его.}

_{Необъяснимое на первый взгляд предпочтение парня к поездам восточного направления напоминает парадокс с лифтами. Хотя поезда восточного и западного направлений идут с интервалами в 10 мин, расписание составлено так, что поезд западного направления прибывает и отправляется на 1 мин позже, чем ближайший поезд восточного направления.}

_{Чтобы попасть на поезд, идущий на запад, парень должен ел на станции в течение одного из минутных интервалов, отмеченных на циферблате темными полосами.}

_{Чтобы попасть на поезд, идущий на восток, он должен прибыть на станцию в течение любого из девятиминутных интервалов, заключенных между темными полосами.}

_{Вероятность поехать на запад составляет 1/10, вероятность отправиться на восток составляет 9/10.}

В этом парадоксе время ожидания между поездами задано расписанием. В последовательности случайных событий «среднее время ожидания» между событиями мы получим, просуммировав времена ожидания и разделив полученную сумму на n. Например, среднее время ожидания для поезда, идущего на восток, в нашем рассказе составляет 4^1/2 мин, а среднее время ожидания для поезда, идущего на запад, — всего 1/2 мин.

С временами ожидания связаны и многие другие парадоксы. Возможно, вам понравится следующий.

Если вы бросаете монету, то среднее время ожидания «орла» (или «решки») равно 2 бросаниям. Это означает, что, взяв перечень исходов длинной серии бросаний монеты и подсчитав времена ожидания, отделяющие выпадение одного «орла» от выпадения следующего «орла», вы получите среднее «расстояние» между «орлами», равное 2 бросаниям (если серия начинается не с «орла», то длина серии «решек» до выпадения первого «орла» в расчет не принимается).

Предположим, что на длинном листе бумаги сверху вниз выписаны исходы длинной серии бросаний монеты. Выберите наугад зазор между двумя последовательными бросаниями (например, зажмурьте глаза и проведите по листу горизонтальную черту). Найдите ближайший к проведенной черте «орел» сверху и снизу и подсчитайте число испытаний, отделяющих один «орел» от другого. Повторите эту операцию многократно. Чему будет равно среднее расстояние между «орлами»?

Интуитивно кажется, что «орлы» должны быть в среднем разделены двумя бросаниями. В действительности в среднем их разделяют три бросания.

Причина та же, по которой любвеобильный парень обычно садился в поезд, идущий на восток. Одни серии испытаний между последовательными «орлами» короткие, другие — длинные. Случайно проведенная линия аналогична случайному выбору момента прибытия парня на станцию. Попасть в более длинную серию вероятнее, чем в более короткую.

Приведем теперь простое доказательство того, что три испытания — действительно правильный ответ на вопрос задачи. Монеты «не помнят» исходов предыдущих бросаний, поэтому, где бы вы ни провели черту, среднее время ожидания до выпадения следующего «орла» должно быть равно 2 бросаниям. То же соображение применимо и к среднему времени ожидания, если мы «обратим» всю серию испытаний и будем считать времена ожидания не вперед, а назад. Следовательно, «средняя длина свободного пробега» между «орлами» равна 2х2, то есть 4, если мы будем считать и те бросания, при которых выпали сами «орлы». А так как мы условились понимать под временем ожидания длину серии испытаний, включающую выпадение следующего «орла», но не включающую выпадение предыдущего «орла», то средняя длина свободного пробега равна 4–1 = 3 бросаниям.

Еще более поразительна аналогичная задача с колесом рулетки. В колесе имеются 38 гнезд с номерами, среди которых есть 0 и 00. Следовательно, среднее время ожидания для любого числа, например для 7, равно 38 запускам колеса. Но если вы возьмете запись длинной серии номеров, выпавших при игре в рулетку, и, проводя наугад черту, начнете подсчитывать среднюю «длину свободного пробега» между двумя последовательными семерками, то она окажется равной не 38, а (2 х 38) — 1 = 75.

_{Поиграв немного, мистер Марк решил, что его шансы на выигрыш не превышают 1: 3.}

_{Мистер Марк легко попался на удочку. Он не понял, что от переворачивания пустой скорлупки его шансы на выигрыш не изменяются.}

_{Почему?}

После того как мистер Марк выбрал скорлупку, по крайней мере одна из двух остальных скорлупок должна быть пустой. Поскольку зазывала знает, под какой скорлупкой лежит горошина, он всегда может перевернуть пустую скорлупку. Следовательно, из того, что перевернута пустая скорлупка, мистер Марк не извлекает для себя никакой полезной информации, которая позволила бы пересмотреть оценку вероятности «попадания в цель» (того, что горошина находится под выбранной им скорлупкой).

В том, что это действительно так, вы легко убедитесь, взяв туза пик и два туза красных (бубновой и червовой) мастей. Перетасовав карты, разложите их в ряд на столе вверх рубашкой. Попросите кого-нибудь выбрать одну из карт. Какова вероятность, что выбранная карта будет тузом пик? Ясно, что эта вероятность равна 1/3.

Предположим теперь, что вы заглянули в две карты, на которые не пал выбор вашего ассистента, и перевернули один из красных тузов вверх картинкой. Вы можете рассуждать следующим образом (именно так и рассуждал зазывала). Вверх рубашкой лежат только две карты. Туз пик с равной вероятностью может быть любой из них. Следовательно, вероятность того, что выбран именно туз пик, возросла до 1/2. В действительности же эта вероятность и после того, как вы перевернули красный туз вверх картинкой, осталась равной 1/3. Дело в том, что, заглянув в две оставшиеся невыбранными карты, вы всегда можете повернуть вверх картинкой именно красный туз; это ваше действие не несет никакой информации, которая могла бы повлиять на оценку вероятности угадывания туза пик.

Вы можете удивить своих друзей, показав им следующую разновидность игры в «три скорлупки».

Вместо того чтобы самому заглядывать в две оставшиеся невыбранными карты и узнавать, какая из них красный туз, попросите вашего ассистента (того, кто выбрал одну из карт) перевернуть одну из двух остальных карт вверх картинкой. Если перевернутая карта окажется тузом пик, то расклад объявляется недействительным и игра повторяется до тех пор, пока перевернутая карта не окажется одним из красных тузов. Увеличивает ли подобная процедура вероятность угадать туз пик?

Как ни странно, эта процедура увеличивает вероятность угадать туз пик до 1/2. В этом мы можем убедиться, рассмотрев простой случай. Перенумеруем карты слева направо числами 1, 2 и 3. Предположим, что ваш ассистент выбрал карту 2 и перевернул вверх картинкой карту 3, которая оказалась красным тузом.

Карты при этом могут быть разложены следующими 6 способами:

Если бы третья (перевернутая) карта оказалась тузом пик, то расклад был бы объявлен недействительным. Следовательно, комбинации 4 и 6 можно исключить из рассмотрения. В четырех остальных случаях (1, 2, 3 и 5) карта 2, выбранная ассистентом, дважды оказывается тузом пик. Следовательно, вероятность того, что карта 2 — туз пик, равна 2/4 = 1/2.

К аналогичному результату мы пришли бы независимо от того, какую карту выберет ассистент и какая из двух остальных карт, если ее перевернуть, окажется красным тузом. Вот если бы мистеру Марку разрешалось выбрать одну из оставшихся скорлупок и она при переворачивании оказалась бы пустой, то тогда его шансы на выигрыш действительно увеличились бы с 1/3 до 1/2.

_{Если вам случится побывать на американской ярмарке, держитесь подальше от павильона, где всем желающим предлагают сыграть в «Чак-э-лак». Многие люди поддаются на уговоры зазывал, считая эту игру беспроигрышной.}

_{Играют в «Чак-э-лак» следующим образом. В специальной клетке из проволоки находятся 3 игральные кости. Их встряхивают, переворачивая клетку. Игрок ставит на любое число от 1 до 6. Если названное число выпадет на одной кости, банкомет возвращает игроку ставку. Если названное число выпадет на двух или трех костях, игроку соответственно возвращают удвоенную или утроенную ставку.}

_{Игроки часто рассуждают так.}

_{Если все посетители игорных домов думают так же, как и мистер Марк, то не приходится удивляться, что владельцы игорных домов становятся миллионерами!}

_{Почему при игре «Чак-э-лак» игорный дом имеет значительно большие шансы на выигрыш, чем мистер Марк?}

В «Чак-э-лак» играют во многих игорных домах в США и других странах. В Англии эта игра стала называться «Птичья клетка». Иногда в нее играют тремя костями, на гранях которых вместо точек по числу очков изображены туз бубен, туз треф, туз пик, туз червей, корона и якорь, в этом случае игру называют «Корона и якорь».

На ярмарках зазывалы обычно выкрикивают: «За один раз три выигрыша и три проигрыша!» У посетителей создается впечатление, что игра «Чак-э-лак» честная: ни одна из сторон не имеет преимущества перед другой стороной. Игра действительно была бы честной, если бы на костях всегда выпадало различное число очков. После каждого поворота клетки банкомет забирал бы 3 доллара у трех проигравших и выплачивал бы 3 даллара трем выигравшим (если на каждое число очков игроки ставят по 1 доллару).

К счастью для банкомета, одно и то же число очков часто выпадает на двух или трех костях. Если одно и то же число очков выпадает на двух костях, то банкомет забирает у проигравших 4 доллара и выплачивает выигравшим 3 доллара, извлекая прибыль в 1 доллар. Если одно и то же число очков выпадает на трех костях, то банкомет забирает у проигравших 5 долларов и выплачивает выигравшему 3 доллара, извлекая прибыль в 2 доллара. Итак, числа, выпадающие одновременно на двух и трех игральных костях, составляют истинную основу благосостояния игорного дома.

Вычислить прибыль, которую приносит игорному дому игра «Чак-э-лак», по формулам — дело довольно хитрое. Проще всего составить полный список всех 216 возможных исходов бросания 3 игральных костей и убедиться, что в 120 случаях на трех костях выпадает 134 различное число очков, в 90 случаях одно и то же число выпадает на двух костях и в 6 случаях — на трех костях. Предположим, что игорный дом провел серию из 216 партий в «Чак-э-лак», причем во всех 216 случаях исходы бросания трех костей были различными. В каждой партии 6 людей поставили по 1 доллару на каждое из 6 чисел. Следовательно, банкомет собрал ставок на общую сумму 210х6 = 1296 долларов. В тех случаях, когда на всех трех костях выпало различное число очков, он выплатил 120х6 = 720 долларов. В тех случаях, когда на двух костях выпало по одинаковому числу очков, банкомет выплатил 90х2 = 180 долларов тем, кто угадал число очков на третьей кости (неповторяющееся), и 90х3 = 270 долларов тем, кто угадал число очков, выпавшее на двух костях. Наконец, в тех случаях, когда одно и то же число очков выпало на трех костях, банкомет выплатил 6х4 = 24 доллара. Таким образом, всего банкомет выплатил 1194 доллара.

Прибыль игорного дома составила 102 доллара, или 102/1296 = 1,078…, то есть более 7,8 %. Это означает, что в длинной серии игр в среднем игрок теряет около 7,8 цента на каждый поставленный им доллар.

А каковы шансы на выигрыш при одном бросании?

Если кости выкрашены в различные цвета, например одна в красный, другая в зеленый, а третья в синий цвета, то 1 очко на красной кости при любом числе очков на двух остальных костях может выпасть 36 различными способами. В 30 случаях число очков на красной кости отлично от 1, на зеленой кости равно 1, на синей кости — любое. Наконец, в 25 случаях число очков на красной и на зеленой костях отлично от 1, а на синей равно 1. Следовательно, в 91 случае из 216 по крайней мере на одной кости выпадает 1 очко. Следовательно, вероятность выиграть, поставив на 1 очко, составляет 91/216, то есть значительно меньше 1/2. То же самое справедливо и относительно любого другого числа очков.

_{У одной дамы было два попугая. Однажды гость спросил ее:}

_{Какова вероятность того, что оба попугая самцы? Эта вероятность равна 1/3.}

_{Предположим, что гость спросил даму, указывая на клетку с темным попугаем:}

_{На этот раз вероятность того, что оба попугая самцы повышается до 1/2. Странно! Почему вопрос, заданный о птице с темным оперением, так сильно сказывается на вероятности?}

_{Парадокс легко решается, если выписать все возможные случаи.}

_{Если гость знает, что один из попугаев самец, то возможны три случая. Только в одном из них оба попугая самцы Следовательно, вероятность того, что оба попугая самцы, составляет 1/3. (Мы предполагаем, что в каждой клетке с равной вероятностью может оказаться как самец, так и самка.)}

_{Но если гость знает, что темный попугай самец, то возможны лишь 2 случая. Только в одном из них оба попугая самцы. Следовательно, вероятность того, что оба попугая самцы, составляет 1/2.}

Задачу с попугаями можно промоделировать, попросив кого-нибудь бросить 2 монеты различного достоинства и высказать некоторые утверждения относительно исходов бросаний. Бросающий может избрать одну из нескольких процедур.

1. Если выпадут два «орла», заявить: „По крайней мере одна монета выпала вверх «орлом»". Если выпадут две «решки», заявить: „По крайней мере одна монета выпала вверх «решкой»". Если одна монета выпадет вверх «орлом», а другая — вверх «решкой», заявите «По крайней мере одна монета выпала вверх…» и дальше по своему усмотрению сказать либо «орлом», либо «решкой». Какова вероятность, что обе монеты выпали вверх той стороной, которую назвал бросающий?

Ответ: 1/2.

2. Бросающий монеты заранее предупреждает, что заявит: „По крайней мере одна монета выпала вверх «орлом»" только при условии, если это действительно так. Если ни одна монета не выпадет вверх «орлом», он промолчит и бросит монеты еще раз. Какова вероятность, что обе монеты выпали вверх «орлом»?

Ответ: 1/3. (На этот раз исход, когда обе монеты выпадают вверх «решками», исключается из рассмотрения, так как при таком исходе бросающий промолчит.)

3. Бросающий монеты заранее предупреждает, что объявит о том, какой стороной вверх выпадет монета меньшего достоинства, независимо от того, будет ли это «орел» или «решка». Какова вероятность того,» что обе монеты выпадут вверх одной и той же стороной?

Ответ: 1/2.

4. Бросающий монеты заранее предупреждает, что заявит: „По крайней мере одна монета выпала вверх «орлом»" только в том случае, если вверх «орлом» выпадет монета меньшего достоинства. Какова вероятность того, что обе монеты выпали вверх «орлами»?

Ответ: 1/2.

Иногда парадокс с попугаями излагают в форме, не позволяющей решить его однозначно. Представьте себе, вы встретили незнакомца, заявившего: «У меня двое детей. По крайней мере один мальчик», Какова вероятность, что у незнакомца два сына?

Эта задача поставлена неточно: вы остаетесь в неведении относительно обстоятельств, побудивших незнакомца сделать заявление. С такой же вероятностью он мог бы, например, сообщить вам: «По крайней мере одна девочка», выбрав наугад девочку или мальчика, если у него сын и дочь, или назвав пол одного из детей, если у него два сына или две дочери. При этих условиях вероятность того, что у незнакомца два сына, равна 1/2. Подобная ситуация соответствует первой из четырех перечисленных нами процедур.

В парадоксе с попугаями неоднозначность устраняется тем, что гость задает вопрос. Первый вопрос («По крайней мере один из попугаев самец?») соответствует второй из четырех приведенных выше процедур. Второй вопрос («Темный попугай самец?») соответствует четвертой процедуре.

С парадоксом о двух попугаях тесно связан еще более удивительный парадокс, известный под названием «парадокс второго туза». Предположим, что вы играете в бридж. Взглянув после раздачи в свои карты, вы заявляете: «У меня туз». Какова вероятность, что у вас есть второй туз?

Ответ: 5359/14498, что меньше 1/2.

Предположим теперь, что всех партнеров интересует какой-то определенный туз, например, туз пик. Игра продолжается до тех пор, пока после очередной раздачи карт вы не заявите: «Туз пик у меня». Какова вероятность того, что у вас есть второй туз?

Ответ: 11636/20825, что чуть больше 1/2! Почему выбор определенного туза так изменяет шансы?

Вычисление вероятностей для всей колоды громоздко и утомительно, но суть парадокса легко понять, если воспользоваться «мини-колодой» из четырех карт, например из туза пик, туза червей, двойки треф и валета бубен. (Упрощение задачи за счет уменьшения числа элементов рассматриваемого множества нередко позволяет легко разобраться в структуре проблемы.) Колоду из четырех карт перетасуем и раздадим двум игрокам.

Существует всего 6 равновероятных вариантов взяток (по 2 карты в каждой) — см. рисунок на стр. 139.

В 5 из 6 случаев игрок может заявить: «У меня туз», но второй туз у него будет лишь в одном случае из 5. Следовательно, вероятность того, что у игрока имеется второй туз, равна 1/5.

В трех случаях игрок может заявить: «У меня туз пик». Лишь в одном из этих трех случаев у него имеется второй туз. Следовательно, вероятность того, что у игрока есть второй туз, равна 1/3. Заметим, что партнеры должны заранее условиться, какой масти туз их интересует, а также о том, кто будет объявлять, если ему попадется избранный туз. Без этих оговорок задача может стать неопределенной.

_{Профессор Смит однажды обедал вместе с двумя студентами-математиками.}

_{Может ли одна и та же игра «быть выгоднее» для каждого из двух партнеров? Ясно, что не может. Не возникает ли парадокс из-за того, что каждый игрок ошибочно полагает, будто его шансы на выигрыш и проигрыш равны?}

Этот забавный парадокс заимствован из книги французского математика Мориса Крайчика «Математические развлечения». У Крайчика речь идет не о кошельках, а о галстуках:

Игра, о которой поведал читателям Крайчик, честная, если мы с помощью некоторых дополнительных предположений четко и однозначно сформулируем правила игры. Так, если мы располагаем сведениями о том, что один из игроков имеет при себе меньшую сумму денег, чем другой, или имеет обыкновение носить дрянные галстуки, то игру нельзя будет считать честной. Но если мы не располагаем подобной информацией, то вполне допустимо предположить, что каждый из игроков имеет при себе некую случайную сумму денег — от нуля до некоторого максимального предела, например до 100 долларов Если, исходя из этого предположения, мы построим, как это сделано в книге Крайчика, матрицу платежей, то увидим, что игра «симметрична» и ни один из игроков не имеет преимущества.

К сожалению, это ничего не говорит нам о том, где именно в рассуждениях двух игроков кроется ошибка. Как мы ни бились, нам так и не удалось найти простое и удовлетворительное решение парадокса Крайчика. Книга Крайчика ничем не может нам помочь, а других работ, посвященных этой игре, насколько известно, не существует.

_{Есть ля жизнь на Титане, самом крупном из спутников Сатурна?}

_{Если на подобные вопросы вы с равной вероятностью отвечаете как утвердительно, так и отрицательно, то это означает, что вы слепо следуете «принципу безразличия». Необдуманное применение этого принципа не раз заводило многих математиков, физиков и даже великих философов в тенета абсурда.}

«Принцип недостаточного основания», который экономист Джон Мейнард Кейнс в своем «Трактате по теории вероятностей» переименовал в «принцип безразличия», можно сформулировать следующим образом: если у нас нет веских причин считать нечто истинным или ложным, то это «нечто» мы с равной вероятностью можем считать как истинным, так и ложным.

Принцип безразличия имеет долгую и славную историю. Его применяли в столь разных областях человеческого знания, как естествознание, этика, статистика, экономика, философия, психология. При неправильном применении этот принцип приводит к парадоксам и прямым логическим противоречиям. Французский астроном и математик Лаплас однажды, воспользовшись принципом безразличия, вычислил вероятность того, что завтра утром взойдет солнце, и получил 1826214:1!

Посмотрим, какие противоречия возникают, если воспользоваться принципом безразличия при ответах на вопросы о жизни на Титане. Какова вероятность того, что на Титане есть жизнь? Применив принцип безразличия, мы получим, что эта вероятность равна 1/2. Какова вероятность того, что на Титане нет простейших растений? И на этот вопрос принцип безразличия дает ответ: 1/2. Какова вероятность того, что на Титане нет простейших животных? Ответ снова гласит: 1/2. А какова вероятность того, что на Титане нет ни простейших растений, ни простейших животных? По законам теории вероятностей мы должны умножить 1/2 на 1/2 и получить 1/4. Следовательно, вероятность того, что на Титане есть какая-то жизнь, повысилась до 3/4 вопреки прежней оценке, равной 1/2.

В приведенном выше примере к абсурдным результатам принцип безразличия приводит в сочетании с некоторым дополнительным допущением. Мы молчаливо предполагали, что события, заведомо не являющиеся независимыми, независимы. В свете теории эволюции вероятность существования разума на Титане зависит от существования на нем низших форм жизни.

Приведем еще один поучительный пример неосторожного применения принципа безразличия — парадокс со спрятанным кубом. Предположим, что вам сообщили: «В кладовке спрятан куб с длиной ребра от 2 до 4 см». Поскольку у вас нет оснований предполагать, что длина ребра куба меньше или больше 3 см, вам лучше всего принять ее равной 3 см. А каков объем спрятанного куба? Он должен быть заключен в пределах от 2³ = 8 до 4³ = 64 см³. Поскольку у вас нет оснований считать, что объем куба меньше или больше 36 см³, вам лучше всего принять его равным 36 см³. Иначе говоря, по вашим лучшим оценкам, ребро куба имеет длину 3 см, а объем куба составляет 36 см³. Странный какой-то куб, вы не находите?

Иначе говоря, применив принцип безразличия к оценке длины ребра спрятанного куба, вы получаете куб с длиной ребра 3 см и с объемом 27 см³. Применив тот же принцип к оценке объема куба, вы получите куб объемом 36 см³ и длиной ребра, равной (36)^1/3 примерно = 3,30 см.

Парадокс с кубом — хорошая модель для демонстрации того, с какими трудностями могут столкнуться физик или статистик, оценивая некую величину по ее максимуму и минимуму и считая, что истинное значение величины, вероятнее всего, лежит посредине между максимумом и минимумом.

Принцип безразличия на вполне законном основании применяется в теории вероятностей, но лишь в тех случаях, когда симметрия ситуации служит объективным основанием для принятия гипотезы о равенстве вероятностей. Например, монета геометрически симметрична: между аверсом и реверсом монеты вы можете провести плоскость симметрии. Монета физически симметрична: ее плотность постоянна по всему объему, иначе говоря, ни лицевая, ни оборотная сторона не имеет перевеса. Силы, действующие на подброшенную монету в воздухе — сила тяжести, давление воздуха и т. д., — симметричны: они не выделяют ни одну из сторон. Следовательно, мы можем с полным основанием считать, что вероятности выпадения «орла» и «решки» равны. Аналогичные соображения симметрии применимы и к шести граням кубической игральной кости, и к 38 ямкам на колесе рулетки.

В каждом из этих случаев обширные эксперименты, проводившиеся в игорных домах и казино, показали правильность и пределы применимости соображений симметрии. В тех случаях, когда симметрия заранее не известна и может даже не существовать, применение принципа безразличия нередко приводит к абсурдным результатам.