Большая Советская Энциклопедия (ХИ)

«Хи-квадрат» распределение

«Хи-квадра'т» распределе'ние с f степенями свободы, распределение вероятностей суммы квадратов

c² = X₁ ² +...+X_f ² ,

независимых случайных величин X₁ ,..., X_f , подчиняющихся нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Функция «Х.-к.» р. выражается интегралом

,

Первые три момента (математическое ожидание дисперсия и третий центральный момент) суммы c² равны соответственно f , 2f , 8f . Сумма двух независимых случайных величин c₁ ² и c₂ ² , с f₁ и f₂ степенями свободы подчиняется «Х.-к.» р. с f₁ + f₂ степенями свободы.

Примерами «Х.-к.» р. могут служить распределения квадратов случайных величин, подчиняющихся Рэлея распределению и Максвелла распределению . В терминах «Х.-к.» р. с чётным числом степеней свободы выражается Пуассона распределение :

.

Если количество слагаемых f суммы c² неограниченно увеличивается, то согласно центральной предельной теореме распределение нормированного отношения сходится к стандартному нормальному распределению:

,

где

.

Следствием этого факта является другое предельное соотношение, удобное для вычисления F_f (x ) при больших значениях f :

В математической статистике «Х.-к.» р. используется для построения интервальных оценок и статистических критериев. Если Y₁ ,..., Y_n — случайные величины, представляющие собой результаты независимых измерений неизвестной постоянной а , причём ошибки измерений Y_i — а независимы, распределены одинаково нормально и

Е (Y_i — a ) = 0, Е (Y_i — а )² = s² ,

то статистическая оценка неизвестной дисперсии s² выражается формулой

,

где

, .

Отношение S² / s² подчиняется «Х.-к.» р. с f = n — 1 степенями свободы. Пусть x₁ и x₂ — положительные числа, являющиеся решениями уравнений F_f (x₁ ) = a/2 и F_f (x₂ ) = 1 — a/2 [a — заданное число из интервала (0, ¹ /₂ )]. В таком случае

Р {х₁ < S² / s² < x₂ ) = Р {S² /x₂ < s² < S² /x₁ } = 1—a.

Интервал (S² /x₁ , S² /x₂ ) называют доверительным интервалом для s² , соответствующим коэффициенту доверия 1 — a. Такой способ построения интервальной оценки для s² часто применяется с целью проверки гипотезы, согласно которой s² = s₀ ² (s₀ ² — заданное число): если s₀ ² принадлежит указанному доверительному интервалу, то делается заключение, что результаты измерений не противоречат гипотезе s² = s₀ ² . Если же

s₀ ² £ S² /x² или s₀ ² ³ S² /x₁ ,

то нужно считать, что s² > s₀ ² или s² < s₀ ² соответственно. Такому критерию отвечает значимости уровень , равный a.

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975.

Л. Н. Большев.