Глава 1. История взаимоотношений игр и математики
Каждый мужчина и каждая женщина пусть проводят свою жизнь, играя в прекраснейшие игры.
Математика — это серьезная или развлекательная наука? Теоретическая или прикладная? Разумеется, на оба эти вопроса можно дать один и тот же ответ: «И то и другое». Но может показаться, что так мы уйдем от реального ответа, поэтому попытаемся раскрыть мысль.
Давно ведутся споры о том, развивается математика сама по себе и решает лишь собственные задачи или ее развитие стимулируют вопросы, поставленные в других областях. Чтобы развеять сомнения, обратимся к истории математики. В Древнем Египте и Вавилонии математика носила исключительно прикладной и практический характер, что подтверждают дошедшие до нас источники. В Древней Греции, где сформировалась суть этой науки — необходимость доказывать правильность полученных результатов, — математика по большей части была теоретической. В ней шла речь об абстрактных понятиях, таких как число или форма, которые, однако, часто находили неожиданное применение в повседневной жизни или в других науках.
Развлекательный характер множества игр не означает, что они не требуют вычислений. Напротив, тот, кто лучше проведет нужные расчеты, и одержит победу.
Можно сказать, что математика развивается благодаря тому, что ученые пытаются решить задачи или ответить на вопросы о нашем мире в самом широком смысле этого слова. Но так как математика является продуктом деятельности человека, все эти вопросы обусловлены культурой, в которой развивается математика, и именно эта культура определяет, какие вопросы представляют в данный момент наибольший интерес.
Математика занимательная и серьезная, чистая и прикладная
Джон фон Нейман, один из главных героев этой книги, в своей лекции «Роль математики в науке и обществе» (The Role of Mathematics in Science and Society) подтвердил, что множество важнейших математических идей появились без каких-либо мыслей об их предполагаемой полезности, но по прошествии времени математические теории, модели и методы стали использоваться при решении задач в самых разных областях человеческих знаний. В то же время многие математические идеи зародились в реальном мире, в котором мы живем, потому что математика, пусть и далекая от реальности, тем не менее в разных формах присутствует в ней.
Фон Нейман никоим образом не принадлежит к тем математикам, которые не ценят прикладное значение этой научной дисциплины (недаром он является одним из создателей теории игр, в значительной степени носящей прикладной характер). Ученый подтверждает, что очень часто ученые добивались успеха, когда не искали что-то полезное целенаправленно и руководствовались лишь соображениями красоты с точки зрения математики. Фактически в финале своей лекции фон Нейман подчеркивает, что прогресс в математике был бы значительно меньше, если бы все исследования велись исключительно с учетом их возможной полезности для человечества. Напротив, своеобразный принцип невмешательства позволил добиться поистине удивительных результатов.
Проводя параллель с полезностью математики, можно упомянуть и ее развлекательный характер. Может ли такая абстрактная наука одновременно быть столь интересной? И снова история математики подсказывает нам ответ. В этой главе вы увидите, как игры и занимательная математика шли бок о бок практически во все времена и множество раз давали начало новым теориям: например теории вероятностей, теории графов и, разумеется, теории игр.
Головоломка, игра и математическая задача весьма схожи: они представляют собой вызов интеллекту. Принимая этот вызов, игрок (или тот, кто решает задачу) должен приложить определенные умственные усилия, чтобы справиться с задачей или обыграть соперника. Подобные усилия кому-то могут показаться обременительными и скучными, но они приносят подлинное удовольствие тем, кому по душе математика, загадки для ума или игры, в которых нужно подумать. Ведь, как говорил Мигель де Гусман, математика — это всегда игра, а также многое-многое другое.
Многие традиционные игры можно проанализировать с точки зрения теории игр.
Аналогично процесс обдумывания ходов в настольных играх очень похож на решение математических задач, так как математика сама по себе может быть занимательной и стимулировать интеллект. Тот факт, что математика имеет большое значение как самостоятельный вид умственной деятельности и используется в самых разнообразных областях, иногда простых, иногда сложных (как, например, некоторые популярные игры), не означает, что она очень трудна или скучна. Конечно, некоторые темы из курса математики заставляют школьников думать, что это и в самом деле так, но бессмысленная зубрежка имеет мало общего с математикой. Любой, кому удалось проникнуть в мир математики, знает, что она крайне занимательна и очень интересна.
Краткий экскурс в историю игр и математики с древнейших времен и до наших дней показывает, что развлечениям для ума находилось место в любую эпоху, начиная от Древнего Египта и заканчивая XXI веком. Хотя часто слово «игра» относится к любой индивидуальной или командной деятельности, далее мы будем различать игры и математические головоломки. В то время как головоломки чаще всего решаются в одиночку, игра подразумевает участие минимум двух человек, каждый из которых прежде всего стремится обыграть соперников. Конечная цель анализа игры — определить стратегию выигрыша, если мы говорим о конечных играх, в которых нет места случайности. В случае с азартными играми целью становится определение стратегии, повышающей шансы на победу.
Игры и математика до XVII века
С древнейших времен история математики полна упоминаний об играх и занимательных задачах. В действительности с момента появления игр (параллельно этому началось развитие математики) и до XVII века серьезную и занимательную математику нельзя отделить друг от друга, так как во многом они тесно переплетались. В 1612 году во Франции была издана первая книга, посвященная исключительно занимательной математике, — Problemes plaisants et delectables qui se font par les nombres («Приятные и восхитительные проблемы, которые создают числа») Клода Гаспара Баше де Мезириака. С этого момента два течения в математике постепенно начали расходиться, хотя в дальнейшем им не раз доводилось пересекаться. К примеру, это произошло, когда Ферма и Паскаль разработали основы теории вероятностей. Великие Ньютон, Эйлер и Гаусс проявляли живой интерес к занимательным задачам; игры также фигурируют в работах Эдуарда Люка о числах. И лишь в середине XX века эти направления окончательно объединила теория игр.
Игры и математика в Античности
Уже в двух великих цивилизациях древности, вавилонской и египетской, где математика носила исключительно практический характер, встречаются настольные игры и занимательные задачи. Первые упоминания о настольных играх, дошедшие до наших дней, относятся к египетской игре сенет и к настольной игре урских царей Вавилонии. С другой стороны, в одной из древнейших рукописей о математике — папирусе Ахмеса, который датируется примерно 1650 годом до н. э., наряду с практическими задачами о делении или вычислении среднего встречаются математические задачи без контекста, которые можно назвать занимательными. Этот древнеегипетский задачник, найденный в гробнице Рамзеса II примерно в 1850 году и приобретенный Александром Генри Риндом в 1856 году в Луксоре, в настоящее время хранится в Британском музее в Лондоне.
Супруга Рамзеса II царица Нефертари за игрой в сенет. Этот рисунок находится на стене передней залы ее гробницы.
Например, задача 24 папируса Ахмеса гласит: «Целое и седьмая его часть дают 19», что на современном языке выглядит так: «Найдите такое число, которое при сложении с одной седьмой его частью дает 19». Эта задача решается элементарно с помощью уравнения первой степени, но подобный прием, очевидно, был неизвестен древним египтянам. В папирусе Ахмеса приводится интересный способ ее решения, называемый методом ложного положения, который использовался древними во многих арифметических задачах. В этой задаче он применяется следующим образом. Ахмес предполагает, что решением является 7, и выполняет следующие действия: 7+ 7·1/7 = 8. Результат не равен 19, следовательно, нужно найти число, которое при умножении на 8 дает 19. Иными словами, нужно поделить 19 на 8. Эту операцию древние египтяне выполняли так:
(8 ×) 2 = 16,
(8 ×) 1/4 = 2,
(8 ×) 1/8 = 1.
Откуда следует: 19 : 8 = 2 + 1/4 + 1/8.
Следовательно, 7 нужно умножить на (2 + 1/4 + 1/8). Имеем: 14 + (1 + 1/2 + 1/4) + (1/2 + 1/4 + 1/8) = 16 + 1/2 + 1/8, что в современной записи выглядит как 16 + 5/8, или 16,625.
ТЫСЯЧЕЛЕТНЯЯ ИГРА СЕНЕГ
Одна из древнейших известных нам настольных игр называется сенет. В древнеегипетских гробницах найдены многочисленные рисунки и мозаики, где изображены игроки в сенет. Несмотря на это, ее точные правила неизвестны, хотя в 1978 году Тимоти Кендалл воссоздал игру на основе имеющихся источников. Он отмечает, что сенет играл важную роль в похоронных обрядах: усопший должен был сыграть партию с судьбой в присутствии бога Осириса. В «Книге мертвых» говорится, что от результата этой партии зависела дальнейшая загробная жизнь. Задача этой игры, рассчитанной на двух игроков, — первым довести до конца доски семь фишек. Вместо игральных костей используются четыре палочки, плоские с одной стороны и выпуклые с другой. Броском палочек можно получить одно из пяти возможных значений — по числу палочек, упавших плоской стороной вверх.
Доска для игры в сенет. Изображено начальное положение игры. Слева — четыре палочки, которые использовались вместо игральных костей.
Читатель отметит своеобразный способ выполнения операций, а также использование дробей.
Для деления Ахмес находит три степени числа 2, которые в сумме дают 19. Это 16, 2 и 1. Затем он находит восьмую часть для каждого из этих чисел (получив 2, 1/4, 1/8) и выполняет сложение.
НАСТОЛЬНАЯ ИГРАУРСКИХ ЦАРЕЙ. ИСТОРИЯ ДЛИНОЙ В 4 000 ЛЕТ
Наряду с египетской игрой сенет, это одна из древнейших известных нам игр. Украшенная драгоценностями доска для этой игры, найденная в шумерском городе Ур британским археологом сэром Чарльзом Леонардом Вулли примерно в 1920 году, имеет возраст свыше 4 000 лет. В настоящее время эта доска хранится в Британском музее в Лондоне. Предполагается, что эта игра была привилегией лишь королей и знати. Тот факт, что ее находили в гробницах, позволяет предположить, что ее помещали туда, чтобы усопший мог насладиться игрой в загробной жизни. Правила игры урских царей, как и древнеегипетской игры сенет, точно неизвестны.
Однако по дошедшим до нас предметам (помимо доски было найдено 7 белых и 7 черных фишек из перламутра и сланца и 6 игральных костей в форме правильной треугольной пирамиды) можно заключить, что целью игры было провести все фишки по доске быстрее соперника. Интересная форма доски из 20 клеток — два прямоугольника 3 × 2 и 3 × 4 соединены прямоугольником 1 × 2 — позволяет предположить, каким путем нужно было провести фишки по доске.
Доска для игры урских царей. На рисунке обозначены первые ходы каждого игрока.
Для вычислений с дробями используются только так называемые египетские дроби, числитель которых равен единице, а знаменатель — натуральному числу. Этот любопытный способ вычислений, придуманный египтянами, в разное время изучали выдающиеся математики. Среди них Леонардо Пизанский, именуемый Фибоначчи (1175—1250), один из величайших математиков Средневековья. Именно он первым доказал осуществимость этого метода. Англичанин Джеймс Джозеф Сильвестр (1814—1897) открыл новые способы выражения дроби в виде суммы единичных дробей. Венгерский математик Пол Эрдёш (1913—1996), автор наибольшего числа статей среди математиков современности, проявлял особый интерес к теории чисел и сформулировал несколько открытых задач о египетских дробях, предложив собственные решения некоторых из них.
Игры и математика в Средневековье
Изложив лишь некоторые наиболее интересные факты из древней истории взаимоотношений игр и математики, перенесемся в XIII век. Именно тогда жил Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи (1175—1250), автор «Книги абака» (1202), где впервые в истории западного мира была представлена десятичная позиционная система счисления. В этой книге описана известная задача о размножении кроликов, в которой фигурирует интересная последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..., получивших название чисел Фибоначчи. Закономерность для чисел Фибоначчи крайне проста (первые два члена ряда равны 1, а каждый последующий равен сумме двух предыдущих), но этот ряд обладает удивительными свойствами. Так, он связан с числом Ф, описывающим золотое сечение. Ф = (1+у√5)/2 является пределом последовательности an/an-1 при n, стремящемся к бесконечности, где an — член последовательности Фибоначчи.
В одном из своих основных трудов Liber quadratorum («Книга квадратов»), опубликованном в 1225 году, Фибоначчи описывает математический турнир, прошедший при дворе короля Сицилии Федериго II, на котором он нанес поражение Иоанну Палермскому. На этих интеллектуальных турнирах, проводимых в подлинно средневековом стиле, каждый участник должен был предложить сопернику определенное число задач. Победителем объявлялся тот, кто решил больше задач за меньшее время. При этом должно было выполняться еще одно условие: участник, предложивший задачу, должен был знать ее решение. Одна из задач, упомянутых Фибоначчи, формулируется так: нужно найти такое число, что если прибавить или вычесть из его квадрата 5, то в обоих случаях результатами также будут квадраты. Любопытно, что число 1225, совпадающее с годом публикации «Книги квадратов», является квадратом. Это единственный год жизни Фибоначчи, обладающий подобным свойством: предыдущим квадратом является 1156, а следующим — 1296.
Примерно в то же время арабский писатель и ученый Ибн-Халликан первым изложил знаменитую легенду об изобретателе шахмат, «Историю Сисса бен Дахира и индийского короля Ширхама» (1256). По легенде, Ширхам так полюбил игру в шахматы, придуманную Сиссой бен Дахиром, что разрешил ему выбрать себе любой подарок, какой тот пожелает. Сисса попросил короля положить пшеничное зернышко на первую клетку доски, 2 — на вторую, 4 — на третью, 8 — на четвертую и так далее до клетки 64, каждый раз удваивая число зерен. Правитель посчитал эту просьбу слишком скромной, но затем увидел, что ему никогда не удастся выполнить ее. Действительно, 20 + 21 + ...+ 262 + 263 = 264 - 1 = 18446744073709551615, что в разы превышает весь годовой урожай пшеницы во всем мире.
Страница из«Книги абака» Фибоначчи.
Также в XIII веке, точнее в 1283 году, согласно повелению короля Альфонсо X Мудрого была написана «Книга игр» (Libro de los juegos). Хотя в ней больше внимания уделяется играм, чем математике, она содержит интересный анализ типов игр (как азартных, так и стратегических), популярных в то время, а также все знания, накопленные на тот момент относительно выигрышных стратегий для этих игр. Помимо шахмат и различных азартных игр, в этой книге описывается алькерк — «стратегическая» игра, то есть та, в ход которой не вмешивается случай. Это старейшая из известных нам игр такого типа.
«КНИГА ИГР» АЛЬФОНСО X МУДРОГО
В 1283 году король Альфонсо X Мудрый повелел написать «Книгу игр», известную также под названием «Книга шахмат, игр в кости и доски». Книга содержит 98 страниц со 150 цветными иллюстрациями. В ней рассказывается о наиболее известных настольных играх той эпохи: шахматах, алькерке, играх в кости и других настольных играх, среди которых отметим нарды.
Единственное издание этой книги хранится в библиотеке монастыря Сан-Лоренцо дель Эскориал близ Мадрида. Это первая из книг в истории западной цивилизации, посвященная настольным играм. Содержащаяся в книге информация и великолепные цветные иллюстрации обладают огромной ценностью. Благодаря «Книге игр» до нас дошли сведения об играх, популярных на Пиренейском полуострове 800 лет назад.
Иллюстрация из«Книги игр»Альфонсо X Мудрого, на которой изображена игра в алькерк.
АЛЬКЕРК- ДРЕВНЯЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНАЯ ИГРА
Алькерк — игра для двух игроков, описанная в «Книге игр» Альфонсо X Мудрого. Доска имеет размеры 5x5 клеток, у каждого игрока 12 фишек. Они располагаются на доске так, что центральная клетка остается незанятой. Цель игры — убрать с доски все фишки соперника. В этом алькерк очень похож на современные шашки. Первое письменное упоминание об этой игре встречается в арабской рукописи X века «Китаб аль-Агхани», где алькерк фигурирует под названием киркат. Это позволяет предположить, что на Пиренейский полуостров игру занесли арабы. Однако многие источники дают основания полагать, что игра намного древнее: археологами были найдены старинные доски для алькерка и рисунки, которые также могли использоваться для игры.
С другой стороны, множество версий этой игры на той же доске существовало в Индии и Марокко, на досках другой формы — в Индии и на Шри-Ланке. Существует множество похожих игр, начиная от традиционных шашек и заканчивая фанороной с острова Мадагаскар или игрой авитлаканнаи североамериканских индейцев зуни.
Сверху вниз: стартовые позиции при игре в алькерк, фанорону и авитлаканнаи.
Игры и математика в эпоху Возрождения
Математику эпохи Возрождения представляют главным образом итальянские алгебраисты, среди которых Тарталья, Кардано, Бомбелли, Феррари и дель Ферро, которые занимались в основном алгеброй и решением уравнений. Говоря о математике и играх, прежде всего следует упомянуть Тарталью и особенно Кардано. Самоучка, ставший преподавателем математики, Никколо Фонтана (1499—1557), известный под именем Тарталья («заика»), знаменит благодаря найденному им алгоритму решения кубических уравнений. Также он первым перевел на итальянский язык работы Евклида и Архимеда. Соперничая со Сципионом дель Ферро в духе средневековых турниров, Тарталья одержал победу, решив все предложенные соперником задачи, большинство из которых заключались в решении кубических уравнений. По-видимому, именно это привлекло внимание Кардано, который попросил показать ему формулу для решения подобных уравнений. Тарталья согласился, и Кардано не замедлил опубликовать его результаты под своим именем, чем сильно обидел Тарталью.
Титульный лист Quesiti et inventioni diverse (1546) Никколо Тартальи.
ДЖЕРОЛАМО КАРДАНО (1501-1576)
Врач, математик, астроном, астролог и к тому же игрок, Кардано был одним из тех, кто вместе с Никколо Тартальей, Сципионом дель Ферро, Лодовиком Феррари и Рафаэлем Бомбелли внес вклад в развитие алгебры в Италии XVI века. О его жизни нам известно очень многое, так как он оставил после себя подробную автобиографию под названием De vita propria («Моя жизнь»). В отличие от многих современников, Кардано добился определенной известности, особенно как врач. Будучи настоящим представителем эпохи Возрождения, он интересовался многими науками, пытаясь охватить все знания, известные в то время. Однако весьма часто ему не удавалось избавиться от наивного, иррационального взгляда на вещи, а порой и предрассудков, что сделало его крайне противоречивой фигурой.
Среди его работ по математике выделим трактат «Великое искусство» (Ars magna), опубликованный в 1545 году. Это один из основных трудов эпохи Возрождения по алгебре. До этого, в 1539 году, он написал другую книгу под названием «Практическая арифметика» (Practica Arithmetica). Он также является автором одной из первых книг об играх и математике — «Книги об азартных играх» (Liber de ludo aleae), где впервые описываются вопросы, связанные с вероятностями, применительно к играм в кости. Приведенные им решения остроумны, но порой ошибочны. Эту книгу Кардано написал около 1564 года, но ее опубликовали лишь столетие спустя, включив в его первое полное собрание сочинений. Эта книга, которую можно считать первой работой о вероятностях, не вызвала такого отклика, как работы Паскаля и Ферма. Считается, что в переписке этих двух математиков азартные игры впервые анализируются с точки зрения теории вероятностей.
Фронтиспис книги Джероламо Кардано «Великое искусство»(Ars magna).
Хотя Тарталья не занимался анализом азартных игр целенаправленно в том смысле, как это делал Кардано, в своей книге Quesiti et inventioni diverse («Проблемы и различные изобретения», 1546) он предлагает читателю задачи и загадки, многие из которых популярны и в наши дни, например:
У некоего человека 17 лошадей. Он оставляет их в наследство сыновьям, завещав разделить коней между ними в пропорции 1/2, 1/3 и 1/9. Как сыновьям поделить наследство?
У некоего человека три фазана. Он хочет разделить их между двумя отцами и двумя сыновьями так, чтобы каждому из них достался фазан. Как это сделать?
Несомненно, одним из первых математиков, пытавшихся формально проанализировать азартные игры, был именно Кардано — возможно, наиболее одаренный и разносторонний математик того времени. Однако его работа об играх увидела свет лишь спустя столетие после его смерти, поэтому не привлекла заслуженного внимания. По-видимому, Кардано первым сформулировал задачу о разделении ставок, приведя также ее ошибочное решение, в котором уделено внимание подсчету очков каждого игрока, а не вероятностям выигрыша. Эту задачу также обсуждали в переписке Паскаль и Ферма. Мы поговорим о ней в главе 3.
Помимо итальянских алгебраистов, упоминания заслуживает французский математик Николя Шюке, в своей книге «Наука о числах в трех частях» (1484) представивший занимательные задачи, среди которых впервые упоминаются задачи на переливание. Приведем одну из них.
Даны два сосуда. Один вмещает 3 пинты, второй — 5. Как отмерить ровно 4 пинты с помощью переливаний? Ни на одном из сосудов нет никаких отметок, и все, что мы можем определить, — это заполнен сосуд полностью или нет.
Наконец, нужно упомянуть о Роберте Рекорде (1510—1558), математике из Уэльса, который, подобно Кардано, прожил очень интересную жизнь. Как и многие ученые мужи Возрождения, он занимался разными науками, в частности астрономией и медициной. Рекорд известен тем, что в своем труде The Whetstone of Witte («Точильный камень остроумия», 1557) впервые использовал знак «=» для обозначения равенства, указав, что нет ничего более равного между собой, чем две параллельные прямые. Хотя представить современную алгебру без этого знака непросто, он далеко не сразу стал использоваться повсеместно. Даже в XVIII веке наряду с ныне привычным обозначением встречались и другие, например ае (начальные буквы слова aequo — «равно»). В этой книге описываются занимательные задачи, которые по большей части решаются алгебраическими методами.
С древнейших времен история математики полна упоминаний об играх и занимательных задачах. В действительности с момента появления игр (параллельно этому началось развитие математики) и до XVII века серьезную и занимательную математику нельзя отделить друг от друга, так как во многом они тесно переплетались. В 1612 году во Франции была издана первая книга, посвященная исключительно занимательной математике, — Problemes plaisants et delectables qui se font par les nombres («Приятные и восхитительные проблемы, которые создают числа») Клода Гаспара Баше де Мезириака. С этого момента два течения в математике постепенно начали расходиться, хотя в дальнейшем им не раз доводилось пересекаться. К примеру, это произошло, когда Ферма и Паскаль разработали основы теории вероятностей. Великие Ньютон, Эйлер и Гаусс проявляли живой интерес к занимательным задачам; игры также фигурируют в работах Эдуарда Люка о числах. И лишь в середине XX века эти направления окончательно объединила теория игр.
Игры и математика в Античности
Уже в двух великих цивилизациях древности, вавилонской и египетской, где математика носила исключительно практический характер, встречаются настольные игры и занимательные задачи. Первые упоминания о настольных играх, дошедшие до наших дней, относятся к египетской игре сенет и к настольной игре урских царей Вавилонии. С другой стороны, в одной из древнейших рукописей о математике — папирусе Ахмеса, который датируется примерно 1650 годом до н. э., наряду с практическими задачами о делении или вычислении среднего встречаются математические задачи без контекста, которые можно назвать занимательными. Этот древнеегипетский задачник, найденный в гробнице Рамзеса II примерно в 1850 году и приобретенный Александром Генри Риндом в 1856 году в Луксоре, в настоящее время хранится в Британском музее в Лондоне.
Супруга Рамзеса II царица Нефертари за игрой в сенет. Этот рисунок находится на стене передней залы ее гробницы.
Например, задача 24 папируса Ахмеса гласит: «Целое и седьмая его часть дают 19», что на современном языке выглядит так: «Найдите такое число, которое при сложении с одной седьмой его частью дает 19». Эта задача решается элементарно с помощью уравнения первой степени, но подобный прием, очевидно, был неизвестен древним египтянам. В папирусе Ахмеса приводится интересный способ ее решения, называемый методом ложного положения, который использовался древними во многих арифметических задачах. В этой задаче он применяется следующим образом. Ахмес предполагает, что решением является 7, и выполняет следующие действия: 7+ 7·1/7 = 8. Результат не равен 19, следовательно, нужно найти число, которое при умножении на 8 дает 19. Иными словами, нужно поделить 19 на 8. Эту операцию древние египтяне выполняли так:
(8 ×) 2 = 16,
(8 ×) 1/4 = 2,
(8 ×) 1/8 = 1.
Откуда следует: 19 : 8 = 2 + 1/4 + 1/8.
Следовательно, 7 нужно умножить на (2 + 1/4 + 1/8). Имеем: 14 + (1 + 1/2 + 1/4) + (1/2 + 1/4 + 1/8) = 16 + 1/2 + 1/8, что в современной записи выглядит как 16 + 5/8, или 16,625.
Одна из древнейших известных нам настольных игр называется сенет. В древнеегипетских гробницах найдены многочисленные рисунки и мозаики, где изображены игроки в сенет. Несмотря на это, ее точные правила неизвестны, хотя в 1978 году Тимоти Кендалл воссоздал игру на основе имеющихся источников. Он отмечает, что сенет играл важную роль в похоронных обрядах: усопший должен был сыграть партию с судьбой в присутствии бога Осириса. В «Книге мертвых» говорится, что от результата этой партии зависела дальнейшая загробная жизнь. Задача этой игры, рассчитанной на двух игроков, — первым довести до конца доски семь фишек. Вместо игральных костей используются четыре палочки, плоские с одной стороны и выпуклые с другой. Броском палочек можно получить одно из пяти возможных значений — по числу палочек, упавших плоской стороной вверх.
Доска для игры в сенет. Изображено начальное положение игры. Слева — четыре палочки, которые использовались вместо игральных костей.
Читатель отметит своеобразный способ выполнения операций, а также использование дробей.
Для деления Ахмес находит три степени числа 2, которые в сумме дают 19. Это 16, 2 и 1. Затем он находит восьмую часть для каждого из этих чисел (получив 2, 1/4, 1/8) и выполняет сложение.
Наряду с египетской игрой сенет, это одна из древнейших известных нам игр. Украшенная драгоценностями доска для этой игры, найденная в шумерском городе Ур британским археологом сэром Чарльзом Леонардом Вулли примерно в 1920 году, имеет возраст свыше 4 000 лет. В настоящее время эта доска хранится в Британском музее в Лондоне. Предполагается, что эта игра была привилегией лишь королей и знати. Тот факт, что ее находили в гробницах, позволяет предположить, что ее помещали туда, чтобы усопший мог насладиться игрой в загробной жизни. Правила игры урских царей, как и древнеегипетской игры сенет, точно неизвестны.
Однако по дошедшим до нас предметам (помимо доски было найдено 7 белых и 7 черных фишек из перламутра и сланца и 6 игральных костей в форме правильной треугольной пирамиды) можно заключить, что целью игры было провести все фишки по доске быстрее соперника. Интересная форма доски из 20 клеток — два прямоугольника 3 × 2 и 3 × 4 соединены прямоугольником 1 × 2 — позволяет предположить, каким путем нужно было провести фишки по доске.
Доска для игры урских царей. На рисунке обозначены первые ходы каждого игрока.
Для вычислений с дробями используются только так называемые египетские дроби, числитель которых равен единице, а знаменатель — натуральному числу. Этот любопытный способ вычислений, придуманный египтянами, в разное время изучали выдающиеся математики. Среди них Леонардо Пизанский, именуемый Фибоначчи (1175—1250), один из величайших математиков Средневековья. Именно он первым доказал осуществимость этого метода. Англичанин Джеймс Джозеф Сильвестр (1814—1897) открыл новые способы выражения дроби в виде суммы единичных дробей. Венгерский математик Пол Эрдёш (1913—1996), автор наибольшего числа статей среди математиков современности, проявлял особый интерес к теории чисел и сформулировал несколько открытых задач о египетских дробях, предложив собственные решения некоторых из них.
Игры и математика в Средневековье
Изложив лишь некоторые наиболее интересные факты из древней истории взаимоотношений игр и математики, перенесемся в XIII век. Именно тогда жил Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи (1175—1250), автор «Книги абака» (1202), где впервые в истории западного мира была представлена десятичная позиционная система счисления. В этой книге описана известная задача о размножении кроликов, в которой фигурирует интересная последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..., получивших название чисел Фибоначчи. Закономерность для чисел Фибоначчи крайне проста (первые два члена ряда равны 1, а каждый последующий равен сумме двух предыдущих), но этот ряд обладает удивительными свойствами. Так, он связан с числом Ф, описывающим золотое сечение. Ф = (1+у√5)/2 является пределом последовательности an/an-1 при n, стремящемся к бесконечности, где an — член последовательности Фибоначчи.
В одном из своих основных трудов Liber quadratorum («Книга квадратов»), опубликованном в 1225 году, Фибоначчи описывает математический турнир, прошедший при дворе короля Сицилии Федериго II, на котором он нанес поражение Иоанну Палермскому. На этих интеллектуальных турнирах, проводимых в подлинно средневековом стиле, каждый участник должен был предложить сопернику определенное число задач. Победителем объявлялся тот, кто решил больше задач за меньшее время. При этом должно было выполняться еще одно условие: участник, предложивший задачу, должен был знать ее решение. Одна из задач, упомянутых Фибоначчи, формулируется так: нужно найти такое число, что если прибавить или вычесть из его квадрата 5, то в обоих случаях результатами также будут квадраты. Любопытно, что число 1225, совпадающее с годом публикации «Книги квадратов», является квадратом. Это единственный год жизни Фибоначчи, обладающий подобным свойством: предыдущим квадратом является 1156, а следующим — 1296.
Примерно в то же время арабский писатель и ученый Ибн-Халликан первым изложил знаменитую легенду об изобретателе шахмат, «Историю Сисса бен Дахира и индийского короля Ширхама» (1256). По легенде, Ширхам так полюбил игру в шахматы, придуманную Сиссой бен Дахиром, что разрешил ему выбрать себе любой подарок, какой тот пожелает. Сисса попросил короля положить пшеничное зернышко на первую клетку доски, 2 — на вторую, 4 — на третью, 8 — на четвертую и так далее до клетки 64, каждый раз удваивая число зерен. Правитель посчитал эту просьбу слишком скромной, но затем увидел, что ему никогда не удастся выполнить ее. Действительно, 20 + 21 + ...+ 262 + 263 = 264 - 1 = 18446744073709551615, что в разы превышает весь годовой урожай пшеницы во всем мире.
Страница из«Книги абака» Фибоначчи.
Также в XIII веке, точнее в 1283 году, согласно повелению короля Альфонсо X Мудрого была написана «Книга игр» (Libro de los juegos). Хотя в ней больше внимания уделяется играм, чем математике, она содержит интересный анализ типов игр (как азартных, так и стратегических), популярных в то время, а также все знания, накопленные на тот момент относительно выигрышных стратегий для этих игр. Помимо шахмат и различных азартных игр, в этой книге описывается алькерк — «стратегическая» игра, то есть та, в ход которой не вмешивается случай. Это старейшая из известных нам игр такого типа.
В 1283 году король Альфонсо X Мудрый повелел написать «Книгу игр», известную также под названием «Книга шахмат, игр в кости и доски». Книга содержит 98 страниц со 150 цветными иллюстрациями. В ней рассказывается о наиболее известных настольных играх той эпохи: шахматах, алькерке, играх в кости и других настольных играх, среди которых отметим нарды.
Единственное издание этой книги хранится в библиотеке монастыря Сан-Лоренцо дель Эскориал близ Мадрида. Это первая из книг в истории западной цивилизации, посвященная настольным играм. Содержащаяся в книге информация и великолепные цветные иллюстрации обладают огромной ценностью. Благодаря «Книге игр» до нас дошли сведения об играх, популярных на Пиренейском полуострове 800 лет назад.
Иллюстрация из«Книги игр»Альфонсо X Мудрого, на которой изображена игра в алькерк.
Алькерк — игра для двух игроков, описанная в «Книге игр» Альфонсо X Мудрого. Доска имеет размеры 5x5 клеток, у каждого игрока 12 фишек. Они располагаются на доске так, что центральная клетка остается незанятой. Цель игры — убрать с доски все фишки соперника. В этом алькерк очень похож на современные шашки. Первое письменное упоминание об этой игре встречается в арабской рукописи X века «Китаб аль-Агхани», где алькерк фигурирует под названием киркат. Это позволяет предположить, что на Пиренейский полуостров игру занесли арабы. Однако многие источники дают основания полагать, что игра намного древнее: археологами были найдены старинные доски для алькерка и рисунки, которые также могли использоваться для игры.
С другой стороны, множество версий этой игры на той же доске существовало в Индии и Марокко, на досках другой формы — в Индии и на Шри-Ланке. Существует множество похожих игр, начиная от традиционных шашек и заканчивая фанороной с острова Мадагаскар или игрой авитлаканнаи североамериканских индейцев зуни.
Сверху вниз: стартовые позиции при игре в алькерк, фанорону и авитлаканнаи.
Игры и математика в эпоху Возрождения
Математику эпохи Возрождения представляют главным образом итальянские алгебраисты, среди которых Тарталья, Кардано, Бомбелли, Феррари и дель Ферро, которые занимались в основном алгеброй и решением уравнений. Говоря о математике и играх, прежде всего следует упомянуть Тарталью и особенно Кардано. Самоучка, ставший преподавателем математики, Никколо Фонтана (1499—1557), известный под именем Тарталья («заика»), знаменит благодаря найденному им алгоритму решения кубических уравнений. Также он первым перевел на итальянский язык работы Евклида и Архимеда. Соперничая со Сципионом дель Ферро в духе средневековых турниров, Тарталья одержал победу, решив все предложенные соперником задачи, большинство из которых заключались в решении кубических уравнений. По-видимому, именно это привлекло внимание Кардано, который попросил показать ему формулу для решения подобных уравнений. Тарталья согласился, и Кардано не замедлил опубликовать его результаты под своим именем, чем сильно обидел Тарталью.
Титульный лист Quesiti et inventioni diverse (1546) Никколо Тартальи.
Врач, математик, астроном, астролог и к тому же игрок, Кардано был одним из тех, кто вместе с Никколо Тартальей, Сципионом дель Ферро, Лодовиком Феррари и Рафаэлем Бомбелли внес вклад в развитие алгебры в Италии XVI века. О его жизни нам известно очень многое, так как он оставил после себя подробную автобиографию под названием De vita propria («Моя жизнь»). В отличие от многих современников, Кардано добился определенной известности, особенно как врач. Будучи настоящим представителем эпохи Возрождения, он интересовался многими науками, пытаясь охватить все знания, известные в то время. Однако весьма часто ему не удавалось избавиться от наивного, иррационального взгляда на вещи, а порой и предрассудков, что сделало его крайне противоречивой фигурой.
Среди его работ по математике выделим трактат «Великое искусство» (Ars magna), опубликованный в 1545 году. Это один из основных трудов эпохи Возрождения по алгебре. До этого, в 1539 году, он написал другую книгу под названием «Практическая арифметика» (Practica Arithmetica). Он также является автором одной из первых книг об играх и математике — «Книги об азартных играх» (Liber de ludo aleae), где впервые описываются вопросы, связанные с вероятностями, применительно к играм в кости. Приведенные им решения остроумны, но порой ошибочны. Эту книгу Кардано написал около 1564 года, но ее опубликовали лишь столетие спустя, включив в его первое полное собрание сочинений. Эта книга, которую можно считать первой работой о вероятностях, не вызвала такого отклика, как работы Паскаля и Ферма. Считается, что в переписке этих двух математиков азартные игры впервые анализируются с точки зрения теории вероятностей.
Фронтиспис книги Джероламо Кардано «Великое искусство»(Ars magna).
Хотя Тарталья не занимался анализом азартных игр целенаправленно в том смысле, как это делал Кардано, в своей книге Quesiti et inventioni diverse («Проблемы и различные изобретения», 1546) он предлагает читателю задачи и загадки, многие из которых популярны и в наши дни, например:
У некоего человека 17 лошадей. Он оставляет их в наследство сыновьям, завещав разделить коней между ними в пропорции 1/2, 1/3 и 1/9. Как сыновьям поделить наследство?
У некоего человека три фазана. Он хочет разделить их между двумя отцами и двумя сыновьями так, чтобы каждому из них достался фазан. Как это сделать?
Несомненно, одним из первых математиков, пытавшихся формально проанализировать азартные игры, был именно Кардано — возможно, наиболее одаренный и разносторонний математик того времени. Однако его работа об играх увидела свет лишь спустя столетие после его смерти, поэтому не привлекла заслуженного внимания. По-видимому, Кардано первым сформулировал задачу о разделении ставок, приведя также ее ошибочное решение, в котором уделено внимание подсчету очков каждого игрока, а не вероятностям выигрыша. Эту задачу также обсуждали в переписке Паскаль и Ферма. Мы поговорим о ней в главе 3.
Помимо итальянских алгебраистов, упоминания заслуживает французский математик Николя Шюке, в своей книге «Наука о числах в трех частях» (1484) представивший занимательные задачи, среди которых впервые упоминаются задачи на переливание. Приведем одну из них.
Даны два сосуда. Один вмещает 3 пинты, второй — 5. Как отмерить ровно 4 пинты с помощью переливаний? Ни на одном из сосудов нет никаких отметок, и все, что мы можем определить, — это заполнен сосуд полностью или нет.
Наконец, нужно упомянуть о Роберте Рекорде (1510—1558), математике из Уэльса, который, подобно Кардано, прожил очень интересную жизнь. Как и многие ученые мужи Возрождения, он занимался разными науками, в частности астрономией и медициной. Рекорд известен тем, что в своем труде The Whetstone of Witte («Точильный камень остроумия», 1557) впервые использовал знак «=» для обозначения равенства, указав, что нет ничего более равного между собой, чем две параллельные прямые. Хотя представить современную алгебру без этого знака непросто, он далеко не сразу стал использоваться повсеместно. Даже в XVIII веке наряду с ныне привычным обозначением встречались и другие, например ае (начальные буквы слова aequo — «равно»). В этой книге описываются занимательные задачи, которые по большей части решаются алгебраическими методами.
Игры и математика с XVII века до наших дней
Серьезная и занимательная математика существовали бок о бок с древнейших времен. Однако в начале XVII века появляется особое ответвление, посвященное анализу игр. Как уже говорилось в начале предыдущего раздела, в 1612 году была опубликована первая книга, посвященная исключительно занимательной математике, — Problemes plaisants et delectables qui se font par les nombres Клода Гаспара Баше де Мезириака (1581—1638). Этот математик, поэт и переводчик, который был одним из первых членов Французской академии наук, известен не только как автор этой книги, но и как автор комментария к переводу «Арифметики» Диофанта с греческого на латинский язык (1621). На полях одного из экземпляров именно этой книги Ферма записал свою знаменитую теорему (подробнее о нем мы поговорим в главе 3).
Обложка книги«Арифметика»Диофанта на латинском языке с комментариями Баше де Мезириака.
Золотой век математических игр: XVII и XVIII века
Книга де Мезириака — своеобразный конспект по занимательной математике той эпохи. В ней описана задача о волке, козе и капусте, магические квадраты, задачи о целых числах и взвешиваниях, например: «Найти минимальное число гирь и их массу, с помощью которых на простых весах с двумя чашками можно измерить любой вес, выраженный целым числом от 1 до 40».
Начиная с этого момента, уже в XVII веке появляется множество книг похожего стиля. В 1624 году Анри ван Эттен (это псевдоним французского иезуита Жана Лёрешона) опубликовал книгу Recreations mathematiques («Развлекательная математика»), которая стала более успешной, чем книга Баше, и послужила образцом для последующих изданий, среди которых работа Клода Мидоржа, изданная во Франции в 1630 году и переведенная на английский уже в 1633 году, или работа Даниэля Швентера, опубликованная в 1636 году в Германии. Но самой известной в XVIII и XIX веках стала книга Жака Озанама Recreations mathematiques et physiques («Математические и физические развлечения»), которую в 1725 году отредактировал и дополнил математик и историк науки Жан Этьен Монтукля.
Среди трудов XVIII века упоминания заслуживает книга Rational Recreations Уильяма Хупера («Рациональные развлечения», 1774), где впервые упоминается одна из задач об исчезновении клетки — великолепный пример того, как для решения простой с виду задачи используются интересные математические свойства.
Портрет математика и лингвиста Даниэля Швентера.
Хотя мы перечислили некоторых авторов книг об играх и занимательной математике, не будем забывать, что многие великие математики XVII—XIX веков сформулировали и впоследствии решили задачи, ставшие классикой жанра. Наиболее выдающиеся среди них — Исаак Ньютон (1642—1727), Леонард Эйлер (1707— 1783) и Карл Фридрих Гаусс (1777—1855).
Ньютон в своей книге Arithmetica Universalis («Универсальная арифметика»), написанной на латыни в 1707 году, наряду с важными для математики проблемами упоминает и о простейших занимательных задачах. Хотя наиболее известна так называемая задача о коровах, ниже мы приведем другую задачу, где показывается связь вероятностей и азартных игр. Одновременно бросается некоторое число обычных игральных костей. Вероятность какого из следующих событий наибольшая?
1) При броске 6 кубиков выпадет хотя бы одна шестерка.
2) При броске 12 кубиков выпадут хотя бы две шестерки.
3) При броске 18 кубиков выпадут хотя бы три шестерки.
Читатель с легкостью сможет решить эту задачу после того, как ознакомится с аналогичными задачами, о которых рассказывается в главе 3.
Эйлер, перу которого, возможно, принадлежит наибольшее число работ среди всех математиков, также написал множество занимательных книг, например по комбинаторике, посвященных греко-латинским квадратам. Речь идет о разновидности магических квадратов, в которых необходимо расположить n символов в квадрате n × n клеток так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились все возможные символы. Можно сказать, что эти квадраты стали прообразом современных судоку. Но, вне всяких сомнений, самая известная из его задач — задача о кёнигсбергских мостах, которую Эйлер опубликовал на латыни в 1759 году в бюллетене Прусской академии наук. Эта задача дала начало теории графов. Граф — это графическое представление отношений между элементами множества, состоящее из вершин (элементов множества) и ребер, соединяющих вершины (связанные между собой элементы). Теория графов используется преимущественно для формулировки и решения задач оптимизации.
Задача о кёнигсбергских мостах звучит так: можно ли обойти все четыре части города, пройдя при этом по каждому из мостов ровно один раз? Эйлер показал, что такого пути не существует, и определил, при каких условиях подобные задачи имеют решение.
Наконец, Гаусс, внесший огромный вклад в математику, также уделял время занимательным задачам, среди которых задача о восьми ферзях: нужно расположить на шахматной доске восемь ферзей так, чтобы ни один из них не находился под боем другого. Также нужно найти количество разных решений и обобщить задачу для n ферзей и доски n × n. Используя интуитивный метод, а затем систематизировав его и переформулировав задачу в терминах перестановок, Гаусс показал, что задача имеет 92 различных решения.
На этой доске размером 8x8 показано одно из решений задачи о восьми ферзях.
ПАРАДОКС ХУПЕРА
В этой головоломке дан квадрат со стороной 8 клеток, разделенный на два треугольника и две трапеции. Из этих же фигур составляется прямоугольник размерами 5x13 клеток. Получается, что площадь квадрата (64 клетки) равна площади прямоугольника (65 клеток), и это «доказывает», что 64 равно 65. Читатель обнаружит, что составить подобный прямоугольник невозможно, и увидит, где же скрывается «дырка» площадью в 1 клетку.
Даже если считать парадокс решенным, он не перестает представлять интерес с точки зрения математики. Если проанализировать задачу подробнее, становится ясно, что она далеко не так проста. Если расположить длины сторон фигур в порядке возрастания, получим 3,5,8,13 — числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет такое свойство: квадрат произвольного члена последовательности равен произведению предыдущего члена на последующий плюс (или минус) 1. Иными словами, an2 =аn-1 · аn+1+(-1)n+1. Таким образом, взяв квадрат со стороной, равной одному из чисел Фибоначчи, и прямоугольник, стороны которого равны предыдущему и последующему числам Фибоначчи, мы снова получим такой же парадокс. Этот парадокс разрешим, и подобное построение можно выполнить корректно для числа Ф, описывающего золотое сечение, которое тесно связано с числами Фибоначчи: взяв квадрат со стороной Ф и разделив его на четыре части, получим прямоугольник со сторонами 1 и Ф + 1. Площадь квадрата (Ф2) будет точно равна площади прямоугольника 1 · (Ф + 1).
Парадокс Хупера гласит, что из двух треугольников и двух трапеций, образующих квадрат, можно составить прямоугольник большей площади.
Игры и занимательная математика в XIX и XX веках
Игры и занимательная математика непрерывно развивались в течение XIX и начала XX веков, и спектр задач неуклонно расширялся. Среди авторов XIX века следует упомянуть Джеймса Джозефа Сильвестра (1814—1897), Льюиса Кэрролла (1832—1898), Эдуарда Люка (1842—1891) и Уильяма Роуза Болла (1850—1925). Рассказать обо всех подробно просто невозможно, и далее мы остановимся на книгах Кэрролла и Люка.
Преподобный Чарльз Латуидж Доджсон, известный как Льюис Кэрролл, автор сказок об Алисе, был математиком и профессором Оксфорда. Он обожал занимательную математику и планировал издать серию книг под названием Curiosa Mathematica («Математические курьезы»). Завершить этот труд ему не удалось. Во второй книге этой серии под названием «Полуночные задачи, придуманные в часы бессонницы» он демонстрирует выдающиеся способности, приводя решения как простейших и шутливых («Есть двое часов. Одни стоят, другие опаздывают на одну минуту. Какие часы показывают время точнее?»), так и довольно сложных задач («Даны три произвольные точки на бесконечной плоскости. Какова вероятность того, что они образуют тупоугольный треугольник?»).
Знаменитый автор «Алисы в стране чудес»Льюис Кэрролл также придумал бесчисленное множество математических игр.
Кэрролл был не только гениальным автором математических и логических игр, но и великим знатоком английского языка, что можно увидеть в его книгах об Алисе и в многочисленных придуманных им играх со словами. Одна из них, «Лестница слов», заключается в том, что нужно построить цепочку из слов с одинаковым количеством букв, каждый раз меняя по одной букве в слове. Например, можно превратить козу в волка: КОЗА — ПОЗА — ПОЛА — ПОЛК — ВОЛК.
Наиболее значимая роль в развитии математических игр принадлежит французскому математику Эдуарду Люка, специалисту по теории чисел и в особенности по числам Фибоначчи. Он является автором великолепного сборника Recreations mathematiques («Математические развлечения»). Эта книга содержит 35 разделов, посвященных математическому анализу игр и занимательным задачам. Среди игр, придуманных Люка, выделяются «Ханойские башни». Сам Люка, чтобы создать завесу тайны, на презентации игры в 1883 году приписал ее авторство китайскому профессору Клаусу (Claus) из колледжа Ли-Су-Стьян (Li Sou Stain). Обратите внимание, что имя несуществующего профессора — анаграмма фамилии самого Люка (Lucas), а название колледжа — анаграмма колледжа Сен-Луи (Saint Louis), где Люка преподавал математику.
Одна из последних книг XIX века по занимательной математике — Mathematical Recreations and Essays («Математические эссе и развлечения», 1892) Уолтера Роуза Болла, которая в XX веке стала одной из популярнейших книг по этой теме, выдержав более 12 изданий. Редактором одного из изданий в 1938 году выступил геометр Гарольд Коксетер.
Начальное положение колец в игре «Ханойские башни».
«ВОЕННЫЕ ИГРЫ»
Одна из игр, о которых пишет Эдуард Люка в третьем томе своей книги о занимательной математике, принадлежит к типу игр, в которых нужно окружить своими фишками фишки другого игрока. К таким играм относятся «Охота на зайца» из книги Альфонсо X Мудрого и «Лиса и гуси» — очень популярная в викторианской Англии игра, известная еще с XV века.
В «военных играх» отсутствует элемент случайности. Эта игра рассчитана на двух игроков и была очень популярной среди французских военных в XIX веке. У одного игрока три белых фишки, у другого (ему принадлежит первый ход) — одна черная фишка. Фишки располагаются на доске из 11 клеток (начальное положение фишек показано на рисунке ниже). Задача белых фишек — окружить черную, которая пытается сбежать. Фишки могут перемещаться по пустым клеткам вдоль линий игрового поля, но белые фишки не могут отступать, в то время как черная может двигаться в любом направлении.
Игра кажется простой, и при первом знакомстве может показаться, что черной фишке легко скрыться от белых. Но тщательный анализ, проведенный Эдуардом Люка, показывает, что существует выигрышная стратегия для белых фишек — у них всегда есть в запасе минимум один ход, который мешает черной фишке сбежать. После изучения вариантов развития игры становится ясно, что максимальное число ходов равно 12, и количество существенно различных игр сокращается до 16. Кажется невероятным, что эта небольшая игра требует такой выверенности ходов от играющего белыми фишками. Он всегда будет выигрывать, если ему известна выигрышная стратегия.
Начальное положение фишек в «военных играх»
Рубеж XIX и XX веков ознаменован появлением трудов, принадлежащих наиболее плодовитым авторам в области занимательной математики: англичанину Генри Эрнесту Дьюдени (1857—1930) и американцу Сэму Лойду (1841—1911). Множество задач и головоломок, которые до сих пор приковывают внимание игроков, описаны в книгах именно этих двух великих авторов.
Генри Эрнест Дьюдени, помимо прочего, является автором «Кентерберийских головоломок» (1907) и «Математических головоломок и развлечений» (1917). Последняя содержит одну из лучших и обширнейших коллекций математических игр всех времен.
«Задача галантерейщика» Гэнри Дьюдени, в которой необходимо разрезать равносторонний треугольник на четыре части и составить из них квадрат.
Среди огромной коллекции головоломок Дьюдени выделяются криптарифмы — ребусы с числами, в которых цифры обозначаются буквами так, что одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам — разные цифры. Один из известных примеров: РЕШИ + ЕСЛИ = СИЛЕН, причем наибольшая цифра в числе СИЛЕН не превышает 5. Нужно заменить буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство. (Ответ к этому криптарифму следующий: 9382 + + 3152 = 12534.)
Сэм Лойд опубликовал большинство своих задач в газетах и журналах. В одну книгу под названием «Энциклопедия головоломок» их собрал его сын Сэм Лойд-младший в 1914 году, уже после смерти отца. Среди головоломок Лойда — знаменитая задача о соединении 9 точек, расположенных в форме квадрата 3 × 3, четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги (либо то же для 16 точек, квадрата 4 × 4 и шести линий), а также множество задач о расположении чисел определенным образом. Например, нужно расположить числа от 1 до 8 в вершинах куба так, чтобы сумма чисел на каждых четырех вершинах одной грани была одинаковой.
Страница «Энциклопедии головоломок» Сэма Лойда.
Традиции Дьюдени и Лойда продолжились и в XX веке. Среди ведущих авторов первой половины XX века выделяется Морис Крайчик (1882—1957), составитель нескольких книг о математических играх и редактор бельгийского журнала «Сфинкс». После Второй мировой войны на этой арене господствовал Мартин Гарднер (1914—2010), автор множества книг и статей, публиковавшихся на протяжении более 25 лет в научно-популярном журнале Scientific American (русская версия носит название «В мире науки»). Почти до самой смерти Гарднер продолжал публиковать новые издания своих работ. Всего из-под его пера вышло свыше 70 книг, среди которых Origami, Eleusis and The Soma Cube («Оригами, элузис и кубики сома»), вышедшая в 2008 году. Помимо собственных работ, он познакомил читателей с многими интересными играми, среди которых «Жизнь» Джона Конвея и «Элузис» Роберта Эббота (1956).
ЭЛУЗИС — ИГРА РОБЕРТА ЭББОТА
В каждой игре существует некая цель и определенные правила, и в этом элузис не похож ни на одну из них, ведь цель этой игры — угадать правила, придуманные одним из игроков, причем каждая партия играется по новым правилам. Игра рассчитана на 4-8 игроков, и для нее достаточно трех колод карт и нескольких фишек. Партия состоит из числа раундов по числу игроков. В каждом раунде один из игроков раздает остальным по 14 карт, после чего превращается в «бога игры», создателя правил, и выкладывает последнюю карту на стол. Раздающий должен записать на листе бумаги секретное правило, по которому формируется последовательность карт. Правила могут быть очень простыми (красное — черное или чет — нечет), но их можно придумать бесчисленное множество: четные после красных и нечетные после черных, четыре четных разной масти и четыре нечетных одной масти. В интересах того, кто придумывает правила, — сделать их неочевидными, но и не слишком сложными, так как если никто не поймет правил, игра получится неинтересной. Остальные игроки пытаются понять правило, не говоря при этом ни слова. Они по очереди выкладывают по одной карте, пытаясь сформировать ряд из «правильных» карт. «Бог игры» сообщает, является карта «правильной» (в этом случае она кладется в конец ряда) или «неправильной» — в этом случае она кладется под последнюю правильную карту, а игрок, сделавший неверный ход, получает в качестве штрафа две новые карты из колоды. Начиная с 40-й карты, ошибочный ход наказывается выходом из игры.
Игра заканчивается, когда одному из игроков удалось избавиться от всех своих карт или когда все игроки покинули игру.
В книге «Десять игр, которые ни на что не похожи» Роберта Эббота подробно описана эта великолепная игра.
Среди других авторов XX века — Яков Перельман, один из основоположников русской школы занимательной науки, француз Пьер Берлокен и англичане Иэн Стюарт, Брайан Болт и Дэвид Уэллс. Каждый из них является автором множества книг и статей в различных периодических изданиях. Заслуживают внимания и испанские авторы, которые в своих книгах о математических играх и головоломках также попытались сделать математику ближе к широкой публике.Наиболее известные среди них — Мариано Матаиш, Мигель де Гусман и Фернандо Корбалан. Их труды вкупе с книгами уже упомянутых авторов — неистощимый источник задач, игр и математических развлечений.
Задача о костяшках домино от Якова Перельмана: четыре костяшки домино расположены в виде квадрата так, что суммы чисел на его сторонах равны. Задача — составить семь таких квадратов из полного набора домино.
Серьезная и занимательная математика существовали бок о бок с древнейших времен. Однако в начале XVII века появляется особое ответвление, посвященное анализу игр. Как уже говорилось в начале предыдущего раздела, в 1612 году была опубликована первая книга, посвященная исключительно занимательной математике, — Problemes plaisants et delectables qui se font par les nombres Клода Гаспара Баше де Мезириака (1581—1638). Этот математик, поэт и переводчик, который был одним из первых членов Французской академии наук, известен не только как автор этой книги, но и как автор комментария к переводу «Арифметики» Диофанта с греческого на латинский язык (1621). На полях одного из экземпляров именно этой книги Ферма записал свою знаменитую теорему (подробнее о нем мы поговорим в главе 3).
Обложка книги«Арифметика»Диофанта на латинском языке с комментариями Баше де Мезириака.
Золотой век математических игр: XVII и XVIII века
Книга де Мезириака — своеобразный конспект по занимательной математике той эпохи. В ней описана задача о волке, козе и капусте, магические квадраты, задачи о целых числах и взвешиваниях, например: «Найти минимальное число гирь и их массу, с помощью которых на простых весах с двумя чашками можно измерить любой вес, выраженный целым числом от 1 до 40».
Начиная с этого момента, уже в XVII веке появляется множество книг похожего стиля. В 1624 году Анри ван Эттен (это псевдоним французского иезуита Жана Лёрешона) опубликовал книгу Recreations mathematiques («Развлекательная математика»), которая стала более успешной, чем книга Баше, и послужила образцом для последующих изданий, среди которых работа Клода Мидоржа, изданная во Франции в 1630 году и переведенная на английский уже в 1633 году, или работа Даниэля Швентера, опубликованная в 1636 году в Германии. Но самой известной в XVIII и XIX веках стала книга Жака Озанама Recreations mathematiques et physiques («Математические и физические развлечения»), которую в 1725 году отредактировал и дополнил математик и историк науки Жан Этьен Монтукля.
Среди трудов XVIII века упоминания заслуживает книга Rational Recreations Уильяма Хупера («Рациональные развлечения», 1774), где впервые упоминается одна из задач об исчезновении клетки — великолепный пример того, как для решения простой с виду задачи используются интересные математические свойства.
Портрет математика и лингвиста Даниэля Швентера.
Хотя мы перечислили некоторых авторов книг об играх и занимательной математике, не будем забывать, что многие великие математики XVII—XIX веков сформулировали и впоследствии решили задачи, ставшие классикой жанра. Наиболее выдающиеся среди них — Исаак Ньютон (1642—1727), Леонард Эйлер (1707— 1783) и Карл Фридрих Гаусс (1777—1855).
Ньютон в своей книге Arithmetica Universalis («Универсальная арифметика»), написанной на латыни в 1707 году, наряду с важными для математики проблемами упоминает и о простейших занимательных задачах. Хотя наиболее известна так называемая задача о коровах, ниже мы приведем другую задачу, где показывается связь вероятностей и азартных игр. Одновременно бросается некоторое число обычных игральных костей. Вероятность какого из следующих событий наибольшая?
1) При броске 6 кубиков выпадет хотя бы одна шестерка.
2) При броске 12 кубиков выпадут хотя бы две шестерки.
3) При броске 18 кубиков выпадут хотя бы три шестерки.
Читатель с легкостью сможет решить эту задачу после того, как ознакомится с аналогичными задачами, о которых рассказывается в главе 3.
Эйлер, перу которого, возможно, принадлежит наибольшее число работ среди всех математиков, также написал множество занимательных книг, например по комбинаторике, посвященных греко-латинским квадратам. Речь идет о разновидности магических квадратов, в которых необходимо расположить n символов в квадрате n × n клеток так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились все возможные символы. Можно сказать, что эти квадраты стали прообразом современных судоку. Но, вне всяких сомнений, самая известная из его задач — задача о кёнигсбергских мостах, которую Эйлер опубликовал на латыни в 1759 году в бюллетене Прусской академии наук. Эта задача дала начало теории графов. Граф — это графическое представление отношений между элементами множества, состоящее из вершин (элементов множества) и ребер, соединяющих вершины (связанные между собой элементы). Теория графов используется преимущественно для формулировки и решения задач оптимизации.
Задача о кёнигсбергских мостах звучит так: можно ли обойти все четыре части города, пройдя при этом по каждому из мостов ровно один раз? Эйлер показал, что такого пути не существует, и определил, при каких условиях подобные задачи имеют решение.
Наконец, Гаусс, внесший огромный вклад в математику, также уделял время занимательным задачам, среди которых задача о восьми ферзях: нужно расположить на шахматной доске восемь ферзей так, чтобы ни один из них не находился под боем другого. Также нужно найти количество разных решений и обобщить задачу для n ферзей и доски n × n. Используя интуитивный метод, а затем систематизировав его и переформулировав задачу в терминах перестановок, Гаусс показал, что задача имеет 92 различных решения.
На этой доске размером 8x8 показано одно из решений задачи о восьми ферзях.
В этой головоломке дан квадрат со стороной 8 клеток, разделенный на два треугольника и две трапеции. Из этих же фигур составляется прямоугольник размерами 5x13 клеток. Получается, что площадь квадрата (64 клетки) равна площади прямоугольника (65 клеток), и это «доказывает», что 64 равно 65. Читатель обнаружит, что составить подобный прямоугольник невозможно, и увидит, где же скрывается «дырка» площадью в 1 клетку.
Даже если считать парадокс решенным, он не перестает представлять интерес с точки зрения математики. Если проанализировать задачу подробнее, становится ясно, что она далеко не так проста. Если расположить длины сторон фигур в порядке возрастания, получим 3,5,8,13 — числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет такое свойство: квадрат произвольного члена последовательности равен произведению предыдущего члена на последующий плюс (или минус) 1. Иными словами, an2 =аn-1 · аn+1+(-1)n+1. Таким образом, взяв квадрат со стороной, равной одному из чисел Фибоначчи, и прямоугольник, стороны которого равны предыдущему и последующему числам Фибоначчи, мы снова получим такой же парадокс. Этот парадокс разрешим, и подобное построение можно выполнить корректно для числа Ф, описывающего золотое сечение, которое тесно связано с числами Фибоначчи: взяв квадрат со стороной Ф и разделив его на четыре части, получим прямоугольник со сторонами 1 и Ф + 1. Площадь квадрата (Ф2) будет точно равна площади прямоугольника 1 · (Ф + 1).
Парадокс Хупера гласит, что из двух треугольников и двух трапеций, образующих квадрат, можно составить прямоугольник большей площади.
Игры и занимательная математика в XIX и XX веках
Игры и занимательная математика непрерывно развивались в течение XIX и начала XX веков, и спектр задач неуклонно расширялся. Среди авторов XIX века следует упомянуть Джеймса Джозефа Сильвестра (1814—1897), Льюиса Кэрролла (1832—1898), Эдуарда Люка (1842—1891) и Уильяма Роуза Болла (1850—1925). Рассказать обо всех подробно просто невозможно, и далее мы остановимся на книгах Кэрролла и Люка.
Преподобный Чарльз Латуидж Доджсон, известный как Льюис Кэрролл, автор сказок об Алисе, был математиком и профессором Оксфорда. Он обожал занимательную математику и планировал издать серию книг под названием Curiosa Mathematica («Математические курьезы»). Завершить этот труд ему не удалось. Во второй книге этой серии под названием «Полуночные задачи, придуманные в часы бессонницы» он демонстрирует выдающиеся способности, приводя решения как простейших и шутливых («Есть двое часов. Одни стоят, другие опаздывают на одну минуту. Какие часы показывают время точнее?»), так и довольно сложных задач («Даны три произвольные точки на бесконечной плоскости. Какова вероятность того, что они образуют тупоугольный треугольник?»).
Знаменитый автор «Алисы в стране чудес»Льюис Кэрролл также придумал бесчисленное множество математических игр.
Кэрролл был не только гениальным автором математических и логических игр, но и великим знатоком английского языка, что можно увидеть в его книгах об Алисе и в многочисленных придуманных им играх со словами. Одна из них, «Лестница слов», заключается в том, что нужно построить цепочку из слов с одинаковым количеством букв, каждый раз меняя по одной букве в слове. Например, можно превратить козу в волка: КОЗА — ПОЗА — ПОЛА — ПОЛК — ВОЛК.
Наиболее значимая роль в развитии математических игр принадлежит французскому математику Эдуарду Люка, специалисту по теории чисел и в особенности по числам Фибоначчи. Он является автором великолепного сборника Recreations mathematiques («Математические развлечения»). Эта книга содержит 35 разделов, посвященных математическому анализу игр и занимательным задачам. Среди игр, придуманных Люка, выделяются «Ханойские башни». Сам Люка, чтобы создать завесу тайны, на презентации игры в 1883 году приписал ее авторство китайскому профессору Клаусу (Claus) из колледжа Ли-Су-Стьян (Li Sou Stain). Обратите внимание, что имя несуществующего профессора — анаграмма фамилии самого Люка (Lucas), а название колледжа — анаграмма колледжа Сен-Луи (Saint Louis), где Люка преподавал математику.
Одна из последних книг XIX века по занимательной математике — Mathematical Recreations and Essays («Математические эссе и развлечения», 1892) Уолтера Роуза Болла, которая в XX веке стала одной из популярнейших книг по этой теме, выдержав более 12 изданий. Редактором одного из изданий в 1938 году выступил геометр Гарольд Коксетер.
Начальное положение колец в игре «Ханойские башни».
Одна из игр, о которых пишет Эдуард Люка в третьем томе своей книги о занимательной математике, принадлежит к типу игр, в которых нужно окружить своими фишками фишки другого игрока. К таким играм относятся «Охота на зайца» из книги Альфонсо X Мудрого и «Лиса и гуси» — очень популярная в викторианской Англии игра, известная еще с XV века.
В «военных играх» отсутствует элемент случайности. Эта игра рассчитана на двух игроков и была очень популярной среди французских военных в XIX веке. У одного игрока три белых фишки, у другого (ему принадлежит первый ход) — одна черная фишка. Фишки располагаются на доске из 11 клеток (начальное положение фишек показано на рисунке ниже). Задача белых фишек — окружить черную, которая пытается сбежать. Фишки могут перемещаться по пустым клеткам вдоль линий игрового поля, но белые фишки не могут отступать, в то время как черная может двигаться в любом направлении.
Игра кажется простой, и при первом знакомстве может показаться, что черной фишке легко скрыться от белых. Но тщательный анализ, проведенный Эдуардом Люка, показывает, что существует выигрышная стратегия для белых фишек — у них всегда есть в запасе минимум один ход, который мешает черной фишке сбежать. После изучения вариантов развития игры становится ясно, что максимальное число ходов равно 12, и количество существенно различных игр сокращается до 16. Кажется невероятным, что эта небольшая игра требует такой выверенности ходов от играющего белыми фишками. Он всегда будет выигрывать, если ему известна выигрышная стратегия.
Начальное положение фишек в «военных играх»
Рубеж XIX и XX веков ознаменован появлением трудов, принадлежащих наиболее плодовитым авторам в области занимательной математики: англичанину Генри Эрнесту Дьюдени (1857—1930) и американцу Сэму Лойду (1841—1911). Множество задач и головоломок, которые до сих пор приковывают внимание игроков, описаны в книгах именно этих двух великих авторов.
Генри Эрнест Дьюдени, помимо прочего, является автором «Кентерберийских головоломок» (1907) и «Математических головоломок и развлечений» (1917). Последняя содержит одну из лучших и обширнейших коллекций математических игр всех времен.
«Задача галантерейщика» Гэнри Дьюдени, в которой необходимо разрезать равносторонний треугольник на четыре части и составить из них квадрат.
Среди огромной коллекции головоломок Дьюдени выделяются криптарифмы — ребусы с числами, в которых цифры обозначаются буквами так, что одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам — разные цифры. Один из известных примеров: РЕШИ + ЕСЛИ = СИЛЕН, причем наибольшая цифра в числе СИЛЕН не превышает 5. Нужно заменить буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство. (Ответ к этому криптарифму следующий: 9382 + + 3152 = 12534.)
Сэм Лойд опубликовал большинство своих задач в газетах и журналах. В одну книгу под названием «Энциклопедия головоломок» их собрал его сын Сэм Лойд-младший в 1914 году, уже после смерти отца. Среди головоломок Лойда — знаменитая задача о соединении 9 точек, расположенных в форме квадрата 3 × 3, четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги (либо то же для 16 точек, квадрата 4 × 4 и шести линий), а также множество задач о расположении чисел определенным образом. Например, нужно расположить числа от 1 до 8 в вершинах куба так, чтобы сумма чисел на каждых четырех вершинах одной грани была одинаковой.
Страница «Энциклопедии головоломок» Сэма Лойда.
Традиции Дьюдени и Лойда продолжились и в XX веке. Среди ведущих авторов первой половины XX века выделяется Морис Крайчик (1882—1957), составитель нескольких книг о математических играх и редактор бельгийского журнала «Сфинкс». После Второй мировой войны на этой арене господствовал Мартин Гарднер (1914—2010), автор множества книг и статей, публиковавшихся на протяжении более 25 лет в научно-популярном журнале Scientific American (русская версия носит название «В мире науки»). Почти до самой смерти Гарднер продолжал публиковать новые издания своих работ. Всего из-под его пера вышло свыше 70 книг, среди которых Origami, Eleusis and The Soma Cube («Оригами, элузис и кубики сома»), вышедшая в 2008 году. Помимо собственных работ, он познакомил читателей с многими интересными играми, среди которых «Жизнь» Джона Конвея и «Элузис» Роберта Эббота (1956).
В каждой игре существует некая цель и определенные правила, и в этом элузис не похож ни на одну из них, ведь цель этой игры — угадать правила, придуманные одним из игроков, причем каждая партия играется по новым правилам. Игра рассчитана на 4-8 игроков, и для нее достаточно трех колод карт и нескольких фишек. Партия состоит из числа раундов по числу игроков. В каждом раунде один из игроков раздает остальным по 14 карт, после чего превращается в «бога игры», создателя правил, и выкладывает последнюю карту на стол. Раздающий должен записать на листе бумаги секретное правило, по которому формируется последовательность карт. Правила могут быть очень простыми (красное — черное или чет — нечет), но их можно придумать бесчисленное множество: четные после красных и нечетные после черных, четыре четных разной масти и четыре нечетных одной масти. В интересах того, кто придумывает правила, — сделать их неочевидными, но и не слишком сложными, так как если никто не поймет правил, игра получится неинтересной. Остальные игроки пытаются понять правило, не говоря при этом ни слова. Они по очереди выкладывают по одной карте, пытаясь сформировать ряд из «правильных» карт. «Бог игры» сообщает, является карта «правильной» (в этом случае она кладется в конец ряда) или «неправильной» — в этом случае она кладется под последнюю правильную карту, а игрок, сделавший неверный ход, получает в качестве штрафа две новые карты из колоды. Начиная с 40-й карты, ошибочный ход наказывается выходом из игры.
Игра заканчивается, когда одному из игроков удалось избавиться от всех своих карт или когда все игроки покинули игру.
В книге «Десять игр, которые ни на что не похожи» Роберта Эббота подробно описана эта великолепная игра.
Среди других авторов XX века — Яков Перельман, один из основоположников русской школы занимательной науки, француз Пьер Берлокен и англичане Иэн Стюарт, Брайан Болт и Дэвид Уэллс. Каждый из них является автором множества книг и статей в различных периодических изданиях. Заслуживают внимания и испанские авторы, которые в своих книгах о математических играх и головоломках также попытались сделать математику ближе к широкой публике.Наиболее известные среди них — Мариано Матаиш, Мигель де Гусман и Фернандо Корбалан. Их труды вкупе с книгами уже упомянутых авторов — неистощимый источник задач, игр и математических развлечений.
Задача о костяшках домино от Якова Перельмана: четыре костяшки домино расположены в виде квадрата так, что суммы чисел на его сторонах равны. Задача — составить семь таких квадратов из полного набора домино.
Появление теории игр
Важная часть этой книги, а именно главы 4 и 5, посвящена теории игр. В ней показывается, что рано или поздно все математические понятия и модели находят применение в реальном мире, даже если изначально они никак не были связаны. Это справедливо и для анализа игр.
Хороший игрок тот, кто во время игры совершает наиболее верные ходы. Цель анализа игр заключается именно в том, чтобы найти верные ходы и, если такое возможно, определить, какие ходы нужно совершать, чтобы всегда выигрывать. Это теоретически возможно в конечных играх, где не фигурируют случайные события. Однако игра может быть столь масштабной, что это помешает определить выигрышную стратегию.
Теория игр появилась в работах Джона фон Неймана, в частности в книге «Теория игр и экономическое поведение», опубликованной им совместно с экономистом Оскаром Моргенштерном в 1944 году. Изначально в теории игр шла речь об абстрактных играх для двух и более игроков, где определены выигрыш и проигрыш для каждого игрока в зависимости от совершенного хода. Как правило, игроки ходят одновременно и не знают стратегию соперников. Эти игры, используемые как математические модели, изначально применялись при анализе экономических ситуаций. Фон Нейман и Моргенштерн показали способ определения оптимальной стратегии для каждого игрока в играх этого типа. Фон Нейман предложил для решения этих задач так называемый принцип минимакса, а также расширил его для игр, в которых присутствуют случайные события (так называемые смешанные стратегии). Его методы оказались столь успешными, что математики и экономисты начали применять их при решении более сложных задач.
Прикладные методы из мира экономики, работающие на довольно простых моделях, непрерывно развивались на протяжении второй половины XX века. С появлением игр, в которых выигрыш одного игрока не обязательно означает проигрыш других, возникла идея о сотрудничестве, точнее сказать, о компромиссе между соперничеством и сотрудничеством. Так теоретические модели все больше приближались к реальности и постепенно начали находить применение не только в экономических науках, но и в военной сфере, политике, эволюционной биологии и даже в философии. Все эти научные дисциплины, столь далекие друг от друга, схожи в одном: они предполагают принятие решений в ситуациях, которые можно рассматривать как игры. Но в этом случае само слово «игра» обозначает уже не что-то развлекательное, но нечто рискованное. По мере того как формулировки этих игр приближались к реальности и, как следствие, усложнялись, они стали допускать решения, в которых учитываются не только математические параметры, но и моральные, этические и философские принципы поведения человека.
Джон фон Нейман на одной из лекций в Американском философском обществе, членом которого он являлся.
Одним из самых интересных аспектов теории игр, помимо ее порой удивительных результатов, является возможность вмешиваться в сферу действия общественных наук, которые по своей природе имеют дело со случайными событиями и где переменные описывают поведение отдельных личностей и групп людей. Так, развитие теории игр привело к появлению множества дилемм, которые касаются выбора между конфликтом, риском и сотрудничеством. В силу применимости к большому числу ситуаций подобные дилеммы составляют значительную часть теории игр. Среди наиболее известных отметим игру «Ястребы и голуби» и дилемму заключенного, о которых рассказывается в последней главе этой книги. Эти дилеммы некоторым образом показывают, насколько сложно изучать поведение человека. Они демонстрируют, что порой возможно не только изучить действия человека, но и определить их последствия, особенно когда они зависят от сочетания стратегий, используемых участниками.
ТЕЛЕГРАМКанал с обзорами, анонсами новинок и книжными подборками
Книжный Вестник
Бот для удобного поиска книг (если не нашлось на сайте)
Поиск книг
Свежие любовные романы в удобных форматах
Любовные романы
О психологии, саморазвитии и личностном росте
Саморазвитие
Детективы и триллеры, все новинки
Детективы
Фантастика и фэнтези, все новинки
Фантастика
Отборные классические книги
Классика
ВКОНТАКТЕБиблиотека с любовными романами, которая наверняка придётся по вкусу женской части аудитории
Любовные романы
Библиотека с фантастикой и фэнтези, а также смежных жанров
Фантастика
Самые популярные книги в формате фб2
Топ фб2
книги