Энциклопедический словарь юного математика

ГРАФЫ

Графом в математике называется конечная совокупность точек, называемых вершинами; некоторые из них соединены друг с другом линиями, называемыми ребрами графа.

При взгляде на географическую карту сразу бросается в глаза сеть железных дорог. Это типичный граф: кружочки обозначают станции-вершины графа, а соединяющие их пути – ребра.

Граф на рис. 1 изображает схему дорог между селами M,A,Б,B, и Г. Здесь каждые две вершины соединены между собой ребром. Такой граф называется полным. Числа на рисунке указывают расстояния между селами по этим дорогам. Пусть в селе M находится почта и почтальон должен развезти письма в остальные четыре села. Существует много различных маршрутов поездки. Как из них выбрать наикратчайший? Проще всего проанализировать все варианты. Сделать это поможет новый граф (рис. 1, внизу), на котором легко увидеть возможные маршруты. Вершина M вверху – начало маршрутов. Из нее можно начать путь четырьмя различными способами: в A, в Б, в B или в Г. После посещения одного из сел остается три возможности продолжения маршрута, потом две, потом дорога в последнее село и вновь в M. Всего 4·3·2·1 = 24 способа. Все они на этом графе.

Рис. 1

Расставим вдоль его ребер цифры, обозначающие расстояния между селами, а в конце каждого маршрута напишем сумму этих расстояний по маршруту. Из полученных 24 чисел наименьшими являются два числа по 28 км, соответствующие маршрутам M - B - Б - А - Г - М и M - Г - А - Б - В - М. Заметим, что это один и тот же путь, но пройденный в разных направлениях.

Подобные задачи возникают часто при нахождении наилучших вариантов развозки товаров по магазинам, материалов по стройкам.

В строительстве графы используются при планировании проведения работ. Граф, изображенный на рис. 2, называется сетевым графиком строительства. В данном случае он составлен для строительства жилого дома.

Рис. 2

Вершины этого графа обозначают отдельные виды работ на стройке, кроме того, есть еще две вершины: начало строительства и его окончание. Если на ребрах графа нанесены стрелочки, указывающие направление ребер, то такой граф называют направленным. Заметим, что и граф на рис. 1 тоже можно было сделать направленным, указав направление сверху вниз на каждом из ребер, что соответствовало бы направлению движения почтальона.

Стрелка от работы A к работе B на графе, изображенном на рис. 2, означает, что работа B не может начаться раньше, чем кончится работа A. Нельзя начинать монтаж стен, не закончив строить фундамент, чтобы приступить к отделке, нужно иметь на этажах воду, для сварочных работ при монтаже нужно иметь подвод электричества и т.д.

Около вершин графа указаны числа – продолжительность в днях соответствующей работы. Теперь мы можем узнать наименьшую возможную продолжительность строительства. Для этого из всех путей по графу в направлении стрелок нужно выбрать путь, у которого сумма чисел при вершинах наибольшая. Он называется критическим путем (на рис. 2 он выделен коричневым цветом). В нашем случае получаем 170 дней. А если сократить время прокладки электросети с 40 до 10 дней, то и время строительства тоже сократится на 30 дней? Нет. В этом случае критический путь станет проходить не через эту вершину, а через вершины, соответствующие строительству котлована, укладке фундамента и т.д. И общее время строительства составит 160 дней, т.е. срок сократится лишь на 10 дней.

Графы часто используют для решения логических проблем, связанных с перебором вариантов. Для примера рассмотрим такую задачу. В ведре 8 л воды, и имеется две кастрюли емкостью 5 и 3 л. Требуется отлить в пятилитровую кастрюлю 4 л воды и оставить в ведре 4л, т.е. разлить воду поровну в ведро и большую кастрюлю.

Ситуацию в каждый момент можно описать тремя числами (x,y,z), где x - количество литров воды в ведре, y - в большой кастрюле, z - в меньшей. В начальный момент ситуация описывалась тройкой чисел (8,0,0), от нее мы можем перейти в одну из двух ситуаций: (3,5,0), если наполним водой большую кастрюлю, или (5,0,3), если наполним меньшую кастрюлю.

В результате получаем два решения: одно в 7 ходов, другое в 8 ходов.

Подобным образом можно составить граф любой позиционной игры: шахмат, шашек, «крестиков-ноликов», где позиции станут вершинами, а направленные отрезки между ними будут означать, что одним ходом можно перейти от одной позиции к другой, по направлению стрелки.

Однако для шахмат и шашек такой граф будет очень большим, поскольку различные позиции в этих играх исчисляются миллионами. А вот для игры в «крестики-нолики» на доске 3×3 соответствующий граф нарисовать не так уж трудно, хотя и он будет содержать несколько десятков (но не миллионов) вершин.

Свойства графов не зависят от того, соединены вершины отрезками или кривыми линиями, что дает возможность изучения их свойств с помощью одной из молодых наук - топологии.

Впервые основы теории графов появились в работе Л. Эйлера, где он описывал решения головоломок и математических развлекательных задач. Широкое развитие теория графов получила с 50-х гг. XX в. в связи со становлением кибернетики и развитием вычислительной техники.

В терминах графов легко формулируется и решается задача о назначении на должности. А именно: если имеется несколько вакантных должностей и группа лиц, желающих их занять, причем каждый из претендентов имеет квалификацию для нескольких должностей, то при каких условиях каждый из претендентов сможет получить работу по одной из своих специальностей?

Свойства графов не зависят от того, соединены вершины отрезками или кривыми линиями. Это дает возможность изучения их свойств с помощью одной из молодых наук – топологии, хотя сами задачи теории графов являются типичными задачами комбинаторики.

Вот несколько задач теории графов. Задача об эйлеровом пути: найти путь по ребрам графа, проходящий по каждому ребру ровно один раз. Такой путь существует лишь в том случае, если граф – связный, т.е. от каждой его вершины к каждой другой можно пройти по ребрам графа, и из каждой вершины, кроме, может быть, двух, выходит четное число ребер. На графе, изображенном на рис. 3,а, он есть, а на рис. 3,б его нет.

Рис. 3

Гамильтонов путь на графе – путь, проходящий по одному разу через все вершины графа. Попробуйте отыскать его на графе, состоящем из вершин и ребер додекаэдра. Условия существования гамильтонова пути на графе формулируются существенно сложнее, чем для эйлерового пути.

Хроматическим числом графа называется наименьшее количество красок, с помощью которых можно так раскрасить вершины графа, что любые две вершины, соединенные ребром, окрашиваются при этом в разные цвета. Долгое время математики не могли решить такую проблему: достаточно ли четырех красок, для того чтобы раскрасить произвольную географическую карту так, чтобы любые две страны, имеющие общую границу, были окрашены разными красками? Если изобразить страны точками – вершинами графа, соединив ребрами те вершины, для которых соответствующие им страны граничат (рис. 4), то задача сведется к следующей: верно ли, что хроматическое число любого графа, расположенного на плоскости не больше четырех? Положительный ответ на этот вопрос был лишь недавно получен с помощью ЭВМ.

Рис. 4

ГРУППА

Группа – одно из основных понятий математики, применяемое в алгебре, геометрии, физике и других науках.

С точки зрения диалектической теории познания понятие группы является абстракцией второй ступени. Математические абстракции первой ступени можно назвать слепками с объектов и процессов реального мира, т.е. для них имеются «прототипы» в окружающей нас действительности. Например, человек многократно наблюдал множества, содержащие два элемента: две руки, два глаза и т.д. Постепенно, путем отвлечения от конкретных свойств элементов, входящих в эти множества, возникает новое понятие – число 2.

Математические абстракции первой ступени возникли в глубокой древности. Так, Евклид, который жил более двух тысяч лет назад, использовал уже сформированные понятия о числах и действиях над ними, о геометрических линиях, поверхностях и телах. У Архимеда мы находим представление о векторном понимании механических величин (силы, скорости) и их сложении по правилу параллелограмма.

В XIX в. в распоряжении математиков было уже несколько конкретных действий: сложение действительных чисел, умножение чисел, сложение векторов, умножение (или, лучше сказать, композиция) геометрических преобразований, умножение перестановок (т.е. преобразований конечного множества) и др. При этом оказалось, что свойства этих математических действий во многом похожи. Например, и операция сложения чисел, и сложения векторов, и умножения чисел, и композиции геометрических преобразований обладают свойством ассоциативности (сочетательности). Постепенно возникла абстракция второй ступени, т.е. абстракция уже сформировавшихся математических понятий первой ступени: математики стали отвлекаться от конкретного вида складываемых (или перемножаемых) элементов, т.е. от того, что складывается, а обращали внимание лишь на то, что в некотором множестве задано сложение и это действие обладает определенными свойствами (ассоциативности и др.). Это и привело к возникновению понятия группы.

Расскажем подробно об этом понятии. Свойства сложения действительных чисел хорошо известны:

1) a + (b+c) = (a+b) + c для любых a,b,c (ассоциативность);

2) a + b = b + a для любых a,b (коммутативность);

3) существует такое число 0, что a+0=a для любого a (существование нуля);

4) для любого a существует такое число -a, что a+(-a)=0 (существование противоположного элемента).

Точно такими же свойствами обладает сложение векторов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Далее, операция умножения, если ее рассматривать в множестве всех отличных от нуля действительных чисел, также имеет аналогичные свойства:

1) a(bc)=(ab)c (ассоциативность);

2) ab=ba(коммутативность);

3) существует такое число 1, что a·1=a для любого a;

4) для любого a(a≠0) существует такое число a^-1, что a·a^-1=1.

А вот операция композиции движений (см. Геометрия) обладает лишь тремя из этих свойств:

1) h∘(g∘f)=(h∘g)∘f для любых движений f,g,h;

2) существует такое движение e (тождественное преобразование), что f∘e=f, e∘f=f для любого движения f;

3) для любого движения f существует обратное движение f^-1, удовлетворяющее соотношениям f∘f^-1=e, f^-1∘f=e. Коммутативность же, т.е. соотношение g∘f=f∘g для движений, вообще говоря, места не имеет.

Теперь будет понятно следующее определение: множество G, в котором задана некоторая операция, сопоставляющая двум элементам a,b из G некоторый элемент a*b того же множества G, называется группой, если выполнены следующие свойства:

I) a*(b*c)=(a*b)*c для любых a,b,c из G;

II) существует такой элемент e∈G (единица, или нейтральный элемент группы G), что a*e=a и e*a=a для любого a∈G;

III) для любого a∈G существует такой элемент a^-1∈G (обратный элемент), что a*a^-1=e, a^-1*a=e;

если, кроме того, для любых a,b из G справедливо соотношение

IV) a*b=b*a, то группа G называется коммутативной (или абелевой).

Из сказанного выше ясно следующее: 1) множество R всех действительных чисел, в котором рассматривается операция сложения, является группой (и притом абелевой); 2) множество R² всех векторов на плоскости с имеющейся в нем операцией сложения является абелевой группой; 3) множество всех отличных от нуля действительных чисел, в котором рассматривается операция умножения, является абелевой группой; 4) множество всех движений плоскости, в котором рассматривается операция композиции, является группой, но не абелевой (т.е. не коммутативной).

В чем польза от введения такой «абстракции второй ступени», какой является группа? Ответ можно сформулировать так. Доказав на основе аксиом 1-4 некоторую теорему теории абелевых групп, мы сможем утверждать, что эта теорема будет справедлива и для действительных чисел, и для векторов, и для любой другой абелевой группы.

Это позволит, один раз доказав теоремы об абелевых группах, применять их в теории относительности, в кристаллографии, в ядерной физике, т.е. во всех областях, где появляются группы.

Свои первые применения понятие группы нашло в алгебре. Особенно интересной была теория, созданная французским математиком Э. Галуа.

В геометрии важную роль играют группы самосовмещений фигур. Если F - некоторая фигура на плоскости (или в пространстве), то можно рассмотреть множество G_F всех тех движений плоскости (или пространства), при которых фигура F переходит в себя. Это множество является группой (см. Геометрические преобразования). Например, для равностороннего треугольника T группа движений плоскости, переводящих треугольник в себя, состоит из 6 элементов: поворотов на углы 0,2π/3,4π/3 вокруг точки O и симметрий относительно трех прямых. Они изображены на рис. 1 красными линиями. Элементы группы самосовмещений правильного треугольника могут быть заданы и иначе. Чтобы пояснить это, пронумеруем вершины правильного треугольника T числами 1, 2, 3. Любое самосовмещение f треугольника T переводит точки 1, 2, 3 в те же самые точки, но взятые в ином порядке, т.е. f может быть условно вписано в виде одной из таких скобок:

и т.д. , (1)

где числами 1, 2, 3 обозначены номера тех вершин, в которые переходят вершины 1, 2, 3 в результате рассматриваемого движения.

Рис. 1

А-Г: ЗАДАЧИ

Задача 2. На чудо-яблоне садовник вырастил 25 бананов и 30 апельсинов. Каждый день он срывает два плода и на их месте вырастает новый, причем если он срывает два одинаковых фрукта, то вырастает апельсин, а если два разных, то вырастает банан. Каким может оказаться последний фрукт на этом дереве?

Задача 3. Обычный комплект домино содержит 28 костей. Если бы количество очков на костях изменялось бы не от 0 до 6, а от 0 до 4, то количество костей было бы лишь 15. (Проверьте.) А сколько костей содержит комплект домино, количество очков у которого меняется от 0 до 12?

Задача 4. Отец и сын наблюдали солнечное затмение, и поэтому темой их разговора были Солнце и Луна. «Папа, - спросил мальчик, - а во сколько раз Солнце дальше от нас, чем Луна?»

«Насколько я помню,- отвечал отец,- в 387 раз».

«Тогда я могу посчитать, во сколько раз объем Солнца больше объема Луны».

«Пожалуй, ты прав»,- подумав, ответил отец.

Во сколько же раз объем Солнца больше объема Луны?

Задача 5. Взяв у сестренки-первоклассницы по одной карточке с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Гена разложил их по две на столе и вдруг увидел, что полученные числа относятся как 1:2:3:4:5. Когда вечером он захотел показать этот интересный результат отцу, то обнаружил, что отсутствует карточка с цифрой 0. Однако, подумав, он из оставшихся карточек сложил пять чисел, отношение которых вновь было 1:2:3:4:5. Как он раскладывал карточки в первый и во второй раз?

ДЕЛИМОСТЬ

Делимость – одно из основных понятий, изучаемых в теории чисел (см. Чисел теория). Говорят, что целое число a делится на целое b≠0, если частное a/b является целым, т. е. существует такое целое число c, что a = bc. Например, 54 делится на 6, так как 54 = 6·9; 273 делится на 21, так как 273 = 21·13. Из определения делимости следует, что число 0 делится на любое число, отличное от нуля.

Часто утверждение о делимости числа a на число b выражают другими равнозначными словами: a кратно b, b - делитель a или же b делит a.

Всякое целое число a делится по крайней мере на четыре числа a, -a, 1, -1. Натуральное число a называется простым, если никаких других делителей оно не имеет.

Приведем несколько свойств делимости:

а) если числа a и b делятся на c, то и числа a+b, a-b делятся на c;

б) если a делится на b и c - произвольное целое число, то ac делится на bc;

в) если a делится на b и b - на c, то a делится на c.

Зная разложения чисел a и b на простые множители, можно легко выяснить, делится ли a на b. Для того чтобы число a делилось на число b, необходимо и достаточно, чтобы каждый простой множитель, входящий в разложение числа b, входил и в разложение числа a; причем если простой множитель встречается k раз в разложении числа b, то он должен встретиться не менее k раз и в разложении числа a.

Если целые числа a и b заданы своими записями в десятичной системе счисления, то, разделив «в столбик» первое число на второе, мы найдем их частное, а значит, сможем ответить на вопрос, делится ли a на b.

Уже давно были найдены признаки делимости чисел, которые позволяют в некоторых случаях быстро установить делимость одного числа на другое, не прибегая к непосредственному делению «в столбик». Среди этих признаков практически наиболее удобны следующие (связанные с записью числа в десятичной системе):

а) для делимости на 2 нужно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2;

б) для делимости на 3 нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3;

в) для делимости на 4 нужно, чтобы число, записанное двумя последними цифрами, делилось на 4;

г) для делимости на 5 нужно, чтобы последняя цифра была 0 или 5;

д) для делимости на 8 нужно, чтобы число, записанное тремя последними цифрами, делилось на 8;

е) для делимости на 9 нужно, чтобы сумма цифр делилась на 9;

ж) для делимости на 10 нужно, чтобы последняя цифра была 0;

з) для делимости на 11 нужно, чтобы разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делилась на 11.

Развитие идеи делимости привело к понятию сравнения, использование которого позволило перенести в теорию чисел алгебраические методы и с их помощью получить большое количество интересных результатов.

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями. Это, например, уравнения:

3x + 5y = 7;

x² + y² = z²

3x³ = 4y³ = 5z³

Названы они по имени греческого математика Диофанта, жившего в III в. Его книга «Арифметика» содержала большое количество интересных задач, ее изучали математики всех поколений. Книга сохранилась до наших дней, ее можно найти в русском переводе в библиотеке.

Задачи поиска целочисленных и рациональных решений обычно тесно связаны между собой. Легко сообразить, какая связь есть между целочисленными решениями уравнения 3x³ + 4y³ = 5z³ и рациональными решениями уравнения 3/5 u³ + 4/5 v³ ( u = x/z, v = y/z).

К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвестные значения величин могут быть только целыми числами.

Решение уравнений в целых числах – очень увлекательная задача. С древнейших времен накопилось много способов решения конкретных диофантовых уравнений, однако только в нашем веке появились общие приемы их исследования. Правда, линейные диофантовы уравнения и диофантовы уравнения 2-й степени научились решать давно.

Так, легко доказать, что по формулам x=4+5t, y = -1-3t (t - любое целое число) находятся все целочисленные решения уравнения 3x + 5y = 7. Формулы для нахождения целочисленных сторон прямоугольного треугольника (т.е. для решения уравнения x² + y² = z²) были известны еще древним индийцам: x = 2uv, y = u² - v², z = u² + v² (u и v - целые числа, u>v).

Решения диофантовых уравнений более высоких степеней, а также систем уравнений давались с большим трудом. Знаменитое уравнение П. Ферма, которое более трехсот лет назад он написал на полях «Арифметики» Диофанта, xⁿ + yⁿ = zⁿ (n>2) не решено до сих пор (см. Ферма великая теорема).

Даже при n = 3 диофантовы уравнения поддаются решению с большим трудом, причем ответы могут быть совершенно разными. Так, уравнение 3x³ + 4y³ = 5z³ совсем не имеет решений в целых числах, кроме нулевого. Уравнение x³+y³=2z³ имеет конечное число решений в целых числах, которые легко найти. Уравнение x³+y³=9z³ имеет бесконечно много целочисленных решений, однако написать для них формулы далеко не просто.

Правда, оказалось, что кубические уравнения стоят в некотором смысле особняком. В 20-е гг. нашего века английский математик Е. И. Морделл высказал гипотезу, что уравнение более высокой степени, чем 3, должно иметь, как правило, конечное число целочисленных решений. Эта гипотеза была в 1983 г. доказана голландским математиком Г. Фалтингсом. Тем самым подтвердилось, что уравнение Ферма xⁿ + yⁿ = zⁿ при всяком n>2 имеет лишь конечное число решений в целых числах (без общих множителей). Однако пока нет способа найти эти решения.

Долгое время надеялись отыскать общий способ решения любого диофантова уравнения. Однако в 1970 г. ленинградский математик Ю. В. Матиясевич доказал, что такого общего способа быть не может.

Решение уравнений в целых числах – один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений. Ферма, Эйлер и Лагранж, Дирихле и Гаусс, Чебышев и Риман оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории.

ДИРИХЛЕ ПРИНЦИП

Этот принцип утверждает, что если множество из N элементов разбито на n непересекающихся частей, не имеющих общих элементов, где N > n, то, по крайней мере, в одной части будет более одного элемента. Принцип назван в честь немецкого математика П. Г. Л. Дирихле (1805-1859), который успешно применял его к доказательству арифметических утверждений.

По традиции в популярной литературе принцип Дирихле объясняют на примере «зайцев и клеток»: если N зайцев сидят в n клетках и N > n, то хотя бы в одной клетке сидит более одного зайца. Часто применяют обобщение принципа Дирихле: если зайцев N > nk, то хотя бы в одной клетке сидит более k зайцев. Самая популярная задача на прямое применение принципа Дирихле такова: на Земле живет 3 млрд. человек, у каждого на голове – не более миллиона волос (цифры условные). Нужно доказать, что обязательно найдутся два человека с одинаковым числом волос. А какое число людей с одинаковым числом волос можно гарантировать?

На той же идее основано доказательство того, что при обращении обыкновенной дроби p/q, p < q, q > 0 в десятичную получается или конечная, или бесконечная периодическая десятичная дробь, причем длина периода не превосходит q - 1. Будем делить p на q «уголком» и следить за остатками. Если на каком-то шаге остаток будет нулевым, то получится конечная дробь. Если же все остатки будут отличны от нуля, то не позже, чем на (q - 1)-м шагу начнут повторяться остатки, а вслед за этим – и цифры в частном.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Дифференциальное исчисление – это раздел анализа математического, связанный главным образом с понятиями производной и дифференциала функции. В дифференциальном исчислении изучаются правила вычисления производных (законы дифференцирования) и применения производных к исследованию свойств функций.

Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал – возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой. Рассмотрим подробно каждую из них.

Будем вслед за итальянским ученым Г. Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Пусть t - время, отсчитываемое от начала падения, a s(t) - пройденное к моменту t расстояние. Галилей экспериментально нашел, что зависимость s(t) имеет следующий простой вид:

s(t) = 1/2 gt²,

где t - время в секундах, а g - физическая постоянная, равная примерно 9,8 м/с2.

Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v падения постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t)? Ясно, что, зная зависимость s(t), т.е. закон движения падающего тела, мы в принципе должны иметь возможность получить отсюда и выражение для скорости v(t) как функции времени.

Попробуем найти зависимость v от t. Будем рассуждать следующим образом: фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть h - небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдет путь, равный s(t + h) - s(t). Если промежуток времени h очень маленький, то скорость тела за время h не успевает заметно измениться, поэтому можно считать, что если h мало, то приближенно

s(t + h) - s(t) ≈ v(t)·h, (1)

или

, (2)

причем последнее приближенное равенство тем точнее, чем меньше h (чем ближе величина h к нулю). Значит, величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится стоящее в левой части приближенного равенства (2) отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t + h, когда величина h стремится к нулю.

Сказанное записывают в виде

. (3)

Проведем указанные в соотношении (3) вычисления, исходя из найденной Галилеем зависимости

s(t) = 1/2 gt².

Сделаем сначала элементарные вычисления:

s(t+h) - s(t) = 1/2 g(t+h)² - 1/2 gt² = 1/2 g(t² + 2th + h²) - 1/2gt² = gth + 1/2gh²;

а теперь, разделив на h, получаем

.

Когда h стремится к нулю, второе слагаемое записанной справа суммы тоже стремится к нулю, а первое остается постоянным, точнее, не зависящим от величины h, поэтому в нашем случае

,

и мы нашли закон

v(t) = gt

изменения скорости свободно падающего тела. Обратите внимание, формула (3) одновременно дает и определение, и правило вычисления значений v(t) мгновенной скорости изменения функции s(t).

Поскольку скорость v(t) сама есть функция времени, то можно было бы поставить вопрос о скорости ее изменения. В физике скорость изменения скорости называется ускорением. Таким образом, если v(t) - скорость как функция времени, то, рассуждая как и при выводе формулы (3), для мгновенного ускорения a(t) в момент времени t получаем выражение

. (4)

Посмотрим, что дает эта формула для случая свободного падения, в котором, как мы вычислили, v(t) = gt:

v(t+h) - v(t) = g(t+h) - gt = gh,

,

и, поскольку g - постоянная, то из (4) получается, что a(t) = g, т. е. ускорение свободно падающего тела постоянно и величина g есть та самая физическая постоянная, которая выражает ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Нетрудно заметить полное сходство выражений (3), (4) и понять, что мы нашли общее математическое выражение для мгновенной скорости изменения переменной величины. Конечно, результат вычислений по формулам (3), (4), как мы убедились, зависит от конкретного вида функций s(t) или v(t) но сами операции над этими функциями, которые предписываются правыми частями формул (3), (4), одни и те же.

Обобщая сделанные наблюдения, в математическом анализе уже для любой функции y=f(x) рассматривают важную величину:

, (5)

которую называют производной функции f.

Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной y по отношению к изменению независимой переменной x; последняя теперь уже не обязана иметь физический смысл времени.

Значение производной f'(x) зависит от значения аргумента x, поэтому, как и в случае скорости, производная f'(x) некоторой функции f(x) сама является функцией переменной x.

Например, если f(x) = x³, то

;

далее, при h, стремящемся к нулю, величина, стоящая в последних скобках, стремится к нулю, а вся правая часть при этом стремится к значению 3x². Мы нашли таким образом, что если f(x) = x³, то f'(x) = 3x².

В формуле (5) величину h разности (x+h) - x называют приращением аргумента функции и часто обозначают символом Δx (читается: дельта икс), а разность f(x+h) - f(x) обозначают обычно через Δf (или, более полно через Δf(x,Δx)) и называют приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента. В этих обозначениях выражение (5) приобретает вид:

,

или .

Таким образом, значение f'(x) производной функции f(x) в точке x - это предел отношения приращения функции Δf(x,Δx), соответствующего смещению Δx от точки x, к приращению Δx аргумента x, когда Δx стремится к нулю.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. С физической точки зрения, как мы теперь понимаем, дифференцирование – это определение скорости изменения переменной величины.

В дифференциальном исчислении выводятся производные основных элементарных функций. Укажем, например, что производными функций x^α, sin x, cos x являются соответственно функции αx^α-1, cos x и -sin x.

В дифференциальном исчислении выводятся также следующие общие правила дифференцирования:

(cf)' = cf' (вынесение постоянного множителя);

(f₁±f₂)' = f₁' ± f₂' (дифференцирование суммы и разности функций);

(f₁ · f₂)' = f₁'·f₂ + f₁f₂' (дифференцирование произведения функций);

(дифференцирование частного функций).

Наконец, справедливо также следующее важное правило дифференцирования сложной функции: если y = f(u), а u = φ(x), то производная функции f(φ(x)) равна f'(u)·φ'(x), или (f(φ(x)))' = f'(φ(x))·φ'(x).

Общие законы дифференцирования существенно облегчают отыскание производных, а для любых комбинаций элементарных функций делают дифференцирование столь же доступной операцией, как и арифметические действия для человека, знающего таблицу умножения.

Например, если f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+ a_nxⁿ - многочлен, то

f'(x)=(a₀x⁰ + a₁x¹ + a₂x²+... + a_nxⁿ)'=

=(a₀x⁰)' + (a₁x¹)' + (a₂x²)'+... + (a_nxⁿ)'=

=a₀(x⁰)' + a₁(x¹)' + a₂(x²)'+... + a_n(xⁿ)'=

=a₀(0·x^0-1)' + a₁(1·x^1-1)' + a₂(2·x^2-1)'+... + a_n(n·x^n-1)'=

=a₁ + 2a₂x+... + na_nx^n-1)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Математический анализ как анализ переменных величин с момента своего появления развивался в тесной связи с естествознанием, и в частности с физикой и механикой. Потребности развития физических наук, необходимость количественного изучения движения и меняющихся процессов привели к возникновению и формированию основных понятий дифференциального исчисления и интегрального исчисления. Понятие дифференциального уравнения – одно из основных. Чтобы разъяснить это понятие, рассмотрим, из чего складывается изучение какого-либо физического процесса. Это – создание физической гипотезы, основанной на эксперименте, математическая форма записи физической гипотезы, математическое решение этой задачи и физическое толкование выводов из ее решения. Такой подход к изучению явлений природы впервые был предложен итальянским ученым Г. Галилеем (1564-1642). Впервые его блестяще применил один из создателей математического анализа - И. Ньютон. Математически сформулировать физические законы оказалось возможным лишь с появлением математического анализа и на его языке.

В очень большом числе случаев физические законы описывают некоторые соотношения между величинами, характеризующими изучаемый процесс, и скоростью изменения этих величин. Другими словами, эти законы выражаются равенствами, в которых участвуют неизвестные функции и их производные. Такие равенства называются дифференциальными уравнениями. Они появляются как математическая форма записи ряда физических законов. Изучение процессов, описываемых этими законами, сводится к изучению свойств решений дифференциальных уравнений. Поясним это на примерах.

Пусть тело (например, металлическая пластина), нагретое до температуры y₀, в момент времени t=0 погружается в очень большой сосуд с воздухом нулевой температуры. Очевидно, тело начнет охлаждаться, и его температура будет функцией времени t. Обозначим ее y(t).

Согласно закону охлаждения Ньютона, скорость изменения температуры тела, т.е. производная dy/dt, пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, в данном случае пропорциональна y(t). Таким образом получаем, что в каждый момент времени справедливо соотношение

(1)

(k - положительный коэффициент, зависящий от материала тела, знак «минус» потому, что температура убывает).

Это соотношение (1) в виде дифференциального уравнения является математической записью закона охлаждения, которое выражает зависимость между функцией (температурой) и ее производной в один и тот же момент времени. Его также называют математической моделью рассматриваемого процесса.

Решить дифференциальное уравнение – значит найти все функции y(t), которые обращают уравнение в тождество. Все решения приведенного выше дифференциальною уравнения даются формулой

y=Ce^-kt

(где C - произвольная постоянная), которая представляет собой его общее решение. Нахождение решения дифференциального уравнения всегда связано с операцией интегрирования, поэтому вместо слова «решить» часто употребляется глагол «проинтегрировать» (дифференциальное уравнение).

В процессе охлаждения тела, который мы рассматриваем, нас интересует лишь то решение, которое в момент времени t=0 принимает значение y₀. Подставляя в приведенную выше формулу t=0, находим: C=y₀. Значит, закон охлаждения окончательно можно выразить так:

y(t) = y₀e^-kt.

Как видим, температура тела с течением времени понижается по показательному (экспоненциальному) закону и стремится к температуре окружающей среды (рис. 1).

Рис. 1

Условие y(0)=y₀ принято называть начальным, оно позволяет из бесконечного множества решений выбрать единственное.

Рассмотренное дифференциальное уравнение (1) выражает тот факт, что скорость изменения функции пропорциональна (с коэффициентом - k) самой функции. Такая зависимость наблюдается и в других явлениях природы, например падение атмосферного давления в зависимости от высоты над уровнем моря пропорционально величине давления. Еще пример радиоактивный распад: скорость уменьшения массы радиоактивного вещества пропорциональна количеству этого вещества. Следовательно, атмосферное давление y как функция высоты t над уровнем моря и масса радиоактивного вещества y как функция времени t удовлетворяют уравнению (1). Как видим, одно и то же дифференциальное уравнение может служить математической моделью совершенно разных явлений.

Рассмотрим небольшой шарик массой m, к которому прикреплена горизонтально расположенная пружина. Другой ее конец закреплен (рис. 2). Направим ось Ox вдоль оси пружины, за начало координат примем положение равновесия шарика. Если немного сместить шарик вдоль оси, то возникнет упругая сила F, стремящаяся вернуть его в положение равновесия. По закону Гука, эта сила пропорциональна смещению x, т.е. F=-kx (k - положительная константа, характеризующая упругие свойства пружины, знак «минус» ставится потому, что сила восстанавливающая). Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело массой m, равна произведению массы на ускорение a:

F=ma.

Рис. 2

Если же x(t) - положение шарика в момент времени t, то его ускорение выражается второй производной x"(t). Таким образом, движение шарика под действием упругих сил можно выразить дифференциальным уравнением

mx"(t)=-kx(t),

которое чаще записывается в виде

x"(t)+ω²x(t)=0, где ω²=k/m.

Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Можно доказать, что любое его решение может быть записано в виде

x(t)=Acos(ωt+φ),

здесь A и φ - произвольные постоянные. Движения, характеризуемые таким уравнением, называются гармоническими колебаниями. Они представляют собой периодическое движение (рис. 3) с периодом T=2π/φ; величина A называется амплитудой колебания.

Рис. 3

Очевидно, что дифференциальное уравнение x"(t)+ω²x(t)=0 не вполне определяет движение шарика. Оно зависит от того, на какую величину x₀ шарик был смещен в момент времени t=0 и с какой скоростью v=x'(0) он отпущен, т.е. зависит от начальных данных. Если, например, скорость была нулевой, то движение шарика будет подчиняться закону

x(t)=x₀ cos ωt.

Полученное нами выше дифференциальное уравнение есть математическая форма записи (математическая модель) закона движения под действием только силы упругости. Если рассмотреть движение шарика в среде, оказывающей сопротивление, и предположить, что кроме сил упругости на шарик действует сила сопротивления, пропорциональная скорости движения, то дифференциальное уравнение такого движения будет иметь вид:

mx"(t)+cx'(t)+kx(t)=0.

Решения этого уравнения уже не являются периодическими функциями, а представляют собой колебания с изменяющейся амплитудой, так называемые затухающие колебания (рис. 4).

Рис. 4

Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным; таковы рассмотренные выше уравнения. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него. Как видим, уравнение dy/dt=-ky первого порядка, уравнение x"(t)+ω²x(t)=0 - второго.

Если неизвестная функция зависит от нескольких переменных, то дифференциальное уравнение содержит ее частные производные и называется дифференциальным уравнением с частными производными. Такие уравнения описывают, например, колебание мембраны, распространение тепла в некоторой среде, движение спутника.

Дифференциальные уравнения – важный математический аппарат в естествознании. Они применяются в физике и астрономии, аэродинамике и теории упругости, химии и экономике, биологии и медицине.

Дифференциальное уравнение первого порядка вида dy/dt=f(x,t) допускает простую геометрическую интерпретацию. Если x=φ(t) - его решение, то это уравнение в каждой точке кривой x=φ(t) задает значение производной dx/dt, т. е. значение тангенса угла наклона касательной. Таким образом, в каждой точке области определения функции f(x,t) задается угловой коэффициент касательной к решению, как говорят, задается поле направлений. Геометрически поле направлений обычно изображается единичными векторами. На рис. 5 представлено поле направлений дифференциального уравнения dx/dt=t²+x².

Рис. 5

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Доказательство – цепочка умозаключений, устанавливающая истинность данного суждения.

Метод перебора – один из простейших методов доказательства. Например, чтобы установить, что заданное число, скажем 103, простое, достаточно проверить, что оно не делится ни на одно простое число, не превосходящее корня из данного числа, в нашем случае, что оно не делится на 2, 3, 5, 7.

Однако когда количество объектов бесконечно, то уже невозможно перебрать все варианты. Здесь может помочь метод математической индукции, с помощью которою можно доказывать утверждения уже для бесконечного количества объектов.

Один из методов доказательства – принцип Дирихле (см. Дирихле принцип).

Доказательство – единственный способ установления истины в классической математике. Оно далеко не сразу заняло в математике такую исключительную роль. Например, в египетской и вавилонской математике вычислительные формулы, т.е. «рецепты» решения задач, так или иначе угадывались, они подвергались экспериментальной проверке, а затем сообщались в виде немотивированных утверждений.

Доказательства не сразу появились и в греческой геометрии. Архимед (III в. до н.э.) говорил о результатах, ранее «найденных, но не доказанных». С V в. до н.э. философы, начиная с Парменида и его ученика Зенона, во многом учась у ораторов, вычленяют различные приемы перехода от одних истинных утверждений к другим. Парменид формулирует закон «исключенного третьего» (из двух противоположных утверждений одно, и только одно, истинно), а Зенон использует метод приведения к абсурду (противоречию).

Но в математику эти приемы проникают не сразу: по-видимому, еще Демокрит, живший в V-IV вв. до н. э., обходился без доказательств. В IV в. до н.э. логика завоевывает математику. Несомненно, на первых порах доказательство – это логическое сведение неочевидных утверждений к очевидным или уже известным.

Наши современники не могут точно воссоздать картину, как появилась идея максимально ограничить число очевидных утверждений (аксиом), об истинности которых заключается соглашение и из которых остальные утверждения выводятся чисто логически (см. Аксиоматика и аксиоматический метод). В «Началах» Евклида (III в. до н.э.) грандиозная программа аксиоматизации геометрии уже полностью решена. По правилам Евклида доказательства должны быть чисто логическими выводами из аксиом. Окончательные геометрические тексты тщательно оберегались от дополнительных апелляций к очевидности. Прокл Диадох (V в.), первый комментатор Евклида, писал: «...мы научились от самих пионеров этой науки совсем не принимать в расчет правдоподобные заключения, когда дело касается рассуждений, которые должны войти в науку геометрии». Тем временем Аристотель проводит формализацию и каталогизацию правил умозаключений. Его утверждение об их конечности и обозримости не менее поразительно, чем утверждение о конечности множества аксиом. Полнота этих двух каталогов не оспаривалась до XIX в.

Правила, которыми мы пользуемся при логических рассуждениях (доказательствах), не выходят за пределы простых логических операций. Утверждение, справедливое для некоторого множества (скажем, всех параллелограммов), справедливо и для его подмножества (например, прямоугольников). Если справедливы утверждения A и из A следует B, то справедливо B. При доказательстве теоремы, имеющей вид «из A следует B» (A - то, что дано, B - то, что требуется доказать), при помощи уже известных нам теорем выводятся разные следствия, которые затем комбинируются, и из их комбинаций делаются новые выводы, пока в результате не получится B.

При доказательстве методом от противного теоремы «из A следует B» из справедливости утверждения A и отрицания утверждения B выводится справедливость пары противоположных утверждений, например, достаточно доказать отрицание утверждения A или утверждения B. Вспомним одно из классических доказательств от противного – доказательство Евклида бесконечности множества простых чисел. Если предположить, что множество простых чисел конечно и p₁,p₂,...,p_k - их полный набор, то число p₁... p_k + 1 не может быть составным, так как оно не делится ни на одно из простых чисел p_j, но оно не может быть и простым, так как оно больше каждого p_k.

Существуют и другие способы установления справедливости математических утверждений. Так, у Архимеда большинство его замечательных утверждений о площадях криволинейных фигур и объемах тел было получено первоначально при помощи чисто механических рассуждений с центрами тяжести, равновесием рычагов и т.д. В дальнейшем появилось большое число «механических» доказательств геометрических утверждений. Вот одно из самых изящных. Из внутренней точки многогранника на его грани опускаются перпендикуляры. Надо доказать, что хотя бы для одной грани перпендикуляр придется на саму грань, а не на ее продолжение. «Механическое» рассуждение состоит в следующем. Изготовляется массивный многогранник с неравномерной плотностью, у которого центр тяжести находится в заданной точке. Если все перпендикуляры попадут на продолжения граней, то многогранник не сможет стоять ни на одной грани, и мы получим вечный двигатель. Можно ли считать это рассуждение доказательством? С точки зрения, принятой в геометрии, разумеется, нет. Более того, нет никаких формальных способов преобразовывать «механические» доказательства в геометрические. Архимед справился с этой задачей, он дал геометрические доказательства к найденным им фактам.

Доказательство теоремы, как правило, не несет никакой информации о том, как к этой теореме можно на самом деле прийти. Одним из немногих великих математиков, допускавших посторонних в свою творческую лабораторию, был Л. Эйлер. Тексты Эйлера дают нам возможность проследить за ходом его мысли. Например, он рассматривает бесконечный ряд

.

Далее, используя, что sin x/x = 0 при x=kπ, Эйлер применяет к ряду теорему о разложении на линейные множители, как если бы это был многочлен:

.

Раскрывая скобки и вычисляя коэффициент при x², получаем π²/6=1+1/4+1/9+1/16+...+1/n²+... . Разумеется, Эйлер понимал, что его смелое рассуждение доказательством не является. Он ищет косвенные подтверждения: вычисляет с большим числом знаков левую и правую части полученного соотношения, получает другие аналогичные соотношения и в их числе уже доказанное Лейбницем: π/4=1-1/3+1/5-1/7+... . У него появляется уверенность в правильности своего рассуждения, хотя он еще не в состоянии проводить эквивалентные строгие доказательства. Эйлер энергично использует свой прием для открытия новых фактов. Умение открывать новые факты в виде гипотез, умение исследовать гипотезы на правдоподобность, как и умение проводить строгие доказательства, важнейшие компоненты математического творчества.

С XVII в. математики начинают осознавать, что, в отличие от представителей других наук, они имеют надежный способ установления истины – доказательство. С этим связаны многочисленные попытки перенести доказательства за пределы математики. И. Ньютон строит механику на аксиомах по образцу «Начал» Евклида. Нидерландский философ-материалист XVII в. Б. Спиноза аксиоматизирует этику. Начиная с французского математика и физика П. С. Лапласа (1749-1827) многие пытались внедрить математические рассуждения в юридическую практику. Делались бесконечные попытки решить проблемы человеческих отношений при помощи математики. Но, конечно же, в самой математике доказательства стали играть важнейшую роль.

К началу нашего века аксиоматический метод выходит за пределы геометрии. Большинство фактов о числах, известных со времен Пифагора, носило характер частных наблюдений над конкретными числами, а не обобщающих теорем. В XVI в. теоремы появились в алгебре (у Дж. Кардано), в XVII в. – в теории чисел (у П. Ферма). Однако здесь математики не имели дело с аксиоматическими теориями и понимание доказательства находилось на доевклидовом уровне, когда набор исходных утверждений не фиксируется. В XIX в. начинается аксиоматизация всей математики. На новом уровне формализуются и перечисляются правила вывода – перехода от одних утверждений к другим. Это позволило доказать, что некоторые утверждения невыводимы из аксиом. Всеобщее удивление вызвало рассуждение немецкого математика К. Геделя о том, что в арифметике и вообще во всякой содержащей ее аксиоматической теории существует такая теорема, что ни она сама, ни ее отрицание невыводимы из аксиом.

ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

Эта функция представляет собой частное двух линейных функций и задается формулой:

y = (ax + b) / (cx + d). (1)

Дробно-линейная функция сводится к линейной функции при c=0 и к постоянной при ad=bc.

Особенно важен частный случай дробно-линейной функции при a=d=0, так как он выражает закон обратной пропорциональной зависимости:

y = k/x. (2)

Обратная пропорциональная зависимость связывает, например, давление газа p и его объем v при постоянной температуре, так как по закону Бойля-Мариотта pv = const. В случае равномерного движения при прохождении заданного пути s время движения t обратно пропорционально скорости v, т.е. t=s/v.

Графики функций y=k/x при различных значениях k изображены на рис. 1: сплошной линией при k>0 и пунктирной при k<0. Все эти кривые называются равнобочными гиперболами, они стремятся к оси Ox при неограниченном возрастании и убывании аргумента x и стремятся к оси Oy при стремлении x слева или справа к нулю.

Рис. 1

График общей дробно-линейной функции (1) получается из графика функции y=k/x при помощи параллельного переноса. На рис. 2 приведен график функции

y = (2x + 3) / (x - 1).

Рис. 2

Эта функция представима в виде

y = 2 + 5 / (x - 1),

и легко понять, что ее график получается параллельным переносом из равнобочной гиперболы y=5/x и заключен между прямыми x=1 и y=2, к которым неограниченно приближается.

ЕВКЛИД И ЕГО «НАЧАЛА»

В течение двух тысяч лет геометрию узнавали либо из «Начал» Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги. Лишь профессиональные математики обращались к трудам других великих греческих геометров: Архимеда, Аполлония – и геометров более позднего времени. Классическую геометрию стали называть евклидовой в отличие от появившихся в XIX в. «неевклидовых геометрий».

Об этом поразительном человеке история сохранила настолько мало сведений, что нередко высказываются сомнения в самом его существовании. Что же дошло до нас? Каталог греческих геометров Прокла Диадоха Византийского, жившего в V в. н.э., - первый серьезный источник сведений о греческой геометрии. Из каталога следует, что Евклид был современником царя Птолемея I, который царствовал с 306 по 283 г. до н.э.

Евклид должен быть старше Архимеда, который ссылался на «Начала». До наших времен дошли сведения, что он преподавал в Александрии, столице Птолемея I, начинавшей превращаться в один из центров научной жизни. Евклид был последователем древнегреческого философа Платона, и преподавал он, вероятно, четыре науки, которые, по мнению Платона, должны предшествовать занятиям философией: арифметику, геометрию, теорию гармонии, астрономию. Кроме «Начал» до нас дошли книги Евклида, посвященные гармонии и астрономии.

Что касается места Евклида в науке, то оно определяется не столько собственными его научными исследованиями, сколько педагогическими заслугами. Евклиду приписывается несколько теорем и новых доказательств, но их значение не может быть сравнимо с достижениями великих греческих геометров: Фалеса и Пифагора (VI в. до н. э.), Евдокса и Теэтета (IV в. до н.э.). Величайшая заслуга Евклида в том, что он подвел итог построению геометрии и придал изложению столь совершенную форму, что на две тысячи лет «Начала» стали энциклопедией геометрии.

Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Позже греческие математики включили в «Начала» еще две книги – XIV-ю и XV-ю, написанные другими авторами.

Первая книга Евклида начинается с 23 «определений», среди них такие: точка есть то, что не имеет частей; линия есть длина без ширины; линия ограничена точками; прямая есть линия, одинаково расположенная относительно всех своих точек; наконец, две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они, сколь угодно продолженные, не встречаются. Это скорее наглядные представления об основных объектах, и слово «определение» в современном понимании не точно передает смысл греческого слова «хорой», которым пользовался Евклид.

В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов, сравниваются их площади. Здесь появляется теорема о сумме углов треугольника. Затем следует пять геометрических постулатов: через две точки можно провести одну прямую; каждая прямая может быть сколь угодно продолжена; данным радиусом из данной точки можно провести окружность; все прямые углы равны; если две прямые проведены к третьей под углами, составляющими в сумме меньше двух прямых, то они встречаются с той же стороны от этой прямой. Все эти постулаты, кроме одного, вошли в современные курсы основной геометрии. За постулатами приводятся общие предположения, или аксиомы – восемь общематематических утверждений о равенствах и неравенствах. Книга заканчивается теоремой Пифагора (см. Пифагора теорема).

В книге II излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало.

В книге III рассматриваются свойства круга, свойства касательных и хорд, в книге IV – правильные многоугольники, появляются основы учения о подобии. В книгах VII-IX изложены начала теории чисел (см. Чисел теория), основанной на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя, приводится алгоритм Евклида (см. Евклида алгоритм), сюда входит теория делимости и теорема о бесконечности множества простых чисел.

Последние книги посвящены стереометрии. В книге XI излагаются начала стереометрии, в XII с помощью метода исчерпания определяются отношение площадей двух кругов и отношение объемов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Вершина стереометрии у Евклида – теория правильных многогранников. В «Начала» не попало одно из величайших достижений греческих геометров – теория конических сечений. О них Евклид написал отдельную книгу «Начала конических сечений», не дошедшую до нас, но ее цитировал в своих сочинениях Архимед.

«Начала» Евклида не дошли до нас в подлиннике. Двенадцать столетий отделяют от Евклида самые старые известные списки, семь столетий – сколь-нибудь подробные сведения о «Началах». В средневековую эпоху интерес к математике был утрачен, некоторые книги «Начал» пропали и потом с трудом восстанавливались по латинским и арабским переводам. А к тому времени тексты обросли «улучшениями» позднейших комментаторов.

В период возрождения европейской математики (XVI в.) «Начала» изучали и воссоздавали заново. Логическое построение «Начал», аксиоматика Евклида воспринимались математиками как нечто безупречное до XIX в., когда начался период критического отношения к достигнутому, который закончился новой аксиоматикой евклидовой геометрии – аксиоматикой Д. Гильберта. Изложение геометрии в «Началах» считалось образцом, которому стремились следовать ученые и за пределами математики.

ЕВКЛИДА АЛГОРИТМ

Алгоритм Евклида – это способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, а также наибольшей общей меры двух соизмеримых отрезков.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух целых положительных чисел, нужно сначала большее число разделить на меньшее, затем второе число разделить на остаток от первого деления, потом первый остаток – на второй и т.д. Последний ненулевой положительный остаток в этом процессе и будет наибольшим общим делителем данных чисел.

Обозначив исходные числа через a и b, положительные остатки, получающиеся в результате делений, через r₁,r₂,...r_n, а неполные частные через q₁,q₂,...q_n+1, можно записать алгоритм Евклида в виде цепочки равенств:

a=bq₁+r₁

b=r₁q₂+r₂

......................

r_n-2=r_n-1q_n+r_n

r_n-1=r_nq_n+1 Приведем пример. Пусть a=777, b=629. Тогда 777=629·1+148, 629=148·4+37, 148=37·4. Последний ненулевой остаток 37 и есть наибольший общий делитель чисел 777 и 629.

Для нахождения наибольшей общей меры двух отрезков поступают аналогично. Операцию деления с остатком заменяют ее геометрическим аналогом: меньший отрезок откладывают на большем столько раз, сколько возможно; оставшуюся часть большего отрезка (принимаемую за «остаток от деления») откладывают на меньшем отрезке и т.д. Если отрезки a и b соизмеримы, то последний ненулевой остаток даст наибольшую общую меру этих отрезков. В случае несоизмеримых отрезков получаемая последовательность ненулевых остатков будет бесконечной.

Рассмотрим пример. Возьмем в качестве исходных отрезков стороны AB и AC равнобедренного треугольника ABC, у которого , . В качестве первого остатка мы получим отрезок AD (CD - биссектриса угла C), и, как легко видеть, последовательность ненулевых остатков будет бесконечной. Значит, отрезки AB и AC несоизмеримы.

Алгоритм Евклида известен издавна. Ему уже более 2 тыс. лет. Этот алгоритм сформулирован в «Началах» Евклида, где из него выводятся свойства простых чисел, наименьшего общего кратного и т.д. Как способ нахождения наибольшей общей меры двух отрезков алгоритм Евклида (иногда называемый методом попеременного вычитания) был известен еще пифагорейцам. К середине XVI в. алгоритм Евклида был распространен на многочлены от одного переменного. В дальнейшем удалось определить алгоритм Евклида и для некоторых других алгебраических объектов.

Алгоритм Евклида имеет много применений. Равенства, определяющие его, дают возможность представить наибольший общий делитель d чисел a и b в виде d=ax+by (x,y - целые числа), а это позволяет находить решения диофантовых уравнений 1-й степени с двумя неизвестными. Алгоритм Евклида является средством для представления рационального числа в виде цепной дроби (см. Календарь). Он часто используется в программах для электронных вычислительных машин.

ЕДИНИЦА

Единица – это первое число натурального ряда, а также одна из цифр в десятичной системе счисления.

Считается, что обозначение единицы любого разряда одним и тем же знаком (довольно близким современному) появилось впервые в Древнем Вавилоне приблизительно за 2 тыс. лет до н.э.

Древние греки, считавшие числами лишь натуральные числа, рассматривали каждое из них как собрание единиц. Самой же единице отводилось особое место: она числом не считалась. (Это заставляло, например, Евклида отдельно доказывать свойства пропорций в случае, когда один из членов пропорции равен единице.)

Но уже И. Ньютон писал: «...под числом мы понимаем не столько собрание единиц, сколько отвлеченное отношение одной величины к другой величине, условно принятой нами за единицу». Таким образом, к тому времени единица уже заняла свое законное место среди других чисел.

Основное свойство, характеризующее число 1, таково: a·1=a для любого числа a.

Это свойство числа 1 переносится и на некоторые другие математические объекты, для которых определена операция умножения (см. Группа).

ЗНАКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

Знаки математические – условные обозначения, которые служат для записи математических понятий, предложений, соотношений. Развитие системы обозначений в математике было тесно связано с общим развитием ее понятий и методов.

В процессе становления математических наук возникала необходимость в точных, ясных и сжатых формулировках, требовалось устранить громоздкость словесных описании математических фактов, многозначность в математических выражениях.

Первыми математическими знаками были цифры. В работах древнегреческих математиков, например в «Началах» Евклида, отрезки и другие геометрические объекты обозначались буквами. Зачатки буквенного обозначения величин появились в III в., когда Диофант ввел обозначения для неизвестной величины и ее степеней, предложил особые знаки для операции вычитания и для обозначения равенства. Буквенные обозначения для неизвестных применяли индийские математики в VII в., однако создание развернутого буквенного исчисления относится к XIV-XVII вв. В конце XV в. француз Н. Шюке и итальянец Л. Пачоли впервые написали знаки сложения и вычитания и (от латинского plus и minus), а немецкие математики ввели современные обозначения + и -.

В XVI в. математики применяли смешанные записи, содержавшие слова и некоторые математические знаки. Например, уравнение x³ + 5x = 12 имело бы у Дж. Кардано (1545) вид

I. cubus positionibus aequantur 12 (cubus - «куб», positio - «неизвестная», aequantur - «равно»); у итальянского математика Р. Бомбелли (1572) – вид

1³p.5¹ equale а 12

(³ - «куб неизвестной», ¹ «неизвестная», equale а - «равно»); у французского ученого Ф. Виета (1591 г.) – вид

IC+5N aequantur 12

(C - cubus - «куб», N - numerus - «число»). Но постепенно слова заменялись символами, и уже в 1631 г. англичанин Т. Гарриот записал бы это уравнение в виде

aaa + 5·a=12.

В начале XVII в. вошли в употребление знак равенства и скобки: квадратные предложил итальянский математик Р. Бомбелли, круглые – итальянский математик Н. Тарталья, фигурные – Ф. Виет.

Важным шагом в развитии алгебраической символики оказалось введение Ф. Виетом математических знаков для произвольных постоянных величин. Он обозначал их прописными согласными буквами латинского алфавита, а неизвестные величины – гласными буквами. Виет создал и алгебраические формулы.

В 1637 г. Р. Декарт придал знакам алгебры современный вид. Он изображал неизвестные величины при помощи последних букв латинского алфавита x,y,z, а данные величины – начальными буквами a,b,c. Предложенные Декартом символы скоро стали употреблять повсеместно. Ему же принадлежит обозначение показателя степени.

Более 500 лет длилась эволюция знака радикала. Современное обозначение √ состоит из двух частей – знака - модифицированной буквы r (от radix-«корень») и черты, заменявшей ранее скобки.

В конце XVII в. в связи с созданием дифференциального и интегрального исчислений Г. В. Лейбниц ввел знаки для обозначения производной, дифференциала и интеграла. Его символика оказалась наиболее удобной и вытеснила знаки, предложенные другим создателем математического анализа – И. Ньютоном. Например, знак ∫ydx отражает тот факт, что площадь криволинейной трапеции можно условно представлять как сумму бесконечно тонких полосок с основанием dx и высотой y ( ∫ - стилизованная буква s от латинского слова summa - «сумма»), знак же dx (от латинского differentia - «разность») отражает связь дифференциала функции и ее приращения.

Современная символика для обозначения функций была введена Л. Эйлером, который в 1734 г. использовал обозначение f(x) для произвольной функции, ввел современные обозначения для тригонометрических, обратных тригонометрических, показательной, логарифмической и иных функций. В настоящее время в математике применяется множество специальных функций (функции Лежандра, Бесселя, эллиптические и т.д.), каждая из которых обозначается своим математическим знаком. Эйлер ввел обозначение e для основания натуральных логарифмов (1736), π - для отношения длины окружности к длине ее диаметра (тогда же), i для и т.д. В XIX в. были введены обозначения |x| для модуля (К. Вейерштрасс, 1841), для вектора (О. Коши, 1853),

для определителя (А. Кэли, 1841) и многие иные.

Все математические знаки можно разделить на знаки объектов (например: π,i и т.д.), знаки операций (например: +; : и т.д.), знаки отношений (например: =, >) и вспомогательные знаки, устанавливающие порядок сочетания основных знаков (скобки).

Только на основе разработанной системы математических знаков стало возможным выразить математические умозаключения по определенным формальным правилам.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Интегральное исчисление – это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа.

Знаки объектов

Знаки операций

Знаки отношений

Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них – физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур (см. Геометрические задачи на экстремум).

Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов.

В дифференциальном исчислении была введена операция дифференцирования функций. Рассматриваемая в интегральном исчислении обратная к дифференцированию математическая операция называется интегрированием или, точнее, неопределенным интегрированием.

В чем же состоит эта обратная операция и в чем ее неопределенность?

Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции F(x) ее производную F'(x) = f(x). Допустим, что мы хотим, исходя из заданной функции f(x), найти такую функцию F(x), производной которой является функция f(x), т. е. f(x) = F'(x). Такая функция называется первообразной функции f(x).

Значит, обратная дифференцированию операция – неопределенное интегрирование – состоит в отыскании первообразной данной функции.

Заметим, что, наряду с функцией F(x), первообразной для функции f(x), очевидно, будет также любая функция 𝓕(x) = F(x) + C, отличающаяся от F(x) постоянным слагаемым C: ведь 𝓕(x) = F'(x) = f(x).

Таким образом, в отличие от дифференцирования, сопоставлявшего функции единственную другую функцию – производную первой, неопределенное интегрирование приводит не к одной конкретной функции, а к целому набору функций, и в этом его неопределенность.

Однако степень этой неопределенности не так уж велика. Напомним, что если производная некоторой функции равна нулю во всех точках какого-то промежутка, то это функция, постоянная на рассматриваемом промежутке (на промежутках, где скорость изменения переменной величины везде равна нулю, она не меняется). Значит, если 𝓕(x) = F'(x) на каком-то промежутке a < x < b, то функция 𝓕(x) - F(x) постоянна на этом промежутке, поскольку ее производная 𝓕'(x) - F'(x) равна нулю во всех точках промежутка.

Итак, две первообразные одной и той же функции могут отличаться на промежутке только постоянным слагаемым.

Первообразные функции f(x) обозначают символом

∫f(x)dx,

где знак ∫ читается: интеграл. Это так называемый неопределенный интеграл. По доказанному, неопределенный интеграл изображает на рассматриваемом промежутке не одну конкретную функцию, а любую функцию вида

∫f(x)dx = F(x) + C, (1)

где F(x) - какая-то первообразная функции f(x) на данном промежутке, а C - произвольная постоянная.

Например, на всей числовой оси

∫ 2x dx = x² + C; ∫cos y dy = sin y + C; ∫sin z dz = -cos z + C.

Мы здесь специально обозначили аргументы подынтегральных функций различными символами: x,y,z, чтобы обратить внимание на независимость первообразной как функции от выбора буквы, используемой для обозначения ее аргумента.

Проверка написанных равенств выполняется простым дифференцированием их правых частей, в результате которого получаются стоящие в левых частях под знаком интеграла функции 2x, cos y, sin z соответственно.

Полезно иметь в виду также следующие очевидные соотношения, непосредственно вытекающие из определений первообразной, производной, дифференциала и из соотношения (1) для неопределенного интеграла:

(∫f(x)dx)' = f(x), d(∫f(x)dx) = f(x)dx, ∫F'(x)dx = F(x) + C, ∫dF(x) = F(x) + C.

Отыскание первообразной часто облегчают некоторые общие свойства неопределенного интеграла:

∫cf(x)dx = c∫f(x)dx

(вынесение постоянного множителя);

∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

(интегрирование суммы); если

∫f(x)dx = F(x) + C,

то

∫f(φ(t))φ'(t)dt = F(φ(t)) + C

(замена переменной).

Эти соотношения также проверяются непосредственно с использованием соответствующих правил дифференцирования.

Найдем закон движения свободно падающего в пустоте тела, исходя из единственного факта, что при отсутствии воздуха ускорение g свободного падения вблизи поверхности Земли постоянно и не зависит от особенностей падающего тела. Фиксируем вертикальную координатную ось; направление на оси выберем в сторону к Земле. Пусть s(t) - координата нашего тела в момент t. Нам известно, таким образом, что s"(t) = g и g - постоянная. Требуется найти функцию s(t) - закон движения.

Поскольку g = v'(t), где v(t) = s'(t), то, последовательно интегрируя, находим

(2)

Итак, мы нашли, что

s(t) = gt²/2 + C₁t + C₂, (3)

где C₁ и C₂ - какие-то постоянные. Но падающее тело подчиняется все-таки одному конкретному закону движения, в котором уже нет никакого произвола. Значит, есть еще какие-то условия, которые мы пока не использовали; они позволяют среди всех «конкурирующих» законов (3) выбрать тот, который соответствует конкретному движению. Эти условия легко указать, если разобраться в физическом смысле постоянных C₁ и C₂. Если сравнить крайние члены соотношения (2) при t=0, то выяснится, что C₁ = v(0), а из (3) при t=0 получается, что C₂ = s(0). Таким образом, математика сама напомнила нам, что искомый закон движения

s(t) = gt²/2 + v₀t + s₀

вполне определится, если указать начальное положение s₀ = s(0) и начальную скорость v₀ = v(0) тела. В частности, если v₀ = 0 и s₀ = 0, получаем s(t) = gt²/2.

Отметим теперь, что между операцией нахождения производной (дифференцированием) и операцией отыскания первообразной (неопределенным интегрированием) имеется, кроме указанного выше, еще целый ряд принципиальных отличий. В частности, следует иметь в виду, что если производная любой комбинации элементарных функций сама выражается через элементарные функции, т.е. является элементарной функцией, то первообразная элементарной функции уже не всегда является функцией элементарной. Например, первообразная

элементарной функции sin x/x (называемая интегральным синусом и обозначаемая специальным символом si(x)), как можно доказать, не выражается в элементарных функциях. Таким образом, принципиальный математический вопрос о существовании первообразной у наперед заданной функции не надо смешивать с не всегда разрешимой задачей об отыскании этой первообразной среди элементарных функций. Интегрирование часто является источником введения важных и широко используемых специальных функций, которые изучены ничуть не хуже таких «школьных» функций, как x² или sin x, хотя и не входят в список элементарных функций.

Наконец, отметим, что отыскание первообразной, даже когда она выражается в элементарных функциях, скорее напоминает искусство, чем канонический алгоритм вычислений, подобный алгоритму дифференцирования. По этой причине найденные первообразные наиболее часто встречающихся функций собраны в виде справочных таблиц неопределенных интегралов. Следующая микротаблица такого рода, очевидно, равносильна микротаблице производных соответствующих основных элементарных функций:

Мы, пока говорили об обращении операции дифференцирования, пришли в этой связи к понятиям первообразной, неопределенного интеграла и дали первоначальное определение этих понятий.

Теперь укажем иной, куда более древний подход к интегралу, который послужил основным первоначальным источником интегрального исчисления и привел к понятию определенного интеграла или интеграла в собственном смысле этого слова. Этот подход четко прослеживается уже у древнегреческого математика и астронома Евдокса Книдского (примерно 408-355 до н.э.) и Архимеда, т.е. он возник задолго до появления дифференциального исчисления и операции дифференцирования.

Вопрос, который рассматривали Евдокс и Архимед, создав при его решении «метод исчерпывания», предвосхитивший понятие интеграла – это вопрос о вычислении площади криволинейной фигуры. Ниже мы рассмотрим этот вопрос, а пока поставим, вслед за И. Ньютоном, следующую задачу: по известной в любой момент t из промежутка времени a ≤ t ≤ b скорости v(t) тела найти величину перемещения тела за этот промежуток времени.

Если бы был известен закон движения, т.е. зависимость координаты тела от времени, то ответ, очевидно, выражался бы разностью s(b) - s(a). Более того, если бы мы знали какую-либо первообразную функции v(t) на промежутке [a;b], то, поскольку , где C - постоянная, можно было бы найти искомую величину перемещения в виде разности , которая совпадает с разностью s(b) - s(a). Это очень полезное наблюдение, однако если первообразную данной функции v(t) указать не удается, то действовать приходится совсем иначе.

Будем рассуждать следующим образом.

Если промежуток [a;b] отдельными моментами t₀,t₁,...,t_n, такими, что a = t₀1<...n = b, разбить на очень мелкие временные промежутки [t_i-1;t_i], i = 1,2,...,n, то на каждом из этих коротких промежутков скорость v(t) тела не успевает заметно измениться. Фиксировав произвольно момент τ_i ∈ [t_i-1;t_i], можно таким образом приближенно считать, что на промежутке времени [t_i-1;t_i] движение происходит с постоянной скоростью ν(τ_i). В таком случае для величины пути, пройденного за промежуток времени [t_i-1;t_i], получаем приближенное значение ν(τ_i)·Δt_i, где Δt_i = t_i - t_i-1. Складывая эти величины, получаем приближенное значение

v(τ₁)·Δt₁ + v(τ₂)·Δt₂ + ...+v(τ_n)·Δt_n (4)

для всего перемещения на промежутке [a;b].

Найденное приближенное значение тем точнее, чем более мелкое разбиение промежутка [a;b] мы произведем, т.е. чем меньше будет величина Δ наибольшего из промежутков [t_i-1;t_i], на которые разбит промежуток [a;b].

Значит, искомая нами величина перемещения есть предел

(5)

сумм вида (4), когда величина Δ стремится к нулю.

Суммы специального вида (4) называются интегральными суммами для функции v(t) на промежутке [a;b], а их предел (5), получаемый при неограниченном мельчании разбиений, называется интегралом (или определенным интегралом) от функции v(t) на промежутке [a;b]. Интеграл обозначается символом

,

в котором числа a,b называются пределами интегрирования, причем a - нижним, a b - верхним пределом интегрирования; функция v(t), стоящая под знаком ∫ интеграла, называется подынтегральной функцией; v(t)dt - подынтегральным выражением; t - переменной интегрирования.

Итак, по определению,

. (6)

Значит, искомая величина перемещения тела за временной промежуток [a;b] при известной скорости v(t) движения выражается интегралом (6) от функции v(t) по промежутку [a;b].

Сопоставляя этот результат с тем, который на языке первообразной был указан в начале рассмотрения этого примера, приходим к знаменитому соотношению:

, (7)

если v(t) = s'(t). Равенство (7) называется формулой Ньютона-Лейбница. В левой его части стоит понимаемый как предел (6) интеграл, а в правой – разность значений (в концах b и a промежутка интегрирования) функции s(t), первообразной подынтегральной функции v(t). Таким образом, формула Ньютона-Лейбница связывает интеграл (6) и первообразную. Этой формулой можно, следовательно, пользоваться в двух противоположных направлениях: вычислять интеграл, найдя первообразную, или получать приращение первообразной, найдя из соотношения (6) интеграл. Мы увидим ниже, что оба эти направления использования формулы Ньютона-Лейбница весьма важны.

Интеграл (6) и формула (7) в принципе решают поставленную в нашем примере задачу. Так, если v(t) = gt (как это имеет место в случае свободного падения, начинающегося из состояния покоя, т.е. с v(0) = 0), то, найдя первообразную s(t) = gt²/2 + C функции v(t) = g·t по формуле (7), получаем величину

перемещения за время, прошедшее от момента a до момента b.

На основе разобранной только что физической задачи, приведшей нас к интегралу и формуле Ньютона-Лейбница, обобщая сделанные наблюдения, можно теперь сказать, что если на некотором промежутке a ≤ x ≤ b задана функция f(x), то, разбивая промежуток [a;b] точками a = x₀ < x₁ <...n = b, составляя интегральные суммы

f(ξ₁)·Δx₁ + f(ξ₂)·Δx₂ + ...+f(ξ_n)·Δx_n, (4')

где ξ ∈ [x_i-1; x_i], Δx_i = x_i - x_i-1, и переходя к пределу при Δ → 0, где Δ = max{Δx₁, Δx₂,...,Δx_n}, мы получаем по определению интеграл

(6')

от функции f(x) по промежутку [a;b]. Если при этом F'(x) = f(x) на [a;b], т.е. F(x) - первообразная функции f(x) на промежутке [a;b], то имеет место формула Ньютона-Лейбница:

. (7)

КАВАЛЬЕРИ ПРИНЦИП

В XVII в. началась эпоха интегрального исчисления. Математики возвращались к задачам о вычислении площадей криволинейных фигур и объемов «кривых» тел, которыми так успешно занимался в древности Архимед.

Интересовался этим вопросом и итальянский монах Бонавентура Кавальери (1598-1647). Он занимал кафедру математики в Болонском университете. В переписке с астрономом и математиком Г. Галилеем они обсуждали разнообразные механические и математические проблемы, и в частности метод «неделимых». Галилей собирался, но так и не написал книгу об этом методе. В 1635 г. вышла книга Кавальери «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин».

При вычислении площадей многоугольников бывает полезно преобразовывать фигуры, не меняя их площадей, например разрезать на части и составлять новые (см. Равносоставленные и равновеликие фигуры). Так можно преобразовать друг в друга треугольники с равными основаниями и высотами.

Можно ли аналогичным образом преобразовывать криволинейные фигуры? Кавальери представляет их себе состоящими из бесконечно тонких параллельных плоских слоев - «неделимых» или «нитей» (рис. 1) и утверждает, что площадь не меняется при сдвигах этих слоев друг относительно друга. Иначе, принцип Кавальери состоит в том, что если пересечь фигуру семейством всех прямых, параллельных заданной, то длины пересечений полностью определят площадь фигуры. В частности, если у двух фигур эти длины совпадают, то они равновелики. Строгого обоснования своего принципа Кавальери не дал, но рассмотрел его многочисленные применения. Например, на основе этого принципа легко получается равновеликость треугольников с равными основаниями и высотами. Одно из самых удивительных применений принципа Кавальери принадлежит французскому математику Ж. Робервалю (1602-1675), который нашел площадь сегмента, ограниченного одной аркой циклоиды (см. Циклоида). В каждый момент времени Роберваль проектировал точку, двигающуюся по циклоиде, на вертикальный диаметр катящегося круга. Получалась новая кривая, которую Роберваль назвал спутницей циклоиды (рис. 2, а). Но потом выяснилось, что это синусоида, и это было первое (1634) появление ее в математике!

Рис. 1

Рис. 2

Площадь под аркой синусоиды легко вычисляется при помощи перехода к равносоставленному с ней прямоугольнику площадью 2π (рис. 2,б). Каждая из оставшихся двух фигур, которые называли лепестками Роберваля, по принципу Кавальери равновелика вертикальному полукругу, т.е. общая площадь равна 3π.

Еще более эффективен принцип Кавальери при нахождении объемов тел. Он состоит в том, что объем тела определяется площадями его пересечений «всеми плоскостями», параллельными некоторой заданной. Отсюда следует теорема о равновеликости пирамид с равновеликими основаниями и равными высотами, а эти пирамиды, как правило, не равносоставлены (см. Равносоставленные и равновеликие фигуры). На этой теореме основывается формула для объема пирамиды. Очень удобен принцип Кавальери и для получения формул объемов круглых тел, скажем шара. Впишем в круговой цилиндр радиусом r и высотой 2r шар. Тело, являющееся дополнением шара до цилиндра, по принципу Кавальери равновелико телу, составленному из двух конусов, построенных на верхнем и нижнем основаниях цилиндра с вершиной в центре шара. Отсюда следует, что V = 4/3 πr³.

Интегральное исчисление содержит общие методы для вычисления площадей и объемов, причем там, где применение принципа Кавальери требовало нестандартных построений, к успеху приводят стандартные вычисления, и постепенно принцип Кавальери отошел в область истории. Однако, поскольку по принципу Кавальери легко вычисляются все «школьные» объемы и площади, неоднократно предлагалось принять принцип Кавальери в школьной геометрии за аксиому. Этот материал можно найти в школьных учебниках.

КАЛЕНДАРЬ

Исчисление времени, казалось бы, не таит в себе никаких проблем. Сутки следуют за сутками, год за годом. Но что такое год? Это время, за которое Земля совершает по своей орбите полный оборот вокруг Солнца. Астрономы подсчитали, что год составляет 365 сут 5 ч 48 мин 46 с или 365,242199 сут. Но пользоваться таким сложным числом очень неудобно. Хотелось бы, чтобы в году было целое число суток. Предположим, что продолжительность года равна 365 дням. Но тогда окончание каждого года приходилось бы всякий раз на новую точку на орбите, отстоящую от предыдущей на величину, которую Земля проходит примерно за 6 ч. Какой же из этого выход? Древнеримские жрецы, ведавшие исчислением времени, произвольно удлиняли некоторые года, чтобы согласовать календарные даты с сезонными явлениями природы. Впервые порядок в счете времени навел в I в. до н.э. римский император Юлий Цезарь. Он постановил считать одни годы по 365 суток, а другие по 366, чередуя их по правилу: три года подряд коротких, четвертый – длинный. Такую систему предложил ему александрийский астроном Созиген, которого Юлий Цезарь пригласил в Рим специально для создания календаря. Гораздо позже, с введением христианского летосчисления, високосным стали считать каждый год, порядковый номер которого делится на 4.

Этот календарь в честь Юлия Цезаря называется юлианским. По нему средняя продолжительность года составляет 365 сут 6 ч, что больше истинной лишь на 11 мин 14 с. Однако и это решение оказалось неудовлетворительным. К XVI в. ошибка, накапливаясь, составила уже около 10 сут.

Следующую реформу календаря провел Григорий XIII – папа римский. Он создал специальную комиссию для разработки системы, по которой весеннее равноденствие выпадало бы на 21 марта и впредь больше не отставало от этой даты. Решение папы Григория XIII было вызвано трудностями использования юлианского календаря при расчетах дат церковных праздников. Решение комиссии, утвержденное Григорием XIII в 1582 г., было достаточно простым: сдвинуть числа на 10 дней, оставить чередование простых и високосных лет, при этом решили, что если порядковый номер года оканчивается двумя нулями, но число сотен не делится на 4, то этот год простой. Например, по этому правилу 1900 год - простой, а 2000 – високосный. В настоящее время расхождение между юлианским и новым, григорианским календарями составляет 13 дней, поскольку с тех пор накопилось еще три дня (в 1700, 1800 и 1900 гг.). Григорианский календарь был введен в Европе в XVI-XVII вв., в России же до Великой Октябрьской революции продолжали пользоваться юлианским календарем, или как сейчас говорят, исчислением «по старому стилю». Григорианский календарь был введен в 1918 г. декретом Советского правительства, причем 1 февраля стали считать 14 февраля. Из 400 лет по юлианскому календарю 100 високосных, а по григорианскому – 97, поэтому продолжительность григорианского года составляет

, или 365,2425 сут,

т.е. 365 сут 5 ч 49 мин 12 с, т.е. она больше истинной лишь на 26 с. Полученная точность очень велика и вполне достаточна для практических нужд.

Интересная система календаря была предложена среднеазиатским математиком и поэтом Омаром Хайямом (ок. 1048-1122), по ней високосными годами должны были считаться 8 лет из каждых 33. Продолжительность года по О. Хайяму составляет

365 8/33 сут,

его погрешность всего 19 с в год. В 1864 г. русский астроном И. Медлер предложил с XX столетия ввести в России следующую поправку к юлианскому календарю: через каждые 128 лет пропускать один високосный год из 32, которые выпадают на этот период. Этот календарь самый точный из всех перечисленных.

Средняя продолжительность года по этому календарю составляет сут, или 365 сут 5 ч 48 мин 45 с. Здесь погрешность сокращается всего до 1 с. Однако календарь И. Медлера не был принят, видимо, из-за того, что период в 128 лет не является «круглым» числом.

Голландский календарь (Лейден, 1516)

Астроном и математик XVII в. Христоф Клавий, член комиссии по созданию григорианского календаря.

Рассмотренные выше системы календаря оказываются связанными с записью продолжительности астрономического года в виде цепной дроби:

Год продолжительностью 365 сут – это нулевая подходящая дробь этой цепной дроби, 365 1/4 - юлианский год – первая подходящая дробь, 365 7/29, 365 8/33 и - вторая, третья и четвертая подходящие дроби, а именно:

Системой, соответствующей второй подходящей дроби: семь високосных лет из 29, никто не предложил воспользоваться, видимо, потому, что третья подходящая дробь не намного сложнее, а точность ее гораздо больше (вспомним, что это система О. Хайяма), а четвертой подходящей дроби соответствует система И. Медлера.

Кроме смены времен года и времени суток на Земле есть еще один постоянный периодический процесс – смена фаз Луны, который породил разбиение года на 12 месяцев. Мусульманский лунный календарь, действующий до настоящего времени во многих арабских странах, основан на этом явлении. Количество дней в месяце выбирается так, чтобы первое число месяца совпадало с новолунием, поэтому в лунном календаре год состоит из 12 лунных месяцев по 29 или 30 дней, а продолжительность года составляет 354 или 355 сут, что на 10 сут короче астрономического года. Заметим, что смена фаз Луны происходит через 29,5306 сут, что плохо связывается не только с продолжительностью года, но и продолжительностью суток.

Еще одна единица времени – неделя (в ней, по определению, 7 сут). Приведем формулу, позволяющую вычислить день недели для произвольной даты:

.

Здесь d - число месяца, m - номер месяца, если начинать счет с марта, как это делали в Древнем Риме (март – 1, апрель – 2, …, январь – 11, февраль – 12), Y - номер года в столетии, c - количество столетий.

Число, заключенное в квадратные скобки [x], читается «целая часть от x» и означает наибольшее целое число, не превосходящее числа x. Так, [2,57] = 2, [3] = 3. Значок mod 7 означает, что от числа, стоящего перед ним, нужно взять его остаток от деления на 7 (см. Сравнения). Если в результате получилось число 1, то соответствующий день – понедельник, 2 – вторник, 3 – среда, 4 – четверг, 5 – пятница, 6 – суббота и 0 – воскресенье.

В последнее время было много различных предложений по реформе календаря с изменением длительности недель и месяцев, при которых в каждом месяце было бы одинаковое количество недель, но по разным причинам они не были приняты.

КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЭЛЕКТРОННЫЕ

Бурное развитие вычислительной техники в последние десятилетия привело к появлению небольших вычислительных машин – микрокалькуляторов. Их создание стало возможным после появления микросхем, способных заменить сотни полупроводниковых элементов ЭВМ.

Эти изящные машинки сделали ненужными логарифмические линейки, бухгалтерские счеты, толстые тома таблиц разнообразных функций.

В нашей стране выпускаются десятки модификаций микрокалькуляторов. Классифицировать их можно по разным признакам: по назначению – для школьников, продавцов, инженеров, научных работников; по функциональному устройству – без регистров памяти, с небольшим их количеством, программируемые; по логической структуре – с арифметической логикой, с алгебраической логикой, с алгебраической логикой и иерархией операций, с алгебраической логикой и скобками, с обратной бесскобочной (польской) записью операций.

У микрокалькулятора с арифметической логикой отсутствует клавиша со знаком |=|, она совмещена с клавишей |+|, а также с клавишей - .

Операция 8 – 3 на калькуляторе с арифметической логикой производится в следующем порядке: , а в микрокалькуляторе с алгебраической логикой так: |8||-||3||=|. Клавиша |=| в нем обязательно присутствует.

В калькуляторах с иерархией операций в первую очередь производятся операции умножения и деления, а потом уже сложения и вычитания. Так, если вы последовательно нажимаете клавиши со знаками 1×9 + 8×9 =, то в калькуляторах без иерархии операций получите (1·9+8)·9 = 153, а в тех, которые имеют эту иерархию, - (1·9) + (8·9) = 81.

В школах на уроках информатики ребята приобретают навыки работы с компьютерами

Калькуляторы с клавишами для расстановки скобок позволяют производить операции в заданной последовательности. Пар скобок может быть одна или несколько.

Калькуляторы, предназначенные для инженеров и научных работников, имеют клавиши для вычисления различных функций.

Причем, чтобы сильно не увеличивать количество клавиш, каждую клавишу используют для выполнения двух, а иногда и грех, операций. В таком случае имеется специальная клавиша |F| для перехода от одной функции к другой. Как правило, для вычисления функции от заданного аргумента сначала набирают аргумент, а потом нажимают клавишу нужной функции. Так, для вычисления клавиши нажимают в таком порядке: 1989√. Любопытно, что, набрав произвольный аргумент в радианах и затем многократно нажимая клавишу для функции косинус, мы в конце концов придем к числу 0,7390851..., которое потом будет повторяться при дальнейших нажатиях на эту клавишу. Что это за число? Оказывается, что оно является решением уравнения cos x = x, а мы его получили методом последовательных приближений.

Во всех калькуляторах, независимо от логической структуры, имеется по крайней мере два регистра: регистр ввода (и индексации) X и операционный регистр Y. При выполнении арифметических операций происходит следующая процедура. Первое набираемое число попадает в регистр ввода и одновременно появляется на индикаторе. При нажатии на операционную клавишу оно переносится и в регистр Y. В результате в обоих разрядах находится одно и то же число. Если теперь ввести второе число, то оно появится в регистре X (и на индикаторе), а в регистре Y останется первое число. Если теперь нажать одну из клавиш со знаками +, -, ×, ÷, =, то в регистре X (и на индикаторе) появится результат первой операции, а в регистре Y окажется второе число, и т.д.

Если же вычисляется функция одного переменного ( √, sin, ln и т. д.), то она вычисляется для аргумента, находящегося в регистре X (и на индикаторе), а содержание регистра Y при этом не меняется. Если же вычисляется функция y^x, то число y вводится первым и при вычислении будет находиться в регистре Y, а число x - в регистре Y.

Кроме этих регистров в микрокалькуляторах часто бывают дополнительные ячейки – регистры памяти, в которых можно запоминать результаты промежуточных вычислений или необходимые константы.

Дальнейшее увеличение количества ячеек памяти дает возможность вводить в микрокалькулятор целые программы вычислений, как в больших ЭВМ. Такие калькуляторы называются программируемыми. В ряде моделей такие программы записываются на специальном языке, и в таких калькуляторах можно программировать уже на обычном для ЭВМ алгоритмическом языке «Бейсик», правда несколько урезанном. Программируемые калькуляторы можно подключать к дисплеям (или телевизорам) и печатающим устройствам.

КАСАТЕЛЬНАЯ

Понятие касательной – одно из важнейших в математическом анализе. Изучение прямых, касательных к кривым линиям, во многом определило пути развития математики.

С помощью циркуля и линейки нетрудно построить касательную к окружности в данной ее точке. Несколько труднее провести общую касательную к двум окружностям. В Древней Греции умели строить с помощью циркуля и линейки касательные ко всем коническим сечениям: эллипсам, гиперболам и параболам, что свидетельствует о высоком уровне развития геометрии в то время.

Интерес к касательным не ослабевал и у математиков последующих поколений. В XVII в. французские ученые Р. Декарт и П. Ферма исследовали касательные к спиралям и циклоиде. (Заметим, что модель касательной к циклоиде можно наблюдать в дождливую погоду: циклоида – кривая, являющаяся траекторией точки на ободе катящегося колеса (рис. 1). По такой траектории движутся и капли воды, находящиеся на колесе, а оторвавшись от колеса, они продолжают двигаться уже по касательной к циклоиде (а не к окружности – ободу колеса). Такие капли образуют грязную полосу на спине велосипедиста-гонщика, мчащегося по шоссе в сырую погоду).

Рис. 1

Р. Декарт на задаче построения касательных к кривым отрабатывал свой аналитический метод в геометрии. Продолжая исследования Декарта, связанные с построением касательных с помощью аналитического метода, Г. В. Лейбниц одновременно с И. Ньютоном пришел к открытию дифференциального исчисления, явившемуся революцией в развитии математики. Понятие производной функции тесно связано с построением касательной к графику этой функции: значение производной в некоторой точке есть тангенс угла наклона касательной в этой точке к оси абсцисс.

Как все основные понятия дифференциального исчисления, понятие касательной строго определяется лишь с помощью предельного перехода (см. Предел). Касательная к кривой в точке M определяется как предельное положение секущей MN при приближении точки N по кривой к точке M (рис. 2). Нетрудно понять, что у непрерывных кривых могут быть точки, в которых касательная отсутствует (рис. 3), но чрезвычайно трудно представить себе, что существуют такие непрерывные кривые, которые не имеют касательных ни в одной своей точке.

Рис. 2

Рис. 3

Первые примеры таких функций были указаны чешским ученым Б. Больцано (1830 г., опубликовано в 1930 г.) и немецким математиком К. Вейерштрассом (1860 г., опубликовано в 1872 г.). Естественно, что функции, графиками которых являются кривые без касательных, не имеют производных ни в одной из своих точек, так как у функции f(x), имеющей в точке x₀ производную, касательная к ее графику в этой точке существует и записывается уравнением y = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) .

Понятие касательной применяется и для определения угла между кривыми в точке их пересечения. За такой угол принимается угол между касательными к кривым в этой точке. На рис. 4 изображено два семейства кривых – эллипсы и гиперболы, фокусы которых находятся в заданных точках F₁ и F₂. Любые две кривые разных семейств здесь пересекаются под прямым углом. Такая картина часто встречается в физике, в частности эти кривые являются линиями равной напряженности и равного потенциала, если в точках F₁ и F₂ находятся заряды разного знака.

Рис. 4

Аналогично касательной к кривой определяется касательная плоскость к поверхности (рис. 5), она играет по отношению к поверхности ту же роль, что и касательная к кривой.

Рис. 5

КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

Квадратным называют алгебраическое уравнение 2-й степени, т.е. уравнение вида

ax²+bx+c=0, где a ≠ 0. (1)

Выражение D = b² - 4ac называют дискриминантом квадратного трехчлена ax² + bx + c.

Уравнение (1) имеет два корня:

.

При этом если D > 0, то корни действительные и различные, при D=0 корни совпадают (говорят, что уравнение имеет корень кратности два), при D < 0 корни комплексные (комплексно сопряженные).

Для приведенного квадратного уравнения

x² + px + q = 0

формула корней имеет вид

,

а для уравнения ax² + 2bx + c = 0 (с четным коэффициентом при x) – вид

.

Для коэффициентов и корней квадратного уравнения (1) выполняются соотношения:

Эти соотношения называют теоремой Виета, по имени французского математика Ф. Виета (1540-1603).

Особенно удобна эта теорема для приведенного квадратного уравнения:

x₁ + x₂ = -p, x₁x₂ = q.

Уравнения 2-й степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н. э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах. Приведем задачу из китайского трактата «Математика в девяти книгах» (приблизительно II в. до н.э.).

«Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20 бу (1 бу = 1,6 м) от северных ворот (вне города) стоит столб. Если пройти от южных ворот 14 бу прямо, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?» Обозначим сторону квадрата через x. Из подобия треугольников BED и ABC (рис. 1) получим

.

Рис. 1

Поэтому, чтобы определить неизвестную сторону квадрата, получаем квадратное уравнение

x² + (k+l)x - 2kd = 0.

В данном случае уравнение имеет вид

x² + 34x - 71000 = 0,

откуда x = 250 (бу).

Отрицательных корней (в данном случае x = -284) китайские математики не рассматривали, хотя в этом же трактате содержатся операции с отрицательными числами.

Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский ученый ал-Хорезми (IX в.) в трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Суть его рассуждений видна из рис. 2 (он рассматривает уравнение x² + 10x = 39). Площадь большого квадрата равна (x + 5)². Она складывается из площади x² + 10x фигуры, закрашенной голубым цветом, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырех квадратов со стороной 5/2, равной 25. Таким образом,

(x+5)² = 39 + 25; x + 5 = ±8; x₁ = 3; x₂ = -13.

Рис. 2

К квадратным уравнениям сводятся многие уравнения путем замены переменной. Приведем некоторые примеры.

1. Биквадратное уравнение

ax⁴ + bx² + c = 0

сводится к квадратному заменой x² переменной y.

2. Уравнение (x+1)² - 6/(x² + 2x) = -4 заменой y = x² + 2x сводится к квадратному уравнению y² + 5y - 6 = 0, корни которого y₁ = 1, y₂ = -6. Из двух уравнений x² + 2x = 1 и x² + 2x = -6 действительные решения имеет только первое: x = -1±√2.

3. Уравнения

4^x - 2^x+1 - 3 = 0, cos 2x = sin x + 1, lg²(x²) + lg x = 1

сводятся к квадратным заменами соответственно y = 2^x, y = sin x и y = lg x.

4. Уравнение

x²/3 + 48/x² = 10(x/3 + 4/x)

сводится к квадратному уравнению заменой

y = x/3 + 4/x (здесь x²/3 + 48/x² = 3(x/3 + 4/x)² - 8 = 3y² - 8; 3y² - 10y - 8 = 0; y₁ = - 2/3, y₂ = 4).

Из получаемых уравнений

x/3 + 4/x = -2/3 и x/3 + 4/x = 4

корни имеет только второе: x = 2(3±√6). Вообще, замена y = x + k/x - одна из наиболее часто встречающихся замен. Например, с помощью такой замены к квадратному уравнению (после деления обеих частей уравнения на x²) сводится уравнение вида

ax⁴ + bx³ + cx² + kbx + k²a = 0. (2)

Уравнение (2) обычно называют возвратным или обобщенно – симметрическим.

5. Однородные уравнения

9^x = 6^x + 2·4^x и 2sin² x + 5 sin x cos x + 2 cos² x = 0 сводятся к квадратным уравнениям относительно y заменами соответственно y = (3/2)^x и y = tg x после деления обеих частей первого уравнения на 4^x, второго – на cos²x. Для второго уравнения предварительно проверяется, удовлетворяют ли уравнению те значения x, для которых cos x = 0.

6. Уравнение

x⁴ + (x+2)⁴ = 82,

«симметричное» относительно x + 1, сводится к биквадратному уравнению y⁴ + 6y² = 40 заменой y = x + 1; аналогично уравнение (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40, «симметричное» относительно x + 3, сводится к биквадратному уравнению (y² - 1)(y² - 4) = 40 заменой y = x + 3. Отметим, что для второго уравнения годится и замена y = x² + 6x, тогда (x+1)(x+5) = y+5; (x+2)(x+4) = y + 8.

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

Так называют многочлен, определяемый формулой ax²+bx+c a≠0. Числа a,b и c - коэффициенты квадратного трехчлена, они обычно называются: a - старший, b - второй или средний коэффициент, c - свободный член. Функция вида y=ax²+bx+c называется квадратичной функцией.

После линейной функции квадратичная функция – простейшая и важнейшая элементарная функция. Многие физические зависимости выражаются квадратичной функцией; например, камень, брошенный вверх со скоростью v₀, находится в момент времени t на расстоянии

s(t) = -(g/2) t² + v₀t

от земной поверхности (здесь g - ускорение силы тяжести); количество тепла Q, выделяемого при прохождении тока в проводнике с сопротивлением R, выражается через силу тока I формулой Q = RI².

Простейший частный случай квадратичной функции есть функция y=ax². На рис. 1 изображены графики функций y=ax² при разных значениях a. График функции y=ax² называется параболой.

Рис. 1

У всех этих парабол вершина находится в начале координат; при a > 0 это наинизшая точка графика (наименьшее значение функции), а при a < 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.

Как видно, при a > 0 парабола направлена вверх, при a < 0 - вниз.

Существует простой и удобный графический способ, позволяющий строить любое число точек параболы y=ax² без вычислений, если известна точка параболы, отличная от вершины. Пусть точка M(x₀,y₀) лежит на параболе y=ax² (рис. 2). Если мы хотим построить между точками O и M дополнительно еще n точек, то делим отрезок ON оси абсцисс на n + 1 равных частей и в точках деления проводим перпендикуляры к оси Ox. На столько же равных частей делим отрезок NM и точки деления соединяем лучами с началом координат. Искомые точки параболы лежат на пересечении перпендикуляров и лучей с одинаковыми номерами (на рис. 2 число точек деления равно 9).

Рис. 2

График функции y=ax²+bx+c отличается от графика y=ax² лишь своим положением и может быть получен просто перемещением кривой на чертеже. Это следует из представления квадратного трехчлена в виде

ax² + bx + c = a(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a,

откуда легко заключить, что график функции y=ax²+bx+c есть парабола y=ax², вершина которой перенесена в точку

,

а ось ее симметрии осталась параллельной оси Oy (рис. 3). Из полученного выражения для квадратного трехчлена легко следуют все его основные свойства. Выражение D=b²-4ac называют дискриминантом квадратного трехчлена ax²+bx+c и дискриминантом связанного с ним квадратного уравнения ax²+bx+c=0. От знака дискриминанта зависит, пересекает ли график квадратного трехчлена ось абсцисс или лежит по одну сторону от нее. Именно, если D <0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a > 0, то парабола лежит выше оси Ox, а если a < 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D > 0 график квадратного трехчлена пересекает ось абсцисс в двух точках x₁ и x₂, которые являются корнями квадратного уравнения ax²+bx+c=0 и равны соответственно

x₁ = 1/2a (-b - √D), x₂ = 1/2a (-b + √D).

При D=0 парабола касается оси Ox в точке .

Рис. 3

Рис. 4

Свойства квадратного трехчлена лежат в основе решения квадратных неравенств. Поясним это на примере. Пусть требуется найти все решения неравенства 3x² - 2x - 1 < 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D > 0, то соответствующее квадратное уравнение 3x² - 2x - 1 = 0 имеет два различных корня, они определяются по формулам, приведенным ранее:

x₁ = - 1/3 и x₂ = 1.

В рассматриваемом квадратном трехчлене a = 3 > 0, значит, ветви его графика направлены вверх и значения квадратного трехчлена отрицательны лишь в интервале между корнями. Итак, все решения неравенства удовлетворяют условию

-1/3 < x < 1.

К квадратным неравенствам могут быть сведены разнообразные неравенства теми же самыми заменами, какими различные уравнения сводятся к квадратному.

КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ

Древнегреческие математики достигли чрезвычайно большого искусства в геометрических построениях с помощью циркуля и линейки. Однако три задачи не поддавались их усилиям. Прошли тысячелетия, и только в наше время, наконец, были получены их решения.

Вот эти задачи: построение квадрата, равновеликого данному кругу (или, сокращенно, квадратура круга); деление произвольно заданного угла или дуги на три равновеликие части (или трисекция угла), и построение куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба (или удвоение куба).

История нахождения квадратуры круга длилась четыре тысячелетия, а сам термин стал синонимом неразрешимых задач. Как следует из подобия кругов, отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается буквой π. Таким образом, длина окружности круга радиуса r равна 2πr, а так как площадь круга равна S = πr² (см. Окружность и круг), то задача о квадратуре круга сводится к задаче построения треугольника с основанием 2πr и высотой r. Для него потом уже без труда может быть построен равновеликий квадрат (см. Равновеликие и равносоставленные фигуры).

Итак, задача сводилась к построению отрезка, длина которого равна длине окружности данного круга. Это было показано еще Архимедом в сочинении «Измерение круга», где он доказывает, что число π меньше чем 3 1/7, но больше чем 3 10/71, т.е. 3,1408 < π < 3,1429.

В наши дни с помощью ЭВМ число π вычислено с точностью до миллиона знаков, что представляет скорее технический, чем научный интерес, потому что такая точность никому не нужна. Десяти знаков числа π ( π = 3,141592653...) вполне достаточно для всех практических целей. Долгое время в качестве приближенного значения π использовали число 22/7, хотя уже в V в. в Китае было найдено приближение 355/113 = 3,1415929..., которое было открыто вновь в Европе лишь в XVI в. В Древней Индии π считали равным √10 = 3,1622.... Французский математик Ф. Виет вычислил в 1579 г. π с 9 знаками. Голландский математик Лудольф Ван Цейлен в 1596 г. публикует результат своего десятилетнего труда - число π, вычисленное с 32 знаками.

Но все эти уточнения значения числа производились методами, указанными еще Архимедом: окружность заменялась многоугольником со все большим числом сторон (рис. 1,а). Периметр вписанного многоугольника при этом был меньше длины окружности, а периметр описанного многоугольника - больше. Но при этом оставалось неясным, является ли число π рациональным, т.е. отношением двух целых чисел, или иррациональным. Лишь в 1767 г. немецкий математик И. Г. Ламберт доказал, что число π иррационально, а еще через сто с лишним лет в 1882 г. другой немецкий математик - Ф. Линдеман доказал его трансцендентность (см. Число), что означало и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу.

«Возьму линейку, проведу прямую. И мигом круг квадратом обернется». Аристофан

Конечно, способов приближенного решения квадратуры круга с помощью циркуля и линейки было придумано великое множество. Так, в Древнем Египте было распространено правило: площадь круга равна площади квадрата со стороной, равной 8/9; π = 256/81 = 3,1604....

Были найдены и другие пути определения квадратуры круга: кроме циркуля и линейки использовали другие инструменты или специально построенные кривые. Так, в V в. до н. э. греческий математик Гиппий из Элиды изобрел кривую, впоследствии получившую название квадратрисы Динострата (ее назвали по имени другого древнегреческого математика, жившего несколько позже и указавшего способ построения квадратуры круга при помощи этой кривой).

Квадратриса Динострата получается следующим образом. Пусть дана окружность радиуса a (рис. 1,б). Начнем вращать радиус OA с угловой скоростью π/2 вокруг точки O - центра окружности - и одновременно равномерно перемещать влево со скоростью a вертикальную прямую от точки A к точке C. Точка M их пересечения и будет описывать квадратрису. Если взять за оси координат прямую OA и прямую OB, то в момент времени t точка M будет иметь координаты

a(1-t) и a(1-t) tg πt/2.

Рис. 1

При стремлении t к 1 точка M стремится к точке P, при этом абсцисса точки M стремится к нулю, а у ординаты один множитель стремится к нулю, а другой – к бесконечности. Их произведение будет стремиться к числу 2a/π, поэтому длина отрезка OP равна 2a/π. Следовательно, имеет место соотношение AC/OP = π.

Пусть теперь дана окружность радиуса r. Тогда имеем соотношение 2πr/2r = AC/OP, в котором известны AC, OP и 2r - диаметр данной окружности. По ним мы можем построить отрезок, равный 2πr - длине окружности, это будет четвертый пропорциональный отрезок к известным трем (рис. 1,в).

Чрезвычайно любопытно, что квадратриса Динострата решает и вторую из знаменитых задач древности – задачу о трисекции угла. Для этого нужно отложить данный угол так, чтобы его вершина находилась в точке O, а одна из сторон совпала с лучом OA (рис. 1,г). Из точки N пересечения квадратрисы со вторым лучом угла опускаем перпендикуляр NK на OA, а затем делим отрезок KA на три равные части. Если восставить в точках деления перпендикуляры к прямой OA до пересечения с квадратрисой, а затем соединить полученные точки пересечения с точкой O, то полученные углы окажутся равными. Это следует из метода построения квадратрисы. Аналогичным образом можно делить любой угол на произвольное количество равных частей.

Напомним, что в классической постановке задачи о трисекции угла такое построение требовалось произвести лишь с помощью циркуля и линейки! В 1837 г. французский математик П. Ванцель доказал, что в общем виде задача не имеет решения, а возможно такое деление лишь в нескольких исключительных случаях, в частности для угла α = π/2 и всех углов вида π/2ⁿ.

Как известно, имеет место тождество cos α = 4 cos³ α/3 - 3 cos α/3. Если обозначим 2 cos α = a, 2 cos α/3 = x, то получим такое кубическое уравнение: x³ - 3x - a = 0. Оказалось, что трисекция угла возможна для тех углов α, для которых корни этого уравнения выражаются через параметр a и целые числа лишь с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. В частности, если α = π/2, т. е. a = 0, то получаем уравнение x³ - 3x = 0, имеющее корни 0, +√3, -√3.

К кубическому уравнению сводится и знаменитая «делосская задача» удвоения куба. Свое название она получила от острова Делос в Эгейском море, где, по легенде, чтобы избавить жителей от эпидемии, оракул повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. Но в действительности она, наверное, возникла в умах математиков как обобщение задачи об удвоении квадрата. Для того чтобы построить квадрат вдвое большей площади, чем данный, достаточно провести у данного квадрата диагональ (рис. 1,д) и принять ее за сторону нового квадрата.

Задача об удвоении куба оказалась существенно более трудной. Если обозначить через a длину стороны исходного куба, а через x – длину стороны вдвое большего куба, то получим соотношение x³ = 2a³ – снова кубическое уравнение. В 1837 г. тот же П. Ванцель доказал, что невозможно построить с помощью только циркуля и линейки отрезок, в раз больший данного, т.е. подтвердил неразрешимость задачи удвоения куба.

Естественно, что существовали способы приближенного решения этой задачи и решения ее с помощью других инструментов и кривых. Так, уже в IV в. до н.э. древнегреческие математики умели находить корень уравнения x³ = 2a³ как абсциссу точки пересечения двух парабол x² = ay и y² = 2ax (рис. 1,е), а также других конических сечений.

На протяжении многих веков три знаменитые задачи древности привлекали внимание выдающихся математиков. В процессе их решения рождались и совершенствовались многие математические методы.

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, ученому-агроному, планирующему распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях, химику, изучающему строение органических молекул, имеющих данный атомный состав.

С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди столкнулись в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов (см. Магические и латинские квадраты), в которых заданные числа располагали так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата, и т.д.

Комбинаторные задачи возникали и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. (Например, задача о расстановке восьми ферзей на шахматной доске так, чтобы ни один из них не оказался под боем, об обходе всех полей доски шахматным конем и т.д. (см. Математика на шахматной доске).

Комбинаторика становится наукой лишь в XVII в. – в период, когда возникла теория вероятностей. Чтобы решать теоретико-вероятностные задачи, нужно было уметь подсчитывать число различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям. После первых работ, выполненных в XVI в. итальянскими учеными Дж. Кардано, Н. Тартальей и Г. Галилеем, такие задачи изучали французские математики Б. Паскаль и П. Ферма. Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки немецкий философ и математик Г. Лейбниц, опубликовавший в 1666 г. работу «Об искусстве комбинаторики», в которой впервые появляется сам термин «комбинаторный». Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат Л. Эйлеру. Комбинаторными задачами интересовались и математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних письменностей. Теперь комбинаторика находит приложения во многих областях науки: в биологии, где она применяется для изучения состава белков и ДНК, в химии, механике сложных сооружений и т.д.

По мере развития комбинаторики выяснилось, что, несмотря на внешнее различие изучаемых ею вопросов, многие из них имеют одно и то же математическое содержание и сводятся к задачам о конечных множествах и их подмножествах. Постепенно выявилось несколько основных типов задач, к которым сводится большинство комбинаторных проблем. Важную область комбинаторики составляет теория перечислений. С ее помощью можно подсчитать число решений различных комбинаторных задач. В основе этой теории лежат «правило суммы» и «правило произведения». Они гласят: «если множество A состоит из m элементов, а множество B – из n элементов, причем эти множества не имеют общих элементов, то их объединение A ∪ B, т.е. совокупность всех элементов из A и B, содержит m + n элементов; множество A × B, состоящее из всевозможных пар (a,b), где элемент a принадлежит множеству A, а элемент b принадлежит множеству B, содержит mn элементов».

С помощью правила суммы легко сосчитать и число элементов в A ∪ B, когда A и B имеют общие элементы. Если обозначить через A∩B множество всех общих элементов у множеств A и B, то оно равно n(A) + n(B) - n(A ∩ B), где n(A) - число элементов в множестве A. Это утверждение – частный случай так называемой формулы перекрытий.

Часто приходится считать число последовательностей длины m, составленных из элементов некоторого множества A, состоящего из n элементов, как в случае, когда среди элементов последовательности могут быть повторяющиеся, так и в случае, когда все эти элементы должны быть различными. В первом случае последовательности называют размещениями с повторениями из n элементов по m и их число обозначают , а во втором – размещениями без повторений, их число обозначают . Формулы для и таковы:

, A^m_n = n(n-1)·...·(n-m+1).

Рассмотрим различные размещения без повторений из n элементов по n, очевидно, что они отличаются друг от друга лишь порядком элементов; их называют перестановками из n элементов. Число P_n таких перестановок равно n! (см. Факториал):

.

Если отвлечься от порядка элементов, то возникает задача: сколько подмножеств, содержащих m элементов и отличающихся одно от другого хотя бы одним элементом, можно извлечь из множества A, содержащего n элементов. В комбинаторике такие подмножества называют сочетаниями из n элементов по m, их число обозначают . Можно доказать, что

.

Целый ряд комбинаторных задач возникает при разбиении множеств на части: найти число таких разбиений, если число частей равно k; найти, сколькими способами можно число n записать в виде суммы k слагаемых; найти, сколькими способами можно разложить n предметов по k ящикам, и т.д. Обычно задачи теории разбиений и раскладок сводятся к формуле перекрытий и разобранным выше основным задачам комбинаторики. Такими же способами решаются комбинаторные задачи с ограничениями, например подсчет числа размещений с повторениями, в которых ни один элемент не стоит два раза подряд, и т.д.

В решении комбинаторных задач часто используют графические методы – изображение разбиений числа на слагаемые в виде точечных диаграмм, так называемые графы (геометрические фигуры, состоящие из точек и соединяющих их отрезков) и т.д. Теория графов стала в наши дни одной из наиболее бурно развивающихся частей комбинаторики. Многие общие теоремы этого раздела математики формулируются на языке графов.

Комбинаторика не сводится только к подсчету количества тех или иных подмножеств или последовательностей. При решении комбинаторных проблем иногда нужно лишь доказать, что данная проблема имеет решение, или убедиться в отсутствии его. Например, доказано следующее утверждение: для любых чисел m и n найдется такое число N, что любой граф, состоящий из N точек и всех соединяющих эти точки отрезков (они раскрашены в m цветов), содержит часть, состоящую из n точек и соединяющих их отрезков, такую, что все отрезки имеют один и гот же цвет (теорема Рамсея).

Если заданным условиям удовлетворяют несколько конфигураций, т.е. если комбинаторная задача имеет несколько решений, то может возникнуть вопрос о выборе из них решения, оптимального по тем или иным параметрам. Например, если имеется несколько городов, каждые два из которых соединены авиалинией, то возникает задача о том, как путешественнику побывать по одному разу в каждом городе, налетав наименьшее расстояние.

Комбинаторные задачи физики, химии, биологии, экономики и других наук, которые не поддавались ранее решению из-за трудоемкости вычислений, стали успешно решаться на ЭВМ. В результате этого комбинаторные методы исследования все глубже проникают во многие разделы науки и техники.

В 1970-1980 гг. комбинаторика добилась новых успехов. В частности, с помощью ЭВМ решена проблема четырех красок: доказано, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета так, чтобы никакие две страны, имеющие общую границу, не были окрашены в один и тот же цвет.

ВЕНГЕРСКИЙ ШАРНИРНЫЙ КУБИК

Необыкновенно популярной головоломкой стал кубик Рубика (рис. 1), изобретенный в 1975 г. преподавателем архитектуры из Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов. Кубик Рубика – это куб, как бы разрезанный на 27 одинаковых кубичков. В исходном положении каждая грань куба окрашена в один из 6 цветов. Остроумный механизм позволяет поворачивать любой слой из 9 кубичков, примыкающих к одной грани куба, вокруг ее центра (на рис. 1 слегка повернут верхний слой); при этом цвета граней смешиваются. Задача состоит в том, чтобы вернуть разноцветные грани кубика в исходное положение.

Рис. 1

Приведем один из многочисленных алгоритмов решения этой задачи. Он включает два этапа: на первом собираются кубички, располагающиеся в серединах ребер куба (реберные), на втором – угловые. Каждый кубичек может находиться на одном и том же месте в нескольких положениях (реберный – в двух, угловой – в трех). В соответствии с этим каждый этап делится на два шага: на первом кубички только расставляются на нужные места, а на втором они, если это необходимо, разворачиваются на своих местах так, чтобы их цвета совпали с «правильными» цветами граней. Ориентирами при определении правильных положений реберных и угловых кубичков служат квадраты в центрах граней: их взаимное расположение не меняется при вращении граней, а их цвета задают будущие цвета граней куба.

Записывать последовательности ходов (операции) будем, пользуясь обозначениями рис. 1; например, ΦΠ' – это последовательность из двух поворотов: фасадной (передней) грани на 90° по часовой стрелке и правой – на 90° против часовой стрелки. Весь процесс сборки основан на операции F = ПВФВ'Ф'П'Ф и обратной к ней операции F = Ф'ПФВФ'В'П'.

1-й этап. Сборка реберных кубичков.

1. Для расстановки реберных кубичков применяется операция F (или F'), меняющая местами ровно два из них. (Действие операции на реберных кубичках показано на рис. 2.)

Рис. 2

2. Для разворачивания применяется операция F² = F·F; в результате на своих местах поворачиваются два кубичка (a и b на рис. 2).

2-й этап. Сборка угловых кубичков.

1. Для расстановки угловых кубичков применяется операция FB'F'B, действие которой показано стрелками на рис. 3, и обратная операция @, переставляющая те же кубички в обратном порядке.

Рис. 3

2. Для разворачивания угловых кубичков применяется операция F⁴, действие которой показано на рис. 4, и обратная к ней операция (F')⁴, поворачивающая те же три кубичка в противоположном направлении.

Рис. 4

Указанные операции можно использовать и в рамках других общих схем. Например, нетрудно правильно собрать все реберные кубички, кроме четырех, лежащих в одной грани, после чего можно перейти к выполнению первого этапа алгоритма. Общее число ходов при этом заметно сокращается, но остается все еще большим. Дальнейшее сокращение можно получить, в частности, за счет расширения набора стандартных операций. Имеются и принципиально другие схемы сборки. Лучшие из них позволяют обойтись примерно 50 ходами-поворотами, но теоретически из любого состояния кубика можно вернуться в исходное не более чем за 23 хода. Лучшее время, показанное на чемпионате мира 1982 г. по скоростной сборке кубика Рубика, составило всего 22,95 с.

Задача поиска оптимального (по числу ходов) алгоритма является самой сложной и не решенной пока математической задачей, связанной с кубиком Рубика. Представляет интерес также изучение группы, порожденной поворотами граней, и др. Кубик Рубика служит не только развлечением, но и прекрасным наглядным пособием по алгебре, комбинаторике, программированию.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Так называют числа вида a + bi, где a и b - действительные числа, а i - число особого рода, квадрат которого равен -1, т.е. i² = -1. Действия над комплексными числами выполняются по таким же правилам, что и над многочленами, при этом i² заменяют на -1. Например:

(2+3i) + (4-8i) = 6-5i;

(2 + 3i)(4 - 8i) = 8 - 16i + 12i - 24i² = 32 - 4i;

;

i³ = i²·i = -i;

i⁴ = i² - i² = (-1)·(-1) = 1.

Равенство a + bi = c + di означает, что a = c и b = d.

Древнегреческие математики считали «настоящими» только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до н.э. в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за два века до н.э. Отрицательные числа применял в III в. н.э. древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в VII в. н.э. эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII в. н.э. было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа x, чтобы x² = -9.

В XVI в. в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений (см. Алгебраическое уравнение) содержатся кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения x³ + 3x - 4 = 0), а если оно имело три действительных корня (например, x³ - 7x + 6 = 0), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим трем корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

«Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают все более и более широкое распространение». Ф. Клейн

Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений x + y = 10, xy = 40, не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решения вида , , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что . Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637 г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 г. один из крупнейших математиков XVIII в. – Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа («мнимой» единицы); этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу (1831).

В течение XVII в. продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование.

Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII и XVIII вв. была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а потом из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707)

(cos φ + i sin φ)ⁿ = cos nφ + i sin nφ.

С помощью этой формулы можно также вывести равенства для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 г. замечательную формулу

e^ix = cos x + i sin x,

которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрическими. С помощью формулы Эйлера можно возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что e^iπ = -1. Можно находить синусы и косинусы от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, т.е. строить теорию функций комплексного переменного.

«Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств». П. Карно

В конце XVIII в. французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще ранее швейцарский математик Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов.

Хотя в течение XVIII в. с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т.д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведения, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

Конические сечения – кривые, получающиеся при сечении кругового конуса (точнее – конической поверхности) плоскостью, не проходящей через его вершину.

Получающиеся при этом ограниченные фигуры (рис. 1) оказываются эллипсами, а неограниченные – гиперболами (если секущая плоскость пересекает обе полости конуса) или параболами (если секущая плоскость пересекается лишь с одной из его полостей). Все виды конических сечений легко получить с помощью карманного фонарика, направляя его под разными углами на ровную площадку. Правда, при этом у гиперболы мы увидим лишь одну ветвь. Для того чтобы увидеть вторую, нужно ось фонарика повернуть на 180°.

Рис. 1

Одинаковый способ получения различных конических сечений влечет и сходство уравнений, описывающих эти кривые. В секущей плоскости можно так выбрать систему координат, чтобы уравнение конического сечения имело вид y²=2px+λx², где p и λ - постоянные. Если p ≠ 0, то это уравнение определяет параболу при λ=0, эллипс – при λ < 0, гиперболу – при λ > 0. Геометрическое свойство конических сечений, содержащееся в приведенном уравнении, было известно древнегреческим ученым и послужило для Аполлония Пергского (примерно II в. до н.э.) поводом присвоить отдельным типам конических сечений названия, сохранившиеся до наших дней: греческое слово «парабола» означает «приложение» (так как в греческой геометрии превращение прямоугольника данной площади y² в равновеликий ему прямоугольник с данным основанием 2p называлось приложением данного прямоугольника к этому основанию); слово «эллипс» означает «недостаток» (приложение с недостатком), слово «гипербола» - «избыток» (приложение с избытком).

Очень похожи уравнения конических сечений в полярных координатах. Если за полюс взять фокус кривой, а за полярную ось – ось кривой, проходящую через фокус, то получим уравнение

.

Оно будет уравнением эллипса при 0≤ε≤1 (при ε=0 получим окружность). Парабола будет описываться этим уравнением при ε=1, а гипербола при ε>1. Число ε называется эксцентриситетом конического сечения, а p - его фокальным параметром.

Математики Древней Греции рассматривали только сечения, перпендикулярные какой-либо образующей конуса, а различные типы кривых получали путем изменения угла раствора конуса. В частности, они обнаружили, что для любого коническою сечения, кроме окружности, в его плоскости существует такая прямая, для которой отношение расстояний точек на кривой до фокуса к расстоянию до этой прямой равняется эксцентриситету этого конического сечения (рис. 2). Такая прямая была названа директрисой этой кривой.

Рис. 2

Математический интерес к коническим сечениям во многом обусловлен тем, что если записать уравнение такого сечения в произвольной декартовой системе координат на секущей плоскости, то оно всегда будет алгебраическим уравнением второго порядка, т.е. будет иметь вид:

ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0.

И наоборот, кривая, описываемая таким уравнением, является коническим сечением, за исключением случаев, когда коэффициенты этого уравнения связаны определенными соотношениями.

Все тела Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллипсам. Небесные тела, попадающие в Солнечную систему из других звездных систем, движутся вокруг Солнца по гиперболической орбите и, если на их движение не оказывают существенного влияния планеты Солнечной системы, покидают се по этой же орбите. По эллипсам движутся вокруг Земли ее искусственные спутники и естественный спутник – Луна, а космические корабли, запущенные к другим планетам, движутся по окончании работы двигателей по параболам или гиперболам (в зависимости от скорости) до тех пор, пока притяжение других планет или Солнца не станет сравнимо с земным притяжением (рис. 3).

Рис. 3

КОНУС

Прямой круговой конус (от греческою слова konos - «сосновая шишка») – это фигура, получающаяся при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рис. 1 треугольник ABC вращается около катета AC; точка A называется вершиной конуса, прямая AC - его осью, отрезок AC (и его длина) – высотой конуса. Конус ограничен боковой поверхностью, образующейся при вращении гипотенузы AB, и основанием – кругом, получающимся при вращении второю катета BC.

Рис. 1

С глубокой древности рассматриваются также конические поверхности, составленные из всех прямых пространства, пересекающих данную прямую (ось) в одной точке (вершине), и образующие с осью данный, отличный от прямого, угол. Составляющие коническую поверхность прямые называются ее образующими – они получаются из одной образующей вращением около оси, и поэтому такую коническую поверхность часто называют конусом вращения (рис. 2). Вершина A разделяет конус вращения на две полости. Прямой круговой конус можно определить как часть пространства, ограниченную одной полостью конической поверхности и пересекающей эту полость плоскостью, перпендикулярной оси (рис. 2, вверху). Часть пространства, ограниченная полостью конуса и двумя такими плоскостями, называют усеченным (прямым круговым) конусом (рис. 2, внизу). В пересечении конической поверхности с плоскостью, кроме окружности, могут получиться эллипс, парабола, гипербола (см. Конические сечения). Плоскость, проходящая через вершину конуса A, в сечении может дать пару образующих или единственную образующую (в этом случае плоскость называется касательной к конусу), или же единственную точку A.

Рис. 2

Обобщенный конус с основанием – произвольной плоской фигурой M – и вершиной – не лежащей в плоскости M точкой A - это фигура, которую заполняют отрезки AX, соединяющие вершину со всеми точками X на основании M (рис. 3). Если M - круг, то получается круговой конус, а если к тому же вершина A проецируется в центр круга M, то мы приходим как раз к прямому круговому конусу. Другой частный случай обобщенного конуса – пирамида, получающаяся в том случае, если M – многоугольник. Сечение обобщенного конуса параллельной основанию M плоскостью – фигура M' – разбивает конус на меньший конус и обобщенный усеченный конус с основаниями M и M' (рис. 4). Объем любого конуса (в том числе прямого кругового и пирамиды) вычисляется по формуле:

V=1/3 SH,

где S - площадь основания, а H - высота конуса, т.е. расстояние от вершины A до плоскости основания. Объем любого усеченного конуса равен

,

где S₁ и S₂ - площади оснований M и M', а высота H определяется как расстояние между плоскостями оснований.

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса вычисляется по формуле S₆=πRl, где R – радиус основания, l - длина образующей конуса. Для усеченного (прямого кругового) конуса S₆=π(R+r)l, где R и r – радиусы оснований, l - длина его образующей.

Рис. 3

Рис. 4

КООРДИНАТЫ

Более чем за 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь известные географические координаты: широту и долготу – и обозначить их числами.

В XIV в. французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.

Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Р. Декарту. Такую систему координат стали называть декартовой. Точку O пересечения прямых называют началом, а сами направленные прямые – осями координат, ось Ox – осью абсцисс, а ось Oy – осью ординат. Числа x,y называют декартовыми координатами точки (x;y). Точка плоскости – геометрический объект – заменяется парой чисел (x;y), т.е. алгебраическим объектом. Принадлежность точки заданной кривой теперь соответствует тому, что числа x и y удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты точки окружности с центром в заданной точке (a;b) удовлетворяют уравнению (x-a)²+ (y-b)²=R²(рис. 1).

Рис. 1

Для определения положения точки в пространстве требуется введение третьей оси – оси аппликат (рис. 2). Таким образом, положение точки в пространстве будет уже задаваться тремя числами.

Рис. 2

Особенно просто описываются в декартовых координатах прямые и плоскости. Так, уравнение любой прямой на плоскости в декартовой системе координат записывается в виде: Ax+By+C=0, и наоборот, всякому такому уравнению, у которого числа A и B одновременно не являются нулями, удовлетворяют точки некоторой прямой.

Числа A и B имеют важный геометрический смысл: вектор с координатами {A,B} перпендикулярен соответствующей прямой (рис. 3). Следует, что если у двух прямых A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0 коэффициенты при переменных пропорциональны:

A₁/A₂ = B₁/B₂,

то эти прямые параллельны, поскольку параллельны перпендикулярные им векторы {A₁,B₁} и {A₂,B₂}. А если эти прямые перпендикулярны, то соответствующие им векторы также будут перпендикулярны, а следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю:

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

Рис. 3

В пространстве уравнение Ax + By + Cz + D = 0 описывает плоскость, если не все коэффициенты A,B и C равны нулю. Аналогично вектор {A,B,C} перпендикулярен этой плоскости. Отсюда получаем условия параллельности двух плоскостей A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0:

и условие их перпендикулярности: A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

Прямая в пространстве может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей и, следовательно, может описываться парой уравнений плоскостей, и, наоборот, точки, удовлетворяющие одновременно двум уравнениям:

,

лежат на прямой, если коэффициенты при неизвестных не пропорциональны, т.е. эти плоскости не параллельны.

Существует и другой способ описания прямой в декартовых координатах. Для этого выбираются точка M₀(x₀,y₀,z₀), лежащая на этой прямой, и вектор , параллельный данной прямой (он называется направляющим вектором прямой). Тогда все точки этой прямой удовлетворяют соотношениям:

Каждому значению числа t (оно называется параметром, а поэтому и запись называется параметрическим заданием прямой) соответствует некоторая точка этой прямой. Если вектор имеет единичную длину, то модуль числа t равняется расстоянию соответствующей точки до начальной точки M₀.

В соответствии с геометрическим смыслом чисел α, β и γ и здесь можно аналогично написать алгебраические условия перпендикулярности и условия параллельности прямых через координаты их направляющих векторов.

Трудно переоценить значение декартовой системы координат в развитии математики и ее приложений.

Кривые и поверхности, определяемые ранее геометрически, получили описание в виде формул. Более того, рассматривая различные уравнения и изображая соответствующие линии и поверхности, математики получили новые геометрические образы, оказавшиеся очень полезными в приложениях, например гиперболические функции.

Существуют на плоскости и другие системы координат, например полярная система координат. Чтобы ее ввести, выбирают начальную точку O, называемую полюсом, поэтому система и называется полярной. Из этой точки проводят луч, называющийся полярной осью. Чтобы определить координаты точки на плоскости, ее соединяют отрезком с полюсом и вычисляют длину этого отрезка и угол между ним и полярной осью (рис. 4).

Рис. 4

Таким образом, каждой точке M плоскости сопоставляется пара чисел (ρ, φ). Но если в декартовой системе координат эта пара определялась однозначно, то в полярной системе число φ определено уже неоднозначно: парам чисел (ρ, φ+2nπ) соответствует одна и та же точка при любом целом числе n. Направление полярной оси можно выбирать произвольно. Так, географы предпочитают направление полярной оси на север и соответствующий полярный угол называют азимутом, а артиллеристы отсчитывают азимут от направления на юг.

Существуют также координаты, задаваемые одним числом. Это координаты на прямой. Достаточно задать одно число – расстояние от точки до начала отсчета, чтобы указать на прямой положение этой точки.

А сколько координат зададут положение точки в пространстве? Естественно, три. Эти три числа можно получить, например, так. Соединим мысленно лучом центр Земли и нашу точку и рассмотрим широту и долготу пересечения луча с поверхностью Земли и расстояние от точки до центра Земли. Такая система координат называется сферической. Можно поступить по-другому. Выберем некоторую плоскость и введем на ней полярную систему координат, а нашей точке сопоставим полярные координаты ее проекции на эту плоскость и расстояние от нее до плоскости, взятое со знаком «плюс» для одной половины пространства и со знаком «минус» - для другой; так мы получим цилиндрическую систему координат.

Сферической системой координат обычно пользуются на аэродромах. Рядом с аэродромом ставят радиолокатор. Этот прибор определяет расстояние до самолета, угол, под которым самолет виден над горизонтом, и угол между направлением на самолет и направлением на север, т. е. определяет его сферические координаты.

КОСИНУСОВ ТЕОРЕМА

Косинусов теорема – теорема тригонометрии, выражающая зависимость между сторонами и углами треугольника. Она утверждает, что во всяком треугольнике квадрат длины стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла между ними, т.е. в треугольнике ABC (см. рис.) имеет место соотношение

c²=a²+b²-2abcosC,

где a,b,c – длины сторон треугольника, а C – величина угла, противолежащего стороне c. Если угол C прямой, то теорема косинусов переходит в Пифагора теорему, так как косинус прямого угла равен нулю. Теорема косинусов чаще всего применяется в двух случаях: 1) если нужно узнать длину одной из сторон при известных длинах двух других сторон и величине угла между ними; 2) если нужно узнать величины углов треугольника, длины сторон которого известны.

Теорему знали еще древние греки, ее доказательство содержится во II книге «Начал» Евклида (см. Евклид и его «Начала»).

КУБ

Куб, или гексаэдр (шестигранник), - прямоугольный параллелепипед с равными измерениями, один из видов правильных многогранников. Ею легко склеить из развертки (рис. 1). Куб – единственный из правильных многогранников, которым можно замостить пространство, прикладывая один кубик к другому. Именно поэтому объем куба с единичным ребром принят за единицу объема. Удивительным образом куб связан с четырьмя другими видами правильных многогранников. Так, центры граней куба являются вершинами октаэдра и, наоборот, центры граней октаэдра суть вершины куба (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

В куб можно вписать правильный тетраэдр – его вершинами являются концы скрещивающихся диагоналей двух параллельных граней куба (рис. 3). Остальные четыре вершины куба служат вершинами второго вписанного тетраэдра.

Рис. 3

Куб можно вписать в додекаэдр так, что ребра куба будут диагоналями граней додекаэдра (рис. 4). Ребром вписанного в додекаэдр куба может быть любая из пяти диагоналей какой-нибудь грани додекаэдра, так что в додекаэдр указанным образом можно вписать 5 одинаковых кубов. Наконец, на каждой из шести граней куба можно выбрать по паре точек так, что 12 выбранных точек будут вершинами икосаэдра, рис. 5 (выделенные отрезки лежат на гранях куба).

Рис. 4

Рис. 5

Среди прочих примечательных свойств куба отметим, что в точности четыре его сечения являются правильными шестиугольниками – эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырем его диагоналям (рис. 6).

Рис. 6

Куб – пространственный аналог квадрата на плоскости. Особую четкость эта аналогия приобретает, если привлечь координаты. Квадрат на плоскости Oxy можно задать неравенствами

0≤x≤1, 0≤y≤1,

и его вершины будут иметь координаты (0;0), (0;1), (1;0) и (1;1). В координатном пространстве Oxyz куб задается неравенствами

0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1;

его 8 вершин имеют координаты (0;0;0), (0;0;1), (0;1;0), (0;1;1), (1;0;0), (1;0;1), (1;1;0) и (1;1;1). Квадрат имеет 4 стороны, лежащие на прямых x=0, y=0, x=1 и y=1. Куб имеет 6 (плоских, или двумерных) граней, лежащих в плоскостях, задаваемых уравнениями x=0, y=0, z=0, x=1, y=1 и z=1. Эту аналогию можно продолжить в две стороны.

Одномерный аналог куба и квадрата – это, конечно, отрезок 0≤x≤1 оси Ox. Четырехмерный же куб в четырехмерном пространстве, точки которого понимают как всевозможные (упорядоченные) четверки чисел (x;y;z;t), задается системой неравенств

0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1, 0≤t≤1.

Четырехмерный куб, или гиперкуб, имеет уже 16 вершин (точек с координатами (x;y;z;t), где x,y,z и t могут равняться 0 или 1) и 8 трехмерных граней, каждая из которых представляет собой обычный (трехмерный) куб, все 8 вершин которого удовлетворяют одному из уравнений: x=0, y=0, z=0, t=0, x=1, y=1, z=1 и t=1. Двумерных граней у гиперкуба 24 – это квадраты, у вершин которых зафиксированы (равны 0 или 1) уже две координаты (из четырех). Наконец, ребер, одномерных граней, у гиперкуба 32.

Аналогично тому, как обычный куб имеет плоскую – двумерную – развертку (рис. 1), гиперкуб может быть «развернут» в трехмерном пространстве. Эта развертка будет состоять из 8 трехмерных граней – обычных кубов – и может быть изображена так, как показано на рис. 7. В четырехмерном пространстве каждый из кубов развертки граничит с шестью другими. На рис. 8 дан плоский чертеж трехмерного «изображения» гиперкуба (само это изображение легко соорудить из спичек и пластилина). Пространственную проекцию гиперкуба можно представить и изготовить по плоскому чертежу на рис. 9.

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

ЛЕТНИЕ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ШКОЛЫ

Во время летних каникул тысячи старшеклассников в разных краях и областях нашей страны вновь садятся за парты в летних физико-математических школах. Эти школы создаются при высших учебных заведениях и научно-исследовательских институтах. Ребята, которые интересуются физикой и математикой, могут углубить и расширить свои знания, познакомиться с единомышленниками – ровесниками, студентами, учеными.

В большинстве летних школ учебный процесс строится из лекций и семинаров, но иногда (например, в школах при Ленинградском и Красноярском университетах) организуются математические кружки и факультативы. Обычно в летних школах изучают традиционные разделы математики, не нашедшие достаточного отражения в программе общеобразовательной школы. А в Малой Академии наук в Крыму и Всесоюзной летней школе юных программистов при Вычислительном центре АН Сибирского отделения АН СССР впервые начато обучение программированию и вычислительной математике. В программе летних школ важное место занимает не только решение задач на семинарах и в кружках, но и подготовка к олимпиадам, специальным практикумам. Популярны «математические бои», конкурсы по решению задач.

Поскольку летние школы организуются крупными научными центрами и высшими учебными заведениями, то к преподаванию привлекаются ведущие специалисты. Здесь школьники могут поговорить в непринужденной атмосфере с учеными, знакомыми по книгам и телепередачам. Ученики летних физико-математических школ часто бывают на экскурсиях в научных центрах и высших учебных заведениях. Близость крупных научных центров позволяет ребятам быть в курсе современных направлений научного прогресса. Летние физико-математические школы различны и по содержанию занятий, и по принципам организации, однако во всех школах создается высокоинтеллектуальная, творческая атмосфера, осуществляется программа обучения, в которой органично соединены и занятия, и культурный досуг, и отдых, и общение. Особенно полезно общение сотрудников и учеников школы. Обычно преподаватели школ – молодые ученые, студенты – совмещают учебные и воспитательные обязанности. Они легко находят общий язык с воспитанниками, и общение в учебе не отделено от дружеских взаимоотношений. В круг интересов входят поэтому не только наука, но и вопросы общественной жизни, культуры.

В Красноярской летней школе старшеклассники занимаются математикой, физикой, химией.

Юность неразлучна со спортом, и спортивные соревнования, секции, туристские походы и, конечно, утренняя зарядка обеспечивают ребятам здоровье.

Во многих летних школах установились свои традиции: например, знаменитый «симпозиум фантастических проектов» в летней школе при Новосибирском государственном университете, спортивно-математические состязания и празднование Дня математика в Красноярской летней школе, математический КВН в летней школе города Батуми, общий сбор Малой Академии наук «Искатель» в Крыму.

Своим успехом летние школы во многом обязаны самостоятельности и увлеченности школьников. Деятельное участие ребят в жизни всего коллектива, дружба с молодыми сотрудниками приводят часто к тому, что недавние выпускники школ, а затем студенты и аспиранты вузов физико-математического профиля возвращаются в свою летнюю школу уже в качестве преподавателей и воспитателей.

Летние школы тесно связаны с другими формами внеклассной работы по математике - с научными обществами учащихся, заочными математическими школами. И для многих старшеклассников учеба в летней школе становится первым шагом на пути к овладению будущей профессией.

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

Линейная функция – двучлен первой степени, т.е. функция вида y=ax+b. Линейная функция определена на всей числовой прямой. Функция называется линейной потому, что ее график есть прямая линия.

Рассмотрим два значения аргумента x₁ и x₂, им соответствуют значения линейной функции у₁ = ах₁ + b и у₂ = ах₂ + b. Изменение аргумента на величину у₂ = ах₂ + b вызывает изменение функции на величину у₂ - y₁ = а(х₂ — х₁), при этом отношение изменения функции к изменению аргумента равно a:

(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = a.

Таким образом, у линейной функции изменение функции пропорционально изменению аргумента, и это есть характеристическое свойство линейной функции. Поэтому с помощью линейной функции описываются пропорциональные зависимости.

Например, цена p купленного отреза ткани пропорциональна его длине l, а именно р = kl (здесь k - цена одного метра ткани); при равномерном движении с постоянной скоростью v пройденный путь s пропорционален времени t и выражается формулой s = vt, т.е. s – линейная функция t.

Пример линейной функции дает зависимость между различными шкалами температур. Абсолютная температура t_K (по Кельвину) связана с температурой t_C на шкале Цельсия формулой t_C = t_K + 273°, а переход от температуры по Фаренгейту (шкале, принятой до сих пор в Англии и США) /ф к температуре на шкале Цельсия tc выражается такой линейной функцией: t_Ф = 1,8t_C + 32° (на шкале Цельсия промежуток между точкой замерзания и точкой кипения разделен на 100 частей, а на шкале Фаренгейта – на 180, и 0°С соответствует 32°Ф).

Частный случай линейной функции – прямая пропорциональная зависимость y=ax, т.е. линейная функция при b=0. График этой функции есть прямая, проходящая через начало координат (рис. 1). Число a называется угловым коэффициентом прямой и равен тангенсу угла α, образованного прямой с положительным направлением оси Ox.

Рис. 1

График линейной функции y=ax+b (b≠0) получается из графика функции у = ах параллельным переносом на b единиц вверх при b > 0 и на b единиц вниз при b < 0 (рис. 2). Поскольку прямая определяется своими двумя точками, то для построения графика линейной функции достаточно найти координаты лишь двух ее точек.

Рис. 2

Линейная функция простейшая и, можно сказать, важнейшая среди всех функций. Многие физические законы выражаются с помощью линейной функции (мы уже говорили о пройденном пути при постоянной скорости), но важно то, что целый ряд сложных нелинейных зависимостей «в малом» можно считать линейными. Например, по закону Гука при небольших удлинениях (и только при них) сила упругости F пропорциональна величине x - удлинению пружины: F = -kх. Другой пример: напряжение V по закону Ома линейно зависит от силы тока J, именно V= RJ (здесь R – сопротивление), однако этот закон также справедлив лишь при не очень больших изменениях силы тока.

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ

Линейным уравнением с неизвестными x₁,x₂,...,x_n называют уравнение вида

a₁x₁+a₂x₂+...+a_nx_n=b; (1)

числа a₁,a₂,...,a_n называют коэффициентами при неизвестных, число b – свободным членом уравнения.

Линейные уравнения с одним неизвестным умели решать еще в Древнем Вавилоне и в Египте более чем 4 тыс. лет назад. Приведем, например, задачу из папируса Ринда (его называют также папирусом Ахмеса), хранящегося в Британском музее и относящегося к периоду 2000-1700 гг. до н.э.: «Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания от полученной суммы ее трети получается число 10». Решение этой задачи сводится к решению линейного уравнения

x + 2/3x + -1/3(x + 2/3x) = 10, откуда x=9.

Приведем также задачу Метродора, о жизни которого ничего не известно, кроме того, что он автор интересных задач, составленных в стихах.

Решая линейное уравнение

1/6 x + 1/12 x + 1/7 x + 5 + 1/2 x + 4 = x,

находим, что x=84 – столько лет прожил Диофант.

Сам Диофант много внимания уделял неопределенным уравнениям (так называют алгебраические уравнения или системы таких уравнений с двумя и большим числом неизвестных с целыми коэффициентами, для которых разыскиваются целые или рациональные решения; число неизвестных должно быть больше числа уравнений). Эти уравнения называются диофантовыми уравнениями. Правда, Диофант, живший на рубеже II-III вв., в основном занимался неопределенными уравнениями более высоких степеней.

Систему алгебраических уравнений, каждое из которых имеет вид (1), называют линейной системой. Коэффициенты уравнений, входящих в систему, нумеруют обычно двумя индексами, первый из которых – номер уравнения, а второй (как и в (1)) – номер неизвестного. Например, систему m уравнений с n неизвестными записывают в виде

(2)

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

(3)

Умножим первое уравнение системы (3) на a₂₂ и вычтем из полученного уравнения второе, умноженное на a₁₂; аналогично умножим второе уравнение системы (3) на a₁₁ и вычтем из полученного уравнения первое, умноженное на a₂₁. После этого получится система:

(4)

которая есть следствие системы (3). Систему (4) можно записать в виде

(5)

где Δ – определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы (см. Определитель), Δ_i - определители матриц, получаемых из предыдущей заменой i-го столбца на столбец из свободных членов, i=1,2. Далее, если Δ≠0, то система (5) имеет единственное решение:

, .

Непосредственной подстановкой проверяется, что эта пара чисел является также и решением системы (3). По такому же правилу ищут решение системы n линейных уравнений с n неизвестными: если определитель системы Δ отличен от нуля, то система имеет единственное решение, причем

,

где Δ_i - определитель матрицы, получаемой из матрицы, составленной из коэффициентов системы, заменой в ней i-го столбца на столбец из свободных членов. Описанное правило решения линейных систем носит название правила Крамера. (Г. Крамер – швейцарский математик, 1704-1752).

Если Δ=0, то должны обращаться в нуль и Δ₁, и Δ₂ (иначе (5), а тем более (3) не имеет решений). При выполнении условия Δ=Δ₁=Δ₂=0, если соответственные коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнения системы (3) пропорциональны, то система будет иметь бесконечно много решений; если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля (например, если a_1,2≠0), то x₁, можно взять любым, тогда

.

Осталось разобрать случай, когда система имеет вид

для которого ответ очевиден: если b₁=b₂=0, то решением является любая пара чисел, в противном случае решений нет.

В общем случае для системы из n уравнений с n неизвестными при Δ≠0 система имеет единственное решение, которое, как уже говорилось, можно найти по правилу Крамера. Если Δ=0 и хотя бы один из определителей Δ_i отличен от нуля, система несовместна (т.е. не имеет решений). В случае, когда Δ=Δ₁=Δ₂=...=Δ_n=0, система может либо быть несовместной, либо иметь бесконечно много решений. Установить, какой из этих двух случаев реализуется с помощью определителей, довольно сложно, и мы этим заниматься не будем. На практике для решения линейных систем правилом Крамера обычно не пользуются. Чаще всего для этих целей применяют метод Гаусса (см. Неизвестных исключение).

Как известно, линейное уравнение a₁x₁ + a₂x₂=b определяет прямую на плоскости (x₁;x₂) в случае, когда хотя бы один из коэффициентов a₁ и a₂ отличен от нуля. Если мы возьмем на плоскости две прямые то возможны следующие случаи (рис. 1): 1) прямые параллельны и не имеют общих точек, и тогда система не имеет решений; 2) прямые пересекаются, и тогда система имеет одно решение; 3) прямые совпадают, и тогда система имеет бесконечно много решений. Но две «случайно» взятые прямые, «как правило», будут пересекаться, т.е., как правило, система двух линейных уравнений с двумя переменными будет иметь одно решение. Любая точка некоторой прямой на плоскости соответствует решению «системы» (состоящей из одного уравнения), т.е., как правило, имеет место случай 3 (случай 2 невозможен, а случай 1 реализуется, если мы возьмем уравнение 0·x₁+0·x₂=b, где b≠0, не определяющее прямой на плоскости). Если же на плоскости взять 3 или больше прямых, то, вообще говоря, они могут все совпадать или проходить через одну точку, но, как правило, имеет место первый случай – у прямых нег общей точки.

Рис. 1

ЛИНИЯ

Первые линии, с которыми мы знакомимся, изучая математику, - это прямая и окружность. Затем изучаем гиперболу, параболу, различные спирали и другие кривые. У каждой из них есть какие-то интересные математические свойства.

Что же такое линия? Оказывается, дать строгое определение этого понятия совсем не просто. В «Началах» Евклида линия определялась как «длина без толщины». Однако такое определение не могло устроить математиков более позднего времени. После введения Р. Декартом системы координат появилась возможность дать представление о линии как о траектории движущейся точки. Приведем это определение. Пусть на отрезке [a,b] заданы две непрерывные функции x=f(t) и y=g(t). Сопоставим каждому значению t из отрезка [a,b] точку на координатной плоскости с координатами [x=f(t),y=g(t)]. Совокупность всех таких точек и будем называть линией. Такой способ задания кривой называется параметрическим. Легко заметить связь параметрического задания линии с представлением о линии как о траектории движущейся точки; если считать параметр t временем, то f(t) и g(t) будут координатами движущейся точки в момент времени t.

Параметрическое уравнение прямой имеет вид

а параметрическое уравнение окружности с центром в точке O с координатами (a,b) и радиусом R запишется в виде

Но прямую на плоскости можно описать и одним уравнением:

Ax+By+C=0,

как и окружность, уравнение которой имеет вид

(x-a)²+(y-b)²-R²=0.

Может быть, можно считать линией совокупность всех точек плоскости, удовлетворяющих некоторому уравнению F(x,y)=0?

Да, можно, но с осторожностью. Не всякое уравнение такого вида определяет линию. Скажем, уравнению x²+y²+25=0 не удовлетворяет ни одна точка плоскости, а уравнению x+y-|x+y|=0 удовлетворяют все точки полуплоскости x+y≥0 (рис. 1).

Рис. 1

Подобные казусы бывают и при параметрическом задании линии. Хотя для каждого значения t из отрезка [a,b] определена точка на плоскости, но совокупность этих точек может совершенно не соответствовать нашим интуитивным представлениям о линии, скажем, совпадать со множеством точек некоторого квадрата. Впервые такие линии обнаружил итальянский математик Д. Пеано (1858-1932), в честь которого их стали называть кривыми Пеано.

Способ построения одной из таких кривых изображен на рис. 2. Сначала берем простую крестообразную замкнутую ломаную, затем из четырех таких ломаных, соответственно уменьшенных, строим более сложную кривую, из четырех новых ломаных строим еще одну и т.д. Кривая, которая получится в пределе, и будет кривой Пеано. Для каждой ее точки можно указать значение t на отрезке [0,1], которому соответствует эта точка, причем близким точкам на отрезке [0,1] соответствуют близкие точки на кривой.

Рис. 2

Кривая, которая проходит через все точки квадрата, естественно, не соответствует нашим представлениям о линии. Поэтому при определении линии часто на функции f(t) и g(t) накладывают помимо непрерывности и другие ограничения, например существование производных.

Начнем с длины ломаной. Так как ломаная – объединение нескольких отрезков (ее звеньев), то длину ломаной легко найти, вычислив сумму длин всех се звеньев.

Задача 1. Выпуклый многоугольник F находится в многоугольнике G. Доказать, что периметр многоугольника F меньше периметра объемлющего многоугольника G.

Решение. Продолжим стороны выпуклого многоугольника F до пересечения с контуром объемлющего многоугольника G и сложим ряд неравенств (рис. 1):

|AM| + |MN| + |NH| ≥ |AB| + |BH|,

|BH| + |HP| + |PQ| + |QK| ≥ |BC| + |CK|,

|CK| + |KR| + |RS| + |SL| ≥ |CD| + |DL|,

|DL| + |LT| + |TM| ≥ |DA| + |AM|.

Рис. 1

Уничтожая в левой и правой частях одинаковые слагаемые, получаем требуемое неравенство: |NP|+|PQ|+|QR|+|RS|+|ST|+|TN| ≥ |AB|+|BC|+|CD|+|DE|.

He обходится дело и без софизмов.

Задача 2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике проведена пилообразная ломаная L_n, состоящая из n ступенек, примыкающих к гипотенузе (рис. 2). Ясно, что ее длина равна сумме длин катетов. В то же время при n → ∞ ломаная L_n все более приближается к гипотенузе и в пределе сливается с ней. Значит, длина гипотенузы равна сумме длин катетов. В чем здесь ошибка?

Рис. 2

Решение. Из того, что предел ломаных совпадает с гипотенузой AB, делается неправильный вывод о том, что это же имеет место и для длин, т.е. , где через l(L_n) обозначается длина ломаной L_n. Рис. 3 показывает, что какова бы ни была ломаная L, можно в любой близости от нее изобразить другую ломаную L' (с теми же концами), имеющую какую угодно большую длину. Поэтому если последовательность ломаных {L_n} сходится к некоторой линии L и существует предел , то можно утверждать, что . Кратко это выражают словами: длина ломаной полунепрерывна снизу.

Рис. 3

Сформулируем основные свойства длины ломаной:

1) длина любой ломаной неотрицательна;

2) равные ломаные имеют равные длины;

3) если ломаная L разбита некоторой точкой на две ломаные L₁,L₂, то l(L) = l(L₁) + l(L₂);

4) длина отрезка, принятая за единицу измерения длин, равна 1;

5) длина ломаной полунепрерывна снизу.

Оказывается, что с помощью этих свойств можно определить понятие длины и для кривых линий. Линию L, которая соединяет две точки A,B и не пересекает себя, называют простой дугой с концами A и B. Основной результат теории длины (теорема существования и единственности) утверждает, что на множестве всех простых дуг существует и притом только одна функция l(L), называемая длиной, которая обладает пятью сформулированными выше свойствами. Разница будет лишь в том, что для некоторых простых дуг длина оказывается бесконечной; такие простые дуги называют неспрямляемыми.

Для вычисления длины используют вписанные ломаные. Идя вдоль простой дуги L от одного конца A к другому концу B, мы можем последовательно отметить на L несколько точек A₁,A₂,...,A_n и рассмотреть вписанную ломаную AA₁A₂...A_n. Если теперь {L_n} – такая последовательность вписанных в линию L ломаных, что наибольшее звено ломаной L_n стремится к нулю при n → ∞, то эта последовательность сходится к L. Следовательно, . С другой стороны, длина каждого звена |A_iA_i + 1| вписанной ломаной не больше длины соответствующей дуги линии L, откуда следует, что l(L_n) ≤ l(L), и потому . Таким образом,

.

Линия L будет нсспрямляемой. т.е. l(L) бесконечна, если существует вписанная ломаная какой угодно большой длины. Таков, например, график непрерывной функции f(x) = x sin 1/x (0 < x ≤ 1), дополненной соглашением f(0) = 0 (рис. 4).

Рис. 4

Заметим, что если функция f(x), рассматриваемая на [a,b], имеет непрерывную производную, то график L этой функции является спрямляемой простой дугой, и ее длина равна

.

Справедливость этого соотношения поясняется:

dy = f'(x)dx, ds² = dx² + dy², ,

где s – длина дуги кривой от точки A до M. С помощью этой теоремы можно вычислять длины различных кривых. Например, длина дуги параболы y=x² на отрезке [-a,a] равна

.

Древние математики не владели понятиями математического анализа. Однако они умели вычислять длины окружности и некоторых спиралей.

Вычисляя периметры правильных вписанных 2ⁿ-угольников и описанных 2ⁿ-угольников, Архимед нашел, что число π, участвующее в формуле длины окружности: C = 2πr, заключено между 3 10/71 и 3 1/7, т.е.

3,1408 < π < 3,1429.

ЛОБАЧЕВСКОГО ГЕОМЕТРИЯ

История создания геометрии Лобачевского одновременно является историей попыток доказать пятый постулат Евклида. Этот постулат представляет собой одну из аксиом, положенных Евклидом в основу изложения геометрии (см. Евклид и его «Начала»). Пятый постулат – последнее и самое сложное из предложений, включенных Евклидом в его аксиоматику геометрии. Напомним формулировку пятого постулата: если две прямые пересекаются третьей так, что по какую-либо сторону от нее сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то по эту же сторону исходные прямые пересекаются. Например, если на рис. 1 угол α – прямой, а угол β чуть меньше прямого, то прямые l₁ и l₂ непременно пересекаются, причем справа от прямой m. Многие теоремы Евклида (например, «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны») выражают гораздо более простые факты, чем пятый постулат. К тому же проверить на эксперименте пятый постулат довольно сложно. Достаточно сказать, что если на рис. 1 расстояние |AB| считать равным 1 м, а угол β отличается от прямого на одну угловую секунду, то можно подсчитать, что прямые l₁ и l₂ пересекаются на расстоянии свыше 200 км от прямой m.

Рис. 1

Многие математики, жившие после Евклида, пытались доказать, что эта аксиома (пятый постулат) – лишняя, т.е. она может быть доказана как теорема на основании остальных аксиом. Так, в V в. математик Прокл (первый комментатор трудов Евклида) предпринял такую попытку. Однако в своем доказательстве Прокл незаметно для себя использовал следующее утверждение: два перпендикуляра к одной прямой на всем своем протяжении находятся на ограниченном расстоянии друг от друга (т.е. две прямые, перпендикулярные третьей, не могут неограниченно удаляться друг от друга, как линии на рис. 2). Но при всей кажущейся наглядной «очевидности» это утверждение при строгом аксиоматическом изложении геометрии требует обоснования. В действительности использованное Проклом утверждение является эквивалентом пятого постулата; иначе говоря, если его добавить к остальным аксиомам Евклида в качестве еще одной новой аксиомы, то пятый постулат можно доказать (что и сделал Прокл), а если принять пятый постулат, то можно доказать сформулированное Проклом утверждение.

Рис. 2

Критический анализ дальнейших попыток доказать пятый постулат выявил большое число аналогичных «очевидных» утверждений, которыми можно заменить пятый постулат в аксиоматике Евклида. Вот несколько примеров таких эквивалентов пятого постулата.

1) Через точку внутри угла, меньшего, чем развернутый, всегда можно провести прямую, пересекающую его стороны, т.е. прямые линии на плоскости не могут располагаться так, как показано на рис. 3. 2) Существуют два подобных треугольника, не равных между собой. 3) Три точки, расположенные по одну сторону прямой l на равном расстоянии от нее (рис. 4), лежат на одной прямой. 4) Для всякого треугольника существует описанная окружность.

Рис. 3

Рис. 4

Постепенно «доказательства» становятся все изощреннее, в них все глубже прячутся малозаметные эквиваленты пятого постулата. Допустив, что пятый постулат неверен, математики пытались прийти к логическому противоречию. Они приходили к утверждениям, чудовищно противоречащим нашей геометрической интуиции, но логического противоречия не получалось. А может быть, мы вообще никогда не придем на таком пути к противоречию? Не может ли быть так, что, заменив пятый постулат Евклида его отрицанием (при сохранении остальных аксиом Евклида), мы придем к новой, неевклидовой геометрии, которая во многом не согласуется с нашими привычными наглядными представлениями, но тем не менее не содержит никаких логических противоречий? Эту простую, но очень дерзкую мысль математики не могли выстрадать в течение двух тысячелетий после появления «Начал» Евклида.

Первым, кто допустил возможность существования неевклидовой геометрии, в которой пятый постулат заменяется его отрицанием, был К. Ф. Гаусс. То, что Гаусс владел идеями неевклидовой геометрии, было обнаружено лишь после смерти ученого, когда стали изучать его архивы. Гениальный Гаусс, к мнениям которою все прислушивались, не рискнул опубликовать свои результаты по неевклидовой геометрии, опасаясь быть непонятым и втянутым в полемику.

XIX в. принес решение загадки пятого постулата. К этому открытию независимо от Гаусса пришел и наш соотечественник – профессор Казанского университета Н. И. Лобачевский. Как и его предшественники, Лобачевский вначале пытался выводить различные следствия из отрицания пятого постулата, надеясь, что рано или поздно он придет к противоречию. Однако он доказал много десятков теорем, не обнаруживая логических противоречий. И тогда Лобачевскому пришла в голову догадка о непротиворечивости геометрии, в которой пятый постулат заменен его отрицанием. Лобачевский назвал эту геометрию воображаемой. Свои исследования Лобачевский изложил в ряде сочинений, начиная с 1829 г. Но математический мир не принял идеи Лобачевского. Ученые не были подготовлены к мысли о том, что может существовать геометрия, отличная от евклидовой. И лишь Гаусс выразил свое отношение к научному подвигу русского ученого: он добился избрания в 1842 г. Н. И. Лобачевского членом-корреспондентом Геттингенского королевского научного общества. Это единственная научная почесть, выпавшая на долю Лобачевского при жизни. Он умер, так и не добившись признания своих идей.

Рассказывая о геометрии Лобачевского, нельзя не отметить еще одного ученою, который вместе с Гауссом и Лобачевским делит заслугу открытия неевклидовой геометрии. Им был венгерский математик Я. Бойяи (1802-1860). Его отец, известный математик Ф. Бойяи, всю жизнь работавший над теорией параллельных, считал, что решение этой проблемы выше сил человеческих, и хотел оградить сына от неудач и разочарований. В одном из писем он писал ему: «Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи и всякий светоч, всякую радость жизни в ней похоронил... она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни...» Но Янош не внял предостережениям отца. Вскоре молодой ученый независимо от Гаусса и Лобачевского пришел к тем же идеям. В приложении к книге своего отца, вышедшей в 1832 г., Я. Бойяи дал самостоятельное изложение неевклидовой геометрии.

В геометрии Лобачевского (или геометрии Лобачевского Бойяи, как ее иногда называют) сохраняются все теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без использования пятого постулата (или аксиомы параллельности одного из эквивалентов пятого постулата, - включенной в наши дни в школьные учебники). Например: вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны; из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр; сохраняются также признаки равенства треугольников и др. Однако теоремы, при доказательстве которых применяется аксиома параллельности, видоизменяются. Теорема о сумме углов треугольника – первая теорема школьного курса, при доказательстве которой используется аксиома параллельности. Здесь нас ожидает первый «сюрприз»: в геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180°.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то в евклидовой геометрии равны и третьи углы (такие треугольники подобны). В геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников. Более того, в геометрии Лобачевского имеет место четвертый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Разность между 180° и суммой углов треугольника ABC в геометрии Лобачевского положительна; она называется дефектом этого треугольника. Оказывается, что в этой геометрии площадь треугольника замечательным образом связана с его дефектом: S_ABC = k·D_ABC, где S и D означают площадь и дефект треугольника, а число k зависит от выбора единиц измерения площадей и углов.

Пусть теперь AOB – некоторый острый угол (рис. 5). В геометрии Лобачевского можно выбрать такую точку M на стороне OB, что перпендикуляр MQ к стороне OB не пересекается с другой стороной угла. Этот факт как раз подтверждает, что не выполняется пятый постулат: сумма углов α и β меньше развернутого угла, но прямые OA и MQ не пересекаются. Если начать приближать точку M к O, то найдется такая «критическая» точка M₀, что перпендикуляр M₀Q₀ к стороне OB все еще не пересекается со стороной OA, но для любой точки M', лежащей между O и M₀, соответствующий перпендикуляр M'Q' пересекается со стороной OA. Прямые OA и M₀Q₀ все более приближаются друг к другу, но общих точек не имеют. На рис. 6 эти прямые изображены отдельно; именно такие неограниченно приближающиеся друг к другу прямые Лобачевский называет в своей геометрии параллельными. А два перпендикуляра к одной прямой (которые неограниченно удаляются друг от друга, как на рис. 2) Лобачевский называет расходящимися прямыми. Оказывается, что этим и ограничиваются все возможности расположения двух прямых на плоскости Лобачевского: две несовпадающие прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны (рис. 6), либо являются расходящимися (в этом случае они имеют единственный общий перпендикуляр, рис. 2).

Рис. 5

Рис. 6

На рис. 7 перпендикуляр MQ к стороне OB угла AOB не пересекается со стороной OA, а прямые OB',M'Q' симметричны прямым OB,MQ относительно (OA). Далее, |OM| = |MB|, так что (MQ) – перпендикуляр к отрезку OB в его середине и аналогично (M'Q') – перпендикуляр к отрезку OB' в его середине. Эти перпендикуляры не пересекаются, и потому не существует точки, одинаково удаленной от точек O,B,B', т.е. треугольник OBB' не имеет описанной окружности.

Рис. 7

На рис. 8 изображен интересный вариант расположения трех прямых на плоскости Лобачевского: каждые две из них параллельны (только в разных направлениях). А на рис. 9 все прямые параллельны друг другу в одном направлении (пучок параллельных прямых). Красная линия на рис. 9 «перпендикулярна» всем проведенным прямым (т.е. касательная к этой линии в любой ее точке M перпендикулярна прямой, проходящей через M). Эта линия называется предельной окружностью, или орициклом. Прямые рассмотренного пучка являются как бы ее «радиусами», а «центр» предельной окружности лежит в бесконечности, поскольку «радиусы» параллельны. В то же время предельная окружность не является прямой линией, она «искривлена». И другие свойства, которыми в евклидовой геометрии обладает прямая, в геометрии Лобачевского оказываются присущими другим линиям. Например, множество точек, находящихся по одну сторону от данной прямой на данном расстоянии от нее, в геометрии Лобачевского представляет собой кривую линию (она называется эквидистантой).

Рис. 8

Рис. 9

ЛОГАРИФМ

Логарифмом числа N по основанию a (обозначается log_aN) называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число N, т.е. b = log_aN, если a^b = N.

Логарифм определен для любого положительного числа N при любом отличном от единицы положительном основании a. Каждому положительному числу при данном основании соответствует единственный логарифм.

По определению логарифма справедливо равенство

,

из которого на основе свойств показательной функции устанавливаются основные свойства логарифмов (здесь M,N и k – положительные числа):

(1)

Эти свойства позволяют сводить умножение и деление чисел (представленных в виде степеней некоторого числа, принятого за основание) к сложению и вычитанию показателей степеней, а возведение в степень и извлечение корня – к умножению и делению на показатель степени, поэтому применение логарифмов упрощает выполнение умножения и деления. На этом основан очень популярный прежде счетный прибор логарифмическая линейка, которая сейчас всюду вытесняется микрокалькуляторами.

При нашей десятичной системе счисления самым удобным основанием является число 10. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg:

lg N = log₁₀ N.

При основании, равном 10, только логарифмы целых степеней числа 10 представляются целыми числами (lg 10³ = 3, lg 0,01 = lg 10^-2 = -2), логарифмы же остальных чисел нецелые. Целая часть значения логарифма называется характеристикой, дробная мантиссой.

Любое положительное число N всегда можно представить в виде N = 10ⁿ·x, где n - целое число, а x заключено в пределах от 1 до 10. Из этого представления числа N следует, что lg N = n + lg x, где n - характеристика, a lg x – мантисса логарифма числа N.

Для числа, большего единицы, характеристика на единицу меньше числа цифр у целой части этого числа. Для числа, заключенного между нулем и единицей и записанного десятичной дробью, характеристика отрицательна и равна взятому со знаком минус числу нулей до первой значащей цифры, например для числа 0,0216 его характеристика равна -2.

Десятичные логарифмы используются в практике главным образом в силу исторической традиции. Гораздо более важными в математике и ее приложениях являются натуральные логарифмы, т.е. логарифмы с основанием e. Это число, к которому неограниченно приближаются числа вида (1+1/n)ⁿ при неограниченном возрастании числа n. Буквой e это число предложил назвать Л. Эйлер. Важность логарифмической функции с основанием объясняется тем, что в математике используется показательная функция, как правило, с основанием e, а поэтому важна и обратная к ней функция.

Логарифмы были введены шотландским математиком Дж. Непером (1550-1617) и независимо от него швейцарским механиком и математиком И. Бюрги (1552-1632). Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620 г.), и первой в 1614 г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов».

Первые таблицы десятичных логарифмов были составлены изобретательным и остроумным вычислителем, английским математиком Г. Брипсом (1561-1630).

На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 г.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Логарифмическая функция по основанию a (a > 0, a ≠ 1) обозначается y = log_ax и определяется как функция, обратная показательной функции y = a^x с тем же самым основанием. Так как логарифмическая и показательная функции взаимно-обратны, то график логарифмической функции (он иногда называется «логарифмикой») получается из графика показательной функции симметрией относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 1). Логарифмическая функция определена для положительных x и при основании a, большем единицы, является монотонно возрастающей функцией. Из свойств логарифмов (1) и (2) (см. Логарифм) легко устанавливается, что

log_1/a x = -log_a x,

откуда следует, что графики функций y = log_1/ax и y = log_ax симметричны друг другу относительно оси Ox. Свойства логарифмической функции хорошо иллюстрирует рис. 2. Заметим, что ординаты любых двух кривых на рис. 2 пропорциональны, это непосредственно следует из формулы

.

Рис. 1

Рис. 2

В математическом анализе особое значение имеет логарифмическая функция по основанию e, она называется натуральным логарифмом и обозначается y = ln x. Производная от этой функции имеет весьма простой вид, а именно (ln x)' = 1/x. На рис. 3 сопоставлены графики y = lg x и y = ln x.

Рис. 3

МАГИЧЕСКИЕ И ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ

Если внимательно присмотреться к числам от 1 до 16, расположенным в клетках квадрата на рис. 1, то можно заметить следующую закономерность: сумма чисел в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же. Такой квадрат и все квадраты, обладающие аналогичным свойством, получили название магических.

Рис. 1

Задачи составления и описания магических квадратов интересовали математиков с древнейших времен. Однако полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магических квадратов 2 × 2 не существует. На рис. 2 изображен единственный магический квадрат 3×3. Единственный в том смысле, что все остальные магические квадраты 3×3 получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей симметрии.

Рис. 2

С увеличением размеров (числа клеток) квадрата быстро растет количество возможных магических квадратов. Так, например, различных магических квадратов 4 × 4 уже 880, а для размера 5 × 5 их количество приближается к четверти миллиона. Среди них есть квадраты, обладающие интересными свойствами. Например, в квадрате на рис. 3 равны между собой не только суммы чисел в строках, столбцах и диагоналях, но и суммы пятерок чисел по «разломанным» диагоналям, связанным на рисунке цветными линиями.

Рис. 3

Латинским квадратом называется квадрат n×n клеток, в которых написаны числа 1, 2,..., n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рис. 4 изображены два таких латинских квадрата 4 × 4. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными. Задачу отыскания ортогональных латинских квадратов впервые поставил Л. Эйлер, причем в такой занимательной формулировке: «Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и, кроме того, поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить этих офицеров в каре 6 × 6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?»

Рис. 4

Эйлер не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что такого решения не существует. В то же время Эйлер доказал, что ортогональные пары латинских квадратов существуют для всех нечетных значений n и для таких четных значений n, которые делятся на 4. Решение задачи Эйлера для 25 офицеров изображено на рис. 5. Чин офицера символизирует цветной кружок в углу каждой из клеток. Здесь особенно хорошо видна связь между, задачей Эйлера и латинскими квадратами: рода войск соответствуют числам одного латинского квадрата, а чины (цветные точки) – числам ортогонального ему латинского квадрата. Эйлер выдвинул гипотезу, что для остальных значений n, т.е. если число n при делении на 4 дает в остатке 2, ортогональных квадратов не существует. В 1901 г. было доказано, что ортогональных квадратов размером 6 × 6 не существует, и это усиливало уверенность в справедливости гипотезы Эйлера. Однако в 1959 г. с помощью ЭВМ были найдены сначала ортогональные квадраты 10 × 10, потом 14 × 14, 18 × 18, 22 × 22. А затем было показано, что для любого n, кроме 6, существуют ортогональные квадраты размером n×n.

Рис. 5

«Часто воспроизводится магический квадрат, присутствующий на знаменитой гравюре А. Дюрера «Меланхолия».

Гравюра А. Дюрера «Меланхолия»

Магические и латинские квадраты – близкие родственники. Пусть мы имеем два ортогональных латинских квадрата. Заполним клетки нового квадрата тех же размеров следующим образом. Поставим туда число n(a-1) + b, где a – число в такой клетке первого квадрата, а b – число в такой же клетке второго квадрата. Нетрудно понять, что в полученном квадрате суммы чисел в строках и столбцах (но не обязательно на диагоналях) будут одинаковы.

Теория латинских квадратов нашла многочисленные применения как в самой математике, так и в ее приложениях. Приведем такой пример. Пусть мы хотим испытать 4 сорта пшеницы на урожайность в данной местности, причем хотим учесть влияние степени разреженности посевов и влияние двух видов удобрений. Для этого разобьем квадратный участок земли на 16 делянок (рис. 6). Первый сорт пшеницы посадим на делянках, соответствующих нижней горизонтальной полосе, следующий сорт – на четырех делянках, соответствующих следующей полосе, и т.д. (на рисунке сорт обозначен цветом). При этом максимальная густота посевов пусть будет на тех делянках, которые соответствуют левому вертикальному столбцу рисунка, и уменьшается при переходе вправо (на рисунке этому соответствует уменьшение интенсивности цвета). Цифры же, стоящие в клетках рисунка, пусть означают: первая – количество килограммов удобрения первого вида, вносимого на этот участок, а вторая – количество вносимого удобрения второго вида. Эти числа на 1 меньше чисел в ортогональных латинских квадратах из рис. 4. Нетрудно понять, что при этом реализованы все возможные пары сочетаний как сорта, и густоты посева, так и других компонентов: сорта и удобрений первого вида, удобрений первого и второго видов, густоты и удобрений второго вида.

Рис. 6

Использование ортогональных латинских квадратов помогает учесть все возможные варианты в экспериментах в сельском хозяйстве, физике, химии, технике.

МАТЕМАТИКА

Математика – одна из древнейших наук. Дать краткое определение математики совсем не просто, его содержание будет очень сильно меняться в зависимости от уровня математического образования человека. Школьник начальных классов, только приступивший к изучению арифметики, скажет, что математика изучает правила счета предметов. И он будет прав, поскольку именно с этим он знакомится на первых порах. Школьники постарше добавят к сказанному, что в понятие математики входят алгебра и изучение геометрических объектов: линий, их пересечений, плоских фигур, геометрических тел, разного рода преобразований. Выпускники же средней школы включат в определение математики еще изучение функций и действие перехода к пределу, а также связанные с ним понятия производной и интеграла. Выпускников высших технических учебных заведений или естественнонаучных факультетов университетов и педагогических институтов уже не удовлетворят школьные определения, поскольку они знают, что в состав математики входят и другие дисциплины: теория вероятностей, математическая статистика, дифференциальное исчисление, программирование для ЭВМ, вычислительные методы, а также применения названных дисциплин для моделирования производственных процессов, обработки опытных данных, передачи и обработки информации. Однако и тем, что перечислено, не исчерпывается содержание математики. Теория множеств, математическая логика, оптимальное управление, теория случайных процессов и многое другое также входят в ее состав.

Попытки определить математику путем перечисления составляющих ее ветвей уводят нас в сторону, поскольку не дают представления о том, что же именно изучает математика и каково ее отношение к окружающему нас миру. Если бы подобный вопрос был задан физику, биологу или астроному, то каждый из них дал бы весьма краткий ответ, не содержащий перечисления частей, из которых состоит изучаемая ими наука. Такой ответ содержал бы указание на явления природы, которые она исследует. Например, биолог заявил бы, что биология изучает различные проявления жизни. Пусть этот ответ не вполне закончен, поскольку в нем не говорится, что такое жизнь и жизненные явления, но тем не менее такое определение дало бы достаточно полное представление о содержании самой науки биологии и о разных уровнях этой науки. И это определение не изменилось бы с расширением наших знаний по биологии.

Не существует таких явлений природы, технических или социальных процессов, которые были бы предметом изучения математики, но при этом не относились бы к явлениям физическим, биологическим, химическим, инженерным или социальным. Каждая естественнонаучная дисциплина: биология и физика, химия и психология – определяется материальной особенностью своего предмета, специфическими чертами той области реального мира, которую она изучает. Сам предмет или явление может изучаться разными методами, в том числе и математическими, но, изменяя методы, мы все же остаемся в пределах данной дисциплины, поскольку содержанием данной науки является реальный предмет, а не метод исследования. Для математики же материальный предмет исследования не имеет решающего значения, важен применяемый метод. Например, тригонометрические функции можно использовать и для исследования колебательного движения, и для определения высоты недоступного предмета. А какие явления реального мира можно исследовать с помощью математического метода? Эти явления определяются не их материальной природой, а исключительно формальными структурными свойствами, и прежде всего теми количественными соотношениями и пространственными формами, в которых они существуют.

Итак, математика изучает не материальные предметы, а методы исследования и структурные свойства объекта исследования, которые позволяют применять к нему некоторые операции (суммирование, дифференцирование и др.). Однако значительная часть математических проблем, понятий и теорий имеет своим первичным источником реальные явления и процессы. Например, арифметика и теория чисел выделились из первичной практической задачи – подсчета предметов. Элементарная геометрия имела своим источником проблемы, связанные со сравнением расстояний, вычислением площадей плоских фигур или же объемов пространственных тел. Все это требовалось находить, поскольку необходимо было перераспределять земельные участки между пользователями, вычислять размеры зернохранилищ или же объемы земляных работ при строительстве оборонных сооружений.

Математический результат обладает тем свойством, что его можно не только применять при изучении какого-то одного определенного явления или процесса, но и использовать для исследования других явлений, физическая природа которых принципиально отлична от ранее рассмотренных. Так, правила арифметики применимы и в задачах экономики, и в технических вопросах, и при решении задач сельского хозяйства, и в научных исследованиях. Арифметические правила были разработаны тысячелетия назад, но прикладную ценность они сохранили на вечные времена. Арифметика представляет собой составную часть математики, ее традиционная часть уже не подвергается творческому развитию в рамках математики, но она находит и будет в дальнейшем находить многочисленные новые применения. Эти применения могут иметь огромное значение для человечества, но вклада собственно в математику они уже не внесут.

Математика, как творческая сила, имеет своей целью разработку общих правил, которыми следует пользоваться в многочисленных частных случаях. Тот, кто создает эти правила, создает новое, творит. Тот, кто применяет уже готовые правила, в самой математике уже не творит, но, вполне возможно, создает с помощью математических правил новые ценности в других областях знания. Например, в наши дни данные дешифровки космических снимков, а также сведения о составе и возрасте горных пород, геохимических и геофизических аномалиях обрабатываются с помощью ЭВМ. Несомненно, что применение ЭВМ в геологических исследованиях оставляет эти исследования геологическими. Принципы же работы ЭВМ и их математическое обеспечение разрабатывались без учета возможности их использования в интересах геологической науки. Сама эта возможность определяется тем, что структурные свойства геологических данных находятся в соответствии с логикой определенных программ работы ЭВМ.

Получили широкое распространение два определения математики. Первое из них было дано Ф. Энгельсом в работе «Анти-Дюринг», другое – группой французских математиков, известной под именем Никола Бурбаки, в статье «Архитектура математики» (1948).

Согласно Ф. Энгельсу, «чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира». Это определение не только описывает объект изучения математики, но и указывает его происхождение – действительный мир. Однако определение Ф. Энгельса в значительной мере отражает состояние математики во второй половине XIX в. и не учитывает те ее новые области, которые непосредственно не связаны ни с количественными отношениями, ни с геометрическими формами. Это, прежде всего, математическая логика и дисциплины, связанные с программированием для ЭВМ. Поэтому определение Ф. Энгельса нуждается в некотором уточнении. Возможно, нужно сказать, что математика имеет своим объектом изучения пространственные формы, количественные отношения и логические конструкции.

Бурбаки утверждают, что «единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры». Иначе говоря, математику следует определить как науку о математических структурах. Это определение в сущности является тавтологией, поскольку оно утверждает только одно: математика занимается теми объектами, которые она изучает. Другой дефект этого определения состоит в том, что оно не выясняет отношения математики к окружающему нас миру. Более того, Бурбаки подчеркивают, что математические структуры создаются независимо от реального мира и его явлений. Вот почему Бурбаки были вынуждены заявить, что «основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического. То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, - это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого... и, быть может, мы их никогда не узнаем».

Из определения Ф. Энгельса не может возникнуть подобного разочаровывающего вывода, поскольку в нем уже содержится утверждение о том, что математические понятия являются абстракциями от некоторых отношений и форм реального мира. Эти понятия берутся из реального мира и с ним связаны. В сущности, именно этим и объясняется поразительная применимость результатов математики к явлениям окружающего нас мира, а вместе с тем и успех процесса математизации знаний. Здесь заслуживает упоминания высказывание В. И. Ленина, помещенное в «Философских тетрадях» и сделанное им в связи с изучением «Науки логики» Гегеля: «Познание есть отражение человеком природы. Но это не простое, не непосредственное, не цельное отражение, а процесс ряда абстракций, формирования, образования понятий, законов etc., каковые понятия, законы etc. (мышление, наука - «логическая идея») и охватывают условно, приблизительно универсальную закономерность вечно движущейся и развивающейся природы».

Математика не является исключением из всех областей знания – в ней также образуются понятия, возникающие из практических ситуаций и последующих абстрагирований; она позволяет изучать действительность также приближенно. Но при этом следует иметь в виду, что математика изучает не вещи реального мира, а абстрактные понятия и что логические ее выводы абсолютно строги и точны. Ее приближенность носит не внутренний характер, а связана с составлением математической модели явления. Заметим еще, что правила математики не обладают абсолютной применимостью, для них также существует ограниченная область применения, где они господствуют безраздельно. Поясним высказанную мысль примером: оказывается, что два и два не всегда равно четырем. Известно, что при смешивании 2 л спирта и 2 л воды получается меньше 4 л смеси. В этой смеси молекулы располагаются компактнее, и объем смеси оказывается меньше суммы объемов составляющих компонентов. Правило сложения арифметики нарушается. Можно еще привести примеры, в которых нарушаются другие истины арифметики, например при сложении некоторых объектов оказывается, что сумма зависит от порядка суммирования.

Советские математики рассматривают математические понятия не как создание чистого разума, а как абстракции от реально существующих вещей, явлений, процессов или же абстракции от уже сложившихся абстракций (абстракции высших порядков). В «Диалектике природы» Ф. Энгельс писал, что «... вся так называемая чистая математика занимается абстракциями... все ее величины суть, строго говоря, воображаемые величины...» Эти слова достаточно четко отражают мнение одного из основоположников марксистской философии о роли абстракций в математике. Нам только следует добавить, что все эти «воображаемые величины» берутся из реальной действительности, а не конструируются произвольно, свободным полетом мысли. Именно так вошло во всеобщее употребление понятие числа. Сначала это были числа в пределах единиц, и притом только целые положительные числа. Затем опыт заставил расширить арсенал чисел до десятков и сотен. Представление о неограниченности ряда целых чисел родилось уже в исторически близкую нам эпоху: Архимед в книге «Псаммит» («Исчисление песчинок») показал, как можно конструировать числа еще большие, чем заданные. Одновременно из практических нужд родилось понятие дробных чисел. Вычисления, связанные с простейшими геометрическими фигурами, привели человечество к новым числам – иррациональным. Так постепенно формировалось представление о множестве всех действительных чисел.

Тот же путь можно проследить для любых других понятий математики. Все они возникли из практических потребностей и постепенно сформировались в абстрактные понятия. При этом всегда следует помнить прекрасные слова Ф. Энгельса: «... чистая математика имеет значение, независимое от особого опыта каждой отдельной личности... Но совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди научились считать, т.е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творчества разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже и способностью отвлекаться при рассмотрении этих предметов от всех прочих свойств, кроме числа, а эта способность есть результат долгого исторического развития, опирающегося на опыт. Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствовано исключительно из внешнего мира, а не возникло в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было прийти к понятию фигуры».

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

Индуктивными называют рассуждения, в которых осуществляется переход от частных заключений к общим. Некоторое свойство подмечается на каком-то числе примеров, в какой-то момент высказывается общая гипотеза, которая затем подвергается дальнейшей экспериментальной проверке. В естественных науках наступает момент, когда проверка считается достаточной для того, чтобы принять гипотезу, посчитать ее доказанной. Вспомним, например, открытие Ч. Дарвиным закона эволюции. В математике же, когда высказывание делается о бесконечной совокупности, проверка любого конечного набора случаев не может заменить доказательства.

На заре теории чисел математики открыли многие факты индуктивным путем: Л. Эйлер и К. Гаусс рассматривали подчас тысячи примеров, прежде чем подметить числовую закономерность и поверить в нее. Но одновременно они понимали, сколь обманчивыми могут быть гипотезы, прошедшие «конечную» проверку. Числа Ферма оказались простыми при k=0,1,2,3,4, но у F₅ Эйлер обнаружил делитель. Числа Мерсенна M_p=2^p-1, где p – простые числа, сами являются простыми при p=2,3,5,7, но не при p=11 (а потом вновь будут простыми при p=13,17,19,...). Лейбниц думал какое-то время, что n^2k+1-n делится на 2k+1, проверив это при k=1,2,3. Но при k=4 это не так.

Итак, для индуктивного перехода от утверждения, проверенного для конечного подмножества, к аналогичному утверждению для всего бесконечного множества необходимо доказательство. Но как осуществить проверку бесконечного числа случаев? Такой способ предложили Б. Паскаль и Я. Бернулли. Теперь он носит название метода математической индукции. Пусть некоторое свойство надо доказать для элементов последовательности a₁,a₂,...,a_k,.... Тогда достаточно:

1) проверить это утверждение для a₁ (этот шаг называется началом или базисом индукции);

2) в предположении, что утверждение справедливо для a_k, надо доказать его справедливость для a_k+1(индуктивный переход).

После проведения этих рассуждений можно сделать вывод, что доказываемое утверждение справедливо для всех a_n.

Метод математической индукции можно образно представить как цепочку людей, в которой каждый последующий положил руки на плечи предыдущего. Тогда возникает связанная шеренга, хотя непосредственное взаимодействие происходит лишь между ближайшими соседями.

Приведем несколько примеров. Пусть a_n=1+2+...+n - сумма первых n натуральных чисел. Надо доказать, что a_n=n(n+1)/2. При n=1 имеем a₁=1. Далее, если a_k = k(k+1)/2, то a_k+1 = a_k + k + 1 = (k+1)(k+2)/2 - и теорема доказана. Другой пример: a_n = 1 + 3 + ... + (2n-1) - сумма нечетных чисел. Надо доказать, что a_n=a². При n=1 это верно. Если a_k = k², то a_k+1 = a_k + (2k + 1) = k² + 2k + 1 = (k+1)² - и индуктивный переход проведен.

Провести индуктивный переход не всегда просто. Прежде всего, он, как и исходное утверждение, связан с бесконечным числом ситуаций (k любое). Однако успех метода математической индукции основывается на том, что очень часто провести индуктивный переход в общем случае много проще, чем непосредственно доказать исходное утверждение. Поэтому при проведении индуктивного перехода надо очень тщательно убеждаться, что рассуждение в самом деле проходит для любого k.

Часто приходится доказывать по индукции утверждение, справедливое не для всех n, а лишь для достаточно больших n, т.е. для всех n, больших некоторого заданного числа N. Тогда в основании индукции лежит проверка для a_N. Докажем, что имеет место неравенство n³ - 4 > 1000n² + 3n при n ≥ 2000. Нетрудно непосредственно убедиться, что при n = 2000 оно справедливо. Чтобы сделать индуктивный переход, заметим, что при переходе от k и k+1 к левой части прибавляется 3k² + 3k + 1, а к правой – 2000k + 1003. Все будет доказано, если мы докажем справедливость вспомогательного неравенства 3k² + 3k + 1 ≥ 2000k + 1003 при k ≥ 2000. При k = 2000 оно справедливо (проверяется непосредственно), а далее рассуждаем аналогично: при переходе от k и k+1 к левой части добавляется 6k + 6, а к правой - 2000. Поскольку 6k + 6 ≥ 2000 при k ≥ 2000, доказательство окончено. Этот пример иллюстрирует одновременно важную ситуацию: индуктивное предположение, в свою очередь, иногда целесообразно доказывать по индукции. При этом возникает цепочка индуктивных доказательств, причем на каждом шагу получается все более простое утверждение.

По индукции не только удобно проводить доказательства, но и давать некоторые определения. Пусть имеется некоторый человек A. Его родственниками первого порядка назовем его родителей и детей. Если определены родственники k-го порядка, то родственниками (k+1)-го порядка для A назовем родственников первого порядка для родственников A k-го порядка, которые не являются родственниками A меньшего порядка. В частности, братья и сестры при таком определении являются родственниками второго порядка. Индуктивные определения играют важную роль в математической логике и математической лингвистике.

Доказательства по индукции прочно вошли в обиход математической деятельности. Придумано огромное число модификаций метода, ориентированных на разные приложения.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

«Если все вороны черные, то все нечерные предметы – не вороны». Это высказывание несомненно истинно, и, чтобы утверждать это, не нужно быть знатоком птиц. Точно так же не нужно быть специалистом в теории чисел, чтобы сказать, что если все совершенные числа четны, то все нечетные числа несовершенны. Мы привели примеры утверждений, истинных независимо от смысла входящих в них понятий (вороны, черные, совершенные, четные) – истинных уже в силу самой своей формы. Изучение такого рода утверждений входит в задачу логики. Более общо: логика изучает правильные способы рассуждений – такие способы рассуждений, которые приводят к верным результатам в тех случаях, когда верны исходные посылки.

Предметом математической логики служат в основном рассуждения. При их изучении она пользуется математическими методами. Разъясним сказанное.

Математики строят и развивают математические теории, дают определения, доказывают теоремы и т.п. Специалисты по математической логике, наблюдая за этим, анализируют, как математики это делают и что при этом получается. Образно говоря, соотношение между математикой и математической логикой похоже на соотношение между концертом и теорией музыки. Можно сказать, что математическая логика изучает основания математики, принципы построения математических теорий.

Установив, что изучает математическая логика, перейдем к тому, как она это делает. Нам уже известно, что она пользуется математическими методами. Объясним, что это значит. Как применяются математические методы, например, в физике? Строится математическая модель рассматриваемого физического процесса, отражающая какие-то его существенные свойства. Математические методы могут применяться не только в физике, но и в других науках. Например, применение математических методов в биологии состоит в построении математических моделей биологических процессов. Можно строить математические модели и для процесса развития математических теорий. Это и делает математическая логика.

Как устроена математическая теория? Она содержит какие-то утверждения. Некоторые из них принимаются без доказательств, другие удается доказать (в этом случае утверждения называют теоремами). Значение слов «утверждение» и «доказательство» в повседневной практике весьма расплывчато. Поэтому если мы хотим строить математическую модель, то первым делом нужно уточнить эти понятия, т.е. построить их формальные аналоги в нашей модели. Для этого математические логики придумали специальные формальные языки, предназначенные для записи математических утверждений. Утверждения, записанные на формальных языках, называют формулами, чтобы отличить их от предложений естественных языков. Построив формальный язык, мы получаем возможность записывать некоторые математические утверждения в виде формул. Этого, разумеется, еще не достаточно. Нам нужно уметь записывать формально не только утверждения, но и доказательства. Для этого математические логики придумали формальный аналог понятия «доказательство» - понятие вывода (доказательства, записанного на формальном языке). Формальным аналогом понятия «теорема» является понятие «выводимая формула» (т.е. формула, имеющая вывод). Формальный язык вместе с правилами построения выводов называется формальной системой.

Какие требования естественно предъявлять к формальной системе? Мы хотим, чтобы она была как можно более похожа на «живую», неформальную математику. Для этого нужно, чтобы все интересующие нас содержательные утверждения (или, по крайней мере, большая их часть) могли быть «переведены на формальный язык», т.е. записаны в виде формул этой системы. Кроме того, нужно, чтобы неформальные доказательства можно было перевести в выводы соответствующих формул.

В настоящее время построены вполне удовлетворительные модели (формализации) большинства математических теорий. Наиболее важны формальная арифметика и аксиоматическая теория множеств. Формальная арифметика предназначается для формализации рассуждений о натуральных числах, а аксиоматическая теория множеств – о множествах.

Основным предметом математической логики, таким образом, является построение и изучение формальных систем. Центральным результатом здесь является доказанная в 1931 г. австрийским математиком К. Геделем теорема о неполноте, утверждающая, что для любой «достаточно разумной» формальной системы существуют неразрешимые в ней предложения, т.е. такие формулы A, что ни сама формула A, ни ее отрицание не имеют вывода. Если отождествить формальную систему с соответствующей областью математики, то можно сказать, что в любой «достаточно разумной» области математики есть утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Мы не можем здесь точно сказать, что именно требуется от «достаточно разумной» формальной системы; отметим лишь, что большинство формальных систем (в том числе формальная арифметика и аксиоматическая теория множеств) удовлетворяют этим требованиям. На примере теоремы о неполноте мы видим, какую пользу приносит построение формальной системы: мы получаем возможность доказать, что какие-то утверждения недоказуемы!

Изучение формальных систем привело к возникновению многих важных направлений в современной математической логике. Назовем некоторые из них. Теория моделей исследует вопрос о том, как можно придать «смысл» выражениям формальных языков и что при этом получается. Теория доказательств изучает свойства выводов в формальных системах. Важнейшим разделом логики, который сейчас уже можно рассматривать как самостоятельную дисциплину, является теория алгоритмов.

Многие знаки, придуманные логиками для построения формальных систем, постепенно вошли в общее употребление. К ним относятся логические связки ∧ (конъюнкция, «и»), ∨ (дизъюнкция, «или»), (импликация, «если... то...»), ¬ (отрицание, «неверно, что») и так называемые кванторы ∀ (всеобщности, «для всех») и ∃ (существования, «существует»). Смысл логических связок, помимо указанных в скобках названий, разъясняется так называемыми таблицами истинности. Эти таблицы показывают, будет ли сложное утверждение, составленное с помощью логических связок из простых, истинно (И) или ложно (Л) в зависимости от истинности его составных частей. Приведем их.

Например, пятый столбец показывает, что утверждение может быть ложно, только если A истинно, а B ложно. С помощью этих таблиц можно составить таблицу истинности и для более сложных утверждений, например для утверждения .

Составив ее, мы увидим, что это утверждение (шестой столбец) всегда истинно, независимо от истинности утверждений A и B. Это не удивительно – ведь его можно прочитать так: «Если верно или A, или B и A неверно, то верно B». Как говорят, это утверждение является логическим законом, или тавтологией. Именно с таких утверждений мы начали обсуждение предмета математической логики.

Смысл кванторов ∀ и ∃ можно объяснить так. Если A(x) – некоторое утверждение, истинность которого зависит от значения переменной x (например, утверждение «x - четное число»), то утверждение ∀xA(x) гласит, что A(x) верно при всех значениях x, а утверждение ∃xA(x) означает, что найдется такое x, при котором A(x) верно. (В нашем примере первое из этих утверждений ложно, а второе – истинно.) Как и логические связки, кванторы можно использовать для записи логических законов. Например, оба утверждения, приведенные нами в начале статьи в качестве примеров, частные случаи закона

,

которые получаются, если подставить вместо A(x) утверждение «x – ворона», а вместо B(x) - «x – черная» или вместо A(x) - «x – совершенные», а вместо B(x) - «x – четные».

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Математическая статистика – наука, изучающая методы обработки результатов наблюдений. Приведем примеры. Из кипы хлопка наугад вытащены пучки и измерены длины попавших в них волокон. Результаты первых 28 замеров (в см) оказались следующими: 2,10; 2,23; 2,14; 2,16; 2,56; 2,05; 2,20; 2,34; 2,18; 1,95; 2,21; 2,46; 2,28; 1,95; 2,54; 2,12; 2,05; 2,15; 2,18; 2,21; 2,34; 2,28; 2,34; 2,20; 2,42; 2,55; 2,12; 2,27. Запись результатов наблюдений в таком виде мало наглядна, занимает много места, и из нее трудно делать выводы. Обычно стремятся данные наблюдений сделать более удобными для восприятия и для последующей обработки. Это особенно важно, когда число наблюдений велико и достигает многих сотен, а то и тысяч. Для этого результаты наблюдений сводят в таблицы. Весь интервал возможных значений разбивают на части (как правило, равной длины) и подсчитывают число наблюдений, попавших в каждый из отрезков. В табл. 1 приведены данные о надое 100 коров. Надой указан в тысячах литров; величина промежутка разбиения – 600 л. Уже беглый взгляд на таблицу показывает, что мало и коров с малым удоем, и коров-рекордисток.

Наибольшее число коров оказывается в средней части таблицы.

На втором примере мы будем изучать промежутки между временами прибытия судов в морской порт. За некоторый срок прибыло 185 судов. Данные сведены в табл. 2.

Наблюдения показывают, что, как правило, основная масса судов прибывает через небольшие промежутки времени. На самом деле таблицы позволяют получить большее: выявить закономерности, свойственные табличным данным.

Итак, таблицы используют для того, чтобы установить закономерности появления различных возможных значений наблюдаемой величины; для проверки неизменности условий испытаний; для оценки правильности тех или иных статистических гипотез; для оценки наличия так называемых корреляционных зависимостей между переменными, которые наблюдаются на опыте. В наши дни результаты наблюдений используют для статистической оценки качества изготовленной продукции и для управления качеством в процессе производства.

Сказанное нуждается в пояснениях.

Для решения первой задачи строят гистограмму. По оси абсцисс откладывают значения наблюдаемой величины, а по оси ординат – ее частоты в каждом из промежутков, т.е. отношения числа наблюдений, попавших в данный промежуток времени, к числу всех наблюдений, деленные на длину промежутков. В результате получаем ступенчатую линию. Заметим, что площадь, заключенная под всеми прямоугольниками для любой гистограммы, равна 1. Гистограмму нашего примера хорошо приближает функция y = 1/8,32e^-x/8,32, площадь под которой (в положительной части оси абсцисс) также равна 1.

И на производстве, и в научных экспериментах бывает очень важно проверить, насколько неизменны условия наблюдения. Так, например, на технологической линии была изменена какая-то операция. Спрашивается, не сказалась ли эта замена на качестве продукции. Или представим себе, что производится наблюдение за интенсивностью космического излучения в двух точках земной поверхности на одной широте и на одинаковой высоте от земной поверхности, но на разной долготе. Необходимо выяснить, одинакова ли интенсивность излучения. Для проверки производятся две серии наблюдений (в одних и других условиях) и сравниваются полученные гистограммы. Близость гистограмм будет подтверждать нашу гипотезу: интенсивность солнечного излучения не зависит от долготы.

Статистические гипотезы могут быть самыми разнообразными, например: лекарство A не оказывает положительного воздействия на больных болезнью B; сорт пшеницы A урожайнее сорта B и т.д. Математическая статистика уделяет большое внимание разработке методов, позволяющих решать вопросы о правильности или ложности статистических гипотез.

Статистика приводит к более общим зависимостям переменных, чем те, которые даются посредством функций. Приведем примеры. Изучается зависимость высоты сосен от их диаметра.

Если мы начнем сравнивать две эти характеристики, то найдем множество сосен одной и той же высоты, но разного диаметра или же одного диаметра, но разной высоты. Функциональной зависимости между высотой и диаметром нет, однако общая тенденция такова, что с увеличением высоты в среднем увеличивается и диаметр.

В табл. 3 приведены результаты замеров высоты и диаметра 250 сосен.

По горизонтали отмечается высота в метрах, причем отмечается среднее значение высоты разных деревьев. Например, 18 означает, что под этой цифрой указывается число сосен, имеющих высоту от 17,5 до 18,5 м. По вертикали указывается диаметр в сантиметрах, причем в центре интервала группирования находятся как раз указанные числа. Например, 30 означает интервал группировки от 27,5 до 32,5 см. В клеточках таблицы указано число деревьев заданной высоты и диаметра. Так, например, на пересечении столбца 22 по вертикали и строки 25 по горизонтали стоит число 49. Это означает, что наблюдалось 49 деревьев высотой от 21,5 до 22,5 м и диаметром от 22,5 до 27,5 см.

В статистике для изучения связи между высотой дерева и его диаметром поступают следующим образом. Для каждого значения x вычисляют по таблице среднее арифметическое наблюденных значений y и для каждого y среднее значение наблюденных x. Нанесем теперь на плоскость полученные две группы точек и проведем вблизи от точек каждой группы близкие плавные кривые. Это будут линии регрессии y по x и x по y. Они дают приближенное представление об изменении средних значений y при изменении x и средних значений x при изменении y. Во многих случаях такое недостаточно полное знание оказывается очень полезным. Объясним это на примере. Предположим, нам известно, как изменяется вес зерна в колосе в зависимости от роста стебля. Это не точная зависимость, а такая, о которой мы только что говорили. Однако даже такое приблизительное знание позволяет нам судить, какой процент зерна будет теряться, если установить нож комбайна на той или иной высоте. Только что описанные зависимости называются корреляционными зависимостями.

В связи с развитием массового производства, когда изделия изготовляются в сотнях и тысячах штук, возникает серьезная экономическая задача: оценить качество всей партии, сделав небольшую выборку из нее. Так приходится поступать в силу двух причин. Во-первых, проверка качества всей партии требует значительных затрат времени и средств. А во-вторых, нередко испытание приводит к непоправимой порче изделия, например фотопленка или фотобумага после проверки ее качества станет полностью непригодной. В результате приходится проверять только часть всех изделий и по этим неполным данным высказывать суждение о качестве всей партии. Такие методы в настоящее время применяются в промышленности и носят наименование статистических методов контроля. Они приносят огромную экономию, исчисляемую миллиардами рублей.

Статистическими методами пользуются для выявления закономерностей наблюдений и для проверки соответствия построенных теорий реальных явлений с их фактическим протеканием.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА

Математическая экономика – теоретическая и прикладная наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и процессов и методы их исследования.

Возникновение математических наук, несомненно, было связано с потребностями экономики. Требовалось, например, узнать, сколько земли засеять зерном, чтобы прокормить семью, как измерить засеянное поле и оценить будущий урожай.

С развитием производства и его усложнением росли и потребности экономики в математических расчетах. Современное производство – это строго сбалансированная работа многих предприятий, которая обеспечивается решением огромного числа математических задач. Этой работой занята огромная армия экономистов, плановиков и бухгалтеров, а расчеты ведут тысячи электронных вычислительных машин. Среди таких задач и проведение расчетов планов производства, и определение наиболее выгодного размещения строительных объектов, и выбор наиболее экономных маршрутов перевозок и т.д. Математическая экономика занимается также формализованным математическим описанием уже известных экономических явлений, проверкой различных гипотез на экономических системах, описанных некоторыми математическими соотношениями.

Рассмотрим два несложных примера, демонстрирующих применение математических моделей в этих целях.

Пусть спрос S и предложение D товара зависят от цены P. Для равновесия цена на рынке должна быть такой (P_*), чтобы товар был распродан и не было его излишков:

D(P_*) = S(P_*). (1)

Но если, например, предложение запаздывает на один временной интервал, то, как показано на рис. 1 (где изображены кривые спроса и предложения как функций цены), при цене P₀ спрос S₀ превышает предложение D₀. И так как предложение меньше спроса, то цена возрастает и товар раскупается по цене P₁>P₀. При такой цене предложение возрастает до величины S₁; теперь уже предложение выше спроса и производители вынуждены распродать товар по цене P₂1, после чего предложение падает и процесс повторяется. Получилась простая модель экономического цикла. Постепенно рынок приходит в равновесие: спрос, цена и предложение устанавливаются на уровне S_*,P_*,D_*.

Рис. 1

Рис. 1 соответствует решение уравнения (1) методом последовательных приближений, который определяет корень этого уравнения, т.е. равновесные цену P_* и соответствующее значение спроса и предложения S_*,D_*.

Рассмотрим более сложный пример - «золотое правило» накопления. Величина выпуска предприятием (в рублях) конечной продукции Y_t в момент времени t определяется затратами труда L_t, производительность которого зависит от отношения степени насыщенности его оборудованием K_t к затратам труда. Математическая запись этого такова:

Y_t = f(K_t/L_t)L_t. (2)

Конечная продукция распределяется на потребление C_t и накопление оборудования. Если обозначить долю выпуска продукции, идущую на накопление, через s, то

C_t = (1 - s)Y_t. (3)

В экономике s называют нормой накопления. Ее значение заключено между нулем и единицей.

За единицу времени объем оборудования изменяется на величину накопления

K_t+1 - K_t = sY_t. (4)

При сбалансированном росте экономики все ее составляющие растут с одинаковым темпом роста λ. По формуле сложных процентов получаем:

Y_t = (1 + λ)^tY, L_t = (1 + λ)^tL, K_t = (1 + λ)^tK, C_t = (1 + λ)^tC.

Если ввести величины, характеризующие потребление c = C/L, объем оборудования R = K/L и выпуск продукции y = Y/L на одного работника, то система соотношений (2) - (4) перейдет в систему

y = f(R), λR = sf(R), c = f(R) - sf(R). (5)

Второе из этих соотношений при заданных темпах роста λ и потреблении s определит фондовооруженность труда R как точку пересечения кривой y = sf(R) и прямой y = λR на рис. 2. Эти линии обязательно пересекутся, так как функция f(R), хотя и монотонно, растет, что означает рост выпуска с ростом вооруженности труда R, однако все более полого, т.е. это вогнутая функция. Последнее обстоятельство отражает тот факт, что дополнительное увеличение оборудования, приходящегося на одного рабочего, из-за роста его загруженности становится все менее эффективным («закон убывающей полезности»). Различным значениям нормы накопления S отвечает семейство кривых y = sf(R). Длина f(R) - sf(R) отрезка AB как следует из формулы (5), равна потреблению c. При s = 1 (точка A₀ на рис. 2) потребления совсем нет – вся продукция идет на накопление оборудования. Уменьшим теперь норму накопления s. Тогда потребление c (длина AB) будет уже ненулевым, хотя темп роста λ экономики (угол наклона прямой OB) остается тем же. В точке с ординатой R_*, для которой касательная к кривой y = f(R) параллельна прямой y = λR потребление c^* максимально. Ей соответствует кривая семейства y = s^*f(R) с некоторой нормой накопления s^*, называемой «золотой нормой накопления».

Рис. 2

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ

Из глубины веков ведут свою историю математические турниры и соревнования; например, с такими турнирами связана драматическая история открытия формулы Тарталья-Кардано для решения кубического уравнения (см. Алгебраические уравнения).

Первенство в регулярном проведении соревнований школьников, по-видимому, принадлежит Венгрии, где математические олимпиады устраивают с 1894 г. (сборник задач этих олимпиад издан на русском языке в 1976 г. в издательстве «Мир» в серии «Задачи и олимпиады»). С 1894 г. в России выходил журнал «Вестник опытной физики и элементарной математики», где учащимся и другим читателям предлагались математические задачи «на конкурс». Можно сказать, что это были заочные олимпиады.

А как быть тем школьникам наших дней, которые любят решать задачи, любят соревноваться, но еще не могут штурмовать высоты современной математики?

Для них ученые-математики, преподаватели и студенты вузов, учителя каждый год придумывают новые задачи и предлагают их на математических олимпиадах.

В СССР первые городские олимпиады по математике состоялись полвека назад – в 1934 г. в Ленинграде и Тбилиси. Одним из инициаторов их проведения был замечательный геометр, член-корреспондент АН СССР Б. Н. Делоне. В 1935 г. состоялась математическая олимпиада в Москве. Председателем оргкомитета 1-й московской математической олимпиады был член-корреспондент АН СССР, впоследствии академик, П. С. Александров, а членами оргкомитета – профессора-математики МГУ.

На первых олимпиадах были заложены традиции их проведения. Математические олимпиады стали совместными праздниками математиков разных поколений – школьников, студентов (недавних участников олимпиад), руководителей кружков – учителей и молодых ученых, преподавателей и профессоров вузов. Задолго до олимпиады члены жюри начинают собирать и обдумывать задачи. На олимпиаде участникам, как правило, предлагают за три-пять часов решить три-пять различных по содержанию и трудности задач, требующих не столько знания школьной программы, сколько умения найти удачный ход мысли, способности логически четко рассуждать в непривычной ситуации. Разбор задач, который устраивают после проверки работ, обычно имеет форму лекции, где разбираются лучшие решения и характерные ошибки. Каждый участник может обсудить свою работу с членами жюри, выяснить, какие неточности он допустил. Завершает олимпиаду вручение премий и грамот.

Основная цель олимпиады, впрочем, не в том, чтобы выявить победителей, а в том, чтобы заинтересовать всех участников оригинальными задачами, привлечь новичков к систематическим занятиям в математических кружках, слушанию лекций, самостоятельной работе с книгой.

За прошедшие годы география математических олимпиад сильно расширилась, неизмеримо выросло число их участников. Олимпиады стали проводиться и в других странах, а в 1959 г. в Румынии состоялась первая международная олимпиада школьников.

С 1961 г. Министерство просвещения РСФСР, затем СССР ежегодно проводят математическую олимпиаду для школьников. С 1967 г. она стала называться Всесоюзной и состоит из пяти этапов: первый – школьные соревнования, второй – олимпиады городов и районов, третий – областные олимпиады, четвертый – республиканские олимпиады, а также олимпиады в Москве и Ленинграде и, наконец, пятый – заключительный тур. Если в школьных и городских олимпиадах могут участвовать все желающие (как правило, начиная с 5-го класса), то на дальнейшие этапы формируются команды из числа победителей предыдущих этапов.

В республиканских олимпиадах участвуют также несколько победителей заочного конкурса, который проводит журнал «Квант», а также команды некоторых специализированных физико-математических школ-интернатов. Около 150 учеников 8, 9, 10-го классов принимают участие в заключительном туре.

Из числа победителей Всесоюзной олимпиады формируется команда СССР на международную олимпиаду. В ней регулярно участвуют команды более 30 стран. В неофициальном командном первенстве по сумме баллов, числу I, I и III премий, полученных

участниками соревнований, - команда СССР почти всегда занимает одно из первых мест.

Разумеется, подняться на высшие ступеньки математического «олимпийского пьедестала» удается лишь немногим. Этот успех свидетельство не только незаурядных способностей, но и упорства, и умения быстро включаться, настраиваться на новую задачу. Не все бывшие чемпионы олимпиад стали крупными математиками, но можно назвать целый ряд известных и в нашей стране, и за рубежом ученых, чьи первые шаги были отмечены премиями олимпиад. Среди них, например, три советских математика разных поколений, каждый из которых прославился решением одной из «проблем Гильберта», поставленных на рубеже XIX-XX вв., - В. И. Арнольд, Ю. И. Матиясевич, В. М. Харламов.

Однако далеко не все математики в прошлом участники и победители олимпиад. Никак нельзя думать, что неудача на олимпиаде свидетельствует об отсутствии математических способностей. После неудачи нужно, конечно, попробовать получше подготовиться к следующей олимпиаде. Тут есть большой выбор: помимо разных туров Всесоюзной олимпиады в нашей стране проходит и много других математических соревнований школьников: олимпиады, организуемые отдельными вузами, олимпиады в летних физико-математических школах, командные соревнования классов и школ (они регулярно проводятся, например, в Омске), «математические бои». В Ленинграде, где возникли и сохраняются многие традиции математических соревнований, в последние годы сформировалась и традиция проведения олимпиад для учащихся ПТУ. Весной 1985 г. состоялась первая Всесоюзная олимпиада учащихся ПТУ.

Можно посоветовать также решать задачи из олимпиадных сборников. Ведь жюри каждой олимпиады вынуждено не повторять старых задач, хотя среди них можно встретить поистине замечательные произведения. Приведем несколько задач, которые были предложены на олимпиадах школьников в разное время.

Задача. Построить треугольник ABC, если известна сторона AB, радиус r вписанной окружности и радиус r_c вневписанной окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон AC и BC. (Венгрия, 1900 г.)

Решение. Предположим, что искомый треугольник построен, и отметим точки касания T и T_c с прямой AC вписанной и вневписанной окружностей (радиусов r и r_c, соответственно). На нашем рисунке (рис. 1) несколько пар касательных, проведенных к каждой окружности из одной и той же точки; пользуясь тем, что в такой паре длины касательных равны, нетрудно установить, что отрезки AB и TT_c равны по длине. Отсюда вытекает способ построения: отмечаем на прямой две точки T и T_c на расстоянии AB, строим по одну сторону от этой прямой окружности радиусов r и r_c, касающиеся ее в точках T и T_c проводим еще одну внешнюю и одну внутреннюю общую касательную к этим окружностям – и нужный треугольник построен. Задача имеет решение в том и только в том случае, если r r_c ≥ (c/2)².

Рис. 1

Задача. Груз массой 13,5 т упакован в некоторое число «невесомых» ящиков. Масса каждого ящика с грузом не превосходит 350 кг. Докажите, что этот груз можно перевезти на 11 полуторатонках. (Москва, 1956 г., VIII кл., 2-й тур.)

Решение. Докажем, что ящиками не более 350 кг (если их общий вес более 1,2 т) можно набрать вес от 1,2 до 1,5 т. Расположим их по порядку, начиная с самых тяжелых. Если первые четыре весят вместе более 1,2 т – их уже достаточно (вес будет не более 1,4 т); а если нет, то четвертый и последующие весят не более 0,3 т каждый, так что мы можем, нагружая их по порядку, обеспечить «недогруз» не более 0,3 т. Заметим, что оценка 1,2 т здесь точная: пример, когда все ящики весят поровну и чуть больше 300 кг, показывает, что ее нельзя заменить большей.

Теперь уже легко: нагружаем на 10 полуторатонок не менее чем по 1,2 т и – если что-то осталось – сваливаем остаток на 11-ю машину.

Задача. Докажите, что не существует тетраэдра, у которого каждое ребро являлось бы стороной плоского тупого угла. (Москва, 1959 г., IX кл., 1-й тур.)

Решение. Рассмотрим наибольшее по длине ребро: к нему ни в какой грани не может примыкать тупой угол.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗВЛЕЧЕНИЯ

Математические развлечения – это и решение занимательных задач, и геометрические построения, и разгадывание числовых и механических головоломок, и математические игры и фокусы. Они развивают математические способности, сообразительность, логическое мышление, укрепляют память. Математические развлечения объединяют учение и игру, труд и отдых, но для занятия ими нужны и воля, и упорство, и настойчивость в достижении цели.

Задачи-головоломки известны с давних времен, они встречаются уже в египетских папирусах. С I в. н.э. известна задача, получившая название задачи Иосифа Флавия, римского историка. Легенда рассказывает, что однажды отряд воинов, среди которых находились Флавий и его друг, был окружен. Из всех уставших, выбившихся из сил воинов, отчаявшихся спастись, нужно было выбрать двоих, которые предприняли бы попытку найти выход из окружения. Флавий предложил выбрать этих двоих путем пересчета так, чтобы каждый третий выбывал из построенных в круг воинов. Счет продолжался до тех пор, пока не осталось только два человека. Это были мудрый Флавий и его друг. На какие места в круге они встали, если в отряде был 41 воин? Древняя рукопись сообщает: на 16-е и 31-е.

Игра «крестики-нолики» - одна из древнейших, ее знают все. В квадрате, разделенном на девять клеток, игроки по очереди ставят в свободную клетку свой знак: крестик или нолик, стараясь выстроить три крестика или три нолика подряд. Тот, кто первым сделает это, выигрывает.

Если не делать ошибок, то игра оканчивается вничью, выиграть можно только в том случае, если противник ошибется. Самый правильный первый ход – занять угловую клетку. И если партнер не ответит на это своим знаком в центре, то он проиграл.

Гораздо интереснее усложненный вариант «крестиков-ноликов» - игра «пять в ряд». На листке клетчатой бумаги двое играющих по очереди ставят крестики и нолики. Выигрывает игрок, который первым выставит пять своих знаков подряд по вертикали, горизонтали или диагонали. Размеры поля игры не ограничиваются.

Издавна играют в игру «ним». Пусть имеется одна или несколько групп предметов. Играющие по очереди берут предметы из групп по правилам, которые заранее устанавливают: какое количество предметов разрешается брать за один раз и из скольких групп. Существует множество вариантов игры, и для большинства известна наилучшая стратегия, ведущая к выигрышу. Наличие самих предметов не обязательно, можно играть и с числами.

Двое называют по очереди любое число от 1 до 10 и складывают названные числа. Выигрывает тот, кто первым доведет до 100 сумму чисел, названных обоими игроками. Оптимальная стратегия в этой игре состоит в том, чтобы после хода противника называть числа, дающие, в сумме с предыдущими, члены следующего ряда: 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 100.

С древности до наших дней очень популярны головоломки-шутки, они учат внимательно относиться к каждому слову условия задачи. Вот одна из них: в кармане лежат две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

Задача основана на психологической особенности человеческого восприятия – запоминать главные факты из условия задачи. В данном случае – то, что монета в кармане не пятак. И начинаются безуспешные попытки решения. А правильный ответ: 10 коп. и 5 коп., так как в условии задачи сказано, что только одна монета не пятак.

В старинной задаче «Волк, козел и капуста» крестьянину нужно перевезти через реку волка, козла и капусту. Лодка так мала, что в ней кроме крестьянина может поместиться или только волк, или только козел, или только капуста. Но если оставить волка с козлом, то волк его съест, а если оставить козла с капустой, то будет съедена капуста. Как быть крестьянину?

Головоломки типа этой задачи называются комбинаторными (см. Комбинаторика). В таких головоломках требуется путем взаимной перестановки элементов расположить их в соответствии с условием задачи в определенном порядке.

В случае с крестьянином переправу нужно начать с перевозки козла. Затем крестьянин возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег и там оставляет, но везет обратно на первый берег козла. Здесь он оставляет его и перевозит к волку капусту. А затем, возвращаясь, перевозит козла.

К комбинаторным головоломкам относится и знаменитый венгерский кубик Рубика, и полимино, и игры типа «Игра 15», а также задачи «на маневрирование», головоломки с перестановкой шашек, «Ханойская башня» и др.

О Ханойской башне существует легенда, согласно которой где-то в глубине джунглей в буддийском храме находится пирамида, состоящая из 64 золотых дисков. День и ночь жрецы храма заняты разбором этой пирамиды. Они переносят золотые диски на новое место, строго соблюдая следующие правила: за один раз разрешается переносить только один диск и нельзя ни один диск класть на меньший диск. Предание гласит, что, как только жрецы закончат работу, грянет гром, храм рассыплется в пыль и наступит конец света.

Количество перемещений дисков, которые должны сделать жрецы, вычисляется по формуле 2ⁿ - 1, где n – число дисков. Предположим, что жрецы работают так быстро, что за одну секунду переносят один диск. Тогда на всю работу им понадобится 2⁶⁴-1, или около 580 млрд. лет. За это время храм, действительно, может рассыпаться в пыль.

Рис. 1 Головоломка «Ханойская башня». Перенесите кольцо с левой оси на правую по правилам, изложенным в индийской легенде, не более чем за 31 ход.

Не менее интересное занятие, чем комбинаторные головоломки, - разгадывание арифметических ребусов, в которых нужно восстановить недостающие цифры. Для игр-головоломок со спичками совсем не обязательно иметь спички, их можно заменить прутиками или черточками на бумаге или земле. Задачи на разрезание относятся к геометрическим головоломкам. Их удобно решать, вычертив предполагаемые фигуры на листке клетчатой бумаги.

Самые древние геометрические головоломки – это головоломки на складывание геометрических фигур из отдельных кусочков. Уже сами названия этих головоломок: «Пифагор», «Колумбово яйцо», «Архимедова игра» - говорят об их древности. Эти игры легко сделать самому, вырезав их из картона.

Рис. 2 «Пифагор» - головоломка на складывание фигур.

Топологические головоломки тоже одни из самых древних. К ним относятся всем известные лабиринты, проволочные, шнурковые и объемные сборно-разборные головоломки.

Удивительной для непосвященных кажется способность человека отгадывать задуманное другим число. Но если вы узнаете секреты математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать новые.

Вы просите товарища задумать любое число, затем отнять от него 1, результат умножить на 2, из произведения вычесть задуманное число и сообщить вам результат. Прибавив к нему число 2, вы отгадаете задуманное. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения (x-1)·2-x, где x – задуманное число. Раскрыв скобки и выполнив действия, мы получим, что это выражение равно x - 2.

Можно угадать результат арифметических действий над неизвестным числом, например, так. Ваш товарищ задумал число. Вы просите умножить его на 2, затем прибавить к произведению 12, сумму разделить пополам и вычесть из нее задуманное число. Какое бы число ни было задумано, результат всегда будет равен 6, так как (2x + 12)/2 - x = 6 при любом x.

На рис. 3 изображен «волшебный веер». С его помощью можно отгадать любое задуманное число от 1 до 31. Вы просите указать, на каких лепестках веера написано задуманное число, а затем в уме складываете числа, стоящие под столбцами на этих лепестках. Их сумма всегда будет равна задуманному числу.

Рис. 3 «Волшебный веер» для отгадывания задуманных чисел.

В наше время большую популярность получили логические задачи-головоломки. Вот пример решения такой задачи.

Три мальчика, устав от игр, прилегли отдохнуть под деревом и уснули. Пока они спали, их товарищи испачкали им сажей лбы. Проснувшись и взглянув друг на друга, мальчики начали смеяться. Внезапно один из них замолчал, так как понял, что его лоб тоже испачкан. Он подумал: «Мы смеемся, потому что каждый из нас считает, что его лицо чистое. Но если мое лицо чистое, то Коле должен быть непонятен смех Андрея. Раз Андрей смеется, а мое лицо чистое, то он смеется над Колей. Коля должен это понять и перестать смеяться. А раз он не перестает, значит, мой лоб тоже в саже».

Попробуйте ответить на вопрос еще одной логической головоломки.

Если головоломка, которую вы разгадали перед тем, как вы разгадали эту, была труднее, чем головоломка, которую вы разгадали после того, как вы разгадали головоломку, которую вы разгадали перед тем, как вы разгадали эту, то была ли головоломка, которую вы разгадали перед тем, как вы разгадали эту, труднее, чем эта? Ответ: да.

Рис. 4 Головоломка с перемещением шашек. Переместите черную шашку в крайнюю левую клетку, используя свободные боковые поля. На это требуется не менее 28 перемещений шашек.

Рис. 5 Задача на маневрирование. Сколько раз нужно перевести стрелку, чтобы поменять местами вагоны, если через туннель может проходить только паровоз? Решения: 1-14 перемещений.

МАТЕМАТИКА НА ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

Шахматы не только популярная игра, но и источник множества интересных математических задач. Не случайно шахматные термины можно встретить в литературе по комбинаторике, теории графов, кибернетике, теории игр, программированию на электронных вычислительных машинах. Расскажем о нескольких математических задачах на шахматной доске.

Нумерация рисунков идет в порядке их расположения.

Задача 1. Обойти конем все поля доски, посетив каждое из них по одному разу.

Этой задачей занимались многие математики XVIII и XIX вв., в том числе и Л. Эйлер. Хотя задача была известна и до Эйлера, лишь он впервые обратил внимание на ее математическую сущность. Неизвестно до сих пор, сколько всего существует маршрутов, хотя доказано, что число их не больше 30млн. Придумано много методов построения маршрутов коня, установлены различные математические закономерности. Приведем три маршрута. На рис. 1, 2 они изображены графически (каждые два соседних поля маршрута соединены отрезком), а на рис. 3 поля маршрута последовательно пронумерованы от 1 до 64. Маршруты на рис. 1, 3 замкнутые (исходное и конечное поля связаны ходом коня), а маршрут на рис. 2 открытый. Маршрут на рис. 3 образует полумагический квадрат 8x8 (сумма чисел на любой вертикали и на любой горизонтали равна числу 260, а на главных диагоналях отлична от этого числа, см. Магические и латинские квадраты) и, кроме того, обладает необычайной симметрией – при повороте доски на 180° первая половина маршрута (от 1 до 32) превращается во вторую (от 33 до 64).

Задачи о маршрутах составлены и для других фигур. На рис. 4 изображен кратчайший замкнутый маршрут ферзя по всей доске, занимающий 14 ходов.

Задача 2. Сколькими способами можно расставить на доске восемь ферзей так, чтобы они не угрожали друг другу, т.е. никакие два из них не стояли бы на одной линии (вертикали, горизонтали или диагонали)?

Найти ту или иную расстановку несложно, труднее подсчитать их общее число. Доказано, что существует 92 требуемые расстановки, причем они получаются из 12 основных поворотами и зеркальными отражениями доски. Одно из решений задачи представлено на рис. 5.

Подобные задачи ставятся для всех шахматных фигур. Сначала выясняется, какое наибольшее число фигур не угрожает на доске друг другу, а затем – сколько имеется расстановок. Ладей, как и ферзей, можно расставить максимум восемь (всего 8! = 40320 расстановок), например, их можно поставить на те же поля, что и ферзей на рис. 5. Максимальное число не угрожающих друг другу слонов равно 14 – рис. 6 (256 расстановок), коней – 32 (две расстановки, на всех белых или на всех черных полях), королей – 16 – рис. 7 (281 571 расстановка).

Другой класс задач на расстановки связан с расположением минимального числа фигур так, чтобы они держали под ударом все свободные поля доски. Для этой цели достаточно взять пять ферзей (рис. 8), восемь ладей (их можно поставить на те же поля, что и ферзи на рис. 5), восемь слонов (рис. 9), двенадцать коней (рис. 10), девять королей (рис. 11). Не обо всех фигурах известно, сколько существует необходимых расстановок.

Для охраны доски меньшим, чем пять, числом фигур не обойтись, однако их состав можно «ослабить», заменив двух ферзей ладьями или даже ладьей с королем или слоном (рис. 12).

МАТРИЦА

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из чисел.

Располагать те или иные данные в виде прямоугольных таблиц приходится довольно часто. Например, если три завода выпускают пять различных видов продукции, то отчет о производстве за год может быть дан в виде таблицы

,

где x_ij – количество продукции j-го вида, выпущенное i-м заводом в течение этого года. Кратко будем обозначать эту таблицу X = (x_ij) и назовем ее прямоугольной матрицей с тремя строками и пятью столбцами. Аналогично определяется понятие прямоугольной матрицы с m строками и n столбцами (или, короче, (m×n)-матрицы). При m=n такую матрицу называют квадратной, а число n - порядком этой матрицы.

Если ассортимент продукции не изменился в течение следующего года, то отчет о производстве за второй год тоже имеет вид матрицы Y = (y_ij). Но тогда выпуск продукции за два года выражается матрицей X + Y = (x_ij + y_ij). Вообще, при сложении двух (m×n)-матриц складываются соответствующие элементы этих матриц. Если же в течение второго года производство каждого вида продукции на каждом заводе увеличилось на 20%, то для любых i,j верно равенство y_ij=1,2·x_ij. В этом случае пишут Y = 1,2X. Чтобы умножить матрицу X на число λ, надо умножить на это число каждый элемент матрицы.

Выпуск продукции можно выражать не только в штуках, метрах или тоннах, но и в рублях. Для этого надо знать цену каждого вида продукции. Поскольку она может меняться от года к году, обозначим через λ_jk цену j-го вида продукции в k-й год. Эти цены можно записать в виде (n×s)-матрицы Λ, где n-число видов продукции и s- число лет. Например, при s=4 имеем матрицу

.

Выпуск продукции i-м заводом за k-й год, выраженный в рублях, составит величину

a_ik = x_i1λ_1k + x_i2λ_2k + ... + x_inλ_nk, (1)