Газета Троицкий Вариант # 40

Игровой подход к определению предела

87

Любому человеку, имевшему опыт столкновения с математическим анализом, известно: тяжело вначале — потом довольно легко. Кажется, даже медведя можно обучить дифференцировать по заданным правилам. Искать пределы на практике тоже можно наловчиться. А вот дать точное определение предела последовательности или функции да еще объяснить его может лишь один студент технического вуза из пяти (о старшеклассниках и говорить не приходится). Действительно, банальная сходимость последовательности x(n) к 5 формально выглядит как

∀ ε>0 ∃ N(ε): ∀ n>N x(n) — 5 < ε.

(Для людей, не ежедневно соприкасающихся с математическим анализом, привожу вариант определения на русском языке: «Для любого, возможно очень маленького, но положительного числа эпсилон всегда найдется номер, зависящий от этого эпсилон такой, что все члены последовательности с номерами больше этого отличаются от 5 менее чем на эпсилон».)

Возникает искушение говорить о предмете неформально. Например, определение вектора как «направленного отрезка» ненаучно, но на практике не приводит ни к каким бедам. Такой неформальный, разговорный подход к теме можно уподобить черному ходу в дом. Но в нашем случае черный ход (правдоподобные разговоры об «очень маленьких числах») ведет в другой дом. Напомним вкратце историю предмета, впрочем, хорошо известную специалистам.

Анализ бесконечно малых возник в головах Ньютона и Лейбница в XVII в. Эти два гения, не нуждаясь в формализации своих интуитивных озарений, делали верные умозаключения. Но даже великие математики того времени, полагаясь на интуитивное полупонимание предмета, совершали нелепые и комические ошибки. И лишь 200 лет спустя Коши и Адамар сочинили «язык е — А», на котором можно доказательно рассуждать о бесконечно малых. Так что неформальной альтернативы ему нет, и, если пропустить этот этап обучения, все здание матанализа будет лишено твердого фундамента, а все навыки студента сведутся к непонятным по сути обычаям и пассам.

Так что остается вдохнуть и выдохнуть — и все же одним учить определение предела, а другим — его (по возможности доходчиво) преподавать.

Есть предел последовательности, есть функции. Аргумент функции может стремиться к некоторому числу слева, справа или с обеих сторон, а может — к ±оо (плюс-минус бесконечности). Значение — к конечному или бесконечному пределу. Если различать +<» и -» (а формулы их различают), мы получим только в случае функций 15 конкретных определений предела. Понятно, что заучить их без понимания — непосильный труд. Они во многом однотипны; надо усвоить их внутреннюю логику.

Сложность для студента представляют три квантора, всегда идущие в одном порядке:

∀… ∃… ∀… (для любого ... существует ... для любого)

Возникает естественная идея: а что если исходить не из содержания каждого отдельного квантора, а из самой идеи их чередования? Пусть их будет вообще много:

∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…

На что это похоже?

Представим себе игру на двоих типа шахмат (чередование ходов), но для простоты — без возможности ничейного исхода. То есть неминуем мат белым (МБ) или мат черным (МЧ). Тогда нетрудно заметить, что из данной позиции мат черным в три хода записывается такой формулой (где б(к); ч(к) — соответственно к-е ходы белых и черных):

∃ б(1) ∀ ч(1) ∃б(2) ∀ ч(2) ∃б(3) МЧ

(Опять по-русски: Есть такой первый ход белых, что на любой ответ черных найдется — естественно, не универсальный, а зависящий от этого ответа второй ход белых, такой, что на любой ответ черных третьим ходом — белые ставят мат.)

Мат же белым предполагает другое начало — с квантора всеобщности: как бы ни пошли белые, они обречены.

Наша игра «предел» предполагает три хода — белых, черных и белых, потом — сверку полученного результата и непременный выигрыш черных. Вот как выглядит сходимость последовательности к 5 (исходная формула):

Первый играющий называет значение числа е. Например, 0,000000001.

Второй, подумав, выдает N = 16573. Первый вправе назвать любое число больше N. Он называет 16585.

Идет сверка. И х(16585) — 5 оказывается меньше 0,000000001.

Первый расплачивается. Азарт толкает его на повторение эксперимента. Теперь он выдвигает и вовсе микроскопическое s = 0,000000000000000000000000000000000000001.

Второй, подумав, выдает N=178539763. И, вне зависимости от следующего декоративного хода Первого, Второй выигрывает по итогам сверки.

Если Первый — не клинический идиот и не чересчур богат, после получаса игры он понимает две вещи:

1) второй выигрывает всегда (это и есть сходимость — квантор в квантор);

2) так как он выигрывает одним ходом, в нем заключена суть выигрыша.

Опыт показывает, что такая игровая модель наглядна и способствует лучшему усвоению материала.

Здесь же — и возможность немного неформального, нестрогого, но быстрого и конструктивного определения предела, того самого разумного упрощения без катастрофической потери смысла. В подавляющем большинстве случаев сходимость последовательности (функции) — это способ вычисления N (или А) по s. Иначе говоря, решающий ход. Заметим, что просто наблюдением за формулой предела выделить из нее решающее звено 3 N(s) не так-то легко. А в метафоре игры — мгновенно.

Всматривание в природу решающего хода наводит на еще одну модель. Давайте будем говорить о сходимости как о существовании машинки, перерабатывающей ε в N (или Δ). Вот такой: ε → ♦→ Δ. Тогда доказательства сходимости сводятся к конструированию и предъявлению таких машинок — либо «винтик за винтиком» (сходимость конкретных функций и последовательностей), либо с использованием уже существующих, данных машинок, неважно как, но действующих, типа запаянных микросхем (сумма, произведение, суперпозиция функций).

Здесь надо сказать, что этот (довольно очевидный) язык — с «распараллеливанием» s на две машинки, с черными ящичками и т.п. — оказывается весьма современным. Отвинтив боковую стенку компьютера, любой студент видит нечто подобное. Поэтому здесь идет оживление формулы, визуализация.

К сожалению, в большинстве вузов мальчики и девочки довольно бойко дифференцируют и вычисляют пределы, не зная, что такое производная и предел. По-моему, этот компромисс вреден со многих точек зрения. Об этом можно впоследствии поговорить отдельно.

Леонид Костюков