Второй концентр
VIII. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТРЕУГОЛЬНИКАХ
§ 48. Равнобедренный треугольник
С основными свойствами всякого треугольника мы познакомились в §§ 15–22. Самые главные из них следующие: сумма углов треугольника равна 180°; треугольники равны друг другу или по трем сторонам, или по двум сторонам и углу между ними, или по одной стороне и двум углам (для краткости мы обозначили эти случаи так: ССС, СУС, УСУ). Теперь познакомимся с некоторыми новыми свойствами треугольников.
Предварительные упражнения
Укажите равные треугольники в фигуре черт. 134, где АВ = АС, a AD– равноделящая угла А.
Каковы углы ADB и ADС на черт. 134: острые или тупые?
Мы знаем, что в р а в н ы х треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Покажем, что и
в о д н о м и т о м ж е т р е у г о л ь н и к е п р о т и в р а в н ы х с т о р о н л е ж а т р а в н ы е у г л ы.
Пусть у нас взят треугольник ABC (черт. 135), в котором сторона АВ равна стороне АС. Легко убедиться, что в таком треугольнике углы В и С, лежащие против равных сторон, равны между собой. Если в нашем треугольнике проведем (черт. 136) равноделящую АD угла А, она разобьет ABCна два треугольника: АDB и АDС, которые равны между собой (СУС). По этому угол В, лежащий против AD, равен углу С, лежащему против той же общей стороны.
Треугольник с двумя равными сторонами называетс я р а в н о б е д р е н н ы м; его равнее стороны называются б о к о в ы м и с т о р о н а м и этого треугольника, а третья сторона – его о с н о в а н и е м.
Поэтому рассмотренное сейчас свойство треугольника можно высказать короче так:
в р а в н о б е д р е н н о м т р е у г о л ь н и к е у гл ы п р и о с н о в а н и и р а в н ы.
Можно удостовериться и в обратном соотношении: если в треугольнике имеются равные углы, то стороны, лежащие против этих углов, – равны; или-короче сказать:
в т р е у г о л ь н и к е п р о т и в р а в н ы х у г л о в л е ж а т р а в н ы е с т о р о н ы.
Чтобы убедиться в этом, возьмем треугольник (черт. 135), в котором два угла равны: уг. B = уг. C. Проведем (черт. 136) равноделящую AD; в образовавшихся двух треугольниках ADB и ADCсторона AD – общая, уг. BAD = уг. CAD, уг. В = уг. C; следовательно, треугольники равны (УСУ), и потому АВ = АС.
Применения
52. Огород имеет форму равнобедренного треугольника, одна сторона которого на 40 м длиннее другой. Обвод огорода 200 м. Какова длина каждой стороны? Сколько решений имеет эта задача?
Р е ш е н и е. Если оcнование этого треуголь ника больше боковых сторон, то, обозначив его через х, имеем уравнение
х + х – 40 + х – 40 = 200,
из которого находим: х =280/3 = 93 1/3 м.
Значит, в таком случае стороны треугольника имеют длину: 93 1/3 м, 531/3 м и 531/3 м.
Если же основание к о р о ч е боковых сторон, то составляем уравнение
y + y + 40 + y + 40 = 200,
из которого y = 40 м. Следовательно, второе решение задачи 40 м, 80 м и 80 м.
53. Кровля, в зависимости от материала, из которого она сделана, должна составлять с горизонтальной линией следующие углы (черт. 137):
Железная и цинковая. . . 30°
Толевая. . . . . . . . . . 18°
Черепичная. . . . . . . . 40°
Тесовая. . . . . . . . . . 45°
Соломенная. . . . . . . . 60°
Зная это, определите, какой угол должны составлять между собой стропильные ноги двускатной крыши в каждом случае.
Р е ш е н и е. Для железной кровли искомый угол равен 180° – 2 ? 300 = 120°; для толевой 180° – 2 ? 18° = 144°; для черепичной 180° – 2 ? 40° = 100°; для тесовой 180° – 2 ? 45° = 90°; для соломенной 180° – 2 ? 60° = 60°.
§ 49. Угол, опирающийся на диаметр
Из свойств равнобедренного треугольника вытекает следующая особенность угла, вписанного в полукруг (черт. 138) или: как его иначе называют – «опирающего на диаметр»:
У г о л, о п и р а ю щ и й с я н а д и а м е т р, р а в е н п р я м о м у.
«Опирающимся на диаметр», или «вписанным в полукруг» называют такой угол, вершина которого лежит на дуге окружности, а стороны проходят через концы диаметра; таковы углы: 1 на черт. 138 и 2 на черт. 139. Желая удостовериться, что такой угол во всех случаях равен 90°, мы соединяем центр О полукруга (черт. 140) с вершиной В угла. Получаем два равнобедренных треугольника АОВ и ВОС (почему они равнобедренные?). В них
уг. 2 = уг. 1
уг. 3 = уг. 4.
Отсюда уг. 2 + уг. 3 (т. е. уг. АВС) = уг. 1 + уг. 4. Но так как уг. АВС + уг. 1 + уг. 4 = 180°, то уг. ABC= 90°.
Этим свойством окружности пользуются нередко для того, чтобы в изделиях проверять полуокружность помощью чертежного треугольника (как?).
§ 50. Прямоугольный треугольник
В треугольнике, мы знаем, может быть только один прямой угол. Такой треугольник называется п р я м о у г о л ь н ы м. Стороны прямоугольного треугольника имеют особые названия: каждая из сторон, между которыми лежит прямой угол, называется к а т е т о м, а сторона против прямого угла называется г и п о т е-н у з о й.
Применения
54. Через точку С (черт. 141) на прямой MNнужно провести перпендикуляр. Как это сделать?
Р е ш е н и е. Отложив (черт. 142) от С в обе стороны по какому-нибудь равному отрезку, т. е. CA= CB, описываем около А и В, как центров, каким-нибудь радиусом дуги; прямая PC, соединяющая точку Р пересечения дуг с точкой С, перпендикулярна к МN. Действительно, треугольники АР С и ВРС, получающиеся после соединения А и В с P, равны (СУС); следовательно, уг. АСР = уг. ВСР, а так как эти углы смежные, то они – прямые.
55. Через точку С (черт. 143) вне прямой МN про вести к этой прямой перпендикуляр.
Р е ш е н и е. Около точки С, как около центра, описываем каким-нибудь радиусом дугу АВ (черт. 144);
затем около точек А и В каким-нибудь радиусом описываем дуги D. Прямая DС перпендикулярна к МN. Чтобы убедиться в этом, соединим С и Dс А и В.
Треугольники ACDи ВCD равны (ССС), следовательно, уг. ACD= уг. DCВ, и значит, треугольник АСО = ВСО (СУС). Отсюда уг. AОС = уг. ВОС, а так как эти углы смежные, то они прямые.
56. Объясните, почему каждая точка М прямой ВM, делящей пополам угол АВС (черт. 145) одинаково отстоит от сторон АВ и ВС угла (т. е. почему, например, MK= ML?).
Р е ш е н и е. Треугольники ВML и ВМК равны (УСУ).
§ 51. Равносторонний треугольник
Треугольник с тремя равными сторонами называется р а в н о с т о р о н н и м. Так как против равных сторон в одном и том же треугольнике лежат равные углы, то все углы равностороннего треугольника равны, и, следовательно, каждый из них равен. 180°: 3 = 60°.
Обратно: если каждый угол треугольника равен 60°, то все стороны такого треугольника одинаковы, – потому что, против равных углов в одном и том же треугольнике лежат, равные стороны.
Применения
57. Без транспортира построить угол в 60°. В 30°. В 15°. В 120°. В 75°.
Р е ш е н и е. Строим равносторонний треугольник произвольных размеров; каждый его угол = 60°. Разделив угол этого треугольника пополам, получим угол в 30°. Разделив еще раз пополам, будем иметь угол в 15°. Угол в 120° = 90° + 30°. Угол в 75° =60° + 15° = 90° – 15°.
§ 52. Катет против угла в 30°
Предварительное упражнение
Равносторонний треугольник разбит равноделящей одного из углов на два треугольника. Определить их углы.
уг. D= 60°; а так как и уг. ABD= 60°, то треугольник ABD– равносторонний, и следовательно, AD= АВ. Но АС = 1/2 АD (почему?); отсюда АС = 1/2 АВ.
Итак, мы убедились, что
к а т е т п р о т и в у г л а в 30° р а в е н п о л о в и н е г и п о т е н у з ы.
Применения
58. Лестница длиною 6 м приставлена к фонарному столбу под углом 30° к нему (черт 148). Каково расстояние от основания лестницы до основания фонаря?
Р е ш е н и е. Так как катет против 30° равен половине гипотенузы, то искомое расстояние = 3 м.
59. Длина стропильной ноги АС (черт. 137) вдвое больше высоты ADстропильной фермы. Определить угол наклона этой кровли к горизонту.
Р е ш е н и е. Искомый угол СAD = 30°, так как только при таком условии CD равно половине АС.
Пусть у нас имеется прямоугольный треугольник (черт. 146) ABC, один угол которого, именно В, равен 30°. Перегнем мысленно треугольник по катету ВС. Тогда займет положение ВСD (черт. 147), при чем CD составит продолжение АС, потому что уг. ВСD + ВСА = развернутому. Уг. СВD = уг. ABC= 30°; значит, уг. А = 60°;
§ 53. Неравные стороны и углы
Мы знаем, что если в треугольнике есть равные стороны, то углы, лежащие против них, тоже равны. Рассмотрим теперь, каково соотношение между сторонами и углами в случае н е р а в н ы х сторон.
Предварительное упражнение
В фигуре черт. 149 укажите какой угол больше: уг. 1 или у г. 2?
В фигуре черт. 151 АВ = AD. Какой угол больше; уг. С или у г. 1?
Покажем, что в
т р е у г о л ь н и к е с н е р а в н ы м и с т о р о н а м и п р о т и в б о л ь ш е й с т о р о н ы л е ж и т б о л ь ш и й у г о л. Пусть в треугольнике АВС (черт. 150) сторона АС больше «стороны АВ. Отложим от вершины образуемого ими угла меньшую сторону АВ на большей АС получим точку D. Соединив Dс В, имеем равнобедренный треугольник ABD, в котором угол 1 = уг. 2. Угол С меньше угла 1, а значить, подавно меньше угла. ABC. Таким образом мы убеждаемся, что против большей стороны [АС] лежит больший угол [ABC].
Нетрудно удостовериться, что и обратно: если в треугольнике имеются неравные углы, то
п р о т и в б о л ь ш е г о у г л а л е ж и т б о л ь ш а я с т о р о н а.
Пусть мы знаем, что в треугольнике (черт. 151) ABC уг. А больше угла С. Тогда сторона ВС не может быть равна АВ: иначе уг. А равнялся бы углу С; не может сторона ВС быть и м е н ь ш е: АВ – тогда уг. А был бы м е н ь ш е угла С (а мы знаем, что уг. А б о л ь ш е уг. С). Не равен и не меньше, значит – больше.
Применения
60. Что больше: гипотенуза или катет?
Р е ш е н и е. Гипотенуза, как сторона, лежащая против самого большого угла треугольника, длиннее каждого катета.
61. Угол при вершине равнобедренного треугольника = 70°. Что длиннее: основание или боковая сторона?
Р е ш е н и е. Углы при основании равны (180°-70°) / 2 = 65°.
Так как угол прш вершине больше, то основание больше боковых сторон.
Повторительные вопросы к §§ 48–53
Каково соотношение между углами треугольника, две стороны которого равны? – каково соотношение между сторонами треугольника, имеющего два равных угла? – Каковы соотношения в треугольнике с неравными сторонами? – С нерав-нымиуглами? – Какой треугольник называется равнобедренным? – Какая сторона такого треугольника называется боковой? – Какая называется основанием? – Как называется треугольник, имеющий два равных угла? – Сколько градусов в угле, опирающемся на диаметр? – Какой треугольник называется прямоугольным? – Что называется гипотенузой? – Катетами? – По каким признакам можно установить равенство прямоугольных треугольников? – Какой треугольник называется равносторонним? – Как велики его углы? – Каково соотношение между гипотенузой и катетом, лежащим против угла в 1/3 прямого?
§ 54. Перпендикуляр, наклонная, проекция
Если из точки проведен к прямой перпендикуляр, – например, CD (черт. 152), то точка D называется
о с н о в а н и е м п е р п е н д и к у л я р а. Всякая другая линия, проведенная через точку С к прямой А В, встречает ее не под прямым углом (почему?) и называется наклонной; например, СЕ, CF – наклонные. Точки Е, F – о с н о в а н и я наклонных.
Расстояния DE, DF от основания перпендикуляра до оснований наклонных называются проекциями этих наклонных: DE – проекция наклонной СЕ, a DF – проекция наклонной CF.
Рассмотрим некоторые соотношения между перпендикуляром, наклонными и их проекциями.
1) Перпендикуляр короче каждой наклонной, проведенной к той же прямой из той же точки. Например, CD на черт. 152 короче, чем CF и чем СЕ, потому что катет короче гипотенузы. Перпендикуляр есть поэтому самое короткое расстояние от точки до прямой. Когда говорят о расстоянии точки от какой-нибудь прямой, то имеют в виду именно к р а т ч а й ш е е расстояние,
т. е. п е р п е н д и к у л я р из точки на эту прямую.
2) Если из какой-нибудь точки проведены к прямой две наклонные о д и н а к о в о й длины, – напр., АВ и АС на черт. 153, то проекции этих наклонных р а в н ы. В самом деле: треугольники ABD и ACD имеют общий катет AD, равные гипотенузы АВ и АС и кроме того, уг. B= уг. С (§ 52); поэтому они равны (СУС), и значит, катет ОВ = катету DC.
3) Обратно: если равны проекции двух наклонных, проведенных к прямой из одной точки, то эти наклонные имеют одинаковую длину. Если бы на черт. 153 нам не было известно, что наклонные АВ и АС равны, но взамен этого мы знали бы, что BD= DC, то установили бы равенство АВ и АС из равенства прямоугольных треугольников ADB и ADC(СУС).
§ 55. Следствие предыдущего параграфа
Сейчас мы установили, что при равных проекциях наклонные равны. Отсюда вытекает важное свойство перпендикуляра, проведенного через середину стороны. А именно: если через середину С отрезка АВ (черт. 154) проведена перпендикулярно к нему прямая EF, то каждая точка этого перпендикуляра удалена от концов отрезка одинаково. Например, точка М одинаково отстоит от точек А и В. Это следует из того, что проекции ВС и АС наклонных MB и МА равны, – значит, равны и наклонные. Точно также равны расстояния NА и NB. Вообще
к а ж д а я т о ч к а п е р п е н д и к у л я р а, п р о в е д е н н о г о ч е р е з с е р е д и н у о т р е з к а, о д и н а к о в о
у д а л е н а о т к о н ц о в э т о г о о т р е з к а.
Другое следствие § 54 дает нам полезный признак равенства прямоугольных треугольников:
п р я м о у г о л ь н ы е т р е у г о л ь н и к и р а в н ы п о г и п о т е н у з е и к а т е т у.
Чтобы убедиться в этом, приложим друг к другу сравниваемые треугольники равными катетами (черт. 136). Тогда гипотенузы, как равные наклонные, должны иметь равные проекции, т. е. другие катеты этих треугольников должны быть равны. Значит, треугольники равны (ССС).
Повторительные вопросы к §§ 54–55
Покажите на чертеже, что называется наклонной линией, основанием перпендикуляра, основанием наклонной, проекцией. – Что длиннее: перпендикуляр или наклонная? – Что называется расстоянием от точки до прямой линии? – Каково соотношение между длиною наклонных в случае равенства проекций? – Каким свойством обладает прямая, проведенная перпендикулярно к отрезку через его середину? – Перечислите все известные вам признаки равенства прямоугольных треугольников.
Применения
62. Извилистый ручей протекает между двумя селениями. Как разыскать все места ручья, одинаково ударенные от обоих селений?
Р е ш е н и е. Соединив селения прямой линией, провешивают через ее середину перпендикуляр. Все точки пересечения этого перпендикуляра с ручьем и будут искомые.
63. Где надо поместить фонарь внутри треугольного участка, чтобы все углы «его были освещены одинаково?
Р е ш е н и е. Искомая точка должна быть одинаково удалена от всех вершин треугольника. Сначала найдем все те точки, которые одинаково отстоят от двух вершин: для этого проведем перпендикуляр через середину одной. стороны треугольника. Затем проведем перпендикуляр через середину другой стороны: на нем расположены все точки, равноудаленные от двух других вершин. Искомая точка лежит на пересечении обоих перпендикуляров.
§ 56. Средняя линия треугольника
Предварительное упражнение
В треугольнике АВС (черт. 155) точка Dесть середина А В, а прямая EFпараллельна АВ. Докажите: 1) что треугольник FCE= треугольнику DBE; 2) что фигура ADEF– параллелограмм.
Средней линией треугольника называется прямая, соединяющая середины двух его сторон (DEна черт. 155). Этот отрезок обладает следующими свойствами:
с р е д н я я л и н и я т р е у г о л ь н и к а п а р а л л е л ь н а п р о т и в о л е ж а щ е й с т о р о н е и р а в н а е е
п о л о в и н е.
Удостоверимся в этом. Пусть в треугольнике АBС (черт 155) прямая DE соединяет середины сторон; покажем, что она параллельна стороне АС и равна ее половине. Для этого через точку Е проведем EF параллельно АВ. Треугольники DBE и FEC равны (почему?), поэтому уг. 1 = уг. 2, и значит, DE параллельно АС; кроме того DE = FCA так как четырехугольник ADEF есть параллелограмм (почему?), то
DE = AF. Итак, DE = FC = AF = ? AC.
§ 57. Деление отрезка на равные части
Мы умеем с помощью циркуля и линейки делить отрезок только на 2, на 4, на 8 и т. д. число равных частей (§ 21). Укажем теперь способ делить отрезок на любое число равных частей.
Пусть потребуется отрезок АВ (черт. 156) разделить на 5 равных частей. Проведем от одного конца этого отрезка, например, от В, под произвольным углом прямую ВС. На этой прямой отложи от конца В пять раз какой-нибудь отрезок; получим точки 1, 2, 3, 4, 5. Последнюю точку 5 соединим с концом А данного отрезка и ч через точ-ки1, 2, 3, 4 проведем прямые, параллельные прямой A5. Можно указать, что эти прямые разделят отрезок АB на 5 равных частей в точках I, II, III, IV.
Для доказательства проведем через точки I, II, III,IV прямые, параллельные ВC (черт. 157). Получим треугольники В1I, ICII, IIDIII, IIIЕIV, IVFА, у которых В—I, I–II, II–III, III–IV, IV—A равны между собою (потому что каждая из них, кроме 1–1, равна противоположной стороне параллелограмма, а В-1, В-2, 2–3, 3–4, 4–5 равны друг другу). Из равенства же указанных треугольников (СУС) вытекает равенство отрезков B-I, 1-11, II–III, III–IV, IV–V.
Применения
Н о н и у с. Ш т а н г е н ц и р к у л ь
Умея делить прямолинейные отрезки на любое число частей, можно изготовить приспособление, полезное для точных измерений – так называемый «нониус».
Для примера рассмотрим следующий простейший нониус. Полоску AВ (масштаб, черт. 158) длиною в 9 см разделим на 10 равных частей; по 0,9 см каждая; получим полоску CD(нониус). Пусть теперь требуется измерить длину небольшого предмета М. Прикладываем его к полоскам АВ и CD, как показывает черт. 159, и замечаем, какие деления обеих полосок совпадают. Предположим, что совпали 6-е деления. Это показывает, что длина предмета равна разнице между 6-ю делениями масштаба ПАВ и 6-ю делениями нониуса. Но 6 делений полоски АВ = 6 см, а 6 делений нониуса = 6 0,9 = 5,4 см. Следовательно, длина предмета равна 6 – 5,4 = 0,6 см. Вообще, длина измеряемого предмета равна стольким десятым долям деления масштаба, сколько единиц в совпадающих делениях масштаба и нониуса.
Если бы мы для изготовления нониуса взяли не 9 сантиметров, а 9 миллиметров, и разделили их общую длину на 10 равных частей, то разность между одним делением масштаба и одним делением нониуса равнялась бы 0,01 см. Следовательно, помощью такого нониуса мы могли бы измерять мелкие предметы с точностью до 0,1 миллиметра.
Нониус обычно применяется в форме так наз. «штангенциркуля», употребляемого для точного измерения мелких предметов. Иногда нониусом снабжается и «микрометр» – инструмент для точного измерения толщины.
Сходным образом может быть устроен нониус для точного измерения дуг. Если 9 градусных делений разделить на 10 частей, то так устроенный нониус позволит измерять дуги с точностью до 0,1 градуса, т. е. до 6.
64. На черт. 160 показано, как можно воспользоваться метром, чтобы разделить ширину доски на равные части. На чем этот способ основан?
Р е ш е н и е. Мы имеем в этом случае ряд параллельных прямых, проведенных через равноудаленные друг от друга точки одной стороны угла; они должны отсечь от другой стороны угла (т. е. от края доски) равные отрезки.
65. Середины сторон прямоугольника с диагональю 10 см последовательно соединены прямыми линиями. Найти обвод образовавшегося четырехугольника.
Р е ш е н и е. Каждая сторона этого четырехугольника равна половине диагонали (как линия, соединяющая середину двух сторон треугольника), т. е. 5 см. Значит обвод четырехугольника = 20 см.
§ 58. Средняя линия трапеции
Предварительные упражнения
На черт. 161 прямые АВ и CD параллельны. Прямая KLпроведена через середину О отрезка EF. Докажите, что треугольники КОЕ и FOL равны.
В четырехугольнике AFED (черт. 155) сторона AF-DEи параллельна ей. Докажите, что этот четырехугольник есть параллелограмм.
С р е д н е й л и н и е й трапеции называется прямая, соединяющая середины ее непараллельных сторон (черт. 162). Этот отрезок обладает следующим свойством:
с р е д н я я л и н и я т р а п е ц и и р а в н а п о л у с у м м е е е о с н о в а н и й.
Удостовериться в этом можно так. Пусть в трапеции ABCD (черт. 163) прямая EF есть средняя линия, т. е. соединяет середины непараллельных сторон АВ и DC. Проведем через точку F прямую, параллельную АВ и продолжим AD до пересечения с сейчас проведенной линией. Треугольники FDM и FNCравны (УСУ), следовательно, MD = NC. Четырехугольник EBNF есть параллелограмм (EB= l/2AB; FN = 1/2MN; AB-=MN; значит, ЕВ равно и параллельно FN и т. д.); поэтому EF= BN. Точно так же EF= AM. Зная это, пишем:
а откуда:
EF = BC + AD/2
Мы убедились, что во всякой трапеции средняя линия равна полусумме ее оснований. Вспомнив, что площадь трапеции равна полусумме ее оснований, умноженной на ее высоту, мы можем высказать следующим образом правило вычисления площади трапеции:
п л о щ а д ь т р а п е ц и и р а в н а е е с р е д н е й л и н и и, у м н о ж е н н о й н а в ы с о т у.
Повторительные вопросы к §§ 57 и 58
Что называется средней линией треугольника? – Каким свойством она обладает? – Как разделить данный отрезок на несколько равных частей? – Начертите какой-нибудь отрезок и разделите его на 3 равные части. – Разделите взятый вами отрезок на 7 равных частей. – Что называется средней линией трапеции? – Каким свойством она обладает? – Как можно вычислить площадь трапеции, если известны ее высота и средняя линии?
Применения
66. Фигура АВCD (черт. 164) ограничена прямой AD, двумя перпендикулярами АВ и CDи кривой ВС. Чтобы определить ее площадь, отрезок ADразделен на 5 равных частей, и из середины этих отрезков 1, 2, 3, 4, 5 восстановлены перпендикуляры к AD. Длина отрезка AD= 80 см; длины перпендикуляров: в точке 1 – 28 см, в 2 – 31 см, в.3 – 31,5 см, в 4 -32 см, в 5 – 34 см. Найти площадь АВСD.
Р е ш е н и е. Площадь первой слева полосы = 28 16 = = 448 кв. см, второй – 31 16 = = 496 кв. см, третьей – 31,5 16 = = 504кв. см, четвертой – 32 16 = 512 кв. см, пятой – 34 16 = 544 кв. см. Искомая площадь = 2 500 кв. см.
§ 48. Равнобедренный треугольник
С основными свойствами всякого треугольника мы познакомились в §§ 15–22. Самые главные из них следующие: сумма углов треугольника равна 180°; треугольники равны друг другу или по трем сторонам, или по двум сторонам и углу между ними, или по одной стороне и двум углам (для краткости мы обозначили эти случаи так: ССС, СУС, УСУ). Теперь познакомимся с некоторыми новыми свойствами треугольников.
Предварительные упражнения
Укажите равные треугольники в фигуре черт. 134, где АВ = АС, a AD– равноделящая угла А.
Каковы углы ADB и ADС на черт. 134: острые или тупые?
Мы знаем, что в р а в н ы х треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Покажем, что и
в о д н о м и т о м ж е т р е у г о л ь н и к е п р о т и в р а в н ы х с т о р о н л е ж а т р а в н ы е у г л ы.
Пусть у нас взят треугольник ABC (черт. 135), в котором сторона АВ равна стороне АС. Легко убедиться, что в таком треугольнике углы В и С, лежащие против равных сторон, равны между собой. Если в нашем треугольнике проведем (черт. 136) равноделящую АD угла А, она разобьет ABCна два треугольника: АDB и АDС, которые равны между собой (СУС). По этому угол В, лежащий против AD, равен углу С, лежащему против той же общей стороны.
Треугольник с двумя равными сторонами называетс я р а в н о б е д р е н н ы м; его равнее стороны называются б о к о в ы м и с т о р о н а м и этого треугольника, а третья сторона – его о с н о в а н и е м.
Поэтому рассмотренное сейчас свойство треугольника можно высказать короче так:
в р а в н о б е д р е н н о м т р е у г о л ь н и к е у гл ы п р и о с н о в а н и и р а в н ы.
Можно удостовериться и в обратном соотношении: если в треугольнике имеются равные углы, то стороны, лежащие против этих углов, – равны; или-короче сказать:
в т р е у г о л ь н и к е п р о т и в р а в н ы х у г л о в л е ж а т р а в н ы е с т о р о н ы.
Чтобы убедиться в этом, возьмем треугольник (черт. 135), в котором два угла равны: уг. B = уг. C. Проведем (черт. 136) равноделящую AD; в образовавшихся двух треугольниках ADB и ADCсторона AD – общая, уг. BAD = уг. CAD, уг. В = уг. C; следовательно, треугольники равны (УСУ), и потому АВ = АС.
Применения
52. Огород имеет форму равнобедренного треугольника, одна сторона которого на 40 м длиннее другой. Обвод огорода 200 м. Какова длина каждой стороны? Сколько решений имеет эта задача?
Р е ш е н и е. Если оcнование этого треуголь ника больше боковых сторон, то, обозначив его через х, имеем уравнение
х + х – 40 + х – 40 = 200,
из которого находим: х =280/3 = 93 1/3 м.
Значит, в таком случае стороны треугольника имеют длину: 93 1/3 м, 531/3 м и 531/3 м.
Если же основание к о р о ч е боковых сторон, то составляем уравнение
y + y + 40 + y + 40 = 200,
из которого y = 40 м. Следовательно, второе решение задачи 40 м, 80 м и 80 м.
53. Кровля, в зависимости от материала, из которого она сделана, должна составлять с горизонтальной линией следующие углы (черт. 137):
Железная и цинковая. . . 30°
Толевая. . . . . . . . . . 18°
Черепичная. . . . . . . . 40°
Тесовая. . . . . . . . . . 45°
Соломенная. . . . . . . . 60°
Зная это, определите, какой угол должны составлять между собой стропильные ноги двускатной крыши в каждом случае.
Р е ш е н и е. Для железной кровли искомый угол равен 180° – 2 ? 300 = 120°; для толевой 180° – 2 ? 18° = 144°; для черепичной 180° – 2 ? 40° = 100°; для тесовой 180° – 2 ? 45° = 90°; для соломенной 180° – 2 ? 60° = 60°.
§ 49. Угол, опирающийся на диаметр
Из свойств равнобедренного треугольника вытекает следующая особенность угла, вписанного в полукруг (черт. 138) или: как его иначе называют – «опирающего на диаметр»:
У г о л, о п и р а ю щ и й с я н а д и а м е т р, р а в е н п р я м о м у.
«Опирающимся на диаметр», или «вписанным в полукруг» называют такой угол, вершина которого лежит на дуге окружности, а стороны проходят через концы диаметра; таковы углы: 1 на черт. 138 и 2 на черт. 139. Желая удостовериться, что такой угол во всех случаях равен 90°, мы соединяем центр О полукруга (черт. 140) с вершиной В угла. Получаем два равнобедренных треугольника АОВ и ВОС (почему они равнобедренные?). В них
уг. 2 = уг. 1
уг. 3 = уг. 4.
Отсюда уг. 2 + уг. 3 (т. е. уг. АВС) = уг. 1 + уг. 4. Но так как уг. АВС + уг. 1 + уг. 4 = 180°, то уг. ABC= 90°.
Этим свойством окружности пользуются нередко для того, чтобы в изделиях проверять полуокружность помощью чертежного треугольника (как?).
§ 50. Прямоугольный треугольник
В треугольнике, мы знаем, может быть только один прямой угол. Такой треугольник называется п р я м о у г о л ь н ы м. Стороны прямоугольного треугольника имеют особые названия: каждая из сторон, между которыми лежит прямой угол, называется к а т е т о м, а сторона против прямого угла называется г и п о т е-н у з о й.
Применения
54. Через точку С (черт. 141) на прямой MNнужно провести перпендикуляр. Как это сделать?
Р е ш е н и е. Отложив (черт. 142) от С в обе стороны по какому-нибудь равному отрезку, т. е. CA= CB, описываем около А и В, как центров, каким-нибудь радиусом дуги; прямая PC, соединяющая точку Р пересечения дуг с точкой С, перпендикулярна к МN. Действительно, треугольники АР С и ВРС, получающиеся после соединения А и В с P, равны (СУС); следовательно, уг. АСР = уг. ВСР, а так как эти углы смежные, то они – прямые.
55. Через точку С (черт. 143) вне прямой МN про вести к этой прямой перпендикуляр.
Р е ш е н и е. Около точки С, как около центра, описываем каким-нибудь радиусом дугу АВ (черт. 144);
затем около точек А и В каким-нибудь радиусом описываем дуги D. Прямая DС перпендикулярна к МN. Чтобы убедиться в этом, соединим С и Dс А и В.
Треугольники ACDи ВCD равны (ССС), следовательно, уг. ACD= уг. DCВ, и значит, треугольник АСО = ВСО (СУС). Отсюда уг. AОС = уг. ВОС, а так как эти углы смежные, то они прямые.
56. Объясните, почему каждая точка М прямой ВM, делящей пополам угол АВС (черт. 145) одинаково отстоит от сторон АВ и ВС угла (т. е. почему, например, MK= ML?).
Р е ш е н и е. Треугольники ВML и ВМК равны (УСУ).
§ 51. Равносторонний треугольник
Треугольник с тремя равными сторонами называется р а в н о с т о р о н н и м. Так как против равных сторон в одном и том же треугольнике лежат равные углы, то все углы равностороннего треугольника равны, и, следовательно, каждый из них равен. 180°: 3 = 60°.
Обратно: если каждый угол треугольника равен 60°, то все стороны такого треугольника одинаковы, – потому что, против равных углов в одном и том же треугольнике лежат, равные стороны.
Применения
57. Без транспортира построить угол в 60°. В 30°. В 15°. В 120°. В 75°.
Р е ш е н и е. Строим равносторонний треугольник произвольных размеров; каждый его угол = 60°. Разделив угол этого треугольника пополам, получим угол в 30°. Разделив еще раз пополам, будем иметь угол в 15°. Угол в 120° = 90° + 30°. Угол в 75° =60° + 15° = 90° – 15°.
§ 52. Катет против угла в 30°
Предварительное упражнение
Равносторонний треугольник разбит равноделящей одного из углов на два треугольника. Определить их углы.
уг. D= 60°; а так как и уг. ABD= 60°, то треугольник ABD– равносторонний, и следовательно, AD= АВ. Но АС = 1/2 АD (почему?); отсюда АС = 1/2 АВ.
Итак, мы убедились, что
к а т е т п р о т и в у г л а в 30° р а в е н п о л о в и н е г и п о т е н у з ы.
Применения
58. Лестница длиною 6 м приставлена к фонарному столбу под углом 30° к нему (черт 148). Каково расстояние от основания лестницы до основания фонаря?
Р е ш е н и е. Так как катет против 30° равен половине гипотенузы, то искомое расстояние = 3 м.
59. Длина стропильной ноги АС (черт. 137) вдвое больше высоты ADстропильной фермы. Определить угол наклона этой кровли к горизонту.
Р е ш е н и е. Искомый угол СAD = 30°, так как только при таком условии CD равно половине АС.
Пусть у нас имеется прямоугольный треугольник (черт. 146) ABC, один угол которого, именно В, равен 30°. Перегнем мысленно треугольник по катету ВС. Тогда займет положение ВСD (черт. 147), при чем CD составит продолжение АС, потому что уг. ВСD + ВСА = развернутому. Уг. СВD = уг. ABC= 30°; значит, уг. А = 60°;
§ 53. Неравные стороны и углы
Мы знаем, что если в треугольнике есть равные стороны, то углы, лежащие против них, тоже равны. Рассмотрим теперь, каково соотношение между сторонами и углами в случае н е р а в н ы х сторон.
Предварительное упражнение
В фигуре черт. 149 укажите какой угол больше: уг. 1 или у г. 2?
В фигуре черт. 151 АВ = AD. Какой угол больше; уг. С или у г. 1?
Покажем, что в
т р е у г о л ь н и к е с н е р а в н ы м и с т о р о н а м и п р о т и в б о л ь ш е й с т о р о н ы л е ж и т б о л ь ш и й у г о л. Пусть в треугольнике АВС (черт. 150) сторона АС больше «стороны АВ. Отложим от вершины образуемого ими угла меньшую сторону АВ на большей АС получим точку D. Соединив Dс В, имеем равнобедренный треугольник ABD, в котором угол 1 = уг. 2. Угол С меньше угла 1, а значить, подавно меньше угла. ABC. Таким образом мы убеждаемся, что против большей стороны [АС] лежит больший угол [ABC].
Нетрудно удостовериться, что и обратно: если в треугольнике имеются неравные углы, то
п р о т и в б о л ь ш е г о у г л а л е ж и т б о л ь ш а я с т о р о н а.
Пусть мы знаем, что в треугольнике (черт. 151) ABC уг. А больше угла С. Тогда сторона ВС не может быть равна АВ: иначе уг. А равнялся бы углу С; не может сторона ВС быть и м е н ь ш е: АВ – тогда уг. А был бы м е н ь ш е угла С (а мы знаем, что уг. А б о л ь ш е уг. С). Не равен и не меньше, значит – больше.
Применения
60. Что больше: гипотенуза или катет?
Р е ш е н и е. Гипотенуза, как сторона, лежащая против самого большого угла треугольника, длиннее каждого катета.
61. Угол при вершине равнобедренного треугольника = 70°. Что длиннее: основание или боковая сторона?
Р е ш е н и е. Углы при основании равны (180°-70°) / 2 = 65°.
Так как угол прш вершине больше, то основание больше боковых сторон.
Повторительные вопросы к §§ 48–53
Каково соотношение между углами треугольника, две стороны которого равны? – каково соотношение между сторонами треугольника, имеющего два равных угла? – Каковы соотношения в треугольнике с неравными сторонами? – С нерав-нымиуглами? – Какой треугольник называется равнобедренным? – Какая сторона такого треугольника называется боковой? – Какая называется основанием? – Как называется треугольник, имеющий два равных угла? – Сколько градусов в угле, опирающемся на диаметр? – Какой треугольник называется прямоугольным? – Что называется гипотенузой? – Катетами? – По каким признакам можно установить равенство прямоугольных треугольников? – Какой треугольник называется равносторонним? – Как велики его углы? – Каково соотношение между гипотенузой и катетом, лежащим против угла в 1/3 прямого?
§ 54. Перпендикуляр, наклонная, проекция
Если из точки проведен к прямой перпендикуляр, – например, CD (черт. 152), то точка D называется
о с н о в а н и е м п е р п е н д и к у л я р а. Всякая другая линия, проведенная через точку С к прямой А В, встречает ее не под прямым углом (почему?) и называется наклонной; например, СЕ, CF – наклонные. Точки Е, F – о с н о в а н и я наклонных.
Расстояния DE, DF от основания перпендикуляра до оснований наклонных называются проекциями этих наклонных: DE – проекция наклонной СЕ, a DF – проекция наклонной CF.
Рассмотрим некоторые соотношения между перпендикуляром, наклонными и их проекциями.
1) Перпендикуляр короче каждой наклонной, проведенной к той же прямой из той же точки. Например, CD на черт. 152 короче, чем CF и чем СЕ, потому что катет короче гипотенузы. Перпендикуляр есть поэтому самое короткое расстояние от точки до прямой. Когда говорят о расстоянии точки от какой-нибудь прямой, то имеют в виду именно к р а т ч а й ш е е расстояние,
т. е. п е р п е н д и к у л я р из точки на эту прямую.
2) Если из какой-нибудь точки проведены к прямой две наклонные о д и н а к о в о й длины, – напр., АВ и АС на черт. 153, то проекции этих наклонных р а в н ы. В самом деле: треугольники ABD и ACD имеют общий катет AD, равные гипотенузы АВ и АС и кроме того, уг. B= уг. С (§ 52); поэтому они равны (СУС), и значит, катет ОВ = катету DC.
3) Обратно: если равны проекции двух наклонных, проведенных к прямой из одной точки, то эти наклонные имеют одинаковую длину. Если бы на черт. 153 нам не было известно, что наклонные АВ и АС равны, но взамен этого мы знали бы, что BD= DC, то установили бы равенство АВ и АС из равенства прямоугольных треугольников ADB и ADC(СУС).
§ 55. Следствие предыдущего параграфа
Сейчас мы установили, что при равных проекциях наклонные равны. Отсюда вытекает важное свойство перпендикуляра, проведенного через середину стороны. А именно: если через середину С отрезка АВ (черт. 154) проведена перпендикулярно к нему прямая EF, то каждая точка этого перпендикуляра удалена от концов отрезка одинаково. Например, точка М одинаково отстоит от точек А и В. Это следует из того, что проекции ВС и АС наклонных MB и МА равны, – значит, равны и наклонные. Точно также равны расстояния NА и NB. Вообще
к а ж д а я т о ч к а п е р п е н д и к у л я р а, п р о в е д е н н о г о ч е р е з с е р е д и н у о т р е з к а, о д и н а к о в о
у д а л е н а о т к о н ц о в э т о г о о т р е з к а.
Другое следствие § 54 дает нам полезный признак равенства прямоугольных треугольников:
п р я м о у г о л ь н ы е т р е у г о л ь н и к и р а в н ы п о г и п о т е н у з е и к а т е т у.
Чтобы убедиться в этом, приложим друг к другу сравниваемые треугольники равными катетами (черт. 136). Тогда гипотенузы, как равные наклонные, должны иметь равные проекции, т. е. другие катеты этих треугольников должны быть равны. Значит, треугольники равны (ССС).
Повторительные вопросы к §§ 54–55
Покажите на чертеже, что называется наклонной линией, основанием перпендикуляра, основанием наклонной, проекцией. – Что длиннее: перпендикуляр или наклонная? – Что называется расстоянием от точки до прямой линии? – Каково соотношение между длиною наклонных в случае равенства проекций? – Каким свойством обладает прямая, проведенная перпендикулярно к отрезку через его середину? – Перечислите все известные вам признаки равенства прямоугольных треугольников.
Применения
62. Извилистый ручей протекает между двумя селениями. Как разыскать все места ручья, одинаково ударенные от обоих селений?
Р е ш е н и е. Соединив селения прямой линией, провешивают через ее середину перпендикуляр. Все точки пересечения этого перпендикуляра с ручьем и будут искомые.
63. Где надо поместить фонарь внутри треугольного участка, чтобы все углы «его были освещены одинаково?
Р е ш е н и е. Искомая точка должна быть одинаково удалена от всех вершин треугольника. Сначала найдем все те точки, которые одинаково отстоят от двух вершин: для этого проведем перпендикуляр через середину одной. стороны треугольника. Затем проведем перпендикуляр через середину другой стороны: на нем расположены все точки, равноудаленные от двух других вершин. Искомая точка лежит на пересечении обоих перпендикуляров.
§ 56. Средняя линия треугольника
Предварительное упражнение
В треугольнике АВС (черт. 155) точка Dесть середина А В, а прямая EFпараллельна АВ. Докажите: 1) что треугольник FCE= треугольнику DBE; 2) что фигура ADEF– параллелограмм.
Средней линией треугольника называется прямая, соединяющая середины двух его сторон (DEна черт. 155). Этот отрезок обладает следующими свойствами:
с р е д н я я л и н и я т р е у г о л ь н и к а п а р а л л е л ь н а п р о т и в о л е ж а щ е й с т о р о н е и р а в н а е е
п о л о в и н е.
Удостоверимся в этом. Пусть в треугольнике АBС (черт 155) прямая DE соединяет середины сторон; покажем, что она параллельна стороне АС и равна ее половине. Для этого через точку Е проведем EF параллельно АВ. Треугольники DBE и FEC равны (почему?), поэтому уг. 1 = уг. 2, и значит, DE параллельно АС; кроме того DE = FCA так как четырехугольник ADEF есть параллелограмм (почему?), то
DE = AF. Итак, DE = FC = AF = ? AC.
§ 57. Деление отрезка на равные части
Мы умеем с помощью циркуля и линейки делить отрезок только на 2, на 4, на 8 и т. д. число равных частей (§ 21). Укажем теперь способ делить отрезок на любое число равных частей.
Пусть потребуется отрезок АВ (черт. 156) разделить на 5 равных частей. Проведем от одного конца этого отрезка, например, от В, под произвольным углом прямую ВС. На этой прямой отложи от конца В пять раз какой-нибудь отрезок; получим точки 1, 2, 3, 4, 5. Последнюю точку 5 соединим с концом А данного отрезка и ч через точ-ки1, 2, 3, 4 проведем прямые, параллельные прямой A5. Можно указать, что эти прямые разделят отрезок АB на 5 равных частей в точках I, II, III, IV.
Для доказательства проведем через точки I, II, III,IV прямые, параллельные ВC (черт. 157). Получим треугольники В1I, ICII, IIDIII, IIIЕIV, IVFА, у которых В—I, I–II, II–III, III–IV, IV—A равны между собою (потому что каждая из них, кроме 1–1, равна противоположной стороне параллелограмма, а В-1, В-2, 2–3, 3–4, 4–5 равны друг другу). Из равенства же указанных треугольников (СУС) вытекает равенство отрезков B-I, 1-11, II–III, III–IV, IV–V.
Применения
Н о н и у с. Ш т а н г е н ц и р к у л ь
Умея делить прямолинейные отрезки на любое число частей, можно изготовить приспособление, полезное для точных измерений – так называемый «нониус».
Для примера рассмотрим следующий простейший нониус. Полоску AВ (масштаб, черт. 158) длиною в 9 см разделим на 10 равных частей; по 0,9 см каждая; получим полоску CD(нониус). Пусть теперь требуется измерить длину небольшого предмета М. Прикладываем его к полоскам АВ и CD, как показывает черт. 159, и замечаем, какие деления обеих полосок совпадают. Предположим, что совпали 6-е деления. Это показывает, что длина предмета равна разнице между 6-ю делениями масштаба ПАВ и 6-ю делениями нониуса. Но 6 делений полоски АВ = 6 см, а 6 делений нониуса = 6 0,9 = 5,4 см. Следовательно, длина предмета равна 6 – 5,4 = 0,6 см. Вообще, длина измеряемого предмета равна стольким десятым долям деления масштаба, сколько единиц в совпадающих делениях масштаба и нониуса.
Если бы мы для изготовления нониуса взяли не 9 сантиметров, а 9 миллиметров, и разделили их общую длину на 10 равных частей, то разность между одним делением масштаба и одним делением нониуса равнялась бы 0,01 см. Следовательно, помощью такого нониуса мы могли бы измерять мелкие предметы с точностью до 0,1 миллиметра.
Нониус обычно применяется в форме так наз. «штангенциркуля», употребляемого для точного измерения мелких предметов. Иногда нониусом снабжается и «микрометр» – инструмент для точного измерения толщины.
Сходным образом может быть устроен нониус для точного измерения дуг. Если 9 градусных делений разделить на 10 частей, то так устроенный нониус позволит измерять дуги с точностью до 0,1 градуса, т. е. до 6.
64. На черт. 160 показано, как можно воспользоваться метром, чтобы разделить ширину доски на равные части. На чем этот способ основан?
Р е ш е н и е. Мы имеем в этом случае ряд параллельных прямых, проведенных через равноудаленные друг от друга точки одной стороны угла; они должны отсечь от другой стороны угла (т. е. от края доски) равные отрезки.
65. Середины сторон прямоугольника с диагональю 10 см последовательно соединены прямыми линиями. Найти обвод образовавшегося четырехугольника.
Р е ш е н и е. Каждая сторона этого четырехугольника равна половине диагонали (как линия, соединяющая середину двух сторон треугольника), т. е. 5 см. Значит обвод четырехугольника = 20 см.
§ 58. Средняя линия трапеции
Предварительные упражнения
На черт. 161 прямые АВ и CD параллельны. Прямая KLпроведена через середину О отрезка EF. Докажите, что треугольники КОЕ и FOL равны.
В четырехугольнике AFED (черт. 155) сторона AF-DEи параллельна ей. Докажите, что этот четырехугольник есть параллелограмм.
С р е д н е й л и н и е й трапеции называется прямая, соединяющая середины ее непараллельных сторон (черт. 162). Этот отрезок обладает следующим свойством:
с р е д н я я л и н и я т р а п е ц и и р а в н а п о л у с у м м е е е о с н о в а н и й.
Удостовериться в этом можно так. Пусть в трапеции ABCD (черт. 163) прямая EF есть средняя линия, т. е. соединяет середины непараллельных сторон АВ и DC. Проведем через точку F прямую, параллельную АВ и продолжим AD до пересечения с сейчас проведенной линией. Треугольники FDM и FNCравны (УСУ), следовательно, MD = NC. Четырехугольник EBNF есть параллелограмм (EB= l/2AB; FN = 1/2MN; AB-=MN; значит, ЕВ равно и параллельно FN и т. д.); поэтому EF= BN. Точно так же EF= AM. Зная это, пишем:
а откуда:
EF = BC + AD/2
Мы убедились, что во всякой трапеции средняя линия равна полусумме ее оснований. Вспомнив, что площадь трапеции равна полусумме ее оснований, умноженной на ее высоту, мы можем высказать следующим образом правило вычисления площади трапеции:
п л о щ а д ь т р а п е ц и и р а в н а е е с р е д н е й л и н и и, у м н о ж е н н о й н а в ы с о т у.
Повторительные вопросы к §§ 57 и 58
Что называется средней линией треугольника? – Каким свойством она обладает? – Как разделить данный отрезок на несколько равных частей? – Начертите какой-нибудь отрезок и разделите его на 3 равные части. – Разделите взятый вами отрезок на 7 равных частей. – Что называется средней линией трапеции? – Каким свойством она обладает? – Как можно вычислить площадь трапеции, если известны ее высота и средняя линии?
Применения
66. Фигура АВCD (черт. 164) ограничена прямой AD, двумя перпендикулярами АВ и CDи кривой ВС. Чтобы определить ее площадь, отрезок ADразделен на 5 равных частей, и из середины этих отрезков 1, 2, 3, 4, 5 восстановлены перпендикуляры к AD. Длина отрезка AD= 80 см; длины перпендикуляров: в точке 1 – 28 см, в 2 – 31 см, в.3 – 31,5 см, в 4 -32 см, в 5 – 34 см. Найти площадь АВСD.
Р е ш е н и е. Площадь первой слева полосы = 28 16 = = 448 кв. см, второй – 31 16 = = 496 кв. см, третьей – 31,5 16 = = 504кв. см, четвертой – 32 16 = 512 кв. см, пятой – 34 16 = 544 кв. см. Искомая площадь = 2 500 кв. см.
IX. МНОГОУГОЛЬНИКИ
§ 59. Cуммa углов многоугольника
Мы знаем, что сумма углов у всех треугольников одна и та же (180°). Рассмотрим теперь, одинакова ли сумма углов у всех четырехугольников, у всех пятиугольников – вообще у всех «одноименных» многоугольников.
Для примера возьмем ш е с т и у г о л ь н и к (черт. 165). Проведем из какой-нибудь его вершины, напр., из A, диагонали к прочим вершинам. Мы разобьем этим наш шестиугольник на 4 треугольника. Сумма углов каждого из них 180°, а всех четырех вместе-180° 4. Но это и есть, как легко понять, сумма всех углов нашего шестиугольника.
Каковы бы ни были форма и размеры шестиугольника, он разбивается на 4 треугольника, и следовательно, сумма углов всякого шестиугольника = 180° 4 = 720°.
Если бы вместо шестиугольника, мы взяли многоугольник с другим числом сторон, например, девяти-угольник, то разбили бы его диагоналями не на 4, а на 7 треугольников; поэтому сумма углов всякого девяти-угольника равна 180° 7= 1260°.
Таким же образом найдем, что сумма углов всякого четырехугольника 180° 2 = 360°, пятиугольника 180° 3 = 540° и т. д.
Нетрудно подметить общее правило: с у м м а у г л о в в с я к о г о м н о г о у г о л ь н и к а р а в н а 180° у м н о ж е н н ы м н а ч и с л о е г о с т о р о н б е з д в у х.
§ 60. Правильные многоугольники
Многоугольник, у которого все углы и все стороны одинаковы называются п р а в и л ь н ы м.
Величину каждого угла правильного многоугольника легко вычислить, раз мы умеем вычислять сумму всех этих углов и знаем, что они одинаковы. Например, каждый угол правильного пятиугольника равен 540°/5= 108°,
правильного шестиугольника равен 720°/6= 120°, и т. д.
Применения
67. Как убедиться, что шестиугольными плитками можно покрыть пол сплошь, без промежутков?
Р е ш е н и е. Сумма углов правильного шестиугольника равна 180° [6 – 2] = 720°, и следовательно, каждый из внутрених углов = 720°/6 =120°.Так как сумма углов, расположенных вокруг общей вершины, равна 360°, то разделив 360: 120, узнаем, что, углы трех соседних плиток, должны плотно примкнуть друг к другу.
68. Можно ли сплошь покрыть пол восьмиугольными плитками?
Решение. Внутренний угол правильного восьмиугольника = 180°[8–2]/ 8 = 125°. Так как этот угол не содержится в 360° целое число раз то покрыть такими плитками пол с п л о ш ь нельзя.
§ 59. Cуммa углов многоугольника
Мы знаем, что сумма углов у всех треугольников одна и та же (180°). Рассмотрим теперь, одинакова ли сумма углов у всех четырехугольников, у всех пятиугольников – вообще у всех «одноименных» многоугольников.
Для примера возьмем ш е с т и у г о л ь н и к (черт. 165). Проведем из какой-нибудь его вершины, напр., из A, диагонали к прочим вершинам. Мы разобьем этим наш шестиугольник на 4 треугольника. Сумма углов каждого из них 180°, а всех четырех вместе-180° 4. Но это и есть, как легко понять, сумма всех углов нашего шестиугольника.
Каковы бы ни были форма и размеры шестиугольника, он разбивается на 4 треугольника, и следовательно, сумма углов всякого шестиугольника = 180° 4 = 720°.
Если бы вместо шестиугольника, мы взяли многоугольник с другим числом сторон, например, девяти-угольник, то разбили бы его диагоналями не на 4, а на 7 треугольников; поэтому сумма углов всякого девяти-угольника равна 180° 7= 1260°.
Таким же образом найдем, что сумма углов всякого четырехугольника 180° 2 = 360°, пятиугольника 180° 3 = 540° и т. д.
Нетрудно подметить общее правило: с у м м а у г л о в в с я к о г о м н о г о у г о л ь н и к а р а в н а 180° у м н о ж е н н ы м н а ч и с л о е г о с т о р о н б е з д в у х.
§ 60. Правильные многоугольники
Многоугольник, у которого все углы и все стороны одинаковы называются п р а в и л ь н ы м.
Величину каждого угла правильного многоугольника легко вычислить, раз мы умеем вычислять сумму всех этих углов и знаем, что они одинаковы. Например, каждый угол правильного пятиугольника равен 540°/5= 108°,
правильного шестиугольника равен 720°/6= 120°, и т. д.
Применения
67. Как убедиться, что шестиугольными плитками можно покрыть пол сплошь, без промежутков?
Р е ш е н и е. Сумма углов правильного шестиугольника равна 180° [6 – 2] = 720°, и следовательно, каждый из внутрених углов = 720°/6 =120°.Так как сумма углов, расположенных вокруг общей вершины, равна 360°, то разделив 360: 120, узнаем, что, углы трех соседних плиток, должны плотно примкнуть друг к другу.
68. Можно ли сплошь покрыть пол восьмиугольными плитками?
Решение. Внутренний угол правильного восьмиугольника = 180°[8–2]/ 8 = 125°. Так как этот угол не содержится в 360° целое число раз то покрыть такими плитками пол с п л о ш ь нельзя.
X. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОКРУЖНОСТЯХ
§ 61. Разыскание центра. Хорды
На практике нередко возникает надобность разыскать центр данной окружности или дуги. Покажем, как это делается.
Пусть требуется разыскать центр дуги, изображенной на чертеже 167. Возьмем на ней две произвольные точки, – напр. А и В (черт. 168). Центр круга должен быть, конечно, одинаково удален от каждой из них. А мы знаем, что все точки, одинаково удаленные от двух данных точек, расположены на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка, соединяющего эти две точки (§ 55). Проведя этот перпендикуляр, получаем прямую MN(черт. 169), на которой и должен находиться искомый центр дуги. Чтобы узнать, какая именно, из точек этой прямой есть центр дуги, мы избираем на той же дуге другую пару точек, – например, С и Р (черт. 170) и, прилагая к ним те же рассуждения, проводим перпендикуляр LК к середине соединяющей их прямой. Точка О пересечения обоих перпендикуляров и есть искомый центр дуги.
Прямая, соединяющая две точки окружности (или дуги), называется хордой. Поэтому сейчас установленное свойство можно высказать так:
п е р п е н д и к у л я р, п р о в е д е н н ы й ч ер е з с е р е д и н у х о р д ы, п р о х о д и т ч е р е з ц е н т р о к р у ж н о с т и.
Справедливо и обратное утверждение, а именно:
п е р п е н д и к у л я р, п р о в е д е н н ы й к х о р д е ч е р е з ц е н т р к р у г а, п р о х о д и т ч е р е з с е р е д и н у х о р д ы.
Или короче: д и а м е т р, п е р п е н д и к у л я р н ы й к х о р д е, д е л и т е е п о п о л а м.
Действительно: если бы он не проходил через ее середину, то вышло бы (черт. 171), что равные наклонные [ОA и ОВ] имеют не равные проекции [АС и ВС], – а этого, мы знаем, быть не может (§ 54).
Повторительные вопросы
Что называется хордой? – Как называется хорда, проходящая через центр круга? – Как разыскать центр данной дуги, пользуясь хордами? – На каком свойстве хорд основан этот способ? – На какие части делит хорду перпендикуляр к ней, проведенный через центр?
Применения
69. Как убедиться, что хорда не может быть больше диаметра того же круга?
Р е ш е н и е. Хорда CD (черт. 172) короче суммы радиусов СО + ОD (сторона треугольника всегда меньше суммы двух других); следовательно, она меньше и диаметра АOD так как OC= OD= AO = OB.
70. Чему равна хорда, составляющая с диаметром угол в 60°?
Р е ш е н и е. Соединив конец C хорды (черт. 173) с концом Aдиаметра, получим прямоугольный треугольник, так как угол C – прямой. Угол A = 30°, и, значит, BC = половине диаметра AB = радиусу (§ 52).
§ 62. Касательные ц их построение
Другой способ нахождения центра (напр., точеных изделий) – помощью особого инструмента, «центроиска-теля» – основан на свойствах так наз. касательных линий. К а с а т е л ь н о й к окружности называется всякая прямая линия, которая в точке встречи с окружностью перпендикулярна радиусу, проведенному к этой точке. Например, на черт. 174 прямые АВ, CD и EF– касательные к окружности АСЕ. Точки А, С, Е называются «точками касания». Особенность касательной, линии та, что она и м е е т с о к р у ж н о с т ь ю т о л ь к о о д н у о б щ у ю т о ч к у. Действительно, если бы у касательной AB(черт. 175) была с окружностью, кроме этой еще одна общая точка, напр., С, то, соединив ее с центром, мы получили бы равнобедренный треугольник СОА с двумя прямыми углами СА, а это, мы знаем, невозможно (почему?).
С линиями, касательными к окружности, мы встречаемся весьма часто в практической жизни. Веревка, перекинутая через блок, занимает в своих натянутых частях положение касательных прямых к окружности блока. Ремни талей (сочетания нескольких блоков, черт. 176) располагаются по линии общих касательных к окружности колес. Передаточные ремни шкивов тоже занимают положение общих касательных к окружностям шкивов «внешних» касательных в так наз. открытой передаче и «внутренних» – в закрытой.
Как через данную точку вне окружности провести к ней касательную? Другими словами: как через точку А (черт. 177) провести прямую АВ, чтобы угол АВО был прямой? Выполняется это следующим образом. Соединяют А с центром О (чертеж 178). Прямую делят пополам и вокруг середины ее В, как центра, описывают окружность радиусом ВО. Иначе говоря, на ОА строят круг, как на диаметре. Точки пересечения С и Dобеих окружностей соединяют с А прямыми линиями: это и будут касательные.
Чтобы в этом убедиться, проведем из центра к точкам С и Dвспомогательные прямые ОС и ОD. Углы ОСА и ODA– прямые, так как они вписаны в полуокружность. А это и значит, что ОС и OD– касательные к окружности.
Рассматривая наше построение, мы видим, между прочим, что из каждой точки вне окружности можно провести к ней д в е касательные. Нетрудно убедиться, что обе эти касательные о д и н а к о в о й д л и н ы, т. е., что AC= AD. Действительно, точка О одинаково удалена от сторон угла А; значит ОА – равноделящая, и следовательно, треугольники ОАС и OADравны (СУС).
Попутно мы установили, что прямая, которая делит пополам угол между обеими касательными, проходит через центр круга. На этом основано устройство прибора для разыскания центра точеных изделий – ц е н т р о и с к а т е л я (черт. 179). Он состоит из двух линеек АВ и АС, укрепленных под углом, и третьей линейки BD, край которой BDделит пополам угол между краями
первых двух линеек. Прибор прикладывают к круглому изделию так, чтобы прилегающие к нему края линеек АВ и ВС соприкасались с окружностью изделия. Края будут при этом иметь с окружностью только по одной общей точке, поэтому край линейки должен, согласно сейчас указанному свойству касательных, пройти через центр круга. Прочертив на изделии по линейке диаметр круга, прикладывают центроискатель к изделию в другом положении и прочерчивают другой диаметр. Искомый центр окажется на пересечении обоих диаметров.
Если нужно провести общую касательную к двум окружностям, т. е. провести прямую линию, которая касалась бы одновременно двух окружностей, то поступают следующим образом. Около центра одной окружности, например, около В (черт. 180), описывают вспомогательную окружность радиусом, равным разности радиусов обеих окружностей. Затем из точки А проводят касательные АС и AD к этой вспомогательной окружности. Из точек А и В проводят прямые, перпендикулярные к АС и AD, до пересечения с данными окружностями в точках E, F, H и G. Прямые, соединяющие Е с F, G с H, будут общие касательные к данным окружностям, так как они перпендикулярны к радиусам AE, CF, AG и DH.
Кроме тех двух касательных, которые сейчас были проведены и которые называются в н е ш н и м и, возможно еще провести две другие касательные, расположенные так, как на черт. 181 (в н у т р е н н и е касательные). Чтобы выполнить это построение, описывают вокруг центра одной из данных окружностей – например, вокруг В – вспомогательную окружность радиусом, равным с у м м е радиусов обеих окружностей. Из точки А проводят к этой вспомогательной окружности касательные. Дальнейший ход построения читатели смогут найти сами.
Повторительные вопросы
Что называется касательной? Сколько общих точек у касательной и окружности? – Как провести касательную к окружности через точку, лежащую вне окружности? – Сколько можно провести таких касательных? – Что такое центроис-катель? – На чем основано его устройство? – Как провести общую касательную к двум окружностям? – Сколько таких касательных?
Применения
71. Два прямых участка дороги соединены дугою так, что прямые участки имеют направление касательных к этой дуге (черт. 182). Угол между прямыми участками – 155°. Найти длину дуги, если радиус ее = 270 метров.
Р е ш е н и е. Из черт. 182 видим, что в четырехугольнике ОВЕС уг. Е – 155°, уг. ОBE – прямой, уг. ОСЕ – прямой. Так как сумма внутренних углов четырехугольника = 180° [4 – 2] – 360°, то угол О = 360° – [155° + 90° + 90°] – 25°. Длина полной окружности радиуса 270 м – 2 ? 3,14 ? 270 = 1700 м, а длина дуги в 25°= 1700 ? 25/360 = 120 м. Искомая длина дуги – 120 метров.
§ 63. Площадь частей круга
Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними, называется круговым сектором (черт. 183). Вычислять площадь сектора легко, если знать, какую часть полной окружности составляет его дуга: такую же долю площади полного круга составляет площадь сектора. Если, например, дуга сектора содержит 60°, т. е. составляет 1/6 окружности, то площадь сектора в 6 раз меньше площади круга.
Если же число градусов в дуге сектора не известно, но известна длина этой дуги в линейных мерах, то площадь сектора вычисляется иначе. Рассуждая как в § 35, можно установить, что
п л о щ а д ь с е к т о р а р а в н а д л и н е е г о д у г и, у м н о ж е н н о й н а п о л о в и н у р а д и у с а. Обозначив длину дуги через l, а радиус через R, имеем для площади Sсектора формулу:
S= ?lR
Другая часть круга, площадь которого приходится вычислять на практике, это та, которая отсекается от круга хордой. Часть круга, ограниченная хордой и дугою круга, называется к р у г о в ы м с е г м е н т о м (черт. 183). Если требуется вычислить площадь сегмента АпВ (черт. 184), то вычитают из площади сектора ОAnВ площадь равнобедренного треугольника АОВ.
Применения
Черт. 184 72. Участок луга имеет форму квадрата со стороною 24 м. К угловому колу на веревке в 10 м длиною привязана лошадь. Найти площадь участка, недоступного лошади.
Р е ш е н и е. Площадь всего луга = 242= 580 кв. м. Из нее надо вычесть площадь сектора, угол которого 90°, а радиус – 10 м; она равна четверти площади круга того же радиуса, т. е. 78 кв. м. Значит, искомая площадь = 580 – 78 = 500 кв. м.
73. Найти площадь сектора, обвод которого 1,36 см, а угол 200°.
Р е ш е н и е. Обозначим радиус сектора через х. Длина дуги такого радиуса, содержащая 20°, равна
2?x ?20/360 = ?x/9
Обвод этого сектора = х + х + ?x/9. Имеем уравнение 2х + ?x/9 = 136, откуда х = 62, и искомая площадь – 780 кв. см.
74. Дуга сегмента содержит 90°. Радиус его– 16 см. Найти его площадь.
Р е ш е н и е. Дуга составляет 3/4 окружности. Площадь соответствующего сектора – 200 кв. см., площадь его треугольной части = ? ?16 ?16 = 128 кв. см. Значит, искомая площадь = 200–128 = 70 кв. см.
§ 61. Разыскание центра. Хорды
На практике нередко возникает надобность разыскать центр данной окружности или дуги. Покажем, как это делается.
Пусть требуется разыскать центр дуги, изображенной на чертеже 167. Возьмем на ней две произвольные точки, – напр. А и В (черт. 168). Центр круга должен быть, конечно, одинаково удален от каждой из них. А мы знаем, что все точки, одинаково удаленные от двух данных точек, расположены на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка, соединяющего эти две точки (§ 55). Проведя этот перпендикуляр, получаем прямую MN(черт. 169), на которой и должен находиться искомый центр дуги. Чтобы узнать, какая именно, из точек этой прямой есть центр дуги, мы избираем на той же дуге другую пару точек, – например, С и Р (черт. 170) и, прилагая к ним те же рассуждения, проводим перпендикуляр LК к середине соединяющей их прямой. Точка О пересечения обоих перпендикуляров и есть искомый центр дуги.
Прямая, соединяющая две точки окружности (или дуги), называется хордой. Поэтому сейчас установленное свойство можно высказать так:
п е р п е н д и к у л я р, п р о в е д е н н ы й ч ер е з с е р е д и н у х о р д ы, п р о х о д и т ч е р е з ц е н т р о к р у ж н о с т и.
Справедливо и обратное утверждение, а именно:
п е р п е н д и к у л я р, п р о в е д е н н ы й к х о р д е ч е р е з ц е н т р к р у г а, п р о х о д и т ч е р е з с е р е д и н у х о р д ы.
Или короче: д и а м е т р, п е р п е н д и к у л я р н ы й к х о р д е, д е л и т е е п о п о л а м.
Действительно: если бы он не проходил через ее середину, то вышло бы (черт. 171), что равные наклонные [ОA и ОВ] имеют не равные проекции [АС и ВС], – а этого, мы знаем, быть не может (§ 54).
Повторительные вопросы
Что называется хордой? – Как называется хорда, проходящая через центр круга? – Как разыскать центр данной дуги, пользуясь хордами? – На каком свойстве хорд основан этот способ? – На какие части делит хорду перпендикуляр к ней, проведенный через центр?
Применения
69. Как убедиться, что хорда не может быть больше диаметра того же круга?
Р е ш е н и е. Хорда CD (черт. 172) короче суммы радиусов СО + ОD (сторона треугольника всегда меньше суммы двух других); следовательно, она меньше и диаметра АOD так как OC= OD= AO = OB.
70. Чему равна хорда, составляющая с диаметром угол в 60°?
Р е ш е н и е. Соединив конец C хорды (черт. 173) с концом Aдиаметра, получим прямоугольный треугольник, так как угол C – прямой. Угол A = 30°, и, значит, BC = половине диаметра AB = радиусу (§ 52).
§ 62. Касательные ц их построение
Другой способ нахождения центра (напр., точеных изделий) – помощью особого инструмента, «центроиска-теля» – основан на свойствах так наз. касательных линий. К а с а т е л ь н о й к окружности называется всякая прямая линия, которая в точке встречи с окружностью перпендикулярна радиусу, проведенному к этой точке. Например, на черт. 174 прямые АВ, CD и EF– касательные к окружности АСЕ. Точки А, С, Е называются «точками касания». Особенность касательной, линии та, что она и м е е т с о к р у ж н о с т ь ю т о л ь к о о д н у о б щ у ю т о ч к у. Действительно, если бы у касательной AB(черт. 175) была с окружностью, кроме этой еще одна общая точка, напр., С, то, соединив ее с центром, мы получили бы равнобедренный треугольник СОА с двумя прямыми углами СА, а это, мы знаем, невозможно (почему?).
С линиями, касательными к окружности, мы встречаемся весьма часто в практической жизни. Веревка, перекинутая через блок, занимает в своих натянутых частях положение касательных прямых к окружности блока. Ремни талей (сочетания нескольких блоков, черт. 176) располагаются по линии общих касательных к окружности колес. Передаточные ремни шкивов тоже занимают положение общих касательных к окружностям шкивов «внешних» касательных в так наз. открытой передаче и «внутренних» – в закрытой.
Как через данную точку вне окружности провести к ней касательную? Другими словами: как через точку А (черт. 177) провести прямую АВ, чтобы угол АВО был прямой? Выполняется это следующим образом. Соединяют А с центром О (чертеж 178). Прямую делят пополам и вокруг середины ее В, как центра, описывают окружность радиусом ВО. Иначе говоря, на ОА строят круг, как на диаметре. Точки пересечения С и Dобеих окружностей соединяют с А прямыми линиями: это и будут касательные.
Чтобы в этом убедиться, проведем из центра к точкам С и Dвспомогательные прямые ОС и ОD. Углы ОСА и ODA– прямые, так как они вписаны в полуокружность. А это и значит, что ОС и OD– касательные к окружности.
Рассматривая наше построение, мы видим, между прочим, что из каждой точки вне окружности можно провести к ней д в е касательные. Нетрудно убедиться, что обе эти касательные о д и н а к о в о й д л и н ы, т. е., что AC= AD. Действительно, точка О одинаково удалена от сторон угла А; значит ОА – равноделящая, и следовательно, треугольники ОАС и OADравны (СУС).
Попутно мы установили, что прямая, которая делит пополам угол между обеими касательными, проходит через центр круга. На этом основано устройство прибора для разыскания центра точеных изделий – ц е н т р о и с к а т е л я (черт. 179). Он состоит из двух линеек АВ и АС, укрепленных под углом, и третьей линейки BD, край которой BDделит пополам угол между краями
первых двух линеек. Прибор прикладывают к круглому изделию так, чтобы прилегающие к нему края линеек АВ и ВС соприкасались с окружностью изделия. Края будут при этом иметь с окружностью только по одной общей точке, поэтому край линейки должен, согласно сейчас указанному свойству касательных, пройти через центр круга. Прочертив на изделии по линейке диаметр круга, прикладывают центроискатель к изделию в другом положении и прочерчивают другой диаметр. Искомый центр окажется на пересечении обоих диаметров.
Если нужно провести общую касательную к двум окружностям, т. е. провести прямую линию, которая касалась бы одновременно двух окружностей, то поступают следующим образом. Около центра одной окружности, например, около В (черт. 180), описывают вспомогательную окружность радиусом, равным разности радиусов обеих окружностей. Затем из точки А проводят касательные АС и AD к этой вспомогательной окружности. Из точек А и В проводят прямые, перпендикулярные к АС и AD, до пересечения с данными окружностями в точках E, F, H и G. Прямые, соединяющие Е с F, G с H, будут общие касательные к данным окружностям, так как они перпендикулярны к радиусам AE, CF, AG и DH.
Кроме тех двух касательных, которые сейчас были проведены и которые называются в н е ш н и м и, возможно еще провести две другие касательные, расположенные так, как на черт. 181 (в н у т р е н н и е касательные). Чтобы выполнить это построение, описывают вокруг центра одной из данных окружностей – например, вокруг В – вспомогательную окружность радиусом, равным с у м м е радиусов обеих окружностей. Из точки А проводят к этой вспомогательной окружности касательные. Дальнейший ход построения читатели смогут найти сами.
Повторительные вопросы
Что называется касательной? Сколько общих точек у касательной и окружности? – Как провести касательную к окружности через точку, лежащую вне окружности? – Сколько можно провести таких касательных? – Что такое центроис-катель? – На чем основано его устройство? – Как провести общую касательную к двум окружностям? – Сколько таких касательных?
Применения
71. Два прямых участка дороги соединены дугою так, что прямые участки имеют направление касательных к этой дуге (черт. 182). Угол между прямыми участками – 155°. Найти длину дуги, если радиус ее = 270 метров.
Р е ш е н и е. Из черт. 182 видим, что в четырехугольнике ОВЕС уг. Е – 155°, уг. ОBE – прямой, уг. ОСЕ – прямой. Так как сумма внутренних углов четырехугольника = 180° [4 – 2] – 360°, то угол О = 360° – [155° + 90° + 90°] – 25°. Длина полной окружности радиуса 270 м – 2 ? 3,14 ? 270 = 1700 м, а длина дуги в 25°= 1700 ? 25/360 = 120 м. Искомая длина дуги – 120 метров.
§ 63. Площадь частей круга
Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними, называется круговым сектором (черт. 183). Вычислять площадь сектора легко, если знать, какую часть полной окружности составляет его дуга: такую же долю площади полного круга составляет площадь сектора. Если, например, дуга сектора содержит 60°, т. е. составляет 1/6 окружности, то площадь сектора в 6 раз меньше площади круга.
Если же число градусов в дуге сектора не известно, но известна длина этой дуги в линейных мерах, то площадь сектора вычисляется иначе. Рассуждая как в § 35, можно установить, что
п л о щ а д ь с е к т о р а р а в н а д л и н е е г о д у г и, у м н о ж е н н о й н а п о л о в и н у р а д и у с а. Обозначив длину дуги через l, а радиус через R, имеем для площади Sсектора формулу:
S= ?lR
Другая часть круга, площадь которого приходится вычислять на практике, это та, которая отсекается от круга хордой. Часть круга, ограниченная хордой и дугою круга, называется к р у г о в ы м с е г м е н т о м (черт. 183). Если требуется вычислить площадь сегмента АпВ (черт. 184), то вычитают из площади сектора ОAnВ площадь равнобедренного треугольника АОВ.
Применения
Черт. 184 72. Участок луга имеет форму квадрата со стороною 24 м. К угловому колу на веревке в 10 м длиною привязана лошадь. Найти площадь участка, недоступного лошади.
Р е ш е н и е. Площадь всего луга = 242= 580 кв. м. Из нее надо вычесть площадь сектора, угол которого 90°, а радиус – 10 м; она равна четверти площади круга того же радиуса, т. е. 78 кв. м. Значит, искомая площадь = 580 – 78 = 500 кв. м.
73. Найти площадь сектора, обвод которого 1,36 см, а угол 200°.
Р е ш е н и е. Обозначим радиус сектора через х. Длина дуги такого радиуса, содержащая 20°, равна
2?x ?20/360 = ?x/9
Обвод этого сектора = х + х + ?x/9. Имеем уравнение 2х + ?x/9 = 136, откуда х = 62, и искомая площадь – 780 кв. см.
74. Дуга сегмента содержит 90°. Радиус его– 16 см. Найти его площадь.
Р е ш е н и е. Дуга составляет 3/4 окружности. Площадь соответствующего сектора – 200 кв. см., площадь его треугольной части = ? ?16 ?16 = 128 кв. см. Значит, искомая площадь = 200–128 = 70 кв. см.
XI. ПОДОБИЕ ФИГУР
§ 64. Подобие многоугольников
Сравнивая между собою фигуры, мы различали до сих пор только два случая: случай равенства фигур и случай их неравенства. Но возможен и третий случай, которого мы еще не рассматривали: фигуры не равны, а п о х о ж и, так что одна представляет уменьшенное п о д о б и е другой. Например, большой и малый квадрат не равны, но имеют совершенно одинаковую форму: один представляет подобие другого (черт. 185). Два равносторонних треугольника, большой и малый, также имеют одинаковую форму (черт. 186).
Такие фигуры, которые имеют различную величину сторон, но одинаковы по форме, называются п о д о б-н ы м и фигурами.
В каком же случае считаем мы, что у двух фигур одинаковая форма? Рассмотрим этот вопрос для двух многоугольников. Для одинаковости формы многоугольники должны прежде всего иметь соответственно равные углы. Если углы одного многоугольника не равны углам другого, мы не назовем эти фигуры одинаковыми по форме (см. фигуры черт. 188). Значит, равенство углов одной фигуры углам другой есть необходимое условие для одинаковости их формы, т. е, для п о д о б и я этих фигур. Но д о с т а т о ч н о ли одного этого условия? Всякие ли две фигуры с соответственно равными углами имеют одинаковую форму? Взгляните на прямоугольники черт. 187. Углы прямоугольника I равны углам прямоугольника II, – однако, мы не скажем, что они одинаковой формы. Почему?
Потому что высота первого больше высоты второго в 2 раза, а основание первого больше основания второго в 5 раз. Стороны этих фигур, как говорят, не п р о п о р ц и о н а л ь н ы: из них нельзя составить пропорции (отношение двух из них не равно отношению двух других). Форма этих четырехугольников была бы одинакова только тогда, когда из их «сходственных» сторон (т. е. из сторон, прилегающих к равным углам) можно составить пропорцию
a/b – h/l
Короче мы можем высказать это условие подобия многоугольников так:
м н о г о у г о л ь н и к и п о д о б н ы, к о г д а и х с х о д с т в е н н ы е с т о р о н ы п р о п о р ц и о н а л ь н ы (т. е.
о т н о ш е н и е д в у х и з н и х р а в н о о т н о ш е н и ю д в у х д р у г и х). Стороны многоугольников могут быть пропорциональны и не будучи сходственными, т. е. не прилегая к равным углам. Например, на черт. 188 каждая сторона квадрата I вдвое длиннее каждой стороны ромба II; значит, стороны этих фигур пропорциональны. Но все-таки эти фигуры не подобны, потому что пропорциональные стороны их не прилегают к равным углам: они не сходственные.
Итак, для подобия, например, многоугольников ABCDE и A1B1C1D1E1 (черт. 189) необходимо:
чтобы
уг. A = уг. A1
уг. B = уг. B1
уг. C = уг. C1
уг. D = уг. D1
уг. E = уг. E1
и, во-вторых, чтобы
(А1– читается «А прим», или «А со знаком»).
§ 65. Подобие треугольников
Сейчас мы установили, что для подобия многоугольников необходимо равенство их углов и пропорциональность сходственных сторон (объясните, что это значит?). Теперь покажем, что для подобия т р е у г о л ь н и к о в достаточно одного лишь равенства углов, т. е., что в треугольнике с соответственно равными углами стороны пропорциональны.
Пусть нам известно, что в треугольниках ABCи DEF (черт. 190) угол A= уг. D, уг. B = уг. E, а значит и третий угол C = углу F. Убедимся, что в таком случае стороны этих треугольников пропорциональны. Для этого перенесем мысленно треугольник ABCна DEFи положим его так, чтобы вершина В попала в Е, сторона ВА пошла по стороне ED, a BC– по EF. Третья сторона АС займет положение МN, и так как уг. А = уг. D, то MNляжет параллельно DE. В таком положении легко доказать, что стороны меньшего треугольника пропорциональны сторонам большего. Разделим сторону EDна такое число частей, чтобы одна из точек деления пришлась в М. Пусть между Е и М уместилось 2 таких части, а между М и D – 3. Проведем через точки деления прямые, параллельные DF. Эти параллельные (черт. 191) рассекут сторону EFтакже на равные части (почему? См. § 57): две части – между Е и Nи 3 части – между Nи F. Теперь ясно, что
ED/EM = 5/2 = EF/EN
Но так как EF= AB, a EN= BC, то
ED/AB = EF/BC
Значит, стороны ЕD, AB, EF и BC– пропорциональны.
Для подобия треугольников необходимо еще, чтобы и отношение третьей пары сторон DF: ACравнялось отношению ED: АВ (или EF: BC). Чтобы и в. этом удостовериться, проведем через точки деления стороны ED(черт. 192) ряд прямых, параллельных EF. Сторона MN разделится тогда на 2 равные части (почему?), a DF– на 5 таких же частей (почему?), и станет ясно, что
DE/AC=5/2=ED/AB=EF/BC
Итак, если углы одного треугольника равны углам другого, то стороны, прилегающие к равным углам (или лежащие против равных углов) пропорциональны.
П р и м е ч а н и е. Стороны треугольников могут иметь такую длину, что невозможно выполнить деление их, как указано было на черт. 191: ни одна точка деления не приходится в точке М. Однако, рассмотренное сейчас свойство сохраняется и в таком случае (это доказывается в более полных учебниках).
Мы сейчас доказали, что в двух треугольниках при равенстве, углов стороны должны быть пропорциональны. Покажем теперь, что и наоборот: при пропорциональности сторон треугольники имеют соответственно равные углы.
Это надо понимать так. Если длины сторон двух треугольников (напр. I и II на черт. 193) таковы, что
a/e = b/f = c/g
то угол против стороны aравен углу против стороны е, угол против b= углу против f, и угол против c = углу против g.
В этом легко убедиться, отложив (черт. 194) от вершины треугольника I на стороне а сторону е и проведя через конец ее прямую х, параллельную с. Она отсечет от треугольника I меньший треугольник III, стороны которого обозначим через е, х, у. Этот треугольник III имеет углы соответственно равные углам треугольника I. А мы сейчас доказали, что в таком случае
a/e=c/x=b/y
Нам известно, что a/e=b/f =c/g. Значит,
b/y=c/x=b/f=c/g
Но если
b/y=b/f
то y= f. А из равенства
c/x=c/g
следует, что x = g.
Другими словами: все стороны треугольника III равны сторонам треугольника II; а так как углы треугольника III равны углам треугольника I, то и углы треугольника II равны углам треугольника I. Это и требовалось доказать.
Повторительные вопросы к §§ 64 и 65
Как вы назовете фигуры, имеющие равные стороны и одинаковую форму? – Равные стороны и неодинаковую форму? Неравные стороны и одинаковую форму? – Какие стороны многоугольников называются сходственными? – Покажите, пользуясь чертежом, какие условия необходимы для подобия двух многоугольников. Покажите, пользуясь чертежом, какие соотношения существуют в двух подобных треугольниках. – Какие стороны подобных треугольников называются сходственными? А в каком случае стороны называются соответственными?
Применения
75. Найти высоту дерева, пользуясь его тенью.
Р е ш е н и е. Где-нибудь возле дерева воткнем отвесно шест MN(черт. 195). Так как лучи солнца параллельны, то уг. Р = уг. С; кроме того, мы знаем, что уг. В и уг. N– прямые. Значит, треугольники ABCи MNPподобны и, следовательно,
AB/MN = BC/NP
откуда неизвестная высота дерева
AB = MN ? BC/NP
Высоту шеста МN и длину теней DС и NPлегко измерить, и тогда вычисляют высоту АВ дерева.
76. В пасмурный день можно пользоваться для определения высоты дерева способом, изображенным на черт. 196. В чем он состоит?
Р е ш е н и е. Наблюдатель помещает шест DE так, чтобы глядя на конец его D видеть его совпадающим с вершиной A. Измеряют DЕ, НЕ и НВ, кроме того, надо знать возвышение GН глаза Gнад почвой. Из подобия треугольников GАС и GDF имеем
AC/DF = DC/GF.
Дальнейшее – понятно без объяснений.
77. На черт. 197 изображен способ определения ширины АВ озера. Прямая CDпровешивается параллельно АВ. Объясните, как найти искомую ширину (АВ) озера.
Р е ш е н и е. Из подобия треугольников ABE и СDE имеем
AB/CD=BE/DE, откуда AB=CD BE/DE
так как длины CD, BE и DE можно измерить, то нетрудно вычислить искомую ширину (АВ) озера.
78. Диаметр Солнца больше диаметра Земли в 109 раз; расстояние от Земли до Солнца 150 000 000 километров. Определить длину тени, отбрасываемой земным шаром (черт. 198).
Р е ш е н и е. Из подобия треугольников АОЕ и СРЕ (почему они подобны?) имеем
PE/OE = PC/OC
РЕ – есть искомая длина х тени; DE= OP+ РЕ = 150 000 000 км + x; PC– радиус Земли; ОА – радиус Солнца. Мы знаем, что радиус Солнца в 109 раз больше радиуса Земли. Подставив эти величины в пропорцию, имеем
X/150 000 000 = 1/109
или 109х = 150 000 000 + x, откуда
x = 150 000 000/109 = около 1 400 000 км.
§ 66. Построение четвертой пропорциональной
На практике приходится нередко отыскивать отрезок такой длины, чтобы вместе с тремя данными отрезками могла быть составлена пропорция. Пусть, например, даны три отрезка а, b и с (черт. 199) и требуется отыскать четвертый отрезок х такой длины, чтобы возможна была пропорция:
а: b = с: х.
Задача эта решается так. На прямой линии (черт. 200) откладывают от точки М отрезки а и b. Под произвольным углом к а от точки М проводят прямую, на которой откладывают отрезок с. Концы N и Р отрезков а и с соединяют прямой и через конец Q отрезка b проводят QR параллельно NP. Отрезок MR и есть четвертая пропорциональная х, потому что
а: b = с: х.
Решение подобных задач называется «построением 4-й пропорциональной».
а: b = с: х.
Повторительные вопросы
Что значит: «построить 4-ую пропорциональную»? – Какие вы знаете способы ее построения?
Применения
79. Прямоугольник со сторонами а и h(черт. 201) превратить в равновеликий прямоугольник с основанием b.
Р е ш е н и е. Надо начертить прямоугольник с основанием b и такой высотой х, чтобы bх = ax
Из последнего равенства вытекает пропорция b/a = h/x.
Следовательно, искомая высота х есть 4-я пропорциональная к a, h и b. Построив; ее по указанному раньше способу, мы сможем начертить и искомый прямо угольник.
80. Начертить прямоугольник с высотою b, равновеликий треугольнику с основанием а и высотою h.
Р е ш е н и е сводится к нахождению основания прямоугольника такой длины x, чтобы bх = bx = ah/2., т. е.,
чтобы x: a/2 = h: b
Значит, отрезок х есть 4-я пропорциональная к,a/2.h и b
81. Средняя линия трапеции p, высота – q. Построить равновеликий ей прямоугольник со стороною b.
Р е ш е н и е. Прямоугольник легко можно построить, если найдена будет его другая сторона х такой длины, что bx= pq, и следовательно х : р = д : b. Значит, х есть 4-я пропорциональная к р, q и b.
§ 67. Поперечный масштаб»
На свойстве подобных треугольников основано устройство так называемого «поперечного масштаба», которым пользуются при черчении планов. Устройство его показано на черт. 202. Пусть расстояние BA соответствует на плане в каком-нибудь определенном масштабе, 1 километру (или 5, 10, 20 километрам) в натуре. Это расстояние разделено на 10.равных частей; на столько же частей разделено» и расстояние KL= АВ; АК перпендикулярно к АВ и к КL; точки деления АВ и КL соединены между собою наклонными линиями, как показано на чертеже. После сказанного в § 57 понятно, что отрезки параллельных прямых, отсекаемых: углом OLBсоставляют последовательно (считая от вершины L) 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 и т. д. отрезка ОВ. А так как отрезок ОB сам составляет 0,1 длины АВ, то указанные отрезки составляют 0,01, 0,2, 0,03 и т. д. длины АВ.
Отсюда ясна возможность помощью поперечного масштаба получать весьма малые доли масштабной единицы АВ. Если необходимо, например, раздвинуть ножки циркуля на 2,73 АВ, то помещают одну ножку циркуля на пересечении 2-й поперечной линии масштаба и 3-й (снизу) продольной; другую же – на пересечении той же 3-й продольной линии и 7-й косой: тогда острия циркуля окажутся раздвинутыми на 2,73 АВ. Чтобы раздвинуть их на 36.8 АВ, надо одно острие поместить на пересечении 3-й поперечной и 8-й продольной линии, а другое – на пересечении 8-й продольной и 6-й косой, и т. д.
На черт. 203 изображен поперечный масштаб, дающий возможность откладывать отрезки с точностью до 0,1 миллиметра.
§ 68. Пантограф
На подобии фигур основано также устройство и употребление прибора, называемого п а н т о г р а ф о м и служащего для перерисовывания фигур в измененном масштабе. Он состоит (черт. 204) из четырех планок АВ, BC, CD и AD, соединенных в форме параллелограмма так, что планки могут свободно вращаться в углах; поперечная планка ЕF располагается параллельно AD и может быть перемещаема по желанию. При употреблении прибора его укрепляют неподвижно в А и обводят перерисовываемый контур штифтом K; тогда карандаш С вычерчивает тот же контур в увеличенном виде; все размеры получаются в столько раз крупнее, во сколько раз АС больше АК (или АВ больше АЕ). Если, например, штифт А (черт. 204) переместился в N, т. е. прошел черту KN, то карандаш С переместился в М, т. е. начертил линию СМ; из подобия треугольников АСМ и AKN (почему они подобны?) имеем, что СМ : KN– АС : АК, или АВ : АЕ. Отсюда следует, что желая увеличить рисунок, например, в 5 раз, мы должны поместить планку EF так, чтобы АВ было в 5 раз больше АЕ.
Нетрудно догадаться, как следует пользоваться пантографом для перерисовывания фигур и в у м е н ь ш е н н о м масштабе.
§ 69. Площади подобных треугольников
Предварительное упражнение
В треугольниках АВС и DEF уг. A= уг. D: ВМ и EN – высоты. Укажите все подобные треугольники в этих фигурах.
Между площадями подобных треугольников существует определенное соотношение, которое мы сейчас установим.
Пусть у нас имеются два подобных треугольника I и II (черт. 205). Проведем высоты ВМ = h и EN= l к сходственным сторонам АС = b и DF= e. Площадь треугольника I равна bh, треугольника II – el. Отношение их равно
Значит,
п л о щ а д и п о д о б н ы х т р е у г о л ь н и к о в о т н о с я т с я к а к к в а д р а т ы с х о д с т в е н н ы х с т о р о н.
§ 70. Площади всяких подобных фигур
То, что мы установили в предыдущем параграфе для подобных треугольников, справедливо, как сейчас увидим; и для всяких подобных многоугольников: их площади относятся, как квадраты сходственных сторон. Вообще,
п л о щ а д и в с я к и х п о д о б н ы х ф и г у р о т н о с я т с я м е ж д у с о б о ю к а к к в а д р а т ы и х л и н е й н ы х р а з м е р о в. Это вытекает из следующих соображений. Пусть у нас имеются две подобные фигуры, при чем линейные размеры первой фигуры в 10 раз меньше размеров второй фигуры. Покроем меньшую фигуру палеткой, разграфленной на миллиметровые квадратики, а большую фигуру – палеткой, разграфленной на сантиметровые квадратики. Так как все линейные размеры первой фигуры содержат столько миллиметров, сколько размеры второй фигуры содержат сантиметров, то первая фигура будет заключать столько же миллиметровых квадратиков, сколько вторая – сантиметровых. Число квадратиков в обеих фигурах одинаково, но каждый квадратик первой фигуры меньше квадратика второй фигуры. Значит, площадь первой фигуры меньше площади второй во столько раз, во сколько один миллиметровый квадратик меньше сантиметрового, т. е. в 10 ? 10 = 100 раз.
Если линейные размеры подобных фигур относятся не как 1: 10, а например, как 1: 7, то сходным рассуждением можно установить, что площадь первой фигуры меньше второй в 49 раз; при отношении линейных размеров 8: 3 – больше в 64/9 раз и т. п.
Поэтому, если план здания исполнен в масштабе 1/20,то каждый его участок меньше площади того же участка в натуре в 20 ? 20, т. е. в 400 раз.
Повторительные вопросы к §§ 68–70
Как относятся площади подобных треугольников? – Многоугольников? – Всяких вообще плоских «фигур? – Справедливо ли это правило для кругов?
Применения
82. С дуба сорвано два листа одинаковой формы, длиною один 12 см, другой 15 см. Во сколько раз площадь второго листа больше площади первого?
Решение. Отношение площадей равно 152: 122=(15/12)2 =(5/4)2= 1,6. Второй лист больше первого по площади в 1,6 раза.
83. План участка земли, исполненный в масштабе 5 м в 1 см, имеет площадь 78 кв. см. Найти площадь земельного участка.
Р е ш е н и е. Линейные размеры обеих фигур (участка и плана) относятся как 500:1. Значит отношение площадей 500: 1 = 250 000. Отсюда площадь участка 78 250000 = = 19 000 000 кв. см = 1900 кв. метров.
§ 64. Подобие многоугольников
Сравнивая между собою фигуры, мы различали до сих пор только два случая: случай равенства фигур и случай их неравенства. Но возможен и третий случай, которого мы еще не рассматривали: фигуры не равны, а п о х о ж и, так что одна представляет уменьшенное п о д о б и е другой. Например, большой и малый квадрат не равны, но имеют совершенно одинаковую форму: один представляет подобие другого (черт. 185). Два равносторонних треугольника, большой и малый, также имеют одинаковую форму (черт. 186).
Такие фигуры, которые имеют различную величину сторон, но одинаковы по форме, называются п о д о б-н ы м и фигурами.
В каком же случае считаем мы, что у двух фигур одинаковая форма? Рассмотрим этот вопрос для двух многоугольников. Для одинаковости формы многоугольники должны прежде всего иметь соответственно равные углы. Если углы одного многоугольника не равны углам другого, мы не назовем эти фигуры одинаковыми по форме (см. фигуры черт. 188). Значит, равенство углов одной фигуры углам другой есть необходимое условие для одинаковости их формы, т. е, для п о д о б и я этих фигур. Но д о с т а т о ч н о ли одного этого условия? Всякие ли две фигуры с соответственно равными углами имеют одинаковую форму? Взгляните на прямоугольники черт. 187. Углы прямоугольника I равны углам прямоугольника II, – однако, мы не скажем, что они одинаковой формы. Почему?
Потому что высота первого больше высоты второго в 2 раза, а основание первого больше основания второго в 5 раз. Стороны этих фигур, как говорят, не п р о п о р ц и о н а л ь н ы: из них нельзя составить пропорции (отношение двух из них не равно отношению двух других). Форма этих четырехугольников была бы одинакова только тогда, когда из их «сходственных» сторон (т. е. из сторон, прилегающих к равным углам) можно составить пропорцию
a/b – h/l
Короче мы можем высказать это условие подобия многоугольников так:
м н о г о у г о л ь н и к и п о д о б н ы, к о г д а и х с х о д с т в е н н ы е с т о р о н ы п р о п о р ц и о н а л ь н ы (т. е.
о т н о ш е н и е д в у х и з н и х р а в н о о т н о ш е н и ю д в у х д р у г и х). Стороны многоугольников могут быть пропорциональны и не будучи сходственными, т. е. не прилегая к равным углам. Например, на черт. 188 каждая сторона квадрата I вдвое длиннее каждой стороны ромба II; значит, стороны этих фигур пропорциональны. Но все-таки эти фигуры не подобны, потому что пропорциональные стороны их не прилегают к равным углам: они не сходственные.
Итак, для подобия, например, многоугольников ABCDE и A1B1C1D1E1 (черт. 189) необходимо:
чтобы
уг. A = уг. A1
уг. B = уг. B1
уг. C = уг. C1
уг. D = уг. D1
уг. E = уг. E1
и, во-вторых, чтобы
(А1– читается «А прим», или «А со знаком»).
§ 65. Подобие треугольников
Сейчас мы установили, что для подобия многоугольников необходимо равенство их углов и пропорциональность сходственных сторон (объясните, что это значит?). Теперь покажем, что для подобия т р е у г о л ь н и к о в достаточно одного лишь равенства углов, т. е., что в треугольнике с соответственно равными углами стороны пропорциональны.
Пусть нам известно, что в треугольниках ABCи DEF (черт. 190) угол A= уг. D, уг. B = уг. E, а значит и третий угол C = углу F. Убедимся, что в таком случае стороны этих треугольников пропорциональны. Для этого перенесем мысленно треугольник ABCна DEFи положим его так, чтобы вершина В попала в Е, сторона ВА пошла по стороне ED, a BC– по EF. Третья сторона АС займет положение МN, и так как уг. А = уг. D, то MNляжет параллельно DE. В таком положении легко доказать, что стороны меньшего треугольника пропорциональны сторонам большего. Разделим сторону EDна такое число частей, чтобы одна из точек деления пришлась в М. Пусть между Е и М уместилось 2 таких части, а между М и D – 3. Проведем через точки деления прямые, параллельные DF. Эти параллельные (черт. 191) рассекут сторону EFтакже на равные части (почему? См. § 57): две части – между Е и Nи 3 части – между Nи F. Теперь ясно, что
ED/EM = 5/2 = EF/EN
Но так как EF= AB, a EN= BC, то
ED/AB = EF/BC
Значит, стороны ЕD, AB, EF и BC– пропорциональны.
Для подобия треугольников необходимо еще, чтобы и отношение третьей пары сторон DF: ACравнялось отношению ED: АВ (или EF: BC). Чтобы и в. этом удостовериться, проведем через точки деления стороны ED(черт. 192) ряд прямых, параллельных EF. Сторона MN разделится тогда на 2 равные части (почему?), a DF– на 5 таких же частей (почему?), и станет ясно, что
DE/AC=5/2=ED/AB=EF/BC
Итак, если углы одного треугольника равны углам другого, то стороны, прилегающие к равным углам (или лежащие против равных углов) пропорциональны.
П р и м е ч а н и е. Стороны треугольников могут иметь такую длину, что невозможно выполнить деление их, как указано было на черт. 191: ни одна точка деления не приходится в точке М. Однако, рассмотренное сейчас свойство сохраняется и в таком случае (это доказывается в более полных учебниках).
Мы сейчас доказали, что в двух треугольниках при равенстве, углов стороны должны быть пропорциональны. Покажем теперь, что и наоборот: при пропорциональности сторон треугольники имеют соответственно равные углы.
Это надо понимать так. Если длины сторон двух треугольников (напр. I и II на черт. 193) таковы, что
a/e = b/f = c/g
то угол против стороны aравен углу против стороны е, угол против b= углу против f, и угол против c = углу против g.
В этом легко убедиться, отложив (черт. 194) от вершины треугольника I на стороне а сторону е и проведя через конец ее прямую х, параллельную с. Она отсечет от треугольника I меньший треугольник III, стороны которого обозначим через е, х, у. Этот треугольник III имеет углы соответственно равные углам треугольника I. А мы сейчас доказали, что в таком случае
a/e=c/x=b/y
Нам известно, что a/e=b/f =c/g. Значит,
b/y=c/x=b/f=c/g
Но если
b/y=b/f
то y= f. А из равенства
c/x=c/g
следует, что x = g.
Другими словами: все стороны треугольника III равны сторонам треугольника II; а так как углы треугольника III равны углам треугольника I, то и углы треугольника II равны углам треугольника I. Это и требовалось доказать.
Повторительные вопросы к §§ 64 и 65
Как вы назовете фигуры, имеющие равные стороны и одинаковую форму? – Равные стороны и неодинаковую форму? Неравные стороны и одинаковую форму? – Какие стороны многоугольников называются сходственными? – Покажите, пользуясь чертежом, какие условия необходимы для подобия двух многоугольников. Покажите, пользуясь чертежом, какие соотношения существуют в двух подобных треугольниках. – Какие стороны подобных треугольников называются сходственными? А в каком случае стороны называются соответственными?
Применения
75. Найти высоту дерева, пользуясь его тенью.
Р е ш е н и е. Где-нибудь возле дерева воткнем отвесно шест MN(черт. 195). Так как лучи солнца параллельны, то уг. Р = уг. С; кроме того, мы знаем, что уг. В и уг. N– прямые. Значит, треугольники ABCи MNPподобны и, следовательно,
AB/MN = BC/NP
откуда неизвестная высота дерева
AB = MN ? BC/NP
Высоту шеста МN и длину теней DС и NPлегко измерить, и тогда вычисляют высоту АВ дерева.
76. В пасмурный день можно пользоваться для определения высоты дерева способом, изображенным на черт. 196. В чем он состоит?
Р е ш е н и е. Наблюдатель помещает шест DE так, чтобы глядя на конец его D видеть его совпадающим с вершиной A. Измеряют DЕ, НЕ и НВ, кроме того, надо знать возвышение GН глаза Gнад почвой. Из подобия треугольников GАС и GDF имеем
AC/DF = DC/GF.
Дальнейшее – понятно без объяснений.
77. На черт. 197 изображен способ определения ширины АВ озера. Прямая CDпровешивается параллельно АВ. Объясните, как найти искомую ширину (АВ) озера.
Р е ш е н и е. Из подобия треугольников ABE и СDE имеем
AB/CD=BE/DE, откуда AB=CD BE/DE
так как длины CD, BE и DE можно измерить, то нетрудно вычислить искомую ширину (АВ) озера.
78. Диаметр Солнца больше диаметра Земли в 109 раз; расстояние от Земли до Солнца 150 000 000 километров. Определить длину тени, отбрасываемой земным шаром (черт. 198).
Р е ш е н и е. Из подобия треугольников АОЕ и СРЕ (почему они подобны?) имеем
PE/OE = PC/OC
РЕ – есть искомая длина х тени; DE= OP+ РЕ = 150 000 000 км + x; PC– радиус Земли; ОА – радиус Солнца. Мы знаем, что радиус Солнца в 109 раз больше радиуса Земли. Подставив эти величины в пропорцию, имеем
X/150 000 000 = 1/109
или 109х = 150 000 000 + x, откуда
x = 150 000 000/109 = около 1 400 000 км.
§ 66. Построение четвертой пропорциональной
На практике приходится нередко отыскивать отрезок такой длины, чтобы вместе с тремя данными отрезками могла быть составлена пропорция. Пусть, например, даны три отрезка а, b и с (черт. 199) и требуется отыскать четвертый отрезок х такой длины, чтобы возможна была пропорция:
а: b = с: х.
Задача эта решается так. На прямой линии (черт. 200) откладывают от точки М отрезки а и b. Под произвольным углом к а от точки М проводят прямую, на которой откладывают отрезок с. Концы N и Р отрезков а и с соединяют прямой и через конец Q отрезка b проводят QR параллельно NP. Отрезок MR и есть четвертая пропорциональная х, потому что
а: b = с: х.
Решение подобных задач называется «построением 4-й пропорциональной».
а: b = с: х.
Повторительные вопросы
Что значит: «построить 4-ую пропорциональную»? – Какие вы знаете способы ее построения?
Применения
79. Прямоугольник со сторонами а и h(черт. 201) превратить в равновеликий прямоугольник с основанием b.
Р е ш е н и е. Надо начертить прямоугольник с основанием b и такой высотой х, чтобы bх = ax
Из последнего равенства вытекает пропорция b/a = h/x.
Следовательно, искомая высота х есть 4-я пропорциональная к a, h и b. Построив; ее по указанному раньше способу, мы сможем начертить и искомый прямо угольник.
80. Начертить прямоугольник с высотою b, равновеликий треугольнику с основанием а и высотою h.
Р е ш е н и е сводится к нахождению основания прямоугольника такой длины x, чтобы bх = bx = ah/2., т. е.,
чтобы x: a/2 = h: b
Значит, отрезок х есть 4-я пропорциональная к,a/2.h и b
81. Средняя линия трапеции p, высота – q. Построить равновеликий ей прямоугольник со стороною b.
Р е ш е н и е. Прямоугольник легко можно построить, если найдена будет его другая сторона х такой длины, что bx= pq, и следовательно х : р = д : b. Значит, х есть 4-я пропорциональная к р, q и b.
§ 67. Поперечный масштаб»
На свойстве подобных треугольников основано устройство так называемого «поперечного масштаба», которым пользуются при черчении планов. Устройство его показано на черт. 202. Пусть расстояние BA соответствует на плане в каком-нибудь определенном масштабе, 1 километру (или 5, 10, 20 километрам) в натуре. Это расстояние разделено на 10.равных частей; на столько же частей разделено» и расстояние KL= АВ; АК перпендикулярно к АВ и к КL; точки деления АВ и КL соединены между собою наклонными линиями, как показано на чертеже. После сказанного в § 57 понятно, что отрезки параллельных прямых, отсекаемых: углом OLBсоставляют последовательно (считая от вершины L) 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 и т. д. отрезка ОВ. А так как отрезок ОB сам составляет 0,1 длины АВ, то указанные отрезки составляют 0,01, 0,2, 0,03 и т. д. длины АВ.
Отсюда ясна возможность помощью поперечного масштаба получать весьма малые доли масштабной единицы АВ. Если необходимо, например, раздвинуть ножки циркуля на 2,73 АВ, то помещают одну ножку циркуля на пересечении 2-й поперечной линии масштаба и 3-й (снизу) продольной; другую же – на пересечении той же 3-й продольной линии и 7-й косой: тогда острия циркуля окажутся раздвинутыми на 2,73 АВ. Чтобы раздвинуть их на 36.8 АВ, надо одно острие поместить на пересечении 3-й поперечной и 8-й продольной линии, а другое – на пересечении 8-й продольной и 6-й косой, и т. д.
На черт. 203 изображен поперечный масштаб, дающий возможность откладывать отрезки с точностью до 0,1 миллиметра.
§ 68. Пантограф
На подобии фигур основано также устройство и употребление прибора, называемого п а н т о г р а ф о м и служащего для перерисовывания фигур в измененном масштабе. Он состоит (черт. 204) из четырех планок АВ, BC, CD и AD, соединенных в форме параллелограмма так, что планки могут свободно вращаться в углах; поперечная планка ЕF располагается параллельно AD и может быть перемещаема по желанию. При употреблении прибора его укрепляют неподвижно в А и обводят перерисовываемый контур штифтом K; тогда карандаш С вычерчивает тот же контур в увеличенном виде; все размеры получаются в столько раз крупнее, во сколько раз АС больше АК (или АВ больше АЕ). Если, например, штифт А (черт. 204) переместился в N, т. е. прошел черту KN, то карандаш С переместился в М, т. е. начертил линию СМ; из подобия треугольников АСМ и AKN (почему они подобны?) имеем, что СМ : KN– АС : АК, или АВ : АЕ. Отсюда следует, что желая увеличить рисунок, например, в 5 раз, мы должны поместить планку EF так, чтобы АВ было в 5 раз больше АЕ.
Нетрудно догадаться, как следует пользоваться пантографом для перерисовывания фигур и в у м е н ь ш е н н о м масштабе.
§ 69. Площади подобных треугольников
Предварительное упражнение
В треугольниках АВС и DEF уг. A= уг. D: ВМ и EN – высоты. Укажите все подобные треугольники в этих фигурах.
Между площадями подобных треугольников существует определенное соотношение, которое мы сейчас установим.
Пусть у нас имеются два подобных треугольника I и II (черт. 205). Проведем высоты ВМ = h и EN= l к сходственным сторонам АС = b и DF= e. Площадь треугольника I равна bh, треугольника II – el. Отношение их равно
Значит,
п л о щ а д и п о д о б н ы х т р е у г о л ь н и к о в о т н о с я т с я к а к к в а д р а т ы с х о д с т в е н н ы х с т о р о н.
§ 70. Площади всяких подобных фигур
То, что мы установили в предыдущем параграфе для подобных треугольников, справедливо, как сейчас увидим; и для всяких подобных многоугольников: их площади относятся, как квадраты сходственных сторон. Вообще,
п л о щ а д и в с я к и х п о д о б н ы х ф и г у р о т н о с я т с я м е ж д у с о б о ю к а к к в а д р а т ы и х л и н е й н ы х р а з м е р о в. Это вытекает из следующих соображений. Пусть у нас имеются две подобные фигуры, при чем линейные размеры первой фигуры в 10 раз меньше размеров второй фигуры. Покроем меньшую фигуру палеткой, разграфленной на миллиметровые квадратики, а большую фигуру – палеткой, разграфленной на сантиметровые квадратики. Так как все линейные размеры первой фигуры содержат столько миллиметров, сколько размеры второй фигуры содержат сантиметров, то первая фигура будет заключать столько же миллиметровых квадратиков, сколько вторая – сантиметровых. Число квадратиков в обеих фигурах одинаково, но каждый квадратик первой фигуры меньше квадратика второй фигуры. Значит, площадь первой фигуры меньше площади второй во столько раз, во сколько один миллиметровый квадратик меньше сантиметрового, т. е. в 10 ? 10 = 100 раз.
Если линейные размеры подобных фигур относятся не как 1: 10, а например, как 1: 7, то сходным рассуждением можно установить, что площадь первой фигуры меньше второй в 49 раз; при отношении линейных размеров 8: 3 – больше в 64/9 раз и т. п.
Поэтому, если план здания исполнен в масштабе 1/20,то каждый его участок меньше площади того же участка в натуре в 20 ? 20, т. е. в 400 раз.
Повторительные вопросы к §§ 68–70
Как относятся площади подобных треугольников? – Многоугольников? – Всяких вообще плоских «фигур? – Справедливо ли это правило для кругов?
Применения
82. С дуба сорвано два листа одинаковой формы, длиною один 12 см, другой 15 см. Во сколько раз площадь второго листа больше площади первого?
Решение. Отношение площадей равно 152: 122=(15/12)2 =(5/4)2= 1,6. Второй лист больше первого по площади в 1,6 раза.
83. План участка земли, исполненный в масштабе 5 м в 1 см, имеет площадь 78 кв. см. Найти площадь земельного участка.
Р е ш е н и е. Линейные размеры обеих фигур (участка и плана) относятся как 500:1. Значит отношение площадей 500: 1 = 250 000. Отсюда площадь участка 78 250000 = = 19 000 000 кв. см = 1900 кв. метров.
XII. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 71. Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника
Предварительные упражнения
1) В прямоугольном треугольнике ABCпроведена (черт. 206) высота BD. Какие углы в треугольниках АВD и АВС равны?
Какие углы равны в треугольниках BCDи АВС?
2) Покажите на черт. 206 все подобные треугольники.
До сих пор мы знали следующие два соотношения сторон в прямоугольном треугольнике: то, что сумма двух его сторон больше третьей (это верно и для всякого треугольника) и то, что гипотенуза длиннее каждого из катетов. Установим теперь третье соотношение, имеющее широкое применение, на практике. Оно состоит в том, что если возвысить длины катетов в квадрат и сложить полученные числа, то результат будет равен квадрату длины гипотенузы. Короче это можно высказать так:
с у м м а к в а д р а т о в к а т е т о в р а в н а к в а др а т у г и п о т е н у з ы.
Если, например, один катет равен 3 м, другой 4 м, то сумма их квадратов 32+ 42, т. е. 25, есть квадрат гипотенузы, и следовательно, длина гипотенузы – 5 метров.
Покажем, как убедиться, что указанное соотношение верно для всякого прямоугольного треугольника. Обозначим катеты прямоугольного треугольника (черт. 206) через а и с, гипотенузу – буквою b, а отрезки, на которые она делится, высотою – через р и д. Так как весь наш треугольник подобен треугольникам I и II (по каким признакам?), то
a/b = g/a и c/b = p/c
Следовательно:
a2= bq
c2= bp
Отсюда имеем:
a2+ c2= bq+ bp= (b+ q)b= bb= b2
Это равенство, a2+ c2= b2, и выражает соотношение, которое требовалось доказать.
Открытие установленного сейчас соотношения приписывается древнему математику Пифагору; отсюда название этого положения «т е о р е м а Пифагора». (Т е о р е м а м и в математике называются все те утверждения, истинность которых становится очевидной только после доказательства).
Применения
84. Есть ли прямой угол в треугольнике со сторонами 5 см, 12 см и 13 см?
Р е ш е н и е. Если этот треугольник прямоугольный, то самая длинная его сторона, 13 см, есть гипотенуза, а тогда между нею и катетами (5 см и 12 см) должно существовать соотношение:
52+ 122= 132= 169.
Так как 25 + 144 = 169, то требуемое соотношение между сторонами действительно существует, и значит в рассматриваемом треугольнике против стороны 13 см лежит прямой угол.
85. Найти гипотенузу треугольника, катеты которого 19 см и 40 см:
Р е ш е н и е.
86. Из гавани отплыл в северном направлении пароход со скоростью 18 морских миль в час. Одновременно из той же гавани отплыл другой пароход в западном направлении со скоростью 24 миль в час. Какое расстояние разделяло их через час?
Р е ш е н и е. Искомое расстояние есть гипотенуза треугольника, катеты которого равны 18 милям и 24 милям. По теореме Пифагора,
Пароходы будут отделены расстоянием в 30 миль.
87. Найти площадь равнобедренного треугольника, основание которого 15 м. Боковая сторона 19,5 м.
Р е ш е н и е. Высота, проведенная к основанию этого треугольника, вычисляется по теореме Пифагора; она равна
Поэтому искомая площадь = 1/2 15 • 18 = 135 кв. м.
88. Надо вырезать из листа жести равносторонней треугольник площадью 260 кв. см. Какой длины должна быть его сторона?
89. Каково соотношение между площадями квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника (черт. 207).
Р е ш е н и е. Так как площади квадратов построенных на сторонах прямоугольного треугольника, выражаются квадратами этих сторон, то, по теореме Пифагора, сумма квадратов, построенных на катетах, равна квадрату, построенному гипотенузе.
Соотношение это существует, как легко понять, также между площадями кругов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника.
90. Начертить круг, площадь которого равна сумме площадей двух данных; кругов.
Р е ш е н и е. Радиус искомого круга должен быть такой длины х, чтобы ?x2= xR2+ ?r2, где R и r– радиусы данных кругов. Сократив это уравнение на имеем: x2= R2+ r2. Отсюда ясно, что искомый радиус есть гипотенуза треугольника, катеты которого rи R.
§ 72. Другие соотношения в прямоугольном треугольнике
1) Устанавливая в предыдущем параграфе зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, мы попутно вывели, что (черт. 206)
a2= bq,
c2= bp.
Выражая это соотношение словесно, мы скажем, что
к в а д р а т к а ж д о г о к а т е т а р а в е н п р о и з в е д е н и ю и з г и п о т е н у з ы и п р о е к ц и и э т о г о к а т е т а н а г и п о т е н у з у.
2) Кроме того, из подобия треугольников I и II следует, что
р : h= h: q, где h – высота,
т. е. h (высота) есть повторяющийся член непрерывной пропорции, другие члены которой есть р и q. Повторяющийся член непрерывной кратной пропорции принято называть средне-пропорциональным (или средне-геометрическим) между двумя остальными членами. Поэтому сейчас установленную зависимость можно высказать так:
в ы с о т а, п р о в е д е н н а я к г и п о т е н у з е, е с т ь с р е д н е – п р о п о р ц и о н а л ь н а я м е ж д у о т р е з к а м и г и п о т е н у з ы. Далее, из пропорции р : h = h: q следует, что h2= pq, т. е.
к в а д р а т в ы с о т ы, п р о в е д е н н о й к г и п о т е н у з е, р а в е н п р о и з в е д е н и ю о т р е з к о в г и п о т е н у з ы.
§ 73. Соотношения между отрезками перпендикулярных хорд
Проведем через: какую-нибудь точку окружности (черт. 208) перпендикуляр CDк диаметру АВ. Легко видеть, это этот перпендикуляр есть высота, проведенная к гипотенузе треугольника АСВ, так как угол АСВ – прямой (почему?). Поэтому
AD: DC = DC: DB,
или (DC)2= AD: DB;
другими словами:
п е р п е н д и к у л я р, п р о в е д е н н ы й и з к а к о й – н и б у д ь т о ч к и о к р у ж н о с т и к д и а м е т р у, е с т ь с р е д н е – п р о п о р ц и он а л ь н о е м е ж д у о т р е з к а м и д и а м е т р а. Этим свойством можно пользоваться, между прочим, в тех случаях, когда требуется построить к двум данным отрезкам средне-пропорциональный. Если данные отрезки а и l и требуется найти отрезок х такой длины, чтобы
а : х = х : l,
то откладывают рядом а и l (черт. 209), строят на АС, как на диаметре, полуокружность и из точки В восставляют перпендикуляр до пересечения с окружностью в точке D: отрезок BD = x.
Повторительные вопросы к §§ 71–73
Какое вы знаете соотношение между катетами и гипотенузой? – Между гипотенузой, катетом и его проекцией на гипотенузу? – Между высотой, проведенной к гипотенузе, и отрезком гипотенузы? – Между перпендикуляром, проведенным из точки окружности к диаметру и отрезками диаметра? – Что значит: найти? средне-пропорциональное между двумя отрезками? Как это сделать?
Применения
91. Чтобы определить расстояние от точки В (черт. 210) до недоступной точки Aпровешивают прямую BN под прямым углом к направлению АВ и из произвольной точки С этой прямой провешивают CD перпендикулярно к направлению AC? Как, пользуясь этим построением, определить искомое расстояние АВ?
Р е ш е н и е. Надо измерить расстояния ВС и ВD. Расстояние АВ оп-редется из равенства:
(BC)2= AB?BD,
откуда
AB = (BC)2/BD
92. Начертить квадрат, равновеликий данному треугольнику с основанием а высотою h.
Р е ш е н и е. Задача сводится к отысканию стороны квадрата такой длины х, чтобы x2= ?ah, т. е., чтобы a/2: х = х : h.
Отсюда видно, что искомый отрезок средне-пропорциональное между a/2 и h.
93. Найти стрелку h дуги (черт. 211) радиуса R, если длина стягивающей хорды = a.
Р е ш е н и е. Стрелкой дуги называется прилегающий к ней отрезок радиуса, перпендикулярного к стягивающей ее хорде, между хордой и дугой.
Половину хорды a/2 можно рассматривать, как перпендикуляр, проведенный из точки окружности к диаметру. Поэтому
(a/2)2h?[2R-h], или: h2-2Rh + a2/4 = 0
Искомую величину стрелки h можно вычислить из этого квадратного уравнения. Если стрелка, как часто бывает, весьма мала по сравнению с радиусом круга, то членом h2можно пренебречь, и тогда h приближенно равно a2/8R. По этой формуле вычисляют, например, стрелку дуги железнодорожного закругления, радиус которого достигает 1000 метров и больше, стрелка же не превышает нескольких, метров.
Сходным образом решается и обратная задача: вычисление радиуса закругления по длине хорды и стрелки, как видно из следующего примера.
94. Вычислить радиус кривизны часового стекла, поперечник которого 60 мм, а стрелка дуги – 3 мм.
Р е ш е н и е. Подставив значения aи hв уравнение, выведенное в предыдущем примере:
h2-2Rh + a2/4 = 0
получаем
0,32-2R?0,3 + 9 = 0.
Отсюда R = около 6 см.
§ 74. Длина касательной
Пусть требуется определить длину касательной к (черт. 212), если радиус круга R, а кратчайшее расстояние от начала касательной до окружности – b. Проведя радиус к точке касания, имеем прямоугольный треугольник, в котором
[b+ R]2= R2+ k2.
Раскрыв скобки, получаем
b2+ 2bR+ R2= R2+ k2.
Отсюда
k2= b2+ 2bR = b [b + 2R2].
Это соотношение можно выразить словесно так:
к в а д р а т к а с а т е л ь н о й р а в е н п р о и з в е д е н и ю в с е й т е к у щ е й, п р о в е д е н н о й и з н а ч а л а к а с а т е л ь н о й ч е р е з ц е н т р, н а в н е ш н и й о т р е з о к э т о й с е к у щ е й.
Применения
95. Как далеко можно видеть в море с маяка высотою 30 метров?
Р е ш е н и е. Так как поверхность моря шарообразна, то дальность видимости определяется длиной касательной, проведенной из верхушки маяка к кругу, радиус которого равен радиусу земного шара (6400 км). Поэтому искомая даль-ность х определяется из равенства
x2= 30 [12 800 000 + 30].
(Слагаемым 30 в данном случае можно пренебречь). Получаем х = около 20 км.
96. Как высоко должен подняться летчик, чтобы видеть за 200 километров?
Р е ш е н и е. В этом случае, в отличие от предыдущего, известна длина касательной, и ищется внешний отрезок секущей, проходящей через центр круга радиус которого 6400 км. Поэтому искомая высота у определяется из уравнения
2002= у [12 800 + y].
Слагаемое у, очевидно, весьма мало по сравнению с диаметром земного шара. Пренебрегая им, имеем
2002= 12 800 у,
Откуда
2002/12800 = 2,3 км.
Следовательно, искомая высота = 23 км.
§ 71. Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника
Предварительные упражнения
1) В прямоугольном треугольнике ABCпроведена (черт. 206) высота BD. Какие углы в треугольниках АВD и АВС равны?
Какие углы равны в треугольниках BCDи АВС?
2) Покажите на черт. 206 все подобные треугольники.
До сих пор мы знали следующие два соотношения сторон в прямоугольном треугольнике: то, что сумма двух его сторон больше третьей (это верно и для всякого треугольника) и то, что гипотенуза длиннее каждого из катетов. Установим теперь третье соотношение, имеющее широкое применение, на практике. Оно состоит в том, что если возвысить длины катетов в квадрат и сложить полученные числа, то результат будет равен квадрату длины гипотенузы. Короче это можно высказать так:
с у м м а к в а д р а т о в к а т е т о в р а в н а к в а др а т у г и п о т е н у з ы.
Если, например, один катет равен 3 м, другой 4 м, то сумма их квадратов 32+ 42, т. е. 25, есть квадрат гипотенузы, и следовательно, длина гипотенузы – 5 метров.
Покажем, как убедиться, что указанное соотношение верно для всякого прямоугольного треугольника. Обозначим катеты прямоугольного треугольника (черт. 206) через а и с, гипотенузу – буквою b, а отрезки, на которые она делится, высотою – через р и д. Так как весь наш треугольник подобен треугольникам I и II (по каким признакам?), то
a/b = g/a и c/b = p/c
Следовательно:
a2= bq
c2= bp
Отсюда имеем:
a2+ c2= bq+ bp= (b+ q)b= bb= b2
Это равенство, a2+ c2= b2, и выражает соотношение, которое требовалось доказать.
Открытие установленного сейчас соотношения приписывается древнему математику Пифагору; отсюда название этого положения «т е о р е м а Пифагора». (Т е о р е м а м и в математике называются все те утверждения, истинность которых становится очевидной только после доказательства).
Применения
84. Есть ли прямой угол в треугольнике со сторонами 5 см, 12 см и 13 см?
Р е ш е н и е. Если этот треугольник прямоугольный, то самая длинная его сторона, 13 см, есть гипотенуза, а тогда между нею и катетами (5 см и 12 см) должно существовать соотношение:
52+ 122= 132= 169.
Так как 25 + 144 = 169, то требуемое соотношение между сторонами действительно существует, и значит в рассматриваемом треугольнике против стороны 13 см лежит прямой угол.
85. Найти гипотенузу треугольника, катеты которого 19 см и 40 см:
Р е ш е н и е.
86. Из гавани отплыл в северном направлении пароход со скоростью 18 морских миль в час. Одновременно из той же гавани отплыл другой пароход в западном направлении со скоростью 24 миль в час. Какое расстояние разделяло их через час?
Р е ш е н и е. Искомое расстояние есть гипотенуза треугольника, катеты которого равны 18 милям и 24 милям. По теореме Пифагора,
Пароходы будут отделены расстоянием в 30 миль.
87. Найти площадь равнобедренного треугольника, основание которого 15 м. Боковая сторона 19,5 м.
Р е ш е н и е. Высота, проведенная к основанию этого треугольника, вычисляется по теореме Пифагора; она равна
Поэтому искомая площадь = 1/2 15 • 18 = 135 кв. м.
88. Надо вырезать из листа жести равносторонней треугольник площадью 260 кв. см. Какой длины должна быть его сторона?
89. Каково соотношение между площадями квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника (черт. 207).
Р е ш е н и е. Так как площади квадратов построенных на сторонах прямоугольного треугольника, выражаются квадратами этих сторон, то, по теореме Пифагора, сумма квадратов, построенных на катетах, равна квадрату, построенному гипотенузе.
Соотношение это существует, как легко понять, также между площадями кругов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника.
90. Начертить круг, площадь которого равна сумме площадей двух данных; кругов.
Р е ш е н и е. Радиус искомого круга должен быть такой длины х, чтобы ?x2= xR2+ ?r2, где R и r– радиусы данных кругов. Сократив это уравнение на имеем: x2= R2+ r2. Отсюда ясно, что искомый радиус есть гипотенуза треугольника, катеты которого rи R.
§ 72. Другие соотношения в прямоугольном треугольнике
1) Устанавливая в предыдущем параграфе зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, мы попутно вывели, что (черт. 206)
a2= bq,
c2= bp.
Выражая это соотношение словесно, мы скажем, что
к в а д р а т к а ж д о г о к а т е т а р а в е н п р о и з в е д е н и ю и з г и п о т е н у з ы и п р о е к ц и и э т о г о к а т е т а н а г и п о т е н у з у.
2) Кроме того, из подобия треугольников I и II следует, что
р : h= h: q, где h – высота,
т. е. h (высота) есть повторяющийся член непрерывной пропорции, другие члены которой есть р и q. Повторяющийся член непрерывной кратной пропорции принято называть средне-пропорциональным (или средне-геометрическим) между двумя остальными членами. Поэтому сейчас установленную зависимость можно высказать так:
в ы с о т а, п р о в е д е н н а я к г и п о т е н у з е, е с т ь с р е д н е – п р о п о р ц и о н а л ь н а я м е ж д у о т р е з к а м и г и п о т е н у з ы. Далее, из пропорции р : h = h: q следует, что h2= pq, т. е.
к в а д р а т в ы с о т ы, п р о в е д е н н о й к г и п о т е н у з е, р а в е н п р о и з в е д е н и ю о т р е з к о в г и п о т е н у з ы.
§ 73. Соотношения между отрезками перпендикулярных хорд
Проведем через: какую-нибудь точку окружности (черт. 208) перпендикуляр CDк диаметру АВ. Легко видеть, это этот перпендикуляр есть высота, проведенная к гипотенузе треугольника АСВ, так как угол АСВ – прямой (почему?). Поэтому
AD: DC = DC: DB,
или (DC)2= AD: DB;
другими словами:
п е р п е н д и к у л я р, п р о в е д е н н ы й и з к а к о й – н и б у д ь т о ч к и о к р у ж н о с т и к д и а м е т р у, е с т ь с р е д н е – п р о п о р ц и он а л ь н о е м е ж д у о т р е з к а м и д и а м е т р а. Этим свойством можно пользоваться, между прочим, в тех случаях, когда требуется построить к двум данным отрезкам средне-пропорциональный. Если данные отрезки а и l и требуется найти отрезок х такой длины, чтобы
а : х = х : l,
то откладывают рядом а и l (черт. 209), строят на АС, как на диаметре, полуокружность и из точки В восставляют перпендикуляр до пересечения с окружностью в точке D: отрезок BD = x.
Повторительные вопросы к §§ 71–73
Какое вы знаете соотношение между катетами и гипотенузой? – Между гипотенузой, катетом и его проекцией на гипотенузу? – Между высотой, проведенной к гипотенузе, и отрезком гипотенузы? – Между перпендикуляром, проведенным из точки окружности к диаметру и отрезками диаметра? – Что значит: найти? средне-пропорциональное между двумя отрезками? Как это сделать?
Применения
91. Чтобы определить расстояние от точки В (черт. 210) до недоступной точки Aпровешивают прямую BN под прямым углом к направлению АВ и из произвольной точки С этой прямой провешивают CD перпендикулярно к направлению AC? Как, пользуясь этим построением, определить искомое расстояние АВ?
Р е ш е н и е. Надо измерить расстояния ВС и ВD. Расстояние АВ оп-редется из равенства:
(BC)2= AB?BD,
откуда
AB = (BC)2/BD
92. Начертить квадрат, равновеликий данному треугольнику с основанием а высотою h.
Р е ш е н и е. Задача сводится к отысканию стороны квадрата такой длины х, чтобы x2= ?ah, т. е., чтобы a/2: х = х : h.
Отсюда видно, что искомый отрезок средне-пропорциональное между a/2 и h.
93. Найти стрелку h дуги (черт. 211) радиуса R, если длина стягивающей хорды = a.
Р е ш е н и е. Стрелкой дуги называется прилегающий к ней отрезок радиуса, перпендикулярного к стягивающей ее хорде, между хордой и дугой.
Половину хорды a/2 можно рассматривать, как перпендикуляр, проведенный из точки окружности к диаметру. Поэтому
(a/2)2h?[2R-h], или: h2-2Rh + a2/4 = 0
Искомую величину стрелки h можно вычислить из этого квадратного уравнения. Если стрелка, как часто бывает, весьма мала по сравнению с радиусом круга, то членом h2можно пренебречь, и тогда h приближенно равно a2/8R. По этой формуле вычисляют, например, стрелку дуги железнодорожного закругления, радиус которого достигает 1000 метров и больше, стрелка же не превышает нескольких, метров.
Сходным образом решается и обратная задача: вычисление радиуса закругления по длине хорды и стрелки, как видно из следующего примера.
94. Вычислить радиус кривизны часового стекла, поперечник которого 60 мм, а стрелка дуги – 3 мм.
Р е ш е н и е. Подставив значения aи hв уравнение, выведенное в предыдущем примере:
h2-2Rh + a2/4 = 0
получаем
0,32-2R?0,3 + 9 = 0.
Отсюда R = около 6 см.
§ 74. Длина касательной
Пусть требуется определить длину касательной к (черт. 212), если радиус круга R, а кратчайшее расстояние от начала касательной до окружности – b. Проведя радиус к точке касания, имеем прямоугольный треугольник, в котором
[b+ R]2= R2+ k2.
Раскрыв скобки, получаем
b2+ 2bR+ R2= R2+ k2.
Отсюда
k2= b2+ 2bR = b [b + 2R2].
Это соотношение можно выразить словесно так:
к в а д р а т к а с а т е л ь н о й р а в е н п р о и з в е д е н и ю в с е й т е к у щ е й, п р о в е д е н н о й и з н а ч а л а к а с а т е л ь н о й ч е р е з ц е н т р, н а в н е ш н и й о т р е з о к э т о й с е к у щ е й.
Применения
95. Как далеко можно видеть в море с маяка высотою 30 метров?
Р е ш е н и е. Так как поверхность моря шарообразна, то дальность видимости определяется длиной касательной, проведенной из верхушки маяка к кругу, радиус которого равен радиусу земного шара (6400 км). Поэтому искомая даль-ность х определяется из равенства
x2= 30 [12 800 000 + 30].
(Слагаемым 30 в данном случае можно пренебречь). Получаем х = около 20 км.
96. Как высоко должен подняться летчик, чтобы видеть за 200 километров?
Р е ш е н и е. В этом случае, в отличие от предыдущего, известна длина касательной, и ищется внешний отрезок секущей, проходящей через центр круга радиус которого 6400 км. Поэтому искомая высота у определяется из уравнения
2002= у [12 800 + y].
Слагаемое у, очевидно, весьма мало по сравнению с диаметром земного шара. Пренебрегая им, имеем
2002= 12 800 у,
Откуда
2002/12800 = 2,3 км.
Следовательно, искомая высота = 23 км.
XIII. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ФИГУРЫ
§ 75. Определения
Треугольник или многоугольник называется вписанным в окружность, если все их вершины расположены на окружности (черт. 217). Они называются описанными около круга, если в с е и х с т о р о н ы касаются окружности (черт. 213). Сейчас мы познакомимся с некоторыми свойствами описанных и вписанных фигур.
§ 76. Как описать окружность около данного треугольника
Предварительное упражнение
Во скольких точках могут пересечься три прямые линии?
Докажем сначала, что описать окружность можно около всякого треугольника, какой бы формы он ни был. Пусть у нас имеется треугольник ABC(черт. 214). Около него можно будет описать окружность, если удастся найти такую точку О, которая одинаково удалена от трёх его вершин A, В и С. Найдем сначала все точки, одинаково удаленные от точек А и В; они расположены, мы знаем (§ 55) на перпендикуляре Dd(черт. 215),
проведенном через середину стороны АВ. Затем найдем все точки, одинаково удаленные от вершин В и С; они расположены на перпендикуляре Ее, проведенном через середину ВС. Точка О их пересечения одинаково удалена от трех вершин треугольника А, В и С, а следовательно, это и есть центр описанной окружности.
Так как подобное рассуждение применимо ко всякому треугольнику, то не существует такого треугольника, около которого нельзя было бы описать окружности. Способ же построения ее вытекает из сказанного: надо провести перпендикуляры через середины двух сторон треугольника; точка пересечения перпендикуляров есть центр описанной окружности; соединив ее с одной. из вершин треугольника, найдем радиус этой окружности. Итак:
о к о л о в с я к о г о т р е у г о л ь н и к а м о ж н о о п и с а т ь о к р у ж н о с т ь; ц е н т р е е л е ж и т н а п е р е с е ч е н и и п е р п е н д и к у л я р о в, п р о в е д е н н ы х ч е р е з с е р е д и н у д в у х с т о р о н т р е у г о л ь н и к а. Попутно мы можем установить следующее свойство треугольника. Так как точка пересечения перпендикуляров, проведенных через середины двух сторон треугольника, одинаково удалена от концов третьей стороны, то она должна находиться и на перпендикуляре, проведенном через середину этой стороны треугольника. Значит: п е р п е н д и к у л я р ы, п р о в е д е н н ы е ч е р е з с е р е д и н ы т р е х с т о р о н т р е у г о л ь н и к а, п е р е с е к а ю т с я в о д н о й т о ч к е.
§ 77. Как вписать круг в данный треугольник
Покажем сначала, что во всякий треугольник, какой бы он ни был формы, можно вписать круг. Пусть имеется треугольник ABC(черт. 214). В него можно будет вписать круг, если удастся найти такую точку, которая одинаково удалена от трех его сторон. Сначала найдем все точки, одинаково удаленные от двух сторон АВ и АС; они расположены, мы знаем (§ 50), на равноделящей Аа угла А (черт. 216). Затем найдем все точки, одинаково удаленные от сторон АВ и ВС; они расположены на равноделя-щей Вb угла В. Точка О их пересечения одинаково удалена от трех сторон треугольника: АВ, АС и ВС, и, следовательно, это и есть центр вписанного круга.
Так как подобное рассуждение применимо ко всякому треугольнику, то не существует такого треугольника, в который нельзя бы вписать круг. Способ же построения круга вытекает из сказанного: надо разделить два угла пополам – точка пересечения равноделящих есть центр вписанного круга; проведя через него перпендикуляр к одной из сторон, найдем радиус этого круга. Итак:
в о в с я к и й т р е у г о л ь н и к м о ж н о в п и с а т ь к р у г; ц е н т р е г о л е ж и т н а п е р е с е ч е н и и р а в н о д е л я щ и х д в у х у г л о в т р е у г о л ь н и к а. Легко видеть, что так как точка пересечения равно-делящих двух углов одинаково удалена от сторон третьего угла, то она должна лежать и на равноделящей третьего угла треугольника. Значит:
р а в н о д е л я щ и е т р е х у г л о в т р е у г о л ь н и к а п е р е с е к а ю т с я в о д н о й т о ч к е.
§ 78. Вписанный и описанный квадраты
Вписать в данный круг квадрат весьма просто; надо провести в круге два диаметра, встречающиеся под прямым углом, и концы их соединить прямыми линиями. (Объясните на черт. 217, почему получающийся при этом четырехугольник – квадрат).
Черт. 216 Черт. 217 Черт. 218
Чему равна сторона вписанного квадрата, если радиус круга известен, легко вычислить из треугольника АОВ (черт. 217), пользуясь теоремой, Пифагора. Обозначив искомую длину стороны через а4, а радиус – через R, имеем
Описать около данного круга квадрат можно так (черт. 218): начертив в нем два взаимно перпендикулярных диаметра, проводят через их концы перпендикуляры. (Докажите, что получающийся четырехугольник-квадрат).
Легко убедиться, что сторона описанного квадрата равна диаметру круга (докажите это).
§ 79. Вписанный правильный шестиугольник
Чтобы найти способ вписать в данный круг правильный шестиугольник, определим сначала длину его стороны, считая радиус круга известным. Пусть АВ (черт. 219) есть сторона правильного вписанного шестиугольника. Соединим вершины А и В с центром О круга. Так как дуга А и В составляет 6-ю часть полной окружности, то она содержит 360°/6= 60°; столько же градусов заключает центральный угол АОВ. Но если угол при вершине равнобедренного треугольника равен 60°, то углы при основании также равны 60° (почему?). Следовательно, треугольник АОВ – равносторонний: АВ = АО = ВО.
Другими словами, сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу круга.
Отсюда вытекает способ вписать в круг правильный шестиугольник: надо растворить циркуль на величину радиуса и засечь вдоль окружности шесть раз, а затем соединить точки деления, прямыми линиями.
§ 80. Вписанный равносторонний треугольник
Чтобы вписать в круг равносторонний треугольник, можно воспользоваться способом построения правильного шестиугольника: разделив окружность на 6 равных частей соединяют точки: деления через одну.
Длину стороны вписанного, равностороннего треугольника, считая радиус круга известным (R), находят, пользуясь теоремой Пифагора. Если (черт. 220) А, В, С,
Dесть четыре вершины правильного вписанного шестиугольника, то AD= а6 = R, BD= а = стороне вписанного равностороннего треугольника; AD= диаметру круга=2Л. Из прямоугольного треугольника ABD(докажите, что уг. В – прямой) имеем
[AD]2= [АВ]2+[BD]2, т. е. [2R]2=R2+ a23,
откуда
§ 81. Круг, вписанный в правильный многоугольник
Мы знаем, что во всякий треугольник можно вписать круг. Покажем теперь, что можно вписать круг также во всякий
п р а в и л ь н ы й м н о г о у г о л ь н и к.
Пусть имеется правильный многоугольник, часть которого ABCD изображена на черт. 221. Проведем равно-делящие двух соседних углов, напр., В и С, и точку О их пересечения соединим со всеми вершинами многоугольника. Так как уг. С многоугольника равен углу В, (почему?), то равны и их половины: уг. 2 = уг. 3, а следовательно, и сторона ОС = стороне ОВ (почему?). Треугольники OCDи ОВС имеют по две равные стороны [ОС = ОВ, АВ = ВС] и равные углы [уг. 3 = уг. 4]; значит, они равны [СУС], и ОВ = ОС, а уг. 3 = уг. 5. Таким же образом убеждаемся (выполните это), что треугольник ODE– треугольнику OCDи т. д. В результате узнаем, что все треугольники, на которые разбит указанным образом наш многоугольник, равны между собою, а следовательно, равны и их высоты, проведенные из точки О. Так как точка О одинаково удалена от всех сторон многоугольника, то она и есть центр вписанного круга. Подобные рассуждения можно приложить ко всякому правильному многоугольнику, а следовательно, внутри всякого правильного многоугольника можно найти точку, которая служит центром вписанного круга. Другими словами, -
в о в с я к и й п р а в и л ь н ы й м н о г о у г о л ь н и к м о ж н о в п и с а т ь к р у г. Центр круга, вписанного в многоугольник, называется ц е н т р о м э т о г о м н о г о у г о л ь н и к а, а радиус вписанного круга —
а п о ф е м о й м н о г о у г о л ь н и к а.
§ 82. Круг около правильного многоугольника
Сходными рассуждениями можно убедиться, что
о к о л о в с я к о г о п р а в и л ь н о г о м н о г о у г о л ь н и к а м о ж н о о п и с а т ь о к р у ж н о с т ь. Пусть имеется правильный многоугольник, часть которого ABCDEизображена на черт. 222. Проведем через середины М и Nдвух его соседних сторон перпендикуляры. Точку их пересечения О соединим со всеми вершинами многоугольника. Отрезки ОА, NB и ОС равны (почему?). Отсюда вытекает, что уг. 3 = уг. 4. Так как углы В и С многоугольника равны (почему?), то уг. 3 = уг. 5 и треугольники ОВС и О CD равны (СУС).
Таким же образом доказываем, что треугольник OCD равен треугольнику ODE– и т. д. Мы убеждаемся, что прямые, соединяющие точку О со всеми вершинами многоугольника равны, т. е. очка О есть центр описанного круга.
Совпадают ли центры обеих окружностей – описанной и вписанной? Нетрудно убедиться, что они должны совпадать. Стороны многоугольника служат хордами описанного круга и касательными вписанному. Мы знаем, что перпендикуляры к касательным точке касания должны проходить через центр вписанного круга. А через центр описанного должны проходить перпендикуляры, проведенные через середины хорд. Но как в данном случае те и другие перпендикуляры совпадают, то должны, конечно, совпадать и точки их пересечения, т. е. центр обоих кругов.
Повторительные вопросы к §§ 75–82
Какие прямоугольные фигуры называются вписанными? – Описанными? – Во всякий ли треугольник можно вписать окружность? А описать около него? Как это выполнить? – Как вписать в круг и описать около него квадрат? Правильный шестиугольник? Равносторонний треугольник? Чему равны стороны этих фигур, если считать радиус описанного около них круга известным? – Во всякий ли правильный многоугольник можно вписать круг? А описать около него? Совпадают ли центры обоих кругов? Как называется этот центр? – Как называется радиус круга, вписанного в правильный многоугольник?
Применения
97. Найти диаметр круглого обрубка, предназначенного для того, чтобы вытесать из него шестиугольную шашку для торцовой мостовой. Сторона шашки = 7 см.
Р е ш е н и е. Так как сторона правильного вписанного шестиугольника = радиусу описанного круга, то искомый диаметр круга = 14 см.
98. На черт. 223 изображен контур стропил так наз. мансардной крыши, Он начерчен так: полуокружность разделена на 4 равные части и точки деления соединены прямыми.
Определите длины СЕ u FD, если пролет AB = 10 м.
Р е ш е н и е. Дуга СЕ составляет 1/4 окружности; значит, хорда СЕ равна стороне вписанного квадрата. Так как радиус окружности известен (5 м), то длина СЕ =5 ?2 = 7м. Стрелка DFопределяется как разность GD– GF= 5 – 3,5 = 1,5 м.
99. В круге радиуса 100 см проведены две хорды, дуги которых 90° и 120°. На сколько сумма их длин отличается от длины полуокружности? Какой отсюда вытекает способ приближенного распрямления окружности?
Р е ш е н и е. Хорда дуги в 90° равна стороне вписанного квадрата = 100? ?2 = 141. Хорда дуги в 120° равна стороне вписанного равностороннего треугольника = 100 ??3 = 173.
Сумма их 141 + 173 = 314. Длина полуокружности радиуса 100 (при ? = 3,14) равна также 314. Значит, сумма этих хорд равна длине полуокружности до 4-й значащей цифры. Выпрямляя окружность, можно отложить на прямой две стороны вписанного квадрата и две стороны вписанного равностороннего треугольника.
100. Вычислить площадь заштрихованных частей фигуры черт. 224, если радиус круга = R.
Р е ш е н и е. Легко видеть, что каждая из трех заштрихованных частей представляет собою два сегмента, отсекаемых стороною правильного вписанного шестиугольника. Все три заштрихованные части равны по площади шести таким сегментам, т. е. разности между площадью круга и площадью вписанного в него правильного шестиугольника. Последняя площадь равна 6-кратной площади равностороннего треугольника со стороною R, т. е.
101. Какую долю площади наружного прямоугольника (черт. 225) составляет его заштрихованный участок.
Р е ш е н и е. Рассматривая чертеж, можно усмотреть, что заштрихованный участок представляет собою два сегмента, отсекаемые стороною такого вписанного многоугольника, апофема которого ?= радиуса. Обозначив радиус через R, имеем для длины этой стороны a выражение
очевидно, хорда есть сторона вписанного равностороннего треугольника. Площадь равностороннего треугольника со стороною а равна площадь круга радиуса R равна ?R2; отсюда площадь заштрихованной части
Так как площадь наружного прямоугольника = 2R2, то искомое отношение = 0,61.
§ 83. Площадь правильного многоугольника
Пусть у нас имеется правильный многоугольник о nсторонах. Чтобы определить его площадь, соединим его центр со всеми вершинами: многоугольник разделится на nравных треугольников (почему они равны?). Если сторона многоугольника а, а апофема, т. е. высота каждого треугольника – l, то площадь одного треугольника равна ?аl, а всех треугольников в nраз больше:
n?? аl= ? nal.
Это и есть формула для вычисления площади правильного многоугольника. Ее можно несколько видоизменить, если принять во внимание, что na – есть сумма сторон многоугольника, т. е. его периметр P. Поэтому полученную сейчас формулу можно представить в таком виде:
S= ?Pl.
Словесно правило вычисления площади правильного многоугольника можно высказать так:
п л о щ а д ь п р а в и л ь н о г о м н о г о у г о л ь н и к а р а в н а п о л о в и н е п р о и з в е д е н и я е г о п е р и м е т р а н а а п о ф е м у.
Применения
102. Какова должна быть сторона шестиугольной шашки торцовой мостовой, чтобы на 1 кв. метр шло 30 шашек?
Р е ш е н и е. Если искомая сторона шашки x, то площадь
основания = 6x1/2 апофемы. Апофема =x?3/2 следовательно площадь = 6x?x?3/4=3x2?3/4 30 таких площадей равны 1 кв. м =10 000 кв. см. Имеем уравнение
30 ? 3x2?3/4 =10 000, откуда х = около 27 см.
103. Чему равна площадь сегмента, отсекаемого хордой равной радиусу R круга.
§ 75. Определения
Треугольник или многоугольник называется вписанным в окружность, если все их вершины расположены на окружности (черт. 217). Они называются описанными около круга, если в с е и х с т о р о н ы касаются окружности (черт. 213). Сейчас мы познакомимся с некоторыми свойствами описанных и вписанных фигур.
§ 76. Как описать окружность около данного треугольника
Предварительное упражнение
Во скольких точках могут пересечься три прямые линии?
Докажем сначала, что описать окружность можно около всякого треугольника, какой бы формы он ни был. Пусть у нас имеется треугольник ABC(черт. 214). Около него можно будет описать окружность, если удастся найти такую точку О, которая одинаково удалена от трёх его вершин A, В и С. Найдем сначала все точки, одинаково удаленные от точек А и В; они расположены, мы знаем (§ 55) на перпендикуляре Dd(черт. 215),
проведенном через середину стороны АВ. Затем найдем все точки, одинаково удаленные от вершин В и С; они расположены на перпендикуляре Ее, проведенном через середину ВС. Точка О их пересечения одинаково удалена от трех вершин треугольника А, В и С, а следовательно, это и есть центр описанной окружности.
Так как подобное рассуждение применимо ко всякому треугольнику, то не существует такого треугольника, около которого нельзя было бы описать окружности. Способ же построения ее вытекает из сказанного: надо провести перпендикуляры через середины двух сторон треугольника; точка пересечения перпендикуляров есть центр описанной окружности; соединив ее с одной. из вершин треугольника, найдем радиус этой окружности. Итак:
о к о л о в с я к о г о т р е у г о л ь н и к а м о ж н о о п и с а т ь о к р у ж н о с т ь; ц е н т р е е л е ж и т н а п е р е с е ч е н и и п е р п е н д и к у л я р о в, п р о в е д е н н ы х ч е р е з с е р е д и н у д в у х с т о р о н т р е у г о л ь н и к а. Попутно мы можем установить следующее свойство треугольника. Так как точка пересечения перпендикуляров, проведенных через середины двух сторон треугольника, одинаково удалена от концов третьей стороны, то она должна находиться и на перпендикуляре, проведенном через середину этой стороны треугольника. Значит: п е р п е н д и к у л я р ы, п р о в е д е н н ы е ч е р е з с е р е д и н ы т р е х с т о р о н т р е у г о л ь н и к а, п е р е с е к а ю т с я в о д н о й т о ч к е.
§ 77. Как вписать круг в данный треугольник
Покажем сначала, что во всякий треугольник, какой бы он ни был формы, можно вписать круг. Пусть имеется треугольник ABC(черт. 214). В него можно будет вписать круг, если удастся найти такую точку, которая одинаково удалена от трех его сторон. Сначала найдем все точки, одинаково удаленные от двух сторон АВ и АС; они расположены, мы знаем (§ 50), на равноделящей Аа угла А (черт. 216). Затем найдем все точки, одинаково удаленные от сторон АВ и ВС; они расположены на равноделя-щей Вb угла В. Точка О их пересечения одинаково удалена от трех сторон треугольника: АВ, АС и ВС, и, следовательно, это и есть центр вписанного круга.
Так как подобное рассуждение применимо ко всякому треугольнику, то не существует такого треугольника, в который нельзя бы вписать круг. Способ же построения круга вытекает из сказанного: надо разделить два угла пополам – точка пересечения равноделящих есть центр вписанного круга; проведя через него перпендикуляр к одной из сторон, найдем радиус этого круга. Итак:
в о в с я к и й т р е у г о л ь н и к м о ж н о в п и с а т ь к р у г; ц е н т р е г о л е ж и т н а п е р е с е ч е н и и р а в н о д е л я щ и х д в у х у г л о в т р е у г о л ь н и к а. Легко видеть, что так как точка пересечения равно-делящих двух углов одинаково удалена от сторон третьего угла, то она должна лежать и на равноделящей третьего угла треугольника. Значит:
р а в н о д е л я щ и е т р е х у г л о в т р е у г о л ь н и к а п е р е с е к а ю т с я в о д н о й т о ч к е.
§ 78. Вписанный и описанный квадраты
Вписать в данный круг квадрат весьма просто; надо провести в круге два диаметра, встречающиеся под прямым углом, и концы их соединить прямыми линиями. (Объясните на черт. 217, почему получающийся при этом четырехугольник – квадрат).
Черт. 216 Черт. 217 Черт. 218
Чему равна сторона вписанного квадрата, если радиус круга известен, легко вычислить из треугольника АОВ (черт. 217), пользуясь теоремой, Пифагора. Обозначив искомую длину стороны через а4, а радиус – через R, имеем
Описать около данного круга квадрат можно так (черт. 218): начертив в нем два взаимно перпендикулярных диаметра, проводят через их концы перпендикуляры. (Докажите, что получающийся четырехугольник-квадрат).
Легко убедиться, что сторона описанного квадрата равна диаметру круга (докажите это).
§ 79. Вписанный правильный шестиугольник
Чтобы найти способ вписать в данный круг правильный шестиугольник, определим сначала длину его стороны, считая радиус круга известным. Пусть АВ (черт. 219) есть сторона правильного вписанного шестиугольника. Соединим вершины А и В с центром О круга. Так как дуга А и В составляет 6-ю часть полной окружности, то она содержит 360°/6= 60°; столько же градусов заключает центральный угол АОВ. Но если угол при вершине равнобедренного треугольника равен 60°, то углы при основании также равны 60° (почему?). Следовательно, треугольник АОВ – равносторонний: АВ = АО = ВО.
Другими словами, сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу круга.
Отсюда вытекает способ вписать в круг правильный шестиугольник: надо растворить циркуль на величину радиуса и засечь вдоль окружности шесть раз, а затем соединить точки деления, прямыми линиями.
§ 80. Вписанный равносторонний треугольник
Чтобы вписать в круг равносторонний треугольник, можно воспользоваться способом построения правильного шестиугольника: разделив окружность на 6 равных частей соединяют точки: деления через одну.
Длину стороны вписанного, равностороннего треугольника, считая радиус круга известным (R), находят, пользуясь теоремой Пифагора. Если (черт. 220) А, В, С,
Dесть четыре вершины правильного вписанного шестиугольника, то AD= а6 = R, BD= а = стороне вписанного равностороннего треугольника; AD= диаметру круга=2Л. Из прямоугольного треугольника ABD(докажите, что уг. В – прямой) имеем
[AD]2= [АВ]2+[BD]2, т. е. [2R]2=R2+ a23,
откуда
§ 81. Круг, вписанный в правильный многоугольник
Мы знаем, что во всякий треугольник можно вписать круг. Покажем теперь, что можно вписать круг также во всякий
п р а в и л ь н ы й м н о г о у г о л ь н и к.
Пусть имеется правильный многоугольник, часть которого ABCD изображена на черт. 221. Проведем равно-делящие двух соседних углов, напр., В и С, и точку О их пересечения соединим со всеми вершинами многоугольника. Так как уг. С многоугольника равен углу В, (почему?), то равны и их половины: уг. 2 = уг. 3, а следовательно, и сторона ОС = стороне ОВ (почему?). Треугольники OCDи ОВС имеют по две равные стороны [ОС = ОВ, АВ = ВС] и равные углы [уг. 3 = уг. 4]; значит, они равны [СУС], и ОВ = ОС, а уг. 3 = уг. 5. Таким же образом убеждаемся (выполните это), что треугольник ODE– треугольнику OCDи т. д. В результате узнаем, что все треугольники, на которые разбит указанным образом наш многоугольник, равны между собою, а следовательно, равны и их высоты, проведенные из точки О. Так как точка О одинаково удалена от всех сторон многоугольника, то она и есть центр вписанного круга. Подобные рассуждения можно приложить ко всякому правильному многоугольнику, а следовательно, внутри всякого правильного многоугольника можно найти точку, которая служит центром вписанного круга. Другими словами, -
в о в с я к и й п р а в и л ь н ы й м н о г о у г о л ь н и к м о ж н о в п и с а т ь к р у г. Центр круга, вписанного в многоугольник, называется ц е н т р о м э т о г о м н о г о у г о л ь н и к а, а радиус вписанного круга —
а п о ф е м о й м н о г о у г о л ь н и к а.
§ 82. Круг около правильного многоугольника
Сходными рассуждениями можно убедиться, что
о к о л о в с я к о г о п р а в и л ь н о г о м н о г о у г о л ь н и к а м о ж н о о п и с а т ь о к р у ж н о с т ь. Пусть имеется правильный многоугольник, часть которого ABCDEизображена на черт. 222. Проведем через середины М и Nдвух его соседних сторон перпендикуляры. Точку их пересечения О соединим со всеми вершинами многоугольника. Отрезки ОА, NB и ОС равны (почему?). Отсюда вытекает, что уг. 3 = уг. 4. Так как углы В и С многоугольника равны (почему?), то уг. 3 = уг. 5 и треугольники ОВС и О CD равны (СУС).
Таким же образом доказываем, что треугольник OCD равен треугольнику ODE– и т. д. Мы убеждаемся, что прямые, соединяющие точку О со всеми вершинами многоугольника равны, т. е. очка О есть центр описанного круга.
Совпадают ли центры обеих окружностей – описанной и вписанной? Нетрудно убедиться, что они должны совпадать. Стороны многоугольника служат хордами описанного круга и касательными вписанному. Мы знаем, что перпендикуляры к касательным точке касания должны проходить через центр вписанного круга. А через центр описанного должны проходить перпендикуляры, проведенные через середины хорд. Но как в данном случае те и другие перпендикуляры совпадают, то должны, конечно, совпадать и точки их пересечения, т. е. центр обоих кругов.
Повторительные вопросы к §§ 75–82
Какие прямоугольные фигуры называются вписанными? – Описанными? – Во всякий ли треугольник можно вписать окружность? А описать около него? Как это выполнить? – Как вписать в круг и описать около него квадрат? Правильный шестиугольник? Равносторонний треугольник? Чему равны стороны этих фигур, если считать радиус описанного около них круга известным? – Во всякий ли правильный многоугольник можно вписать круг? А описать около него? Совпадают ли центры обоих кругов? Как называется этот центр? – Как называется радиус круга, вписанного в правильный многоугольник?
Применения
97. Найти диаметр круглого обрубка, предназначенного для того, чтобы вытесать из него шестиугольную шашку для торцовой мостовой. Сторона шашки = 7 см.
Р е ш е н и е. Так как сторона правильного вписанного шестиугольника = радиусу описанного круга, то искомый диаметр круга = 14 см.
98. На черт. 223 изображен контур стропил так наз. мансардной крыши, Он начерчен так: полуокружность разделена на 4 равные части и точки деления соединены прямыми.
Определите длины СЕ u FD, если пролет AB = 10 м.
Р е ш е н и е. Дуга СЕ составляет 1/4 окружности; значит, хорда СЕ равна стороне вписанного квадрата. Так как радиус окружности известен (5 м), то длина СЕ =5 ?2 = 7м. Стрелка DFопределяется как разность GD– GF= 5 – 3,5 = 1,5 м.
99. В круге радиуса 100 см проведены две хорды, дуги которых 90° и 120°. На сколько сумма их длин отличается от длины полуокружности? Какой отсюда вытекает способ приближенного распрямления окружности?
Р е ш е н и е. Хорда дуги в 90° равна стороне вписанного квадрата = 100? ?2 = 141. Хорда дуги в 120° равна стороне вписанного равностороннего треугольника = 100 ??3 = 173.
Сумма их 141 + 173 = 314. Длина полуокружности радиуса 100 (при ? = 3,14) равна также 314. Значит, сумма этих хорд равна длине полуокружности до 4-й значащей цифры. Выпрямляя окружность, можно отложить на прямой две стороны вписанного квадрата и две стороны вписанного равностороннего треугольника.
100. Вычислить площадь заштрихованных частей фигуры черт. 224, если радиус круга = R.
Р е ш е н и е. Легко видеть, что каждая из трех заштрихованных частей представляет собою два сегмента, отсекаемых стороною правильного вписанного шестиугольника. Все три заштрихованные части равны по площади шести таким сегментам, т. е. разности между площадью круга и площадью вписанного в него правильного шестиугольника. Последняя площадь равна 6-кратной площади равностороннего треугольника со стороною R, т. е.
101. Какую долю площади наружного прямоугольника (черт. 225) составляет его заштрихованный участок.
Р е ш е н и е. Рассматривая чертеж, можно усмотреть, что заштрихованный участок представляет собою два сегмента, отсекаемые стороною такого вписанного многоугольника, апофема которого ?= радиуса. Обозначив радиус через R, имеем для длины этой стороны a выражение
очевидно, хорда есть сторона вписанного равностороннего треугольника. Площадь равностороннего треугольника со стороною а равна площадь круга радиуса R равна ?R2; отсюда площадь заштрихованной части
Так как площадь наружного прямоугольника = 2R2, то искомое отношение = 0,61.
§ 83. Площадь правильного многоугольника
Пусть у нас имеется правильный многоугольник о nсторонах. Чтобы определить его площадь, соединим его центр со всеми вершинами: многоугольник разделится на nравных треугольников (почему они равны?). Если сторона многоугольника а, а апофема, т. е. высота каждого треугольника – l, то площадь одного треугольника равна ?аl, а всех треугольников в nраз больше:
n?? аl= ? nal.
Это и есть формула для вычисления площади правильного многоугольника. Ее можно несколько видоизменить, если принять во внимание, что na – есть сумма сторон многоугольника, т. е. его периметр P. Поэтому полученную сейчас формулу можно представить в таком виде:
S= ?Pl.
Словесно правило вычисления площади правильного многоугольника можно высказать так:
п л о щ а д ь п р а в и л ь н о г о м н о г о у г о л ь н и к а р а в н а п о л о в и н е п р о и з в е д е н и я е г о п е р и м е т р а н а а п о ф е м у.
Применения
102. Какова должна быть сторона шестиугольной шашки торцовой мостовой, чтобы на 1 кв. метр шло 30 шашек?
Р е ш е н и е. Если искомая сторона шашки x, то площадь
основания = 6x1/2 апофемы. Апофема =x?3/2 следовательно площадь = 6x?x?3/4=3x2?3/4 30 таких площадей равны 1 кв. м =10 000 кв. см. Имеем уравнение
30 ? 3x2?3/4 =10 000, откуда х = около 27 см.
103. Чему равна площадь сегмента, отсекаемого хордой равной радиусу R круга.
XIV. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТРИГОНОМЕТРИИ
§ 84. Конусность. Тангенс и котангенс острого угла
О круглых изделиях, суживающихся по прямой линии к одному концу, говорят, что они имеют «конусность». Конусность измеряется величиною уменьшения радиуса круга поперечного сечения на каждый сантиметр длины изделий. Если, например, радиус круга поперечного сечения изделия уменьшается с каждым сантиметром на 0,25 мм, то конусность изделия равна 0,25 мм на 1 см.
Легко рассчитать, что если длина изделия – 40 см, то от одного конца к другому оно суживается на 2 0,25 мм 40 = = 20 мм = 2 см. Наоборот, если круглое изделие в 50 см длины имеет на концах разность толщины (диаметров) 30 мм, то на каждый сантиметр длины разность диаметров составляет 30 мм: 50 = 0,6 мм, а разность радиусов – 0,3 мм; значит «конусность» этого изделия 0,3 мм на 1 см (или 0,3: 10 = 0,03).
Итак, конусность измеряется отношением катетов (черт. 227) ВС : АС в прямоугольном треугольнике АВС. Это отношение определяет наклон прямой АВ к LCи, следовательно, может служить мерою угла ВАС.
Мы видим из этого примера, что кроме уже известного нам градусного способа измерения острых углов, можно пользоваться еще и другим способом. Способ этот состоит в том, что за меру острого угла принимают отношение противолежащего ему катета к прилежащему катету в том треугольнике, который отсекается от этого угла перпендикуляром к одной из сторон. Например, угол А (черт. 228) можно измерять отношением ВС : АВ или равным ему отношением ED: AE (почему эти отношения равны?), или также равным им отношением MN: AN (почему это отношение равно предыдущим?). Каждое из этих равных отношений называется т а н г е н с о м угла A и обозначается через tang или tg.
Легко понять, что каждому острому углу отвечает определенный тангенс. Найти значение тангенса для каждого угла возможно помощью чертежа, измерив длину соответствующих линий и вычислив их отношение. Таким путем можно составить таблицу тангенсов для всех углов от 1° до 10°. Способ этот прост, но не достаточно точен. Существуют способы (чересчур сложные, чтобы их рассматривать здесь) узнавать тангенсы с любою точностью посредством вычислений. Готовая таблица вычисленных таким путем тангенсов для всех острых углов от 0°до 90° приложена в конце книги (вместе с некоторыми другими величинами, о которых речь будет дальше).
Если станем изменять величину угла от 0° до 90° и следить, как изменяется при этом величина тангенса, то заметим следующее. Когда угол близок к 0°, то и тангенс близок к нулю; поэтому условно пишут, что tg0° = 0. С увеличением угла tgего быстро возрастает, а при 90° перпендикуляр к одной стороне угла вовсе не встречает другой: точка пересечения, как говорят, «удаляется в бесконечность». Поэтому считают, что tg90 ° = бесконечности.
Для некоторых углов можно вычислить тангенс весьма несложным расчетом. Например, тангенс угла в 45° равен (черт. 229) ВС : АВ = 1 (почему?). Тангенс угла в 30° (черт. 230) равен ВС: АВ; но в треугольнике АСВ
Вместо отношения противолежащего катета к прилежащему можно для измерения острых углов брать и обратное отношение прилежащего катета к противолежащему. Это отношение называется к о т а н г е н с о м угла и обозначается знаком cotg. Из черт. 228 имеем:
Вообще между тангенсом и котангенсом существует следующая зависимость:
Легко сообразить, что с увеличением угла тангенс его увеличивается, а котангенс – уменьшается.
Рассмотрим еще одну зависимость между величиною тангенса и котангенса острых углов. Из прямоугольного треугольника АВС (черт. 231) видим:
А так как сумма углов А и В равна 90° (эти углы, как принято говорить, «дополнительные»), то tg А= cotg (90 – A); cotg A = tg (90 – А).
Например:
tg30° = cotg60°; tg17° = cotg73° и т. п.
Выражая эту зависимость словесно, устанавливаем правило:
т а н г е н с о с т р о г о у г л а р а в е н к о т а н г е н с у д о п о л н и т е л ь н о г о у г л а.
На этом основании таблицу тангенсов и таблицу котангенсов углов можно свести в одну таблицу, устройство которой мы сейчас объясним.
§ 85. Таблица тангенсов и котангенсов
Чтобы успешно применять на практике понятия тангенса и котангенса, необходимо уметь отыскивать в таблице тангенсы и котангенсы различных углов, а также и наоборот – подыскивать угол, если известен его тангенс или котангенс.
Пусть требуется найти в таблице tg24°. Против числа 24 левой колонки находим в графе «tg» (вверху) число 0,45; это и есть tg24° (на графы sin и cos пока не будем обращать внимания).
Так же просто отыскивать в таблице тангенсы всех углов от 1 с до 45°. Тангенсы углов от 45° до 89° находят несколько иначе. Например, tg57° ищем в графе «tg», направляясь снизу, и находим его против числа 57° правой колонки: 1,54 (в то же время 1,54 – это cotg33°, потому что 33 = 90° – 57°).
Сходным образом находим котангенсы и других углов, выражающихся целым числом градусов.
Чтобы найти tg угла, не выражающегося целым числом градусов, надо произвести маленькое дополнительное вычисление. Найдем, например, tg38°40’. Отыскиваем tg38° и tg39°.
tg38° = 0,78, tg39° = 0,81
Разница в 1° или 60’, обусловила, мы видим, увеличение тангенса на 0,03. Для небольшой разницы в углах можно считать. что разность тангенсов (и котангенсов) пропорциональна разности углов, т. е., что
Откуда:
tg38°40? – 0,78 = 0,03 ?2/3= 0,02
tg38°40? = 0,78 – 0,03 = 0,80.
Итак, мы отыскали tg нужного нам угла, хотя прямо в таблице он не помещен.
Таким же образом находим:
tg 76°24? = 4,01 + 0,32 ?24/60 = 4,14
cotg[11]21°14? = 2,61 – 0,13 ?14/60 = 2,58
Обратно: нахождение угла, которого tg или cotg известен в случае, когда данная величина tgили cotgимеется в таблице, – не требует пояснений. Например, угол, tg которого 0,27, есть 15°; угол, cotgкоторого 0,78, есть 52° и т. п. Если же данного tg или cotg в таблице нет, требуется дополнительное вычисление. Пусть, например, мы имеем угол, cotg которого =2, 19. Имеющийся в таблице cotg ближайшего меньшего[12] угла есть 2,25, отличающийся от данного на 0,06. Разность же между этим углом и ближайшим большим, имеющимся в таблице (2,14), равна 11. Подобно предыдущему, составляем пропорцию
И, следовательно, неизв. угол = 66°33’ (с округлением 66°30’).
Таким же образом найдем, что угол, тангенс которого 0,86, равен 40°+ 60 ?2/3= 40°40’ и т. п.
(В виду малой точности таблиц, числа минут надо округлять до целых десятков).
Применения
Рассмотрим теперь несколько задач, при решении которых применяется таблица тангенсов и котангенсов (такие вычисления называются т р и г о н о м е т р и ч е с к и м и).
104. Найти величину острых углов треугольника, катеты которого 16 см и 23 см.
Р е ш е н и е. Тангенс меньшего из искомых углов (черт. 231)
откуда (по таблице) искомый угол x = 34°20’.
105. Телеграфный столб 8 м высоты отбрасывает тень длиною 13,5 м. Под каким углом лучи солнца встречают землю?
Р е ш е н и е сводится, очевидно, к нахождению угла, tg которого = 8/13,5 =0,52
106. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника, имеет длину 62 см и делит противолежащую сторону на отрезки, длина которых 38 см и 29 см. Найти углы треугольника.
Р е ш е н и е. Сначала находим (черт. 232) величину угла A, tg которого 16/29; затем величину угла C, tg которого 16/38
(как найти третий угол?).
107. Острый угол прямоугольного треугольника 48°, прилежащий катет – 83 см. Найти другой катет.
Р е ш е н и е (черт. 231). Если угол А – 48°, а АВ – 83 см, то
BC/AB = BC/83 = tgA= tg48° = 1,11,
откуда
ВС = 83 ? 1,11 = 92.
108. Найти сторону правильного 12-угольника, описанного около круга, радиус которого 80 см.
Р е ш е н и е (черт. 233). Если сторона 12-угольника АВ, то, соединив концы ее с центром О, получаем равнобедренный треугольник, угол при вершине которого 360°/12=30°.
Проведя OD перпендикулярно к AB, имеем прямоугольный треугольник AOD, в котором катет AD = ?АВ (почему?).
Далее:
AD/OD=AD/80 = tg15°=0,26
откуда:
AD= 0,26 80 = 21,
АВ = 2AD= 42.
Итак, искомая сторона 12-угольника 42 см.
§ 86. Синус и косинус острого угла
Рассмотрим задачу:
На плоскости AB(черт. 234), наклоненной под углом 35°, лежит тело весом 20 кг. С какою силою нужно тянуть тело вдоль плоскости AB, чтобы удержать его от скольжения вниз (трения в расчет не принимать)?
Р е ш е н и е. Очевидно, нужно тянуть с силою, не меньшею той, с какою тело увлекается своим весом. В механике установлено правило, что тело, лежащее на наклонной плоскости, увлекается вдоль нее с силою, составляющей такую долю веса тела, какую высота ВС наклонной плоскости составляет от ее длины AB. Это отношение зависит только от величины угла A, но не зависит от того, в какой точке наклонной плоскости (черт. 235) мы станем мерить ее высоту и длину: отношение ВС : AB= отношению DE: AD= отношению MN: AMи т. п. (почему?). Это отношение противолежащего катета к гипотенузе в треугольнике, отсекаемом от острого угла перпендикуляром к одной из его сторон, называется с и н у с о м этого угла и обозначается знаком sin:
SinA=BC/AB
Каждый угол имеет определенный синус, величина которого всегда может быть вычислена (по способу, излагаемому в подробных учебниках математики) или, менее точно, найдена из чертежа.
Если станем изменять величину угла от 0° до 90° и следить, как изменяется при этом величина синуса, то заметим следующее.
Когда угол близок к 0°, то и синус его близок к нулю: Sin 0° = 0. С увеличением угла sinего возрастает, но никогда не превышает 1-цы (почему?). При 90° величина его равна 1, потому что при этом катете сливается с гипотенузой; следовательно, sin 90° = 1.
Синус некоторых углов вычисляется очень просто. Например, синус 30° (черт. 230) равен
Вычисление sin 60° проделайте сами.
Отношение п р и л е ж а щ е г о к а т е т а к гипотенузе называется к о с и н у с о м угла А и обозначается cos. Напр. (черт. 229 и 230) cos 60° = BC: AC= 0,5; cos 45° = sin 45° = 0,71.
Между синусом и косинусом острого угла и его дополнительного существует та же зависимость, что и между tg и cot g: с и н у с о с т р о г о у г л а р а в е н к о с и н у с у д о п о л н и т е л ь н о г о у г л а (выведите это правило).
Поэтому таблицу синусов и косинусов можно свести в одну, как и сделано в таблице, напечатанной в конце книги.
§ 87. Таблица синусов и косинусов
Нахождение в таблице sin и cos данных углов, а также обратное нахождение углов, отвечающих данным синусу или косинусу, выполняется так же, как и в случае tg и cotg. Например, sin 12° = cos 78° = 0,21; sin 37°30 = 52°30 = = 0,61; cos 38°40 = sin 51°20 = 0,79; cos 14° = sin 76° = 0,24. Угол, sin которого 0,15, равен 8°30 , и т. п.
Возвращаясь к задаче о теле, скользящем по наклонной плоскости, находим sin 35° = 0,57; следовательно, для удержания груза необходима сила в 20 ? 0,57 = 11 кг.
Применения
109. Гипотенуза – 47 см, катет– 19 см. Найти величину противолежащего угла.
Р е ш е н и е. Синус искомого угла 19/47 = 0,42; отсюда угол = 25°.
110. Боковая сторона равнобедренного треугольника -
96 см; угол при вершине – 67°. Найти основание.
Р е ш е н и е. Синус половины угла при вершине, т. е. sin 33°30’ равен половине основания, деленной на длину боковой стороны; отсюда половина основания равна боковой стороне, умноженной на sin 33°30’ = 96 0,55 = 53.
111. Одна сторона треугольника 57 см, а другая – 81 см.
Угол между ними 47°. Найти длину перпендикуляра, проведенного к большей из данных сторон через противоположную вершину.
Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике АВС (черт. 232) сторона АВ = 57, АС = 81, а угол А = 47°. Проведем ВD под прямым углом к АС, видим, что BD/AB= BD/57 = sin 47°
откуда BD = 57 ? 0,68 = 39 см.
Если бы данный угол был тупой, например в 125° (черт. 236), то длину ВD мы узнали бы из отношения
D/AB= BD/57 =Sin BAD = Sin [180° – 125°] = Sin 55° = 0,57, откуда BD= 32 см.
112. По данным предыдущей задачи вычислить длину третьей стороны (черт. 232).
Р е ш е н и е. Из треугольника АВD находим длину отрезка AD (как?); вычтя эту длину из АС, узнаем DС; вычислив кроме того, длину ВD, находим сторону ВС из треугольника ВDC по правилу Пифагора.
Произведите это вычисление. Рассмотрите случай, когда угол = 125°, как на черт. 236.
113. Одна сторона треугольника 95 см; два угла его 35° и 61°. Найти остальные стороны.
Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике АВС (черт. 232) сторона ВС = 95 см, угол A= 61°, угол С = 35°. Проведя через В перпендикуляр BD, вычисляем его длину из треугольника BDC (как?), а зная BD находим из треугольника ABD длину АВ (как?). Для вычисления длины АС находим отрезки AD и ВС (как?) и складываем их.
Другой ответ получим, если примем, что сторона в 95 см лежит против угла в 35°.
114. Радиус круга 120 см. Найти длину хорды, «стягивающей» дугу в 48°. (О хорде говорят, что она «стягивает» ту дугу, которая расположена между ее концами).
Р е ш е н и е. Если (черт. 219) дуга АпВ = 48°, то центральный угол О = 48°. Нахождение длины АВ сводится к вычислению основания равнобедренного треугольника по боковой стороне [ОА] и углу при вершине; задача эта уже рассмотрена нами ранее (см. задачу 110).
115. Вычислить сторону правильного семиугольника, вписанного в круг радиуса 30 см.
Р е ш е н и е. Если АВ (черт. 219) есть сторона правильного вписанного семиугольника, то угол О =360°/7= 51°4?
Следовательно, задача сводится к предыдущей.
116. Одна сторона треугольника равна 24 см, другая – 31 см. Угол между ними – 68°. Найти площадь этого треугольника.
Р е ш е н и е. Проведем в треугольнике ABC высоту CD к стороне АВ, длина которой 24 см. Высота эта CD = AC sin A = 31 sin 68°. Следовательно, площадь ABC равна ??24?31 ?sin 68°
Нетрудно убедиться, что вообще, когда известный угол меньше прямого, то п л о щ а д ь т р е у г о л ь н и к а р а в н а п о л у п р о и з в е д е н и ю д в у х е г о с т о р о н н а с и н у с у г л а м е ж д у н и м и. Пользуясь только сообщенными здесь знаниями нельзя решить, все задачи, могущие возникнуть на практике. Подробное ознакомление с отраслью математики, которая называется тригонометрией, открывает гораздо более широкие возможности. Однако, и помощью тех начальных сведений из тригонометрии, которые изложены в этой главе, удается все же успешно разрешать многие практические задачи.
Повторительные вопросы
Что называется тангенсом? Котангенсам? Поясните ваш ответ чертежом. – Как они обозначаются? Укажите доступный вам приближенный способ определения тангенса и котангенса для любого острого угла. – Определите по этому способу tg и cotg нескольких углов и сравните ваши результаты с данными таблицы. – Как изменяется tg при изменении величины угла от 0° до 90°? – Чему равен cotg 0°? Чему равен tg 30°? tg 45°? tg 60°? Чему равны cotgэтих углов? Какая вообще зависимость между tg и cotg одного и того же угла? – Какие углы называются дополнительными? – Какая зависимость между tgострого угла и cotgдополнительного угла? Найдите по таблице tg 26°, tg 38°30’; tg 79°? cotg 83°? – Найдите угол, tgкоторого равен 0,08? 1,35? cotg которого = 2,3? 0,59? Приведите примеры задач, разрешаемых помощью tgили cotg.
Что называется синусом? h осину сом? Как они обозначаются? Определите с помощью чертежа sinи cosнескольких углов и проверьте ваш результат по таблице. Как изменяется sinи как изменяется cosпри изменении величины угла от 0° до 90°. Чему равен sin 45°? cos 45°? sin 30°? cos 30°? sin 60°? cos 60°? Какая зависимость между синусом острого угла и косинусом дополнительного угла? Найдите по таблице: sin 23°, sin 65°, cos 18°, cos 71°. Найдите углы, sin которых: 0,81; 0,13; 0,06; cos которых – 0,76; 0,18; 0,09. Приведите примени задач, разрешаемых с помощью sin или cos.
§ 84. Конусность. Тангенс и котангенс острого угла
О круглых изделиях, суживающихся по прямой линии к одному концу, говорят, что они имеют «конусность». Конусность измеряется величиною уменьшения радиуса круга поперечного сечения на каждый сантиметр длины изделий. Если, например, радиус круга поперечного сечения изделия уменьшается с каждым сантиметром на 0,25 мм, то конусность изделия равна 0,25 мм на 1 см.
Легко рассчитать, что если длина изделия – 40 см, то от одного конца к другому оно суживается на 2 0,25 мм 40 = = 20 мм = 2 см. Наоборот, если круглое изделие в 50 см длины имеет на концах разность толщины (диаметров) 30 мм, то на каждый сантиметр длины разность диаметров составляет 30 мм: 50 = 0,6 мм, а разность радиусов – 0,3 мм; значит «конусность» этого изделия 0,3 мм на 1 см (или 0,3: 10 = 0,03).
Итак, конусность измеряется отношением катетов (черт. 227) ВС : АС в прямоугольном треугольнике АВС. Это отношение определяет наклон прямой АВ к LCи, следовательно, может служить мерою угла ВАС.
Мы видим из этого примера, что кроме уже известного нам градусного способа измерения острых углов, можно пользоваться еще и другим способом. Способ этот состоит в том, что за меру острого угла принимают отношение противолежащего ему катета к прилежащему катету в том треугольнике, который отсекается от этого угла перпендикуляром к одной из сторон. Например, угол А (черт. 228) можно измерять отношением ВС : АВ или равным ему отношением ED: AE (почему эти отношения равны?), или также равным им отношением MN: AN (почему это отношение равно предыдущим?). Каждое из этих равных отношений называется т а н г е н с о м угла A и обозначается через tang или tg.
Легко понять, что каждому острому углу отвечает определенный тангенс. Найти значение тангенса для каждого угла возможно помощью чертежа, измерив длину соответствующих линий и вычислив их отношение. Таким путем можно составить таблицу тангенсов для всех углов от 1° до 10°. Способ этот прост, но не достаточно точен. Существуют способы (чересчур сложные, чтобы их рассматривать здесь) узнавать тангенсы с любою точностью посредством вычислений. Готовая таблица вычисленных таким путем тангенсов для всех острых углов от 0°до 90° приложена в конце книги (вместе с некоторыми другими величинами, о которых речь будет дальше).
Если станем изменять величину угла от 0° до 90° и следить, как изменяется при этом величина тангенса, то заметим следующее. Когда угол близок к 0°, то и тангенс близок к нулю; поэтому условно пишут, что tg0° = 0. С увеличением угла tgего быстро возрастает, а при 90° перпендикуляр к одной стороне угла вовсе не встречает другой: точка пересечения, как говорят, «удаляется в бесконечность». Поэтому считают, что tg90 ° = бесконечности.
Для некоторых углов можно вычислить тангенс весьма несложным расчетом. Например, тангенс угла в 45° равен (черт. 229) ВС : АВ = 1 (почему?). Тангенс угла в 30° (черт. 230) равен ВС: АВ; но в треугольнике АСВ
Вместо отношения противолежащего катета к прилежащему можно для измерения острых углов брать и обратное отношение прилежащего катета к противолежащему. Это отношение называется к о т а н г е н с о м угла и обозначается знаком cotg. Из черт. 228 имеем:
Вообще между тангенсом и котангенсом существует следующая зависимость:
Легко сообразить, что с увеличением угла тангенс его увеличивается, а котангенс – уменьшается.
Рассмотрим еще одну зависимость между величиною тангенса и котангенса острых углов. Из прямоугольного треугольника АВС (черт. 231) видим:
А так как сумма углов А и В равна 90° (эти углы, как принято говорить, «дополнительные»), то tg А= cotg (90 – A); cotg A = tg (90 – А).
Например:
tg30° = cotg60°; tg17° = cotg73° и т. п.
Выражая эту зависимость словесно, устанавливаем правило:
т а н г е н с о с т р о г о у г л а р а в е н к о т а н г е н с у д о п о л н и т е л ь н о г о у г л а.
На этом основании таблицу тангенсов и таблицу котангенсов углов можно свести в одну таблицу, устройство которой мы сейчас объясним.
§ 85. Таблица тангенсов и котангенсов
Чтобы успешно применять на практике понятия тангенса и котангенса, необходимо уметь отыскивать в таблице тангенсы и котангенсы различных углов, а также и наоборот – подыскивать угол, если известен его тангенс или котангенс.
Пусть требуется найти в таблице tg24°. Против числа 24 левой колонки находим в графе «tg» (вверху) число 0,45; это и есть tg24° (на графы sin и cos пока не будем обращать внимания).
Так же просто отыскивать в таблице тангенсы всех углов от 1 с до 45°. Тангенсы углов от 45° до 89° находят несколько иначе. Например, tg57° ищем в графе «tg», направляясь снизу, и находим его против числа 57° правой колонки: 1,54 (в то же время 1,54 – это cotg33°, потому что 33 = 90° – 57°).
Сходным образом находим котангенсы и других углов, выражающихся целым числом градусов.
Чтобы найти tg угла, не выражающегося целым числом градусов, надо произвести маленькое дополнительное вычисление. Найдем, например, tg38°40’. Отыскиваем tg38° и tg39°.
tg38° = 0,78, tg39° = 0,81
Разница в 1° или 60’, обусловила, мы видим, увеличение тангенса на 0,03. Для небольшой разницы в углах можно считать. что разность тангенсов (и котангенсов) пропорциональна разности углов, т. е., что
Откуда:
tg38°40? – 0,78 = 0,03 ?2/3= 0,02
tg38°40? = 0,78 – 0,03 = 0,80.
Итак, мы отыскали tg нужного нам угла, хотя прямо в таблице он не помещен.
Таким же образом находим:
tg 76°24? = 4,01 + 0,32 ?24/60 = 4,14
cotg[11]21°14? = 2,61 – 0,13 ?14/60 = 2,58
Обратно: нахождение угла, которого tg или cotg известен в случае, когда данная величина tgили cotgимеется в таблице, – не требует пояснений. Например, угол, tg которого 0,27, есть 15°; угол, cotgкоторого 0,78, есть 52° и т. п. Если же данного tg или cotg в таблице нет, требуется дополнительное вычисление. Пусть, например, мы имеем угол, cotg которого =2, 19. Имеющийся в таблице cotg ближайшего меньшего[12] угла есть 2,25, отличающийся от данного на 0,06. Разность же между этим углом и ближайшим большим, имеющимся в таблице (2,14), равна 11. Подобно предыдущему, составляем пропорцию
И, следовательно, неизв. угол = 66°33’ (с округлением 66°30’).
Таким же образом найдем, что угол, тангенс которого 0,86, равен 40°+ 60 ?2/3= 40°40’ и т. п.
(В виду малой точности таблиц, числа минут надо округлять до целых десятков).
Применения
Рассмотрим теперь несколько задач, при решении которых применяется таблица тангенсов и котангенсов (такие вычисления называются т р и г о н о м е т р и ч е с к и м и).
104. Найти величину острых углов треугольника, катеты которого 16 см и 23 см.
Р е ш е н и е. Тангенс меньшего из искомых углов (черт. 231)
откуда (по таблице) искомый угол x = 34°20’.
105. Телеграфный столб 8 м высоты отбрасывает тень длиною 13,5 м. Под каким углом лучи солнца встречают землю?
Р е ш е н и е сводится, очевидно, к нахождению угла, tg которого = 8/13,5 =0,52
106. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника, имеет длину 62 см и делит противолежащую сторону на отрезки, длина которых 38 см и 29 см. Найти углы треугольника.
Р е ш е н и е. Сначала находим (черт. 232) величину угла A, tg которого 16/29; затем величину угла C, tg которого 16/38
(как найти третий угол?).
107. Острый угол прямоугольного треугольника 48°, прилежащий катет – 83 см. Найти другой катет.
Р е ш е н и е (черт. 231). Если угол А – 48°, а АВ – 83 см, то
BC/AB = BC/83 = tgA= tg48° = 1,11,
откуда
ВС = 83 ? 1,11 = 92.
108. Найти сторону правильного 12-угольника, описанного около круга, радиус которого 80 см.
Р е ш е н и е (черт. 233). Если сторона 12-угольника АВ, то, соединив концы ее с центром О, получаем равнобедренный треугольник, угол при вершине которого 360°/12=30°.
Проведя OD перпендикулярно к AB, имеем прямоугольный треугольник AOD, в котором катет AD = ?АВ (почему?).
Далее:
AD/OD=AD/80 = tg15°=0,26
откуда:
AD= 0,26 80 = 21,
АВ = 2AD= 42.
Итак, искомая сторона 12-угольника 42 см.
§ 86. Синус и косинус острого угла
Рассмотрим задачу:
На плоскости AB(черт. 234), наклоненной под углом 35°, лежит тело весом 20 кг. С какою силою нужно тянуть тело вдоль плоскости AB, чтобы удержать его от скольжения вниз (трения в расчет не принимать)?
Р е ш е н и е. Очевидно, нужно тянуть с силою, не меньшею той, с какою тело увлекается своим весом. В механике установлено правило, что тело, лежащее на наклонной плоскости, увлекается вдоль нее с силою, составляющей такую долю веса тела, какую высота ВС наклонной плоскости составляет от ее длины AB. Это отношение зависит только от величины угла A, но не зависит от того, в какой точке наклонной плоскости (черт. 235) мы станем мерить ее высоту и длину: отношение ВС : AB= отношению DE: AD= отношению MN: AMи т. п. (почему?). Это отношение противолежащего катета к гипотенузе в треугольнике, отсекаемом от острого угла перпендикуляром к одной из его сторон, называется с и н у с о м этого угла и обозначается знаком sin:
SinA=BC/AB
Каждый угол имеет определенный синус, величина которого всегда может быть вычислена (по способу, излагаемому в подробных учебниках математики) или, менее точно, найдена из чертежа.
Если станем изменять величину угла от 0° до 90° и следить, как изменяется при этом величина синуса, то заметим следующее.
Когда угол близок к 0°, то и синус его близок к нулю: Sin 0° = 0. С увеличением угла sinего возрастает, но никогда не превышает 1-цы (почему?). При 90° величина его равна 1, потому что при этом катете сливается с гипотенузой; следовательно, sin 90° = 1.
Синус некоторых углов вычисляется очень просто. Например, синус 30° (черт. 230) равен
Вычисление sin 60° проделайте сами.
Отношение п р и л е ж а щ е г о к а т е т а к гипотенузе называется к о с и н у с о м угла А и обозначается cos. Напр. (черт. 229 и 230) cos 60° = BC: AC= 0,5; cos 45° = sin 45° = 0,71.
Между синусом и косинусом острого угла и его дополнительного существует та же зависимость, что и между tg и cot g: с и н у с о с т р о г о у г л а р а в е н к о с и н у с у д о п о л н и т е л ь н о г о у г л а (выведите это правило).
Поэтому таблицу синусов и косинусов можно свести в одну, как и сделано в таблице, напечатанной в конце книги.
§ 87. Таблица синусов и косинусов
Нахождение в таблице sin и cos данных углов, а также обратное нахождение углов, отвечающих данным синусу или косинусу, выполняется так же, как и в случае tg и cotg. Например, sin 12° = cos 78° = 0,21; sin 37°30 = 52°30 = = 0,61; cos 38°40 = sin 51°20 = 0,79; cos 14° = sin 76° = 0,24. Угол, sin которого 0,15, равен 8°30 , и т. п.
Возвращаясь к задаче о теле, скользящем по наклонной плоскости, находим sin 35° = 0,57; следовательно, для удержания груза необходима сила в 20 ? 0,57 = 11 кг.
Применения
109. Гипотенуза – 47 см, катет– 19 см. Найти величину противолежащего угла.
Р е ш е н и е. Синус искомого угла 19/47 = 0,42; отсюда угол = 25°.
110. Боковая сторона равнобедренного треугольника -
96 см; угол при вершине – 67°. Найти основание.
Р е ш е н и е. Синус половины угла при вершине, т. е. sin 33°30’ равен половине основания, деленной на длину боковой стороны; отсюда половина основания равна боковой стороне, умноженной на sin 33°30’ = 96 0,55 = 53.
111. Одна сторона треугольника 57 см, а другая – 81 см.
Угол между ними 47°. Найти длину перпендикуляра, проведенного к большей из данных сторон через противоположную вершину.
Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике АВС (черт. 232) сторона АВ = 57, АС = 81, а угол А = 47°. Проведем ВD под прямым углом к АС, видим, что BD/AB= BD/57 = sin 47°
откуда BD = 57 ? 0,68 = 39 см.
Если бы данный угол был тупой, например в 125° (черт. 236), то длину ВD мы узнали бы из отношения
D/AB= BD/57 =Sin BAD = Sin [180° – 125°] = Sin 55° = 0,57, откуда BD= 32 см.
112. По данным предыдущей задачи вычислить длину третьей стороны (черт. 232).
Р е ш е н и е. Из треугольника АВD находим длину отрезка AD (как?); вычтя эту длину из АС, узнаем DС; вычислив кроме того, длину ВD, находим сторону ВС из треугольника ВDC по правилу Пифагора.
Произведите это вычисление. Рассмотрите случай, когда угол = 125°, как на черт. 236.
113. Одна сторона треугольника 95 см; два угла его 35° и 61°. Найти остальные стороны.
Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике АВС (черт. 232) сторона ВС = 95 см, угол A= 61°, угол С = 35°. Проведя через В перпендикуляр BD, вычисляем его длину из треугольника BDC (как?), а зная BD находим из треугольника ABD длину АВ (как?). Для вычисления длины АС находим отрезки AD и ВС (как?) и складываем их.
Другой ответ получим, если примем, что сторона в 95 см лежит против угла в 35°.
114. Радиус круга 120 см. Найти длину хорды, «стягивающей» дугу в 48°. (О хорде говорят, что она «стягивает» ту дугу, которая расположена между ее концами).
Р е ш е н и е. Если (черт. 219) дуга АпВ = 48°, то центральный угол О = 48°. Нахождение длины АВ сводится к вычислению основания равнобедренного треугольника по боковой стороне [ОА] и углу при вершине; задача эта уже рассмотрена нами ранее (см. задачу 110).
115. Вычислить сторону правильного семиугольника, вписанного в круг радиуса 30 см.
Р е ш е н и е. Если АВ (черт. 219) есть сторона правильного вписанного семиугольника, то угол О =360°/7= 51°4?
Следовательно, задача сводится к предыдущей.
116. Одна сторона треугольника равна 24 см, другая – 31 см. Угол между ними – 68°. Найти площадь этого треугольника.
Р е ш е н и е. Проведем в треугольнике ABC высоту CD к стороне АВ, длина которой 24 см. Высота эта CD = AC sin A = 31 sin 68°. Следовательно, площадь ABC равна ??24?31 ?sin 68°
Нетрудно убедиться, что вообще, когда известный угол меньше прямого, то п л о щ а д ь т р е у г о л ь н и к а р а в н а п о л у п р о и з в е д е н и ю д в у х е г о с т о р о н н а с и н у с у г л а м е ж д у н и м и. Пользуясь только сообщенными здесь знаниями нельзя решить, все задачи, могущие возникнуть на практике. Подробное ознакомление с отраслью математики, которая называется тригонометрией, открывает гораздо более широкие возможности. Однако, и помощью тех начальных сведений из тригонометрии, которые изложены в этой главе, удается все же успешно разрешать многие практические задачи.
Повторительные вопросы
Что называется тангенсом? Котангенсам? Поясните ваш ответ чертежом. – Как они обозначаются? Укажите доступный вам приближенный способ определения тангенса и котангенса для любого острого угла. – Определите по этому способу tg и cotg нескольких углов и сравните ваши результаты с данными таблицы. – Как изменяется tg при изменении величины угла от 0° до 90°? – Чему равен cotg 0°? Чему равен tg 30°? tg 45°? tg 60°? Чему равны cotgэтих углов? Какая вообще зависимость между tg и cotg одного и того же угла? – Какие углы называются дополнительными? – Какая зависимость между tgострого угла и cotgдополнительного угла? Найдите по таблице tg 26°, tg 38°30’; tg 79°? cotg 83°? – Найдите угол, tgкоторого равен 0,08? 1,35? cotg которого = 2,3? 0,59? Приведите примеры задач, разрешаемых помощью tgили cotg.
Что называется синусом? h осину сом? Как они обозначаются? Определите с помощью чертежа sinи cosнескольких углов и проверьте ваш результат по таблице. Как изменяется sinи как изменяется cosпри изменении величины угла от 0° до 90°. Чему равен sin 45°? cos 45°? sin 30°? cos 30°? sin 60°? cos 60°? Какая зависимость между синусом острого угла и косинусом дополнительного угла? Найдите по таблице: sin 23°, sin 65°, cos 18°, cos 71°. Найдите углы, sin которых: 0,81; 0,13; 0,06; cos которых – 0,76; 0,18; 0,09. Приведите примени задач, разрешаемых с помощью sin или cos.
XV. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕЛАХ
В §§ 34–37 и 40 мы познакомились с правилами вычисления поверхности и объема призм и цилиндра. Теперь рассмотрим несколько других тел, часто встречающихся на практике: так наз. «пирамиды», «конусы» и «шары».
§ 88. Пирамида. Ее боковая поверхность и объем
Пирамидой называется тело, ограниченное с одной стороны треугольником или каким-нибудь многоугол ьником (о с н о в а н и е пирамиды), а со всех других сторон – треугольниками, сходящимися в одной точке (в вершине пирамиды). Перпендикуляр, проведенный от вершины пирамиды к ее основанию, называется ее высотою (прямая называется п е р п е н д и к у л я р н о й к п л о с к о с т и, если она составляет прямые углы с каждой прямой, проведенной в этой плоскости через точку встречи). Если основание пирамиды – треугольник, пирамида называется «треугольной», если четырехугольник – «четырехугольной» и т. д. На черт. 238 изображены треугольная, четырехугольная и шестиугольная пирамиды.
Если мы начертим развертку какой-нибудь пирамиды (сделайте это), то установим способ вычисления ее б о к о в о й поверхности: надо вычислить площадь каждой боковой треугольной грани и все эти площади сложить. В том случае когда все боковые грани одинаковы (такая пирамида называется п р а в и л ь н о ю), вычисление упрощается: определяют площадь одной треугольной грани и умножают ее на число граней. Например, боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды равна 6 ? al/2 =3al,
где a– сторона шестиугольника, лежащего в основании пирамиды, а l – высота каждой треугольной грани; она называется «апофемой» правильной пирамиды. Для правильной пирамиды о nгранях боковая поверхность равна n ? al/2 = nal/2
Так как па – есть сумма сторон основания пирамиды, т. е. ее периметр, то правило вычисления боковой поверхности правильной пирамиды можно словесно высказать так:
б о к о в а я п о в е р х н о с т ь п р а в и л ь н о й п и р а м и д ы р а в н а п о л у п р о и з в е д е н и ю п е р и м е т р а о с н о в а н и я н а а п о ф е м у. Правило вычисления объема пирамиды выводится в подробных учебниках математики. Мы приведем его здесь без доказательства, так как доказательство это чересчур сложно:
о б ъ е м п и р а м и д ы р а в е н о д н о й т р е т и п р о и з в е д е н и я е е о с н о в а н и я н а в ыс о т у.
Обозначив площадь основания пирамиды через S, а высоту через A, получим такую формулу объема и пирамиды:
V= 1/3 Sh.
Повторительные вопросы
Что называется пирамидой? – Что называется основанием и что – вершиной? – Что называется высотою пирамиды? – Какая пирамида называется пятиугольной, десятиугольной, 12-угольной? – Какая пирамида называется правильной? – Что называется апофемой правильной пирамиды? – Припомните, что называется апофемой правильного многоугольника. – Как вычисляются боковая поверхность и объем правильной пирамиды? – Как выражаются эти правила формулами? – Как выражаются эти правила формулами?
Применения
117. Величайшая из пирамид Египта (пирамида Хеопса) достигала в высоту 146 метров; ее квадратное основание имело 233 метра в ширину. Предполагая, что она сплошь сложена из камней, вычислите, какой высоты каменную стену, толщиною в полметра и длиною от Ленинграда до Москвы, можно было бы соорудить из ее материала (расстояние – 640 километров).
Р е ш е н и е. Объем пирамиды равен
1/3 ?2332?146 куб. м.
Обозначив искомую высоту стены через x, имеем уравнение
6 400 000 ??? х = 1/32332-146, откуда х = 8,5 м.
118. Стог соломы имеет форму прямоугольного параллелепипеда с пирамидальной верхушкой. Размеры основания стога 6 Ч 6 м; высота до основания пирамиды – 4 м до верши-1 ны пирамиды – 5 м. Сколько килограммов соломы в этом стоге? Куб. метр соломы весит 100 кг.
Р е ш е н и е. Объем призматической части стога 6 ? 6 ? 4 = 144 куб. м. Объем пирамидальной части 1/3 ? 6 ? 6 = 12 куб. м. Общий объем 144 + 12 = 156 куб. м. В стоге 15 600 кг соломы.
119. Вычислите объем и боковую поверхность правильной пятигранной пирамиды, сторона основания которой 45 см, а высота – 76 см.
Р е ш е н и е. Начнем с вычисления площади основания пирамиды, при чем воспользуемся тригонометрическими соотношениями. Площадь правильного пятиугольника со стороною 45 см равна 5 ? 45 ? ? l,
где l – апофема. Так как центральный угол, опирающийся на сторону правильного вписанного пятиугольника, = 360°/5 = 72°, то апофема l = 22, cotg 36° = 16 см. Следовательно, площадь основания пирамиды 5 45 8 = 1800 кв. см, а искомый объем = 1/31800 ? 76 = 45 600 куб. см.
Для вычисления боковой поверхности необходимо определить длину апофемы пирамиды. Из чертежа (сделайте его) видно, что апофема есть гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого – высота пирамиды и апофема ее
основания. Значит, апофема пирамиды
Отсюда боковая поверхность пирамиды 6 ? 145 ? ? ?78 = 10 000 кв. см.
§ 89. Конус. Его боковая поверхность и объем
Вообразим, что прямоугольный треугольник ABC (черт. 239) вращается вокруг катета АВ, как дверь на петлях; вращаясь, он словно вырежет из пространства тело, называемое конусом. Круг, описанный катетом ВС, назы вается о с н о в а н и е м конуса, отрезок AS в ы с о т о ю конуса, а АС – его образующей.
Чтобы найти правило для вычисления б о к о в о й п о в е р х н о с т и конуса, представим себе ее развернутой на плоскости (черт. 240). Получится сектор, радиус которого равен «образующей» конуса, а длина дуги – длине окружности основания конуса. Площадь этого сектора равна боковой поверхности конуса. Мы знаем, что площадь сектора (§ 63) равна длине его дуги, умноженной на половину радиуса. Следовательно,
б о к о в а я п о в е р х н о с т ь к о н у с а р а в н а п о л о в и н е п р о и з в е д е н и я д л и н ы е г о о к р у ж н о с т и н а о б р а з у ю щ у ю. Обозначив радиус основания конуса через R, а образующую через l, получаем для боковой поверхности Sконуса формулу:
S= ? ? 2?R ? l= ?Rl.
Правило вычисления объема конуса можно установить, рассматривая конус, как пирамиду с весьма большим числом боковых граней. Тогда можно применить к конусу правило вычисления объема пирамиды, заменив основание пирамиды основанием конуса, а ее высоту – высотой конуса. Для объема W конуса получим формулу
V = 1/3 ?R2h,
где R – радиус основания конуса.
Повторительные вопросы
Что называется конусом? – Что называется его основанием, высотою, образующей? – Как вычисляются боковая поверхность и объем конуса? – Как выражаются эти правила формулами?
Применения
120. Вычислить полную поверхность и объем конуса, диаметр основания которого 92 см, а образующая – 85 см. Р е ш е н и е. Полная поверхность этого конуса
? ? 46 ? 85 + ? ? 462= 19 000 кв. см.
Для определения объема конуса вычисляем его высоту. Она равна
Объем конуса
1/3 ? ? ? 462 ? 71 = 160 000 куб. см.
121. Куча песку имеет форму конуса, окружность основания которого 14 м, а высота – 2 м. Сколько возов песку в этой куче? На воз идет 0,3 куб. м песку.
16 Р е ш е н и е. Радиус основания конической кучи =16/2? = 2,6 м. Площадь основания 5,1 кв. м, и, следовательно, объем кучи = 1/3 ? 5,1 ? 2 = 3,4 куб. м. В куче 11 с лишним возов.
122. Из цилиндра с диаметром основания 23 см и высотою 19 см надо выточить конус вчетверо меньшего объема с диаметром основания 20 см. Вычислить высоту конуса и угол при вершине.
Р е ш е н и е. Объем цилиндра = 1/4 ? ? ? 232? 18 = 7500 куб. см. Значит, объем конуса = 1900 куб: см. Его высота x определяется из уравнения 1/3 ? ? ? 102? x = 1900, откуда x = 18 см. Высота конуса должна равняться высоте цилиндра.
Тангенс половины угла при вершине равен =10/18 = 0,56, откуда искомый угол = 58°.
§ 90. Шар. Его объем и поверхность
Шаром называется тело, которое можно представить себе образовавшимся от вращения полукруга около его диаметра (черт. 241). Все точки поверхности шара одинаково удалены от одной точки, называемой ц е н т р о м шара. Прямая, соединяющая центр шара с какой-нибудь точкой его поверхности, называется радиусом шара. Всякая прямая, соединяющая две точки его поверхности и проходящая через центр, называется д и а м е т р о м шара. Чтобы установить правило вычисления объема шара вообразим, что около полушара (черт. 242) описан цилиндр ABCD. Кроме того, вообразим себе конус, вершина которого в центре шара, а основание – совпадает с верхним основанием цилиндра.
Проведем теперь какую-нибудь плоскость, пересекающую все три тела параллельно основаниям цилиндра; эта плоскость MN(черт. 243) рассечет каждое из трех тел по кругу. Радиус круга, по которому рассечется цилиндр, есть PZ, полушар – PS, а конус – PK. Проведя радиус OSшара, имеем по теореме Пифагора [OS]2= [OP]2+ [PS]2.
Обозначим радиус основания цилиндра через R(он равен радиусу шара); радиус сечения полушара PSчерез h, радиус сечения конуса – через k. Тогда OS= OR= R; OP= PK= k(потому что противолежащие углы = 45°); PS= h. Написанное выше представим в виде
R2= k2+ h2.
Умножив все члены равенства на, имеем
R2= k2+ h2.
Равенство это означает, что площадь сечения нашего цилиндра [R2] равна площади сечения конуса [k2], сложенной с площадью сечения полушара [h2], лежащих в той же плоскости. Это справедливо для любой плоскости, пересекающей наши три тела параллельно основаниям цилиндра.
Представим себе теперь, что мы провели чрезвычайно много таких плоскостей в незначительном расстоянии Н друг от друга. Назовем эти плоскости номерами: № 1, № 2, № 3 и т. д. Они разрежут наши три тела на множество весьма тонких слоев, которые можно принять за цилиндры с высотою H. Для плоскости № 1, № 2, № 3 и т. д. мы будем иметь следующие объемы лежащих на них слоев:
№ 1. . . . . ?R2H = ?k12H + ?h12H
№ 2. . . . . ?R2H = ?k22H + ?h22H
№ 3. . . . . ?R2H = ?k32H + ?h32H
№ 4. . . . . . . . . . . . . . .
Сложив эти равенства почленно, мы получим в сумме первого столбца объем цилиндра Vц; в сумме второго столбца – все слои конуса,[13] т. е. его объем Vк, а в сумме третьего столбца – все слои полушара, т. е. его объем Vпш. Короче говоря, мы устанавливаем, что Vц = Vк + Vпш.
Так как объем цилиндра vц= ?R2? R= ?R3, а объем конуса 1/3?R2? R = 1/3?R3, то полученное сейчас равенство можно представить в виде ?R3= 1/3?R3+ Vпш, откуда объем полушара V = ?R3– 1/3?R3 =2/3?R3, а объем полного шара V = 4/3?R3.
Если бы мы пожелали выразить объем шара через диаметр, следовало бы только в этой формуле заменить R через d/2, где d – диаметр. Получим V = 4/3? d3/8= 1/6?d3
Зная формулу для вычисления объема шара, можно вывести правило вычисления его поверхности.
Для этого вообразим, что шар составлен из большого числа весьма узких пирамид, сходящихся вершинами в центре шара.
Объем одной такой пирамиды равен 1/3 площади ее основания, умноженной на ее высоту. Так как эти пирамиды чрезвычайно узки (мы можем представить их себе сколь угодно узкими), то за площадь Sих основания можно принять соответствующий участок а поверхности шара, а за высоту – радиус шара R. Тогда объемы наших пирамид выразятся последовательно через
Сложив объемы всех этих пирамид и вынеси за скобку 1/3 R, получим, что объем V шара равен
v= 1/3R [a1 + a2 + a3 + a4 + и т. д.].
Но то, что в скобках, есть сумма всех участков шаровой поверхности, т. е. полная поверхность Sшара. Значит, v = 1/3RS.
Мы узнали, следовательно, что
о б ъ е м ш а р а р а в е н п р о и з в е д е н и ю т р е т и е г о р а д и у с а н а п о в е р х н о с т ь.
Отсюда выводим, что поверхность шара
S = V:1/3R = 3V/R
А так как мы уже узнали раньше, что v = 4/3?R3, то поверхность шара S = 3 ? 4/3?R3: 4?R2
Другими словами: п о в е р х н о с т ь ш а р а р а в н а у ч е т в е р е н н о й п л о щ а д и к р у г а т о г о ж е р а д и у с а.
Повторительные вопросы
Какое тело называется шаром? – Что называется центром шара, радиусом, диаметром? – Как вычислить поверхность и объем шара, если известен его радиус? – Если известен его диаметр? – Как высказать эти соотношения словесно?
Применения
123. Сколько весит оболочка воздушного шара диаметром 15 метров? Кв. м. оболочки весит 300 граммов.
Р е ш е н и е. Поверхность этого шара = 4 ? 1/4 ? ? ? 152 = 710 кв. м, а следрвательно, вес 210 кг.
124. Сколько свинцовых дробинок в 3 мм диаметром идет на 1 кг?
Р е ш е н и е. 1 кг свинца занимает объем 1000/11,3= 88,5 куб. см. Объем одной дробинки = 1/6 ? ? ? 0,33= 0,014 куб. см. Следовательно, на 1 кг идет 88,5/0,014 = 6300 дробинок указанного диаметра.
125. Диаметр Марса вдвое меньше земного. Во сколько раз поверхность и этой планеты меньше, чем Земли?
Р е ш е н и е. Поверхности шаров относятся как квадраты диаметров, а объемы, – как кубы диаметров. Поэтому поверхность Марса меньше земной в 4 раза, а объем меньше земного в 8 раз.
126. «При обыкновенном дожде вес капель не превышает 0,065 грамма. Визнер на острове Яве во время сильнейшего дождя определил средний вес капель в 0,16 грамма» (К л о с со в с к и й, «Основы метеорологии»). – Определить соответствующие этим данным поперечники дождевых капель, считая их форму шарообразною.
Р е ш е н и е. 0,065 грамма воды занимают 0,065 куб. сантиметра или 65 куб. миллиметров. Диаметр шара такого объема получаем из уравнения
1/6 ? ? ? x3=65, где x – диаметр в миллиметрах. Отсюда
Итак, крупная дождевая капля имеет в ширину полсантиметра. Диаметр самых больших измеренных капель (вес 0,16 грамма) равен 6,7 миллиметра.
127. Яблоко при печении сморщивается. На что это указывает?
Р е ш е н и е. На то, что объем яблока при печении уменьшается, кожура же сохраняет прежние размеры. Сделаем примерный расчет: вычислим какой избыток кожуры получается, когда яблоко диаметром 8 см уменьшается (вследствие потери воды при нагревании) на 4 миллиметра по диаметру. 4? ? 402– 4? ? 382= 4? [402– 382] = 4? ? 78 ? 2 = 2000 кв. мм, или 20 кв. см. Следовательно, общая поверхность всех морщин печеного яблока, при указанных размерах, равна 20 кв. см.
§ 91. Поверхность подобных тел
Мы знаем (из § 70), что площади подобных фигур относятся, как квадраты их линейных размеров. То же правило верно и для поверхностей подобных тел (т. е. таких тел, которые при одинаковой форме имеют различные размеры). Это значит, что
п о в е р х н о с т и п о д о б н ы х т е л о т н ос я т с я, к а к к в а д р а т ы и х л и н е й н ы х р а з м е р о в. Если у нас два подобных конуса (имеющие равные углы при вершине), и высота первого в 3 раза больше высоты другого, то поверхность первого в 9 раз больше поверхности другого.
Применения
128. В «Путешествии Гулливера» рассказывается о лилипутах, рост которых в 12 раз меньше нормального. Если на костюм человека нормального роста идет 4 кв. метра материала, то сколько материала идет на костюм лилипута?
Р е ш е н и е. В 122, т. е. в 144 раза меньше.
40 000 кв. см: 144 = 280 кв. см.
129. Один человек на 1/4 ниже другого. Каково отношение поверхностей их тел, считая что оба тела геометрически подобны?
Р е ш е н и е. Поверхность человека меньшего роста состоляет
поверхности более высокого.
§ 92. Объем подобных тел
Как относятся между собою о б ъ е м ы подобных тел? Чтобы установить это соотношение» будем рассуждать так. Вообразим два подобных тела (безразлично какой формы). Пусть линейные размеры первого тела в 10 раз меньше линейных размеров второго тела. Рассечем мысленно первое тело тремя рядами параллельных плоскостей на миллиметровые кубики, а второе тело такими же плоскостями на сантиметровые кубики. Так как все линейные размеры первого тела содержат столько миллиметров, сколько размеры второго тела – сантиметров, то объем первого тела заключает в себе столько же миллиметровых кубиков, сколько объем второго тела заключает кубиков сантиметров. Число кубиков в объеме обоих тел одинаково, только каждый кубик первого тела меньше каждого кубика второго тела в 10 10 10, т. е. в 1000 раз. Во столько же раз, конечно, и объем первого тела меньше объема второго тела. Если бы первое тело имело линейные размеры не в 10, а в 3 или в 7? раза меньше, чем размеры второго, то объемы их относились бы как 1: 33или как
Вообще
о б ъ е м ы п о д о б н ы х т е л о т н о с я т с я м е ж д у с о б о ю, к а к к у б ы и х л и н е й н ы х р а з м е р о в. Поэтому, например, уменьшенная модель изделия, все линейные размеры которого в 6 раз меньше размеров самого изделия, имеет объем в 63, т. е. в 216 раз меньше. Если модель сделана из того же материала, как и изделие, то она весит в 216 раз меньше изделия.
Применения
130. Самовар, окружность которого 55 см, вмещает 42 стакана. Сколько стаканов вмещает самовар такого же фасона, окружность которого 44 см?
Р е ш е н и е. Меньший самовар вмещает
131. Какие яйца выгоднее покупать: 60-миллиметровые (длина) по 1 рублю десяток, или 55-миллиметровые по 75 копеек?
Р е ш е н и е. Объем меньшего яйца (т. е. количество питательных веществ в нем), считая форму обоих яиц одинаковою, меньше объема крупного яйца в отношении 553: 603= 0,71. Следовательно, меньшие яйца должны были бы продаваться по цене 71 коп, а не 75 коп. Крупные яйца в данном случае дешевле.
132. Средний палец гранитной статуи Мемнона в Египте имеет в длину 138 см. Зная, что гранит в 3 раза тяжелее человеческого тела, определить, сколько весит эта статуя.
Р е ш е н и е. Измерением находим длину среднего пальца человека – около 8 см. Следовательно, объем статуи превосходит объём человеческого тела в
раз. Человек весит около 60 килограммов; сделанный из гранита в натуральную величину, он весил бы 60 3 = 180 кг. Следовательно, статуя Мемнона весит
В §§ 34–37 и 40 мы познакомились с правилами вычисления поверхности и объема призм и цилиндра. Теперь рассмотрим несколько других тел, часто встречающихся на практике: так наз. «пирамиды», «конусы» и «шары».
§ 88. Пирамида. Ее боковая поверхность и объем
Пирамидой называется тело, ограниченное с одной стороны треугольником или каким-нибудь многоугол ьником (о с н о в а н и е пирамиды), а со всех других сторон – треугольниками, сходящимися в одной точке (в вершине пирамиды). Перпендикуляр, проведенный от вершины пирамиды к ее основанию, называется ее высотою (прямая называется п е р п е н д и к у л я р н о й к п л о с к о с т и, если она составляет прямые углы с каждой прямой, проведенной в этой плоскости через точку встречи). Если основание пирамиды – треугольник, пирамида называется «треугольной», если четырехугольник – «четырехугольной» и т. д. На черт. 238 изображены треугольная, четырехугольная и шестиугольная пирамиды.
Если мы начертим развертку какой-нибудь пирамиды (сделайте это), то установим способ вычисления ее б о к о в о й поверхности: надо вычислить площадь каждой боковой треугольной грани и все эти площади сложить. В том случае когда все боковые грани одинаковы (такая пирамида называется п р а в и л ь н о ю), вычисление упрощается: определяют площадь одной треугольной грани и умножают ее на число граней. Например, боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды равна 6 ? al/2 =3al,
где a– сторона шестиугольника, лежащего в основании пирамиды, а l – высота каждой треугольной грани; она называется «апофемой» правильной пирамиды. Для правильной пирамиды о nгранях боковая поверхность равна n ? al/2 = nal/2
Так как па – есть сумма сторон основания пирамиды, т. е. ее периметр, то правило вычисления боковой поверхности правильной пирамиды можно словесно высказать так:
б о к о в а я п о в е р х н о с т ь п р а в и л ь н о й п и р а м и д ы р а в н а п о л у п р о и з в е д е н и ю п е р и м е т р а о с н о в а н и я н а а п о ф е м у. Правило вычисления объема пирамиды выводится в подробных учебниках математики. Мы приведем его здесь без доказательства, так как доказательство это чересчур сложно:
о б ъ е м п и р а м и д ы р а в е н о д н о й т р е т и п р о и з в е д е н и я е е о с н о в а н и я н а в ыс о т у.
Обозначив площадь основания пирамиды через S, а высоту через A, получим такую формулу объема и пирамиды:
V= 1/3 Sh.
Повторительные вопросы
Что называется пирамидой? – Что называется основанием и что – вершиной? – Что называется высотою пирамиды? – Какая пирамида называется пятиугольной, десятиугольной, 12-угольной? – Какая пирамида называется правильной? – Что называется апофемой правильной пирамиды? – Припомните, что называется апофемой правильного многоугольника. – Как вычисляются боковая поверхность и объем правильной пирамиды? – Как выражаются эти правила формулами? – Как выражаются эти правила формулами?
Применения
117. Величайшая из пирамид Египта (пирамида Хеопса) достигала в высоту 146 метров; ее квадратное основание имело 233 метра в ширину. Предполагая, что она сплошь сложена из камней, вычислите, какой высоты каменную стену, толщиною в полметра и длиною от Ленинграда до Москвы, можно было бы соорудить из ее материала (расстояние – 640 километров).
Р е ш е н и е. Объем пирамиды равен
1/3 ?2332?146 куб. м.
Обозначив искомую высоту стены через x, имеем уравнение
6 400 000 ??? х = 1/32332-146, откуда х = 8,5 м.
118. Стог соломы имеет форму прямоугольного параллелепипеда с пирамидальной верхушкой. Размеры основания стога 6 Ч 6 м; высота до основания пирамиды – 4 м до верши-1 ны пирамиды – 5 м. Сколько килограммов соломы в этом стоге? Куб. метр соломы весит 100 кг.
Р е ш е н и е. Объем призматической части стога 6 ? 6 ? 4 = 144 куб. м. Объем пирамидальной части 1/3 ? 6 ? 6 = 12 куб. м. Общий объем 144 + 12 = 156 куб. м. В стоге 15 600 кг соломы.
119. Вычислите объем и боковую поверхность правильной пятигранной пирамиды, сторона основания которой 45 см, а высота – 76 см.
Р е ш е н и е. Начнем с вычисления площади основания пирамиды, при чем воспользуемся тригонометрическими соотношениями. Площадь правильного пятиугольника со стороною 45 см равна 5 ? 45 ? ? l,
где l – апофема. Так как центральный угол, опирающийся на сторону правильного вписанного пятиугольника, = 360°/5 = 72°, то апофема l = 22, cotg 36° = 16 см. Следовательно, площадь основания пирамиды 5 45 8 = 1800 кв. см, а искомый объем = 1/31800 ? 76 = 45 600 куб. см.
Для вычисления боковой поверхности необходимо определить длину апофемы пирамиды. Из чертежа (сделайте его) видно, что апофема есть гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого – высота пирамиды и апофема ее
основания. Значит, апофема пирамиды
Отсюда боковая поверхность пирамиды 6 ? 145 ? ? ?78 = 10 000 кв. см.
§ 89. Конус. Его боковая поверхность и объем
Вообразим, что прямоугольный треугольник ABC (черт. 239) вращается вокруг катета АВ, как дверь на петлях; вращаясь, он словно вырежет из пространства тело, называемое конусом. Круг, описанный катетом ВС, назы вается о с н о в а н и е м конуса, отрезок AS в ы с о т о ю конуса, а АС – его образующей.
Чтобы найти правило для вычисления б о к о в о й п о в е р х н о с т и конуса, представим себе ее развернутой на плоскости (черт. 240). Получится сектор, радиус которого равен «образующей» конуса, а длина дуги – длине окружности основания конуса. Площадь этого сектора равна боковой поверхности конуса. Мы знаем, что площадь сектора (§ 63) равна длине его дуги, умноженной на половину радиуса. Следовательно,
б о к о в а я п о в е р х н о с т ь к о н у с а р а в н а п о л о в и н е п р о и з в е д е н и я д л и н ы е г о о к р у ж н о с т и н а о б р а з у ю щ у ю. Обозначив радиус основания конуса через R, а образующую через l, получаем для боковой поверхности Sконуса формулу:
S= ? ? 2?R ? l= ?Rl.
Правило вычисления объема конуса можно установить, рассматривая конус, как пирамиду с весьма большим числом боковых граней. Тогда можно применить к конусу правило вычисления объема пирамиды, заменив основание пирамиды основанием конуса, а ее высоту – высотой конуса. Для объема W конуса получим формулу
V = 1/3 ?R2h,
где R – радиус основания конуса.
Повторительные вопросы
Что называется конусом? – Что называется его основанием, высотою, образующей? – Как вычисляются боковая поверхность и объем конуса? – Как выражаются эти правила формулами?
Применения
120. Вычислить полную поверхность и объем конуса, диаметр основания которого 92 см, а образующая – 85 см. Р е ш е н и е. Полная поверхность этого конуса
? ? 46 ? 85 + ? ? 462= 19 000 кв. см.
Для определения объема конуса вычисляем его высоту. Она равна
Объем конуса
1/3 ? ? ? 462 ? 71 = 160 000 куб. см.
121. Куча песку имеет форму конуса, окружность основания которого 14 м, а высота – 2 м. Сколько возов песку в этой куче? На воз идет 0,3 куб. м песку.
16 Р е ш е н и е. Радиус основания конической кучи =16/2? = 2,6 м. Площадь основания 5,1 кв. м, и, следовательно, объем кучи = 1/3 ? 5,1 ? 2 = 3,4 куб. м. В куче 11 с лишним возов.
122. Из цилиндра с диаметром основания 23 см и высотою 19 см надо выточить конус вчетверо меньшего объема с диаметром основания 20 см. Вычислить высоту конуса и угол при вершине.
Р е ш е н и е. Объем цилиндра = 1/4 ? ? ? 232? 18 = 7500 куб. см. Значит, объем конуса = 1900 куб: см. Его высота x определяется из уравнения 1/3 ? ? ? 102? x = 1900, откуда x = 18 см. Высота конуса должна равняться высоте цилиндра.
Тангенс половины угла при вершине равен =10/18 = 0,56, откуда искомый угол = 58°.
§ 90. Шар. Его объем и поверхность
Шаром называется тело, которое можно представить себе образовавшимся от вращения полукруга около его диаметра (черт. 241). Все точки поверхности шара одинаково удалены от одной точки, называемой ц е н т р о м шара. Прямая, соединяющая центр шара с какой-нибудь точкой его поверхности, называется радиусом шара. Всякая прямая, соединяющая две точки его поверхности и проходящая через центр, называется д и а м е т р о м шара. Чтобы установить правило вычисления объема шара вообразим, что около полушара (черт. 242) описан цилиндр ABCD. Кроме того, вообразим себе конус, вершина которого в центре шара, а основание – совпадает с верхним основанием цилиндра.
Проведем теперь какую-нибудь плоскость, пересекающую все три тела параллельно основаниям цилиндра; эта плоскость MN(черт. 243) рассечет каждое из трех тел по кругу. Радиус круга, по которому рассечется цилиндр, есть PZ, полушар – PS, а конус – PK. Проведя радиус OSшара, имеем по теореме Пифагора [OS]2= [OP]2+ [PS]2.
Обозначим радиус основания цилиндра через R(он равен радиусу шара); радиус сечения полушара PSчерез h, радиус сечения конуса – через k. Тогда OS= OR= R; OP= PK= k(потому что противолежащие углы = 45°); PS= h. Написанное выше представим в виде
R2= k2+ h2.
Умножив все члены равенства на, имеем
R2= k2+ h2.
Равенство это означает, что площадь сечения нашего цилиндра [R2] равна площади сечения конуса [k2], сложенной с площадью сечения полушара [h2], лежащих в той же плоскости. Это справедливо для любой плоскости, пересекающей наши три тела параллельно основаниям цилиндра.
Представим себе теперь, что мы провели чрезвычайно много таких плоскостей в незначительном расстоянии Н друг от друга. Назовем эти плоскости номерами: № 1, № 2, № 3 и т. д. Они разрежут наши три тела на множество весьма тонких слоев, которые можно принять за цилиндры с высотою H. Для плоскости № 1, № 2, № 3 и т. д. мы будем иметь следующие объемы лежащих на них слоев:
№ 1. . . . . ?R2H = ?k12H + ?h12H
№ 2. . . . . ?R2H = ?k22H + ?h22H
№ 3. . . . . ?R2H = ?k32H + ?h32H
№ 4. . . . . . . . . . . . . . .
Сложив эти равенства почленно, мы получим в сумме первого столбца объем цилиндра Vц; в сумме второго столбца – все слои конуса,[13] т. е. его объем Vк, а в сумме третьего столбца – все слои полушара, т. е. его объем Vпш. Короче говоря, мы устанавливаем, что Vц = Vк + Vпш.
Так как объем цилиндра vц= ?R2? R= ?R3, а объем конуса 1/3?R2? R = 1/3?R3, то полученное сейчас равенство можно представить в виде ?R3= 1/3?R3+ Vпш, откуда объем полушара V = ?R3– 1/3?R3 =2/3?R3, а объем полного шара V = 4/3?R3.
Если бы мы пожелали выразить объем шара через диаметр, следовало бы только в этой формуле заменить R через d/2, где d – диаметр. Получим V = 4/3? d3/8= 1/6?d3
Зная формулу для вычисления объема шара, можно вывести правило вычисления его поверхности.
Для этого вообразим, что шар составлен из большого числа весьма узких пирамид, сходящихся вершинами в центре шара.
Объем одной такой пирамиды равен 1/3 площади ее основания, умноженной на ее высоту. Так как эти пирамиды чрезвычайно узки (мы можем представить их себе сколь угодно узкими), то за площадь Sих основания можно принять соответствующий участок а поверхности шара, а за высоту – радиус шара R. Тогда объемы наших пирамид выразятся последовательно через
Сложив объемы всех этих пирамид и вынеси за скобку 1/3 R, получим, что объем V шара равен
v= 1/3R [a1 + a2 + a3 + a4 + и т. д.].
Но то, что в скобках, есть сумма всех участков шаровой поверхности, т. е. полная поверхность Sшара. Значит, v = 1/3RS.
Мы узнали, следовательно, что
о б ъ е м ш а р а р а в е н п р о и з в е д е н и ю т р е т и е г о р а д и у с а н а п о в е р х н о с т ь.
Отсюда выводим, что поверхность шара
S = V:1/3R = 3V/R
А так как мы уже узнали раньше, что v = 4/3?R3, то поверхность шара S = 3 ? 4/3?R3: 4?R2
Другими словами: п о в е р х н о с т ь ш а р а р а в н а у ч е т в е р е н н о й п л о щ а д и к р у г а т о г о ж е р а д и у с а.
Повторительные вопросы
Какое тело называется шаром? – Что называется центром шара, радиусом, диаметром? – Как вычислить поверхность и объем шара, если известен его радиус? – Если известен его диаметр? – Как высказать эти соотношения словесно?
Применения
123. Сколько весит оболочка воздушного шара диаметром 15 метров? Кв. м. оболочки весит 300 граммов.
Р е ш е н и е. Поверхность этого шара = 4 ? 1/4 ? ? ? 152 = 710 кв. м, а следрвательно, вес 210 кг.
124. Сколько свинцовых дробинок в 3 мм диаметром идет на 1 кг?
Р е ш е н и е. 1 кг свинца занимает объем 1000/11,3= 88,5 куб. см. Объем одной дробинки = 1/6 ? ? ? 0,33= 0,014 куб. см. Следовательно, на 1 кг идет 88,5/0,014 = 6300 дробинок указанного диаметра.
125. Диаметр Марса вдвое меньше земного. Во сколько раз поверхность и этой планеты меньше, чем Земли?
Р е ш е н и е. Поверхности шаров относятся как квадраты диаметров, а объемы, – как кубы диаметров. Поэтому поверхность Марса меньше земной в 4 раза, а объем меньше земного в 8 раз.
126. «При обыкновенном дожде вес капель не превышает 0,065 грамма. Визнер на острове Яве во время сильнейшего дождя определил средний вес капель в 0,16 грамма» (К л о с со в с к и й, «Основы метеорологии»). – Определить соответствующие этим данным поперечники дождевых капель, считая их форму шарообразною.
Р е ш е н и е. 0,065 грамма воды занимают 0,065 куб. сантиметра или 65 куб. миллиметров. Диаметр шара такого объема получаем из уравнения
1/6 ? ? ? x3=65, где x – диаметр в миллиметрах. Отсюда
Итак, крупная дождевая капля имеет в ширину полсантиметра. Диаметр самых больших измеренных капель (вес 0,16 грамма) равен 6,7 миллиметра.
127. Яблоко при печении сморщивается. На что это указывает?
Р е ш е н и е. На то, что объем яблока при печении уменьшается, кожура же сохраняет прежние размеры. Сделаем примерный расчет: вычислим какой избыток кожуры получается, когда яблоко диаметром 8 см уменьшается (вследствие потери воды при нагревании) на 4 миллиметра по диаметру. 4? ? 402– 4? ? 382= 4? [402– 382] = 4? ? 78 ? 2 = 2000 кв. мм, или 20 кв. см. Следовательно, общая поверхность всех морщин печеного яблока, при указанных размерах, равна 20 кв. см.
§ 91. Поверхность подобных тел
Мы знаем (из § 70), что площади подобных фигур относятся, как квадраты их линейных размеров. То же правило верно и для поверхностей подобных тел (т. е. таких тел, которые при одинаковой форме имеют различные размеры). Это значит, что
п о в е р х н о с т и п о д о б н ы х т е л о т н ос я т с я, к а к к в а д р а т ы и х л и н е й н ы х р а з м е р о в. Если у нас два подобных конуса (имеющие равные углы при вершине), и высота первого в 3 раза больше высоты другого, то поверхность первого в 9 раз больше поверхности другого.
Применения
128. В «Путешествии Гулливера» рассказывается о лилипутах, рост которых в 12 раз меньше нормального. Если на костюм человека нормального роста идет 4 кв. метра материала, то сколько материала идет на костюм лилипута?
Р е ш е н и е. В 122, т. е. в 144 раза меньше.
40 000 кв. см: 144 = 280 кв. см.
129. Один человек на 1/4 ниже другого. Каково отношение поверхностей их тел, считая что оба тела геометрически подобны?
Р е ш е н и е. Поверхность человека меньшего роста состоляет
поверхности более высокого.
§ 92. Объем подобных тел
Как относятся между собою о б ъ е м ы подобных тел? Чтобы установить это соотношение» будем рассуждать так. Вообразим два подобных тела (безразлично какой формы). Пусть линейные размеры первого тела в 10 раз меньше линейных размеров второго тела. Рассечем мысленно первое тело тремя рядами параллельных плоскостей на миллиметровые кубики, а второе тело такими же плоскостями на сантиметровые кубики. Так как все линейные размеры первого тела содержат столько миллиметров, сколько размеры второго тела – сантиметров, то объем первого тела заключает в себе столько же миллиметровых кубиков, сколько объем второго тела заключает кубиков сантиметров. Число кубиков в объеме обоих тел одинаково, только каждый кубик первого тела меньше каждого кубика второго тела в 10 10 10, т. е. в 1000 раз. Во столько же раз, конечно, и объем первого тела меньше объема второго тела. Если бы первое тело имело линейные размеры не в 10, а в 3 или в 7? раза меньше, чем размеры второго, то объемы их относились бы как 1: 33или как
Вообще
о б ъ е м ы п о д о б н ы х т е л о т н о с я т с я м е ж д у с о б о ю, к а к к у б ы и х л и н е й н ы х р а з м е р о в. Поэтому, например, уменьшенная модель изделия, все линейные размеры которого в 6 раз меньше размеров самого изделия, имеет объем в 63, т. е. в 216 раз меньше. Если модель сделана из того же материала, как и изделие, то она весит в 216 раз меньше изделия.
Применения
130. Самовар, окружность которого 55 см, вмещает 42 стакана. Сколько стаканов вмещает самовар такого же фасона, окружность которого 44 см?
Р е ш е н и е. Меньший самовар вмещает
131. Какие яйца выгоднее покупать: 60-миллиметровые (длина) по 1 рублю десяток, или 55-миллиметровые по 75 копеек?
Р е ш е н и е. Объем меньшего яйца (т. е. количество питательных веществ в нем), считая форму обоих яиц одинаковою, меньше объема крупного яйца в отношении 553: 603= 0,71. Следовательно, меньшие яйца должны были бы продаваться по цене 71 коп, а не 75 коп. Крупные яйца в данном случае дешевле.
132. Средний палец гранитной статуи Мемнона в Египте имеет в длину 138 см. Зная, что гранит в 3 раза тяжелее человеческого тела, определить, сколько весит эта статуя.
Р е ш е н и е. Измерением находим длину среднего пальца человека – около 8 см. Следовательно, объем статуи превосходит объём человеческого тела в
раз. Человек весит около 60 килограммов; сделанный из гранита в натуральную величину, он весил бы 60 3 = 180 кг. Следовательно, статуя Мемнона весит
Тригонометрические таблицы
Квадратные и кубические корни
Таблица
Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы углов от 0° до 90°
Таблица
Квадратные и кубические корни
Таблица
Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы углов от 0° до 90°
Таблица
ТЕЛЕГРАМКанал с обзорами, анонсами новинок и книжными подборками
Книжный Вестник
Бот для удобного поиска книг (если не нашлось на сайте)
Поиск книг
Свежие любовные романы в удобных форматах
Любовные романы
О психологии, саморазвитии и личностном росте
Саморазвитие
Детективы и триллеры, все новинки
Детективы
Фантастика и фэнтези, все новинки
Фантастика
Отборные классические книги
Классика
ВКОНТАКТЕБиблиотека с любовными романами, которая наверняка придётся по вкусу женской части аудитории
Любовные романы
Библиотека с фантастикой и фэнтези, а также смежных жанров
Фантастика
Самые популярные книги в формате фб2
Топ фб2
книги