Журнал `Компьютерра` №719

ТЕМА НОМЕРА: Реформирование матрицы

Автор: Леонид Левкович-Маслюк

Где-то в конце 1980-х или начале 1990-х я читал в "Независимой газете" обзор событий в мире книг. Автор отмечал, что на прилавках появилось оригинальнейшее сочинение по истории древнего мира, которое написал Фоменко - "но это не тот Фоменкохъ [Видимо, режиссер]. И не тот Фоменко[Видимо, шоумен]. Этот Фоменко - математик, который…", ну и так далее.

Сегодня любой российский читатель сразу поймет, о чем было "и так далее". Популярность многотомных трактатов Фоменко и его соавторов на исторические темы столь велика (особенно среди людей, далеких от сферы гуманитарного знания), что нашего собеседника можно представить так: это тот Фоменко. Однако спрашивать его мы будем совсем не о "том". Речь пойдет только о математике.

Анатолий Фоменко с блеском защитил докторскую диссертацию в 1972 году, когда ему было лишь 26 лет, - на основе серии работ, где в весьма общей и новой постановке решалась знаменитая задача Плато о минимальных поверхностях. Его дальнейшая карьера в математике тоже была успешной, и сейчас Фоменко, академик РАН, лауреат Государственной премии РФ, заведует кафедрой дифференциальной геометрии и приложений на мехмате МГУ и одновременно - отделением математики мехмата. Последняя должность считается очень почетной, в разное время ее занимали крупнейшие и самые уважаемые математики страны, в том числе Андрей Николаевич Колмогоров и Павел Сергеевич Александров. Собственно, работа Фоменко в этой должности и стала поводом для нашей встречи - до редакции, тесно связанной с МГУ вообще и с мехматом в частности, дошла информация о том, что затевается серьезная реформа программы и всего стиля обучения на мехмате.

А мехмат - это по-прежнему математическая школа номер один в России. А математика - дело хоть на вид и безобидное, но от математики (как свидетельствуют обе версии истории, стандартная и нестандартная) слишком многое зависит в жизни общества, чтобы не обращать на нее внимания.

Теория Морса

Функции Морса - основной объект теории Морса, названной в честь ее создателя, американского математика первой половины ХХ века Марстона Морса (Marston Morse). Эти функции помогают представить сложные геометрические структуры в пространствах высокой размерности в виде совокупности простых "строительных блоков" - так называемых ручек, каждая из которых отвечает "критической точке", где производные функции Морса обнуляются. Теория Морса оказалась очень эффективной и для изучения кратчайших путей в "искривленных пространствах". Этот аппарат нашел множество применений в теоретической физике, а в последние годы его активно пытаются использовать в задачах компьютерной геометрии и компьютерного зрения. На рисунке - множество критических седловых точек функции Морса, заданной на трехмерном пространстве. Поведение функции около критической точки хорошо изображается "колоколом" с двумя "языками".

Анатолий Тимофеевич, вы действительно взялись за реформу преподавания на мехмате?

- Во-первых, не я один взялся, а во-вторых - да, на мехмате будут реформы, как и в МГУ в целом.

Пока что ни о каких реформах высшего образования, кроме внедрения болонской системы, слышно не было.

- До сих пор, слава богу, нам благополучно удавалось отказываться от введения этой системы. Но чиновники продолжают настаивать, чтобы МГУ (включая, конечно, мехмат) начинал этим заниматься. Поэтому мы приступаем к реформе, но собираемся ее использовать в основном для нововведений в содержание образования.

Каких именно?

- В первую очередь надо ввести в нашу программу ряд современных научных направлений, обновить лекционные курсы, которые были созданы довольно давно, в 1950–60-е годы. Все понимают, что их давно пора обновлять, и мы с большим удовольствием это сделаем. Это будет серьезная работа, и она начнется с построения большой матрицы. По горизонтали пойдут годы обучения и основные потоки (математиков и механиков), а по вертикали отложим основные курсы (обязательные и специальные) с подробным делением по темам. На пересечении строк и столбцов будет отмечено, какие темы по данному курсу читают в данном семестре, после чего станет видна общая картина: объем материала по каждому предмету, зависимость курсов друг от друга и так далее. Просто читая распечатки сотен учебных программ, невозможно осмыслить весь объем преподавания на мехмате. Матрица, думаю, нам в этом сильно поможет.

Будут ли структурные изменения?

- Да, наша вторая задача - создание экспериментальных групп, междисциплинарных, межфакультетских проектов. Одна такая группа, "экономический поток", действует уже много лет. Ее выпускники - математики, отчасти ориентированные на приложения в экономике. Как показал опыт, такая ориентация полезна в практической жизни. Аналогичная программа реализована и на кафедре теории вероятностей, там есть поток "Актуарная математика" (его возглавляет Альберт Ширяев[Один из наиболее известных в мире специалистов по стохастической финансовой математике.]), очень популярный у студентов. Междисциплинарные проекты существуют или создаются еще на нескольких кафедрах. Например, у нас на кафедре много лет ведется совместный проект с биологами и физиками, посвященный анализу форм длинных молекул. Там масса задач - геометрических, статистических, даже теория симметрий и кристаллография всплывают по разным поводам. Прикладной аспект проекта - материалы, обладающие памятью формы. Такие материалы уже существуют, они даже применяются в медицинских имплантах, и это активное поле исследований. Заманчиво было бы, например, изготовить проволочную конструкцию, потом очень компактно ее уложить, смять - а при попадании в специфические условия (например, на космическую орбиту) она бы восстановила прежнюю форму. У многих биологических молекул есть подобные свойства, своего рода встроенная память. Изучение геометрии этих молекул - важная задача. Оказывается, анализ их формы можно свести к исследованию критических точек функций Морса (см. врезку. - Л.Л.-М.), зависящих от огромного количества переменных.

Количество переменных соответствует количеству атомов в молекуле?

- Форма биомолекулы в пространстве задается при помощи ломаной с множеством узлов и ребер. Эту ломаную можно рассматривать как точку на поверхности очень высокой размерности. Писать обычные системы уравнений в такой высокой размерности бессмысленно - уравнений будет так много, что их все равно невозможно решить. Нужны новые идеи, и их развитию посвящена наша программа. По этой тематике уже работают студенты - и математики, и физики, и биологи. Выпускники группы очень востребованы, и в рамках реформы мы планируем создать на этой базе отдельную программу.

Сейчас на мехмате распределение студентов по кафедрам (математическим специализациям) происходит в конце второго курса. Мы думаем ввести еще и разделение по междисциплинарным группам, где студенты будут заниматься фундаментальной математикой, но с ориентацией на ее приложения в биологии, экономике, статистике и т. д. Работать с каждой группой будут сотрудники сразу нескольких кафедр.

Как же эта реформа связана с болонской системой?

- Никак не связана. Это совсем не то, чего хочет Министерство образования. Оно навязывает нам болонскую систему, которую мы считаем очень вульгарной. При этой системе выпускники будут делиться на бакалавров, отучившихся три-четыре года, и магистров, которых будет сравнительно немного. К тому же магистратура, возможно, станет полностью платной, что помешает многим талантливым студентам получить полноценное образование.

Вы против платного образования?

- Я считаю, что образование в МГУ должно быть бесплатным. Разве что с иностранных студентов можно взимать плату. Оплата образования - вещь вредная. К тому же я вижу, как это иногда происходит в МГУ: порой студент, заплативший деньги, считает, что его "обязаны научить" - независимо от его собственных усилий. Такого студента сложнее и отчислить за неуспеваемость.

На мехмате тоже?

- На мехмате, слава богу, этого пока не происходит. Мы отчисляем не глядя. Но я знаю факультеты, на которых это проблема. Платит деньги - с него меньше спроса, а он склонен искать причину неудач не в себе, а в преподавателе.

Но если все будут платить, этот эффект может исчезнуть. Есть же американская система - берут образовательный кредит, чтобы заплатить огромные деньги за обучение, но потом, получив высокооплачиваемую работу (благодаря окончанию хорошего университета), постепенно отдают.

- Может быть. Но там другая цивилизация, культура, идеология. У нас платное образование пока не привилось, и я думаю, для нас это путь неправильный.

Благосостояние факультета сильно зависит от количества платных студентов?

- Пока нет. У нас их мало, и их наличие не влияет на факультетскую политику.

Между прочим, и система "бакалавр-магистр" существует во многих странах уже сотни лет (в Англии, например) - и науки там ведь не умирают, правда?

- Не совсем так. В чистом виде эта система в известных мне престижных западных вузах не реализуется. Например во Франции в знаменитой Эколь Нормаль (Йcole normale supйrieure, ENS, - французский университет, который закончили все филдсовские лауреаты из этой страны и в котором работала группа под псевдонимом Н. Бурбаки, радикально повлиявшая на математику ХХ века. - Л.Л.-М.) ничего похожего нет, не было, и, полагаю, не будет. Ведущие вузы Германии, Франции, Англии, США ничего общего с болонской конвенцией не имеют. Эта конвенция предназначена для вузов, чья основная задача - сравнительно массовая подготовка специалистов - инженеров, технологов, менеджеров, юристов, экономистов - для промышленности, финансовой сферы, государственного и муниципального сектора. Фундаментальное же научное образование, воспитание научной элиты, о котором мы сейчас говорим, и в Германии, и в Италии, и во Франции и в других ведущих научных державах построено примерно по тому же принципу, по которому работает и мехмат. Тут болонской системе, как мы считаем, делать нечего.

Вы лично заняли такую жесткую позицию в этом вопросе?

- И я лично, и факультет, и руководство МГУ в целом. Я знаю мнение ректора, мнение ректората - болонская конвенция не для МГУ.

Есть ли шанс настоять на этой позиции?

- Думаю, есть, потому что здравые люди в министерстве все-таки должны понимать - фундаментальную науку надо холить и лелеять.

Гомологии

Теория гомологий - алгебраический язык, на котором в математике часто выражают "качественные" утверждения о строении геометрических или алгебраических объектов - например, о том, сколько "дыр" прорезано в поверхности сферы, независимо от их формы. Язык гомологий объединяет, казалось бы, не связанные друг с другом факты. Например, и знаменитая теорема Эйлера (В – Р + Г = 2, где Р, В, Г - количество ребер, вершин и граней выпуклого многогранника), и известные соотношения из теории поля div(rot v) = 0 и rot(grad f)=0 есть следствия простых теорем теории гомологий.

Какие же новые дисциплины вы намерены включить в программу?

- Почти на всех кафедрах есть спецкурсы под условным названием "Дополнительные главы". Возможно слияние двух программ - нынешнего обязательного курса и "допглав". При этом будет отсеян ряд старых тем и добавлены новые. Что именно убрать и добавить - мы сейчас подробно обсуждаем.

Обновление программы в очень большой мере будет обновлением понятий. Скажем, в обязательный курс сейчас не входит общая теория гомологий (см. врезку. - Л.Л.-М.). Это классический раздел, но в последние годы он сильно расцвел, в том числе в приложениях к физике. Этот язык студенты должны осваивать. Еще один язык - геометрическая теория функций, функции Морса - тоже в той или иной форме будет введен в обязательный курс. Таких примеров много. Но обновление вовсе не означает добавления в курсы массы новых теорем. В первую очередь оно заключается во введении и осмысливании новых понятий.

Похоже, упрощение курсов не планируется?

- Нет, упрощать программу (как и сильно усложнять ее) мы не будем. Упрощение категорически не для мехмата, это как раз идея бакалавриата - упрощенный курс за три-четыре года. Но выпускать в жизнь не совсем "доделанного" математика - значит калечить судьбу ребят. Не потому, что студент за пять лет выучит больше теорем, чем за три. Дело не в теоремах. Многие теоремы на практике не понадобятся. Скажем, формула бинома Ньютона никому из нас в реальной жизни не потребовалась ни разу. Но мы же воспитываем специалиста не как ящик, в котором лежит набор теорем, - мы воспитываем умение логически мыслить. Вот чего мы добиваемся, и мы хотим объяснить это чиновникам, которые заставляют нас вводить двухуровневую систему. Ведь в итоге бакалавр может оказаться странным существом - он поверхностно изучит элементы разных разделов математики, но не приобретет навыков идеологического встраивания в ее современные приложения и будет, думаю, испытывать от этого комплекс неполноценности.

Будет ли в новых курсах мехмата учтена математика, связанная с компьютерной, информационной революцией?

- Да, разумеется, на мехмате многое делается в этом направлении, особенно на кафедре дискретной математики, теории интеллектуальных систем, теории чисел, ряде других. Несколько лет назад я организовал на факультете большой семинар по квантовой информатике. Наша кафедра почерпнула оттуда хорошие геометрические задачи, которые потом пустили в активную работу со студентами и аспирантами, еще на нескольких кафедрах возникло заметное движение, вдохновленное квантовыми вычислениями. Но потом мы этот семинар приостановили, так как пришли к выводу, что нам, математикам, пока рановато включаться в конкретную прикладную деятельность по созданию КК в железном виде. По моему ощущению, в этой области наряду с замечательными идеями есть и очень туманные спекуляции. Многие идеи при тщательном их продумывании воспринимаются нами с большим подозрением, по крайней мере они до сих пор не обоснованы. Впрочем, в новые программы некоторых кафедр элементы квантовой информатики могут войти.

Могу назвать еще компьютерную геометрию (КГ). Это огромная, очень интересная сфера деятельности, там есть замечательные теоретические задачи. На нашей кафедре уже года четыре читается спецкурс по КГ, мы написали учебник (мгновенно раскупленный), работаем в области КГ вместе с коллегами из Японии и Сингапура. Это одна из тем, которые я постараюсь ввести в наше обязательное преподавание.

Как быстро планируется провести реформу?

- Думаю, за три-четыре месяца будет составлен план реформирования программы факультета. А сама реформа потребует, видимо, около года.

Вы берете за образец программу какого-нибудь западного университета?

- По инициативе ректора МГУ Виктора Антоновича Садовничего было сделано очень полезное дело - сравнение программ мехмата по математике и механике с программами ведущих вузов мира. В течение года все наши кафедры вели эту огромную работу. Была, опять-таки, построена матрица: по столбцам выписали 20–25 лучших университетов (Кембридж, Гарвард, Оксфорд, Эколь Нормаль и др.), а по строкам - темы, представленные в программах. На пересечении строки и столбца ставилась отметка - есть ли данная тема в данном вузе. Мы использовали наши программы, изучили вывешенные в Интернете программы зарубежных вузов. Мы также опросили коллег, работающих в этих вузах, и они дали ценные комментарии к программам: что акцентируется, что нет, и т. п.

И что же оказалось?

- Главных выводов два, приятный и не очень. Приятный вывод: мехмат уверенно занимает первое место в мире по количеству изучаемых тем (учитывая обязательные курсы и спецкурсы). Что такое "тема" - вопрос сложный, мы подошли к нему так: взяли основные учебники (наши и западные) - по топологии, геометрии, дифференциальным уравнениям, другим разделам математики - и использовали перечень тем из оглавлений. Программы курсов - это тоже перечень тем. Так вот, в этом смысле по количеству тем мехмат держит первое место, далее, на уровне 60% от нашего объема, следуют Гарвард и Кембридж.

Ну а второй вывод, неприятный, - мы явно проигрываем по аспирантуре. И количество изучаемых в аспирантуре тем, и отдача аспирантов в сравнении с ведущими западными вузами у нас заметно меньше.

Объяснение таково: наше образование построено, грубо говоря, по принципу кирпича. Пять лет учебы - единый кирпич, хотя в нем много разных прожилок и струй. Студенты в общем-то усваивают более-менее весь кирпич. Что, конечно, для образования очень хорошо. Оказывается, что выпускник пятого курса мехмата, даже если он троечник, много чего усваивает на уровне подсознания. Но только в аспирантуре начинается серьезная специализация по отдельным струям. Образование, скажем, в Оксфорде или Кембридже устроено по иному принципу. Там этот кирпич существенно меньше - он занимает год-полтора. Потом начинается специализация, гораздо раньше, чем у нас. В итоге они проигрывают по подготовке студентов, но выигрывают за счет аспирантуры. Именно после этого сравнения возникла мысль провести реформу образования на мехмате. Мы будем проводить ее с учетом наших преимуществ и недостатков, но ни в коем случае не копируя тот или иной знаменитый университет.

В середине 1960-х некоторые важнейшие направления математики, бурно развивавшиеся в мире, - в первую очередь алгебраическая топология (сегодня она - основной математический язык новой физики), - на мехмате были практически неизвестны! Тогда замечательный тополог Михаил Михайлович Постников открыл семинар по этим направлениям, в работе которого участвовали молодые ученые, аспиранты, студенты (если не ошибаюсь, и вы тоже). Многие из них вскоре достигли блестящих результатов, стали лидерами мощных научных школ. Это был несомненный взлет, прорыв. Может быть, и сейчас где-то происходит что-то очень яркое, новое, важное - а на мехмате это никак не представлено?

- Вполне возможно. Наверняка есть много тем, которые закипели, бурно развиваются - но от которых мы пока в стороне. Вот это мы и выясним в ходе реформы. В те годы все было именно так, как вы говорите, и я хорошо помню, как мы это делали. Естественно, нечто подобное хотим сделать и сейчас.

Какие новые яркие направления в математике вы могли бы назвать?

- Из того, что близко к моей сфере деятельности, я уже упоминал компьютерную геометрию, замечательное новое направление. Еще один важный пример - знаменитая работа Перельмана, решение проблемы Пуанкаре. Эта работа открыла пионерское направление в науке. Неожиданное, очень глубокое, бурно развивающееся, с замечательными теоремами, даже с новой идеологией. Очень многое было сделано в последние десятилетия на стыке физики и топологии. Здесь и теория инстантонов, и теория солитонов, и решение уравнений в частных производных (анализ уравнений типа Кортевега-де Фриза). Наконец, геометрические и топологические методы в задачах интегрирования гамильтоновых систем - там есть замечательные вспышки, открытия последних лет. Моя школа очень активно работает в этой области.

Что бы вы отнесли к самым ярким достижениям последнего времени в математике в целом?

- Если говорить о рекордах, покоренных вершинах, - Перельмана мы уже назвали, ну и, естественно, Уайлз - теорема Ферма.

Работа Уайлза дала импульс для развития новых областей науки?

- Об этом мне судить труднее, чем о работах Перельмана. Насколько я понимаю, идеи Уайлза еще не проникли достаточно глубоко в смежные сферы математики. К тому же работа Уайлза очень сложная. Были попытки написать более простое доказательство - я в них сам не разбирался, но есть ощущение, что весь этот аппарат понят пока лишь очень немногими. С Перельманом ситуация все-таки другая, и уже ясно, что кроме чисто "спортивного" успеха у него сделано нечто большее.

Мы когда-то писали о задачах-вызовах, за решение которых обещаны призы в миллион долларов. Как вы считаете, такие вызовы стимулируют развитие науки или только спортивную ее сторону?

- Есть два типа жизни в математике. Два способа мышления. Вызовы, знаменитые проблемы, которые многие хотят решить, привлекают людей определенного склада ума, их можно назвать великими спортсменами. Они хотят выиграть. Хотят получить золото. Но есть и те, кто стремится открывать неизвестные острова, материки. Такие люди делают работы, нацеленные не на решение проблем, а на открытие новых направлений. И то и другое замечательно, и то и другое стимулирует развитие науки.

Можно ли привести недавние достижения, относящиеся ко второму типу?

- Я бы назвал пионерские работы по теории узлов (см. врезку. - Л.Л.-М.). Возник новый язык, открыты многочисленные и очень интересные инварианты узлов - полином Джонса, инвариант Васильева. Проблема классификации узлов пока не решена. Но открыт новый мир, мир инвариантов, которые управляют узлами, и сейчас этим миром занимаются ради него самого. Жизнь в этом мире необычайно увлекательна, изучать инварианты так интересно, что люди занимаются ими, даже не будучи уверены в том, что проблема классификации будет решена. К тому же эта область имеет массу приложений, в первую очередь в физике. Надо сказать, что все по-настоящему глубокие вещи в математике так или иначе связаны с какими-то соображениями из математической физики.

Значит, наибольший толчок развитию математики дает именно физика? Или компьютерный мир тоже?

- Полагаю, что и физика, и компьютерный мир. Физика мне ближе, я все-таки занимаюсь сейчас гамильтоновыми системами и вижу массу новых идей, возникающих из приложений в физике и механике. Второе, что я вижу, - в компьютерном мире (понимаемом широко) возникает очень много идей, которые важны для фундаментальной математики. Я бы назвал еще и биологию как важный источник задач для современной математики. Но это лишь то, что связано с моими собственными научными интересами.

Над чем вы сейчас работаете?

- Над проблемой интегрирования гамильтоновых систем дифференциальных уравнений (эти системы возникают в огромном количестве задач классической механики и других областей физики. - Л.Л.-М.). Недавно мы с моими сотрудниками открыли новые инварианты таких систем, позволяющие их классифицировать. Есть известная прикладная задача: даны две системы дифференциальных уравнений, описывающие какие-нибудь процессы, вопрос - эквивалентны ли эти системы? Может быть, на самом деле процесс один и тот же, просто уравнения записаны в разных системах координат? Желательно иметь такие инварианты, которые можно вычислить для каждой из систем и посмотреть: если инварианты совпали, то системы эквивалентны, не совпали - не эквивалентны. Вот такие инварианты мы нашли несколько лет тому назад - это графы с некоторыми метками. Они применимы к разным классам систем, в первую очередь к динамике твердого тела - к движению твердого тела в жидкости, в том числе намагниченной, к движению тела с полостями, тела с неголономными связями. В частности, мы с А. Болсиновым доказали теорему об эквивалентности двух известных систем уравнений: движения твердого тела (случай Эйлера с закрепленной точкой) и динамики геодезических на эллипсоиде. Причем там очень тонкий эффект - эквивалентность есть, но ее нельзя сделать гладкой.

Теория узлов

В отличие от функций Морса и гомологий, теория узлов имеет дело не с многомерными абстракциями, а с узлами в самом прямом житейском смысле слова - заплетенными веревками со связанными концами. До сих пор никому не удалось найти алгоритм, определяющий, одинаковы ли два заданных узла - то есть можно ли один из них превратить в другой, не разрывая и не развязывая веревку. Если бы мы жили в плоскости, никаких узлов у нас бы не было - их в плоскость не засунешь. В четырехмерном пространстве любой узел можно превратить в обычное колечко, а его потом - в любой другой узел, так что вопрос снимается. Но вот в нашем 3D узлы оказались настолько запутанными, что вокруг них образовалась целая наука - как теперь выясняется, имеющая прямой выход в квантовую теорию поля. На рисунке - сложный на вид узел, но - кто бы мог подумать! - это лишь иллюзия, перед нами обычное, незаузленное кольцо.

Что сейчас мотивирует студентов мехмата? Они нацелены именно на науку или просто хотят получить хорошее образование, престижный диплом, чтобы затем заняться чем-нибудь другим?

- Как всегда - далеко не все видят себя будущими учеными.

Как всегда? То есть радикальных изменений вы не замечаете?

- Нет, не замечаю. И раньше основная масса студентов хотела получить хорошее образование, которое обеспечит им достойное место в обществе. Наши студенты пять лет учатся совершенно уникальному способу мышления. Тут и логика, и гибкость формирования понятий, и умение формализовать прикладную задачу для математики. Это получают все, даже не круглые отличники. В этом, собственно, основная польза от изучения фундаментальных наук - математики, по крайней мере. Но тех, кто потом пойдет работать в фундаментальную науку, немного. Таких действительно стало меньше, чем раньше, поскольку в последние годы был внедрен новый тип психологии - стремление зарабатывать деньги. Это хорошо. Но есть люди, которые понимают, что не в деньгах счастье. И которые странным образом - разумеется, от денег не отказываясь, - видят свое будущее в более… ну, что ли, идеализированном виде. Такие ребята всегда были и будут, на них, собственно, и держится фундаментальная наука. Они хотят получить в жизни минимальный фундамент под ногами, но в целом ориентированы на эдакую идеальную действительность.

Нет ли у вас ощущения, что теперь у студентов не то чтобы культурный уровень снизился, а просто это другой культурный слой, не тот, что раньше?

- Это есть. И опять же объясняется сменой идеологии. Ребята, начиная с 4–5-го курса, вынуждены зарабатывать деньги. Причем не всегда потому, что не хватает на жизнь. Их подталкивает атмосфера в обществе в целом: идея, что необходимо иметь большие деньги. Это мешает многим, рождает прагматизм, в целом студенты стали более прагматичны. Раньше, когда зарплаты были более-менее унифицированы, для каждого слоя был свой уровень доходов: кандидат, доктор, профессор, инженер. В те годы люди тратили меньше свободного времени на зарабатывание дополнительных денег. Сейчас вы можете, потратив свое время, заработать денег все больше, больше, больше и больше. Далеко не все могут на этом пути остановиться, в том числе и студенты. Это затягивает. Это увлекает. Ты можешь обедать в студенческой столовой, или в профессорской столовой на втором этаже, или в кафе, в ресторане, в шикарном отеле - верхней границы нет.

Многих привлекает процесс подъема по жизненным ступенькам. В итоге у людей не остается времени, которое раньше мы отдавали культуре, искусству, хобби, разговорам о живописи, о науке, о музыке, о театрах, о путешествиях, о книгах, о стихах. В коридорах мехмата все реже слышишь такие разговоры. Это накладывает заметный отпечаток на среду в целом. Она изменилась. Я не знаю, хуже это или лучше. Но думаю, что это не очень хорошо.

Как же может развиваться дальше мир или страна, чтобы ситуация изменилась? Какие могут быть сценарии?

- Не знаю. Вернуться в прошлое невозможно, нельзя войти в одну реку дважды. Но тот капитализм, который существует у нас, вредит более широкому, научному взгляду на жизнь.

А как же Запад, опять-таки: там все это существует уже давно, и тем не менее..

- Российская культура всегда была и пока остается более широкой, энциклопедической. Запад уже давно предпочел идеологию узкой специализации, вследствие чего нередко достигается высокий спортивный результат в каждой области, когда все брошено на достижение одной цели. Это очень хорошо и важно, но за это приходится платить - людям и обществу в целом - меньшим энциклопедизмом, чем у нас. То же самое мы видим и в математике. Это разные стили мышления. Неясно, что лучше или хуже, и там и там есть плюсы и минусы - просто разный стиль.

Больше тридцати лет назад вы делали на мехмате доклад о топологическом подходе к строению натурального ряда чисел: 1, 2, 3, …

- Да, было такое.

Там был очень необычный подход к самым основам математики. Думаете ли вы время от времени о такого рода "вечных вопросах"?

- О строении натурального ряда думаю, но, к сожалению, только изредка. Эта работа - точнее, просто мысль, идея, - была давно, она меня сильно увлекала и до сих пор увлекает: как описать поведение очень больших чисел. Настолько больших, что они даже чуть-чуть "размытыми" становятся. Это ни к чему конкретному не привело, и времени на это у меня не очень много. Но иногда такие мысли всплывают, и они мне очень нравятся - несмотря на то что ничего конкретного доказать я, может быть, и не смогу. Однако просто для себя полезно поразмышлять в неформализованном, чисто интуитивном стиле. Я хорошо понимаю Анри Пуанкаре (он один из авторов интуиционизма в математике), который считал интуицию важнейшей формой математического мышления. Это вещь абсолютно неформализуемая. У каждого математика есть свое представление об этом, его очень трудно объяснить. Да и не нужно. Но интуиция сродни озарению - озарение вещь тоже очень зыбкая, философски трудно объяснимая, трудно комментируемая, - но это работает. Интуиция и озарение - одно и то же по большому счету. У меня к этому есть склонность, вкус, к тому же я понимаю, что такие размышления иногда помогают даже в конкретных задачах.

Вы, наверное, не допускаете возможности, что человеческое мышление удастся смоделировать на компьютере?

- Ой, не знаю. Это очень интересная проблема, и у нас на факультете есть известная кафедра теории интеллектуальных систем, которая пытается эти вопросы формализовать. Тут я боюсь прогнозировать, можно ли смоделировать хоть часть нашего мышления на компьютере, пусть даже на квантовом. Пропагандисты квантовых вычислений, кстати, надеются научиться моделировать интеллект. Не знаю. Тут я не специалист, но сомневаюсь, что это возможно. По крайней мере, маловероятно. Такой разговор выходит совсем уж за рамки математики - но у меня есть ощущение, что смоделировать мышление даже на квантовом компьютере не удастся.

Вы знаете книжки Роджера Пенроуза об этом? Он придерживается той же точки зрения.

- Когда-то я листал некоторые его работы, размышления замечательного математика на очень нестандартные и волнующие темы. Можно и Пуанкаре опять вспомнить в связи с этим. Видимо, каждый профессиональный математик рано или поздно начинает думать о вещах, выходящих за рамки конкретных теорем. О месте математики в мире, о своем месте в мире. Это естественно, это хорошо, это нужно. Только не всегда стоит публиковать такие размышления в научной периодике - они нужны прежде всего для себя самого.

Кто вам как ученый наиболее близок в современной науке?

- Трудно ответить, ведь кроме работ надо знать и личность ученого. Мне легче говорить о классиках, и я бы назвал Пуанкаре, мне всегда казалось, что я хорошо понимаю его мировоззрение и то, чего он хотел в науке. Я всегда привожу Пуанкаре в пример студентам как замечательного мыслителя, который не только великолепно работал в математике, но и смотрел на науку шире.

Можете ли вы назвать научные разочарования последних десятилетий? Часто появляются модные теории - вспомним теорию катастроф, например, - а потом вроде бы это кончается ничем.

- О теории катастроф действительно стали говорить гораздо меньше - но всегда опасно утверждать, что что-то окончательно отброшено. Мы прекрасно знаем, хотя бы на примере работ итальянской школы алгебраической геометрии, как много замечательных открытий XIX века были забыты, потом заново переоткрыты, и лишь тогда вспоминались те исходные работы. Подобных примеров много, так что я был бы очень осторожен, прежде чем ставить крест на том или ином направлении. Ушло, временно заморозилось - надо подождать.

Очень трудно, видимо, сказать, чем определяется судьба математических идей?

- Я когда-то размышлял на эту тему и понял, что есть вот какой эффект. Многие великие вещи в науке - в математике, в частности, - открывались независимо разными людьми и почти одновременно в разных местах. Классический пример - геометрия Лобачевского. Сначала ее разработал наш соотечественник Николай Лобачевский, спустя несколько лет - венгр Янош Больяи, а чуть раньше - немец Карл Фридрих Гаусс (хотя никаких записей не оставил). И таких случаев можно привести немало. В чем дело? Возникает ощущение - очень странное, выходящее, разумеется, за рамки математики, - что где-то вне нас есть некий банк идей. Он закрыт от нас. Однажды кто-то поднимает заслонку, и из этой сферы вырывается луч света, падающий на научное сообщество. Некий сигнал. Его почти никто не замечает. Но как любой сигнал, он как-то модулирован. Некоторые интеллекты настроены на эту частоту. Они неожиданно воспринимают этот сигнал - и у этих людей вспыхивает идея, примерно одна и та же. Такое ощущение, что эти заслонки, когда приходит время, поднимаются - и общество делает следующий прыжок. То есть от нас мало что зависит. Не только в математике - вообще в науке. Там, где важна роль озарения. Человек понял что-то - неожиданно. Как-то все у него в голове улеглось. Он видел хаос - и возникло понимание. Это очень краткий процесс, миг, - и мне кажется, что в этот миг какой-то сигнал извне до нас доходит. Кто подает его, я не знаю.

Пуанкаре, кажется, как раз что-то такое писал об озарении.

- Да, писал. Люди, размышляющие на эту тему, к этой идее в том или ином виде рано или поздно приходят.

А это имеет отношение к религиозному восприятию мира?

- Я лично религиозным себя не считаю. Верующие люди нечто похожее рассказывают про свои озарения, но я говорю о науке. О вещах совершенно конкретных - как та же геометрия Лобачевского.

Может быть, озарения тоже можно сделать предметом науки. Систематизировать совпадения, проследить какие-нибудь временные зависимости.

- Конечно! Было бы здорово, если б историки науки, историки математики исследовали этот вопрос. А то когда нам просто рассказывают, в каком году Гаусс открыл такую-то формулу, в каком году Эйлер доказал то-то и то-то - это важно, конечно, но бывает скучновато. Ну и кроме того, было бы интересно и полезно, для молодежи особенно, написать не только историю достижений, но и историю ошибок. Очень поучительно - как математики и физики ошибались.

Мне говорили, что вы отошли от занятий историей…

- Нет, когда есть время, я этим занимаюсь. Точнее, не историей, а хронологией. Тоже интересная тематика. Хорошая прикладная задача.