Гильберт

НЕСКОЛЬКО СЛОВ ИЗ ВОСПОМИНАНИЙ О ГИЛЬБЕРТЕ П. С. Александров

На русский язык переведена и пользуется заслуженным успехом среди советских математиков книга о Гильберте, опубликованная в США, автором которой является Констанс Рид (Constance Reid).

Однако надо иметь в виду, что К. Рид не является математиком и Гильберта никогда лично не знала, а написала свою книгу со слов других лиц, близко знавших Гильберта. Так как я являюсь математиком, непосредственно знавшим Гильберта и неоднократно встречавшимся с ним, то, быть может, эти мои краткие воспоминания могут служить некоторым добавлением к книге К. Рид.

Основным свойством Гильберта как учёного, да и просто как человека, является его непреклонная и всепобеждающая вера в могущество человеческого познания: мы хотим знать и мы будем знать. Эти слова Гильберта могут служить как бы девизом для всей его научной деятельности, как бы эпиграфом ко всей его жизни, так же как и другие его не менее знаменитые слова, сказанные в применении к математике, но имеющие конечно по существу своему общенаучный, общепознавательный смысл: Est gibt in der Mathematik kein ignorabimus (В математике не существует понятия «мы не будем знать».) Но в свете этой уверенности Гильберта во всепобеждающей силе человеческого познания, в частности и в математике, особый интерес и содержательность приобретает вопрос о природе математического познания, частности и в особенности теоретико-множественного, вопрос о том, какова та реальность, которую познаёт абстрактная теоретико-множественная математика, каковы те реальности, которые населяют «тот райский сад, который открыл для нас Кантор своею теорией множеств и из которого мы никогда и никому не позволим нас изгнать».

С вопросом о природе реальности, изучаемой математикой, тесно связан и другой вопрос: в чём ценность математического познания, а также каковы критерии, позволяющие отличить хорошие, ценные математические работы от малоинтересной математической продукции, в таком обилии наполняющей и переполняющей математические журналы. Имеется много таких критериев, много условий, характеризующих «хорошие» математические работы, и с этими критериями в большинстве случаев связаны те или иные точки зрения на то, что собственно изучает или должна изучать математика. По моему мнению, все эти точки зрения дают в лучшем случае достаточные условия, не являющиеся, однако, как показывает опыт исторического развития математики, необходимыми.

В качестве первого такого условия назову условие непосредственной полезности, приложимости к практике той или иной математической теории. Это условие имеет своей предпосылкой то, что математика изучает тот же материальный мир, что и другие естественные науки, ту же окружающую нас природу, но только несколько отличными от других естественных наук методами, поэтому ценно в математике лишь то, что приложимо к практике. Однако это решительно опровергается историческим развитием нашей науки и выработанными ею традициями, в силу которых мы высоко ценим такие математические области, как различные главы теории чисел и геометрии, в частности алгебраической, далёкие от приложений к практике.

Впрочем и, казалось бы, бесспорная достаточность критерия практической приложимости математической теории может подвергаться некоторым сомнениям с общефилософской точки зрения вследствие того направления, которое приняли приложения математических наук в последние десятилетия. Во всяком случае не недостаток практической приложимости его теоретических работ поверг Эйнштейна в конце его жизни в тяжёлые и мрачные сомнения о ценности его научной деятельности.

Многие хорошие математики склонны оценивать достоинства математической работы с точки зрения трудностей, которые в этой работе преодолены: математический результат хорош, если он труден, если его доказательство потребовало от его автора больших творческих усилий. Этот, я бы сказал, спортивный подход к математике так же даёт, как правило, достаточные условия для оценки достоинства математической работы: теоремы, доказательства которых представили большие трудности, обычно являются и интересными, но необходимым условие трудности доказательства теоремы для важности и значительности этой теоремы всё же не является. Например, основные теоремы Штейница об алгебраических полях и их расширениях не являются особенно трудными, однако их значение для развития современной алгебры чрезвычайно велико. Не являются особенно трудными и доказательства основных теорем Лебега об его мере и интеграле, между тем современный математический анализ был бы невозможен без этих теорем. Я уже не говорю о собственно канторовских теоремах по теории множеств, положивших начало всей теоретико-множественной математике новейшего времени. Не следует забывать, что наряду со спортивной трудностью математических результатов существует их идейная значительность, и эти две различные вещи не следует смешивать. Всё это хорошо понимал Гильберт; в своих разговорах об общих познавательных проблемах, связанных с математикой (а Гильберт охотно вёл такие разговоры), он любил отмечать различные ингредиенты математического познания, в частности и логику, и геометрическую интуицию, и призывал к гармонии между ними.

То, что мы в математике во всяком случае склонны оценивать трудность, преодолённую при получении того или иного результата, является одним из проявлений того общего факта, что мы в математике не отделяем собственно результат работы от процесса его получения и содержание от формы. Это сближает математику с искусством и делает возможным эстетический подход к математической работе и математическому творчеству. В некоторой степени эстетический подход возможен и, вероятно, даже неизбежен в применении ко всякому творческому процессу, в частности и к научному. Мне приходилось быть свидетелем такого подхода и, например, со стороны выдающихся врачей-хирургов. Но если говорить о теоретическом научном познании, то нигде этот подход, критерий красоты и внутреннего совершенства, не проявляется с такою силою, яркостью и убедительностью, как именно в математике. Для Гильберта математика, с одной стороны, всегда есть познание, постижение реальности, с другой стороны, субъективно она для него в первую очередь является увлекательным искусством; недаром основным эмоциональным образом, возникающим у Гильберта, когда он говорит о математике, и прежде всего о теоретико-множественной математике, является образ волшебного сказочного или райского сада во всевозможных вариациях этого образа.

Гильберт делился своими философско-математическими воззрениями и в своих научно-философских докладах, которые он в последние годы своей творческой жизни часто делал для достаточно широкой, не чисто математической аудитории, например, в своих гамбургских лекциях 1923 года, в своих ещё более поздних выступлениях в обществе немецких естествоиспытателей и врачей и в других публичных выступлениях. Не боялся Гильберт затрагивать серьёзные общие математико-познавательные проблемы и в самой непринуждённой обстановке, у себя дома за ужином, а также в университетском, главным образом, студенческом купальном заведении, усердным посетителем которого он был. В этом заведении, у знаменитого «купального мастера» Кли (так звали заведующего этим заведением) постоянно бывали и супруги Курант, и Эмми Нётер, и знаменитый гидромеханик Прандтль, и не менее знаменитый химик Тиман и много других известных учёных. Во время своего пребывания в Гёттингене посещал купальню Кли и Отто Юльевич Шмидт, с которым старый Кли особенно любил вступать в философско-политические дискуссии. Постоянными посетителями Кли были, конечно, и находившиеся в Гёттингене молодые математики, в том числе Хопф, Г. Леви и я. Между прочим, с основными идеями знаменитой гильбертовой работы о бесконечном я впервые познакомился, именно когда Гильберт рассказывал о ней у Кли.

Среди моих многочисленных встреч с Гильбертом была у меня в первый период нашего знакомства, летом 1923 или 1924 года, и одна специально данная им мне «математическая аудиенция». Она происходила в саду гильбертовского дома в Гёттингене, в беседке, и первою своею частью имела сделанный Гильбертом связный обзор основных геометрических проблем; это был как бы непринуждённый конспект лекций по наглядной геометрии, прочитанных Гильбертом в этом или в предыдущем летнем семестре. За этой первой частью беседы последовала вторая часть: она началась с того, что Гильберт спросил меня о результатах и проблемах в близких мне областях топологии, и именно о тех из этих результатов и проблем, которые кажутся мне наиболее важными. В ответ на это предложение я рассказал Гильберту о некоторых результатах в теории топологических пространств и в теории размерности. Наибольшее впечатление произвели на Гильберта понятие лебеговой размерности и факт её совпадения в широких предположениях с индуктивной размерностью. Далее последовала ещё более непринуждённая беседа на математические, и не только математические темы.

Гильберт был очень прост в обращении с молодыми математиками. В нём не было того, что называется генеральством или недоступностью, ни даже просто важностью, что в некоторой степени было присуще, например, Ландау. Однако во всяком обществе математиков, большом или маленьком, Гильберту всегда очевидным образом принадлежало первое место; во всяком разговоре на любую тему его участие всегда и без всякого исключения было ведущим. Это никем и никогда не подчёркивалось именно потому что было для всех очевидным.

Гильберт довольно часто приглашал гостей к себе домой вечером. Эти домашние приемы после краткой непринуждённой беседы на те или иные злободневные темы переходили в ужин и заканчивались обычно танцами, в которых деятельное участие принимал хозяин дома. Однако танцевать с Гильбертом (он танцевал почти исключительно вальс) было не очень просто, потому что он постоянно менял, так сказать, ориентацию танца, танцуя то справа налево, то слева направо: когда он танцевал в одном направлении вращения, у него скоро начинала кружиться голова. Излюбленной партнёршей Гильберта в танце была Клерхен, когда-то домашняя работница в доме Гильберта, уже давно сделавшаяся полноправным и общепризнанным членом семьи. Хотя Клерхен уже давно жила в доме Гильберта, она была значительно моложе своих хозяев. В описываемое мною время, когда Гильберт уже перешагнул через своё шестидесятилетие, а фрау Гильберт была совсем близка к этому, Клерхен ещё заведомо не было пятидесяти лет. Атмосфера гильбертовского дома была очень приятна, очень уютна и патриархальна. Вся эта атмосфера была созданием фрау Гильберт. Это была обаятельная, очень умная женщина, чрезвычайно удачно и с настоящим искусством выполнявшая свою в действительности совсем не лёгкую роль жены великого учёного, бывшего, в то же время, очень сложным и совсем не лёгким в обхождении человеком. Ум, тонкий такт и обаяние фрау Гильберт были неразрывно связаны с присущим ей тонким чувством юмора и подлинным талантом общения с людьми. Трудной страницей жизни семейства Гильберта была тяжёлая безнадёжная болезнь сына.

Гильберт очень тяжело пережил гитлеровский переворот в Германии, оторвавший, в частности, от него многих близких его друзей, самым близким из которых был Курант. Тем не менее не только своё семидесятилетие 22 января 1932 года, но и последовавшие за ним несколько лет Гильберт не проявлял какого бы то ни было физического или душевного упадка, и это несмотря на то, что за пять лет до этого в 1927–28 годах тяжело болел злокачественным малокровием (пернициозной анемией). В результате болезни Гильберт должен был сначала прекратить свои лекции в университете и вести свои научные семинары дома, а потом и вовсе прекратить педагогическую деятельность. Летом 1928 года врачи объявили состояние Гильберта безнадёжным. Но вскоре в Америке было открыто специфическое лечение пернициозной анемии печеночной терапией, и изготовлен соответствующий лечебный препарат. Большие медицинские связи фрау Ландау (она была дочерью знаменитого Эрлиха) позволили ей в числе первых получить этот препарат и доставить его Гильберту. Его применение к лечению Гильберта оказалось чудодейственным: больной, которому авторитетнейшие врачи предсказывали не более двух месяцев жизни, не только поправился за несколько недель, но в сентябре того же 1928 года смог принять деятельное участие в Международном математическом конгрессе в Болонье и сделать на этом конгрессе большой часовой доклад. Доклад этот, открывший собою конгресс, был подлинным триумфом Гильберта: ни до, ни после я не был свидетелем того, чтобы математик, или вообще учёный, удостаивался таких оваций, которые выпали на долю Гильберта после его доклада на конгрессе в Болонье. Аплодисменты такой силы и длительности мне приходилось слышать лишь после выступлений знаменитых артистов.