Горизонты техники для детей, 1971 №1

Математика приходит нам на помощь

В одной из школ занятия происходили только три раза в неделю — в понедельник, среду и пятницу. Причём в эти дни могло быть не более € уроков. Недельное расписание предусматривало 6 уроков математики, 4 урока физики и по 2 урока химии, истории и физвоспитания.

Кроме того, преподаватели отдельных предметов поставили директору ряд дополнительных условий. Составление расписания уроков стало для директора школы очень трудным заданием.

«1. Математик требует, чтобы его уроки не были последними и только раз были первыми.

2. Физик также пожелал, чтобы его уроки не были последними, раз в неделю он хочет иметь два первых урока, но не в среду; в пятницу, наоборот, может иметь только два первых урока.

3. Историк может преподавать в понедельник (кроме двух последних уроков) или среду (третий и четвертый уроки). Дополнительно он желает, чтобы после его урока не было урока физвоспитания.

4. Химик хочет иметь свободную пятницу, кроме того, желает, чтобы в тот день, когда будут его уроки, не было уроков физики.

5. Уроки физвоспитания ведутся на стадионе и поэтому должны быть последними. В пятницу преподаватель физвоспитания занят.

6. Ежедневно должно быть по два урока одного и того же предмета, следующих один за другим.

7. Два свободных урока (в течение недели может быть 3х6 = 18 уроков, из них согласно программе бывает 6 + 4 + 2 + 2 + 2 = 16 уроков) должны быть первыми в понедельник или последними в пятницу».

Составление такого расписания — это настоящая головоломка. Представьте себя на месте директора школы. Как бы вы решили эту трудную задачу? Большую помощь вам мог бы оказать… математик[1].

Я должен признаться, что данный пример с расписанием уроков заимствован из книги по математике (поэтому перечисленные выше требования помещены в кавычки), в которой рассматриваются, между прочим, вопросы математической логики. Говоря упрощенно, логика — наука о правильном мышлении. Мысли и поступки логичны, если они разумны, последовательны, закономерны.

Как наука, логика известна уже несколько веков, но лишь в XIX веке математики ввели в неё свои математические методы, стали жонглировать понятиями и суждениями подобно тому. как в прошлом оперировали числами. Возникло даже новое понятие — исчисление предложений. Это звучит немного странно. Мы привыкли к сложению, делению, умножению чисел. А можно ли данные действия выполнять на предложениях?

Может ли быть дробь, состоящая из предложений? Как можно привести несколько предложений к общему знаменателю?

Уверен, что вы могли бы задать мне тысячу вопросов. Но давайте договоримся. Ребята, я постараюсь всё по очереди объяснить вам, а вы внимательно читайте и постарайтесь понять прочитанное.

Во-первых, учтите, что математика интересуют только явно истинные или явно ложные предложения. Например, предложение «съел бы пирожное с кремом» к ним не относится, зато такими предложениями будут, — «Маша надела красные бусы» или «Вова хороший ученик».

Во-вторых, для математика безразлично, каково содержание предложения, поэтому он обозначает их буквами. Например, он записывает «n» (если предложение истинное) или «не n» (если предложение ложное).

В-третьих, математик пользуется некоторыми определёнными правилами построения сложных предложений из простых. Из этих основных правил он выводит более сложные. К числу основных правил относятся:

— не «не п» равняется «п». Например, если неправда, что не идёт дождь, значит дождь идёт;

— «п» или «не п» всегда истинно. Действительно: дождь или идёт или не идёт, одно из двух;

— «п» и «не п «никогда не истинно. Дождь не может одновременно идти и не идти;

— если неправда, что «п» или «б», то правда, что «не п» и «не б». Если Вова не умеет играть в шахматы или шашки, то значит, что он не умеет играть в шахматы и не умеет играть в шашки.

Если подобные предложения математик запишет по-своему, не математик вообще не прочитает их. Посмотри как такая запись выглядит:

Приведенные символы обозначают понятия, которые определённым образом взаимно зависят друг от друга.

Выше было указано, что математики жонглируют понятиями, но не думайте, что они могут делать это произвольно. Действия с натуральными числами подчиняются определённым законам. Так же обстоит дело с исчислениями предложений 3 + 5 = 8 независимо от того, что обозначают данные числа (яблоки, карандаши, автомобили или они вообще не связаны ни с какими конкретными предметами). Аналогично этому вместо символов, принятых в исчислениях предложений, можно подставить различные понятия. В результате получим точный ответ, как можно решить головоломку, записанную такими предложениями, т. е. как нужно составить расписание уроков в школе, расписание движения автобусов автостанции и т. д.

Кроме того, понятия вовсе не должны состоять из слов. Символом «п» можно, например, обозначить замкнутый электрический переключатель, через который в данный момент проходит ток. Тогда «не п» будет обозначать разомкнуть, переключатель, через который не проходит ток. Оказывается, можно предвидеть поведение сложных электрических цепей, опираясь на те же правила и выполняя вышеуказанные действия. Если это так, нельзя ли сделать наоборот? Вместо того, чтобы записывать «загадку» символами и соответствующим образом преобразовывать её позднее, нельзя ли приписать символы переключателям, а затем, соответствующим образом манипулируя ими, получить окончательный результат?

Гениальная мысль! Только жаль, что не мы придумали её. Эта идея легла в основу создания электронной математической машины, названной компютером. В настоящее время компютеры находят универсальное применение, в изумительно короткое время они производят сложные вычисления, которые были бы под силу только целому штабу математиков, и решают трудные проблемы во многих различных областях.

Приходится только удивляться этому, хотя вы, ребята, слышите о компютерах с раннего детства и уже успели привыкнуть к ним. А я помню, как около 20 лет назад появились первые вести об этих удивительных машинах. Самое поразительное то, что математики начали развивать математическую логику на 100 лет раньше появления первых компютеров! Кто мог бы предполагать, что математические «штучки» (как считали некоторые) найдут такое широкое практическое применение, что они придут на помощь человеку. Только математики верили в это. Еще раньше некоторые разделы математики, которая является обширной, интересной, но трудной наукой, сначала считались лишь полем для абстрактных, оторванных от практики мыслей. И только позднее оказывалось, что эти разделы могут служить для решения важных проблем, непосредственно или косвенно связанных с нашими буднями.

Да и ныне, вероятно, отдельные обширные дисциплины математики многим кажутся неинтересными. Но я уверен, что в будущем и они придут нам на помощь при решении трудных заданий, станут в наших руках «палочкой — выручалочкой».

Для того, чтобы вы, ребята, отдохнули от математики, я расскажу вам анекдот об авторе книги «Алиса в стране чудес». Может быть, вы читали эту книгу? Жила была девочка, и был кролик, и была дыра в земле, а потом начали происходить разные чудеса! Эту книгу читали с большим интересом девочки и мальчики тогда, когда в школу ходили ваши родители, бабушки и дедушки, прабабушки и прадедушки. Её читают дети и сейчас, в эпоху полётов на Луну.

Собственно, эта книга нравилась и нравится также взрослым. Когда она появилась, ее прочитала английская королева Виктория. Книга так понравилась королеве, что она пожелала, чтобы ей обязательно принесли следующую книгу, какую напишет этот же автор. Пожеланию королевы суждено было исполниться. Спустя некоторое время ей вручили… очерк по математике.

Оказывается, книгу «Алиса в стране чудес» написал математик Чарлз Додгсон, а подписал её псевдонимом Левис Кароль.

Как раз Чарлз Додгсон занимался вопросами логической математики, а математика немыслима без фантазии.

Стефан Вейнфельд

Составляем таблицу, как на рисунке сбоку. Затем, используя данные, приведенные на стр…» будем заштриховывать отдельные клетки. Итак, согласно пункту 1 «математик требует, чтобы его уроки не были последними», поэтому заштриховываем последние клетки первого ряда во всех трёх днях.

Согласно пункту 2 заштриховываем все последние клетки во втором ряду, а также первую клетку в графе «среда» (физик пожелал, чтобы в среду не было двух первых уроков) и вторую клетку в графе «пятница». Первую клетку в графе «пятница» обводим жирной линией (у физика могут быть в пятницу только два первых урока). Таким образом, мы установили, что на двух первых уроках в пятницу будет физика, поэтому можем смело заштриховать все остальные клетки в этом ряду по вертикали.

Ведь в одном и том же классе не может быть одновременно разных уроков.

Используя данные остальных пунктов, ребята, попробуйте самостоятельно заштриховать все те клетки, в которых не может быть отдельных уроков. В результате останется только 9 свободных клеток (включая 2 установленных урока физики), которые соответствуют условиям задания. Ну, и расписание уроков готово.

Окончательное правильное решение задания найдёте внутри номера.