Хотел вам сообщить

Где начало того конца, которым оканчивается начало.

Пусть нам будут известна такая истина:

Числа бывают «простые» и «составные»

Пусть нам известно только два простых числа: «2» и «3».

Начнем составлять комбинации их умножений:

2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 2 * 2 = 8; 3 * 3 = 9;

- Ну, как? Ничего не заметил?

= Да все правильно, таблицу умножения ты помнишь.

- Посмотри на первые два равенства, в результате действий получились «4» и «6».

= Да, согласен.

- НО посмотри! НИКАКОЙ комбинацией умножения «2» и «3» НЕВОЗМОЖНО получить «5».

/ для двух сомножителей двух чисел возможны только три комбинации: 2*2; 2*3; 3*3 /

- Это означает, что число «5» - простое!

- Идем дальше: 2 * 3 = 6. В результатах прозвучало «6», «8», «9».

= Понял. НИКАКОЙ комбинацией умножения чисел «2», «3» и «5» НЕВОЗМОЖНО получить «7».

---

Вот так я задумал начинать статью для младшего школьника.

Дальше я решил дать графическую иллюстрацию:

Стрелочками отмечены простые числа, которые являются источником «волн». Места, в которые не попала ни одна волна – это простые числа.

У меня возникло предположение, что простое число – это повреждение в стройной системе комбинаций умножения…. И возможно такое повреждение можно заметить?!

Как вы знаете, кроме просто простых чисел есть еще и «двойники». Вот они видны «5 – 7», «11 – 13», «17 – 19»….

Решил написать программку, которая…

Вот тут-то и начинается история.

Чудеса в решете

Решил написать программку, которая выдаст мне следующую информацию:

«первый из двойников» «пробел» «серединка = разложение ее на сомножители» «пробел» «второй из двойников».

Ну, просто у меня валялся рисунок с простыми числами. И было с чем сравнить результат.

Получилось вот это:

5 6=2*3 7

11 12=2*2*3 13

17 18=2*3*3 19

29 30=2*3*5 31

41 42=2*3*7 43

59 60=2*2*3*5 61

71 72=2*2*2*3*3 73

101 102=2*3*17 103

107 108=2*2*3*3*3 109

137 138=2*3*23 139

149 150=2*3*5*5 151

179 180=2*2*3*3*5 181

191 192=2*2*2*2*2*2*3 193

197 198=2*3*3*11 199

227 228=2*2*3*19 229

239 240=2*2*2*2*3*5 241

…

2789 2790=2*3*3*5*31 2791

2801 2802=2*3*467 2803

Конец фрагмента.

Да, практически с первого взгляда, я заметил в каждой строке комбинацию «2*3». Не поверил себе, написал программку, коия проверила каждую строку на наличие указанной комбинации.

Программа сказала «Да – 2*3 есть в каждой строке».

Подумал.

Написал несколько вариантов программы.

Наконец написал программу, которая проверяла все числа до ста тысяч, выявляла простые и распечатывала следующую строку:

«разложение на множители числа меньшего простого на единицу»

«пробел»

«простое число»

«пробел»

«разложение на множители числа большего простого на единицу»

С удивлением увидел, что около КАЖДОГО простого числа, то справа, то слева есть искомая комбинация.

Увеличил цикл до миллиона, получилось примерно это:

/В полном отчаяньи от формата fb2, пробую выделить комбинацию "2*3" поднятием над строкой./

Фрагмент результата:

2*2 5 ^2*3

^2*3 7 2*2*2

2*5 11 2*^2*3

2*^2*3 13 2*7

2*2*2*2 17 ^2*3*3

^2*3*3 19 2*2*5

2*11 23 2*2*^2*3

2*2*7 29 ^2*3*5

^2*3*5 31 2*2*2*2*2

2*^2*3*3 37 2*19

2*2*2*5 41 ^2*3*7

^2*3*7 43 2*2*11

2*23 47 2*2*2*^2*3

2*2*13 53 ^2*3*3*3

.....

2*2*2*2*2*^2*3*3*3*3*3*643 9999937 2*13*139*2767

^2*3*1666657 9999943 2*2*2*17*73529

2*5*757*1321 9999971 2*^2*3*3*229*1213

2*^2*3*3*229*1213 9999973 2*61*81967

^2*3*3*3*5*7*11*13*37 9999991 2*2*2*1249999

Вот, такие дела.

При проверке чисел до 1 миллиона нашлось 78496 простых чисел.

Написал простенькую программку и нашел, что в диапазоне от 1 до 1000000 есть 166666 чисел делящихся на «6» без остатка.

166666 / 78496 = 2,12324…

Т.е. получается, что рядом с числом, делящимся без остатка на 6, с вероятностью примерно 40%* будет находиться простое число!!!

/* Сначала я написал 50%, но потом вспомнил, что есть довольно много чисел-близнецов - ясно, что они уменьшают вероятность для одиночных простых. Достаточно очевидно, что чем дальше в лес натуральных чисел, тем меньше этот процент будет./

---

Написал программу, которая просматривала числа до ста миллионов, находила простые и проверяла большее и/или меньшее на делимость без остатка на три (ясно, что все такие числа четные). Программа сказала «Все ОК. Все, что надо разделилось».

Дальше проверять не стал. «Я себе уже все доказал».

Сомнения

* Возможно, в моих программах есть ошибка. Программированием я развлекаюсь более 30 лет, и четко знаю, что программирование это поиск ошибок.

Но программы чрезвычайно просты, и их я представлю на проверку в приложении.

/Желательно, что бы проверяющий, написал свои программы, не глядя на мое творчество./

* Пока нет теоретического обоснования, всегда есть вероятность, что следующее простое окажется без числа, делящегося на 6 в своем окружении. Ничего страшного, тогда эта книга описывает только математический казус.

* Эта особенность давным-давно известна. Но тогда почему об этом нигде не сказано, тем более, что поиск простых числе облегчается, не надо просматривать все, а только контролировать окружение чисел кратных шести.

---

В сети нашел:

1000000-е простое число - 15485863.

проверьте - 15485862 делится на три.

Еще, достаточно большое простое:

2 147 483 647. Убедитесь 2 147 483 646 - делится на три без остатка.

(для проверки, используйте признак делимости на три).

С благодарностью приму обоснованную критику.

Хвалу и клевету приемлю равнодушно.

И не оспорю я глупца.

Раскраска

Ниже приведен список натуральных чисел до 184 и их разложение на множители.

Простые числа выделены зеленым, числа кратные шести – условно назовем их якорями – окрашены красным.

Полюбуйтесь, как совсем простые числа вьются вокруг якорей. Начиная с «120» якоря могут оказаться и без простого сопровождения.

Все так и идет не шатко не валко и только между «523» и «541» помещаются два пустых якоря. А дальше их будет все больше и больше.

Почему?

Но это, же просто. Простых чисел прибавляется, а значит, комбинаций их как сомножителей все больше и больше и они покрывают все вящее пространство.

Да, совсем забыл, для большей «обозримости» комбинацию «2*3» я заменил на «A».

/Какая жалось, в fb2 с красками беда. А в оригинале все блистает. Но, посмотрите на обложку - вот так примерно оно и выглядит./

Посмотрите, а вдруг вы заметите закономерности, которых, не заметил я.

2

3

4 -> 2*2

5

6-> A*1

7

8 -> 2*2*2

9 -> 3*3

10 -> 2*5

11

12-> A*2 # Как интересно…

13

14 -> 2*7

15 -> 3*5

16 -> 2*2*2*2

17

18-> A*3 # «близнецы»

19

20 -> 2*2*5

21 -> 3*7

22 -> 2*11

23

24-> A*4

25 -> 5*5

26 -> 2*13

27 -> 3*3*3

28 -> 2*2*7

29

30-> A*5 # только около простых множителей?

31

32 -> 2*2*2*2*2

33 -> 3*11

34 -> 2*17

35 -> 5*7

36-> A*6

37

38 -> 2*19

39 -> 3*13

40 -> 2*2*2*5

41

42-> A*7

43

44 -> 2*2*11

45 -> 3*3*5

46 -> 2*23

47

48-> A*8

49 -> 7*7

50 -> 2*5*5

51 -> 3*17

52 -> 2*2*13

53

54-> A*9

55 -> 5*11

56 -> 2*2*2*7

57 -> 3*19

58 -> 2*29

59

60-> A*10 # Предположение не подтвердилось

61

62 -> 2*31

63 -> 3*3*7

64 -> 2*2*2*2*2*2

65 -> 5*13

66-> A*11 # множитель простой, а «близнецов» нет.

67

68 -> 2*2*17

69 -> 3*23

70 -> 2*5*7

71

72-> A*12

73

74 -> 2*37

75 -> 3*5*5

76 -> 2*2*19

77 -> 7*11

78-> A*13

79

80 -> 2*2*2*2*5

81 -> 3*3*3*3

82 -> 2*41

83

84-> A*14

85 -> 5*17

86 -> 2*43

87 -> 3*29

88 -> 2*2*2*11

89

90-> A*15

91 -> 7*13

92 -> 2*2*23

93 -> 3*31

94 -> 2*47

95 -> 5*19

96-> A*16

97

98 -> 2*7*7

99 -> 3*3*11

100 -> 2*2*5*5

101

102 -> A*17

103

104 -> 2*2*2*13

105 -> 3*5*7

106 -> 2*53

107

108 -> A*18

109

110 -> 2*5*11

111 -> 3*37

112 -> 2*2*2*2*7

113

114 -> A*19

115 -> 5*23

116 -> 2*2*29

117 -> 3*3*13

118 -> 2*59

119 -> 7*17

120 -> A*20 # Ну, вот наконец, простых чисел нет

121 -> 11*11

122 -> 2*61

123 -> 3*41

124 -> 2*2*31

125 -> 5*5*5

126 -> A*21

127

128 -> 2*2*2*2*2*2*2

129 -> 3*43

130 -> 2*5*13

131

132 -> A*22

133 -> 7*19

134 -> 2*67

135 -> 3*3*3*5

136 -> 2*2*2*17

137

138 -> A*23

139

140 -> 2*2*5*7

141 -> 3*47

142 -> 2*71

143 -> 11*13

144 -> A*24

145 -> 5*29

146 -> 2*73

147 -> 3*7*7

148 -> 2*2*37

149

150 -> A*25

151

152 -> 2*2*2*19

153 -> 3*3*17

154 -> 2*7*11

155 -> 5*31

156 -> A*26

157

158 -> 2*79

159 -> 3*53

160 -> 2*2*2*2*2*5

161 -> 7*23

162 -> A*27

163

164 -> 2*2*41

165 -> 3*5*11

166 -> 2*83

167

168 -> A*28

169 -> 13*13

170 -> 2*5*17

171 -> 3*3*19

172 -> 2*2*43

173

174 -> A*29

175 -> 5*5*7

176 -> 2*2*2*2*11

177 -> 3*59

178 -> 2*89

179

180 -> A*30

181

182 -> 2*7*13

183 -> 3*61

184 -> 2*2*2*23

---

Приложение

В последнее время я пишу на Питоне. Как вы знаете, в Python структурообразующими являются отступы. К сожалению HTML, как и FB2 “проглатывают” лишние пробелы. Для читабельности скрипта я добавляю в текст вместо отступа блок « . .».

Извиняюсь за многократно повторяющийся код, но выкладываю скрипты целиком.

03.08.23

prostoe5.py

1|#!/usr/bin/env python

2|# -*- codning: utf-8 -*-

3|import math

4|L = [2]

5|List = []

6|def SaveList(L):

7| . .f = open('list22.txt', 'w', encoding="utf-8")

8| . .for i in L:

9| . . . .f.write(i+'\n')#

10| . .f.close()

11|

12|def is_prime(n):

13| . .if n <= 1:

14| . . . .return False

15| . .if n % 2 == 0:

16| . . . .return n == 2

17|

18| . .max_div = math.floor(math.sqrt(n))

19| . .for i in range(3, 1 + max_div, 2):

20| . . . .if n % i == 0:

21| . . . . . .return False

22| . .return True

23|

24|num = 0

25|def divisor(m):

26| . .global num

27| . .for c in L:

28| . . . .k = m // c

29| . . . .if k * c == m:

30| . . . . . .num = c

31| . . . . . .return k

32|

33|def decompose(m): # разложение на сомножетили

34| . .s = ''

35| . .while m > 1:

36| . . . .m = divisor(m)

37| . . . .s = s + str(num)+'*'

38| . .return s

39|

40|oldn = 0

41|for n in range(3,2900):

42| . .if is_prime(n):

43| . . . .L.append(n)

44| . . . .if n - oldn == 2: # обнаружение простых «двойников»

45| . . . . . .s = str(oldn)+ ' '+str(oldn +1)+'='+decompose(oldn +1)[:-1]+' '+ str(n)

46| . . . . . .List.append('---')

47| . . . . . .List.append(s)

48| . . . .oldn = n

50|

51|SaveList(List)

52|print('Done!')

/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\

03.08.23

prostoe6.py

Распечатка списка простых чисел, с разложением окружения на сомножители.

1|#!/usr/bin/env python

2|# -*- codning: utf-8 -*-

3|import math, time

4|t0 = time.time()

5|L = [2]

6|List = []

7|def SaveList(L):

8| . .f = open('listPP.txt', 'w', encoding="utf-8")

9| . .for i in L:

10| . . . .f.write(i+'\n')#

11| . .f.close()

12|

13|def is_prime(n):

14| . .if n <= 1:

15| . . . .return False

16| . .if n % 2 == 0:

17| . . . .return n == 2

18|

19| . .max_div = math.floor(math.sqrt(n))

20| . .for i in range(3, 1 + max_div, 2):

21| . . . .if n % i == 0:

22| . . . . . .return False

23| . .return True

24|

25|num = 0

26|def divisor(m):

27| . .global num

28| . .for c in L:

29| . . . .k = m // c

30| . . . .if k * c == m:

31| . . . . . .num = c

32| . . . . . .return k

33|

34|def decompose(m): # разложение на сомножители

35| . .s = ''

36| . .while m > 1:

37| . . . .m = divisor(m)

38| . . . .s = s + str(num)+'*'

39| . .return s[:-1]

40|

41|for n in range(3,10000000):

42| . .if is_prime(n):

43| . . . .L.append(n)

44| . . . .s = decompose(n-1)+ ' '+str(n)+' '+decompose(n+1)

45| . . . .#List.append('---')

46| . . . .List.append(s)

47|

48|for i in List:

49| . .if i.find('2*3') == -1:

50| . . . .print(i)

51|

52|#SaveList(List)

53|

54|t1 = time.time()

55|print('Time required :', t1 - t0)

56|print('Done!')

57|

58|# for n in range(3,10000000):

59|# Time required : 1540.0686304569244 = 25,666 min

/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\

04.08.23

prostoe6_a.txt

Проверяется окружение простого числа на делимость на 3.

1|#!/usr/bin/env python

2|# -*- codning: utf-8 -*-

3|import math, time

4|t0 = time.time()

5|

6|def is_prime(n):

7| . .if n <= 1:

8| . . . .return False

9| . .if n % 2 == 0:

10| . . . .return n == 2

11|

12| . .max_div = math.floor(math.sqrt(n))

13| . .for i in range(3, 1 + max_div, 2):

14| . . . .if n % i == 0:

15| . . . . . .return False

16| . .return True

17|

18|for n in range(3,100000000):

19| . .if is_prime(n):

20| . . . .#print(n)

21| . . . .if (n-1) % 3 != 0:

22| . . . . . .if (n+1) % 3 != 0:

23| . . . . . . . .print(n)

25|

26|t1 = time.time()

27|print('Time required :', t1 - t0)

28|print('Done!')

29|

30|# for n in range(3,10000000):

31|# Time required : 43.06231665611267

32|

33|# for n in range(3,100000000):

34|# Time required : 1084.299929857254 18 MIN

---

Такие вот дела.