Искусство мыслить правильно

1. «Принудительная сила наших речей»

В рассказе Л. Толстого «Смерть Ивана Ильича» есть эпизод, имеющий прямое отношение к логике.

Иван Ильич видел, что он умирает, и был в постоянном отчаянии. В мучительных поисках какого-нибудь просвета он ухватился даже за старую свою мысль, что правила логики, верные всегда и для всех, к нему самому неприложимы. «Тот пример силлогизма, которому он учился в логике Кизеветтера: Кай — человек, люди смертны, потому Кай смертен, казался ему во всю его жизнь правильным только по отношению к Каю, но никак не к нему. То был Кай — человек, вообще человек, и это было совершенно справедливо; но он был не Кай и не вообще человек, а он всегда был совсем, совсем особенное от всех других существо… И Кай точно смертен, и ему правильно умирать, но мне, Ване, Ивану Ильичу, со всеми моими чувствами, мыслями, — мне это другое дело. И не может быть, чтобы мне следовало умирать. Это было бы слишком ужасно».

Ход мыслей Ивана Ильича продиктован, конечно, охватившим его отчаянием. Только оно способно заставить предположить, что верное всегда и для всех окажется вдруг неприложимым в конкретный момент к определенному человеку. В уме, не охваченном ужасом, такое предположение не может даже возникнуть. Как бы ни были нежелательны следствия наших рассуждений, они должны быть приняты, если приняты исходные посылки.

Рассуждение — это всегда принуждение. Размышляя, мы постоянно ощущаем давление и несвободу.

От нашей свободной воли зависит, на чем остановить свою мысль. В любое время мы можем прервать начатое размышление и перейти к другой теме.

Но если мы решили провести его до конца, мы сразу же попадем в сети необходимости, стоящей выше нашей воли и наших желаний. Согласившись с одними утверждениями, мы вынуждены принять и те, что из них вытекают, независимо от того, нравятся они нам или нет, способствуют нашим целям или, напротив, препятствуют им. Допустив одно, мы автоматически лишаем себя возможности утверждать другое, несовместимое с уже допущенным.

Если мы убеждены, что все металлы проводят электрический ток, мы должны признать также, что вещества, не проводящие ток, не относятся к металлам. Уверив себя, что каждая птица летает, мы вынуждены не считать птицами курицу и страуса. Из того, что все люди смертны и Иван Ильич является человеком, мы обязаны заключить, что и он смертен.

В чем источник этого постоянного принуждения? Какова его природа? Что именно следует считать несовместимым с принятыми уже утверждениями и что должно приниматься вместе с ними? Какие вообще принципы лежат в основе деятельности нашего мышления?

Над этими вопросами человек задумался очень давно. Из размышления над ними выросла особая наука о мышлении — логика.

Древнегреческий философ Платон настаивал на божественном происхождении человеческого разума. «Бог создал зрение, — писал он, — и вручил его нам, чтобы мы видели на небе движение Разума мира и использовали его для руководства движениями нашего собственного разума». Человеческий разум — это только воспроизведение той разумности, которая господствует в мире и которую мы улавливаем благодаря милости бога.

Первый развернутый и обоснованный ответ на вопрос о природе и принципах человеческого мышления дал ученик Платона — Аристотель. «Принудительную силу наших речей» он объяснил существованием особых законов — логических законов мышления. Именно они заставляют принимать одни утверждения вслед за другими и отбрасывать несовместимое с принятым. «К числу необходимого, — писал Аристотель, — принадлежит доказательство, так как если что-то безусловно доказано, то иначе уже не может быть; и причина этому — исходные посылки…»

Подчеркивая безоговорочность логических законов и необходимость всегда следовать им, он заметил: «Мышление — это страдание», ибо «коль вещь необходима, в тягость она нам». С первой частью мысли Аристотеля кто-то, возможно, и согласится, а вот по поводу того, что необходимость в тягость нам, сейчас мы думаем иначе. Необходимое, если оно известно, помогает нам, оно заставляет учиться использовать его в своих интересах. Что в самом деле может нас тяготить, так это случайное, которое может повернуться любой своей стороной.

С работ Аристотеля началось систематическое изучение логики и ее законов.

Оно не прекращалось никогда, но в нашем веке были достигнуты особенно впечатляющие результаты.

Знакомство с основными принципами логики — дело интересное и важное уже потому, что каждый из нас руководствуется ими в практике своего мышления.

Логика является анализом и критикой мышления. Ее задача — исследование процессов и процедур реального мышления с точки зрения постижения им истины, добра и красоты. Логика начинает с изучения фактически применяемых способов рассуждения, но не останавливается на этом. Она стремится отделить приемы, способствующие эффективному познанию действительности, от тех, которые с большей или меньшей вероятностью приводят к ошибкам и тупикам. Логика должна также систематизировать, развить и обосновать правильные и эффективные способы рассуждения. Для этого необходимо привести их в единую систему, выявить их взаимоотношения, показать связь теории рассуждения с теорией и практикой познания.

Мышление — очень сложный и многосторонний объект для исследования. Не случайно его образно называют «вселенной внутри нас». Изучением различных сторон мышления занимаются многие науки: психология, философия, физиология высшей нервной деятельности, нейрофизиология, кибернетика и др.

Особенность подхода логики к исследованию мышления в том, что оно интересует ее с точки зрения своего содержания и той формы, в которой выступает это содержание. Физические, химические и т. п. процессы, происходящие в коре головного мозга в процессе мышления, остаются при этом совершенно в стороне. Кроме того, логика интересуется не просто содержанием и формой мышления, взятыми сами по себе, а в том их аспекте, который непосредственно связан с познанием мира. В этом смысле логика представляет собой анализ и критику мышления.

Слово «логика» употребляется нами довольно часто, но в разных значениях. Нередко говорят о логике событий, логике характера и т. д. В этих случаях имеется в виду определенная последовательность и взаимозависимость событий или поступков. «Быть может, он безумец, — говорит один из героев рассказа английского писателя Г. К. Честертона, — но в его безумии есть логика. Почти всегда в безумии есть логика. Именно это и сводит человека с ума». Здесь «логика» как раз означает наличие в мыслях определенной общей линии, от которой человек не в силах отойти.

Слово «логика» употребляется также в связи с процессами мышления. Так, мы говорим о логичном и нелогичном мышлении, имея в виду его определенность, последовательность, доказательность и т. п.

Кроме того, логика — особая наука о мышлении. Она возникла еще в IV в. до н. э.

Интересно отметить, что примерно в этот же период логическая теория мышления начала складываться в Древней Индии и в Древнем Китае. Однако развивалась она там медленно и неуверенно и за многие прошедшие века мало чего добилась. Проблема в своеобразии культуры данных регионов, и прежде всего в отсутствии острой необходимости в строго рациональном мышлении. Для развития логики имеется хорошая почва в тех обществах, которые строятся на принципах демократии и в которых убеждение опирается не на принуждение или прямое насилие, а главным образом на доказательную речь.

Таким образом, история логического исследования мышления охватывает около двух с половиной тысячелетий. Из других наук раньше логики начали складываться, пожалуй, только математика и философия.

2. Интуитивная логика

Заметить несостоятельность многих доказательств можно и без специальных знаний. Вполне достаточно естественной логики, тех интуитивных представлений о правильности рассуждения, которые складываются у нас в процессе повседневной практики мышления.

Однако далеко не всегда эта интуитивная логика успешно справляется со встающими перед нею задачами.

Правильно ли рассуждает человек, когда говорит: «Если бы шел дождь, земля была бы мокрой, но дождя нет, следовательно, земля не мокрая». Это рассуждение интуитивно обычно оценивается как правильное, но достаточно небольшого размышления, чтобы убедиться, что это не так. Верно, что в дождь земля всегда мокрая; но если даже дождя нет, из этого вовсе не следует, что она сухая: земля может быть мокрой после вчерашнего дождя, после таяния снега и т. п.

Рассуждение идет по неправильной схеме: «Если есть первое, то есть второе; второе есть; значит, есть и первое». Эта схема может привести к ошибочному заключению, что нетрудно проиллюстрировать на простом примере: «Если у человека повышенная температура, он болен; у него нет повышенной температуры; значит он не болен» — оба исходных утверждения верны, но вывод неверен: большинство болезней протекает без повышенной температуры.

Эту неправильную схему нередко путают с такой часто употребляемой схемой: «Если есть первое, то есть второе; первое есть; значит, есть и второе». Она исследовалась еще античным логиком Филоном, приводившим такой пример: «Если день, то светло; сейчас день; значит, сейчас светло». В Средние века эта схема получила собственное имя — modus ponens («модус поненс», слово «модус» означает «разновидность»). От путаницы этого модуса с неправильной схемой предостерегает старое правило: «от основания к следствию заключать можно, от следствия к основанию заключать нельзя».

В комедии Ж. — Б. Мольера «Лекарь поневоле» есть такой диалог:

Смешно, конечно, наблюдать, как мнимый специалист пытается убедить окружающих в своем высоком профессионализме. Ясно, что здесь налицо «убедительность наизнанку». Но какие именно ошибки допускаются «лекарем поневоле»? Каждый ли из нас способен не только посмеяться над его неуклюжими рассуждениями, но и указать те конкретные нарушения правил аргументации, которые содержатся в них?

Даже неспециалисту бросаются в глаза три грубые ошибки.

Первая — двукратное использование тавтологии, т. е. повторения с небольшой модификацией одного и того же, вместо указания действительной причины («ваша дочь нема… оттого, что она утратила дар речи, …оттого, что у нее язык не ворочается»). Этот прием довольно часто используется для придания иллюзии убедительности пустым, бессодержательным речам.

Вторая ошибка — подмена предмета обсуждения: сначала разговор идет о болезни, а затем он вдруг переключается на Аристотеля. Такой уход от темы беседы или спора — обычная хитрость тех, кто избегает высказываться по существу дела.

И наконец, третья ошибка — употребление слова «великий» в двух совершенно разных смыслах, выдаваемых за один и тот же: «великий муж» — это вначале «выдающийся муж», а затем — «высокий человек».

Для обнаружения таких, лежащих на поверхности, ошибок в общем-то не нужны специальные знания. Вполне достаточны те интуитивные представления о правильности рассуждений, которые складываются у нас в процессе повседневной практики мышления.

Но все-таки интуитивная логика — вещь довольно туманная и расплывчатая. Простые примеры подтвердят это.

Правильно ли рассуждает человек, когда говорит: «Кто-то изобрел телегу; я видел чей-то портрет; значит, я видел портрет изобретателя телеги». Очевидно, неправильно. Но в чем именно состоит ошибка?

Еще похожий пример: «Мышь грызет книжку; — мышь имя существительное; следовательно, имя существительное грызет книжку». Заключение очевидно нелепое. Но в чем ошибка в самом ходе мысли, ведущем к такому заключению?

Стихийной логики для ответа на подобные вопросы явно не хватает. А ведь вопросы в принципе просты, и рассуждение идет о самых обычных вещах.

«Все наше достоинство заключено в мысли, — писал французский математик и философ XVII в. Б. Паскаль. — Не пространство и не время, которых мы не можем заполнить, возвышают нас, а именно она, наша мысль. Будем же учиться хорошо мыслить…»

Этот призыв можно только поддержать, особенно если он адресован молодому человеку, мышление которого находится в процессе активного формирования.

Обычно мы применяем логические законы, не задумываясь о них, нередко не подозревая о самом их существовании. Но бывает, что использование даже простой схемы сталкивается с известными трудностями.

Эксперименты, проводившиеся психологами с целью сопоставления мышления людей разных культур, наглядно показывают, что чаще всего причина трудностей в том, что схема рассуждения, его форма не выделяется в чистом виде. Для решения вопроса о правильности рассуждения вместо этого привлекаются какие-то не относящиеся к делу содержательные соображения. Обычно они связаны с конкретной ситуацией, описываемой в рассуждении.

Вот как описывают ход одного из экспериментов, проводившихся в Африке, М. Коул и С. Скрибнер в книге «Культура и мышление»:

Экспериментатор. Однажды паук пошел на праздничный обед. Но ему сказали, что прежде чем приступить к еде, он должен ответить на один вопрос. Вопрос такой: «Паук и черный олень всегда вместе едят. Паук ест. Ест ли олень?»

Испытуемый. Они были в лесу?

Экспериментатор. Да.

Испытуемый. Они вместе ели?

Экспериментатор. Паук и олень всегда вместе едят. Паук ест. Ест ли олень?

Испытуемый. Но меня там не было. Как я могу ответить на такой вопрос?

Экспериментатор. Не можете ответить? Даже если вас там не было, вы можете ответить на этот вопрос (Повторяет вопрос).

Испытуемый. Да, да, черный олень ест.

Экспериментатор. Почему вы говорите, что черный олень ест?

Испытуемый. Потому что черный олень всегда весь день ходит по лесу и ест зеленые листья. Потом он немного отдыхает и снова встает, чтобы поесть.

Здесь очевидная ошибка. У испытуемого нет общего представления о логической правильности вывода. Чтобы дать ответ, он стремится опереться на какие-то факты, а когда экспериментатор отказывается помочь ему в поисках таких фактов, он сам придумывает их.

Еще пример из этого же исследования.

Экспериментатор. Если Флюмо или Йакпало пьют сок тростника, староста деревни сердится. Флюмо не пьет сока тростника. Йакпало пьет сок тростника. Сердится ли староста деревни?

Испытуемый. Люди не сердятся на других людей.

Экспериментатор повторяет задачу.

Испытуемый. Староста деревни в тот день не сердился.

Экспериментатор. Староста деревни не сердился? Почему?

Испытуемый. Потому что он не любит Флюмо.

Экспериментатор. Он не любит Флюмо? Скажи почему?

Испытуемый. Потому что когда Флюмо пьет сок тростника, это плохо. Поэтому староста деревни сердится, когда Флюмо так делает. А когда Йакпало иногда пьет сок тростника, он ничего плохого не делает людям. Он идет и ложится спать. Поэтому люди на него не сердятся. Но тех, кто напьется сока тростника и начинает драться, — староста не может терпеть их в деревне.

Испытуемый имеет в виду скорее всего каких-то конкретных людей или просто выдумал их. Первую посылку задачи он отбросил и заменил ее другим утверждением: люди не сердятся на других людей. Затем он ввел в задачу новые данные, касающиеся поведения Флюмо и Йакпало. Ответ испытуемого на экспериментальную задачу был неправилен. Но он был результатом вполне логичных рассуждений на основе новых посылок.

Для анализа задачи, поставленной в первом эксперименте, переформулируем ее так, чтобы были выявлены логические связи утверждений: «Если ест паук, то ест также олень; если ест олень, то ест и паук; паук ест; следовательно, олень тоже ест». Здесь три посылки. Вытекает ли из двух из них: «Если ест паук, олень также ест» и «Паук ест» заключение «Олень ест»? Конечно. Рассуждение идет по упоминавшейся уже схеме: «если есть первое, то есть второе; есть первое, значит, есть второе». Она представляет собой логический закон. Правильность этого рассуждения не зависит, разумеется, от того, происходит ли все в лесу, присутствовал ли при этом испытуемый и т. п.

Несколько сложнее схема, по которой идет рассуждение во второй задаче: «Если Флюмо или Йакпало пьют сок тростника, староста деревни сердится. Флюмо не пьет сок тростника. Йакпало пьет сок тростника. Сердится ли староста деревни?» Отвлекаясь от конкретного содержания, выявляем схему рассуждения: «если есть первое или второе, то есть третье; первого нет, но есть второе; следовательно, есть третье». Эта схема является логическим законом, значит, рассуждение правильно. Схема близка указанной ранее схеме: «если есть первое, то есть второе; есть первое; следовательно, есть второе». Различие только в том, что в качестве «первого» в более сложном рассуждении указываются две альтернативы, одна из которых тут же исключается.

3. Традиционная и современная логика

В длинной и богатой событиями истории логики отчетливо выделяются два основных этапа. Первый — от древнегреческой логики до возникновения в конце ХIХ — начале ХХ веков совершенно новой логики; второй — с этого времени до наших дней. Первый этап именуется традиционной логикой, второй этап — современной логикой. Традиционная логика является таким образом предысторией современной. Все собственно логическое содержание традиционной логики вошло в состав современной логики и составило ее незначительную и не особенно важную часть.

На первом этапе логика развивалась очень медленно. Обсуждавшиеся в ней проблемы мало чем отличались от проблем, поставленных еще Аристотелем. Это дало когда-то повод Канту утверждать, что логика, подобно геометрии Евклида, является завершенной наукой, не продвинувшейся со времени Аристотеля ни на один шаг и не имеющей собственной истории.

Ошибочность такого представления была ясно показана в последние сто с чем-то лет. Научная революция, произошедшая в логике, в корне изменила ее лицо. На смену традиционной логике пришла современная.

Традиционная логика была философской наукой. Она развивалась в рамках философии, пользовалась, как и философия в целом, только естественным языком, дополненным немногими специальными символами и понятиями, законам логики давалось философское истолкование и обоснование. Современная логика как самостоятельная область знания возникла на стыке столь разных наук как философия и математика Это произошло прежде всего благодаря внедрению в логические, до того философские исследования математических методов.

Современную логику нередко называют математической логикой, подчеркивая тем самым своеобразие новых ее методов в сравнении с использовавшимися ранее. Новые методы предполагают, прежде всего, использование для анализа правильного мышления искусственных (формализованных) языков, позволяющих избежать двусмысленностей и логической неясности естественного языка.

Широкое использование символических средств послужило основанием для того, что новую логику стали называть также символической.

Имена «математическая логика» и «символическая логика», обычно употребляемые и сейчас, обозначают одно и то же — современную логику. Она занимается тем же, чем всегда занималась логика, — исследованием правильных способов рассуждения. Однако методы, применяемые ею, принципиально отличаются от методов, характерных для старой логики.

В России всегда были люди, стоявшие на уровне достижений логики своего времени и внесшие в ее развитие важный вклад.

Математик и логик П. С. Порецкий оказал заметное влияние на развитие алгебраических теорий логики. Он первым в России начал читать лекции по математической логике, о которой говорил, что это «по предмету своему есть логика, а по методу — математика».

Физик П. Эренфест еще в 1910 г. высказал гипотезу о возможности применения современной логики в науке и технике. В дальнейшем его гипотеза нашла прекрасное воплощение в электронно-вычислительной технике.

Логик Н. А. Васильев уже в начале прошлого века подверг критике считавшийся в традиционной логике одним из основных закон исключенного третьего. В дальнейшем идеи, касающиеся ограниченной применимости данного закона и близких ему способов математического доказательства, были развиты математиками А. Н. Колмогоровым, В. А. Гливенко, А. А. Марковым и др.

Основная, хотя и не единственная, задача логического исследования — обнаружение и систематизация определенных схем правильного рассуждения. Эти схемы представляют логические законы, лежащие в основе логически правильного мышления. Рассуждать логично — значит рассуждать в соответствии с законами логики.

Отсюда понятна важность данных законов. Об их природе, источнике их обязательности высказывались разные точки зрения. Очевидно, что логические законы независимы от воли и сознания человека. Их принудительная сила для человеческого мышления объясняется тем, что они являются в конечном счете отображением в голове человека наиболее общих отношений самого реального мира, практики его познания и преобразования человеком.

4. Логика и творчество

Французский дипломат Ш. Талейран заметил однажды, что реалист не может долго оставаться реалистом, если он не идеалист, и идеалист не может долго оставаться идеалистом, если он не реалист. Применительно к нашей теме эту мысль можно истолковать как указание на две основные опасности, всегда подстерегающие логическое исследование. С одной стороны, логика отталкивается от реального мышления, но она дает абстрактную его модель. С другой стороны, прибегая к абстракциям высокого уровня, логика не должна отрываться от конкретных данных в опыте процессов рассуждения.

Как и математика, логика не является эмпирической, опытной наукой. Но стимулы к развитию она черпает из практики реального мышления. Изменение последней так или иначе ведет к изменению самой логики.

Развитие логики всегда было связано с теоретическим мышлением своего времени и, прежде всего, с развитием науки. Конкретные рассуждения дают логике материал, из которого она извлекает то, что именуется логическим законом, формой мысли и т. д. Теории логической правильности оказываются в итоге очищением, систематизацией и обобщением практики мышления.

Иногда можно услышать мнение, будто логика препятствует творчеству. Последнее опирается на интуицию, требует внутренней свободы, раскрепощенного, раскованного полета мысли. Логика же связывает мышление своими жесткими схемами, анатомирует его, предписывая контролировать каждый его шаг.

Не делает ли логика человека скучным, однотонным, лишенным всякой светотени? Разумеется, нет.

Творчество без всяких ограничений — это не более чем фантастика. Законы логики стесняют человеческое мышление не больше, чем любые другие научные законы. Подлинная свобода не в пренебрежении необходимостью и выражающими ее законами, а в следовании им. Аристотель, как помним, думал иначе, но он, конечно же, ошибался.

Логичность сама по себе не исключает ни интуицию, ни фантазию. Дилемма «либо логика, либо интуиция» несостоятельна. Даже детская игра подчиняется определенным ограничениям.

Нельзя не считаться с ограничительными принципами логики и наивно полагать, будто можно обходиться без них. Надо максимально овладеть этими принципами, сделать их применение естественным и свободным, не затрудняющим движения мысли. Только в этом случае станет возможным подлинное творчество, предполагающее не только способность выдвинуть интересную идею, но и умение убедительно обосновать ее.

Отличительная черта человека — его разумность, или, как говорит философия, рациональность. Совокупность принципов мышления, охватываемых понятием рациональности, не является вполне ясной и не имеет отчетливой границы. Но очевидно, что рациональность предполагает, прежде всего, соответствие требованиям логики. Хотя эти требования также не являются однозначно определенными, они составляют ядро рациональности. Логика — необходимый инструмент анализа законов и операций правильного мышления и, соответственно, незаменимое средство получения нового знания.

Человеческое познание начинается с чувственного восприятия. Пять органов чувств человека — это окна, через которые он воспринимает внешний мир. Чувственный опыт — источник и конечная опора знания. Однако этот опыт в отрыве от абстрактного, логического мышления способен давать лишь рудиментарное знание. Даже обычное эмпирическое познание идет дальше простого наблюдения, поскольку требует введения ненаблюдаемых сущностей, подобных радиоволнам или внутреннему строению атома.

5. Знание в широком смысле слова и знание в узком смысле

Знание является связующей нитью между человеческим духом, природой и практической деятельностью. В самом общем смысле знать — значит иметь ясное, обоснованное представление о том, что есть или должно быть.

Логика применима ко всем видам нашего знания: к описаниям, оценкам, нормам, декларациям, клятвам, обещаниям и т. д. Оперируя, скажем, оценками или нормами, не являющимися истинными или ложными, человек должен быть так же логичен, как и при обращении с описаниями, которые составляют «царство истины».

Долгое время считалось, что знать можно только истину. Когда стало очевидным, что человек — активное существо, не способное жить вне практической деятельности по преобразованию мира, к знанию были отнесены также ценности, говорящие не о том, что есть, а о том, что должно быть. Знать можно, таким образом, не только истину, но и добро и красоту, не сводимые к истине.

К примеру, мы знаем, что человек должен быть честным. Но это не истина, а именно утверждение о долженствовании. Люди не всегда честны, но это не мешает нам утверждать, что от человека требуется честность. И чем больше нечестных людей в обществе, тем с большей настойчивостью мы настаиваем на требовании честности. Наши представления о том, что следует заботиться о близких, что нельзя задаваться и представлять себя центром вселенной и т. п. — все это знание, хотя касается оно не того, что есть, а того, что должно быть.

Человек не только познает мир, но и действует на основе полученного знания. Это означает, что знание включает не одни лишь представления о том, что имеет место, но и планы на будущее, оценки, нормы, обещания, предостережения, идеалы, образцы и т. п. У человека есть достаточно ясные, обоснованные представления о добре и его противоположности — зле. Но добро — не разновидность истины, как считалось когда-то. Утверждения о хорошем и плохом, достойном и недостойном не являются истинными или ложными. Истина не меняется со временем. Добро же является разным в разные эпохи и в разных обществах. Если, например, современный бизнес стремится опираться на принцип «Честность — лучшая политика», то в условиях зарождавшегося капитализма ориентация была совершенно иной, и мошенничавшие торговцы благодушно оправдывались: «Не обманешь — не продашь». Когда Вольтер в ХVIII веке сказал: «Хитрость — ум дураков», над ним едва ли не смеялись. И только спустя два века стало ясно, что в принципе он был прав: только ограниченный человек делает хитрость основой своего поведения и своей деятельности.

Кроме добра, явно не являющегося истиной, существует также красота. Прекрасное — это ценность и оно ближе к добру, чем к истине. Истина одна и та же во все времена и для всех людей, красота является разной в разные эпохи и у разных народов. Когда-то о портрете Джоконды Леонардо да Винчи говорили, что это такая живопись, какой она и должна быть. Но во второй половине прошлого века это говорили уже о картине американского художника-модерниста Мориса Дюшана, пририсовавшего Джоконде бессмысленные, казалось бы, усики. Красота — не частный случай истины. Вместе с тем она не является и добром. Быть прекрасным — значит вызывать незаинтересованное, неутилитарное удовольствие. Но если нет заинтересованности и что-то созерцается вне всякой пользы, то, соответственно, нет и добра.

Человек — практическое, действующее существо и в основе его деятельности лежит знание. Животное действует на основе врожденных и благоприобретенных инстинктов.

Деятельность человека опирается в первую очередь не на его инстинкты, а на его знания. Не случайно еще древние греки определяли человека как разумное животное (homo sapiens). Разум, способный порождать знание, является той чертой, которая отличает человека от всех иных животных. В ХIХ веке американский антрополог Л. Морган определил человека как животное, производящее орудия труда. Основное направление выделения людей из числа всех животных при этом не изменилось, оно только конкретизировалось: человек — не просто разумное животное, а животное, использующее свой разум, а значит, и добываемые с его помощью знания для производства орудий труда.

На заре нового времени английский философ Ф. Бэкон заявил: «Знание — это сила». В ту эпоху, когда человек во многом еще полагался на милость бога, такое заявление звучало смело. Оно, в сущности, означало, что человеку не нужно терпеливо ждать рая на небесах, а следует активно выстраивать свою жизнь, рассчитывая только на свои силы, и в особенности на прогресс в познании природы и общества.

В ХХ веке с особой очевидностью обнаружилось, что человек, способный познать многое, приобретает знание и о том, что он способен обратить — а иногда и обращает — против самого себя. Бурное развитие промышленности, опирающееся на познание природы, ведет к расточительному использованию невозобновляемых природных ресурсов (нефть, газ, руда и т. д.), к грозящему катастрофой общему потеплению климата на Земле, к бурному росту населения, чреватому перенаселением планеты и т. д. Познавая мир, человек изобрел и то, относительно чего хотелось бы, быть может, чтобы оно навсегда осталось неизвестным: ядерное, химическое и бактериологическое оружие, национал-социалистические и коммунистические социальные теории, приведшие к гибели десятки миллионов людей, и т. д. Можно повторить вслед за Бэконом, что знание — действительно могучая сила. Однако, наученные опытом двух мировых войн, жестоких тоталитарных режимов и безуспешных пока попыток решения глобальных проблем человечества, мы должны добавить, что знание — не только огромная, но и опасная сила. Настолько опасная, что она способна — при неблагоразумном ее использовании — привести человеческую цивилизацию к гибели.

6. Рассуждать правильно

Основной задачей логики является отделение хороших способов рассуждения — или вывода, умозаключения — от плохих и, строже говоря, правильных от неправильных. Правильные выводы называют также обоснованными, последовательными или логичными.

Правильным является следующий вывод, использовавшийся в качестве стандартного примера еще в Древней Греции:

Все люди смертны; Сократ — человек; следовательно, Сократ смертен.

Первые два утверждения — это посылки вывода, третье — его заключение.

Правильным будет, очевидно, и такое рассуждение:

Всякий человек — живое существо; Сократ — человек; значит, Сократ — живое существо.

Сразу же можно заметить сходство данных двух выводов не только в содержании входящих в них утверждений, но и в характере связи этих утверждений между собою. Можно даже почувствовать, что с точки зрения правильности эти выводы совершенно идентичны: если правильным является один из них, то таким же будет и другой, и притом в силу тех же самых оснований.

Еще два, несколько более громоздких, примера правильных выводов:

Все широколиственные растения — растения с опадающими листьями; все виноградные лозы — широколиственные растения; следовательно, все виноградные лозы — растения с опадающими листьями.

Этот вывод, в общем, напоминает уже приведенные выше, но вместе с тем в деталях отличается от них. Речь идет, конечно, не о сходстве содержания — очевидно, что оно различно во всех трех случаях, — а о сходстве строения выводов, их структуры, характера движения мысли.

Если Земля вращается вокруг своей оси, реки на ее поверхности подмывают один из своих берегов; Земля вращается вокруг своей оси; значит, реки на ее поверхности подмывают один из своих берегов.

Как протекает это рассуждение о Земле и реках? Сначала устанавливается условная связь между вращением Земли и подмыванием реками берегов. Затем констатируется, что Земля действительно вращается. Из этого выводится, что реки в самом деле подмывают один из берегов. Это заключение вытекает с принудительной силой. Оно как бы навязывается всем, кто принял посылки рассуждения. Именно поэтому можно было бы сказать также, что реки должны подмывать один из берегов, с необходимостью делают это.

Ход данного рассуждения прост: если первое, то второе; имеет место первое, значит, есть и второе.

Принципиально важным является то, что о чем бы мы ни рассуждали по такой схеме — о Земле и реках, о человеке или химических элементах, о мифах или богах, — рассуждение останется правильным.

Читатель может тут же убедиться в этом, подставив в схему вместо слов «первое» и «второе» два утверждения с любым конкретным содержанием.

Изменим несколько эту интересную схему и будем рассуждать так: если первое, то второе; имеет место второе, значит, есть и первое.

Например:

Если ночь, то темно; сейчас темно; следовательно, сейчас ночь.

Этот вывод, очевидно, неправилен. Верно, что всякий раз, когда ночь, то темно. Но из этого условного утверждения и того факта, что сейчас темно, вовсе не вытекает, что сейчас ночь. Темно может оказаться в подвале, куда мы спустились, во время полного солнечного затмения и т. д.

Еще пример рассуждения по последней схеме подтвердит, что она способна приводить к ложным заключениям:

Если у человека гипертония — он болен; человек болен; значит, у него гипертония.

Однако такое заключение не вытекает с необходимостью: люди с гипертонией действительно больны, но далеко не у всех больных есть гипертония.

Отличительная особенность правильного вывода заключается в том, что он от истинных посылок всегда ведет к истинному заключению.

Этим объясняется тот огромный интерес, который логика проявляет к правильным выводам. Они позволяют из уже имеющихся истин получать новые истины. И притом с помощью чистого рассуждения, без всякого обращения к опыту, интуиции и т. п. Правильное рассуждение как бы разворачивает и конкретизирует наши знания. Оно дает стопроцентную гарантию успеха, а не просто обеспечивает ту или иную — быть может, и высокую — вероятность истинного заключения. Отправляясь от истинных посылок и рассуждая правильно, мы обязательно во всех случаях получим истину.

Если же посылки или хотя бы одна из них являются ложными, правильное рассуждение может давать в итоге как истину, так и ложь.

Так же и неправильные рассуждения могут от истинных посылок вести как к истинным, так и к ложным заключениям. Никакой определенности здесь нет. Логически необходимо заключение вытекает только в случае правильных, обоснованных выводов.

Логика отделяет правильные способы рассуждения от неправильных и систематизирует первые. Ее можно определить, таким образом, как науку о правильном рассуждении. Она занимается, конечно, не только связями утверждений в правильных выводах, но и другими темами. В числе последних проблемы смысла и значения выражений языка, различные отношения между понятиями, определение понятий, деление и классификация, вероятностные и статистические рассуждения, софизмы и парадоксы. Но главная и доминирующая тема формальной логики — это, несомненно, анализ правильности рассуждения, исследование «принудительной силы речей».

Своеобразие логики связано, прежде всего, с ее основным принципом, в соответствии с которым правильность рассуждений зависит только от формы этих рассуждений.

Этот принцип представляется на первый взгляд довольно простым. Но он далеко не так прост, как кажется. Во всяком случае, он не проще входящего в его формулировку понятия формы рассуждения.

Самым общим образом форму рассуждения можно определить как способ связи входящих в это рассуждение содержательных частей.

Чтобы сделать это определение понятным и полезным, надо раскрыть смыслы всех входящих в него понятий и показать на примерах как выявляется логическая форма конкретных мыслей, рассуждений. В дальнейшем мы как раз и займемся этим. Сейчас же сделаем несколько общих замечаний, связанных так или иначе с понятием логической формы.

Рассуждение — это цепочка утверждений или высказываний, определенным образом связанных друг с другом. И само рассуждение, и входящие в него утверждения представляют собой акты нашего разума, или, как говорят, наши «мысли». Слово «мысль» не отличается особой ясностью. Тем не менее для наших целей можно без всяких опасений вместо термина «форма рассуждения» употреблять термин «форма мысли».

И еще одно терминологическое замечание. В логике принято говорить не «на языке», а «в языке»: «формулируется в определенном языке», «доказывается в языке» и т. п.

Основной принцип формальной логики предполагает — и это следует специально подчеркнуть, — что каждое наше рассуждение, каждая мысль, выраженная в языке, имеет не только определенное содержание, но и определенную форму. Предполагается также, что содержание и форма отличаются друг от друга и могут быть разделены. Содержание мысли не оказывает никакого влияния на правильность рассуждений и от него следует поэтому отвлечься. Для оценки правильности существенной является лишь форма мысли. Ее необходимо выделить в чистом виде, чтобы затем на основе одной «бессодержательной» формы решить вопрос о правильности рассматриваемого рассуждения.

Как известно из философии, все предметы, явления и процессы имеют как содержание, так и форму. Наши мысли не являются исключением из этого общего правила. То, что они обладают определенным, меняющимся от одной мысли к другой содержанием, известно каждому. Но мысли имеют также форму, что обычно ускользает от внимания.

Логика не интересуется содержанием наших мыслей. Ее внимание целиком приковано к форме, ибо только от формы зависит правильность рассуждений.

Казалось бы, все просто. Однако просто только в идеале и абстракции.

Различие между формой и содержанием не является абсолютным. То, что в одном случае считается относящимся к форме, в другом может оказаться содержательным компонентом рассуждения и наоборот. Противопоставление формы мысли ее содержанию является относительным и верным лишь в определенных границах. Так что интерес формальной логики только к форме не означает абсолютного отвлечения от всякого содержания. В принципе, такое полное разъединение формы и содержания вообще недостижимо, поскольку формы, совершенно лишенной содержания, нет. Логика, исследуя логическую форму, анализирует и содержание, с необходимостью присутствующее в ней.

Это содержание является довольно своеобразным. Иногда его называют «формальным», чтобы отличить от «конкретного содержания», содержания в обычном смысле этого слова. Но ясно, что какое-то содержание — пусть и не совсем обычное — в логической форме все-таки есть.

Поэтому положение, что логика интересуется одной формой рассуждений, нуждается в важной конкретизации. Оно требует прояснения самого понятия такой формы.

Понятие логической формы, формы рассуждения или формы мысли является крайне абстрактным. Смысл его лучше всего раскрыть на примерах.

Сравним два утверждения: «Все лошади едят овес» и «Все реки впадают в море». По содержанию они совершенно различны, к тому же первое из них является истинным, а второе — ложным. И тем не менее сходство их несомненно. Это сходство, а точнее говоря, тождество их строения, формы. Чтобы выявить подобное сходство, нужно отвлечься от содержания утверждений, а значит и от обусловленных им различий. Оставим поэтому в стороне лошадей и овес, реки и моря. Заменим все содержательные компоненты утверждений латинскими буквами, скажем, S и Р, не несущими никакого содержания. В итоге получим в обоих случаях одно и то же: «Все S есть Р».

Это и есть форма рассматриваемых утверждений. Она получена в результате отвлечения от конкретного их содержания, от которого в ней не осталось никаких следов. Но сама эта форма имеет все-таки некоторое содержание. Из нее мы узнаем, что у всякого предмета, обозначаемого буквой S, есть признак, обозначаемый буквой Р. Это не особенно богатое, но все-таки содержание, «формальное содержание».

Этот простой пример хорошо показывает одну из особенностей подхода логики к анализу рассуждений — его высокую абстрактность.

В самом деле, все началось с очевидной мысли, что утверждения о лошадях, которые едят овес, и о реках, впадающих в море, совершенно различны. И если бы не цели логического анализа, на этом различии мы и остановились бы. Именно так и поступил герой одного из рассказов А. Чехова, не увидевший ничего общего между высказываниями «Лошади едят овес» и «Волга впадает в Каспийское море».

Отвлечение от содержания и выявление формы привело нас, однако, к прямо противоположному мнению: рассматриваемые утверждения имеют одну и ту же логическую форму, и, следовательно, они полностью совпадают. Начав с мысли о полном различии утверждений, мы пришли к выводу об абсолютной их тождественности.

Никакой непоследовательности во всем этом нет. Два утверждения, различные с точки зрения своего содержания, оказались неразличимыми с точки зрения своей логической формы. Но насколько абстрактным должен быть подход формальной логики, чтобы дать возможность увидеть за совершенным различием полное совпадение!

Легко понять, что такое пространственная форма. Скажем, форма здания характеризует не то, из каких элементов оно сложено, а только то, как эти элементы связаны друг с другом. Здание одной и той же формы может быть и кирпичным, и железобетонным.

Достаточно просты также многие непространственные представления о форме. Говорят, например, о форме классического романа, предполагающего постепенную завязку действия, кульминацию и, наконец, развязку. Все такие романы независимо от их содержания сходны в своей форме, способе связи своих содержательных частей.

В сущности, ненамного более сложным для понимания является и понятие логической формы. Наши мысли слагаются из некоторых содержательных частей, как здание из кирпичей, блоков, панелей и т. п. Эти «кирпичики» мысли определенным образом связаны друг с другом. Способ их связи и представляет собой форму мысли.

Наше внимание направлено обычно только на содержание. Логическая форма остается вне поля зрения. Она начинает как-то интересовать нас лишь в тех не особенно частых случаях, когда мы сомневаемся в правильности своих рассуждений и намереваемся проконтролировать их.

Для выявления формы надо отойти от содержания мысли, заменить содержательные ее части какими-нибудь пустыми пробелами или буквами. Останется только связь этих частей. В обычном языке она выражается словами «и», «или», «если, то», «не», «все», «некоторые» и т. п. Часто ли мы задумываемся над ними? Вряд ли. Знаем ли те правила, которым подчиняется их употребление? Довольно смутно. Но это означает, что нас обычно мало занимает логическая форма наших рассуждений, представляемая этими совсем незаметными словечками.

Каждый умеет рассуждать правильно, хотя редко кто знаком даже с азами теории правильного рассуждения. Принципы, или схемы, правильных рассуждений усваиваются каждым человеком с усвоением языка.

Наибольшую трудность в овладении в раннем детстве первым, или, как говорят, родным языком чаще всего видят в обилии тех слов, которые предстоит запомнить. Иногда основные трудности связывают с грамматикой. Хотя имен вещей, их свойств и отношений чрезвычайно много, далеко не все в обычной жизни приходится именовать и обозначать точно. Можно обойтись каким-то минимумом в считанные сотни слов, комбинируя и перекомбинируя их применительно к ситуации, варьируя их значения с помощью тона, жеста или мимики. Даже большие знатоки языка, стремящиеся к максимальной точности выражения мыслей и чувств, используют за всю свою жизнь всего чуть больше десяти тысяч разных слов. Словарь ребенка тем более невелик.

Гораздо труднее овладеть грамматикой, с помощью которой слова соединяются в предложения. В ней вдесятеро больше исключений, чем самих правил. Человек долго осваивает ее до школы и в школе, а затем всю жизнь продолжает совершенствовать свои познания в синтаксисе и пунктуации.

Не преуменьшая трудностей, связанных с расширением словаря и усвоением грамматики, нужно все-таки сказать, что наиболее трудное дело в обучении первому языку — это выработка умения рассуждать правильно. Без такого умения нет связи предложений между собой, нет выведения одних истин из других. В сущности, без него нет владения языком.

Приклеивание ярлыков-имен к вещам и соединение слов в утверждения и отрицания необходимы для того, чтобы говорить на каком-то языке. Но на языке не просто говорят, на нем рассуждают. Без устойчивых логических навыков нет и самой способности рассуждать, умения связывать свои утверждения и отрицания в правильные умозаключения. Не случайно ребенок обычно овладевает в достаточной мере языком к трем-четырем годам, а умением рассуждать логично — только к пяти-семи годам.

Схемы рассуждения усваиваются, как правило, бессознательно, стихийно. Точно так же они применяются. Словарю и грамматике более или менее учат с самого детства. Ошибки здесь заметны, обычно они режут слух. Неправильности же в рассуждениях не так бросаются в глаза, так как не лежат на поверхности и требуют для своего обнаружения не так часто встречающегося умения переключать внимание с содержания наших суждений на их форму. Навыкам правильного мышления специально не обучают либо обучают очень редко.

Одно время логику изучали в течение года в общеобразовательной школе. Но вскоре этот предмет из круга школьных дисциплин был исключен: преподавать его было некому, учебник был откровенно неважным и неудивительно, что последствия поверхностного знакомства с логикой на практике мышления школьников почти не сказывались. Сейчас ситуация изменилась и следовало бы, по всей вероятности, вернуться к вопросу о возобновлении преподавания логики в школе.

Главным, а нередко и единственным источником представлений о правильности рассуждений является практика рассуждения. Повседневное, тысячи и тысячи раз повторяющееся соединение утверждений между собой, образование из них умозаключений приводит в конце концов к формированию более или менее устойчивого навыка рассуждать правильно и замечать свои и чужие ошибки.

Навык не предполагает ни каких-то теоретических сведений, ни умения объяснить почему что-то делается именно так, а не иначе. Но обычно он вполне достаточен для всех практических целей.

Можно научиться ходить, не овладевая никакой теорией ходьбы, если она вообще существует. Можно даже стать выдающимся мастером в этом деле, никогда не задумываясь особенно над самим механизмом хождения. Впрочем, размышление не помешает даже здесь.

Более близкая аналогия — умение говорить грамматически правильно. Грамматические правила, если они и изучаются, вскоре забываются. Но остается умение говорить в соответствии с этими правилами, складывающееся по преимуществу стихийно. Оно не требует отчетливого знания ни самих правил, ни тем более тех сложных теорий, которые их истолковывают. Знание правил, конечно, не помешает, но только при условии, что их употребление будет доведено до автоматизма. Человек, припоминающий после каждого слова необходимое правило, вряд ли способен говорить правильно.

Навыки логически правильного рассуждения составляют в совокупности то, что можно назвать интуитивной логикой. Это не теория и не система отчетливых правил, а просто некоторое умение. Оно во многом подобно умению ходить и говорить. Но кое в чем и отлично.

Многие согласятся, что им стоило бы ходить немного иначе, более правильно. Редко кто не ощущает шероховатостей в своей грамматике. Почти всякий не отказался бы в чем-то ее усовершенствовать, если, разумеется, это не потребовало бы каких-то особых усилий.

Но гораздо меньше людей, чувствующих пробелы в своей логике и пытающихся устранить их.

В отношении той логической интуиции, того чутья правильности проводимых рассуждений, которое есть у каждого из нас, царит почему-то оптимизм. Большинство вполне удовлетворено своей интуитивной логикой, не замечает допускаемых логических ошибок и не видит особой необходимости в ее прояснении и усовершенствовании. Свое умение рассуждать последовательно и доказательно лишь немногие оценивают относительно невысоко.

Насколько оправдана уверенность, что логическое чутье никогда не подводит?

В общем, она в достаточной мере оправдана. Интуитивная логика, если она уже сложилась и хорошо отработана на разнообразном материале, как правило, не подводит нас.

Но чрезмерный оптимизм по поводу наших стихийно сложившихся навыков правильного мышления вряд ли обоснован. Иногда даже в заурядных ситуациях они могут оказаться вдруг неэффективными.

Наше логическое чутье и наши навыки правильного рассуждения не так безупречны, как это зачастую кажется. Полезно поэтому не упускать случая, чтобы их усовершенствовать.

Практика рассуждения при всей ее необходимости и важности не способна сама по себе привести к ясному пониманию природы логического вывода. Опираясь только на собственный индивидуальный опыт мышления, никто не открыл пока ни одной схемы правильного рассуждения. Практика логичного мышления должна быть дополнена знанием его теории.

Старая логика пользовалась для описания мышления обычным языком, на котором повседневно общаются люди. Но он имеет целый ряд особенностей, мешающих ему, к сожалению, успешно справляться с этой задачей.

Его правила, касающиеся построения сложных выражений из простых, расплывчаты. Интуитивные критерии осмысленности утверждений ненадежны. Структура фраз скрывает реальную логическую форму. Большинство выражений многозначно.

Обычный язык, возникший как средство общения людей, претерпел долгую и противоречивую эволюцию. Многое в нем остается не выявленным, а только молчаливо предполагается.

Все это не означает, конечно, что обычный язык никуда не годен и его следует заменить во всех областях какой-то искусственной символикой. Он вполне справляется с многообразными своими функциями. Но, решая многие задачи, он лишается способности точно передавать форму нашей мысли.

Для целей логики необходим искусственный язык, строящийся по строго сформулированным правилам. Этот язык не предназначен для общения. Он должен служить только одной задаче — выявлению логических связей наших мыслей, но решаться она должна с предельной эффективностью.

Принципы построения искусственного логического языка были разработаны в современной логике. По словам немецкого логика Г. Клауса, «создание его имело такое же значение в области мышления для техники логического вывода, какое в области производства имел переход от ручного труда к труду механизированному». Специально созданный для целей логики язык получил название «формализованного». Слова обычного языка заменяются в нем отдельными буквами и различными специальными символами. Формализованный язык — это «насквозь символический» язык. Введение его означает принятие особой теории логического анализа рассуждений.

Использование формализованного языка для описания способов правильного рассуждения невозможно переоценить. Без него нет современной логики.

В определенный период своего развития каждая наука созревает для коренной перестройки своего языка. В свою очередь, создание нового языка, обладающего неизмеримо большими, чем прежний, выразительными возможностями, оказывается мощным стимулом для дальнейшего развития этой науки.

Отмечая эту взаимосвязь между успехами науки и преобразованием ее языка, французский химик XVIII века А. Лавуазье писал: «Так как слова сохраняют и передают представления, то из этого следует, что нельзя ни усовершенствовать язык без усовершенствования науки, ни науку — без усовершенствования языка, и что как бы ни были достоверны факты, как бы ни были правильны представления, вызванные последними, они будут выражать лишь ошибочные представления, если у нас не будет точных выражений для их передачи».

Революция в логике привела к созданию логически совершенного языка. Последний сделал возможным дальнейшее углубленное изучение и описание закономерностей правильного мышления.

«Чему, спрашиваю я, одолжены своими блистательными успехами в последнее время математические и физические науки, слава нынешних веков, торжество ума человеческого? Без сомнения, искусственному языку своему, ибо как назвать сии знаки различных исчислений, как не особенным, весьма сжатым языком, который, не утомляя напрасно нашего внимания, одной чертой выражает обширные понятия». Эти слова, сказанные знаменитым русским математиком ХIХ века Н. Лобачевским, с полным правом можно отнести не только к искусственным языкам математики и физики, но и к формализованному языку современной логики.

7. Современная логика и другие науки

В заключение этого, по необходимости краткого, разговора о том, чем занимается логика, следует сделать несколько замечаний о ее связях с другими науками.

С момента своего возникновения логика была самым тесным образом связана с философией. В течение многих веков логика считалась, подобно этике, эстетике, психологии и др., одной из «философских наук». И только во второй половине XIX века формальная — к этому времени уже математическая — логика отпочковалась, как принято выражаться, от философии. Примерно в это же время от философии отделилась и стала самостоятельной научной дисциплиной и психология. Но если в психологии этот процесс был связан, прежде всего, с проникновением в нее опыта и эксперимента и сближением ее с другими эмпирическими науками, то в отделении логики решающую роль сыграло проникновение в нее математических методов и сближение с математикой.

Самостоятельность, обретенная логикой, не означала, конечно, того, что она утратила всякую связь с философией. Просто в новую историческую эпоху прежняя связь приобрела другой характер. Математическая логика возникла, в сущности, на стыке двух столь разных наук как философия, или точнее — философская логика, и математика. И тем не менее взаимосвязь новой логики с философией не только не оборвалась, но, напротив, парадоксальным образом даже окрепла. Обращение к философии является необходимым условием прояснения формальной логикой своих оснований. С другой стороны, использование в философии понятий, методов и аппарата современной логики, несомненно, способствует более ясному пониманию самих философских понятий, принципов и проблем.

Тесная связь современной логики с математикой придает особую остроту вопросу о взаимных отношениях этих двух наук. Среди многих точек зрения, высказывавшихся по этому поводу, были и две крайние, ведущие, в общем-то, к тому же самому конечному результату — объединению математики и логики в единую научную дисциплину, сведению их в одну науку.

Согласно Г. Фреге, Б. Расселу и их последователям математика и логика — это всего лишь две ступени в развитии той же самой науки. Математика может быть полностью сведена к логике, и такое чисто логическое обоснование математики позволит установить ее истинную и наиболее глубокую природу. Этот подход к обоснованию математики получил название логицизма. Наиболее законченное изложение он нашел в изданном в 1910–1913 годах трехтомном труде «Principia Mathematica», написанном Б. Расселом совместно с другим английским математиком и логиком — А. Уайтхедом.

Сторонники логицизма добились определенных успехов в прояснении основ математики. В частности, было показано, что математический словарь сводится к неожиданно краткому перечню основных понятий, которые принадлежат словарю чистой логики. Вся существующая математика была сведена к сравнительно простой и унифицированной системе исходных, принимаемых без доказательства положений, или аксиом, и правил вывода из них следствий, или теорем.

Однако в целом логицизм оказался утопической концепцией. «Математика не выводима из формальной логики, — подводит итог русский математик и логик Д. Бочвар, — ибо для построения математики необходимы аксиомы, устанавливающие факты из области объектов, и, прежде всего, — существование в последней определенных объектов. Но такие аксиомы обладают уже внелогической природой».

Другой формой объединения математики и логики в одну науку было объявление математической, или современной, логики одним из разделов современной математики. Многие математики и сейчас еще считают главной — если не единственной — задачей математической логики уточнение понятия математического доказательства и исключение парадоксальных, противоречащих интуиции утверждений из математических теорий. Математическая логика, говорит, например, английский логик Р. Гудстейн, имеет своей целью выявление и систематизацию логических процессов, употребляемых в математическом рассуждении, а также разъяснение математических понятий. Сама она является ветвью математики, использующей математическую символику и технику, ветвью, развивающейся в целом в течение последних ста лет, и притом такой, которая по своей плодотворности, по силе и важности своих открытий вполне может претендовать на место в авангарде современной математики.

Тенденция включать математическую логику в число математических дисциплин и видеть в ней только теорию математического доказательства является, конечно, ошибочной. На самом деле задачи логики гораздо шире. Она исследует основы всякого правильного рассуждения, а не только строгого математического доказательства, и ее интересует связь между посылками и следствиями в любых областях рассуждения и познания, а не только в одной лишь математике. Математическая логика, истолкованная исключительно как один из разделов математики, не только лишается способности прояснять и уточнять основания математики, но и сама становится непостижимой.

С первых дней своего возникновения современная логика способствовала решению логических проблем и преодолению трудностей, встававших перед математикой. Каждый новый шаг в прогрессе логики быстро сказывался на развитии математической науки. С другой стороны, без использования математических методов и понятий не было бы и современной логики. Но это не означает, разумеется, что одна из этих наук должна быть поглощена другой. Тенденция ставить логику на службу, прежде всего, математике является, однако, по-своему показательной. Она выразительно подчеркивает тесную взаимосвязь логики и математики, их плодотворное и взаимно обогащающее воздействие друг на друга.

Современная логика тесно связана также с кибернетикой — наукой о закономерностях управления процессами и системами в любых областях: в технике, в живых организмах, в обществе. Основоположник кибернетики американский математик Н. Винер не без оснований подчеркивал, что само возникновение кибернетики было бы немыслимо без математической логики. Автоматика и электронно-вычислительная техника, применяемые в кибернетике, были бы невозможны без использования алгебры логики — этого исторически первого раздела современной логики. В управляющих схемах, применяемых в кибернетике, значительное место занимают релейно-контактные схемы, моделирующие логические операции. Описание таких операций, даваемое логикой, способствует детальному анализу логического строения мысли и открывает поразительные перспективы автоматизации логических процессов, богатые возможности использовать для их осуществления автоматические машины. Математическая логика, заключает математик Г. Поваров, является необходимым инструментом для машинизации умственного труда.

Современная логика находит широкие приложения не только в кибернетике, но и во многих других областях науки и техники. Очерчивая эти приложения, американский логик Э. Беркли пишет, что математическая логика используется при исследовании правил, условий и договоров, при проектировании электрических схем для вычислительных машин, телефонных систем и регулирующих устройств, при программировании автоматических вычислительных машин и вообще при описании и проектировании многих типов схем и механизмов.

Столь широкие технические приложения современной логики покажутся особенно впечатляющими, если вспомнить, что еще лет 40 тому назад она казалась большинству весьма абстрактной математической дисциплиной, далекой от практического применения.