Измерения и меры

О НЕВОЗМОЖНОМ, ДОСТОВЕРНОМ И ВЕРОЯТНОМ

Представьте, что вас спросят: «Не погаснет ли завтра солнце?» «Конечно, нет, — ответите вы. — Это событие невозможное». Какова же вероятность невозможного события? Ясно, что она равна нулю, поскольку такое событие никогда не произойдёт.

На другой вопрос — «Взойдёт ли солнце утром?» — вы, не задумываясь, скажете: «Безусловно, взойдёт. Это абсолютно достоверно». Вероятность достоверного события считают равной 100 % или, для простоты, единице, так как оно неизбежно произойдёт.

Итак, бывают события невозможные и достоверные. Но бывают также события, которые могут произойти, а могут и не произойти. Мы, например, говорим: «завтра, вероятно, будет хорошая погода»; этим мы показываем, что её может и не быть. Ведь погоду пока ещё нельзя предсказать наверняка, даже прогнозы специальных метеорологических бюро сбываются, как мы знаем, далеко не всегда.

Вероятность события, которое может произойти, а может и не произойти, больше нуля, но меньше единицы. Как же вычисляют вероятность таких событий?

Проделаем несложный опыт. Опустим в ящик два карандаша, совершенно одинаковых по размеру и форме, но разного цвета, например красный и синий. Перемешаем карандаши и, не глядя, вынем один из них. Какова вероятность того, что это будет красный карандаш? Поскольку карандаши одинаковы, мы не можем отдать предпочтение одному из них. Оба карандаша «равноправны» — они имеют одинаковую возможность оказаться вынутыми. Значит, вероятность вынуть красный карандаш равна ¹/₂. Такова же вероятность того, что будет вынут синий. Оба случая здесь равновозможны.

Теперь опустим в ящик 10 одинаковых карандашей, помеченных номерами 1, 2, 3 и т. д. Какова вероятность того, что первым будет вынут карандаш под номером, скажем, 6? Избранный нами карандаш составляет десятую долю общего количества карандашей, находящихся в ящике. Поэтому вероятность того, что он будет первым, равна ¹/₁₀, а вероятность того, что мы вынем не его, а какой-либо из остальных карандашей, составляет ⁹/₁₀. Сумма же этих вероятностей равна единице. Это говорит о том, что один из карандашей мы всё-таки вынем наверняка.

Если бы в ящике находилось 100 карандашей с разными номерами, то вероятность вынуть определённый карандаш с заранее загаданным номером равнялась бы ¹/₁₀₀, если бы 1000 карандашей, то ¹/₁₀₀₀ и т. д.

Если вероятность какого-то события равна, положим, ¹/₁₀, то это значит, что один шанс (шанс — вероятность, возможность) из десяти за то, что это событие случится.

Попробуем решить одну интересную задачу. Представьте, что в закрытом ящике находится 10 карандашей красного, синего и зелёного цвета. Нам неизвестно, сколько из них окрашено в красный цвет, сколько в синий и сколько в зелёный. Как определить, сколько карандашей каждого цвета находится в ящике, если разрешается вынимать одновременно только один карандаш (так, чтобы внутри ящика всегда оставалось не менее девяти карандашей)?

Оказывается, решить эту задачу довольно просто. Если вынутый карандаш снова опускать обратно, запомнив его цвет, потом, перемешав карандаши, вынимать новый, и так проделать много раз, то окажется, что число вынутых карандашей каждого цвета будет пропорционально их числу в ящике. Так, если приблизительно ¹/₂ вынутых карандашей имеет зелёный цвет, ¹/₅ красный и ³/₁₀ синий, то в ящике находятся 5 зелёных карандашей, 2 красных и 3 синих. Ведь чем больше карандашей определённого цвета, тем больше вероятность вынуть карандаш, окрашенный именно в этот цвет.

Вот те краткие сведения из теории вероятностей, которые необходимы нам для того, чтобы разобраться в характере случайных погрешностей.