Числа

400 миллиардов

В 2024 году состояние Илона Маска превысило четыреста миллиардов долларов. Число большое, но оно не удивляет. Сто миллиардов видели у Гейтса и Баффета. Двести – у Безоса и Арно. Так что… ну теперь четыреста – и что? Это «что» наступает, если подойти к этому числу через более осязаемые понятия.

Скажем, зарплата в десять тысяч долларов (нынешний миллион рублей) в месяц впечатляет. Ее более чем хватит, чтобы содержать не только себя, но и всю семью, причем на широкую ногу: жить в просторной квартире/доме, регулярно ходить в лучшие рестораны, оплачивать частное образование детям, периодически отправляться в путешествия, раз в несколько лет покупать новую недвижимость в свою коллекцию… В России таких людей – доли процента.

Сколько потребуется, чтобы заработать миллион долларов при такой зарплате? Сто месяцев. То есть около восьми лет. Не так уж и много.

А теперь перейдем к миллиардной шкале. На заработок миллиарда понадобится… восемь тысяч лет. При доходе в десять тысяч долларов, чтобы скопить к нынешнему моменту миллиард, нужно было начать работу до зарождения Древнего Египта. Через две с половиной тысячи лет после начала вашей работы вы бы стали свидетелем зарождения письменности. Увидели бы, как воздвигались пирамиды и висячие сады Семирамиды. Застали бы Древнюю Грецию, зарождение Римской республики и упадок Древнего Рима.

Все это время люди бы считали вас весьма состоятельным человеком. И тем не менее, лишь через восемь тысяч лет вам бы удалось скопить миллиард. Пришлось бы, конечно, отказаться от еды, путешествий и жилья – и все время копить, копить, копить. Но не переживайте, впереди великая цель – догнать Илона Маска: осталось заработать каких-то 399 миллиардов.

Семь больше шести

В 1834 году сонный, но довольный собою математик, потянувшись, вышел на балкон и прокричал:

– Семь больше шести!

Квартира ученого выходила на рыночную площадь, где, как всем известно, у людей и без того дел по горло. Но столь сенсационное заявление заставило весь базар замолчать. Ошарашенные, покупатели и торговцы воззрились на босого бородача в ночной рубашке. Первым среагировал явно не глупый мальчуган:

– А ведь и правда…

Другой паренек подхватил:

– Ничего себе!

Вскоре весь базар загалдел:

– Невероятно!!!

Так взошла звезда нового гения. Если Эйлеру и Лейбницу для славы пришлось окунаться во всякие дифференциальные уравнения и комплексные числа, великий прусский математик, живший полтора столетия спустя, ухватил самую гениальную из имевшихся идей – этого оказалось достаточно.

С тех пор каждый уважающий себя университетский учебник по комбинаторике открывается одой во славу великой идее, и все студенты мира с придыханием произносят фамилию гения:

– Дирихле!

Эта история, конечно, сказка. Но… откройте университетский учебник по комбинаторике. Первая глава называется «Семь больше шести» и посвящена она… принципу Дирихле.

Если вам покажется это глупостью, что ж, ознакомьтесь с задачами, которые решаются с помощью казалось бы столь простой идеи.

Например, докажите, что, если мы выберем внутри квадрата 1х1 пять точек, найдутся такие две точки, расстояние между которыми меньше 0,71.

Без принципа Дирихле даже не очень-то понятно, с какого конца подступиться к этой задаче. А вот с принципом… Разобьем наш квадрат на четыре равных квадратика, и заметим, что пять больше четырех! То есть точек-то у нас пять, а квадратиков четыре. Значит, в одном из квадратиков непременно окажутся, как минимум, две точки. Ну а максимальное расстояние между ними – это диагональ квадратика, которую мы вычисляем по теореме Пифагора и получаем число меньше 0,71.

Ладно, может сказать въедливый читатель, при желании могу решить эту задачу и без принципа Дирихле. Окей, но что если точек будет… 65? С принципом Дирихле вы просто разлинуете квадрат как шахматную доску на 64 клетки и сделаете гениальное замечание: 65-то больше 64! А вот без Дирихле все сразу как-то грустно.

Собственно, это одна из причин, почему пусть не все, но, быть может, некоторые студенты с придыханием произносят фамилию гения:

– Дирихле!

И все же, разлиновывание квадратов, треугольников и прочих разных фигур с целью втиснуть две точки в одну клетку – это хоть и захватывающее занятие, но неужто на этом все?

Конечно нет: под знамена Дирихле вслед за геометрией встает и алгебра. Докажите, что среди бесконечного ряда чисел 1, 11, 111, 1111, … непременно найдется такое число, что делится на 2027. Без Дирихле может возникнуть желание дать общую формулу членам ряда, попытаться найти в них что-нибудь отдаленно смахивающее на 2027n…

А вот с Дирихле все проще: каждый член ряда при делении на 2027 дает какой-то остаток. Остатков этих никак не больше 2027 (0, 1, 2… 2026). А бесконечность-то всяко больше каких-то там 2027! То есть в ряду у нас непременно найдутся два числа с одинаковыми остатками при делении на 2027. Возьмем эти два числа, отнимем одно от другого: 111…111 – 1…1 = 11…1100…00, и вот это число уже делится на 2027. Раз 11…1100…00 делится на 2027, значит и 11…11 делится на 2027, а это число – член ряда.