Маленькая книга о большой теории струн

Эпилог

Существует много аспектов теории струн, над которыми мы могли бы задуматься после завершения нашего ознакомительного тура. Например, существуют ли какие-либо специфические требования, заставляющие пространство-время существовать в десяти измерениях и подчиняться суперсимметрии? Или так ли уж необходимы все эти специфические объекты типа D0-бран или бран, ограничивающих пространство-время? Мы могли бы задуматься о зыбкой, но постепенно упрочняющейся связи теории струн с экспериментальной физикой. Или задаться вопросом: «Является ли теория струн стройной и красивой? Неоправданно раздутой? Облыжно оклеветанной?».

Как ни увлекательны все эти темы, я считаю, что закончить книгу следует коротким рассказом о математике, составляющей ядро теории струн. Помните вопрос из культового фильма: «В чём сила, брат?». Так вот, сила теории струн — в уравнениях. Почти все уравнения теории струн предусматривают использование математического анализа, изложение которого выходит за рамки популярной книги. Поэтому я попытаюсь, насколько это возможно, описать словами несколько наиболее важных уравнений, имеющих отношение к темам, рассмотренным в главах 5–8.

Самым важным уравнением в теории струн является уравнение, описывающее их движение. Оно утверждает, что струны предпочитают двигаться в пространстве-времени таким образом, чтобы площадь заметаемой ими поверхности была минимальной. Это уравнение не учитывает квантовую механику. Существует другое уравнение, точнее группа уравнений, описывающих движение струны квантово-механически. Эти уравнения говорят нам, что любые движения струны возможны, но некоторые из них «возможнее» других, а именно те, которые незначительно отличаются от движения, минимизирующего заметаемую струной площадь в пространстве-времени. И эти последние движения «взаимоукрепляют» друг друга. Это «взаимоукрепление» хорошо иллюстрируется римской фасцией — крепко связанным пучком прутьев. Такой пучок намного прочнее, чем каждый из составляющих его прутьев. Каждое возможное движение струны аналогично отдельному пруту. Большинство возможных движений дезорганизованы, они как бы тянут уравнение в разные стороны, но те возможные движения, которые близки к минимизирующему площадь, в некотором роде «выровнены», и они вместе вносят синхронный вклад в уравнения, квантово-механически описывающие струну.

Уравнения для D-бран похожи на уравнения для струн. Отличительная особенность этих уравнений заключается в том, что когда много D-бран собираются вместе, опять же наподобие римских фасций, D-браны получают в своё распоряжение больше возможных направлений движения, чем имеется пространственно-временных измерений. Если D-браны находятся далеко друг от друга, то положение одной D-браны относительно другой описывается вектором в десятимерном пространстве-времени. Но если D-браны расположены очень близко, в игру вступает калибровочная теория. Уравнения калибровочной теории говорят нам, что про струны, натянутые между двумя бранами, как изображено на иллюстрации в разделе «Браны и чёрные дыры» главы 5, невозможно с уверенностью сказать, что они идут от «красной» браны к «синей» или от «зелёной» к «красной». Вместо этого имеет место суперпозиция всех возможных вариантов, описываемая единой разноцветной волновой функцией, наподобие того как мелодия и гармония соединяются в «Экспромт-фантазии» Шопена, не теряя своей индивидуальности.

Уравнения, описывающие дуальности теории струн, удивительно разношёрстны. Те из них, которые описывают супергравитацию, неожиданно просты и выражают некоторые отношения симметрии. Уравнения, описывающие струны и браны, являются квантово-механическими, и они тоже довольно просты: большинство этих уравнений утверждают, что электрические заряды бран должны принимать только целочисленные значения при соответствующем выборе единиц измерения. И существует ещё множество уравнений, описывающих дуальности теории струн; эти уравнения обычно вырастают из попыток формализовать те многочисленные интуитивные отношения, о которых мы говорили в этой книге. В качестве примера можно привести вычисление вклада квантовых флуктуаций клубка D0-бран в общую массу этого клубка. Правильный ответ, говорящий, что квантовые флуктуации не вносят никакого вклада в массу клубка, был получен на основе дуальности с M-теорией задолго до того, как это было окончательно доказано путём решения соответствующих уравнений.

Уравнения суперсимметрии начинаются с выражений типа a × a = 0. Это выражение имеет несколько смыслов. Во-первых, оно означает, что в фермионном измерении возможны только два состояния движения: движение или покой. Во-вторых, оно означает, что два фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (принцип запрета). Суперсимметрия ведёт нас от простых выражений типа a × a = 0 к действительно глубоким уравнениям, которые помогли современной математике обрести её нынешнюю форму.

Уравнения, описывающие чёрные дыры и струнно-калибровочную дуальность, существуют в двух основных формах. Первая форма — это дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения описывают непрерывное поведение струны или частицы в пространстве-времени или эволюцию самого пространства-времени шаг за шагом. Вторая форма — это интегральные уравнения. С помощью интегрального уравнения вы можете описать, что происходит в целом пласте пространства-времени, включая граничные условия. Эти две формы уравнений тесно связаны. К примеру, дифференциальное уравнение можно метафорически представить как заявление частицы: «Я падаю!». А интегральное уравнение, описывающее горизонт чёрной дыры, сообщает частице: «После пересечения этой границы ты никогда не сможешь вернуться обратно».

Сколь бы ни велика была роль математики в теории струн, было бы ошибкой думать, что вся теория струн — это лишь большой набор разнообразных уравнений. Уравнения подобны мазкам на картине. Без отдельных мазков не будет полной картины, но полная картина — это нечто большее, чем набор отдельных мазков. Не вызывает сомнений, что теория струн — это незавершённое полотно, и два главных вопроса, возникающих при взгляде не него: «Когда на этом полотне будут закрашены последние белые пятна и будет ли законченная картина отражать реальный мир?».