Математические чудеса и тайны

В предыдущих главах мы рассматривали только такие фокусы, метод показа которых носит математический характер. Мы не занимались фокусами, в которых только конечный результат может быть объяснен при помощи математики. Если, например, показывающий, играя в карты, набирает нужное число взяток, заранее расположив карты в колоде соответствующим образом, то этот эффект можно считать математическим в том смысле, что произвольное расположение карт в колоде каким-то непостижимым образом стало упорядоченным, но мы такой фокус все же не будем называть математическим, поскольку показ его основан не на математике, а просто на незаметной подмене одной колоды другой.

Подобный подход мы применим и к отбору фокусов для настоящей главы. Очень многие «таинственные» фокусы можно назвать в широком смысле топологическими, так как при их показе как будто нарушаются элементарные топологические законы. Один из самых старинных фокусов такого рода известен под названием «соединенных колец»: шесть или более больших железных колец таинственным образом сцепляются и расцепляются — явление, кажущееся совершенно невозможным в силу свойств обычных замкнутых кривых линий. Другие фокусы, в которых кольца снимаются или надеваются на веревку или палку, оба конца которой зажаты в руках зрителя, можно было бы объяснить таинственными соединениями или разрывами цепи, поскольку зритель, держащий веревку, представляет собой замкнутую линию, через которую как-то проходит наше кольцо. Однако большинство таких фокусов основано на механических методах, небольшой ловкости рук или других «таинственных» приемах, ничего общего не имеющих с топологией.

Более близок к тому, что может быть названо топологической головоломкой, фокус, который известен под названием «падающее кольцо». Это цепочка колец, связанных друг с другом довольно странным образом. При надлежащих действиях верхнее кольцо как будто падает по цепи, пока, наконец, не оказывается странным образом соединенным с самым нижним кольцом. Этот фокус получается сам собой, и при его показе не возникает никаких затруднений, если не считать того, что кольца должны быть соединены так, чтобы они образовали некоторую сложную и довольно любопытную топологическую структуру.

«Падение» кольца в этом фокусе является лишь оптической иллюзией, объясняемой механически и не связанной с топологическими законами.

Весь материал этой главы будет включать в себя только фокусы, которые по методам показа могут рассматриваться как топологические. Так как топология занимается такими свойствами тел (предметов), которые не изменяются при непрерывных преобразованиях (растяжениях и сжатиях), при показе топологических фокусов (как и естественно ожидать) придется ограничиться почти исключительно таким гибким материалом, как бумага, ткани, нитки, бечевки и резиновые ленты.

Бумажные кольца

Хорошо всем известный «лист Мёбиуса», названный по имени Августа Фердинанда Мёбиуса, немецкого астронома и пионера-тополога, впервые описавшего эту поверхность, используется на протяжении последних 75 лет для многих фокусов. В одном из них показывающий вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной бумажной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом.

Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем простого соединения концов ленты без перекручивания. Второе кольцо (его называют листом Мёбиуса) получается при соединении концов ленты, перекрученной один раз на 180°. Одним из наиболее любопытных свойств этой поверхности, имеющей только одну сторону и один край, является то, что, разрезая ее вдоль посередине, мы получаем одно большое кольцо, если же разрезать его не посередине, а на расстоянии в одну треть ширины от края, то получается два кольца: одно большое и сцепленное с ним маленькое. Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды, т. е. на 360°.

В другом варианте фокуса кольцо разрезается на два отдельных кольца, одно из которых при разрезании посередине превращается тоже в два отдельных кольца, а другое — в одно большое. Оригинальный метод приготовления кольца для такого фокуса показан на рис. 4, а его улучшение — на рис. 5. Для склеивания концов употребляется какой-нибудь быстросохнущий клей.

Способ приготовления бумажной ленты, при котором после двух разрезов получается цепочка из трех сцепленных колец, изображен на рис. 6.

Если изготовить кольцо так, как показано на рис. 7, то после первого разрывания (разрезания) получится большое кольцо, размер которого вдвое больше первоначального, а второе разрывание даст кольцо вчетверо длиннее исходного.

Другой вариант изображен на рис. 8, первое разрывание дает одно большое кольцо, а второе — два сцепленных.

Можно придумать и другие комбинации. Например, после разрывания кольца, изображенного на рис. 9, получаются два отдельных кольца. Разрывание одного из них дает цепочку из трех колец, разрывание другого — одно большое кольцо. Это последнее кольцо можно разрывать еще раз, причем получится еще большее кольцо.

Если трижды перекрученную ленту продеть сквозь перстень, склеить концы, а затем разрезать или разорвать вдоль посередине, то получится одно большое кольцо с узлом, завязанным вокруг перстня.

Фокусы с носовым платком

Фокус с перерезыванием пальца

Можно отыскать свыше десятка современных фокусов топологического характера с носовыми платками.

Вот вариант одного из наиболее старых таких фокусов.

Показывающий берет носовой платок за противоположные углы и вращает его как детскую скакалку, пока он как следует не перекрутится. Скрученный платок вешается на вытянутый указательный палец правой руки зрителя, как это показано на рис. 10.

Обернув платок вокруг пальца, показывающий просит зрителя положить левый указательный палец на правый, после чего платок плотно обтягивается вокруг обоих пальцев (см. далее рис. 11–16).

Затем показывающий, удерживая указательный палец правой руки зрителя за кончик (рис. 17), просит его вытянуть из платка другой (верхний) указательный палец. После этого показывающий тянет концы платка вверх и платок свободно стягивается с оставшегося в нем пальца, как бы перерезая его.

Объяснение. Хотя в этом фокусе и кажется, что платок надежно стягивает оба пальца, в действительности же при таком способе обвязывания правый указательный палец остается вне петли, образуемой платком.

Делается это так.

1. Скрестите концы платка под пальцем (рис. 11). Заметьте, что конец, помеченный буквой А, расположен (в точке скрещивания) ближе к вам, чем конец В.

Так должно быть и при всех дальнейших операциях, иначе фокус не получится.

2. Подымите концы платка вверх (рис. 12) и скрестите их там.

3. Попросите зрителя положить указательный палец левой руки на пересечение (рис. 13).

4. Скрестите сверху концы платка, следя за тем, чтобы конец А был ближе к вам (рис. 14).

5. Опустите концы вниз и скрестите их там (рис. 15).

6. Подымите снова концы вверх и возьмите их в левую руку (рис. 16). Теперь будет казаться, что пальцы надежно стянуты.

7. Зажмите конец нижнего указательного пальца.

Попросите зрителя вытянуть другой указательный палец.

Потяните платок вверх, и он свободно сойдет с оставшегося в нем пальца (рис. 17).

Фокус со сцепленными платками

Два платка, желательно контрастных цветов, крепко скручивают и берут в левую руку так, как изображено на рис. 18.

Правая рука подводится под темный платок, зажимает конец А светлого платка и обертывает его один раз вокруг темного платка (рис. 19).

Конец В темного платка проносится за светлый платок, а затем выносится вперед, как это показано на рис. 20.

Концы В и С соединяются друг с другом внизу и берутся в правую руку. Концы А и D соединяются наверху и берутся в левую руку (рис. 21).

Зрителям будет казаться, что платки надежно связаны, но стоит только потянуть за концы, как они легко разъединяются. Большие шелковые платки можно дважды обертывать друг около друга и затем все же легко разъединять.

Оба эти фокуса основаны на следующем принципе: одна серия «завертываний» как бы уничтожается другой серией «развертываний». Этот же принцип встречается в ряде фокусов со шнурками, которые можно обкрутить вокруг ноги, стержня или палки, а затем свободно снять, как бы разрезая эти предметы.

Проблема завязывания узлов

Вот еще одна довольно известная головоломка топологического характера: как завязать на платке узел, не выпуская из рук его концов. Это можно сделать так. Скрутите платок жгутом и положите его на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в этом положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу платка каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине платка сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и носовой платок образуют замкнутую кривую в виде «трехлистного» узла.

При разведении рук узел только перемещается с рук на платок.

Занимательный вариант этой головоломки можно демонстрировать с помощью шнура, шарфа или галстука. Уложите, например, галстук на столе так, как это изображено на рис. 22.

Возьмите конец В правой рукой и попросите зрителя внимательно следить за тем, как вы завязываете узел. Пропустите теперь левую руку под конец В ладонью вниз (рис. 23),

а затем выверните ее назад, как это показано на рис. 24,

и подберите конец А. После того как вы разведете руки, на галстуке получится узел. Как ни странно, но такие движения довольно трудно воспроизвести. Вы можете снова и снова показывать фокус присутствующим, но когда они попытаются проделать его сами, узлы завязыцаться не будут.

Шнуры и бечевки

Фокусы со шнуром или бечевкой

Показывающий раскладывает на столе шнур замысловатым образом, а зритель пытается поставить внутрь одной из образовавшихся петель свой палец так, чтобы он оказался захваченным, когда фокусник начнет стягивать шнур со стола. Существует много остроумных способов укладки шнура, позволяющих фокуснику быть хозяином в этой игре, т. е. либо захватывать палец зрителя, либо оставлять его свободным, независимо от того, куда зритель поставит его.

На рис. 25 дан простейший вариант с двумя петлями.

Независимо от того, какую из них, А или В, изберет зритель, показывающий может дать ему выиграть или проиграть, собирая тем или иным способом концы шнура.

На рис. 25 эти два способа указаны соответственно стрелками С и D. Этот фокус удобно показывать также при помощи пояса, который сначала складывается вдвое, а затем скручивается в спираль вокруг большого и указательного пальцев (один из которых предварительно вставляется в петлю). Зритель обыкновенно старается уследить за петлей, в которую вначале был поставлен палец показывающего. Однако в какое бы место зритель ни поставил затем свой палец, считая, что он ставит его в петлю, показывающий может стянуть пояс беспрепятственно. Здесь, как и в случае со шнуром, показывающий по желанию может либо свободно стянуть пояс с пальца, либо оставить палец захваченным.

Для показа другого занимательного фокуса нужен шнур и бечевка длиной не менее 6 м. Концы этого шнура связывают узлом, чтобы получилась замкнутая кривая, и кого-нибудь из присутствующих просят уложить шнур на ковре так, чтобы образовался сколь угодно сложный узор (рис. 26), но с условием, чтобы в нем не было самопересечений.

Затем по краям узора укладывают газеты, так что видимой остается лишь его внутренняя прямоугольная часть (рис. 27).

Теперь зритель ставит палец и держит его прижатым в любом месте узора. Вопрос состоит в следующем: если убрать одну из газет и потянуть наружу за какую-нибудь часть шнура, бывшую под газетой, будет при этом палец зрителя захвачен шнуром или же он останется свободным? Принимая во внимание сложность узора, а также то, что границы его скрыты под газетой, кажется совершенно невозможным угадать, какие места на ковре будут внутренними по отношению к замкнутой кривой, обозначенной шнуром, а какие внешними. Тем не менее всякий раз показывающий может безошибочно установить, будет палец захвачен шнуром или нет.

Для другого варианта этой головоломки нужна дюжина или более простых булавок. Показывающий быстро и, как кажется, совсем наугад располагает их в различных местах видимой части узора, пока ими не будет утыкан весь прямоугольник. Затем шнур стягивается с ковра и все булавки остаются свободными. Можно взять одну булавку, отличающуюся по своему цвету (или размеру) от остальных, и поместить ее на узоре так, что после стягивания шнура с ковра она останется единственной захваченной в петлю, в то время как все остальные будут свободны. Можно предложить еще один вариант, когда все булавки размещаются внутри замкнутой кривой. В этом случае стягиваемый шнур образует петлю, окружающую все булавки.

Все эти головоломки основаны на нескольких простых правилах. Если какие-нибудь две точки лежат внутри кривой, образуемой шнуром, то соединяющая их воображаемая линия пересекает эту кривую четное число раз. То же самое справедливо и в случае, когда обе точки лежат вне кривой. Но если одна точка лежит внутри, а другая вне кривой, то соединительная линия всегда дает нечетное число пересечений.

Перед тем как будут положены газеты, выделите мысленно на узоре вблизи его середины какую-нибудь точку, внешнюю по отношению к кривой. Это нетрудно сделать, проведя, например, воображаемую линию от какой-нибудь точки вне узора по направлению к середине.

Вы можете, например, запомнить точку А на рис. 27.

Теперь, даже при закрытых газетами границах узора, для вас не составит труда определить, будет интересующая вас точка внутренней или внешней.

Для этого нужно лишь провести воображаемую линию (она не обязательно должна быть прямой, хотя, конечно, прямую линию представить легче всего) от требуемого места к точке, о которой вы знаете, что она внешняя, и заметить, будет число пересечений четным или нечетным.

Метод демонстрации всех вариантов, описанных выше, прост. Дюжину булавок можно быстро разместить вне замкнутой кривой следующим образом.

Первую булавку воткните в заранее известное место, затем дважды пересеките кривую и воткните следующую, еще раз дважды пересеките кривую и воткните третью булавку и т. д. Если же вы захотите захватить какую-нибудь одну отмеченную булавку, то, прежде чем воткнуть ее в ковер, пересеките кривую один раз, отправляясь от любой уже воткнутой булавки. Конечно, вы можете с такой же быстротой воткнуть все булавки и внутри замкнутой кривой.

Аналогичный фокус можно показать с карандашом и бумагой. Попросите кого-нибудь начертить на бумаге сколь угодно сложную замкнутую кривую (конечно, без самопересечений) и отогнуть назад все четыре стороны листа так, чтобы осталась видимой только внутренняя прямоугольная часть (рис. 28).

Пусть зритель, далее, поставит на узоре несколько крестиков. Вы берете карандаш и, не задумываясь, обводите ряд крестиков, говоря, что все они лежат внутри кривой. После этого стороны листа отгибаются обратно и все могут проверить, что вы не ошиблись.

Другие фокусы со шнуром

Существует еще одна категория топологических головоломок со шнурами: все они начинаются со связывания кистей рук одним куском шнура (рис. 29).

Можно, например, проделать со шнуром такие манипуляции, что на нем появится узел; он может быть обыкновенным или типа восьмерки. Можно надеть на шнур резиновое кольцо, а затем снять его со шнура, не развязывая н не разрывая при этом шнура.

Если два человека соединены зацепленными шнурами, как это показано на рис. 30, то можно манипулировать со шнурами так, чтобы освободить их от связки.

Решение всех перечисленных головоломок основано на том, что кольцо, образованное шнуром, руками и корпусом зрителя, на самом деле не сплошное, а имеет на кистях разрывы. Чтобы завязать на шнуре узел, нужно проделать следующее: образовать на нем петлю, пропустить ее изнутри под кольцо, завязанное на кисти, перекрутить один раз (т. е. на 180°) и протащить над рукой обратно, пропустить снаружи под кольцо и протащить над рукой вперед. При этом образуется обыкновенный узел. Узел в виде восьмерки получится точно таким же путем, но петлю нужно перекрутить дважды (на 360°). Резиновое кольцо надевают на шнур следующим образом: его натягивают на запястье и сдвигают немного далее на кисть, пропуская под веревочным кольцом, а затем перетягивают через руку и опускают на шнур. Производя эти манипуляции в обратном порядке, можно, конечно, снять кольцо. Два зрителя, связанных друг с другом так, как это было описано выше, освобождаются так: середина шнура, которым связаны руки одного зрителя, пропускается изнутри под кольцо, образованное шнуром на запястье другого зрителя, перетягивается через руку, а затем пропускается обратно под кольцом.

Очень старый фокус с тремя бусинами, нанизанными на две сложенные вместе нитки, известен под названием «бабушкиного ожерелья». (Идея этого фокуса используется также во многих других фокусах с лентами и шнурами.) Фокус начинают с демонстрации бусин, нанизанных на две сложенные вместе нити. Затем, когда зритель потянет за концы, бусины падают с нитей в руки показывающему.

На рис. 31 показано в разрезе, как должны нанизываться бусины. Хотя и кажется, что обе нити продеты сквозь все три бусины, в действительности же каждая из нитей «возвращается обратно», складываясь сама с собой.

Концы нитей скрещиваются, как показано на рис. 32.

Если теперь потянуть за них (рис. 33), бусины спадут с нитей.

С топологией связано много методов разрезывания и «склеивания» шнуров, а также ряд остроумных способов завязывания и развязывания узлов на шнурах, концы которых во время демонстрации держат зажатыми.

Типичным узлом среди многих любопытных ложных узлов является следующий. Его начинают завязывать как обыкновенный двойной узел (рис. 34), а затем продевают один из концов шнура в нижнее, а затем в верхнее кольцо, как показано на рис. 35.

Если теперь потянуть за концы, узел сразу развяжется.

Одежда

Три занимательных фокуса топологического характера для небольшой аудитории можно показать, пользуясь костюмными жилетами. С точки зрения топологии жилет можно рассматривать как двустороннюю поверхность с тремя не сцепленными краями, каждый из которых является обыкновенной замкнутой кривой. Застегнутый жилет является двусторонней поверхностью с четырьмя краями.

Загадочная петля

Зрителя, носящего жилет, просят снять пиджак.

Ему надевают на руку петлю, а затем просят заложить большой палец в нижний карман жилета, как показано на рис. 36.

Теперь можно предложить присутствующим снять петлю с руки, не трогая большого пальца зрителя с места. Разгадка такова: петлю нужно протащить в жилетное отверстие для рукава, перебросить через голову зрителя, вытащить через второе отверстие для рукава и перенести под вторую руку. В результате этих действий петля окажется под жилетом, окружая собой грудь.

Опускайте ее, пока она не покажется из-под жилета, а затем дайте упасть на пол.

Вывертывание жилета наизнанку

Зритель, носящий жилет, снимает пиджак и, соединив пальцы, вытягивает руки вперед. Можно ли вывернуть жилет наизнанку, не разнимая зрителю пальцев? Оказывается, можно. Для этого нужно расстегнуть жилет, поднять его над головой так, чтобы он повис на руках, вывернуть там наизнанку, просовывая через одно из отверстий для рукавов, и, наконец, надеть снова. Поразительно, что то же самое можно проделать и не расстегивая жилета, причем единственное затруднение будет в том, что застегнутый жилет слишком узок, чтобы его можно было стащить через голову. Однако этот фокус легко демонстрировать, заменив жилет свитером. Манипуляции со свитером должны быть точно такими же, как и с жилетом. Нетрудно демонстрировать этот фокус и на самом себе, для чего нужно соединить шнуром кисти рук, оставляя между ними сантиметров 50, чтобы обеспечить свободу движений. Вы сами можете убедиться, что стянуть свитер через голову, вывернуть его наизнанку через один из рукавов и снова надеть на себя совсем нетрудно.

Можно вывернуть жилет наизнанку со связанными руками, даже не снимая предварительно пиджака. Для этого нужно поднять пиджак кверху, пронести его над головой и оставить повисшим на руках. Затем поднять над головой жилет, через одно из его рукавных отверстий пропустить пиджак и вывернуть жилет наизнанку так, как это описывалось выше.

Снятие жилета

Оказывается, что жилет можно снять, не снимая пиджака. Проще всего это сделать так. Расстегнув сначала жилет, заложите левую полу пиджака зрителя на левое рукавное отверстие жилета с внешней стороны. Переведите затем это отверстие назад через левое плечо зрителя и далее вниз по его левой руке.

Теперь отверстие охватывает пиджак за левым плечом. Продолжайте передвигать отверстие по пиджаку дальше вокруг корпуса, переведите его через правое плечо и руку и, наконец, пропустите сквозь него правую половину пиджака. Таким образом, рукавное отверстие совершило почти полный оборот вокруг корпуса.

Жилет теперь висит под пиджаком на правом плече. Спустите его наполовину вниз сквозь правый рукав пиджака. Подверните обшлаг, захватите из-под него жилет и вытяните сквозь рукав наружу.

Резиновые кольца

Вот два фокуса топологического характера с резиновыми кольцами.

Скачущее кольцо

Повесьте резиновое кольцо на свой указательный палец (рис. 37).

Заведите вторую половину кольца за средний палец (рис. 38) и зацепите снова за указательный, как показано на рис. 39.

Убедитесь в том, что кольцо охватывает пальцы точно так, как на рисунке. Попросите кого-нибудь взяться за кончик указательного пальца. Теперь согните средний палец, как на рис. 40. Если кольцо было надето правильно, то часть его соскользнет с конца среднего пальца.

Вследствие этого и все кольцо свободно соскочит с указательного пальца и повиснет на среднем, как это показано на рис. 40.

Перекрученное кольцо

Для показа другого фокуса нужно широкое резиновое кольцо, которое вначале держится, как показано на рис. 41.

Затем оно дважды перекручивается; делается это при помощи большого и указательного пальцев, которые нужно двигать в направлениях, показанных на рис. 42 стрелками.

Попросите кого-нибудь снять с вашего пальца кольцо, захватив его точно таким же образом, как держали вы, т. е. так, чтобы правые большой и указательный пальцы удерживали кольцо за верхний конец, тогда как левые большой и указательный пальцы за нижний. Теперь предложите распрямить кольцо (т. е. избавиться от перекручиваний), меняя положение рук, но, конечно, не разжимая при этом пальцев.

Сколько бы зритель ни двигал руками, в конце концов, он должен будет признать, что не может этого сделать. Тогда вы аккуратно снимаете кольцо с его рук, взяв его точно так же, как держали первоначально. Затем очень медленно опускаете правую руку и поднимаете левую, как это показано на рис. 43. Когда вы это делаете, перекручивания чудесным образом исчезают на глазах.

Секрет этого фокуса можно объяснить топологически. Перекрученное кольцо вместе с вашими руками и телом образуют некоторую топологическую структуру. Когда кольцо берет зритель, получается «левый вариант» этой структуры, топологически существенно отличный от вашего. В этом случае от перекручивания избавиться невозможно.