Математика нуждается в систематизации

О понятийном аппарате математических теорий.

В каждом конкретном случае выбор математического аппарата предопределяется, главным образом, традициями той научной школы, представителем которой является исследователь. Существенных неудобств это обстоятельство, как правило, не вызывает, если исследование носит узко дифференцированную направленность. В нашем же случае, когда требуется описать интегрированную в самом широком смысле систему отношений между объектами с качественно различной природой, вопрос выбора математического аппарата приобретает первостепенное значение.

Особую остроту ему придает то обстоятельство, что как выразился один из выдающихся математиков XX века Герман Вейль, вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остается открытым. Это достаточно сдержанное выражение было сделано в 1944 году ученым, который с глубоким чувством гуманизма боролся за истину, понимаемую, прежде всего, как нравственную ценность общечеловеческого характера, и, с уходом которого из науки ушло единство и бескорыстность знания.

Поэтому современные математики и философы выражаются более категорично: кризис математики не преодолен, утрачены критерии абсолютности истины, существует неуверенность в выборе правильного подхода к математике, конфликты по основаниям математики отрицательно сказались на развитии и применении математической методологии и т. д.

Однако, такая категоричность в оценке состояния математики вовсе не означает отказа от ее применения. "Если я не знаю, как работает мой желудок, это не означает, что я не должен кушать". Эта мысль Гегеля является лейтмотивом современных оптимистов в математике, успешно применяющих ее в науке, технике, экономике и других областях. В нашем случае с таким оптимизмом в определенном смысле можно согласиться, но только отчасти.

Речь может идти лишь о том уровне неопределенности применяемого математического аппарата, который, с одной стороны, предопределен нашими возможностями получения достоверной информации об объекте исследования, а с другой стороны, ограничен целью описания изучаемых явлений. Это предъявляет особые требования к выбору математического аппарата, который должен обеспечить получение результата исчерпывающей полноты при довольно широком диапазоне неопределенности информации о разных объектах и при весьма жестких условиях применения, требующих предельной простоты и наглядности применяемых выкладок.

Это весьма существенное в данном случае обстоятельство заставляет проанализировать самые разнообразные области математики с целью выявления такого минимума наиболее простых математических форм и средств, который был бы необходим и достаточен для решения поставленных перед данным исследованием задач. При этом, прежде всего, будем исходить из чисто прагматического соображения практической полезности рассматриваемых математических теорий: любая из них имеет право на существование, если с ее помощью получен хотя бы один положительный результат.

Такой принцип является основой системного подхода, методологическая форма которого выражает естественную (природную) сущность потребностей человека. Потребительские свойства объекта (в данном случае -теории) предопределяют ее полезность, продолжительность и "географию" проявляемого к ней интереса со стороны наиболее авторитетных исследователей. В этом заключается суть второго принципа системного подхода – соответствие основных свойств объекта (теории) потребностям человека (исследователя).

Заниматься поисками чего-то общего в существующих теориях, не оговорив заранее, что же мы хотели бы в них найти, дело весьма бесперспективное. Поэтому обратимся к третьему принципу системного подхода, т. е. определимся относительно принципа подобия форм, согласно которому к любой теоретической системе предъявим следующие формальные требования:

– теория должна иметь неопределимые первичные понятия об объектах исследования;

– быть непротиворечивой;

– содержать независимые с точки зрения познания методы исследования;

– обладать симметрией.

Эти требования можно обобщить в виде принципов, в той или иной форме сформулированных учеными-классиками и ставших фундаментальными в прикладных науках, особенно, в физике. К ним относятся принципы неопределенности, сохранения, относительности и симметрии. Этот, пожалуй, исчерпывающий перечень фундаментальных в науке принципов должен стать своего рода эталоном для сравнения оснований рассматриваемых теорий, причем в первую очередь с точки зрения их наличия и использования в явном или неявном виде.

Выбранных путей не должно быть слишком много, чтобы не превратить их анализ в самостоятельное исследование, а сами они должны принадлежать к соперничающим научным течениям, что гарантирует от ошибок при выявлении наиболее общих принципов в построении математического аппарата.

Исходя из этих соображений, можно рассмотреть следующие классические теоретические направления в математике:

– теоретико-множественное направление, система аксиом которого известна как система Цермело-Френкеля;

– логизм Фреге-Рассела;

– интуиционизм Брауэра;

– формализм Гильберта;

– единая теория Вейля;

– единая теория поля Эйнштейна;

– всеобщая организационная наука – тектология Богданова.

Из наиболее популярных в настоящее время можно выделить теорию групп и топологию. Все эти теории претендуют или в свое время претендовали на универсальность, следовательно, их выбор не противоречит четвертому принципу системного подхода – принципу всеобщности результата.

Любой анализ того или иного объекта, а системный тем более, должен, во-первых, дать ответ на вопрос, достигнута ли поставленная цель. Во-вторых, при этом требуется определить причины, которые привели объект к известным последствиям. В-третьих, должно быть раскрыто содержание противоречий, свойственных этим причинам. И, в-четвертых, безусловно необходимым является количественная оценка каждого из противоречий по отношению к другим, т. е. определение их весомости.

На первый вопрос ответ дает история: ни одна из математических концепций экзамен на всеобщую универсальность не выдержала. Существует даже мнение, что такую единую теорию в принципе создать нельзя. Тем не менее поиски в этом направлении не прекращаются, очевидно, потому что результаты таких работ оказываются весьма плодотворными. Здесь все ясно: достичь абсолютной истины нельзя, но к ней надо стремиться.

Вопрос заключается в оценке направления движения к истине и темпов приближения к ней. Но этот вопрос относится к следующему этапу анализа – выявлению причин. Тщательный анализ перечисленных выше теорий, и не только их, показал, что все они опираются на фундаментальные принципы, независимо от того, признаются ли они авторами теорий, умалчиваются ли или категорически отрицаются. Более того, именно этими принципами и именно в такой их совокупности объясняется живучесть этих теорий и их полезность.

Другое дело, что авторы соответствующих теорий по-разному относились к ним и весьма неоднозначно их толковали, в результате чего и возникали различные противоречия по типу знаменитого парадокса Рассела в теории множеств. Так, квантовая теория поля строится, главным образом, на основе принципа неопределенности Паули, формализм Гильберта базируется на принципе непротиворечивости, единая теория поля Эйнштейна немыслима без принципа относительности, а многие открытия в ядерной физике обязаны теориям, в основе которых заложен принцип симметрии.

Вообще говоря, это вполне естественно, когда ученый берет в качестве первичного какой-то один фундаментальный принцип и относительно него комбинирует все остальные. Неестественным является категорическое отрицание других принципов, поскольку это приводит к казусам в науке, а иногда и к драматическим ситуациям. Последнее особенно характерно для экономических теорий русских ученых (А. Богданов, Е Бухарин и многие другие).

Математика – наука достаточно строгая, поэтому в ней произвола относительно какого-нибудь принципа значительно меньше, чем в других науках, ибо, отбросив его, невозможно сохранить строгость доказательств. Наглядный пример этого демонстрирует М. Клайн, описывая взгляды Лейбница на возможность построения универсальной логики. Перечислив три основных элемента, которые, по его мнению, являются необходимыми для такого построения (универсальный научный язык, исчерпывающий набор логических форм и набор основных понятий), он тут же делает оговорку, что к числу фундаментальных принципов следует отнести, например, закон тождества.

Совершенно очевидно, что по своей сути эти элементы вместе с законом тождества есть не что иное, как сформулированные выше четыре фундаментальных принципа математики. Современные математические теории, особенно такие "долгожители" как теория групп, имеют непреходящее значение для науки, очевидно, потому, что не просто сохраняют, но и специально оговаривают фундаментальные принципы.

Так, теория групп имеет дело с исходными множествами и операциями над их элементами при обязательном наличии единичных элементов и с применением закона композиции, т. е. по сути те же принципы имеют другие названия. Аналогичная ситуация в топологии, которая занимается построением топологических инвариантов, анализом поведения инвариантов при основных операциях, исследованием инвариантов при отображениях и оценкой соотношений между свойствами топологических пространств и их дополнений, где достаточно четко просматривается роль фундаментальных принципов.

Однако вернёмся к математическим основам экономических наук. Они в нашем случае представляют особый интерес, поскольку именно экономика является самым слабым звеном в рассматриваемой здесь системе отношений. Может быть наши классики экономических наук игнорировали какие-нибудь фундаментальные принципы? Тщательный анализ сколько-нибудь значимых теорий показывает, что все они так или иначе строятся на таком же фундаменте. Этот вывод имеет прямое отношение к политэкономии К. Маркса, который считал едва ли не главным своим достижением, сформулированный им метод восхождения от абстрактного к конкретному, где как раз и прослеживаются все четыре фундаментальных принципа.

Естественно, что эти принципы не могла проигнорировать и философия, претендующая на роль метанауки. Фундамент этот, видимо, был заложен еще в древности, поскольку до нас дошла классификация первооснов познания Аристотеля, который различал цель (то, ради чего), материю, форму и источник движения. Если это так, то вполне закономерно возникает вопрос о причинах разногласий между соперничающими научными школами. Вопрос этот далеко не так прост, как его трактуют наши учебники.

Мало сказать, что А. Богданов, например, не признавал абсолютной истины, а Г. Гегель верил в бога. Релятивизм одного и идеализм другого, действительно явились причинами того, что их главные труды огромной научной ценности оказались практически бесполезными, на которые модно лишь ссылаться и не более. Однако, как сейчас принято говорить, упущенная выгода столь велика, а негативные последствия этого столь значительны, что разобраться в причинах такого положения просто необходимо.

Это вроде бы и не входит в задачи данного исследования, но на самом деле без такого разбора невозможно сделать правильного выбора математического аппарата, ибо не ясны будут следующие шаги в этом направлении. Причины методологического тупика следует искать в философии, а точнее, в ее извечном, ставшем уже банальным, вопросе: что первично в реальном мире, а что – вторично.

Естественно, материалисты утверждают, что первична материя, идеалисты считают, что на первое место следует поставить идею, как исходный момент сознательной деятельности. Механицисты объясняют развитие природы и общества универсальными законами механического движения. Энергецисты сводят все явления природы к видоизменениям энергии. Это – основные философские направления, в рамках которых существует большое количество более мелких течений. До сих пор философы не могут найти компромиссного решения этому спору, негативные последствия которого трудно переоценить.

Кто же из них прав? Прежде, чем попытаться ответить на этот вопрос, рассмотрим один общеизвестный факт. Ни один процесс сознательной деятельности не может быть осуществлен, если отсутствует хотя бы один элемент. Прежде всего, нужен источник энергии, обязательна механическая основа со средствами движения, обеспечивающие обработку материального предмета. Естественно, процессом надо управлять. Этот факт говорит о том, что все авторы упомянутых течений правы.

Именно эта очевиднейшая для всех не-философов правота является причиной непримиримости идеологических противников, ибо философом никто не рождается. Прежде, чем им стать, человек испытывает совокупные воздействия некоторых условий, формирующих его мировоззрение, как правило, с каким-нибудь одним уклоном, так как эти объективно-реальные условия могут вызывать идеалистическую, материалистическую, механическую или энергетическую субъективные направленности. Но эти то условия формируются в системе, где энергия, механика, материя и сознание являются равноправными элементами. Без любого из них система существовать не будет.

Другое дело, что в количественном отношении в каждом конкретном случае эти элементы могут отличаться и, в зависимости от цели и условий, могут отличаться так сильно, что какие-то из них можно безболезненно проигнорировать. Однако это вовсе не означает их отсутствия. Следовательно, формальная правота представителей каждого из философских направлений, в сущности, оборачивается неправотой в том смысле, что каждый из них должен смириться с тем объективным фактом, что все другие его противники имеют точно такое же право на использование своих идеологических воззрений.

В общем, как теперь принято говорить, надо отказаться от имперских амбиций на безграничное распространение своих теоретических концепций на весь наш реальный мир, ограничившись лишь одной четвертой его частью, не больше и не меньше. Уступать своего не следует, но и претендовать на чужое не только безнравственно, но и бессмысленно, ибо это будет себе во вред. История нашей страны убедительно свидетельствует об этом.

Какое же отношение имеют эти рассуждения в неприемлемой для математиков форме к выбору математического аппарата? Самое непосредственное. Дело в том, что математика сама по себе мало чего стоит. Она рождена Природой и предназначена для ее совершенствования. В этом смысле весь аппарат математики должен отражать соответствующие реальности, формой существования которых предопределен выбор математических объектов. Только в этом случае чистая математика может принести реальную пользу.

Это, грубо говоря, то же самое, когда требуется, например, в цеху оптимальным образом расставить оборудование. Чтобы по много раз не перетаскивать станки с места на место, наилучший вариант ищется с помощью масштабных фишек на плане этого цеха. И если фишки не соответствуют размерам реальных станков, то нетрудно представить, к каким последствиям это приведет. Так и в математике. Если ее основы оторвать от реальной действительности, то она превратится в софистику, для которой всякие математические упражнения будут самоцелью и никакой реальной пользы не принесут.

Следовательно, время увлечения только чистой математикой должно безвозвратно уйти в прошлое. Она должна развиваться на равноправной и взаимообогощающейся основе совместно с философией, физикой и экономикой. Поэтому выбору математического аппарата, хотим мы этого или не хотим, всегда соответствует философское обоснование, где Философия выступает как связующий элемент между Природой и Математикой. Естественно, что формы этого обоснования могут быть разные – от простенькой методики проведения эксперимента до анализа методологических основ науки вообще и конкретного исследования в частности.

В данном случае имеет место последнее, поэтому оказались необходимыми такие несколько необычные по форме предварительные суждения философского плана. На основании таких философских обобщений реальной действительности можно констатировать, что математические объекты могут иметь множественную, комплексную, функциональную, (векторную) и параметрическую (тензорную) формы.

Они отражают качественно различную природу соответственно энергетической, механической, материальной и биологической сущности объектов реального мира (Природы и Общества). По аналогии со своей сущностью (реальным миром) эти формы в зависимости от обстоятельств могут рассматриваться и применяться либо изолированно друг от друга, либо в любом сочетании друг с другом (взаимодействии с одним, двумя или тремя другими).

Однако математические объекты разной формы взаимодействовать могут лишь в случае сопоставимости их единиц измерения. Именно в этом заключается задача третьего этапа системного анализа. Как же сделать сопоставимыми энергию, механические объекты, материальные предметы и интеллект, а значит, множества, функции, векторы и числовые параметры?

Анализируя причины парадоксов, обнаруживаемых в тех или иных теориях, можно прийти к выводу, что многие из них возникают в результате стремления ученых создать универсальный математический аппарат для математических объектов разной природы при слишком ограниченном наборе применяемых средств.

Поэтому не случайно этой проблемой занимаются многие исследователи, о чем убедительно свидетельствует библиография работ в этой области, приведенная в обстоятельном обзоре А. И. Орлова. Тем не менее применение математического аппарата "объектов нечисловой природы", а именно такой термин применяется для элементов пространств, не являющихся линейными, ограничено статистикой, а этого в нашем случае явно недостаточно. Внешне задача выражения математических объектов разной природы в числовом виде кажется достаточно простой.

На самом же деле это далеко не так. Главная трудность состоит в том, что требуется не любое число, а только такое, которое было бы, как говорят, математики, инвариантно по отношению как к линейным пространствам, так и к любому нелинейному. Попросту говоря, такое число не должно реагировать ни на возведение в степень, ни на извлечение корня и, в идеале, ни на любую другую операцию над числами, результатом которой может быть это инвариантное число. Эта проблема имеет давнюю историю.

Еще в середине 19-го века Д. Буль разработал математический аппарат символической логики – Булевой алгебры, в основе которой были определены две операции по отношению к единице. Этот аппарат постоянно совершенствовался и нашел широкое применение в топологии, теории вероятности, функциональном анализе и в, других областях математики. По сути, этот аппарат наиболее близок к тому идеалу, о котором шла речь выше.

Если говорить об операциях, то их в Булевой алгебре фактически три: помимо сложения и умножения применяется отрицание (дополнение). Кроме элемента X, единицы и нуля алгебра содержит элемент Сх в качестве дополнения к X. Естественно, имеется соответствующий набор аксиом, которым должны удовлетворять операции. Все это позволяет достичь весьма высокой степени абстрагирования, но тем не менее полной универсализации обеспечить не удалось. К тому же оказался достаточно сложным "выход" из Булевой алгебры в обычную, да и "вход" тоже.

Теория групп в этом отношении более универсальна, т. к. имеет в своем распоряжении, кроме единичного, обратный элемент, позволяющий любое выражение приводить к единице. Однако несмотря на свою универсальность и существенные успехи в прикладных науках эту теорию в ее обычном виде вряд ли можно будет использовать в данном случае по прямому назначению. Видимо потребуются некоторые усовершенствования формального характера.

Дело в том, что в прикладных науках так называемых непрестижных отраслей, в том числе в экономике, никто, пожалуй, кроме Л. В. Канторовича, всерьёз математику не применял. Задачи вычислительно- оптимизационного характера являются вторичными, поэтому они не в счет, ибо математика в них выполняет роль счетного инструмента, которому безразлично, что считать. Методологической нагрузки она не несёт практически никакой. И в этом смысле экономике не повезло еще со времён Маркса, который, судя по всему, только к концу своей научной карьеры осознал, что без солидной математической основы ни о какой политэкономии социализма, а тем более коммунизма, не может быть речи.

В частности, научный уровень "Математических рукописей", время проявленного интереса к разным областям математики и попытки использовать их при написании "Капитала", очевидно, могут служить; основанием для вывода о том, что затруднения с математикой у Маркса возникали не потому, что он не смог разобраться в существовавшем тогда математическом аппарате (такой проблемы не могло существовать для человека, изучавшего иностранные языки только для того, чтобы читать интересующие его источники в оригинале).

Почти наверняка можно утверждать, что эти затруднения носили методологический характер, причем не столько со стороны математики, сколько со стороны политэкономии. Эта математическая задача в ряду с предыдущими выделяется своими негативными последствиями.

Не будет преувеличением сказать, что ее решение, а точнее – нерешение, является причиной того, что до сих пор не разрешено главное противоречие социализма – распределение по труду. Для выяснения сути этого противоречия придется привлекать методы не только из философии, но и из физики, и даже из биологии.

Итак, суть этой задачи сводится к конструированию такого механизма, который позволял бы легко переходить, например, от функционального математического аппарата к множественному, комплексному или параметрическому, т. е. от любого к любому. Это жизненно необходимо, в принципе, для описания любой реальной системы, но особенно – экономической, где невозможно сбалансировать хозяйственный механизм, не имея соответствующих эквивалентов, подобных механическому эквиваленту теплоты в физике.

Почему речь идет о конструировании механизма, а допустим, не о разработке или создании? Дело в том, что при небольшой смысловой разнице в терминах все-таки есть особенность, которую любят подчеркивать математики: они ничего не должны изобретать, а должны конструировать, ибо изобретенный элемент может нарушить логическую строгость доказательства. Против этого нельзя возражать, но опять-таки, если это требование не распространить на исходные "кирпичики", из которых "строится" логика доказательств. Эти универсальные "кирпичики" можно и должно изобретать, т. е. получать путем максимально возможного абстрагирования используемых математических средств и понятий.

Математики в таких случаях говорят, что необходим набор неопределимых (исходных, первичных) понятий. Философы тем более не сомневаются в необходимости таких абсолютных абстракций. В этом вопросе нет никаких разногласий. Но они неизбежно возникают, когда требуется уточнить этот набор как по форме, так и по содержанию.

Одни считают, что это должны быть некоторые множества, другие ориентируются на логические операции, третьи убеждены, что надо брать за основу материалистические категории, а четвертые предпочитают опираться на свою интуицию. Нет единства не только в качественной, но и в количественной оценках этого набора понятий.

Представители школы Э. Маха, и особенно в этом преуспел его ученик А. Эйнштейн, считают, что чем меньше исходных предпосылок имеет теория, тем она совершеннее. И вообще, если бы удалось всю теорию вывести из одного понятия, то это был бы идеальный случай. По всей видимости именно из этих соображений автор теории относительности изобрел пространственно-временной континуум, оматеризовав при этом пространство и время. Приверженцами монизма являются, по сути дела, все ортодоксальные теоретики.

Плюралисты же, наоборот, считают, что нельзя ограничиться каким-то определенным набором несводимых к единому началу понятий. Рожденный Г. Лейбницем плюрализм до недавнего времени считался философией современных идеалистов, к которым причисляли прагматистов, неопозитивистов и других "-истов". Теперь же плюрализм возведен в ранг государственной политики. Своего рода умеренным плюрализмом можно считать конвенционализм А. Пуанкаре, согласно которому вопрос об исходных научных понятиях должен решаться посредством соглашения (конвенции) между учеными, исходя из соображений простоты, удобства и других признаков.

Большой популярностью до сих пор пользуется дуализм Декарта и Канта, которые пытались примирить материализм и идеализм. Заметный след в науке оставили триады Гегеля, которыми, по выражению Ленина, "кокетничал" Маркс в 1 главе "Капитала", в результате чего, по его мнению, никто из марксистов не понял Маркса полвека спустя. Но не поняли (можно утверждать, что и до сих пор не понимают) не только Маркса, но и Гегеля. Очевидно по этой причине, а может быть вследствие осознания их величия и гениальности, критики не осмелились "наклеить" хлесткий "ярлык" в виде какого-нибудь "-изма" на учение, основанное на триадах.

Не встречается в философской литературе такого же "-изма", в основе которого лежала бы четверка исходных понятий, хотя и гегелевские крути кругов, и квадратуры Маркса, и четырехэлементная теория отражения Ленина чем-то напоминают логические квадраты Пселлома, предложенные им еще в XI веке.

Тем не менее, именно Ленин беспощадно громил авторов четвертого измерения пространства. Но делал он это, как теперь выясняется совершенно напрасно, ибо как раз четвертого геометрического измерения не хватает для исчерпывающего представления, например, о форме (кроме трех габаритных размеров необходимо еще иметь структурный параметр, который в простейшем случае может быть представлен толщиной стенки или размером внутренней полости).

В защиту четвертого измерения свидетельствует тот факт, что замкнутые кривые, с внутренними петлями, представленные одним уравнением в одной системе координат могут быть получены сравнительно простыми средствами, если это уравнение имеет четвертую степень. Еще более убедителен этот факт, если таких замкнутых кривых, похожих друг на друга, надо иметь не одну, а несколько (в случае со строением атома это имеет принципиальное значение).

Для самых придирчивых математиков мы попытаемся соблюсти логическую строгость и показать, что всякая система, в т. ч. система исходных понятий, может быть названа системой, если она имеет четыре элемента (необходимое, но не достаточное условие). Пока мы ограничимся констатацией фактов и абстрагированием посредством аналогий.

Так математика всегда обходилась четырьмя простейшими арифметическими действиями: сложением, умножением, вычитанием и делением, но применяться эти действия надо именно в такой последовательности. В теории групп оказывается достаточным иметь исходное множество, операции над ее элементами, единичный и обратный элементы. Этот перечень можно продолжать, но из математики примеров уже достаточно.

Для большей убедительности можно привести еще один пример, но уже из области техники. Ни одна автоматическая система не будет работоспособной, если она не будет иметь необходимый минимум элементов: объект управления, датчик, задатчик и исполнительный орган. Отсутствие любого из элементов делает систему бессмысленной. Таким образом, можно констатировать, что набор неопределимых понятий должен состоять из 4-х исходных категорий. Если известно их число, то, руководствуясь принципом симметрии, о котором шла речь выше, не составляет большой проблемы выбор самих категорий.

В философии помогает сделать такой выбор гегелевские парные понятия неопределенного и определенного качества и количества, из которых получается система: свойство, качество, мера, количество. Этот выбор можно проиллюстрировать на самом простом примере: любой товар имеет название, качество, единицу измерения (меру), и число единиц (количество). В математике это будут: отображение множества, само множество, свойства элементов и область существования. В этой системе понятий центральное место принадлежит "мере", которая должна отображать некоторые константы в реальном мире.

Кроме единиц измерения, роль постоянства которых известна всем с младенчества, существуют еще жизненно важные константы, относительно которых можно оценивать качественные состояния объектов независимо от их природы с целью их сопоставления. Примером может служить предел существования в биологии, предел прочности в механике, предел сохранения целостности (неразрывности) в физике и т. д.

Но предел – это то, чего нельзя превысить. А есть, так называемые, узловые точки, при переходе через которые меняется либо знак, либо состояние, либо вид. Здесь, как нигде более, очень важно сопоставить понятие констант, разных по своей природе, и найти соответствующие зависимости.