Население Земли как растущая иерархическая сеть

Как известно, в любой науке столько истины – сколько в ней математики. Предлагаемая здесь теория описывает гиперболический рост населения мира на языке математики. Язык этот тяжел для восприятия, поэтому автор настоятельно рекомендует при первом чтении лишь просмотреть математические выкладки. Прочитать нужно только «Основные определения» и «Выводы по растущим иерархическим сетям».

Математика здесь несложная, но необычная; автор не знает аналогов, хотя, возможно, они и существуют. Все вставки – работающие листинги из системы MathCAD, так что тем, кто умеет с ней работать – легко все проверить.

Основные определения

Сетью называется граф, в котором вершины (узлы) соединены между собой связями, в данном случае ненаправленными отрезками. Сеть, в которой каждый узел связан с каждым, называется гипертетраэдральной, а граф, обладающий таким свойством, – полным. (Только такие сети здесь и будем рассматривать.) Число связей, исходящих из одного узла, на единицу меньше числа узлов. Общее число связей S = N(N – 1)/2, например, сеть из пяти узлов содержит десять связей.

Рис. 1. Сеть, содержащая пять узлов; число связей S = 5*4/2 = 10.

Сеть, в которой число узлов равно 2^R назовем гармонической, например, сеть из восьми узлов:

Рис. 2. Гармоническая сеть, содержащая 8 узлов; число связей равно 28.

Совершенной сетью назовем гармоническую сеть, содержащую число узлов, равное:

Где R – это ранг сети. Примеры совершенных сетей:

Рис. 3. R = 0, сеть содержит 2 узла, число связей равно единице.

Рис. 4. R = 1, сеть содержит 4 узла, число связей равно шести.

Рис. 5. R = 2, сеть содержит 16 узлов, число связей равно 120.

Дадим рекурсивное определение совершенной иерархической сети (СИС). Совершенной иерархической сетью ранга R назовем такую совершенную сеть ранга R, вершиной (узлом) которой является СИС ранга R-1. Таким образом каждому узлу СИС сопоставляется также СИС, но на единицу меньшего ранга. Спускаясь по этой лестнице вниз, достигаем первого этажа, точнее подвала (R = 0) в этой метафоре (если отождествлять ранг с этажом), который назовем уровнем носителя.

Чтобы рекурсия заработала дополнительно определим СИС ранга нуль как СИС, которая состоит из двух элементов уровня носителя (или просто из двух носителей), соединенных связью. Под носителем при таком определении также понимается СИС, но СИС эта не представляется в данной упрощенной модели как вершина иерархии сетей меньшего ранга, а рассматривается лишь как наименьшая, неделимая далее и не имеющая ранга структурная единица иерархической сети. Выделенность носителя среди прочих СИС заключается еще и в том, что рост сети любого ранга происходит путем копирования ее носителей.

Следует отметить, что носитель сети в приложении рассматриваемой здесь математической модели к процессу гиперболического роста населения Земли – это не человек, а совершенная сеть, связанная с каждым обладающим сознанием человеком, сформировавшаяся на предыдущем этапе эволюции при переходе от млекопитающих к первым приматам.

Сеть, эволюция которой продолжалась и на гоминидном этапе универсальной эволюции. Эта сеть – клаттер-носитель – в определенном смысле бессмертна, она связана с человеком-носителем и так же как человек непрерывно эволюционирует на пути к Финалу. Рост сети – это рост числа ее клаттеров-носителей (см. ниже), вместе с которыми растет и население Земли. Поэтому под носителем сети будем понимать прежде всего клаттер-носитель, хотя в некоторых случаях, что будет ясно из контекста, под носителем будет пониматься и сам человек.

Ранг СИС может принимать в данной модели следующие значения: R = 0, 1, 2… СИС минимального ранга – ранга нуль – это тот кирпичик, из которого строятся все остальные иерархические сети:

Рис. 6. СИС ранга нуль, R = 0.

Рис. 7. СИС ранга один, R = 1.

Рис. 8. СИС ранга два, R = 2.

Число узлов совершенной иерархической сети равно числу носителей в узле. Гармонической иерархической сетью (ГИС) ранга R назовем такую иерархическую сеть, каждым узлом которой является СИС ранга R, и число узлов которой равно двойке в некоторой степени: 2ⁿ, n = 1, 2… R-1.

Если же число узлов иерархической сети, каждым узлом которой является СИС ранга R, не равно 2ⁿ, то такую сеть назовем несовершенной или просто иерархической сетью (ИС) ранга R. (Т. е. ранг такой, «просто иерархической сети», будем считать равным рангу ее сетеобразующего клаттера.) Узлы ее, т. е. сетеобразующие СИС будем называть клаттерами. Вес клаттера P определим как число носителей, которое он содержит:

Рис. 9. Вес клаттера сети ранга R.

Размер сети l – это число клаттеров, которое она содержит. Число носителей ИС равно произведению веса клаттера на ее размер: N = Pl. Число носителей СИС равно квадрату веса ее клаттера: N_s = P². Пример:

Рис. 10. ИС ранга 3, размером в три клаттера, вес каждого равен 256.

Здесь мы дали определение биниальной иерархической сети (БИС), т. е. сети, клаттером которой является совершенная биниальная иерархическая сеть на единицу меньшего ранга. Теоретически можно рассмотреть тринитарную иерархическую сеть или даже сети более высокого порядка. Но, как утверждают сторонники биниальной парадигмы, приводя тому многочисленные примеры, именно дихотомическая (парная) структура прослеживается на всех иерархических уровнях организации макро и микромира.

Иначе говоря, все существующие природные объекты обнаруживают парность (биниальность, от лат. bini – пара), когда единое целое (атом, живая клетка, планета, звезда и т. д.) состоит только из двух частей (бинитаксонов), каждая из которых на нижеследующем иерархическом уровне вновь делится на две составляющие и т. д. Именно поэтому простейшая из возможных иерархических сетей, сеть минимального порядка, биниальная иерархическая сеть (в дальнейшем просто иерархическая сеть) лучше всего отвечает биниальной парадигме.

Далее, мы рассмотрим растущую, т. е. увеличивающую свой размер, а затем и ранг БИС и подберем для нее такой алгоритм роста, который наилучшим образом отвечает идее эволюции.

Растущая иерархическая сеть

Растущая ИС – это сеть, число клаттеров которой растет согласно некоторому алгоритму. Этот рост будем связывать с операцией самокопирования ИС, которая происходит циклически. Цикл самокопирования ИС определим как такой этап ее роста, на котором копируются все клаттеры, имеющиеся в ней к моменту входа в этот цикл.

Операция самокопирования заключается в следующем: ИС последовательно (клаттер за клаттером) копирует носителями по определенному правилу текущее число клаттеров, собирает новый, устанавливает его в себя, прокладывает связи и увеличивает свой размер на единицу. Правило самокопирования выберем таким:

Новый клаттер собирается в процессе копирования носителями связей каждого клаттера и его узла. Т. е. копируется каждый узел сетеобразующего клаттера и каждая входящая в него связь. Можно сформулировать иначе: с каждого сетеобразующего клаттера в текущем цикле копируется и устанавливается в собираемый клаттер число носителей, равное текущему размеру сети. Что может быть интерпретировано следующим образом: в каждом клаттере имеется некоторое количество наиболее перспективных, «продвинутых» носителей, число которых равно текущему размеру сети. Из копий этих носителей и собирается очередной дочерний клаттер.

Почему выбирается именно такой алгоритм? В соответствии с системным подходом сложность, эволюционная зрелость любой развивающейся системы определяется, прежде всего, ее связями. Если связи растущей системы однородны, то скорость ее эволюции (в простейшем случае роста) зависит только от их числа. Чем больше связей – тем быстрее эволюционирует, развивается, растет система.

Поэтому логично постулировать, что прирост клаттеров-носителей с каждого сетеобразующего клаттера, получаемый в процессе его копирования, должен быть пропорционален, а в простейшем случае просто равен числу его связей с другими клаттерами. И в этом простейшем случае оказывается, что алгоритм хорошо описывает рост сети на втором этапе (см. ниже) и, соответственно, гиперболический рост населения мира после неолита.

Но если применить его при описании роста сети на первом этапе (см. далее) и, соответственно, роста численности первых архантропов, то получим, что положение циклов эволюции на оси времени и время появления рода Homo, рассчитанные теоретически, не согласуются с данными палеодемографии.

Однако, если слегка модифицировать алгоритм так, чтобы при подсчете прироста носителей с каждого клаттера добавлять к числу его связей единицу, формально полагая, что копируются не только входящие в клаттер связи, но и его узел (т. е., если считать, что число копий клаттеров-носителей, снимаемых с каждого сетеобразующего клаттера за цикл, равно текущему размеру сети), что совершенно несущественно на втором этапе, когда таких клаттеров и, соответственно, подключенных к ним связей сотни, тысячи и даже десятки тысяч – то вот такой алгоритм будет правильно описывать эволюцию, историю и рост населения мира на всех этапах[9].

Дополнительно хотелось бы отметить, что выбранный алгоритм при учете правила финализации цикла и звена, которое, хотя и может быть сформулировано по разному, но не оказывает никакого влияния на результат, хорош уже тем, что чрезвычайно прост и эстетичен.

Даже если бы оказалось, что он не имеет никакого отношения к реальному росту населения Земли, модель все равно заслуживала бы внимания уже только потому, что при минимальных предпосылках позволяет правильно описывать как количественно, так и качественно динамику роста (начало роста, неолит, переход), а также цикличность глобального развития: сокращающиеся по закону прогрессии циклы эволюции, глобальные исторические и экономические циклы. В таком случае модель можно было бы рассматривать как простую и эффективную схему, позволяющую систематизировать многочисленные демографические и исторические данные.

Применим данный алгоритм к биниальной иерархической сети ранга R. Будем считать, что рост сети начинается с двух клаттеров. Рост ИС любого ранга, подчиняющийся принятому алгоритму, условно можно разбить на три этапа:

Первый этап – рост от двух до √P клаттеров (P – это вес клаттера или число носителей, которое он содержит).

Второй этап – рост от √P до Р клаттеров.

Третий этап – операция репликации: создание одной копии полученной совершенной сети. Рост сети ранга R, и это логично, следует считать законченным, когда будет построена совершенная сеть ранга R+1. Тем не менее поскольку операция репликации ИСС ранга R+1 не может считаться по принятому здесь алгоритму началом ее роста – ее следует определить как третий, завершающий этап роста сети ранга R.

Введем дополнительно понятие звена роста сети. Определим его как последовательность материнских клаттеров, в процессе копирования которых полностью собирается очередной дочерний клаттер. Число таких клаттеров, составляющих звено, назовем его длиной. На первом этапе звено включает ряд повторяющихся циклов, причем каждое последующее звено короче предыдущего; на втором этапе – цикл состоит из некоторого числа укорачивающихся звеньев. Длина звена за весь период роста уменьшается от P/2 до единицы.

Рассмотрим теперь все этапы роста ИС на примере сети ранга 3. Вес клаттера Р = 2⁸ = 256, т. е. число носителей в клаттере равно 256. Корень из веса √Р = 16. Стартовый размер сети считаем равным двум.

Рис. 1. Старт роста сети 256.

Алгоритм копирования следующий: на каждую связь и на каждый узел копируемого клаттера (формально узел – это точка внутри клаттера, в которой сходятся подведенные к нему связи) устанавливается носитель. В данном случае связь одна, узел всегда один. Всего на клаттере копируем два носителя. Нужно собрать 256 носителей, поэтому переходим к следующему клаттеру и копируем еще два носителя.

Собрали четыре носителя. Цикл закончился, он оказался пустым, т. к. все имеющиеся на момент входа в цикл клаттеры скопированы, а новый собрать не удалось. Всего имеем 63 пустых цикла. На 64-м цикле и 128-ой по счету операции копирования (длина звена составила 128 клаттеров) получаем 256 носителей. Сборка третьего клаттера завершена; устанавливаем его в сеть, прокладываем связи.

Рис. 2. Собран первый клаттер.

Теперь каждый клаттер имеет уже две входящие в него связи, поэтому копируем по три носителя на клаттере или 3² = 9 девять за цикл. Число 256 не делится нацело на 9, как в предыдущем случае: 256/9 = 28 целых и 4/9, поэтому последний 29-й цикл будет неполным, т. к. первый клаттер на нем будет скопирован полностью (3 носителя), второй – частично (один носитель), а третий – останется нескопированным. И здесь возникает неопределенность в вопросе как начинать следующее звено: с продолжения предыдущего неполного цикла или с начала нового?

Непонятно также следует ли учитывать неполный цикл, когда копируются не все носители сети, при подсчете общего числа циклов звена. Ведь в приложении этой математической модели к росту населения Земли наиболее важными законами роста являются закон постоянства времени цикла и синхронности (синфазности) роста и развития. Неясно, правда, должна ли такая синхронность (синфазность) роста строго выполняться для каждого цикла или только для моментов гармонического достижения; а может быть синхронно должен завершаться только последний цикл роста сети данного ранга, на момент окончания которого она становится совершенной? (Учитывая факт гиперболического роста населения мира, этот вариант вряд ли следует принимать во внимание.)

Если считать, что каждое следующее звено начинается с нового цикла, что представляется наиболее логичным, то время роста сети в приложении этой математики к процессу эволюции может быть выражено только целым числом циклов. В таком случае определение цикла как операции самокопирования сети, при которой копируются все клаттеры, имеющиеся в наличии в момент входа в цикл, должно быть расширено. А именно: некоторые такие операции первого этапа, завершающие звено (или находящиеся внутри него), могут быть неполными или избыточными и тем не менее такие операции будут считаться циклами.

Возвратимся теперь к нашему примеру, сколько все-таки следует взять циклов: 28 или 29?

Здесь возможны четыре варианта: 1) По минимуму: отдаем остаток 4 носителя 28-му циклу или распределяем его по каким-то предыдущим, при этом получаем 28 циклов, на некоторых из которых будет скопировано более девяти носителей; т. е. носители некоторых клаттеров в процессе цикла будут скопированы дважды. 2) По максимуму: добавляем еще один 29-й цикл и переносим в него весь остаток, при этом некоторые носители оказываются в данном цикле нескопированными. 3) Этот вариант среднее между первым и вторым: если остаток меньше или равен половине квадрата размера сети (3²/2 = 4,5) выбирается первый вариант, в противном случае – второй. 4) Возможен также сценарий «с перехлестом», при котором звено копирования замыкается не в момент завершения цикла, а где-то у него внутри. После прокладки дополнительной связи следующее звено начинается с нескопированных носителей предыдущего (плюс один носитель).

При подсчете полного числа циклов (и числа циклов роста сети до ее гармонического размера) все рассмотренные сценарии финализации звена дают практически одинаковые результаты. Для определенности выбираем второй вариант, получаем 29 циклов. Собираем второй клаттер, устанавливаем в сеть, прокладываем связи.

Рис. 3. Собран второй клаттер.

Далее, на каждом клаттере копируем по 4 носителя; за цикл их набирается 16. Третий клаттер собираем за 16 циклов, т. к. 16*16 = 256. Длина звена 16*4 = 64 клаттера.

Рис. 4. Собран третий клаттер.

Пять носителей на клаттер, 25 – с цикла; всего потребуется 11 циклов по второму варианту и т. д.

На 13-ом звене роста сети для сборки нового клаттера потребуется два цикла, поскольку первый цикл будет пустым: 15*15 = 225 < 256. С 14-го звена начинается второй этап роста сети. Теперь клаттер можно собрать не выходя за пределы одного цикла: 16*16 = 256.

Рис. 5. Собрано 16 клаттеров.

Рис. 6. Звено копирования фрагмента сети 256 по первому варианту.

Прирост клаттеров за цикл с этого момента при постоянстве времени цикла идет уже по другой, как мы покажем далее, гораздо более быстрой гиперболе. Т. е. процесс роста сети претерпевает качественный скачок. Допустим, что сеть выросла до размера 71, т. е. содержит 71 клаттер. Для фрагмента сети, изображенного на рисунке, имеем следующее: после копирования четырех клаттеров (длина звена = 4) получаем (70 + 1)*4 = 284 носителя. Здесь, также как на первом этапе роста, возможны первые три варианта финализации звена: по минимуму, по максимуму и средний между первым и вторым. Длина звена равна четырем (по первому варианту).

Звено – это такой этап роста сети, на котором собирается и устанавливается в сеть еще один новый клаттер. В результате чего число связей возрастает и в процессе эволюции сети происходит качественный скачок. Поскольку длительность звена, в отличие от длительности цикла, в приложении этой модели к явлению роста населения Земли, не является предзаданной, процесс ее уменьшения может идти с небольшими отклонениями. В таком случае должен быть рассмотрен еще один, четвертый вариант сценария финализации звена, а именно: с перехлестом, когда следующее звено начинается с копирования неоткопированных носителей последнего клаттера предыдущего звена.

Рис. 7. Звено копирования фрагмента сети 256 с перехлестом.

Выбираем один из рассмотренных вариантов, собираем новый клаттер, устанавливаем в сеть, увеличиваем число связей на единицу (71). Алгоритм роста на втором этапе необходимо дополнить правилом финализации цикла, сходным с правилом финализации звена:

1. Копируются клаттеры, которые имеются в сети, по одному из рассмотренных вариантов. Как только новый клаттер из оставшихся на копирование в завершающем звене цикла по сумме позиций собрать не удается – цикл завершается. При этом остаются нескопированные клаттеры из тех, что стояли в очередь на копирование при входе в цикл.

2. Все то же самое, но как только новый клаттер из остатка собрать не получается, сеть заходит на следующий виток[5] и финализирует цикл. При этом некоторые клаттеры оказываются скопированными в данном цикле дважды.

3. Этот вариант среднее между первым и вторым. Копируются клаттеры, устанавливаются в сеть, число связей растет. Если новый клаттер, из оставшихся на копирование в последнем звене цикла собрать невозможно, но общее число неоткопированных позиций превосходит половину веса клаттера, то сеть заходит на новый виток. В противном случае – нет. Цикл на втором этапе может состоять из одного или двух витков.

4. Возможен также сценарий, при котором цикл самокопирования сети завершается в тот момент, когда из оставшихся на копирования клаттеров новый собрать невозможно, а следующий цикл начинается с нескопированных носителей этих клаттеров. Здесь, так же как в первом варианте финализации цикла, остаются нескопированные клаттеры из тех, что стояли в очередь на копирование при входе в цикл.

Все рассмотренные сценарии замыкания звена и финализации цикла как на первом, так и на втором этапе роста дают для полного числа циклов (и числа циклов роста сети до ее гармонического размера) практически одинаковые результаты. Для определенности рассмотрим в качестве примера рост сети 256 на втором этапе по четвертому варианту замыкания звена (с перехлестом) и третьему сценарию финализации цикла.

Пусть сеть 256, размер которой составляет 20 клаттеров, входит в цикл. Копирование идет с 13 клаттеров, составляющих одно звено: 13*20 = 260 > 256 (20-й клаттер скопирован не полностью, с него начнется следующее звено); собираем дочерний клаттер, устанавливаем в сеть, прокладываем связи; остается 7 нескопированных клаттеров (плюс нескопированные носители 20-го клаттера). Т. к. 4+1+7*21 = 152 > 128, копируем эти 7 клаттеров, заходим на второй виток и собираем еще один клаттер. На этом цикл завершается. На втором витке в процесс копирования будут вовлечены клаттеры, уже скопированные в данном цикле. В следующем цикле клаттеры, скопированные в предыдущем цикле дважды, копируются так же, как клаттеры скопированные единожды.

Формально модель третьего этапа проста: создается копия совершенной финальной сети, прокладывается связь меду узлами оригинала и копии и запускает рост сети следующего ранга. Попробуем тем не менее без всякого ущерба для этого формализма создать наглядный образ (ни на что, впрочем, не претендующий) завершающего этапа роста сети и операции ее репликации.

Когда сеть 256 достигает совершенства – ее размер (число клаттеров в сети) становится равным весу клаттера Р (числу носителей в клаттере). Рассмотренный здесь алгоритм роста не может больше работать, т. к. все носители (кроме носителя, связанного с узлом клаттера) каждого клаттера сети оказываются задействованными на поддержание внутрисетевых связей. (Число связей клаттера совершенной сети не может быть увеличено, поэтому она и не может расти дальше.)

Приступаем к заключительному этапу. Прежде всего, добавляем по одной свободной связи узлу каждого клаттера, т. е. число связей клаттера становится равным числу носителей, в нем содержащихся. (Будем считать (постулируем), что максимально возможное число связей клаттера равно его весу.)

Но, что такое связь? Можно создать наглядный образ связи, который следует понимать только как метафору. Будем считать, что связь от носителя каждого клаттера через узлы всех клаттеров более низкого ранга, в порядке иерархии составляющих сетеобразующий клаттер, идет к его узлу, который соединяется связями через узел растущей сети с узлами других клаттеров. При этом узел клаттера и узел сети выступают в качестве «коммутаторов», обеспечивающих независимый обмен информацией между носителями сети.

Здесь предполагается, что каждый носитель может быть связан в данный момент времени только с каким-то одним носителем в своем и любом другом клаттере сети. Для сети 256 добавочная связь на каждый клаттер, даст дополнительно 256 связей более низкого уровня, а т. к. клаттеров всего 256, то получается 65536 связей. (Все эти 65536 связей пойдут на создание гиперсвязи, которая будет соединять клаттеры растущей сети четвертого ранга.)

И, наконец, СИС переходит в режим репликации. Рассмотрим его более подробно. На завершающем этапе роста длина звена, с которого собирается клаттер, становится равной двум. В процессе роста сети это число уменьшалось от 128 до 2. На последнем цикле дочерний клаттер копировался с двух, а в его конце – практически с одного материнского.

Поэтому логично считать продолжением этого процесса операцию репликации (перехода), во время которой звено копирования минимально и равно единице, т. е. операцию, в процессе которой происходит точное копирование «клаттер в клаттер», но с установкой копий носителей в новую в сеть. (Сам процесс построения копии сети из оригинала, а также их связь в ходе этого процесса – рассматривать здесь не будем.)

Операцию репликации можно считать последней, предельной операцией копирования сети данного ранга. Чисто теоретически она может состоять из некоторого количества циклов, в процессе которых итоговая СИС собирает одну, две или несколько собственных копий. Однако в дальнейшем всегда будем считать, что сеть, точно так же как живая клетка при делении, всегда создает лишь одну собственную копию.

Каждая из этих двух совершенных итоговых сетей, в рассмотренном нами примере, будет иметь 65536 свободных связей, две из которых пойдут на их соединение. Остальные понадобятся для дальнейшего роста сети четвертого ранга. В итоге сеть 256 увеличивает свой ранг на единицу и выходит на новый виток эволюции.

В заключение отметим следующее:

1. В математической модели клаттеры не обладают индивидуальностью, здесь не нужно рандомизировать их подачу на копирование для обеспечения эффективного кроссоверинга, достаточно только не копировать их дважды на первом витке.

2. При выборе алгоритма финализации звена и цикла на первом и на втором этапе роста важно, чтобы он обеспечивал прохождение всех гармонических стадий роста сети, т. е., чтобы сеть гармонического размера (с числом клаттеров, равным двойке в степени) собиралась в момент завершения цикла, а не где-то внутри него и, конечно же, этот алгоритм должен обеспечивать достижение сетью в финале совершенства.

Как показывает математическое моделирование, при выборе правила финализации звена и цикла, отдать предпочтение следует третьему варианту, т. к. в этом случае на втором этапе гармонические стадии роста сети достигаются в моменты завершения циклов. Кроме того, выясняется, что при заданном алгоритме и при всех прочих сценариях финализации звена и цикла гармонические стадии оказываются удивительно притягательными для растущей сети. Следует также отметить, что число циклов, которое проходит сеть, с рангом большим трех, от одной точки своего роста до другой практически не зависит ни от выбора правила финализации звена на первом и втором этапе роста, ни от правила финализации цикла — на втором.

Рост сети 256

Рассмотрим рост сети 256 на первом этапе от 2-х клаттеров до 16-ти. Приведем пример программы подсчета числа клаттеров за цикл в зависимости от номера цикла, реализованной в системе MathCAD:

Рис. 1. Алгоритм роста сети 256 от 2-х клаттеров до 16-ти.

Здесь ceil(X) – ближайшее целое, большее или равное X; ce(X) – ближайшее целое, меньшее или равное X; cel(X) – ближайшее целое, меньшее X. Функция U(C) – это число клаттеров, собранных сетью за С циклов. Например, если U(133) = 7, то за 133 цикла собрано 7 клаттеров. C(2^k) – номера циклов, соответствующие гармоническим стадиям роста сети.

Всего получается 156 циклов. Из них пустых 156 – 14 = 142. Соответственно, за каждый из оставшихся 14 циклов собирается один клаттер. Заходить на второй виток ни разу не приходилось. Сеть проходит четыре гармонические стадии роста: в момент старта, а также на 93-м, 134-м и 156-м цикле с числом клаттеров 2, 4, 8 и 16, соответственно. Переходим ко второму этапу.

Рис. 2. Алгоритм роста сети 256 от 16-ти до 256-ти клаттеров.

На этом этапе пройдено 15 циклов. Его начало сопровождается бурным ростом числа клаттеров. Это связано с тем, что на втором этапе за цикл с нуля собирается один или большее число клаттеров. Для реализации прохода через гармонические сети необходимо было скорректировать рост, но только в четырех точках «близких» к гармоническим сетям.

Каждая коррекция представляла собой малое возмущение в один клаттер и была проведена на стадиях роста с числом клаттеров 20, 31, 65 и 127: (127 + 1)*2 = 256, (31 + 1)*8 = 256, (65-1)*4 = 256. Существует не одна такая четверка, но результат, функция U(C), – остается тем же.

Растущая сеть проходит через гармонические стадии с размером: 16, 32, 64, 128, 256 клаттеров. На последнем цикле число клаттеров удваивается: U(14) = 128, U(15) = 256. Это справедливо для сетей любого ранга. Отметим также, что результаты работы алгоритма практически полностью совпадают со значениями следующей функции:

Рис. 3. Теоретическая гипербола сети 256.

Назовем функцию U1(i) теоретической гиперболой сети 256. Этап заканчивается сборкой клаттера 65536. И, наконец, третий этап роста сети 256 – репликация. Здесь сеть собирает свою копию и прокладывает связь между ней и оригиналом. Сеть 65536 может стартовать.

Подведем итоги для сети 256: всего имеется 156 + 15 = 171 цикл (без учета репликации) и восемь гармонических стадий роста с числом клаттеров 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256. Последняя гармоническая сеть с числом клаттеров 256 является также совершенной.

Рост сети 65536

Продолжая процесс, переходим к сети 65536. Первый этап – рост от 2-х клаттеров до 256-ти.

Рис. 1. Рост сети 65536 от 2-х клаттеров до 256-ти.

Всего сеть проходит 42142 цикла. Из них пустых 42142 – 254 = 41888. В 254 циклах собиралось по одному клаттеру. На второй виток, в соответствии с алгоритмом, заходить не приходилось.

Имеется восемь гармонических стадий роста: на старте и на 23666-м, 33543-м, 38046-м, 40197-м, 41261-м, 41812-м, 42142-м циклах с числом 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и 256 клаттеров, соответственно.

Второй этап – рост от 256-ти клаттеров до 65536-ти.

Рис. 2. Рост сети 65536 от 256-ти клаттеров до 65536-ти.

Коррекция роста проведена в 21 точке. Все значения размеров сети, для которых проводилась коррекция М <− М+1, являются (или «почти» являются) делителями числа 65536, если к ним добавить единицу; например, 65536/(13106+1) = 5,000076. Вот частные, которые получаются в результате:

3, 4, 5, 8, 19, 32, 56, 67, 94, 122, 212, 214, 217, 222, 225, 229, 234, 240.

Такие коррекции одни из многих возможных, подобных им, но все они дают практически один и тот же результат, если придерживаться правила: при небольшом отклонении от гиперболической сети добавить в цикл один клаттер, т. е. держать курс на ближайшую гиперболическую сеть. Гиперболическая сеть – это сеть, размер которой равен ce(65536/N), где N > 256 – натуральное число.

Причем при увеличении М на единицу процесс устойчив и через некоторое количество циклов «садится» на гиперболу. При уменьшении М на единицу наблюдается неустойчивость, и процесс роста необратимо уходит от гармонических сетей.

Понадобилась одна коррекция в сторону уменьшения размера сети М: 328 <− 327 (65536/328 = 199.8), если ее не провести процесс срывается с гиперболы (последние три цикла 25501, 43735, 65537). Результаты работы алгоритма «почти точно» ложатся на теоретическую гиперболу сети 65536:

Рис. 3. Теоретическая гипербола сети 65536.

Гиперболический рост сети на первом и втором этапе представляет собой ускоряющийся неустойчивый процесс, требующий от управляющей системы двадцать пять коррекций. Неустойчивость роста понятна и из того факта, что уравнение Капицы, как асимптотический закон роста сети, устойчивых решений не имеет.

Составим таблицу зависимости числа клаттеров растущей сети от номера цикла для алгоритма и теоретической гиперболы. Значения почти совпадают: максимальное отличие в три клаттера. В таблице выделены гармонические размеры сети.

Таблица 1. Зависимость числа клаттеров растущей сети от номера цикла для алгоритма и теоретической гиперболы.

Третий этап – операция репликации. Собираются копия сети, прокладывается связь между ней и оригиналом. Сеть 4 294 967 296 может стартовать.

Всего имеется 42142 + 255 = 42397 циклов (без учета репликации) и 16 гармонических стадий роста сети 65536. Сведем все данные в таблицы:

Таблица 2А. Подсчет номера цикла и числа клаттеров для гармонических сетей с размером, принадлежащем интервалу [257, 65536].

Таблица 2В. Зависимость числа клаттеров от номера цикла для гармонических размеров сети 65536.

Подсчет числа циклов роста сети любого ранга от двух клаттеров до совершенной

Для того, чтобы найти полное количество циклов, которое проходит сеть любого ранга в процессе своей эволюции, нужно сложить число этих циклов на трех этапах ее роста (считаем, что сеть любого ранга, став совершенной, создает единственную свою копию, на что уходит ровно два цикла[8] и рост сети следующего ранга всегда начинается с двух клаттеров.)

На втором и третьем этапе число циклов вычисляется с полной определенностью: корень квадратный из веса клаттера минус единица плюс два. Минус единица, т. к. алгоритм восьми шагов прекращает свою работу за шаг до сингулярности. И далее два цикла на переход. Получаем корень квадратный из веса клаттера плюс единица.

Наибольший вклад в количество циклов, пройденных сетью за время ее роста, дает первый этап. Причем для сетей, с рангом большим трех, число циклов на втором этапе гораздо меньше, чем на первом и им обычно можно пренебречь. Следовательно, наиболее важным представляется подсчет циклов на первом этапе.

И здесь нас подстерегает неоднозначность. Действительно, в приложении этой математики к процессу роста населения Земли, время эволюции Сети человека на всех этапах ее роста должно исчисляться целым числом циклов. Поскольку на первом этапе копирование происходит звеньями, проблема возникает с последним циклом звена, если вес клаттера не делится нацело на квадрат размера сети. Рассмотрим, например, рост сети четвертого ранга от трех клаттеров до четырех. Для сборки четвертого клаттера потребуется 65536/3² = 7281 и 7/9 цикла. Т. к. 7:3 = 2*3+1, четвертый клаттер будет собран после копирования первой позиции последнего, из стоящих в очередь на копирование, клаттера 7282-го цикла.

Т. к. звено замыкается здесь не в в момент завершения цикла, а у него внутри, то непонятно как округлять частное от деления веса клаттера на число носителей, которое копируется за цикл: с избытком, с недостатком или вообще не округлять? Возможны четыре варианта финализации звена на первом этапе:

1) Отдаем остаток последнему полному циклу или распределяем его по каким-то из предыдущих, при этом на некоторых из них будет скопировано число носителей больше планового (звено состоит из 7281 цикла в нашем примере).

2) Добавляем еще один цикл и переносим в него остаток (7 – в нашем примере) плюс некоторое число позиций, которые не будем копировать в текущем цикле (2 – в нашем примере); при этом носителей на последнем цикле будет скопировано меньше планового (звено состоит из 7282 циклов в нашем примере).

3) Этот вариант среднее между первым и вторым: если остаток меньше или равен половине квадрата размера сети идем по первому варианту, в противном случае – по второму (7281 или 7282 цикла в звене в нашем примере).

4) Есть еще один сценарий финализации звена, а именно: с перехлестом (без округления), когда следующее звено начинается внутри последнего цикла предыдущего звена с копирования его нескопированных носителей. Последний цикл текущего звена будет завершен здесь в начале следующего звена. В нашем примере сразу после копировании первой позиции последнего клаттера 7282-го цикла собираем четвертый клаттер и подключаем его к остальным. Начинаем следующее звено с копирования трех (2+1) позиций третьего клаттера и только тогда завершаем 7282-й цикл. Новоиспеченный четвертый клаттер в 7282-м цикле не копируем, а сразу начинаем новый цикл. Заметим, что последний цикл звена в этом случае не является формально циклом (в любом из вариантов) по определению, поскольку число скопированных позиций здесь либо больше, либо меньше квадрата размера сети.

Третий и четвертый вариант рассматривать не будем, т. к. результаты вычислений здесь практически не отличаются от результатов по первому и второму. На рис. 1 представлены формулы для подсчета полного числа циклов роста сети по первому и второму варианту работы с остатком, а также приближенная формула. Отрицательная добавка к сумме в виде логарифма от корня при подсчете по второму варианту учитывает то, что при делении К_n на степень двойки результат получается целым, без остатка, но лишняя единица (цикл) все равно добавляется.

Рис. 1. Подсчет числа циклов роста сети ранга «n» от двух клаттеров до совершенной плюс два цикла (характерного времени) на переход.

Составим таблицу зависимости количества циклов роста сети от ее ранга (n = 0, 1…7).

Таблица 1. Число циклов роста ИС от двух клаттеров ранга «n» до двух клаттеров ранга «n+1» по первому и второму варианту, а также по приближенной формуле.

Число циклов каждого последующего этапа можно оценить, если число циклов предыдущего возвести в квадрат и результат умножить на 1,55. Для сетей с рангом, большим пяти, результаты подсчета по трем вариантам не отличаются при точности до семи значащих цифр. При подсчете полного числа циклов роста сетей четвертого и пятого ранга, которые рассматриваются в этой книге, выбираем второй вариант работы с остатком. (Если выбрать первый – на результат это практически не повлияет.)

Выводы по растущим иерархическим сетям

Клаттер – это структурная единица растущей ИС (иерархической сети); представляет собой СИС (совершенную ИС) на единицу меньшего ранга, чем ранг собираемой СИС.

Носитель – это самый нижний уровень иерархии, это бесструктурный сетеобразующий клаттер сети ранга нуль: сети, образованной двумя носителями, соединенными одной связью. Носитель не имеет в данной упрощенной модели своего ранга. (В приложении этой модели к мировой демографии под носителем будем понимать также человека, прикрепленного к этому клаттеру.)

Вес клаттера P – это число носителей, которое он содержит.

Размер сети – это число клаттеров, которое она содержит.

Узел клаттера (совершенной сети) – это центр, к которому сходятся связи от узлов клаттеров на единицу меньшего ранга, образующих данный клаттер. Узел носителя, изображаемого точкой в гра́фе СИС, совпадает с этой точкой.

Узел растущей сети – это коммутатор, к которому проложены связи от каждого из узлов сетеобразующих клаттеров. Позволяет устанавливать соединение между носителями сети.

Связи сети. Каждую связь, соединяющую любые два клаттера сети, считаем проходящей через узел клаттера и узел растущей сети, с которым в приложении данной математической модели к мировому демографическому процессу связана ее «индивидуальность». И каждую такую связь можно рассматривать как гиперсвязь, состоящую из Р связей, позволяющих соединять любые пары носителей растущей ИС, в каком бы клаттере они ни находились.

Рост ИС любого ранга всегда начинается с двух клаттеров и представляет собой процесс самокопирования сети, которое происходит последовательно (клаттер за клаттером) по правилу: один носитель с узла и по одному носителю с каждой связи, входящей в копируемый клаттер. Или по другому: на каждом клаттере копируется число носителей, равное текущему размеру сети[9].

Ранг R такой растущей ИС считается равным рангу сетеобразующего клаттера (при R ≥ 2). Число связей, которыми каждый клаттер может быть соединен с другими, не превышает его веса Р, т. е. числа носителей, в нем содержащихся.

Цикл – это такой этап роста ИС, на котором в произвольном порядке копируются все клаттеры (плюс-минус…), из имеющихся в ИС к моменту входа в этот цикл.

Звено – это последовательность материнских клаттеров, в процессе копирования которых полностью собирается очередной дочерний клаттер. На первом этапе роста сети звено состоит из циклов, на втором этапе – цикл состоит из звеньев. Собранный клаттер устанавливается в ИС, т. е. его узел соединяется с узлом растущей сети, и ее размер увеличивается на единицу. В очередь на копирование в текущем цикле такой новоиспеченный клаттер уже не ставится. (Чего не скажешь о связях, исходящих из него и входящих через узел растущей сети в другие клаттеры. Подключение этих связей в процессе цикла на втором этапе придает росту сети дополнительное ускорение.)

Длина звена (число клаттеров в звене) за время роста сети уменьшается от половины веса клаттера (Р/2) до единицы.

Если в процессе цикла на первом этапе роста не удается собрать ни одного клаттера (с учетом носителей, собранных на всех предыдущих циклах звена), то такой цикл называется пустым и заканчивается последним клаттером, из имеющихся в сети в момент входа в цикл (за исключением, возможно, последнего цикла звена). Все носители скопированные в процессе пустого цикла пойдут в дальнейшем на сборку нового клаттера. Правило финализации звена на первом этапе выбираем следующим:

Если число циклов звена не является целым и его дробная часть больше или равна 1/2, то это число возрастает на единицу; если меньше – число циклов округляется до целого отбрасыванием дробной части, а избыточные носители отдаются последнему клаттеру звена или распределяются по каким-то из предыдущих. (Возможен также сценарий, при котором звено копирования замыкается не в момент завершения цикла, а где-то у него внутри. После установки клаттера в сеть и прокладки дополнительных связей следующее звено, завершающее цикл, начинается с нескопированных носителей предыдущего, плюс один носитель.)

Каждое следующее звено на втором этапе роста начинается с копирования нескопированных носителей последнего клаттера предыдущего звена (сценарий с «перехлестом»). Если суммы носителей последнего звена цикла на втором этапе недостаточно для сборки нового клаттера, но эта сумма больше/равна половины/е веса клаттера, то цикл продолжается: процесс копирования заходит на второй виток и копируются клаттеры, уже скопированные в данном цикле.

Если эта сумма оказывается меньше половины веса клаттера происходит финализация цикла. При этом некоторые клаттеры, из имеющихся в сети в момент входа в цикл, оказываются нескопированными или скопированными не полностью.

На втором этапе роста производится коррекция выхода клаттеров с некоторых циклов (плюс – минус один) в направлении на ближайшую гиперболическую сеть.

Рост сети, описываемый данным алгоритмом, процесс неустойчивый и малейшее возмущение быстро уводит его от теоретической гиперболы (тут еще нужно учесть то, что здесь мы имеем дело с целочисленными величинами). Что совершенно неудивительно, т. к. и закон квадратичного роста (уравнение Капицы), являющийся асимптотическим приближением алгоритма, – устойчивых решений не имеет, т. е. обладает точно таким же свойством.

Эта коррекция представляет собой небольшое число очень малых возмущений, всего в один клаттер, тогда как сеть на втором этапе своего роста, который здесь только и рассматривается, растет от 256 клаттеров до 65536, т. е. ее размер составляет сотни, тысячи и даже десятки тысяч клаттеров. В таком случае возмущение в один клаттер составляет всего лишь доли процента от общего числа клаттеров в сети и является даже не каким-то «толчком», а всего лишь «легким прикосновением».

Существует множество вариантов такой коррекции, каждый из которых приводит ИС к совершенной через гармонические сети. Все они дают практически одну и ту же зависимость числа клаттеров растущей сети от номера цикла.

И, наконец, полученная СИС проходит еще один цикл – операцию репликации, во время которой длина звена копирования минимальна и равна единице. В процессе этой операции происходит копирование сети-оригинала в сеть-копию по правилу «клаттер в клаттер» с установкой полученных копий в новую сеть. Это последняя, предельная операция копирования сети данного ранга.

По ее завершению наступает очередь прокладки гиперсвязи между узлами двух финальных СИС и узлом стартующей сети. Для этого каждому клаттеру оригинальной СИС и ее копии добавляется еще по одной связи[10], соединяющей узел клаттера и узел финальной СИС. Каждая такая дополнительная связь представляет собой гиперсвязь: «кабель» с числом линий, равным весу Р сетеобразующего клаттера. Затем каждый узел обоих стартовых клаттеров подключается «кабелем» еще большей информационной проводимости (Р²) к их общему узлу. После чего запускается рост сети более высокого ранга.