О Исайе Канторе

Journal of Generalized

Lie Theory and Applications,

vol. 2 (2008), no. 3, 111

О Исайе Канторе (1936–2006)

Согласно Льву Ландау, все физики могут быть поделены на физиков-композиторов и физиков-исполнителей. Исайя Кантор, по моему мнению, является математиком-композитором. Вот две его композиции на тему йордановых алгебр.

Жак Титс в своем исследовании моделей исключительных алгебр Ли сделал следующее замечание. Пусть L — алгебра Ли над полем F, содержащая алгебру Ли

[e, f] = h, [h, f] = ―2f, [h, e] = 2e.

Если собственными значениями оператора ad(h) присоединенного действия на L являются лишь ―2, 0, 2, то 2-собственное пространство L(2) относительно операции x y:= [[x, f], y] является йордановой алгеброй.

Исайя Кантор обобщил это наблюдение следующим образом. Пусть L есть Z-градуированная алгебра Ли,

Тогда для произвольного элемента a ∈ L(―1) операция x y := [[x, a], y] задает структуру йордановой алгебры на L(1), что приводит к понятиям тройных йордановых систем и пар (М. Кёхер независимо вышел на аналогичную конструкцию при рассмотрении эрмитовых симметрических пространств).

Более того, Кантор и Кёхер независимо показали, что произвольная йорданова алгебра возникает таким образом из некоторой Z-градуированной алгебры Ли с помощью конструкции Титса-Кантора-Кёхера.

Замечание Кантора об операции [[x, a], y] играет решающую роль в моем доказательстве Ограниченной проблемы Бернсайда.

Другим блестящим примером проницательности Кантора является открытие того, что произвольная скобка Пуассона приводит к некоторой йордановой алгебре. Пусть R — некоторая ассоциативная и коммутативная алгебра с билинейной операцией [·, ·]: R × R → R. Говорят, что эта операция является скобкой Пуассона, если она удовлетворяет правилу Лейбница и (R, [·, ·]) является алгеброй Ли. Кантор заметил, что супералгебра где , — является йордановой супералгеброй, которая называется теперь дублем Кантора алгебры R. Применение этой конструкции к суперкоммутативным Грассмановым алгебрам дает первые примеры конечномерных йордановых супералгебр с неполупростой четной частью.

Кантор обладал фантастической интуицией и чувством того, что является важным.

Ефим Зельманов (Efim Zelmanov)

Department of Mathematics, University of California San Diego,

9500 Gilman Drive, La Jolla, CA 92093-0112, USA