Observationes Domini Petri de Fermat

1

Voir ci-après l’observation IX.

2

Dioph., p. 216: «Invenire tres quadratos, ut quem bini faciunt planum, sive adsciscat amborum summam, sive reliquum, faciat quadratum.»

3

Ce renvoi, indiqué par Samuel Fermat, n’est pas exact; l’observation de Fermat porte surtout sur la fin du commentaire de Bachet, à partir de «Cæterum animadversione quoque dignum est, etc. (p. 127, l. 7)». En fait, le problème de Diophante consiste à trouver quatre nombres tels que la somme de leurs carrés, augmentée ou diminuée de chacun de ces nombres, fasse toujours un carré. Dans son commentaire, Bachet remarque:

1º Comment Diophante ramène ce problème à celui de trouver quatre triangles rectangles en nombres ayant une même hypoténuse;

2º Comment ce nouveau problème se résout en nombres entiers par le choix de deux triangles rectangles non semblables, et en multipliant les côtés de chacun d’eux par l’hypotenuse de l’autre.

C’est-à-dire que si l’on a

a²+b²=c² et a₁²+b₁²=c₁²

on aura

cc₁²=ac₁²+bc₁²=a₁c²+b₁c²

3º Si d’ailleurs les hypoténuses sont, chacune respectivement, somme de deux carrés, leur produit peut être décomposé en deux carrés de deux manières differentes.

Si l’on a

c=α²+β² et c₁=α₁²+β₁²,

on aura

cc₁=(α²+β²)(α₁²+β₁²)=(αα₁+ββ₁)²+(αβ₁−α₁β)²=(αα₁−ββ₁)²+(αβ₁+α₁β)

Bachet ajoute que, toutefois, les deux carrés composant chaque hypoténuse doivent être inégaux, et qu’il ne doit pas y avoir de proportion entre les quatre.

4º Comme maintenant, si un nombre est décomposé en deux carrés (soit p² et q²), on en déduit qu’il est l’hypoténuse d’un triangle rectangle en nombres, car

(p²+q²)²=(p²−q²)²+(2pq)²,

on aura ainsi le moyen de construire deux nouveaux triangles rectangles ayant cc₁ pour hypoténuse, et le problème sera résolu, sous la reserve que les opérations ne seront pas illusoires, comme cela arriverait si, dans la double décomposition (2), on tombait sur une somme de deux carrés égaux; on doit en conséquence exclure le cas où α₁/β₁=(α+β)/(α-β).

5º Bachet indique les corrections qu’il a apportées au texte grec.

6º Il montre comment le procédé de Diophante peut être généralisé, en prenant deux nombres sommes de deux plans semblables; le produit de ces nombres peut en effet, s’il n’y a pas proportion entre les composants, être divisé en deux carrés de quatre manières différentes.

Enfin, il soulève la quæstion que Fermat a complètement résolue dans son observation, à savoir de trouver un nombre décomposable en deux carrés de tant de manières que l’on voudra. Si, dit-il, on multiplie un nombre qui est 1 fois seulement somme de deux carrés par un nombre jouissant de la même propriété, le produit sera somme de deux carrés 2 fois seulement. Un tel nombre, multiplié par un autre décomposable 1 seule fois, donnera un produit décomposable 3 ou 4 fois seulement (3 fois si le multiplicateur a un facteur commun avec le multiplicande, 4 fois dans le cas contraire). Un nonmbre décomposable 3 fois seulement, multiplie par un qui ne l’est que 1 fois seulement, donnera (en excluant le cas de facteurs communs) un produit décomposable 6 fois seulement.

On peut continuer ainsi indéfiniment: Un nombre décomposable 4 fois et un qui l’est 1 fois, ou bien deux décomposables 2 fois seulement donneront un produit 8 fois décomposable. Un nombre 6 fois décomposable par un 2 fois décomposable donnera un produit 24 fois décomposable. Bachet donne des exemples sans démonstration.

4

Lisez «quaternarii multiplicem».

5

Lisez «quaternarii multiplicem».

6

Ex his facile potest inveniri minimus numerus qui quoties quis velit componatur ex duobus quadratis.

Dans l’édition de Samuel Fermat, le texte de cet alinéa se trouve après celui des trois suivants.

7

Lisez «quaternarii multiplicem».

8

Утверждение Ферма о том, что каждое простое число вида 4n + 1 представимо суммою двух квадратов и притом единственным образом, было впервые доказано Эйлером (Novi Commentarii, 1754—1755). Эта теорема играет большую роль в теории чисел. Она получила название первого дополнения к закону взаимности.

9

Viète avait déjà traité comme Bachet les trois quæstions sur lesquelles portent cette observation de Fermat et la suivante. Voir Zetetic. IV, 18, 19, 20 (pages 74–75 de l’édition de Schooten).

10

Voir l’observation suivante.

11

Voir Observation XII. Soit à résoudre

(x³+y³)/(x+y)=a

le procédé de Bachet revient à éliminer y en posant x+y=z. On a alors

3x²-3xz+z²=a

équation qui se traite facilement par les méthodes de Diophante, si a est carre ou triple d’un carré.

12

Diophante (V, 3) a donné une solution de ce problème dans le cas général où le nombre à ajouter (ici l’unité) est quelconque.

13

La solution ἐν ἀορίστῳ de Diophante peut être représentée par les trois nombres

m²N + 2m, N, (m+1)²N +2 (m+1).

14

Fermat donne de ce problème une solution différente de celle de Diophante.

15

Soient x₁, x₂, x₃ les trois nombres cherchés. La solution de Diophante revient à poser

x₁=1, x₁x₂x₃=x²+2x, x₁x₂x₃+x₂=(x+m)²;

d’où

x₂=2(m−1)x+m² et (x²+2x)/(2(m−1)x+m²)

Il reste ainsi à satisfaire à une dernière condition, à savoir que x₁x₂x₃+x₃ soit carré. Le lemme employé par Diophante consiste de fait à déterminer m en sorte que x₃ soit linéaire en x, c’est-à-dire à satisfaire à la relation

2(m − 1)=¹/₂m²;

d’où

m=2 et x₂=¹/₂x, avec x₂=2x+4,

et enfin

x₁x₂x₃+x₃=x²+⁵/₂x,

expression qu’il est facile de rendre carrée. Il est aisé de voir que la solution de Fermat est au fond la même; car on la retrouve, si l’on change x en N — 2.

16

L’emploi de la double équation était indiqué par Bachet, d’apres la marche suivie par Diophante lui-même dans le problème suivant, qui ne diffère de celui-ci que parce que chacun des nombres cherchés doit être non pas ajouté, mais retranché du produit des trois, pour former les expressions à égaler à des carrés. Ici Bachet posait de fait

x₁=x, x₂=1, x₃=x−1,

et il ramenait le problème à la double équation

x²−x+1=α², x²−1=β².

17

Под леммой Диофанта Ферма понимает условие, при котором x² + 2αx нацело делится на 2α²(β — α)x + α²β².

18

Двойное равенство было применено Диофантом при решении следующей задачи (IV₂₃). Но Баше указал, что и задача IV₂₂ может быть сведена к двойному равенству.

19

Ce problème, comme le remarque Bachet, se ramène facilement à décomposer un nombre donné en quatre carrés, quæstion que Diophante n’a soumise a aucune règle, mais qu’il semble considerer comme toujours possible. Bachet affirme qu’en effet tout nombre entier doit être ou carré ou somme de 2, 3, ou 4 carrés entiers; il n’en a pas la démonstration, mais il s’en réfère à l’induction, donne le Tableau de la composition pour tous les nombres de 1 à 120, et ajoute qu’il a poussé l’expérience jusqu’à 325.

20

La solution de Fermat, fondée sur une identité facile à reconnaître, est essentiellement différente de celle de Diophante.

21

La solution de Diophante, avec les généralisations de Bachet, peut se représenter comme suit.

Soient x₁, x₂, x₃ les trois nombres cherchés. Posons

x₁+x₂+x₃=x²

et

x₁=α(α+1)/2x², x₂=β²/x², x₂=γ²/x²,

il vient

x⁴=α(α+1)/2 + β² + γ².

Posons maintenant

β=x²-z²,

on

α(α+1)/2 + 2z²x² — z⁴ — γ³,

d’où l’on posera

(2α+1)² ou 16z²x² — 8z⁴ — 8γ³ + 1 = (4zx — δ)²

et

x = (8z⁴ + 8γ³ + δ² — 1)/8zδ.

Mais il faut que α soit entier et, par conséquent, que (8z⁴ + 8γ³ — (δ + 1)²)/δ le soit.

Si l’on prend δ=1, comme l’a fait Diophante, et comme Bachet l’a cru nécessaire, on peut prendre tout à fait arbitrairement les entiers z et γ.

Fermat prend z=1, comme l’avait fait Diophante; il fait d’ailleurs, dans l’exemple qu’il choisit,

γ=7, δ=3.

22

Ферма принимает V = 7, тогда 2x² — 1 — V³ = 2x² — 344, а 16x² — 8V³ — 7 = 16x² — 2751.

23

Page 110. — Soient x₁, x₂, x₃, x₄ les quatre nombres cherchés, et a le nombre donné.

La solution de Bachet revient à poser

x₁=(u²-a)/(v-u), x₂=(v²-a)/(v-u), x₃=(x₁+x₂)-(v-u)

ce qui satisfait aux conditions pour trois nombres. Si, pour le quatrième, on pose

x₄=v-u,

on n’aura evidemment qu’a satisfaire en outre à la condition bien facile que

x₃x₄+a ou (v+u)²-3a

soit un carré indeterminé.

Bachet l’a résolue, en fait, de deux fagons différentes: 1° par rapport à c-v, en se donnant u; 2° par rapport à u, en se donnant v-u, qu’il suppose inutilement devoir être un carré.

24

Dans l’Observation XVI, Fermat a donné une solution pour le cas où le nombre à ajouter est l’unité.

25

J. de Billy (Doctrinae analyticae inventum novumn, I, 38, p. 11): «Diophantus L. V, q. 8 tradit artem inveniendi tria triangula rectangula quæ sint æqualia quoad aream. Qui vero plura ab ipso expetet, nunquam obtinebit; præterea nunquam tradidit Diophantus methodum inveniendi triangulum dato triangulo æquale quoad aream. Fermatius utrumque mox atque eàdem operatione præstabit.»

«Sit verbi gratia inveniendum triangulum cujus area sit 6, qualis est area trianguli rectanguli 3. 4. 5.»

«Esto unum latus cujuspiam trianguli rectanguli 3, et aliud latus sit 1N+4. Horum quadrata simul sumpta exhibent

25+1Q+8N

pro quadrato hypotenusæ: quare iste numerus æquatur quadrato.»

«Deinde area istius trianguli, ³/₂N+6, debet esse sextupla alicujus quadrati (quia postulatur areamn esse 6): ergo ejus areæ sextans quadratus est, ac proinde ille ductus in 36 efficiet quadratum. Efficit autem

9N+36:

igitur hic numerus æquandus est quadrato.»

«En igitur duos terminos duplicatæ æqualitatis:

9N-36 et 25-1Q+8N.

In his autem unitatum numerus quadratus est: ergo valor radicis facile reperietur, eritque

— ^60530400/_21650409

ac proinde

1N+4 erit ^2896804/_2405601.

Aliud autem latus circa rectum est 3. Igitur horum quadrata simul sumpta faciunt quadratum cujus latus

^7776485/_2405600

erit hypotenusa. Ergo habes triangulum rectangulum

^7776485/_2405601. ^2896804/_2405601. 3,

cujus area est sextupla cujuspiam quadrati, nempe

⁷²⁴²⁰¹/_2405601;

cujus area est 6.»

«Adverte nos invenisse hoc triangulum per illud quod datum fait 3.4.5, ac per inventum inveniri posse tertium; per tertium invenietur quartum, et sic sic in infinitum.»

26

То есть на числах Z² и 2BD. Полученные стороны делятся на 2ZB² — 2ZD²

27

La question V; 9 de Diophante se résout en effet par une application immédiate de la solution du problème précédent.

Soient a₁, a₂, …, a_n, les hypotenuses de n triangles rectangles ayant une même aire A, comme

a_p2±4A est carré,

les nombres

(a_pΣ₁ⁿ a_n)/4A

satisferont a la question posée par Fermat.

28

Le texte grec correspondant à ce passage incompréhensible de la version latine est le suivant dans l’édition de Bachet (leçon du manuscrit fonds grec n° 2379 de la Bibliotheque Nationale):

μήτε ό διπλασίων αύτοΰ Υ μ^ο α. μείζονα έχη μέρος δ. ή μετρεϊται ύπό τοΰ α^ου. ς^ου,

et, d’après Bachet, dans un Vaticanus s græcus (probablement le n° 304):

μήτε ό διπλασίων αύτοΰ άριθμόν μονάδα α. μείζονα έχή μέρος τέταρτον, ή μετρεϊται ύπό τοΰ πρώτου άριθμοΰ.

Ces deux leçons reviennent à la même, et tous les manuscrits connus de Diophante sont corrompus de la même façon.

29

Баше сформулировал следующие условия: данное число о не должно быть вида 32n + 9. Он утверждал, что проверил все числа до 325 и не нашел ни одного исключения.

30

Il est aisé de voir que la solution particulière donnée par Diophante ne peut être obtenue avec les positions de Fermat, et l’on a dès lors le droit de répéter avec Bachet: «Quamobrem casu factum videtur ut sumpserit autor 2¼, quo de 3 sublato relinquitur ¾ ex tribus cubis compositus.»

31

Voir Observation VIII.

32

Il s’agit de trouver trois triangles rectangles en nombres (a₁, b₁, c₁), (a₂, b₂, c₂), (a₃, b₃, c₃) tels que lon ait, a₁, a₂, a₃ étant les hypoténuses, b₁b₂b₃/c₁c₂c₃ dans un rapport carré.

Prenant arbitrairement le triangle (a₁, b₁, c₁), soit (5, 4, 3) dans l’exemple choisi, Bachet forme les triangles suivants, respectivement des nombres a₁, b₁ et a₁, c₁, c’est-à-dire il pose de fait:

a₂=a₁²+b₁², b₂=a₁²-b₁²=c₁², c₂=2a₁b₁,

a₃=a₁²+b₁², b₃=a₁²-b₁²=c₁², c₃=2a₁b₁,

d’où

(b₁b₂b₃/c₁c₂c₃)²=(b₁/2a₁)²

Les deux triangles ainsi construits sont (41, 9, 40) et (34, 16, 30). Au lieu du second, il prend le semblable (17, 8, 15), le rapport restant le même.

33

Entendez duodecupla, et à la ligne suivante: Si autem duodeclpla, et tripla.

34

Les triangles de Diophante ou de Bachet s’obtiennent par la seconde solution de Fermat, c’est-à-dire avec les couples generateurs 5, 4 et 4, 1. Diophante avait probablement traité, dans un problème perdu, la construction de deux triangles rectangles dont l’aire soit dans un rapport donné.

35

Voir Observation XXIII.

36

Треугольники, которые выбрал Диофант, найдены именно этим вторым способом. Они отвечают значениям R = 3, S = 1, причем второй треугольник должен быть образован из чисел R — 2S, R + S. (Прим. ред.)

37

Bachet se propose de trouver trois triangles rectangles (a₁, b₁, c₁), (a₂, b₂, c₂), (a₃, b₃, c₃) tels que le rapport a₁a₂a₃/c₁c₂c₃ soit carré. À cet effet, il prend arbitrairement le premier triangle, en sorte toutefois que 2c₁>b₁; il forme le second en posant

a₂=(4c₁²+b₁²)/b₁, b₂=(4c₁²+b₁²)/b₁, c₂=4c₁,

et le troisième en prenant

a₃=a₁a₂, b₃=b₁c₂+b₂c₁, c3=c₁c₂-b₁b₂.

On a alors, d’une part,

a₁a₂a₃=(a₁a₂)²;

de l’autre,

c₁c₂c₁=(2b₁c₁)2.

Fermat a bien reconnu que Diophante, se donnant arbitrairement, par exemple, le troisième triangle (5, 3, 4), cherche les deux autres en sorte que a₁a₂/c₁c₂ soit dans un rapport donné, à savoir 5. Mais il n’a pas deviné le procédé de lauteur grec, qui a été restitué par Otto Schulz (Diophantus von Alexandria arithmetische Aufgaben nebst dessen Schrift über die Polygon-Zahlen, aus dem Griechischen übersctzt und mit Anmerkungen beleitet. Berlin, 1822, p. 546–551) d’après le texte donné par Bachet.

Diophante prend d’abord deux triangles auxiliaires (α₁, β₁, γ₁), (α₂, β₂, γ₂), tels que β₁γ₁ soit à β₂γ₂ dans le rapport donné. Ces deux triangles, obtenus comme dans le problème précédent V, 24 sont d’ailleurs (13, 12, 5) et (5, 4, 3).

D’autre part, ayant un triangle (α, β, γ), Diophante sait construire un triangle (a, b, c) tel que ac=βγ/2. Il prend à cet effet

a=½α, b=(β²-γ²)/2, c=βγ/α.

Du triangle (13, 12, 5) il deduit de cette façon le triangle (6½, 119/26, 60/13), et du. triangle (5, 4, 3), le triangle (2½, 7/10, 12/5). Les deux triangles ainsi formés satisfont évidemment à la condition imposée.

Pour achever le problème primitif, Diophante prend pour les trois carrés cherchés

(c₁x/a₁)², (c₂x/a₂)², (c₃x/a₃)²,

c’est-à-dire

¹⁴⁴⁰⁰/₂₈₅₆₁x², ⁵⁷⁶/₆₇₅x², ¹⁶/₂₅x²

et, égalant leur produit à x², il tire pour x la valeur 65/48.

38

On voit qu’au lieu de déterminer B et D en sorte que (2D³-B³)/(B-2D) soit carré, Fermat va les chercher, par erreur, en sorte que (2D³-B³)/(2B-D) soit carré. Plus loin, après avoir reconnu la faute de calcul qu’il a commise, il laisse subsister sa solution comme s’appliquant en tout cas à un problème digne d’intérêt.

39

Ces nombres sont ceux de Diophante. Les racines de ces carrés peuvent se représenter en général par

z, (r(z²+a))/4pz — pz/r, (r(z²+a))/4pz — qz/r,

en supposant p²+q²=r². Diophante a pris en fait, pour a=5, z=3, p=4, q=3, r=5.

40

Viète, Zeteticum V, 9 (édition Schooten, p. 79):

Invenire numero triangulum rectangulum, cujus area adjuncta dato plano ex duobus quadratis composito, conficiat quadratum.

Sit datum planum Z, planum compositum ex B quadrato et D quadrato. Effingatur triangulum rectangulum abs quadrato adgrcgali laterum B, D, et quadrato differentie eorumden. Hypotenusa igitur similis erit B quad. quad. 2 + B quad. in quad. 12 + D quad. quad. 2. Basis B in D in Z planum 8. Perpendiculum B + D quadrato in B — D quadratum 2. Adplicentur omnia ad B + D in B — D quad. 2, fiet area similis (Z plano in B in D.2)/(B — D quad.). Adde Z planum; quoniam B — D quad. + B in D2, aequatur B quadrato + D quadrato, id est aequatur Z plano, summna erit (Z planoplanum)/(B — Z quad.), quadratum a radice (Z plani)/(B — D).

Sit Z planum 5, D1, B2. Triangulum rectangulum erit huiusmodi: 82/6, 80/6, 18/6. Area 720/36, id est 20. Adde 5. Summa fit 25, cujus radix est 5.

41

La methode de Diophante peut se repr6senter comme suit: soient a le nombre donné, et

(x² + 1/x²)y, (x² + 1/x²)y, 2y

le triangle cherché, on devra rendre carré (x² + 1/x²)y² + a. En égalant cette expression à (x² + 2m²a/x²)y², on arrive à tirer rationnellement, en fonction d’arbitraires m et n,

x=(a(4a²m⁴ + 1) — n²)/4amn et y=ax/(2max+n).

42

DIOPHANTE. VI, 4: Invenire triangulum rectangulum ut areæ numerus multatuts dato numero faciat quadratutm.

DIOPHANTE, VI, 5: Invenire triangulun rectangulum ut numerus areæ detractus a dato numero faciat quadratnum.

La méthode de Diophante, pour ces deux problèmes, est analogue à celle qu’il a suivie pour VI, 3.

43

De fait, ces nombres reviennent à ceux de Viète. Comparez au reste JACQUES DE BILLY (Doctrinae analyticæ inventum novun, 1, 37, p. 10):

«Vieta, L. V Zetet. 9, infeliciter solvit quæstionem tertiam libri sexti Diophanti; quum enim iste proponat invenire triangulum rectangulum cujus area assumens datum numerum faciat quadratum, coarctavit Vieta quæstionem ad datum numerum ex duobus quadratis compositum. At Fermatius innumeris modis solvit problema de dato quocumque numero: si enim detur 3, numeri sequentes exhibent triangulum quæsitum:

^1441889/₄₁₆₁₆₀, ^1397825/₄₁₆₁₆₀, ³⁴/₄₀.»

44

При своем решении Виет предполагал, что заданное число является суммою двух квадратов (как, например, число 5). Такое предположение, как показывает Ферма, излишне.

45

Soit a le nombre donné; la solution de Diophante revient à prendre, pour le triangle,

(a² + 1)/(a + 1), a — 1, (2a + 1)/(a + 1)

L’aire, plus le dernier côté, est identiquement a.

La solution de Fermat est précisément la même; seulement il la pose directement, au lieu de suivre les longs détours de Diophante, qui masquent la construction effective du triangle.

46

Как заметил ещё П. Таннери, решение Ферма в точности совпадает с тем, которое дал Диофант.

47

Cette solution est encore, de fait, la même que celle de Diophante, comme pour le problème précédent.

48

Il faut entendre ici à la fois les problèmes VI, 6 et 7 de Diophante.

49

VI, 8: Invenire triangulum rectanlium ut area, adsumens utrumque laterum circa rectum, faciat datum numerum.

VI, 9: Invenire triangulum rectanlium ut numerus areæ, multatus summa laterum circa rectum, faciat datum nuzmerum.

VI, 10: Invenire triangulum rectanlium ut numerus areæ nulmrus, adsumens summam hypotenusæ et alterius laterum circa rectum, faciat datum numerum.

VI, 11: Invenire triangulum rectanlium ut numerus areæ, multatus summa hypotenusæ et alterius laterum circa rectum, faciat datum numerum.

Pour tous ces problèmes, comme pour les deux précédents, Diophante arrive à une double équation, dont son procédé ne tire qu’une solution unique.

50

Voir les Observations XXXVII, XXXVIII, XL, XLI.

51

Dans son commentaire sur VI, 11, Bachet avait traité la question:

Invenire triangulum rectanlium ut area, detracta hypotenusa, faciat datum numerum.

52

Баше в своем комментарии к VI₁₁ рассмотрел задачу: «Найти прямоугольный треугольник такой, что его площадь, увеличенная (уменьшенная) на гипотенузу, составляет заданное число».

53

Cette condition est empruntée au texte latin du problème. Le procédé de Diophante revient en effet à prendre comme triangle cherché: az, bz, cz; puis à poser (supposant b>c) z=b/(x² — bc/2). Il arrive ainsi à avoir à rendre carré

bcx² + b(b-c)bc/2 = y².

Or, si le triangle (a, b, c) est tel que

bc + b(b-c)bc/2 = p²,

Diophante sait construire une infinité de valeurs de x = (q² — 2pq + bc)/(q² — bc) done de z. Mais tous les triangles ainsi obtenus sent semblables; Fermat cherche done à déterminer un autre triangle (a, b, c) que celui trouvé par Diophante (5, 4, 3).

54

D’après cette méthode (p. 321), si l’on a une solution x₁, y₁ de l’équation indéterminée

x² + a = y³

et que l’on pose

x = x₁ — z, y = y₁ - 2x₁/3y₁²

on peut tirer z rationnel:

z = (36x₁² — 27y₁³)/8x₁³

55

Заметим, что уравнение X² + 2 = Y³ имеет бесконечно много рациональных решений, которые могут быть найдены методом касательной Диофанта (см. комментарий к VI₂₄). Теорема, сформулированная Ферма, относительно целочисленных решений этого уравнения, была впервые доказана Эйлером (Èlémens d’algèbre, t. II, § 192, 1796).

56

D’après les procédés de Diophante, cette solution s’obtient comme suit:

Soit la double équation

ax²+bx+c²=u², a'x²+b'x+c²=v²,

on en conclut

(a-a')x²+(b-b')x=u²-v².

On satisfera à cette relation en posant

2cx(a-a')+2c=u+v, 2cx(b-b')=u-v.

De ces deux équations on tirera la valeur de u ou de v, et, en substituant dans une des deux premières, on obtiendra pour x une valeur rationnelle déterminée.

57

Voir Observation XXIII. Fermat renvoie d’ailleurs à la présente Observation XLIII dans les suivantes: VI, XVI, XXII, XXXI.

58

В нашем издании это вторая лемма к задаче V₇.

59

BILLY (Doctrinæ analyticæ inventum novum, I, 25, p. 7): Quæratur, verbi gratia, triangulum rectangulum cujus tam hypotenusa quam summa laterum circa rectum sit numerus quadratus. Formetur triangulum ab obviis numeris 1N+1 et 1N; ergo tria latera erunt: 2Q+1+2N, 1+2N, 2N+2Q. Igitur hypotenusa, 2Q+1+2N, et summa laterum circa rectum, 2Q+1+4N, æquantur quadrato, et fit, per methodum conmmunem, valor radicis -12/7, unde duo numeri, a quibus formatum est triangulum, erunt -5/7 et -12/7, seu in integris, accipiendo solos numeratores -5, -12. Triangulum autem inde formatum est: 169, 119, 120. Unde infero ad solutionem problematis inveniendum esse aliquod triangulum rectangulum cuius hypotenusa sit quadratus, et differentia laterum circa rectum sit quadratus, atque hæc conclusio elicitur vi analyseos priecedentis; istud autem triangulum est 169, 119, 120, quod formatur vel ab -5 et -12, vel a +5 et +12. Quare itero operationem et formo triangulum quæsitum ab 1N+5 et 12, et pervenio tandem ad æqualitatem duplicatam quæ non dabit amplius numeros fictos, sed veros, beneficio trianguli illius primitivi, ut distinctius videbitur infra num. 45…

(Ibid. 45, p. 13): Invenire duos nuneros quorum summa faciat quadratum et quorum quadrata simul juncta faciant quadratoquadratum.

Istud problema idem plane est cum superiori quo quærebatur triangulum rectangulum cujus hypotenusa et summa laterum sit quadratus, aliasque fuit propositum plerisque doctissimis Mathematicis a Fermatio nostro sine solutione. Utere igitur triangulo primitivo supra invento (num. 25) 169, 119, 120, quod formatur ab 5 et I2, et forma triangulum ab 1N+5 et 12. Latera erunt: 1Q+169+10N, 1Q-119+10N, 24N+120. Igitur hypotenusa, 1Q+169+10N, et summa laterum circa rectum, 1+1Q+34N, æquantur quadrato; due summam istam laterum in 169; ergo productus, 169Q+5746N+169, cum hypotenusa, 1Q+169+10N, æquantur quadratis. Ergo (per ea quæ dicta sunt num. 22) valor radicis est 2048075/20566 et, iuxta positiones, duo numeri a quibus nascetur triangulum quæsitum, 4687298610289, 4565486027761, 1061652293520. Nam et hypotenusa est quadratus et summa laterum, et quadrata laterum æquantur quadrato hypotenusm; proindeque duo latera circa rectum sunt duo numeri quæsiti, turn quia illorum summa quadratus est, turn quia horum quadrata simul junclta faciunt quadratoquadratum…

(Ibid., 22, p. 7): Iterum sit solvenda aqualitas duplicata: 169Q+5746N+169, et 1Q+10N+169. Tripliciter ista æqualitas solvi potest: Primo accipiendo differentiam terminorum illorum, quæ est 168Q+5736N, et eligendo duos producentes in quorum uno sit 26, duplum videlicet lateris quadrati 169; atque hæc est methodus communis. Secundo, solvi potest revocando diversos quadratorum numeros ad eumdem, quod fieret ducendo singulas particulas numeri posterioris in 169, ut explicatum est num. 4. Tertio, solvetur eadem æqualitas eligendo producentes 14N et 12N+2868/7; ita enim summa radicum erit 26N, duplum lateris quadrati 169Q; atque hæc est methodus Fermatiana quæ dat pro valore radicis 2048075/20566.

La première méthode indiquée par Jacques de Billy donnerait la valeur 769485031/3240054650 la seconde est illusoire, car elle donne pour valeur zero.

60

Viète (In artern analyticen Isagoge, cap. I, éd. Schooten, p. 1, I. 23–25): Forma autem Zetesin ineundi ex arte propria est, non iam in numeris suam Logicam exercente, quæ fuit oscitantia veterum Analystarum.

61

Voir Observation IX.

62

Имееются в виду положительные целые числа.

63

Ce fragment est tiré du préambule du Doctrince analyticæ invenitum novum de Jacques de Billy (p. 2), où il suit le passage ci-après:

«Quis ex primitivis radicibus elicuit derivativas, turn primi gradus, turn secundi, turn tertii et sic deinceps in infinitum? nemo plane: uni Fermatio debetur hoc inventum; unus ille hæc omnia non ex alienis cumulavit operibus, quod rhapsodi quidam facere consueverunt, sed proprio marte cudit et ex suis ipse fontibus hausit: hoc ille quum mihi amicissime communicasset per literas, judicavi dignissimum quod typis mandaretur, et ne ab ejus mente ullatenus recedam, exscribendum mihi videtur in primis compendium quoddam totius methodi, cui nomen debit Appendicis ad dissertationem Claudij Gasparis Bacheti de duplicatis apud Diophantum æqualitatibus. En ipsissima illius verba.»

64

Pages 332–333 de l’édition de Samuel Fermat. «Sextus modus est quando propositi numeri diversimode componuntur ex Quadratis, Numeris et Unitatibus, …

Primo ergo accidit utrumque propositorum numerorum componi ex tribus speciebus supra dictis et eorum intervallum unica tantum constare specie…

Secundo accidit utrumque propositorum numerorum ex duabus componi speciebus, alterum scilicet ex Quadratis et Unitatibus, alterum ex Numeris et Unitatibus, intervallum autem illorum constare ex Quadratis et Numeris…

Tertio accidit alterum propositorum numerorum componi ex Quadratis, Numeris et Unitatibus, alterum ex Quadratis et Numeris…

Quarto accidit alterurn propositorum numerorum componi ex Quadratis, Numeris et Unitatibus, alterum ex Quadratis et Unitatibus…

Quinto denique accidit alterum propositorum numerorum componi ex Quadratis, Numeris et Unitatibus, alterum vero ex Numeris et Unitatibus…»

65

Billy ajoute: «Hactenus Fermatius». Les différences, pour cet alinéa, entre le texte de l’Observatio publié par Samuel Fermat (S) et le texte de l’Inventum novum (B) sont les suivantes:

P. 337, I. 12 notâ defectûs insignitur S habet notam defectûs B; 13. intelligitur S deprehenditur B; 14, ut loquitur Vieta S ut verbis Vietæ utar B.

66

Fermat a voulu généraliser, pour les différentes sortes de nombres polygones, la notion de cube (produit par n du carré de côté n), et il a appelé colonne le produit par n du polygone de côté n. Cette expression technique, qu’il semble avoir forgée lui-même est généralement restée incomprise.

67

Приводится по изданию Œuvres de Fermat. Tome I. Paris, 1891, pp. 373-379 с комментариями и сохранением пунктуации.

P. 46 à 48: Viro D. de Pellison S. Fermat S. P. D. (App., p. 373 suiv.).

Comme reproduction de l’édition de Bachet, celle de Samuel Fermat est passablement fautive; l’intérêt qu’elle offre provient donc essentiellement des annotations que Pierre Fermat avait inscrites sur les marges d’un exemplaire aujourd’hui perdu du Diophante de Bachet, annotations que son fils a reproduites à leur place, en caractères italiques et chacune sous le titre: OBSERVATIO D. P. F., la seconde seule sous celui: OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT.

68

Les mots vel parentis mei conjecture sont omis dans le Diophante de 1670.

69

Le texte de Boulliau porte τὰ δὲ.

70

Les mots καὶ στοιχειώδεις sont omis dans les Varia.

71

Les Varia omettent etc.

72

La leçon διαιρεταὶ est également indiquée en marge, par Boulliau, pour διαιρετοὶ dans le premier passage.

73

Le texte grec de Manuel Bryenne n’a été publié que par Wallis, dans le Tome III de ses Œuvres (Oxford, 1699). Samuel de Fermat cite donc cet auteur d’après un manuscrit, que M. H. Omont a retrouvé à la Bibliothèque Nationale. Il contient, de la main de Fermat, des annotations critiques que nous publions comme dernière pièce de cet appendice.

74

Boulliau traduit comme suit le second passage grec donné plus haut: intervalla vero sonis [constant], quæ voces rursum sunt primæ, vim dividendi habentes, et elementares.

75

Antiquæ musicæ auctores septem, ed. Meibomius (Amsterdam, 1652), 1, page 24.

76

Antiquæ musicæ auctores septem, ed. Meibomius, II, page 33.

77

Dans son édition Theonis Smyrnæi Expositio rerum mathematicarum, Teubner, 1878, Ed. Hiller n’a pas adopté cette correction, comme il a fait pour les précédentes; et, en effet, Théon continue à citer ici le péripatéticien Adraste. L’erreur de Fermat a été au reste occasionnée par Boulliau, qui a traduit aiunt.

78

Hiller lit ἠρεμίας qui est moins bon.

79

κατὰ Samuel. Mais Boulliau donne καθὰ, qui n’a nullement besoin d’etre corrigé en καθὸ. Samuel a dû faire quelque méprise. — Hiller suit, dans ce passage, la leçon de Fermat, en supprimant le dernier mot ἀποτελοῦν, qui est surabondant.

80

κατὰ Samuel. Mais Boulliau donne καθὰ, qui n’a nullement besoin d’etre corrigé en καθὸ. Samuel a dû faire quelque méprise. — Hiller suit, dans ce passage, la leçon de Fermat, en supprimant le dernier mot ἀποτελοῦν, qui est surabondant.

81

ὑπὸ Samuel.

82

καὶ ἡμέρᾳ om. Samuel.

83

καὶ τῶν Samuel.

84

Platon, Banquet, 197 a. — Samuel emploie l’édition de Platon d’Henri Estienne, 1578, qui renferme la traduction latine de Jean de Serres.

85

οὐκὶ Samuel.

86

La vulgate ajoute τι.

87

Lucrèce, De Rerum natura, I, v. 4–5: Per te quoniam genus etc. — Hiller a adopté la leçon ἔρωτι proposée par Fermat.

88

Voir ci-après, sous le numéro X, la Lettre de Fermat à Ismael Boulliau du 21 novembre 1645.

89

Fermat s’est servi de l’édition greco-latine des Chouet, Orléans, 1621. Il faut lire pour la référence pag. 22, au lieu de page 12. La correction qu’il propose a été adoptée par Fabricius dans son édition greco-latine des Œuvres de Sextus Empiricus, page 28, note Z. Elle avait été egalement proposée par Saumaise.

90

flore constituti sunt Samuel.

91

vero Samuel.

92

Cette expression est de Martial, VIII, 48.

93

Géorgiques, IV, 335.

94

Pages 534–535 de l’édition de Lyon, 1657. — Page 704 de cette même édition, après certains Collectanea in aliquot Athenæi loca, Authore Viro Illustri L. I. S. T., on dit: «ALIA IN ATHENÆUM ANMADVERSIO SINGULARIS, AUCTORE VIRO ILLUSTRI P. F. S. T.» Page 535 A. Μεδοντιάδα τὴν Ἀβυδηνὴν, καὶ Ξυνωκείπην.

«Mirum viros doctos non animaduertisse hic mendum subesse, cum si ponas Axiochum et Alcibiadem duas vxores duxisse, Medontiadem et Xynoceipen, tota periit lepidæ narrationis gratia. Legendum vero pro Ξυνωκείπην, συνῳκείτην, a verbo συνοικέω, numero duali, præteriti actiui imperfecti, id est concumbebant, Axiochus nempe et Alcibiades vni tantum Medontiadi, quæ cum filiam peperisset, dubium quidem erat ex vtrius semine nata esset: ideoque cum puber esset facta, vterque in illius amplexus ruebat, eo prætextu, quod non ex se, sed ex altero susceptam diceret.»

95

Ou plutôt ξυνῳκείτην. La leçon συνῳκείτην (voir la note précédente), qui ne conserve pas la forme attique, ne peut guère être attribuée à Fermat.

96

Page 574 de l’édition de 1657.

97

Ce mot ἐρασθεὶς est omis par Samuel.

98

quibus illas parentis modestia abdiderat Samuel dans son édition de Diophante.

99

perspicacissimos Sanmuel dans son édition de Diophante.