От абака к цифровой революции

Глава 1 Начало эпохи вычислений. Позиционные системы счисления

Методы вычислений развивались на протяжении многих тысяч лет.

Этот процесс изначально проходил очень медленно, и ему предшествовало развитие систем счисления. Подобно многим другим проявлениям культуры, вычисления и системы счисления возникли в разных частях Земли. Изначально они не были связаны между собой, но затем широко распространились и оказали взаимное влияние друг на друга. Различные системы счисления были известны в Месопотамии, Древнем Египте, Древней Греции, Риме, Индии и других государствах. Им на смену пришли арабские цифры и позиционная система счисления, появление которой произвело переворот, сравнимый с тем, что произвела теория Коперника в астрономии.

Цифры и системы счисления появились в древности. У разных культур они различались, а где-то, например у амазонского народа пирахан, цифры отсутствовали вовсе.

Старейшие свидетельства использования чисел — кости с отметками, найденные на археологических раскопках. Древнейшая из подобных находок — кость бабуина, обнаруженная в горах Лебомбо африканского государства Свазиленд во время раскопок в 1973 году, возраст которой оценивается в 35 000 лет. На этой кости нанесено 29 отметок. Считается, что она использовалась для подсчета фаз луны; возможно также, что она применялась в качестве календаря менструального цикла. Эта кость напоминает палочки, которые и поныне в ходу у бушменов Намибии.

Другое примечательное свидетельство — волчья кость, найденная в 1937 году в Вестонице (Моравия). На эту кость нанесено 55 отметок, объединенных в пять групп по пять отметок. После отметки под номером 25 нанесена одна дополнительная. Эта кость является артефактом ориньякской культуры, а ее возраст — порядка 30000 лет. Поблизости от нее была найдена голова мраморной статуи Венеры.

Следующий выдающийся экземпляр — так называемая кость Ишанго, найденная в Конго в 1960 году, возраст которой оценивается не менее чем в 20000 лет.

Кость Ишанго, одно из древнейших доказательств использования чисел, хранится в Королевском институте естественных наук в Бельгии.

Существует две теории, описывающие происхождение чисел, которые также объясняют, какие числа появились первыми — количественные (один, два, три) или порядковые (первый, второй, третий). Согласно более популярной теории, числа возникли потому, что требовалось подсчитывать предметы, поэтому сначала появились количественные числа, а затем — порядковые.

Сторонники второй теории полагают, что числа возникли в ритуалах. В церемониях участники должны были располагаться в определенном порядке; поэтому сначала появились порядковые числа, а затем количественные. Последняя теория утверждает, что числа возникли в конкретном географическом регионе, откуда распространились по миру. В ней же целые числа делятся на четные и нечетные: нечетные считаются мужскими, четные — женскими. Эта классификация сегодня встречается во многих мировых культурах.

Использование десяти цифр и системы счисления по основанию 10 для представителей современной западной цивилизации кажется крайне логичным и естественным. Нам сложно представить, что эта система была известна не во всем мире.

Однако факты неоспоримы: например, исследования нескольких сотен племен американских индейцев показывают, что они использовали совершенно разные системы счисления, некоторые из которых применялись чаще других. Почти в трети племен была принята десятичная система, однако почти столько же индейцев использовали пятеричную систему (в некоторых случаях пятерично-десятичную). В оставшейся трети племен применялась преимущественно двоичная система (свыше 20 %), затем — двадцатеричная (10 %) и троичная (1 %).

* * *

* * *

С другой стороны, в поисках доказательств существования разных систем счисления совершенно не обязательно изучать далекие племена. В индоевропейских языках слово, означающее «восемь», происходит от слова, означающего «четыре», а латинское слово novem, означающее «девять», по-видимому, происходит от novus — «новый», что опять-таки указывает на использование систем счисления с основанием 4 и 8. Остатки двадцатеричной системы счисления прослеживаются в словах языка басков hogei, berrogei, hirurogei и laurogei, которые означают 20, 40, 60 и 80, в буквальном переводе — 20, 2·20, 3·20, 4·20, а также во французском слове «восемьдесят» — quatre-vingt. Аналогично в английском языке, где используется десятичная система счисления, можно заметить артефакты древности: eleven («одиннадцать») и twelve («двенадцать») происходят от one left — «остался один» и two left — «осталось два» (в том смысле, что они «остались» после 10).

* * *

Ежегодные разливы Нила (на фотографии — Нил, протекающий через Луксор) и необходимость восстанавливать границы земельных участков стали причинами возникновения математики, по мнению греческого историка Геродота, жившего в V веке до н. э.

* * *

Может показаться, что большие числа появились лишь недавно, а в античных текстах и записях упоминаются лишь сравнительно малые числа, но это совершенно не так. В Оксфордском университете хранится египетский папирус, возраст которого составляет около 5000 лет, с записью о победе фараона Нармера над ливанцами к западу от дельты Нила. В папирусе указано, что египтяне увели 120000 пленных, 400000 волов и 1422000 коз. Сотни тысяч и миллионы также упоминаются в древнеегипетской «Книге мертвых».

Папирус из «Книги мертвых»— сборника религиозных текстов, в котором упоминаются большие числа.

Хотя числа были известны в большинстве культур (пусть и различных систем счисления), дроби практически нигде не использовались. Египтяне рассматривали исключительно дроби вида 1/n; вавилоняне, которые располагали инструментарием, близким к современному, опирались на шестидесятеричную систему (по основанию 60).

Десятичная система, которая в наше время используется для записи дробей, — современное изобретение. В XVI веке математик Симон Стевин опубликовал небольшой труд, в котором изложил, как следует использовать десятичную систему.

Вычисления и вычислительная техника во все времена развивались параллельно с развитием технологий и систем счисления. Применение папируса оказало непосредственное влияние на исчисление и счет в Древнем Египте: система счисления была изменена так, чтобы ее легко было использовать в расчетах на папирусе.

Римская система счисления, напротив, была очень неудобна при записях на бумаге, поэтому для расчетов в этой системе счисления широко использовался абак.

Страница из книги Симона Стевина De Thiende («Десятая»), опубликованной в 1585 году, в которой предлагается новая система обозначений для записи десятичных чисел.

Область, охватывающая долины рек Тигр и Евфрат на территории современного Ирака, была известна в Древней Греции под названием Месопотамия, что в дословном переводе означало «междуречье». Благодаря расположению между двух полноводных рек регион отличался плодородной почвой. Именно в этом районе образовалась одна из древнейших цивилизаций в истории человечества. Примерно в 3000 году до н. э. в Междуречье возникла письменность, ставшая отражением культуры шумеров. Первые знаки этой письменности представляли собой пиктограммы, графические обозначения предметов, на смену которым позднее пришла клинопись. И вновь причиной изменений стали технологии: новая письменность возникла благодаря появлению новых материалов.

Знаки клинописи записывались на табличках из сырой глины. Изначально знаки наносились палочками из тростника, позднее — клиновидными деревянными палочками (отсюда и название). Эту письменность можно подробно изучить, так как, к счастью, многие таблички прекрасно сохранились. До наших дней дошло примерно 400 000 глиняных табличек из Месопотамии, которые хранятся в музеях всего мира. 400 из них содержат информацию, имеющую отношение к математике. Древнейшие из этих табличек были найдены в городе Урук.

Пример клинописи на шумерской глиняной табличке, датируемой 2600 годом до н. э. На табличке записан договор купли-продажи дома и прилежащего участка.

* * *

Археологический центр Урука — города, где предположительно возникли бухгалтерия и счет.

* * *

Система счисления, созданная в Месопотамии, использовалась достаточно долго, так как распространилась за пределы шумерской культуры. Народы, переселявшиеся в Месопотамию, становились рабами местных жителей, но впитывали их культуру, что в достаточной степени доказывает ее превосходство.

Символы клинописи для обозначения чисел.

В Вавилонии использовалась шестидесятеричная система счисления, то есть система счисления по основанию 60, в которой каждая цифра соответствовала числу от 0 до 59. Эта система счисления была позиционной: значение одного и того же символа в ней отличалось в зависимости от того, на каком месте он находился. В случае с шестидесятеричной системой значение каждого символа умножалось на 60 в соответствующей степени. Чтобы проиллюстрировать принцип этой системы счисления, рассмотрим в качестве примера число, состоящее из трех шестидесятеричных цифр: (3, 3, 3). В этом числе значение, соответствующее цифре 3, зависит от ее положения. Первая слева цифра 3 соответствует значению 3·60·60, вторая цифра 3 соответствует значению 3·60, третья — значению 3. Следовательно, в десятичной системе счисления это число будет записываться так: 3·60·60 + 3·60 + 3 = 10983.

Названия вавилонских чисел.

Существует несколько теорий, объясняющих происхождение этой системы счисления. Георг Кевич, исследователь ассирийской цивилизации, в 1904 году опубликовал свое доказательство того, что шести десятеричная система счисления является результатом смешения двух предшествующих систем: по основанию 6 и по основанию 10. Однако Джордж Ифра, более поздний труд которого «Всеобщая история чисел» считается классическим, полагает, что гипотеза о системе счисления по основанию 6 не подкреплена фактами, так как эта система почти не использовалась. Согласно его теории, шести десятеричная система воз¬ никла в результате смешивания системы по основанию 12 и системы по основанию 5. Существуют документальные подтверждения тому, что использовались обе эти системы. Если внимательно рассмотреть шумерские числа от 1 до 10, создается впечатление, что в названиях чисел 6, 7 и 9 скрыты следы системы счисления по основанию 5.

Обложка английского издания монументальной «Всеобщей истории чисел», автором которой является историк математики Джордж Ифра.

Следующая таблица взята из «Всеобщей истории чисел». Заметим, что иа — шумерское слово, означающее «пять», используется как основание для представления других чисел путем сложения. Так, шумерское число 6 звучит как иа-хеш, где иа — 5, хеш — 1. Следовательно, на языке шумеров 6 выражалось составным словом «пять-один», что наводит на мысль об использовании пятеричной системы счисления.

Вавилонская система счисления была очень гибкой. Тройка (a, b, с) могла обозначать как а·60² + b·60 + с, так и другое число, в котором используются три последовательные степени числа 60, например а + b·60^-1 + с·60^-2. Так как с помощью отрицательных степеней можно представить дроби, в последнем случае число (1, 2, 3) соответствует числу 1 + 2/60 + 3/(60·60). Следовательно, с помощью этой системы счисления можно представлять дроби с очень большой точностью.

* * *

Астрономические часы в итальянском городе Брешиа.

* * *

Однако позиционная система счисления обладает одним недостатком: в ней нужно как-то представить отсутствие значения. В эпоху, когда ноль был неизвестен, устранить это неудобство было не так-то просто. Для обозначения разряда, не содержащего значение, вавилоняне использовали определенный символ. Позднее, примерно в 130 году в Александрии Птолемей использовал для этих целей омикрон — пятнадцатую букву греческого алфавита, внешне напоминающую современную букву О.

В вавилонской системе счисления сохранились связи с пиктографическим письмом, которое бытовало в прошлом и повлияло на внешний облик символов для обозначения цифр. В Вавилоне существовали архаичные и примитивные, но очень эффективные счетные машины. Принцип их действия базировался на размещении в определенном порядке различных предметов, соответствовавших величинам: один предмет обозначал единицу, другой — десяток, третий — шестьдесят и так далее.

Таким образом можно было совершать сравнительно сложные вычисления, достаточные для практических нужд. Судя по всему, символы первой письменной нотации напоминали очертания этих предметов.

Эта теория подтверждается различными открытиями. С начала раскопок дворца Нузи в 1896 году в 90 километрах от Тигра, вблизи современного иракского города Киркук было найдено 5000 клинописных табличек XV и XIV века до н. э. и 200 более древних — XXIV и XXIII века до н. э. Во дворце также был найден глиняный сосуд яйцевидной формы, внутри которого находился ряд одинаковых фигур сферической формы. На сосуде была сделана надпись, обозначавшая количество голов скота.

Знаменитая табличка Плимптон 322, созданная в период с 1824 по 1784 год до н. э., содержит ряд чисел в шестидесятеричной системе счисления, записанных в четыре столбца.

Ровно столько же глиняных фигурок находилось внутри сосуда. В Сузах, городе, который располагался на территории современного Ирана и считается одним из старейших городов мира, были найдены глиняные сосуды с надписями, внутри которых находились различные диски, конусы, шарики и палочки. Когда значение надписей было расшифровано, стало понятно, что они соответствуют определенным числам.

Вавилонская система исчисления была очень развитой. В этом можно убедиться на примере множества табличек, где записана различная информация, связанная с математикой. На многих из них изображены таблицы с числами. Были найдены таблицы умножения, возведения в квадрат и куб, а также таблицы обратных чисел. В некоторых таблицах обратных чисел отсутствуют обратные числа для 7 и 11, которые в системе счисления по основанию 60 записываются бесконечным числом знаков. В других таблицах приводятся приближенные значения этих чисел, большие или меньшие истинных значений. На некоторых были записаны таблицы квадратных корней и степеней чисел. Считается, что таблицы степеней использовались для расчетов логарифмов. Если в таблице не приводилось число, обратное заданному, оно вычислялось с помощью линейной интерполяции чисел, содержащихся в таблице.

Далее приведена таблица умножения на 9, записанная на глиняной табличке, найденной в Ниппуре, которая в настоящее время хранится в Иенском университете. Числа, зафиксированные на табличке, перевела в современную систему счисления историк математики и науки Кристин Пруст. Эта таблица обладает интересными свойствами.

Например, число (1,3), соответствующее умножению 9·7, понимается как 1·60 + 3 = 63; число (7, 30), которому соответствует 9·50, понимается как 7·60 + 30 = 420 + 30 = 450.

В следующем примере, также адаптированном госпожой Пруст, приведена таблица обратных чисел с еще одной таблички, найденной в Ниппуре. В этой таблице 20 означает 20·60^-1 = 20/60 = 1/3.

Для вычисления квадратного корня вавилоняне использовали алгоритмический метод, известный в наше время как метод бисекции. Его авторство приписывается многим философам и математикам, среди которых Архит Тарентский и Герон Александрийский. Этот метод также упоминается как метод Ньютона, однако достоверно известно, что его использовали вавилоняне.

Для данного числа N, из которого мы хотим извлечь квадратный корень, находится два приближенных значения а₁ и Ь₁ квадрат одного из которых больше N, другого — меньше. Далее рассчитывается значение а₂ = (a₁ + b₁)/2, после чего его квадрат сравнивается с N. Если он больше N, то а₂ заменяет прежнее значение, большее N. Если же он меньше N, а₂ заменяет меньшее из значений. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено число, квадрат которого точно или с достаточной точностью равен N.

Вавилоняне также умели решать системы уравнений и уравнения второй степени с вещественными корнями. Эти задачи упоминаются в текстах, датируемых примерно 2000 годом до н. э. «Протоматематики» Вавилонии также умели решать некоторые уравнения третьей степени. Уравнения вида x³ = а или х³ + х² = с решались с помощью таблиц. Более сложные уравнения, имевшие вид ах³ + Ьх² = с, сводились к уравнениям первых двух видов.

Анализ вавилонских текстов показывает, что математика была для вавилонян не просто средством решения практических задач. В этом заключается ее фундаментальное отличие от древнеегипетской математики, которая считалась намного более утилитарной. Вавилоняне достигли значительных успехов в арифметике и алгебре, но в отличие от египтян не преуспели в геометрии. Знания геометрии в Вавилонии касались лишь немногих фигур, в частности треугольников и четырехугольников.

* * *

* * *

Однако труды вавилонян, посвященные окружностям, сохранились до наших дней. Именно вавилоняне разделили окружность на шесть частей построением окружностей радиуса, равного радиусу исходной окружности. Каждая из этих частей делилась на 60; таким образом, вся окружность делилась на 360 градусов. Так как использовалась шести десятеричная система, то градусы делились на 60 минут, минуты — на 60 секунд. В качестве приближенного значения π использовалось значение π = 3, хотя в табличке, найденной в Сузах, путем сравнения периметра шестиугольника и длины окружности получено значение π = 31/8.

Построение шестиугольника, вписанного в окружность. Сторона шестиугольника равна радиусу окружности.

В древнеегипетской системе счисления для степеней десяти использовались отдельные символы. Так, существовали особые символы для единиц, десятков, сотен и так далее.

Египетская система счисления, в отличие от вавилонской, не была позиционной. Далее мы продемонстрируем иероглифы, соответствующие наиболее часто используемым числам.

Египетская система счисления была аддитивной, в отличие от нашей системы счисления, которая, подобно вавилонской, является позиционной. В аддитивной системе счисления, например, число 3204 представляется в виде 1000 + 1000 + 1000 + 100 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1. В виде египетских иероглифов оно записывается так:

С помощью этой системы можно было записывать большие числа. Кроме того, упрощались операции сложения и вычитания. При сложении чисел значения «переносились» в старший разряд, при вычитании — «забирались» из старших разрядов. Умножение сводилось к сложению и вычитанию интересным, но непростым способом.

Рассмотрим, как выполнялось умножение, на примере чисел 17 и 53. Нужно взять пару чисел 1 и 53 и удвоить их. Результатом удвоения будут числа 2 и 106. Повторив эту операцию, получим 4 и 212. Нужно удваивать числа до тех пор, пока первое из них не превысит 17. После этого процесс прекращается, а результат, полученный на последнем шаге, игнорируется. Результатом этих действий в нашем примере будут следующие пары чисел.

Теперь нужно определить, как можно получить 17 путем сложения чисел из первого столбца. Единственный возможный способ получить 17 — сложить 1 и 16. Следовательно, для получения результата умножения нужно сложить значения, записанные справа от 1 и 16, то есть 53 и 848. Их сумма равна 901. Таким образом, результат умножения 17 на 53 равен 901.

Можно заметить, что число 17 рассматривается как сумма степеней двойки, а те, в свою очередь, умножаются на 53. Так, разложение числа 17 выглядит следующим образом: 17 = 2⁰ + 2⁴. При сложении в качестве слагаемых выбираются значения (2⁰ + 2⁴)·53, остальные произведения, 2¹·53, 2²·53 и 2³·53, не используются, так как не входят в разложение числа 17. Этот алгоритм аналогичен тому, что используется в компьютерах. Результат этого алгоритма верен, поскольку представить любое число в виде суммы степеней двойки можно единственным образом. Следовательно, в нашем примере существует единственное множество значений, сумма которых равна 17. Поэтому значения из правого столбца таблицы, которые мы складываем, также можно выбрать только одним способом. Этот метод умножения известен под названием египетского умножения.

Деление выполнялось как операция, обратная умножению. В качестве примера приведем те же числа. Попробуем разделить 901 на 17. Результат должен равняться 53. Результатом деления является целое число без знаков после запятой.

В качестве исходных берется знаменатель 17 и 1. Далее аналогично прошлому примеру оба эти числа удваиваются. Результатом будет 34 и 2. Далее это действие повторяется, результат будет равен 68 и 4. Эти действия повторяются до тех пор, пока первое значение не станет больше числителя, который в нашем примере равен 901. Когда первое значение становится больше числителя (901), полученная пара чисел игнорируется. Результат алгоритма приведен ниже.

Следующая пара чисел — 1088 и 64 — отбрасывается, так как первое число больше 901. Далее нужно подобрать такие числа из первого столбца, чтобы их сумма равнялась 901. В нашем примере это 544, 272, 68 и 17 (так как 544 + 272 + 68 + 17 = 901). Сумма соответствующих им чисел из правого столбца и будет результатом деления. Результат равен 32 + 16 + 4 + 1 = 53.

Как и в случае с умножением, разложение числа 901 является единственным. Мы представили 901 как сумму степеней двойки, умноженных на 17, при этом сумма этих степеней двойки равна 53. Результатом деления в этом случае является целое число. В случаях когда это невозможно и результат содержит несколько знаков после запятой, в этом алгоритме учитываются дроби. Однако алгоритм работы с дробями, который использовали египтяне, был намного сложнее современного. За некоторыми исключениями, рассматривались только дроби вида 1/n, то есть дроби, числитель которых равен 1. Любопытно, что причиной этому было ограничение, вызванное способом записи дроби: сначала записывался символ для обозначения дроби, затем — символы, соответствующие числу в знаменателе. Информация о числителе не записывалась, поэтому он мог равняться только единице.

Для обозначения дроби египтяне использовали этот символ:

Рядом с ним записывался знаменатель, в нашем примере это 21:

Так египтяне записывали дробь 1/21.

Мы упомянули, что существовали дроби с числителем, отличным от 1. Речь идет о дроби 2/3, которая обозначалась отдельным символом, и о дроби вида n/(n + 1), обратной дроби (1 + 1/n). Иными словами, 1/(1 + 1/n) = 1/((n + 1)/n) = n/(n + 1).

Важность дробей и действий с ними четко прослеживается в папирусе Ахмеса, который начинается с представления дроби 2/n в виде суммы 1/x + 1/y + … + 1/z для всех нечетных n от 5 до 101. Далее приводятся аналогичные представления для дробей вида n/10 при n от 2 до 9.

* * *

* * *

Папирус Ахмеса содержит информацию о выполнении действий с дробями, а также позволяет получить представление о типичных задачах, которые решали египтяне, и о способах их решения. Первые задачи папируса Ахмеса — это задачи о делении чисел на 10. При их решении использовалась уже упомянутая таблица чисел вида п/10. Далее приводятся некоторые задачи из арифметики и геометрии, а также задачи, которые можно решить с помощью линейных уравнений вида ах + Ьх = с. Некоторые из задач папируса Ахмеса содержат неизвестные, возведенные в квадрат (в современной нотации), однако, несмотря на это, считается, что египтяне не умели решать уравнения второй и третьей степени.

Большинство задач решаются методом, который сейчас известен как метод ложного положения. Лишь задача 30 решается современным способом — с помощью факторизации и деления. Чтобы объяснить метод ложного положения, рассмотрим в качестве примера задачу 24, которая в наши дни решается с помощью линейного уравнения. Задача звучит так:

«Определите цену кучи, если куча и седьмая часть кучи стоит 19».

В современной нотации условие задачи записывается так: х + 1/7х = 19.

Метод ложного положения заключается в следующем. Мы предполагаем, что неизвестная равна определенному числу, и вычисляем результат для этого значения неизвестной. Так как выбранное нами значение неверно, результат также будет ошибочным, поэтому мы скорректируем значение переменной так, чтобы получить верный результат. Допустим, что цена кучи в нашей задаче равна 7, то есть х = 7. Цена кучи и ее седьмой части будет равна 8. Иными словами, при х = 7х + 1/7x = 8. Далее нужно определить, как следует изменить выбранное нами значение 7, чтобы результат выражения был равен 19, а не 8. Нужно умножить 8 или х на 19/8. Используя только дроби с числителем, равным 1, получим, что 2 + 1/4 + 1/8 = 19/8. Умножив 7 на (2 + 1/4 + 1/8), получим 16 + 1/2 + 1/8. В папирусе также показывается, что это решение верно, так как это значение и его седьмая часть в сумме дают 19.

* * *

* * *

Все эти расчеты можно было выполнить благодаря изобретению папируса. Ранее использовались таблички из глины, воска и других материалов и выполнять подобные операции на них было сложно и неудобно. Египтяне могли писать на папирусе почти так же, как мы делаем записи на бумаге. Для записи на папирусе было создано иератическое письмо — упрощенное иероглифическое письмо, которое использовали писцы в государственных учреждениях. Позднее появилось демотическое письмо, которое, как следует из названия, использовали простолюдины («демос») в повседневной жизни, а иератическое письмо применялось только для записи религиозных текстов. В ходе упрощения письма форма записи чисел изменилась, и стало возможным появление цифр.

Папирус Эберса (слева), датируемый XVI веком до н. э. Он содержит медицинский текст и является примером иератического письма. В отличие от него Розеттский камень, датируемый II веком до н. э., содержит три типа письма: иероглифическое, демотическое и греческое.

В демотическом письме была решена проблема исходной египетской нотации, в которой каждая степень 10 обозначалась отдельным символом, поэтому для записи, например, числа 9 требовалось девять раз записать символ единицы, для записи числа 99 — девять раз записать символ десятки и девять раз — символ единицы. В демотическом письме были введены отдельные символы для чисел от 1 до 9, для десятков от 10 до 90, аналогично для остальных степеней десяти. Для представления чисел требовалось запоминать соответствующие символы. Может показаться, что запомнить столько символов было непросто, но это не было чем-то непривычным для египетских математиков. Например, для записи сумм и разностей в папирусе Ахмеса используются изображения камней на разных позициях.

Фундаментом греческой математики были вавилонская и египетская математика. Математические методы, созданные египтянами, попали в Грецию благодаря торговле, достигшей расцвета в период между 700 и 600 годом до н. э. Это был золотой век обмена знаниями, когда многие греческие математики совершали путешествия в Египет, чтобы познать секреты тысячелетней мудрости.

Возможно, под влиянием Египта греческие математики проявляли особый интерес к геометрии. В итоге они не просто дополнили геометрию, а вывели ее на принципиально иной уровень. Как и в других областях знания, греки придали математике строгость и абстрактный характер, сделав ее наукой в современном смысле этого слова. В Древнем Египте математические свойства не доказывались: за основу брались конкретные примеры, а свойства выводились из практических наблюдений.

Греки, напротив, стремились найти причину каждого явления и доказать математические свойства, исходя из аксиом. Египтяне искали решения практических задач, а греки обожали знание ради самого знания и занимались математикой не потому, что она была полезной для чего-либо.

С другой стороны, влияние вавилонян прослеживается в греческой астрономии. Именно через Древнюю Грецию вавилонская шестидесятеричная система дошла до наших дней. Слова «минута» и «секунда» имеют греческое происхождение, но в современные языки они попали из латыни. Они впервые упоминаются в источнике XIII века, где одна шестидесятая часть обозначалась как «первая меньшая часть», шестидесятая часть от шестидесятой части — «вторая меньшая часть» и так далее. На латыни эти фразы звучат как pars minuta prima, pars minuta secunda и так далее. Так появились знакомые нам слова «минута» и «секунда». Следует заметить, что в действительности эти слова дошли до наших дней несколько более сложным путем. Латинский текст XIII века был переведен не с греческого, а с арабского подстрочника исходного греческого текста. И снова мы видим, что наследие Античной Греции стало известно западной цивилизации благодаря арабам, бережно охранявшим его на протяжении веков.

Греческая система счисления появилась около 500 года до н. э. в Ионии и была схожа с египетской иератической системой. Например, числа от 1 до 9 обозначались отдельными символами; десяткам от 10 до 90 и сотням от 100 до 900 также соответствовали отдельные символы. В качестве символов использовались буквы греческого алфавита и три буквы финикийского алфавита: дигамма (обозначавшая 6), коппа (обозначавшая 90) и сампи (обозначавшая 900).

С помощью греческих символов можно было записать любое число от 1 до 999.

Для записи тысяч использовались те же символы, перед которыми ставилась запятая. Так, выражение «α» обозначало 1000, «β» — 2000 и так далее. Эта система счисления, как и египетская, была аддитивной; таким образом, число ρκε обозначало 125, так как ρκε = ρ + κ + ε = 100 + 20 + 5. В следующей таблице приведены буквы, соответствующие основным числам.

Для представления чисел, кратных 10000, вплоть до 99990000, использовалась буква М: перед ней записывалось число, которое затем умножалось на 10000.

Буква М обозначала 10000 и происходила от слова «мириада» (греч. myriás — μυριασος), означавшего «сто сотен». В альтернативной записи буквы записывались над буквой М. Например,

а также

Для записи еще больших чисел использовались две буквы М, означавшие 10 000².

В египетской нотации порядок следования цифр не имел значения, однако в греческой нотации цифры записывались слева направо, как при письме. Цифры, записанные слева, имели больший «вес». Благодаря этому стало возможным отказаться от запятых: они не записывались, если значение числа можно было однозначно понять без них. Однако числа записывались буквами, поэтому иногда их было непросто отличить от обычного текста. Для этого греки ставили пометку в конце числа или добавляли горизонтальную черту поверх него. Так, число 871 записывалось как

или как

Эта нотация не способствовала развитию исчисления и записи чисел на бумаге.

Считается, что для решения арифметических задач греки использовали главным образом абак, а математики должны были использовать символы.

Умножение в Древней Греции выполнялось иначе, чем в наши дни. Сегодня мы складываем произведения первого множителя на каждую из цифр второго множителя. Греки, напротив, умножали второй множитель на каждую цифру первого. Так как вместо цифр использовались символы, значение которых зависело от позиции (в записи «πσ» π означало 80, а не 8), результат при промежуточном умножении получался сразу, без дополнительных действий.

Допустим, мы хотим вычислить произведение 24·53 (в греческой нотации это эквивалентно произведению κδ и νγ). Сначала нужно умножить κ, то есть 20, на цифры числа 53, то есть 20·ν и 20·γ (в современной нотации — 20·50 и 20·3). Далее аналогично рассматривается вторая цифра первого множителя: 8, обозначающая 4, умножается на ν, затем 8 умножается на γ (в современной нотации 4·50 и 4·3).

Затем промежуточные результаты складываются. В современной нотации это записывается так:

24·53 = (20 + 4)·(50 + 3) = 20·50 + 20·3 + 4·50 + 4·3 = 1272.

В графическом виде умножение в греческой нотации выглядит так:

Использование 27 символов затрудняло вычисление промежуточных результатов, так как греческая таблица умножения должна была содержать 27·27 = 729 ячеек. Считается, что именно по этой причине решающую роль в развитии вычислений сыграл абак. Греческие абаки представляли собой таблички из нескольких столбцов, в которых располагались камешки или фишки. Каждому столбцу соответствовала степень 10; также имелись отдельные столбцы для дробей.

Этот абак, который представляет собой мраморную табличку, был найден на греческом острове Саламин в 1846 году.

Ученым удалось изучить эти таблички, так как некоторые образцы, например абак с острова Саламин, дошли до наших дней и, кроме того, содержат информацию о значениях, соответствующих столбцам. В этом абаке с острова Саламин каждый столбец означает определенное количество греческих монет. Большие столбцы обозначают (справа налево) 1, 10, 100, 1000 и 10 000 драхм, затем 1, 10, 100, 1000 и 10 000 талантов (один талант равнялся 6000 драхм). Малые столбцы соответствуют дробям. Использовались следующие дробные части драхмы: обол (один обол равнялся 1/6 драхмы), половина обола, четверть обола и халкус (один халкус равнялся 1/8 обола). Камешки, расположенные под линией, обозначают единицу; расположенные над линией — пять единиц. Следовательно, на следующей схеме представлено число 502158 + 2 обола + + 1/2 обола + 1 халкус.

При сложении с помощью абака камешки ставились рядом в соответствии с их позицией. Когда в нижней части накапливалось пять единиц, они заменялись одной единицей в верхней части, а две единицы в верхней части заменялись одной единицей в следующем разряде. При вычислениях с помощью абака следовало помнить, что 6000 драхм равняются одному таланту, а 6 оболов — одной драхме.

Таблица из «Альмагеста» — труда по астрономии, написанного Клавдием Птолемеем во II веке, в котором используются дроби.

Как и вавилонянам, грекам были известны шести десятеричные дроби, о чем упоминает Птолемей в своем «Альмагесте», однако в математических вычислениях греки использовали египетскую систему. В комментариях к трактату Архимеда Евтокий Аскалонский использует

для обозначения 1838 + 1/9 + 1/11, а

для обозначения 2 + 8/11 + 8/11 + 1/99 + 1/121.

Геометрия в Древней Греции находилась на очень высоком уровне развития, и грекам удалось получить более точную оценку числа π, чем их предшественникам. Архимед доказал, что число π лежит в интервале 3 + 10/71 = 223/71 < π < 3 + 1/7 = 22/7 (что соответствует среднему значению 3,141851), а Птолемей получил приближенное значение, равное 3,141666. Эти значения были получены с помощью двух правильных многоугольников (вписанного и описанного).

Гоавюры, посвященные Архимеду (слева) и Птолемею (справа).

Архимед исходил из того, что шестиугольник, вписанный в окружность единичного радиуса, имеет периметр, равный 6, а описанный шестиугольник — 4·√3. Следовательно, число π лежит в интервале от 3 до 2·√3. Он учитывал, что квадратный корень из 3 удовлетворяет следующему неравенству: 265/153 < √3 < 1351/780. Далее он перешел к правильным многоугольникам с большим числом сторон. Выбрав в качестве исходной фигуры шестиугольник, Архимед последовательно удваивал число его сторон, рассмотрев правильные многоугольники с 12, 24, 28 и 96 сторонами. С помощью правильного 96-угольника он получил приближенное значение 6336/(2017 + 1/4)< Я < 14688/(4673 + 1/2). Так как 3 + 10/71 < 6336/(2017 + 1/4) < π < 14688/(4673 + 1/2) < 3 + 1/7, он выбрал эти два значения в качестве границ интервала, в котором находится π. Птолемей рассматривал многоугольник с 360 сторонами.

Простые числа — это натуральные числа, которые делятся только на единицу и сами на себя. Единица по определению не считается простым числом. Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел единственным образом (без учета перестановок множителей). Так, например:

120 = 5·3·2·2·2 = 2·5·2·2·3.

* * *

* * *

Греки изучили простые числа подробнейшим образом: они дали им определение и доказали их важнейшие свойства. Считается, что они были известны древним египтянам, однако не сохранилось никаких результатов, связанных с простыми числами, которые были бы получены предшественниками древних греков.

В 300 г. до н. э. Евклид, который работал в Александрии во времена правления Птолемея I (323–283 гг. до н. э.), в эпоху слияния египетского и греческого, обнаружил самое удивительное и важное свойство простых чисел. Он изложил его в своем трактате «Начала геометрии» — одном из важнейших трудов в истории математики. В нем заложены основы евклидовой геометрии, которая использовалась во всем мире на протяжении следующих двух тысяч лет. В предложении 20 книги IX «Начал» доказывается, что простых чисел бесконечно много.

Евклид рассматривает множество простых чисел S = {р₁, р₂…, р_n} и показывает, что число N = p₁·р₂·… ·р_n + 1 не делится на р₁, поскольку при делении на p₁ остаток равен 1. Аналогично N не делится на р₂ …., р_n, так как при делении N на р₂…,р_n остаток будет равен 1. Следовательно, N либо простое, либо является произведением простых чисел, не содержащихся в S. Таким образом, множество S не содержит в себе все простые числа. Так как S было выбрано произвольно, конечного перечня простых чисел не существует. Как следствие, перечень простых чисел бесконечен.

Фрагмент «Афинской школы» Рафаэля, на котором изображен автор знаменитых «Начал геометрии» Евклид.

Математика и математическая нотация в Древнем Риме не были столь развитыми, как в Греции и Вавилоне. Центр империи, столь плодородной в других областях, не подарил миру ни одного выдающегося математика. Во времена Рима важные события в математике происходили не в столице, а на периферии, в районах, где ощущалось влияние Греции и продолжались традиции греческой математики. Считается, что римская математика принадлежит к совершенно обособленной традиции и не связана ни с греческой, ни с вавилонской, а имеет этрусское происхождение. Основными авторами этого периода, продолжавшими греческие традиции, были Клавдий Птолемей, автор уже упомянутого «Альмагеста», Диофант и Папп Александрийский.

Диофант был автором книги под названием «Арифметика», Папп написал восемь книг с комментариями к трудам классических авторов.

Сам Цицерон признавал ограниченность римской математики в своих «Тускуланских беседах». Он пишет:

«Далее, выше всего чтилась у греков геометрия — и вот блеск их математики таков, что ничем его не затмить; у нас же развитие этой науки было ограничено надобностями денежных расчетов и земельных межеваний» («Тускуланские беседы», I, 5).

Пон-дю-Гар. Фотография Эдуарда Бальдю, середина XIX века. Этот акведук, который также служил мостом для экипажей, был построен римскими инженерами, которые в своих работах использовали математические знания Античности.

Однако этот вопрос, как и любой другой, следует рассматривать в перспективе. Возможно, римляне не совершили значительных открытий в математике и вычислениях, и греческая математика осталась непревзойденной. Однако нет никаких сомнений в том, что римляне были великими инженерами древности, а это невозможно без глубоких знаний математики. Многие из их инженерных и архитектурных шедевров сохранились до наших дней благодаря тому, что при их постройке использовались удивительные решения, и, разумеется, благодаря обширным знаниям математики, которые применялись при строительстве. Как следствие, римляне создали множество текстов о технологии строительства, среди которых стоят особняком работы самого известного архитектора — Витрувия.

Римская нотация очень популярна, так как она широко используется и поныне. Римские цифры приведены в таблице ниже.

Позднее, после изобретения книгопечатания, символ |) был заменен на D. (|) — на М. Также были созданы обозначения для больших чисел. Черта, проведенная над числом, означала умножение на 1000; вертикальные черты с двух сторон — умножение на 100. Например, |LV | означало 5500. Кроме того, была введена запись меньших цифр слева, равносильная вычитанию. Например, ХС записывалось вместо LXXXX, а IV — вместо IIII.

* * *

Издание «Об архитектуре» Витрувия 1561 года.

* * *

Выполнять арифметические действия с римскими цифрами было непросто. Вероятно, вычисления производились с помощью абаков или табличек, а римские цифры использовались только для записи исходных значений и результатов. Римские таблички для вычислений напоминали греческие. На табличках были нанесены линии; камешки, расположенные на линиях, соответствовали единицам, а те, что располагались между линиями, — 5 единицам. Таблички делились на две части. В правой части записывалось число, которое требовалось прибавить, в левой части — результат.

На иллюстрации, приведенной ниже, слева записано число 2907, справа — 43. Результат получался перемещением всех камушков в левую часть и последующим сдвигом (5 камней на линии были эквивалентны одному камню между линиями, два камня между линиями — одному камню на линии выше). В нашем примере результат сложения равен 2950.

Помимо табличек, римляне также использовали разновидность абака — металлические или деревянные таблички с бороздками, в которых располагались небольшие камни, обозначавшие числа. Может показаться парадоксальным, но эти камушки сыграли большую роль в математике: латинское слово «камень» звучало как calx, а от его уменьшительной формы, calculus, означавшей «небольшой камень», или «камушек», в частности, происходит современное слово «калькулятор».

У греческих математиков в Римской империи не нашлось достойных последователей. Великие открытия, совершенные в течение этого длительного периода продолжительностью почти в восемь столетий, были заслугами математиков Древней Греции. В то время одним из важнейших научных центров была Александрия, где располагались музей и библиотека. Некоторые известные греческие математики, жившие в эпоху заката Римской империи, работали именно в Александрии.

Уже упомянутый Папп Александрийский, живший в начале IV века, попытался обновить греческую математику и создал сборник комментариев и толкований классических текстов. В его трудах приведены более подробные доказательства, которые помогают читателю понять труды древних. К сожалению, его идея окончилась неудачей: за ним последовали лишь немногие известные математики.

* * *

На этом фрагменте «Афинской школы» Рафаэля изображена Гипатия Александрийская в белой тунике.

* * *

Одним из немногих блестящих математиков, живших позднее Паппа, была знаменитая Гипатия, среди трудов которой выделяются комментарии к Аполлонию Пергскому («О конических сечениях») и к «Арифметике» Диофанта. Она также помогла отцу при написании комментариев к «Альмагесту» Птолемея. После убийства Гипатии в 415 году, отдавшей жизнь ради науки, и разрушения Александрийского музея и библиотеки в IV–VII веках (точное время неизвестно) наследие греческих математиков было предано огню и похоронено под руинами, откуда его бережно извлекли арабы.

Математика сыграла фундаментальную роль в истории Китая, полной научных и технических открытий, часто опережавших свое время. Со времен династии Хань (206 г. до н. э. — 220 г. н. э.) условием получения государственной должности была успешная сдача непростого экзамена, а не семейные связи, как можно было бы ожидать.

В таких экзаменах особое внимание уделялось классической китайской литературе, а также, что примечательно, математике. Может показаться невероятным, но эти экзамены сохранились до наших дней. Разумеется, их целью была не оценка творческих способностей в математике. Как правило, при подготовке к экзамену требовалось заучить определенные задачи и их решения. Логично, что в Китае разделяли типично восточные взгляды на науку, свойственные вавилонянам и египтянам, которые рассматривали науку с чисто практической точки зрения. Несмотря на это, ничто не могло помешать представителям столь богатой культуры совершить собственные математические открытия в поиске новых, более эффективных методов решения всё более и более сложных задач.

Важнейшим математическим трудом Древнего Китая является «Математика в девяти книгах». Jiu zhang suanshu (так звучит название этой книги на языке оригинала) — это классический труд, который использовали многие поколения китайских математиков вкупе с комментариями и аннотациями Лю Хуэя (III в. н. э.).

В 1983 году в гробнице 186 года до н. э. было найдено 190 бамбуковых пластинок с математическими текстами. Каждая пластинка имела 30 сантиметров в длину и 6–7 миллиметров в толщину. Всего на них было записано примерно 7000 иероглифов. Пластинки изначально были скреплены между собой по порядку и свернуты, однако на раскопках гробницы они были найдены в беспорядке, поскольку соединявшие их нити истлели от времени. Ученым пришлось немало поломать головы, чтобы восстановить исходный порядок расположения пластин.

Репродукция XVIII века одной из задач китайского математика Лю Хуэя, в которой требуется измерить высоту берега острова.

После того как текст книги был восстановлен, ученые подробно изучили его и поняли, что к ним в руки попал труд величайшей важности. Он содержал задачи различных типов, в которых требовалось рассчитать налог, вычислить объем и так далее. Несмотря на практическую направленность, в этих задачах интересным образом применялся, в частности, метод ложного положения, а также алгоритмы вычисления квадратных корней. Интерес представляют и формулировки задач, подчас аллегорические.

* * *

* * *

Следующие части книги посвящены разделам китайской математики, относящимся к интересующей нас теме — к счету и системам счисления. Стоит отметить, что китайские математики совершили множество других важных открытий, которые не упоминаются в следующих главах, но тем не менее занимают важное место в истории математики. В частности, они разработали методы решения уравнений и геометрических задач о равенстве фигур.

Древнейшая форма вычислений, которая бытовала в Древнем Китае, восходит к IV веку до н. э. Для вычислений использовались палочки, известные как суань или чоу . Со временем на смену этим палочкам пришел абак. Эти палочки, которые располагались горизонтально и вертикально, обозначали цифры от 1 до 9.

Существовало две системы обозначений. В первой за основу было взято вертикальное положение палочек, что можно видеть на следующей иллюстрации, где слева направо записаны числа от 1 до 9.

Во второй системе за основу было взято горизонтальное положение палочек, как показано далее. Здесь тоже представлены числа от 1 до 9.

Эта система счисления использовалась на табличках, где для представления чисел цифры записывались по-разрядно. Например, число 4508 на такой табличке записывалось следующим образом.

Как вы можете видеть, в записи чисел участвовали обе системы одновременно: вертикально расположенные палочки обозначали единицы, сотни и так далее; палочки, расположенные горизонтально, — десятки, тысячи и следующие разряды. Если одна из цифр равнялась нулю, соответствующая позиция оставалась пустой, как вы можете видеть на примере записи числа 4508. Аналогичным образом записывались отрицательные числа. Положительные и отрицательные числа различались цветом палочек: для записи положительных чисел использовались красные палочки, для записи отрицательных — черные.

Арифметические действия выполнялись на той же табличке с теми же палочками. Сложение и вычитание производились путем добавления палочек или удаления их с доски. Были известны методы умножения и деления, а также алгоритмы выполнения других алгебраических операций, в частности нахождения корней многочленов.

Система вычислений с помощью палочек также появилась в Корее и Японии (точный период неизвестен). Известно, что эта система применялась в Японии в период правления императрицы Суйко (593–628) под названием санги.

Абак был известен в Китае начиная со II в. до н. э. под названием суаньпань. Китайский абак делился на две части: костяшки верхней части обозначали пять единиц (либо десять, сто и так далее), а каждая костяшка в нижней части обозначала единицу. Подобным образом на две части делился и римский абак. Учитывая длительную торговлю Римской империи с Китаем, некоторые исследователи всерьез полагают, что римский и китайский абак были созданы под влиянием друг друга.

Учитель объясняет ученикам китайской школы округа Чжэньцзян, как пользоваться абаком. 1938 год.

Китайский абак появился в Японии примерно в XVI веке и был известен как соробан. Он появился благодаря торговцам, однако его распространение было непростым. Лишь спустя много лет он был введен в школах и начал использоваться для решения сложных математических задач. В торговле соробан быстро заменил ранее применявшиеся устройства, однако они по-прежнему использовались в высшей математике.

Для обозначения цифр и в Китае, и в Японии (системы счисления в этих странах очень похожи) использовались девять идеограмм.

Для обозначения десятков, сотен, тысяч и следующих разрядов эти символы записывались рядом со следующими идеограммами:

При записи чисел использовались символы от 1 до 9 вместе с символами десятков, сотен и так далее. Например, число 10563 записывалось следующим образом:

что расшифровывается так:

Следует упомянуть, что в отличие от системы, используемой в большинстве европейских языков, в основе которой лежит тысяча (10³), в китайской системе в основе кратных величин лежит 10⁴. Следовательно, 132000 записывается как 13·(104) + 2000.

В виде идеограмм это число будет представлено так:

Китайцы разработали алгоритмы для вычисления числа π. Великий математик Лю Хуэй, живший около 300 года во времена царства Вэй, возникшего после распада империи Хань, первым создал метод вычисления числа π. Живший до него ученый и изобретатель Чжан Хэн (78—139), который создал прибор для определения землетрясений за 1700 лет до появления первого сейсмографа, получил приближенное значение π, равное 3,1724. Также использовались значения 3,162 (корень из 10) и 3,156. В III веке астроном Вань Фань, живший в царстве У, использовал последнее значение, равное дроби 142/45.

Первый метод, использованный Лю Хуэем для нахождения приближенного значения π, заключался в бисекции многоугольников. С помощью многоугольника с 96 сторонами он вычислил, что π лежит в интервале между 3,141024 и 3,142708. Он использовал приближенное значение, равное 157/50, так как считал значение 3,14 достаточно точным.

Китайские марки, посвященные ученым Лю Хуэю (слева) и Чжану Хэну (справа).

Лю Хуэй использовал шестиугольник со стороной L, вписанный в окружность. Далее число сторон многоугольника последовательно удваивалось. Иными словами, сначала рассматривался шестиугольник, затем 12-угольник, далее — 24-угольник (24 = 12·2), 48-угольник (48 = 24·2) и так далее. На каждом шаге Лю Хуэй вычислял площадь многоугольника с N сторонами и длину стороны многоугольника с числом сторон, равным 2N.

Будем обозначать за l длину стороны многоугольника с 2N сторонами. Используем теорему Пифагора: для данного прямоугольного треугольника с гипотенузой h и двумя катетами длиной с₁ и с₂ выполняется равенство h² = с₁² + с₂².

Вычисление длины стороны l по известному значению L, где L — длина стороны шестиугольника, I — длина стороны 12-угольника,

О — центр окружности, А и В — две вершины шестиугольника, С — новая вершина, Р — точка на стороне шестиугольника, равноудаленная от А и В. Радиус окружности равен r, расстояние от центра до Р равно R.

На рисунке обозначены центр окружности О и сторона шестиугольника (длиной L). Ее концы обозначены А и В. Точки ОАВ определяют треугольник. Далее вычисления выполняются следующим образом.

Шаг 0. Будем рассматривать многоугольник с N = 6 сторонами, длина его стороны L известна.

Шаг 1. Разделим сторону АВ на две равные части. Обозначим середину стороны АВ точкой Р.

Шаг 2. Вычислим длину отрезка ОР и обозначим ее длину за R. Для этого применим теорему Пифагора. Нам известно, что гипотенуза треугольника ОАР равна r, один из катетов равен L/2, длина другого, которую мы хотим вычислить, равна R. По теореме Пифагора г² = R² + (L/2)². Отсюда имеем R² = r² — (L/2)², следовательно

Шаг 3. Рассмотрим радиус окружности, который проходит через точку Р. Точка пересечения этого радиуса и окружности будет вершиной многоугольника с 2N сторонами. Обозначим эту точку С. Зная R, мы можем вычислить длину отрезка PC. Обозначим ее за р. Так как длина ОС равна r, длина PC равна

Шаг 4. Длину отрезка АС можно определить по теореме Пифагора. Как мы уже говорили, будем обозначать длину этого отрезка за l. В рассматриваемом прямоугольном треугольнике гипотенуза равна l, катеты — L/2 и р. Следовательно,

Шаг 5. Выразив l из последнего равенства, получим длину многоугольника с 2N сторонами:

Шаг 6. Площадь многоугольника с N сторонами можно вычислить на основе площади треугольника ОАВ. Площадь многоугольника будет в N раз больше площади этого треугольника. Площадь треугольника ОАВ, очевидно, равна половине произведения его основания на высоту. Длина основания АВ равна L, высота равна R (это значение мы уже вычислили). Следовательно, площадь многоугольника равна

Шаг 7. Далее нужно вернуться к шагу 2 и принять N = 2N, L = l. Чтобы определить значение π, нужно учесть, что площадь круга равна π·r². Следовательно, для r = 10 площадь круга равна π·100.

Если начать с r = 10 (в этом случае L = 10), с помощью вышеприведенного алгоритма мы получим значения площадей, представленные в таблице ниже. В этой таблице используется современная нотация, Лю Хуэй в своих расчетах применял дроби. Он заметил, что для данного многоугольника с 2N сторонами длиной l, построенного на основе многоугольника с N сторонами длиной L, площадь круга (обозначим ее за С) удовлетворяет следующему неравенству:

Избыток в этом неравенстве соответствует 2N треугольникам площадью р·(L/2)/2. Напомним, что р = r — R. Получим значение избытка, равное 2·N·(р·(L/2))/2. Эти значения также приведены в таблице. Разница между площадью 96-угольника и 192-угольника очень мала, поэтому Лю Хуэй счел π = 3,14 достаточно точным.

Лю Хуэй заметил, что между последовательными избытками наблюдается определенное соотношение. В частности, он установил, что отношение между данным и следующим избытком примерно равно 1/4 = 0,25. Эти отношения представлены в таблице ниже. Используя это отношение, он вычислил приближенное значение площади 3072-угольника и с его помощью получил более точную оценку числа π.

В качестве примера рассмотрим, как Лю Хуэй определил площадь 384-угольника на основе последнего значения площади, вычисленного им напрямую, — площади 192-угольника. Площадь 192-угольника равна 314,10318, избыток площади этого многоугольника по отношению к предыдущему равен 0,16816857. Далее Лю Хуэй вычислил разницу площадей 192-угольника и 384-угольника. Она составила 0,16816857·(1/4) = 0,042042144. Следовательно, площадь 384-угольника равна:

314,10318 + 0,16816857·0,25 = 314,14523.

Реальный избыток площади равен 0,042062752, площадь многоугольника равна 314,14526.

С помощью этого способа Лю Хуэй вычислил площадь 3072-угольника и получил приближенное значение π, равное 3927/1250 = 3,14159.

В 480 году этот метод был пересмотрен математиком и астрономом Цзу Чунчжи (429–500), жившим во времена династии Ци. Использовав многоугольник с 12288 = 3·2¹² сторонами, он определил, что π заключено между следующими значениями: 3,1415926 < π < 3,1415927. Он представил результат так:

π ~= 355/113. В течение 900 лет эта оценка оставалась наиболее точной.

История науки гласит, что индийская математика возникла в VII веке, когда в этой стране в качестве всеобщего языка уже использовался санскрит. Индия не была изолированной от Европы: индийцы поддерживали тесные контакты с греками, позднее с римлянами. Не следует забывать, что граница империи Александра Македонского проходила по долине реки Инд.

Хотя индийские ученые уделяли особое внимание астрономии, они занимались и математикой, которая играла важнейшую роль в развитии научной мысли. Любопытно, что индийцы не разделяли подход к науке, принятый в странах Востока, и не считали, что она обязательно должна иметь практическое применение. Стимулом развития индийской математики было получение знаний ради самих знаний. Несмотря на это, индийские ученые не слишком охотно приводили более или менее формальные доказательства своих методов и алгоритмов. Считается, что они обосновывали свои открытия, но найденные ими доказательства не сохранились.

Индийцы подробно изучили тригонометрию, особенно применительно к астрономическим расчетам и решениям неопределенных уравнений, а также алгебру и комбинаторику. По сути, понятие синуса и само слово «синус» впервые упоминаются в трактате по астрономии V века «Пайтамаха-сиддханта».

* * *

* * *

Нет сомнений, что важнейшим вкладом индийских математиков в науку была созданная ими система счисления, которую мы называем арабской. В действительности арабы заимствовали ее у индийцев. Индийские цифры произошли от системы записи, которая использовалась во времена короля Ашоки (272–231 гг. до н. э.) для записи текстов на древнем языке пракрите. Тем не менее по пути на Запад индийские цифры неоднократно видоизменялись, поэтому современные цифры не похожи на придуманные индийцами. Современные цифры — одна из версий древних цифр на пракрите, которые попали в Северную Африку, претерпев некоторые изменения, и стали известны в Европе в Средние века.

Некоторые индийские цифры, описанные математиком Ариабхатой.

_{(Источник: Джордж Ифра, «Всеобщая история чисел».)}

Позиционная система счисления также имеет индийское происхождение. Изначально индийцы записывали числа с помощью символов, обозначавших цифры от 1 до 9; десятки от 10 до 90 обозначались другими цифрами. Числа, кратные 100, 1000 и так далее обозначались символами, соответствовавшими единицам, рядом с которыми записывались символы, обозначавшие 100, 1000 и далее. Позднее эта система записи упростилась, и впервые в истории возникла позиционная система счисления, в которой использовались только символы, соответствующие цифрам от 0 до 9. Когда именно произошло это изменение, точно неизвестно, но большинство источников указывает в качестве наиболее вероятной даты 600 год. Так, в сирийском тексте 662 года уже используются индийские цифры.

Согласно одной из теорий, эта система счисления зародилась на границе с Китаем, так как в этом регионе применялся абак, и возникла необходимость в упрощенной записи расчетов, произведенных с помощью абака. Рождение позиционной системы счисления, возможно, связано с использованием точки для обозначения пустого разряда на абаке. Документальное подтверждение этому содержится в тексте VII века, найденном на северо-западе Индии в деревне Бакшали в 1881 году. Когда на смену этой точке пришел ноль, произошла революция. Ноль впервые упоминается вместе с остальными цифрами в 628 году, когда Брахмагупта в своей книге «Исправленный трактат Брахмы» определил его как результат вычитания числа из себя самого.

Как бы то ни было, в 870 году позиционная система счисления уже повсеместно применялась в Индии. Из Индии она попала в Багдад, откуда позднее распространилась по всем территориям, где прослеживалось влияние мусульманской культуры. В Китае позиционная система счисления с особыми символами стала использоваться начиная с эпохи династии Мин (1368–1644). В книгах по математике китайские символы были заменены арабскими цифрами лишь в начале XX века.

Древнейшая арабская книга, дошедшая до наших дней, где употребляются арабские цифры и позиционная система счисления, — это трактат «О началах индийской арифметики» Кушьяра ибн Лаббана. Эта работа выделяется не только тем, что в ней впервые использованы арабские цифры, но и оригинальностью содержания. В этой книге наряду с прочими цифрами употребляется ноль, называемый «сифр».

* * *

* * *

До того времени многие арабские тексты представляли собой переводы с греческого, однако в X–XI веках эта тенденция радикально изменилась. На рубеже тысячелетий, когда жил Кушьяр ибн Лаббан, в мусульманском мире стали в изобилии появляться математические тексты, содержавшие новые важные результаты. По сути, именно мусульмане дополнили дробями позиционную систему счисления, которая до этого использовалась только для записи целых чисел.

Индийцы также не устояли перед тайной числа π. Мадхава из Сангамаграма (1350–1425), основатель математической и астрономической школы в Керале, открыл, помимо прочего, разложение тригонометрических функций синуса и косинуса в бесконечный ряд и определил число π с помощью разложения в ряд для функции арктангенса.

Он выразил π следующим образом:

π/ 4 = 1–1/3 + 1/5 — 1/7 + … + (-1)ⁿ/(2n+1) + …

Кроме того, он дал оценку ошибке при вычислении числа π через n членов этого ряда. Эти расчеты требовали обширных знаний в области рядов. Позднее разложение арктангенса в ряд было повторно открыто Джеймсом Грегори и использовано Готфридом Лейбницем для вычисления π. По этой причине этот ряд известен как ряд Лейбница и ряд Грегори — Лейбница. Лишь сравнительно недавно он получил название ряд Мадхавы — Лейбница в честь истинного первооткрывателя.

Разложение арктангенса в ряд выглядит следующим образом:

arctgx = х — (х³)/3 + (х⁵)/5 — (х⁷)/7 + …

Этот ряд крайне неэффективен для вычисления π. Причина в том, что для верного расчета 10 знаков я потребуется выполнить 10 миллиардов математических действий.