По следам бесконечности

Лейбниц против Ньютона

Новый этап в развитии представлений о бесконечности связан с созданием так называемого математического анализа — изобретением дифференциального и интегрального исчислений, которое справедливо считается одним из величайших достижений науки XVII века.

Важнейшим событием того времени и бесспорно одним из крупнейших в истории естествознания и человеческой мысли вообще было появление ньютоновского труда «Математические начала натуральной философии».

Эта книга как бы подвела итоги всему тому, что было сделано за предшествующие тысячелетия в изучении простейших форм движения материи.

По словам академика С. И. Вавилова, сложные перипетии развития механики, физики и астрономии, выраженные в именах Аристотеля, Птоломея, Коперника, Галилея, Кеплера, Декарта, поглощались и заменялись гениальной ясностью и стройностью «Начал».

По образу и подобию «Начал» возникла «классическая физика», применявшая ньютоновское учение о пространстве, времени, массах и силах к решению самых разнообразных задач механики, физики и астрономии.

Математические дарования, писал академик С. И. Вавилов, подобно музыкальным нередко врожденны, проявляются рано и органически определяют склад ума данного человека.

Исаак Ньютон (1643–1727) как раз и был именно таким врожденным математиком.

«Для того, чтобы научиться математике, — говорил Фонтенель в „Похвальном слове памяти Ньютона“ в 1727 году, — Ньютон не изучал Эвклида, который казался ему слишком ясным, слитком простым, не стоящим затраты времени; он знал его в некотором смысле раньше, чем его прочитал; один взгляд на текст теорем мгновенно создавал и доказательство… По отношению к Ньютону можно было бы применить то, что Лукиан сказал о Ниле, истоки которого были неизвестны древним: „Человеку не позволено видеть Нил слабым и рождающимся“».

Вероятно, эта пышная фраза, которые так любило XVIII столетие, не совсем точно отражает существо дела, ибо известно, что Ньютон как раз мыслил геометрически, классический геометрический метод древних был основным орудием его математических изысканий.

Что же касается Эвклида, то он вряд ли обошел и его своим вниманием: не так давно был найден принадлежавший Ньютону экземпляр геометрии Эвклида, на полях которого великий физик оставил множество собственных заметок и чертежей.

Но как бы там ни было, Ньютон и в самом деле открыл своими исследованиями новую эпоху в развитии математики. Хотя, судя по всему, он смотрел на математику лишь как на вспомогательное орудие, необходимое для физических исследований. Его интересы были целиком сосредоточены на физике, а астрономия давала ему необходимые материалы. Именно физические задачи и привели Ньютона к великим математическим открытиям. Так, разрешение задач новой механики, разработкой которой занимался Ньютон, послужило толчком к открытию исчисления бесконечно малых.

Исаак Ньютон прожил долгую, восьмидесятилетнюю жизнь. Он был свидетелем множества разнообразных исторических событий: казни Карла I, правления Кромвеля, реставрации Стюартов, революции 1688 года. Он был современником Петра I и Людовика XIV.

Тем не менее жизнь Ньютона, отличавшегося редким здоровьем, протекала исключительно спокойно, мирно и однообразно, он даже не был женат и почти не имел друзей. Мимо него проходили и все политические потрясения.

Ньютон был гением. Но успехам его работы во многом способствовали мирное однообразие жизни и сосредоточенность мысли и работы. Научная деятельность, особенно в первой половине жизни, поглощала его целиком.

Можно сказать, что Ньютону повезло — с детства его окружали образованные люди. С ранних лет он проявлял интерес к математике и наблюдениям природы. И характерно, что уже в эти юные годы ум его искал оригинальных решений. Однажды, например, он решил определить скорость ветра во время грозы. И так как, естественно, в его распоряжении не было никаких приборов, он придумал остроумный способ. Выбрал ровную площадку и, разбежавшись, стал прыгать по ветру и против ветра, каждый раз отмечая дальность своего прыжка. Сравнив результаты, он и достиг поставленной цели.

Любопытно, что молодого Ньютона привлекали также всякого рода фокусы, в особенности химические. Но ведь любой фокус — это своего рода парадокс, когда результат, казалось бы, противоречит и научным представлениям и здравому смыслу. А когда узнаешь секрет, начинаешь глубже и лучше понимать подлинную связь явлений.

В то же время, по воспоминаниям современников, Ньютон был здравомыслящим юношей, молчаливым и задумчивым, в играх он принимал участие неохотно, предпочитая оставаться дома.

Существенную роль в развитии способностей молодого Ньютона, несомненно, сыграло и то обстоятельство, что в знаменитом кембриджском Тринити-Колледже, где он обучался начиная с 1661 года, студентам предоставлялась широкая инициатива и свобода. И здесь Ньютон быстро сформировался как ученый.

Как это ни парадоксально прозвучит, но определенную роль в развитии ньютоновских исследований сыграла… страшная эпидемия чумы, разразившаяся в 1664 году и свирепствовавшая в течение почти четырех лет. Вынужденный бежать от смертельной угрозы в деревню, Ньютон в сельской тишине получил возможность сосредоточиться и глубоко продумать идеи, возникшие у него в колледже. Здесь в течение всего двух лет он и создал свой метод флюксий, положивший начало дифференциальному исчислению.

Однако возвратившись в колледж, Ньютон никому не рассказал о своих открытиях и стал известен как создатель анализа бесконечно малых лишь спустя 30 лет, а трактат «Метод флюксий и бесконечные ряды», написанный Ньютоном в 1672 году, был издан лишь в 1736 году, уже после смерти ученого.

Между прочим, Ньютон не торопился обнародовать и другие свои работы. Об открытии всемирного тяготения мир узнал спустя 20 лет, а результаты оптических исследований были опубликованы спустя 5–6 лет после их получения. Дело в том, что великий физик весьма требовательно относился к точности и безошибочности своих выводов и утверждений.

Может быть, столь удивительная медлительность в публикации трудов в какой-то мере объясняется соображениями, которые Ньютон изложил в качестве совета одному из своих знакомых, собиравшемуся в дальнее путешествие: «Вы мало или ничего не выиграете, если будете казаться умнее или менее невежественным, чем общество, в котором вы находитесь».

Вскоре после возвращения из деревни, в 1669 году, Ньютон передал своему учителю Барроу на просмотр сочинение об анализе бесконечных рядов. В то время Ньютон был еще молодым магистром. По рекомендации Барроу, который охарактеризовал Ньютона как человека с необычайными способностями, с рукописью ознакомился один из крупных математиков того времени Коллинз.

Однако эта работа увидела свет только в 1711 году в связи с полемикой, возникшей между Ньютоном и другим выдающимся ученым того времени Лейбницем (1646–1716).

Отец Лейбница был довольно известным юристом, в течение 12 лет преподававшим философию в Лейпцигском университете; мать — дочерью известного профессора, также преподававшего юридические науки. Отец оказал на маленького Лейбница благотворное влияние. Он старался развить в ребенке любознательность и часто рассказывал ему небольшие эпизоды из истории.

Подобно Ньютону, уже в школьные годы Лейбниц проявлял самостоятельность и оригинальность мышления. Например, в 12 лет он изобрел способ изучать римских авторов без помощи словаря и без содействия учителя. Случайно натолкнувшись на две книги, одна из которых была сочинения Ливия, он самостоятельно прочитал их.

При чтении Ливия он постоянно становился в тупик. Не имея понятия ни о жизни древних, ни об их манере писания, не привыкнув к возвышенной риторике историографов, стоящей выше обыденного разумения, он, по-собственному признанию, не понимал ни строчки. Но это издание было старинное, с гравюрами. Поэтому он внимательно рассматривал гравюры, читал подписи и, мало заботясь о темных для него местах, попросту пропускал все то, чего не мог понять. Так он несколько раз перелистывал всю книгу. Постепенно стало проясняться то, что было непонятным. Наконец, наступило время, когда ему стала вполне ясной большая часть прочитанного.

Один из учителей, узнав об этих занятиях Лейбница, явился к его воспитателям и потребовал, чтобы у него отобрали книги, годные лишь для более старшего возраста. К счастью, свидетелем этого разговора случайно оказался один ученый, живший по соседству, друг хозяина дома. Он стал доказывать, что было бы нелепо подавить суровостью и грубостью первые проблески развивающегося таланта. И уговорил родственников Лейбница допустить его в библиотеку отца.

— Я торжествовал, — рассказывал впоследствии сам Лейбниц, — как если бы нашел клад, потому что сгорал нетерпением увидеть древних, которых знал только по имени — Цицерона и Квинтилиана, Сенеку и Плиния, Геродота, Ксенофонта и Платона… Все это я стал читать, смотря по влечению, и наслаждался необычайным разнообразием предмета.

Впоследствии Лейбниц отмечал, что сама судьба назначила ему остаться без посторонней помощи, без совета и уже в юном возрасте руководствоваться собственной смелостью. Читая древних авторов, он приобрел известного рода окраску не только в выражениях, но и в образе мыслей. С той поры, по словам Лейбница, он составил себе два основных правила; искать в словах и выражениях ясности, в вещах — пользы. Позднее он узнал, что ясность есть основа всякого суждения, а польза — основа всякого открытия и что большинство людей заблуждается именно потому, что слова их нелепы, а опыты бесцельны.

«Я не только умел с необычайной легкостью применять правила к примерам, чем чрезвычайно изумлял учителей, так как никто из моих сверстников не мог сделать того же, но я еще тогда во многом усомнился и тогда еще носился с новыми мыслями».

Еще в ранней молодости Лейбниц пытался создать азбуку мыслей, то есть записывать с помощью знаков простейшие общие понятия, а из комбинации этих знаков должны были получаться суждения и умозаключения.

«Две вещи, — пишет Лейбниц, — принесли мне огромную пользу, хотя обыкновенно они приносят вред. Во-первых, я был, собственно говоря, самоучкой, во-вторых, во всякой науке, как только я приобретал о ней первые понятия, я всегда искал нового, часто просто потому, что не успевал достаточно усвоить обыкновенное…»

Пятнадцати лет Лейбниц поступил в Лейпцигский университет. Характер его занятий по-прежнему оставался крайне разносторонним, он читал все без разбора. И хотя учился на юридическом факультете, посещал и многие другие лекции, в особенности по философии и математике.

Одним из его учителей оказался Яков Томазий, поклонник Аристотеля, человек с колоссальной эрудицией и выдающимся преподавательским талантом. Томазий много способствовал систематизации разнородных и разрозненных знаний Лейбница. Его лекции познакомили Лейбница с великими идеями конца XVI и начала XVII столетий. В то время завоевали всеобщее признание труды Коперника и Галилея, а философия Декарта вытеснила даже авторитет Аристотеля. Огромное впечатление на Лейбница произвели также труды Франциска Бекона, Кампанеллы и Кеплера.

Лейбниц был среднего роста, худощав и бледнолиц. Он носил черный как смоль парик и на первый взгляд производил впечатление довольно невзрачного человека, но отличался широтой натуры, а порой даже безалаберностью. Он любил душевное возбуждение и был энергичен, по его собственным словам, имел живые желания. В его натуре было много противоречивого: он был вспыльчив, но гнев его легко прекращался, охотно путешествовал, но избегал упражнений, требующих сильного движения.

Лейбниц ценил веселую беседу и умел говорить с людьми всех званий и профессий, очень хорошо относился к детям. И чрезвычайно любил рассказывать анекдоты из своего детства, желая доказать, что еще ребенком он был существом необыкновенным.

Душевное настроение Лейбница вполне гармонировало с его философским оптимизмом. Лейбниц был почти всегда весел и оживлен, и обо всех всегда отзывался хорошо. И никогда не относился свысока ни к какому учению.

Таким образом, в натуре и характере Ньютона и Лейбница можно найти много общего. Оба с детства проявляли стремление оригинально мыслить, с уважением относились ко всему, что было до них достигнуто в науке, оба отличались завидным душевным здоровьем и больше всего ценили в занятиях наукой возможность произнести свое слово. Наконец, оба обладали богатым воображением и фантазией.

Напрасно думают, писал В. И. Ленин, что фантазия нужна только поэту. «Это глупый предрассудок! Даже в математике она нужна, даже открытие дифференциального и интегрального исчислений невозможно было бы без фантазии»[6].

Исторические но своему значению математические исследования Ньютона и Лейбница развивались не совсем на пустом месте. В начале XVII столетия трудами Кеплера и Кавальери были заложены основы совершенно новой отрасли математики.

Иоганн Кеплер, который вошел в историю науки открытием законов движения планет, разработал метод операций с бесконечно малыми величинами, получивший название «интеграционного». Любую фигуру или тело он представлял в виде суммы бесконечного множества бесконечно малых частей. Например, круг, считал он, состоит из бесконечно большого числа бесконечно узких секторов. И хотя природа бесконечно малых у Кеплера оставалась невыясненной, этот метод имел большое значение для развития математики.

Как мы уже отмечали, похожий метод применял и Архимед. Однако письмо Архимеда к Эратосфену, в котором он излагал его сущность, было обнаружено лишь в начале XX столетия.

Аналогичный метод разрабатывал и Кавальери. Однако все это были только первые робкие шаги. Настоящее развитие операции с бесконечно малыми получили в трудах Ньютона.

Ньютон переменные величины называл флюентами. А отношение бесконечно малого прироста одной флюенты к соответствующему бесконечно малому приросту другой — флюксиями. В современной терминологии принято обозначение, введенное впоследствии Лейбницем, — дифференциал.

Ньютон прекрасно сознавал значение своего открытия и отчасти закрепил свой приоритет в этой области письмом к Коллинзу в декабре 1672 года. Коллинз был своеобразным центром научной переписки английских математиков с иностранными учеными.

В письме Ньютон сообщал о своем открытии, но лишь в самой общей форме — самого метода он не указывал и не объяснял, а только пояснял его несколькими примерами.

В октябре 1676 года Ньютон в письме к секретарю Королевского общества Ольденбургу вновь сообщил о своем новом методе и изложил его сущность в соответствии с научными обычаями того времени в зашифрованной особым образом строке. Шифр был не слишком сложен: числа, стоящие перед буквами, указывали, сколько раз эти буквы повторяются в тексте. При хорошем знакомстве с латинским языком расшифровать фразу было не так уж сложно: «Дано уравнение, заключающее в себе текущее количество (флюенты), найти течения (флюксии) и наоборот».

Более детальное изложение метода было зашифровано Ньютоном сложнее.

Впоследствии, когда свои работы по исчислению бесконечно малых опубликовал Лейбниц, между ним и Ньютоном вспыхнул спор о приоритете. Он длился на протяжении многих лет, но так, по существу, и не привел к каким-либо результатам. Историки до сих пор обсуждают этот вопрос, пытаясь выяснить, заимствовал ли Лейбниц свои идеи у Ньютона или разработал их самостоятельно.

В начале 1673 года Лейбниц в течение нескольких месяцев находился в Лондоне и часто посещал Ольденбурга, который был в курсе математических работ Ньютона.

И только после посещения Лондона Лейбниц всерьез заинтересовался математикой. Вернувшись в Париж, он разделил свое время между философскими и математическими упражнениями, которыми занимался совместно с известным физиком Гюйгенсом.

В 1676 году Лейбниц снова проездом побывал в Англии и в это время лично познакомился с Коллинзом, у которого хранились рукописи Ньютона.

Вскоре после этого он как раз и выработал основания своего метода — дифференциального исчисления.

Не говорят ли все эти факты о том, что Лейбниц мог узнать содержание работ Ньютона?

Примерно в то же время между Ньютоном и Лейбницем завязалась переписка. И уже в июне 1677 года Лейбниц ответил на письма Ньютона изложением основ своего дифференциального исчисления, которое, по существу, отличалось от метода Ньютона только обозначениями.

В 1684 году в лейпцигском журнале «Деяния ученых» появилась статья Лейбница о дифференциальном исчислении, в котором он ни разу не упомянул имени Ньютона. Он сделал это лишь в следующей статье об интегральном исчислении. Однако и на этот раз лишь в довольно неопределенных выражениях.

Наоборот, Ньютон во второй книге «Начал» объективно отозвался о достижениях Лейбница: «В письмах, которыми около 10 лет тому назад я обменивался с весьма искусным математиком Лейбницем, я ему сообщал, что обладаю методом для определения максимума и минимума, проведения касательных и решения тому подобных вопросов… Знаменитейший муж отвечал мне, что он также напал на такой метод, и сообщил мне свой метод, который оказался едва отличающимся от моего и то только терминами и начертаниями формул».

В 1693 году Лейбниц обратился к Ньютону с предложением возобновить переписку. Ньютон ответил в дружелюбном тоне:

«Наш Уоллис присоединил к своей „Алгебре“ только что появившиеся некоторые из писем, которые я писал к тебе в свое время. При этом он потребовал от меня, чтобы я изложил открыто тот метод, который я в то время скрыл от тебя переставлен нем букв; я сделал это коротко, насколько мог. Надеюсь, что я при этом не написал ничего, что было бы тебе неприятно, если же это случилось, то прошу сообщить, потому что друзья мне дороже математических открытий».

Однако переписка на этом прервалась и больше уже не возобновлялась.

Скорее всего Лейбниц не знал о ньютоновском методе флюксий, хотя письма Ньютона и могли натолкнуть его на определенные идеи.

Да в конце концов и не в том дело, кто именно из двух великих ученых внес в разработку основ математического анализа наибольший вклад. Гораздо важнее, что эти основы были заложены их выдающимися исследованиями.

Уже с 90-х годов XVII столетия математический анализ стал быстро распространяться и прививаться в форме, предложенной Лейбницем, которая была предпочтительнее, благодаря общности, удобству обозначений и подробной разработке различных приемов.

Новый метод оказался необыкновенно плодотворным, к тому же он открыл возможность разнообразных научных и практических приложений. Эти обстоятельства не могли не привлечь внимания многочисленных исследователей. И потому в следующем столетии математика развивалась исключительно бурно, отличаясь изобилием открытий и множеством оригинальных идей.

Снова кризис!..

Дифференциальное и интегральное исчисления — исчисления бесконечно малых — явились не только крупным достижением математики, но и важнейшим этапом в развитии всего естествознания и человеческой мысли вообще.

От абстрактных рассуждений о бесконечном древнегреческих философов человек перешел к практическим операциям с бесконечностями.

При этом характерно, что разработка нового математического метода была вызвана к жизни потребностями развивающихся физических наук, в первую очередь механики. Другими словами, этот скачок был обусловлен не только внутренней логикой развития самой математической науки, но прежде всего общим уровнем развития естествознания.

Если раньше решение тех или иных научных задач носило вполне очевидный, наглядный характер, то теперь впервые для этой цели стали использоваться величины, которые не только нельзя было представить себе непосредственно, по и природа которых отличалась явной неопределенностью и даже противоречивостью.

Дело в том, что теоретические основания исчисления бесконечно малых и Ньютоном и школой Лейбница были разработаны недостаточно четко. Далеко не безупречными были и руководящие идеи.

В частности, и у Ньютона и у Лейбница в одних и тех же вычислениях бесконечно малые принимались то за действительные величины, то за величины, равные нулю, которые затем просто-напросто отбрасывались. Считалось также, что прибавление бесконечно малого не изменяет конечного слагаемого.

Однако в то же время большинство математиков рассматривало бесконечно малое как наименьшее значение убывающей величины (то есть как актуально бесконечно малое). Но такое наименьшее значение должно быть заведомо больше нуля, следовательно, его отбрасывание — операция явно незаконная.

Создалась довольно странная ситуация: применение неясных по природе и внутренне противоречивых бесконечно малых величин каким-то образом приводило к правильным результатам. Такое положение вещей производило впечатление чего-то загадочного, таинственного, граничило с мистикой.

Математики того времени, писал Карл Маркс, «…сами верили в таинственный характер новооткрытого исчисления, которое давало правильные (и притом в геометрическом применении прямо поразительные) результаты математически положительно неправильным путем. Таким образом, сами себя мистифицировали и тем более ценили новое открытие, тем более бесили толпу старых ортодоксальных математиков и вызывали с их стороны враждебные вопли, будившие отклик даже в мире неспециалистов и необходимые для прокладывания пути новому»[7].

Невольно напрашивается вопрос: что же такое анализ бесконечно малых — точная наука или приближенный метод?

Сам Лейбниц считал, что его метод дает точные результаты, обосновывая это следующим образом: то, что несравненно меньше, бесполезно принимать в расчет но сравнению с тем, что несравненно больше него; так, частица магнитной жидкости, проходящая через стекло, не сравнима с песчинкой, песчинка с земным шаром, а этот последний с небесной твердью…

Подобные аргументы, основанные на аналогиях, не слишком убедительны.

В 1734 году появился ядовитейший трактат Дж. Беркли под необычно длинным и претенциозным названием «Аналист, или Рассуждение, обращенное к неверующему математику, в котором рассматривается, более ли ясно пли более очевидно выводятся предмет, принципы и умозаключения современного анализа, чем религиозные таинства и догматы веры».

Беркли, исходя из своего принципа «существовать — значит быть воспринимаемым», беззастенчиво потешался над бесконечно малыми, называя их «тенями усопших величин».

Такой вещи, как тысячная часть дюйма, существовать не может, утверждал Беркли, тем более не могут существовать бесконечно малые величины. Ведь ни то, ни другое мы не можем воспринять. А потому, как бы ни был полезен ньютоновский метод математического анализа, заключал Беркли, это всего лишь ловкая сноровка, искусство или, скорее, ухищрение.

Любопытно, что с аналогичной ситуацией столкнулась и современная теоретическая физика. Ей приходится иметь дело с бесконечностями, которые, казалось бы, не имеют реального физического смысла. Однако операции с этими величинами приводят к результатам, которые прекрасно подтверждаются на опыте.

В наше время, после великой революции в физике на рубеже XIX и XX столетий, когда квантовая механика принесла с собой вероятностное понимание окружающей действительности и ученые перестали требовать от научных теорий окончательных и однозначных ответов на любые вопросы, такое положение дел представляется довольно естественным и не очень-то смущает. Хотя, разумеется, и современные физики не оставляют настойчивых попыток выяснить природу загадочных бесконечностей.

Но в те времена, когда набирала силу и утверждалась ньютоновская классическая физика с ее чисто механистическими представлениями о природе всех мировых процессов и непоколебимой уверенностью в абсолютной предопределенности всех без исключения явлений, противоречивый характер бесконечно малых величин привел к очередному кризису основ математики, сравнимому с тем, который возник в древности в связи с апориями Зенона.

Преодолеть этот кризис долгое время не удавалось.

В 1784 году Берлинская академия наук, президентом которой был знаменитый математик Лагранж, даже объявила конкурс на тему «о строгой и ясной теории того, что в математике называют бесконечным».

Предлагалось показать, «каким образом из противоречивых посылок получаются столь многочисленные истинные положения, и предложить вместо понятия бесконечности другое, отчетливое и достоверное понятие, однако чтобы вычисления не стали затруднительными или долгими».

Однако и эта попытка не принесла особого успеха.

Выход из второго кризиса оснований математики был найден в теории пределов. С точки зрения этой теории, бесконечно малая — это переменная величина, предел которой равен нулю.

А если говорить строго, величина называется бесконечно малой, если, начиная с какого-то момента, ее численные значения сделаются и будут оставаться меньше наперед заданного сколь угодно малого положительного числа.

Таким образом, бесконечно малые стали рассматриваться как процесс, то есть не как актуальная, а как потенциальная бесконечность.

С появлением математического анализа идея бесконечности начинает играть все большую и большую роль, постепенно выдвигаясь на самый передний план. Не случайно выдающийся немецкий математик XIX столетия Д. Гильберт называл математический анализ «единой симфонией бесконечного».

С тех пор вся математика оказалась настолько тесно связанной с понятием бесконечности, что многие исследователи даже определяют ее как «науку о бесконечном».

Оценивая роль бесконечности в математике с позиций науки второй половины текущего столетия, известные ученые А. Френкель и И. Бар-Хиллел, например, пишут, что «для математики — в отличие почти от всех других наук — это понятие является настолько жизненно необходимым, что огромное большинство математических фактов, не имеющих отношения к бесконечности, едва ли не тривиально».

Немного философии

По выражению академика Наана, кризисы в науке свидетельствуют о достаточно высоком уровне ее развития.

В самом деле, для того чтобы сложились неразрешимые противоречия принципиального характера, наука должна накопить достаточно большой материал: факты и теории, построенные для их объяснения.

Кризис в науке обычно возникает либо тогда, когда появляются новые факты, которые не укладываются в рамки существующей теории, либо развитие этой теории вскрывает присущие ей глубокие внутренние противоречия.

Кризис в математике XVII столетия был несколько иного рода, он возник в связи с тем, что вдруг оказались неясными и даже сомнительными самые основы этой науки.

Но по какой бы причине ни возникал кризис — он требует глубокого философского осмысления. Ведь кризис — это не просто тупик, глухая стена, конец пути. Как правило, это предвестник скачка, рождения оригинальных идей, появления принципиально новых путей, предвестник быстрого прогресса.

В такие периоды, как подчеркивал В. И. Ленин в эпоху кризиса физики на рубеже XIX и XX столетий, естествознанию ни в коем случае не обойтись без философии.

Поэтому но удивительно, что начиная с XVII столетия проблема бесконечности вновь, как и в Древней Греции, оказывается в поле зрения не только математиков, но и философов.

И прежде всего вопрос стоял так: присуща ли бесконечность, в той или иной форме, самой природе или она привносится в нее человеком?

Такой крупнейший французский философ, как Рене Декарт (1596–1650), утверждал, что представление о бесконечности каких-либо объектов материального мира «проистекает из недостаточности нашего разума, а не из природы». Тем самым Декарт хотел сказать, что никакой реальной бесконечности в мире не существует, она — продукт несовершенства человеческого мышления. При этом вовсе не случайно Декарт называет бесконечность мира неопределенностью, превращая ее в своеобразный символ неспособности человека охватить своим разумом окружающий мир, представить себе его границы.

Над проблемой бесконечности задумывался и такой выдающийся немецкий философ, как Иммануил Кант (1724–1804). Но хотя Кант, по существу, интересовался вполне определенным типом бесконечности, а именно — бесконечностью мира в пространстве и во времени, а саму бесконечность понимал как бесконечную протяженность, он тем не менее во многом разделял точку зрения Декарта.

— Бесконечность — плод человеческого ума, — утверждал и Кант. — Это понятие совершенно неприменимо к реальному миру. Мир сам по себе ни конечен, ни бесконечен, ибо о «мире как таковом» вообще ничего нельзя сказать.

Кант видел противоречивость бесконечности. Но, будучи метафизиком, он был убежден в том, что любые противоречия присущи только человеку, человеческому сознанию, а в природе их нет. Поэтому противоречивость бесконечности служила для него доказательством ее субъективного характера.

В подтверждение своей точки зрения Кант приводил «антиномии», весьма похожие на апории Зенона.

Он пытался доказать, что применение наших представлений о бесконечности к окружающей природе неизбежно приводит к неразрешимым противоречиям.

— Предположим, — говорил, например, Кант, — что у мира не было начала во времени. Но если так, то до любого, в том числе и до настоящего, момента, протекла вечность. Однако бесконечность неисчерпаема и бесконечный ряд не может быть завершен. А следовательно, настоящий момент никогда не мог бы наступить. Но так как он все же наступил, следовательно, мир конечен во времени.

Однако это были чисто абстрактные логические рассуждения, основанные на ньютоновском представлении об абсолютном пространстве и абсолютном времени.

Гораздо более глубокие мысли о пространстве и времени высказывал впоследствии Гегель (1770–1831).

Он, в какой-то мере предвосхищая будущую физику, критиковал Ньютона, считавшего пространство пустым вместилищем небесных тел, а время некоей абсолютной, зависящей только от самого себя длительностью, и отрывавшего, таким образом, пространство и время от материи.

Не принимал Гегель и точку зрения Канта.

«Это уже слишком большая нежность по отношению к миру, — писал он, — удалить из него противоречие, перенести, напротив, это противоречие в дух, в разум и оставить его там неразрешенным».

Однако и сам Гегель выводил бесконечность мира из бесконечности мирового духовного процесса, — ведь мир для Гегеля представлялся инобытием идеи.

В то же время любопытно отметить, что эту бесконечность Гегель понимал не просто как бесконечное повторение одного и того же. Он считал, что с изменением масштабов неизбежно должны возникать и новые качества.

И Гегель, и Кант, и Декарт понимали бесконечность как отсутствие границ, И главная проблема, которая их занимала, состояла в том, как оправдать использование идеи бесконечности, если на практике мы всегда имеем дело с конечными величинами.

Проблема бесконечного издавна привлекала внимание не только философов и математиков, но также богословов и теологов, утверждавших, что высшая истинная бесконечность — это бесконечность бога.

— Именно в бесконечности — высшее совершенство и высшее благо, — утверждали они. — Конечность говорит о несовершенстве и потому относится к материальному миру.

Весна 1960 года. Маленький французский городок Ройямон, недалеко от Парижа. Здесь в тихом и цветущем местечке, словно самой природой предназначенном для отвлеченных размышлений, проходила международная конференция философов. На нее съехались представители самых различных школ и направлений — материалисты, идеалисты, идеологи религии.

Как-то в перерыве между заседаниями один из советских философов разговорился с богословом-доминиканцем, одним из теоретиков современного католицизма.

— Как вы, теологи, решаете в настоящее время вопрос о конечности или бесконечности мира? Ведь, если не ошибаюсь, в свое время религия категорически отводила бесконечность исключительно для бога?

— Да, таковы были взгляды святого Августина, — подтвердил доминиканец. — Но Фома Аквинский, чье учение признано теперь единственной истинной философией католической церкви, исходя из Аристотеля, учил, что материя также бесконечна, но только в ином смысле, а именно в смысле формы, а не бытия, которое эту форму определяет и является богом.

— Не значит ли это, — спросил философ, — что вы оставляете себе возможность, судя по обстоятельствам, пользоваться то одной, то другой стороной этого учения?

Вопрос был достаточно прямой, и доминиканец ухмыльнулся:

— Понимаю… Вас интересует, как мы относимся к гипотезам науки?.. Мы признаем право науки исследовать материальный мир. И вполне принимаем ту картину Вселенной, которую она нам рисует… Но, помимо мира материального, есть другой мир, мир высший, недоступный науке, бог, сотворивший материю и вдохнувший в псе жизнь.

И добавил, как бы поясняя:

— Великой драме, которую мы называем космосом, предшествовал творческий проект: геометрия Вселенной. Бог повсюду занимается геометрией, и гений человека состоит в том, что он фиксирует ее буквами, фигурами и уравнениями.

Но философ был хорошо знаком, с этой тактикой «мирного сосуществования» и «разделения сфер», пропагандируемой современными богословами. Его интересовало другое.

— А как же все-таки с конечностью и бесконечностью? — повторил он свой вопрос.

— Что бы там ученые ни утверждали — конечен мир или бесконечен, религиозное познание этим не затрагивается. Если Вселенная бесконечна — в этом воплощено величие господа, если же она конечна — то и в том воля и мудрость божия…

— А если Вселенная все-таки бесконечна, способна ли наука познать эту бесконечность?

— Бесконечность нельзя охватить обычными человеческими понятиями. Для этого необходим сверхъестественный носитель мудрости — господь бог…

На том и закончилась эта беседа, показавшая еще раз, что современные защитники религии стараются обратить в свою пользу любые данные науки, любые се выводы и достижения в познании окружающей природы. И делают это довольно искусно. Хотя, разумеется, это всего лишь ловкий тактический прием. Существо религии от этого не изменилось: как и прежде, все от бога. Но в наш век космических полетов и атомной энергии на одной слепой вере в сверхъестественное далеко не уедешь. Вот современные богословы и стараются сделать религию более приемлемой для современного человека, придать ей видимость научной обоснованности. И для этой цели они не только ловко жонглируют научными данными, но идут и на прямую фальсификацию.

Странный мир множеств

Только разработка понятия «предела» помогла уяснить природу бесконечно малых величин. Но само это понятие получило строгое обоснование лишь в теории бесконечных множеств, создание которой стало одним из выдающихся достижений математики XIX столетия. Именно в этот период началось изучение множеств, состоящих из бесконечно большого числа элементов.

Пожалуй, самый первый шаг был сделай еще Галилео Галилеем. Великим флорентийский ученый обнаружил, что можно установить так называемое взаимно однозначное соответствие между натуральными числами и их квадратами. Для этого достаточно соотнести каждому целому числу результат его возведения во вторую степень. Таким образом, получается, что множество квадратов натуральных чисел так же велико, как и множество всех натуральных чисел. Галилей обратил внимание на довольно неожиданное обстоятельство: из этого следовало, что бесконечное множество может быть равно своему подмножеству — ведь далеко не каждое целое число является квадратом какого-либо другого целого числа.

А это, в свою очередь, означало, что аксиома «часть меньше целого» может оказаться недействительной, когда речь идет о бесконечности. Замечание великого физика лишь усилило недоверие к бесконечным множествам. Кстати, это недоверие разделял и сам Галилей, а много позже, в 1833 году, математик Коши, один из создателей теории пределов, цитировал его высказывания для подтверждения подобной же точки зрения.

И лишь в середине XIX столетия чешский математик Бернард Больцано (1781–1848) пришел к обоснованному выводу о том, что отличие конечных множеств от бесконечных в том именно и состоит, что бесконечное множество равномощно своей собственной части.

Труд Больцано «Парадоксы бесконечного» вышел в свет в 1855 году, спустя три года после смерти ученого. Правда, это было скорее философское, нежели математическое исследование. Попытки Больцано образовать бесконечные множества все более высоких мощностей не увенчались успехом.

Решить эту задачу удалось только выдающемуся немецкому математику Георгу Кантору (1845–1918).

В 1883 году Кантор опубликовал статью «О бесконечных линейных точечных многообразиях». Как и книга Больцано, это было тоже философское сочинение с математическим уклоном, на что прямо указывал подзаголовок «Математически-философский опыт в учении о бесконечности».

По его автор поставил перед собой сложнейшую задачу: не только осмыслить философское содержание понятия бесконечности, но и отыскать математические средства для его описания.

Кантор смело отбросил ставший уже чем-то традиционным страх математиков перед операциями с бесконечностью. Он свел понятие бесконечности к понятию бесконечных множеств и первым планомерно и последовательно занялся изучением их свойств.

Таким образом, основным объектом исследования в новой теории стало множество — совокупность объектов, отвечающих определенному условию, объединенных некоторым общим признаком.

«Под многообразием или множеством, — писал Кантор, — я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т. с. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое, с помощью некоторого закона».

Скажем, множество четных чисел можно, по Кантору, определить так: это совокупность всех целых чисел, которые без остатка делятся на два.

Подобным же способом можно образовать и другие множества, как конечные, так и бесконечные, состоящие из тех или иных объектов. Например, множество всех людей, владеющих французским языком, или множество всех звезд с поверхностной температурой выше 6 тысяч градусов, или множество всех окружностей, обладающих общим центром.

Пожалуй, ни до Кантора, ни после него никто из математиков не брался с такой смелостью за проблему бесконечности и не вкладывал столько сил в ее решение.

«Я отлично знаю, что рассматриваемая мною тема, — писал Кантор, — была во все времена объектом самых различных мнений и толкований. Что ни математики, ни философы не пришли здесь к полному согласию. Поэтому я очень далек от мысли, что я могу сказать последнее слово в столь трудном, сложном и всеобъемлющем вопросе, как проблема бесконечности. Но так как многолетние занятия этой проблемой привели меня к определенным убеждениям и так как в дальнейшем ходе моих работ эти последние не поколебались, но лишь укрепились, то я счел своей обязанностью систематизировать их и опубликовать».

Кантор отлично понимал, что речь идет о расширении ряда целых чисел за бесконечное, то есть об операции совершенно необычной с точки зрения привычных математических и тем более обыденных житейских представлений.

— Я нисколько не скрываю от себя, — говорил Кантор своим друзьям, — что, решаясь на это, я вступаю в конфликт с широко распространенными взглядами на математическую бесконечность.

Речь шла о взглядах, укоренившихся еще со времен Аристотеля, то есть об отношении к математической бесконечности как к бесконечности, становящейся потенциальной, которая может стать меньше или больше любой заданной величины, но которая в то же время сама всегда остается величиной конечной.

Даже великий Гаусс считал, что конечный человек не отважится рассматривать бесконечное как нечто данное и доступное его привычной интуиции.

«…Прежде всего я протестую против пользования бесконечной величиной в качестве законченной, каковое пользование в математике никогда не дозволяется — писал он в одном из своих писем. — Бесконечное является лишь facon de parber (способ выражения), между тем как речь идет собственно о пределах, к которым известные отношения приближаются довольно близко, тогда как другим предоставляется возрастать без ограничения».

— Говоря о «конечности рассудка», — возражал по этому поводу Георг Кантор, — молчаливо предполагают, что его способность образования чисел ограничивается только конечными числами. Но если окажется, что рассудок в состоянии также в известном смысле определять и отличать друг от друга бесконечные числа, то придется приписать человеческому рассудку предикат «бесконечный», что, по моему мнению, единственно правильно. Как ни ограничена человеческая природа, к ней все-таки прилипло очень много от бесконечного.

Если говорить совершенно строго, то потенциальная бесконечность абсолютно непригодна для решения практических задач. Ведь потенциальная бесконечность — это «вечно незавершенный процесс».

Другими словами, одно дело осуществимость потенциальной бесконечности в теории и совсем другое на практике. Воспользуемся современным примером из области теоретической кибернетики. С точки зрения этой науки осуществим любой алгоритм, даже если он требует бесконечного числа шагов. Но реальная электронно-вычислительная машина не в силах решить подобную задачу. Такой расчет лежит за пределами ее возможностей — ведь она обладает всего лишь конечной памятью и способна осуществить хотя и очень большое, но конечное число операций.

Впрочем, математики находили выход из положения: совсем не обязательно достигать бесконечности: на каком-то шаге можно остановиться и вести все расчеты с определенной степенью точности, достаточной, чтобы решение имело практический смысл. Скажем, при вычислении числа π то есть отношения длины окружности к ее поперечнику, вовсе не обязательно находить бесконечное число знаков после занятой. Вполне можно ограничиться, например, пятью знаками — не сотнями и не десятками знаков, а пятью или даже четырьмя. Для практических математических операций этого вполне достаточно.

— Потенциальная бесконечность, — признавал и Георг Кантор, — оказалась весьма хорошим и в высшей степени ценным оружием и в математике и в естествознании.

Но теория множеств, развитая Кантором, по существу, имеет дело с актуальной бесконечностью. С этой целью Кантор обобщил понятие обычного числа до понятия трансфинитного числа. Он сделал попытку создать математический аппарат для описания актуально бесконечных множеств.

Например, первое трансфинитное число ω Кантор определяет как наименьшее из всех чисел, больших любого натурального числа. При этом он использовал одно из определений предела: Т является пределом {а_n}, если Т наименьшее из чисел, больших каждого из а_n. Последующие трансфинитные числа получаются из ω путем прибавления единицы: ω + 1, ω + 2, ω + 3… Трансфинитное число следующего, второго класса ω2 есть наименьшее из всех чисел, больших чисел вида ω + n и т. д.

Счетные множества имеют мощность первого числового класса. Следующая мощность может быть приписана всем числам второго класса и т. д. Так строится шкала последовательно увеличивающихся мощностей бесконечных множеств.

«Все так называемые доказательства против возможности актуально-бесконечных чисел по существу ошибочны, — писал Кантор в одной из своих работ. — Потому что они заранее приписывают или скорее навязывают бесконечным числам все свойства конечных. Между тем, бесконечные числа должны образовать благодаря своей противоположности конечным числам совершенно новый числовой вид, свойства которого вполне зависят от природы вещей и образуют предмет исследования, а не нашего произвола или наших предрассудков».

Главной отличительной особенностью теории Кантора явилось то обстоятельство, что бесконечные множества рассматривались в ней в завершенном виде как совокупность бесконечного числа всех содержащихся в них элементов.

«Эта бесконечность элементов, — писал советский академик Н. Лузин, — „схваченная“ вместе в одно целое данным характеристическим свойством, является тем самым уже данной вся целиком, уже сформированной и неизменной и, следовательно, как бы уже неподвижной и замкнутой в себе».

Георгу Кантору удалось достичь блестящих результатов и решить ряд очень важных задач, имевших первостепенное значение для развития математической науки.

Но, пожалуй, одной из самых замечательных особенностей новой теории множеств явилась ее небывалая общность. Операции с множествами и подмножествами не накладывают абсолютно никаких ограничений на характер объектов, составляющих эти множества. Они могут быть одушевленными или неодушевленными, маленькими или большими, реальными или воображаемыми. Это обстоятельство привело к тому, что понятия теории множеств стали в одни ряд с наиболее общими понятиями логики.

А в одном пункте теория множеств даже ушла вперед: ведь ее понятия относятся к бесконечным классам объектов, в то время как даже самые общие понятия формальной логики относятся к конечным классам. При этом оказывались нарушенными обычные нормы мышления. Потеряло прежний универсальный смысл утверждение «целое больше своей части». Для трансфинитных чисел операция сложения оказалась зависимой от порядка слагаемых.

После работ Кантора операции с бесконечными множествами стали проводиться как если бы все их элементы находились в нашем распоряжении. Бесконечное в самом деле приобрело актуальный характер.

Смелые идеи Кантора, вступившие в противоречие с многовековыми традициями, господствовавшими в математике, идеи, которые приводили к неожиданным и парадоксальным результатам, встретили серьезную оппозицию в лице многих ученых того времени, хотя ни один значительный математик не выступил в печати с отрицанием теории множеств или ее отдельных положений.

Предубеждение к повой теории в какой-то мере объяснялось еще тем, что Кантор, будучи глубоко верующим католиком, придавал своим статьям откровенно выраженную теологическую форму.

Так, он, например, пытался проводить параллель между свойствами бесконечных множеств и библейскими представлениями о боге.

И все же большинство так или иначе сознавали необходимость теории множеств для самых разнообразных областей математики, В частности, с неизменным вниманием относился к исследованиям Кантора его бывший учитель — один из крупнейших математиков того времени немецкий ученый Вейерштрасс. Когда в 1874 году Кантор доказал несчетность множества действительных чисел, заключенных на отрезке, Вейерштрасс убедил его опубликовать полученный результат и сделал все, чтобы работа Кантора была напечатана в самом распространенном математическом периодическом издании того времени «Журнале чистой и прикладной математики».

В августе 1897 года в Цюрихе состоялся первый Международный конгресс математиков, на котором присутствовало около 250 ученых из 16 стран. В первый же день на пленарном заседании выступал А. Гурвиц с докладом по теории так называемых аналитических функций. Все его выступление было пронизано теоретико-множественными идеями.

Теории множеств посвятил свой доклад также известный французский математик Ж. Адамар.

Это было официальным признанием теории.

Третий кризис

Казалось, все говорило о том, что теперь шествие теории множеств будет победным. Стремительно росло число публикуемых работ. Чуть ли не поголовно увлекались новой теорией молодые математики и студенты. Наконец получил глубокое и всестороннее обоснование анализ бесконечно малых.

— Мы можем сказать сегодня с удовлетворением, — торжественно объявил один из самых выдающихся математиков XIX века французский ученый Анри Пуанкаре (1854–1912), — что достигнута абсолютная строгость.

Вообще это был весьма любопытный период в истории естествознания, когда не только в математике, но и в физике создалось ощущение безмятежного благополучия, которое уже ничто не сможет нарушить. Разумеется, ученые знали, что есть еще немало проблем, которые предстоит исследовать, но были искренне убеждены в том, что в их распоряжении имеются уже все средства для решения чуть ли не любых задач.

В действительности же это было всего лишь обманчивое затишье перед бурей. И она разразилась почти одновременно и в физике и в математике. Возможно, такое совпадение не было простой случайностью. Историкам науки еще предстоит исследовать этот вопрос. Во всяком случае физика и математика развивались в тесной связи друг с другом.

То, что произошло в физике, достаточно общеизвестно. Был открыт целый ряд новых фактов, которые не укладывались в стройную и, казалось бы, непогрешимую картину мира, созданную классической физикой. Этот конфликт между теорией и природой привел к настоящей революции — появились совершенно новые физические теории: теория относительности и квантовая механика, новые не только в смысле новых положений и формул, но и в смысле совершенно нового подхода к пониманию явлений природы.

Кризис в математике разразился уже через два года. после оптимистического заявления Пуанкаре. Известный английский ученый Б. Рассел и независимо от него Цермелло обнаружили неожиданный парадокс. Оказалось, что стройные и, казалось бы, логически неуязвимые положения теории множеств приводят к вопиющему логическому противоречию. Суть его состоит в следующем.

Некоторые множества содержат сами себя в качестве одного из элементов. Например, множество всех абстрактных понятий само является абстрактным понятием и потому тоже входит в это множество.

Вполне правомерно, с точки зрения канторовской теории множеств, рассматривать и множество всех существующих вообще множеств или множество всех множеств, обладающих определенным свойством.

Вот и составим множество всех множеств, которые не являются своим собственным элементом, и назовем его множеством А. Но поскольку мы собрали все множества, обладающие таким свойством, среди них должно быть и само множество А. Следовательно, А принадлежит к числу множеств, которые являются своим собственным элементом. Но ведь мы составили множество А только из таких множеств, которые не входят сами в себя.

Несколько короче эту странную ситуацию можно выразить в следующей парадоксальной фразе: множество всех множеств, не являющихся своим собственным элементом, является своим элементом тогда и только тогда, когда оно не является своим элементом…

Тот же парадокс можно изложить и в более житейской форме. Одному брадобрею разрешили брить тех и только тех людей, которые не бреются сами. Таким образом, множество всех людей на Земле, казалось бы, делится на две категории, два различных подмножества — подмножество тех, кто бреется сам, и тех, кто сам не бреется.

Но к какому из двух подмножеств отнести самого парикмахера?

Если он сам себя брить не будет, то попадет в число тех, кого он должен брить. Но если он сам себя побреет, то окажется среди тех людей, которых он брить не должен.

Некоторые парадоксы теории множеств были известны и до этого. Два из них обнаружил сам Кантор, когда после продолжительной болезни, вызванной нервным переутомлением, слова вернулся к математическим исследованиям.

Но парадокс Рассела — Цермелло произвел неизмеримо более сильное впечатление. Ведь он затрагивал не только теорию множеств и даже не только математику, но и логику вообще, — вспомним историю с брадобреем.

Возможно, все дело в том, что нельзя рассматривать слишком обширные множества — такие, как множество всех множеств, обладающих определенными свойствами.

Но если запретить множество всех множеств, мы придем к противоречию с канторовским определением множества.

«Чтобы вообще иметь теорию множеств, — пишет известный математик С. К. Клини в своей книге „Введение в математику“, — надо иметь теоремы, справедливые для всех множеств, а все множества, по канторовскому определению, образуют множество. Если это не так, то мы должны указать, каким определением множества мы будем пользоваться взамен…»

Но главное даже не в этом. Дело в том, что одним из основных, фундаментальных положений логики является так называемый закон исключенного третьего, основанный на многовековом практическом опыте человечества. Коротко этот закон можно выразить так: или «да» — или «нет». Другими словами, любое утверждение либо истинно, либо ложно — третьего быть не может, не может человек одновременно и бриться и не бриться.

Закон исключенного третьего можно сформулировать и в несколько иной более строгой форме: если об одном и том же предмете высказывается некоторое утверждение и утверждение, его отрицающее, то если одно из них истин по, то другое обязательно ложно.

В истории с брадобреем мы еще как-то можем найти выход из положения: брадобрея, удовлетворяющего предъявленным условиям, просто не может существовать, и закон исключенного третьего остается неприкосновенным. А вот в общем случае бесконечных множеств все обстоит значительно сложнее. Здесь уже далеко не ясно, существует или не существует объект с заданными свойствами; не можем мы, очевидно, поручиться и за справедливость закона исключенного третьего.

В области бесконечного отказывает наш опыт, а следовательно, нет и никакой гарантии того, что на эту область можно автоматически переносить законы нашей обычной логики.

События, развернувшиеся после того, как стал известен парадокс Рассела — Цермелло, Жорж Адамар назвал землетрясением в математике. И очень многие исследователи сразу же отшатнулись от теории множеств, а вместе с ней снова от операций с бесконечностью.

Даже немецкий математик Рихард Дедекинд (1831–1916), который начал работать в области теории множеств еще до Кантора и одновременно с Кантором развивал основные идеи в этой области, теперь пытался в своих работах обходиться без теоретико-множественных представлений.

А уже известный нам Давид Гильберт предпочитал воздерживаться от утверждений, что прямые и плоскости есть множества точек.

— Опубликование парадокса Рассела — Цермелло, — говорил он, — оказало на математический мир прямо-таки катастрофическое действие.

Но, как совершенно справедливо заметил, правда, по несколько иному поводу, советский ученый академик А. Н. Колмогоров, проблема не перестает быть проблемой от того, что о ней стараются не говорить.

Сам Кантор поставил устранение парадоксов главной своей задачей. И в последние годы жизни, по существу, только и занимался этой проблемой. Но решить ее так ему и не удалось.

Трудились над ней и другие математики. Но словно в насмешку число парадоксов не только не уменьшилось, но даже возросло.

Среди этих парадоксов особый интерес представляет так называемый «парадокс Сколема», который состоит в том, что при определенных обстоятельствах можно несчетное множество отобразить в счетное множество. Этот парадокс наводит на весьма интересную мысль: понятия счетности и несчетности, быть может, носят относительный характер.

Третий кризис оснований математики оказался необычайно глубоким. Он не преодолен до конца и сегодня, хотя, после того как прошел первый шок, над поисками выхода из создавшейся критической ситуации задумывались многие выдающиеся умы.

Чтобы лучше оценить случившееся, попробуем представить себе обсуждение этой волнующей проблемы математиками различных направлений.

Первый математик: Я надеюсь, все со мной согласятся, что состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо.

Второй математик: Еще бы! Подумайте только: в математике, этом образце достоверности и истинности, образование понятий и ход умозаключений приводит к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?

Третий математик: Что произошло бы с истинностью наших знаний, если бы даже в математике не стало достоверной истины?

Первый математик: На мой взгляд, в традиционном понимании математики и логики нет решительно ничего, что могло бы послужить основой для устранения парадокса Рассела. Это надо уяснить с самого начала. Я убежден, что любые попытки выйти из положения с помощью традиционных способов мышления, имевших хождение до XX столетия, заведомо недостаточны и обречены на провал.

Второй математик: Мне думается, что все дело в проблеме существования. Как в самом деле выяснить, существует ли то или иное бесконечное множество с заданными свойствами? Ведь мы в принципе не можем перебрать все его элементы. Необходим какой-то критерий.

Первый математик: Какой же?

Второй математик: Я думаю, наиболее целесообразно считать существующим то, что внутренне непротиворечиво. Помните, как у Гегеля: все разумное действительно.

Третий математик; А на мой взгляд, существующим следует признавать только то, что можно сконструировать, построить. Разумеется, хотя бы в принципе.

Первый математик: А все остальное?

Третий математик: Все остальное следует из математики исключить, безжалостно изгнать как нечто лишенное смысла. Разумеется, нельзя полностью исключить из математики бесконечность, но вполне возможно уничтожить ее актуальный характер.

Первый математик: А как же быть с логикой?

Второй математик: Все дело в бесконечности, в бесконечности как таковой. А поскольку бесконечность проникает во всю математику, неизбежна реформа не только математики, но также и логики. Надо изучать математические построения сами по себе, а классическая логика для этого явно непригодна. И прежде всего необходимо отвергнуть принцип исключенного третьего.

Первый математик; Не слишком ли радикальные меры вы предлагаете? Для того чтобы вылечить палец, незачем ампутировать ногу. Отнять у математиков закон исключенного третьего — это то же самое, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользоваться перчатками.

Такова ситуация. И наша маленькая дискуссия рисует ее достаточно объективно. Ибо все или почти все слова, произнесенные ее участниками, действительно были, хотя и в разное время, произнесены вполне реальными представителями математической науки.

Впрочем, на первых порах споры и диспуты были далеко не столь академичными. Страсти накалялись до предела.

— Не может быть никакой дискуссии, — говорил в то время математик Лебег, — ибо у спорящих нет общей логики, и ничего, кроме взаимных оскорблений, у них получиться не может.

Прошло двадцать пять лет. И вот в сентябре 1930 года по инициативе научного журнала «Открытия» в г. Кёнигсберге собрался международный симпозиум, призванный обсудить вопрос об основаниях математики, все еще не потерявший свою остроту.

«Участники симпозиума серьезно пытались нанять друг друга, — вспоминает один из тогдашних докладчиков А. Гейтинг. — Но каждый был убежден, что именно его точка зрения единственно правильная, что никакая другая не имеет права называться математикой и что его точка зрения обязательно победит в недалеком будущем».

Увы, надежды не оправдались. Прошло еще сорок с лишним лет, но кризисная ситуация сохранилась.

«Дух мирного сотрудничества одержал победу над духом непримиримой борьбы, — писал недавно тот же А. Гейтинг. — Ни одно из направлений теперь не претендует на право представлять единственно верную математику».

Итак, кризис, вызванный парадоксом Рассела — Цермелло, не преодолен и до сегодняшнего дня. И значение этого кризиса далеко не ограничивается рамками математики. В сущности, это глубокая философская проблема.

Столкновение с бесконечностью привело древнегреческих философов к зачаткам диалектического мышления. Оно показало, что реальный мир отнюдь не является зеркальным повторением наших идеализированных представлений о нем, что далеко не всегда и не во всем можно полностью доверяться наглядности и обыденному здравому смыслу.

Вторая встреча с бесконечностью — с бесконечно малыми величинами — также имела глубокое принципиальное значение. Она убедительно продемонстрировала, что понятие бесконечного не беспочвенная абстракция, ничего общего не имеющая с реальной действительностью — оказалось, что с бесконечностями можно оперировать и получать практические результаты.

Кризис, вызванный парадоксом Рассела — Цермелло, стал новой ступенью в изучении проблемы бесконечного.

И эта новая ступень, как с полным основанием считают многие ученые, потребовала и нового способа мышления, соответствующего тому уровню развития естествознания, какого оно достигло в нашу эпоху.

Существует ли такой способ? Да, существует. Это материалистическая диалектика, отражающая, с одной стороны, существо тех реальных процессов, которые происходят в окружающем нас мире, а с другой стороны, сложный и противоречивый процесс их познания.

И, пожалуй, самое знаменательное, что этот метод и сам по себе не является чем-то застывшим и раз навсегда данным. Как подчеркивал В. И. Ленин, диалектический материализм меняет свой вид с каждым великим научным открытием.

Революция в физике уже внесла свой весомый вклад в развитие материалистической диалектики. Теория относительности раскрыла перед нами глубочайшую внутреннюю взаимосвязь, казалось бы, совершенно разнородных явлений природы, убедила в том, что многие физические величины, представлявшиеся абсолютными, в действительности изменяются в зависимости от внешних условий. Квантовая теория разрушила метафизическое представление о причинности, показав, что будущее отнюдь не вытекает из прошлого с железной однозначностью, а связано с ним законами вероятности.

Кроме того, революция в физике продемонстрировала относительность наших знаний, не оставив сомнений в том, что любые естественнонаучные теории всегда обладают определенными границами применимости.

Что принесет с собой разрешение третьего великого кризиса в математике?

«Возможно, — говорит академик Наан, — мы стоим на пороге наиболее грандиозной революции в точных науках, в сравнении с которой даже коперниковская или канторовская революция или революции, связанные с открытием неэвклидовых геометрий, построением квантовой теории или теории относительности будут казаться не столь уж радикальными».

Проблема континуума

Одним из важнейших постулатов, на который опирались все существовавшие до сих пор физические картины мира, а вместе с ними и наше мировоззрение, является постулат о непрерывности пространства и времени, то есть об их неограниченной бесконечной делимости.

Вопрос стоит так: если имеются две сколь угодно близкие точки, можно ли поместить между ними еще одну? И то же самое для моментов времени.

— Мы даже не можем по-настоящему представить себе, каков был бы мир, например, со «щелями» во времени! — говорит академик Наан. — И все-таки подобную возможность нельзя считать заранее исключенной.

Одним словом, непрерывность — одно из тех математических понятий, которые играют важнейшую роль в построении современной физической картины мира.

Даже частичный отказ от постулата непрерывности повел бы не только к принципиальным изменениям наших физических представлений о Вселенной, но и к весьма существенным последствиям философского характера. Ведь с этим постулатом самым тесным образом связаны такие фундаментальные понятия, как причинность, познаваемость всех частей мира и многие другие.

Если пространство и время дискретны, то есть состоят из отдельных обособленных точек или моментов, разделенных непроходимыми щелями, то их общее число во Вселенной хотя и может быть бесконечным, но эта бесконечность не более чем счетная. Эти точки или моменты можно, в принципе, перенумеровать с помощью чисел натурального ряда.

Если же пространство и время непрерывны, то уже на любом отрезке длины или интервале времени мы встретимся с множеством более высокой мощности, чем счетная, — множеством мощности континуума.

Еще Георг Кантор сформулировал проблему, которая представляет не только чисто математический, но и глубокий физический интерес: насколько велика пропасть, разделяющая эти две бесконечности — счетную и континуальную?

Эта проблема возникает совершенно естественным образом. В самом деле, ведь между двумя любыми соседними числами натурального ряда, скажем, между единицей и двойкой располагается бесконечное множество точек числовой прямой — действительных чисел. Таким образом, континуальная бесконечность бесконечно богаче счетной или, иначе говоря, бесконечен скачок от счетного множества к континууму. Поэтому вполне логично задаться вопросом о существовании промежуточных бесконечностей.

Сам Кантор считал, что бесконечных множеств с промежуточной мощностью не существует. Это утверждение, получившее название проблемы континуума, он пытался доказать на протяжении многих лет, исходя из основных положений теории множеств, но безуспешно.

Проблема континуума — одна из тех знаменитых математических задач, которые, однажды возникнув, на протяжении многих десятилетий оставались неразрешенными, волнуя умы множества ученых.

На рубеже XIX и XX столетий Давид Гильберт, перечисляя важнейшие с его точки зрения задачи математики будущего, поставил проблему континуума на первое место.

Однако все колоссальные усилия математиков, направленные на ее решение, не принесли ничего реального вплоть до 1940 года, когда выяснилось, что проблема континуума теснейшим образом связана с другим важнейшим положением теории множеств, так называемой аксиомой выбора.

Как и в основе многих других математических теорий, в фундаменте теории множеств лежит система аксиом, исходных положений, из которых путем логических заключений выводятся все остальные положения.

Система аксиом должна быть непротиворечивой — логические выводы, полученные на ее основе, не должны вступать в противоречия друг с другом. Это одно из фундаментальных требований к исходным положениям любой научной теории, так как из противоречивых утверждений можно вывести все что угодно.

Ведь если два утверждения противоречат друг другу — одно из них неизбежно является ложным. Показательна в этом смысле своеобразная теорема, которую приводит математик Хаусдорф в качестве подстрочного примечания в своей знаменитой книге «Теория множеств»:

«Если дважды два равно пяти — то существуют ведьмы…»

Итак — непротиворечивость. Но, как уже было сказано, система исходных положений канторовской теории множеств этому требованию, к сожалению, не удовлетворяет — их логическое развитие приводит к неустранимым парадоксам.

И многие математики как раз и видят выход из третьего великого кризиса в том, чтобы построить такую аксиоматику теории множеств, которая «давала бы все, что нужно, и ничего лишнего», то есть не приводила бы к парадоксам.

Попыток предпринималось немало. В настоящее время наибольшим признанием пользуется система аксиом Цермелло — Френкеля.

С парадоксами она пытается расправиться путем введения специальных «ограничительных» аксиом, попросту запрещающих существование таких множеств, которые приводят к неразрешимым противоречиям.

Удастся ли таким путем до конца преодолеть все трудности, покажет будущее. Сейчас нас интересует другое. В системе аксиом Цермелло — Френкеля есть несколько аксиом, непосредственно связанных с бесконечностью. Одна из них, например, постулирует ее существование. Другая — «аксиома выбора», аксиома, которая подобно вопросу о непрерывности имеет самое непосредственное отношение к нашим представлениям о физике Вселенной.

Как известно, обычные натуральные числа характеризуют не только количество, но и порядок. Пятый значит пятый по счету, то есть следующий за четвертым и предшествующий шестому.

Трансфинитные числа, введенные Кантором, устанавливают аналогичный порядок в мире бесконечностей. Кантор предполагал, что с помощью трансфинитных чисел можно перенумеровать любое бесконечное множество и тем самым упорядочить его подобно множеству натуральных чисел.

В том и заключается главный смысл теории множеств, что она превратила математическую бесконечность из чего-то неясного и расплывчатого, находящегося «по ту сторону» от обычных объектов, с которыми мы можем оперировать, в нечто доступное измерению и численному выражению, построила аппарат для исчисления бесконечностей. В дальнейшем предположение Кантора о возможности упорядочения любого множества было строго доказано исходя из аксиомы, предложенной Цермелло и получившей впоследствии название аксиомы выбора.

Для человека, мало знакомого с математикой, эта аксиома прозвучит, должно быть, несколько странно.

Предположим, что у нас имеется бесконечное множество непересекающихся, то есть не имеющих общих элементов бесконечных множеств. Тогда, утверждает аксиома выбора, можно построить по меньшей мере одно множество, которое содержит по одному и только одному элементу из каждого нашего множества.

На первый взгляд, такое утверждение представляется довольно тривиальным. В самом деле, если в школе есть, скажем, десять шестых классов и в каждом из них по 30–40 человек, то нет абсолютно ничего сложного в том, чтобы составить множество, и далеко не единственное, в которое войдет по одному представителю из каждого класса.

Да, действительно, для конечных множеств все получается очень просто. В сущности, в этом случае аксиома выбора — уже не аксиома, ее можно совершенно строго доказать.

Но вот, можно ли ее автоматически обобщить на случай бесконечных множеств, далеко не очевидно. Этот вопрос не мог не волновать математиков, хотя бы уже потому, что из аксиомы выбора непосредственно следует справедливость предположения Кантора об отсутствии промежуточных мощностей между счетным множеством и континуумом.

Вопрос стоял так; противоречит или не противоречит аксиома выбора другим исходным аксиомам теории множеств? После многолетних усилий ряда ученых в 1938–1948 гг. Курт Гёдель наконец нашел ответ на этот вопрос: аксиома выбора независима от других аксиом теории множеств и не вступает с ними в противоречие. А это означало, что континуум-гипотезу Кантора нельзя опровергнуть.

Но тем самым сложилась ситуация, весьма напоминающая знаменитую историю с пятым постулатом Эвклида и чреватая далеко идущими последствиями.

Среди основополагающих аксиом эвклидовой геометрии есть одна аксиома, посвященная вопросу о параллельных и хорошо известная каждому школьнику. Эта аксиома — пятый постулат — утверждает, что через точку, расположенную вне прямой линии, можно провести лишь единственную прямую, параллельную данной. Это утверждение, согласующееся с нашим повседневным опытом, в течение длительного времени считалось вполне очевидным и не вызывало никаких сомнений. Правда, неоднократно делались попытки доказать пятый постулат, вывести его из других аксиом; однако эти попытки не приносили успеха, хотя подобными исследованиями занимались такие выдающиеся математики, как Лагранж, Лаплас, Даламбер, Фурье, Гаусс и многие другие.

Так продолжалось до тех пор, пока проблемой не заинтересовался наш соотечественник Н. И. Лобачевский (1792–1856). Он предпринял попытку построить такую геометрию, все аксиомы которой были бы тождественны обычным, но пятый постулат заменен другим: через точку, лежащую вне прямой, можно провести сколько угодно линий, ей параллельных.

Лобачевский рассуждал так: если подобное предположение неверно, оно неизбежно приведет к противоречию, и утверждение Эвклида о параллельных прямых будет тем самым доказано.

Однако никаких противоречий не возникло: оказалось, что с помощью системы аксиом, выбранной Лобачевским, тоже может быть построена вполне непротиворечивая геометрия.

Как известно, открытие Лобачевского совершило подлинный переворот в математических представлениях. Оно не только указало принципиально новые пути для развития самой математики, но. и дало чрезвычайно важный толчок к новому пониманию роли математических и, в частности, геометрических методов в изучении окружающего нас мира.

Если эвклидова геометрия не единственная возможная геометрическая система, то вполне вероятно, что и геометрические свойства Вселенной могут выходить за рамки этой системы.

По существу, это был первый шаг к новой картине мира, построенной впоследствии теорией относительности.

В 1962–1964 гг. П. Коэн осуществил последний и самый важный шаг в решении проблемы континуума. Ему удалось доказать, что система аксиом Цермелло — Френкеля остается непротиворечивой и в том случае, если заменить аксиому выбора другой аксиомой, противоположной по содержанию. В этой системе аксиом не выполняется и континуум-гипотеза Кантора, что также не приводит ни к каким противоречиям.

Многие считают, что открытие Коэна является одним из самых выдающихся достижений естественных наук во второй половине текущего столетия, и его можно сравнить с такими научными свершениями, как, скажем, открытие квазаров и пульсаров в астрономии или крушение закона «четности» в физике.

Ведь из работы Коэна следует, что может быть построена вполне непротиворечивая математика, в которой ни аксиома выбора, ни континуум-гипотеза не выполняются. И если обычная математика — это математика упорядоченного мира, то новая, о которой идет речь, — это математика мира, не поддающегося упорядочению. Вопрос: в какой степени такая математика отражает свойства реальной Вселенной, существуют ли в природе физические условия, которые ей соответствуют?

Заранее предугадать ответ на этот вопрос, разумеется, невозможно, его может дать только дальнейшее изучение реального мира.

Но сам по себе вопрос этот вполне законный. Хотя математические теории часто развиваются по своей внутренней логике и потому кажутся иной раз совершенно оторванными от реальности, в конечном счете в их основе лежат те или иные объективные факты. И поэтому тесная связь между математическими представлениями и развитием физической картины мира — связь, которую мы обнаруживаем буквально на всех этапах истории естествознания, далеко не случайна.

Совершенно отчетливо проглядывает эта связь и в исследовании проблемы бесконечности Вселенной, в изучении геометрических свойств окружающего нас мира.