Пока алгебра не разлучит нас

1

1 Сторонники Альфреда Дрейфуса, французского офицера, еврея по происхождению, незаконно осужденного по обвинению в государственной измене в конце 1894 года.

2

2 Коллеж де Франс, основанный королем Франциском I в 1530 году, — уникальное учебное заведение. Каждый год преподаватели точных и естественных наук читают курсы самого высокого уровня для всех желающих, где представляют свои исследования, которыми занимаются в настоящий момент.

3

3 Высшая нормальная школа Парижа — престижное высшее учебное заведение, где готовят преподавателей и исследователей по всем точным и естественным наукам. Среди выпускников школы двенадцать нобелевских лауреатов и одиннадцать лауреатов Филдсовской премии. Для поступления в Нормальную школу нужно пройти двухлетние подготовительные курсы, по окончании которых сдаются письменные и устные экзамены.

4

1 Морис Оден работал над докторской диссертацией в Университете Алжира и был схвачен, подвергнут пыткам и казнен французскими властями за ожесточенное противодействие их колониальной политике. Диссертация была защищена в Париже в его отсутствие.

5

1 Понятие изоморфизма групп подробно рассматривается в начале приложения.

6

1 Заинтересованный читатель найдет полное доказательство в приложении. Чтобы вы могли полностью понять доказательство, рекомендуем сначала прочесть первую часть следующей главы.

7

2 Перевод А. М . Эфроса.

8

1 Докажем это! Пусть d = НОД (m, n). Допустим, что результат деления m на n равен f, остаток равен r, то есть m = л/ + r. Заметим, что r делится на d. В самом деле, по определению существуют числа р и q такие, что m = dp и n = dq. Подставив эти выражения в первое равенство, получим: r = m — nt = dp — dqt = d (p — qt), следовательно, r делится на d. Чтобы показать, что НОД (n, r) = d, достаточно доказать, что эти два числа не могут иметь общий делитель, больший d. Это вновь следует из формулы m = nt + r: если бы такой делитель существовал, он также был бы делителем m, следовательно, был бы общим делителем m и n, большим d, но d — наибольший общий делитель по определению.

9

1 Как объяснял один из членов Британского института стандартов, «частота, используемая в трансляциях ВВС, определялась осциллятором, в котором использовался пьезоэлектрический кристалл с частотой колебаний в 1 миллион герц. Эта частота уменьшалась электронными средствами до 1000 Гц, затем умножалась на 11 и делилась на 25. Так получалась требуемая частота в 440 Гц. Так как число 439 является простым, его нельзя получить подобным способом».

1

1 Автор выражает благодарность Густаво Очоа за помощь в подготовке приложения.

2

2 На самом деле мы доказали следующий, более точный результат.

Пусть С — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами а и b. Пусть порядок (а) = p₁^e₁ ... m p_r^e_r и порядок (b) = p₁^f₁ ... m p_r^f_r, где р — простые числа, e₁ и f₁ — целые неотрицательные числа, m и n — взаимно простые. Следовательно, группа G изоморфна группе, порожденной двумя элементами х и у такими, что порядок (х) = p₁^h₁ ... p_r^h_r, mn и порядок (у) = p₁^g₁ ... p_r^g_r, где h = max(е, f) и g = min(e, f) для всех i = 1,...,r.