Применение гистограмм в управлении качеством. Учебное пособие

4. Форма распределения

Вначале рассмотрим форму нормального распределения. Мы будем использовать функцию плотности вероятности р (х). Нормальное распределение в общем виде описывается уравнением (4.1).

В этой формуле использованы следующие обозначения:

х – значение случайной величины;

p – вероятность того, что случайная величина примет значение, равное х;

μ – математическое ожидание – для дальнейшей работы почти то же самое, что и среднее значение;

σ – с.к.о., или среднее квадратичное отклонение, или стандартное отклонение, или сигма – параметр распределения, характеризующий разброс вокруг среднего значения;

π – число «пи», равное 3,14159…;

е – число Эйлера, равное 2,718…

Вопрос. Что такое СКО?

Задание. Напишите формулу для нормального распределения на листе бумаги и вставьте в электронный отчёт.

Зная характеристики распределения, можно приблизительно оценить общий вид графика – симметричный, колоколообразный. Единственная вершина соответствует среднему значению. Правило трёх сигм даёт возможность определить примерные границы значений:

СРЕДНЕЕ ПЛЮС-МИНУС ТРИ СИГМЫ.

За пределами этого диапазона значений почти нет. График спадает до нуля. Подробности можно найти в работе [1]. Пример для нулевого варианта приводится на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Форма распределения

Задание. Сделайте зарисовку формы распределения для своего варианта задания и вставьте в отчёт. Зарисовка делается СХЕМАТИЧНО. Особая точность и художественный талант в этом задании не требуются.

При вычислениях нам придётся столкнуться с особенностями работы Excel. Эта программа различает минус как ЗНАК ЧИСЛА и минус как операцию ВЫЧИТАНИЯ. На вид это один и тот же символ. Но программа обрабатывает их по-разному. Различается порядок выполнения операций.

Чтобы познакомиться с этой особенностью, введём следующие формулы:

= -2^2

= 2—2^2

= – (2^2)

Результаты опыта приведены на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Обработка минуса

Выясняется, что знак числа обрабатывается до возведения в степень. Поэтому при возведении в квадрат могут понадобиться дополнительные скобки.

Задание. Проведите описанный опыт над минусами.

Вопрос. Как Excel обращается со знаком минус при вычислениях?

Построим график нормального распределения для своего варианта по формуле (4.1). Для этого создадим столбец в несколько десятков чисел в пределах «среднее плюс-минус три сигмы». Для нулевого варианта возьмём числа от 980 до 1020 с шагом 1. Вставим график на той же странице отчёта, где находится зарисовка для нашего варианта (рис. 4.3). Используем «точечный график», в котором задают массив «иксов» и массив «игреков»:

Insert – Charts – Insert Scatter (X, Y) or Bubble Chart – Scatter – Scatter with Straight Lines.

Рис. 4.3. Расчётное распределение

Задание. Постройте график распределения по своему варианту.

Рассмотрим график распределения и отметим его особенности. При анализе (чтении) гистограммы нам придётся следить за тремя свойствами:

1. Форма кривой СИММЕТРИЧНАЯ относительно среднего значения.

2. График по форме напоминает КОЛОКОЛ. Поэтому говорят, его форма колоколообразная.

3. У графика всего ОДНА ВЕРШИНА. Положение этой вершины, или пика, или максимума, соответствует среднему значению. Этот х называется МОДА – значение случайной величины, которое встречается чаще всего. То есть с наибольшей частотой. То есть с максимальной вероятностью.

Любое отклонение от трёх перечисленных свойств нужно рассматривать как сигнал о нежелательных изменениях в производственном процессе.

Вопрос. Какие три свойства нормального распределения учитывают при чтении гистограммы?

Вопрос. Что такое МОДА?

Задание. Рассмотрите свой график. Выполняются ли три указанных свойства?