Парадоксы и противоречия. Активация аналитического мышления
Мы потренируем левое полушарие мозга и расскажем о самом интересном, что неизбежно встречается на жизненном пути изобретателя, – о парадоксах и противоречиях! Только в последние сто лет прояснилась наконец их роль в развитии научного и инженерного знания. И только в последние двадцать лет стало ясно, что в ближайшем будущем эта роль будет только возрастать!
В незапамятные времена человечество обнаружило парадоксы. И один из первых приписывают знаменитому критскому философу Эпимениду, жившему в VI в. до н. э. Он довольно нелестно отзывался о своих соотечественниках: «Все критяне – лжецы». Но ведь и сам Эпименид тоже критянин! Получается, что если Эпименид говорит правду, то он лжец, как и его соотечественники. А значит, его утверждение ложно и критяне не лжецы, как и сам Эпименид. Следовательно, он говорит правду, а правда такова, что «Все критяне – лжецы». Так как же быть: ложно или истинно высказывание Эпименида?
Этот «мысленный выверт», повторённый во множестве вариантов и больше известный как «парадокс лжеца» не давал и до сих пор не даёт покоя многим любителям головоломок, и физикам и лирикам. Его кажущаяся простота и лаконичность бросают вызов нашему уму и требуют немедленного разрешения.
Мы не раз наблюдали людей, спокойно проживших много лет и ничего не знавших об этом парадоксе. Когда неискушённый человек сталкивается с парадоксом, он испытывает что-то вроде интеллектуального шока. Как такое может быть? «На ровном месте», из ничего, возникает проблема, рушащая основы нашего представления об истине и лжи! Эта проблема оказывается мощным стимулом для интеллектуального тренинга.
Недаром говорят что, один древнегреческий логик (по одним сведениям Диодор Кронос, по другим – Филит Косский) дал обет, не принимать пищу до тех пор, пока не найдёт решения парадокса «Лжеца», и вскоре умер, так ничего и не добившись. Конечно, это, скорее всего, красивая легенда, но есть в этой легенде глубокий смысл! Как говорится, «сказка ложь, да в ней намёк – добрым молодцам урок».
Один из соавторов этой книги «Много раз предлагал я студентам этот парадокс и неизменно наблюдал неподдельное оживление аудитории. Постепенно в моём арсенале появились и другие парадоксы, софизмы и просто провокационные задачи, тем более что все они имели какое-либо отношение к диалектике, с которой меня ещё в студенческие годы познакомил друг и коллега Валентин Куликов. Параллельное изучение Теории Решения Изобретательских Задач привело меня к необходимости анализа противоречий, формой которых и являются часто парадоксы. Время шло, опыт и материал накапливались, пока, наконец, не наступил момент для связного изложения на бумаге… Ради чего, собственно?
Среди множества литературы по противоречиям и парадоксам не так уж много, или почти совсем нет изданий, которые мог ли бы служить методическим пособием для освоения особого метода мышления, который можно было бы назвать „инструментально-диалектическим“.
Да, есть „Наука логики“ Г. В. Ф. Гегеля, но даже простое прочтение её является интеллектуальным подвигом, на который способны не многие. Есть старые учебники диалектического материализма, которые не способны были научить диалектическому мышлению и в советские времена. Есть некоторые прекрасные статьи о парадоксах, целью которых является увлечь читателя головоломной красотой, познакомить, ввести в курс дела, но только не научить! Таким образом, ниша более-менее популярного изложения и ниша методически последовательного изложения пусты».
Что получит взамен читатель, отважившийся прочитать этот раздел до конца? Мы надеемся, он сможет без содрогания и ужаса оперировать парадоксами и противоречиями, анализировать их, докапываясь до сути, разрешать, получая новые результаты (научные, инженерно-технические, художественные), придумывать свои собственные парадоксы и противоречия, строить системы противоречий. Короче, читатель станет универсальным интеллектуальным бойцом!
Трудно описать все те классы задач, которые могут быть решены методом анализа противоречия. Это задачи техники и экономики, физики и математики, художественного творчества. Анализ противоречий и диалектический синтез не заменяют собой методы, которые созданы человечеством на долгом пути развития, но они лежат в их основе, позволяя глубже понимать эти методы и совершенствовать их.
Немного определений. Из истории открытия парадоксов
Для начала определимся с некоторыми древними понятиями: софистикой, диалектикой и схоластикой, вокруг которых и будет разворачиваться описание.
Диалектика произошла от искусства вести спор – говорить вдвоём. В процессе словесных баталий в демократических Афинах вырабатывалось искусство логической аргументации. Добивался общественного успеха тот, кто лучше мог донести до народа (демоса) свои идеи. Процветали учителя, обучавшие аргументации в афинском суде. Искусство риторики ценилось очень высоко. Именно тогда открыли доказательство методом приведения к абсурду, или, иначе, к противоречию. Яркими представителями ранней диалектики являются Сократ, наиболее знаменитый его ученик Платон и ученик его ученика Аристотель.
Софистика возникла как искусство побеждать в спорах любой ценой. Распространено мнение, что софисты не гнушались использовать внутренне логически ошибочные, но внешне вполне приемлемые приёмы рассуждения, логические ловушки и внелогические аргументы. Например, известный софизм: «Ты имеешь то, что не терял. Ты не терял рогов? Следовательно, ты рогат!»
На самом деле, как считают исследователи, софисты утверждали относительность истины, а то и просто невозможность её существования, точнее было бы сказать, невозможность существования «абсолютной истины». На этом основании они ошибочно утверждали, что существуют только различные мнения, и задача философов (и особенно политиков) состоит в том, чтобы выдавать свои мнения за истину и убеждать в этом окружающих. Данная принципиальная позиция софистов прозвучала в знаменитом высказывании Протагора: «Мнение человека есть мера истины», то есть каждый человек меряет вещи своей меркой и таким образом становится обладателем своей личной истины[23]. Таким образом, речь шла о том, что сегодня называют относительной истиной. Однако в результате о софистах сложилось устойчивое представление, как о тех, кто старается выдать ложь за истину, что, собственно, они иногда и делали.
Ну и третья – схоластика. Этимологически восходит к тому же корню, что и слово «школа». Греческое «scholastikós» – школьный, учёный. Парадоксально! Аристотель создал свою логику, абстрагируясь от содержания высказываний, то есть отталкиваясь от диалектики, которая только и занимается содержанием мышления. В дальнейшем аристотелева логика приобрела такой научный вес, что в значительной мере «загнала в угол» свою родительницу диалектику. Причиной гонений на диалектику были как субъективные факторы – использование диалектической парадоксальности в рассуждениях адептами инквизиции, так и объективные сложности в понимании и обучении диалектике. Схоластика продолжала традиции аристотелевой логики в Средние века на базе церковных школ и не дала безвозвратно утратить достижения античных учёных, подготовила приход новой волны развития логики.
Теперь вернёмся к парадоксу Эпименида. Известный как «Парадокс Лжеца», он встречается и в менее афористической, зато более краткой и сильной форме: «Я лгу», или «высказывание, которое я сейчас произношу, ложно». Стоящее в кавычках выражение в процессе рассуждений попеременно оказывается то истинным, то ложным, что невозможно с точки зрения аристотелевой логики. Этот вариант формулировки парадокса принадлежит Евбулиду (IV век до н. э.).
В 1913 году англичанин Джордан добавил в копилку парадоксов такой. На одной стороне карточки написано: «Утверждение на другой стороне этой карточки истинно». Перевернув карточку, мы обнаруживаем: «Утверждение на другой стороне этой карточки ложно». Вот и попробуй, разберись! Если верить первому утверждению, то второе правильно. Но если правильно второе, то неверно первое! И наоборот.
Двенадцать апорий Зенона
Апорией называют наиболее острую форму парадокса. К сожалению, до настоящего времени дошли только 4 из 12 апорий Зенона Элейского («Стрела», «Дихотомия», «Ахиллес», «Стадион» и парадокс «Куча»). Настоящей катастрофой показались древним грекам открытые им противоречия, лежащие в основе понятия бесконечной делимости. До Зенона вполне естественным казалось, что материя может делиться на бесконечно малые порции, однако он подорвал логическую основу самой такой возможности. Именно реакция на апории привела Демокрита к атомизму.
Наиболее популярна апория, которая называется «Ахиллес»: «Да, грациозен и быстроног могучий Ахилл, сын Пелея, герой Троянской войны, воспетый Гомером. И как неуклюжа, как тихоходна черепаха, повсюду слывущая эталоном медлительности и нерасторопности! Ей ли тягаться в скорости с легендарным бегуном? А вот античный мудрец Зенон считал, что Ахиллу ни за что не догнать черепаху. Убеждение философа основывалось на том, что когда преследующий достигнет места, где находился преследуемый в момент старта, догоняемый бегун продвинется, хотя и немного, дальше. Значит, на новом небольшом участочке пути Ахиллу снова придется догонять черепаху.
Но пока преследователь добежит до этого второго пункта, беглянка снова переместится вперед. И так далее до бесконечности. Если же это будет длиться без конца и края, то как Ахиллу удастся обогнать черепаху? С другой стороны, из собственного повседневного опыта каждый школьник знает, что он, отнюдь, не будучи Ахиллом, способен запросто обогнать не только черепаху, но, чего доброго, и самого учителя – стоит только прозвучать звонку, возвещающему конец урока. А нет ли „ахиллесовой пяты“ у самих рассуждении Зенона?» (Бобров, 1966).
Язвительный А. С. Пушкин так отразил сей парадокс в 1821 году:
Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей[24].
Неразрешимый спор. Парадокс «Еватл и Протагор»
Считается, что этот парадокс основан на реальных событиях. У софиста Протагора был ученик по имени Еватл (Эватл), обучавшийся у него искусству выступления в суде. По договору, который заключили между собой учитель и ученик, Еватл должен был заплатить за обучение в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. Такая постановка вопроса может показаться странной, но на самом деле для молодого адвоката действительно очень важно зарекомендовать себя, выиграв свое первое дело.
Сумма же, предполагавшаяся к уплате за обучение, 10 тысяч драхм, была весьма велика по тем временам. Но Еватл поступил совсем неординарно: он не стал участвовать в судебных тяжбах и соответственно ничего не платил Протагору. Возможно, у него были для такого решения и другие основания, а не только нежелание платить. Тем не менее, Протагор решил подать на ученика в суд. Он рассуждал при этом так: поскольку это будет для Еватла первым процессом, в котором он будет вынужден участвовать хотя бы в качестве обвиняемого и ответчика, то если Еватл выиграет тяжбу, он заплатит по договору, а если проиграет, то заплатит по решению суда.
Как ни странно, но и Еватл рассуждал точно так же: «Если я проиграю этот процесс, – говорил он, – то не буду платить по договору, а если выиграю, то не буду платить по решению суда».
Вопрос: должен ли платить Еватл или нет?
Оставим читателю возможность самостоятельно поразмышлять над парадоксом. Заинтересованных же отсылаем к специальным работам на этот счёт[25]. Советуем, в том числе обратить внимание и на парадокс «Крокодил и мать», схожий по своему логическому содержанию с изложенным выше.
Для начала определимся с некоторыми древними понятиями: софистикой, диалектикой и схоластикой, вокруг которых и будет разворачиваться описание.
Диалектика произошла от искусства вести спор – говорить вдвоём. В процессе словесных баталий в демократических Афинах вырабатывалось искусство логической аргументации. Добивался общественного успеха тот, кто лучше мог донести до народа (демоса) свои идеи. Процветали учителя, обучавшие аргументации в афинском суде. Искусство риторики ценилось очень высоко. Именно тогда открыли доказательство методом приведения к абсурду, или, иначе, к противоречию. Яркими представителями ранней диалектики являются Сократ, наиболее знаменитый его ученик Платон и ученик его ученика Аристотель.
Софистика возникла как искусство побеждать в спорах любой ценой. Распространено мнение, что софисты не гнушались использовать внутренне логически ошибочные, но внешне вполне приемлемые приёмы рассуждения, логические ловушки и внелогические аргументы. Например, известный софизм: «Ты имеешь то, что не терял. Ты не терял рогов? Следовательно, ты рогат!»
На самом деле, как считают исследователи, софисты утверждали относительность истины, а то и просто невозможность её существования, точнее было бы сказать, невозможность существования «абсолютной истины». На этом основании они ошибочно утверждали, что существуют только различные мнения, и задача философов (и особенно политиков) состоит в том, чтобы выдавать свои мнения за истину и убеждать в этом окружающих. Данная принципиальная позиция софистов прозвучала в знаменитом высказывании Протагора: «Мнение человека есть мера истины», то есть каждый человек меряет вещи своей меркой и таким образом становится обладателем своей личной истины[23]. Таким образом, речь шла о том, что сегодня называют относительной истиной. Однако в результате о софистах сложилось устойчивое представление, как о тех, кто старается выдать ложь за истину, что, собственно, они иногда и делали.
Ну и третья – схоластика. Этимологически восходит к тому же корню, что и слово «школа». Греческое «scholastikós» – школьный, учёный. Парадоксально! Аристотель создал свою логику, абстрагируясь от содержания высказываний, то есть отталкиваясь от диалектики, которая только и занимается содержанием мышления. В дальнейшем аристотелева логика приобрела такой научный вес, что в значительной мере «загнала в угол» свою родительницу диалектику. Причиной гонений на диалектику были как субъективные факторы – использование диалектической парадоксальности в рассуждениях адептами инквизиции, так и объективные сложности в понимании и обучении диалектике. Схоластика продолжала традиции аристотелевой логики в Средние века на базе церковных школ и не дала безвозвратно утратить достижения античных учёных, подготовила приход новой волны развития логики.
Теперь вернёмся к парадоксу Эпименида. Известный как «Парадокс Лжеца», он встречается и в менее афористической, зато более краткой и сильной форме: «Я лгу», или «высказывание, которое я сейчас произношу, ложно». Стоящее в кавычках выражение в процессе рассуждений попеременно оказывается то истинным, то ложным, что невозможно с точки зрения аристотелевой логики. Этот вариант формулировки парадокса принадлежит Евбулиду (IV век до н. э.).
В 1913 году англичанин Джордан добавил в копилку парадоксов такой. На одной стороне карточки написано: «Утверждение на другой стороне этой карточки истинно». Перевернув карточку, мы обнаруживаем: «Утверждение на другой стороне этой карточки ложно». Вот и попробуй, разберись! Если верить первому утверждению, то второе правильно. Но если правильно второе, то неверно первое! И наоборот.
Двенадцать апорий Зенона
Апорией называют наиболее острую форму парадокса. К сожалению, до настоящего времени дошли только 4 из 12 апорий Зенона Элейского («Стрела», «Дихотомия», «Ахиллес», «Стадион» и парадокс «Куча»). Настоящей катастрофой показались древним грекам открытые им противоречия, лежащие в основе понятия бесконечной делимости. До Зенона вполне естественным казалось, что материя может делиться на бесконечно малые порции, однако он подорвал логическую основу самой такой возможности. Именно реакция на апории привела Демокрита к атомизму.
Наиболее популярна апория, которая называется «Ахиллес»: «Да, грациозен и быстроног могучий Ахилл, сын Пелея, герой Троянской войны, воспетый Гомером. И как неуклюжа, как тихоходна черепаха, повсюду слывущая эталоном медлительности и нерасторопности! Ей ли тягаться в скорости с легендарным бегуном? А вот античный мудрец Зенон считал, что Ахиллу ни за что не догнать черепаху. Убеждение философа основывалось на том, что когда преследующий достигнет места, где находился преследуемый в момент старта, догоняемый бегун продвинется, хотя и немного, дальше. Значит, на новом небольшом участочке пути Ахиллу снова придется догонять черепаху.
Но пока преследователь добежит до этого второго пункта, беглянка снова переместится вперед. И так далее до бесконечности. Если же это будет длиться без конца и края, то как Ахиллу удастся обогнать черепаху? С другой стороны, из собственного повседневного опыта каждый школьник знает, что он, отнюдь, не будучи Ахиллом, способен запросто обогнать не только черепаху, но, чего доброго, и самого учителя – стоит только прозвучать звонку, возвещающему конец урока. А нет ли „ахиллесовой пяты“ у самих рассуждении Зенона?» (Бобров, 1966).
Язвительный А. С. Пушкин так отразил сей парадокс в 1821 году:
Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей[24].
Неразрешимый спор. Парадокс «Еватл и Протагор»
Считается, что этот парадокс основан на реальных событиях. У софиста Протагора был ученик по имени Еватл (Эватл), обучавшийся у него искусству выступления в суде. По договору, который заключили между собой учитель и ученик, Еватл должен был заплатить за обучение в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. Такая постановка вопроса может показаться странной, но на самом деле для молодого адвоката действительно очень важно зарекомендовать себя, выиграв свое первое дело.
Сумма же, предполагавшаяся к уплате за обучение, 10 тысяч драхм, была весьма велика по тем временам. Но Еватл поступил совсем неординарно: он не стал участвовать в судебных тяжбах и соответственно ничего не платил Протагору. Возможно, у него были для такого решения и другие основания, а не только нежелание платить. Тем не менее, Протагор решил подать на ученика в суд. Он рассуждал при этом так: поскольку это будет для Еватла первым процессом, в котором он будет вынужден участвовать хотя бы в качестве обвиняемого и ответчика, то если Еватл выиграет тяжбу, он заплатит по договору, а если проиграет, то заплатит по решению суда.
Как ни странно, но и Еватл рассуждал точно так же: «Если я проиграю этот процесс, – говорил он, – то не буду платить по договору, а если выиграю, то не буду платить по решению суда».
Вопрос: должен ли платить Еватл или нет?
Оставим читателю возможность самостоятельно поразмышлять над парадоксом. Заинтересованных же отсылаем к специальным работам на этот счёт[25]. Советуем, в том числе обратить внимание и на парадокс «Крокодил и мать», схожий по своему логическому содержанию с изложенным выше.
Различие между парадоксом и противоречием
Приведём словарные определения парадоксов и противоречий:
«Парадокс: явление, кажущееся невероятным и неожиданным; cтранное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее, „иногда только на первый взгляд“, здравому смыслу»[26].
Парадоксы часто путают с и противоречиями.
«Противоречие: взаимодействие противопоставленных и взаимосвязанных сущностей как источников самодвижения и развития (диалектическое противоречие); противоположность интересов (классовые противоречия); положение, при котором одно „высказывание, мысль, поступок“ исключает другое, не совместимое с ним (впасть в противоречие, противоречие во взглядах); высказывание или поступок, направленные против кого-чего-нибудь (не терпит противоречий кто-нибудь, дух противоречия – „стремление во что бы то ни стало сделать не так, совсем иначе“»).
Эти определения, конечно, неточны, да и как может быть иначе, ведь они взяты из толкового словаря. Тем не менее, из них уже можно увидеть разницу. Парадокс апеллирует к нашим ощущениям, чувствам, к здравому смыслу, наконец, тогда как противоречие опирается на противопоставление, то есть на некоторую строгость в определении и понимании. Противоречие не требует, чтобы форма его подачи была странной или ошеломляющей. От противоречия требуется, чтобы оно имело доказательную силу, так как метод доказательства приведением к абсурду, открытый древними греками, основывается именно на этом. Парадокс же вовсе может не иметь под собой противоречия, достаточно только казаться противоречивым. Поэтому часто различают истинные парадоксы и псевдопарадоксы, то есть те, которые при пристальном анализе оными не являются. Конечно же, желательно, чтобы парадокс содержал противоречие или опирался на него, а противоречие рядилось в красивую одежду парадокса, но так бывает не всегда. Впрочем, те, кто вкусил плоды от этого древа, через некоторое время начинают ощущать тонкость вкуса и аромата предлагаемых им блюд…
Итак, согласно С. И. Ожегову, парадоксом может быть явление, кажущееся неожиданным и невероятным. Как такое может быть? Рассмотрим «магический параллелепипед». Впрочем, ничего сверхъестественного в нём всё-таки нет.
Требуется найти численно кратчайшее расстояние между точками А и Б, если отмерять его по поверхности параллелепипеда. Точки А и Б отстоят на 2 и 5 см, соответственно, от нижней и верхней граней, и на 5 см от боковых (то есть по центру).
Оскару Уайльду, которого называли «гением парадоксов», принадлежат такие высказывания: «Я не настолько молод, чтобы всё знать», «У меня непритязательный вкус: мне вполне достаточно самого лучшего»; «У женщин потрясающе острое зрение: они видят всё, кроме самого очевидного»; «Быть естественным – это такая, знаете ли… поза»; «Только поверхностный человек судит о людях не по их внешности»… Придумайте остроумное высказывание, подражая Оскару Уайльду. В качестве тематической области возьмите пару «учитель – ученик». Вспомните, что парадокс – это нарушение симметрии, порядка[27].
Для того чтобы дать читателю представление о парадоксах как о «мнении, противоречащем „иногда только на первый взгляд“ здравому смыслу», приведём простенькую задачку из курса средней школы. «Много раз, – вспоминает С. В. Ёлкин, – давал я эту задачу большим студенческим аудиториям и каждый раз неизменно мне предлагались ответы: 99 кг; 98,98(98) кг; 99,9 и т. д. Человеческий мозг находящийся „в плену здравого смысла“ раз за разом ходил по кругу, натыкаясь на психологический барьер, не позволяющий прийти к правильному ответу!» Попробуйте и вы найти правильный ответ!
Пионеры собрали в лесу 100 кг грибов 99 % влажности. Пока они несли грибы в лагерь, влажность уменьшилась до 98 %. Сколько килограммов грибов принесли пионеры в лагерь?
Теперь вернёмся к противоречиям. Более остальных нас интересуют сейчас два типа противоречий:
1. Противоречие в понятиях как «взаимодействие противопоставленных и взаимосвязанных сущностей как источников самодвижения и развития»;
2. Противоречие в суждениях как «положение, при котором одно „высказывание, мысль, поступок“ исключает другое, не совместимое с ним».
Собственно всё остальное будет из них вытекать.
Технические и физические противоречия будут, так или иначе, формулироваться либо в понятиях, либо в суждениях. Например, для глажения белья нужно орудие (инструмент, устройство, приспособление), которое является горячим, чтобы ткань разглаживалась при нагревании, и одновременно холодным, чтобы его можно было держать в руках. Одно и тоже тело не может быть и горячим, и холодным одновременно. Это физическое противоречие! Но очевидно, такое устройство существует и называется утюг, а противоречие разрешается разнесением в пространстве его противоречивых свойств: гладящая поверхность горячая, а рукоятка холодная. Это очень простой и наглядный пример, но не всё бывает так просто.
В одном из интервью прославленные цирковые артисты братья Аркадий и Александр Шатировы утверждают: «Дрессировать удава на самом деле просто невозможно. У него удивительно мало прирожденных, безусловных рефлексов, значит, и новые, условные, привить немыслимо. Так что удавов скорее не дрессируют, а просто приручают к человеку – к его запаху, теплу… Поначалу он на артиста кидается, причём весьма агрессивно. И его нужно всё время гладить, успокаивать, внушать, что никакой опасности нет. Ну, а дальше всё зависит от фантазии человека – куда он „повесит“ привыкшую к нему змеюку: самому удаву абсолютно безразлично, на шее, на руке или на ноге партнёра повисеть во время представления, лишь бы он был уверен, что никакая опасность ему и впрямь не грозит…» И всё-таки многие из наших читателей видели этот захватывающий номер, когда смертоносные объятия многометровой змеи вот-вот уже готовы сомкнуться на теле бесстрашного человека, но он успевает сбросить чудовищные кольца при всей невероятной силе удава и потрясающей реакции. Как же этот трюк удаётся артисту?
Какие бывают противоречия?
Наверное, многих не устроит такая упрощённая классификация противоречий: в понятии или в суждении. Тогда можно предложить парадоксальную классификацию! Нет такой области, где нет противоречий, поэтому можно классифицировать, называя противоречие по имени области из которой оно взято. Например, административное противоречие, организационное противоречие, физическое противоречие, математическое противоречие, химическое противоречие, техническое, экономическое, биологическое, эстетическое и т. д.
И каждое противоречие ждет, что кто-то его разрешит. Что значит «разрешит»? Это значит, найдётся такое решение проблемы, в котором противоречивые стороны как бы исчезнут, «скроются с глаз долой», вроде как в случае с утюгом.
Но, можно биться об заклад, найдется немало читателей, которые захотят поспорить. А как же непротиворечивость арифметики или математического анализа? Увы, и в них есть противоречия.
Конечно, на сегодня эти дисциплины сформулированы с такой тщательностью, что нам остается довольствоваться лишь противоречием в понятиях!
Так понятие числа внутренне противоречиво, поскольку всякое число одновременно является обозначением, как количества, так и номера единицы в ряду чисел. Например, число «пять»: это и пять единиц и пятая единица в ряду целых чисел, то есть и одно, и многое. А в математическом анализе главное противоречие упрятано в понятии бесконечно малой величины, которая всё время стремится к нулю, но никогда его не достигает, причем это стремление происходит вне времени, что само по себе совершенно непонятно.
Здесь, по опыту фактического автора этого раздела С. В. Ёлкина, «…читатели должны разделиться на примерно две равные группы. Одни могут принять такую позицию, а другие нет. С этим противоречием, противоречием во взглядах на противоречие, пока поделать ничего нельзя. Честно признаюсь, несмотря на весь мой опыт, я его разрешить не могу, и никто не может, вот уже несколько тысяч лет».
Но есть одно предложение – набраться терпения! Даже тот, кто с нами не согласен, всё равно приобретёт ценный опыт.
Иван Грозный во время подготовки взятия Казани принял решение построить вблизи города опорную крепость. Он купил на берегу Волги в месте впадения в неё Свияги участок земли «не больше, чем можно охватить воловьей шкурой». Физическое противоречие: участок маленький, так как шкура мала, участок должен быть большим, чтобы можно было построить крепость. Как бы Вы решили эту задачу?
В 1867 году был выдан патент на железобетон. Какое физическое противоречие разрешило данное изобретение?
Теперь снова обратимся к классику отечественного изобретательства Г. С. Альтшуллеру: «Техническое противоречие: „Одно свойство системы противоречит другому её свойству“. Или: „Улучшение одной части системы приводит к ухудшению другой её части“. Иногда, как мы видели, конфликтуют не части системы, а система и подсистема или система и надсистема. Но суть во всех случаях едина: выигрыш в чем-то одном приводит к проигрышу в другом. Например, повышение надежности приводит к увеличению веса. Сформулировать техническое противоречие – значит перейти от ситуации к задаче. Поэтому правильный переход от административного противоречия к техническому – это существенный сдвиг в решении задачи» (Альтшуллер, Селюцкий, 1980, С. 47).
Если без изменения сельскохозяйственных орудий увеличить скорость обработки почвы в 1,5–2 раза, например, увеличив мощность двигателя трактора, то резко увеличится производительность труда. Что ухудшится?
Естественный язык не только средство формулировки парадоксов и противоречий, оказывается, он сам наполнен парадоксами и противоречиями. Да и как может быть иначе, если корень противоречия гнездится в понятии?
Изящный логический парадокс сформулирован в 1908 году немецким математиком Куртом Греллингом. Разберём определение автологичного (самоприменимого) имени прилагательного. Большинство прилагательных не обладает качеством, которое оно обозначает. Скажем, слово «красный» само по себе не имеет красного цвета, слово «ароматный» не пахнет. Зато прилагательное «русский» – действительно русского языкового корня, «трёхсложный» – трёхсложно, «абстрактный» – абстрактно и т. д.
Каждое из этих прилагательных, по терминологии Греллинга, автологично, то есть имеет силу применительно к самому себе, обладая тем же качеством, которым оно наделяет другие понятия. Иное дело – гетерологичные, то есть несамоприменимые прилагательные. Скажем слово «бесконечный» имеет конечные размеры, «конкретный» – по смыслу абстрактно. Парадокс Греллинга возникает из вопроса: к какому классу отнести прилагательное «несамоприменимый»?
Самоприменимо оно или же нет? Допустим, что прилагательное «несамоприменимый» несамоприменимо. Тогда оно (согласно приведенному определению Греллинга) самоприменимо! А раз оно самоприменимо, то на каком же основании оно названо нами «несамоприменимым»?! (Ивин, 1998).
На этом, пожалуй, завершим поверхностное знакомство с парадоксами и противоречиями, ибо даже при всей поверхностности оно может занять целую книгу. А у нас другие цели – активизация инженерно-технического мышления по всем фронтам.
Истина где-то рядом, но копать надо глубже!
Копай глубже! Именно так принуждала Интуиция в одном бородатом анекдоте незадачливого ковбоя к действию. Напомним, что наш герой, как и положено ему, скакал по степи. Вдруг лошадь остановилась, и внутренний голос сказал ему: «Копай!» Ковбой начал копать, а внутренний голос добавляет: «Копай глубже!» Ковбой копает, голос: «Глубже!» И вдруг лопата ударила о какой-то предмет. Ковбой выкопал сундук с сокровищами. А голос: «Вот это я пошутила…»
В нашем случае шутки в сторону, теперь будем анализировать парадоксы. Кто-нибудь спросит: «А зачем их анализировать?» Ну как же!
Ну как же понять, откуда они берутся, куда деваются, что полезного из этого можно для себя получить? Ведь не ради только одного любопытства читаете вы в наш прагматичный век эту книгу!
Вернёмся к «парадоксу лжеца». Если вы, уважаемый читатель, сформулируете некое утверждение, докажете его истинность, а затем из этого выведете его же ложность, то получите противоречие[28]. Чтобы получился парадокс, в данном случае необходимо организовать замкнутый круг. Конечно это не обязательное условие, но очень желательное. Ибо хождение по замкнутому кругу кого угодно может свести с ума! Именно поэтому, приняв некоторое утверждение истинным и исходя из его истинности, приходят к тому, что оно ложно, а затем, приняв его ложность, доказывают из этой посылки его истинность. (Не верите, что можете сами придумать парадокс? А зря!)
Но как же бороться с парадоксами? Может быть, запретить такой ход действий – выводить из истинности ложность, и дело с концом, нет парадокса – нет проблемы? Как бы ни так! Это дорого обойдется не только математике, физике, технике, но и всей цивилизации!
Действие высказывания на само высказывание, называемое в математике самоприменимостью, играет важную роль в очень многих случаях. И если лишить математику, этот универсальный, как мы говорили, язык науки такого важного приема, то её здание может начать рассыпаться на глазах, а потом и здание всех естественнонаучных дисциплин. Ведь свойство самоприменимости[29] используется не только для логического вывода. Например, умножение числа самого на себя это тоже самоприменимость. Как же нам остаться без «дважды два»? Тем не менее, введение некоторых ограничений в определения или действия, является распространенным приёмом борьбы с противоречиями. И иногда это бывает вполне оправдано.
В Средние века схоласты потратили немало сил в попытках разрешить «Парадокс лжеца», пока, в конце концов, не признали его «неразрешимым предложением». После это парадокс был на время забыт[30]. Как нам кажется, в наше время логика, наконец, достигла такого уровня развития, чтобы снова попытаться вскрыть проблемы, лежащие в основании парадокса. А может, и нет!?
Давайте рассмотрим, что думали о «лжеце» выдающиеся мыслители прошлого. Самая простая мысль, восходящая к греку Хрисиппу, отказаться в анализе высказываний от пары «истина» и «ложь» и добавить к ним «осмысленно» и «бессмысленно». Таким образом, все высказывания можно отнести к одному из этих четырёх типов. Однако такая классификация не является удовлетворительной, потому что среди осмысленных высказываний могут быть как истинные, так и ложные. Отсюда следует, что высказывания надо сначала делить на осмысленные и бессмысленные, а уже затем все осмысленные делить на истинные и ложные.
В Средние века уже не раз нами упомянутый Уильям Оккам считал, что утверждение «всякое высказывание ложно» бессмысленно. Но на каком основании? Бессмысленными мы привыкли считать утверждения, не имеющие содержания, например, «если идёт дождь, то паровоз», или, иначе, не имеющие отношения к реальности.
Выражение «я лгу» (или «всякое высказывание ложно») имеет отношение к реальности и имеет содержание. Может быть, проблемой является способность выражения говорить о самом себе? Но и таких выражений предостаточно! Например, «это предложение написано по-русски» или «в этом предложении шесть слов». Первое является самоприменимым истинным, а второе самоприменимым ложным высказыванием. К тому же они оба вполне осмысленны.
И, наконец, вопрос, который ставит точку в наших сомнениях относительно позиции Оккама: «Если высказывание может говорить о самом себе (самоприменимо), то, что может запретить ему говорить об одном из своих свойств, например, о его истинности?»
С Оккамом (1280–1347) спорил его собственный ученик, другой известный философ и логик Жан Буридан (1300–1358)[31]. Он считал высказывание «всякое высказывание ложно» ложным, так как оно является сокращенной формой выражения утверждающего как свою истинность, так и ложность, а такие выражения, по его мнению, ложны. Некоторые до сих пор с ним согласны.
Придумайте в качестве тренировки три высказывания: бессмысленное предложение, самоприменимое ложное и самоприменимое истинное.
Докажите противоречивость отрицания «Парадокса лжеца»: «Всякое высказывание истинно».
В прошлом веке выдающийся польский логик Альфред Тарский отметил, что язык, на котором мы говорим (естественный язык), применяется как для описания окружающего мира, так и для описания самого языка. Такие языки А. Тарский назвал «семантически замкнутыми». В семантически замкнутых языках, по его мнению, неизбежно возникают противоречия. Это, так сказать, плата за мощь и выразительность. Чтобы избежать парадокса, необходимо разделить языки. На первом – следует говорить о материальном мире, на втором – нужно говорить о первом языке и его свойствах, на третьем – говорить о втором языке, ну и так далее. Возникает бесконечная иерархия языков. Подобная ситуация имеет место в искусственных языках, например, предназначенных для программирования, которые описывают свою заданную предметную область, но о них самих и их свойствах высказывания строятся на естественном языке.
С одной стороны это восхитительное открытие, ставящее А. Тарского в один ряд с Великими, а с другой стороны ситуация с построением бесконечной иерархии непротиворечивых языков чем-то очень напоминает нам Ахилла и черепаху…
Долгое время считалось, что предложение А. Тарского – единствен ный путь разрешения «Парадокса лжеца», но сейчас мнение изменилось.
В 1920 году ещё один польский математик Ян Лукасевич предложил многозначные логики, то есть такие, в которых кроме значений «истинно» и «ложно» появляются и другие значения высказываний. Так, первой версией многозначной логики была трёхзначная логика, в которой появились значения «ошибочно» или «неизвестно». Вслед за этим появилось множество различных логик: бесконечнозначные, конечнозначные (чёткие и нечёткие), вероятностные. В них пришлось отказаться от закона «исключения третьего» и даже от «закона противоречия».
Здесь нам самое время познакомиться с этими законами. Их три. Совсем недавно, лет эдак шестьдесят назад, каждый школьник знал эти законы, а сейчас и не всякий выпускник ВУЗа с ними знаком!
Дело в том, что раньше логику преподавали в школе, а теперь только в ВУЗах, в лучшем случае, в инженерно-технических (в рамках курса дискретной математики) да в некоторых юридических. И у кого не было «дискретки», тот понятия не имеет о трёх законах логики. Проверено!
Первый закон тождества, согласно которому в процессе рассуждения каждое осмысленное выражение (понятие, суждение) должно употребляться в одном и том же смысле. Предпосылкой его выполнимости является возможность различения и отождествления тех объектов, о которых идёт речь в данном рассуждении, то есть «мысль о предмете должна иметь определённое, устойчивое содержание, сколько бы раз она ни повторялась. Важнейшее свойство мышления – его определённость – выражается данным логическим законом» (Кириллов, Старченко, 1982).
Второй закон противоречия (он же закон непротиворечия) гласит, что два несовместимых (противоречащих или же противоположных) суждения не могут быть одновременно истинными. По крайней мере одно из них необходимо ложно. Закон противоречия является фундаментальным логическим законом, на котором построена вся современная математика. Здесь очень важную роль имеет слово «одновременно», так как любой предмет может изменяться и в разные моменты времени, так же, как и в разных местах пространства и в разных отношениях, он может не совпадать сам с собой. Так, если сказать, что «река мелкая» и «река глубокая», то это будет противоречием, до тех пор, пока не дано отношение. То, по отношению к кому или чему она мелкая или глубокая: для взрослого она мелкая, а для маленького ребёнка глубокая.
Третий закон исключённого третьего («tertium non datur», то есть «третьего не дано») – закон классической логики: из двух высказываний – «А» или «не А» – одно обязательно является истинным, то есть два суждения, одно из которых является отрицанием другого, не могут быть одновременно ложными (либо истинными), одно из них необходимо истинно, а другое ложно.
В одном учебнике «Концепции современного естествознания» из главы, посвящённой Общей теории относительности Альберта Эйнштейна, следует, что, по современным научным представлениям, пространство, время и материя не существуют друг без друга: без одного нет другого. А в главе, рассказывающей о происхождении Вселенной, говорится о том, что она появилась примерно 20 млрд. лет назад в результате Большого взрыва, во время которого родилась материя, заполнившая собой всё пространство. Нет ли здесь противоречия?
Докажите, что известное высказывание Антона Павловича Чехова: «В детстве у меня не было детства» не содержит противоречия.
Вернемся к трёхзначной логике. Предложим логику, имеющую три значения: истинно, ложно, неистинно-неложно (или истинно-и-ложно). Есть ли примеры утверждений, которым можно приписать значение «неистинно-неложно»? Элементарно! Производители растительного масла часто пишут на бутылках, что «продукт не содержит холестерина». Что является то ли лживой истиной, то ли истинной ложью, то ли ещё чем-то. Комментируем. Холестерин является продуктом жизнедеятельности животного организма (печени) и представляет собою соединение в одной молекуле жироподобного и белковоподобного фрагментов. То есть в растительном масле никогда не было и не могло быть холестерина. Но на потребителей надпись действует магически!
Придумайте утверждение не истинное и не ложное.
А вот что сам Г. В. Ф. Гегель пишет об этом пресловутом «Парадоксе лжеца»: «Одно опровержение носит название лжеца; в этом опровержении ставится вопрос: „если какой-нибудь человек говорит, что он лжет, то лжет ли он, или говорит правду?“ Требуется простой ответ, ибо простое, которым исключается другое, считается истинным. Если ответят: он говорит правду, то это противоречит содержанию его речи, ибо он ведь сознается, что он лжет. Если же будут утверждать, что он лжет, то на это утверждение нужно возразить, что его признание является, наоборот, правдой. Он, следовательно, лжет и вместе с тем и не лжет, простого же ответа на заданный вопрос никак нельзя дать, ибо здесь положено соединение двух противоположностей – истины и лжи, – и их непосредственное противоречие; это и выступало снова и снова в различных формах и занимало умы людей во все эпохи. Хризипп, знаменитый стоик, написал об этом вопросе шесть книг. Другой – Филет Косский – умер от чахотки, которую от нажил благодаря чрезмерным трудам, положенным им на разрешение этой двусмысленности. Нечто совершенно похожее мы видим в наши дни у людей, истощающихся в усилиях найти квадратуру круга, вопрос, который почти стал бессмертным. Они ищут простого отношения между тем, что несоизмеримо друг с другом, то есть они также впадают в ошибку требовать простого ответа, тогда как содержание, с которым они имеют дело, противоречиво».
Мы вечно забываем, что нет на самом деле простых и однозначных отношений – ни между людьми, ни между техническими системами, также и между истиной и ложью их нет. В любой правде есть ложь и наоборот. Помните, как в детском фильме «Отроки во Вселенной» робот-исполнитель сгорел, пытаясь ответить на вопрос ребят «Кто остался на трубе?» Логика машинная и человеческая – это «две большие разницы»[32].
«Лжец» уже одним только фактом своего существования поднял множество сложнейших вопросов и тем самым явился катализатором для генерации нового знания. Однако приходится признать, что разрешение его без каких-либо усовершенствований логики или языка не представляется возможным и, вероятно, ещё не все открытия на этом пути сделаны.
Поспорим? Решения парадокса «Еватл и Протагор»
Конспективно повторим разбор, данный А. А. Ивиным в книге «Логика», который будет особо полезен для работников юридического профиля:
«Протагор посвятил спору с Еватлом сочинение „Тяжба о плате“, которое, к сожалению, не дошло до нашего времени. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716), будучи юристом по образованию, посвятил этому спору свою докторскую диссертацию „Исследование о запутанных казусах в праве“. Великий ученый пытался доказать, на примере тяжбы Протагора и Еватла, что все реальные случаи, даже самые запутанные, должны находить правильное разрешение на основе здравого смысла. По мнению Лейбница, суд должен отказать Протагору в возбуждении дела за несвоевременностью предъявления иска, но оставить, однако, за ним право потребовать уплаты денег позже, а именно после первого выигранного Еватлом процесса…
Рассмотрим некоторые другие решения данного парадокса.
Решение суда должно иметь большую силу, чем частная договоренность двух лиц. На это можно ответить, что не будь этой договоренности, какой бы незначительной она ни казалась, не было бы ни суда, ни его решения. Ведь суд должен вынести свое решение именно по её поводу и на её основе.
Обращались также к общему принципу, что всякий труд, а значит, и труд Протагора, должен быть оплачен. Но ведь известно, что этот принцип всегда имел исключения, тем более в рабовладельческом обществе. К тому же он просто неприложим к конкретной ситуации спора: ведь Протагор, гарантируя высокий уровень обучения, сам отказывался принимать плату в случае неудачи своего ученика в первом процессе.
И Протагор, и Еватл – оба правы частично, и ни один из них в целом. Каждый из них учитывает только половину возможностей, выгодную для себя. Полное или всестороннее рассмотрение открывает четыре возможности, из которых только половина выгодна для одного из спорящих. Какая из этих возможностей реализуется, это решит не логика, а жизнь. Если приговор судей будет иметь большую силу, чем договор, Еватл должен будет платить, только если проиграет процесс, т. е. в силу решения суда. Если же частная договоренность будет ставится выше, чем решение судей, то Протагор получит плату только в случае проигрыша процесса Еватлу, то есть в силу договора с Протагором.
Эта апелляция к жизни окончательно всё запутывает. Чем, если не логикой, могут руководствоваться судьи в условиях, когда все относящиеся к делу обстоятельства совершенно ясны? И что это будет за руководство, если Протагор, претендующий на оплату через суд, добьется её, лишь проиграв процесс?
Впрочем, и решение Лейбница, кажущееся вначале убедительным, не на много лучше, чем неясное противопоставление логики и жизни. В сущности, Лейбниц предлагает задним числом заменить формулировку договора и оговорить, что первым с участием Еватла судебным процессом, исход которого решит вопрос об оплате, не должен быть суд по иску Протагора. Мысль эта глубокая, но не имеющая отношения к конкретному суду. Если бы в исходной договоренности была такая оговорка, нужды в судебном разбирательстве вообще не возникло бы.
Если под решением данного затруднения понимать ответ на вопрос, должен Еватл уплатить Протагору или нет, то все эти, как и все другие мыслимые решения, являются, конечно, несостоятельными. Они представляют собой не более чем уход от существа спора, являются, так сказать, софистическими уловками и хитростями в безвыходной и неразрешимой ситуации. Ибо ни здравый смысл, ни какие-то общие принципы, касающиеся социальных отношений, не способны разрешить спор.
Невозможно выполнить вместе договор в его первоначальной форме и решение суда, каким бы последнее ни было. Для доказательства этого достаточно простых средств логики. С помощью этих же средств можно также показать, что договор, несмотря на его вполне невинный внешний вид, внутренне противоречив. Он требует реализации логически невозможного положения: Еватл должен одновременно и уплатить за обучение, и вместе с тем не платить» (Ивин, 1998, С. 202–204).
Таким образом, в парадоксе мы сталкиваемся с так называемым дистантным противоречием, которое неочевидно в начале рассуждения и поэтому такого рода проблемы часто можно встретить в жизни. Ведь никому и в голову не приходит в самом начале текста, что участники договора могут встретиться в суде! То есть и здесь имеет место самоприменимость!
Явное же противоречие называется контактным и редко встречается в мышлении и языке.
Природа же противоречия «Протагор и Еватл» лежит в том, что с самого начала разрешено рассуждение при абсолютном равенстве двух независимых оснований, одно из которых первоначально скрыто (плата по суду), хотя и является совершенно очевидной возможностью.
И всё-таки приятно, что, в отличие от парадокса «лжеца», в этом случае можно исключить подобные парадоксы в будущем, ничего не меняя ни в судебной практике, ни в языке, ни в мышлении. Достаточно грамотно написать договор.
Миссионер очутился у людоедов и попал как раз к обеду. Дикари разрешают ему выбрать, в каком виде его съедят. Для этого миссионер должен произнести какое-либо высказывание, с условием, что, если оно окажется истинным, его сварят, а если оно окажется ложным, его зажарят. Что следует сказать миссионеру?
Математические парадоксы
Вернёмся к апории «Ахиллес и черепаха», ведь она имеет непосредственное отношение к математике:
«В классическом курсе логики, написанном Вильямом Минто, прославленный бегун легко опережает свою недостойную соперницу, хотя дает ей фору не только в расстоянии – 100 саженей (здесь употреблены старинные русские, а не древнегреческие меры длины, однако это не имеет значения), но и в скорости: он двигается не в полную силу – всего в десять раз резвее черепахи. То есть, по существу, шагает себе не торопясь, уверенный в победе. Правда, добравшись до места, откуда тронулась в путь-дорогу нерасторопная ставленница Зенона, Пелеев сын увидит, что та успела переползти еще на 10 саженей вперед. Пока Ахилл преодолеет эти 10 саженей, черепаха уйдет еще на сажень. Что ж, быстроногому ничего не стоит покрыть какую-то там сажень. А неуклюжая тем временем переместится – пусть на одну десятую сажени, но все-таки вперед, прочь от преследователя! С каждым шагом расстояние сокращается. Таких шагов будет, очевидно, бесчисленное множество. Не беда: современная математика научилась суммировать бесконечные последовательности. И Минто строит бесконечный ряд: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +… Перед нами убывающая геометрическая прогрессия. Её сумму запросто подсчитает любой теперешний школьник, если, конечно, он уже прошел алгебру по учебнику, кажется, для восьмого класса; эта сумма равна 111 1/9. Проделав нехитрый подсчет, Минто заключает: „Софист хочет доказать, что Ахилл никогда не догонит черепаху, а на самом деле доказывает лишь то, что Ахилл перегоняет её между 111-й и 112-й саженями на их пути“. Вроде бы правильно. Вроде бы логично. Увы, торжествующий опровергатель не ответил посрамленному софисту, ибо вопрос ставился иначе: не когда, а как возможна подобная встреча…» (Бобров, 1966).
Для того чтобы решить фундаментальную задачу, необходимо, как говорится, «докопаться до сути». Именно, «докапывание до сути» и приводит к парадоксам и противоречиям. А затем парадокс или противоречие необходимо разрешить (снять). Так что есть две половинки пути: формулировка противоречия и его разрешение.
Предлагаем ещё один, уже не такой старый парадокс, как в случае с лжецом, – парадокс вероятности.
Парадокс вероятности (обсуждение на семинаре «Междисциплинарные исследования»)
С. Ёлкин. Если представить мысленный эксперимент с бросанием точки на плоскость, то исходным постулатом является то, что вероятность попасть в какую-либо конкретную точку плоскости равна нулю (невозможное событие). Но при этом вероятность, что точка попадёт на плоскость, равна единице (достоверное событие). То есть, в конце концов, реализуется одно из невозможных событий.
В. Ковалёв. Да, внутри всякой реальности сидит противоречие, которое её как раз и созидает. Найти самое глубокое противоречие для данной реальности – это даже не полдела, а почти всё дело. Потому что решение противоречия содержится в нём самом, и значит, надо просто понаблюдать, как оно разрешает само себя. Противоречие – это соотношение противоположностей, и потому надо увидеть, каковы они в рамках рассматриваемой системы. Это обычно очень трудно, потому, что мешает спутанность отношений, масса привходящих обстоятельств и т. д.
А насчёт парадокса вероятности, то тут, думаю, не всё так безнадёжно, как кажется. Плоскость по отношению к точкам – это ведь их целое, которое не сводится к ним и не состоит из них. Поэтому не надо их ставить «на одну доску». Попасть абсолютно точно в часть невозможно, а в целое – запросто, потому как оно везде.
С. Ёлкин. Неясно, почему «невозможно абсолютно точно попасть в часть»? Добавлю, так, «про между прочим», что этот парадокс послужил одной из тех причин, по которой великий Давид Гильберт сформулировал проблему создания аксиоматической теории вероятности и включил её в число выдающихся проблем математики на том самом выдающемся конгрессе математиков[33]. Проблема эта была разрешена только более 30 лет спустя другим великим математиком – А. Н. Колмогоровым[34].
В. Ковалёв. Во-первых, я никак не могу взять в толк, как можно попасть в то, что не имеет размеров, то есть в точку. Во-вторых, точность – это идеализация, химера нашего ума, а в реальном мире ничто не может абсолютно точно совпасть друг с другом, ничто не может абсолютно заменить другое. В-третьих, не надо путать математику с логикой, а логику формальную (математическую) с диалектической, то есть рассудок с разумом. Математика – предел формализации как таковой, то есть рассудок чистейшей воды, который умеет только разделять, фиксировать и связывать внешней связью эти выделенные им неподвижности. Созданная математикой абстракция точки, то есть дискретности как таковой, у которой единственное свойство – отсутствие свойств, – ярчайший пример голого рассудка. Плоскость же по отношению к точке есть её прямая противоположность, то есть континуум, непрерывность как таковая. Математика – это только фиксация их различия и ничего более. А в чём состоит их тождество, она не знает, это уже вопрос философии, которая на что-нибудь да может-таки сгодиться. Наше сознание в любом процессе познания то проваливается в голую математику, то поднимется на уровень философии, и только так, пульсируя, оно может получить действительное знание.
А. Трушечкин[35]. Общепринятый ответ на этот парадокс – что «невероятное» не означает «невозможное». Невероятное событие – вероятность которого равна нулю, невозможное – которое не может произойти. На это можно возразить: «Как же? Согласно исходным идеям теории вероятностей, если вероятность равна нулю, то событие и есть невозможное!»
Тогда тут, пожалуй, можно разобрать подробнее, как мы делаем вывод о том, что вероятность попадания в точку равно нулю. Здесь речь идёт о геометрической вероятности. Предположим для простоты, что мишень ограниченна: например, это круг единичной площади, и мы стреляем по нему безразмерными пулями. Тогда вероятность попадания в произвольную область этого круга равна площади этой области. Площадь точки равна нулю. Почему? Ответ: по определению (из теории меры) множество имеет площадь ноль, если его можно накрыть множеством сколь угодно малой площади. Для точки можно это сделать. Например, рассмотреть последовательность маленьких кружков с центрами в этой точке и радиусами, стремящимися к нулю. Вероятность попадания в кружок с уменьшением его радиуса уменьшается, но не ноль. То есть множество нулевой площади определяется не непосредственно, а как бы итеративно, путём приближения множествами уменьшающейся площади. Поэтому и утверждение о том, что вероятность попадания в точку равна нулю, можно воспринимать так же: здесь не чистый ноль, а бесконечно малая последовательность чисел. Попасть в точку можно, но вероятность исчезающе мала.
Таким образом, в этих рассуждениях всплывает на поверхность то, что точка – это идеализация очень маленького множества (конец обсуждения)
Так что, любезный наш читатель, зря старался А. Н. Колмогоров?
ВОПРОС № 14
Парадокс неожиданности. Однажды в воскресенье начальник тюрьмы вызвал преступника, приговорённого к казни, и сообщил ему: «Вас казнят на следующей неделе в полдень. День казни станет для вас сюрпризом, вы узнаете о нём только когда палач в полдень войдёт к вам в камеру». Начальник тюрьмы был честнейшим человеком и никогда не врал. Заключённый подумал над его словами и улыбнулся: «Вы не сможете казнить меня, если хотите выполнить свои обещания!»
Тем не менее, начальник тюрьмы выполнил свои обещания, и узник был казнён неожиданно для него, как и было обещано! Как это возможно?
Парадоксы теории множеств
«Никто не может изгнать нас из рая, созданного нам Кантором!» – заявил Давид Гильберт по поводу теории множеств Георга Кантора. Таково было чувство восторга от новой «игрушки» у математиков того времени. В 1873 году Кантор ввел понятие множества. Первоначально новая теория помогла решить ряд проблем. Однако очень скоро в ней обнаружились противоречия.
Первое противоречие возникло благодаря введению и анализу самого большого множества из всех: множества всех множеств. Простейший вопрос «Существует ли множество всех множеств?» тут же приводит к парадоксу. Для этого надо напомнить, что в теории множеств разрешима процедура включения одного множества в состав другого или «взятие множества от множества». (Это вам ничего не напоминает? Правильно – вездесущую рекурсию!)
Можно включать какие угодно множества в состав одного – их объединяющего, до тех пор пока все множества не исчерпаются. Тогда мы получим сверхмножество, которое включает в себя все остальные множества. Все! Но… не все! Само сверхмножество (множество всех множеств) оказалось не включённым! Ведь его вначале не было, а теперь оно появилось. Ну что же, включим теперь и его. Но тогда появляется новое сверхмножество, которого только что ещё не было. Тогда и его включим, и так до бесконечности! То есть множество всех множеств и существует, и не существует одновременно!
Причиной парадокса является возможность быть множеству элементом самого себя. Можно конечно ограничить эту возможность, но тогда исчезнут многие очень полезные возможности теории множеств. Лучше локализовать проблему, и для этого разделить все множества на два типа, те, которые содержат себя в качестве своего элемента, и те, которые не содержат…
В 1901 году Бертран Рассел в письме коллеге изложил мысль, которая в популярной форме известна как «Парадокс брадобрея»: «В одной военной части был брадобрей. Ему было разрешено под угрозой смертной казни брить только тех военнослужащих, которые не бреются сами. Но вот беда – сам брадобрей тоже был на службе. Мог ли он в таком случае побриться сам?»
Если он себя побреет, то окажется тем, кого ему брить категорически запрещено, а если не побреет, то окажется среди тех, кого брить ему можно!
Словом, в теории множеств выявилось много противоречий[36], а на их устранение потратили огромное количество усилий. Собственно, как и в случае с математическим анализом, который первоначально был противоречив и только трудами титанов – Коши, Вейерштрасс, Гейне – приведён в образцовое состояние. В условно образцовое… Ибо все противоречия математического анализа были упрятаны в его определения, совмещающие в себе невозможное. Достаточно вспомнить бесконечно малые и бесконечно большие величины, которые «куда-то стремятся, но никогда своего предела не достигают». При этом само стремление к пределу происходит вне времени, что невозможно само по себе – в природе такое не наблюдается.
ВОПРОС № 15
Сколько яблок на рисунке?[37]
Детский парадокс
В математике имеется огромное число парадоксов и противоречий. Никто даже не знает сколько – так велика математика! Кстати, это обстоятельство ничуть не мешает нам её любить!
Тем нашим читателям, у кого подрастают дети, ещё предстоит хлебнуть из-за этой «парадоксальности»:
– Папа, существует ли самое большое число?
– Да, существует? – папа пытается отделаться от навязчивого почемучки.
– А что будет, если к нему прибавить единицу?
Очевидно, что ответ неудовлетворителен. Отец в затруднении.
– Нет, Не существует. Так как натуральный ряд стремится к бесконечности! – папа пытается продемонстрировать образованность.
– А можно это несуществующее число, ну, эту бесконечность, обозначить?
– Да, можно.
– А если отнять от этого не существующего числа единицу, мы получим существующее число?
– Нет!
– А если отнять от этого не существующего числа две единицы, мы получим существующее число?
– Нет!
‹…›
– А если отнять от этого не существующего числа бесконечность натуральных чисел, мы получим существующее число? Ведь это бесконечности одинакового порядка!
– Э… Да! Получим.
– Тогда где, на каком числе несуществующее число превращается в существующее?
Вернёмся к апории «Ахиллес и черепаха», ведь она имеет непосредственное отношение к математике:
«В классическом курсе логики, написанном Вильямом Минто, прославленный бегун легко опережает свою недостойную соперницу, хотя дает ей фору не только в расстоянии – 100 саженей (здесь употреблены старинные русские, а не древнегреческие меры длины, однако это не имеет значения), но и в скорости: он двигается не в полную силу – всего в десять раз резвее черепахи. То есть, по существу, шагает себе не торопясь, уверенный в победе. Правда, добравшись до места, откуда тронулась в путь-дорогу нерасторопная ставленница Зенона, Пелеев сын увидит, что та успела переползти еще на 10 саженей вперед. Пока Ахилл преодолеет эти 10 саженей, черепаха уйдет еще на сажень. Что ж, быстроногому ничего не стоит покрыть какую-то там сажень. А неуклюжая тем временем переместится – пусть на одну десятую сажени, но все-таки вперед, прочь от преследователя! С каждым шагом расстояние сокращается. Таких шагов будет, очевидно, бесчисленное множество. Не беда: современная математика научилась суммировать бесконечные последовательности. И Минто строит бесконечный ряд: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +… Перед нами убывающая геометрическая прогрессия. Её сумму запросто подсчитает любой теперешний школьник, если, конечно, он уже прошел алгебру по учебнику, кажется, для восьмого класса; эта сумма равна 111 1/9. Проделав нехитрый подсчет, Минто заключает: „Софист хочет доказать, что Ахилл никогда не догонит черепаху, а на самом деле доказывает лишь то, что Ахилл перегоняет её между 111-й и 112-й саженями на их пути“. Вроде бы правильно. Вроде бы логично. Увы, торжествующий опровергатель не ответил посрамленному софисту, ибо вопрос ставился иначе: не когда, а как возможна подобная встреча…» (Бобров, 1966).
Для того чтобы решить фундаментальную задачу, необходимо, как говорится, «докопаться до сути». Именно, «докапывание до сути» и приводит к парадоксам и противоречиям. А затем парадокс или противоречие необходимо разрешить (снять). Так что есть две половинки пути: формулировка противоречия и его разрешение.
Предлагаем ещё один, уже не такой старый парадокс, как в случае с лжецом, – парадокс вероятности.
Парадокс вероятности (обсуждение на семинаре «Междисциплинарные исследования»)
С. Ёлкин. Если представить мысленный эксперимент с бросанием точки на плоскость, то исходным постулатом является то, что вероятность попасть в какую-либо конкретную точку плоскости равна нулю (невозможное событие). Но при этом вероятность, что точка попадёт на плоскость, равна единице (достоверное событие). То есть, в конце концов, реализуется одно из невозможных событий.
В. Ковалёв. Да, внутри всякой реальности сидит противоречие, которое её как раз и созидает. Найти самое глубокое противоречие для данной реальности – это даже не полдела, а почти всё дело. Потому что решение противоречия содержится в нём самом, и значит, надо просто понаблюдать, как оно разрешает само себя. Противоречие – это соотношение противоположностей, и потому надо увидеть, каковы они в рамках рассматриваемой системы. Это обычно очень трудно, потому, что мешает спутанность отношений, масса привходящих обстоятельств и т. д.
А насчёт парадокса вероятности, то тут, думаю, не всё так безнадёжно, как кажется. Плоскость по отношению к точкам – это ведь их целое, которое не сводится к ним и не состоит из них. Поэтому не надо их ставить «на одну доску». Попасть абсолютно точно в часть невозможно, а в целое – запросто, потому как оно везде.
С. Ёлкин. Неясно, почему «невозможно абсолютно точно попасть в часть»? Добавлю, так, «про между прочим», что этот парадокс послужил одной из тех причин, по которой великий Давид Гильберт сформулировал проблему создания аксиоматической теории вероятности и включил её в число выдающихся проблем математики на том самом выдающемся конгрессе математиков[33]. Проблема эта была разрешена только более 30 лет спустя другим великим математиком – А. Н. Колмогоровым[34].
В. Ковалёв. Во-первых, я никак не могу взять в толк, как можно попасть в то, что не имеет размеров, то есть в точку. Во-вторых, точность – это идеализация, химера нашего ума, а в реальном мире ничто не может абсолютно точно совпасть друг с другом, ничто не может абсолютно заменить другое. В-третьих, не надо путать математику с логикой, а логику формальную (математическую) с диалектической, то есть рассудок с разумом. Математика – предел формализации как таковой, то есть рассудок чистейшей воды, который умеет только разделять, фиксировать и связывать внешней связью эти выделенные им неподвижности. Созданная математикой абстракция точки, то есть дискретности как таковой, у которой единственное свойство – отсутствие свойств, – ярчайший пример голого рассудка. Плоскость же по отношению к точке есть её прямая противоположность, то есть континуум, непрерывность как таковая. Математика – это только фиксация их различия и ничего более. А в чём состоит их тождество, она не знает, это уже вопрос философии, которая на что-нибудь да может-таки сгодиться. Наше сознание в любом процессе познания то проваливается в голую математику, то поднимется на уровень философии, и только так, пульсируя, оно может получить действительное знание.
А. Трушечкин[35]. Общепринятый ответ на этот парадокс – что «невероятное» не означает «невозможное». Невероятное событие – вероятность которого равна нулю, невозможное – которое не может произойти. На это можно возразить: «Как же? Согласно исходным идеям теории вероятностей, если вероятность равна нулю, то событие и есть невозможное!»
Тогда тут, пожалуй, можно разобрать подробнее, как мы делаем вывод о том, что вероятность попадания в точку равно нулю. Здесь речь идёт о геометрической вероятности. Предположим для простоты, что мишень ограниченна: например, это круг единичной площади, и мы стреляем по нему безразмерными пулями. Тогда вероятность попадания в произвольную область этого круга равна площади этой области. Площадь точки равна нулю. Почему? Ответ: по определению (из теории меры) множество имеет площадь ноль, если его можно накрыть множеством сколь угодно малой площади. Для точки можно это сделать. Например, рассмотреть последовательность маленьких кружков с центрами в этой точке и радиусами, стремящимися к нулю. Вероятность попадания в кружок с уменьшением его радиуса уменьшается, но не ноль. То есть множество нулевой площади определяется не непосредственно, а как бы итеративно, путём приближения множествами уменьшающейся площади. Поэтому и утверждение о том, что вероятность попадания в точку равна нулю, можно воспринимать так же: здесь не чистый ноль, а бесконечно малая последовательность чисел. Попасть в точку можно, но вероятность исчезающе мала.
Таким образом, в этих рассуждениях всплывает на поверхность то, что точка – это идеализация очень маленького множества (конец обсуждения)
Так что, любезный наш читатель, зря старался А. Н. Колмогоров?
Парадокс неожиданности. Однажды в воскресенье начальник тюрьмы вызвал преступника, приговорённого к казни, и сообщил ему: «Вас казнят на следующей неделе в полдень. День казни станет для вас сюрпризом, вы узнаете о нём только когда палач в полдень войдёт к вам в камеру». Начальник тюрьмы был честнейшим человеком и никогда не врал. Заключённый подумал над его словами и улыбнулся: «Вы не сможете казнить меня, если хотите выполнить свои обещания!»
Тем не менее, начальник тюрьмы выполнил свои обещания, и узник был казнён неожиданно для него, как и было обещано! Как это возможно?
Парадоксы теории множеств
«Никто не может изгнать нас из рая, созданного нам Кантором!» – заявил Давид Гильберт по поводу теории множеств Георга Кантора. Таково было чувство восторга от новой «игрушки» у математиков того времени. В 1873 году Кантор ввел понятие множества. Первоначально новая теория помогла решить ряд проблем. Однако очень скоро в ней обнаружились противоречия.
Первое противоречие возникло благодаря введению и анализу самого большого множества из всех: множества всех множеств. Простейший вопрос «Существует ли множество всех множеств?» тут же приводит к парадоксу. Для этого надо напомнить, что в теории множеств разрешима процедура включения одного множества в состав другого или «взятие множества от множества». (Это вам ничего не напоминает? Правильно – вездесущую рекурсию!)
Можно включать какие угодно множества в состав одного – их объединяющего, до тех пор пока все множества не исчерпаются. Тогда мы получим сверхмножество, которое включает в себя все остальные множества. Все! Но… не все! Само сверхмножество (множество всех множеств) оказалось не включённым! Ведь его вначале не было, а теперь оно появилось. Ну что же, включим теперь и его. Но тогда появляется новое сверхмножество, которого только что ещё не было. Тогда и его включим, и так до бесконечности! То есть множество всех множеств и существует, и не существует одновременно!
Причиной парадокса является возможность быть множеству элементом самого себя. Можно конечно ограничить эту возможность, но тогда исчезнут многие очень полезные возможности теории множеств. Лучше локализовать проблему, и для этого разделить все множества на два типа, те, которые содержат себя в качестве своего элемента, и те, которые не содержат…
В 1901 году Бертран Рассел в письме коллеге изложил мысль, которая в популярной форме известна как «Парадокс брадобрея»: «В одной военной части был брадобрей. Ему было разрешено под угрозой смертной казни брить только тех военнослужащих, которые не бреются сами. Но вот беда – сам брадобрей тоже был на службе. Мог ли он в таком случае побриться сам?»
Если он себя побреет, то окажется тем, кого ему брить категорически запрещено, а если не побреет, то окажется среди тех, кого брить ему можно!
Словом, в теории множеств выявилось много противоречий[36], а на их устранение потратили огромное количество усилий. Собственно, как и в случае с математическим анализом, который первоначально был противоречив и только трудами титанов – Коши, Вейерштрасс, Гейне – приведён в образцовое состояние. В условно образцовое… Ибо все противоречия математического анализа были упрятаны в его определения, совмещающие в себе невозможное. Достаточно вспомнить бесконечно малые и бесконечно большие величины, которые «куда-то стремятся, но никогда своего предела не достигают». При этом само стремление к пределу происходит вне времени, что невозможно само по себе – в природе такое не наблюдается.
Сколько яблок на рисунке?[37]
Детский парадокс
В математике имеется огромное число парадоксов и противоречий. Никто даже не знает сколько – так велика математика! Кстати, это обстоятельство ничуть не мешает нам её любить!
Тем нашим читателям, у кого подрастают дети, ещё предстоит хлебнуть из-за этой «парадоксальности»:
– Папа, существует ли самое большое число?
– Да, существует? – папа пытается отделаться от навязчивого почемучки.
– А что будет, если к нему прибавить единицу?
Очевидно, что ответ неудовлетворителен. Отец в затруднении.
– Нет, Не существует. Так как натуральный ряд стремится к бесконечности! – папа пытается продемонстрировать образованность.
– А можно это несуществующее число, ну, эту бесконечность, обозначить?
– Да, можно.
– А если отнять от этого не существующего числа единицу, мы получим существующее число?
– Нет!
– А если отнять от этого не существующего числа две единицы, мы получим существующее число?
– Нет!
‹…›
– А если отнять от этого не существующего числа бесконечность натуральных чисел, мы получим существующее число? Ведь это бесконечности одинакового порядка!
– Э… Да! Получим.
– Тогда где, на каком числе несуществующее число превращается в существующее?
Парадоксы триалектики
Нередко противники диалектики утверждают, что парадоксы и противоречия возникают как следствие «бинарности», парности её категорий. Это, конечно, и верно, и неверно одновременно. Вот парадокс для трёх понятий.
Парадокс причинности
Будущее, настоящее, прошедшее. Три «стадии», или же измерения, времени. Если существует возможность передать сигнал из будущего в прошлое, то возникает петля времени.
Допустим, мы из некоторой лаборатории передаём сигнал на взрывное устройство, находящееся в прошлом, которое уничтожает наш передатчик. Но тогда мы не можем послать сигнал для уничтожения передатчика, и передатчик передаёт сигнал, который взрывает передатчик, который не передаёт сигнал… и т. д.
Правда в этих рассуждениях отсутствует «настоящее». Или, точнее, оно присутствует в неявном виде, как то место, в котором мы находимся, пока совершаем рассуждения (начало координат). Сохраняется универсальность рассуждений: мы совершаем действие, аналог самоприменимости, по отношению к источнику. В результате возникает замкнутый круг, как и раньше: истина – ложь, самоприменимый-несамоприменимый, и т. д.
Парадоксы цветового восприятия
Любопытно, что все цвета разлагаются на три основных цвета, и это разложение хорошо описывается в числах Гамильтона (i, j, k), так хорошо, что эта математика используется в компьютерной графике.
Есть немало парадоксов для зрительного восприятия цвета, которые можно во множестве видеть в Интернете. Они не описываются словами, но их можно наблюдать – например, знаменитая иллюзия движения…[38]
Удивительное оптическое явление обнаружили случайно. Однажды в американской компании «Polaroid Corporation» сотрудник фирмы Е. Г. Ланд сделал два фотоснимка цветных предметов через два разных светофильтра. Один светофильтр был красным, другой зелёным. Затем оба изображения спроектировали на экран и совместили. Диапозитив, сфотографированный через красный светофильтр, подсветили красным светом, а второй диапозитив, снятый через зелёный светофильтр, поставили на пути… белого света. Следовательно, зелёного цвета в опыте не было. Но результат превзошел все ожидания.
Вопреки предположению, что на экране появится изображение в оттенках красного и розового цветов, натюрморт вдруг предстал в красках, которые соответствовали оригиналу. Проекция оказалась подобна «натуре».
Дальше поиск пошёл целенаправленно. М. Х. Вильсон попробовал воспроизвести краски оригинала… одним единственным цветом.
Учёный три раза сфотографировал на чёрно-белую плёнку картину Ван Гога «Лодки на берегу моря». Затем Вильсон совместил эти три изображения на белом экране через три светофильтра. Все три были синего цвета! Между этими светофильтрами было лишь едва уловимое различие по плотности. А на экране получилось изображение, весьма близкое к оригиналу. То есть это была картина Ван Гога в жёлтых, оранжевых, красных, коричневых, зелёных и сине-голубых тонах. Присутствовали почти все цвета спектра…
Известные учёные тщетно пытались объяснить этот экспериментально обнаруженный феномен цветного зрения. В глаз попадают лучи практически одного спектрального состава, а он сам воссоздаёт цветовое многообразие. Явно мы имеем дело с парадоксом, опровергающим принятое представление о работе глаза.
ВОПРОС № 16
Какого цвета будет казаться красная жидкость, если сосуд с ней поместить внутрь другого сосуда с синей жидкостью? И почему? (Капица, 1998, № 172)
Нередко противники диалектики утверждают, что парадоксы и противоречия возникают как следствие «бинарности», парности её категорий. Это, конечно, и верно, и неверно одновременно. Вот парадокс для трёх понятий.
Парадокс причинности
Будущее, настоящее, прошедшее. Три «стадии», или же измерения, времени. Если существует возможность передать сигнал из будущего в прошлое, то возникает петля времени.
Допустим, мы из некоторой лаборатории передаём сигнал на взрывное устройство, находящееся в прошлом, которое уничтожает наш передатчик. Но тогда мы не можем послать сигнал для уничтожения передатчика, и передатчик передаёт сигнал, который взрывает передатчик, который не передаёт сигнал… и т. д.
Правда в этих рассуждениях отсутствует «настоящее». Или, точнее, оно присутствует в неявном виде, как то место, в котором мы находимся, пока совершаем рассуждения (начало координат). Сохраняется универсальность рассуждений: мы совершаем действие, аналог самоприменимости, по отношению к источнику. В результате возникает замкнутый круг, как и раньше: истина – ложь, самоприменимый-несамоприменимый, и т. д.
Парадоксы цветового восприятия
Любопытно, что все цвета разлагаются на три основных цвета, и это разложение хорошо описывается в числах Гамильтона (i, j, k), так хорошо, что эта математика используется в компьютерной графике.
Есть немало парадоксов для зрительного восприятия цвета, которые можно во множестве видеть в Интернете. Они не описываются словами, но их можно наблюдать – например, знаменитая иллюзия движения…[38]
Удивительное оптическое явление обнаружили случайно. Однажды в американской компании «Polaroid Corporation» сотрудник фирмы Е. Г. Ланд сделал два фотоснимка цветных предметов через два разных светофильтра. Один светофильтр был красным, другой зелёным. Затем оба изображения спроектировали на экран и совместили. Диапозитив, сфотографированный через красный светофильтр, подсветили красным светом, а второй диапозитив, снятый через зелёный светофильтр, поставили на пути… белого света. Следовательно, зелёного цвета в опыте не было. Но результат превзошел все ожидания.
Вопреки предположению, что на экране появится изображение в оттенках красного и розового цветов, натюрморт вдруг предстал в красках, которые соответствовали оригиналу. Проекция оказалась подобна «натуре».
Дальше поиск пошёл целенаправленно. М. Х. Вильсон попробовал воспроизвести краски оригинала… одним единственным цветом.
Учёный три раза сфотографировал на чёрно-белую плёнку картину Ван Гога «Лодки на берегу моря». Затем Вильсон совместил эти три изображения на белом экране через три светофильтра. Все три были синего цвета! Между этими светофильтрами было лишь едва уловимое различие по плотности. А на экране получилось изображение, весьма близкое к оригиналу. То есть это была картина Ван Гога в жёлтых, оранжевых, красных, коричневых, зелёных и сине-голубых тонах. Присутствовали почти все цвета спектра…
Известные учёные тщетно пытались объяснить этот экспериментально обнаруженный феномен цветного зрения. В глаз попадают лучи практически одного спектрального состава, а он сам воссоздаёт цветовое многообразие. Явно мы имеем дело с парадоксом, опровергающим принятое представление о работе глаза.
Какого цвета будет казаться красная жидкость, если сосуд с ней поместить внутрь другого сосуда с синей жидкостью? И почему? (Капица, 1998, № 172)
Ограничение и противоречие
Техническое ограничение
Техническое ограничение – условие (или комплекс условий), которое ограничивает развитие технической системы.
В процессе развития технические системы (как и системы вообще) сталкиваются с различными факторами, ограничивающими возможности решения ими новых всё более сложных задач. Например, прочность материала, из которого изготавливают режущий инструмент, является ограничивающим фактором для обработки всё более твёрдых объектов и создания новых инструментов.
Техническое противоречие
В основе любого технического ограничения «нужно, но невозможно» лежит техническое противоречие, которое формулируется как «если улучшить А, то ухудшится Б» и «Если улучшить Б, ухудшится А» (Г. С. Альт шуллер).
Например, «инструмент должен быть более прочным, но не может быть прочнее». Допустим, изобретен самый прочный и твердый материал, но с помощью чего мы будем из него изготавливать инструмент? Например, издавна обработка алмазов была очень трудным делом. Ведь он самый твёрдый, и из алмаза нельзя сделать инструмент литьём, он просто сгорит. То есть чем твёрже материал, тем сложнее делать инструмент для его обработки.
Или ещё… если увеличивать мощность двигателя, то увеличивается (ухудшается) расход топлива. Если уменьшать расход топлива, то ухудшится вырабатываемая мощность.
Техническое ограничение и техническое противоречие соотносятся между собой как явление и сущность. Но у всякой сущности, как известно, есть своя сущность. В нашем случае этой сущностью является физическое противоречие.
Допустим, вы повышаете мощность двигателя с целью увеличения скорости автомобиля, но расход топлива при этом растет нелинейно, так как при некоторой достаточно большой скорости лобовое сопротивление воздушного потока будет расти пропорционально квадрату скорости. Следовательно, причиной проблемы является физический закон. Какой бы мощный двигатель вы не брали, рано или поздно возникает предел скорости для этого двигателя. И тогда при одной и той же мощности скорость можно увеличить, лишь улучшая аэродинамику автомобиля. Возникает цепочка:
Предел скорости – недостаток мощности – лобовое сопротивление.
Эта цепочка ведёт от явления к сущности:
Явление – (сущность-(явление)) – сущность.
Уменьшим поперечное сечение автомобиля – скорость увеличится, но невозможно без конца уменьшать поперечное сечение, просто тогда будет недостаточно места для размещения двигателя. Гд е выход?
Пусть двигатель пропускает воздух через себя: двигатель есть – лобового сопротивления нет. Такой двигатель называется турбиной, или турбореактивным двигателем.
Физическое противоречие
Физическое противоречие является причиной технического противоречия и формулируется в терминах свойств, качеств, состояний вещей и процессов.
В этой связи приведём разбор красивой задачи из новейшего «Учебника по ТРИЗ», который всячески рекомендуем всем нашим читателям, ибо он лишён многих недостатков предшествующих.
«Задача 7.1. Одно из чудес света – Александрийский маяк на египетском берегу Средиземного моря. Время разрушило маяк, но многие археологи утверждают, что он был высотой более 300 м.
Несколько веков простоял маяк с надписью на вершине: „Для богов и во имя спасения моряков построил Состратос из Книда, сын Дексифона“. Так звали строителя, и люди запомнили его имя на века. Но история помнит и другое. Когда строительство маяка заканчивалось, Состратоса вызвал правитель и повелел: „Ты высечешь на маяке мое имя!“
Строителю запрещалось высекать свое имя, и он знал, что если не выполнит приказа, то его казнят, а если выполнит, то потомки никогда не узнают имени настоящего автора маяка.
Строитель остался жив, но весь мир узнал его имя. Как это могло произойти?
Административное противоречие: „Очень хочется увековечить свое имя, а правитель запретил это делать, – он хочет увековечить свое имя“.
Техническое противоречие-1: „Если я выбью на стене свое имя, то увековечу его, что хорошо, но лишусь жизни, что недопустимо“.
Техническое противоречие-2: „Если я выбью на стене имя правителя, то не увековечу своего имени, что плохо, но при этом останусь жить, что хорошо“.
Таким образом, приходим к двум противоречащим высказываниям, которые и составляют физическое противоречие.
Физическое противоречие: „На стене должно быть мое имя, чтобы его увидели потомки, на стене не должно быть моего имени, а должно быть имя правителя, чтобы меня не казнили“.
Эту задачу можно сформулировать следующим образом. Пока жив правитель, надпись должна быть одна, а после его смерти – другая.
Тогда физическое противоречие можно переформулировать: Надпись должна быть одна, чтобы её увидел правитель, и надпись должна быть другая, чтобы её увидели потомки. Как это сделать?
Из последней формулировки физического противоречия видно, что для правителя надпись должна быть одна, чтобы он её увидел, а для потомков должна быть другая, чтобы увековечить свое имя. То есть противоречащие требования, которые предъявляются к объекту, относятся к разным моментам времени.
Противоречие разрешается во времени введением в систему еще одного компонента – вещества, которое сначала должно быть, а потом исчезнуть.
Итак, строитель вытесал на каменной стене свое имя, но закрыл его слоем известкового раствора, на котором написал имя правителя. Через несколько лет известняк выветрился и проступило имя „Состратос, сын Дексифона“»[39].
Разрешение противоречий
Известно великое множество различных противоречий и связанных с ними парадоксов.
Им посвящено огромное количество литературы на всех языках. Но мы ограничимся очень лаконичным изложением.
Противоречия являются не плодом нашего незнания, а присущи природе вещей и, как следствие, всюду возникают на пути познания.
Рано или поздно любое противоречие получает разрешение. Если бы этого не происходило, развитие остановилось бы. Имеются сотни способов разрешения различных противоречий. Например, для твердосплавного инструмента противоречие может быть разрешено технологией литья, электродуговой или плазменной обработки.
В идеальной экономике технология потребления и технология производства развиваются согласованно, до тех пор, пока не возникают технические ограничения. Рассогласование приводит к противоречию между производством и потреблением. Противоречие разрешается с возникновением новой технологии, снимающей технические ограничения с базовой технологии, вместо замены её на другую технологию. Например, технология закалки стального инструмента разрешает сначала физическое противоречие (разделение противоречивых свойств во времени), а затем техническое противоречие.
Она снимает технические ограничения для использования режущего инструмента и, наконец, снимает экономические препятствия к продаже инструмента.
Существует специальная наука, которая занимается разрешением технических противоречий с целью получения новых технических решений, это, уже упомянутая выше и не раз Теория решения изобретательских задач (ТРИЗ).
Технологии развиваются не произвольным образом, на их развитие оказывает влияние сложный комплекс ограничений, который оставляет для развития узкий коридор решений.
Но даже при движении в этом коридоре потребуется проверить сотни и тысячи возможных решений, если действовать методом «проб и ошибок». Для точных и безошибочных действий необходимо знание Законов развития технических систем и технологий (ЗРТС).
Возникает парадокс: Чем выше степень развития технологий, тем богаче инструментальные среды, но тем уже коридор возможных решений!
Схема разрешения противоречия с помощью введения новой технологии
Ограничения, накладываемые на процесс развития технологии: коридор возможных решений узок
Обратная задача
Для отработки остроты мышления чрезвычайно важным является решение обратных задач. Недаром даже из нашей практики мы знаем, что вычитать труднее, чем складывать, делить сложнее, чем умножать, извлекать корень сложнее, чем возводить в степень и, наконец, интегрировать труднее, чем дифференцировать. Инженер же должен с лёгкостью решать как прямые, так и обратные задачи.
Обратные задачи в области поиска противоречий дают практически неограниченные возможности для самосовершенствования. Ведь объектов вокруг нас несчётное множество, и каждый возник в результате разрешения некоторого противоречия. Если вы освоите этот метод, то вам больше не понадобятся многие задачники. Вы сможете тренировать свой ум всюду, независимо от того, есть ли у вас под руками бумага и карандаш, книга или учебник.
ВОПРОС № 17
После появления технологии поверхностной закалки броневых листов у линкоров удалось резко снизить толщину брони, соответственно, вес корабля и затраты на его создание. При этом бронебойные снаряды даже с закалённым носом стали отскакивать от бортов как биллиардные шары. Задача уязвимости вражьих судов была решена русским адмиралом Макаровым. Что он предложил? И какое физическое противоречие разрешил?
ВОПРОС № 18
Как просверлить в металлическом кубе отверстие, показанное на рисунке?
В горбачёвский период была остановлена «гонка вооружений» и возникла задача взаимного контроля вооружений СССР и его вчерашних противников. Эксперты пришли к выводу, что необходимая технология контроля должна состоять в мечении контролируемых объектов – тяжёлых вооружений.
При этом технология мечения должна быть полностью описана и доступна стороне потенциального противника, но, тем не менее, необходимо, чтобы изготовленные по этой технологии метки невозможно было бы подделать.
Задача чем-то напоминала известный парадокс всемогущества: может ли сверхмогущественное существо создать камень, который само же не сможет поднять?
На том уровне техники было предложено несколько вариантов, как советской, так и американской сторонами. А что бы вы сами предложили на месте разработчиков?[40] Какой базовый принцип лежит в основе решения этой задачи?
Поскольку ответ весьма объёмен, помещаем его сразу в текст, а не в конец книги, как в большинстве случаев.
В основу решения положен принцип случайности, так как только случайные процессы позволяют сделать уникальные объекты, в данном случае метки.
С советской стороны было предложено облучать тяжёлыми ядрами на ускорителе тонкие лавсановые пленки или иные трековые детекторы. Плёнку необходимо предварительно разметить: нанести сетку координат. В процессе облучения в плёнке образуются скрытые треки (повреждения структуры вещества).
Треки визуализируются с помощь процесса травления в горячей щёлочи; при этом возникают отверстия в плёнке диаметром от 0,5 до 1,0 микрона. Конфигурация расположения треков является полностью случайной и если их достаточно много, то её невозможно повторить в мыслимом числе экспериментов по облучению. Таким образом, повторить полученную однажды метку оказывалось невозможным. В дальнейшем предполагалось размещать такую метку на контролируемом объекте. Считывание метки можно было осуществить благодаря обычному оптическому микроскопу.
С американской стороны предполагалось смешивать мелко измельченную отражающую свет слюду с эпоксидной смолой и наносить на объект. После застывания смолы внутри неё образовывалась случайная структура отражающих элементов. Считывание метки предполагалось делать под разными углами с помощью ФЭУ (фотоэлектронного умножителя), предварительно подсветив метку внешним источником света.
К чести американцев, они признали советское предложение более простым и устойчивым к ошибке. В настоящее время нанотехнологии позволяют подделать такого рода метки, поэтому данные конкретные технические решения теперь стали достоянием истории.
Система противоречий
Довольно редко бывает так, что некий объект возникает как результат разрешения одного-единственного противоречия, обычно накапливается целый комплект противоречий и ограничений.
Скажем, создание водородной энергетики обусловлено следующими проблемами:
1. Истощение дешевых запасов качественных углеводородов.
2. Экологическая угроза планете за счет роста выбросов парниковых газов (катастрофическое изменение климата).
3. Загрязнение окружающей среды там, где проживает большая часть населения (города).
4. Потребность в аккумуляции энергии с помощью энергетически ёмких носителей.
В результате возникает идея отказаться от сжигания углеводородов, то есть заменить их другим видом химического топлива. Оно давно известно химикам, это водород. Но!..
«Водород обладает физико-химическими свойствами, которые делают очень опасным его применение. Скорость диффузии водорода в открытом пространстве – 2 м/с (у обычного газа – 20 см/с). Более того, концентрационный предел по горению и детонации у водорода на порядки более высокий, чем у топливного газа и паров бензина. А главное, водород обладает наибольшей калорийностью и в зависимости от гидродинамической схемы развития взрыва может в десятки раз превосходить тротиловый эквивалент тринитротолуола. Обращение с водородом требует высочайшей культуры, которую трудно обеспечить в российских условиях. Необходимо очень внимательно следить за взрыво– и пожаробезопасностью всех этих систем. Не случайно в программах водородной энергетики, которые есть в США и в других странах, обращению с водородом уделено очень большое внимание. Я бы предложил в нашей комплексной программе усилить элемент, связанный с безопасностью производства, хранения и использования водорода, потому что незакрученный штуцер в водородном двигателе в гараже под небоскребом может вызвать взрыв и поставить крест на всей водородной энергетике»[41].
Низкая температура жидкого водорода обусловливает высокий тепловой поток через изоляцию, что при малой теплоте испарения (примерно 0,418 кДж/кг) может вызвать быстрое испарение водорода и, следовательно, повышение давления. Следует также иметь в виду воздействие низких температур на такие свойства конструкционных материалов, как прочность, теплопроводность, теплоёмкость и тепловое расширение.
Давление, необходимое для поддержания водорода в жидком состоянии при 300 оК, равно 200 МПа. Это вызывает необходимость использования в любом ограниченном криогенном пространстве надёжной системы сброса давления. Число мест сброса газообразного водорода в атмосферу должно быть ограниченным; выброс газа допустим только на большой высоте, чтобы всё оборудование в случае воспламенения водорода оказалось ниже уровня пламени.
Одной из особенностей жидкого водорода является возможность его расслоения при хранении на несколько температурных слоёв. Давление в резервуаре при расслоении определяется температурой более тёплого поверхностного слоя. Таким образом, расслоение сопровождается повышением давления, что опасно, поэтому допустимая длительность хранения жидкого водорода без сброса пара и газа сокращается. При перемешивании расслоение водорода устраняется. В этом случае трубку газосброса можно закрывать и выпускать пары только при установке резервуара в безопасном месте.
В жидком водороде могут накапливаться опасные твёрдые примеси кислорода. Причинами его попадания в резервуар могут быть неплотности в узлах арматуры, датчиках, ниппельных соединениях, а также несвоевременное закрытие вентилей, отсекающих резервуар от атмосферы во время эксплуатации, а также нарушение герметичности при ремонтах. Кроме того, возможна неполная очистка резервуара от кислорода при подготовке его к заполнению водородом.
При соприкосновении воздуха с жидким водородом возможны его конденсация и затвердевание. Это очень опасно, так как затвердевший воздух способен закупорить вентиляционные линии, что может привести к опасному повышению давления. При контакте воздуха с поверхностью, охлаждённой ниже 82 оК, в образовавшемся конденсате содержится примерно 52 % кислорода. Жидкий водород будет постепенно обогащаться кислородом, что может создать благоприятные условия для его возгорания и взрыва. Жидкий водород при его хранении, перекачке и выполнении других технологических операций следует всячески предохранять от прямого соприкосновения с воздухом.
И, тем не менее, в США имеется уже 300 подземных хранилищ водорода, а в Норвегии 26 % заправок заправляют автомобили водородом!
Предлагаем читателю ознакомиться с приводимыми ниже Таблицами 3 и 4.
Фактически они представляют собой аналог системы экранов мышления, предложенной Г. С. Альтшуллером: «Мышление несистемно. Не успели люди в процессе эволюции выработать системное видение мира. Если в задаче сказано „дерево“, человек видит именно дерево. Начинается перебор вариантов. Дерево становится чуть больше, чуть меньше… Часто на этом всё кончается: ответ не найден, задача признана неразрешимой.
Это – обычное мышление. Талантливое воображение одновременно зажигает три экрана: видны надсистема (группа деревьев), система (дерево), подсистема (лист).
Конечно, это минимальная схема. Иногда включаются и другие экраны: наднадсистема (лес) и подподсистема (клетка листа). А главное – всё это видно в развитии, потому что работают боковые экраны, показывающие прошлое и будущее на каждом уровне. Девять (минимум девять!) экранов системно и динамично отражают системный и динамичный мир ‹…›. Системная природа техники осложняет решение задач и в тех случаях, когда объект, подлежащий изменению, выбран правильно и точно. Всякое изменение выбранного объекта сказывается чаще всего отрицательно (выделено нами. – Авт.), на других объектах, на надсистеме, в которую входит объект, и на подсистемах, из которых он состоит. Возникают технические противоречия: выигрыш в одном сопровождается проигрышем в чем-то другом. Поэтому для решения изобретательской задачи недостаточно улучшить ту или иную характеристику объекта; необходимо, чтобы это улучшение не сопровождалось ухудшением других характеристик. Обязательный признак изобретения – преодоление противоречия» (Альтшуллер, 2003, С. 60–61).
Таблица 3. Систематизация проблем водородной энергетики
Можно увидеть, что одна и та же проблема характерна для хранения и транспортировки водорода. Это проблема безопасности. Хранение и транспортировку даже можно было бы объединить в одно, если бы не некоторые различия. Например, водород уже успешно хранится в подземных «резервуарах» со стенками из мокрой глины. Оказывается, в таких условиях водород мало диффундирует из резервуара, так как плохо растворяется в воде. К тому же для подземных хранилищ снимается проблема компактности (по крайне мере, она не стоит так остро). Хранить под землёй водород можно при обычных давлениях, а не при сверхвысоких. Кроме того, для хранения газообразного водорода применяют газгольдеры, естественные подземные резервуары (водоносные породы, выработанные месторождения нефти и газа), хранилища, созданные подземными атомными взрывами.
Широкое распространение получило хранение газообразного водорода в газгольдерах с водяным бассейном (мокрые газгольдеры), поршневых газгольдерах постоянного давления (сухие газгольдеры), газгольдерах постоянного объёма (ёмкости высокого давления). Для хранения малых количеств водорода используют баллоны.
Следует иметь в виду, что мокрые, а также сухие (поршневые) газгольдеры сварной конструкции не обладают достаточной герметичностью. Согласно техническим условиям допускается утечка водорода при нормальной эксплуатации мокрых газгольдеров вместимостью до 3 000 м3 – около 1,65 %, а вместимостью от 3 000 м3 и более – около 1,1 % в сутки (считая на номинальный объём газгольдера).
Как правило, хранение и перевозку осуществляют «мокрым» способом. Что это значит? В цистерне находится некоторое количество воды. Оказывается, водород связывается с водой (растворяется) и более безопасен. Так может быть, просто, хранить водород в воде? Нет! В воде водорода растворяется немного. Но правильное направление мысли найдено: это методы физического или химического связывания водорода. Тогда он будет и при низком давлении и при высоком одновременно. Он будет более безопасен, так как для взрыва или возгорания его ещё сначала нужно высвободить из связанного состояния. Более того, практически до минимума упадет величина диффузии, а с ней и утечки водорода. Транспортировка станет безопасна и экономически выгодна. Можно будет создать систему заправочных станций, которые будут продавать сразу готовые к употреблению аккумуляторы водорода. Не нужно будет сбрасывать давление, снижать температуру, бороться с коррозией. Удивительно, но одно единственное решение разрубает Гордиев узел проблем. Правда, ещё остаются проблемы производства и проблемы использования водорода. Кроме того и само решение ещё не найдено, это только направление его поиска. Но «свет в конце туннеля» уже замаячил.
Физические методы связывания основаны на использовании микросфер и микрокапилляров. В них водород может при обычных условиях находится под огромными давлениями – порядка 1 000 атмосфер[42]. В микрокапиллярных матрицах водород может находиться при плотностях, равных и даже превышающих плотность жидкого водорода.
Таблица 4. Системные противоречия водородной энергетики
Таблица 5. Температурные противоречия использования водорода
Возможность получения водорода различными способами является одним из важных преимуществ водородной энергетики. К ним относятся:
1. Паровая конверсия метана и природного газа.
2. Газификация угля.
3. Электролиз воды.
4. Пиролиз.
5. Частичное окисление.
6. Биотехнологии.
В данный момент наиболее доступным и дешёвым процессом является паровая конверсия. Согласно прогнозам, она будет использоваться в начальной стадии перехода к водородной экономике для упрощения преодоления проблемы «замкнутого круга», когда из-за отсутствия инфраструктуры нет спроса на водородные автомобили, а из-за отсутствия водородных автомобилей не строится инфраструктура. В долгосрочной перспективе, однако, необходим переход на возобновляемые источники энергии, так как одной из главных целей внедрения водородной энергетики является снижение выброса парниковых газов. Такими источниками могут быть энергия ветра или солнечная энергия, позволяющая проводить электролиз воды.
Удобным промышленным способом получения чистого водорода является электролиз его из воды. Однако он экономически невыгоден, так как требует слишком много электроэнергии. Другие способы, связанные с газификацией углеводородов, требуют высокой температуры и получающийся водород содержит примеси СО и СО2, которые даже в очень малых количествах отравляют катализатор из платины. Обостряем противоречие. Значит, водород должен быть получен даром! Без затрат электричества и без газификации углеводородов. Как такое возможно? Это значит, что его нужно получать там, где он является лишним, опасным побочным продуктом! На АЭС – атомных электростанциях. Ядерные реакции, протекающие в реакторе, сопровождаются образованием водорода. Кроме того очень дешёвое тепло позволяет производить водород из метана и воды с помощью адиабатической паровой конверсии[43]. Термическая диссоциация воды может осуществляться при температуре 3 000 оC. В то же время использование энергии деления ядер позволяет получить чистый водород уже при температурах 1 000-1 200 оC. Кислород же при этом связывается в различные оксиды урана.
Использование неорганических мембран из палладиевых сплавов для очистки водорода позволяет получить водород с чистотой › 99,9999 %.
Осталась проблема использования водорода. Её решением является открытая очень давно электрохимическая реакция, идущая с образованием воды. Топливный элемент (электрохимический генератор) – устройство, которое преобразует химическую энергию топлива (водорода) в электрическую в процессе электрохимической реакции напрямую. В отличие от традиционных технологий, при которых используется сжигание твёрдого, жидкого и газообразного топлива! Прямое электрохимическое преобразование топлива очень эффективно и привлекательно с точки зрения экологии, поскольку в процессе работы выделяется минимальное количество загрязняющих веществ, а также отсутствуют сильные шумы и вибрации.
С практической точки зрения топливный элемент напоминает обычную гальваническую батарею. Отличие заключается в том, что изначально батарея заряжена, то есть заполнена «топливом». В процессе работы «топливо» расходуется и батарея разряжается. В отличие от батареи, топливный элемент для производства электрической энергии использует топливо, подаваемое от внешнего источника. Для производства электрической энергии может использоваться не только чистый водород, но и другое водородосодержащее сырьё, например, природный газ, аммиак, метанол или бензин. В качестве источника кислорода, также необходимого для реакции, используется обычный воздух.
А теперь постройте по приведённому образцу системы противоречий солнечной и ветровой энергетики!
Техническое ограничение
Техническое ограничение – условие (или комплекс условий), которое ограничивает развитие технической системы.
В процессе развития технические системы (как и системы вообще) сталкиваются с различными факторами, ограничивающими возможности решения ими новых всё более сложных задач. Например, прочность материала, из которого изготавливают режущий инструмент, является ограничивающим фактором для обработки всё более твёрдых объектов и создания новых инструментов.
Техническое противоречие
В основе любого технического ограничения «нужно, но невозможно» лежит техническое противоречие, которое формулируется как «если улучшить А, то ухудшится Б» и «Если улучшить Б, ухудшится А» (Г. С. Альт шуллер).
Например, «инструмент должен быть более прочным, но не может быть прочнее». Допустим, изобретен самый прочный и твердый материал, но с помощью чего мы будем из него изготавливать инструмент? Например, издавна обработка алмазов была очень трудным делом. Ведь он самый твёрдый, и из алмаза нельзя сделать инструмент литьём, он просто сгорит. То есть чем твёрже материал, тем сложнее делать инструмент для его обработки.
Или ещё… если увеличивать мощность двигателя, то увеличивается (ухудшается) расход топлива. Если уменьшать расход топлива, то ухудшится вырабатываемая мощность.
Техническое ограничение и техническое противоречие соотносятся между собой как явление и сущность. Но у всякой сущности, как известно, есть своя сущность. В нашем случае этой сущностью является физическое противоречие.
Допустим, вы повышаете мощность двигателя с целью увеличения скорости автомобиля, но расход топлива при этом растет нелинейно, так как при некоторой достаточно большой скорости лобовое сопротивление воздушного потока будет расти пропорционально квадрату скорости. Следовательно, причиной проблемы является физический закон. Какой бы мощный двигатель вы не брали, рано или поздно возникает предел скорости для этого двигателя. И тогда при одной и той же мощности скорость можно увеличить, лишь улучшая аэродинамику автомобиля. Возникает цепочка:
Предел скорости – недостаток мощности – лобовое сопротивление.
Эта цепочка ведёт от явления к сущности:
Явление – (сущность-(явление)) – сущность.
Уменьшим поперечное сечение автомобиля – скорость увеличится, но невозможно без конца уменьшать поперечное сечение, просто тогда будет недостаточно места для размещения двигателя. Гд е выход?
Пусть двигатель пропускает воздух через себя: двигатель есть – лобового сопротивления нет. Такой двигатель называется турбиной, или турбореактивным двигателем.
Физическое противоречие
Физическое противоречие является причиной технического противоречия и формулируется в терминах свойств, качеств, состояний вещей и процессов.
В этой связи приведём разбор красивой задачи из новейшего «Учебника по ТРИЗ», который всячески рекомендуем всем нашим читателям, ибо он лишён многих недостатков предшествующих.
«Задача 7.1. Одно из чудес света – Александрийский маяк на египетском берегу Средиземного моря. Время разрушило маяк, но многие археологи утверждают, что он был высотой более 300 м.
Несколько веков простоял маяк с надписью на вершине: „Для богов и во имя спасения моряков построил Состратос из Книда, сын Дексифона“. Так звали строителя, и люди запомнили его имя на века. Но история помнит и другое. Когда строительство маяка заканчивалось, Состратоса вызвал правитель и повелел: „Ты высечешь на маяке мое имя!“
Строителю запрещалось высекать свое имя, и он знал, что если не выполнит приказа, то его казнят, а если выполнит, то потомки никогда не узнают имени настоящего автора маяка.
Строитель остался жив, но весь мир узнал его имя. Как это могло произойти?
Административное противоречие: „Очень хочется увековечить свое имя, а правитель запретил это делать, – он хочет увековечить свое имя“.
Техническое противоречие-1: „Если я выбью на стене свое имя, то увековечу его, что хорошо, но лишусь жизни, что недопустимо“.
Техническое противоречие-2: „Если я выбью на стене имя правителя, то не увековечу своего имени, что плохо, но при этом останусь жить, что хорошо“.
Таким образом, приходим к двум противоречащим высказываниям, которые и составляют физическое противоречие.
Физическое противоречие: „На стене должно быть мое имя, чтобы его увидели потомки, на стене не должно быть моего имени, а должно быть имя правителя, чтобы меня не казнили“.
Эту задачу можно сформулировать следующим образом. Пока жив правитель, надпись должна быть одна, а после его смерти – другая.
Тогда физическое противоречие можно переформулировать: Надпись должна быть одна, чтобы её увидел правитель, и надпись должна быть другая, чтобы её увидели потомки. Как это сделать?
Из последней формулировки физического противоречия видно, что для правителя надпись должна быть одна, чтобы он её увидел, а для потомков должна быть другая, чтобы увековечить свое имя. То есть противоречащие требования, которые предъявляются к объекту, относятся к разным моментам времени.
Противоречие разрешается во времени введением в систему еще одного компонента – вещества, которое сначала должно быть, а потом исчезнуть.
Итак, строитель вытесал на каменной стене свое имя, но закрыл его слоем известкового раствора, на котором написал имя правителя. Через несколько лет известняк выветрился и проступило имя „Состратос, сын Дексифона“»[39].
Разрешение противоречий
Известно великое множество различных противоречий и связанных с ними парадоксов.
Им посвящено огромное количество литературы на всех языках. Но мы ограничимся очень лаконичным изложением.
Противоречия являются не плодом нашего незнания, а присущи природе вещей и, как следствие, всюду возникают на пути познания.
Рано или поздно любое противоречие получает разрешение. Если бы этого не происходило, развитие остановилось бы. Имеются сотни способов разрешения различных противоречий. Например, для твердосплавного инструмента противоречие может быть разрешено технологией литья, электродуговой или плазменной обработки.
В идеальной экономике технология потребления и технология производства развиваются согласованно, до тех пор, пока не возникают технические ограничения. Рассогласование приводит к противоречию между производством и потреблением. Противоречие разрешается с возникновением новой технологии, снимающей технические ограничения с базовой технологии, вместо замены её на другую технологию. Например, технология закалки стального инструмента разрешает сначала физическое противоречие (разделение противоречивых свойств во времени), а затем техническое противоречие.
Она снимает технические ограничения для использования режущего инструмента и, наконец, снимает экономические препятствия к продаже инструмента.
Существует специальная наука, которая занимается разрешением технических противоречий с целью получения новых технических решений, это, уже упомянутая выше и не раз Теория решения изобретательских задач (ТРИЗ).
Технологии развиваются не произвольным образом, на их развитие оказывает влияние сложный комплекс ограничений, который оставляет для развития узкий коридор решений.
Но даже при движении в этом коридоре потребуется проверить сотни и тысячи возможных решений, если действовать методом «проб и ошибок». Для точных и безошибочных действий необходимо знание Законов развития технических систем и технологий (ЗРТС).
Возникает парадокс: Чем выше степень развития технологий, тем богаче инструментальные среды, но тем уже коридор возможных решений!
Схема разрешения противоречия с помощью введения новой технологии
Ограничения, накладываемые на процесс развития технологии: коридор возможных решений узок
Обратная задача
Для отработки остроты мышления чрезвычайно важным является решение обратных задач. Недаром даже из нашей практики мы знаем, что вычитать труднее, чем складывать, делить сложнее, чем умножать, извлекать корень сложнее, чем возводить в степень и, наконец, интегрировать труднее, чем дифференцировать. Инженер же должен с лёгкостью решать как прямые, так и обратные задачи.
Обратные задачи в области поиска противоречий дают практически неограниченные возможности для самосовершенствования. Ведь объектов вокруг нас несчётное множество, и каждый возник в результате разрешения некоторого противоречия. Если вы освоите этот метод, то вам больше не понадобятся многие задачники. Вы сможете тренировать свой ум всюду, независимо от того, есть ли у вас под руками бумага и карандаш, книга или учебник.
После появления технологии поверхностной закалки броневых листов у линкоров удалось резко снизить толщину брони, соответственно, вес корабля и затраты на его создание. При этом бронебойные снаряды даже с закалённым носом стали отскакивать от бортов как биллиардные шары. Задача уязвимости вражьих судов была решена русским адмиралом Макаровым. Что он предложил? И какое физическое противоречие разрешил?
Как просверлить в металлическом кубе отверстие, показанное на рисунке?
В горбачёвский период была остановлена «гонка вооружений» и возникла задача взаимного контроля вооружений СССР и его вчерашних противников. Эксперты пришли к выводу, что необходимая технология контроля должна состоять в мечении контролируемых объектов – тяжёлых вооружений.
При этом технология мечения должна быть полностью описана и доступна стороне потенциального противника, но, тем не менее, необходимо, чтобы изготовленные по этой технологии метки невозможно было бы подделать.
Задача чем-то напоминала известный парадокс всемогущества: может ли сверхмогущественное существо создать камень, который само же не сможет поднять?
На том уровне техники было предложено несколько вариантов, как советской, так и американской сторонами. А что бы вы сами предложили на месте разработчиков?[40] Какой базовый принцип лежит в основе решения этой задачи?
Поскольку ответ весьма объёмен, помещаем его сразу в текст, а не в конец книги, как в большинстве случаев.
В основу решения положен принцип случайности, так как только случайные процессы позволяют сделать уникальные объекты, в данном случае метки.
С советской стороны было предложено облучать тяжёлыми ядрами на ускорителе тонкие лавсановые пленки или иные трековые детекторы. Плёнку необходимо предварительно разметить: нанести сетку координат. В процессе облучения в плёнке образуются скрытые треки (повреждения структуры вещества).
Треки визуализируются с помощь процесса травления в горячей щёлочи; при этом возникают отверстия в плёнке диаметром от 0,5 до 1,0 микрона. Конфигурация расположения треков является полностью случайной и если их достаточно много, то её невозможно повторить в мыслимом числе экспериментов по облучению. Таким образом, повторить полученную однажды метку оказывалось невозможным. В дальнейшем предполагалось размещать такую метку на контролируемом объекте. Считывание метки можно было осуществить благодаря обычному оптическому микроскопу.
С американской стороны предполагалось смешивать мелко измельченную отражающую свет слюду с эпоксидной смолой и наносить на объект. После застывания смолы внутри неё образовывалась случайная структура отражающих элементов. Считывание метки предполагалось делать под разными углами с помощью ФЭУ (фотоэлектронного умножителя), предварительно подсветив метку внешним источником света.
К чести американцев, они признали советское предложение более простым и устойчивым к ошибке. В настоящее время нанотехнологии позволяют подделать такого рода метки, поэтому данные конкретные технические решения теперь стали достоянием истории.
Система противоречий
Довольно редко бывает так, что некий объект возникает как результат разрешения одного-единственного противоречия, обычно накапливается целый комплект противоречий и ограничений.
Скажем, создание водородной энергетики обусловлено следующими проблемами:
1. Истощение дешевых запасов качественных углеводородов.
2. Экологическая угроза планете за счет роста выбросов парниковых газов (катастрофическое изменение климата).
3. Загрязнение окружающей среды там, где проживает большая часть населения (города).
4. Потребность в аккумуляции энергии с помощью энергетически ёмких носителей.
В результате возникает идея отказаться от сжигания углеводородов, то есть заменить их другим видом химического топлива. Оно давно известно химикам, это водород. Но!..
«Водород обладает физико-химическими свойствами, которые делают очень опасным его применение. Скорость диффузии водорода в открытом пространстве – 2 м/с (у обычного газа – 20 см/с). Более того, концентрационный предел по горению и детонации у водорода на порядки более высокий, чем у топливного газа и паров бензина. А главное, водород обладает наибольшей калорийностью и в зависимости от гидродинамической схемы развития взрыва может в десятки раз превосходить тротиловый эквивалент тринитротолуола. Обращение с водородом требует высочайшей культуры, которую трудно обеспечить в российских условиях. Необходимо очень внимательно следить за взрыво– и пожаробезопасностью всех этих систем. Не случайно в программах водородной энергетики, которые есть в США и в других странах, обращению с водородом уделено очень большое внимание. Я бы предложил в нашей комплексной программе усилить элемент, связанный с безопасностью производства, хранения и использования водорода, потому что незакрученный штуцер в водородном двигателе в гараже под небоскребом может вызвать взрыв и поставить крест на всей водородной энергетике»[41].
Низкая температура жидкого водорода обусловливает высокий тепловой поток через изоляцию, что при малой теплоте испарения (примерно 0,418 кДж/кг) может вызвать быстрое испарение водорода и, следовательно, повышение давления. Следует также иметь в виду воздействие низких температур на такие свойства конструкционных материалов, как прочность, теплопроводность, теплоёмкость и тепловое расширение.
Давление, необходимое для поддержания водорода в жидком состоянии при 300 оК, равно 200 МПа. Это вызывает необходимость использования в любом ограниченном криогенном пространстве надёжной системы сброса давления. Число мест сброса газообразного водорода в атмосферу должно быть ограниченным; выброс газа допустим только на большой высоте, чтобы всё оборудование в случае воспламенения водорода оказалось ниже уровня пламени.
Одной из особенностей жидкого водорода является возможность его расслоения при хранении на несколько температурных слоёв. Давление в резервуаре при расслоении определяется температурой более тёплого поверхностного слоя. Таким образом, расслоение сопровождается повышением давления, что опасно, поэтому допустимая длительность хранения жидкого водорода без сброса пара и газа сокращается. При перемешивании расслоение водорода устраняется. В этом случае трубку газосброса можно закрывать и выпускать пары только при установке резервуара в безопасном месте.
В жидком водороде могут накапливаться опасные твёрдые примеси кислорода. Причинами его попадания в резервуар могут быть неплотности в узлах арматуры, датчиках, ниппельных соединениях, а также несвоевременное закрытие вентилей, отсекающих резервуар от атмосферы во время эксплуатации, а также нарушение герметичности при ремонтах. Кроме того, возможна неполная очистка резервуара от кислорода при подготовке его к заполнению водородом.
При соприкосновении воздуха с жидким водородом возможны его конденсация и затвердевание. Это очень опасно, так как затвердевший воздух способен закупорить вентиляционные линии, что может привести к опасному повышению давления. При контакте воздуха с поверхностью, охлаждённой ниже 82 оК, в образовавшемся конденсате содержится примерно 52 % кислорода. Жидкий водород будет постепенно обогащаться кислородом, что может создать благоприятные условия для его возгорания и взрыва. Жидкий водород при его хранении, перекачке и выполнении других технологических операций следует всячески предохранять от прямого соприкосновения с воздухом.
И, тем не менее, в США имеется уже 300 подземных хранилищ водорода, а в Норвегии 26 % заправок заправляют автомобили водородом!
Предлагаем читателю ознакомиться с приводимыми ниже Таблицами 3 и 4.
Фактически они представляют собой аналог системы экранов мышления, предложенной Г. С. Альтшуллером: «Мышление несистемно. Не успели люди в процессе эволюции выработать системное видение мира. Если в задаче сказано „дерево“, человек видит именно дерево. Начинается перебор вариантов. Дерево становится чуть больше, чуть меньше… Часто на этом всё кончается: ответ не найден, задача признана неразрешимой.
Это – обычное мышление. Талантливое воображение одновременно зажигает три экрана: видны надсистема (группа деревьев), система (дерево), подсистема (лист).
Конечно, это минимальная схема. Иногда включаются и другие экраны: наднадсистема (лес) и подподсистема (клетка листа). А главное – всё это видно в развитии, потому что работают боковые экраны, показывающие прошлое и будущее на каждом уровне. Девять (минимум девять!) экранов системно и динамично отражают системный и динамичный мир ‹…›. Системная природа техники осложняет решение задач и в тех случаях, когда объект, подлежащий изменению, выбран правильно и точно. Всякое изменение выбранного объекта сказывается чаще всего отрицательно (выделено нами. – Авт.), на других объектах, на надсистеме, в которую входит объект, и на подсистемах, из которых он состоит. Возникают технические противоречия: выигрыш в одном сопровождается проигрышем в чем-то другом. Поэтому для решения изобретательской задачи недостаточно улучшить ту или иную характеристику объекта; необходимо, чтобы это улучшение не сопровождалось ухудшением других характеристик. Обязательный признак изобретения – преодоление противоречия» (Альтшуллер, 2003, С. 60–61).
Таблица 3. Систематизация проблем водородной энергетики
Можно увидеть, что одна и та же проблема характерна для хранения и транспортировки водорода. Это проблема безопасности. Хранение и транспортировку даже можно было бы объединить в одно, если бы не некоторые различия. Например, водород уже успешно хранится в подземных «резервуарах» со стенками из мокрой глины. Оказывается, в таких условиях водород мало диффундирует из резервуара, так как плохо растворяется в воде. К тому же для подземных хранилищ снимается проблема компактности (по крайне мере, она не стоит так остро). Хранить под землёй водород можно при обычных давлениях, а не при сверхвысоких. Кроме того, для хранения газообразного водорода применяют газгольдеры, естественные подземные резервуары (водоносные породы, выработанные месторождения нефти и газа), хранилища, созданные подземными атомными взрывами.
Широкое распространение получило хранение газообразного водорода в газгольдерах с водяным бассейном (мокрые газгольдеры), поршневых газгольдерах постоянного давления (сухие газгольдеры), газгольдерах постоянного объёма (ёмкости высокого давления). Для хранения малых количеств водорода используют баллоны.
Следует иметь в виду, что мокрые, а также сухие (поршневые) газгольдеры сварной конструкции не обладают достаточной герметичностью. Согласно техническим условиям допускается утечка водорода при нормальной эксплуатации мокрых газгольдеров вместимостью до 3 000 м3 – около 1,65 %, а вместимостью от 3 000 м3 и более – около 1,1 % в сутки (считая на номинальный объём газгольдера).
Как правило, хранение и перевозку осуществляют «мокрым» способом. Что это значит? В цистерне находится некоторое количество воды. Оказывается, водород связывается с водой (растворяется) и более безопасен. Так может быть, просто, хранить водород в воде? Нет! В воде водорода растворяется немного. Но правильное направление мысли найдено: это методы физического или химического связывания водорода. Тогда он будет и при низком давлении и при высоком одновременно. Он будет более безопасен, так как для взрыва или возгорания его ещё сначала нужно высвободить из связанного состояния. Более того, практически до минимума упадет величина диффузии, а с ней и утечки водорода. Транспортировка станет безопасна и экономически выгодна. Можно будет создать систему заправочных станций, которые будут продавать сразу готовые к употреблению аккумуляторы водорода. Не нужно будет сбрасывать давление, снижать температуру, бороться с коррозией. Удивительно, но одно единственное решение разрубает Гордиев узел проблем. Правда, ещё остаются проблемы производства и проблемы использования водорода. Кроме того и само решение ещё не найдено, это только направление его поиска. Но «свет в конце туннеля» уже замаячил.
Физические методы связывания основаны на использовании микросфер и микрокапилляров. В них водород может при обычных условиях находится под огромными давлениями – порядка 1 000 атмосфер[42]. В микрокапиллярных матрицах водород может находиться при плотностях, равных и даже превышающих плотность жидкого водорода.
Таблица 4. Системные противоречия водородной энергетики
Таблица 5. Температурные противоречия использования водорода
Возможность получения водорода различными способами является одним из важных преимуществ водородной энергетики. К ним относятся:
1. Паровая конверсия метана и природного газа.
2. Газификация угля.
3. Электролиз воды.
4. Пиролиз.
5. Частичное окисление.
6. Биотехнологии.
В данный момент наиболее доступным и дешёвым процессом является паровая конверсия. Согласно прогнозам, она будет использоваться в начальной стадии перехода к водородной экономике для упрощения преодоления проблемы «замкнутого круга», когда из-за отсутствия инфраструктуры нет спроса на водородные автомобили, а из-за отсутствия водородных автомобилей не строится инфраструктура. В долгосрочной перспективе, однако, необходим переход на возобновляемые источники энергии, так как одной из главных целей внедрения водородной энергетики является снижение выброса парниковых газов. Такими источниками могут быть энергия ветра или солнечная энергия, позволяющая проводить электролиз воды.
Удобным промышленным способом получения чистого водорода является электролиз его из воды. Однако он экономически невыгоден, так как требует слишком много электроэнергии. Другие способы, связанные с газификацией углеводородов, требуют высокой температуры и получающийся водород содержит примеси СО и СО2, которые даже в очень малых количествах отравляют катализатор из платины. Обостряем противоречие. Значит, водород должен быть получен даром! Без затрат электричества и без газификации углеводородов. Как такое возможно? Это значит, что его нужно получать там, где он является лишним, опасным побочным продуктом! На АЭС – атомных электростанциях. Ядерные реакции, протекающие в реакторе, сопровождаются образованием водорода. Кроме того очень дешёвое тепло позволяет производить водород из метана и воды с помощью адиабатической паровой конверсии[43]. Термическая диссоциация воды может осуществляться при температуре 3 000 оC. В то же время использование энергии деления ядер позволяет получить чистый водород уже при температурах 1 000-1 200 оC. Кислород же при этом связывается в различные оксиды урана.
Использование неорганических мембран из палладиевых сплавов для очистки водорода позволяет получить водород с чистотой › 99,9999 %.
Осталась проблема использования водорода. Её решением является открытая очень давно электрохимическая реакция, идущая с образованием воды. Топливный элемент (электрохимический генератор) – устройство, которое преобразует химическую энергию топлива (водорода) в электрическую в процессе электрохимической реакции напрямую. В отличие от традиционных технологий, при которых используется сжигание твёрдого, жидкого и газообразного топлива! Прямое электрохимическое преобразование топлива очень эффективно и привлекательно с точки зрения экологии, поскольку в процессе работы выделяется минимальное количество загрязняющих веществ, а также отсутствуют сильные шумы и вибрации.
С практической точки зрения топливный элемент напоминает обычную гальваническую батарею. Отличие заключается в том, что изначально батарея заряжена, то есть заполнена «топливом». В процессе работы «топливо» расходуется и батарея разряжается. В отличие от батареи, топливный элемент для производства электрической энергии использует топливо, подаваемое от внешнего источника. Для производства электрической энергии может использоваться не только чистый водород, но и другое водородосодержащее сырьё, например, природный газ, аммиак, метанол или бензин. В качестве источника кислорода, также необходимого для реакции, используется обычный воздух.
А теперь постройте по приведённому образцу системы противоречий солнечной и ветровой энергетики!
О неточных понятиях и некорректных условиях задач
Считается, что большинство понятий не только естественного языка, но и языка науки являются неточными, или, как их еще называют, размытыми, нечеткими. На наш взгляд, ВСЕ понятия являются неточными, и «любая поставленная задача» также весьма относительна в части корректности, пока не будет сведена к «задаче, как она понимается»[44]. Нередко это оказывается причиной непонимания, споров, а то и просто ведёт к тупиковым производственным и научно-исследовательским ситуациям.
Давайте вернемся к задаче про яблоки. Пусть на столе лежат 5 яблок сортов антоновка, грушёвка, штрифель, белый налив, «семеренка» (то есть «Симиренко»), кроме них, ещё яблоко неизвестного сорта, зато надкушенное, яблоко с гнилым боком, половинка яблока, огрызок, яблоко, нарисованное на листе бумаги, карточка на которой написано «яблоко». Попробуйте сосчитать, сколько яблок лежит на столе.
Выполняя задание, вы будете вынуждены ввести некий критерий для того, чтобы определить, что же считать яблоком, а что не считать. Но с каждым новым примером, который мы будем предлагать читателю, вам придется менять и уточнять свой критерий, и так будет без конца, ибо в реальности существует бесконечное число способов варьировать объект.
Если понятие неточное, граница области объектов, к которым оно приложимо, лишена резкости, размыта[45]. Возьмем, к примеру, понятие «куча». Одно зерно (песчинка, камень и т. п.) – это ещё не куча. Тысяча зёрен – это уже, очевидно, куча. А три зерна? А десять? С прибавлением какого по счету зерна образуется куча? Не очень ясно. Точно так же, как не ясно, с изъятием какого зерна куча исчезает. Неточными являются эмпирические характеристики «большой», «тяжёлый», «узкий» и т. д. Неточны такие обычные понятия, как «мудрец», «лошадь», «дом» и т. п.
Нет песчинки, убрав которую, мы могли бы сказать, что с её устранением оставшееся уже нельзя назвать домом. Но ведь это как будто означает, что ни в какой момент постепенной разборки дома – вплоть до полного его исчезновения – нет оснований заявлять, что дома нет! Вывод явно парадоксальный и обескураживающий.
Нетрудно заметить, что рассуждение о невозможности образования кучи проводится с помощью хорошо известного метода математической индукции. Одно зерно не образует кучи. Если n зёрен не образуют кучи, то n+1 зерно не образуют кучи. Следовательно, никакое число зёрен не может образовать кучи.
Возможность этого и подобных ему доказательств, приводящих к нелепым заключениям, означает, что принцип математической индукции имеет ограниченную область приложения. Он не должен применяться в рассуждениях с неточными, расплывчатыми понятиями.
Хорошим примером того, что эти понятия способны приводить к неразрешимым спорам, может служить любопытный судебный процесс, состоявшийся в 1927 г. в США. Скульптор К. Бранкузи обратился в суд с требованием признать свои работы произведениями искусства. В числе работ, отправляемых в Нью-Йорк на выставку, была и скульптура «Птица», которая сейчас считается классикой абстрактного стиля. Она представляет собой модулированную колонну из полированной бронзы около полутора метров высоты, не имеющую никакого внешнего сходства с птицей. Таможенники категорически отказались признать абстрактные творения Бранкузи художественными произведениями. Они провели их по графе «Металлическая больничная утварь и предметы домашнего обихода» и наложили на них большую таможенную пошлину. Возмущённый Бранкузи подал в суд. Таможню поддержали художники – члены Национальной академии, отстаивавшие традиционные приёмы в искусстве. Они выступали на процессе свидетелями защиты и категорически настаивали на том, что попытка выдать «Птицу» за произведение искусства – просто жульничество.
Этот конфликт рельефно подчеркивает трудность оперирования понятием «произведение искусства». Скульптура по традиции считается видом изобразительного искусства. Но степень подобия скульптурного изображения оригиналу может варьироваться в очень широких пределах. И в какой момент скульптурное изображение, всё более удаляющееся от оригинала, перестаёт быть произведением искусства и становится «металлической утварью»? На этот вопрос так же трудно ответить, как на вопрос о том, где проходит граница между домом и его развалинами, между лошадью с хвостом и лошадью без хвоста и т. п. К слову сказать, модернисты вообще убеждены, что скульптура – это объект выразительной формы, и вовсе не обязана быть изображением (Ивин, 2009).
Обращение с неточными понятиями требует, таким образом, известной осторожности. Не лучше ли тогда вообще отказаться от них?
Немецкий философ Эдмунд Гуссерль был склонен требовать от знания такой крайней строгости и точности, какая не встречается даже в математике. Биографы Гуссерля с иронией вспоминают в связи с этим случай, произошедший с ним в детстве. Ему был подарен перочинный ножик, и, решив сделать лезвие предельно острым, он точил его до тех пор, пока от лезвия ничего не осталось.
Более точные понятия во многих ситуациях предпочтительнее неточных. Вполне оправдано обычное стремление к уточнению используемых понятий. Но оно должно, конечно, иметь свои пределы. Даже в языке науки значительная часть понятий неточна. И это связано не с субъективными и случайными ошибками отдельных ученых, а с самой природой научного познания. В естественном языке неточных понятий подавляющее большинство; это говорит, помимо всего прочего, о его гибкости и скрытой силе. Тот, кто требует от всех понятий предельной точности, рискует вообще остаться без языка. «Лишите слова всякой двусмысленности, всякой неопределенности, – писал французский эстетик Жозеф Жубер, – превратите их в однозначные цифры – из речи уйдет игра, а вместе с нею – красноречие и поэзия: все, что есть подвижного и изменчивого в привязанностях души, не сможет найти своего выражения. Но что я говорю: лишите… Скажу больше. Лишите слова всякой неточности – и вы лишитесь даже аксиом».
Долгое время и логики, и математики не обращали внимания на трудности, связанные с размытыми понятиями и соответствующими им множествами. Вопрос ставился так: понятия должны быть точными, а всё расплывчатое недостойно серьезного интереса. В последние десятилетия эта чрезмерно строгая установка потеряла, однако, привлекательность. Построены логические теории, специально учитывающие своеобразие рассуждений с неточными понятиями.
Активно развивается математическая теория так называемых размытых множеств, нечётко очерченных совокупностей объектов.
Анализ проблем неточности – это шаг на пути сближения логики с практикой обычного мышления. И можно предполагать, что он принесёт ещё многие интересные результаты (Ивин, 2009).
ТЕЛЕГРАМКанал с обзорами, анонсами новинок и книжными подборками
Книжный Вестник
Бот для удобного поиска книг (если не нашлось на сайте)
Поиск книг
Свежие любовные романы в удобных форматах
Любовные романы
О психологии, саморазвитии и личностном росте
Саморазвитие
Детективы и триллеры, все новинки
Детективы
Фантастика и фэнтези, все новинки
Фантастика
Отборные классические книги
Классика
ВКОНТАКТЕБиблиотека с любовными романами, которая наверняка придётся по вкусу женской части аудитории
Любовные романы
Библиотека с фантастикой и фэнтези, а также смежных жанров
Фантастика
Самые популярные книги в формате фб2
Топ фб2
книги