Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

Глава 5 Порядок из хаоса

Большинство газов, изучаемых в лаборатории, представляют собой совокупность равномерно распределенных молекул, макроскопические свойства которых не меняются со временем. Благодаря этому для их описания можно использовать математические инструменты, такие как статистика и вероятность.

Но в реальной жизни газы, окружающие нас и образующие воздух, которым мы дышим, имеют разную температуру и давление на разной высоте и движутся, образуя малопрогнозируемые потоки. В противоположность лабораторной изолированной системе при постоянной температуре мы имеем Землю — тело, которое получает энергию Солнца и вращается вокруг своей оси, при этом температура его поверхности периодически меняется. Модель газа с постоянным давлением и неизменной температурой в этих условиях неприменима, поскольку все термодинамические переменные измеряются в зависимости от положения и времени. Изучение реальных газов, образующих в движении ветер, намного сложнее, чем это предполагает математический аппарат Больцмана.

Воздух, которым мы дышим, — это система вне равновесия, ее состояние нестабильно из-за постоянного поступления солнечной энергии. Другие системы, находящиеся вне состояния равновесия, — это морские течения, экосистемы или человеческое общество. Изучение таких систем необходимо для понимания подавляющего большинства процессов, происходящих во Вселенной и не поддающихся строгому математическому описанию. Науке еще далеко до их полного понимания, но некоторый прогресс в этой области начиная с 70-х годов прошлого века позволяет нам отметить основные характеристики таких систем.

Вспомним, что газ представляет собой совокупность частиц, движущихся стихийно. В равновесии его состояние задано давлением, температурой и объемом, который он занимает. Равновесие характеризуется либо тем, что газ погружен в какую-либо емкость при постоянной температуре, либо тем, что общая энергия его молекул не изменяется. Но если поместить сосуд, наполненный газом при низкой температуре, например, в духовку, то мы заметим, что газ, находящийся внизу сосуда, будет нагреваться, и молекулы в этой области начнут двигаться быстрее, в то время как молекулы верхней части сосуда сохранят прежнюю температуру. Поскольку температура пропорциональна средней кинетической энергии молекул, частицы газа сверху и снизу сосуда будут иметь различное распределение скоростей, и решение проблемы газа, находящегося вне состояния равновесия, окажется очень сложным.

Если разница в температуре верхней и нижней частей не очень выражена, мы можем откорректировать уравнения для расчетов, чтобы получить решение, похожее на решение проблемы газа в состоянии равновесия, с некоторыми поправками. Но когда разница температур растет, газ начинает вести себя непредсказуемым образом, и его поведение становится невозможно объяснить с помощью правил Больцмана. В этот момент нужно изменить набор инструментов и вернуться к динамическим системам.

В предыдущих главах речь шла о системах в равновесии, но исчерпывающее определение понятия равновесия так и не прозвучало. Существуют различные типы равновесия, но когда мы говорим о газе, то имеем в виду стабильное равновесие.

Идею стабильного равновесия легко понять с помощью рисунка. У треугольника длинная сторона находится внизу. Если толкнуть его вправо или влево, он будет стремиться в свое начальное положение. Мы говорим, что его равновесие стабильно: при небольшом нарушении система сама возвращается в исходное состояние. В случае с газом хаотичное движение молекул играет роль таких небольших нарушений. Если бы газ не находился в стабильном равновесии, мы не могли бы гарантировать сохранение его макросостояния.

Стабильное равновесие можно понимать как точку, в которой система имеет минимальную потенциальную энергию, следуя принципу наименьшего действия Эйлера. То есть на графике уровня энергии относительно положения система будет занимать низшую точку.

Нестабильное равновесие — это противоположное понятие, которое также можно объяснить с помощью рисунка.

Мы имеем треугольник, поставленный на вершину. Даже самый минимальный толчок в одну или другую сторону вызовет изменение состояния, и фигура уже не сможет вернуться в исходное положение. Это равновесие нестабильно, поскольку любое, даже самое маленькое, нарушение полностью меняет состояние системы. Газ, находящийся в состоянии нестабильного равновесия, практически невозможно наблюдать, поскольку само движение его молекул играло бы роль таких нарушений и привело бы газ в состояние стабильного равновесия.

Система в состоянии нестабильного равновесия имеет максимальную энергию, так что любое движение в любом направлении способствует ее уменьшению. Следуя принципу наименьшего действия Эйлера, в момент, когда система отклонится от средней точки, она будет стремиться в области меньшей энергии, как показано на графике.

Любопытный аспект системы с нестабильным равновесием — это нарушение симметрии, математическое понятие, которое также применяется в фундаментальной физике для объяснения того факта, что частицы имеют массу. Ситуация, когда треугольник перевернут на вершину, симметрична относительно правой и левой стороны. Нельзя утверждать, что объект упадет в ту или другую сторону. На самом деле уравнения сами по себе также симметричны и не могут использоваться для подобного прогноза. Однако в конце концов треугольник в любом случае упадет и нарушит симметрию исходной ситуации и симметрию уравнений. Невозможно спрогнозировать, в какую сторону будет направлено нарушение симметрии, известно только то, что оно произойдет.

Это принцип справедлив для любой математической проблемы, в которой уравнения имеют симметрию, но их решения могут быть самыми разными.

Другая форма равновесия — это метастабильное равновесие. В этом случае мы имеем систему, которая находится на минимуме локальной энергии, что не соответствует минимально возможной энергии. Это утверждение можно проиллюстрировать с помощью графика.

Система в метастабильном равновесии. Речь идет о локальном минимуме: существует другая точка меньшей энергии, но не непосредственно рядом.

* * *

* * *

Типичный пример — горячий лед, который можно сделать на кухне. Смешаем уксус с пищевой содой и получим ацетат натрия. Затем из кипящей воды и соли получим перенасыщенный раствор, добавим в него немного ацетата, и он закристаллизуется.

Если поставить раствор в холодильник, его температура снизится, будет пройдена граница точки замерзания, после которой состояние вещества с минимальной энергией должно быть твердым, но не жидким. Однако наш раствор все еще остается в жидком состоянии, а чтобы перейти в твердое, ему нужна некоторая энергия. Слегка постучим по стакану пальцем. Раствор получит достаточную энергию, чтобы дойти до реального минимума. При этом вся лишняя энергия высвободится, превращаясь в тепло. Мы увидим сверхскоростную реакцию, при которой раствор за несколько секунд застывает с высвобождением большого количества энергии, которая согревает получающийся кристалл. Наш раствор стал похожим на лед, но этот лед будет горячим.

Решить уравнения Гамильтона для газа невозможно, но по крайней мере мы знаем, что газ ведет себя как динамическая система. Следовательно, у него будут те же характеристики, что и у обычной динамической системы, и вывести их можно с помощью элементарной математики и здравого смысла. Вспомним, что теория динамических систем — это не физическая, а математическая теория: любая система, изменяющаяся во времени по определенному правилу, — динамическая.

Мы можем представить газ как одну частицу, движущуюся в двух измерениях и описывающую некоторую траекторию. Конечно, движение газа сложнее, но качественные характеристики примерно такие же.

Если взять динамическую систему и начать вычислять ее траектории исходя из различных начальных условий, мы получим рисунок, похожий на приведенный ниже.

Это говорит о том, что несмотря на сложное поведение, такие динамические системы, как газ вне состояния равновесия, демонстрируют некоторые закономерности, которые можно определить, изучив траектории. Если мы обратим внимание на рисунок, то увидим, что наша система стремится приблизиться к некоторым областям фазового пространства. Эти области называются аттракторами, они бывают различных типов, с разными характеристиками. Если предоставить динамической системе для изменения достаточно времени, любая из них будет стремиться к аттрактору, поскольку все траектории ведут к ним.

Аттрактор необязательно должен быть точкой: это в целом область фазового пространства, которая может быть точкой, плоскостью, некоторым объемом или даже иметь более сложную форму.

Самый простой вид аттракторов — это неподвижная точка, или точка в фазовом пространстве. Если динамическая система находится в этом аттракторе, она из него никуда не передвинется. Вспомним, что динамическая система связана с трансформацией, переходом из одной точки фазового пространства в другую, но если аттрактор — неподвижная точка, то любые трансформации приводят нас в нее же.

Пример такого аттрактора — самое нижнее положение качелей: если человек находится в этой точке, он в ней и останется, если только не будет применять силу. И наоборот, находясь вверху, он стремится к этой нижней точке (это и указывает, что речь идет об аттракторе).

Но аттракторами являются не все неподвижные точки. Мяч на вершине горы представляет собой другую неподвижную точку — репульсор: минимальное воздействие вызовет перемещение мяча от нее. Итак, неподвижные точки, являющиеся аттракторами, совпадают с системами в стабильном равновесии, в то время как неподвижные точки, являющиеся репульсорами, показывают нам, что система находится в состоянии нестабильного равновесия.

Один из самых интересных видов аттракторов — это предельный цикл, или периодическое движение, к которому стремится система, если располагает достаточным количеством времени.

Пример предельного цикла. Все траектории стремятся к форме пути, выделенному жирным.

Как можно заметить, любая соседняя орбита предельного цикла стремится к нему. Классический пример предельного цикла — часы с маятником, период колебания которого определен длиной маятника, а дополнительная энергия исходит от гири и от завода часов. Обычный маятник, однако, стремится потерять энергию и остановиться в точке стабильного равновесия. Предельные циклы возникают только в системах с постоянным притоком энергии, как в случае с земной атмосферой.

Предельные циклы замечены во всех видах систем. Наиболее интересный случай — химические часы, о которых далее мы расскажем подробнее: в них два вещества реагируют друг с другом, и одно способно превращаться в другое. В некоторых условиях оба вещества превращаются друг в друга с определенным периодом, который можно видеть невооруженным глазом по смене цвета раствора.

Еще сложнее, чем предельные циклы, странные аттракторы. В этом случае траектории стремятся к области с фрактальной структурой. Фрактал — это геометрическая фигура, которая обладает самоподобием, то есть любая часть фрактала подобна ему целиком. Классический пример — снежинка Коха.

Различные этапы создания снежинки Коха.

Конечная фигура получается в результате бесконечного числа этапов.

Эту фигуру можно построить, применяя одну и ту же трансформацию несколько раз для каждой линии рисунка, так что он усложняется с каждым циклом. Трансформация применяется бесконечное число раз, и это предполагает, что фигура имеет одинаковый вид, в каком бы масштабе мы на нее ни смотрели. На рисунке слева на следующей странице показано множество Мандельброта — одна из самых известных фрактальных структур, в определенном масштабе, а справа — тот же самый фрактал, увеличенный в 100 раз.

Фракталы имеют дробную размерность, то есть для них характерно не целочисленное количество измерений — одно, два или три, — а, например, 1,65. Это можно объяснить следующим образом: если вычислить периметр снежинки Коха, окажется, что он бесконечен, потому что линии фигуры бесконечно сложны. Итак, с одной стороны, определяющая его линия имеет больше одного измерения, значит, ее размерность должна лежать в промежутке между единицей и двумя. Существуют различные способы вычислить размерность фрактала, и в случае со снежинкой она примерно равна 1,26.

Поскольку странный аттрактор — это фрактальная геометрическая фигура, то хотя она и ограничена конечной областью фазового пространства, траектории необязательно должны повторяться или сходиться в одной точке. На самом деле предполагается непериодическое поведение: тело движется непрогнозируемо, даже будучи ограниченным определенной областью фазового пространства, и никогда не проходит два раза через одну и ту же точку, иначе его траектория была бы периодической. В целом траектория тела напоминает изображенную на рисунке.

* * *

* * *

Странные аттракторы существуют везде. Наиболее удивительный их пример встречается в метеорологии, поскольку погода также следует непрогнозируемым моделям. Еще примеры — двойной маятник, представляющий собой один маятник, прикрепленный к оконечности другого, или проблема трех тел с взаимным притяжением, рассмотренная в главе 2.

Теперь мы можем вплотную подойти к проблеме газа вне состояния равновесия. Вспомним, что система в этом состоянии характеризуется постоянным притоком энергии. Также нам нужно вспомнить второй закон термодинамики, согласно которому для любой изолированной системы энтропия стремится увеличиваться. Поскольку наш газ обменивается энергией с внешним миром, мы не можем говорить об изолированной системе, но мы можем считать источник энергии и наш газ единой системой, для которой энтропия должна будет расти.

Энтропия, как было сказано раньше, — это мера рассеяния энергии. То, что энтропия стремится к увеличению, означает, что энергия стремится все больше рассеиваться, и это очень важно для понимания поведения любой системы, получающей энергию извне. Примером системы такого типа является и человек: необходимую энергию мы получаем из еды. Подобным же образом ведет себя и земная атмосфера, хотя она получает энергию из солнечного излучения. В целом существует намного больше систем такого типа, чем систем в состоянии равновесия, так что их изучение принципиально для понимания законов существования Вселенной.

Во втором законе термодинамики говорится, что когда газ получает значительное количество энергии из внешнего источника, его поведение должно вести к росту общей энтропии. Газ принимает структуру, которая рассеивает энергию как можно эффективнее, что, в свою очередь, вызывает появление упорядоченных моделей, поведение которых, на первый взгляд, противоречит второму принципу термодинамики в том смысле, что энтропия газа уменьшается. Но нужно помнить, что газ не изолированная система, следовательно, к нему неприменим второй закон, он справедлив только для системы, включающей в себя источник энергии и окружение. При таком подходе рост упорядоченности газа вызывает увеличение хаотичности вокруг него, так что второй закон термодинамики все еще оказывается справедливым.

Поскольку тело стремится рассеять энергию как можно эффективнее, структуры такого типа называются диссипативными системами. В следующих абзацах вы увидите, что результаты, касающиеся поведения динамических систем и типов равновесия, окажутся крайне важными для понимания диссипативных систем.

При изучении таких систем нужно различать ситуации, близкие и далекие от равновесия. Предположим, что у нас в контейнере газ комнатной температуры: поскольку его температура и число частиц остаются постоянными, мы можем сделать вывод, что он находится в состоянии стабильного равновесия, или, другими словами, в неподвижной точке динамической системы. Но если сейчас мы слегка поколеблем газ, например слегка ударим контейнер, то мы изменим распределение его молекул. Однако вспомним главный признак стабильного равновесия: после небольшого отклонения от равновесия система возвращается в свое исходное состояние. Итак, при небольших отклонениях можно ожидать, что состояние газа не отклонится от равновесного. И пока газ находится близко от состояния равновесия, мы можем предположить, что его поведение предсказуемо. Даже если мы слегка нагреем газ, то можем вычислить, что произойдет, если скорректируем наши уравнения газа, пользуясь теорией возмущений. Состоит она в том, чтобы, опираясь на решения для состояния равновесия, вносить в них поправки, компенсирующие небольшие отклонения от этого состояния.

Если мы обеспечим приток к газу большого количества энергии, все изменится. Наша динамическая система выйдет из сферы влияния аттрактора, и ее поведение перестанет быть предсказуемым. Однако изучение динамических систем позволяет нам сделать некоторые важные прогнозы. Например, мы знаем, что газ будет стремиться к новому аттрактору, если дать ему достаточно времени. Если нам известны различные аттракторы нашей динамической системы, мы можем рассчитать несколько траекторий ее поведения после выхода из состояния равновесия.

Одна траектория приведет газ к другой неподвижной точке: в этом случае следует ждать, что система остановится в ней, что будет сопровождаться новыми показателями давления, объема и температуры. Другой вариант — это стремление системы к предельному циклу: в этом случае следует ждать ее периодического поведения, при котором характеристики газа будут меняться предсказуемым образом.

Наконец, возможно и хаотическое движение, заданное странным аттрактором. Подобное мы наблюдаем ежедневно в прогнозах погоды: нам известны некоторые параметры климата, но точно предсказать его мы не можем.

Бельгийский физик Илья Пригожин, изучавший диссипативные системы, объяснил несколько примеров сложного поведения с помощью обычных инструментов термодинамики. Один из самых иллюстративных примеров поведения жидкости вне состояния равновесия — это ячейки Бенара.

* * *

* * *

Ячейки Бенара получаются при нагревании жидкости снизу и обязаны эффекту гравитации в сочетании с разницей в плотности, вызванной воздействием тепла. Если жидкость нагревать, ее температура повышается, что ведет к более быстрому движению молекул и, в свою очередь, к потере плотности. Поскольку более тяжелые тела стремятся вниз, теплая жидкость будет подниматься, а холодная жидкость с поверхности — опускаться. Это создает конвекционное движение, похожее на представленное на рисунке.

Когда тепла достаточно, конвекция во всей жидкости прекращается и наблюдается в меньшем масштабе, образуя конвекционную ячейку. В структуре жидкости можно выделить небольшие ячейки, в каждой из которых происходит уменьшенный вариант конвекции в крупном масштабе.

* * *

* * *

В ячейках Бенара мы наблюдаем упорядоченное состояние жидкости, следовательно, они характеризуются гораздо меньшей энтропией, чем при глобальной конвекции всей жидкости. Однако благодаря тому, что такие ячейки рассеивают энергию лучше, чем другие структуры, жидкость стремится к этому состоянию. Рассмотрим пример того, как условия неравновесия вызывают появление определенной структуры — это явление, называемое самоорганизацией, наблюдается в большом количестве систем. Самоорганизация — базовое понятие для описания живых существ, которые, похоже, являются крайним случаем диссипативной структуры.

У ячеек Бенара есть и другие любопытные свойства. Например, направление движения жидкости в них хаотично меняется при каждом эксперименте, как в случае с бифуркацией функций, чувствительных к начальным условиям, которые были рассмотрены в главе 2. Поскольку ни газ, ни источник тепла не имеют предпочитаемого направления вращения, мы также наблюдаем случай симметричного вращения: начальная ситуация симметрична относительно направления вращений, но жидкость в ячейках Бенара принимает только какое-то одно направление вращения, но никогда — оба одновременно.

Если количество тепла продолжает расти, ячейки Бенара исчезают и на смену им приходит хаотичное, абсолютно непредсказуемое движение жидкости. Это совпадает с присутствием странных аттракторов для некоторых значений притока энергии. Можно посчитать, что появление кажущейся сложности движения, похоже, ограничено некоторыми значениями потока энергии.

Предыдущий анализ можно применить и к земной атмосфере, а именно к явлению, известному как глобальное потепление. Сегодня ученые начинают называть его просто изменением климата, и для этого есть свои причины.

Атмосферу можно рассматривать как диссипативную систему, поскольку она поглощает энергию Солнца и рассеивает ее с максимальным эффектом. Климат Земли был относительно стабильным в течение сотен лет, и только в последние десятилетия он начал характеризоваться значительными изменениями, вызванными, как считают ученые, деятельностью людей.

Поведение климата можно понять, если рассмотреть атмосферу как динамическую систему. Стабильность климата в течение нескольких веков указывает на то, что система располагалась рядом с аттрактором. Хотя солнечное излучение со временем слегка меняется, динамическая система после небольших отклонений стремится вернуться к точке равновесия, двигаясь по относительно постоянной модели. Однако когда нарушения очень сильны, система выходит из области влияния аттрактора, после чего ее поведение становится непредсказуемым. Можно только сказать, что она будет двигаться по фазовому пространству, пока не найдет новый аттрактор, но каким он будет, узнать невозможно. Это соответствует тем изменениям климата, которые мы наблюдаем: человеческая деятельность вызвала большие отклонения в составе атмосферы, и это влечет изменение привычных климатических моделей. Но невозможно знать, где это изменение остановится, поэтому многие ученые предпочитают говорить не о глобальном потеплении, а об изменении климата. Другими словами, глобальное потепление — это наблюдаемое нами проявление нарушений климатических моделей, но конечное их развитие необязательно будет соответствовать потеплению.

Собственно, этим и объясняется общая тревога в научном сообществе: мы нарушили атмосферу так сильно, что развитие этой системы стало непредсказуемым. Мы не знаем ни когда вернемся в состояние стабильности, ни к какому состоянию стабильности придем. А поскольку большая часть мировой экономики построена вокруг известных климатических моделей, внезапная их смена катастрофична. Например, огромный вред может быть нанесен сельскому хозяйству, поскольку ему нужны стабильные климатические модели, и изменение в цикле времен года может вызвать голод на планете.

Как было видно, ячейки Бенара ведут себя почти волшебным образом: порядок появляется из хаоса без какого-либо вмешательства со стороны человека. Существует множество систем с подобными свойствами — в физике, химии и даже экономике.

В этом разделе мы коротко остановимся на математических системах, обладающих свойством самоорганизации, а затем применим полученные знания к другим ситуациям, таким как лазеры или экосистемы.

Появление самоорганизующихся систем в таких структурах, как газы, заставляет задать важный вопрос: может ли достаточно сложное поведение опираться на небольшой перечень простых правил? Для изучения этого явления применялись клеточные автоматы.

Клеточный автомат — это решетка с одним, двумя или большим количеством измерений, в которой каждая клетка считается ячейкой. Ячейки могут быть окрашены в два и более цвета, но используются белый и черный. Изменение каждой ячейки происходит согласно простому алгоритму и зависит от состояния соседних ячеек.

Простой пример клеточного автомата — это игра «Жизнь», созданная английским математиком Джоном Хортоном Конвеем (1937). В ней берется двумерная бесконечная решетка. Каждая ячейка на этой поверхности может быть «живой» (черной) или «мертвой» (белой). Начинается игра с произвольной конфигурации клеток.

Начальное состояние игры «Жизнь». Конкретно для этого состояния характерно поведение, напоминающее периодически стреляющий пистолет.

Затем система начинает развиваться на основании одного и того же правила. Правила просты.

1. Если с живой клеткой граничат меньше двух живых клеток, она умирает.

2. Живая клетка, с которой граничат две или три живые клетки, выживает.

3. Живая клетка, граничащая с более чем тремя живыми клетками, умирает.

4. Мертвая клетка, граничащая с тремя живыми клетками, оживает.

Если взять приведенное начальное состояние, мы увидим следующее развитие.

Последовательные состояния игры «Жизнь», слева направо, сверху вниз.

Игру Конвея можно считать динамической системой. Существует определенное положение в фазовом пространстве — конфигурация системы, которая работает по установленным правилам. Следовательно, если рассматривать другие динамические системы, одни начальные условия приведут систему к неподвижным точкам, после которых развитие остановится; другие — к предельным циклам, когда одно и то же поведение будет периодически повторяться. Наконец, третьи начальные условия приведут систему к странным аттракторам, и она начнет демонстрировать непредсказуемое и хаотичное поведение.

Так, все эти конфигурации из двух, трех и четырех клеток ведут к аттрактору в виде неподвижной точки.

Эти конфигурации, наоборот, порождают повторяющиеся предельные циклы.

В целом поведение игры «Жизнь» хаотично: при изменении начального состояния хотя бы одной клетки мы получим абсолютно разные результаты.

Возникновение произвольных сложных конфигураций в игре Конвея доказывает, что самоорганизация — нередкое явление, не связанное с большой сложностью системы: она может опираться на самые простые законы и не требовать вмешательства человека. Подобный подход совпадает с видением мира как физической системы, управляемой конечным набором простых законов, которые, несмотря на свою простоту, делают возможным существование таких сложных существ, как люди.

* * *

* * *

Английский физик и разработчик Стивен Вольфрам (1959) посвятил значительную часть своей жизни изучению клеточных автоматов. Полученные им заключения показывают, что простые правила лежат в основе достаточной высокой сложности результата. Вольфрам сегодня работает над выведением физических законов с помощью клеточных автоматов: ему уже удалось получить модели, совместимые с релятивизмом и квантовой механикой.

Одно из самых важных достижений Вольфрама заключается в том, что его клеточный автомат, называемый правило 110, является тъюринг-полным. Система называется тьюринг-полной, если она способна выполнять любую операцию, подвластную машине Тьюринга, которую можно считать примером идеального компьютера с бесконечными вычислительными возможностями и памятью. Машина Тьюринга может использоваться для вычисления любой математической функции.

Итак, один из клеточных автоматов Вольфрама способен вычислить результат любой математической функции, если задать ему подходящие начальные условия. Клеточный автомат 110 гораздо проще, чем игра «Жизнь» Конвея. В нем имеется только одна линия расчетов, размещенная рядом с другой. Правила трансформации определяются значением этой ячейки и двух соседних. Если обозначить «живое» состояние через 1 и «мертвое» — через 0, правило 110 можно свести к следующей записи:

111 —> 0

110 —> 1

101 —> 1

100 —> 0

011 —> 1

010 —> 1

001 —> 1

000 —> 0

Ниже показан пример развития правила 110 при произвольных начальных условиях.

Правило 110. Для создания рисунка начинают с произвольной последовательности белых и черных квадратов в нижней части. Затем для создания следующей линии над предыдущей используется правило 110. Процесс продолжается до формирования завершенного рисунка.

Вольфрам использовал свои клеточные автоматы для описания самых разных систем, например пигментации шкуры животных. Некоторые морские раковины в своем поведении демонстрируют огромное сходство с клеточными автоматами.

По мнению Вольфрама, это происходит благодаря тому, что алгоритмы роста живых существ — это также наборы простых правил, которые лежат в основе сложных моделей.

Клеточные автоматы были использованы для изучения поведения газа вне состояния равновесия. С помощью метода, названного автоматом решеточного газа (lattice gas automaton), ячейки используются для представления частиц с разными скоростями. Изменение системы происходит на основе простых правил, как и в игре «Жизнь», эти правила определяют, как скорость каждой ячейки меняется со временем. В 90-е годы прошлого века метод дал хорошие результаты и вдохновил ученых на разработку решеточного метода Больцмана, основанного на похожих принципах.

Как видите, вновь развитие математики приводит к прогрессу и других областей науки.

Клеточные автоматы, такие как игра «Жизнь», доказывают, что большая сложность может опираться на очень простой базис, и даже заставляют думать, что жизнь могла возникнуть спонтанно посреди неодушевленной материи.

Все популярнее становится версия, что жизнь зародилась как автокаталитическая система. Катализатор — это вещество, которое используется для ускорения или облегчения протекания химической реакции: например, диоксид марганца используется для разложения перекиси водорода на воду и кислород, а без него эту реакцию осуществить намного сложнее.

Следовательно, автокаталитическая система — это группа молекул, которые катализируют производство самих себя и которые способны превращаться друг в друга. Автокаталитические системы характеризуются регулярным поведением, которое довольно сложно объяснить прямым действием законов Больцмана.

Возьмем, например, химические часы. Сегодня известно несколько пригодных для этого реакций, и все они имеют нечто общее: в часах используется раствор нескольких веществ, два из которых могут превращаться друг в друга с помощью третьего компонента. При реакции Белоусова — Жаботинского превращение веществ сопровождается окрашиванием раствора в разные цвета, так что реакцию можно наблюдать невооруженным глазом.

При определенных концентрациях раствора происходит удивительное явление: одно из веществ реагирует с катализаторами, превращаясь в другое вещество и изменяя цвет раствора; через некоторое время полученное вещество также вступает в реакцию, превращаясь в первое и еще раз изменяя цвет, при этом циклы имеют одинаковую длительность. Так и появились часы с химическими компонентами, или химические часы.

Другое свойство автокаталитических систем состоит в их способности к самовоспроизведению. Конечно, это касается не каждой отдельной молекулы, а именно их совокупности. Этим же признаком обладают и все живые существа: ни одна молекула в их телах не способна к самовоспроизведению сама по себе, но различного рода совместная работа позволяет в итоге восстановить целостность системы.

Американский биолог Стюарт Алан Кауффман (1939), изучавший автокаталитические системы, выяснил, что их свойства связаны с эволюцией. На основе чисто математического подхода, не учитывая химических свойств системы, он обнаружил, что системы можно разделить на части, которые взаимодействуют между собой и могут эволюционировать, создавая между частями все более сложные отношения с растущим количеством элементов. Ученый ничего не говорит о природе этих частей, и его анализ применим не только к химическим веществам, но и к любому набору систем, взаимодействующих подобным образом. Так, Кауффман утверждает, что примером автокаталитической системы является бактериальная флора нашего кишечника.

Видение жизни как самоорганизующейся системы совпадает с идеей о том, что живые существа являются диссипативными системами. Живое существо — это структура, которая поддерживает свою энтропию постоянной, создавая энтропию вокруг себя, что означает, что такое существо должно потреблять энергию и как можно эффективнее рассеивать ее. Живые существа представляют собой систему в метастабильном состоянии: несмотря на то что они находятся вне равновесия, они способны поддерживать это состояние, пока система не сталкивается со слишком большими нарушениями, и в этом случае живое существо переходит в состояние стабильного равновесия, то есть смерти. Исследования Кауффмана подчеркнули возрастающую сложность автокаталитических процессов, которую можно объяснить тем фактом, что диссипативные системы стремятся к внутреннему упорядочению, выводя хаос за пределы системы.

Самоорганизующиеся системы могут включать как живые существа, так и инертные части. Пример этого — поведение колонии муравьев или термитов. Как объясняет Пригожин в своей книге «Порядок из хаоса», термиты при строительстве термитника ведут себя так же, как молекулы в химической диссипативной системе.

Он пишет:

Как видно, описание соответствует развитию динамической системы, которая переходит от гомогенного состояния в негомогенное, в котором исходные нестабильности приобретают все большее значение и в конце концов полностью определяют развитие системы. Имеется и другой случай спонтанного нарушения симметрии: начальная территория одинакова везде, но в результате деятельности термитов случайно выбираются те ее части, которые скрывают начальную симметрию состояния.

Другой пример самоорганизующейся системы представляют собой коллективные амебы, одноклеточные животные, образующие сложные структуры при недостатке пищи. Амебы ведут себя как автономные существа, пока им хватает пищи, но как только наблюдается ее недостаток, одна из амеб начинает выделять определенное вещество, запускающее цепную реакцию: остальные амебы движутся к ней, образуя конгломерат, который начинает развиваться. Пригожин пишет:

Самоорганизующиеся системы не только существуют в природе, но и являются важной частью наших технологических достижений. Один из примеров — нейронные сети, которые используются сегодня в различных сферах, от распознавания голоса до обнаружения лиц на фотографиях.

Нейронная сеть — это компьютерная программа, имитирующая структуру мозга. Она состоит из различных слоев нейронов, которые получают и передают импульсы. Поведение нейронов основано на реальном поведении нейронов мозга, хотя и в упрощенном виде.

Нейронные сети не программируются в привычном смысле этого слова, а обучаются. Алгоритмы глубинного обучения обеспечивают, что каждый из нейронов берет на себя обработку входящей информации, усваивая ее примерно таким же образом, как это происходит в человеческом мозге.

В нашем мозге нейроны связаны друг с другом, образуя слои. Каждый нейрон имеет несколько входных каналов и только один исходящий. Уровень электрического импульса, поступающего со всех входных каналов, определяет, активируется ли нейрон и передаст ли он сигнал. Способность мозга к обработке информации заключается в регулировании силы связей между нейронами и декодировании сигналов, поступающих из внешнего мира.

Нейронные сети работают так же: у каждого нейрона есть несколько входов и один выход; от интенсивности входящего сигнала зависит, активируется ли нейрон. Каждый слой нейронов представляет собой различный когнитивный аспект: так, в нейронных сетях для обработки изображений первый слой используется для обнаружения базовых форм, второй — для более сложных форм, и так далее, пока очередь не дойдет до таких понятий, как «собака» или «мама».

Преимущество обучаемых нейронных сетей состоит в том, что для процесса глубинного обучения не требуется вмешательство человека — достаточно поступающих данных. Компьютер «Уотсон» компании IBM, например, был запрограммирован на поиск в интернете информации, которая позволила ему выиграть в программе “Jeopardy!” и понимать своих людей-собеседников, но этот поиск производился без вмешательства человека. Нейронная сеть с подходящими параметрами может научиться узнавать элементы на основе набора картинок, и человек при этом не должен будет сообщать ей: «Это камень». Недавно Google добился того, чтобы такая нейронная сеть научилась обнаруживать на фотографиях котов. Другое достижение нейронных сетей — программа, способная распознавать капчу — искаженные изображения, которые используются в интернете для проверки, является ли пользователь человеком.

Нейронные сети — самоорганизующаяся система: на основе случайной начальной конфигурации, следуя простым правилам, они способны программировать себя для осуществления таких сложных задач, как распознавание голоса. Этот тип систем — первый шаг к тому, что можно назвать искусственным интеллектом.

Способность простых систем к самоорганизации была использована и в робототехнике: роботы с невысокими возможностями обработки информации научились вести себя подобно упомянутым выше живым существам. Как и термиты, роботы с ограниченными техническими возможностями, взаимодействуя друг с другом, стали способны решать довольно сложные задачи. Этот вид распределенного интеллекта можно рассматривать как очередной пример сложного поведения системы, опирающейся на простые правила.

Несмотря на то что люди — существа с высоким интеллектом, их поведению в совокупности также характерны черты самоорганизующейся системы. Общество в целом ведет себя словно одна из таких систем: несмотря на то что отдельные люди живут и умирают, структуры, в которых это происходит, также ведут себя подобно диссипативной системе — город потребляет энергию и производит энтропию, подобно жидкости, в которой формируются ячейки Бенара. Социальная и экономическая жизнь также могут быть рассмотрены как динамическая система, которая начинается с некоторого гомогенного состояния и в итоге принимает конечную форму, заданную исходными условиями. Социоантрополог Эдмунд Лич (1910–1989) создал математическую модель политических изменений племен качинов в Бирме в статье 1954 года «Политические системы Северной Бирмы: исследование социальной структуры качинов».

Другой пример самоорганизации в наши дни — интернет, который представляет собой безмасштабную сеть. Такая сеть имеет структуру, в которой серия узлов, называемых хабами, обладает большим количеством связей, ведущих к субхабам, и так далее. Безмасштабные сети характеризуются толерантностью к ошибкам: даже если часть сети перестанет работать, совокупность в целом довольно устойчива и не испытает проблем в функционировании.

Существует несколько теорий безмасштабных сетей. Одна из них, предложенная Альбертом-Ласло Барабаси (1967), предполагает, что в основе такой сети лежит механизм предпочтительного присоединения, в котором число связей узла стимулирует появление новых связей. В некоторой степени это похоже на такую ситуацию: богатому человеку намного легче заработать денег, чем бедному. Структура безмасштабных сетей — это продукт самоорганизации, при которой новые узлы, подобно домашнему роутеру, необходимому для соединения с интернетом, подключаются к другим узлам, формируя устойчивую структуру.

Еще одно технологическое применение диссипативных систем — это лазер, устройство, которое использует квантовые свойства атомов для передачи света с определенной длиной волны. Главное свойство лазерного света — в когерентности: его волны распространяются синхронно, отставая одна от другой на определенную величину, и разность фаз остается постоянной.

В атоме электроны располагаются вокруг ядра. Благодаря некоторым законам квантовой механики, они не могут обладать любой энергией, их уровни энергии квантованы и могут иметь лишь определенные значения. Когда электрон находится на орбите с низким уровнем энергии, его можно возбудить с помощью тепла или электромагнитного поля, и тогда частица поднимется на уровень выше. Таким же образом его можно опустить на уровень ниже, при этом избыток энергии будет трансформирован в свет.

Идея работы лазера заключается в том, чтобы заставить электроны производить свет с определенной частотой с помощью электромагнитных колебаний. Так можно добиться не только потока света необходимой частоты, но и когерентности излучения.

Лазеры — пример диссипативной и самоорганизующейся системы: атомы организуются спонтанно и рассеивают энергию, поступающую к ним в виде света. Свет, излучаемый лазером, имеет очень низкую энтропию — именно в силу своей когерентности.

Лазерная технология крайне важна для нашего информационного общества: на ней основаны все оптические системы хранения информации, такие как CD, DVD и Blueray.

В этой книге мы с вами увидели, что изучение такой частной проблемы, как свойства вещества в газообразном состоянии, может привести к появлению самых разных идей, имеющих большое значение для множества областей знания, от информатики до социологии. Как это часто бывает в науке, изучение конкретной проблемы ведет к появлению инструментов, которые затем находят свое применение далеко за рамками исходной дисциплины.

Это как нельзя лучше подтверждает силу математики. В отличие от естественных наук, математика не ограничена действительностью, поэтому может изменяться и расширяться безгранично, создавая новые, все более мощные инструменты. Никто не мог и представить, к чему может привести математический анализ довольно заурядного явления. А на самом деле в математике газа речь идет обо всей Вселенной.