Путевые заметки рассеянного магистра

ДВЕНАДЦАТОЕ ЗАСЕДАНИЕ КРМ

происходило у Олега, в комнате, сплошь уставленной книгами. Нулик сказал, что никогда не видел столько книг зараз, и долго читал вслух по корешкам названия. Наконец его угомонили, и хозяин дома объявил заседание открытым.

— Итак, — сказал он, — Магистр уже обогнул южный выступ Африки. Поспешим и мы за его «Быстроходной улиткой». Кто просит слова?

Нулик уже давно сидел с поднятой рукой, а теперь поднял и другую — очень ему хотелось высказаться первым. На то была причина: в математических задачах президент не разобрался, зато считал себя великим географом. А как раз с географии начинался рассказ Магистра.

— Когда Магистр обогнул самый южный выступ Африки — мыс Доброй Надежды, — начал Нулик, — он очутился в Индийском океане, а затем в каком-то неизвестном проливе. И тут — ох и насмешил же! — чуть не наткнулся на Европу! Ну какая может быть Европа в Индийском океане? Это первое, а второе…

— Постой-постой, — перебила его Таня, — у тебя уже действительно есть и первая и вторая грубые ошибки. Прежде всего мыс Доброй Надежды не самая южная точка Африки. Есть и поюжнее — мыс Игольный. А потом, ничего удивительного, что в Мозамби́кском (а не в каком-то!) проливе «Улитка» наткнулась на Европу. В этом проливе в самом деле находится Европа, только не континент, а остров.

Президент виновато засопел, но смущение его, как всегда, быстро испарилось.

— Что делать, небольшая осечка, — небрежно сказал он. — Зато уж дальше я несомненно прав: «Улитка», конечно, могла войти в устье реки Замбези, но уж доплыть до самого её истока, до Конго, такое большое судно не сможет. Ведь Замбези вблизи устья судоходна не более, чем на протяжении 450 километров! А дальше — стоп! Начинаются пороги. Это я наверное знаю: вчера прочитал в энциклопедии. Теперь двинулись дальше. Интересно, что за пампасы отыскал Магистр в Африке? Ведь пампасы — травянистые степи, и встретить их можно только в Южной Америке. Значит, Ливингстон не мог разыскивать Стэнли в этих самых пампасах. Это уж точно.

— Не совсем, — возразил Сева. — Ливингстон не потому не мог искать Стэнли в пампасах, что в Африке пампасов нет, а потому (да простит меня достопочтенный президент!)… потому, что Стэнли вовсе и не пропадал. Затерялся в дебрях Африки сам Ливингстон. А вот разыскивал его да и нашёл наконец действительно Стэнли.

— Ну, от перемены мест слагаемых… — отмахнулся Нулик.

Удивительно, как быстро усвоил он любимую поговорку Магистра!

— И потом, — продолжал Сева, — напрасно Магистр испугался тигров.

— Ну нет, я бы тоже испугался! — честно признался президент.

— И я, — неожиданно согласился Сева, — если бы только в Африке водились тигры. Но в том-то и штука, что там их нет. Так же, как и пампасов. Так что подсчитай лучше, сколько воинственных дикарей окружили нашего рассеянного математика и его спутницу Единичку.

— Огромное число! — безапелляционно заявил Нулик.

— Именно так утверждает и Магистр, — насмешливо сказала Таня, — но ведь он сам дал ключ к точному решению этой задачи и тем сам себя опроверг. По его словам, копьеносцев было ВО столько же раз больше, чем бумерангистов, НА сколько первых было больше, чем вторых. Значит, и ВО сколько и НА сколько — одно и то же число. А это возможно только в одном случае: если копьеносцев было два, а бумерангистов — четыре. Ведь четыре больше двух и В два раза и НА два.

Нулик недоверчиво покачал головой:

— Ну, это ещё надо доказать.

— И докажу. Пусть копьеносцев (к) больше, чем бумерангистов (б) в x раз. Тогда к=x*б. Но, как известно, к и НА x больше, чем б, то есть к=б+x. А две величины, порознь равные третьей, равны между собой. Выходит, что x*б=б+x. После обычных преобразований находим что x=^б/_(б-1). Теперь подумаем, какое целое число делится без остатка на ему предшествующее? Какое число ни возьми, оно на предшествующее без остатка не разделится. Вот хоть 20 на 19 или 25 на 24… Единственное число, которое здесь подходит, — это 2. Потому что двойка, делённая на единицу, так и. останется двойкой… Итак, бумерангистов было два, а копьеносцев в два раза больше, то есть четыре. А всего на Магистра напало колоссальное войско… из шести человек.

— Ну, если уж ты такая умная, — сказал Нулик, — скажи, что за племя буль-буль?

Увы! Ни Таня, ни кто другой ему не ответили. Как всегда в таких случаях, говорить пришлось мне.

— Скорее всего, — начал я, — Магистра и Единичку атаковали не дикари воинственного племени буль-буль, а мирные учёные, занимающиеся особой, необычной алгеброй, которая называется бу́левой.

— Ага, — торжествовал Нулик, — Магистр всё-таки прав: есть такая бульбулевая алгебра!

— Не булькай зря! Просто булева алгебра. По имени английского учёного, который её изобрёл. О, он сделал замечательное открытие! Но, как часто бывает, открытие это никого в те времена не заинтересовало, и оно вместе с его автором оставалось в неизвестности долгие-долгие годы. Да многим и сейчас ещё имя Джо́рджа Бу́ля ничего не говорит. Зато всем хорошо знакомо имя его дочери Этель.

— Этель Буль? Никогда не слышала про такую, — пожала плечами Таня.

— Потому что Буль — её девичья фамилия, а по мужу она Войнич.

— Автор «Овода»! — всплеснула руками Таня. — Самая моя любимая книга!

— Совершенно верно, — подтвердил я. — Знаменитый автор «Овода» — дочь малоизвестного Буля. Надо сказать, малоизвестному Булю везло на знаменитых родственников. Вот, например, дядя его жены, Джордж Эверест, талантливый учёный, именем которого названа самая высокая в мире горная вершина Эверест. Одна из пяти дочерей Буля — Алиса — была даровитым математиком, другая — Люси — первой женщиной — профессором химии. И только сам Джордж Будь оставался в тени.

— А что это за алгебру он изобрёл? — полюбопытствовал президент.

— Алгебру логики. Что такое логика, надеюсь, объяснять не нужно?

— Что за вопрос! — обиделся Нулик. — Я ведь всё-таки житель Арифметического государства. А там логика в почёте.

— Уж конечно, — согласился я. — Логика широко используется в математике. А вот Буль сделал обратное. Он использовал математику в логике.

— Каким образом?

— В своём сочинении «Исследование законов мысли» Буль записал логические рассуждения математическими формулами. Так возникла булева алгебра логики.

— Но кому она нужна? — недоумевал Сева. — Не понимаю.

— Не только ты — многие не понимали. Слишком уж умозрительна была эта булева алгебра, слишком далека от жизни. Она не имела никакого практического значения, вот её и не принимали всерьёз.

— Поделом! Не выдумывай бесполезной заумщины.

— Опять ты торопишься! Да, во времена Буля алгебра его действительно не нашла себе применения. Но прошло каких-нибудь сто лет, и сейчас, в наши дни, булева алгебра используется в самых различных областях науки и техники. А самое главное — старая, никому не нужная булева алгебра широко применяется в самой молодой и в самой замечательной науке нашего времени — кибернетике.

— Ну да?! — Президент даже подскочил. — Вот не ожидал! Стало быть, то, что бесполезно сегодня, может оказаться полезным завтра?

— Это мы уже видели на примере Зенона, — напомнил я. — Кстати, идея, положенная Булем в основу его алгебры, задолго до него приходила в голову и другим учёным. Ещё в конце XIII века её проповедовал некий отшельник Райму́нд Лу́ллий. Правда, это стоило ему жизни; разъярённая толпа забросала его камнями. Луллий, как и Буль, остался непонятым. Даже несколько веков спустя его продолжали высмеивать такие великие мыслители, как Рабле́ и Джо́натан Свифт: один — в сочинении «Гаргантюа́ и Пантагрюэ́ль», другой — в «Путешествии Гулливера». Один лишь Джорда́но Бру́но воздал должное сочинениям Луллия. Но и он, как мы знаем, окончил свою жизнь на костре инквизиции. Позже, в XVII веке, алгеброй логики занимался великий Ле́йбниц. Но и его рукопись пролежала в неизвестности более двухсот лет. Однако Луллий и Лейбниц — все это предшественники Буля.

— А были и последователи? — спросил Олег.

— Были и последователи. Во второй половине прошлого века немецкий математик Георг Ка́нтор тоже, подобно Булю, изобрёл свою алгебру, и она также подверглась жестокой критике.

— Сколько, оказывается, можно напридумывать алгебр! — засмеялся Нулик.

— Целое множество! — подхватила Таня.

— Вот именно! — обрадовался я. — Это ты к месту сказала. Ведь Кантор назвал свою теорию алгеброй множеств, в отличие от обычной алгебры чисел. Само название «алгебра чисел» говорит о том, что она занимается количественными вычислениями. А вот алгебру множеств интересует не количество, а качество предметов, свойства, их объединяющие.

— Но при чём тут множества? — понукал меня Нулик. — И вообще что это такое — множество?

— Множеством математики называют собрание предметов (или понятий), которые обладают одним и тем же свойством. Вот, например, сидящие в театре во время спектакля люди — это зрители. Зрители образуют множество.

— Значит, ученики в классе — тоже множество, — сообразила Таня.

— И драчуны в классе — тоже множество, — добавил Сева.

— Правильно, — подтвердил я. — Но при этом заметь, что множество драчунов входит в множество учеников класса. Обозначим множество учеников класса буквой А, а множество драчунов — буквой Б. А теперь сложим оба множества. Что мы при этом получим?

— Получим А+Б, — гордо сказал Нулик.

— Верно. Но ведь множество Б входит в множество А. Значит, множество учеников класса при этом сложении ничуть не увеличится. Стало быть, А+Б так и останется А.

— Ну и алгебра! — развёл руками президент. — Совсем не похожа на обыкновенную.

— Как сказать! — возразил я. — В общем, алгебра множеств пользуется теми же правилами, что и алгебра чисел, хотя это и не обычные действия с числами. Ведь если ты возьмёшь множество красных карандашей и обозначишь его А, а затем множество синих карандашей обозначишь Б, то множество всех карандашей, как и в обычной алгебре, будет равно А+Б. И только несколько — именно несколько! — правил у алгебры множеств отличны от обычных.

— Да, но при чём здесь Буль? — возмутилась Таня. — Ведь речь как будто идёт об алгебре Кантора.

— В том-то и дело, что алгебра логики Буля и алгебра множеств Кантора по сути совершенно одинаковы.

— Но, насколько я помню, бульбули утверждали, что А+А=А, — возразил Сева, — а у вашего Кантора А+Б=А. Я пожал плечами:

— Да разве это не одно и то же? Допустим, что в классе драчуны все поголовно. Тогда множество учеников А равно множеству драчунов Б. Иначе говоря, А=Б. Подставим одно вместо другого и увидим, что А+А=А.

— Так вот в чём дело! — обрадовался Нулик. — Теперь я понимаю…

Я развёл руками.

— Ну, раз ты понимаешь, значит, нам самое время вместе с Магистром покинуть племя бульбулей и двинуться дальше.

— Только бы нас не настигли пущенные вслед бумеранги, — пошутила Таня.

— Хорошо, что ты о них вспомнила! — встрепенулся Сева. — Как известно, бумеранги тем и замечательны, что когда их пускают в цель, они возвращаются обратно. Если, конечно, в цель не попали. Так что упасть впереди Магистра бумеранги никак не могли. Разве что они были бракованные… К тому же это оружие австралийское, и вряд ли его применяют в Африке.

Снова поднял руку президент. Я уж, признаться, подумал, что он займётся задачей о ступеньках с мозаикой, но Нулик просто потребовал перерыва: ему, видите ли, необходимо подкрепиться перед походом к водопаду. Обычная история! Как и следовало ожидать, президенту никто не возразил.

«Подкрепление», приготовленное Таней, уничтожалось шумно и весело, после чего Нулик торжественно объявил, что снова готов к научной работе и попросил разрешения высказаться.

— Хочу отметить, — сказал он, — что, поднявшись на гору по канатной дороге, Магистр и впрямь оказался на высоте. Ему надо было сосчитать число камешков, покрывавших ступеньки, то есть найти сумму членов арифметической прогрессии от ста до пятисот. Для этого он воспользовался правилом, изобретённым Гауссом. И напрасно хранитель водопада отказался везти Магистра наверх. Я кончил.

— А я начинаю, — подхватил Олег. — Да будет тебе известно, что вычислять сумму членов арифметической прогрессии умели задолго до Гаусса. Однако правило это в самом деле связано с именем этого замечательного немецкого математика. Говорят, когда Гаусс был ещё школьником, учитель предложил однажды ученикам сложить все целые числа от единицы до сорока. Не успел он продиктовать своё задание, как семилетний Гаусс объявил, что ответ готов. Учитель, конечно, ему не поверил и даже пригрозил наказать за неуместную шутку. Но как же он удивился, когда увидал, что решение и в самом деле совершенно верное! Мальчик заметил, что равно-отстоящие от концов прогрессии числа (1 и 40, 2 и 39, 3 и 38 и так далее) при сложении образуют одно и то же число: 41. А так как таких пар было 20, он умножил 20 на 41 и получил ответ: 820. Так маленький Гаусс своим умом дошёл до того, что было давно известно. Так что именем Гаусса Магистр назвал правило зря. Да и воспользовался он этим правилом неправильно. Верно сложил первое и последнее число, то есть 100 и 500, так же верно разделил сумму 600 на два и получил 300. Но вот дальше стал умножать 300 на число ступенек, которых было не 400, как он думал, а 401. Значит, и камешков на все рисунки ушло не 120 000, а 120 300.

— Допустим, — согласился президент, — но уж градусник действительно был испорчен. Тут Магистр прав. На вершине скалы мороз, а ртуть поднялась до 28 градусов выше нуля!

— Ай-ай-ай! — Таня укоризненно покачала головой. — А ещё президент. Неужели ты не догадался, что там висел термометр Фаренге́йта?

Нулик хихикнул. Его всегда смешат незнакомые иностранные фамилии.

— Какой такой Фаренгейт?

— Вот такой. Немецкий физик XVIII века. Он предложил термометр со шкалой, где точка таяния льда обозначена не нулём, как на градуснике Цельсия, а числом 32. А точка кипения воды — не 100, а 212 градусов. Эта шкала и до сих пор употребляется в Англии и Америке. И 28 градусов по Фаренгейту — это около двух градусов мороза по Цельсию. Не мудрено, что у Магистра озябли руки.

Нулик рассеянно гладил Пончика, который тоже заметно скучал и тихо поскуливал. Видимо, президента уже утомила чересчур интенсивная умственная деятельность, и он довольно вяло воспринял замечание Севы о том, что охотник, встреченный Магистром, никак не мог быть энтомологом, потому что охотился на зверей, а энтомолог — специалист по насекомым.

Между тем Сева заслуживал большего внимания: он прекрасно решил задачу о пойманных охотником зверях, приняв число жирафов за единицу, а число муравьедов за икс. И так как жирафов было больше, чем утконосов, во столько же раз, во сколько утконосов больше, чем муравьедов, то вышло, что утконосов было x². Ну, а всего зверей в семь раз больше, чем жирафов. Следовательно, 1+x+x²=7. Отсюда x+x²=6.

Оставалось подумать, какое же число, сложенное со своим квадратом, может быть равно шести. Только двойка! 2+2²=6. Тот же ответ можно получить, если решить по всем правилам квадратное уравнение x+x²-6=0.

Итак, Сева убедительно доказал, что жирафов было вдвое больше, чем муравьедов, а муравьедов вдвое больше, чем утконосов. А так как Магистр знал, что жирафов было 10, то ясно, что муравьедов охотник поймал 20, а утконосов — 40. А всего зверей оказалось 70. Но самое смешное, что, решив задачу. Сева тут же указал на её бессмысленность, потому что, оказывается, ни муравьеды, ни утконосы в Африке не водятся…

Разбором двух последних ошибок Магистра занялся Олег.

— Допускаю, — сказал он, — что Магистр мог по карте принять озеро Чад за прямоугольник и даже на глазок прикинуть, что стороны его равны 120 и 240 километрам. Но вот назвать сумму сторон прямоугольника не периметром, а параметром это уж ни в какие ворота не лезет! Ведь параметр-постоянная величина, которая может, впрочем, иметь в различных случаях разные значения. Вот, например, в полёте — космический корабль. Чем определяется его орбита? Его параметрами: наибольшим и наименьшим удалениями от Земли, наклоном орбиты, временем обращения вокруг Земли и так далее. Однако эти постоянные величины будут совсем иные при другом полёте. Хотя и в одном полёте космонавт может сам менять параметры своей орбиты.

— И, наконец, последнее, — продолжал Олег. — Магистр назвал луч ла́зера квазаром. Но ведь это же совершенно разные вещи!

— Кто бы мог подумать! — изумился президент. — Я бы ни за что не отличил.

— Положим, отличил бы, если бы знал, что квазар — невероятно отдалённый от нас небесный объект, а лазер — устройство для получения искусственного луча света.

— Искусственный луч! А зачем он нужен? Какая от него польза?

— Огромная, брат, польза. Тонюсенькая полоска уплотнённого, нерассеивающегося, невидимого света (как только его разглядел Магистр!) обладает, оказывается, невероятными, сказочными свойствами. Лазерный луч изобретён сравнительно недавно, что-то около десяти лет назад. Но он уже нашёл себе самое разнообразное применение. Лазерный луч режет тугоплавкие металлы. Лазерный луч заменяет хирургический скальпель и производит тончайшие глазные операции. Вскоре он заберётся в кинескоп телевизора. Он уже заменил телефонные провода. Волшебный луч!

— Но и опасный, — назидательно сказал Сева. — Им можно сжигать корабли, дома, разрушать крепости…

— Постой-постой, — остановила его Таня, — кто это тебе все рассказал?

— Да так. Один писатель.

— Конечно, современный?

— В том-то и дело, что не очень. Он уж лет двадцать пять, как умер.

Президент свистнул.

— Шутишь! Как же он про лазер узнал? Ведь тогда лазера ещё не было.

— А он и не знал. Он его выдумал. И описал в научно-фантастическом романе «Гиперболоид инженера Гарина».

— Ой, так ты про Алексея Толстого! — догадалась Таня. — У нас дома есть эта книга, да я все не удосужусь прочитать. Теперь уж обязательно прочитаю.

— Интересно всё-таки! — мечтательно сказал Нулик. — Человек выдумал книжку про какой-то фантастический луч. Проходит много лет, и вот уже луч изобрели взаправду.

— Что удивительного? — возразил Олег. — Жюль Верн мечтал в своих книгах о подводных лодках, о летательных аппаратах, телевидении, радио, полётах на другие планеты… И вот сегодня все это уже не фантастика, а действительность.

— Стоп! — сказал я. — Лирическое отступление закончено. А то в разговорах о лазере никак до квазаров не доберёмся. Впрочем, добраться до них действительно трудновато: ведь даже свет от них доходит до нас через много миллиардов лет.

Нулик вытянул трубочкой пухлые губешки.

— У-у-у, какие далёкие звезды!

— В том-то и дело, что не звезды. Сначала, правда, их принимали за звезды. Но потом отказались от этой мысли и стали именовать мнимыми звёздами. А мнимый — по-латыни «квази». Отсюда и название — квазары.

— Но если квазары не звезды, так что же они? — поинтересовалась Таня…

— Самые загадочные небесные объекты.

— Вот так точность!

— К сожалению, точнее ничего тебе сказать не могу. О природе квазаров спорят сейчас многие учёные, и когда они наконец доберутся до истины, тогда…

— Тогда мы вернёмся к вопросу о квазарах снова, — закончил за меня Олег. — А сейчас не пора ли нам прогуляться? Пончик прямо-таки извертелся!

И все заторопились в прихожую.