Лучшее. Книги 1-9

1

Под распадом вещества фаэты разумели ядерные реакции расщепления и синтеза, в результате которых, как известно, наблюдается дефект массы, то есть вещества становится меньше, оно как бы «распадается», выделяя огромную энергию.

2

Существовала ли на самом деле в Солнечной системе взорвавшаяся планета?

Это угадывал еще Кеплер в 1598 году, отыскивая закономерности строения Солнечной системы. Между Марсом и Юпитером для полной стройности не хватало одной планеты. В конце XVIII века ученые Тициус и Боде дали ряд чисел: 0,4–0,7-1,0–1,6-2,8–5,2… Он отражал расстояние планет от Солнца. За единицу принималось расстояние от Земли. Но пятой планеты с расстоянием 2,8 земного не было. Астрономы стали искать ее и… начали открывать одну за другой «малые планеты» и еще меньшие тела, астероиды, которые двигались по общей орбите. Были они осколочной формы и словно образовались при РАСПАДЕ погибшей планеты. Немецкий астроном Оберс 150 лет назад высказал гипотезу, что такая планета существовала. В наши дни профессор С. В. Орлов, анализируя эту гипотезу, дал планете романтическое имя Фаэтон. Его работы продолжены академиком А. Н. Закарницким и Л. Г. Квашей. Советские исследования, в частности Е. Г. Гусаковой, доказали, что остаточный магнетизм метеоритов может быть объяснен только их намагничиванием в составе большой материнской планеты. И. Керн (1963 г.) определяет ее размеры как приближающиеся к земным. Вместе с тем ни сторонникам, ни противникам этой гипотезы не удавалось объяснить причину гибели планеты. Если бы Фаэтон взорвался, как фугасная бомба, его осколки разлетелись бы во все стороны и стали бы двигаться по удлиненным эллиптическим орбитам вокруг Солнца, а они остались на прежней, круговой… Если бы два космических тела столкнулись, то их обломки тоже полетели бы по эллиптической орбите, а не образовали бы кольцо на всей бывшей орбите планеты. Предполагают, что рои метеоритов образуются по меньшей мере в десятке мест кольца астероидов. Возможно, они порождаются столкновением и дроблением осколков былой планеты. Метеориты и поныне выпадают на Землю, но есть в их числе так называемые тектиты, которые, быть может, только раз выпали на Землю вследствие происшедшего в космосе грандиозного ядерного взрыва. Тем более что форма, состав и обезвоженность тектитов совершенно идентичны ядерным шлакам.

Так к гипотезе о когда-то существовавшем Фаэтоне добавилось предположение о причине гибели — термоядерная война его «цивилизованных» обитателей, возможность чего не отрицал в беседе с автором великий физик XX века Нильс Бор.

3

Именно так поступил в XIX веке русский путешественник Миклухо-Маклай, сразу став другом папуасов.

4

Древние цивилизации Южноамериканского материка, как установлено, действительно не знали колеса.

5

В Южной Америке, вблизи озера Титикака и развалин древнего сооружения Каласасава около индейской деревни Тиагаунака находятся знаменитые Ворота Солнца, которым насчитывают до 15 тысяч лет. Как установили ученые Кис и Познанский, на них изображен календарь, в году которого 290 дней: 10 циклов (месяцев?) по 24 дня и два по 25 дней).

6

43-м элементом в таблице Менделеева стоит технеций, появляющийся после ядерных взрывов.

7

Странный обычаи правителей инков жениться лишь на сестрах сохранялся несколько тысячелетий вплоть до покорения инков испанскими конкистадорами во главе с Писарро, который воспользовался легендой о сынах Солнца, обещавших вернуться, выдав за них белокожих и бородатых испанцев.

8

Приблизительно 3300 км.

9

По древней, неизвестно почему зародившейся традиции в Индии и ныне принято развеивать прах умерших над Гангом.

10

Современное высокогорное озеро Титикака расположено в Андах, на границе Перу и Боливии на высоте четырех тысяч метров над уровнем моря. На берегах его находятся морские раковины и окаменевшие морские водоросли. Близ развалин Каласасавы удивляют остатки портовых сооружении морского типа.

11

Из древнеиндийского эпоса «Махабхарата», перевод с санскрита Л. Горбовского.

12

Древнеиндийский поэтический источник «Самарангана Сутрадахра», перевод с санскрита А. Горбовского.

13

Древнеиндийский поэтический источник «Самарангана Сутрадахра», перевод с санскрита А. Горбовского.

14

На острове Фату-Хива в Полинезии, в джунглях скрыта в точности такая же статуя Тики, как и близ Ворот Солнца, около Тиагаунака, поставленная там в честь Кон-Тики.

15

Советский астроном Ф. Ю. Зигель выдвинул гипотезу, что Марс, Луна и гипотетический Фаэтон составляли когда-то трехпланетную систему с общей орбитой вокруг Солнца. Катастрофа Фаэтона превратила его в астероиды и нарушила равновесие трех тел. Марс и Луна вышли на более близкие к Солнцу орбиты и стали нагреваться. При этом меньшая по размерам Луна потеряла всю атмосферу, Марс — большую ее часть. В дальнейшем Луна прошла в опасной близости к Земле и была захвачена ею.

16

Корн. Античные фрагменты. «Из повествования Александра Полигостера, заимствовавшего легенду от Бероза, жреца Бела — Мардука в Вавилоне в эпоху Александра Македонского». Перевод с древнегреческого и латинского языков.

17

Для знакомых с игрой я приведу решение.

1. d6! Кb5. 2. de Крe5. Черные ждут появления белого ферзя, чтобы уничтожить его, но… 3. e8К! появляется новый подлинный герой предстоящей увлекательной борьбы. 3… Сh8. 4. Крg8, чтобы убрать слона с дороги пешки. Черные допускают это, они решают запереть врага в ловушке. 4… Кр: e6. 5. Кр: h8 Крf7. 6. h7! Готово. Замысел черных выполнен. Но почему белые идут навстречу их желаниям? 6… a3. Но теперь неожиданно бросается в бой белый конь. 7. Кd6 +. Взять его нельзя. Белым пат! Но черные настолько сильны, что могут даже отдать собственного коня, неизбежно проводя пешку! 7… Крf8. 8. К: b5 a2. 9. Кd4. Лукавый конь! Он встал так, что черные не могут поставить ферзя. Белым снова будет пат! Но… вместо ферзя черные ставят ладью! 9… a1Л! В бой вошел новый дальнобойный боец, более мощный, чем конь. Но белый конь не теряет времени. 10. Кe6 + Крf7. 11. Кd8 + Крg6. Черные решились. Избегая преследования, они выпускают белого короля. Они увидели далекий финал. Пусть белые проведут своего долгожданного ферзя. Они получат мат в минуту торжества. Но в борьбе выигрывает тот, кто рассчитал на ход дальше. 12. Крg8 Лa8. Черные заносят руку для последнего удара. На появление ферзя ладья возьмет коня и объявит мат! Но… снова оказываются белые от могучей фигуры и ставят второго коня. 13. h8К +! Занесенная для удара рука задержана. Король вынужден отступить. 13… Крh5. 14. Кhf7. Кони стали нерушимо. Ничья.

Черные могли на первом ходу сыграть 1… Кc4. Тогда: 2. de Крe5. 3. e8К Сh8. 4. h7! aЗ. 5. Крg8 Крe6. 6. Кр: h8 Крf7. 7. Кd6 + Крf8. 8. К: c4 a2. 9. Кe5!! У белых новый замысел. Их конь бросается в атаку. 9… a1Л 10. Кd7 + Крf7. 11. Кe5 + Крf6. 12. Кd7 +. Черным не избежать вечного шаха. Ничья!

18

√-1 (Прим. автора)

19

М., «Наука», 1978. (Прим. автора)

20

Теперь говорят «галсами». (Примеч. авт.)

21

Теперь произносят Картезий. (Примеч. авт.)

22

Примечание автора для особо интересующихся. Приведя обе части уравнения к единому знаменателю, имеем: 14∙x + 7∙x + 12∙x + 5 · 84 + 42∙x + 4 · 84 = 84∙x и 9x = 9 · 84; x = 84. (Примеч. авт.)

23

Арабские источники X–XII веков расходятся с современными представлениями о возрасте пирамид. (Примеч. авт.)

24

Сопоставление современных данных астрономии с размерами египетских пирамид устанавливает, что упомянутые три пирамиды по своим объемам соответствуют массам планет Земля, Венера, Меркурий, высота же пирамиды Хеопса ровно в миллиард раз меньше (какими бы мерами ни пользоваться) среднегодового расстояния Земли от Солнца, причем ни это расстояние, ни массы планет древние астрономы без соответствующих астрономических приборов, казалось бы, измерить не могли. (Примеч. авт.)

25

Величина «Пи» была известна древним египтянам как 22 / 7, выражавшаяся просто в семеричной системе счисления. (Примеч. авт.)

26

Древние связи календарей и преданий со звездой Сириус известны не только у египтян или еще раньше у шумеров, но также и у некоторых африканских племен, в частности, у догонов, как свидетельствуют об этом французские этнографы Марсель Гриель и Жармена Дитерлен в журнале Общества африканистов (Париж, т. XX, 1950) и в монографии «Бледный лис» (т. 1, ч. 1, 1956), сообщившие, что догонам известно, будто Сириус двойная, даже тройная звезда (Сириус A и B, наблюдаемые в современные телескопы, и еще не открытый Сириус C!), кроме того, догоны, не имевшие никаких астрономических приборов, а тем более современных физических аппаратов, имели представление не только о параметрах Сириуса, его орбите и светимости, но и передавали из поколения в поколение посвященным некоторые совпадающие с современными взглядами на строение вещества, происхождение вселенной и подобные этому знания, якобы переданные их предкам людьми, прилетевшими от Сириуса. (Примеч. авт.)

27

Раздвоенный внизу посох напоминает палочки «лозоискателей» древности, указывающих с помощью лоз места для рытья колодцев. Современная наука, используя биотоки мозга, создала «психотронику», позволяющую находить в земных недрах полезные ископаемые. Возможно, египтяне знали «лозоискательство», приписывая его появление богу Тоту. (Примеч. авт.)

28

Легендарные «изумрудные таблицы бога Тота», расшифрованные в наше время, якобы содержат намеки на атомное строение вещества, относительность всяких измерений и другие современные знания. (Примеч. авт.)

29

Решение это таково: если согласно четвертой и пятой строчкам надписи число прожитых Диофантом лет делится и на 12 и на 7, то возраст его будет равен 12·7 = 84 (или 168, что исключено). Возможно, надпись и предусматривала составление неопределенного Диофантова уравнения с тремя (а не с семью в определенном уравнении) членами:

где «y» теоретически не может быть больше 19, чтобы «x» получился бы величиной целочисленной и реальной для человеческого возраста. Очевидно, в этом и подразумевалась мудрость искусства покойного математика. (Примеч. авт.)

30

Примечание автора для особо интересующихся. Если, как следует из квадрата орнамента, z = y + a, то z2 = x2 + y2 будет иметь вид z2 = y2 + (a2 + 2ay) и x2 = a (a + 2y). Если a = a2 и (a + 2y) = b2 то x = ab, y = (a2 — b2) / 2; z = (a2 + b2) / 2.

Из выражения для «y», где в числителе разность квадратов a и b, ясно, что хотя бы одна из этих величин не может быть четной, иначе «y» не будет целым числом. Случай с иррациональными числами рассмотрен в последующем примечании.

Для возрастающих коэффициентов a и b можно составить таблицу, из которой вытекает ряд закономерностей, в частности формулировка новой теоремы. Нечетный катет простейших пифагоровых троек в целых числах разлагается на два взаимно простых сомножителя, квадраты которых соответственно равны сумме или разности гипотенузы и второго катета, то есть в дополнение к теореме Пифагора: a2 = z — y; b2 = z + y.

Таблица простейших пифагоровых троек

31

Корень квадратный из -1. (Примеч. авт.)

32

М., «Наука», 1978.

33

Из числа ненайденных стихотворений на французском, испанском и латинском языках периода 1625–1659 годов в «переводе» автора этого романа.

34

Теперь говорят «галсами». (Примеч. авт.)

35

Теперь произносят Картезий. (Примеч. авт.)

36

Примечание автора для особо интересующихся. Приведя обе части уравнения к единому знаменателю, имеем: 14x+7x+12x+5·84+42x+4·84 = 84x и 9x = 9·84; x = 84.

37

Арабские источники X–XII веков расходятся с современными представлениями о возрасте пирамид. (Примеч. авт.)

38

Сопоставление современных данных астрономии с размерами египетских пирамид устанавливает, что упомянутые три пирамиды по своим объемам соответствуют массам планет Земля, Венера, Меркурий, высота же пирамиды Хеопса ровно в миллиард раз меньше (какими бы мерами ни пользоваться) среднегодового расстояния Земли от Солнца, причем ни это расстояние, ни массы планет древние астрономы без соответствующих астрономических приборов, казалось бы, измерить не могли. (Примеч. авт.)

39

Величина «Пи» была известна древним египтянам как 22/7, выражавшаяся просто в семеричной системе счисления. (Примеч. авт.)

40

Древние связи календарей и преданий со звездой Сириус известны не только у египтян или еще раньше у шумеров, но также и у некоторых африканских племен, в частности, у догонов, как свидетельствуют об этом французские этнографы Марсель Гриель и Жармена Дитерлен в журнале Общества африканистов (Париж, т. XX, 1950) и в монографии «Бледный лис» (т. 1, ч. 1, 1956), сообщившие, что догонам известно, будто Сириус двойная, даже тройная звезда (Сириус A и B, наблюдаемые в современные телескопы, и еще не открытый Сириус C!), кроме того, догоны, не имевшие никаких астрономических приборов, а тем более современных физических аппаратов, имели представление не только о параметрах Сириуса, его орбите и светимости, но и передавали из поколения в поколение посвященным некоторые совпадающие с современными взглядами на строение вещества, происхождение вселенной и подобные этому знания, якобы переданные их предкам людьми, прилетевшими от Сириуса. (Примеч. авт.)

41

Раздвоенный внизу посох напоминает палочки «лозоискателей» древности, указывающих с помощью лоз места для рытья колодцев. Современная наука, используя биотоки мозга, создала «психотронику», позволяющую находить в земных недрах полезные ископаемые. Возможно, египтяне знали «лозоискательство», приписывая его появление богу Тоту. (Примеч. авт.)

42

Легендарные «изумрудные таблицы бога Тота», расшифрованные в наше время, якобы содержат намеки на атомное строение вещества, относительность всяких измерений и другие современные знания. (Примеч. авт.)

43

Решение это таково: если согласно четвертой и пятой строчкам надписи число прожитых Диофантом лет делится и на 12 и на 7, то возраст его будет равен 12 · 7 = 84 (или 168, что исключено). Возможно, надпись и предусматривала составление неопределенного Диофантова уравнения с тремя (а не с семью в определенном уравнении) членами:

x/12 + x/7 = y; x = (7·12/19) y

где «y» теоретически не может быть больше 19, чтобы «x» получился бы величиной целочисленной и реальной для человеческого возраста. Очевидно, в этом и подразумевалась мудрость искусства покойного математика. (Примеч. авт.)

44

Примечание автора для особо интересующихся. Если, как следует из квадрата орнамента, z = y+a, то z² = x² + y² будет иметь вид z² = y² + (a² + 2ay) и x² = a(a + 2y). Если a = a² и (a + 2y) = b² то x = ab, y = (a² — b²) / 2; z = a² + b² / 2.

Из выражения для «y», где в числителе разность квадратов a и b, ясно, что хотя бы одна из этих величин не может быть четной, иначе «y» не будет целым числом. Случай с иррациональными числами рассмотрен в последующем примечании.

Для возрастающих коэффициентов a и b можно составить таблицу, из которой вытекает ряд закономерностей, в частности формулировка новой теоремы. Нечетный катет простейших пифагоровых троек в целых числах разлагается на два взаимно простых сомножителя, квадраты которых соответственно равны сумме или разности гипотенузы и второго катета, то есть в дополнение к теореме Пифагора: a² = z — y; b² = z + y.

45

x = m² — n²; y = 2mn; z = m² + n². (Примеч. авт.)

46

Примечание автора для особо интересующихся. Если положить a = m + n; b = m — n, то x = ab = (m + n) (m — n) = m² — n²; y = 2mn; z = m² + n², что и было записано Декартом.

47

Примечание автора для особо интересующихся. Вертикальные ряды x представляют собой арифметические прогрессии с показателем = 2b. Все значения сторон треугольников с возрастанием ряда изменяются по арифметической прогрессии, показатель которой для y — постоянен и равен 4, а для x и z увеличивается с порядковым номером ряда и порядкового номера тройки в вертикальном ряду и равен 4 (b + i — 1), где i — порядковый номер тройки в ряду.

48

Примечание автора для особо интересующихся. Если a = p√2e, b = q√2e, то p и q могут быть и четными и нечетными, x = ab = 2pqe, y = (p² — q²) e; z = (p² + q²) e, то есть p и q тождественны m и n древних формул (см. пред. примеч.), x и y просто меняются местами, к тому же, помноженные на e, не являются простейшими.

49

Примечание автора для особо интересующихся. Золотое сечение было известно древним зодчим, но сформулировано Леонардо да Винчи. Цифры 3, 5, 8, 13 совпадают с частью ряда Фибаначчи, помогающего современным ученым объяснять ряд явлений природы (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и т. д.).

50

Примечание автора для особо интересующихся. По теории Эйнштейна, масса тела m, летящего со скоростью v при массе покоя m₀ и скорости света c, меняются по формуле

m = m₀ / (1 — (v/c)²)^1/2

Это выражение легко преобразуется в m² = m₀² — ((v/c)m)² или графически в треугольник.

Тот же закон прямоугольного треугольника отражен и в сокращении длины покоящегося тела l₀ до l в полете, и парадоксе времени теории относительности (преобразования Лоренца) при t₀ — прошедшее время неподвижного наблюдателя, t — время на улетевшем от него объекте и c — скорость света:

l₀ = l / (1 — (v/c)²)^1/2

или

l² = l₀² — ((v/c) l₀)² — опять треугольник, t₀ = t(1 — (v/c)²)^1/2, откуда t₀² = t² — ((v/c) t)²; треугольник — узнаем закон Пифагора.

И наконец, тот же закон скажется и на энергии летящего тела E при энергии его покоя E₀; E² = E₀² + (v/c)E²; — треугольник. Таким образом, все парадоксальные эффекты теории относительности подчинены основному закону Пифагора.

51

Лет двадцать назад во времена египетского президента Насера, стремившегося к дружбе своего народа с СССР, в Каире и Александрии гастролировал наш Большой театр, и друг автора, артист балета С. А. Салов, приобрел на рынке фотографию обугленного музейного документа, который, как ему казалось, может заинтересовать фантаста. По сохранившейся части таблицы автору удалось благодаря ранней работе заслуженного деятеля науки и техники РСФСР профессора М. М. Протодьяконова ее восстановить. (Примеч. авт.)

52

Впоследствии она получила название Тридцатилетней. (Примеч. авт.)

53

Трудный юридический случай. (Примеч. авт.)

54

Свои выводы по теории вероятностей Ферма опубликовал лишь по инициативе Паскаля в 1654 году, а применение этой теории в судебном деле нашло своих теоретиков лишь спустя более чем столетие в трудах маркиза Кондерса, а также Лапласа и Пуассона. (Примеч. авт.)

55

Омнибус, предложенный Б. Паскалем. (Примеч. авт.)

56

Примечание автора для особо интересующихся. Метод Ферма, в свое время несправедливо оспоренный Декартом, предвосхищал дифференциальное и интегральное исчисление, хотя задачу решал алгебраически, без анализа бесконечно малых величин. В задаче разбивки прямой с длиной «a» на две части, так, чтобы квадрат одной (x²), помноженный на величину другой части = (a — x), был бы максимальным, он приравнивал 2ax — 3x² к нулю и получал, что x = 2a/3, то есть заменял современное дифференцирование и взятие первой производной.

57

Правота Торричелли была подтверждена знаменитым опытом Герике, получившим название «Магдебургские полушария», проведенным в Магдебурге лишь в 1654 году и доказавшим существование атмосферного давления. Торричелли принадлежит изобретение ртутного барометра и создание над ртутным столбом «торричеллиевой пустоты». (Примеч. авт.)

58

Примечание автора для особо интересующихся. Автору удалось восстановить позицию

См. левую диаграмму. Последовало: 1. Л: g1! (1.e7? fg2. e8Ф Кf8 + 3. Крd8 Л: e8 + 4. Кр: e8 с шансами у черных) Л: g1 2. Сe5 +! de 3. e7 Л: g5 4. Кd5 Кf6 5. К: f6 Кр: f6 6. e8К мат! См. правую диаграмму. 6. e8Ф? f4 7. Фe7 + Крf5 8. Ф: f7 + Крg4 9. Фe6 + Лf5! 10. Ф: g6 + Л: g5 11. Фe6 + Лf5 12. Фg8 + Лg5, в лучшем случае для белых — ничья.

59

Эта мысль была высказана британским генералом на три с четвертью столетия раньше, чем в наше время (когда она звучит уже угрозой самому существованию человечества) американским генералом Александром Хейгом в бытность его государственным секретарем в администрации президента Р. Рейгана. (Примеч. авт.)

60

В своем знаменитом «втором вызове» английским математикам в феврале 1657 года Пьер Ферма, предложив им решить указанное уравнение с названными коэффициентами, писал: «Я жду решения этих вопросов: если оно не будет дано ни Англией, ни Бельгийской или Кельтской Галлией, то это будет сделано Нарбоннской Галлией.» Уравнение это, получив название уравнения Пелля (без достаточных исторических оснований), теперь охотнее именуется уравнением Ферма, исследованное впоследствии Эйлером и окончательно проанализированное Лагранжем. (Примеч. авт.)

61

Швейцарская легенда повествует о необычайно метком стрелке, народном герое Вильгельме Телле, которого враги принудили сбить стрелой яблоко с головы любимого сына. (Примеч. авт.)

62

Переписка ученых, собранная Джоном Валлисом, вошла приложением к третьему тому сочинений Пьера Ферма на французском языке в 1679 году, выпущенных его сыном Самуэлем. (Примеч. авт.)

63

Это письмо к Каркави получило название «Завещание Ферма». (Примеч. авт.)

64

Примечание автора для особо интересующихся. Рассмотренный Паскалем «бином», впоследствии названный «биномом Ньютона», известен ныне как: (x + y)⁰ = 1; (x + y)¹ = z; (x + y)² = x² + 2xy + y²; (x + y)³ = x³ + 3x²у + 3xy² + y³; (x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y² + 6x²y² + 4xy³ + y⁴ и т. д.

65

В своем 42-м замечании на полях книги «Арифметика» Диофанта Пьер Ферма записал по-латыни: «…наука о целых числах, которая, без сомнения, является прекраснейшей и наиболее изящной, не была до сих пор известна ни Боше, ни кому-либо другому, чьи труды дошли до меня (Боше де Мазариак — математик, издавший в переводе на латынь с древнегреческого «Арифметику» Диофанта, снабдив ее своими комментариями и дополнениями, ставшую настольной книгой Ферма). (Примеч. авт.)

66

Примечание автора для особо интересующихся. Метод совмещенных парабол Пьера Ферма сводится к тому, что в системе прямоугольных координат (декартовых!) с горизонтальной осью x и вертикальной q — (xO₁q) — вычерчивается парабола по уравнению q = xⁿ. Чертеж поворачивается на 180°, и на нем наносится (см. рис.) еще одна система прямоугольных координат (yO₁l) с горизонтальной осью «у» и вертикальной «l». Вертикальные оси двух систем координат отстоят одна от другой на величину z, а горизонтальные на zⁿ. В перевернутой системе координат тоже вычерчивается точно такая же парабола по уравнению l = yⁿ. Две совмещенные таким способом параболы образуют полусимметричную геометрическую фигуру, ограниченную ими. Выбирая точку x₁ на оси x, строим от нее вертикальный отрезок (до пересечения с первой построенной параболой) с длиной g₁ = x₁ⁿ. Проведя теперь горизонтальную линию от пересечения вертикального отрезка с параболой через фигуру до второй параболы, получим точку, вертикальный отрезок от которой до оси у перевернутой координатной системы отметим на оси y точку y₁. Длина же этого отрезка, равная ординате перевернутой параболы, будет l = yⁿ. Из построения следует: q + l₁ = x₁ⁿ + y₁ⁿ = z₁ⁿ. Диофантово уравнение, положенное Ферма в основу его Великой теоремы. Все это восстановлено А. Н. Кожевниковым.

67

Примечание автора для особо интересующихся. По просьбе автора вывод «бинома Ферма» выполнен заслуженным деятелем науки и техники РСФСР доктором технических наук профессором М. М. Протодьяконовым следующим образом. Из основной формулы xⁿ + yⁿ = zⁿ и вышеприведенного рисунка следует: (A + B + C)ⁿ = (A + C)ⁿ + (B + C)ⁿ. После умножения обеих частей уравнения на множитель меньше единицы (A+B)ⁿ/(A+B+C)ⁿ, после объединения одинаковых степеней, раскрытия малых скобок, очевидных сокращений и преобразований:

(A + B)ⁿ = ((A(A+B+C) + CB) / (A+B+C))ⁿ + ((AC + (A+B+C)B)/(A+B+C))ⁿ

После сокр. прав. части (A + B)ⁿ = (A + (C/(A+B+C))B)ⁿ + ((C/(A+B+C))a + B)ⁿ. Обозначив через M = C/(А+В+С), получаем «БИНОМ ФЕРМА»: (A + B)ⁿ = (A + MB)ⁿ + (MA + B)ⁿ, может быть, несправедливо забытый современными математиками, но восстановленный А. Н. Кожевниковым.

68

Лишь Эйлер в следующем веке показал, что эта дробь, если «a» целое и неквадратное число, будет периодической. (Примеч. авт.)

69

Задача эта сводится к выражению xⁿ + yⁿ = zⁿ. (Примеч. авт.)

70

Великая теорема Ферма. (Примеч. авт.)

71

В 45-м замечании к книге Диофанта Ферма даст развернутое доказательство нерешаемости для четвертой степени уравнения: x⁴ + y⁴ = z⁴ в целых числах, к чему мы еще вернемся. Еще раньше, в 33-м замечании, говоря о Диофанте, Ферма написал: «Почему же он не ищет двух биквадратов, сумма которых равна квадрату? Конечно, потому, что эта задача невозможна, как это с несомненностью показывает наш метод доказательства». (Примеч. авт.)

72

Примечание автора для особо интересующихся. Графическое решение «бинома Ньютона в третьей степени» представлено на рисунке, выполненном заслуженным деятелем науки и техники РСФСР доктором технических наук профессором М. М. Протодьяконовым. Куб у него складывается из кубов, среднего со стороной y и малого со стороной x, расположенных по диагонали большого куба, со стороной x + y, трех пластин объемом x² y и трех брусков объемом x² y, точно заполняющих оставшиеся в большом кубе места от двух первых кубов. Объемы всех этих фигур соответствуют: (x + y)³ = x³ + 3x² y + 3xy² + y³.

73

Примечание автора для особо интересующихся. «Метод спуска» Ферма изложен в его 45-м примечании к «Арифметике» Диофанта и в его письме к Каркави, где для доказательства того, что площадь прямоугольного треугольника не может быть равна квадрату целого числа, говорилось: «Если бы существовал некоторый прямоугольный треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы тем же свойством. Если бы существовал второй, меньший первого, который имел бы то же свойство, то существовал бы, в силу подобного рассуждения, третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый, пятый, спускаясь до бесконечности. Но если задано число, то не существует бесконечности по спуску меньших его (я все время подразумеваю целые числа). Откуда заключаю, что не существует никакого прямоугольного треугольника с квадратной площадью».

74

Примечание автора для особо интересующихся. «Метод подъема» гипотетически мог бы быть изложен так: «Если прямоугольный треугольник можно построить только на плоскости, имеющей два измерения, и свойством такого «плоского места» будет пифагоров закон о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то нет оснований полагать, что подобные «законы» отражают свойства «пространственных» и «субпространственных мест» с тремя и более измерениями, что при переходе (подъеме) от плоскости к объему (кубу, параллелепипеду или другой пространственной фигуре) диагональ, скажем куба, возведенная в третью степень, будет равна сумме других отрезков, укладывающихся в эту фигуру (сторон куба) в третьей степени. И еще меньше оснований полагать, что при переходе к «невообразимым фигурам» четырех и больше измерений можно найти целочисленное решение для четвертой степени одного отрезка, равного сумме двух других отрезков в четвертых степенях каждый. Для необоснованности подобных предположений достаточно доказать, что целочисленных решений нет, скажем, для биквадратов, что и будет общим доказательством отсутствия целочисленных решений для «пространственных» и «субпространственных» фигур вообще.

75

Математики, предполагающие, что Ферма ошибся в своем доказательстве Великой теоремы и она простыми средствами якобы недоказуема, могут отыскать «ошибку» и в приведенном здесь «ГИПОТЕТИЧЕСКОМ» «методе подъема», учтя, однако, при этом как его «литературную условность», так и математическое значение упомянутых «вероятностных кривых», которые, очевидно, должны отражать поддающуюся экстраполяции закономерность. И не забыть при этом корректность практической проверки доказательства.

76

В 1967 году Эме Мишель опубликовал в журнале «Сьянс э ви» («Наука и жизнь») статью, где сообщил, что Сирано де Бержерак 350 лет тому назад писал о многоступенчатых ракетах для межпланетных сообщений, о явлении невесомости, о законе тяготения (открытом Ньютоном сто лет спустя), о парашютирующем спуске, описал устройства, напоминающие радио- и телевизионную аппаратуру, звукозапись (в виде сережек, закрепляемых на ухе и включающих в нужном месте чтение требуемой главы мысленным (биотоки мозга!) приказом). В опровержение существовавших при нем представлений он утверждал, что живые организмы состоят из клеток, что вокруг нас мир невидимых существ, микробов (открытых Пастером через двести лет), что в крови находятся антитела (обнаруженные лишь в наше время). (Примеч. авт.).

77

Прочитанная Бержье цитата встретилась мне и в статье академика В. И. Невского, предварявшей трактат Сирано де Бержерака «Иной свет, или Государства и империи Луны», изд. Академии, 1931. (Примеч. авт.).

78

Из числа ненайденных стихотворений Сирано де Бержерака, быть может, написанных в пору, когда он прославился как первый дуэлянт Парижа, тщетно пробивая себе дорогу к счастью.

79

Из вступительной статьи акад. В. И. Невского к трактату Сирано де Бержерака «Иной свет», М., «Академия», 1931.

80

Примечание автора для особо интересующихся. Размышления юного Сирано де Бержерака, отраженные впоследствии в его философских трактатах, перекликаются с современными взглядами на космический вакуум. В теории фундаментального поля И. Л. Герловина он представлен состоящим из квантов соединившихся частиц вещества и антивещества. При этом все физические свойства их взаимно компенсируются (масса, электрический заряд, спинмеханический момент). К таким же представлениям приходят ныне и западные физики. Эти «слипшиеся частички», не проявляя себя никакими физическими свойствами, обнаруживаются лишь своей способностью передавать со скоростью света возбуждения, воспринимаемые нами как электромагнитные излучения — радиоволны и свет. Сирано мог угадать материальность вакуума, лишь обладая острым критическим умом, способным видеть все окружающее «наоборот» (как в трактате о государствах Луны). И пустота, представленная им в юности КЛОКОЧУЩЕЙ, находила у поэта и философа образ для окружающего его общества, пустого в своей сущности, но «клокочущего» внешне, в особенности он относил это к церкви, всегда бесстрашно выступая против ее догм и не примирившись с нею даже на смертном одре.

81

Примечание автора для особо интересующихся. В пятидесятых годах, лет тридцать назад, в Мексике, на полуострове Юкатан, в дремучей сельве был найден великолепный город дворцов и пирамид, возведенных древними майя, неизвестно почему покинутый ими, наименованный ныне Паленке, что означает по-испански — «крепость». Среди пирамид одна венчалась небольшим храмом с надписями, получив название «пирамиды храма надписей». Мексиканский археолог Альберто Рус-Луильи четыре года вел раскопки, стремясь проникнуть в эту пирамиду, и сделал уникальное открытие — захоронение, не встречавшееся прежде внутри американских пирамид. Добравшись до гробницы, Альберто Рус-Луильи обнаружил у ее порога скелеты шести юношей, видимо предназначенных сопровождать усопшего в ином мире. Саркофаг был прикрыт каменной плитой с изображением человека в лежачей позе под деревом жизни (кукурузой), как первоначально думали. Однако позднее в рисунке нашли сходство со схематически изображенной ракетой, изрыгающей внизу пламя, а в лежачей позе человека — типичное положение космонавта при взлете корабля. Кроме того, ноги его лежали на педалях, а руки — на подобии пульта. Расшифрованные письмена по краям плиты оказались космическими символами.

Это обстоятельство настолько заинтересовало автора, знавшего по первоисточникам предание древних майя о якобы прилетевших к ним богах, что он обратился с письмом к Альберто Рус-Луильи с просьбой прислать слепок с черепа захороненного в пирамиде, чтобы работавший тогда наш знаменитый ученый и скульптор Герасимов восстановил облик того, кто покоился под плитой, на которой, возможно, и изображен. Альберто Рус-Луильи вежливо ответил, что мексиканским ученым удалось по найденным в саркофаге нефритовым кусочкам воссоздать маску захороненного, и он любезно прислал фотографию этой маски с необычайного лица, у которого нос разделял лоб на две части, а также фотографии еще двух масок, обнаруженных в той же гробнице, — пожилого человека и молодого воина, таких же «носолобых». Все это вместе с изображением носолобого, как бы взлетающего в ракете, наводит на мысль об отражении в этих археологических находках древних контактов с инопланетными пришельцами, о которых прямо говорят предания американских индейцев. Во всяком случае, такой подход к поискам объяснения особенностей находок допустим как гипотеза, не менее доказательная, чем утверждения о лежащем под кукурузой человеке, якобы размышляющем о жизни, который, кстати сказать, захоронен в саркофаге, почему-то напоминающем своей формой ракету.

82

Комедия Сирано де Бержерака «Проученный педант» была поставлена на парижской сцене несколько лет спустя и вызвала грандиозный скандал с обвинением автора в выступлении против церкви. (Примеч. авт.).

83

На замечание, что известные ныне приемы подобной борьбы пришли из Японии, можно ответить, что легенды и археологические находки на острове Хоккайдо говорят в пользу древнего посещения Японских островов, еще до появления там японцев, пришельцами из космоса. Японские ученые через советское посольство в Токио переслали автору статуэтки из обожженной глины «догу», возраст которых определен по методу радиоактивного углерода C-14 в 4500 лет. По свидетельству же американской организации по аэронавтике и космическому исследованию НАСА, присланному автору американским корреспондентом Куртом Зайсигом, эти древние статуэтки, сделанные людьми каменного века, в основных чертах воспроизводят современный космический костюм. И вполне правомерно предположить, что приемы борьбы без оружия для защиты угнетенных могли иметь те же истоки, что и у древних майя, не способных в былое время воспринять иных достижений более высокой технологической цивилизации, до которых люди в своем развитии доходили потом сами. Однако в силу сложившихся обстоятельств до нас эта форма борьбы дошла лишь в «восточном варианте». Они известны были и в Японии и в Китае. (Примеч. авт.).

84

Эту полную озорства и сарказма мысль, предвосхитив на сотни лет знаменитое вранье «барона Мюнхгаузена», якобы вытащившего себя за волосы вместе с конем из болота, Сирано де Бержерак использовал впоследствии в своем философском памфлете «Иной мир, или Государства и империи Луны». При жизни он лишь читал его близким друзьям. Издан же его трактат был после его смерти стараниями друга детства Николая Лебре, выдержав множество изданий в течение трехсот лет. (Примеч. авт.).

85

Жители одного из швейцарских кантонов. (Примеч. авт.).

86

Переводы сонетов Кампанеллы с латинского здесь и дальше сделаны автором романа.

87

«Мыслю, следовательно, существую». Это выражение, вытекающее из философских положений Декарта, еще раньше и взаимно независимо упоминалось и Кампанеллой. (Примеч. авт.).

88

Впоследствии, как известно, эти слова произнес Наполеон Бонапарт, обращаясь к одному из своих маршалов. (Примеч. авт.).

89

Жан Батист Поклен получил впоследствии всемирную известность под псевдонимом Мольер. (Примеч. авт.).

90

Примечание автора для особо интересующихся. Свои взгляды философ-материалист Пьер Гассенди излагал, начиная с учения Аристотеля, особо подчеркивая его искажение святой католической церковью, сделавшее учение в таком виде догмой. Из учения великого древнегреческого философа в основу католического богословия была взята логика Аристотеля и та часть его учения, которая была переработана испанскими арабами и евреями, выродившись в схоластику, чему и обучали католические пастыри. Сама же основа аристотельского учения, охватившего все виды современного ему знания, оставалась в тени. Важен был лишь принцип неподвижности логических построений, неизменности известного. Так, Аристотель, воспитатель Александра Македонского, колебавшийся между материализмом и идеализмом, создатель метафизики, с понятием неотделимости движущих сил от вещей, с «вечным и неподвижным умом», источником движения и неизменчивого бытия (перводвигатель), с представлением лучшей формы государства в виде монархии, аристократии и умеренной демократии, отрицавший тиранию и олигархию, был не нужен церкви. Но последовательный материалист Гассенди, изложив учение Аристотеля, как его знали в то время, безжалостно опровергал и высмеивал выращенные из его учения «догмы».

91

См. роман-гипотезу «Острее шпаги».

92

Прожив свои последние годы во Франции, Кампанелла успел издать лишь первые тома своего задуманного собрания сочинений. (Примеч. авт.).

93

«Наука и жизнь».

94

Перевод здесь и дальше автора.

95

Послу Ватикана. (Примеч. авт.).

96

Профессор Александр Трачевский. Новая история, Санкт-Петербург, 1889.

97

Это и произошло спустя 300 лет, когда тайные общества (масонские ложи) стали служить интересам международных монополий, фашизму, сионизму и крайней реакции. (Примеч. авт.).

98

Исторически известно, что предложение это потом будет принято Сирано де Бержераком. (Примеч. авт.).

99

Изуверское показное действие инквизиции, завершаемое преданием огню опозоренных еретиков и даже извлеченных из могил их останков. (Примеч. авт.).

100

Все это: и многоступенчатые ракеты для межпланетных сообщений, и звукозаписывающие аппараты, и телевидение, а также многое другое подробно описано Сирано де Бержераком в его трактатах «Иной свет, или Государства империи Луны» и «Государства Солнца». (Примеч. авт.).

101

Такое представление о «ТОРОИДЕ БЕЗ ВНУТРЕННЕГО ОТВЕРСТИЯ» как о модели элементарной частицы выдвинуто советскими физиками И. Л. Герловиным, автором ТЕОРИИ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО ПОЛЯ, и заслуженным деятелем науки профессором М. М. Протодьяконовым, автором теории электронных оболочек. Академик-секретарь отделения ядерной физики Академии наук СССР академик М. А. Марков в беседе с автором высказал мысль о подобии строения элементарных частиц и всей Вселенной, математически обосновывая это в одной из своих статей в докладах Академии наук СССР. (Примеч. авт.).

102

Речь идет о передаче сигналов не с помощью радиоизлучений, а гравитационными волнами, распространение которых, еще по подсчетам Лапласа, превосходит скорость света в 50 миллионов раз, а по современным оценкам много больше. (Примеч. авт.).

103

Описание мира микробов, открытых спустя двести с лишним лет после Сирано де Бержерака, приведено им в его трактатах. Он говорил там и об уничтожении этих зловредных существ, несущих болезни, «защитниками организма», обитающими в крови, за триста лет предвосхищая современные знания об антителах, находящихся в крови. (Примеч. авт.).

104

Клеточное строение человеческого организма Сирано описал потом в одном из своих трактатов задолго до того, как к этой мысли пришли ученые Земли. (Примеч. авт.).

105

Автор допускает, что строчка «Дитя Мечты и Вдохновенья» из приведенного сонета может послужить исследователям аргументом в пользу того, что Сирано де Бержерак никогда не бывал на другой планете и все написанное об этом — плод «Мечты и Вдохновенья». Однако познания Сирано о вершинах цивилизации говорят об обратном, если не допустить, конечно, что эти сведения переданы ему гостем из космоса, что нисколько не более вероятно. (Примеч. авт.)

106

Это слово «канада» (там!) и стало впоследствии названием всей страны, в направлении которой показывали рукой индейцы заморским пришельцам. (Примеч. авт.).

107

Свидание и беседа с вице-королем господином Шарлем де Монманьи подробно пересказана самим Сирано в его трактате «Иной свет, или Государства и империи Луны». (Примеч. авт.).

108

Ныне парижский «Пале-Рояль». (Примеч. авт.).

109

Существовала как завоевание Германией ряда европейских стран и большей части Италии с Римом и папой, начиная с 962 года. С 1648 года превратилась в конгломерат самостоятельных и непокорных германских государств уже без Италии. Прекратила существование при Наполеоне I в 1806 году. (Примеч. авт.).

110

Имеющие патент императора на правление. (Примеч. авт.).

111

Ныне Рейн так загрязнен, что в нем нельзя даже купаться. (Примеч. авт.).

112

Французское произношение имени Мазарини. (Примеч. авт.)

113

Чичисбей — состоящий при даме молодой человек, пользующийся правами друга дома и выполняющий любые прихоти своей повелительницы, как принято было когда-то в Италии. (Примеч. авт.),

114

С согласия Сирано они были поставлены на сцене под именем Мольера. (Примеч. авт.).

115

Это злословие и ввело в заблуждение историков о якобы «дурной» болезни Сирано. (Примеч. авт.).

116

В комедии, названной впоследствии «Тартюфом». (Примеч. авт.).

117

Церковь не простила Мольеру «Тартюфа» и, когда Мольер умер на сцене «без покаяния и причастия», всячески препятствовала его похоронам. (Примеч. авт.).

118

Мольер высмеял современных ему медиков в комедиях «Мнимый больной» и «Лекарь поневоле». (Примеч. авт.).

119

Сирано был прав, поскольку алхимики действительно заложили основу современной химии, о чем он мог догадываться лишь благодаря своим представлениям о мире Солярии. (Примеч. авт.).

120

В своем трактате «Иной свет…» Сирано де Бержерак прямо указывает на общение Агриппы с Демонием Сократа. (Примеч. авт.).

121

Эти понятия Сирано перекликаются с самыми современными, вытекающими из теории фундаментального поля И. Л. Герловина (см. предыдущие примечания).

122

Через столетие Джонатан Свифт повторит этот сарказм, живописуя войну лилипутов из-за того, как разбивать яйца: с тупого или острого конца. (Примеч. авт.).

123

Именно Лебре удалось после кончины Сирано издать в несколько отредактированном виде его трактат. (Примеч. авт.).

124

Примечание автора для особо интересующихся. «Метод спуска» изложен П. Ферма в 45-м замечании к «Арифметике» Диофанта и приведен в авторском примечании «для особо интересующихся» в последней главе романа «Острее шпаги», первого в завершаемой здесь трилогии.

125

В Европе в те времена еще не забыли ужасов опустошительных эпидемий чумы, не подозревая, что ее возбудители, невидимые чумные бактерии, разносятся блохами на крысах. Лишь спустя 200 лет будет открыт мир микробов, предсказанный Сирано де Бержераком. (Примеч. авт.).

126

Примечание автора для особо интересующихся. Как ныне известно, все атомы состоят из элементарных частиц, лишь небольшое число которых «долгоживущие». Однако по теории фундаментального поля И. Л. Герловина (см. предыдущие ссылки), все виды элементарных частиц, расположенных в таблице по примеру менделеевской, являются модификациями единой первочастицы. Ее предвидел академик М. А. Марков, академик-секретарь отделения ядерной физики Академии наук СССР, назвав ее в своей работе, опубликованной в докладах АН СССР, «фридмоном». По ТФП, и эта первочастица состоит, в свою очередь, из возмущений материального фундаментального поля. Связь этих современных научных представлений с образами Сирано де Бержерака примечательна!

127

Великая теорема Ферма.

128

Примечание автора для особо интересующихся. Целочисленные решения диофантова уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ с отрицательными степенями были доказаны в наше время математиком-любителем из г. Мариуполя Г. И. Крыловым, который для n = -2 так свел уравнение: преобразовав диофантово уравнение в биномы, получил формулу, поэтически названную им «Людмилой». (Люда + Мила), (|x| + |a|) + (|x| + |b|) = (|x| + |c|), где |а| = |z| — |x|, |b| = |y| — |x| и |c| = |z| — |x|, позволившую ему решать уравнения и с положительными, и с отрицательными степенями.

129

Аналогично получается и для степени n = -1, опять-таки Z = a₀b₀, но X = a₀ (a₀ + b₀); r = b₀ (a₀ + b₀).

130

Примечание автора для особо интересующихся. Уравнение с отрицательными степенными можно представить в виде дробей: 1/aⁿ + 1/bⁿ = 1/cⁿ, приведя обе части уравнения к общему знаменателю, получим:

((bc)ⁿ + (ac)ⁿ⁾/(abc)ⁿ = (ab)ⁿ/(abc)ⁿ,

отбросив равные нижние части и считая X = bc; Y = ac и Z = ac, приходим к диофантовому уравнению:

xⁿ + yⁿ = 2ⁿ

1/x² 1/y² = 1/z²; z² = x²y²/(x²+y²)

Пользуясь вспомогательным прямоугольным треугольником с пифагоровыми тройками, можно положить x = a₀c₀, y = b₀c₀, имея в виду, что c₀² = a₀² + b₀². Подставив теперь принятые значения, имеем:

z2 = a₀² b₀² (a₀² + b₀²) / a₀² + b₀² или z = a₀b₀.

131

Этикет при дворе Людовика XIV, основанный на чинах или рангах, впоследствии достиг чудовищных по нелепости условностей. Каждый царедворец соответственно своему рангу и присвоенному мундиру имел и положенный ему почет. В обязанности этих галстучников, постельных и прочих «счастливцев», допущенных к особе короля, было ловить каждое его слово, угадывать малейшее желание, стоя в почтительном отдалении, ибо лишь подающий королю во время обеда салфетку его брат имел право сесть на кончик стула по приглашению повелителя. Особо сложный и вычурный ритуал соблюдался при пробуждении короля. Королевская опочивальня приравнивалась к церковному алтарю. Дамы туда не допускались. Они должны были преклонять колена, издали глядя на нее. Раздевали и одевали короля лишь особо знатные вельможи или принцы крови. Входя в опочивальню первыми, эти принцы помогали королю надеть шлафрок и туфли. Затем впускались «титулованные», удостоенные королевских синих мундиров на красной подкладке, они подносили королю остальную одежду. Рубашку и принадлежности для умывания подавали снова принцы крови. Затем допускались и остальные «осчастливленные столь желанным выкриком королевского швейцара» придворные вместе с полковниками лейб-гвардии. Затем наступала очередь молитвы, которую король выполнял педантично без особой веры, впрочем, как и охотился без склонности к этой «страсти венценосцев» или как без нежности и храбрости одинаково выслушивал и музыку и свист пуль. Но, говоря «Государство — это я!», он, сам заменив на посту первого министра своего почившего учителя, трудился, как и он, в поте лица, вникая в любую мелочь, даже сам подписывая паспорта, скопидомничая по поводу медяков, но не ограничивая миллионных трат на превращение своего Версаля в законодательный центр роскоши и мод для всей Европы, служащего обожествлению «короля-Солнца» с помощью задуманного еще Мазарини «этикета», ради которого создана была целая наука манер: как обращаться со шляпой, приседать, говорить комплименты, ввертывать острые словца («бо-мо») или каламбуры, в скольких шагах от двери кланяться. Так кумир абсолютизма, утвержденного ему усилиями кардиналов Ришелье и Мазарини, успешно овладев преподанной ему «наукой власти», поднятый на раболепной волне, величественно играл роль земного Провидения, предаваясь лишь одной наследственной слабости к прекрасному полу и введя при дворе особый ранг «метресс», которым оказывался почет наравне с их детьми от короля. Однако министрам строго указывалось, что при малейшей попытке любой из них вмешаться в политику она будет изгнана из «версальского рая». Людовик XIV стремился быть виртуозом в «королевском мастерстве», начиная с рассчитанно краткой речи с алмазами слов и кончая гладким как зеркало лицом, на котором никогда не отражались единственные доступные ему чувства: тщеславие и властолюбие. Обученный своим наставником, он и в общении с вожделенными дамами придерживался величавой мягкости и очаровательной суровости и, даже играя на бильярде, сохранял вид властителя мира. (Примеч. авт.).

132

Лишь спустя полтора века слова «Свобода, Равенство, Братство» стали лозунгом Великой французской революции. (Примеч. авт.).

133

Такое отношение к Великой теореме Ферма, так и не доказанной нашими современниками, высказывается кое-кем и ныне, но уместно вспомнить о «никчемной» (как считали) математической «теории групп», без которой немыслимо развитие ядерной физики. (Примеч. авт.).