Стол находок утерянных чисел

БИЛЬЯРД ПО-ЭНЭМСКИ

Как ни странно, в соседнем зале действительно помещался бильярд. На его ярко-зелёном поле белели перенумерованные костяные шары. Правда, их было много больше обычного. Перед тем как начать партию, игроки выкладывали из них разные геометрические фигуры, а потом убирали со стола лишнее и приступали к игре.

Мне не пришлось долго думать, чтобы понять, в чём дело.

Бильярд — очень удобное место для игры в фигурные числа. А фигурными числами занимались многие прославленные математики. Вот почему устроители музея сочли возможным отвести один зал под бильярдную.

Девочка о фигурных числах до того дня и слыхом не слыхала. Сперва она расхохоталась, а потом заявила, что у чисел фигур не бывает. Ведь они же не люди!

— Конечно, не люди, — согласился я. — Число — понятие воображаемое. Но из чисел можно выкладывать разные геометрические фигуры.

Тут как раз бильярд освободился. Я придвинул к себе горку шаров и выстроил их в одну линию по порядку номеров: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и так далее. Затем положил на середину стола шар номер 1 и пристроил под ним два других под номерами 2 и 3. Получился небольшой равносторонний треугольник, состоящий как бы из двух строк. В первой строке — один шар, во второй — два.

— Перед нами треугольник из двух числовых строк, — сказал я. — Число этих строк можно наращивать до бесконечности и всякий раз получать равносторонний треугольник, состоящий из большего числа шаров. Но мы люди скромные и ограничимся малым. Увеличим наш треугольник до… скажем, до десяти строк. И шары будем выкладывать слева направо, по порядку номеров. А теперь, — продолжал я, нарастив треугольник, — представь себе, что шары у нас не нумерованные. Сможешь ты сказать, сколько шаров пошло на постройку этого треугольника?

— Ну конечно! — фыркнула девочка. — Возьму да сосчитаю.

— Это потому, что треугольник наш невелик. А если б он был много больше? Ведь мысленно его можно продолжить до бесконечности!

— Да, — сказала девочка озадаченно, — тут, пожалуй, со счёта собьёшься…

— Ничего, — сказал я. — У нас-то шары нумерованные! И потому мы можем сразу, ничего не пересчитывая, сказать, сколько шаров пошло на постройку треугольника из двух строк, из трёх, из двадцати, из тысячи, из миллиона… Для этого надо лишь посмотреть, какой шарик стоит справа, в конце последней строки. В первой строке это, конечно, № 1. Один шар мы тоже условно принимаем за треугольник. Во второй — № 3, в третьей — № 6, в четвёртой — № 10, в пятой — № 15, в шестой — № 21, в седьмой — № 28, в восьмой — № 36, в девятой — № 45, в десятой — № 55. Эти-то числа, указывающие, сколько шаров ушло на постройку каждого треугольника, называют в математике треугольными.

— А есть и четырёхугольные? — поинтересовалась девочка.

— Безусловно. Но называют их квадратными. И это уже совсем другой ряд чисел. Он образуется по другому закону. В ряду треугольных чисел каждое новое число обраауется так: первое треугольное число-1. Чтобы получить второе, прибавляем к единице следующее число натурального ряда 2: 1+2=3. Чтобы получить третье, надо прибавить к трём следующим после двух число натурального. ряда: 3+3=6. Далее, поступая каждый раз так же, получаем числа 10(6+4), 15(10+5), 21(15+6), 28(21+7), 36(28+8), 45(36+9), 55(45+10). Как видишь, каждое второе слагаемое в скобках есть следующее по порядку число натурального ряда. Ряд четырёхугольных чисел образуется иначе. Здесь к предыдущему квадратному числу всякий раз прибавляется не просто порядковое натуральное, а порядковое нечётное число. То есть взятое не из натурального ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т. д., а из ряда 1, 3, 5, 7, 9, 11 и т. д.

Но девочке надоело слушать, и она перешла от слов к делу: выложила квадрат из четырёх шаров и тут же заявила, что первое квадратное число — это 4.

— Ошибка, — заметил я. — Ты пропустила единицу. По правилам игры все фигурные числа непременно начинаются с фигуры, которая условно изображена шариком № 1. Во-вторых, почему ты думаешь, что 4 — число квадратное?

— Да потому, что оно стоит в последнем ряду справа, — ответила она.

Я усмехнулся и увеличил квадрат, пристроив справа к первой горизонтальной строке шар № 5, ко второй — № 6, а внизу прирастил ещё одну строку из шаров № 7, 8, 9. При этом шар № 4 оказался уже не в конце строки, а внутри квадрата. Девочку зто озадачило. Я снова увеличил квадрат. Теперь крайним справа оказался шар № 16. Потом № 25. Потом № 36…

И тут стало ясно, что квадратные числа расположены не в конце каждой строки, как в треугольнике, а наискосок, по диагонали. И это 1, 4, 9, 16, 25, 36 и т. д. Легко понять, что каждое следующее квадратное число есть сумма предыдущего и очередного нечётного числа натурального ряда: 4 (1+3), 9(4+5); 16(9+7), 25(16+ 9), 36(25+11) и т. д.

Любопытно, что каждое следующее квадратное число есть квадрат порядкового числа натурального ряда: 4=2²; 9=3²; 16=4²; 25 = 5²; 36=6² и т. д. И всякий раз основание степени указывает, из скольких строк построен квадрат. В первом 1 шар и 1 строка, во втором 4 шара и 2 строки, в третьем 9 шаров и 3 строки… Ну и так далее…

— Занятная игра, — вздохнула девочка, — но какая от неё польза?

— Такая же, как и от любой другой, — сказал я, пожав плечами. — Прежде всего, игра доставляет удовольствие. Но в то же время и тренирует наш мозг, нашу логику. А уж математические игры в особенности! Они приучают нас подмечать числовые зависимости, а это иногда ведёт к нешуточным последствиям. Такая сложная отрасль математики, как теория вероятностей, началась именно с игры, с желания угадать вероятность успеха. Что же до фигурных чисел, так ими увлекались ещё в древности. И это тоже привело к интересным открытиям. К примеру, древнегреческий математик Диофант установил, что если любое треугольное число умножить на 8, а потом прибавить к произведению единицу, то при этом обязательно получится число квадратное.

Конечно, девочка захотела это проверить. Она умножила треугольное число 3 на 8, получила 24, прибавила единицу и… получила квадратное число 25.

Я рассказал, что фигурными числами занимался ещё и Ферма. И он установил, что любое натуральное число можно представить суммой либо двух, либо трёх треугольных. Это легко проверить на тех треугольных числах, которые мы знаем: 1, 3, 6, 10 15, 21, 28, 36.

Возьмём натуральное число 17. Его можно представить суммой семнадцати единиц. Но это будет наибольшее число треугольных слагаемых. А Ферма имел в виду наименьшее. Ясно, что на сей раз это 15+1+1. Или: 10+6+1. На меньшее число треугольных слагаемых 17 не раскладывается. А вот число 20 может быть представлено в виде суммы двух треугольных чисел: 10+10…

— Посмотрите, — перебила меня девочка, — наш дорогой Главный терятель выложил шарики горкой!

— Лучше бы сказать, — пирамидкой, — уточнил тот. — Я получил её, положив в основание треугольник, состоящий из трёх шаров под номерами 1, 2, 3, а номер 4 положил сверху. И получил первые пирамидальные числа 1 и 4…

— Ничего подобного, — сказала девочка, — число 4 квадратное.

— Как видишь, не только квадратное, — возразил я. — Следующее по порядку пирамидальное число 10 в то же время и треугольное. Его мы получим, построив пирамиду с треугольным основанием из трёх строк и шести шаров под номерами с первого по шестой (№ 1–6). На этот треугольник нарастим меньший — из двух строк и трех шаров (№ 7, 8, 9). Сверху положим шар № 10. А зто и есть следующее после четырёх пирамидальное число. Новое пирамидальное число — 20 — получим, построив пирамиду с треугольным основанием из четырёх строк и десяти шаров под номерами с первого по десятый (№ 1-10), на вершине которой окажется шар № 20. Таким образом…

— Таким образом, всякий раз очередное пирамидальное число находится на вершине пирамиды, — подхватила девочка и, подумав, добавила: — А еще фигурные числа неразлучны с геометрией.

Что и говорить, это она правильно подметила! Хотя в дружбе своей с геометрией фигурные числа не одиноки.

Недавно я бездумно чертил на бумаге разные геометрические фигуры и вдруг заметил, что многие из них связаны с совершенными числами. Например, квадрат. У него 4 стороны и 2 диагонали. В сумме это равно шести. А 6 — число совершенное. Или восьмиугольник. У него 8 сторон и 20 диагоналей. В сумме это 28. А 28 опять-таки число совершенное.

Или куб. Это уже шестигранник, фигура объёмная. У него 13 рёбер, по 2 диагонали на каждой грани, да ещё 4 диагонали внутри куба. Всё это в сумме опять-таки составляет совершенное число 28 (12+2х6+4=28).

Я рассмотрел много фигур, плоскостных и объёмных, и мне удалось понять, в каких случаях число их сторон или рёбер вместе с числом диагоналей даёт число совершенное… У меня об этом даже статья напечатана… В журнале «Энэмские математические новости»…

— Тысяча извинений! — перебил мой рассказ Главный терятель. — Очень жаль прерывать вас на таком интересном месте, но что поделаешь! Боюсь позабыть то, что вспомнил…

— Неужто ассоциацию?! — всплеснула руками девочка.

— Вот-вот, — энергично закивал Главный терятель. — Я вспомнил, что значность утерянного номера — число совершенное и в тоже время треугольное.

— Это уже немало! — обрадовался я. — Кажется, нам пора устроить конференцию. Обсудить все наши данные и посмотреть, нельзя ли перейти к выводам.

— Неужели? Неужели это возможно? — заволновался Главный терятель. — В таком случае, чего же мы ждём?

Похоже, он собирался заседать прямо в музее. Но девочка этому решительно воспротивилась. Она заявила, что тут нет кофе. А в таких ответственных случаях ни один сыщик без крепкого кофе не обходится. Это была сущая правда. И мы поспешили в ближайшее кафе.