Тени разума

1

The Emperor's New Mind. (He так давно книга была переведена на русский язык: Пенроуз Р. Новый ум короля, М.: Едиториал УРСС. 2003.) — Прим. перев.

2

В оригинале «it» — местоимение третьего лица единственного числа, которым в английском языке называют животных и неодушевленные предметы, независимо от их пола и/или рода. — Прим. перев.

3

Микросхема Intel Pentium содержит более трех миллионов транзисторов на «кремниевой пластине» размером с ноготь большого пальца, причем каждый из этих транзисторов способен на 113 миллионов полных циклов в секунду.

4

Эпифеномен — побочное явление, сопутствующее другим явлениям (феноменам), но не оказывающее на них никакого влияния. — Прим. перев.

5

Напомним, что здесь и далее приводятся страницы оригинального английского издания. — Прим. перев.

6

Время от времени математики натыкаются на процедуру, которая «очевидно» алгоритмична по своей природе, пусть даже порой не всегда бывает ясно, как эту процедуру можно сформулировать в виде операций машины Тьюринга или лямбда-исчисления. В таких случаях можно утверждать, что, «согласно тезису Черча», такая операция и в самом деле должна существовать. См., например, [67]. В этом пути нет ничего зазорного, и, уж конечно, не возникает никакого противоречия с C. Более того, на таком толковании тезиса Черча основывается большая часть рассуждений главы 3.

7

В черновом варианте книги слова «извилистой» здесь не было. Если шары расположены точно на прямой линии, этот трюк оказывается достаточно простым: я узнал об этом, к своему удивлению, когда попробовал проделать это сам. При расстановке шаров по прямой возникает неожиданная устойчивость, отсутствующая в общем случае.

8

Необходимо отметить, что это равенство не является истинным для различных странных «чисел», встречающихся порой в математике, — например, для трансфинитных чисел, о которых упоминается в пояснении к Q19, §2.10. Однако для натуральных чисел, о которых здесь, собственно, и идет речь, оно всегда справедливо.

9

Здесь я предполагаю, что если процедура А вообще завершается, то это свидетельствует об успешном установлении факта незавершаемости C(n). Если же А «застревает» по какой-либо иной, нежели достижение «успеха», причине, то это означает, что в данном случае процедура A корректно завершиться не может. См. далее по тексту возражения Q3 и Q4, а также Приложение А.

10

Собственно, точно такой же результат достигается посредством процедуры, выполняемой универсальной машиной Тьюринга над парой чисел q, n; см. Приложение А и НРК, с. 51-57.

11

Термин «алгоритмизм», который (по своей сути) прекрасно подходит для обозначения «точки зрения A» в моей классификации, был предложен Хао Ваном [377].

12

Приведение к абсурду (лат.), доказательство от противного. — Прим. перев.

13

Чтобы подчеркнуть, что я принимаю это обстоятельство во внимание, я отсылаю читателя к Приложению А, где представлена явная вычислительная процедура (выполненная в соответствии с правилами, подробно описанными в НРК, глава 2) для получения операции C_k(k) машины Тьюринга посредством алгоритма A. Здесь предполагается, что алгоритм A задан в виде машины Тьюринга T_a. определение же вычисления C_q(n) кодируется как операция машины T_a над числом q, а затем над числом n.

14

Представление некоторых формальных систем включает в себя бесконечное количество аксиом (они описываются через посредство структур, называемых «схемами аксиом»), однако, чтобы оставаться «формальной» в том смысле, какой вкладываю в это понятие я, система должна быть выразима в каком-то конечном виде — например, упомянутая система с бесконечным количеством аксиом должна порождаться конечным набором вычислительных правил. Это вполне возможно, и именно так и обстоит дело со стандартными формальными системами, которые применяются в математических доказательствах, — одной из таких систем является, например, знаменитая «формальная система Цермело—Френкеля» ZF, описывающая традиционную теорию множеств.

15

Пояснение к используемым здесь обозначениям можно найти в §2.8. Впрочем, G(F) без ущерба для смысла рассуждения можно было бы везде заменить на Ω(F), в чем мы убедимся ниже.

16

Источник цитаты мне, к сожалению, обнаружить не удалось. Однако, как справедливо заметил Рихард Иожа, точная формулировка слов Фейнмана не имеет никакого значения, поскольку послание, которое они несут, применимо и к ним самим!

17

Как и ранее, обозначение G(F) можно без каких бы то ни было последствий заменить на Ω(F). То же справедливо и для комментариев к Q15-Q20.

18

Это означает, что при кодировании машины Тьюринга каждую последовательность …110011… можно заменить на …11011… . В спецификации универсальной машины Тьюринга, описанной в НРК (см. примечание 7 после главы 2), имеется пятнадцать мест, где я этого не сделал. Чрезвычайно досадная оплошность с моей стороны, и это после того, как я приложил столько усилий, чтобы добиться (в рамках моих же собственных правил) по возможности наименьшего номера, определяющего эту универсальную машину. Упомянутая простая замена позволяет уменьшить мой номер более чем в 30 000 раз! Я благодарен Стивену Ганхаусу за то, что он указал мне на этот недосмотр, а также за то, что он самостоятельно проверил всю представленную в НРК спецификацию и подтвердил, что она действительно определяет универсальную машину Тьюринга.

19

Более того, сам Тьюринг первоначально предполагал вообще останавливать машину всякий раз, когда она повторно переходит во внутреннее состояние «0» из любого другого состояния. В этом случае нам не только не понадобилось бы вышеупомянутое ограничение, мы спокойно могли бы обойтись и без команды STOP. Тем самым мы достигли бы существенного упрощения, поскольку последовательность 11110 в качестве команды нам была бы уже не нужна, и ее можно было бы использовать как разделитель, что позволило бы избавиться от последовательности 111110 . Это значительно сократило бы длину предписания K, и, кроме того, вместо пятеричной системы счисления мы обошлись бы четверичной.

20

Одним из достаточно тривиальных «подходов», с помощью которых можно осуществить упомянутое переформулирование, является следующий: нужно просто принять за набор правил действия требуемой системы последовательность операций машины Тьюринга, корректно реализующей алгоритм F.

21

Эвристический принцип такого рода может принять форму гипотезы — в качестве примера укажем весьма значительную гипотезу Таиямы (обобщенную позднее в так называемую «философскую теорию Лэнгленда»), в виде следствия из которой можно представить самое, пожалуй, знаменитое из Π₁-высказываний, известное широкой публике как «последняя теорема Ферма» (см. также примечание [28]). Однако рассуждение, предложенное Эндрю Уайлзом в качестве доказательства утверждения Ферма, представляет собой не рассуждение, независимое от гипотезы Таиямы, — каким оно неизбежно оказалось бы, будь эта гипотеза правилом системы «R», — но рассуждение, доказывающее (в соответствующем случае) саму гипотезу Таиямы!

22

Мне, разумеется, могут возразить, и не без оснований, что создание робота-математика отнюдь не входит в перечень ближайших задач исследований в области искусственного интеллекта; соответственно, попытки отыскания упомянутого алгоритма F следует полагать преждевременными либо вовсе ненужными. Такое возражение, однако, может означать лишь то, что возражающий не совсем ясно представляет себе цели и суть настоящего обсуждения. Те точки зрения, согласно которым человеческий интеллект в целом объясним посредством алгоритмических процессов, неявно подразумевают, что алгоритм F — познаваемый или нет — потенциально существует; к нашему же выводу мы пришли, всего лишь применив свой интеллект. Математические способности не являются в этом отношении чем-то особенным; см.. в частности, §§1.18, 1.19.

23

На сегодняшний день мы располагаем вполне строгой математической теорией обучения; см. [10]. Однако эта теория имеет отношение больше к сложности, нежели к вычислимости — иными словами, рассматривает вопросы, связанные с производительностью вычислительных машин и объемом их памяти, необходимыми для решения тех или иных проблем; см. НРК, с. 140-145. Создатели теории не делают никаких предположений о том, что такие математически определенные системы обучения могут оказаться способными моделировать процесс приобретения математиком-человеком собственного понятия о «неопровержимой истине».

24

В ранних изданиях этой книги вместо обозначения G(F) в оставшейся части главы 3 использовалось обозначение Ω(F). Однако G(F), на мой взгляд, представляется в данном случае более уместным (см. также §2.8 и комментарии к возражению Q10, §2.10).

25

Само собой разумеется, что вариант (d) мы в данном случае даже не рассматриваем, так как набор механизмов M был роботу в явном виде предъявлен, кроме того, мы на время допускаем, что механизмы M не включают в себя никаких случайных элементов, вследствие чего вариант (c) также отпадает.

26

Строго говоря, обозначение G( ) было зарезервировано в §2.8 для формальных систем, а не для алгоритмов, однако, полагаю, уважаемый А. И. может позволить себе некоторую вольность в обозначениях.

27

В оригинале речь идет лишь об английском языке, однако, как нам представляется, английский язык в этом отношении отнюдь не одинок. — Прим. перев.

28

Многие читатели, должно быть, уже слышали, что «последняя теорема Ферма» после 350 лет неудачных попыток наконец-то доказана; доказательство представил 23 июня 1993 года в Кембридже Эндрю Уайлз. Как раз когда я писал эти строки, мне сообщили, что в доказательстве все еще имеются несколько досадных неувязок, так что радоваться пока рано, однако вполне возможно, что в ближайшее время Уайлз предоставит достаточные для устранения этих неувязок аргументы.

29

На рисунках в НРК изображены только «будущие» части световых конусов.

30

Забавно, что сам Ньютон тоже высказывал подобную идею. (См. «Вопросы» 18-22 в третьей книге «Оптики» (1730).)

31

Cosmic Background Explorer (англ.) — букв. «Исследователь космического фонового излучения». — Прим. перев.

32

Головоломка (англ.). — Прим. перев.

33

Парадокс (англ.). — Прим. перев.

34

«Великое искусство» (лат.) — Прим. перев.

35

Неприводимый случай (лат.). — Прим. перев.

36

Из соображений удобства я использую здесь предложенную Дираком стандартную систему обозначений для квантовых состояний (в данном случае, скобку «кет»). Читатели, незнакомые с квантовомеханическими обозначениями, могут пока не обращать на эти скобки внимания.

Поль Дирак был одним из наиболее выдающихся физиков двадцатого столетия. Среди его достижений — общая формулировка законов квантовой теории, а также ее релятивистское обобщение, включающее в себя знаменитое «уравнение Дирака» для электрона. Дирак обладал удивительной способностью «чуять» истину — свои уравнения он оценивал в значительной степени по их эстетическим качествам!

37

Shabbos-ключ, или Субботний выключатель. Тот факт, что и Элитцур, и Вайдман работают в университетах Израиля, натолкнул нас с Артуром Экертом однажды во время беседы на идею создания устройства для помощи тем евреям, кто строго соблюдает все установления иудаизма и кому, следовательно, запрещается включать или выключать электрические приборы в субботу. Мы могли бы запатентовать соответствующее устройство и заработать тем самым целое состояние, однако вместо этого решили сделать нашу эпохальную идею достоянием общественности, дабы ею мог воспользоваться любой еврей, у которого возникнет в таком устройстве потребность. Для создания устройства понадобится источник, способный испускать непрерывную последовательность фотонов, два полупрозрачных и два непрозрачных зеркала и фотоэлемент, соединенный с прибором, который необходимо включать/выключать. Схема аналогична изображенной на рис. 5.13, фотоэлемент помещается в точке G. Для того чтобы включить или выключить прибор, следует поместить палец на пути луча D, приблизительно там же, где на рис. 5.13 находится препятствие. Если фотон падает на палец, то ничего не происходит — разумеется, никакого греха в этом нет. (Фотоны и без того постоянно бомбардируют наши пальцы, и по субботам с ничуть не меньшим усердием.) Если же палец с фотоном не встретится, то имеется 50%-я вероятность (буде на то воля Божия), что обслуживаемый устройством электроприбор включится. Несомненно, не будет греха и в том, что фотон упадет не на ваш палец, а на выключатель прибора. (Тут имеется, правда, одно возражение практического свойства: источники, способные испускать по одному фотону, весьма сложны — и дороги. Однако особой необходимости в них, в сущности, нет. Сгодится любой источник фотонов, поскольку приведенное выше рассуждение применимо и к каждому отдельному фотону из пучка.)

38

Английское spin как раз и означает, среди прочего, «вращение». — Прим. перев.

39

Вещественное число e называется «основанием натурального логарифма»: e = 2,7182818285 Запись e^z означает «число e в степени z»; для вычисления значения такого выражения используют следующее разложение:

40

Любопытно, что такого рода феномены находят недвусмысленное подтверждение в реальных физических наблюдениях. Описанный Хэнбери Брауном и Твиссом [187, 188] эффект, в соответствии с которым были измерены диаметры некоторых близлежащих звезд, основывается как раз на таком «бозонном» свойстве взаимодействия достигающих Земли фотонов, испущенных с противоположных краев звезды.

41

Можно привести примеры [393], когда сцепленность пары частиц сама может оказаться компонентом сцепленной пары!

42

С практической точки зрения (англ.). — Прим. перев.

43

Эта идея была предложена в 1932 году выдающимся венгерско-американским математиком Джоном фон Нейманом. Ему же, главным образом, мы обязаны теорией, опиравшейся на первопроходческие труды Алана Тьюринга и положившей начало развитию электронных компьютеров. Кроме того, фон Нейман стоял у истоков теории игр (см. ссылку в примечании {46}) и, что ближе к теме нашего разговора, первым четко определил две квантовые процедуры, которые я обозначил здесь буквами «U» и «R».

44

Созвучно английскому bracket «скобка». — Прим. перев.

45

См. обращение к читателю в начале книги.

46

Нельзя, разумеется, забывать и о сознании кошки! На эту сторону дела обратил наше самое пристальное внимание Юджин П. Вигнер, предложив свой вариант парадокса шрёдингеровой кошки [385]. «Друг Вигнера» разделяет с шрёдингеровой кошкой некоторые из ее лишений, однако в каждом из состояний суперпозиции остается в полном сознании!

47

Эти причины я уже изложил весьма подробно в НРК(главы 7 и 8) и не вижу необходимости повторять свои рассуждения здесь. Достаточно будет сказать, что все они до сих пор остаются в силе — хотя критерий редукции из §6.12 существенно отличается от того, что был представлен в НРК (на с. 367—371).

48

Двадцатью пятью годами раньше очень похожую идею выдвинул ирландский физик Джордж Джонстон Стоуни [362]; правда, в качестве одной из основных единиц он выбрал не постоянную Планка (о существовании которой тогда никто и не подозревал), а заряд электрона. (На это мое упущение мне указал Джон Барроу, за что я ему чрезвычайно благодарен.)

49

Ничто, впрочем, не мешает нам выразить время редукции в более привычных, нежели введенные выше абсолютные, единицах. В этом случае время редукции определяется просто как ħ/E, где E — все та же гравитационная энергия разделения, a ħ — единственная постоянная, которая нам понадобится. То обстоятельство, что в выражении никак не участвует скорость света с, наводит на мысль о целесообразности рассмотрения теории «ньютоновской» модели такого рода (см., напр., [50]).

50

В НРК я использовал для обозначения такого процесса термин «корректная квантовая гравитация» (ККГ[60]). Здесь же акцент несколько иной. Сейчас я не хочу указывать на связь рассматриваемой процедуры с фундаментальной задачей построения непротиворечивой теории квантовой гравитации. Я хочу, скорее, подчеркнуть, что в основе этой процедуры лежат те же предположения, что я сделал в §6.12, плюс некий фундаментальный неизвестный и невычислимый компонент. Использование сокращения OR[61] имеет еще и дополнительный смысл: физическим результатом объективной редукции и в самом деле является одно состояние — или то, или другое, — в отличие от комплексной суперпозиции, с которой мы имели дело прежде.

51

По крайней мере, таково традиционное представление. Сегодня у нас есть некоторые основания полагать, что эта простая «аддитивная» модель слишком упрощена и определенная «обработка информации» может осуществляться уже в дендритах отдельных нейронов. На возможность такой обработки указывал, среди прочих. Карл Прибрам (см. [319]). Сходные в общих чертах предположения были сделаны ранее Алвином Скоттом [338, 339] (а о возможности наличия «интеллекта» в отдельно взятой клетке можно прочесть, например, у Альбрехта-Бюлера [8]). Возможность сложной «дендритной» обработки информации внутри отдельных нейронов мы подробнее обсудим в §7.4.

52

Nanobiology.

53

Белки, ассоциированные с микротрубочками (англ.) — Прим. перев.

54

Англ. bucky balls. — Прим. перев.

55

Убежденным сторонником идеи, согласно которой конденсация Бозе—Эйнштейна способна привести к формированию того «отдельного самоощущения», которое можно счесть характерной особенностью сознания, является Иэн Маршалл [258], см. также [397], [398] и [243]. Ранее идею глобальных (существенно квантовых) макроскопических когерентных «голографических» процессов в мозге активно поддерживал Карл Прибрам [317, 318, 319].

56

Гораздо менее понятно, впрочем, существует ли сколько-нибудь прямая связь между упомянутыми сравнительно высокочастотными процессами и более привычной «волновой» активностью мозга (например, альфа-ритмом с частотой 8-12 ГЦ). Предполагается лишь, что такие низкие частоты могут возникать как «частоты биений», однако никакой связи пока не установлено. Особо примечательными в этой связи представляются не так давно обнаруженные колебания с частотой 35-75 Гц, ассоциирующиеся, по-видимому, с областями мозга, ответственными за сознательное внимание. Колебания эти, похоже, обладают какими-то загадочными нелокальными свойствами. (См. [107], [167], [64], [65] и [63]).

57

См. обращение к читателю в начале книги.

58

Есть некий математический смысл в том, что эволюционирующий в обратном направлении вектор состояния обозначается как «бра-вектор», 〈φ|, тогда как вектор, эволюционирующий нормально, получает стандартное обозначение «кет-вектора», |ψ〉. Такую пару векторов состояний можно рассматривать как произведение |ψ〉〈φ|. Это обозначение фигурирует также в формализме матриц плотности из §6.4.

59

Поскольку в нейроанатомии я человек вполне посторонний, меня не мог не поразить факт наличия в организации мозга одной особенности (похоже, так и не нашедшей до сих пор объяснения), которой мозжечок не обладает. Большая часть сенсорных и двигательных нервов «идут наперекрест», т.е. левая сторона мозга отвечает в основном за правую сторону тела, и наоборот. И не только это — та область мозга, что обрабатывает зрительные образы, находится сзади, а та, что заведует ногами, находится вверху; так же обстоит дело и с ушами: сигналы из правого уха обрабатываются слева, а из левого — справа. Нельзя сказать, что эта особенность мозга носит абсолютно универсальный характер, но я не могу отделаться от ощущения, что это не случайно. Потому что мозжечок устроен иначе. Может ли быть так, что сознание каким-то образом выигрывает от того, что нервным сигналам приходится идти «длинной дорогой»?

60

Англ. CQG, correct quantum gravity. — Прим. перев.

61

Англ. or переводится как «или». — Прим. перев.

62

Search for Extraterrestrial Intelligence — Поиск внеземного разума (англ.) — Прим. перев.