Теорема Белого Кота

Попытка номер два

Все началось с задачи Диофанта

'Два числа в сумме дают 20, а их произведение равно 96. Ну, ясное дело, надо определить эти числа'

В современной записи это будет система:

s + d = 20

s * d = 96

Фигурную скобку системы { поставьте мысленно.

Решением будет квадратное уравнение:

s² - 20s + 96 = 0

Как вы помните для квадратного уравнения (КУ)

ax² + bx + c = 0

корни вычисляются по формуле:

Сегодня меня интересуют только приведенные квадратные уравнения (ПКУ - это когда a=1).

И еще для дальнейшего удобства ввожу переменную h = -b/2.

В таком случае формула упрощается до:

В этом сочинении меня интересует ТОЛЬКО графическое решение уравнения.

Пропускаем тривиальные рассуждения о параболах и рассмотрим подкоренное выражение.

Да! Введем еще одну подстановку вместо переменной с, введем некое число в квадрате, пусть будет v (т.е. c = v²).

Значит под корнем будет:

h² - v²

Если вы присмотритесь, то под корнем оказалась теорема Пифагора.

То есть для нахождения корней не нужно возводить число в квадрат а затем из разности извлекать корень (3 - операции), а достаточно одной операции извлечь корень из c и построить треугольник (циркулем и линейкой).

Для уравнения x² -10x + 16 = 0 графическое решение будет таким:

Производим вычисления h = 5; v = 4

Рис. 1.

Корни x₁=2, x₂ = 8.

[знак при v не имеет значения]

Немного другое решение для случая, когда корни имеют разные знаки.

Например, для уравнения x² -6x - 16 = 0.

Производим вычисления h = 3; v = 4

Рис. 2.

[знак при v не имеет значения]

Корни x₁= -2, x₂ = 8.

Как определить потребный случай? Легко! По знаку перед коэффициентом c, если минус значит рисунок 2, и обратно (подробнее в 'Системе Диофанта').

---

Рассмотрим еще одно уравнение:

x² – 2x + 4 = 0

Вычисляем параметры: h = 1; v = 2

Мне лень опять рисовать, давайте сделаем построения мысленно.

1. откладываем h по оси OX

2. проводим перпендикуляр (все равно – вверх или вниз)

3. на перпендикуляре откладываем v

4. циркуль раздвигаем на размер h

5. проводим дугу окружности для получения пересечения с осью абсцисс

6. убеждаемся, что пересечения не произошло, т.к. радиус окружности h=1 меньше v = 2

Ясно, что уравнение x² – 2x + 4 = 0 не имеет решения. (получен довольно простой метод определения решаемости уравнений).

---

Теорема

Теперь внимательнее посмотрим на многострадальное подкоренное выражение.

Согласно теореме Виета:

b = x₁ + x₂; c = x₁*x₂ (для ПКУ)

Отсюда под корнем будет:

Смотрите!

(x₁+x₂)/2 - это среднее арифметическое.

А корень из произведения x₁ * x₂ - среднее геометрическое.

Теперь задачу Диофанта можно сформулировать по-другому:

Дано: среднее арифметическое и геометрическое двух чисел.

Найди эти числа.

В нете нашел графический метод вычисления среднегеометрического.

Рис. 3.

Сравните с рисунком 2 - полное соответствие, что совершенно естественно, т.к. это одна и та же задача только заданное и искомое поменялись местами, а от перемены мест рисунок не изменился.

В том же неиссякаемом источнике нашел способ графического извлечения корня.

!Гениально просто!

a = 1; b - исследуемое число ..... в результате под корнем 1 * b

И из b извлекается корень!!!

Совместим рисунки 3 и 1. т.е вначале найдем корень квадратный из c , а затем корни квадратного уравнения x² - 10x + 16 = 0.

Рис. 4.

Два средних встречаются под одним корнем - это 'жу-жу' неспроста.

Поискал, посмотрел. Вся сеть заполнена рефератами восьмиклассников о многообразии средних и о том, что они происходят от одной формулы:

Среднее степенное -

Там же нашел вариант рисунка 3 в коем кроме арифметического и геометрического представлены: гармоническое и квадратичное средние, но выглядит это как-то неуклюже искусственно. И совсем по-другому, понятно и логично эти величины отображаются в трапеции:

Рис. 5.

ABCD - трапеция, AD = a, BC = b

(1) среднее гармоническое

проходит через точку пересечения диагоналей O

(2) среднее геометрическое

трапеция ALTD подобна трапеции LBCT

(3) среднее арифметическое

средняя линия трапеции (L - середина AB, T - середина CD)

(4) среднее квадратичное

линия равновесия (площадь AMND равна площади MBCN)

{на рисунке 5 кроме (1) линии нарисованы ОЧЕНЬ приблизительно }

А теперь читателю предлагается доказать следующую теорему:

Величину оснований a и b можно вычислить, зная любую пару средних.

[поля книги слишком малы для моего доказательства...]

* * *

Обратите внимание! Нигде не сказанно, что трапеция должна быть правильной (равнобедренной). Проверьте все рассуждения для совершенно косой трапеции. :)

Еще, забавные размышлизмы. Треугольник и прямоугольник - как вырожденные трапеции.:(

W Cat.