Теорема Белого Кота


W Cat



Предисловие


Пять лет я писал 'Систему Диофанта' и это не значит, что я стучал по клавиатуре все пять лет (допустим по 4 страницы в день - это сколько же будет?). Между главами пробегало от 1 до 13-17 месяцев; поэтому главы стилистически различны, но для меня этот опус - дневник и в этом его ценность.


Опыт показывает, что нормальные читатели начинают читать с начала, а потом, убедившись, что все чепуха, бросают это грязное дело. Т.е. с моей точки зрения, большинство читателей не дошли до 'сладкого'.


Поэтому, не удаляя ценный для меня дневник, попробую написать все заново.


Попытка номер два



Все началось с задачи Диофанта


'Два числа в сумме дают 20, а их произведение равно 96. Ну, ясное дело, надо определить эти числа'


В современной записи это будет система:


s + d = 20


s * d = 96


Фигурную скобку системы { поставьте мысленно.


Решением будет квадратное уравнение:


s2 - 20s + 96 = 0


Как вы помните для квадратного уравнения (КУ)


ax2 + bx + c = 0


корни вычисляются по формуле:




Сегодня меня интересуют только приведенные квадратные уравнения (ПКУ - это когда a=1).


И еще для дальнейшего удобства ввожу переменную h = -b/2.


В таком случае формула упрощается до:




В этом сочинении меня интересует ТОЛЬКО графическое решение уравнения.


Пропускаем тривиальные рассуждения о параболах и рассмотрим подкоренное выражение.


Да! Введем еще одну подстановку вместо переменной с, введем некое число в квадрате, пусть будет v (т.е. c = v2).


Значит под корнем будет:


h2 - v2


Если вы присмотритесь, то под корнем оказалась теорема Пифагора.


То есть для нахождения корней не нужно возводить число в квадрат а затем из разности извлекать корень (3 - операции), а достаточно одной операции извлечь корень из c и построить треугольник (циркулем и линейкой).


Для уравнения x2 -10x + 16 = 0 графическое решение будет таким:


Производим вычисления h = 5; v = 4






Рис. 1.


Корни x1=2, x2 = 8.


[знак при v не имеет значения]


Немного другое решение для случая, когда корни имеют разные знаки.


Например, для уравнения x2 -6x - 16 = 0.


Производим вычисления h = 3; v = 4




Рис. 2.


[знак при v не имеет значения]


Корни x1= -2, x2 = 8.


Как определить потребный случай? Легко! По знаку перед коэффициентом c, если минус значит рисунок 2, и обратно (подробнее в 'Системе Диофанта').


---


Рассмотрим еще одно уравнение:

x2 – 2x + 4 = 0

Вычисляем параметры: h = 1; v = 2

Мне лень опять рисовать, давайте сделаем построения мысленно.

1. откладываем h по оси OX

2. проводим перпендикуляр (все равно – вверх или вниз)

3. на перпендикуляре откладываем v

4. циркуль раздвигаем на размер h

5. проводим дугу окружности для получения пересечения с осью абсцисс

6. убеждаемся, что пересечения не произошло, т.к. радиус окружности h=1 меньше v = 2

Ясно, что уравнение x2 – 2x + 4 = 0 не имеет решения. (получен довольно простой метод определения решаемости уравнений).


---



Теорема



Теперь внимательнее посмотрим на многострадальное подкоренное выражение.


Согласно теореме Виета:


b = x1 + x2; c = x1*x2 (для ПКУ)


Отсюда под корнем будет:




Смотрите!


(x1+x2)/2 - это среднее арифметическое.


А корень из произведения x1 * x2 - среднее геометрическое.


Теперь задачу Диофанта можно сформулировать по-другому:


Дано: среднее арифметическое и геометрическое двух чисел.


Найди эти числа.


В нете нашел графический метод вычисления среднегеометрического.




Рис. 3.


Сравните с рисунком 2 - полное соответствие, что совершенно естественно, т.к. это одна и та же задача только заданное и искомое поменялись местами, а от перемены мест рисунок не изменился.


В том же неиссякаемом источнике нашел способ графического извлечения корня.


!Гениально просто!


a = 1; b - исследуемое число ..... в результате под корнем 1 * b


И из b извлекается корень!!!


Совместим рисунки 3 и 1. т.е вначале найдем корень квадратный из c , а затем корни квадратного уравнения x2 - 10x + 16 = 0.




Рис. 4.


Два средних встречаются под одним корнем - это 'жу-жу' неспроста.


Поискал, посмотрел. Вся сеть заполнена рефератами восьмиклассников о многообразии средних и о том, что они происходят от одной формулы:


Среднее степенное -


Там же нашел вариант рисунка 3 в коем кроме арифметического и геометрического представлены: гармоническое и квадратичное средние, но выглядит это как-то неуклюже искусственно. И совсем по-другому, понятно и логично эти величины отображаются в трапеции:




Рис. 5.


ABCD - трапеция, AD = a, BC = b


(1) среднее гармоническое


проходит через точку пересечения диагоналей O


(2) среднее геометрическое


трапеция ALTD подобна трапеции LBCT


(3) среднее арифметическое


средняя линия трапеции (L - середина AB, T - середина CD)


(4) среднее квадратичное


линия равновесия (площадь AMND равна площади MBCN)


{на рисунке 5 кроме (1) линии нарисованы ОЧЕНЬ приблизительно }




А теперь читателю предлагается доказать следующую теорему:


Величину оснований a и b можно вычислить, зная любую пару средних.


[поля книги слишком малы для моего доказательства...]




* * *


Обратите внимание! Нигде не сказанно, что трапеция должна быть правильной (равнобедренной). Проверьте все рассуждения для совершенно косой трапеции. :)


Еще, забавные размышлизмы. Треугольник и прямоугольник - как вырожденные трапеции.:(


W Cat.


Загрузка...