Том 1. Механика, излучение и теплота

1

В русском издании содержание тома II войдет в выпуски 5—7. Том III будет содержать квантовую механику. — Прим. ред.

2

Алмаз тоже может сгореть в воздухе.

3

Как лихо я управился с этим! Как много скрыто за каждой фразой этого короткого рассказа. «Звезды и Земля сделаны из одинаковых атомов». Обычно мне одной такой темы хватает на целую лекцию. Поэты утверждают, что наука лишает звезды красоты, для нее, мол, звезды — просто газовые шары. Ничего не «просто». Я тоже любуюсь звездами и чувствую их красоту. Но кто из нас видит больше? Обширность небес превосходит мое воображение... Затерянный в этой карусели, мой маленький глаз способен видеть свет, которому миллион лет. Безбрежное зрелище Вселенной... и я сам — ее часть... Быть может, вещество моего тела извергнуто какой-нибудь забытой звездой, такой же, как вон та, чей взрыв я вижу сейчас. Или я смотрю на звезды гигантским оком Паломарского телескопа, вижу, как они устремляются во все стороны от той первоначальной точки, где, быть может, они некогда обитали бок о бок. Что это за картина и каков ее смысл? И зачем все это? Таинству Вселенной не причинит ущерба наше проникновение в какие-то ее секреты, ибо правда более поразительна, нежели то, что было нарисовано воображением художников прошлого! Почему же нынешние поэты не говорят об этом? Что за народ эти лирики, если они способны говорить о Юпитере только как о человеке, и молчат, если это огромный вращающийся шар из метана и аммиака?

4

Нас здесь интересует не столько итоговая формула (4.3) (она вам, должно быть, знакома), сколько возможность получить ее теоретическим путем.

5

Об этом ученые договорились в конце 1964 г., когда готовилось русское издание этой книги. — Прим. ред.

6

Это равенство справедливо только тогда, когда площадь, занимаемая ядрами, составляет малую долю общей площади, т. е. (n₁-n₂)/n₁ много меньше единицы. В противном же случае необходимо учитывать поправку на частичное «загораживание» одного ядра другим.

7

Эти последние 97 экспериментов проводились следующим образом. Ящик, в котором находились 30 монет, энергично встряхивался; затем подсчитывалось число выпадений «орла».

8

Максвелл получил выражение Cv²e^{-av^2}, где а — некоторая связанная с температурой постоянная, а С выбирается таким образом, чтобы полная вероятность была равна единице.

9

Отрезок, соединяющий Солнце с точкой орбиты.

10

Иначе говоря, на сколько окружность (орбита Луны) отходит от касательной к ней на протяжении пути, проходимого Луной за 1 сек.

11

В нашем курсе нет этого доказательства.

12

В книгах вектор обозначается полужирной буквой; в рукописях же используется стрелка.

13

Энергия в единицах табл. 9.2 есть ½(v²_x+v²_y)-1/r

14

Правда, видимый свет проиграет гонку из-за преломления в воздухе. А γ-излучение ее, несомненно, выиграет.

15

Что это действительно так, доказывается с помощью рассмотрения перемещения частиц твердого тела за бесконечно малый промежуток времени Δt. Это не самоочевидно, и я предоставляю тем, кто интересуется, доказать это.

16

Квадратный корень лучше всего извлекать не тем способом, которому обычно учат в школе, а немного иначе. Чтобы извлечь квадратный корень из числа N, выберем достаточно близкое к ответу число а, вычислим N/a и среднее а'=¹/₂[a+(N/а)]; это среднее будет новым числом а, новым приближением корня из N. Этот процесс очень быстро приводит к цели: число значащих цифр удваивается после каждого шага.

17

Решения, которые нельзя выразить линейно одно через другое, называются независимыми решениями.

18

В новейших супергетеродинных приемниках дело, конечно, обстоит сложнее. Усилители приемника настроены на определенную промежуточную частоту; осциллятор с переменной настраивающейся частотой связан с входным сигналом нелинейной связью, порождая новую частоту (равную разности частот сигнала и осциллятора) —промежуточную частоту, которая и усиливается. Об этом мы поговорим в гл. 50 (вып. 4).

19

Его можно вывести, если дополнительно предположить, что при добавлении слоя одной среды к поверхности другой угол преломления на выходе из последней среды не меняется.

20

Предельный угол имеет величину порядка λ/D, где D — диаметр линзы. Сможете ли вы показать, как это получается?

21

В нашем случае T=Δ/с=mnλ,/с, где с — скорость света. Частота v=c/λ, так что δv=cδλ/λ².

22

Прежде всего потому, что сам критерий Рэлея приближенный. Он только указывает область углов, где трудно разобрать, сколько звезд на изображении — одна или две. А в действительности, если точно измерить распределение интенсивности, можно различить два источника при углах θ, даже меньших λ/L.

23

Такая же формула получается и с помощью квантовой механики, однако интерпретация ее в этом случае иная. В квантовой механике даже одноэлектронный атом, например водород, имеет несколько резонансных частот. Поэтому вместо числа электронов N_k с частотой ω_k появляется множитель Nf_k где N — число атомов в единице объема, а число f_k (называемое силой осциллятора) указывает, с каким весом входит данная резонансная частота ω_k.

24

Выпуск 2

25

Разумеется, за исключением того случая, когда один из трех цветов получается смешением двух других.

26

Эти цвета зависят от скорости вращения, яркости освещения и в какой-то степени от того, кто смотрит на диск и насколько пристально.

27

Человеческий глаз тоже слегка чувствителен к направлению поляризованного света, и научиться угадывать направление солнца в общем можно! Здесь используется явление, называемое хайдингеровской гребенкой (Haidinger's brush). Это бледное желтоватое пятно в центре поля зрения, напоминающее по форме песочные часы; видно оно через поляризационные очки на фоне безграничного бесцветного пространства. Впрочем, его можно видеть и без поляризационных очков на голубом небе, если поворачивать голову то туда, то сюда вокруг оси зрения.

28

Этот аргумент, который приводил еще Максвелл, несколько коварен. Хотя окончательный вывод и справедлив, но он не следует непосредственно из соображений симметрии, которыми мы пользовались раньше. Ведь перейдя к движущейся через газ системе отсчета, мы можем обнаружить искаженное распределение скоростей. Мы не смогли найти простого доказательства этого результата.

29

Стоградусная шкала— это шкала Кельвина, в которой за нуль принята температура 273,16°, так что T=273,16+стоградусная температура.

30

То, что химики называют молекулярным весом, есть не что иное, как масса моля молекул в граммах. Моль определяется так, что масса моля атомов изотопа углерода 12 (ядра которого состоят из 6 протонов и 6 нейтронов) равна в точности 12 г.

31

Чтобы вычислить этот интеграл, положим

Тогда

а это двойной интеграл в xy-плоскости. Но его можно вычислить и в полярных координатах:

32

Это не только способ удержать число атомов на каждом уровне постоянным, но и действительный путь, который избирает природа. При тепловом равновесии каждый процесс должен уравновеситься противоположным процессом, это так называемый принцип детального равновесия.

33

Раньше мы определяли температурную шкалу иначе. Мы утверждали, что средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа пропорциональна температуре или, согласно закону идеального газа, что pV пропорционально Т. Эквивалентно ли это новому определению? Да. Ведь окончательный результат (44.7), выведенный из закона идеального газа, совпадает с приведенным здесь результатом. Мы еще поговорим об этом в следующей главе.

34

Поскольку (e^x-1)^-1=е^-x+е^-2x+..., то интеграл равен _n=1∑^∞₀∫^∞e^-nxx³dx.

Но ₀∫^∞e^-nxdx=1/n, поэтому, дифференцируя три раза по n, мы получаем ₀∫^∞e^-nxx³dx=6/n⁴, так что интеграл равен 6 (1+¹/₁₆+¹/₈₁+...), и несколько первых членов ряда дают уже хорошее приближение. В гл. 50 мы сможем показать, что сумма обратных четвертых степеней целых чисел равна π⁵/90.

35

При таком выборе P_отн Р — уже не максимальная амплитуда звукового давления, а «среднее квадратичное» давление, равное максимальному, деленному на 1/√2.

36

Следует сделать здесь небольшое примечание: в каких случаях кривая может быть представлена в виде суммы множества косинусов? Ответ: Почти всегда, за исключением небольшого числа случаев, которые могут присниться разве только математику. В каждой точке кривая, разумеется, должна иметь только одно значение и она не должна быть безумной кривой, прыгающей до бесконечности на протяжении бесконечно малого промежутка времени или что-нибудь в этом же духе. Однако если отвлечься от этих ограничений, то любая разумная кривая (в частности, и та, которая получается при колебании голосовых связок певицы) всегда может быть представлена в виде суммы косинусоидальных волн

37

В Советском Союзе изображение имеет 625 строк и ширина каналов несколько больше.— Прим ред.

38

В основе деления октавы на 12 ступеней лежит открытие Пифагора. Он брал струну, зажимал ее посредине и получал звук на октаву выше, нем звук незажатой струны. Затем половину струны он опять зажимал посредине и получал звук еще на октаву выше и т. д. Точно так же, зажимая последовательно струну на ¹/₃ длины, он каждый раз получал звук выше на квинту. И вот оказалось, что 12 квинт почти точно укладываются на интервале в 7 октав [т. е. 2⁷~=(³/₂)¹²]. Если же теперь от каждой квинты отложить целое число октав вверх и вниз, то каждая первоначальная октава разделится на 12 частей. Так возник пифагорийский строй. Однако беда в том, что 12 квинт только приблизительно равны 7 октавам, поэтому в разных местах диапазона «лесенки» получались неровные. При развитии мелодии эти неточности накапливались и возникали противные уху интервалы, так называемые «волки», которые страшно досаждали музыкантам. Иногда дело доходило до курьезов. Рассказывают, что известный композитор Жак Рамо сумел так ловко извлекать из органа «волчьи» звуки, что однажды, желая отказаться от должности церковного органиста, привел своей «игрой» в ужас святых отцов и убедил их в своей «бесталанности». Много сил было потрачено на изгнание «волков». Этим, в частности, безуспешно занимались такие умы, как Кеплер и Эйлер. Однако сделать это удалось не физику и не математику, а органисту Андрею Веркмейстеру. Решение его гениально просто: он отказался от чистых квинт, укоротив их как раз настолько, чтобы дюжина вместилась в 7 октав, и несовместимое совместилось, а «волки» исчезли. Так возник современный темперированный строй.— Прим. ред.

39

Ее можно вычислить следующим образом. Во-первых, заметим, что ₀∫^xdx/(1+x²)=arctgx.

Во-вторых, разложив подынтегральное выражение в ряд, получим 1/(1+x²)=l-x²+x⁴-x⁶+... . Интегрируя затем почленно этот ряд (от нуля до х), получаем arctgx:=l-х³/3+х⁵/5-x⁷/7+..., а положив x=1, мы докажем использованный результат, поскольку arctg1=π/4.

40

Сейчас уже научились делать еще два антиизотопа водорода: антидейтрон и антитритий. — Прим. ред.

41

Автор не зря предупреждал, что обо всем содержании этой главы можно сказать: «насколько нам известно сегодня». Ведь это уже «передний край» физики, где возможны любые изменения. Так и вышло. Совсем недавно было установлено, что симметрия между правым веществом и левым антивеществом не всегда существует. Комбинированная симметрия тоже оказалась приближенной. Мы пока не знаем, как и почему это происходит, пока строим только гипотезы, но вполне возможно, что, когда дело дойдет до встречи с нашим приятелем из другого мира, мы предварительно сможем выяснить, сделан ли он из вещества, как и мы, или из антивещества. — Прим. ред.

42

Их построил архитектор и резчик Цингору в середине XVII века. —Прим. ред.