Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Глава 5 История и красота

В конце введения к своей знаменитой «Истории искусства» Эрнст Гомбрих отстаивает такую точку зрения: историю искусства следует знать потому, что она помогает понять, почему художники действовали так, а не иначе, или стремились произвести определенный эффект. Знание истории искусства, пишет Гомбрих, позволяет нам улавливать тончайшие различия и ценить эстетику произведений искусства. Иными словами, должный культурный багаж помогает увидеть красоту того или иного жанра, а знание истории искусства — неотъемлемая часть этого багажа. Гомбриха можно назвать сторонником контекстуализма, в рамках которого считается, что произведение искусства следует рассматривать в контексте — историческом, социальном, религиозном, культурном и других, в отличие от изоляционизма, утверждающего, что произведение искусства должно быть самодостаточным. Чем больше знаний контекста требуется, чтобы оценить его, тем менее полным оно является, поэтому изоляционисты, следуя Клайву Беллу, отказывались изучать контекст произведений.

Рассмотрим аргумент контекстуалиста Гомбриха применительно к математике.

Прежде чем перейти к дискуссии о математике, совершим небольшой экскурс в мир изобразительных искусств. Попытаемся широкими мазками описать, как история искусства помогает оценить красоту скульптуры.

Начнем с рассказа о Венере Виллендорфской. Нет никаких сомнений в том, что красота и очарование этой скульптуры не в последнюю очередь обусловлены ее древностью: ее возраст оценивается в 25 000 лет. Поскольку мы знаем историю искусства, нам известно, что это одна из древнейших скульптур, дошедших до наших дней, что делает ее особенно ценной. Можно спорить о том, является эта добавленная ценность эстетической или нет, но нет никаких сомнений в том, что это историческая ценность, и знание истории Венеры помогает оценить ее с эстетической точки зрения.

Венера Виллендорфская была обнаружена в 1908 году археологом Йозефом Сомбати в австрийском местечке Виллендорф. Скульптура хранится в венском Музее естествознания.

_{(фотография: Матиас Кабель)}

Знание истории искусства позволяет понять, какими были цели и задачи скульптора, какие техники он использовал, каково значение созданного им произведения и так далее. Таким образом, история искусства расширяет культурный багаж, благодаря которому нам легче оценить произведение с эстетической точки зрения.

Быть может, чтобы верно оценить греческую скульптуру, нужно знать, каким было культурное наследие древних греков и чему они научились, например, у египтян? Дать ответ на эти вопросы помогает история искусства, благодаря которой мы можем представить вклад греков в мировую культуру, оценить гармонию и совершенство, достигнутые ими в изображении человеческого тела.

История искусства также позволяет понять, почему в Средние века изображение человека претерпело столь значительные изменения, чем объяснялась эта инфантилизация романской скульптуры по сравнению с классической греко-римской, кажущееся падение качества изображения, несовершенство скульптур. История искусства позволяет нам лучше оценить романскую скульптуру как единое целое, раскрыв новое, религиозное измерение, которое оказало огромное влияние на традиции изображения человеческого тела. Под влиянием всемогущей католической церкви, контролировавшей все сферы жизни средневекового общества, все человеческое было подчинено божественному началу. Как следствие, символическое изображение этой покорности стало играть столь же важную роль, какую в античном мире играло натуралистическое изображение человеческого тела.

Эта иллюстрация позволяет оценить, чему древнегреческие скульпторы научились у египтян: слева — египетский скульптурный ансамбль, известный как триада Микерина, справа — греческие скульптуры, изображающие Клеобиса и Битона.

Фрагмент одной из скульптур в галерее романского аббатства в Мильштадте, Австрия, построенного в X веке.

Та же самая история искусства объясняет, почему скульпторы вернулись к классическому канону и почему фигуры мужчины и женщины вновь стали привлекать основное внимание художников. История искусства также помогает выделить различия между классической скульптурой и скульптурой более поздних периодов, вплоть до романтического неоклассицизма.

Давид работы Микеланджело (1501–1504) и Венера работы Антонио Пановы (1804–1812).

И наконец, чтобы лучше оценить красоту новых форм, которые с возвращением к классическому реализму начали проявляться в скульптуре, необходимо знать, какие новые цели ставили перед собой художники. История искусства показывает, как скульпторы уходили от холодного совершенства и создавали произведения, более впечатляющие зрителя. Как можно понять ускорение развития искусства в последние 150 лет, если не знать его историю? Можно ли оценить эстетику скульптуры «Поцелуй» Константина Бранкузи — варианта одноименной работы его учителя, Огюста Родена, не зная истории, которая объясняет этот возврат к палеолитическим истокам (см. иллюстрацию на следующей странице)?

«Поцелуй» Огюста Родена (1889) и скульптура с одноименным названием авторства Константина Бранкузи, созданная в 1908 году.

Можно ли оценить красоту некоторых произведений последнего столетия, например знаменитого «Фонтана» Дюшана, не понимая эстетической ценности выхода за пределы дозволенного?

«Фонтан» (1917) — самый известный «реди-мейд» Марселя Дюшана. Как вы можете видеть на фотографии, скульптура не подписана именем Дюшана. Художник, доводя абсурдную идею до конца, подписался именем немецкого производителя унитазов — R. Mutt.

* * *

Марсель Дюшан в образе Розы Селяви. Фотография Мана Рэя, 1921 год.

* * *

История математики поможет понять эстетическую ценность математических рассуждений подобно тому, как история искусства помогает понять эстетику скульптуры. Учитывая, что оценить красоту математики намного сложнее (и об этом мы уже говорили), роль истории в решении этой задачи также намного важнее, чем при эстетическом восприятии любого направления искусства.

Рассмотрим, например, высказывание: любой треугольник, вписанный в полуокружность, — прямоугольный. Диоген Лаэртский, основываясь на вторичных источниках, приписывает авторство этой теоремы Фалесу, который в благодарность за ее открытие принес в жертву буйвола. По мнению Диогена, Фалес был и автором доказательства этой теоремы, однако Аполлодор, опираясь на, возможно, более авторитетные источники, считает автором этой теоремы Пифагора.

Эту на первый взгляд простую теорему можно доказать несколькими способами. Однако истинный ключ к ней дает история математики: теорема Фалеса стала одной из первых сопровождавшихся рассуждениями, целью которых было подтвердить правильность теоремы в общем случае. Иными словами, теорема сопровождалась доказательством в его классическом понимании. Доказательство — не более чем логическое рассечение утверждения на ряд универсальных и очевидных истин. Чтобы понять всю важность этого первого в истории доказательства, теорему Фалеса нужно сравнить с математическими рассуждениями древних египтян или жителей Месопотамии, то есть вновь обратиться к истории математики. Если мы будем знать контекст той эпохи, теорема Фалеса уже не покажется нам столь примитивной. Мы даже сможем почувствовать, насколько концептуально близкими были греки к некоторому примитивизму, который мы находим в математических рассуждениях египтян или вавилонян. Будет уместно привести фразу, которую Харди как-то сказал Литлвуду: «Греческие математики не были одаренными школьниками — они принадлежали к другому университету». Подобно Венере Виллендорфской, теорема Фалеса имеет историческую ценность, и знание этой ценности позволяет оценить ее с эстетической точки зрения.

Существуют и другие причины, по которым следует уделить внимание истории теоремы. Эти причины имеют отношение к математике в эмоциональном контексте — я имею в виду эпизод с принесением в жертву буйвола. Хотя Диоген Лаэртский приписывает это жертвоприношение Фалесу, большинство классических историков считают, что гекатомбу принес Пифагор, открыв свою знаменитую теорему. Как гласит словарь, гекатомба — это «жертвоприношение из 100 быков в Древней Греции».

Гекатомба Пифагора была более скромной, в жертву определенно не было принесено сто быков — тем не менее различные авторы, среди которых Вергилий, Цицерон, Плутарх, Диоген Лаэртский и другие, упоминают об этом жертвоприношении, хотя и расходятся во мнении, кто именно его совершил: Пифагор или Фалес. Эти жертвы были наполнены множеством скрытых смыслов, связанных с основными жизненными потребностями людей, их неизбывным страхом или самыми сокровенными заботами и опасениями. Не будем забывать, что гекатомбы изначально обладали религиозным, магическим и мистическим значением. Они приносились, чтобы избежать бедствий и отвести проклятие богов, выиграть войну или положить конец голоду или болезням.

И тот факт, что гекатомба подробно описывается в связи с простой геометрической теоремой, должен навести читателя на определенные мысли. Кто-то скажет, что гекатомбы, приписываемые Пифагору или Фалесу, не имеют достаточных исторических доказательств, вполне возможно, что они являются всего лишь легендой. Но в этом случае следует задуматься еще больше: почему Витрувий, Цицерон, Плутарх, Диоген Лаэртский и многие другие авторы, серьезные и занятые люди, потрудились придумать или передать потомкам легенду (к тому же довольно кровавую), чтобы восславить нечто столь незначительное, как открытие математической теоремы? Почему они связали результат интеллектуального труда, давший начало всей древнегреческой математике, это исключительно абстрактное явление с таким эмоциональным событием, как жертвоприношение?

Как и в случае с греческой скульптурой, понять развитие греческой математики, ее путь от первых теорем до тех высот, которых она достигла позднее, нам поможет история. Путь, пройденный древнегреческой математикой, можно оценить в полной мере, если сравнить теорему, о которой мы рассказали выше, с решением задачи о вычислении площади сегмента параболы, которое привел Архимед (об этой задаче мы рассказали в главе 1).

Чтобы определить эстетическую ценность чего-либо, что кажется менее красивым, чем древнегреческая синтетическая геометрия, например позиционной системы счисления или элементарных методов алгебры, как и для того, чтобы оценить романскую скульптуру, будет полезно узнать, что в этих случаях эстетика заключена в символическом потенциале простоты. Если хорошо подумать, то мы поймем, что зачастую простота есть не более чем продукт нашего образования: наша система счисления кажется нам простой, потому что мы изучали ее в начальной школе.

Но для древних греков, которым была практически неизвестна алгебра, наша система счисления показалась бы крайне сложной. Как можно оценить концептуальную сложность системы счисления или алгебры, не зная, сколь медленным и трудным был исторический процесс ее появления и развития? Может быть, мы оценим греков по достоинству, если будем знать, какую важную роль они сыграли в XVII веке, при создании намного более сложных разделов математики, в частности аналитической геометрии и, позднее, дифференциального и интегрального исчисления?

Даже для того чтобы оценить эстетику анализа бесконечно малых, необходимо знать его историю. Нужно знать, что для его создания потребовалось совершить несколько шагов вперед относительно древнегреческой математики, знать, каким был вклад анализа бесконечно малых в научную революцию, которая произошла в Европе в XVI–XVII веках и благодаря которой наука достигла таких успехов. Наконец, нужно знать, какое влияние анализ бесконечно малых оказал на развитие не только математики, но и физики.

Гомбрих в своей «Истории искусства» писал, что современное искусство, как и любое другое, возникло в ответ на вставшие перед ним проблемы. Так, революционные процессы, столь радикально изменившие искусство начиная с середины XIX века, были запущены тогда, когда художники задались вопросом: почему они ограничивались максимально точным изображением того, что видели перед собой, будь то пейзаж или группа людей? Тогда же возник вопрос о том, какова истинная функция художника. Кто он — безмолвный свидетель, который должен точно передавать то, что он видит, подобно фотокамере, или действующее лицо произведения, отражающее в картине прошлый эмоциональный опыт? Используя творческую свободу художника в качестве одного из главных аргументов, искусство склонялось в пользу второй точки зрения. В результате возник новый мир, который часто критиковали, порой не ценили и не понимали. Друг друга последовательно сменяли импрессионизм, экспрессионизм, абстракционизм, авангард, экспериментальное искусство и так далее.

Для эстетической оценки этого нового искусства, сложного, иногда странного и даже сумасбродного и как никогда изменчивого, история искусства почти так же важна, как способность видеть.

В XIX веке в математике тоже начался процесс последовательного абстрагирования, кульминацией которого стало помещение практически всей математики в атмосферу теории множеств, на первый взгляд стерильную и инертную. Великим вдохновителем этого процесса был немецкий математик Георг Кантор, а движущей силой — жажда понять и обуздать страшнейшее из математических чудовищ — бесконечность. Словно бы доказывая, что определенные закономерности объединяют даже наиболее далекие друг от друга аспекты одной культуры, словно подтверждая фразу Марселя Пруста о том, что все существующее одновременно есть кажущееся, эволюция математики весьма схожа с процессами, которые происходили в живописи, скульптуре, архитектуре, музыке и литературе. Не напрасно девиз Кантора «суть математики — в ее свободе» содержал отсылку к идее, приверженцами которой являются художники, скульпторы и композиторы.

Бесконечности, ее укротителю Кантору и, разумеется, обстоятельствам, сопутствующим этой истории, посвящены последние страницы этой книги.

Бесконечность можно сравнить со змеиным гнездом: лишь по прошествии нескольких тысяч лет, пережив несколько болезненных укусов, человек осмелился опустить в это гнездо руку. Бесконечность — продукт логической структуры нашего мозга. Эта структура обладает способностью создавать понятия путем отрицания уже известных. На основе того, что воспринимают наши органы чувств, естественным образом возникает понятие конца, границы, финала, то есть конечного, имеющего предел.

К понятию бесконечного мы приходим через отрицание конечного, а не на основе чувств или ощущений. Парадоксально, что хотя бесконечность является продуктом логической структуры нашего разума, она обнаруживает некоторую несовместимость с логикой, точнее со здравым смыслом, который часто путают с логикой. Здравый смысл неизбежно находится под влиянием информации, поступающей от органов чувств, а эта информация обязательно тем или иным способом отражает понятие конечного или ограниченного. Таким образом, бесконечность едва ли имеет отношение к здравому смыслу, и неудивительно, что она сильно пугала греков, для которых логика и здравый смысл были основой культурной революции.

История об Ахиллесе и черепахе, логическая головоломка Зенона Элейского о делимости и движении, столь же глубоко укоренилась в массовом сознании, что и теорема Пифагора, «Дон Кихот» или Девятая симфония Бетховена. В своем парадоксе Зенон тайком использовал бесконечность. Отзвуки бесконечности слышны и в пифагорейском кризисе, причиной которого стало открытие иррациональных чисел: так, нельзя было представить в виде дроби, и чтобы точно выразить значение этого числа, требовалось записать бесконечно много знаков.

История об Ахиллесе и черепахе отражает представление древнегреческого философа Зенона Элейского о бесконечности. На иллюстрации изображен кадр из фильма Такеши Китано с одноименным названием.

Однако бесконечность была продуктом логики, и появилась она благодаря возможности определять новые понятия через отрицание уже известных. Более того, бесконечность была приятной на вид: некоторые математические объекты очевидно плохо уживались с понятиями конечного и ограниченного. Это и числа, которых настолько много, что им нет конца (это подтвердит любой), и прямые линии, которые всегда можно мысленно продолжать бесконечно.

Учитывая контекст, сопровождающий бесконечность, в котором абсурдное и, как следствие, скандальное и полемичное смешалось с разумным, неопровержимым, пусть и едва заметным, греки разделили бесконечность на две части: первая, потенциальная бесконечность, была приемлемой, вторая, актуальная бесконечность — отвратительной и ненавистной. Непреходящий аристотелевский «здравый смысл» стал тем ножом, которым чудовище было рассечено надвое. Отрицать существование бесконечных процессов невозможно (так, мы можем последовательно делить отрезок пополам бесконечное число раз, а последовательность чисел бесконечно велика), и Аристотель в книге III «Физики» описал природу потенциальной бесконечности так: «много невозможного получается, если вообще отрицать существование бесконечного», таким образом, «о бесконечном можно говорить в возможности», то есть «бесконечное получается либо прибавлением, либо отнятием». Бесконечность сама по себе, как нечто завершенное, по Аристотелю была запретной: «Невозможно, чтобы бесконечность существовала в действительности как нечто сущее либо как субстанция и первоначало. […] величина не может быть бесконечной актуально, об этом уже сказано, но она может быть беспредельно делимой». По Аристотелю, отрезок нельзя рассматривать как бесконечное множество точек, выстроенных в линию, однако допускается деление отрезка пополам неограниченное число раз. Однако использование актуальной бесконечности противоречило и Евклиду, который включил в «Начала» такую аксиому: «Целое больше, чем каждая из его частей».

* * *

Архимед, каким его увидел художник Хосе де Рибера (1591–1652).

* * *

Эта аксиома порождена нашими интуитивными представлениями о конечном и ограниченном. Лучше других объяснить несовместимость бесконечного и этой аксиомы Евклида сумел Галилей в своих «Беседах» (1638). Так как каждое число порождает квадрат: 2 порождает 4, 3–9, 4 — 16 и так далее — а каждый квадрат, в свою очередь, порождается единственным числом, Галилей указал, что мы можем объединить в пары числа и соответствующие им квадраты, заключив, что чисел и квадратов будет одинаковое количество. Тем не менее очевидно, что квадратные числа — лишь часть множества чисел (так, 2, 3, 5, 7 — числа, но не квадраты), то есть чисел больше, чем квадратов, целое больше его части. Мы столкнулись с парадоксом: чисел одновременно столько же, сколько их квадратов, и одновременно больше, чем квадратов. Галилей сделал вывод: «понятия «больше», «меньше» и «равно» неприменимы к бесконечному».

Связь христианского Бога с бесконечностью помогла преодолеть древние страхи перед ужасным чудовищем, и бесконечность, как потенциальная, так и актуальная, в XVII веке окончательно расположилась в центре математики. Следуя заветам Аристотеля, богословы отказывали человеку в возможности понять актуальную бесконечность, но они перевели это понятие в область богословия. Фома Аквинский рассматривал Бога как полную и всеобъемлющую, актуальную бесконечность, такая трактовка часто встречается и в трудах философов XVII века. Не будем забывать, что некоторые из них были учеными, в том числе математиками. Подтверждение мы находим у Декарта: «Мыслю некоего вышнего Бога — вечного, бесконечного, всеведущего, всемогущего, творца всех сущих, помимо него самого, вещей», а также: «Что же до Бога, я считаю его столь бесконечным, что к его совершенству ничего уже нельзя добавить»; у Спинозы: «Под Богом я разумею существо абсолютно бесконечное (ens absolute infinitum), т. е. субстанцию, состоящую из бесконечно многих атрибутов, из которых каждый выражает вечную и бесконечную сущность», и также у Лейбница: «Следует считать, что эта божественная субстанция, неделимая, универсальная и непреложная, не должна иметь пределов и содержать всю реальность, какую только возможно».

Никакой запрет не мог покончить с чем-то действительно полезным. И никакое понятие не оказалось столь плодотворным для математики, как бесконечность, ни одно из них не сделало математику столь полезной для объяснения явлений природы: бесконечность — это основной элемент анализа бесконечно малых, а анализ бесконечно малых — несомненно, самое мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное математиками. Еще один парадокс бесконечности: почему она, будучи не более чем продуктом логической структуры нашего мозга, играет столь важную роль в формировании научной картины окружающей нас Вселенной, если в этой Вселенной бесконечность подобна эмигранту без документов?

Несмотря на свою неоспоримую, пусть и непонятную, полезность, актуальная бесконечность по-прежнему пользуется дурной славой. Не самым лестным образом о ней отзывался даже так называемый король математиков. Великий Гаусс писал: «В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окончательное. Бесконечность — лишь манера выражаться, означающая предел, к которому стремятся одни величины, когда другие бесконечно убывают».

И средневековые схоластики, в частности Фома Аквинский (ок. 1224–1274), и философы-рационалисты, в частности Рене Декарт (1596–1650), сталкивались с проблемой актуальной бесконечности.

Почти одновременно с тем, как Гаусс написал эти строки, родился Георг Кантор (1845–1918). Именно он смог подчинить себе бесконечность, укротив это страшное математическое чудовище.

Кантор начал с того, что сравнил различные бесконечные множества с числами, которые имелись в его распоряжении. Для сравнения бесконечных множеств он объединял элементы этих множеств в пары: если элементы двух множеств можно объединить попарно так, что ни один элемент не останется без пары, значит, число элементов этих множеств одинаково.

Кантору удалось объединить в пары натуральные и целые числа, натуральные и дробные числа. Вопреки доводам логики, согласно которым целое больше его части, рассуждения Кантора показывали, что натуральных чисел столько же, сколько и дробных.

Однако для выполнения расчетов с бесконечностью Кантору потребовались бесконечные множества разного размера. Первый важный результат был получен в конце 1873 года, когда Кантор обнаружил два бесконечных множества, элементы которых нельзя было объединить попарно. Точнее, ученый доказал, что натуральные числа нельзя объединить в пары с точками произвольного отрезка. Этот результат стал одним из самых революционных в истории математики. Для этого утверждения, сколь важного, столь и глубокого, Кантор в 1899 году нашел в высшей степени простое и элегантное доказательство. Этим доказательством, подобно картинам импрессионистов, можно полнее насладиться, зная его историю и необходимый контекст.

Кантор в 1894 году, в возрасте 49 лет, когда он пытался систематизировать теорию множеств.

Доказательство Кантора

Для простоты вместо точек отрезка рассмотрим все бесконечные последовательности вида 0, а₁, a₂, а₃, …, где каждая цифра 0, а₁, a₂, а₃, … имеет значение 0 или 1. Нетрудно видеть, что число различных последовательностей такого типа равно числу точек отрезка (однако доказательство этого утверждения будет носить несколько технический характер).

В доказательстве Кантора используется так называемый диагональный метод, который для любой пары, состоящей из одного из чисел 1, 2, 3, 4… и двоичной последовательности, позволяет найти такую двоичную последовательность, которая не будет парой ни для одного числа. Представьте, что дана произвольная пара, образованная числом и двоичной последовательностью. Для простоты рассмотрим следующие несколько пар.

Обратите внимание на цифры, обведенные квадратной рамкой: первую цифру первой последовательности, вторую цифру второй последовательности и так далее. Построим новую последовательность (она приведена в конце списка и отделена многоточием), изменив эти цифры: заменим единицы нулями, а нули — единицами. Таким образом, первой цифрой новой последовательности будет 0, второй — 0, третьей — 1, четвертой — 0 и так далее. Так мы гарантируем, что вне зависимости от последующих цифр новая последовательность будет отличаться от всех предыдущих: она будет отличаться от первой последовательности первым знаком, от второй — вторым, от третьей — третьим и так далее. Это должно убедить читателя, что в представленном выше списке для созданной нами двоичной последовательности не найдется пары. Если немного подумать, то станет понятно, что метод Кантора не зависит от представленного выше списка. Если список изменить, мы сможем применить этот метод к новому списку и сформировать новую последовательность, для которой не найдется пары.

* * *

* * *

Абсолютная бесконечность и наследие Кантора

Посвятив четверть века изучению бесконечностей, Кантор смог упорядочить их: словно на балу монстров, он расположил одну бесконечность за другой подобно тому, как упорядочены числа, а также описал, как можно складывать бесконечности, умножать их друг на друга, возводить в бесконечную степень и так далее. Кантору, конечно, не удалось полностью приручить бесконечность. Существуют величины, которые он назвал абсолютной бесконечностью. Они не поддавались никакому контролю со стороны математики, не говоря уже о логике. В 1883 году Кантор писал: «Абсолютное можно лишь распознать, но его невозможно познать, даже примерно». Бесконечность, которая интересовала Кантора, располагалась между конечным и абсолютным.

* * *

* * *

Кантор вышел победителем в схватке с бесконечностью, однако был тяжело ранен. Его исследования вызвали неприязнь части немецкого математического сообщества. Кантор хотел работать в Берлине или Геттингене, однако двери этих университетов оказались для него закрыты, и нет сомнений, что поводом для травли стала неприязнь со стороны влиятельных коллег. В 1879 году Кантор наконец получил должность преподавателя в небольшом университете Галле, где проработал всю оставшуюся жизнь.

Работы Кантора часто называли незначительными, не представляющими интереса, а когда его заслуги начали признавать, злые языки вложили в уста Анри Пуанкаре (1854–1912), одного из величайших математиков того времени, знаменитое изречение: «Грядущие поколения будут рассматривать теорию множеств как болезнь, от которой они вылечились». В конечном итоге на сцену вышло новое поколение математиков, которые воздали должное трудам Кантора, что привело к революции, навсегда изменившей математику. Кантор начал процесс абстрагирования, характерной чертой которого стало появление неконструктивных доказательств существования тех или иных объектов. Иными словами, после Кантора математики начали признавать существование тех или иных математических объектов, даже когда было неизвестно, как эти объекты можно построить. Кульминацией достижений Кантора стало создание теории множеств, которую Давид Гильберт, наиболее влиятельный математик того времени, назвал «раем для математиков».

Падение гения

Георг Кантор был чрезмерно активным, энергия в нем била через край и, возможно, поэтому он был эмоционально нестабильным. В середине 1884 года, почти в сорок лет, математик пережил первый приступ депрессии, который длился приблизительно два месяца и прекратился так же внезапно, как и начался. С того времени Кантор, который сам по себе испытывал тягу к мистицизму, стал еще более эксцентричным. Он перестал уделять математике основное внимание и обратился к другим, сомнительным исследованиям. В результате он заключил, что Фрэнсис Бэкон был истинным автором произведений Шекспира, а Иосиф Аримафейский — отцом Иисуса Христа. Кантор еще не раз страдал от нервных приступов, особенно после 1899 года. В результате каждые два-три года его помещали в психиатрическую лечебницу с диагнозом «мания преследования» и «маниакально-депрессивный психоз». Даже новость о присуждении наград и премий застала его в психиатрической больнице университета Галле.

В математическом фольклоре причиной нервных приступов Кантора считается его неустанная борьба с бесконечностью. Действительно ли это так? Конечно, положительный ответ сделал бы наш рассказ более драматичным. Возможно, определенный вклад в утверждение этой точки зрения, сам того не осознавая, внес Бертран Рассел.

Кантор впервые посетил Великобританию в сентябре 1911 года, будучи приглашен на торжество по случаю пятисотлетней годовщины Сент-Эндрюсского университета в Шотландии. Затем он написал Расселу несколько писем с предложением встретиться, однако встреча не состоялась. В автобиографии Рассела, опубликованной в 1967–1969 годах, упоминаются эти два письма и несколько эксцентричное поведение Кантора, которое, возможно, было вызвано тем, что он впервые ступил на землю Шекспира и Бэкона. Рассел писал: «Георг Кантор был, по моему мнению, одним из величайших умов XIX столетия […] Прочитав следующее письмо, я не удивился, узнав, что он провел большую часть жизни в сумасшедшем доме». Британский историк математики Айвор Граттан-Гиннес, один из первых, кто усомнился в том, что причины болезни Кантора были связаны с математикой, в 1971 году писал: «Два письма Кантора были в высшей степени беспорядочными. Почерк, которым они написаны, говорит нам о личности ученого еще больше. В этих письмах мы видим проявления многих черт его характера, особенно заметных, когда он находился в возбужденном состоянии. Письма написаны изящным почерком, а строки поднимаются вверх. Они не только продолжаются на полях, что было типично для Кантора — на одной из страниц второго письма Кантор пишет сверху вниз поверх других строк, расположенных слева направо. Фрагмент письма написан даже на обратной стороне конверта».

* * *

Самый известный вариант картины «Крик» Мунка (1893) хранится в Национальной галерее Осло, откуда она была украдена в 1994 году и возвращена в 2006 году.

* * *

Фотография Кантора, сделанная в 1917 году, когда ученому было 72 года, незадолго до того, как он был помещен в психиатрическую больницу Гэлле, где и умер спустя несколько месяцев.

Весьма вероятно, что заболевание Кантора было наследственным, однако это не означает, что нервный срыв приблизили напряженные отношения с коллегами или борьба с бесконечностью. Причиной болезни могли стать и другие трагические события в жизни ученого, например смерть младшего сына Рудольфа, который умер в возрасте 13 лет.

В мае 1917 года Кантор против своей воли вновь был помещен в психиатрическую больницу университета Галле. Граттан-Гиннес пишет: «Война привела к недостатку продовольствия, Кантор похудел и страдал не только от усталости и болезней, но и от голода […] На Новый год Кантор отправил жене последние сорок листов календаря за предыдущий год, давая понять, что прожил эти дни, однако 6 января он внезапно скончался от сердечного приступа. Смерть была быстрой и безболезненной. Он был похоронен в Галле рядом с сыном Рудольфом».