Три дня в Карликании

Простота…

Проснувшись утром, мы обнаружили, что Сева исчез. Так как все знали его непоседливый характер, никто не стал особенно беспокоиться.

Мы были правы. Через некоторое время он прибежал огорчённый: Нулик так и не нашёлся!

Сева нарочно встал пораньше, чтобы разузнать в городе о пропавшем малыше.

— Давайте сразу же после завтрака отправимся на поиски, — предложила Таня.

— Верно! — обрадовался Сева. — Я слышал, в Карликании есть какое-то местечко. Называется Рим.

— Почему — местечко? Рим — это город, он в Италии, — сказала Таня.

— В Италии один Рим, а в Карликании другой! — отрезал Сева.

— Рим — древнее государство, — сказал Олег. — Его уже давно не существует, а вот остатки Рима, наверное, сохранились здесь.

Я слушал, не вмешиваясь в разговор. Сева спросил меня:

— Не попал ли Нулик в Рим?

— Он не мог туда попасть, — ответил я, — ему там совершенно нечего делать.

— Почему вы знаете?! — кипятился Сева. — Искать — так всюду.

— Ну что ж, я не прочь, — согласился я. — Кстати, познакомимся с обитателями этого «местечка».

Мы пересекли Числовую площадь, прошли кусочек Автоматической улицы и свернули налево.

Перед нами была бесконечная аллея. У входа в неё сидел старый-престарый карликан и смотрел в телескоп.

— Не видно, опять не видно… — бормотал он себе под нос.

— Чего не видно? — заинтересовался Сева. — Дайте мне взглянуть. Может быть, я увижу.

— Ну как же вы можете увидеть то, чего не видно? Не видно конца! Ещё только вчера я заметил в самом конце аллеи огромнейшее число и подумал: «Ну вот, теперь всё. Дальше ничего не может быть». А сегодня взглянул: за тем числом ещё число, да больше вчерашнего!

— А что это за число? — спросила Таня.

— Так вам сразу и объясняй! Какие прыткие! Лучше пройдитесь по этой аллее и глядите во все глаза. Может быть, тогда и поймёте. Может быть!… — И старый ворчун уткнулся в свой телескоп.

Мы пошли по левой стороне аллеи и вдруг услышали команду:

— По порядку номеров ра-а-а-ассчитайсь!

— Это что же, утренняя перекличка? — спросил Сева.

Стоящие по левую сторону числа стали выкрикивать:

— Два, три, пять, семь, одиннадцать, тринадцать…

Голоса становились всё глуше, уходя вдаль.

— Это уже не порядок, а беспорядок номеров, — заметила Таня.

Однако числа называли себя точно в той последовательности, в какой они стояли:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 и так далее.

— Что за сумасшедшие числа? — недоумевал Сева.

— Сами вы сумасшедшие! — возмутился старый карликан. — Да ещё и невежды. Неужели вы не прочитали надписи при входе?

— Нет, — растерялся Сева.

— Ведь это же аллея Простых Чисел! Поняли?

— А что такое простые числа?

— Посмотрите направо, — сказал карликан, — может быть, это прояснит вам мозги.

По правую сторону аллеи стояли совсем другие числа: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27 и так далее.

— Это как раз те числа, — сказала Таня, — которых недостаёт на левой стороне аллеи.

— А им туда нельзя! — захихикал карликан. — Это же составные числа, а не простые.

— Зачем же их здесь держат?

— У меня, кажется, начинает болеть печень от ваших нелепых вопросов! Разве вы не видите, что над вами? Нельзя смотреть только под ноги, иногда не мешает и наверх поглядеть.

Мы подняли головы.

— Волейбольная сетка! — ахнул Сева.

В самом деле, над всей аллеей была натянута гигантская сетка.

— Опять вы сказали чепуху! — рассердился карликан. — При чём здесь волейбол? Это вам не игрушки! И там вовсе не сетка, молодой человек, а решето!

— Решето?! Что же через него просеивают?

— Числа! Числа просеивают!! — закричал карликан, потеряв всякое терпение. — Посмотрите, как их основательно перетряхивают! Всякие отходы, вроде составных чисел, проваливаются сквозь решето, и их отводят на правую сторону аллеи. А в решете остаются в самом чистом виде наши драгоценные, наши ненаглядные простые числа. Их бережно, по порядку расставляют по левую сторону аллеи. Посмотрите, не правда ли, они очаровательны? — растрогался он вдруг.

Ребята из вежливости покивали головами, хотя никто из них никакого очарования в простых числах не находил.

К счастью, в это время нас догнала верная Четвёрка с бантиком. Все шумно обрадовались.

— Какой злой старикан! — пожаловался Сева. — Только и делает, что ворчит…

— Что вы! — рассмеялась Четвёрка. — Самый добрый карликан во всём государстве! Просто он не любит это показывать. Но не стоит отвлекать старика от работы. Я сама вам всё расскажу.

Мы с удовольствием уселись на скамью. И Четвёрка с бантиком начала свой рассказ:

— Давным-давно люди заметили, что есть такие числа, которые никого, кроме самих себя, не признают. Ни на какое другое число, кроме себя, они не делятся. И делают исключение только для единицы. И то только потому, что это деление на них никак не отражается: после деления на единицу они остаются такими же, какими были прежде. Вот эти-то числа люди и назвали простыми, хотя не так. Просто найти их среди других. Более двух тысяч лет назад в Греции знаменитый математик Эратосфен придумал очень остроумный способ выискивать простые числа. Он предложил для этого применять особое решето, сквозь которое все ненужные числа будут просеиваться, а все нужные — простые — оставаться.

— Совсем как промывают золото, — сказал Олег. — Песок уходит, а золото остаётся.

— Прекрасное сравнение! — воскликнула Четвёрка. — Простые числа — это действительно наше золото. Итак, — продолжала она, — чудесное решето назвали решетом Эратосфена. Теперь посмотрим, как оно действует. Давайте запишем все числа, начиная с двойки, до…Впрочем, «до» я сказала не подумав. Ведь числам нет конца. Итак, расставим числа, начиная с двойки, по порядку:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 и так далее.

Такой ряд чисел называется натуральным рядом. Выбросим из этого ряда те числа, которые наверняка не являются простыми, то есть делятся не только на себя, но и на другие числа. Сперва отсеем числа, которые делятся на два. Какие это числа?

— Я знаю, — сказала Таня. — Все чётные числа делятся на два.

— Верно. Отсеем все чётные числа, кроме двойки, и тогда останется вот что:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41 и так далее.

Теперь отсеем все числа, которые делятся на три.

Это 6, 9, 12, 15, 18, 21… Но все чётные — 6, 12, 18… — мы уже раньше отбросили. Что же теперь останется в ряду? Вот что:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53…

Видите, всё меньше и меньше остаётся составных чисел в решете.

А дальше выбросим все числа, которые делятся на пять, потом те, что делятся на семь… Так постепенно из ряда натуральных чисел будут выбывать составные числа и оставаться простые, то есть те, которые делятся только сами на себя и на единицу.

Теперь мы уже знаем очень много простых чисел.

Вот первые из них:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…

Эти-то числа, как видите, и стоят на левой стороне аллеи.

— Очень просто! — заявил Сева. — Я дома тоже устрою такую аллею и выпишу все-все простые числа…

— Не торопитесь, — перебила его Четвёрка. — Это не так легко: выписать все простые числа. Ведь чем больше число, тем сложнее определить — простое оно или составное. Если бы мы знали, в каком порядке они следуют друг за другом, это было бы замечательно! К сожалению, никто ещё до сих пор этот порядок установить не сумел. То простые числа стоят совсем рядом, их тогда называют близнецами, то между двумя ближайшими простыми числами образуется огромное расстояние, и оно сплошь заполнено составными числами. Люди очень далеко прошли по этой аллее, они знают множество простых чисел, и всё-таки не все!

— А может быть, дальше и нет ни одного простого числа? — усомнился Сева.

— Нет! Не может быть! — ответила Четвёрка. — Уже давным-давно один великий учёный, тоже грек, Эвклид, предшественник Эратосфена, доказал, что конца простым числам нет. Вот почему так озабочен наш добрый карликан! У него очень много дела. Только вчера в конце аллеи он увидел огромное простое число, а сегодня за этим числом стоит ещё большее: 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727. А завтра, может, появится новое, если люди его вычислят. И так без конца. Есть отчего потерять голову. И говорить об этом тоже можно без конца… Давайте-ка лучше займёмся поисками бедного Нулика, — закончила свой рассказ Четвёрка.

— А мы как раз идём для этого в Рим, — сказал Сева.

— За Нуликом в Рим?! — удивилась Четвёрка. — Его там не может быть!

— А мы всё-таки пойдём! — упорствовал Сева.

— Как вам будет угодно! — согласилась наша проводница. — Желание гостя для нас закон.

…И совершенство

Мы свернули на маленькую улочку.

— Какая прелестная улица! — захлопала в ладоши Таня.

— Но это же улица Совершенства, — пояснила Четвёрка. — Здесь живут очень немногие числа. Но зато все они совершенные. Их так и зовут — совершенные числа. В отличие от простых, они-то уж обязательно делятся на всякие другие числа.

— Значит, они составные? — спросила Таня.

— Безусловно, составные. Но особенные. Совершенные числа равны сумме тех чисел, на которые делятся. Разумеется, кроме самих себя. Возьмём совершенное число — 6. На какие числа делится это число? На 1, на 2 и на 3. Теперь сложим эти три числа:

— Изумительно! — воскликнула Таня.

— Или вот другое совершенное число — 28, — продолжала Четвёрка. — Помните, какие у него младшие делители?

— Помним, — ответила Таня. — 1, 2, 4, 7 и 14.

— Сложите их:

— Здорово! — закричал Сева.

— Ага! — догадался Олег. — Значит, совершенные числа равны сумме всех своих младших делителей.

— Молодец! — похвалила Четвёрка.

— А много ли на этой улице совершенных чисел? — поинтересовался Сева.

— К сожалению, — сокрушённо вздохнула Четвёрка, — всего двадцать четыре: 6, 28, 496, 8 128, 130 816… Дальше они растут всё быстрее и быстрее, а вычислять их всё сложнее и сложнее. Эта улица только ещё заселяется. Если вам доведётся найти новое совершенное число, скажите ему, что здесь его ждут с нетерпением.

— Никогда не думал, что в Карликании так много интересных чисел, — задумчиво сказал Сева.

— Ах, это только малая крупица наших богатств! — с гордостью ответила Четвёрка. — Многим не хватает жизни, чтобы познакомиться со всеми. Вот, например, недалеко отсюда живут неразлучные друзья. Они так любят друг друга, что делятся всем, что имеют. Это числа 220 и 284. Они замечательны тем, что каждое из них равно сумме младших делителей другого. Какие делители у числа 284? 1, 2, 4, 71, 142. А у числа 220 делители: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Попробуем сложить делители каждого числа:

Вот почему эти числа называются дружественными.

Недаром знаменитый греческий математик Пифагор сказал: «Друг — это второе я!» — и при этом сослался на числа 220 и 284.

А ведь таких чисел-друзей много!

Тут завязался разговор о дружбе, о верности. И мы не заметили, как очутились за городом.

Развалины Рима

Мы шли довольно долго, пока наконец на холме не показался Рим. Он был окружён древними полуразрушенными крепостными стенами. Под ними находился ров, некогда наполненный водой, а теперь высохший и густо заросший сорными травами. Шаткий деревянный мост был поднят. Покосившиеся ворота заперты. Их охраняла дряхлая волчица.

— Здешние римляне утверждают, — не без юмора сказала Четвёрка, — что это прапрапраправнучка той самой волчицы, которая вскормила двух близнецов: Ромула и Рема — основателей древнего Рима.

— Смотрите, смотрите, — закричал Сева, — у них на башне гусь!

— Может быть, и это прапрапраправнук тех гусей, которые Рим спасли? — предположила Таня, с интересом рассматривая забавный флюгер.

— Как это гуси могли Рим спасти? — возмутился Сева.

— Очень просто, — ответил Олег. — Гуси загоготали как раз тогда, когда враги подобрались к спящему городу. Воины проснулись и прогнали неприятеля.

Мы с опаской подошли ко рву. По правде говоря, нас смущала волчица.

— Не бойтесь, — улыбнулась Четверка, — она уже давно никого не трогает.

И действительно, волчица широко раскрыла пасть и… зевнула.

В городе нас, очевидно, заметили. Из широкой щели в воротах выглянула и тотчас же скрылась какая-то тощая фигурка, похожая на спичку. Следом за ней стали высовываться другие спички.

Через некоторое время на башне показалась спичка с какой-то длинной трубой. Она приложила её ко рту, и… из трубы вылетели две перепуганные мышки. Послышались хриплые звуки, напоминающие рёв осла.

Вслед за этим с невероятным скрипом и скрежетом медленно опустился мост через ров — точь-в-точь древний старик, суставы которого срослись от долгой неподвижности.

Между тем за воротами происходила странная возня. Похоже было, что огромным ключом пытаются открыть ржавый замок, но это никак не удаётся.

Но вот ветхие петли не выдержали — ворота, так и не раскрывшись, плашмя упали на землю, и мы увидели большую площадь.

Сквозь каменные плиты пробивалась трава. На нас пахнуло запахом плесени и запустения.

— Ничего не поделаешь — древность! — вздохнул Сева. Но что это?

Из-за поворота показалась четвёрка полудохлых лошадей, тащившая весьма странное сооружение на двух огромных вихляющихся колёсах. По обе стороны этой развалюхи выстроились целые полчища спичек, охранявшие своего предводителя — старичка, повисшего на костылях. Его скрюченные подагрой ноги касались друг друга носками. Вся его нелепая фигура напоминала букву «М».

Старик обратился к нам с длинной, высокопарной речью на латинском языке, из которой мы поняли только, что нас приглашают войти в город.

— Идите, — сказала Четвёрка, — а я подожду вас здесь.

— Как, вы нас покидаете? — огорчились ребята.

— Лучше мне туда не ходить, — пояснила Четвёрка. — Римляне не любят жителей Арабеллы. Они нам завидуют. Люди мало пользуются римскими цифрами, а мы всегда нарасхват.

Мы вошли в город. Он был запущенный и бедный.

— Я-то думала, что мы увидим Колизей, — сказала разочарованно Таня, — гладиаторов, львов, а тут…

Сразу же выяснилось, что римляне не умеют говорить на нашем языке. Они засуетились и стали искать переводчика. Он у них был только один, и его никак не могли добудиться.

Наконец привели заспанную спичку, которая долго зевала. Это и был переводчик.

После многих церемоний, сопровождавших знакомство, Сева наконец задал самый главный вопрос:

— Нет ли у вас Нулика?

— Повторите, пожалуйста, ещё раз, — попросил переводчик. — Я не расслышал!

— Я спрашиваю: нет ли у вас Нулика?

Переводчик пренебрежительно усмехнулся:

— Какого Нулика? Вы, наверное, говорите о том маленьком кружочке, который неизвестно для чего живёт в Арабелле и ровно ничего из себя не представляет? Нет, нет, у нас нет нуликов! Они совершенно бесполезны. Кроме того, никогда не разберёшь, где у них начало, а где конец. Мы, римляне, признаём только прямые линии. Это очень удобно. Сразу видно, где ноги, где голова.

— Как же вы составляете числа, например десять, сто, если у вас нет нуликов?

— Всё это можно изобразить одними палочками.

— Даже большое число?

— Даже большое. Смотрите.

Переводчик хлопнул в ладоши, и стоявшие на площади спичечные воины мгновенно образовали несколько правильных рядов.

— Как физкультурники на стадионе, — заметил Сева.

— Каждый из этих воинов, — пояснил переводчик, — единица. Ничего более. Но из этих единиц я могу составить всё, что угодно. Сейчас я заставлю их превратиться в двойки. Раз, два! — скомандовал он.

На площади произошла перегруппировка. Все спички расположились парами.

— Теперь вы видите перед собой число два. Прошу дальше. Раз, два, три!

Не успели мы глазом моргнуть, как в каждом ряду стояло по три спички.

— Вот вам и число три, — сказал переводчик.

— А четыре? — спросила Таня.

— Сначала познакомьтесь с нашей пятёркой, — таинственно ответил переводчик и снова подал команду.

Спички опять перегруппировались по две, вплотную придвинулись друг к другу и отклонились в стороны.

Мы увидели фигуру, которую у нас обычно называют галочкой, — V.

— Теперь нетрудно получить и четвёрку и шестёрку, — продолжал переводчик. — Поставим палочку слева от пятёрки, получим четыре — IV, поставим её справа, получим шесть — VI.

— Значит, всё дело в том, — догадалась Таня, — чтобы из пятёрки либо вычесть единицу, либо прибавить. Если единица слева, значит, её надо вычесть, если справа — надо прибавить.

— Понимаю! — воскликнул Олег. — Если приставить к пятёрке справа две палочки, будет семь, а три палочки — восемь.

— Мы так и поступаем. Видите, как просто, — с гордостью сказал переводчик.

— Тогда я знаю, как получить девятку, — заявил Сева. Переводчик посмотрел на него насмешливо:

— Уж не собираетесь ли вы для этого прибавить к пятёрке четыре палочки? Эту ошибку делают многие. Между тем девятку у нас изображают по-другому. Ведь она стоит ближе к десятке, чем к пятёрке. Значит, проще поставить единицу слева от десятки — вот вам и девятка!

— Но как у вас изображают десятку? — поинтересовался обескураженный Сева.

Переводчик подал знак, и птички-спички превратились в ловких акробатов. Одни пятёрки перевернулись и стали кверху ногами, другие легко вскочили на них — X.

— Здорово! — воскликнул Сева.

— Красиво и просто! — подтвердил переводчик. — А дальше наше обычное правило: единица слева — девять, IX; единица справа — одиннадцать, XI. Потом XII, XIII, XIV, XV, XVI… Затем две десятки — двадцать, XX; три десятки — тридцать, XXX…

— Четыре десятки — сорок, — в тон ему продолжал Сева.

— Стоп! — сказал переводчик. — Я забыл вам сообщить, что, кроме палочек, у нас имеются четыре латинские буквы: М, D, С и L. М — это тысяча и, как самое большое число, наш предводитель. Его помощники: D — пятьсот, С — сто и L — пятьдесят. Итак: сорок — это пятьдесят минус десять. Значит, изображается это так: XL. Допустим, вы хотите получить число 1663… — Переводчик низко поклонился, вызывая нужные буквы.

Ждать пришлось довольно долго: престарелые пенсионеры передвигались медленно. С трудом образовали они задуманное число: MDCLXIII.

— Как видите, мы прекрасно обходимся без Нулика! — ехидно заметил переводчик.

— По-моему, это очень долго и неудобно, — сказала Таня. — Теперь я понимаю, почему люди больше вами не пользуются.

— Ошибаетесь, — ответил переводчик, покраснев от негодования. — Не далее как вчера нас вызвали на девяностолетний юбилей вашего уважаемого учёного. Мы целый вечер красовались над столом президиума — ХС — и слушали длинные похвальные речи в адрес юбиляра. При этом сам юбиляр часто поглядывал на свои фамильные часы, где на циферблате были только римские цифры. Потом учёному преподнесли роскошное издание его трудов. И что же вы думаете? Все главы были обозначены только римскими, слышите — римскими цифрами!

— Ну, для юбилея вы ещё можете пригодиться, — заметила Таня, — но производить сложные вычисления с вами очень неудобно. Ведь вас даже нельзя столбиком ни сложить, ни перемножить, я уж не говорю о делении. Как вы это делаете?

Переводчик притворился, что не расслышал Таниных слов. На него снова напала нервная зевота.

Больше осматривать в этом городе было нечего, и мы покинули его, довольно холодно распрощавшись.

Очевидно, все на нас обиделись, потому что даже волчица отвернулась, когда мы спускались по мостику, а у гуся был надутый и рассерженный вид.

У ворот нас поджидала Четвёрка с бантиком.

— Какая вы красивая! — обняла её Таня. — И какие противные эти обгорелые спички!

— Значит, вам там не понравилось? — просияла Четвёрка. — Я, признаться, этому очень рада. И всё же не стоит с ними ссориться. Они ещё будут попадаться на вашем пути.

— С меня довольно и арабских цифр! — сказал Сева. — Не понимаю, зачем это люди навыдумывали какие-то другие?

— Свои цифры были у многих народов, — ответила Четвёрка, — большинства из них вы теперь уже нигде не встретите,

— Что это за цифры? Какие они были? — заинтересовалась Таня.

— Хотите посмотреть?… Тут неподалёку ведутся археологические раскопки. Может быть, и нам попадётся что-нибудь интересное?

— А может быть, именно там и прячется Нулик? — предположили ребята.

— Увы! — вздохнула Четвёрка. — Там его тоже не может быть. И всё же пойдёмте хоть ненадолго. Это очень любопытно.

Мы с восторгом согласились — ведь это была наша первая археологическая экспедиция.

Интересные находки

Идти было нелегко. То и дело попадались огромные ямы, возле которых громоздились насыпи щебня и земли. Всюду мы видели трудолюбивых, как муравьи, карликан. Они копались в земле с таким удовольствием, точно это был не тяжёлый труд, а весёлая игра. Ещё бы! Разве не интересно восстанавливать прошлое своего государства по ржавым и замшелым останкам старины, пролежавшим в земле тысячелетия!

Мы остановились у одной из таких ям и с любопытством наблюдали за работой. Как раз в это время степенный карликан вытащил из кучи земли какие-то маленькие вещицы.

— Ой, какие хорошенькие брошечки! — закричала Таня. Она ведь недаром была девочка.

Карликан улыбнулся:

— Как вы сказали? Брошечки? Такими брошками в Древнем Египте изображали слова. Называются они иероглифами. Когда-то иероглифы были очень сложными, потом упрощались, но становилось их всё больше. Иероглифами стали обозначать и числа.

— Да! — Сева задумчиво почесал затылок. — Если бы иероглифами ставили отметки в дневнике! Мама никогда бы не догадалась, что я плохо отвечал!

— Для этого вам надо поехать в Египет, — улыбнулся карликан.

— Или в Китай, — добавил другой карликан, стоявший рядом. — Там тоже сохранились иероглифы.

И он показал нам китайские иероглифы, изображающие первые десять чисел:

— Но самые забавные иероглифы были всё же в Древнем Египте, — сказал первый карликан, протягивая нам какой-то обломок.

— Птичка! — в восторге закричала Таня.

— Эта птичка у египтян обозначала число сто тысяч. А вот этот человечек, — он показал другой обломок, — означает миллион.

— Какой ужас! — вздохнул Сева. — Не завидую египетским школьникам! Тут с арабскими-то цифрами не всегда справляешься, а уж им, наверное, совсем туго приходилось.

Мы поблагодарили карликан и отправились к следующей группе археологов.

Мы уже были совсем близко от них, когда Сева споткнулся о какую-то железку. Он вытащил её из земли и стал рассматривать, как заправский исследователь.

— Посмотрите, какая интересная закорючка!

— Это вовсе не закорючка, — вежливо сказала Четвёрка, взглянув на его находку. — Это титло.

— Вы хотите сказать, титул, — поправил Сева. — До революции титулы давали всяким богатым людям — граф, барон…

— Почти так! — засмеялась Четвёрка. — Древние славяне отмечали титлом буквы. Когда над буквой ставили титло, буква превращалась в число.

— Выходит, Сева прав, — сказал Олег. — Буквам давались титулы. Только титулованные буквы становились не графами и не баронами, а числами.

— Посмотрите на эту табличку, — сказал слышавший наш разговор карликан. — Здесь изображены славянские буквы с титлами. Под каждой написано название буквы и числа, которое она обозначает.

— А как же записать числа, которых здесь нет? — спросила Таня. — Например, двенадцать?

— Я знаю, — сказал Сева, — десять и рядом два. Вот так:

— Как раз наоборот, — возразила Четвёрка, — сперва два, а уж потом десять. И читалось это так: два на десять. Интересно, что этот порядок чтения чисел сохранился до наших дней: двенадцать, пятнадцать — несмотря на то, что пишем мы сначала десятки, а потом единицы.

— Таким способом писать маленькие числа, может быть, и легко, — сказал Сева, — а как написать большое число?

— А вот как, — вмешался в разговор карликан и показал несколько одинаковых позеленевших медных значков:

Этим значком обозначалась тысяча. Значок ставили впереди числа тысяч.

Например,

обозначает двадцать,

а вот так — это уже двадцать тысяч. Два таких значка обозначают тысячу тысяч, то есть миллион. Вот это уже двадцать миллионов.

— Но должна заметить, — сказала Четвёрка, — что древние славяне не знали чисел больше тысячи. А когда они познакомились с числом десять тысяч, оно показалось им таким огромным, что его стали называть тьмой.

— Оттуда, наверное, и пошло, — сказал Олег, — выражение тьма-тьмущая. Это когда чего-нибудь очень много!

— Так много, что в глазах темно, — добавила Таня.

— Потом, однако, — продолжала Четвёрка, — славяне научились считать и больше чем до десяти тысяч. Сперва дошли до миллиона и стали уже его называть тьмой:

— А потом дошли до миллиона миллионов. Это у них был легион.

— А дальше?

— А дальше пошёл легион легионов — леодр.

— А леодр леодров они знали?

— Знали и называли его вороном.

— Прямо как птицу, — засмеялся Сева.

— Это понятно, — вставил Олег, — ворон чёрный, темнее тьмы.

— А как назывался у них ворон воронов?

— А такого у них и не было, — ответила Четвёрка. — Больше ворона, говорили они, несть уму разумети.

— Значит, дальше — стоп! — сказал Сева.

— Не совсем, — ответила наша провожатая. — В одной рукописи было найдено число побольше ворона — десять воронов. И называлось это число колода.

И в той рукописи сказано: «Того числа несть больше».

— Значит, об эту колоду они споткнулись и дальше не пошли, — заключил Сева.

— А мы пойдём дальше, — улыбнулась Четвёрка.

По дороге нас ожидала ещё одна приятная неожиданность.

У Олега развязался шнурок на ботинке. Он нагнулся, чтобы его завязать, и заметил, что стоит на глиняной плите. Он счистил с неё слой земли. И все увидели, что плита покрыта множеством довольно глубоких чёрточек-клинышков.

— Это, наверное, какая-то древняя письменность, — решил Олег.

— Вы не ошиблись, — ответила Четвёрка. — Это клинопись. Так писали в Древнем Вавилоне. Маленькими заострёнными палочками вавилоняне выдавливали свои письмена на мокрой глине, а потом обжигали глиняные плитки на ярком солнце. Палочками трудно было писать замысловатые фигуры. Поэтому вавилонские письмена состояли из маленьких клинышков.

— Скажите, — спросил Сева, — в Вавилоне тоже писали числа буквами?

— Нет, — ответила Четвёрка, — у вавилонян, в отличие от славян, существовали цифры, с помощью которых они записывали числа. Цифры изображались в виде тоненькой палочки с маленьким треугольничком наверху:

— Совсем как гвоздик! Со шляпкой!

— Действительно, похоже на гвоздик, — согласилась Четвёрка. — Только у гвоздика одна шляпка, а у цифр могло быть много. Вот как писались девять вавилонских цифр:

— Смотрите, у девятки целый шляпный магазин! — обрадовалась Таня.

— Их очень легко сосчитать, эти шляпки, — сказал Олег.

— Это потому, что их не больше девяти. А вот сорок треугольников, пожалуй, и не сосчитаешь, — ответил Сева.

— А зачем же надо считать сорок треугольников? — удивилась Четвёрка. — Ведь для цифры десять у них был другой, простой знак. Вот такой:

Если нужно было написать двадцать, выдавливались два таких знака. А двадцать четыре писали, как и мы сейчас, — сперва число десятков, а затем число единиц. Вот так:

— Да это и в самом деле проще иероглифов, — обрадовался Сева.

— Это не только проще, но это уже похоже и на наш способ написания чисел. Справа единицы, а за ними десятки, потом сотни… Словом, все цифры становятся на свои позиции, как в строю. Потому этот способ и называется позиционным.

— Значит, мы записываем числа позиционным способом? — спросила Таня.

— Конечно, — ответила Четвёрка. — И начало этому положено в Вавилоне.

— Понимаю, — добавил Сева, — у нас счёт вавилонский…

— Вот и неверно, — остановила его Четвёрка. — Счёт у нас не вавилонский, а свой, особенный. Ведь мы считаем по десятичной системе, а у вавилонян была шестидесятиричная!

— Это как же так? — спросил Сева.

— А вот как: возьмём какое-нибудь число, ну, например, 3662. В нашей системе двойка здесь обозначает число единиц, за ней стоит шестёрка — это число десятков, а следующая шестёрка — число сотен, наконец, тройка — число тысяч.

Значит, это число можно бы написать и так:

А у вавилонян всё совсем по-другому. Если бы они знали арабские цифры, они бы это число записали так:

По их системе двойка, как и у нас, остаётся числом единиц — первый разряд. А вот стоящая слева от неё единица — это не число десятков, а число шестидесятков — второй разряд. А следующая единица — уже число 60 x 60 = 3600 — третий разряд. Заметьте, что между разрядами нужно обязательно оставлять свободное место, иначе можно легко запутаться, что, кстати, частенько случалось.

Таким образом, наше число по вавилонской системе выглядело бы так:

Вот как они считали, — закончила Четвёрка.

— Ой, как трудно! Хорошо, что у нас так никто не считает! — воскликнула Таня.

— Ошибаетесь, — поправила её Четвёрка. — Вы тоже считаете так… иногда.

— Я? Никогда!

— А я вам сейчас напомню. Скажите, пожалуйста, сколько в часе минут?

— Минут? Шестьдесят.

— Так. А сколько в часе секунд?

— Сейчас скажу. Шестьдесят на шестьдесят… Три тысячи шестьсот, — сосчитала Таня.

— Вот видите. Вы же делите часы и минуты не на десять частей, а на шестьдесят! Значит, и вы считаете по шестидесяткам!

Таня только руками развела:

— Вот не знала, что у нас осталось что-то от Древнего Вавилона!

Музей Пушкина

— Где мы только не побывали сегодня! — задумчиво сказал Олег, когда мы возвращались в Арабеллу. — И в Риме, и в Китае, и в Египте, и у древних славян, и в Вавилоне, а Нулика так нигде и не нашли.

— Выходит, мы с вами были правы, — лукаво улыбнулась мне Четвёрка. — Но не беспокойтесь, друзья! Нулика мы обязательно найдём! На всякий случай заглянем в музей Пушкина.

— Как, у вас есть музей Пушкина? — изумились ребята. — Поэт в Арифметическом государстве? Какое он имеет к вам отношение?

— Пушкин был очень разносторонним человеком, — возразила Четвёрка. — Он прилежно изучал историю, любил музыку и интересовался нами, жителями Арабеллы.

В это время мы подошли к небольшому дому, украшенному портретом великого поэта.

Четвёрка с бантиком ввела нас в комнату, где не было ничего, кроме странного рисунка, висевшего на стене.

— Этот рисунок взят нами из рукописей Александра Сергеевича, — продолжала Четвёрка. — Дело в том, что с давних пор люди ломали головы над тем, откуда взялось начертание арабских цифр. Существует много всевозможных догадок. Пушкин тоже предложил свой остроумный домысел, который нам очень понравился. Он решил, что все десять арабских цифр, включая нуль, помещаются в этом магическом квадрате. Чтобы легче разобраться в его рисунке, взгляните сюда.

Четвёрка достала большую папку, которой мы вначале не заметили. Там было десять листов. На каждом — всё тот же рисунок, но всякий раз жирная линия обрисовывала новую фигуру, в которой мы без особого труда узнавали какую-нибудь из наших цифр. Только пятёрка немного подгуляла — у неё не хватало хвостика.

Четвёрка с бантиком объяснила, что в древние времена у пятёрки хвостика не было. Он вырос несколько позже.

— Интересно! — сказал Олег. — Но можно ли считать, что предположение Пушкина верно?

— Многие его оспаривают. Но нам, арабелльдам, оно по душе. Приятно сознавать, что ты вышел из магического квадрата!

— Здесь даже и нуль квадратный, — подхватил Сева.

— А нашего Нулика так и не видно, — сокрушённо вздохнула Таня. В это время мы услышали звон старинных часов. Било двенадцать.

— Ай-ай-ай! — заторопилась Четвёрка. — Через час начнётся диспут, и я в нём участвую. Надо спешить.

— Что за диспут? — полюбопытствовал Сева.

— Очень важный диспут в Клубе любителей поспорить. По всему городу развешаны объявления. Разве вы не видели?

— Мы тоже хотим пойти! — решительно заявили ребята.

— Буду очень рада! — любезно поклонилась Четвёрка. — Вы ведь тоже можете принять участие в споре.

— А о чём спор?

— О том, что больше: 4/7 или 2/3. У нас, оказывается, ещё не все это знают.

И мы отправились в клуб.

Любители поспорить

Зал был набит до отказа.

На помосте стоял большой судейский стол и два маленьких — по бокам. Справа и слева находились площадки, похожие на вышки в бассейне.

Прозвенел звонок, и на сцену поднялись трое судей в красных мантиях.

Главный Судья поднёс к губам рупор и начал:

— Любители поспорить! Открываем наш очередной, два миллиона четыреста сорок первый спор. Его затеяли вчера наши младшие школьники. Спор, начатый в классе, продолжался на улице. У противников появились синяки и шишки. Учительница не сумела справиться с драчунами. И вот мы, любители поспорить, получили приятную возможность перенести этот спор в наш клуб. Да здравствуют спорщики! Что бы мы без них делали? Итак, перехожу к существу: одни утверждают, что дробь 4/7 больше дроби 2/3. Другие, сами понимаете, доказывают обратное. Попрошу капитанов обеих команд занять свои места.

На сцену поднялись две карликанские школьницы — Единица и Пятёрка. Они сели за маленькие столики.

В зале зашумели, засвистели, захлопали.

— Не подкачай, Пятерка! — кричали одни.

— Держись, Единица! — кричали другие.

— Тишина! — крикнул Главный Судья. Зал нехотя затих. — Для полной наглядности прошу обе дроби, послужившие причиной спора, подняться сюда.

Четверо карликан, среди которых была и наша Четвёрка с бантиком, заняли места на боковых площадках, образуя дроби:

4/7 и 2/3.

«Слово предоставляется Единице», — загремел рупор.

Единица встала, поклонилась судьям и заговорила:

— Утверждаю со всей ответственностью, что 4/7 больше, чем 2/3. (Свист, аплодисменты.) Нечего свистеть! У меня имеется веское доказательство. Вот оно.

Единица подняла над головой палку и угрожающе помахала ею в воздухе. (Шум, оживление в зале.) Потом она подошла к первой дроби и поставила палку рядом с ней.

— Вы видите, — сказала Единица, — эта палка доходит Четвёрке до самого бантика. А теперь измерим вторую дробь… Ага, что я говорила? Палка намного выше верхней цифры 2!

— Это потому, что я сегодня в тапочках! — обиженно пискнула Двойка.

И опять смех, свист, аплодисменты.

С трудом успокоив публику, Главный Судья предоставил слово Пятёрке.

— Не знаю, против чего я должна возражать, — спокойно начала она. — Если мой противник не смеётся над нами, то он, очевидно, глуп.

— Прошу записать в протокол, что меня оскорбили! — заявила Единица.

— Призываю вас к порядку, Пятёрка, — сказал Главный Судья.

— Великий Судья, — обратилась к нему Пятёрка, — разве дроби измеряют палками? Ведь одни школьники пишут большие цифры, другие — маленькие. Если цифры измерять по росту, то Девятка может оказаться меньше Нулика.

— Ах, вам не нравится моя палка! — вскочила с места Единица. — Так бы и сказали. Я могу дать другое доказательство. Положим обе дроби на весы. И вы увидите, что первая весит больше, чем вторая.

— Вы намекаете на то, — закричала упитанная Семёрка, — что я съела сегодня за завтраком слишком много пирожков с мясом?! (Шум, смех, аплодисменты) Я протестую! Прошу занести в протокол, что меня оскорбили.

— Тише, — сказал Судья, — я вам, кажется, не давал слова!… Продолжайте, Пятёрка.

— Мне не о чем говорить, — возразила Пятёрка. — Я знаю, что числа имеют вес, но это надо понимать не в прямом, а в переносном смысле.

— Я возражаю против такого способа спорить, — заявила Единица. — Пятёрка отметает все мои доказательства и не предлагает сама никаких. Потому что у неё их нет! (Свист, аплодисменты.)

— Я могу повторить только то, что сказала вначале, — спокойно ответила Пятёрка. — Величина дроби определяется не весом и не ростом, а значением!

— Способ, способ! — кипятилась Единица. — Вы только болтаете. Вы задавака!

— Прошу отметить в протоколе, что меня оскорбили! — возвысила голос Пятёрка.

— Делаю обоим спорщикам строгое предупреждение! — снова рявкнул Главный Судья. — Спор должен быть взаимно вежливым. Продолжайте.

— Я утверждаю, что 2/3 больше, чем 4/7, — сказала Пятёрка. — И сейчас вам это докажу. Без палок и весов! Попрошу на сцену моих помощников. Двух близнецов. Уважаемый ОЗ, поднимитесь, пожалуйста, сюда имеете со своим братом.

На сцене появились два одинаковых числа — 21.

— Почему она их называет ОЗами? — спросил шёпотом Сева.

— Это, наверное, сокращённые имена, — сказал Олег. — Ну конечно, это же общие знаменатели — ОЗы!

— Эти братья, — продолжала Пятёрка, — не что иное, как произведение знаменателей наших дробей — Тройки и Семёрки. Ведь семь, умноженное на три, равно двадцати одному. Попрошу вас, дорогие близнецы, встать на место знаменателей обеих дробей: вместо Семёрки и Тройки.

— Уважаемая Пятёрка, — возразили в один голос Общие Знаменатели, — мы никак не можем исполнить вашу просьбу. Если мы сейчас займём места знаменателей, вы проиграете спор — первая дробь окажется меньше второй!

— Ага, что я говорила?! — обрадовалась Единица.

— Не радуйтесь преждевременно, — остановила её Пятёрка, — Я просто немного поспешила. Спасибо вам, дорогие ОЗы, за ваше замечание. Конечно, надо одновременно изменить и числители обеих дробей. Я не успела об этом сказать. Ведь при замене знаменателей сами дроби не должны меняться. Итак, заменим одновременно и числители и знаменатели.

И тут произошло нечто необыкновенное: Семёрка поднялась к Двойке, Тройка — к Четвёрке, и между каждой парой мгновенно блеснул знак умножения.

На секунду погас свет, и мы увидели по бокам сцены новые дроби: 14/21 и 12/21.

— Хоть эти дроби и новые, — пояснила Пятёрка, — но величины их ведь не изменились. Как вы думаете? 2/3=14/21, а 4/7=12/21. Так? Единица сделала презрительную гримасу и ничего не ответила.

— Итак, моё доказательство готово! Как видите, знаменатели у дробей одинаковые, а числители разные. Так какая же из этих дробей больше?

— Та, у которой больше числитель! — не выдержал Сева.

— Прошу не подсказывать с места! — загремел Главный Судья.

— Вы совершенно правы, милый школьник, — заметила Пятёрка. — Дробь 14/21, конечно, больше, чем дробь 12/21. Следовательно, истина на моей стороне.

Зрители неистово аплодировали. Судьи, посовещавшись, встали.

— Объявляю решение суда! — протрубил Главный Судья. — Победила Пятёрка! («Молодец!» — пронеслось по залу.) Отныне запрещаю при сравнении дробей пользоваться каким-либо иным способом! Диспут окончен!

— Внимание! — крикнули из зала. — У меня есть объявление! Для участников диспута сегодня состоится цирковое представление. Небывалый трюк — «Дроби на трапециях»! Вход в цирк только по клубным билетам. Нервных просят не приходить.

Толпа хлынула на улицу.

Смертельный атракцион

Оркестр сыграл веселое вступление

На манеже, у главного входа, выстроились униформисты, и представление началось.

Жонглеров сменяли акробаты, акробатов — гимнасты… Вот на арену выбежала тоненькая, гибкая Тройка; она исполнила пластический этюд: сперва под музыку медленно превратилась в Шестёрку, затем в Девятку и, наконец, в Восьмёрку.

Потом молодая наездница — изящная Пятерка танцевала на спине у лошади, прыгала на полном ходу сквозь обруч и так быстро вертела своей маленькой головкой направо и налево, что никто не мог различить: Пятерка это или Тройка.

Затем на манеж вышел фокусник. Он засучил рукава и предложил каждому зрителю задумать какое-нибудь число.

— Все задумали? — спросил он.

— Все! — ответили зрители хором.

Мои спутники тоже задумали — число 11.

— Попрошу, — сказал фокусник, — умножить задуманное число на 6. Зрители стали в уме умножать на шесть и при этом шевелили губами.

— Одиннадцать на шесть, — шептала Таня, — будет шестьдесят шесть.

— Прибавьте к полученному число 21, — скомандовал фокусник. — Прибавили?

У моих ребят получилось 87.

— Так! — неслось с манежа. — Разделите сумму на 3 («Двадцать девять!» — толкнул меня Сева). Затем вычтите 5 («Останется двадцать четыре», — зашептали ребята). Теперь разделите на 2! — приказал фокусник — Разделили?

— Сейчас, — крикнул кто-то с галерки — Одна минутка. Есть!

— Получается двенадцать, — переглянулись ребята.

— Теперь остается только одно, — заключил фокусник, — отнять единицу. И я вам скажу, какой у кого получился ответ. У каждого получилось то число, которое он задумал. Верно!

— Верно! — крикнул Сева. — Одиннадцать!

— Верно! — неслось со всех сторон. — Восемь! Верно — шесть! Верно — пять, семнадцать, четыре!

Под бурные аплодисменты фокусник долго раскланивался, а потом перешел к следующему фокусу.

— В этом ящике находятся обыкновенные нули. Они вам хорошо знакомы. Беру вот этот топор и разрубаю каждый нуль на любое число частей. (Цирк в ужасе ахнул.) Вот этот нуль на пять частей, этот — на семь, а этот — на тридцать две. Готово! Теперь осмотрите ящик, он совершенно пуст. Бросаю обломки нулей сюда. Накрываю ящик платком. Внимание! — Фокусник ударил по ящику волшебной палочкой и произнес. — Ой, люли, ой, люли! Выходите все нули!

Он быстро сорвал платок — из ящика один за другим выпрыгнули нули: они были целёхоньки!

Зрители неистовствовали.

— Видите, — сказал фокусник, — на сколько бы частей я ни делил нуль, он всегда останется нулем. Нуль, деленный на любое число, есть нуль! А теперь, — продолжал он таинственно, — я вам покажу самый страшный фокус. Попрошу кого-нибудь выйти на манеж. Пусть это будет самый маленький карликан, всё равно. Я на ваших глазах разделю его на нуль! Кто хочет выйти?

Никто не появлялся.

— Ну что ж, — пожал плечами фокусник, — придётся позвать моих ассистентов.

Он хлопнул в ладоши, и на манеж выбежали хрупкая Единица в розовой тюлевой юбочке и Нулик.

— Итак, делю эту Единицу на Нуль! Пугливых прошу отвернуться. Впрочем, я лучше закрою их вот этим покрывалом. Вот так. А теперь передаю им знак деления. Приготовились!

И фокусник произнёс волшебное заклинание:

Блеснула молния, раздался страшный гром барабанов.

Покрывало быстро взвилось кверху, и из-под него вылез… Великан!

Он рос с неимоверной быстротой. Вот его голова уже касается купола цирка. Вот она прорвала парусиновую крышу, а Великан всё рос, рос…

Зрители в страхе жались друг к другу.

— Довольно! — кричали с мест.

Фокусник взмахнул волшебной палочкой — и Великан мигом исчез. На манеже снова стояли хрупкая Единица и маленький Нулик.

— Теперь вы убедились, — сказал фокусник, — как опасно делить на Нуль даже Единицу.

Он изящно раскланялся и под бурные овации покинул манеж.

— Как это он делает? — спросил Сева. — И откуда у него появляется Великан?

— На то и фокусы, чтобы сразу не понять, — ответил я. — Впрочем, этот фокус я объясню потом. А сейчас посмотрим на клоунов.

На арену с разных сторон вышли два клоуна: белый, как мука, Тук и рыжий, как апельсин, Ток.

— Где ты пропадал, Ток? — спросил Тук.

— Я ходил покупать тебе подарок. Абрикосы!

— Я очень люблю абрикосы. Где же они?

— Я их по дороге съел.

— Все?

— Все. А потом я вернулся в магазин и попросил снова продать мне абрикосов. Но только половину того, что купил в первый раз.

— Где же они?

— Съел!

Тук угрожающе замахнулся палкой.

— Подожди, подожди! — закричал Ток. — Я ещё раз вернулся в магазин и попросил продать мне только четверть тех абрикосов, что купил в первый раз.

— И ты их опять съел?

— Съел!… Потом я вернулся и купил одну восьмую. И снова съел. — Ток рассмеялся. — Так я возвращался пять раз. Каждый раз я покупал вдвое меньше, чем в предыдущий. Видишь, я не забывал о тебе.

— Ты мне всё-таки принёс абрикосов или нет?

— Конечно, принёс. Вот, смотри.

— Но здесь всего один абрикос!

— У меня больше не осталось денег.

— Сколько же ты всего съел абрикосов?

— Я не считал. Считай сам!

— Ты ел, а я должен считать?

— Если ты не знаешь арифметики, пусть тебе помогут зрители.

— Друзья, — обратился Тук к зрителям, — вы не знаете, сколько абрикосов съел Ток?

В цирке зашумели, стали считать, спорить. Первым решил задачу Олег:

— Ток съел шестьдесят два абрикоса!

— Неправильно! — закричал Ток. — Шестьдесят три. — Он вырвал у Тука абрикос и тут же съел его. — Это и есть шестьдесят третий!

— Ты всегда был таким обжорой? — спросил Тук.

— Всегда. Вчера я съел двенадцать плиток шоколада, пятнадцать пирожных и двадцать порций мороженого. Вот сколько!

— И что же в сумме получилось?

— Расстройство желудка!

Под конец клоуны стали решать задачу: через сколько времени наполнится бассейн водой, если его наполнять сразу через две трубы. Вместо труб у Тука и Тока были в руках пожарные шланги. Клоуны спотыкались, падали, обливались водой и, так и не решив задачи, мокрые, убежали с манежа.

Из главного выхода появился карликан во фраке и торжественно объявил:

— Смертельный аттракцион! Дроби на трапециях! Из-под купола уже спустили две трапеции. Они покачивались одна против другой.

На манеж выбежали четверо юных карликан: Двойка, Тройка, Четвёрка и Пятёрка. Они ловко забрались по канату на трапеции: Двойка и Тройка — на левую, а Четвёрка и Пятёрка — на правую. Двойка и Четвёрка встали на перекладины и крепко ухватились руками за канаты.

А двое других гимнастов повисли на перекладинах под ними. Они плавно раскачивались и делали красивые движения: выгибались ласточкой, выворачивались на руках, висели вниз головой… Потом они сели на перекладины, чтобы передохнуть, а карликан во фраке объявил:

— Внимание! Заключительный трюк — деление дробей!

И тут же зловеще забила барабанная дробь.

Гимнастки снова заняли первоначальные места, и мы поняли, что они изображают две дроби. Между ними возникли две светящиеся точки — знак деления.

Гимнастки взглянули вниз — сетка была на месте. Без сетки этот номер делать не разрешалось. Секунда внимания, и… «Ап!» — раздалась команда.

И вот уже Пятёрка, сделав в воздухе сальто-мортале, поднялась на вторую трапецию и стала рядом с Двойкой. Одновременно с ней Четвёрка рыбкой полетела вниз и уцепилась за перекладину рядом с Тройкой.

Опять, как во время диспута, между цифрами молниями блеснули два знака умножения. На секунду погас свет, а когда он зажёгся, на первой трапеции уже раскачивалась дробь 10/12. Цирк ревел от восторга.

— Бис! Бис!… — неслось со всех сторон.

Трюк повторили. Однако теперь делимое и делитель поменялись местами.

Когда вновь зажёгся свет, на трапеции раскачивалась новая дробь: 12/10.

— Э-э! — закричал Сева. — Да это та же дробь, только вверх ногами!

— На то и цирк, — резонно заметил Олег.

Артисты легко спустились на манеж. Представление закончилось.

Нашёлся!

Когда мы вышли из цирка на улицу, город был празднично иллюминирован. Несмотря на позднее время, отовсюду слышалась весёлая музыка.

Жители Арабеллы ликовали. То тут, то там раздавались возгласы:

— Нашёлся!

— Какая радость!

— Он не мог пропасть!

— Бедная мама, как она волновалась!

Нетрудно догадаться, о ком говорили карликане. Они радовались возвращению Нулика.

Сегодня утром, когда с площади Добрых Напутствий отправлялась к людям очередная партия карликан, провожавшие дали им наказ: непременно разыскать Нулика. И вот он здесь! Он цел и невредим!

А нашли его так.

Десятка три карликан помогали школьникам второго класса решать задачу на деление целых чисел. Вот уже все ученики отдали тетради учительнице. Прозвенел звонок. Карликане вышли из класса, потому что там должен был начаться урок русского языка, и направились в следующий класс, где изучали обыкновенные дроби.

Весёлой толпой поднимались они по лестнице. Вдруг на площадке послышался жалобный писк. Осмотрелись — никого! Писк повторился.

Тогда одна догадливая Семёрка заглянула за урну, стоявшую в углу. Там она и увидела пропавшего Нулика.

— Я хочу к маме! — хныкал он. — А потом я хочу есть и спать. И вообще я устал.

Ну, его сейчас же обласкали, утёрли носик и глазки. Вот только накормить было пока нечем. Но Нулик и так сразу повеселел, даже немного попрыгал от радости. И все отправились в третий класс помогать детям складывать обыкновенные дроби.

Задача была очень трудная. И Нулику некогда было рассказывать, что с ним произошло. А после надо было спешить на самолёт. И только в самолёте Нулик поведал печальную повесть о своём исчезновении.

Этот рассказ ему пришлось повторять много раз: сперва попутчикам в самолёте, затем встречавшим, потом опоздавшим на встречу и, наконец, тем, кто хотел ещё раз послушать всё, с самого начала. Но так как этого хотели почти все, то в общей сложности Нулик рассказал свою историю 248 раз.

А тут ещё подошли мы и тоже попросили его рассказать. Но Нулик уже охрип, и вместо слов у него получались одни шипящие звуки.

И тогда счастливая мама, толстая Восьмёрка, всё рассказала за него. Она уже успела выучить этот рассказ наизусть.

— Вчера в первый раз я отпустила моего дорогого крошку в такое дальнее путешествие. Но я не смела его удерживать. Ведь он отправлялся к вам, людям, для очень важного дела. И вот привезли его в одну неполную среднюю школу. Я не знаю, почему её называют неполной, но то, что она очень средняя, совершенно ясно: ведь там-то и произошло несчастье с моим дорогим малюткой. И надо же, чтобы мой сыночек попал к самому плохому ученику во всей школе. Он-то и потерял моего Нулика. Да, да, потерял! Словно это иголка! Мыслимое ли дело, потерять такого красавца! — Она поцеловала Нулика в носик. — Учительница задала очень простую задачу: разделить 1836 на 18. Разве это трудно? Конечно, нет! И ответ-то очень простой: 102. Не больше и не меньше. А у этого лентяя получилось 12! Всего лишь 12! Подумайте только — он потерял Нулика! А почему это произошло? Да потому, что разделив 18 на 18 и получив правильно 1, ученик стал вдруг делить на 18 число 36. Надо было сперва разделить 3 на 18, а уж потом 36. Выскажете, что 3 на 18 не делится? Ну и пусть не делится! Если число не делится, то тут-то и надо было вспомнить о моём Нулике и поставить его после единицы. Тогда бы и получился правильный ответ — 102. А мальчишка поленился и стал сразу делить 36 на 18. Вот и выходит: поспешишь — людей насмешишь! А нам не до смеха, нам слёзы.

Ну хорошо. Допустим, ученик ошибся. Ошибки могут быть у всякого. Но ведь он мог себя легко проверить. Вы спрашиваете — как? Стоило только умножить частное 12 на делитель 18. И он бы получил вместо делимого, 1836, всего-навсего 216. Нет, вы только подумайте: вместо 1836 получить 216! Ужас! Спасибо добрым друзьям — карликанам. Если бы не они, так бы и пропал мой сынок.

— Уважаемая Восьмёрка, — заговорил Сева, — всё равно ваш Нулик нашёлся бы. Его обязательно нашла бы учительница. Она ещё просто не успела проверить тетради.

— Да, — ответила толстая Восьмёрка, — учительница, конечно, нашла бы. Но когда? Мой Нулик к тому времени мог умереть с голоду.

И она снова стала обнимать сына, целовать его в носик, в глазки, в ушки…

Мы решили не отвлекать её от этого приятного занятия и тактично удалились. Но через несколько шагов опять услышали знакомый голос:

— Вчера в первый раз я отпустила моего дорогого крошку в такое дальнее…

Счастливая мама по требованию вновь прибывших начала всё сначала.