В лабиринте чисел

— Перед нами уравнение с одним неизвестным. Как его решить? Прежде всего, оставим икс в одиночестве или, как говорят математики, уединим его по одну сторону равенства. В нашем уравнении для этого достаточно уменьшить обе части равенства на 5, отчего равенство, естественно, не нарушится. Итак, что же у нас получится? x + 5 – 5 = 12 – 5. Но пять минус пять, как известно, равно нулю. Таким образом, в левой части равенства остаётся только икс, а в правой — двенадцать минус пять, что равно семи. Теперь ясно, что вычитать одно и то же число из обеих частей равенства вовсе ни к чему. Достаточно перенести пятёрку из левой части в правую, но с обратным знаком: x + 5 = 12; x = 12 – 5. Вот так и решаются уравнения первой степени.

— А есть и второй?

— И второй, и выше. Но говорить о них пока рано.

— Вечная история! — надулся Чит. — А о том, что такое вообще уравнение, говорить не рано?

— В самый раз. Уравнение — математическая запись любой словесной задачи, в которой надо вычислить неизвестное.

— Выходит, прежде чем решать уравнение, надо его ещё и составить?

— Непременно. Иначе нечего будет решать. Возьмём такую задачу. Команда белопузиков вдвое больше команды полосатиков. Если число белопузиков уменьшить на десять, а число полосатиков увеличить на пять, численность обеих команд станет одинаковой. Сколько участников в каждой команде?

Ари взглянула на Чита, но так как никаких сообщений от него, судя по всему, не ожидалось, продолжала:

— Прежде всего что примем за икс? Какое из двух неизвестных: число белопузиков или полосатиков? Удобнее, пожалуй, полосатиков — их меньше. Тогда белопузиков — 2x: ведь их вдвое больше! Чтобы уравнять обе команды, по условию следует от 2x отнять 10, а к иксу прибавить 5. Вот тебе и уравнение: 2x – 10 = x + 5. Остаётся решить его. Для этого…

— Нет, нет, я сам! — расхрабрился Чит. — Прежде всего уединим иксы. Для этого икс из правой части перенесём в левую с обратным знаком, то есть с минусом, а минус 10 из левой части в правую со знаком плюс. Выходит, 2x – x = 5 + 10. Отсюда x = 15, а 2x = 30. Значит, белопузиков было 30, а полосатиков — 15. Скажешь, нет?

— Скажу — молодец! — растрогалась Ари. — По-моему, ты заслужил поощрительную премию. Что тебе подарить?

— Кролика! — не задумываясь брякнул Чит. — Я уже давно прошу, а дома не позволяют.

— Будь по-твоему, — сказала она, и глаза её лукаво блеснули.

Чит получил свою длинноухую премию. Собственно, он мог бы получить не одного кролика, а много больше: ферма, куда привела его Ари, просто кишела ими! Кролики то и дело подворачивались ему под ноги, падали на голову — словом, сыпались отовсюду, как какая-нибудь гречневая крупа; и Чит вдруг подумал, что кролики симпатичные ребята, но не тогда, когда их так много!

Но тут он заметил вывеску: «Кроличья ферма имени Фибоначчи». Странная фамилия так насмешила Чита, что он забыл про кроликов. Он повторял её на все лады и даже сочинил что-то вроде песенки: «Фибоначчи, Фибоначчи, как зовут тебя иначе?» И надо же! Оказалось, у Фибоначчи и вправду есть другое имя — Леонáрдо, и он вовсе не кроликовод, а итальянский математик, живший в XIII веке в городе Пизе. А Фибоначчи не фамилия его, а прозвище, которое в переводе на русский означает «Сын добряка». Леонардо унаследовал его от отца, которого звали просто Бонáччи, без «фи», то есть без «сына», потому что «фи» — это сокращённое итальянское «филио» — «сын».

Пизанский купец Боначчи был и в самом деле человеком не злым, да и не глупым. Он хотел, чтобы его «филио» тоже пошёл по торговой части. А так как торговому человеку надо хорошо считать, Боначчи отправил Леонардо учиться счётному делу на Восток.

В те глухие времена европейская наука чахла под властью христианской церкви. На Востоке зато было чему поучиться! Именно туда бежали от преследований христианских церковников греческие учёные — представители великой древнегреческой науки. Там бережно хранились уцелевшие труды греческих мыслителей, воспреемниками которых стали арабские учёные…

Много стран повидал Леонардо: Египет, Вавилон, Сирию, Грецию, возможно, даже Индию… Вернулся он в родной город бывалым, образованным человеком. Купца, впрочем, из него не вышло: он стал математиком. Но жалеть об этом не приходится! Леонардо написал несколько замечательных научных сочинений, в том числе знаменитую «Либер абáчи» — книгу о счёте. Он не только впитал всё самое ценное из восточной математики, но и обогатил науку собственными изысканиями. Много стараний приложил он и к тому, чтобы в Европе, взамен шестидесятеричной системы счисления, утвердилась наконец более удобная десятичная. Это был поистине самый крупный европейский математик средневековья…

— Любопытно, — привычно изрёк Чит, когда Ари умолкла. — Но одного я всё-таки в толк не возьму: при чём тут кролики?

— В самом деле, — улыбнулась она, — пора бы в этом разобраться. Понимаешь, есть у Леонардо одна задача, где спрашивается, сколько пар кроликов родится за год от одной пары, если по условию в первый месяц своей жизни пара таких кроликов всегда бездетна, новая пара от них появляется в конце второго месяца, а затем уже ежемесячно. То же происходит с каждой вновь народившейся парой. Так вот, если изобразить всё это в числах, получится интересный числовой ряд, где каждое последующее число равно сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… И так далее, до бесконечности.

Чит недоуменно пожал плечами. Ряд как ряд! Что в нём интересного?

— Не скажи, — живо возразила Ари. — У чисел Фибоначчи (так их теперь называют) куча удивительных свойств. Взять, например, дерево — из тех, что ветвятся ежегодно. Если на втором году жизни у него два ответвления, то на третьем их уже будет три, на четвёртом — пять, на пятом — восемь, на шестом — тринадцать и так далее. А ведь всё это числа Фибоначчи! С тем же рядом связано и расположение листьев на ветке, и количество завитков, образованных семечками подсолнуха, чешуйками сосновой шишки или ананаса… Как видишь, природа широко пользуется числами Фибоначчи.

— А люди? — неожиданно выпалил Чит. — Они-то ими пользуются?

— Где людям угнаться за природой! Долгое время о числах Фибоначчи просто не знали. Но и потом они оставались безработными много столетий. И только в нынешнем, двадцатом веке им нашлось наконец дело. Во-первых, подобно булевой алгебре и теории множеств, числа Фибоначчи используются в вычислительных и думающих машинах. Во-вторых, с их помощью были решены некоторые математические задачи. Ну да о них ты узнаешь в своё время. Как ещё сработает этот удивительный числовой ряд, сказать трудно. Ясно одно: бесполезных открытий не бывает.

— Завернём на минутку в Древнюю Грецию? — предложила Ари.

— Пошли! — сказал Чит.

И вот они в прохладном греческом дворике с каменной надписью на воротах: «Зенóн из Элéи». Здесь, в тени оливкового дерева, стоял древний грек среднего возраста. У ног его лежал деревянный шар, который он пинал деревянным же молотком. Но шар почему-то оставался на месте, как приклеенный. Чит спросил, в чём дело, и Зенон (а это был именно он) заявил, что шар нипочём не покатится.

— Да почему же? — недоумевал Чит.

— Потому что всякое движущееся тело непременно должно преодолеть середину пути, прежде чем достигнет его конца.

— Ну и что же?

— А то, что середина — это половина пути, а у этой половины есть своя половина, то есть четверть пути. Так ведь? А у четверти — своя половина: восьмая пути. У восьмой, в свою очередь, своя: одна шестнадцатая…

— Я вижу, конца этим половинам не предвидится, — перебил Чит.

— В том-то и дело! — обрадовался Зенон. — И стало быть, шар никогда не достигнет следующей половины, так как не преодолел предыдущей. Из чего следует, что никакого движения в природе попросту нет.

— Вы это серьёзно? — удивился Чит.

— Серьёзней некуда, — подтвердил тот. — Разве я не доказал это строго логически?

— Странная у вас логика, — съязвил Чит, вспомнив любимое выражение своей мамы, и несколько раз обежал вокруг Зенона. — Может, и теперь скажете, что движения нет?

— И скажу, — упёрся Зенон. — Недаром это вытекает из моей знаменитой апории.

Чит, конечно, немедленно спросил, что такое апория? Оказалось по-гречески — это «непреодолимое препятствие», и таких «препятствий» у Зенона четыре. В самой своей известной апории он доказывает, что быстроногому Ахиллéсу ни за что не догнать медлительной черепахи. Остальных апорий Чит не запомнил, но с него было довольно и двух.

Под конец он выхватил у Зенона молоток, хорошенько наподдал шар, и тот благополучно врезался в противоположную стену дворика, единым духом преодолев всё бесконечное множество середин.

— Не понимаю! — сказал Чит, когда они покинули Древнюю Грецию и двинулись к следующей остановке. — Кажется, умный человек, а занимается глупостями…

— Ты хочешь сказать, ошибается, — мягко поправила Ари. — Да, Зенон, конечно, ошибался. А скорее всего, увлекался хитроумными логическими построениями, основанными на трудно уловимом противоречии. Такие построения, между прочим, называются софизмами… Но так или иначе, он был первым учёным, представившим себе бесконечно малую величину — то есть такую, которая непрерывно стремится к нулю. Выходит, он предвосхитил появление нового понятия, утвердившегося много столетий спустя, в XVII веке. Открытие бесконечно малых величин вызвало целый переворот в науке. Оно помогло решить многие, до тех пор неразрешимые задачи. При этом практическое применение математики очень расширилось.

— Оказывается, полезными бывают и ошибки, — пошутил Чит. — Но в чём, кстати, ошибка Зенона? Этого я так и не понял.

— Видишь ли, рассуждение Зенона построено на том, что сумма бесконечного ряда дробей, которыми записаны отрезки пути, и сама бесконечна. На самом деле бесконечно здесь лишь число слагаемых, а не их сумма: ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + ¹/₁₆ + ¹/₃₂ + ¹/₆₄… И в то время как слагаемые ряда стремятся к нулю, сумма их стремится к единице, то есть к величине всего пути. Ясно?

— Не очень, — честно признался Чит.

— Что делать! Поймёшь в своё время.

Прямо из Древней Греции — страны муз — Чит попал в музей. Но вместо картин и статуй тут были собраны счётные приборы и машины. Самым древним прибором оказались… пальцы.

Чит увидел чёрную бархатную ширму — как в кукольном театре. Но вместо кукол над ширмой двигались руки с растопыренными пальцами. Пальцы считали вовсю, но чаще всего действовали разом: одна пятерня — 5, две —10. Когда рук не хватало, над ширмой выскакивала нога, а то и две. Две руки и одна нога — 15, две руки и две ноги — 20…

Да, устройство человеческих конечностей сыграло немалую роль в истории счёта! Иные учёные полагают, что римская буква V, которая служит также цифрой 5, имеет форму пятерни с оттопыренным пальцем. А буква X — она же цифра 10 — не что иное, как две соединённые пятерни.

Следы счёта на пальцах сохранились во многих странах. В Китае и Японии предметы домашнего обихода (чашки, тарелки и т. д.) считают не дюжинами и полудюжинами, как в России, а пяткáми и десятками. Во Франции и в Англии поныне в ходу счёт двадцатками (вспомним двадцатеричную нумерацию племени майя!). Но десятку повезло больше всех: он стал основой десятичной позиционной системы счёта, а ею пользуются почти во всём мире.

Целый зал занимали счёты разных времён и народов. Деревянные, костяные, бронзовые. Затейливые и неприхотливые. Богатые и бедные, грубо сработанные. Но, несмотря на такое разнообразие, Чит вышел отсюда с твёрдым убеждением, что счёты — это обычно рама со стерженьками, на которые нанизаны бусины. Каждая бусина — цифра, числовое значение которой зависит от того, на какой перекладине, то бишь в каком числовом разряде она находится. Как правило, счёты предназначены для вычислений в десятичной нумерации. Но более древние китайские счёты рассчитаны на счёт пяткáми, который старше счёта десятками.

В давние времена считали также на счётных досках. Счётная доска абáк (нередко она имела форму столика) была разделена на полоски-разряды, которые дужками объединялись в классы, по три разряда в каждом. Считали на абаке, выкладывая на доску бобы, косточки, камешки.

Потом Чит увидел табличку «Зал имени Паскаля» и очень обрадовался знакомой фамилии, связанной для него теперь с числом сочетаний и, как это ни смешно, с хоккеем. Выяснилось, однако, что Блез Паскаль не только математик, но и физик, механик, изобретатель первой счётной машины, к тому же одарённый писатель и человек сильного характера. Подумать только: хилый, болезненный юноша сделал свою машину чуть ли не собственными руками!

Чит подумал было, что у Паскаля не было денег на хороших мастеров. Но деньги-то как раз были. Просто затея Паскаля требовала такой точности исполнения, какой мастера того времени ещё не владели. Не было тогда и подходящих материалов. Блез перепробовал самые дорогие: медь, слоновую кость, драгоценное эбéновое дерево… Он создал свыше пятидесяти моделей, но все они были дороги, сложны в работе, часто ломались. Лишь в воображении изобретателя машина была легка, прочна, считала безотказно. Но и это, если вдуматься, не так уж мало! Дело ведь не в том, насколько удалось или не удалось Паскалю претворить свой замысел в жизнь. Дело в самом замысле — а он, особенно по тем временам, был и нов, и плодотворен. Об этом можно судить по тому, как много последователей появилось у изобретателя и у его машины уже в том же XVII столетии.

Паскаль отказался от прямолинейного движения, на котором основаны обыкновенные счёты, и обратился к вращательному, круговому. Он использовал принцип часового механизма с его зубчатой передачей. Колёса в машине были с десятью зубцами — по числу цифр в каждом разряде, и вот почему Паскаль признан прародителем большинства счётных устройств, которые применяются и в наши дни. Всевозможные кассовые аппараты, арифмометры, электросчётчики, счётчики такси — все они работают на паскалевом принципе. Хотя по качеству и по конструкции ни в какое сравнение со своими далёкими предшественниками не идут. Техника XX века — не техника XVII! Чит убедился в этом, миновав ряд комнат, уставленных счётными экспонатами самого разного назначения. Но вот они достигли зала с табличкой «ЭВМ», и Чит оказался с глазу на глаз с громадным элегантным красавцем. Впрочем, глаз у красавца было много. Они вспыхивали, гасли. Казалось, машина подмигивает Читу: «Что, брат, здóрово? Это тебе не арифмометр!»

Да, электронно-вычислительная машина и впрямь не арифмометр. Это механизм нового типа, быстродействующий, основанный на электронике, на кибернетике. За несколько часов он делает то, на что человеку и целой жизни не хватит. Работать на таких машинах не просто. Надо уметь давать им толковые задания, точную программу действий. Программируют их на условном, цифровом языке, который очень похож на игру в «да — нет». Причём роль «да» исполняет единица, а роль «нет» — нуль. Чит засомневался: неужто двух цифр достаточно, чтобы разговаривать с таким гигантом? Оказывается, вполне. Ведь что делает машина? Выбирает правильный вариант ответа. А выбрать один вариант из двух небось проще, чем один из нескольких. Вот почему цифровая беседа с ЭВМ ведётся в двоичной системе счисления.

Двоичная система? Чит о такой и не слыхивал! Но Ари сказала, что системы счисления могут быть всякие. Троичная. Семеричная. Даже единичная… В общем, в зависимости от того, какое число принято за основу. Основа двоичной системы — число 2, поэтому участвуют в ней, как уже сказано, только первые две цифры: 0 и 1. Это такая же позиционная система счёта, как десятичная и шестидесятеричная. Только каждый последующий разряд здесь больше предыдущего не в 10 и не в 60, а в 2 раза. Например, запись 101 в двоичной системе расшифровывается так: 101 = 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 5.

Чит, как водится, немедленно забыл об ЭВМ и захотел поупражняться в расшифровке. Но Ари оставила это до «Щ», после чего они ещё немножко походили по музею и отправились дальше.

Что может быть лучше смешной, весёлой «мультипликашки»? Чит запрыгал от радости, когда узнал, что они идут в кино. Он очень рассчитывал посмотреть новую серию «Ну, погоди, заяц!» и не просчитался. Правда, картина называлась «Ну, погоди, лодырь!», но это мало что меняло: ведь главными действующими лицами там были всё равно Волк и Заяц. Вернее, Зайчонок младшего школьного возраста.

Зайчонок бездельничал, то и дело прогуливал уроки и потому вечно ничего не знал. Учитель Волк так и спрашивал его у доски: «Ну-с, чего ты не знаешь сегодня?» И Зайчонок всегда честно говорил, чего он не знает: таблицы умножения или там ещё чего.

— И не стыдно тебе? — спрашивал Волк.

— Не-а! — так же честно отвечал Зайчонок.

Так он благополучно проходил… то есть прогуливал школьную программу. Но вот в один далеко не прекрасный день он не знал, что такое именованные числа и как с ними обращаться. Другие зверюшки давно уже усвоили, что именованными называются числа, которыми записывают количество каких-либо предметов: лампочек, апельсинов, шкафов… Словом, чего угодно. Ещё они усвоили, что складывать и вычитать разноименованные числа строго воспрещается. Лампочки, например, можно складывать с лампочками, шкафы со шкафами, а уж лампочки со шкафами — ни-ни! Разумеется, ленивый Зайчонок всё это пропустил мимо ушей. А тут ещё, как на грех, стало ему стыдно. Никогда не было, а теперь вдруг стало!

— Ничего-то я не умею, ни умножать, ни делить, — пригорюнился он. — Научусь хоть складывать, что ли…

И пошёл в лесной склад. А там чего только нет! И животные со всех концов света, и одежда, и лакомства, и всякие игрушки… В общем, что угодно для души!

«Что бы мне такое сложить? — задумался Зайчонок. — Ботинки с ножницами? Или морковки с черепахами? А, да что там! Сложу что придётся!»

И давай трудиться! Складывает, складывает, по сторонам и не смотрит. Наконец умаялся, утёр лоб… Поднял глаза — и обмер: это что же за чудища вокруг? Он таких сроду не видывал. Одни вроде бы на ослов смахивают, да вместо ушей у них лыжи. Другие — на быков, только сплющенных, выгнутых куполом и надетых на палки от зонтиков. У слонов не хоботы, а шланги от пылесосов. У журавлей не крылья — носовые платки. Машут ими, а взлететь не могут. У чайников вместо носиков гусиные шеи, из клювов раскрытых пар валит…

Зайчонок за голову схватился. Неужто всё это его работа, его «сложение»? А чудища наступают на него, ревут, гогочут — вот-вот, разорвут на куски! Зайчонок плачет, прощенья просит. Никогда, мол, больше не буду складывать гусей с чайниками и слонов с пылесосами…

Но жертвы неправильного сложения слезам не верят. Пусть Зайчонок вернёт им нормальный вид, не то… ну, погоди, лодырь! К счастью, тут подоспел учитель Волк (он же завскладом по совместительству), сказал: «Шурýм-бурýм!» — и всё уладилось. Слоны получили свои хоботы, ослы — уши. Журавли поднялись в воздух; быки, избавившись от ненавистных палок, брякнулись нáземь. А Зайчонок поблагодарил своего спасителя Волка и обещал исправиться.

Тут все герои фильма пустились в пляс и запели песенку, очень, надо сказать, поучительную:

Читу песенка понравилась, и он запомнил её от слова до слова. Зайчонок, надо надеяться, тоже.

Едва история с зайцем благополучно закончилась, как выяснилось, что пропал кролик. После долгих поисков Чит нашёл его в цветнике перед зданием кинотеатра. Кролик безмятежно поедал дорогие декоративные колючки. Испугавшись, что у кролика будет аппендицит, Чит великодушно отказался от своей премии и вернул её на ферму имени Фибоначчи. Ари тоже не сомневалась, что в привычной обстановке кролику будет лучше, но всё-таки не удержалась и сказала довольно ядовито, что, судя по всему, кроликовода из Чита не выйдет. Тот, впрочем, и ухом не повёл: не выйдет — и не надо. Он вовсе писателем хочет стать.

Ари насмешливо прищурилась.

— Думаешь, писать книги легче, чем ухаживать за кроликами? Ничуть не бывало. Даже самое простое предложение «Я хочу стать писателем!» может прозвучать совершенно по-разному — стоит только поменять слова местами!

Чит, конечно, сейчас же пустился проверять. И странное дело: с каждой новой перестановкой фраза и впрямь неуловимо менялась. «Хочу я стать писателем!» звучало мечтательно и задушевно, а «Стать писателем я хочу…» — неуверенно, словно бы за этим последует: «Но вот удастся ли?» «Хочу писателем я стать!» смахивало на строчку из развесёлого детского стихотворения, а «Стать писателем хочу я!» — на признание напыщенного индюка. Выходит, от порядка слов зависит не только характер фразы, но и характер того, кто её произносит?

Тут было над чем поразмыслить, и Чит хотел продолжать, но Ари спросила: уж не собирается ли он перепробовать все 24 перестановки?

— Почём ты знаешь, что их 24? — подозрительно спросил он.

— Потому что в этом предложении четыре слова. А вычислить число перестановок, или, как это называется, факториáл четырёх, — сущие пустяки. Надо перемножить натуральные числа от единицы до четвёрки. Факториал, кстати, обозначается восклицательным знаком. И выглядит это так: 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24.

— А если в предложении десять слов?

— Тогда надо найти факториал десяти, то есть перемножить все числа от единицы до десяти. Причём получится… — Ари пошевелила губами, — получится три миллиона шестьсот двадцать восемь тысяч восемьсот перестановок.

После этого становиться писателем Читу вдруг расхотелось. Лучше уж быть математиком! Как-никак перемножить числа от единицы до десяти легче, чем отобрать один вариант предложения из трёх с половиной миллионов…

— Математиком так математиком, — согласилась Ари. — Но тогда надо тебе знать, что перестановки, так же как и сочетания, с которыми ты уже знаком, — один из видов соединений, которыми ведает комбинаторика. Только, в отличие от сочетаний, в каждой перестановке участвуют все элементы разом — будь то числа, предметы или слова. И обязательно в новом, ином порядке.

Чит подумал было, что перестановки используются главным образом в писательском деле. Но Ари лишь посмеялась. По её словам, перестановки играют не последнюю роль в теории вероятностей: ведь её с комбинаторикой водой не разольёшь! Но здесь, пожалуй, самое время поговорить о шифре.

— Наконец-то! — ликовал Чит. — Сейчас пойдут шпионские истории.

Но Ари сказала, что шпионских историй он, поди, и так слышал больше, чем следует. Наверняка знает он и о том, что шифр — условный, чаще всего цифровой язык, которым пользуются тогда, когда хотят что-нибудь основательно засекретить. О том, что придумать шифр всё-таки легче, чем расшифровать, можно тоже не упоминать…

— Зачем тогда вообще было приходить на эту станцию, если про шифр я и так всё знаю? — вскипел Чит.

— Только затем, что поиски ключа к шифру нередко связаны с перестановками, — спокойно объяснила Ари и подвела его к двери, на которой было шесть клавиш с цифрами от единицы до шестёрки.

Дверь, как выяснилось, ведёт на следующую остановку и откроется лишь в том случае, если Чит нажмёт все шесть клавиш в определённом, зашифрованном порядке. Конечно же, ничего из этого не вышло: Чит быстренько вычислил факториал шести (6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720) и, узнав, что ему предстоит сделать 720 перестановок, сдался без боя.

Но тут ему пришла в голову гениальная идея. Теперь он знает, что сделает, если Галка Трёпикова снова вздумает клянчить у него номер телефона. Назовёт ей семь цифр своего номера, да не в том порядке. Пусть ищет правильный!

— Но ведь это же 5040 перестановок и 35 280 поворотов диска! — ужаснулась Ари.

— Тем лучше, — сказал Чит непреклонно. — По крайней мере отучится трещать по телефону часами.

Как и надо было ожидать, дверь на следующую остановку открылась и без вмешательства Чита — недаром тут была Ари! Но ничего интересного за ней не оказалось, если не считать классной доски. Впрочем, для решения задач, отложенных до «Щ», больше ничего и не требовалось!

— Начнём с начала, — сказала Ари и напомнила условие первой задачи. — По плану на остановке «Дробные числа» мы должны были пробыть полчаса, а пробыли ⁵/₆ этого времени. Сколько времени осталось у тебя на решение этой задачи?

— Не знаю, — хмуро пробурчал Чит.

— Зато я знаю, почему ты этого не знаешь. Потому что обращаться с дробями ещё не умеешь, а способ решения выбрал как раз такой, где без этого не обойтись. Ты искал ⁵/₆ от ¹/₂. Верно?

— Угу, — кивнул он.

— Но для этого надо ¹/₂ сперва разделить на 6, а потом умножить на 5. Куда проще перевести полчаса в минуты, что составляет 30 минут, а потом найти ¹/₆ от тридцати, что, само собой, равно пяти.

— В общем, на решение у меня было 5 минут, — сказал Чит.

— Ровно в пять раз больше, чем требовалось, — съязвила Ари.

Но Чит сделал вид, что не слышит: он уже расшифровывал запись 568 в десятичной и шестидесятеричной системах счисления. Трудился он, надо сказать, с удовольствием и долго любовался потом своими каракулями:

«1) 568 в дес. сист. сч: 5 × 10² + 6 × 10¹ + 8 × 10⁰ = 568

2) 568 в шест. сист. сч: 5 × 60² + 6 × 60¹ + 8 × 60⁰ = 5 × 3600 + 6 × 60 + 8 = 18 368».

Потом он вспомнил о двоичной системе и расшифровал запись 11001:

11001 = 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 1 × 16 + 1 × 8 + 0 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 = 25.

Будь его воля, он расшифровывал бы до утра, но Ари напомнила ему про магический квадрат и вычертила первую читову расстановку.

— Помнится, поначалу ты расставил числа именно так, но увидел, что ошибся, и сразу перешёл к новому варианту. А жаль! Не мешало бы посмотреть, нет ли здесь хоть одного столбца, строки или диагонали, где сумма чисел правильная: 15.

— Тогда я ещё не знал, какая сумма правильная, — огрызнулся он.

— Но теперь-то знаешь! Вот и взгляни ещё разок.

Оказалось, сумма 15 есть и в обеих диагоналях: 7 + 5 + 3 и 1 + 5 + 9, и в среднем столбце: 2 + 5 + 8, и в средней строке: 4 + 5 + 6, и Ари сказала, что разъединять эти числа ни в коем случае не следует.

— Но ведь два столбца и две строки всё равно остались неулаженными. Как же быть? — недоумевал Чит.

— Давай передвинем числа по ходу часовой стрелки. Хотя бы на одну клетку. Что получим?

— Ничего хорошего, — вздохнул он, взглянув на новый чертёж.

— Но и ничего плохого, — возразила Ари. — Сумма 15 осталась нетронутой и по диагоналям, и в среднем столбце, и в средней строке. Значит, числа в них по-прежнему разъединять негоже. Но что мешает нам поменять некоторые из них местами? Вот хоть крайние числа каждой диагонали. Двойку с восьмёркой и шестёрку с четвёркой.

— Смотри-ка! — обрадовался Чит. — Теперь и вправду всё уладилось. Слушай, а если поменять местами крайние числа среднего столбца и средней строки? Семёрку с тройкой и единицу с девяткой?

Он вычертил новый квадрат, и всё опять сошлось! Тогда ему загорелось повозиться с магическим квадратом из шестнадцати клеток. Но Ари сказала, что этим пусть займётся дома, а здесь за ним ещё один должок числится, хотя и пустяковый: возвести в пятую степень число 4 и извлечь корень третьей степени из ста двадцати пяти.

Ну, с возведением он справился довольно быстро и тогда только оценил доброту Ари: не отложи она решение до «Щ», лезть бы ему на тысяча двадцать четвёртую перекладину: 4⁵ = 1024. Хуже обстояло дело с извлечением корня. Чит никак не мог догадаться, какое число надо возвести в третью степень, чтобы получить 125, но Ари подсказала ему верную примету: когда подкоренное число оканчивается пятёркой, то пятёркой же оканчивается и его корень. Если только корень — число рациональное. Оставалось перебрать числа с окончанием на 5. Впрочем, долго перебирать не пришлось, потому что подошла первая же пятёрка: .

Больше на «Щ» делать было нечего, но напоследок Чит сыскал-таки себе ещё одно дельце и написал на доске: «Ща — остановка щастливая!»

— Безусловно, — ухмыльнулась Ари, прочитав надпись, — но не для тех, кто пишет «счастье» через «щ»…

Название остановки сулило ещё одну экскурсию в Древнюю Грецию: как-никак Эратосфéн — древнегреческий учёный! Чит вычитал это в папиной энциклопедии, которую иногда перелистывал. Перелистывал он, надо сказать, замечательно: аккуратно, а главное — быстро. Правда, много таким способом не начитаешь, и об Эратосфене Чит знал только то, что жил он в III веке до нашей эры.

Но недостаток знаний не так уж плох, как думают некоторые. Когда знаешь мало, всегда услышишь что-нибудь новенькое. Хотя бы то, что Эратосфен Кирéнский был необычайно разносторонним человеком. Он известен не только как одарённый математик, но и механик, географ, историк, мыслитель, филолог, даже поэт. В каждой из этих областей Эратосфен сказал своё веское слово. И пусть нельзя назвать его самым гениальным учёным того времени, зато самым знающим — наверняка.

Научное наследство Эратосфена велико и разнообразно. Но перелистывать его на манер Чита Ари наотрез отказалась. В самом деле, стоит ли пытаться объять необъятное? Не лучше ли поговорить о чём-нибудь одном, притом связанном с числами? Допустим, об Эратосфене и о простых числах!

— А что их связывает? — сейчас же прилип Чит.

— То, что Эратосфен нашёл способ отделять простые числа от сложных, составных.

После этого Читу пришлось срочно выяснять, какая разница между числами простыми и составными. Оказывается, простые делятся без остатка только на себя самих да на единицу, в то время как составные — ещё и на другие натуральные числа. 17 — простое число: оно ни на что, кроме себя и единицы, не делится. А 18, кроме того, делится и на 2, и на 3, и на 6, и на 9. Значит, это число составное. Но каким всё-таки образом Эратосфен их отделял?

— Просеивал, — сказала Ари. — Сквозь решето.

Ну и дела! Числа просеивают?! Как муку? Но Ари пояснила, что «решето Эратосфена» — выражение образное, иносказательное. Хотя поначалу способ этот походил на решето и в прямом смысле. Написав на покрытой воском дощечке ряд натуральных чисел, Эратосфен протыкал острой палочкой составные, и вскоре дощечка покрывалась проколами, хотя и не сквозными.

Тут Ари нажала какую-то кнопку, и Чит, который всё время ждал, когда появится Древняя Греция, увидел вполне современный дом, но такой высокий, что верхушка его терялась где-то в небе. В каждом этаже у него насчитывалось по десяти окон. Все они были перенумерованы, начиная с нижнего этажа, и ярко освещены. Только на первом этаже вместо крайнего левого окна было гладкое место, и первое окно значилось сразу под номером 2.

— Перед нами натуральные окна… то есть числа, — начала Ари, — и сейчас мы с тобой просеем их по способу Эратосфена.

— А единица где? — придрался Чит.

— По условию единица к простым числам не относится. Итак, приступим. Для удобства займёмся только тремя нижними этажами. Остальные пусть просеивает кто хочет. Сперва зачеркнём, вернее, погасим каждое второе окно после номера 2, то есть все чётные числа до тридцати, которые, само собой, уже потому не простые, что делятся на 2. — Ари отстукала пальцем по каким-то клавишам. — Что погасло?

Чит назвал окна под номерами 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, и Ари предложила ему погасить каждое третье число после тройки.

— Ой! — растерялся он. — Шестёрка уже погашена.

— Не беда. Будем считать, что мы её погасили ещё раз. Итак, гасим номера 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. Теперь посмотрим, какое окно осталось освещённым после номера 3?

— Номер 5.

— Вот и погасим каждое пятое окно после номера 5. Это номера 10, 15, 20, 25, 30. Поехали дальше. Возьмём следующее после пятёрки непогашенное число 7…

— …и погасим каждое седьмое окно после семёрки, — подхватил Чит. — Это 14, 21, 28. Потом каждое одиннадцатое после 11, каждое тринадцатое после 13, каждое семнадцатое после 17, девятнадцатое после 19, двадцать третье после 23…

— Уймись! — смеясь, остановила его Ари. — Наши 30 номеров давно уже просеяны. Оставим что-нибудь и для других. Лучше посмотри, какие окна остались непогашенными.

— Под номерами 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

— Вот тебе и первые простые числа.

— А последние какие?

— Никакие. Простым числам, как и натуральным, конца нет.

— Странно! — задумался Чит. — Помнится, про совершенные числа ты другое говорила.

— Правильно. Бесконечно или конечно множество совершенных чисел, этого пока никто не знает. Зато бесконечность множества простых давным-давно доказал Эвклид.

— А много их известно? На сегодняшний день?

— Много. Куда больше, чем совершенных. И чем дальше, тем дольше работают машины, чтобы вычислить новое простое число: ведь значность их всё время растёт! В последнем из найденных простых чисел более шести тысяч знаков.

— Ха! Ничего себе простое! Да его надо на телеграфной ленте записывать.

— И всё же оно не перестаёт от этого быть простым. Что в самом деле не просто, так это найти закон, по которому простые числа распределяются среди натуральных.

— Да разве он не открыт?

— Увы! — развела руками Ари. — Разве что ты его когда-нибудь откопаешь…

Чит уже столько всего насмотрелся, что и представить себе не мог, какие ещё сюрпризы ждут его в лабиринте чисел? Но Ари сказала, что есть ещё порох в пороховницах, и привела его в комнату смеха. Чит никогда бы и не подумал, что здесь такая имеется: очень уж математика серьёзная наука!

— В том-то и дело! — возразила Ари. — Настолько серьёзная, что никогда не следует упускать случая сделать её и немного занимательной. Кстати, слова эти принадлежат твоему доброму знакомому Паскалю, и уж его-то в отсутствии серьёзности не упрекнёшь! Но и он, как видишь, полагал, что юмор в математике не только не помеха, но и подмога. Это легко понять. Совсем, наверное, недавно ты, как и все малыши, любил стихи-перевёртыши…

— Ещё бы! — оживился Чит. — «Уточки заквакали: „Ква, ква, ква!“, лягушечки закрякали: „Кря, кря, кря!“…»

— Вот-вот, — закивала Ари. — Забавное несоответствие смешило тебя, а заодно помогало утвердиться в том, что правильно, а что — нет. Так и математические нелепицы: они не только забавляют нас, но и совершенствуют нашу логику. К тому же то, что преподносится весело, легко запоминается…

— Но я пока что не вижу в вашей комнате смеха ничего смешного! — Чит ткнул пальцем в плакат с дробью ²⁶/₆₅. — Что, например, забавного в этой дроби?

— Ничего. Зато как её здесь сокращают! Впрочем, о сокращении дробей мы ещё как будто не говорили, — спохватилась Ари. — Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же число. Для этого надо сперва найти их наибольший общий делитель.

Как ты думаешь, какой наибольший общий делитель у дроби ²⁶/₆₅?

— Вроде бы 13.

— Вот и сократи эту дробь на 13. Что получится?

— Две пятых.

— А теперь погляди, как это делают здесь.

Ари нажала кнопку под дробью, и в ту же секунду шестёрки в числителе и знаменателе исчезли, а на плакате осталось ²/₅. Что за чепуха! Сокращение явно неправильное, а ответ — верный… Как же так? Но Ари сказала, что никак. Просто случайное совпадение. И тут же предложила Читу умножить в уме число 10 001 на… хотя бы на 4253. У того, конечно, глаза на лоб полезли. Но оказалось, задание вполне выполнимое. Надо только записать число 4253 дважды, одно за другим — и ответ в кармане! Сорок два миллиона пятьсот тридцать четыре тысячи двести пятьдесят три. Почему? Перемножьте числа, как полагается, столбиком, — тогда и поймёте.

Следующий плакат доказывал, что 3 = 7. «Доказательство» начиналось с выражения «15 – 15 = 35 – 35». Потом в левой части равенства за скобки выносился множитель 3, а в правой — 7. Получалось вот что: 3(5 – 5) = 7(5 – 5). Но все знают, что равенство не нарушится, если обе его части разделить на одно и то же число. Вот их и разделили на выражение (5 – 5), после чего стало совершенно ясно, что 3 = 7.

Чит хохотал как сумасшедший, но сам в ошибке так и не разобрался. Он не учёл, что (5 – 5) равно нулю, а деление на нуль категорически запрещено. И, судя по этому примеру, не зря!

— Никогда не думал, что математики такие весёлые люди, — сказал он, кончив смеяться.

— И острые на язык, — добавила Ари. — Есть такая книга «Физики шутят». Хорошо бы написать такую же о математиках. Я бы начала её со случая с Эвклидом. Ознакомясь с его книгой о геометрии «Начала», царь Птолемéй многого не понял. Он спросил: не может ли Эвклид упростить свои рассуждения и пойти более лёгким путём? На что тот ответил: «В геометрии нет царских дорог».

Читу одинаково понравились и ответ Эвклида, и мысль написать о том, как математики шутят. Он даже снова захотел стать писателем. Но тут выяснилось, что такая книга уже появилась, просто Ари её ещё не достала. Чит ужасно расстроился, но добрая Ари быстро его утешила: к тому времени, как Чит вырастет, сказала она, математики наговорят столько остроумного, что и на несколько книг хватит!

— Вот и подошло к концу твоё первое путешествие по лабиринту чисел, — сказала Ари. — Последняя остановка — Ясность.

— Как? — удивился Чит. — Разве есть такое математическое понятие?

— Нет, конечно. Но если уж без юмора математика не обходится, то без ясности и подавно. Ясность — непременное условие всякого математического определения, всякого доказательства. Стремление к ясности у математиков в крови. Это, можно сказать, самая жгучая их потребность. Более двадцати столетий математики всего мира пытались внести ясность в пятый по счёту постулат (основоположение) эвклидовой геометрии, непротиворечивость которого ни доказать, ни оспорить невозможно. И лишь в XIX веке усилия их увенчались успехом. Около трёхсот лет то и дело вспыхивает острый интерес к так называемой великой теореме Фермá. Но здесь до ясности, кажется, далеко. Дожидается прояснения ряд математических вопросов, поставленных крупнейшим математиком XIX–XX веков Давидом Гильбертом. Они так и называются — проблемы Гильберта, и одну из них как раз решили с помощью чисел Фибоначчи. Всё ещё не ясно, по какому закону искать простые числа. Всё ещё не ясно, конечно или бесконечно множество совершенных? И есть ли нечётные совершенные числа…

— Я вижу, неясностей в математике куда больше, чем ясности, — ввернул Чит.

— Не так уж это плохо, — возразила Ари. — Маяковский недаром сказал: «Кто постоянно ясен, тот, по-моему, просто глуп». Человеческий мозг — странная штука. Никогда он не довольствуется достигнутым. Подавай ему новую и новую пищу для размышлений. И неизвестно ещё, что доставляет нам бóльшую радость: поиски ясности или достижение её?

— Н-да! Ясности в этом вопросе маловато, — снова сострил Чит. — Но к чему ты всё-таки клонишь?

— Неужели не догадываешься? Хочу внести ясность в наши с тобой отношения. Вот выйдешь ты отсюда, а потом, глядишь, и из школы. Пойдёшь учиться дальше. Кто знает, может, и вправду станешь писателем… Но если даже так, если математика не станет делом твоей жизни, не забывай о ней! Нет-нет да заглядывай в лабиринт чисел. Здесь всегда ждут тебя другие, более сложные маршруты. Правда, из чисел рубашки не сошьёшь — есть, кажется, такая пословица. Но не рубашкой, да и не хлебом единым жив человек! В мире чисел всегда найдёшь заново точильный камень для ума и крылья для воображения. А без воображения… Без воображения нет ни математика, ни писателя, ни человека вообще. Ясно?

— Ясно!