Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Если вы не поленились и прочитали предисловие, вы уже знаете, что у меня есть довольно солидная коллекция книг по математике. Одно из моих любимых занятий – возиться с интересными задачами. Ну, для меня-то это естественно. Я этому и учился. Но чтобы увидеть красоту и изящество математики, необязательно заканчивать математический факультет. Если вам хватает терпения немного подумать, вы найдете тысячи интересных – и иногда весьма знаменитых – математических задач и парадоксов, которыми уже много веков восхищается стар и млад. Стоит приложить немного усилий, и почти кто угодно сможет испытать тот восторг, в который приводит способность решать головоломки, кажущиеся на первый взгляд чрезвычайно сложными.

В этом разделе я представлю скромный набор математических задач из числа моих любимых, от довольно простых до весьма глубоких и даже предположительно неразрешимых (а если вы их все-таки решите, вас ждет премия). Я хочу познакомить вас, мой уважаемый читатель, хотя бы с немногими образцами интереснейших размышлений, которые вы можете найти в поразительном мире математики.

Великое маленькое исследование – открытая проблема

Много лет назад я прочитал удостоенную Пулитцеровской премии книгу Дугласа Р. Хофштадтера «Гёдель, Эшер, Бах». Сам автор называет ее «метафорической фугой о разумах и машинах в духе Льюиса Кэрролла». Она рассказывает о самых разнообразных предметах из царств математики, музыки, симметрии, искусственного интеллекта и логики и содержит множество математических загадок. Я хотел бы познакомить вас с одной из них.

Возьмем любое число – точнее, любое целое или натуральное число. Ахилл (он же Ахиллес – тот самый, у которого были проблемы с пяткой), также ставший одним из персонажей книги Хофштадтера, задумал число 15. Вы, разумеется, можете выбрать любое число по своему вкусу.

Теперь сделаем вот что: если это число четное, разделим его на 2. Если оно нечетное, умножим его на 3 и прибавим 1. Будем повторять эту процедуру снова и снова, пока не получим (если получим) число 1. Посмотрим, как это работает:

Поскольку 15 – число нечетное, умножим его на 3 и прибавим 1.

15 × 3 + 1 дает 46.

46 – число четное: разделим его на 2 и получим 23. Поскольку это число нечетное, умножим его на 3 и прибавим 1.

23 × 3 + 1 = 70

Продолжим этот процесс:

70/2 = 35;

35 × 3 + 1 = 106;

106/2 = 53;

53 × 3 + 1 = 160;

160/2 = 80;

80/2 = 40;

40/2 = 20;

20/2 = 10;

10/2 = 5;

5 × 3 + 1 = 16;

16/2 = 8;

8/2 = 4;

4/2 = 2, и наконец 2/2 = 1.

Процесс дошел до конца.

Спрашивается, правда ли, что эта процедура рано или поздно приводит к 1 для любого исходного числа?

Попробуйте подставить в нее пару других чисел. Для некоторых из них этот процесс может оказаться чрезвычайно долгим, и вам, возможно, понадобится очень большой лист бумаги. Если вы попытаетесь запустить этот процесс на компьютере, имейте в виду – вычисления могут затянуться.

Хофштадтер предложил Ахиллесу попробовать число 27. Вы можете последовать его примеру. Я дам вам пару минут… или, может быть, часов.

Сдаетесь? Если начать с 27, кажется, что процесс все продолжается и продолжается и дает нескончаемую цепочку вычислений. В какой-то момент вы можете решить, что она и впрямь никогда не закончится. На самом деле требуемое в этом случае число шагов равно 111.

В своей книге Хофштадтер предостерегает Ахиллеса относительно попыток найти ответ на заданный выше вопрос (действительно ли из любого числа можно получить 1?) и рассказывает, что эта задача известна под названием «гипотеза Коллатца» (напомню на всякий случай, что «гипотеза» значит «догадка» или, точнее, «предложение возможной новой теоремы, которую еще нужно доказать»). Она утверждает, что, с какого бы числа мы ни начали описанный выше процесс, он рано или поздно приведет к 1. Эта гипотеза названа в честь немецкого математика Лотара Коллатца (1910–1990), впервые описавшего ее в 1937 г. Тем не менее у нее есть и другие названия: в частности, ее называют гипотезой Улама (по имени польского математика Станислава Улама) или задачей Какутани (по имени японского математика Сидзуо Какутани). Иногда говорят просто о гипотезе 3n + 1, что вполне логично.

Когда я впервые узнал о гипотезе 3n + 1, я был слишком молод, чтобы осознать, насколько сложна и глубока эта задача. Я предполагал, что мне понадобится всего несколько дней, чтобы придумать критерий, определяющий, для каких чисел эта процедура дает на последнем шаге 1. Мне казалось даже, что я сумею доказать истинность гипотезы – что любое число в конце концов приводит к 1. Возможно, занимаясь этим, я даже смогу открыть распределение числа шагов, необходимого для каждого конкретного числа (например, когда мы подставили число 15, количество шагов оказалось равным 17). Я не мог понять только одного: как так получилось, что никто до сих пор не сумел решить эту задачу.

Во всяком случае, так я думал…

По-видимому, существует веская причина, по которой эта задача все еще считается «открытой проблемой».

Хотя успеха я не добился, это меня не слишком расстроило. Я нахожу трудные вопросы очень привлекательными. Они заставляют размышлять. На самом деле я даже больше люблю задачи, которые не могу решить (или по меньшей мере не могу решить без труда), чем те, которые решаются в момент и без особых интеллектуальных усилий. Разумеется, это не значит, что я оказываюсь на вершине блаженства, когда не могу справиться с какой-нибудь проблемой – несомненно, решение непростой задачи, доставшееся ценой большого труда, доставляет гораздо больше удовольствия.

Вернемся, однако, к нашей гипотезе. Посмотрите, что тут происходит. Мы столкнулись с математической задачей, в которой используются только базовые арифметические операции – сложение, умножение и деление, – и тем не менее никто на свете не знает, как ее решить!

Как такое может быть? Можно было бы предположить, что задача, которую можно сформулировать таким простым образом, должна иметь простое решение. Не тут-то было! На простой вопрос не всегда есть простой ответ. В математике есть множество вопросов, которые можно задать маленькому ребенку, и он легко поймет, в чем состоит задача, но ответов на них до сих пор не нашли даже самые гениальные взрослые.

Если рассмотреть достаточное количество примеров задачи Коллатца, можно заметить одно обстоятельство: последние числа, появляющиеся в этом процессе представляют собой последовательно уменьшающиеся степени 2. Например, если начать с 15, то последние пять чисел последовательности – это 16, 8, 4, 2 и, наконец, 1.

Это явление можно сформулировать в виде правила, сказав, что если процесс доходит до числа вида 2ⁿ, то он гарантированно сойдется к 1 в точности через n делений на 2. Это наблюдение позволяет перефразировать гипотезу 3n + 1 следующим образом: приходит ли на каком-то этапе процесс, начатый с любого произвольного числа, к степени 2?

Принцип замены исходной задачи на другую называется приведением или упрощением. Этот метод – полезный математический инструмент; в некотором смысле он открывает более естественный путь к решению математических задач. Еще одна, похожая, стратегия решения задач – это рассуждения в обратном порядке (от конца к началу). Этот прием, возможно, знаком вам по лабиринтам. Когда разрабатываешь маршрут по лабиринту, иногда бывает удобнее начать от выхода и прокладывать путь к исходной точке. В некотором глубоком смысле можно сказать, что в том же состоит и метод приведения математической задачи.

Венгерский математик Пал Эрдёш (1913–1996) любил предлагать денежные призы за успешное решение интересовавших его открытых математических проблем. Призы эти начинались с 25 долларов, а доказательство гипотезы Коллатца стоило в его прейскуранте целых 500 долларов – то есть попадало в категорию весьма дорогих задач, хотя сам Эрдёш говорил, что мир математики, возможно, не готов к таким сложным и запутанным задачам, как гипотеза 3n + 1. Эрдёша уже нет с нами, но можно не беспокоиться: выплату призов взял на себя его коллега Рон Грэм. Если вам удастся решить эту задачу, вы можете получить приз одним из двух способов: либо в виде чека, который сам Эрдёш выписал перед смертью (его можно только вставить в рамку: срок действия этого чека давно истек), либо реальными деньгами (выбор между грехом гордыни и грехом сребролюбия).

К слову, а также потому, что я хотел бы поделиться этим интересным фактом, самое большое число, когда-либо использованное в математическом доказательстве, названо в честь этого же самого Рона Грэма. Число это настолько велико, что его невозможно записать в стандартной математической нотации.

Вернемся наконец к доказательству гипотезы Коллатца. Его не существует, и, по правде говоря, я знаю множество способов заработать 500 долларов, гораздо более простых, чем возня с этой задачей.

Загадка шахматной доски

Я несколько сомневался, говорить ли о следующей загадке. На самом деле она очень проста. Тем не менее после бурного спора с самим собой я решил все-таки рассказать о ней, потому что она весьма знаменита, причем и сама загадка, и ее решение замечательно красивы.

Рассмотрим сетку размером 8 × 8 ячеек.

Очевидно, всю эту сетку легко покрыть 32 костяшками домино размером 1 × 2 ячейки. А теперь уберем две клетки, расположенные в противоположных углах.

Можно ли покрыть получившуюся сетку всего 31 костяшкой?

Мои друзья (все они не математики, но по большей части люди весьма умные) в большинстве своем уверены, что можно, – нужно только сообразить, как именно их следует расположить.

Но правильный ответ на этот вопрос – «нет». Что бы мы ни делали, 31 костяшка домино не может покрыть сетку с удаленными противоположными угловыми клетками.

Почему это так, немедленно становится ясно, если взять вместо такой незакрашенной сетки черно-белую шахматную доску.

Как видно на рисунке, каждая костяшка домино может закрыть одну черную клетку и одну белую; поэтому 31 костяшка может закрыть в точности 31 белую клетку и 31 черную. Поскольку две клетки, удаленные с доски, одного и того же цвета – белые, – в обрезанной доске осталось 30 белых клеток и 32 черные. Много лет назад, когда я учился на математическом факультете в Тель-Авиве, я вел для «интересующейся наукой молодежи» курс под названием «Парадоксы, загадки и числа». Я давал эту задачу молодым слушателям своего курса. Каждый раз происходила одна любопытная вещь. Многие ученики решительно не соглашались с доказательством, которое показывает, что 31 костяшка домино не может покрыть доску с удаленными противоположными угловыми клетками. Интересно отметить, что в их число входили и ученики, казалось бы, вполне понимавшие объяснение этого доказательства; тем не менее они упорно раскладывали костяшки домино так и эдак, стараясь покрыть эту самую доску с обрезанными углами. Я даже не пытался убедить их в бессмысленности этого занятия – каждый должен учиться на собственных ошибках.

Докажите, что, если из шахматной доски удалить любые две клетки разных цветов, все оставшиеся клетки всегда можно покрыть 31 костяшкой домино.

Бесконечные крестики-нолики

Когда я учился в начальной школе в Литве, в своем родном Вильнюсе, одним из самых значительных моих достижений было обретение виртуозного умения играть на уроках в стратегические игры с карандашом и бумагой и не попадаться учителям. Моей любимой игрой был бесконечный вариант крестиков-ноликов. Эта игра не раз спасала меня от скуки на занятиях, на которых меня заставляли сидеть.

Позвольте объяснить вам правила игры.

Вы, несомненно, знакомы с обычными крестиками-ноликами, в которые играют на поле размером 3 × 3 клетки. Эта игра подходит для детей лет до шести. После этого возраста каждая партия должна неизменно заканчиваться вничью, если только один из игроков не заснет в процессе игры (что, бесспорно, возможно, учитывая, насколько эта игра скучна).

В бесконечном варианте играют на бесконечном поле, и каждый игрок стремится выстроить ряд из пяти крестиков или ноликов. Как и в исходном варианте, ряд может быть горизонтальным, вертикальным или диагональным. Игроки по очереди ставят на поле крестики и нолики, и первый, выстроивший ряд из пяти своих символов, считается победителем.

a)

б)

a) У ноликов нет хода, который позволил бы заблокировать две «открытые» тройки крестиков; нолики проигрывают

б) Пример еще одной партии, которую только что выиграли крестики

В начальной школе, когда я «открыл» эту игру, я думал, что сам ее и изобрел, но впоследствии узнал, что это не так: существует игра под названием «гомоку», очень похожая на бесконечные крестики-нолики. Она особенно популярна в Японии и Вьетнаме. Слово го означает по-японски «пять».

Вы наверняка слышали об игре го. Однако, хотя в гомоку часто играют на такой же доске, какую используют для этой прославленной великой игры, между ними нет никакой связи. Го – древняя китайская игра, которая даже упоминается в «Аналектах»[2] Конфуция. Поскольку она попала на Запад через Японию, мы используем ее японское название, но, как я уже сказал, го – это не гомоку[3]{2}.

Несмотря на тот опыт, который я накопил, играя на уроках – а иногда и на переменах (хотя на переменах играть не так интересно – потому что это не запрещено!), я не мог понять, всегда ли игрок, начинающий первым (то есть играющий крестиками), выигрывает, если он применяет правильную стратегию, независимо от того, как играет его противник, или же партия всегда заканчивается вничью (точнее, не может закончиться никогда), если оба ее участника играют правильно. Интуиция подсказывала мне, что должна существовать какая-то стратегия, обеспечивающая победу игроку, делающему первый ход в партии.

По совести, я должен признаться, что не играл в эту игру уже несколько десятков лет. Я вспомнил о ней, когда писал эту книгу. Но вопросы о стратегических аспектах игры и о существовании некой выигрышной стратегии занимают меня до сих пор. Я даже готов поспорить, что такая выигрышная стратегия существует. Когда я буду старше и у меня будет больше свободного времени, я собираюсь всерьез заняться поисками этой стратегии, но, пока эти мои планы относятся к отдаленному будущему, вы вполне можете попытаться найти ее раньше меня и избавить меня от этой работы.

Монах и его задача{3}: взгляд с обеих сторон

Однажды ранним утром, на самом восходе солнца, старый буддийский монах начал подниматься по крутому и извилистому горному склону к монастырю, стоявшему на вершине. Монах взбирался по узкой, извивающейся тропе – единственному пути в монастырь. Подъем был поистине изнурительным.

Он шел то быстрее, то медленнее, время от времени останавливаясь передохнуть, бормоча мантры, а иногда задерживаясь, чтобы немного поесть или попить воды. До монастыря на вершине он добрался в тот самый момент, когда солнце начинало садиться. Старый монах провел в монастыре несколько дней, уча молодых монахов о сострадании, о Четырех благородных истинах, о шуньяте (пустотности), об иллюзорности самосознания, о сансаре и страдании, о карме и спокойствии, о Благородном восьмеричном пути, об учении Нагарджуны и о желании избавиться от желаний.

Когда же монах закончил свои поучения, пришло время спуститься с горы и вернуться в свою деревню. Он начал спускаться в то же время, когда начинал подниматься – с появлением первых солнечных лучей, – и шел в точности по тому же пути, что и раньше. Спускался старый монах, разумеется, гораздо быстрее, чем поднимался. Когда он дошел до конца спуска, ему в голову пришло, что на тропе, несомненно, есть такая точка, которую он проходил на подъеме и на спуске в точности в одно и то же время суток.

Как монах пришел к этому выводу? Если вы еще не нашли ответа на этот вопрос за десять секунд размышлений, вот вам вполне очевидная подсказка:

Математика тенниса: бесконечность – это сколько?

В 1953 г. английский математик Джон И. Литлвуд (1885–1977) предложил следующий парадокс, известный теперь под названием «парадокс Росса – Литлвуда».

Перед входом в огромную пустую комнату выложен бесконечный ряд теннисных мячей, пронумерованных по порядку: 1, 2, 3, 4… Близится полночь. За тридцать секунд до 0:00 в комнату вносят мячи 1 и 2 и мяч номер 1 немедленно выносят из нее. За пятнадцать секунд (четверть минуты) до 0:00 в комнату вносят мячи 3 и 4, а мяч номер 2 выносят. За одну восьмую минуты до 0:00 в комнату вносят мячи 5 и 6, а мяч номер 3 выносят – и так далее. На языке математики мы бы сказали, что за (½)ⁿ минуты до 0:00 в комнату вносят мячи 2n – 1 и 2n, а мяч номер n из нее выносят.

Спрашивается, сколько мячей будет в комнате ровно в 0:00?

Те, кто пытается ответить на этот вопрос, замечают, что возможных ответов существует два, и у обоих почти что поровну сторонников: бесконечно много или ни одного. Как такое может быть? Рассмотрим логические обоснования обоих ответов.

Бесконечно много. В конце процесса в комнате будет бесконечно много мячей, потому что на каждом из бесконечного количества этапов в ней прибавляется по одному мячу (два заносят в комнату, но один из нее выносят). Математики формулируют это утверждение так: для любого n можно точно определить момент, в который число мячей равно n + 1. Следовательно, в 0:00 в комнате окажется бесконечно много мячей.

Ни одного. В 0:00 в комнате не будет ни одного мяча, потому что для любого мяча можно точно указать момент, в который его выносят из комнаты. Мяч номер 1 выносят, когда часы показывают полминуты до полуночи, мяч номер 2 – за четверть минуты до полуночи и так далее. Говоря математическим языком, n-й мяч выносят из комнаты в точности за ½ в n-й степени минуты до полуночи.

Если бы на эту тему проводился опрос, за какой ответ проголосовали бы вы?

Здесь важно понимать – хотя согласиться с этой мыслью может быть немного трудно, – что количество моментов, остающихся до полуночи, бесконечно, потому что оставшийся промежуток всегда можно разделить на два.

Я бы сказал, что правильный ответ – «бесконечно много», и даже рискнул бы утверждать, что те, кто выбирает второй ответ, вероятно, не могут отрешиться от схемы конечных рассуждений. Их стремление узнать, сколько мячей окажется в комнате «в конце» процесса, похоже на стремление узнать, какие числа находятся «в конце» последовательности натуральных чисел, то есть «в конце» ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, 12 367, 12 368…

Все мы знаем и понимаем, что множество натуральных чисел бесконечно, и никто на свете не может сказать, какие числа находятся «в конце» их ряда, просто потому, что у этого ряда нет никакого конца.

Интересно отметить, что Блаженный Августин (354–430) полагал, что Бог видит и знает все бесконечное количество натуральных чисел и их свойства и тем самым каким-то образом превращает их в конечное множество (но это, разумеется, лишь точка зрения Блаженного Августина).

Вот две другие вариации парадокса Росса – Литлвуда.

У нас снова есть бесконечный ряд теннисных мячей с номерами 1, 2, 3, 4… выложенный перед входом в огромную пустую комнату. За полминуты до полуночи в комнату вносят мячи 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 и выбрасывают из нее мяч номер 1. За четверть минуты до полуночи в комнату вносят мячи 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 и 20 и выбрасывают из нее мяч номер 2 – и так далее.

Вопрос, разумеется, остается тем же: сколько мячей будет в комнате ровно в полночь?

В этом случае на каждом этапе в комнату добавляют 10 мячей, а убирают только один, то есть в ней становится на девять мячей больше. Поскольку эта процедура повторяется бесконечное число раз, кажется совершенно ясным, что в полночь в комнате будет бесконечно много мячей (можно даже сказать, девять раз по бесконечно много!).

Можете ли вы сказать, какие именно мячи будут в комнате? То есть номер(а) мячей, которые останутся в комнате.

Перед огромной пустой комнатой по-прежнему выложен все тот же ряд теннисных мячей с номерами 1, 2, 3, 4… За полминуты до полуночи в комнату вносят мячи 1 и 2, причем мяч 2 сразу же из нее выкидывают. За четверть минуты до полуночи в комнату вносят мячи 3 и 4, причем мяч 4 сразу же из нее выкидывают. И так далее. Тот же вопрос: сколько мячей будет в комнате в полночь?

Внезапно все становится кристально ясно.

Поскольку мы выкидываем все мячи с четными номерами, в полночь в комнате будет бесконечно много мячей, и у всех у них будут нечетные номера. Так что мы знаем, какие именно мячи останутся в комнате в полночь: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…

Разумеется, количество нечетных чисел бесконечно, и все они будут в комнате. Четные числа также образуют бесконечное множество, но они окажутся снаружи.

Можно ли сказать, что множества нечетных чисел и четных чисел меньше, чем множество всех натуральных (то есть целых положительных) чисел?

На первый взгляд можно решить, что это утверждение должно быть справедливым. Казалось бы, логично считать, что, например, множество четных чисел должно быть в два раза меньше множества всех натуральных чисел (в которое входят числа как четные, так и нечетные).

Однако посмотрим на этот вопрос вот с какой стороны: каждому натуральному числу можно сопоставить натуральное число.

Теперь мы начинаем осознавать эту умопомрачительную концепцию: хотя в множестве четных чисел пропущено каждое второе число (по сравнению с множеством всех натуральных чисел), количество элементов обоих множеств все равно одинаково. Говорят, что это множества одинаковой мощности. В этой книге мы еще поговорим о концепции мощности множества гораздо подробнее.

А это, по сути, подводит нас к вопросу еще более глубокому: можно ли вообще сравнивать бесконечные множества чисел и спрашивать, какое из них больше? Имеют ли слова «больше» и «меньше», «крупнее» и «мельче» вообще хоть какой-нибудь смысл, когда речь идет о бесконечных величинах?

Читайте дальше!

Концепция бесконечности сложна и глубока и иногда действительно кажется невообразимой. Имеет смысл вспомнить, что говорил на эту тему Галилей:

Несмотря на всю симпатию и все уважение, которые я питаю к Галилео Галилею, я придерживаюсь более оптимистических взглядов. В оставшейся части этой книги мы будем довольно плотно иметь дело с бесконечностью, хотя и останемся, увы, существами до боли конечными. Как сказал Паскаль:

Если вы по-прежнему не уверены в том, что (во всех этих версиях) в полночь в комнате будет бесконечно много мячей, мне остается только пустить в дело тяжелую артиллерию и предложить вам следующую, последнюю версию этого парадокса: предположим, что мячи не пронумерованы; все они – самые обычные белые теннисные мячики.

Наличие или отсутствие нумерации не должно никак повлиять на количество мячей, оказавшихся в комнате к полуночи.

Теперь все должно быть кристально ясно. Если итоговое число мячей на каждом шаге увеличивается, а количество таких шагов до 0:00 бесконечно, то в полночь должно получиться бесконечное число мячей.

Теперь мы можем ответить и на вопрос о том, какие именно мячи будут в комнате.

В ней будет бесконечно много… белых мячей!{4}

Последняя версия принципиально отличается от всех предыдущих тем, что в ней нет правила, определяющего, какие именно мячи выбрасываются из комнаты. Когда у мячей есть номера, это дает нам возможность предлагать правила. Но теперь все мячи одинаковы, и мы вынуждены выбирать, какие из них выбросить, случайным образом.

Первое апреля, или Логика в доме старшего брата

Знаменитый логик, фокусник и математик Рэймонд Смаллиан (1919–2017) (он, к слову сказать, был еще и концертным пианистом: его исполнение Баха можно послушать на YouTube) рассказывал, как он впервые столкнулся с концепцией логики. Это случилось однажды 1 апреля, когда Рэймонд был еще маленьким мальчиком. Накануне вечером старший брат будущего логика пообещал, что разыграет его (как обычно и делают первого апреля), и заверил, что Рэймонд не сумеет избежать розыгрыша, как бы он ни пытался.

Рэймонд воспринял эту угрозу очень серьезно и решил, что не доставит брату такого удовольствия и не позволит себя разыграть. Подумав немного, он решил, что лучшим способом уберечься от первоапрельского розыгрыша будет засесть в своей комнате и не выходить из нее весь день.

Умно́, не правда ли?

Рэймонд пошел в свою комнату, закрыл дверь и сидел там, изнывая от скуки, час за часом… до самой полуночи. Потом он гордо вышел из комнаты и торжествующе объявил брату, что его план провалился. Брат ответил: «А вот и нет! Я тебя разыграл! Ты думал, что я тебя разыграю, а я тебя так и не разыграл, значит, я тебя разыграл! Ха-ха-ха!»

До самой смерти Рэймонд Смаллиан не был уверен, что же все-таки произошло: удалось или не удалось брату его разыграть. А вы как думаете?

Шоколад и яд

Эта весьма простая игра больше всего известна под названием Chomp[6]. Вариант этой игры на плитке шоколада изобрел ныне покойный американский математик Дэвид Гейл, а название Chomp придумал Мартин Гарднер. Играют в нее на разграфленной на клетки доске по следующим правилам.

Игрок, делающий первый ход, помечает одну из клеток крестиком.

После этого все клетки, расположенные выше и правее помеченной, также помечаются крестиками (и выходят из игры). Ниже исходный крестик выделен жирным шрифтом:

Теперь второй игрок должен пометить любую из оставшихся пустыми клеток ноликом. После этого все пустые клетки, расположенные правее и выше помеченной, также помечаются ноликами (исходный нолик выделен жирным шрифтом):

Затем первый игрок ставит следующий крестик, второй игрок ставит следующий нолик, и так продолжается до тех пор, пока один из них не будет вынужден съесть отравленную дольку и умереть (разумеется, метафорически).

Осторожно: эта игра затягивает!

Можете попробовать поиграть в нее на доске размером 7 × 4 (7 строк и 4 столбца или наоборот).

Если в эту игру играют на доске с равным количеством строк и столбцов, существует стратегия, при помощи которой первый игрок всегда побеждает. Можете ли вы ее найти? Подумайте минуты три.