Знание-сила, 2006 № 06 (948)

Почему я выбрал бы математику?

В прошлый раз[* См. статью автора "Почему я выбрал бы физику?*. "Знание - сила", № 3,2006.] мы говорили о кризисной, предреволюционной ситуации, которая, как мне кажется, сложилась в физике. По-моему, аналогичная ситуация, но по другим причинам, сложилась и в математике. Об этом приходится думать каждый раз, когда идешь читать студентам лекции по центральному курсу математических наук — математическому анализу.

Чтобы обнаружить приметы кризиса, давайте задумаемся, что, собственно. отличает математиков от представителей других родственных наук, скажем, теоретической физики. Ну, конечно, это теоремы. Еще в школе мы твердо усвоили: математики — это люди, доказывающие теоремы. Но вот что странно. Я открываю книгу Леонарда Эйлера "Введение в анализ бесконечно малых", изданную у нас полностью в 1961 году (первое издание 1936 года осталось незаконченным, вышел только первый из двух томов).

Эту книгу подарил мне мой дядя, когда я поступил в университет. Непосредственно для изучения математического анализа книга уже давно непригодна — уж очень изменилась математика со времен Эйлера и Ломоносова, но по ней хорошо видно, как развивалась математика.

Я открываю книгу и вижу, что в ней совершенно нет теорем! Есть какие-то общие утверждения — они выделены курсивом, но нет и следа общих доказательств. Есть примеры решения задач, которые при желании и владении несложной для профессионала математической техникой можно превратить в теоремы. Даже в книгах по теоретической физике сейчас трудно встретить такой уровень изложения. В чем дело? Ведь Эйлер, несомненно, был великим математиком, я постоянно рассказываю о его результатах на лекциях. Правда, к большинству из этих результатов с трудом применимо слово "теорема", про них говорят "второй замечательный предел", "подстановки Эйлера", "формула Эйлера" и тому подобное. А с другой стороны, Эйлер одновременно и великий физик. Ну кто из студентов, изучавших, например, гидродинамику, не слыхал об уравнениях Эйлера?

Дело в том, что Эйлер жил в XVIII веке, а математика того времени практически неотделима от физики. Перед Эйлером, видимо, вообще не вставал вопрос о том, кто же он — математик или физик. Забавно, что вообще линия раздела между математикой и физикой по-разному проходит во Франции, Германии, России, с одной стороны, и в англосаксонских странах (Великобритании, США и так далее), с другой. У нас математик — тот, кто доказывает теоремы, а у них — тот, кто пишет формулы. Те, кого у нас уверенно называют специалистами по теоретической физике, в англосаксонских странах работают на факультетах прикладной математики.

В истории математики теоремы и их доказательства выдвинулись на первый план в начале XIX века. В это время в математике произошел очередной кризис. Рассуждения, проводимые в духе Эйлера и его коллег, стали систематически приводить к парадоксам. Стало ясно, что так жить дальше нельзя. Несколько поколений математиков предприняли грандиозную ревизию математического анализа. Они постепенно шли все дальше в глубь понятий, задумываясь над тем, что раньше не вызывало никаких вопросов.

Для поколения Эйлера не казалось важным провести четкое различие между непрерывной и дифференцируемой функцией и разработать понятие предела. Этим занялся в начале XIX века Коши и его коллеги. Следующее поколение математиков задумалось над тем, что такое площадь и объем — раньше это казалось очевидным. Первый этап этих раздумий был связан с работами великого немецкого математика Римана, а само понятие площади и объема было разработано французским математиком Жорданом (у самого Римана не хватило жизни для выполнения намеченной программы). Жордан обнаружил, что нужно доказывать, например, что замкнутая кривая разбивает плоскость на внешнюю и внутреннюю части, и доказал соответствующую — очень трудную — теорему.

Еще поколение спустя этот уровень исследования показался недостаточным и французский математик Лебег предложил более глубокое и совершенное понимание того, что такое объем и плошадь. В отличие от подхода Жордана, который, в общем, опирается на идеи школьной геометрии, подход Лебега очень абстрактный и его в полной мере изучают только тс, кто хочет стать математиком-профессионалом. Достаточно сказать, что построенное Лебегом понятие — оно называется "мера" — включает как частные случаи не только площадь и объем, но и, как показал наш великий соотечественник Колмогоров, вероятность. В это время стало ясно, что нужно точно описать само понятие множества, на котором так или иначе строятся все остальные понятия, выработанные этими математиками. Это сделал немецкий математик Кантор.

Казалось — еще усилие и грандиозное наведение порядка в математике будет закончено.

Но на самом деле случился еще один кризис. В теории множеств Кантора и в технике математических доказательств обнаружились парадоксы. Некоторые из них, как оказалось, замечали еще античные философы. Например, парадокс лжеца: истинно или ложно утверждение "Я лгу"? Ведь если оно истинно, то я говорю неправду и мое утверждение, таким образом, ложно! Стало ясно, что нужно еще и еще усовершенствовать и шлифовать язык математики, технику доказательств. Например, разрешение парадокса лжеца предлагалось искать в том, чтобы последовательно уточнять, лгу ли я всегда, или только в отдельных случаях, а само парадоксальное утверждение считать плохо сформулированным. Эти поиски заняли весь XX век, и окончательное решение еще далеко не найдено. Книги, которые излагают полученные находки, захватывают гораздо больше, чем детективы Б. Акунина — нужно только немножко подучиться основам математики! Например, книга "Основания теории множеств" Френкеля и Бар- Хилела, перевод которой с не менее интересными примечаниями Есенина-Вольпина появился в 1966 году, захватывала так, что трудно было не проехать нужную тебе остановку.

Одно казалось ясным — нужно формулировать и доказывать строже. Нельзя идти на поводу у физиков, а тем более биологов, экономистов и других представителей прикладных наук. Пусть задача оказалась сложнее, чем мы думали, но путь развития указан правильно.

Беда подкралась незаметно. Сначала стали появляться теоремы, которые удачно сочетали строгость математических рассуждений и полную неправдоподобность выводов. Те, кто читали замечательную книгу Гашека о бравом солдате Швейке, помнят, как Швейк встретил в психиатрической лечебнице среди разнообразных людей, уклонявшихся от военной службы, сумасшедшего профессора математики, доказывавшего, что "внутри земного шара имеется другой шар, значительно больше наружного". Это, конечно, шутка, но не безобидная, а злая — в так называемой инвариантной проблеме объема действительно встречаются утверждения такого типа[* Г. Халвигер. "Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии". М., Наука, 1966, стр. 196.]

На этом этапе достаточно было сказать — не делайте необоснованных выводов из теорем, не вычитывайте в них того, чего в них нет! По этому рецепту написаны многие книги по математике. В них действительно нет (наверное!) ошибок, но их почти невозможно читать и применять. Чем дальше, тем больше математические книги стали доступными только самым узким специалистам. Появились теоремы, доказательство которых занимает сотни страниц. Сомнительно, чтобы эти доказательства читали больше, чем 1-2 человека, а некоторые, наверное, в деталях не читал никто, кроме автора. Представители разных областей математики перестали понимать друг друга.

Но самый страшный удар нанесло появление компьютеров. Люди, далекие от математики, поначалу думали, что компьютеры — тогда они назывались электронными вычислительными машинами — это нечто из области математики. Математическое сообщество с редким единодушием думало иначе. С помощью компьютера можно решать различные задачи — поначалу числовые, выражая решение сложных задач через простые арифметические действия. Потом стало возможным производить на компьютерах алгебраические операции, приводить подобные члены, строить графики. Но вот что уж плохо поддается компьютеризации — это доказательство теорем. Конечно, и здесь нашлись исключения. Более того, удалось доказать, что все теоремы элементарной геометрии в принципе можно вывести из аксиом с помощью компьютера. Но эти "доказательства" совершенно непохожи на обычные математические доказательства. Многие привычные приемы традиционной математики в принципе нельзя доверить компьютеру (он не понимает выражений типа — выберем из всех этих множеств по элементу и образуем из них новое множество). Около 50 лет основная часть математического сообщества делала вид, что компьютер —полезная, но не имеющая отношения к математике вещь.

В последние 10-15 лет положение кардинально изменилось. Через несколько недель я должен рассказывать студентам, как строить графики функций. Учебник ясно говорит — нельзя строить графики по нескольким произвольно выбранным значениям функции, как говорят, по точкам. Нужно искать характерные точки функции — минимумы, максимумы, перегибы, нули, а потом, опираясь на эти знания, нужно нарисовать эскиз графика. Вычисление конкретных значений может только несколько уточнить эскиз.

Я, в общем, согласен с доводами учебника — нетрудно привести пример функции, для которой вычисление нескольких значений и соединение их непрерывной кривой совершенно искажает картину. Но я знаю, что компьютер-то строит графики как раз по точкам! Я боюсь, что студенты будут смеяться надо мной, если я буду настаивать, что графики нельзя строить на компьютере. Это совсем не значит, что теория, которую я буду рассказывать, бесполезна. Я много раз видел, как нелепо использует возможности компьютера тот, кто никогда не строил графиков классическими методами. Нужно как-то совместить идеи математики теорем с идеями математики компьютеров.

В следующем семестре я должен рассказывать студентам, как с помощью компьютеров вычисляют, скажем, площадь сложной фигуры — говоря научно, берут интеграл. Для этого интересующую нас фигуру приближают системой прямоугольников, площади которых подсчитать и затем сложить для компьютера пара пустяков. Но вот вопрос — сколько же брать этих прямоугольников для того, чтобы обеспечить требуемую точность вычисления? На этот ясный вопрос учебник дает ясный ответ. Этот ответ сформулирован в виде теоремы, в которой связываются требуемая точность и необходимое число прямоугольников. Ответ зависит от деталей метода вычисления.

Конечно, я расскажу студентам все эти варианты теоремы. Однако для того, чтобы реализовать рекомендацию учебника, нужно вычислить несколько последовательных производных от функции, задающей границу интересующей меня фигуры (сколько именно — зависит от деталей метода). Хорошо, если граница задана аналитически, и я собираюсь вычислять производные на бумажке. Однако сейчас это выглядит архаизмом: вычисление нужно передоверить компьютеру, а для него вычисление производных — задача несравненно более сложная, чем вычисление интеграла. Дело в том, что для вычисления производной нужно разделить малое приращение функции на малое приращение аргумента, а при этом катастрофически теряется точность вычислений. Разумеется, математика давно разобралась, как поступать в этом случае. Соответствующие методы развил лет 40 назад академик А.Н.Тихонов, который руководил той кафедрой, на которой я сейчас работаю. Уж что-что, а эти идеи на кафедре знают. Беда только в том, что реализация идеи Тихонова (она называется регуляризацией) предполагает, что вычисление интегралов — давно пройденный этап.

Получившееся противоречие в жизни разрешается просто. Возьмем сначала N, а потом 2N прямоугольников. Если получившиеся при этом значения площади отличаются меньше, чем требуемая точность, то цель достигнута. Если же различия велики, то нужно еще вдвое увеличить количество прямоугольников. Это называется эмпирической оценкой Рунге. Оценка Рунге — не теорема. Это даже не математическая гипотеза. Ничего не стоит придумать пример, когда оценка Рунге дает неправильный результат потому, что граница фигуры очень изрезана. В этом случае компьютерщик спокойно говорит — ну, а чего ты ждал для такой границы? Возьми оценку получше. И предлагает другую оценку, которая не ближе к математическому эталону теоремы, чем оценка Рунге. Оказывается, что такие случаи встречаются в вычислительной математике повсеместно. Стандартный тип диссертации в этой области состоит в том, что найдено хоть какое-то обоснование метода, которым в данной задаче эмпирически пользовались десятилетиями. При этом на проблемы вроде обоснования оценки Рунге все уже закрывают глаза.

Замечательно, что Рунге вовсе не наш современник, а математик XIX века. Он жил в самый разгар борьбы за математическую строгость. Его работы, по-видимому, не привлекали внимание борцов с нестрогими рассуждениями, поскольку рассматривались как нечто, стоящее на обочине математики. Сейчас идеи Рунге выдвинулись в центр внимания науки. На самом деле, во все времена математики не затруднялись работать в духе Эйлера тогда, когда это казалось им разумным.

Каждый раз, когда я упоминаю на лекциях о каких-то важных, но нестрогих соображениях, студенты спрашивают, почему я не следую заветам великого Гильберта — вождя борцов за математическую строгость в начале XX века, автора знаменитых "проблем Гильберта". Приходится говорить, что он сам не затруднялся опускать проработку важных, но вспомогательных деталей в первоначальном изложении своих результатов. Версия статьи Гильберта, излагающей решение им одной из "проблем Гильберта", опубликованная в русском переводе его геометрических работ в 1948 году, содержит две сноски, в которых он честно рассказывает об этом.

Индийский уникум Раманужан работал в начале XX века в Англии в самой консервативной области математики — в теории чисел — в духе Эйлера, а два его английских учителя и друга, Харди и Литлвуд, с увлечением доводили его озарения до стандартов математической строгости, а после безвременной смерти друга написали о нем интереснейшие воспоминания.

Великий математик Колмогоров вошел в физику знаменитой статьей по теории турбулентности, написанной в 1941 году. Читая эту статью, невозможно заподозрить, что он математик, а не физик — в статье нет никаких теорем! Важно было только не заострять внимание математиков на таких нетрадиционных работах, иначе противостояние становилось острым. Вспоминаются дискуссии, которые происходили лет 25 назад, после того как физик, академик Зельдович, написал учебник математики, в котором заострял внимание не на теоремах, а на использовании математики в физике. Что только не говорили о них в запальчивости представители математической строгости!

С каждым новым поколением компьютеров и компьютерных программ противостояние компьютерной и традиционной математики обостряется все больше и больше. Делать вид, что ничего не произошло, теперь уже нельзя. Если упорствовать, то следующее поколение может начать просто игнорировать математику. Конечно, не пройдет и нескольких десятилетий, как выяснится, что без математики и компьютером не воспользуешься. Однако угроза перерыва математической традиции очень серьезна. Совершенно необходимо придумать, как естественно сочетать математику теорем и математику компьютеров. Нужно каким-то образом вернуться к мышлению Эйлера, не потеряв при этом достижений математики XIX и XX веков. Сейчас, пожалуй, никто не скажет, что ясно видит будущий этап развития математики. Однако в прошлом то или иное решение находилось, как только четко обозначалась проблема, с которой столкнулось развитие математики. Поэтому мы можем ожидать, что уже следующее поколение математиков предложит искомый синтез, который определит развитие этой науки на поколения вперед. Вы можете принять в этом участие!