Горизонты техники для детей, 1974 №9

Веселая математика

Иногда, желая сказать, что какой-то вопрос неразрешим, говорят: «Это — квадратура круга». Почему так повелось? Почему — «квадратура круга»? В формуле, обозначающей длину окружности или площадь круга, фигурирует иррациональное число, обозначенное в математике буквой π. Вот потому-то и нельзя геометрическим путем (с помощью линейки, циркуля или треугольника) начертить квадрат или прямоугольник, площадь которого равна площади данного круга.

Те из вас, кто уже научился вычислять длину окружности и площадь круга, знают, что приближенное значение числа π — 3,1415. Вот именно: приближенное, поскольку точно записать его в виде дроби нельзя.

Впрочем, (нашей, школьной) это и не к чему. Достаточно знать число π с точностью до четвертого десятичного знака, чтобы сравнительно точно вычислить длину окружности или площадь круга.

Для того, чтобы запомнить как можно больше цифр числа π, придумано много так называемых мнемотехнических стишков и фраз, где число букв в отдельных словах — очередные цифры числа…

Однажды ученик, которого учитель застал врасплох, велев ему назвать значение числа π, от растерянности начал дрожащим голосом взывать богиню памяти Мнемозину, моля о помощи:

— Дай, о боже, о милая Мнемозина, пи скорей…

— Молодчина! — воскликнул изумленный учитель и, обращаясь к классу, произнес: «Заметили ли вы, что ваш товарищ назвал значение числа π с точностью до седьмого десятичного знака? Сказанные им слова состоят из 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6 букв.

Вернемся, однако, к квадратуре круга. Для нужд практики этот вопрос решен в определенном приближении. Свою лепту внес в решение этой задачи замечательный польский ученый Адам Адаманд Коханьский (1631–1700), придворный математик польского короля Яна III Собеского, хранитель библиотеки виляновского дворца. В 1685 году в журнале «Акта Эрудиторум» он предложил настолько блистательный — при всей своей простоте — вариант, что даже кое-кто из математиков того времени не устоял перед соблазном выдать его за свой.

Не изменяя раствора циркуля, Коханьский выполнил следующий чертеж:

Описана окружность с центром О радиусом ОА = 1; через точку С проведена касательная, из этой же точки проведена дуга (радиус всегда неизменен). Вторая дуга (проведена из точки D, образованной при пересечении окружности с дугой), пересекается с первой дугой в точках Е и О.

Отрезок ОЕ пересекает касательная в точке F. На касательной отложен отрезок F, равный трем радиусам ОА.

Имеем отрезок АВ, который равняется в приближении числу π, т. е. в данном случае — длине полуокружности.

Итак, мы можем представить длину окружности в виде отрезка прямой, равной длине. Аналогично, откладывая отрезки AG и ВН, равные радиусу ОА, перпендикулярно к АВ, получаем прямоугольник ABHG, площадь которого равна площади круга. Если вы знакомы с тригонометрическими функциями, то попытайтесь доказать, что отрезок АВ равен 3,1415 при АО = 1.