Мышление
Даже приблизительно представляя себе, как функционирует мозг, мы до сих пор не знаем, как происходит процесс мышления, да и что такое мышление вообще. Нам известно, что какая-то часть информации откладывается в голове. При необходимости мозг ее ищет и извлекает из памяти. Разумеется, при этом возникают какие-то мысли, но не любое возбуждение нейронов является мыслью в том значении, которое мы придаем этому слову. Мышление пытается описывать мир, находить взаимосвязи между различными наблюдениями и решать на их основе проблемы. Мы вправе исходить из того, что во все времена были люди, хорошо владевшие процессом мышления. Нам известны многие результаты их умственных усилий, но наибольший интерес для нас представляют не найденные ответы, а те вопросы, которые они при этом перед собой ставили.
Приобрести знания может каждый, но искусство мышления – это редчайший дар природы.
Классические античные представления о мышлении
Уже 3 тысячи лет назад (в этом мы полностью уверены) люди упражнялись в развитии своего логического аппарата и обучали учеников, разгадывая загадки и решая задачи в игровой форме. Загадкой называется интеллектуальное задание, которое можно выполнить только за счет работы мысли. В античные времена было широко распространено мнение, что подобные игровые действия тренируют мозг точно так же, как спорт укрепляет мышцы. Старейшим документом такого рода является задача Ахмеса, написанная на папирусе, который датируется примерно 1650 годом до нашей эры:
«Есть семь домов. В каждом доме живет по семь кошек. Каждая кошка съела по семь мышей, каждая из которых, в свою очередь, съела семь колосьев, в которых было по семь семян. Сколько всего предметов – начиная от зерна и заканчивая домом – описывается в этой истории?»
Если вы уже знакомы с этой задачей, то вряд ли удивляетесь тому, что египтяне были помешаны на пирамидах. Эта геометрическая фигура, как никакая другая, символизирует действие возведения в степень и придает ему не только математическое, но также иерархическое и Божественное значение. Можно только представить себе, с каким изумлением первые математики с берегов Нила наблюдали стремительное увеличение чисел в геометрической прогрессии.
Однако подобные числовые чудеса были знакомы также арабским, индийским и центрально-американским математикам. Мы можем привести вам одну из самых красивых классических задач, хотя она является лишь легендой. Говорят, что примерно за 300 лет до Рождества Христова некто Сисса ибн Дахир из Индии изобрел шахматы. Когда он продемонстрировал новую игру радже, тот был настолько восхищен, что предложил создателю исполнить любое его пожелание. В качестве награды скромный Сисса ибн Дахир попросил дать ему столько рисовых зерен, сколько окажется на шахматной доске, если на первую клетку положить одно зерно, на вторую – два зерна, на третью – четыре и так далее, последовательно удваивая количество зерен вплоть до 64-й клетки. Согласно легенде, раджа посмеялся над глупым Сиссой, но тот, помимо изобретения шахмат, успел до этого открыть для себя чудо экспоненциальной функции: 1 + 2 + 4 + 8 + … = 20 + + 21 + 22 + 23 + … + 263. Произведя подсчеты, мы обнаружим, что на 64-й клетке доски окажется девять квинтиллионов двести двадцать три квадриллиона триста семьдесят два триллиона тридцать шесть миллиардов восемьсот пятьдесят четыре миллиона семьсот семьдесят пять тысяч восемьсот восемь зерен (или в числовом выражении 9 223 372 036 854 775 808).
Существует немало изящных способов выразить всю масштабность данного числа. Например, если погрузить весь этот рис в грузовики, то получится колонна, которая 200 тысяч раз обогнет весь земной шар. Всего годового урожая риса в мире не хватило бы, чтобы расплатиться с хитрым Сиссой ибн Дахиром. Для этого понадобилось бы выращивать рис в течение тысячи лет. И все же раджа придумал ответный ход. Он обещал расплатиться с изобретателем в соответствии с его пожеланием, но с условием, что тот будет сам считать зерна. Гениальный шахматный ход.
Как уже сказано, это всего лишь легенда. Но лучше хорошая легенда, подсказывающая нам логические взаимосвязи, чем сухая формула, которая быстро забывается.
О всевозможных загадках и логических задачах рассказывается и в Ветхом Завете (их загадывала Соломону царица Савская), и в индогерманской мифологии, и в античных памятниках письменности. Примером последнего может служить легенда об Эдипе и содержащаяся в ней загадка Сфинкса, согласно которой городу Фивы угрожал ужасный Сфинкс (демон разрушения, изображавшийся в виде крылатого льва с головой женщины и хвостом змеи). Он загадывал каждому проходящему загадку. Если человек не мог ее разгадать, Сфинкс убивал несчастного. Только Эдип смог первым найти правильный ответ. Загадка звучала так:
«Кто ходит утром на четырех ногах,
днем на двух, а вечером на трех?
Ни у одного из других существ, живущих на земле,
количество ног не меняется.
Чем больше у него ног, тем меньше сил
и тем медленнее он передвигается».
Когда Эдип дал правильный ответ, Сфинкс умер от стыда.
Сегодня разгадывание загадок не связано с таким драматизмом. В наши дни они предназначены больше для детей. Многие математические правила и принципы в литературной обработке находят место в сборниках логических задач наряду с кроссвордами и судоку. Но дело не в том, в какой форме выступают эти вербальные возбудители нейронов. Они по-прежнему чрезвычайно эффективны и побуждают нас к творческому, разностороннему и целенаправленному мышлению.
Давайте пройдемся вместе с вами по истории загадок. Древние греки были буквально помешаны на переводе математических, логических и физических знаний в форму различных историй и загадок. Известен классический парадокс о том, как Ахилл и черепаха бегали наперегонки и наш быстроногий герой одержал победу. Но черепаха попросила еще об одной попытке, в которой у нее будет небольшая фора. Ахилл согласился, и в этом была его ошибка. Древнегреческий философ Зенон построил на этом свой тезис, в соответствии с которым Ахилл никогда не догонит черепаху. Пока он добежит до той точки, с которой стартовала черепаха, она немного продвинется вперед, и у нее снова возникнет фора, пусть даже и меньше той, которая была первоначально. Когда Ахилл сократит и это отставание, она снова немного уйдет вперед, и так далее. Мы, конечно, понимаем, что это ложное заключение, но данный парадокс до сих пор дает нам пищу для размышления. Как же доказать, что Ахилл все-таки перегонит черепаху?
Бег наперегонки – это вообще излюбленная тема логических задач. Вот еще один вопрос, который не является парадоксом, а имеет логически обоснованное решение. Ахилл и его друг Патрокл решили устроить соревнования по бегу на 100 метров (хотя в античные времена такая мера длины не использовалась). Когда Ахилл пересекает финишную черту, Патрокл находится в 5 метрах позади него. Ахилл дает своему другу право на реванш, но на этот раз решает уравнять шансы. Он стартует в 5 метрах позади Патрокла. Кто победит на этот раз?
Загадка или ритуал посвящения: легенды и сказки
Магические загадки из мифов превратились в народные загадки, которые, подобно народным песням и стихам, передавались из уст в уста. Они стали частью рассказов и сказок, которые дошли до наших дней из Китая, Индии, Персии, арабского и европейского мира. С появлением письменности загадки начали записывать наряду с религиозными текстами, но зачастую они носили характер ритуалов посвящения или облекались в форму мудрых заповедей. Из письменных источников VII века до нас дошли вопросы, с помощью которых выяснялось, насколько хорошо читатели знают Библию. Например: «Qui est mortus et non est natus?», что в переводе с латыни означает: «Кто умер, не будучи рожденным?» А как у вас обстоят дела со знанием Библии?
При изучении каталогов европейских рукописных источников VIII–XIX веков было обнаружено около 7750 текстов, содержащих загадки. После изобретения книгопечатания начала издаваться общеполезная литература, в том числе и всевозможные головоломки. В 1505 году появилась первая подобная книга на немецком языке – «Страсбургская книга загадок». Загадки содержались также в легендах и сказках, которые передавались из поколения в поколение на протяжении многих веков. Среди прочих к этому приложили руку братья Якоб и Вильгельм Гримм. В сказке об умной крестьянской дочери показано превосходство девушки, умеющей разгадывать загадки, над могущественным, но недалеким королем.
Умная дочь крестьянская
Жил когда-то на свете бедный крестьянин; земли у него вовсе не было, и была у него всего лишь одна небольшая избушка да единственная дочка. Вот и говорит раз дочка отцу:
– Надо бы нам выпросить у короля хоть какой-нибудь кусок пустоши.
Услыхал король про их бедность и подарил им клочок луга. Перепахала она его вместе с отцом, и собрались они посеять на нем рожь да еще что-нибудь. Вспахали они уже почти все поле и вдруг нашли в земле ступку, а была она из чистого золота.
– Знаешь что, – сказал отец дочке, – господин король был так милостив, что подарил нам эту землю. Давай отдадим мы ему за это золотую ступку.
Но дочь на это не согласилась и говорит:
– Батюшка, если есть у нас одна только ступка, а пестика нету, то с нас ведь потребуют еще и пестик. Лучше уж вы помолчите.
Но отец ее не послушался, взял ступку, отнес ее королю и сказал, что нашел ее на лугу, и спросил, не примет ли он ее от него в дар. Взял король ступку и спрашивает:
– А не находил ли ты еще чего?
– Нет, – ответил крестьянин.
И сказал король, чтоб доставил он ему и пестик. Крестьянин сказал, что такого они, мол, не находили, но этот ответ помог ему мало – все равно что говорить на ветер. И посадили его в темницу, чтобы сидел он там, пока не достанет пестик. Тюремщики приносили ему каждый день хлеб да воду – то, что в тюрьме полагается; и услыхали тюремщики, как он все повторял про себя: «Ах, если б я послушался своей дочери!», «Ах, если б я послушался своей дочери!» Тогда пошли тюремщики к королю и доложили, что узник все кричит и повторяет: «Ах, если б я послушался своей дочери!» – а от пищи и питья отказывается. Тогда король приказал тюремщикам привести к нему узника и спросил его, отчего это он все кричит: «Ах, если б я послушался своей дочери!»
– Что же такое сказала твоя дочь?
– Да она сказала, чтоб я не относил вам ступки, а то потребуют с меня еще и пестик.
– Если у тебя такая разумная дочь, то пускай она явится ко мне.
И вот пришлось ей идти к королю, и стал он спрашивать, так ли она уж умна и вправду; и сказал, что хочет задать ей одну задачу; если она ее решит, то он женится на ней. Она тотчас сказала «хорошо» и согласилась ее решить. Тогда король и говорит:
– Приходи ко мне не одетая и не голая, не верхом и не в повозке, не путем, а все же дорогою. Если ты сможешь это выполнить, то я на тебе женюсь.
Вот пошла она, разделась совсем догола – и стала она неодетая; взяла большую рыбачью сеть, стала в нее и укуталась ею – вот и не была она голая; наняла она себе за деньги осла и привязала ту сеть к ослиному хвосту, чтоб тащил он ее, – вот и не ехала она ни верхом, ни в повозке; а осел должен был тащить ее по колее, и касалась она земли одним только большим пальцем ноги – и вот шла она ни путем, ни без дороги. Вот явилась она, и король сказал, что задачу она решила и все выполнила как следует. Велел он тогда выпустить ее отца из темницы, взял ее себе в жены и отдал в ее распоряжение всю королевскую казну.
И вот вам для разнообразия эпизод еще из одной народной сказки. Злая колдунья превратила трех женщин в алые розы. Одна из роз получила разрешение навестить своего мужа в женском обличье и провести с ним целую ночь, а на рассвете вернуться обратно. «Если ты завтра утром придешь на волшебный луг и сорвешь меня, – сказала она мужу, – то избавишь меня от злых чар. Но сорвать ты должен только меня, а не другой цветок, иначе все мы пропадем навек. Тебе нельзя следить за мной, когда я буду уходить, поэтому придумай сам, как ты отличишь меня от других цветов». По какому же признаку муж узнал свою жену в облике розы?
Однако большинство загадок в период между античными временами и эпохой Просвещения были, скорее, богословскими или моральными заповедями, которые указывали на величайшую и неразрешимую загадку – на Бога. Во все времена встречались люди, которые были ближе к Богу, чем другие. Коран пишет о Мухаммеде, Ветхий Завет – о Моисее, Новый Завет – об апостоле Петре, но самая главная тайна оставалась скрытой и для них. Существуют неразгадываемые загадки. В самой их формулировке содержится указание на Сущность, которая одна знает ответы на все вопросы. Сегодня мы сказали бы, что они носят философский характер, но в те времена за ними стояло богословие. Неразрешимая загадка – это тайна, которую невозможно понять, даже если все называли «учеными» людей, которые занимались этой темой.
Что выше Бога
и порочнее дьявола?
Им обладают бедняки,
в нем нуждаются счастливые,
а если ты будешь им питаться, то умрешь!
Головоломки в литературе
Классики – от Гомера до Сервантеса и Гриммельсгаузена, Шиллера и Гёте – использовали в своих романах загадки и логические задачи. Чаще всего они должны были доказать мудрость главных героев. Так, например, в романе Сервантеса «Дон Кихот» верный оруженосец Санчо Панса должен дать ответ на вопрос, который подтвердит его пригодность к должности губернатора острова. К нему подходят два старика и просят по справедливости разрешить их тяжбу. Один из них дал взаймы другому десять золотых. Прождав долгое время, он обратился к должнику за деньгами, но тот ответил, что уже вернул их. Кредитор же настаивал на том, что никаких денег не получал. Свидетелей займа и отдачи не было. Тогда Санчо Панса спросил, поверит ли кредитор должнику, что деньги уже возвращены, если тот поклянется в этом на Библии. Кредитор выразил свое согласие с таким решением. Перед тем как возложить руку на Библию, должник попросил своего соперника в этом споре подержать его посох и поклялся, что отдал деньги. После этого он забрал свой посох и собирался уже уйти, но Санчо Панса, выглядевший простаком, доказал свою крестьянскую сметку. Он сделал совершенно однозначный вывод о том, что человек, приносящий клятву на Библии, солгать не может (во всяком случае, в Испании XVI века!), но ему показалось странным, что на время клятвы он отдал свой посох в руки жалобщика. Следовательно, деньги находились в посохе. Так оно и оказалось. Красивая история и прекрасный пример логических умозаключений.
Вся история культуры и литературы полна не только загадок, но и весьма загадочных персонажей. Как вы думаете, что могло бы произойти, если бы они вдруг встретились? Правильно, между ними началась бы загадочная беседа. Персонаж многих немецких басен Бальдандерс изложил ее в форме загадки:
Из этой беседы ты узнаешь, кто владеет абсолютной истиной. Нострадамус заявил: «Обладателями абсолютной истины являются либо Гермес Трисмегист, либо скоморох Леффельштиль». Ему возразил святой Франциск: «Нет, Гермес Трисмегист этой истины не знает». Гермест Трисмегист в свою очередь сказал: «Ее знает Б. Травен». Но Б. Травен опроверг это: «Нет, я ее не знаю». Под конец Леффельштиль сказал: «Двое из нас сказали неправду». Из этого ты сможешь сделать вывод, кто владеет абсолютной истиной.
Вам предстоит разобраться, кто же на самом деле обладатель абсолютной истины. Не сдавайтесь слишком быстро. Ведь не может же быть, чтобы вас заткнул за пояс какой-то персонаж басен! Если два человека солгали, следовательно, остальные сказали правду. Это поможет вам в поисках. Подумайте, чьи высказывания были правдивы, и не позволяйте сбить себя с толку.
В персидском сборнике рассказов «Тысяча и один день» (не путать с известными сказками «Тысяча и одна ночь») мы знакомимся с жестокой принцессой Турандот, которая загадывает своим женихам загадки и лишает их головы, если они не находят ответа. В конце концов появляется некий принц, которому удается разгадать все три загадки: «Что рождается каждую ночь и умирает на рассвете?» (Надежда.) «Что пылает подобно пламени, но не пламя?» (Кровь.) «Что похоже на лед, но обжигает?» (Турандот.) Казалось бы, можно играть свадьбу, но принц понимает, что так он никогда не завоюет ее любовь. Поэтому в свою очередь предлагает принцессе загадку: она должна угадать его имя. Если ей это удастся, она может распорядиться его жизнью, как ей будет угодно. Поскольку принц находится вдали от родины, он уверен, что никто его здесь не знает, но одна из рабынь Турандот (когда-то похищенная принцесса, которая любила принца) узнает его и предлагает бежать вместе с ней. Принц отвергает ее предложение, и она, пылая чувством мести, выдает Турандот его имя. Но все кончается благополучно: Турандот признается принцу в любви, и они вместе восходят на трон. Мы так подробно пишем обо всем этом, чтобы продемонстрировать, какое место занимают загадки, пророчества и хитрые логические задачи в истории литературы. Загадки всегда были не просто упражнением для мозга, а некими моральными вехами, Божественными откровениями, выражением древней мудрости.
В завершение нашего литературного экскурса предлагаем вам загадку от нашего старого доброго знакомого тайного советника Гёте:
Он брат среди многих братьев и ничем не отличается от них. Он столь же дорог и ценен, как и все остальные, но появляется в семье лишь изредка и к нему относятся, словно к приемному ребенку.
Загадки как урок естествознания
В большинстве логических задач находят отражение наши познания в математике и физике. Такие задачи позволяют не только детям, но и взрослым людям понять, какое значение имеет математика в повседневной жизни, даже если все выученные в школе формулы давно забыты. В качестве примера приведем классическую историю. На берегу реки стоит крестьянин с волком, козой и капустой. Он хочет перевезти их на другой берег, но его лодка настолько мала, что он может взять с собой только что-то одно: либо волка, либо козу, либо капусту. И вот тут возникает проблема: если оставить вдвоем волка и козу, волк съест козу. Если оставить козу и капусту, коза съест капусту. Как же переправить всех троих? Такие взаимоисключающие комбинации постоянно встречаются в прикладной математике. Это хорошо известно кибернетикам и программистам.
Рис. 8. Капуста, коза, волк и крестьянин создают при разбивке по парам опасные сочетания
Еще одна классическая задача математика Жозефа Бертрана, составленная в 1888 году, посвящена теории вероятности. У нас есть три комода, и в каждом из них по два ящика. В первом комоде в обоих ящиках лежит по золотой монете, во втором комоде в каждом ящике лежит по серебряной монете, а в третьем комоде в одном ящике лежит золотая, а во втором – серебряная монета. Нам надо наугад открыть любой ящик в одном из комодов. Какова вероятность того, что там лежит золотая или серебряная монета? Совершенно очевидно, что она составляет один к трем. Итак, мы открываем ящик и находим там золотую монету. Какова теперь вероятность, что во втором ящике того же комода лежит серебряная монета? Вероятно, ваш ответ будет 50:50, но мы предлагаем вам спокойно подумать еще раз.
В 1920-е годы в Америке была очень популярна одна задача. Она настолько завоевала умы, что вместо приветствия люди зачастую спрашивали друг друга: «Так сколько же лет Анне?» Условие задачи звучит так: «Мэри 24 года. Сейчас ей вдвое больше лет, чем было Анне, когда Мэри было столько же лет, сколько Анне сейчас. Сколько сейчас лет Анне?»
Но и в наши дни хитроумные математические задачи (с которыми порой не справляются даже профессионалы) занимают умы людей. Это доказала задача с тремя дверями, предложенная на телешоу «Давайте заключим сделку». Десятки американских профессоров математики дружно высмеяли писательницу Мэрилин вос Савант, которая заявила, что участвующий в шоу кандидат может существенно повысить свои шансы на выигрыш, если поменяет свое же первоначальное решение. Представьте себе, что вы участвуете в этом шоу и стоите перед тремя дверями. За двумя из них ничего нет, а за третьей находится главный приз. Ведущий просит вас выбрать одну дверь, но пока не открывать ее. Совершенно очевидно, что вероятность успеха составляет один к трем. После этого ведущий (который, естественно, знает, где находится приз) открывает одну из двух оставшихся дверей и показывает, что там ничего нет. А теперь он предоставляет вам право выбора. Вы можете остаться при своем прежнем решении или открыть другую оставшуюся дверь. На первый взгляд кажется, что никакой разницы нет. Здравый смысл подсказывает, что вероятность в любом случае будет 50:50. Какой же смысл менять свое решение? Именно такой вывод был сделан большинством математиков.
Но они ошибались. Мэрилин вос Савант (чей IQ, кстати, составляет 228) путем расчетов убедила специалистов, что если кандидат останется при прежнем решении, то его шансы по-прежнему будут составлять 1:3, а вот если он выберет другую дверь, то они возрастут до 2:3. Это значит, что, поменяв решение, кандидат может выиграть (чисто статистически, разумеется) в двух случаях из трех.
К повседневным проблемам следует подходить точно так же, как к логическим задачам. Допустим, лучший сотрудник отдела одновременно обладает несносным характером, и с ним никто не хочет работать; браузер постоянно зависает на одном и том же сайте; банк согласен выдать вам кредит для открытия собственного бизнеса только после того, как вы откроете этот бизнес… Ведь все это, собственно говоря, и есть логические задачи, решение которых лишь в редких случаях лежит на поверхности. Следовательно, к решению этих производственных и личных проблем следует применять те же принципы, что и к головоломкам.
Стратегия решений
1. Изучение проблемы. Тщательно проанализируйте все детали и их взаимосвязи.
2. Созревание. Если проблема не решается быстро (и полностью), запомните информацию и носите ее в голове. Не думайте о ней постоянно, позвольте работать подсознанию.
3. Озарение. В какой-то момент вы почувствуете, что проскочила искра. Перед вами откроются новые взаимосвязи, и направление решения станет очевидным.
4. Проверка. Теперь вы можете сознательно работать над проблемой. Если решение найдено, не доверяйте ему слишком быстро. Тщательно перепроверьте его со всех точек зрения.
Но, как и в жизни, логические задачи подразделяются на несколько типов, и их необходимо распознавать. Бывают задачи простые, из области комбинаторики, бывают такие, в которых скрыт парадокс, а бывает всего лишь игра слов и смыслов, какой-то математический фокус или элементарный подвох.
Последние встречаются очень часто. Вот вам простой пример: самолет разбивается точно на границе Франции и Германии. Где будут хоронить выживших? Ага, сумели заметить подвох! Очевидно, мы недооценили ваш IQ. Ну, тогда для вас не составит большого труда решить и следующую задачку. Отец и сын возвращаются с горного курорта. На заснеженной автостраде автомобиль заносит, и он врезается в грузовик. Отец погибает на месте, а сына с тяжелейшими травмами головы доставляют на вертолете в ближайшую клинику. Ему срочно требуется операция на мозге, поэтому уже через час из столицы прилетает светило нейрохирургии. Однако при обследовании хирург внезапно заявляет: «Я не могу его оперировать. Это мой сын!»
Чтобы быть готовым к подобным подвохам в повседневной жизни, надо усвоить основные правила решения логических задач:
● Тщательно изучите вопрос. Рассмотрите его со всех сторон и убедитесь, что речь идет не о риторическом вопросе, который не требует ответа.
● Подходите к делу с уверенностью в себе. Если вопрос задан всерьез, на него можно найти ответ. Пусть не сразу, может быть, даже не в этом месяце, но для вас нет ничего невозможного. Если вы не разбираетесь в какой-то области, обратитесь к специалисту.
● Проанализируйте все взаимосвязи. Какие-то проблемы можно обобщать, но ваша особенная. Не думайте, что она сформулирована именно так по чистой случайности!
● Не уходите с головой в решение. Логические задачи далеко не всегда решаются целенаправленно. Дайте волю интуиции и фантазии. Правильный путь – это чаще всего свободный полет мысли, выходящий за привычные рамки.
● Не устанавливайте для себя ограничений. Зачастую задача кажется сложной лишь потому, что вы сами придумали себе слишком узкие рамки решения, которых в действительности не существует.
● Реальные проблемы и логические задачи зачастую похожи друг на друга. Если понятен их принцип, они решаются мгновенно. Если в логической задаче вы имеете дело, к примеру, с двумя племенами индейцев, одно из которых постоянно лжет, а другое всегда говорит правду, то в реальности вы можете столкнуться с начальниками, которые ведут себя подобным образом. Предупрежден – значит вооружен!
● Переверните проблему с ног на голову! Попробуйте вместо поиска возможного решения выяснить, каким это решение не может быть в принципе! Зачастую подход с противоположной стороны быстрее ведет к решению.
Классические задачи для разминки
Улитка упала в колодец. Хорошо еще, что в нем не было воды, иначе она утонула бы. Но теперь перед ней стоит задача подняться наверх. Высота колодца 18 метров. При всем старании улитка может подняться за день только на 7 метров, а ночью опять сползает на 4 метра. На какой день она выберется из колодца?
В пруду растет одна кувшинка. Разрастаясь, она за день удваивает покрываемую площадь пруда. Через 30 дней весь пруд полностью покрыт кувшинками. Сколько дней понадобится, чтобы полностью покрыть весь пруд, если бы вначале была не одна кувшинка, а четыре?
Даже цветы могут символизировать числа. На лугу растет 35 цветов: красных, розовых и белых, – причем розовых в два раза больше, чем белых. Если сорвать четыре цветка, то по крайней мере один из них обязательно будет красным. Сколько цветов каждого цвета растет на лугу?
Два маляра красят дом. Оба работают с одинаковой скоростью. Вдвоем они покрасили бы этот дом за три дня, но после первого дня работы один из маляров заболел, и его коллега вынужден заканчивать работу в одиночку. Через сколько дней дом будет полностью покрашен?
У нас есть две литровые бутылки, одна из которых наполовину наполнена вином, а вторая – наполовину водой. Мы переливаем стакан вина (четверть литра) в бутылку с водой, хорошо перемешиваем и вновь переливаем стакан полученной смеси (также четверть литра) в бутылку с вином. В какой бутылке содержание вина будет больше?
Все это классические математические задачи, но умело обработанные и преподнесенные в занимательной форме, в отличие от тех примеров, которые вам приходилось решать в школе. Разница в том, что здесь, конечно, можно применять математические формулы (если вы вспомните подходящие), но больше требуются логика и воображение. Яркий пример отличия логики от математики демонстрирует следующая задача.
Два пешехода, расстояние между которыми составляет 12 километров, одновременно начинают двигаться навстречу друг другу со скоростью 4 километра в час. В момент начала движения птица, сидящая на плече первого пешехода, взлетает и мчится ко второму. Поравнявшись с ним, она разворачивается и снова летит к первому. Так продолжается до тех пор, пока пешеходы не встретятся. Скорость птицы – 30 километров в час. Сколько километров в общей сложности она пролетит до момента встречи?
Эта задача решается, как правило, с помощью геометрических рядов. Опытные математики находят ответ, не задумываясь, но им и в голову не приходит, что это можно сделать по-другому и намного проще. А вы додумались?
Элегантные упрощения свидетельствуют о творческом складе ума. Разумеется, это не значит, что все математики (включая учителей) полностью лишены этого качества. Один из самых известных математиков Карл Фридрих Гаусс, родившийся в Брауншвейге в 1777 году, на собственном опыте познал, что творческое мышление одновременно несет и радость, и муки. Когда ему было десять лет, учитель математики дал классу задание сложить все числа от 1 до 100. Маленький Гаусс справился за одну минуту, и ответ оказался верным. Но учителя это не обрадовало, так как он заподозрил ученика в обмане. Разве он мог подумать, что этот малолетний гений по ходу дела самостоятельно дошел до открытия бинома Ньютона. Он просто внимательно изучил задачу и заметил, что каждая последовательная пара чисел, взятых с начала и конца этого ряда, всегда дает в сумме 101 (1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 …) и таких пар насчитывается 50. В результате он просто умножил 50 на 101 и получил ответ: 5050.
Это поразительно красивое решение. А ведь красота, эстетика и ясность почти всегда являются признаками успешного решения задачи. Если доказательство изящно, оно должно быть верным. Точно так же химик, видя перед собой эстетичную модель молекулы, сразу приходит к выводу, что она «правильная». То же самое можно сказать и о физике, рассматривающем простую и изящную формулу. Если мысль красива, то и полученные в результате доказательства будут простыми и ясными, пути решения – элегантными, а выводы – убедительными. Даже если вы знаете, как обычно решается тот или иной тип задач или проблем, попробуйте сделать это иначе. Отвлекитесь от формул и диаграмм, доверьтесь интуиции, сознательно сделайте абсурдное допущение. Зачастую это ведет к решению. Вы уже знаете, что мозг – очень гибкий самоорганизующийся орган. Старайтесь руководствоваться этим в своих размышлениях. Большинство открытий и изобретений появились именно таким образом.
Эврика! Прикладные логические задачи
Найдя решение заковыристой задачи, можете смело кричать «Эврика!». Согласно легенде, именно так воскликнул Архимед, найдя в своей ванне ответ на мучивший его вопрос. Сиракузский царь Гиерон очень ценил самого знаменитого математика античности, поэтому поручил ему крайне щекотливое задание – узнать, из чистого ли золота сделана его новая царская корона. Архимед, естественно, не имел возможности расплавить корону. Кроме того, в то время еще не существовало химических методов анализа для определения содержания золота в сплаве. Задача оказалась трудной. Тут было над чем поломать голову. А теперь давайте прочертим линию между двумя, казалось бы, не связанными между собой вопросами, которая привела к искомому результату. Первый вопрос был уже поставлен: «Сделана ли корона из чистого золота?» Второй вопрос пришел Архимеду в голову, когда он улегся в наполненную доверху ванну и вода перелилась при этом через края. «Почему вылилось именно столько воды?» – заинтересовался он. Ответ на второй вопрос был ему понятен: тело, помещенное в жидкую или газообразную среду, вытесняет часть вещества, соответствующую его объему. Но это был одновременно и ответ на задачу, поставленную Гиероном. Архимед погрузил корону в наполненный до краев сосуд и посмотрел, сколько воды она вытеснила. Затем он поместил туда же золотой слиток, равный по весу короне. Корона вытеснила больше воды, чем слиток. Значит, она была сделана из более легкого металла. Следствием этого события стал знаменитый закон Архимеда, который определяет величину выталкивающей силы. Поскольку плотность золота выше, чем плотность воды, оно тонет и при этом вытесняет жидкость в количестве, равном его собственному объему. Более дешевый металл, правда, тоже тонет, но его плотность меньше, чем у золота, поэтому он вытесняет больший объем воды. Если же плотность предмета меньше, чем плотность воды, он плавает по поверхности.
Рис. 9. Архимед открывает выталкивающую силу. Гравюра на дереве из труда Витрувия «Десять книг об архитектуре», Венеция, 1511 год
Архимеду не были знакомы ледяные кубики для охлаждения вина, поэтому попробуйте дать за него ответ на следующий вопрос: в кружке, наполненной до краев водой, плавает кубик льда. Что будет, когда он растает?
Все мы постоянно проделываем эксперименты, но чаще всего даже не осознаем этого. Мы наблюдаем за окружающим миром, а когда он ставит перед нами очередную проблему, подсознательно начинаем обращать больше внимания на те наблюдения, которые так или иначе с ней связаны. Вот вам еще одна проблема. В банковском сейфе имеется 30 ячеек, в каждой из которых хранится по 30 золотых монет. Поступила информация, что в одной из ячеек монеты фальшивые. Настоящая золотая монета весит 10 граммов, а фальшивая – только 9 граммов. Директору банка необходимо узнать, в какой именно ячейке находятся фальшивые деньги, но у него очень мало времени, так как ревизия уже на пороге. У него есть электронные весы, позволяющие взвешивать с точностью до 1 грамма, но времени хватает только на одно взвешивание. Каким же образом можно определить, в какой ячейке фальшивые монеты?
Процедуры взвешивания и измерения постоянно встречаются в задачах, потому что чисто математические действия в этом случае легче трансформировать в форму занимательной истории. Итак, еще одна классическая задача. Перед вами лежат двенадцать металлических шариков, которые на вид не отличаются друг от друга, но один из шариков тяжелее остальных. У вас есть обычные рычажные весы, и вы можете произвести только три взвешивания. Как найти более тяжелый шарик? Ладно, с этой задачей вы, вероятно, справились быстро. А теперь немного усложним условие. Перед вами все те же двенадцать шариков, но один из них либо легче, либо тяжелее других. У вас по-прежнему только три попытки.
Хуже, когда на весы нельзя полностью положиться. Допустим, вы хотите отмерить 2 килограмма сахара. У вас есть рычажные весы, но с разной длиной плеч, килограммовая гиря, несколько бумажных пакетов и большой мешок сахара. Как вы поступите?
Одна упаковка чая весит 75 граммов, но покупателю нужно только 55 граммов. У продавщицы есть рычажные весы, но нет необходимых мелких гирек. Единственное, чем она располагает, – это пакетик шафрана, весящий 25 граммов, и пакетик с сахаром весом 40 граммов. Есть ли у нее возможность взвесить 55 граммов чая?
Крестьяне в Тироле до сих взвешивают яблоки с помощью четырех камней различного веса и рычажных весов. Если разбить 40-килограммовый мельничный жернов на четыре части, с их помощью можно взвешивать любой предмет весом от 1 до 40 килограммов. Вопрос лишь в том, какого веса должны быть эти части жернова.
Раз уж вы так увлеклись взвешиванием, предложим вам последнюю задачу с рычажными весами. На обеих чашах весов стоят наполненные одинаковым количеством воды банки. В одну банку поставим розу. Вторую розу такого же веса положим поверх второй банки, чтобы она не касалась воды. Весы пока находятся в равновесии. Что с ними произойдет, когда вторая роза засохнет?
Вообще-то весы – символ уравнения. Все, что находится на их чашах, можно представить в виде чисел. Но символизировать различные числа могут также песочные часы или ведра с водой. Вот несколько примеров.
У вас есть двое песочных часов. В одних песок полностью пересыпается из верхней емкости в нижнюю за 7 минут, а в других – за 4 минуты. Можно ли с их помощью отмерить ровно девять минут?
У вас есть два ведра. Одно вмещает ровно 3 литра воды, а второе – 5 литров. Никаких отметок на них не имеется. Вы стоите у колонки с водой, и вам нужно отмерить ровно 4 литра. Как это сделать?
Необходимо заполнить водой цистерну. У вас есть четыре насоса различной мощности. Самый мощный может заполнить цистерну за 1 час, второй – за 2 часа, третий – за 3 часа, а четвертому для этого понадобится 6 часов. Поскольку работа срочная, вы одновременно включаете все насосы. Через какое время цистерна будет заполнена?
Возможно, нашей часто критикуемой школьной системе пошло бы на пользу, если бы она подключила к изучению математических формул логику и воображение учащихся. Подумайте сами, какая формула поможет нам решить следующую задачу: осенняя буря повредила флагшток высотой 9 метров. Он сломался в 4 метрах от земли. На каком расстоянии от основания касается земли кончик сломанного флагштока?
С помощью подобных задач можно залезть в дебри математики. Например, если в помещении было три гнома, но четверо из них вышли, то должен зайти еще один, чтобы там никого не осталось. Но это уже не классика. Этот пример подводит нас к следующей главе о том, можно ли доверять здравому смыслу.
Уже 3 тысячи лет назад (в этом мы полностью уверены) люди упражнялись в развитии своего логического аппарата и обучали учеников, разгадывая загадки и решая задачи в игровой форме. Загадкой называется интеллектуальное задание, которое можно выполнить только за счет работы мысли. В античные времена было широко распространено мнение, что подобные игровые действия тренируют мозг точно так же, как спорт укрепляет мышцы. Старейшим документом такого рода является задача Ахмеса, написанная на папирусе, который датируется примерно 1650 годом до нашей эры:
«Есть семь домов. В каждом доме живет по семь кошек. Каждая кошка съела по семь мышей, каждая из которых, в свою очередь, съела семь колосьев, в которых было по семь семян. Сколько всего предметов – начиная от зерна и заканчивая домом – описывается в этой истории?»
Если вы уже знакомы с этой задачей, то вряд ли удивляетесь тому, что египтяне были помешаны на пирамидах. Эта геометрическая фигура, как никакая другая, символизирует действие возведения в степень и придает ему не только математическое, но также иерархическое и Божественное значение. Можно только представить себе, с каким изумлением первые математики с берегов Нила наблюдали стремительное увеличение чисел в геометрической прогрессии.
Однако подобные числовые чудеса были знакомы также арабским, индийским и центрально-американским математикам. Мы можем привести вам одну из самых красивых классических задач, хотя она является лишь легендой. Говорят, что примерно за 300 лет до Рождества Христова некто Сисса ибн Дахир из Индии изобрел шахматы. Когда он продемонстрировал новую игру радже, тот был настолько восхищен, что предложил создателю исполнить любое его пожелание. В качестве награды скромный Сисса ибн Дахир попросил дать ему столько рисовых зерен, сколько окажется на шахматной доске, если на первую клетку положить одно зерно, на вторую – два зерна, на третью – четыре и так далее, последовательно удваивая количество зерен вплоть до 64-й клетки. Согласно легенде, раджа посмеялся над глупым Сиссой, но тот, помимо изобретения шахмат, успел до этого открыть для себя чудо экспоненциальной функции: 1 + 2 + 4 + 8 + … = 20 + + 21 + 22 + 23 + … + 263. Произведя подсчеты, мы обнаружим, что на 64-й клетке доски окажется девять квинтиллионов двести двадцать три квадриллиона триста семьдесят два триллиона тридцать шесть миллиардов восемьсот пятьдесят четыре миллиона семьсот семьдесят пять тысяч восемьсот восемь зерен (или в числовом выражении 9 223 372 036 854 775 808).
Существует немало изящных способов выразить всю масштабность данного числа. Например, если погрузить весь этот рис в грузовики, то получится колонна, которая 200 тысяч раз обогнет весь земной шар. Всего годового урожая риса в мире не хватило бы, чтобы расплатиться с хитрым Сиссой ибн Дахиром. Для этого понадобилось бы выращивать рис в течение тысячи лет. И все же раджа придумал ответный ход. Он обещал расплатиться с изобретателем в соответствии с его пожеланием, но с условием, что тот будет сам считать зерна. Гениальный шахматный ход.
Как уже сказано, это всего лишь легенда. Но лучше хорошая легенда, подсказывающая нам логические взаимосвязи, чем сухая формула, которая быстро забывается.
О всевозможных загадках и логических задачах рассказывается и в Ветхом Завете (их загадывала Соломону царица Савская), и в индогерманской мифологии, и в античных памятниках письменности. Примером последнего может служить легенда об Эдипе и содержащаяся в ней загадка Сфинкса, согласно которой городу Фивы угрожал ужасный Сфинкс (демон разрушения, изображавшийся в виде крылатого льва с головой женщины и хвостом змеи). Он загадывал каждому проходящему загадку. Если человек не мог ее разгадать, Сфинкс убивал несчастного. Только Эдип смог первым найти правильный ответ. Загадка звучала так:
«Кто ходит утром на четырех ногах,
днем на двух, а вечером на трех?
Ни у одного из других существ, живущих на земле,
количество ног не меняется.
Чем больше у него ног, тем меньше сил
и тем медленнее он передвигается».
Когда Эдип дал правильный ответ, Сфинкс умер от стыда.
Сегодня разгадывание загадок не связано с таким драматизмом. В наши дни они предназначены больше для детей. Многие математические правила и принципы в литературной обработке находят место в сборниках логических задач наряду с кроссвордами и судоку. Но дело не в том, в какой форме выступают эти вербальные возбудители нейронов. Они по-прежнему чрезвычайно эффективны и побуждают нас к творческому, разностороннему и целенаправленному мышлению.
Давайте пройдемся вместе с вами по истории загадок. Древние греки были буквально помешаны на переводе математических, логических и физических знаний в форму различных историй и загадок. Известен классический парадокс о том, как Ахилл и черепаха бегали наперегонки и наш быстроногий герой одержал победу. Но черепаха попросила еще об одной попытке, в которой у нее будет небольшая фора. Ахилл согласился, и в этом была его ошибка. Древнегреческий философ Зенон построил на этом свой тезис, в соответствии с которым Ахилл никогда не догонит черепаху. Пока он добежит до той точки, с которой стартовала черепаха, она немного продвинется вперед, и у нее снова возникнет фора, пусть даже и меньше той, которая была первоначально. Когда Ахилл сократит и это отставание, она снова немного уйдет вперед, и так далее. Мы, конечно, понимаем, что это ложное заключение, но данный парадокс до сих пор дает нам пищу для размышления. Как же доказать, что Ахилл все-таки перегонит черепаху?
Бег наперегонки – это вообще излюбленная тема логических задач. Вот еще один вопрос, который не является парадоксом, а имеет логически обоснованное решение. Ахилл и его друг Патрокл решили устроить соревнования по бегу на 100 метров (хотя в античные времена такая мера длины не использовалась). Когда Ахилл пересекает финишную черту, Патрокл находится в 5 метрах позади него. Ахилл дает своему другу право на реванш, но на этот раз решает уравнять шансы. Он стартует в 5 метрах позади Патрокла. Кто победит на этот раз?
Загадка или ритуал посвящения: легенды и сказки
Магические загадки из мифов превратились в народные загадки, которые, подобно народным песням и стихам, передавались из уст в уста. Они стали частью рассказов и сказок, которые дошли до наших дней из Китая, Индии, Персии, арабского и европейского мира. С появлением письменности загадки начали записывать наряду с религиозными текстами, но зачастую они носили характер ритуалов посвящения или облекались в форму мудрых заповедей. Из письменных источников VII века до нас дошли вопросы, с помощью которых выяснялось, насколько хорошо читатели знают Библию. Например: «Qui est mortus et non est natus?», что в переводе с латыни означает: «Кто умер, не будучи рожденным?» А как у вас обстоят дела со знанием Библии?
При изучении каталогов европейских рукописных источников VIII–XIX веков было обнаружено около 7750 текстов, содержащих загадки. После изобретения книгопечатания начала издаваться общеполезная литература, в том числе и всевозможные головоломки. В 1505 году появилась первая подобная книга на немецком языке – «Страсбургская книга загадок». Загадки содержались также в легендах и сказках, которые передавались из поколения в поколение на протяжении многих веков. Среди прочих к этому приложили руку братья Якоб и Вильгельм Гримм. В сказке об умной крестьянской дочери показано превосходство девушки, умеющей разгадывать загадки, над могущественным, но недалеким королем.
Жил когда-то на свете бедный крестьянин; земли у него вовсе не было, и была у него всего лишь одна небольшая избушка да единственная дочка. Вот и говорит раз дочка отцу:
– Надо бы нам выпросить у короля хоть какой-нибудь кусок пустоши.
Услыхал король про их бедность и подарил им клочок луга. Перепахала она его вместе с отцом, и собрались они посеять на нем рожь да еще что-нибудь. Вспахали они уже почти все поле и вдруг нашли в земле ступку, а была она из чистого золота.
– Знаешь что, – сказал отец дочке, – господин король был так милостив, что подарил нам эту землю. Давай отдадим мы ему за это золотую ступку.
Но дочь на это не согласилась и говорит:
– Батюшка, если есть у нас одна только ступка, а пестика нету, то с нас ведь потребуют еще и пестик. Лучше уж вы помолчите.
Но отец ее не послушался, взял ступку, отнес ее королю и сказал, что нашел ее на лугу, и спросил, не примет ли он ее от него в дар. Взял король ступку и спрашивает:
– А не находил ли ты еще чего?
– Нет, – ответил крестьянин.
И сказал король, чтоб доставил он ему и пестик. Крестьянин сказал, что такого они, мол, не находили, но этот ответ помог ему мало – все равно что говорить на ветер. И посадили его в темницу, чтобы сидел он там, пока не достанет пестик. Тюремщики приносили ему каждый день хлеб да воду – то, что в тюрьме полагается; и услыхали тюремщики, как он все повторял про себя: «Ах, если б я послушался своей дочери!», «Ах, если б я послушался своей дочери!» Тогда пошли тюремщики к королю и доложили, что узник все кричит и повторяет: «Ах, если б я послушался своей дочери!» – а от пищи и питья отказывается. Тогда король приказал тюремщикам привести к нему узника и спросил его, отчего это он все кричит: «Ах, если б я послушался своей дочери!»
– Что же такое сказала твоя дочь?
– Да она сказала, чтоб я не относил вам ступки, а то потребуют с меня еще и пестик.
– Если у тебя такая разумная дочь, то пускай она явится ко мне.
И вот пришлось ей идти к королю, и стал он спрашивать, так ли она уж умна и вправду; и сказал, что хочет задать ей одну задачу; если она ее решит, то он женится на ней. Она тотчас сказала «хорошо» и согласилась ее решить. Тогда король и говорит:
– Приходи ко мне не одетая и не голая, не верхом и не в повозке, не путем, а все же дорогою. Если ты сможешь это выполнить, то я на тебе женюсь.
Вот пошла она, разделась совсем догола – и стала она неодетая; взяла большую рыбачью сеть, стала в нее и укуталась ею – вот и не была она голая; наняла она себе за деньги осла и привязала ту сеть к ослиному хвосту, чтоб тащил он ее, – вот и не ехала она ни верхом, ни в повозке; а осел должен был тащить ее по колее, и касалась она земли одним только большим пальцем ноги – и вот шла она ни путем, ни без дороги. Вот явилась она, и король сказал, что задачу она решила и все выполнила как следует. Велел он тогда выпустить ее отца из темницы, взял ее себе в жены и отдал в ее распоряжение всю королевскую казну.
И вот вам для разнообразия эпизод еще из одной народной сказки. Злая колдунья превратила трех женщин в алые розы. Одна из роз получила разрешение навестить своего мужа в женском обличье и провести с ним целую ночь, а на рассвете вернуться обратно. «Если ты завтра утром придешь на волшебный луг и сорвешь меня, – сказала она мужу, – то избавишь меня от злых чар. Но сорвать ты должен только меня, а не другой цветок, иначе все мы пропадем навек. Тебе нельзя следить за мной, когда я буду уходить, поэтому придумай сам, как ты отличишь меня от других цветов». По какому же признаку муж узнал свою жену в облике розы?
Однако большинство загадок в период между античными временами и эпохой Просвещения были, скорее, богословскими или моральными заповедями, которые указывали на величайшую и неразрешимую загадку – на Бога. Во все времена встречались люди, которые были ближе к Богу, чем другие. Коран пишет о Мухаммеде, Ветхий Завет – о Моисее, Новый Завет – об апостоле Петре, но самая главная тайна оставалась скрытой и для них. Существуют неразгадываемые загадки. В самой их формулировке содержится указание на Сущность, которая одна знает ответы на все вопросы. Сегодня мы сказали бы, что они носят философский характер, но в те времена за ними стояло богословие. Неразрешимая загадка – это тайна, которую невозможно понять, даже если все называли «учеными» людей, которые занимались этой темой.
Что выше Бога
и порочнее дьявола?
Им обладают бедняки,
в нем нуждаются счастливые,
а если ты будешь им питаться, то умрешь!
Головоломки в литературе
Классики – от Гомера до Сервантеса и Гриммельсгаузена, Шиллера и Гёте – использовали в своих романах загадки и логические задачи. Чаще всего они должны были доказать мудрость главных героев. Так, например, в романе Сервантеса «Дон Кихот» верный оруженосец Санчо Панса должен дать ответ на вопрос, который подтвердит его пригодность к должности губернатора острова. К нему подходят два старика и просят по справедливости разрешить их тяжбу. Один из них дал взаймы другому десять золотых. Прождав долгое время, он обратился к должнику за деньгами, но тот ответил, что уже вернул их. Кредитор же настаивал на том, что никаких денег не получал. Свидетелей займа и отдачи не было. Тогда Санчо Панса спросил, поверит ли кредитор должнику, что деньги уже возвращены, если тот поклянется в этом на Библии. Кредитор выразил свое согласие с таким решением. Перед тем как возложить руку на Библию, должник попросил своего соперника в этом споре подержать его посох и поклялся, что отдал деньги. После этого он забрал свой посох и собирался уже уйти, но Санчо Панса, выглядевший простаком, доказал свою крестьянскую сметку. Он сделал совершенно однозначный вывод о том, что человек, приносящий клятву на Библии, солгать не может (во всяком случае, в Испании XVI века!), но ему показалось странным, что на время клятвы он отдал свой посох в руки жалобщика. Следовательно, деньги находились в посохе. Так оно и оказалось. Красивая история и прекрасный пример логических умозаключений.
Вся история культуры и литературы полна не только загадок, но и весьма загадочных персонажей. Как вы думаете, что могло бы произойти, если бы они вдруг встретились? Правильно, между ними началась бы загадочная беседа. Персонаж многих немецких басен Бальдандерс изложил ее в форме загадки:
Из этой беседы ты узнаешь, кто владеет абсолютной истиной. Нострадамус заявил: «Обладателями абсолютной истины являются либо Гермес Трисмегист, либо скоморох Леффельштиль». Ему возразил святой Франциск: «Нет, Гермес Трисмегист этой истины не знает». Гермест Трисмегист в свою очередь сказал: «Ее знает Б. Травен». Но Б. Травен опроверг это: «Нет, я ее не знаю». Под конец Леффельштиль сказал: «Двое из нас сказали неправду». Из этого ты сможешь сделать вывод, кто владеет абсолютной истиной.
Вам предстоит разобраться, кто же на самом деле обладатель абсолютной истины. Не сдавайтесь слишком быстро. Ведь не может же быть, чтобы вас заткнул за пояс какой-то персонаж басен! Если два человека солгали, следовательно, остальные сказали правду. Это поможет вам в поисках. Подумайте, чьи высказывания были правдивы, и не позволяйте сбить себя с толку.
В персидском сборнике рассказов «Тысяча и один день» (не путать с известными сказками «Тысяча и одна ночь») мы знакомимся с жестокой принцессой Турандот, которая загадывает своим женихам загадки и лишает их головы, если они не находят ответа. В конце концов появляется некий принц, которому удается разгадать все три загадки: «Что рождается каждую ночь и умирает на рассвете?» (Надежда.) «Что пылает подобно пламени, но не пламя?» (Кровь.) «Что похоже на лед, но обжигает?» (Турандот.) Казалось бы, можно играть свадьбу, но принц понимает, что так он никогда не завоюет ее любовь. Поэтому в свою очередь предлагает принцессе загадку: она должна угадать его имя. Если ей это удастся, она может распорядиться его жизнью, как ей будет угодно. Поскольку принц находится вдали от родины, он уверен, что никто его здесь не знает, но одна из рабынь Турандот (когда-то похищенная принцесса, которая любила принца) узнает его и предлагает бежать вместе с ней. Принц отвергает ее предложение, и она, пылая чувством мести, выдает Турандот его имя. Но все кончается благополучно: Турандот признается принцу в любви, и они вместе восходят на трон. Мы так подробно пишем обо всем этом, чтобы продемонстрировать, какое место занимают загадки, пророчества и хитрые логические задачи в истории литературы. Загадки всегда были не просто упражнением для мозга, а некими моральными вехами, Божественными откровениями, выражением древней мудрости.
В завершение нашего литературного экскурса предлагаем вам загадку от нашего старого доброго знакомого тайного советника Гёте:
Он брат среди многих братьев и ничем не отличается от них. Он столь же дорог и ценен, как и все остальные, но появляется в семье лишь изредка и к нему относятся, словно к приемному ребенку.
Загадки как урок естествознания
В большинстве логических задач находят отражение наши познания в математике и физике. Такие задачи позволяют не только детям, но и взрослым людям понять, какое значение имеет математика в повседневной жизни, даже если все выученные в школе формулы давно забыты. В качестве примера приведем классическую историю. На берегу реки стоит крестьянин с волком, козой и капустой. Он хочет перевезти их на другой берег, но его лодка настолько мала, что он может взять с собой только что-то одно: либо волка, либо козу, либо капусту. И вот тут возникает проблема: если оставить вдвоем волка и козу, волк съест козу. Если оставить козу и капусту, коза съест капусту. Как же переправить всех троих? Такие взаимоисключающие комбинации постоянно встречаются в прикладной математике. Это хорошо известно кибернетикам и программистам.
Рис. 8. Капуста, коза, волк и крестьянин создают при разбивке по парам опасные сочетания
Еще одна классическая задача математика Жозефа Бертрана, составленная в 1888 году, посвящена теории вероятности. У нас есть три комода, и в каждом из них по два ящика. В первом комоде в обоих ящиках лежит по золотой монете, во втором комоде в каждом ящике лежит по серебряной монете, а в третьем комоде в одном ящике лежит золотая, а во втором – серебряная монета. Нам надо наугад открыть любой ящик в одном из комодов. Какова вероятность того, что там лежит золотая или серебряная монета? Совершенно очевидно, что она составляет один к трем. Итак, мы открываем ящик и находим там золотую монету. Какова теперь вероятность, что во втором ящике того же комода лежит серебряная монета? Вероятно, ваш ответ будет 50:50, но мы предлагаем вам спокойно подумать еще раз.
В 1920-е годы в Америке была очень популярна одна задача. Она настолько завоевала умы, что вместо приветствия люди зачастую спрашивали друг друга: «Так сколько же лет Анне?» Условие задачи звучит так: «Мэри 24 года. Сейчас ей вдвое больше лет, чем было Анне, когда Мэри было столько же лет, сколько Анне сейчас. Сколько сейчас лет Анне?»
Но и в наши дни хитроумные математические задачи (с которыми порой не справляются даже профессионалы) занимают умы людей. Это доказала задача с тремя дверями, предложенная на телешоу «Давайте заключим сделку». Десятки американских профессоров математики дружно высмеяли писательницу Мэрилин вос Савант, которая заявила, что участвующий в шоу кандидат может существенно повысить свои шансы на выигрыш, если поменяет свое же первоначальное решение. Представьте себе, что вы участвуете в этом шоу и стоите перед тремя дверями. За двумя из них ничего нет, а за третьей находится главный приз. Ведущий просит вас выбрать одну дверь, но пока не открывать ее. Совершенно очевидно, что вероятность успеха составляет один к трем. После этого ведущий (который, естественно, знает, где находится приз) открывает одну из двух оставшихся дверей и показывает, что там ничего нет. А теперь он предоставляет вам право выбора. Вы можете остаться при своем прежнем решении или открыть другую оставшуюся дверь. На первый взгляд кажется, что никакой разницы нет. Здравый смысл подсказывает, что вероятность в любом случае будет 50:50. Какой же смысл менять свое решение? Именно такой вывод был сделан большинством математиков.
Но они ошибались. Мэрилин вос Савант (чей IQ, кстати, составляет 228) путем расчетов убедила специалистов, что если кандидат останется при прежнем решении, то его шансы по-прежнему будут составлять 1:3, а вот если он выберет другую дверь, то они возрастут до 2:3. Это значит, что, поменяв решение, кандидат может выиграть (чисто статистически, разумеется) в двух случаях из трех.
К повседневным проблемам следует подходить точно так же, как к логическим задачам. Допустим, лучший сотрудник отдела одновременно обладает несносным характером, и с ним никто не хочет работать; браузер постоянно зависает на одном и том же сайте; банк согласен выдать вам кредит для открытия собственного бизнеса только после того, как вы откроете этот бизнес… Ведь все это, собственно говоря, и есть логические задачи, решение которых лишь в редких случаях лежит на поверхности. Следовательно, к решению этих производственных и личных проблем следует применять те же принципы, что и к головоломкам.
1. Изучение проблемы. Тщательно проанализируйте все детали и их взаимосвязи.
2. Созревание. Если проблема не решается быстро (и полностью), запомните информацию и носите ее в голове. Не думайте о ней постоянно, позвольте работать подсознанию.
3. Озарение. В какой-то момент вы почувствуете, что проскочила искра. Перед вами откроются новые взаимосвязи, и направление решения станет очевидным.
4. Проверка. Теперь вы можете сознательно работать над проблемой. Если решение найдено, не доверяйте ему слишком быстро. Тщательно перепроверьте его со всех точек зрения.
Но, как и в жизни, логические задачи подразделяются на несколько типов, и их необходимо распознавать. Бывают задачи простые, из области комбинаторики, бывают такие, в которых скрыт парадокс, а бывает всего лишь игра слов и смыслов, какой-то математический фокус или элементарный подвох.
Последние встречаются очень часто. Вот вам простой пример: самолет разбивается точно на границе Франции и Германии. Где будут хоронить выживших? Ага, сумели заметить подвох! Очевидно, мы недооценили ваш IQ. Ну, тогда для вас не составит большого труда решить и следующую задачку. Отец и сын возвращаются с горного курорта. На заснеженной автостраде автомобиль заносит, и он врезается в грузовик. Отец погибает на месте, а сына с тяжелейшими травмами головы доставляют на вертолете в ближайшую клинику. Ему срочно требуется операция на мозге, поэтому уже через час из столицы прилетает светило нейрохирургии. Однако при обследовании хирург внезапно заявляет: «Я не могу его оперировать. Это мой сын!»
Чтобы быть готовым к подобным подвохам в повседневной жизни, надо усвоить основные правила решения логических задач:
● Тщательно изучите вопрос. Рассмотрите его со всех сторон и убедитесь, что речь идет не о риторическом вопросе, который не требует ответа.
● Подходите к делу с уверенностью в себе. Если вопрос задан всерьез, на него можно найти ответ. Пусть не сразу, может быть, даже не в этом месяце, но для вас нет ничего невозможного. Если вы не разбираетесь в какой-то области, обратитесь к специалисту.
● Проанализируйте все взаимосвязи. Какие-то проблемы можно обобщать, но ваша особенная. Не думайте, что она сформулирована именно так по чистой случайности!
● Не уходите с головой в решение. Логические задачи далеко не всегда решаются целенаправленно. Дайте волю интуиции и фантазии. Правильный путь – это чаще всего свободный полет мысли, выходящий за привычные рамки.
● Не устанавливайте для себя ограничений. Зачастую задача кажется сложной лишь потому, что вы сами придумали себе слишком узкие рамки решения, которых в действительности не существует.
● Реальные проблемы и логические задачи зачастую похожи друг на друга. Если понятен их принцип, они решаются мгновенно. Если в логической задаче вы имеете дело, к примеру, с двумя племенами индейцев, одно из которых постоянно лжет, а другое всегда говорит правду, то в реальности вы можете столкнуться с начальниками, которые ведут себя подобным образом. Предупрежден – значит вооружен!
● Переверните проблему с ног на голову! Попробуйте вместо поиска возможного решения выяснить, каким это решение не может быть в принципе! Зачастую подход с противоположной стороны быстрее ведет к решению.
Классические задачи для разминки
Улитка упала в колодец. Хорошо еще, что в нем не было воды, иначе она утонула бы. Но теперь перед ней стоит задача подняться наверх. Высота колодца 18 метров. При всем старании улитка может подняться за день только на 7 метров, а ночью опять сползает на 4 метра. На какой день она выберется из колодца?
В пруду растет одна кувшинка. Разрастаясь, она за день удваивает покрываемую площадь пруда. Через 30 дней весь пруд полностью покрыт кувшинками. Сколько дней понадобится, чтобы полностью покрыть весь пруд, если бы вначале была не одна кувшинка, а четыре?
Даже цветы могут символизировать числа. На лугу растет 35 цветов: красных, розовых и белых, – причем розовых в два раза больше, чем белых. Если сорвать четыре цветка, то по крайней мере один из них обязательно будет красным. Сколько цветов каждого цвета растет на лугу?
Два маляра красят дом. Оба работают с одинаковой скоростью. Вдвоем они покрасили бы этот дом за три дня, но после первого дня работы один из маляров заболел, и его коллега вынужден заканчивать работу в одиночку. Через сколько дней дом будет полностью покрашен?
У нас есть две литровые бутылки, одна из которых наполовину наполнена вином, а вторая – наполовину водой. Мы переливаем стакан вина (четверть литра) в бутылку с водой, хорошо перемешиваем и вновь переливаем стакан полученной смеси (также четверть литра) в бутылку с вином. В какой бутылке содержание вина будет больше?
Все это классические математические задачи, но умело обработанные и преподнесенные в занимательной форме, в отличие от тех примеров, которые вам приходилось решать в школе. Разница в том, что здесь, конечно, можно применять математические формулы (если вы вспомните подходящие), но больше требуются логика и воображение. Яркий пример отличия логики от математики демонстрирует следующая задача.
Два пешехода, расстояние между которыми составляет 12 километров, одновременно начинают двигаться навстречу друг другу со скоростью 4 километра в час. В момент начала движения птица, сидящая на плече первого пешехода, взлетает и мчится ко второму. Поравнявшись с ним, она разворачивается и снова летит к первому. Так продолжается до тех пор, пока пешеходы не встретятся. Скорость птицы – 30 километров в час. Сколько километров в общей сложности она пролетит до момента встречи?
Эта задача решается, как правило, с помощью геометрических рядов. Опытные математики находят ответ, не задумываясь, но им и в голову не приходит, что это можно сделать по-другому и намного проще. А вы додумались?
Элегантные упрощения свидетельствуют о творческом складе ума. Разумеется, это не значит, что все математики (включая учителей) полностью лишены этого качества. Один из самых известных математиков Карл Фридрих Гаусс, родившийся в Брауншвейге в 1777 году, на собственном опыте познал, что творческое мышление одновременно несет и радость, и муки. Когда ему было десять лет, учитель математики дал классу задание сложить все числа от 1 до 100. Маленький Гаусс справился за одну минуту, и ответ оказался верным. Но учителя это не обрадовало, так как он заподозрил ученика в обмане. Разве он мог подумать, что этот малолетний гений по ходу дела самостоятельно дошел до открытия бинома Ньютона. Он просто внимательно изучил задачу и заметил, что каждая последовательная пара чисел, взятых с начала и конца этого ряда, всегда дает в сумме 101 (1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 …) и таких пар насчитывается 50. В результате он просто умножил 50 на 101 и получил ответ: 5050.
Это поразительно красивое решение. А ведь красота, эстетика и ясность почти всегда являются признаками успешного решения задачи. Если доказательство изящно, оно должно быть верным. Точно так же химик, видя перед собой эстетичную модель молекулы, сразу приходит к выводу, что она «правильная». То же самое можно сказать и о физике, рассматривающем простую и изящную формулу. Если мысль красива, то и полученные в результате доказательства будут простыми и ясными, пути решения – элегантными, а выводы – убедительными. Даже если вы знаете, как обычно решается тот или иной тип задач или проблем, попробуйте сделать это иначе. Отвлекитесь от формул и диаграмм, доверьтесь интуиции, сознательно сделайте абсурдное допущение. Зачастую это ведет к решению. Вы уже знаете, что мозг – очень гибкий самоорганизующийся орган. Старайтесь руководствоваться этим в своих размышлениях. Большинство открытий и изобретений появились именно таким образом.
Эврика! Прикладные логические задачи
Найдя решение заковыристой задачи, можете смело кричать «Эврика!». Согласно легенде, именно так воскликнул Архимед, найдя в своей ванне ответ на мучивший его вопрос. Сиракузский царь Гиерон очень ценил самого знаменитого математика античности, поэтому поручил ему крайне щекотливое задание – узнать, из чистого ли золота сделана его новая царская корона. Архимед, естественно, не имел возможности расплавить корону. Кроме того, в то время еще не существовало химических методов анализа для определения содержания золота в сплаве. Задача оказалась трудной. Тут было над чем поломать голову. А теперь давайте прочертим линию между двумя, казалось бы, не связанными между собой вопросами, которая привела к искомому результату. Первый вопрос был уже поставлен: «Сделана ли корона из чистого золота?» Второй вопрос пришел Архимеду в голову, когда он улегся в наполненную доверху ванну и вода перелилась при этом через края. «Почему вылилось именно столько воды?» – заинтересовался он. Ответ на второй вопрос был ему понятен: тело, помещенное в жидкую или газообразную среду, вытесняет часть вещества, соответствующую его объему. Но это был одновременно и ответ на задачу, поставленную Гиероном. Архимед погрузил корону в наполненный до краев сосуд и посмотрел, сколько воды она вытеснила. Затем он поместил туда же золотой слиток, равный по весу короне. Корона вытеснила больше воды, чем слиток. Значит, она была сделана из более легкого металла. Следствием этого события стал знаменитый закон Архимеда, который определяет величину выталкивающей силы. Поскольку плотность золота выше, чем плотность воды, оно тонет и при этом вытесняет жидкость в количестве, равном его собственному объему. Более дешевый металл, правда, тоже тонет, но его плотность меньше, чем у золота, поэтому он вытесняет больший объем воды. Если же плотность предмета меньше, чем плотность воды, он плавает по поверхности.
Рис. 9. Архимед открывает выталкивающую силу. Гравюра на дереве из труда Витрувия «Десять книг об архитектуре», Венеция, 1511 год
Архимеду не были знакомы ледяные кубики для охлаждения вина, поэтому попробуйте дать за него ответ на следующий вопрос: в кружке, наполненной до краев водой, плавает кубик льда. Что будет, когда он растает?
Все мы постоянно проделываем эксперименты, но чаще всего даже не осознаем этого. Мы наблюдаем за окружающим миром, а когда он ставит перед нами очередную проблему, подсознательно начинаем обращать больше внимания на те наблюдения, которые так или иначе с ней связаны. Вот вам еще одна проблема. В банковском сейфе имеется 30 ячеек, в каждой из которых хранится по 30 золотых монет. Поступила информация, что в одной из ячеек монеты фальшивые. Настоящая золотая монета весит 10 граммов, а фальшивая – только 9 граммов. Директору банка необходимо узнать, в какой именно ячейке находятся фальшивые деньги, но у него очень мало времени, так как ревизия уже на пороге. У него есть электронные весы, позволяющие взвешивать с точностью до 1 грамма, но времени хватает только на одно взвешивание. Каким же образом можно определить, в какой ячейке фальшивые монеты?
Процедуры взвешивания и измерения постоянно встречаются в задачах, потому что чисто математические действия в этом случае легче трансформировать в форму занимательной истории. Итак, еще одна классическая задача. Перед вами лежат двенадцать металлических шариков, которые на вид не отличаются друг от друга, но один из шариков тяжелее остальных. У вас есть обычные рычажные весы, и вы можете произвести только три взвешивания. Как найти более тяжелый шарик? Ладно, с этой задачей вы, вероятно, справились быстро. А теперь немного усложним условие. Перед вами все те же двенадцать шариков, но один из них либо легче, либо тяжелее других. У вас по-прежнему только три попытки.
Хуже, когда на весы нельзя полностью положиться. Допустим, вы хотите отмерить 2 килограмма сахара. У вас есть рычажные весы, но с разной длиной плеч, килограммовая гиря, несколько бумажных пакетов и большой мешок сахара. Как вы поступите?
Одна упаковка чая весит 75 граммов, но покупателю нужно только 55 граммов. У продавщицы есть рычажные весы, но нет необходимых мелких гирек. Единственное, чем она располагает, – это пакетик шафрана, весящий 25 граммов, и пакетик с сахаром весом 40 граммов. Есть ли у нее возможность взвесить 55 граммов чая?
Крестьяне в Тироле до сих взвешивают яблоки с помощью четырех камней различного веса и рычажных весов. Если разбить 40-килограммовый мельничный жернов на четыре части, с их помощью можно взвешивать любой предмет весом от 1 до 40 килограммов. Вопрос лишь в том, какого веса должны быть эти части жернова.
Раз уж вы так увлеклись взвешиванием, предложим вам последнюю задачу с рычажными весами. На обеих чашах весов стоят наполненные одинаковым количеством воды банки. В одну банку поставим розу. Вторую розу такого же веса положим поверх второй банки, чтобы она не касалась воды. Весы пока находятся в равновесии. Что с ними произойдет, когда вторая роза засохнет?
Вообще-то весы – символ уравнения. Все, что находится на их чашах, можно представить в виде чисел. Но символизировать различные числа могут также песочные часы или ведра с водой. Вот несколько примеров.
У вас есть двое песочных часов. В одних песок полностью пересыпается из верхней емкости в нижнюю за 7 минут, а в других – за 4 минуты. Можно ли с их помощью отмерить ровно девять минут?
У вас есть два ведра. Одно вмещает ровно 3 литра воды, а второе – 5 литров. Никаких отметок на них не имеется. Вы стоите у колонки с водой, и вам нужно отмерить ровно 4 литра. Как это сделать?
Необходимо заполнить водой цистерну. У вас есть четыре насоса различной мощности. Самый мощный может заполнить цистерну за 1 час, второй – за 2 часа, третий – за 3 часа, а четвертому для этого понадобится 6 часов. Поскольку работа срочная, вы одновременно включаете все насосы. Через какое время цистерна будет заполнена?
Возможно, нашей часто критикуемой школьной системе пошло бы на пользу, если бы она подключила к изучению математических формул логику и воображение учащихся. Подумайте сами, какая формула поможет нам решить следующую задачу: осенняя буря повредила флагшток высотой 9 метров. Он сломался в 4 метрах от земли. На каком расстоянии от основания касается земли кончик сломанного флагштока?
С помощью подобных задач можно залезть в дебри математики. Например, если в помещении было три гнома, но четверо из них вышли, то должен зайти еще один, чтобы там никого не осталось. Но это уже не классика. Этот пример подводит нас к следующей главе о том, можно ли доверять здравому смыслу.
Ошибки мышления
Здравый смысл – трудно определимое понятие. И к тому же опасное. Так, например, человек, озабоченный глобальным потеплением, приходит к выводу, что необходимо что-то предпринять. Он продает свой автомобиль, но при этом продолжает летать в отпуск из Европы в Австралию. И это отнюдь не противоречит его здравому смыслу: самолет ведь все равно полетит туда даже без него. С точки зрения экологического баланса это катастрофа, но здравый рассудок отказывается это понимать. Он вообще легко впадает в заблуждение, и применение к нему прилагательного «здравый» вызывает большие сомнения. Опаснее его может быть только «здоровое национальное сознание». Но давайте все же разберемся, как функционирует этот здравый смысл и почему он так часто ошибается.
Представление, будто существует лишь одна-единственная истина, – это самая опасная из всех иллюзий.
Узость мышления или здравый смысл
Представьте себе, что президент некой страны, начитавшийся в молодости Маркса, решает по справедливости перераспределить богатство среди своего народа. Он не хочет ни революций, ни налоговых реформ, поэтому придумывает нечто совершенно новое. Он делит все население на пять классов: бедные, нуждающиеся, средний класс, зажиточные и богатые. Затем между двумя соседними классами поочередно уравниваются доходы. План предусматривает, что сначала усредняются доходы бедных и нуждающихся (их доходы складываются, а затем делятся поровну). Затем то же самое происходит между нуждающимися и средним классом, между средним классом и зажиточными и, наконец, между зажиточными и богатыми. Но богачи считают, что они при этом будут ущемлены, и предлагают начать перераспределение сверху, то есть сначала усредняются доходы между богатыми и зажиточными, потом между зажиточными и средним классом и так далее вплоть до бедняков. Как ни странно, это предложение находит всеобщую поддержку. А что вам подсказывает здравый рассудок? Как вы отнеслись бы к этому плану с обеих позиций, то есть с точки зрениях бедных и богатых?
Здравый смысл вмешивается даже в те области, где ему совершенно нечего делать, например в математику. Давайте предположим, что Земля – идеальный шар с гладкой поверхностью без возвышенностей и впадин и протяженность ее экватора составляет ровно 40 тысяч километров. Мы натягиваем шнур по экватору вокруг всего земного шара. Его длина должна тоже составлять 40 тысяч километров, но, к сожалению, он оказывается на 1 метр длиннее – 40 000,001 километра. Возможно, тот, кто отмерял этот шнур, решил, что один лишний метр по сравнению с длиной экватора абсолютно ничего не значит, так как эти величины несопоставимы. Теперь представьте себе, что этот шнур висит над экватором, образуя по всей длине равномерный зазор (он ведь длиннее, чем надо). Каким будет этот зазор? Несколько микронов? Миллиметр? Пара сантиметров? Прикиньте сами. А теперь представьте себе, что вы натянули шнур вокруг шара для боулинга, а потом удлинили его на 1 метр. Каким теперь будет зазор между шнуром и шаром? Ну, это-то вы можете себе представить!
И тут для здравого смысла наступает шок. Оказывается, если удлинить шнур на 1 метр, зазор будет всегда одинаковым независимо от того, идет ли речь о земном шаре или шаре для боулинга, а именно около 16 сантиметров.
Таким образом, на здравый смысл надо полагаться с большой осторожностью. С его помощью можно решать лишь несложные вопросы, но, когда мы сталкиваемся со сложными или хитро сформулированными задачами, здравый смысл является слишком грубым инструментом. Для того чтобы наглядно и объемно представить себе сложный и постоянно меняющийся процесс, а также его возможный результат, требуется значительное интеллектуальное усилие, но подобные упражнения прекрасно тренируют мозг. Проверьте себя, решив следующую задачу.
Самолет летит из Берлина в Рим, а затем возвращается обратно. Все это время довольно сильный ветер дует прямо в направлении Рим – Берлин. Совершенно очевидно, что попутный ветер ускоряет полет, а встречный замедляет. А теперь сравните эту ситуацию с той, когда на протяжении всего маршрута туда и обратно царит полное безветрие. Будет ли суммарное время полета в обоих случаях одинаковым? Если да, то почему?
Видите, какую осторожность надо соблюдать в подобных вопросах? Первый спонтанный ответ кажется вполне «логичным», но он необязательно верен. А вот вам еще один вопрос, на который каждый готов дать ответ, не задумываясь. Но насколько он правилен?
В семье двое детей, один из которых мальчик. Какова вероятность того, что другой ребенок тоже мальчик?
Наш мозг отказывается верить, потому что у него слабо развита способность к абстрактным представлениям. Порой такое трудно представить себе даже математикам, но они знают, что это так и есть, поскольку расчеты не врут. Математики знают, что существует бесконечное количество целых чисел. Но им также известно, что существует такое же количество четных чисел, хотя здравый смысл подсказывает, что их должно быть вдвое меньше. А есть еще так называемые простые числа, которые делятся только на единицу и сами на себя. Они пока найдены не все. Наибольшее из известных нам на сегодняшний день простых чисел – это 232582657 – 1. Суперкомпьютеры работают день и ночь, чтобы найти следующее, потому что мы знаем, что таких чисел тоже должно быть бесконечное количество. Может ли осознать это «здравый смысл»? Едва ли. В это надо просто верить. Математика может с легкостью ввести в заблуждение наш слишком конкретно мыслящий мозг. Но хуже всего то, что, даже когда математика нам все объяснила и доказала, мы все равно продолжаем верить своим органам чувств.
Оптические иллюзии
Возьмем для примера обычную полоску бумаги. У нее есть верхняя и нижняя поверхность, а также два края по бокам. Напишите на ней сверху А, а снизу Б. Вы ничуть не сомневаетесь, что буквы находятся на разных сторонах полоски. Вы можете в этом поклясться и даже поспорить на крупную сумму. Но вот этого лучше не делать. Любой математик с легкостью докажет вам, что обе буквы находятся на одной стороне и что у этой полосы бумаги вообще только одна поверхность. Это делается так: один конец полоски поворачивается на 180 градусов и склеивается со вторым. У вас получился невозможный объект. Если вы из любой точки полоски проведете карандашом линию параллельно краю, то вернетесь к той же самой точке, не переворачивая полоску на другую сторону, причем карандашный след останется с обеих сторон ленты. Все потому, что у этой ленты на самом деле только одна сторона.
Рис. 10. Лента Мёбиуса
Лента Мёбиуса (названная так по имени математика Августа Фердинанда Мёбиуса, открывшего этот феномен в 1858 году) представляет собой «объект, замыкающийся сам на себя». Это значит, что вы держите в руке то, чего, вообще-то, не может существовать: двухмерный объект в трехмерном пространстве. Разумеется, математики давно описали и классифицировали этот феномен. Они называют его неориентируемой поверхностью, хотя неспециалисту это ни о чем не говорит и ничего не объясняет. Тем не менее это ничуть не умаляет чуда, сотворенного из обычной бумажной полоски. Особенно интересно, как наш мозг реагирует на «то, чего не может быть». Ведь в школе нас учили, что мы существуем в четырехмерном пространственно-временном континууме, в котором не может быть ничего двухмерного. Таким образом, существуют границы, за которыми наше мышление просто отказывает. Навигатор в мозге теряет связь со спутником, и мысли разбредаются в разных направлениях по неизведанной местности. Похоже, что в мозге предусмотрена некая аварийная программа для явлений, которые мы наблюдаем, но не можем осознать и объяснить. Это можно сказать, в частности, об оптических иллюзиях, которые нас одновременно завораживают и сбивают с толку, поскольку в них что-то «не сходится». Оптические иллюзии – это изображения, которые глаз способен воспринять, но мозг не в состоянии понять и объяснить. Такой обман восприятия основывается на самых разных эффектах: на остаточном изображении на сетчатке глаза, на отвлечении внимания, на контрасте и цвете, на свете и тени, на наших устоявшихся приемах получения зрительной информации. Во всех случаях зрение нас обманывает, что можно легко доказать, прибегнув к помощи других органов чувств. Взгляните на рисунок 11. Вам потребуется некоторое время, чтобы расшифровать текст. И дело тут не только в том, что он написан по-английски.
Рис. 11. Загадочная надпись
На рисунке 12, представляющем собой одновременно и оптическую иллюзию, и задачу по комбинаторике, мы имеем дело совершенно с другим явлением. Изображенные здесь знаки не являются буквами какого-то языка. Они понятны всем в мире, и вы их, конечно, тоже знаете. Вы видите их каждый день, пишете их, думаете о них, а время от времени и проклинаете. Но если так, вам не составит никакого труда дописать пятый знак из этого ряда.
Рис. 12. Странные знаки
Оптических иллюзий всякого рода очень много, потому что нет ничего легче, чем обмануть зрение. Но особый шик заключается в том, чтобы обмануть мозг. Взгляните на рисунок 13. Обе фигуры состоят из одних и тех же частей, но нижняя почему-то оказывается на целый квадратик больше. Как такое может быть? Мы не хотим, чтобы вы сломали себе мозг, поэтому сразу раскроем секрет. Несмотря на кажущуюся тождественность, острые углы треугольников, из которых состоит фигура, не одинаковы. Поэтому ее верхняя сторона в одном случае едва заметно изогнута вниз, а в другом – вверх. Образующаяся за счет этого разница площади и составляет тот самый квадратик.
Рис. 13. Задача с треугольниками
Голландский художник и график М. К. Эшер вдохновенно изображал миры, которых не может существовать. Он занимался не столько иллюзиями, сколько геометрической фантастикой. Он создал знаменитую бесконечную лестницу, рептилий, словно выползающих из плоскости рисунка и вновь скрывающихся в ней. Для его картин характерны невероятные метаморфозы и перспективы. В отличие от обычных оптических иллюзий, обманывающих систему зрительного восприятия, он с помощью своих картин обращался непосредственно к мозгу. Разумеется, в трехмерном пространстве невозможно построить лестницу, которая начинается там же, где и заканчивается. Но на двухмерном изображении это вполне возможно. Если же в качестве инструмента воспользоваться своими особенностями зрительного восприятия, мы будем, словно малые дети, неотрывно следить глазами за монахами, спускающимися и поднимающимися по этой лестнице.
Рис. 14. «Вверх и вниз по лестнице». М. К. Эшер. Литография. 1960 год
Вы можете своими руками создать подобную иллюзию для мозга и тем самым активизировать нейроны участников нудного совещания или вечеринки. Сложите квадратный лист бумаги пополам и сделайте на нем три прямых надреза ножницами, чтобы получить изображенную на рисунке фигуру, которая на первый взгляд кажется невозможной. Как это сделать? Учтите, что полностью разрезать, а потом склеивать бумагу нельзя.
Рис. 15. Невозможная фигура
Знание божественно, но человеку свойственно ошибаться
Когда мы что-то прикидываем на глазок, порой можно услышать такое выражение: «Пи, умноженное на длину большого пальца». Если число π мы еще худо-бедно знаем вплоть до четвертого-пятого знака после запятой, то большой палец у всех разный. И все же люди с учетом их ограниченных возможностей на удивление хорошо способны на глазок оценивать различные параметры. Если перед взрослым человеком положить деревянную рейку длиной с руку и попросить отметить середину, он в 90 процентах случаев сделает это с точностью до 2 сантиметров. Если дать ему пакет сахара, он почти всегда точно скажет, весит ли он больше или меньше 500 граммов. Мы достаточно хорошо определяем на глаз расстояния до 30 метров, можем примерно сказать, который сейчас час, и варим макароны, не глядя на секундомер. Эти способности можно развить с помощью тренировки. Опытный архитектор способен достаточно точно определить высоту здания, маляр навскидку скажет вам площадь стен в квартире, а лесник – объем сваленного дерева в кубометрах. Но речь здесь идет лишь о развитии функций выживания древнего человека на основании опыта. Во всех остальных случаях умножение π на большой палец приведет к неудаче.
Вам нужен пример? Пожалуйста. 28 августа 888 года в летописях было впервые упомянуто селение Нойндорф в горах Айфель, основанное еще римлянами. Самое замечательное в этой дате то, что она состоит только из четных цифр: 28.8.888. А теперь прикиньте (но только на глаз, без подсчетов!), сколько дней, месяцев или лет прошло до следующей даты, состоящей только из четных цифр?
Все, что можно взять в руку, мы оцениваем достаточно безошибочно. Но что можно сказать о таком объекте, как, например, Эйфелева башня? Попробуйте примерно сказать, сколько она весит: 8, 80, 800 или 8000 тонн? Ну хорошо, с этим вы справились. Высота Эйфелевой башни – 300 метров, а вес действительно 8000 тонн. А теперь представьте себе, что из того же материала изготовлена точная копия, уменьшенная в тысячу раз. Ее высота – 30 сантиметров. А сколько она весит? 8 граммов, 80 граммов, 800 граммов, 8 килограммов или 80 килограммов?
Потренировав свой здравый смысл, вы сможете с большей точностью оценивать вес. Попробуйте сделать это, выслушав современную сказку. Бедный подмастерье мельника, закончив учебу, получил в качестве оплаты только гуся. Он пожаловался:
– Раньше подмастерья получали более ценные вещи вроде волшебного горшочка, скатерти-самобранки или шапки-невидимки. А что сегодня? Какой-то несчастный гусь!
– Он как-никак 6 кило весит, – невозмутимо ответил мельник. – Если тебе не нравится, сходи в лес к фее, пусть она сделает этого гуся золотым.
Подмастерье так и сделал. Он пошел к фее, и та исполнила его желание. Перед ним вдруг оказался слиток золота размером с гуся. «Я миллионер!» – радостно воскликнул подмастерье, схватил гуся под мышку и помчался домой. Как вы считаете, что в этой сказке не соответствует действительности (естественно, за исключением того, что феи в наши дни не водятся)?
Еще одна тема, где люди часто допускают промашку, – это деньги. Нормальный человеческий рассудок не справляется с большинством денежных операций, и именно за счет этого живут банки, страховые и лизинговые компании. Банкиры знают, какой разрушительный эффект могут оказать проценты по кредиту, но им также хорошо известно, какие доходы приносят сложные проценты по вкладу. Если вы положили на счет 100 евро под 3 процента годовых, то через год у вас будет 103 евро. Вы оставляете эти деньги на счете, и в следующем году у вас уже 106,09 евро. Казалось бы, мелочь, но со временем доходы начинают прирастать с головокружительной скоростью.
Что такое экспоненциальный рост, можно наглядно продемонстрировать на примере, который также превосходит возможности здравого рассудка. Предположим, в 7 году нашей эры уже работал банк, в который наш далекий предок положил золотой шарик диаметром 1 миллиметр под вполне реальные 3,5 процента годовых. Никто из его потомков не добавлял туда больше ни копейки. Весь прирост осуществлялся только за счет процентов. Поскольку нам трудно судить о том, как на протяжении веков менялись цены на золото, предположим для простоты, что шарик просто рос в объеме в соответствии с оговоренными процентами. В результате этот шарик, имевший первоначально диаметр 1 миллиметр, вырос бы к сегодняшнему дню до 12 600 километров. Это значит, что мы стали бы обладателями золотого шара размером почти с Землю. Из этого примера можно сделать два вывода: во-первых, таких длительных вкладов не существует, а во-вторых, наш здравый смысл имеет мало общего с денежными операциями.
Здравый смысл – обманщик
Что вы скажете о следующей финансовой операции: вы берете у друга взаймы 1000 евро и договариваетесь, что будете возвращать долг частями каждый месяц. В первый месяц 500 евро, во второй – 250 и так далее, каждый раз уменьшая сумму вдвое. Когда вы полностью выплатите долг? Разумеется, никогда, потому что всегда будет какой-то остаток. Впору вспомнить о беге наперегонки Ахилла и черепахи.
Как видите, здравый смысл частенько нас подводит. Прочитайте, пожалуйста, следующие двенадцать утверждений и быстро оцените, какие из них соответствуют действительности, а какие – нет.
● Стандартный мяч для гольфа имеет на поверхности 336 углублений.
● Жираф может обходиться без воды дольше, чем верблюд.
● Организм взрослого человека, занимающегося тяжелым физическим трудом, выделяет за день с потом до 15 литров воды.
● Большой реактивный авиалайнер расходует при взлете свыше 15 тысяч литров топлива.
● Акула может учуять запах крови при ее концентрации в воде 1:100 000 000.
● В соответствии с английским законом от 1845 года попытка самоубийства считалась тяжким преступлением и каралась смертной казнью через повешение.
● Нюх у собаки в 20 раз чувствительнее, чем у человека.
● На Земле живет примерно столько же кур, сколько и людей.
● Если куклу Барби увеличить до нормального человеческого роста, обхват ее бюста, талии и бедер составит 100-59-84.
● Луна имеет такой же объем, как Тихий океан.
● Глаз страуса по размеру больше, чем его мозг.
● У тигров полосатую окраску имеет не только шерсть, но и кожа под ней.
Фехтование перед зеркалом и бой с тенью
Как известно, в зеркальном отражении меняются местами правая и левая стороны. Но если так, то зеркало должно менять не только левую сторону с правой, но и верх с низом. Однако этого не происходит. Почему?
На самом деле мы сильно заблуждаемся, когда считаем, что левая и правая стороны в отражении меняются. В действительности зеркало меняет местами не правую и левую стороны, а переднюю и заднюю. То, что находится слева от зеркала, мы и видим слева, а то, что находится справа, отражается тоже справа, вот только нам кажется, что предметы находятся не перед зеркалом, а за ним. Когда мы смотрим на отражение предмета в зеркале, нам кажется, что наш взгляд направлен в сторону зеркала. На самом же деле мы видим этот предмет с противоположного направления, то есть со стороны зеркала.
Тот же самый эффект создается, когда мы пишем какой-то текст на прозрачной пленке, а затем смотрим на него с обратной стороны. Мы видим как бы зеркальное отражение текста, но ведь в данном случае мы меняли местами не левую и правую стороны, а переднюю и заднюю. Кстати, зеркало может менять местами и верх с низом. Для этого его надо положить на пол. В этом случае передняя и задняя стороны будут соответствовать верху и низу. Глядя вниз, мы увидим потолок.
Но сейчас мы хотим поговорить о зеркальном отражении мышления. Мы смотрим на какую-то задачу, которая на первый взгляд сформулирована ясно и просто, и не замечаем, что нас пытаются одурачить, подсовывая зеркальное отражение логики и затемняя ясность мышления, например:
Человек стоит перед портретом. Его спрашивают: «Кто изображен на портрете, который вы так внимательно рассматриваете?» Он отвечает: «У меня нет братьев и сестер, но отец изображенного человека – это сын моего отца». На чей портрет он смотрит?
Как ни странно, большинство людей отвечают неправильно, считая, что он смотрит на свой собственный портрет. Они ставят себя на его место и приводят следующие аргументы: «Поскольку у меня нет братьев и сестер, значит, сын моего отца – это я сам. Поэтому я смотрю на свой портрет».
Первая часть этого аргумента абсолютно верна. Если у человека нет братьев и сестер, значит, он и в самом деле сын своего отца. Однако из этого вовсе не следует, что именно он изображен на портрете. Если бы вторая часть фразы звучала так: «Изображенный человек – сын моего отца», то ответ был бы правильным. Но условие изложено иначе: «Отец изображенного человека – это сын моего отца». Из этого следует, что «я сам» относится к отцу изображенного человека, то есть тот, кто смотрит на портрет, видит своего сына.
Если кое-кто из скептически настроенных читателей все еще не убедился в этом (а таких окажется немало), мы постараемся ему помочь, решая задачу шаг за шагом: 1. Отец изображенного человека – сын моего отца. Давайте теперь заменим «сын моего отца» на «я сам». 2. Отец изображенного человека – это я сам. Теперь убедились?
Вопросы, сформулированные подобным образом, затемняют смысл, словно солнечные очки. Кстати, на этот счет тоже есть задача, которая простотой своей формулировки сбивает слушателя с толку. Вы покупаете солнечные очки с затемненными стеклами, но не обладающие защитой от ультрафиолетовых лучей. Как это скажется на ваших глазах?
Три вопроса с подвохом
● В прошлый раз, когда у этого известного нейрофизиолога был день рождения, ему исполнилось 56 лет. – Значит, следующий день рождения он будет праздновать, когда ему будет 57 лет? – Нет. – Он что, умер? – Нет. Как такое может быть?
● Книжный червь добрался до своего любимого деликатеса – многотомного толкового словаря. Тома стоят на книжной полке в алфавитном порядке слева направо. Книжный червь прогрызает книги в строго горизонтальном направлении. Утром он начинает с первой страницы первого тома, а вечером заканчивает на последней странице второго тома. Сколько сантиметров он прогрыз? Толщина всех страниц одного тома составляет 6 сантиметров, а толщина обложки – 1 сантиметр.
● Каждый час из аэропорта Франкфурта отправляется самолет в Нью-Йорк. Точно так же каждый час из Нью-Йорка вылетает самолет в направлении Франкфурта. Полет длится десять часов. Сколько встречных самолетов вы увидите за это время?
Теория игр: логика безумия
Теперь, когда вы уже знаете, что здравый рассудок имеет мало общего с логикой, мы хотим показать вам, в каких еще лабиринтах можно запутаться. Ведь если кто-то говорит: «Логично, не правда ли?» – это отражает лишь его собственную логику, его индивидуальную систему мышления. Можно только представить себе, в какой растерянности оказывается мозг среднестатистического человека, сталкиваясь с теорией игр, представляющей собой сочетание логики, азартной игры, экономики и высшей математики. С помощью этой «логики безумия» можно предсказывать биржевые тенденции и разрабатывать лучшие покерные стратегии. На базе порой абсолютно «нелогичных» закономерностей этой теории можно создавать увлекательные игры, которые дадут возможность не только повеселиться, но и вытянуть деньги из чужих карманов. Вы считаете, что это лишь теория? Ничего подобного.
Людям, которые хотят прослыть душой компании и вдобавок кое-что подзаработать, мы можем дать совет: выставьте на аукцион банкноту в 10 евро! Вы считаете, что это идиотская затея и никто не будет покупать деньги на аукционе? Ошибаетесь. Правила просты: начальная ставка составляет 50 евроцентов, добавлять к предыдущей ставке можно не менее 50 евроцентов. Лучше всего, если в игре участвует не менее шести человек. Чем больше, тем лучше. Перед тем как начать принимать ставки, объявите об одном особенном дополнении к правилам (которое, собственно говоря, и является демонстрацией коварной природы теории игр): платить должен не только тот, кто победил в аукционе, но и тот, кто сделал предпоследнюю ставку. Конечно, теоретически можно выиграть 10 евро, уплатив всего 1. Но только теоретически, потому что при достаточном количестве участников всегда найдутся желающие поторговаться, которые не согласны сдаваться просто так. Особенно это касается предпоследнего участника, которому придется платить ни за что. Он, скорее всего, будет наращивать ставки.
Три критические фазы Шубика
1. Завязка. Задача устроителя аукциона заключается в том, чтобы разжечь в людях жадность и желание приобрести что-то задешево. «Кто хочет за 1 евро приобрести 10 евро? Начальная цена – 50 центов. Кто добавит еще 50? Выигрыш – девять к одному!» Стоит только паре человек повысить цену, дальше все пойдет как по маслу – вплоть до следующей критической фазы.
2. Середина игры. Когда ставки дойдут до 5 евро, кое-кто из участников начинает понимать, что при следующем повышении до 5,5 евро устроитель аукциона уже окажется в выигрыше. Но здесь срабатывает эгоизм. Ведь следующий участник так или иначе обеспечивает себе выгодную сделку. Плохо только тому, кто окажется предпоследним, потому что ему придется платить ни за что. Приближается решающий рубеж, который обычно преодолевается без особого труда.
3. Иррациональность. Когда пройдена критическая точка 10 евро, абсолютно всем становится понятно, что любой, кто продолжит делать ставки, окажется в проигрыше. Тот, кто сделал наивысшую ставку, заплатит за банкноту сумму, превышающую ее номинал, а предпоследний участник отдаст 10 евро просто так. Но теперь в участниках просыпается пещерный человек. Про стратегию, математику, расчеты и все трезвые мысли можно забыть. Люди отчаянно пытаются свести свой проигрыш к минимуму, думая: «Если сейчас я остановлюсь, то проиграю 10 евро, а если продолжу, то, возможно, обойдусь всего одним». Но эта тактика порочна. Единственно правильное решение – вообще не участвовать в таких играх.
Экономист Мартин Шубик, придумавший эту игру, часто разыгрывал на вечеринках в Нью-Йорке долларовую банкноту с начальной ставкой 1 цент. В среднем последняя ставка составляла 3,4 доллара, а поскольку деньги платил еще и предпоследний участник, за 1 доллар Шубик получал в среднем целых 7 долларов. Трудно поверить? Но это действительно так.
Ведь, кроме логики, здесь еще присутствуют жадность и «здравый смысл». А он чертовски нелогичен, как и биржевые тренды.
Игры, в которых нельзя победить
К таким играм можно отнести, например, войну во Вьетнаме (да, пожалуй, и любую другую войну). Игра Шубика появилась как раз в разгар американской военной катастрофы. Математики и экономисты моментально поняли, что «долларовый аукцион» представляет собой модель бессмысленной эскалации войны, в которой невозможно одержать победу, и демонстрирует иррациональное поведение вроде бы разумных, но одержимых неким желанием людей. Американский журналист Аллан Тигер написал по этому поводу книгу с разоблачительным названием «Останавливаться уже поздно». Вьетнамская война не сулила победы, поэтому она и продолжалась так долго, хотя профессиональные военные поняли это уже давным-давно.
Как могло случиться, что гигантский штаб, не испытывающий недостатка в профессионалах и высокообразованных людях, раз за разом принимал пагубные решения? Похоже, существует какой-то закон природы, который и лег в основу современной теории игр, разработанной Джоном фон Нейманом. Этот феномен иногда называют «западней „Конкорда“» (западней канала Рейн-Майн-Дунай или западней «Трансрапида»), так как расходы на разработку и производство совместного англо-французского сверхзвукового пассажирского самолета были настолько огромны, что любой экономист сразу понял бы: этот проект никогда не окупится. И действительно, «Конкорд» вплоть до самого конца приносил одни убытки. Можно было бы сэкономить намного больше, если бы сразу после завершения конструкторских работ этот проект был списан, а изготовленные опытные образцы переданы техническим музеям. Но этому не суждено было случиться, поскольку речь шла о престиже, а там, где экономика сталкивается с политическими амбициями, наступает катастрофа. Подтверждением этому могут служить войны, банкротства компаний и даже забастовки. Зачастую потери, причиненные забастовкой, настолько велики, что руководству фирмы дешевле было бы сразу согласиться на максимальные требования сотрудников. В свою очередь, участники забастовки теряют из-за отсутствия зарплаты намного больше, чем получат впоследствии, когда их требования будут удовлетворены. Что это? Сумасшествие? Нет, теория Неймана на практике.
Зачем вам 10 евро? Возьмите лучше миллион
Если вам все это кажется сложным, сделаем более простое предложение: выиграйте миллион! Нет, не в передаче «Кто хочет стать миллионером?» (для этого надо самому быть всезнайкой и вдобавок еще иметь такого же друга, которому можно позвонить). Мы не говорим ни о лотерее, ни о тотализаторе. Просто пришлите нам открытку и получите миллион евро. Но, как вы уже наверняка догадываетесь, здесь вновь вступает в игру правило Неймана. Приз достанется только одному человеку, но его размер зависит от количества претендентов. Если бы вы были единственным, кто пришлет открытку, то получили бы миллион. Но вероятность этого крайне низка. Скорее всего, таких наберется много, и миллион будет разделен на количество претендентов. Вскоре от него почти ничего не останется. Если бы редакция газеты Bild задумала разыграть миллион по таким правилам и в этой акции приняла участие всего половина ее читателей, на долю победителя досталось бы целых 30 евроцентов… Конечно, почта неплохо нажилась бы на этом, но кто-то же должен быть в выигрыше.
Какова же оптимальная тактика в подобных играх? В них надо учитывать новый и совершенно неожиданный фактор – мораль. Цель претендентов состоит в том, чтобы получить как можно больше (в идеальном случае – миллион). Цель устроителей акции – заплатить как можно меньше. И эта вторая цель выглядит куда реалистичнее, так как можно смело рассчитывать на людскую жадность. В данном случае жадность пагубна не только с моральной, но и с математической точки зрения. Самым лучшим было бы заранее разыграть среди претендентов право на участие в игре. Например, можно создать игральную кость с количеством граней, равным числу претендентов. Все они будут бросать ее по очереди, и тот, у кого выпадет единица, получит право послать открытку, а все остальные откажутся. Это, конечно, фантазия, поскольку желающих будет настолько много, что количество граней будет стремиться к бесконечности, но замысел вам понятен.
На практике же из теории игр Неймана можно сделать интересные выводы об оптимальном поведении в экономике. Здесь жадность вредна, а мораль приносит выгоду. И не потому, что конкуренты чтят моральные заповеди, а потому, что кооперация себя оправдывает, а конфронтация чаще всего вредит. Главная стратегия теории игр стара как мир, и ее уже не раз формулировали в самых разных выражениях, смысл которых сводится к одному: «Итак во всем, как хотите, чтобы с вами поступали люди, так поступайте и вы с ними» (От Матфея 7:12). Примерно о том же рассуждают Конфуций, Платон, Аристотель и Сенека. «Поступай так, чтобы максима твоего поступка посредством твоей воли должна была стать всеобщим законом природы», – гласит категорический императив Канта. Первоклассную стратегию выигрыша мы можем прочитать на стенах многих туалетов: «Покидая это место, оставьте его, пожалуйста, в том виде, в каком хотели бы его видеть при следующем посещении!»
Следует ли из этого, что добро всегда побеждает? Должен ли экономический выигрыш базироваться на морали? Пожалуй, это будет слишком смелым выводом из теории Неймана. Его необходимо проверить экспериментальным путем.
Дилемма арестантов
В 1950 году два математика, Меррил Флуд и Мелвин Дрешер, впервые предложили логическую дилемму, которая читается как детективный роман. Полиции удается поймать двух гангстеров (назовем их Антоном и Бруно). За ними давно идет охота, но в прошлом они постоянно ускользали от правосудия из-за недостатка улик. Их и в этот раз поймали только на мелком хулиганстве. Они сидят в разных камерах и не имеют возможности общаться. Прокурор делает одному из них предложение: «Если ты сознаешься в преступлениях, которые мы пока не можем доказать, то я тебя отпущу и даже закрою глаза на хулиганство, а твой сообщник получит пять лет тюрьмы. Но это только в том случае, если он не сознается. Если же он тоже напишет явку с повинной, в твоем признании будет мало толку и вы оба сядете на четыре года. Если ты будешь молчать, а твой подельник сознается, мы посадим на пять лет тебя. Но если вы оба будете запираться, то мы отправим обоих за решетку на два года за хулиганство. Твоему сообщнику я предложил то же самое. У вас обоих есть час, чтобы подумать. Решай сам. Через час ты в принципе можешь оказаться на свободе!»
Оба бандита не испытывают теплых чувств друг к другу и хотят отделаться наименьшим наказанием. Какое логическое решение будет для них правильным? Сознаваться или нет?
Таблица 1. Дилемма арестантов
Поразмыслите над этой проблемой. Мы только хотим напомнить еще об одном моменте: если бы речь шла об известной гангстерской парочке Бонни и Клайде, их решение было бы простым и однозначным, а потому правильным. Но там в игру вмешивались чувства…
Логично!
Вы полагаете, что подобные теоретические дилеммы не имеют отношения к реальной жизни? Не заблуждайтесь, это и есть реальность! Представьте себе, например, владельцев двух соседних автозаправочных станций. В начале каждого месяца им необходимо принимать решение, по какой цене продавать бензин в течение четырех последующих недель. Конечно, хорошо бы знать, что у конкурента на уме, но подобные вопросы удовлетворительно решаются только в рамках теории игр. Если один из них решит немного снизить цену в расчете на то, что ему удастся продать больше бензина и получить больше выручки, то второму нежелательно идти на поводу, так как в этом случае оба продадут меньше, да к тому же еще и по более низким ценам, чем в предыдущем месяце. Обоим лучше было бы равномерно и понемногу повышать цену и за счет этого увеличивать прибыль. Так почему бы им предварительно не договориться о более высокой цене? Потому, что подобные договоренности запрещены и называются преступным ценовым сговором. Для противодействия таким «оптимальным» решениям и создан специальный антимонопольный орган. Так что если у вас нет шпиона в стане конкурента, осваивайте теорию игр.
Совершенно очевидно, что теория игр имеет большое значение для проведения международных переговоров и конференций по разоружению. Но нужна ли она нам в повседневной жизни? Есть много ситуаций, в которых приходится принимать непростые решения: сделать предложение самому или ждать предложения от партнера? Идти ли на максимальный риск или избрать более осторожную тактику? Надо ли строго придерживаться ранее достигнутых договоренностей? Как предотвратить нарушение соглашений со стороны конкурентов? Как лучше всего провести переговоры? Какие действия необходимо предпринять? Все эти вопросы встают перед нами ежедневно, и зачастую мы принимаем решения без всякого логического анализа. Взять хотя бы так называемую проблему дележа без зависти. Она встречается и во внешней политике, и в семейных делах. Приведем классический пример: подчиненный идет пообедать в ресторан вместе с начальником. Тот предлагает взять общую порцию рыбы на двоих. Блюдо подается на стол, а на нем две рыбы: одна побольше, а вторая поменьше. Подчиненный берет себе большую рыбу, и начальник с недовольным видом говорит:
– Так не делается. Я взял бы себе рыбу поменьше.
– На что же вы жалуетесь? – отвечает подчиненный. – Ведь вам именно она и досталась.
Казалось бы, незатейливый анекдот, но за этой проблемой стоит высшая математика. Чтобы успешно что-то разделить, не вызывая зависти у соперника, необходимо делить, исходя не из своих интересов, а из его. Например, в ходе переговоров по разрешению пограничных споров представитель страны А должен прокладывать линию границы, руководствуясь не только своими интересами, но и требованиями страны Б. Умение поставить себя на место партнера приводит к компромиссам быстрее, чем классические переговоры с позиций соперничества. Кроме того, эти компромиссы эмоционально воспринимаются обеими сторонами как более приемлемые. В последнее время подобные сценарии все чаще используются в решении международных проблем и в ходе выработки тарифных соглашений.
Чтобы лучше понять принцип дележа без зависти, мы предлагаем вам решить следующую задачу. Два руководителя отделов претендуют на пост в правлении компании. Председатель правления сообщает, что, поскольку оба обладают одинаковой квалификацией, он хочет дать им особое поручение: «В ваших отделах равное количество сотрудников, имеющих одинаковую подготовку. Вы должны разработать план реформирования правления. Чей отдел представит худший план, тот и получит эту должность».
Оба начальника отделов некоторое время смотрят друг на друга с недоумением, но затем им приходит в голову, как в таких условиях организовать честное соревнование.
Система пирамиды: победители скатывают снежный ком – побежденных погребает лавина
Принцип пирамиды известен с древних времен. Тем не менее по-прежнему находятся люди с криминальными наклонностями, успешно зарабатывающие деньги на использовании свойств этого простого экспоненциального математического ряда. Безобидной формой пирамиды в прошлом были письма, которые молодые люди отправляли своим сверстникам с просьбой посылать им открытки из мест проведения отпусков. Эта традиция родилась в те времена, когда люди еще коллекционировали почтовые марки, но теперь ее сменила массовая рассылка СМС и сообщений по электронной почте. Принцип, правда, остался прежним. Один человек становится инициатором пирамиды и шлет послание десяти другим (количество может меняться, но обычно составляет от восьми до двенадцати адресатов). Те переправляют его десяти другим людям из числа своих знакомых и так далее. Через пять циклов количество охваченных людей составляет уже 100 тысяч. На практике обычно не бывает так гладко, как в теории. Цепочка может оборваться (как правило, в самом начале), или адресаты по каким-либо причинам (страх подхватить компьютерный вирус или просто нежелание попусту тратить время) отказываются принимать участие в подобных играх. До тех пор пока в этой пирамиде не участвуют деньги, она не заслуживает особого внимания. Разумеется, кто-то все же немного зарабатывает на этом (телефонные сети, провайдеры мобильной связи), но настоящая денежная пирамида – это нечто совершенно иное. В самой простой форме она выглядит так: вы посылаете инициатору определенную сумму. За это он включает вас в свой список, который вы рассылаете другим людям в надежде получить от них во много раз больше денег. Но эта надежда оправдывается лишь в том случае, если вы входите в «первую волну» участников (то есть в число правонарушителей), которая скатывает снежный ком вниз по склону. Хотя в последнее время приходится встречаться с самыми разными красивыми названиями таких инициатив, речь идет лишь о новых наименованиях старой мошеннической схемы, к которой в немецком законодательстве сложилось совершенно однозначное отношение: игры, специально организованные таким образом, что лишь первые участники получают денежную прибыль, а основная масса теряет вложенные суммы, противоречат принципам ведения бизнеса и подлежат запрету (статья 138, часть 1 уголовного кодекса).
Пирамида развивается следующим образом: некто просит вас выслать тысячу евро на верхний уровень (одному из инициаторов). Получив, к примеру, 8 тысяч евро от восьми участников, он забирает всю сумму и выходит из игры, а вы и другие участники, выславшие ему деньги, поднимаетесь на его уровень и теперь должны сами находить новых участников, которые будут высылать деньги вам. Если вы вступили в уже действующую пирамиду, то можете только проиграть и к тому же обзаведетесь целой кучей недругов. Даже если каждый новый участник должен найти всего пять новых игроков, то после десятого цикла в игре должно чисто теоретически участвовать все население Германии. Как видите, незнание такого математического действия, как возведение в степень, может быстро привести к краху.
Жадность отключает разум
В 2004 году один немец и два австрийца, запустив в интернете такую пирамиду, пообещали участникам, что через четыре месяца вложенный капитал увеличится в восемь раз. В результате около 4 тысяч игроков потеряли в общей сложности более 8 миллионов евро. Минимальный взнос составлял 400 евро, а обещанный прирост – 1 процент в день. В день! Это 365 процентов годовых. Похоже, что жадность полностью лишила людей способности соображать. Некоторые особо жадные игроки вкладывали до 100 тысяч евро.
Почему наше логическое мышление отказывает с такой легкостью? Почему жадность затмевает разум? Возможно, к этому имеет отношение имеющийся в мозге «центр поощрений» – так называемое прилежащее ядро лимбической системы. Данная область мозга вызывает чувство удовольствия, когда мы добиваемся успеха. Однако она, как ни странно, активизируется и в том случае, когда кто-то из наших недругов терпит неудачу. Видимо, в этом злорадстве и кроется разгадка секрета. Если мы заведомо знаем, что каждый успех в такой пирамиде покупается ценой неудачи сотен других людей, то у нас не остается другой возможности, кроме веры в то, что мы и все прочие выигравшие относимся к числу «хороших», а все проигравшие – к числу «плохих». Разумеется, в них нет ничего «плохого», но они не принадлежат к нашему ближайшему окружению. В конце концов, это всего лишь знакомые знакомых знакомых. В том отделе мозга, который отвечает за этику и мораль, часто происходит смешение таких понятий, как знания и надежды, что мы уже видели, рассматривая дилемму арестантов. Именно поэтому мы предпочитаем забывать о своей вине.
Для пирамиды, основанной на эффекте снежного кома, характерны следующие признаки:
● Первое послание поступает к вам от человека, который имеет, по крайней мере, косвенное отношение к кругу ваших знакомых.
● Вас поздравляют с необычайно счастливой возможностью поучаствовать в этой игре.
● Чтобы в нее включиться, вы должны вложить какие-то средства, а также найти и завербовать новых участников.
Привлекая новых игроков, вы получаете вознаграждение, но главная цель – это большой выигрыш. В разных пирамидах условия его получения могут иметь отличия.
В некоторых пирамидах производится распространение каких-то товаров – чаще всего абсолютно бесполезных и по завышенным ценам. Их продажа служит своего рода алиби. С ее помощью попросту маскируется вознаграждение за привлечение новых членов.
Особую роль играют так называемые семинары участников, на которых царит атмосфера усиленной манипуляции сознанием. Людей, которые скептически реагируют на «правила игры» и задают критические вопросы, как правило, быстро изгоняют. При этом в их адрес звучат высказывания типа «Если вы не хотите стать миллионером – скатертью дорога». Давление со стороны целой группы выдерживают далеко не все.
Неизбежный крах любой пирамиды можно доказать чисто математически. В выигрыше оказываются лишь инициаторы. Доля проигравших составляет минимум 87,5 процента. Но к финансовым потерям надо добавить еще эмоциональные и социальные. Ведь вы, как правило, вовлекаете в эту деятельность своих друзей и родных. Когда они тоже оказываются в проигрыше, это влечет за собой утрату доверия к вам.
Здравый смысл – трудно определимое понятие. И к тому же опасное. Так, например, человек, озабоченный глобальным потеплением, приходит к выводу, что необходимо что-то предпринять. Он продает свой автомобиль, но при этом продолжает летать в отпуск из Европы в Австралию. И это отнюдь не противоречит его здравому смыслу: самолет ведь все равно полетит туда даже без него. С точки зрения экологического баланса это катастрофа, но здравый рассудок отказывается это понимать. Он вообще легко впадает в заблуждение, и применение к нему прилагательного «здравый» вызывает большие сомнения. Опаснее его может быть только «здоровое национальное сознание». Но давайте все же разберемся, как функционирует этот здравый смысл и почему он так часто ошибается.
Представление, будто существует лишь одна-единственная истина, – это самая опасная из всех иллюзий.
Узость мышления или здравый смысл
Представьте себе, что президент некой страны, начитавшийся в молодости Маркса, решает по справедливости перераспределить богатство среди своего народа. Он не хочет ни революций, ни налоговых реформ, поэтому придумывает нечто совершенно новое. Он делит все население на пять классов: бедные, нуждающиеся, средний класс, зажиточные и богатые. Затем между двумя соседними классами поочередно уравниваются доходы. План предусматривает, что сначала усредняются доходы бедных и нуждающихся (их доходы складываются, а затем делятся поровну). Затем то же самое происходит между нуждающимися и средним классом, между средним классом и зажиточными и, наконец, между зажиточными и богатыми. Но богачи считают, что они при этом будут ущемлены, и предлагают начать перераспределение сверху, то есть сначала усредняются доходы между богатыми и зажиточными, потом между зажиточными и средним классом и так далее вплоть до бедняков. Как ни странно, это предложение находит всеобщую поддержку. А что вам подсказывает здравый рассудок? Как вы отнеслись бы к этому плану с обеих позиций, то есть с точки зрениях бедных и богатых?
Здравый смысл вмешивается даже в те области, где ему совершенно нечего делать, например в математику. Давайте предположим, что Земля – идеальный шар с гладкой поверхностью без возвышенностей и впадин и протяженность ее экватора составляет ровно 40 тысяч километров. Мы натягиваем шнур по экватору вокруг всего земного шара. Его длина должна тоже составлять 40 тысяч километров, но, к сожалению, он оказывается на 1 метр длиннее – 40 000,001 километра. Возможно, тот, кто отмерял этот шнур, решил, что один лишний метр по сравнению с длиной экватора абсолютно ничего не значит, так как эти величины несопоставимы. Теперь представьте себе, что этот шнур висит над экватором, образуя по всей длине равномерный зазор (он ведь длиннее, чем надо). Каким будет этот зазор? Несколько микронов? Миллиметр? Пара сантиметров? Прикиньте сами. А теперь представьте себе, что вы натянули шнур вокруг шара для боулинга, а потом удлинили его на 1 метр. Каким теперь будет зазор между шнуром и шаром? Ну, это-то вы можете себе представить!
И тут для здравого смысла наступает шок. Оказывается, если удлинить шнур на 1 метр, зазор будет всегда одинаковым независимо от того, идет ли речь о земном шаре или шаре для боулинга, а именно около 16 сантиметров.
Таким образом, на здравый смысл надо полагаться с большой осторожностью. С его помощью можно решать лишь несложные вопросы, но, когда мы сталкиваемся со сложными или хитро сформулированными задачами, здравый смысл является слишком грубым инструментом. Для того чтобы наглядно и объемно представить себе сложный и постоянно меняющийся процесс, а также его возможный результат, требуется значительное интеллектуальное усилие, но подобные упражнения прекрасно тренируют мозг. Проверьте себя, решив следующую задачу.
Самолет летит из Берлина в Рим, а затем возвращается обратно. Все это время довольно сильный ветер дует прямо в направлении Рим – Берлин. Совершенно очевидно, что попутный ветер ускоряет полет, а встречный замедляет. А теперь сравните эту ситуацию с той, когда на протяжении всего маршрута туда и обратно царит полное безветрие. Будет ли суммарное время полета в обоих случаях одинаковым? Если да, то почему?
Видите, какую осторожность надо соблюдать в подобных вопросах? Первый спонтанный ответ кажется вполне «логичным», но он необязательно верен. А вот вам еще один вопрос, на который каждый готов дать ответ, не задумываясь. Но насколько он правилен?
В семье двое детей, один из которых мальчик. Какова вероятность того, что другой ребенок тоже мальчик?
Наш мозг отказывается верить, потому что у него слабо развита способность к абстрактным представлениям. Порой такое трудно представить себе даже математикам, но они знают, что это так и есть, поскольку расчеты не врут. Математики знают, что существует бесконечное количество целых чисел. Но им также известно, что существует такое же количество четных чисел, хотя здравый смысл подсказывает, что их должно быть вдвое меньше. А есть еще так называемые простые числа, которые делятся только на единицу и сами на себя. Они пока найдены не все. Наибольшее из известных нам на сегодняшний день простых чисел – это 232582657 – 1. Суперкомпьютеры работают день и ночь, чтобы найти следующее, потому что мы знаем, что таких чисел тоже должно быть бесконечное количество. Может ли осознать это «здравый смысл»? Едва ли. В это надо просто верить. Математика может с легкостью ввести в заблуждение наш слишком конкретно мыслящий мозг. Но хуже всего то, что, даже когда математика нам все объяснила и доказала, мы все равно продолжаем верить своим органам чувств.
Оптические иллюзии
Возьмем для примера обычную полоску бумаги. У нее есть верхняя и нижняя поверхность, а также два края по бокам. Напишите на ней сверху А, а снизу Б. Вы ничуть не сомневаетесь, что буквы находятся на разных сторонах полоски. Вы можете в этом поклясться и даже поспорить на крупную сумму. Но вот этого лучше не делать. Любой математик с легкостью докажет вам, что обе буквы находятся на одной стороне и что у этой полосы бумаги вообще только одна поверхность. Это делается так: один конец полоски поворачивается на 180 градусов и склеивается со вторым. У вас получился невозможный объект. Если вы из любой точки полоски проведете карандашом линию параллельно краю, то вернетесь к той же самой точке, не переворачивая полоску на другую сторону, причем карандашный след останется с обеих сторон ленты. Все потому, что у этой ленты на самом деле только одна сторона.
Рис. 10. Лента Мёбиуса
Лента Мёбиуса (названная так по имени математика Августа Фердинанда Мёбиуса, открывшего этот феномен в 1858 году) представляет собой «объект, замыкающийся сам на себя». Это значит, что вы держите в руке то, чего, вообще-то, не может существовать: двухмерный объект в трехмерном пространстве. Разумеется, математики давно описали и классифицировали этот феномен. Они называют его неориентируемой поверхностью, хотя неспециалисту это ни о чем не говорит и ничего не объясняет. Тем не менее это ничуть не умаляет чуда, сотворенного из обычной бумажной полоски. Особенно интересно, как наш мозг реагирует на «то, чего не может быть». Ведь в школе нас учили, что мы существуем в четырехмерном пространственно-временном континууме, в котором не может быть ничего двухмерного. Таким образом, существуют границы, за которыми наше мышление просто отказывает. Навигатор в мозге теряет связь со спутником, и мысли разбредаются в разных направлениях по неизведанной местности. Похоже, что в мозге предусмотрена некая аварийная программа для явлений, которые мы наблюдаем, но не можем осознать и объяснить. Это можно сказать, в частности, об оптических иллюзиях, которые нас одновременно завораживают и сбивают с толку, поскольку в них что-то «не сходится». Оптические иллюзии – это изображения, которые глаз способен воспринять, но мозг не в состоянии понять и объяснить. Такой обман восприятия основывается на самых разных эффектах: на остаточном изображении на сетчатке глаза, на отвлечении внимания, на контрасте и цвете, на свете и тени, на наших устоявшихся приемах получения зрительной информации. Во всех случаях зрение нас обманывает, что можно легко доказать, прибегнув к помощи других органов чувств. Взгляните на рисунок 11. Вам потребуется некоторое время, чтобы расшифровать текст. И дело тут не только в том, что он написан по-английски.
Рис. 11. Загадочная надпись
На рисунке 12, представляющем собой одновременно и оптическую иллюзию, и задачу по комбинаторике, мы имеем дело совершенно с другим явлением. Изображенные здесь знаки не являются буквами какого-то языка. Они понятны всем в мире, и вы их, конечно, тоже знаете. Вы видите их каждый день, пишете их, думаете о них, а время от времени и проклинаете. Но если так, вам не составит никакого труда дописать пятый знак из этого ряда.
Рис. 12. Странные знаки
Оптических иллюзий всякого рода очень много, потому что нет ничего легче, чем обмануть зрение. Но особый шик заключается в том, чтобы обмануть мозг. Взгляните на рисунок 13. Обе фигуры состоят из одних и тех же частей, но нижняя почему-то оказывается на целый квадратик больше. Как такое может быть? Мы не хотим, чтобы вы сломали себе мозг, поэтому сразу раскроем секрет. Несмотря на кажущуюся тождественность, острые углы треугольников, из которых состоит фигура, не одинаковы. Поэтому ее верхняя сторона в одном случае едва заметно изогнута вниз, а в другом – вверх. Образующаяся за счет этого разница площади и составляет тот самый квадратик.
Рис. 13. Задача с треугольниками
Голландский художник и график М. К. Эшер вдохновенно изображал миры, которых не может существовать. Он занимался не столько иллюзиями, сколько геометрической фантастикой. Он создал знаменитую бесконечную лестницу, рептилий, словно выползающих из плоскости рисунка и вновь скрывающихся в ней. Для его картин характерны невероятные метаморфозы и перспективы. В отличие от обычных оптических иллюзий, обманывающих систему зрительного восприятия, он с помощью своих картин обращался непосредственно к мозгу. Разумеется, в трехмерном пространстве невозможно построить лестницу, которая начинается там же, где и заканчивается. Но на двухмерном изображении это вполне возможно. Если же в качестве инструмента воспользоваться своими особенностями зрительного восприятия, мы будем, словно малые дети, неотрывно следить глазами за монахами, спускающимися и поднимающимися по этой лестнице.
Рис. 14. «Вверх и вниз по лестнице». М. К. Эшер. Литография. 1960 год
Вы можете своими руками создать подобную иллюзию для мозга и тем самым активизировать нейроны участников нудного совещания или вечеринки. Сложите квадратный лист бумаги пополам и сделайте на нем три прямых надреза ножницами, чтобы получить изображенную на рисунке фигуру, которая на первый взгляд кажется невозможной. Как это сделать? Учтите, что полностью разрезать, а потом склеивать бумагу нельзя.
Рис. 15. Невозможная фигура
Знание божественно, но человеку свойственно ошибаться
Когда мы что-то прикидываем на глазок, порой можно услышать такое выражение: «Пи, умноженное на длину большого пальца». Если число π мы еще худо-бедно знаем вплоть до четвертого-пятого знака после запятой, то большой палец у всех разный. И все же люди с учетом их ограниченных возможностей на удивление хорошо способны на глазок оценивать различные параметры. Если перед взрослым человеком положить деревянную рейку длиной с руку и попросить отметить середину, он в 90 процентах случаев сделает это с точностью до 2 сантиметров. Если дать ему пакет сахара, он почти всегда точно скажет, весит ли он больше или меньше 500 граммов. Мы достаточно хорошо определяем на глаз расстояния до 30 метров, можем примерно сказать, который сейчас час, и варим макароны, не глядя на секундомер. Эти способности можно развить с помощью тренировки. Опытный архитектор способен достаточно точно определить высоту здания, маляр навскидку скажет вам площадь стен в квартире, а лесник – объем сваленного дерева в кубометрах. Но речь здесь идет лишь о развитии функций выживания древнего человека на основании опыта. Во всех остальных случаях умножение π на большой палец приведет к неудаче.
Вам нужен пример? Пожалуйста. 28 августа 888 года в летописях было впервые упомянуто селение Нойндорф в горах Айфель, основанное еще римлянами. Самое замечательное в этой дате то, что она состоит только из четных цифр: 28.8.888. А теперь прикиньте (но только на глаз, без подсчетов!), сколько дней, месяцев или лет прошло до следующей даты, состоящей только из четных цифр?
Все, что можно взять в руку, мы оцениваем достаточно безошибочно. Но что можно сказать о таком объекте, как, например, Эйфелева башня? Попробуйте примерно сказать, сколько она весит: 8, 80, 800 или 8000 тонн? Ну хорошо, с этим вы справились. Высота Эйфелевой башни – 300 метров, а вес действительно 8000 тонн. А теперь представьте себе, что из того же материала изготовлена точная копия, уменьшенная в тысячу раз. Ее высота – 30 сантиметров. А сколько она весит? 8 граммов, 80 граммов, 800 граммов, 8 килограммов или 80 килограммов?
Потренировав свой здравый смысл, вы сможете с большей точностью оценивать вес. Попробуйте сделать это, выслушав современную сказку. Бедный подмастерье мельника, закончив учебу, получил в качестве оплаты только гуся. Он пожаловался:
– Раньше подмастерья получали более ценные вещи вроде волшебного горшочка, скатерти-самобранки или шапки-невидимки. А что сегодня? Какой-то несчастный гусь!
– Он как-никак 6 кило весит, – невозмутимо ответил мельник. – Если тебе не нравится, сходи в лес к фее, пусть она сделает этого гуся золотым.
Подмастерье так и сделал. Он пошел к фее, и та исполнила его желание. Перед ним вдруг оказался слиток золота размером с гуся. «Я миллионер!» – радостно воскликнул подмастерье, схватил гуся под мышку и помчался домой. Как вы считаете, что в этой сказке не соответствует действительности (естественно, за исключением того, что феи в наши дни не водятся)?
Еще одна тема, где люди часто допускают промашку, – это деньги. Нормальный человеческий рассудок не справляется с большинством денежных операций, и именно за счет этого живут банки, страховые и лизинговые компании. Банкиры знают, какой разрушительный эффект могут оказать проценты по кредиту, но им также хорошо известно, какие доходы приносят сложные проценты по вкладу. Если вы положили на счет 100 евро под 3 процента годовых, то через год у вас будет 103 евро. Вы оставляете эти деньги на счете, и в следующем году у вас уже 106,09 евро. Казалось бы, мелочь, но со временем доходы начинают прирастать с головокружительной скоростью.
Что такое экспоненциальный рост, можно наглядно продемонстрировать на примере, который также превосходит возможности здравого рассудка. Предположим, в 7 году нашей эры уже работал банк, в который наш далекий предок положил золотой шарик диаметром 1 миллиметр под вполне реальные 3,5 процента годовых. Никто из его потомков не добавлял туда больше ни копейки. Весь прирост осуществлялся только за счет процентов. Поскольку нам трудно судить о том, как на протяжении веков менялись цены на золото, предположим для простоты, что шарик просто рос в объеме в соответствии с оговоренными процентами. В результате этот шарик, имевший первоначально диаметр 1 миллиметр, вырос бы к сегодняшнему дню до 12 600 километров. Это значит, что мы стали бы обладателями золотого шара размером почти с Землю. Из этого примера можно сделать два вывода: во-первых, таких длительных вкладов не существует, а во-вторых, наш здравый смысл имеет мало общего с денежными операциями.
Здравый смысл – обманщик
Что вы скажете о следующей финансовой операции: вы берете у друга взаймы 1000 евро и договариваетесь, что будете возвращать долг частями каждый месяц. В первый месяц 500 евро, во второй – 250 и так далее, каждый раз уменьшая сумму вдвое. Когда вы полностью выплатите долг? Разумеется, никогда, потому что всегда будет какой-то остаток. Впору вспомнить о беге наперегонки Ахилла и черепахи.
Как видите, здравый смысл частенько нас подводит. Прочитайте, пожалуйста, следующие двенадцать утверждений и быстро оцените, какие из них соответствуют действительности, а какие – нет.
● Стандартный мяч для гольфа имеет на поверхности 336 углублений.
● Жираф может обходиться без воды дольше, чем верблюд.
● Организм взрослого человека, занимающегося тяжелым физическим трудом, выделяет за день с потом до 15 литров воды.
● Большой реактивный авиалайнер расходует при взлете свыше 15 тысяч литров топлива.
● Акула может учуять запах крови при ее концентрации в воде 1:100 000 000.
● В соответствии с английским законом от 1845 года попытка самоубийства считалась тяжким преступлением и каралась смертной казнью через повешение.
● Нюх у собаки в 20 раз чувствительнее, чем у человека.
● На Земле живет примерно столько же кур, сколько и людей.
● Если куклу Барби увеличить до нормального человеческого роста, обхват ее бюста, талии и бедер составит 100-59-84.
● Луна имеет такой же объем, как Тихий океан.
● Глаз страуса по размеру больше, чем его мозг.
● У тигров полосатую окраску имеет не только шерсть, но и кожа под ней.
Фехтование перед зеркалом и бой с тенью
Как известно, в зеркальном отражении меняются местами правая и левая стороны. Но если так, то зеркало должно менять не только левую сторону с правой, но и верх с низом. Однако этого не происходит. Почему?
На самом деле мы сильно заблуждаемся, когда считаем, что левая и правая стороны в отражении меняются. В действительности зеркало меняет местами не правую и левую стороны, а переднюю и заднюю. То, что находится слева от зеркала, мы и видим слева, а то, что находится справа, отражается тоже справа, вот только нам кажется, что предметы находятся не перед зеркалом, а за ним. Когда мы смотрим на отражение предмета в зеркале, нам кажется, что наш взгляд направлен в сторону зеркала. На самом же деле мы видим этот предмет с противоположного направления, то есть со стороны зеркала.
Тот же самый эффект создается, когда мы пишем какой-то текст на прозрачной пленке, а затем смотрим на него с обратной стороны. Мы видим как бы зеркальное отражение текста, но ведь в данном случае мы меняли местами не левую и правую стороны, а переднюю и заднюю. Кстати, зеркало может менять местами и верх с низом. Для этого его надо положить на пол. В этом случае передняя и задняя стороны будут соответствовать верху и низу. Глядя вниз, мы увидим потолок.
Но сейчас мы хотим поговорить о зеркальном отражении мышления. Мы смотрим на какую-то задачу, которая на первый взгляд сформулирована ясно и просто, и не замечаем, что нас пытаются одурачить, подсовывая зеркальное отражение логики и затемняя ясность мышления, например:
Человек стоит перед портретом. Его спрашивают: «Кто изображен на портрете, который вы так внимательно рассматриваете?» Он отвечает: «У меня нет братьев и сестер, но отец изображенного человека – это сын моего отца». На чей портрет он смотрит?
Как ни странно, большинство людей отвечают неправильно, считая, что он смотрит на свой собственный портрет. Они ставят себя на его место и приводят следующие аргументы: «Поскольку у меня нет братьев и сестер, значит, сын моего отца – это я сам. Поэтому я смотрю на свой портрет».
Первая часть этого аргумента абсолютно верна. Если у человека нет братьев и сестер, значит, он и в самом деле сын своего отца. Однако из этого вовсе не следует, что именно он изображен на портрете. Если бы вторая часть фразы звучала так: «Изображенный человек – сын моего отца», то ответ был бы правильным. Но условие изложено иначе: «Отец изображенного человека – это сын моего отца». Из этого следует, что «я сам» относится к отцу изображенного человека, то есть тот, кто смотрит на портрет, видит своего сына.
Если кое-кто из скептически настроенных читателей все еще не убедился в этом (а таких окажется немало), мы постараемся ему помочь, решая задачу шаг за шагом: 1. Отец изображенного человека – сын моего отца. Давайте теперь заменим «сын моего отца» на «я сам». 2. Отец изображенного человека – это я сам. Теперь убедились?
Вопросы, сформулированные подобным образом, затемняют смысл, словно солнечные очки. Кстати, на этот счет тоже есть задача, которая простотой своей формулировки сбивает слушателя с толку. Вы покупаете солнечные очки с затемненными стеклами, но не обладающие защитой от ультрафиолетовых лучей. Как это скажется на ваших глазах?
Три вопроса с подвохом
● В прошлый раз, когда у этого известного нейрофизиолога был день рождения, ему исполнилось 56 лет. – Значит, следующий день рождения он будет праздновать, когда ему будет 57 лет? – Нет. – Он что, умер? – Нет. Как такое может быть?
● Книжный червь добрался до своего любимого деликатеса – многотомного толкового словаря. Тома стоят на книжной полке в алфавитном порядке слева направо. Книжный червь прогрызает книги в строго горизонтальном направлении. Утром он начинает с первой страницы первого тома, а вечером заканчивает на последней странице второго тома. Сколько сантиметров он прогрыз? Толщина всех страниц одного тома составляет 6 сантиметров, а толщина обложки – 1 сантиметр.
● Каждый час из аэропорта Франкфурта отправляется самолет в Нью-Йорк. Точно так же каждый час из Нью-Йорка вылетает самолет в направлении Франкфурта. Полет длится десять часов. Сколько встречных самолетов вы увидите за это время?
Теория игр: логика безумия
Теперь, когда вы уже знаете, что здравый рассудок имеет мало общего с логикой, мы хотим показать вам, в каких еще лабиринтах можно запутаться. Ведь если кто-то говорит: «Логично, не правда ли?» – это отражает лишь его собственную логику, его индивидуальную систему мышления. Можно только представить себе, в какой растерянности оказывается мозг среднестатистического человека, сталкиваясь с теорией игр, представляющей собой сочетание логики, азартной игры, экономики и высшей математики. С помощью этой «логики безумия» можно предсказывать биржевые тенденции и разрабатывать лучшие покерные стратегии. На базе порой абсолютно «нелогичных» закономерностей этой теории можно создавать увлекательные игры, которые дадут возможность не только повеселиться, но и вытянуть деньги из чужих карманов. Вы считаете, что это лишь теория? Ничего подобного.
Людям, которые хотят прослыть душой компании и вдобавок кое-что подзаработать, мы можем дать совет: выставьте на аукцион банкноту в 10 евро! Вы считаете, что это идиотская затея и никто не будет покупать деньги на аукционе? Ошибаетесь. Правила просты: начальная ставка составляет 50 евроцентов, добавлять к предыдущей ставке можно не менее 50 евроцентов. Лучше всего, если в игре участвует не менее шести человек. Чем больше, тем лучше. Перед тем как начать принимать ставки, объявите об одном особенном дополнении к правилам (которое, собственно говоря, и является демонстрацией коварной природы теории игр): платить должен не только тот, кто победил в аукционе, но и тот, кто сделал предпоследнюю ставку. Конечно, теоретически можно выиграть 10 евро, уплатив всего 1. Но только теоретически, потому что при достаточном количестве участников всегда найдутся желающие поторговаться, которые не согласны сдаваться просто так. Особенно это касается предпоследнего участника, которому придется платить ни за что. Он, скорее всего, будет наращивать ставки.
1. Завязка. Задача устроителя аукциона заключается в том, чтобы разжечь в людях жадность и желание приобрести что-то задешево. «Кто хочет за 1 евро приобрести 10 евро? Начальная цена – 50 центов. Кто добавит еще 50? Выигрыш – девять к одному!» Стоит только паре человек повысить цену, дальше все пойдет как по маслу – вплоть до следующей критической фазы.
2. Середина игры. Когда ставки дойдут до 5 евро, кое-кто из участников начинает понимать, что при следующем повышении до 5,5 евро устроитель аукциона уже окажется в выигрыше. Но здесь срабатывает эгоизм. Ведь следующий участник так или иначе обеспечивает себе выгодную сделку. Плохо только тому, кто окажется предпоследним, потому что ему придется платить ни за что. Приближается решающий рубеж, который обычно преодолевается без особого труда.
3. Иррациональность. Когда пройдена критическая точка 10 евро, абсолютно всем становится понятно, что любой, кто продолжит делать ставки, окажется в проигрыше. Тот, кто сделал наивысшую ставку, заплатит за банкноту сумму, превышающую ее номинал, а предпоследний участник отдаст 10 евро просто так. Но теперь в участниках просыпается пещерный человек. Про стратегию, математику, расчеты и все трезвые мысли можно забыть. Люди отчаянно пытаются свести свой проигрыш к минимуму, думая: «Если сейчас я остановлюсь, то проиграю 10 евро, а если продолжу, то, возможно, обойдусь всего одним». Но эта тактика порочна. Единственно правильное решение – вообще не участвовать в таких играх.
Экономист Мартин Шубик, придумавший эту игру, часто разыгрывал на вечеринках в Нью-Йорке долларовую банкноту с начальной ставкой 1 цент. В среднем последняя ставка составляла 3,4 доллара, а поскольку деньги платил еще и предпоследний участник, за 1 доллар Шубик получал в среднем целых 7 долларов. Трудно поверить? Но это действительно так.
Ведь, кроме логики, здесь еще присутствуют жадность и «здравый смысл». А он чертовски нелогичен, как и биржевые тренды.
Игры, в которых нельзя победить
К таким играм можно отнести, например, войну во Вьетнаме (да, пожалуй, и любую другую войну). Игра Шубика появилась как раз в разгар американской военной катастрофы. Математики и экономисты моментально поняли, что «долларовый аукцион» представляет собой модель бессмысленной эскалации войны, в которой невозможно одержать победу, и демонстрирует иррациональное поведение вроде бы разумных, но одержимых неким желанием людей. Американский журналист Аллан Тигер написал по этому поводу книгу с разоблачительным названием «Останавливаться уже поздно». Вьетнамская война не сулила победы, поэтому она и продолжалась так долго, хотя профессиональные военные поняли это уже давным-давно.
Как могло случиться, что гигантский штаб, не испытывающий недостатка в профессионалах и высокообразованных людях, раз за разом принимал пагубные решения? Похоже, существует какой-то закон природы, который и лег в основу современной теории игр, разработанной Джоном фон Нейманом. Этот феномен иногда называют «западней „Конкорда“» (западней канала Рейн-Майн-Дунай или западней «Трансрапида»), так как расходы на разработку и производство совместного англо-французского сверхзвукового пассажирского самолета были настолько огромны, что любой экономист сразу понял бы: этот проект никогда не окупится. И действительно, «Конкорд» вплоть до самого конца приносил одни убытки. Можно было бы сэкономить намного больше, если бы сразу после завершения конструкторских работ этот проект был списан, а изготовленные опытные образцы переданы техническим музеям. Но этому не суждено было случиться, поскольку речь шла о престиже, а там, где экономика сталкивается с политическими амбициями, наступает катастрофа. Подтверждением этому могут служить войны, банкротства компаний и даже забастовки. Зачастую потери, причиненные забастовкой, настолько велики, что руководству фирмы дешевле было бы сразу согласиться на максимальные требования сотрудников. В свою очередь, участники забастовки теряют из-за отсутствия зарплаты намного больше, чем получат впоследствии, когда их требования будут удовлетворены. Что это? Сумасшествие? Нет, теория Неймана на практике.
Зачем вам 10 евро? Возьмите лучше миллион
Если вам все это кажется сложным, сделаем более простое предложение: выиграйте миллион! Нет, не в передаче «Кто хочет стать миллионером?» (для этого надо самому быть всезнайкой и вдобавок еще иметь такого же друга, которому можно позвонить). Мы не говорим ни о лотерее, ни о тотализаторе. Просто пришлите нам открытку и получите миллион евро. Но, как вы уже наверняка догадываетесь, здесь вновь вступает в игру правило Неймана. Приз достанется только одному человеку, но его размер зависит от количества претендентов. Если бы вы были единственным, кто пришлет открытку, то получили бы миллион. Но вероятность этого крайне низка. Скорее всего, таких наберется много, и миллион будет разделен на количество претендентов. Вскоре от него почти ничего не останется. Если бы редакция газеты Bild задумала разыграть миллион по таким правилам и в этой акции приняла участие всего половина ее читателей, на долю победителя досталось бы целых 30 евроцентов… Конечно, почта неплохо нажилась бы на этом, но кто-то же должен быть в выигрыше.
Какова же оптимальная тактика в подобных играх? В них надо учитывать новый и совершенно неожиданный фактор – мораль. Цель претендентов состоит в том, чтобы получить как можно больше (в идеальном случае – миллион). Цель устроителей акции – заплатить как можно меньше. И эта вторая цель выглядит куда реалистичнее, так как можно смело рассчитывать на людскую жадность. В данном случае жадность пагубна не только с моральной, но и с математической точки зрения. Самым лучшим было бы заранее разыграть среди претендентов право на участие в игре. Например, можно создать игральную кость с количеством граней, равным числу претендентов. Все они будут бросать ее по очереди, и тот, у кого выпадет единица, получит право послать открытку, а все остальные откажутся. Это, конечно, фантазия, поскольку желающих будет настолько много, что количество граней будет стремиться к бесконечности, но замысел вам понятен.
На практике же из теории игр Неймана можно сделать интересные выводы об оптимальном поведении в экономике. Здесь жадность вредна, а мораль приносит выгоду. И не потому, что конкуренты чтят моральные заповеди, а потому, что кооперация себя оправдывает, а конфронтация чаще всего вредит. Главная стратегия теории игр стара как мир, и ее уже не раз формулировали в самых разных выражениях, смысл которых сводится к одному: «Итак во всем, как хотите, чтобы с вами поступали люди, так поступайте и вы с ними» (От Матфея 7:12). Примерно о том же рассуждают Конфуций, Платон, Аристотель и Сенека. «Поступай так, чтобы максима твоего поступка посредством твоей воли должна была стать всеобщим законом природы», – гласит категорический императив Канта. Первоклассную стратегию выигрыша мы можем прочитать на стенах многих туалетов: «Покидая это место, оставьте его, пожалуйста, в том виде, в каком хотели бы его видеть при следующем посещении!»
Следует ли из этого, что добро всегда побеждает? Должен ли экономический выигрыш базироваться на морали? Пожалуй, это будет слишком смелым выводом из теории Неймана. Его необходимо проверить экспериментальным путем.
Дилемма арестантов
В 1950 году два математика, Меррил Флуд и Мелвин Дрешер, впервые предложили логическую дилемму, которая читается как детективный роман. Полиции удается поймать двух гангстеров (назовем их Антоном и Бруно). За ними давно идет охота, но в прошлом они постоянно ускользали от правосудия из-за недостатка улик. Их и в этот раз поймали только на мелком хулиганстве. Они сидят в разных камерах и не имеют возможности общаться. Прокурор делает одному из них предложение: «Если ты сознаешься в преступлениях, которые мы пока не можем доказать, то я тебя отпущу и даже закрою глаза на хулиганство, а твой сообщник получит пять лет тюрьмы. Но это только в том случае, если он не сознается. Если же он тоже напишет явку с повинной, в твоем признании будет мало толку и вы оба сядете на четыре года. Если ты будешь молчать, а твой подельник сознается, мы посадим на пять лет тебя. Но если вы оба будете запираться, то мы отправим обоих за решетку на два года за хулиганство. Твоему сообщнику я предложил то же самое. У вас обоих есть час, чтобы подумать. Решай сам. Через час ты в принципе можешь оказаться на свободе!»
Оба бандита не испытывают теплых чувств друг к другу и хотят отделаться наименьшим наказанием. Какое логическое решение будет для них правильным? Сознаваться или нет?
Таблица 1. Дилемма арестантов
Поразмыслите над этой проблемой. Мы только хотим напомнить еще об одном моменте: если бы речь шла об известной гангстерской парочке Бонни и Клайде, их решение было бы простым и однозначным, а потому правильным. Но там в игру вмешивались чувства…
Логично!
Вы полагаете, что подобные теоретические дилеммы не имеют отношения к реальной жизни? Не заблуждайтесь, это и есть реальность! Представьте себе, например, владельцев двух соседних автозаправочных станций. В начале каждого месяца им необходимо принимать решение, по какой цене продавать бензин в течение четырех последующих недель. Конечно, хорошо бы знать, что у конкурента на уме, но подобные вопросы удовлетворительно решаются только в рамках теории игр. Если один из них решит немного снизить цену в расчете на то, что ему удастся продать больше бензина и получить больше выручки, то второму нежелательно идти на поводу, так как в этом случае оба продадут меньше, да к тому же еще и по более низким ценам, чем в предыдущем месяце. Обоим лучше было бы равномерно и понемногу повышать цену и за счет этого увеличивать прибыль. Так почему бы им предварительно не договориться о более высокой цене? Потому, что подобные договоренности запрещены и называются преступным ценовым сговором. Для противодействия таким «оптимальным» решениям и создан специальный антимонопольный орган. Так что если у вас нет шпиона в стане конкурента, осваивайте теорию игр.
Совершенно очевидно, что теория игр имеет большое значение для проведения международных переговоров и конференций по разоружению. Но нужна ли она нам в повседневной жизни? Есть много ситуаций, в которых приходится принимать непростые решения: сделать предложение самому или ждать предложения от партнера? Идти ли на максимальный риск или избрать более осторожную тактику? Надо ли строго придерживаться ранее достигнутых договоренностей? Как предотвратить нарушение соглашений со стороны конкурентов? Как лучше всего провести переговоры? Какие действия необходимо предпринять? Все эти вопросы встают перед нами ежедневно, и зачастую мы принимаем решения без всякого логического анализа. Взять хотя бы так называемую проблему дележа без зависти. Она встречается и во внешней политике, и в семейных делах. Приведем классический пример: подчиненный идет пообедать в ресторан вместе с начальником. Тот предлагает взять общую порцию рыбы на двоих. Блюдо подается на стол, а на нем две рыбы: одна побольше, а вторая поменьше. Подчиненный берет себе большую рыбу, и начальник с недовольным видом говорит:
– Так не делается. Я взял бы себе рыбу поменьше.
– На что же вы жалуетесь? – отвечает подчиненный. – Ведь вам именно она и досталась.
Казалось бы, незатейливый анекдот, но за этой проблемой стоит высшая математика. Чтобы успешно что-то разделить, не вызывая зависти у соперника, необходимо делить, исходя не из своих интересов, а из его. Например, в ходе переговоров по разрешению пограничных споров представитель страны А должен прокладывать линию границы, руководствуясь не только своими интересами, но и требованиями страны Б. Умение поставить себя на место партнера приводит к компромиссам быстрее, чем классические переговоры с позиций соперничества. Кроме того, эти компромиссы эмоционально воспринимаются обеими сторонами как более приемлемые. В последнее время подобные сценарии все чаще используются в решении международных проблем и в ходе выработки тарифных соглашений.
Чтобы лучше понять принцип дележа без зависти, мы предлагаем вам решить следующую задачу. Два руководителя отделов претендуют на пост в правлении компании. Председатель правления сообщает, что, поскольку оба обладают одинаковой квалификацией, он хочет дать им особое поручение: «В ваших отделах равное количество сотрудников, имеющих одинаковую подготовку. Вы должны разработать план реформирования правления. Чей отдел представит худший план, тот и получит эту должность».
Оба начальника отделов некоторое время смотрят друг на друга с недоумением, но затем им приходит в голову, как в таких условиях организовать честное соревнование.
Система пирамиды: победители скатывают снежный ком – побежденных погребает лавина
Принцип пирамиды известен с древних времен. Тем не менее по-прежнему находятся люди с криминальными наклонностями, успешно зарабатывающие деньги на использовании свойств этого простого экспоненциального математического ряда. Безобидной формой пирамиды в прошлом были письма, которые молодые люди отправляли своим сверстникам с просьбой посылать им открытки из мест проведения отпусков. Эта традиция родилась в те времена, когда люди еще коллекционировали почтовые марки, но теперь ее сменила массовая рассылка СМС и сообщений по электронной почте. Принцип, правда, остался прежним. Один человек становится инициатором пирамиды и шлет послание десяти другим (количество может меняться, но обычно составляет от восьми до двенадцати адресатов). Те переправляют его десяти другим людям из числа своих знакомых и так далее. Через пять циклов количество охваченных людей составляет уже 100 тысяч. На практике обычно не бывает так гладко, как в теории. Цепочка может оборваться (как правило, в самом начале), или адресаты по каким-либо причинам (страх подхватить компьютерный вирус или просто нежелание попусту тратить время) отказываются принимать участие в подобных играх. До тех пор пока в этой пирамиде не участвуют деньги, она не заслуживает особого внимания. Разумеется, кто-то все же немного зарабатывает на этом (телефонные сети, провайдеры мобильной связи), но настоящая денежная пирамида – это нечто совершенно иное. В самой простой форме она выглядит так: вы посылаете инициатору определенную сумму. За это он включает вас в свой список, который вы рассылаете другим людям в надежде получить от них во много раз больше денег. Но эта надежда оправдывается лишь в том случае, если вы входите в «первую волну» участников (то есть в число правонарушителей), которая скатывает снежный ком вниз по склону. Хотя в последнее время приходится встречаться с самыми разными красивыми названиями таких инициатив, речь идет лишь о новых наименованиях старой мошеннической схемы, к которой в немецком законодательстве сложилось совершенно однозначное отношение: игры, специально организованные таким образом, что лишь первые участники получают денежную прибыль, а основная масса теряет вложенные суммы, противоречат принципам ведения бизнеса и подлежат запрету (статья 138, часть 1 уголовного кодекса).
Пирамида развивается следующим образом: некто просит вас выслать тысячу евро на верхний уровень (одному из инициаторов). Получив, к примеру, 8 тысяч евро от восьми участников, он забирает всю сумму и выходит из игры, а вы и другие участники, выславшие ему деньги, поднимаетесь на его уровень и теперь должны сами находить новых участников, которые будут высылать деньги вам. Если вы вступили в уже действующую пирамиду, то можете только проиграть и к тому же обзаведетесь целой кучей недругов. Даже если каждый новый участник должен найти всего пять новых игроков, то после десятого цикла в игре должно чисто теоретически участвовать все население Германии. Как видите, незнание такого математического действия, как возведение в степень, может быстро привести к краху.
Жадность отключает разум
В 2004 году один немец и два австрийца, запустив в интернете такую пирамиду, пообещали участникам, что через четыре месяца вложенный капитал увеличится в восемь раз. В результате около 4 тысяч игроков потеряли в общей сложности более 8 миллионов евро. Минимальный взнос составлял 400 евро, а обещанный прирост – 1 процент в день. В день! Это 365 процентов годовых. Похоже, что жадность полностью лишила людей способности соображать. Некоторые особо жадные игроки вкладывали до 100 тысяч евро.
Почему наше логическое мышление отказывает с такой легкостью? Почему жадность затмевает разум? Возможно, к этому имеет отношение имеющийся в мозге «центр поощрений» – так называемое прилежащее ядро лимбической системы. Данная область мозга вызывает чувство удовольствия, когда мы добиваемся успеха. Однако она, как ни странно, активизируется и в том случае, когда кто-то из наших недругов терпит неудачу. Видимо, в этом злорадстве и кроется разгадка секрета. Если мы заведомо знаем, что каждый успех в такой пирамиде покупается ценой неудачи сотен других людей, то у нас не остается другой возможности, кроме веры в то, что мы и все прочие выигравшие относимся к числу «хороших», а все проигравшие – к числу «плохих». Разумеется, в них нет ничего «плохого», но они не принадлежат к нашему ближайшему окружению. В конце концов, это всего лишь знакомые знакомых знакомых. В том отделе мозга, который отвечает за этику и мораль, часто происходит смешение таких понятий, как знания и надежды, что мы уже видели, рассматривая дилемму арестантов. Именно поэтому мы предпочитаем забывать о своей вине.
Для пирамиды, основанной на эффекте снежного кома, характерны следующие признаки:
● Первое послание поступает к вам от человека, который имеет, по крайней мере, косвенное отношение к кругу ваших знакомых.
● Вас поздравляют с необычайно счастливой возможностью поучаствовать в этой игре.
● Чтобы в нее включиться, вы должны вложить какие-то средства, а также найти и завербовать новых участников.
Привлекая новых игроков, вы получаете вознаграждение, но главная цель – это большой выигрыш. В разных пирамидах условия его получения могут иметь отличия.
В некоторых пирамидах производится распространение каких-то товаров – чаще всего абсолютно бесполезных и по завышенным ценам. Их продажа служит своего рода алиби. С ее помощью попросту маскируется вознаграждение за привлечение новых членов.
Особую роль играют так называемые семинары участников, на которых царит атмосфера усиленной манипуляции сознанием. Людей, которые скептически реагируют на «правила игры» и задают критические вопросы, как правило, быстро изгоняют. При этом в их адрес звучат высказывания типа «Если вы не хотите стать миллионером – скатертью дорога». Давление со стороны целой группы выдерживают далеко не все.
Неизбежный крах любой пирамиды можно доказать чисто математически. В выигрыше оказываются лишь инициаторы. Доля проигравших составляет минимум 87,5 процента. Но к финансовым потерям надо добавить еще эмоциональные и социальные. Ведь вы, как правило, вовлекаете в эту деятельность своих друзей и родных. Когда они тоже оказываются в проигрыше, это влечет за собой утрату доверия к вам.
На что не способен компьютер: парадоксальное мышление
Сравнивать человеческий мозг с компьютером можно только очень условно. От «думающих» машин человека однозначно отличает способность не просто иметь дело с парадоксами, но еще и радоваться им. Компьютеры парадоксов не выносят. Столкнувшись с ними, они безнадежно зависают.
Классический парадокс возникает, когда некое утверждение вытекает из самого себя и при этом дает некие указания на степень своей истинности. Так бывает, например, когда человек утверждает, что он всегда лжет. Из этого заявления невозможно сделать вывод о том, насколько оно истинно. Проще всего, конечно, посчитать подобные формулировки философской белибердой, но из них можно извлечь какую-то информацию, а заодно и понаблюдать за тем, как работает собственный мозг, постоянно натыкаясь на какие-то ограничения.
Возьмем простую формулировку: «Это утверждение ложно». Вроде бы все понятно, но давайте задумаемся. Если исходить из того, что человек говорит правду, значит, это утверждение действительно ложно. Если же человек, произносящий эту фразу, лжет, значит, утверждение правдиво. Возникает противоречие, с которым мозг не в состоянии справиться, и нам остается только удивляться. На базе этой основополагающей структуры великие мыслители создали огромное множество поразительных и занимательных вариаций. Одна из самых известных приписывается критскому философу Эпимениду: «Все критяне – лжецы». Оставим вне рассмотрения вопрос, хорошо ли выносить сор из избы, и вместо этого задумаемся, имеем ли мы в данном случае дело с истинным парадоксом. Если принять это утверждение на веру, то ему нельзя верить, потому что Эпименид сам критянин и, следовательно, говорит неправду. Но если Эпименид лжет, то из этого необязательно следует, что все критяне говорят правду. Истинный парадокс возник бы лишь в том случае, если бы Эпименид сказал: «Все критяне всегда лгут».
Давайте попробуем перефразировать Эпименида на современный лад. Представьте себе, что министр внутренних дел заявляет: «Все министры постоянно лгут». Но ведь он тоже министр, и, следовательно, его утверждение ложно, и министры постоянно говорят правду. Но и этого тоже не может быть, потому что он сам только что солгал. Как ни крути, а мысли, содержащиеся в некоторых высказываниях, не то чтобы ложны, а попросту невозможны. Разрешить такой парадокс, то есть сделать из него какой-то однозначный вывод, нельзя. Это превосходит возможности мозга. Он может только отложить его в памяти как некую загадку. Это то же самое, что знаменитая лестница Эшера. Мы знаем, что такого не бывает, тем не менее видим ее своими глазами.
Рис. 16. Лестница Эшера
На парадоксах иногда строятся логические задачи, но чаще всего речь идет о мнимых парадоксах. Одни впадают в полный ступор, пытаясь решить красивую задачу, а вторые справляются с ней с ходу и без особого труда. Итак, перед вами фраза: «В этом предложении есть две ошипки».
Ну, первую-то вы, конечно, заметили сразу. Но как бы вы ни вычитывали каждую букву, вторую обнаружить никак не удается. Здесь всего одна орфографическая ошибка. Но кто сказал, что речь идет обязательно об орфографии? Ага, теперь поняли?
Ложь и правда – одна из излюбленных тем нашего мозга. Мы постоянно пытаемся выяснить, где правда, а где ложь. Правильно или неправильно, да или нет, точно или неточно, съедобно или ядовито, друг или враг? Сравнение и оценка – это способности, которые активизируются у человека сразу после рождения и впоследствии постоянно развиваются.
То, что даже ложь способна тренировать мозг, доказывает следующий пример. Классическая ситуация, используемая во многих логических задачах, заключается в том, что один человек всегда врет, а второй всегда говорит правду. Мы, естественно, не знаем, кто лжец, и выяснить это порой не так уж просто.
Как это сделать? Может быть, надо спросить у них, говорят ли они правду? Оба ответят утвердительно. Если спросить у одного, говорит ли другой правду, мы тоже получим одинаковый ответ. Лжец ответит: «Нет». Но то же самое скажет и любитель правды. Значит, надо придумать что-то другое. Когда придумаете, попробуйте решить следующую задачу: вы подходите к развилке дорог и встречаете на ней двоих человек, один из которых всегда лжет, а второй всегда говорит правду. Чтобы выяснить, какая дорога приведет вас в нужное место, вы имеете возможность задать им только один вопрос.
Чтобы выяснить, кто из двоих говорит неправду, надо задавать перекрестные вопросы. Это значит спрашивать одного человека о втором. Например: «Что ответит твой напарник, если я спрошу его, лжец ли он?» Тот, кто говорит неправду, ответит: «Лжец». Правдолюб ответит: «Не лжец». Отсюда можно без труда выяснить, кто говорит правду, а кто нет. Но в данной задаче вам надо с помощью одного вопроса выяснить нужное направление дороги. Думаем, что эта подсказка поможет вам найти решение.
«Это предложение неверно»
Если это предложение правдиво, значит, оно неверно. Поскольку такого быть не может, оно действительно неверно, то есть полностью соответствует своему содержанию. Таким образом, оно одновременно и правдиво, и ложно. Снова возникает противоречие.
Противоречия сопровождают нас в жизни на каждом шагу, хотя зачастую мы их не замечаем. Например, в ходе стратегического совещания, посвященного разработке нового продукта, может случиться так, что и инженеры, и маркетологи, и дизайнеры говорят об одном и том же, но имеют в виду совершенно разные вещи. Если свести все их представления воедино, получится некий продукт в авангардистском стиле, очень дешевый в производстве, отвечающий предпочтениям самых разных групп покупателей, приносящий огромную прибыль, выпускаемый в массовом порядке и занимающий на рынке элитарную нишу. Короче говоря, что-то вроде свиньи молочно-шерстяной породы, откладывающей яйца. На таких совещаниях полезно было бы поставить перед собой на стол табличку, на одной стороне которой будет написано «Все, что написано на обороте, – правда», а на другой – «Все, что написано на обороте, – неправда». Имея перед глазами такой наглядный парадокс, вы сможете легче подмечать противоречия, с которыми мы имеем дело в повседневной жизни.
Логические противоречия могут быть основанием для вполне научных выводов. С их помощью можно, например, доказать, что время течет только в одном направлении. Хорошо известен, в частности, так называемый «парадокс убитого дедушки». Предположим, существует возможность переместиться в прошлое. Некто предпринимает такое путешествие во времени, навещает в прошлом своего дедушку и убивает его еще до того, как он успел зачать своего сына (то есть отца путешественника во времени). И тут возникает проблема. Поскольку его отец не родился, значит, не мог родиться и сам путешественник. Следовательно, он не мог отправиться в прошлое, чтобы убить своего дедушку. Классический закольцованный парадокс, из которого не видно иного выхода, кроме как признать, что путешествия в прошлое невозможны.
И все же, обдумывая эту историю, вы можете дать волю своей фантазии. Вам не приходят в голову сценарии, в которых убийство дедушки в прошлом все же могло состояться? Именно этим занимаются философы и физики-теоретики, сталкиваясь с очевидными ограничениями. Мысленные эксперименты не столь доказательны, как осуществляемые в реальности, но порой указывают путь к моделям, которые можно реально построить. Возможно, существуют какие-то параллельные ответвления времени и истории. В тот момент, когда путешественник во времени оказывается в прошлом, прежнее течение времени раздваивается, образуя начало новой реальности при одновременном сохранении старой. Подобные мыслительные пируэты не только занимательны, но и тренируют воображение. Поиск путей между «возможно» и «невозможно» очень освежает мозг.
Курица или яйцо? Противоречия стимулируют мозг
Когда в конце XIX века начала приобретать популярность эволюционная теория Дарвина, одной из самых животрепещущих тем для дискуссий стал вопрос, что было раньше: курица или яйцо? Однако вопрос о происхождении кур с точки зрения современной науки уже выходит за рамки первенства курицы или яйца. Большинство ученых согласны в том, что у кур в процессе эволюции было столько предшественников, что в биологическом плане бессмысленно ставить вопрос как о первой курице, так и о первом курином яйце. Все очень понятно и элегантно. Часто, когда ученые не могут справиться с очередным парадоксом, они просто формулируют проблему несколько иначе.
Вплоть до XIX века господствующей теорией происхождения мира была Первая книга Моисеева – Бытие, в которой содержались иудейско-христианские представления о том, как появилась жизнь. Согласно ей Бог создал все виды животных, следовательно, и кур тоже. После того как первый петух потоптал первую курицу, та отложила первое яйцо, из которого появился первый цыпленок. Таким образом, Ветхий Завет предлагает второе решение проблемы курицы и яйца. Кстати, косвенное отношение к этой проблеме имеет и задача, которую мы хотим вам предложить. Как-то раз Адам работал в поле с двумя своими взрослыми сыновьями Каином и Авелем. В полдень они обнаженными легли отдохнуть в тени дерева. Рост и телосложение у всех были одинаковыми. Ева выглянула из дома и, хотя лица мужчин были скрыты тенью, безошибочно узнала своего мужа Адама. Как она отличила его от сыновей?
В последнее время все проблемы, в основе которых лежит вопрос об исходном элементе причинно-следственной цепи, где причины и следствия поочередно меняются, объединяют общим названием «проблема курицы и яйца». Схожие логические задачи на протяжении многих веков были любимыми упражнениями богословов и философов для тренировки мозга. Последователи дзен-буддизма решали, например, такие классические задачи: если ударить ладонями друг о друга, будет слышен хлопок. А какой звук будет слышен, если в движении участвует только одна рука? Хорошо известна также проблема средневековых схоластиков: сколько ангелов сможет уместиться на кончике иглы?
Хотя существование Бога невозможно ни доказать, ни опровергнуть средствами логики, до сих пор не прекращаются активные попытки логического обоснования Библии. При этом порой возникают следующие вопросы: сколько рыб мог бы поймать Ной за время своего плавания на ковчеге? Как бы вы ответили?
Бой с тенью: мнимые противоречия
Разрешение противоречий идет на пользу не только философам и физикам-теоретикам. С этим сталкивается в повседневной жизни каждый из нас. Размышления на данную тему не только интересны, но и поучительны. Они служат для тренировки мозга. Опыт, полученный в ходе таких тренировок, позволяет разрабатывать практичные стратегии для реальной жизни. В частности, он дает возможность выяснить, действительно ли мы имеем дело с противоречием. Поэтому, если шеф поручает вам разработать рекламную кампанию, которая взбудоражит все умы, но при этом должна быть тихой и незаметной, подумайте несколько раз, прежде чем обвинить его в том, что эти требования взаимно исключают друг друга. Ведь почти любое противоречие можно объяснить и использовать в своих интересах, особенно в сфере рекламы. Правда, и математика тоже не является исключением. В доказательство приведем следующую задачу.
Как известно, талер Марии Терезии – это цельная монета, у которой нет ни половинок, ни четвертинок. Тем не менее, когда директор австрийского банка задал своему служащему вопрос, сколько монет он продал за день, тот ответил:
– Первый клиент захотел купить половину имеющихся монет плюс одну половинку. Второй, оценив оставшийся запас, тоже решил купить половину монет плюс одну половинку. Третий клиент высказал такое же пожелание, после чего монет больше не осталось.
– Значит, все распродано? Поздравляю, – сказал директор. – Но, я надеюсь, вы не распиливали монеты?
– Разумеется, нет.
– Тогда я знаю, сколько их было изначально.
А вы знаете?
Задачи, подобные этой, могут довести до отчаяния, но решение можно найти довольно быстро, если не ограничивать свою мысль кажущимися парадоксами. Ведь если начать размышлять над тем, как совместить очевидно противоречащие друг другу высказывания о половинках талеров, которых на самом деле быть не может, то можно оказаться в тупике. Но противоречие здесь мнимое, так как половинки в данном случае – это лишь математическая абстракция, а не реальность.
Арабские математики, которые внесли немалый вклад в развитие этой науки, оставили нам в наследство еще один знаменитый пример парадоксального решения задачи. Один шейх, лежа на смертном одре, призвал к себе троих сыновей, чтобы огласить свою последнюю волю: «Как вы знаете, у меня есть 17 верблюдов, и я хочу разделить их между вами по старшинству. Старший сын Али получит половину верблюдов, средний сын Омар – одну треть, а младший Хаммед – одну шестую». С этими словами он умер.
А теперь попробуйте разделить 17 верблюдов в соответствии с завещанием. Впору звать мясника с ножом, потому что одна треть от 17 верблюдов – это 5,6666666… (периодическая дробь). Кроме того, мертвый верблюд, разделенный на части, не представляет такой ценности, как живой. Но тут пришел сосед, который помог братьям решить задачу по справедливости.
«От вас потребуются дополнительные затраты в размере стоимости еще одного верблюда», – сказал он. Все трое согласились и собрали нужную сумму. Сосед купил верблюда и добавил его к стаду, после чего произвел раздел: 9 верблюдов – для Али, 6 – для Омара и 3 – для Хаммеда. И никаких фокусов. Каждому досталась своя доля, а сосед радостный пошел домой, хотя и не получил ничего за свою смекалку.
Есть еще один вариант этой задачи, которую теперь вы сможете решить сами. Умирающий шейх оставляет после себя 11 верблюдов, но на этот раз у него четыре сына. Али должен получить одну треть, Омар – четверть, а два младших брата-близнеца – по одной шестой.
Решив данную задачу, вы убедитесь, что на этот раз хитрый сосед остался с неплохой прибылью. Каким образом? В отличие от первого завещания, второе скрывает в себе небольшой подвох, в связи с чем подобные задачи часто относят к категории шуточных, но для любителей головоломок это не должно быть препятствием. Ведь если задачу удается решить только с помощью какого-то фокуса, это свидетельствует о подлинном мастерстве. Подвох в данном случае заключается в том, что указанные в завещании доли в сумме не дают целой единицы. Если привести дроби к общему знаменателю, выяснится, что 11 верблюдов составляют одиннадцать двенадцатых от всего стада. Однако те, кто решает задачу, исходят из того, что умирающему шейху не до шуток и он относится к своему завещанию всерьез. Это и заводит их в тупик парадокса.
К числу мнимых проблем можно отнести и так называемый парадокс дней рождения. Здесь в общем-то нет никакого противоречия. Данный пример лишь демонстрирует нашу неспособность оценивать вероятность. Вопрос, который с успехом можно задавать на вечеринках и конференциях, звучит так: какова вероятность того, что из 23 присутствующих найдутся двое с одинаковой датой рождения? Если вы не математик, то можно с полной уверенностью утверждать, что вы ошибетесь. Вероятность составляет вовсе не 5 процентов (как чаще всего считают), а превышает 50 процентов. Если же группа состоит из 50 человек, то вероятность увеличивается до 97 процентов.
Творческому мышлению требуется свободное пространство
Одним из интересных аспектов умственных упражнений является то, что правильного решения может и не быть, если понимать «правильность» в математическом смысле. На вопрос, сколько восьмых частей содержится в единице, есть только один-единственный верный ответ. Но бывают вопросы, на которые существует множество ответов, и их нельзя однозначно отнести к категории «правильных» или «неправильных».
Искусство творческого мышления вырабатывается именно на таких вопросах, где поиск решения важнее самого решения. Каждому хорошему шахматисту известно, что порой выигранная, но неинтересная партия доставляет меньше удовольствия, чем проигранная, но полная напряжения и нестандартных ситуаций. Путь к цели доставляет больше творческих радостей, чем результат. Большинство приведенных в этой книге задач имеет только одно решение, и читатели с интересом его ищут. В то же время задача с неопределенным ответом поначалу ставит нас в тупик, хотя в жизни мы на каждом шагу сталкиваемся с проблемами, имеющими несколько решений. Например, после работы шеф решил устроить совещание и предлагает вам выступить, хотя вы к этому не готовы. К тому же вы обещали как раз в это время забрать детей с тренировки домой. Такие расплывчатые проблемы возникают чуть ли не каждый день, и большинство из них мы решаем очень быстро и без особого анализа ситуации. Дело в том, что и условие подобных задач зачастую сформулировано очень нечетко, в виде каких-то не связанных между собой заданий и требований, и мы пытаемся найти приемлемое решение в зависимости от своего характера и ситуации. Мы можем справиться с проблемой лучше или хуже, но единственного и самого правильного решения не бывает. Такова жизнь.
Насколько нечетко поставленная задача может активизировать нашу способность к творческому мышлению, хорошо демонстрирует пример с черным цилиндром. Английский психолог и консультант по вопросам менеджмента Эдвард де Боно придумал эту задачу более тридцати лет назад и получил с тех пор несколько тысяч ответов, но ни одного правильного. Дело в том, что здесь и нет правильных ответов. Они могут быть только лучше или хуже.
Этот эксперимент де Боно проводил более чем с тысячей людей. На белом столе стоит высокий черный цилиндр (имеется в виду не шляпа, а геометрическое тело). Примерно через 20 минут он внезапно падает. К цилиндру за это время никто не приближался, перед падением не было никаких звуков, в цилиндр не кидали никаких предметов и не толкали стол. Землетрясения тоже не было. К цилиндру не прикреплены никакие нити. Вы должны подумать и дать ответ, почему он упал. Для этого у вас есть 10 минут.
Рис. 17. Черный цилиндр
Попробуйте решить эту задачу прямо сейчас. Отложите книгу в сторону и подумайте. Можете взять лист бумаги и карандаш, потому что вам может понадобиться нарисовать схему. Посвятите этому заданию 10 минут, а потом продолжайте читать дальше.
Вы плодотворно провели это время? Пришли к какому-нибудь удовлетворительному решению? Каким бы оно ни было, вам пришлось сражаться с теми же трудностями, что и другим читателям. У вас было слишком мало информации. Какова величина цилиндра? Из какого материала он сделан? Какова температура в комнате? Вам некого об этом спросить, а значит, данные, с которыми приходится работать, создаются у вас в голове. Вы мысленно воссоздаете и стол, и сам цилиндр, и механизм, который заставляет его опрокинуться. Вот это и есть творческое мышление.
Эдвард де Боно уже много десятилетий назад предостерегал, что не стоит отводить слишком значимое место логическому мышлению, как это традиционно принято на Западе. По его мнению, в том, что совершенство логических построений вызывает у человека ложное чувство превосходства и собственной правоты, кроется большая опасность. Логическое обоснование признается единственно правильным, поэтому люди на Западе с недоверием относятся к новым и поражающим воображение решениям. Они подавляют в себе легкость и свободу мышления, хотя известно, что самые крупные открытия являются результатом проявления интуиции, спонтанности, а также хаоса и сомнений в аксиомах. Здесь требуется сочетание игры мыслей и логического контроля над ними.
Для того чтобы прийти к удовлетворительному решению расплывчатой задачи (имеется в виду не нечеткость поставленного вопроса, а недостаток имеющейся в распоряжении информации), необходимо прибегнуть к приемам, которые практически не используются в решении технических проблем, – латеральному мышлению, фантазии и юмору. Эта мысленная акробатика должна восприниматься как тренировка. Вы должны мыслить свободно и необычно. Допускайте любую, даже самую абсурдную возможность, а затем контролируйте полученные выводы с помощью строгой и беспощадной логики. Не довольствуйтесь единственным решением. Всегда ищите второе или альтернативное. Обсуждайте их с друзьями и коллегами.
Кто бреет цирюльника, если он не бреется сам?
Этот парадокс был сформулирован математиком Бертраном Расселом: «Севильский цирюльник бреет всех мужчин в Севилье, за исключением тех, кто бреется сам. Но если так, то бреет ли себя севильский цирюльник?» Мы исходим из того, что он не отпускает бороду, так как предлагаемая задача не относится к категории шуточных.
Из условия следует, что если он не бреет себя сам, то бреется сам (такого, естественно, быть не может). Если он бреется сам, то, значит, не может себя брить (это тоже невозможно). Одно сплошное противоречие. Таким образом, следует признать невозможным само условие задачи. На первый взгляд оно сформулировано разумно и логично, но при ближайшем рассмотрении оказывается парадоксом.
Проблема данного парадокса заключается в том, что он начинается с ложной посылки. Само допущение, что такой цирюльник может существовать, уже ложно. Это все равно что утверждать: «Цирюльник одновременно жив и мертв». В математике это называется доказательством от обратного. Мы делаем некое предположение и приходим к выводу о его противоречивости. Это доказывает ложность предположения, что существование такого цирюльника возможно.
Отсюда вытекает первое правило решения логических задач: «Для начала проанализируй постановку вопроса!»
● Достаточно ли подробно он сформулирован?
● Содержит ли он полную информацию?
● Нет ли в нем скрытых противоречий?
● Выполнимы ли в принципе условия, изложенные в вопросе?
В повседневной жизни это означает, что прежде, чем приступить к решению проблемы, необходимо тщательно проверить условие. Это позволяет избежать ненужной работы, а также оградить себя от всяких бездельников и шарлатанов, которые крадут у вас драгоценное время или пытаются всучить что-то бесполезное.
Веселые парадоксы
Парадоксы могут заставить смеяться, и лучше всего это доказывают ученые, не относящиеся к числу обладающих развитым чувством юмора, – статистики. Так называемый феномен Уилла Роджерса является следствием формирования усредненных данных по тем или иным группам: при перемещении элементов из одной группы в другую средние значения могут повышаться в обеих группах, даже если индивидуальные показатели при этом ухудшаются (или наоборот). Если вам все еще не смешно, значит, вы пока не осознали всех последствий этого приема, который статистики называют «злонамеренным манипулированием данными». Человек, чьим именем назван этот феномен, был не статистиком, а комиком. Ему принадлежит фраза «При переселении жителей Оклахомы в Калифорнию повышается средний уровень интеллекта в обоих штатах».
Парадоксальные вопросы: с какого момента кучу можно называть кучей?
На вопрос «Когда мужчина становится мужчиной?» ответить ничуть не легче, чем на вопрос, начиная с какого объема куча может именоваться кучей. Хотя сам по себе вопрос кажется простым, при ближайшем рассмотрении этот парадокс кучи, приписываемый Зенону Элейскому, заставляет задуматься.
«Пятьдесят зерен пшеницы составляют кучку. Если убрать одно зерно, остается 49, которые по-прежнему являются кучкой. Продолжая убирать зерно за зерном, мы доходим до двух зерен, которые также составляют кучку». Такое положение можно по праву считать парадоксальным. Образует ли одно зерно кучку? Если нет, значит, граница между кучкой и некучкой проходит между одним зерном и двумя. Но любители логики строят на этом допущении элегантный вывод, который, в частности, утверждает, что куча существовать вообще не может.
Они доказывают это с помощью так называемой полной индукции, соединяя между собой две аксиомы:
● Одно зерно – не кучка.
● Добавляя второе зерно, которое также кучкой не является, невозможно создать кучку.
Отсюда следует, что существование кучи вообще невозможно, сколько бы зерен ни добавлялось. Но парадокс в том, что мы прекрасно знаем: кучи существуют.
Конечно, такие мнимые парадоксы легко разрешаются, потому что в их основе лежит смешение математических и общеупотребительных формулировок. Если бы математику нужно было иметь дело с понятием «куча», он предварительно дал бы ей определение, например: «Кучей является количество однородных предметов х, равное или превышающее 44х». Таким образом, перед ним даже не стоял бы вопрос, являются ли 43 зерна кучей. С математической точки зрения, безусловно, нет. Но если подходить к вопросу с позиций общеупотребительного значения слова «куча», то 30 тысяч зерен, аккуратно разложенных в один слой, для нас кучей не являются, а для математика – вполне.
Но самое забавное начинается, когда мы пытаемся развить эту мысль. Когда лес становится лесом? Когда овечье стадо становится стадом? Когда дом становится домом? Хотя дом представляет собой некоторое количество уложенных соответствующим образом кирпичей, два кирпича – это еще не дом. И три тоже нет. Тогда попробуем подойти с другой стороны. Когда дом перестает быть домом? Ведь на пути от дома к одному кирпичу есть определенные стадии: подведенная под крышу коробка, стена и т. д.
Размышления о том, что целое больше, чем сумма составляющих его частей, вновь возвращают нас к мозгу. Ведь мозг не перестает быть мозгом, если удалить из него несколько нейронов. Он не является суммой составляющих его элементов, а представляет собой сложное образование, в котором организация играет более важную роль, чем количество и свойства компонентов.
Из этих парадоксов можно извлечь важные уроки для повседневной профессиональной и личной жизни. Например, неразрешимые проблемы часто возникают из-за того, что люди говорят на разных языках. Нет, речь идет не об иностранных языках, а о разных социальных коммуникационных системах. Если муж улаживает разногласия со своей женой в том же духе, в котором решает проблемы у себя в офисе, может возникнуть парадокс. «Ты постоянно всюду опаздываешь. Научись, наконец, распоряжаться своим временем, иначе в наших отношениях может наступить разлад». И дело здесь не в том, что претензия изложена канцелярским языком, а в том, что муж рассматривает семью как некую фирму, которая должна работать по установленным правилам.
Парадоксальное и латеральное мышление
Дилеммы и парадоксы – отличная пища для мозга. Неразрешимые на первый взгляд проблемы и нелогичные взаимосвязи (которые мы тем не менее воспринимаем как реальность) стимулируют свободное латеральное мышление. Понятие латерального (или бокового) мышления было введено в обиход уже известным нам Эдвардом де Боно в 1967 году. В научной среде такой тип мышления предпочитают называть дивергентным или нелинейным. Кроме того, де Боно принадлежит также понятие «параллельное мышление», которое отражает способность систематически использовать различные подходы и точки зрения при рассмотрении любой темы.
В отличие от вертикального мышления, которое предполагает последовательное обдумывание вопроса шаг за шагом на основании привычных моделей, латеральному мышлению присущи следующие признаки:
● вся поступающая информация оценивается субъективно и используется избирательно;
● детали воспринимаются не аналитически, а интуитивно;
● ассоциации и отвлечение на смежные темы не только допускаются, но и приветствуются;
● не каждый промежуточный результат является правильным;
● решения могут быть размытыми, то есть не носящими категоричного характера (или – или, да – нет);
● даже решения, которые невозможно реализовать, считаются шагом к лучшему пониманию проблемы;
● традиционные модели решения подвергаются сомнению и предпочтение отдается необычным подходам;
● исходная ситуация и рамочные условия не считаются чем-то раз и навсегда определенным.
Тому, кому присуще латеральное мышление, решить приведенную ниже задачу будет легче, чем приверженцу строгой логики. Сколько матчей надо провести, чтобы определить победителя в турнире на выбывание, в котором участвуют 128 игроков? Логик рассуждает так: в первом круге проводится 64 игры, во втором – 32 игры, в третьем – 16, в четвертом – 8, в пятом – 4, затем еще 2 игры и финал. В сумме получается 127 игр.
Латеральное мышление предполагает совершенно иной подход без лишних подсчетов. Если в турнире участвует 128 человек, а побеждает только один, значит, должно быть 127 проигравших. Каждый из них проигрывает только один раз. Следовательно, столько же должно быть и матчей.
Оба метода приводят к одному и тому же результату, но разными путями. Латеральное мышление позволяет прийти к цели значительно быстрее и изящнее.
Любимые задачи на латеральное мышление
● Две обезьяны смотрят в трубу, лежащую на земле. Труба прямая, не очень длинная и ничем не забитая. Тем не менее обезьяны не видят друг друга. Почему?
● У господина Майера, живущего в многоквартирном доме, вечером вдруг выключается свет. Он спускается в подвал, чтобы осмотреть предохранитель, но подвальная дверь внезапно защелкивается. Открыть ее изнутри невозможно. Дверь слишком толстая, поэтому стучать и кричать бесполезно. Тем не менее ему удается позвать на помощь. Каким образом?
● Посетитель ресторана обнаруживает в своей чашке кофе муху и зовет официанта. Тот забирает чашку и через некоторое время приносит новую. Но клиент недоволен и обвиняет официанта в том, что тот просто выбросил муху вместо того, чтобы налить свежий кофе. Как он это определил?
● Два шахматиста сыграли пять партий. Количество выигрышей и проигрышей у обоих оказалось одинаковым, хотя ни в одной из партий не была зафиксирована ничья. Как такое возможно?
● Два человека побывали на экскурсии в угольной шахте. Когда они оттуда вышли, у одного было чистое лицо, а у другого – грязное. Человек с чистым лицом сразу пошел умываться, а с грязным – нет. Почему?
● Пятерых человек по пути застал дождь. Четверо ускорили шаг, а пятый не обратил на дождь никакого внимания. Тем не менее все прибыли к месту назначения одновременно, причем четверо промокли, а пятый остался сухим. Каким образом?
Кроме задач на латеральное мышление, которые можно решить, только отвлекшись от привычной логической модели мышления, существуют еще латеральные загадки (или загадки-расследования), в которых даются лишь фрагменты информации, складывающиеся, казалось бы, в абсурдную ситуацию. Разгадывающему предстоит обнаружить в ней смысл. Ведущий, которому известна суть истории, рассказывает загадку, а игроки задают уточняющие вопросы, на которые можно ответить только «да» или «нет». Чтобы вы могли получить представление о том, как выглядят такие загадки, мы приводим здесь несколько наиболее известных. С их помощью вы можете развлечь членов семьи или друзей на вечеринке.
Итак, у вас имеется следующая информация: мертвые Ромео и Джульетта лежат на полу у открытого окна. На мокром полу повсюду разбросаны осколки стекла. Что произошло?
Ответ таков: Ромео и Джульетта – это имена аквариумных рыбок. Из-за сквозняка распахнулось окно, столкнувшее аквариум на пол. Аквариум разбился, и рыбки задохнулись.
А теперь испытайте свои силы на следующих загадках:
● На снегу лежит труп голого человека. В руке у него зажата спичка. Поблизости не видно никаких следов. Что произошло?
● Мертвый человек сидит в помещении на стуле перед шахматной доской, на которой расставлена проигранная им партия. В руке у него пистолет. Что произошло?
● Грабитель оказался в здании. Хотя оно хорошо охраняется, ему удалось попасть туда без всяких проблем. Он находился в этом здании долгое время, а затем вышел, вновь не вызвав никакой тревоги. Но если бы он попытался выйти раньше, то был бы схвачен. Где он находился?
● Слон стоит на поле. В этот момент к нему подходит конь, после чего слон бесследно исчезает. Как такое может быть?
● Мужчина смотрит в окно и видит красивую женщину, проходящую возле его дома. Вскоре после этого он умирает. Если бы он не увидел эту женщину, то был бы жив. Из окна он не выпадал. Что произошло?
● Более двадцати музыкантов симфонического оркестра играют для публики, но их никто не слушает. Почему?
● Фриц купил себе диск с записью нового фильма. Придя домой, он решил сразу же посмотреть диск вместе с Францем. Но Франц уже через несколько секунд сказал, что конец фильма им посмотреть не удастся, так как запись повреждена. Каким образом Франц выяснил это так быстро?
● Господин Майер ехал на автомобиле по дороге с односторонним движением и внезапно столкнулся со встречной машиной. Во время аварии он получил лишь легкие повреждения. Водитель, нарушивший правила движения, оказался зажат в своей машине, и его удалось высвободить только через несколько часов. Тем не менее он выжил. Хотя в столкновении участвовало только два автомобиля и ни в одном из них не было пассажиров, один человек во время аварии все же погиб. Кто он?
Сравнивать человеческий мозг с компьютером можно только очень условно. От «думающих» машин человека однозначно отличает способность не просто иметь дело с парадоксами, но еще и радоваться им. Компьютеры парадоксов не выносят. Столкнувшись с ними, они безнадежно зависают.
Классический парадокс возникает, когда некое утверждение вытекает из самого себя и при этом дает некие указания на степень своей истинности. Так бывает, например, когда человек утверждает, что он всегда лжет. Из этого заявления невозможно сделать вывод о том, насколько оно истинно. Проще всего, конечно, посчитать подобные формулировки философской белибердой, но из них можно извлечь какую-то информацию, а заодно и понаблюдать за тем, как работает собственный мозг, постоянно натыкаясь на какие-то ограничения.
Возьмем простую формулировку: «Это утверждение ложно». Вроде бы все понятно, но давайте задумаемся. Если исходить из того, что человек говорит правду, значит, это утверждение действительно ложно. Если же человек, произносящий эту фразу, лжет, значит, утверждение правдиво. Возникает противоречие, с которым мозг не в состоянии справиться, и нам остается только удивляться. На базе этой основополагающей структуры великие мыслители создали огромное множество поразительных и занимательных вариаций. Одна из самых известных приписывается критскому философу Эпимениду: «Все критяне – лжецы». Оставим вне рассмотрения вопрос, хорошо ли выносить сор из избы, и вместо этого задумаемся, имеем ли мы в данном случае дело с истинным парадоксом. Если принять это утверждение на веру, то ему нельзя верить, потому что Эпименид сам критянин и, следовательно, говорит неправду. Но если Эпименид лжет, то из этого необязательно следует, что все критяне говорят правду. Истинный парадокс возник бы лишь в том случае, если бы Эпименид сказал: «Все критяне всегда лгут».
Давайте попробуем перефразировать Эпименида на современный лад. Представьте себе, что министр внутренних дел заявляет: «Все министры постоянно лгут». Но ведь он тоже министр, и, следовательно, его утверждение ложно, и министры постоянно говорят правду. Но и этого тоже не может быть, потому что он сам только что солгал. Как ни крути, а мысли, содержащиеся в некоторых высказываниях, не то чтобы ложны, а попросту невозможны. Разрешить такой парадокс, то есть сделать из него какой-то однозначный вывод, нельзя. Это превосходит возможности мозга. Он может только отложить его в памяти как некую загадку. Это то же самое, что знаменитая лестница Эшера. Мы знаем, что такого не бывает, тем не менее видим ее своими глазами.
Рис. 16. Лестница Эшера
На парадоксах иногда строятся логические задачи, но чаще всего речь идет о мнимых парадоксах. Одни впадают в полный ступор, пытаясь решить красивую задачу, а вторые справляются с ней с ходу и без особого труда. Итак, перед вами фраза: «В этом предложении есть две ошипки».
Ну, первую-то вы, конечно, заметили сразу. Но как бы вы ни вычитывали каждую букву, вторую обнаружить никак не удается. Здесь всего одна орфографическая ошибка. Но кто сказал, что речь идет обязательно об орфографии? Ага, теперь поняли?
Ложь и правда – одна из излюбленных тем нашего мозга. Мы постоянно пытаемся выяснить, где правда, а где ложь. Правильно или неправильно, да или нет, точно или неточно, съедобно или ядовито, друг или враг? Сравнение и оценка – это способности, которые активизируются у человека сразу после рождения и впоследствии постоянно развиваются.
То, что даже ложь способна тренировать мозг, доказывает следующий пример. Классическая ситуация, используемая во многих логических задачах, заключается в том, что один человек всегда врет, а второй всегда говорит правду. Мы, естественно, не знаем, кто лжец, и выяснить это порой не так уж просто.
Как это сделать? Может быть, надо спросить у них, говорят ли они правду? Оба ответят утвердительно. Если спросить у одного, говорит ли другой правду, мы тоже получим одинаковый ответ. Лжец ответит: «Нет». Но то же самое скажет и любитель правды. Значит, надо придумать что-то другое. Когда придумаете, попробуйте решить следующую задачу: вы подходите к развилке дорог и встречаете на ней двоих человек, один из которых всегда лжет, а второй всегда говорит правду. Чтобы выяснить, какая дорога приведет вас в нужное место, вы имеете возможность задать им только один вопрос.
Чтобы выяснить, кто из двоих говорит неправду, надо задавать перекрестные вопросы. Это значит спрашивать одного человека о втором. Например: «Что ответит твой напарник, если я спрошу его, лжец ли он?» Тот, кто говорит неправду, ответит: «Лжец». Правдолюб ответит: «Не лжец». Отсюда можно без труда выяснить, кто говорит правду, а кто нет. Но в данной задаче вам надо с помощью одного вопроса выяснить нужное направление дороги. Думаем, что эта подсказка поможет вам найти решение.
«Это предложение неверно»
Если это предложение правдиво, значит, оно неверно. Поскольку такого быть не может, оно действительно неверно, то есть полностью соответствует своему содержанию. Таким образом, оно одновременно и правдиво, и ложно. Снова возникает противоречие.
Противоречия сопровождают нас в жизни на каждом шагу, хотя зачастую мы их не замечаем. Например, в ходе стратегического совещания, посвященного разработке нового продукта, может случиться так, что и инженеры, и маркетологи, и дизайнеры говорят об одном и том же, но имеют в виду совершенно разные вещи. Если свести все их представления воедино, получится некий продукт в авангардистском стиле, очень дешевый в производстве, отвечающий предпочтениям самых разных групп покупателей, приносящий огромную прибыль, выпускаемый в массовом порядке и занимающий на рынке элитарную нишу. Короче говоря, что-то вроде свиньи молочно-шерстяной породы, откладывающей яйца. На таких совещаниях полезно было бы поставить перед собой на стол табличку, на одной стороне которой будет написано «Все, что написано на обороте, – правда», а на другой – «Все, что написано на обороте, – неправда». Имея перед глазами такой наглядный парадокс, вы сможете легче подмечать противоречия, с которыми мы имеем дело в повседневной жизни.
Логические противоречия могут быть основанием для вполне научных выводов. С их помощью можно, например, доказать, что время течет только в одном направлении. Хорошо известен, в частности, так называемый «парадокс убитого дедушки». Предположим, существует возможность переместиться в прошлое. Некто предпринимает такое путешествие во времени, навещает в прошлом своего дедушку и убивает его еще до того, как он успел зачать своего сына (то есть отца путешественника во времени). И тут возникает проблема. Поскольку его отец не родился, значит, не мог родиться и сам путешественник. Следовательно, он не мог отправиться в прошлое, чтобы убить своего дедушку. Классический закольцованный парадокс, из которого не видно иного выхода, кроме как признать, что путешествия в прошлое невозможны.
И все же, обдумывая эту историю, вы можете дать волю своей фантазии. Вам не приходят в голову сценарии, в которых убийство дедушки в прошлом все же могло состояться? Именно этим занимаются философы и физики-теоретики, сталкиваясь с очевидными ограничениями. Мысленные эксперименты не столь доказательны, как осуществляемые в реальности, но порой указывают путь к моделям, которые можно реально построить. Возможно, существуют какие-то параллельные ответвления времени и истории. В тот момент, когда путешественник во времени оказывается в прошлом, прежнее течение времени раздваивается, образуя начало новой реальности при одновременном сохранении старой. Подобные мыслительные пируэты не только занимательны, но и тренируют воображение. Поиск путей между «возможно» и «невозможно» очень освежает мозг.
Курица или яйцо? Противоречия стимулируют мозг
Когда в конце XIX века начала приобретать популярность эволюционная теория Дарвина, одной из самых животрепещущих тем для дискуссий стал вопрос, что было раньше: курица или яйцо? Однако вопрос о происхождении кур с точки зрения современной науки уже выходит за рамки первенства курицы или яйца. Большинство ученых согласны в том, что у кур в процессе эволюции было столько предшественников, что в биологическом плане бессмысленно ставить вопрос как о первой курице, так и о первом курином яйце. Все очень понятно и элегантно. Часто, когда ученые не могут справиться с очередным парадоксом, они просто формулируют проблему несколько иначе.
Вплоть до XIX века господствующей теорией происхождения мира была Первая книга Моисеева – Бытие, в которой содержались иудейско-христианские представления о том, как появилась жизнь. Согласно ей Бог создал все виды животных, следовательно, и кур тоже. После того как первый петух потоптал первую курицу, та отложила первое яйцо, из которого появился первый цыпленок. Таким образом, Ветхий Завет предлагает второе решение проблемы курицы и яйца. Кстати, косвенное отношение к этой проблеме имеет и задача, которую мы хотим вам предложить. Как-то раз Адам работал в поле с двумя своими взрослыми сыновьями Каином и Авелем. В полдень они обнаженными легли отдохнуть в тени дерева. Рост и телосложение у всех были одинаковыми. Ева выглянула из дома и, хотя лица мужчин были скрыты тенью, безошибочно узнала своего мужа Адама. Как она отличила его от сыновей?
В последнее время все проблемы, в основе которых лежит вопрос об исходном элементе причинно-следственной цепи, где причины и следствия поочередно меняются, объединяют общим названием «проблема курицы и яйца». Схожие логические задачи на протяжении многих веков были любимыми упражнениями богословов и философов для тренировки мозга. Последователи дзен-буддизма решали, например, такие классические задачи: если ударить ладонями друг о друга, будет слышен хлопок. А какой звук будет слышен, если в движении участвует только одна рука? Хорошо известна также проблема средневековых схоластиков: сколько ангелов сможет уместиться на кончике иглы?
Хотя существование Бога невозможно ни доказать, ни опровергнуть средствами логики, до сих пор не прекращаются активные попытки логического обоснования Библии. При этом порой возникают следующие вопросы: сколько рыб мог бы поймать Ной за время своего плавания на ковчеге? Как бы вы ответили?
Бой с тенью: мнимые противоречия
Разрешение противоречий идет на пользу не только философам и физикам-теоретикам. С этим сталкивается в повседневной жизни каждый из нас. Размышления на данную тему не только интересны, но и поучительны. Они служат для тренировки мозга. Опыт, полученный в ходе таких тренировок, позволяет разрабатывать практичные стратегии для реальной жизни. В частности, он дает возможность выяснить, действительно ли мы имеем дело с противоречием. Поэтому, если шеф поручает вам разработать рекламную кампанию, которая взбудоражит все умы, но при этом должна быть тихой и незаметной, подумайте несколько раз, прежде чем обвинить его в том, что эти требования взаимно исключают друг друга. Ведь почти любое противоречие можно объяснить и использовать в своих интересах, особенно в сфере рекламы. Правда, и математика тоже не является исключением. В доказательство приведем следующую задачу.
Как известно, талер Марии Терезии – это цельная монета, у которой нет ни половинок, ни четвертинок. Тем не менее, когда директор австрийского банка задал своему служащему вопрос, сколько монет он продал за день, тот ответил:
– Первый клиент захотел купить половину имеющихся монет плюс одну половинку. Второй, оценив оставшийся запас, тоже решил купить половину монет плюс одну половинку. Третий клиент высказал такое же пожелание, после чего монет больше не осталось.
– Значит, все распродано? Поздравляю, – сказал директор. – Но, я надеюсь, вы не распиливали монеты?
– Разумеется, нет.
– Тогда я знаю, сколько их было изначально.
А вы знаете?
Задачи, подобные этой, могут довести до отчаяния, но решение можно найти довольно быстро, если не ограничивать свою мысль кажущимися парадоксами. Ведь если начать размышлять над тем, как совместить очевидно противоречащие друг другу высказывания о половинках талеров, которых на самом деле быть не может, то можно оказаться в тупике. Но противоречие здесь мнимое, так как половинки в данном случае – это лишь математическая абстракция, а не реальность.
Арабские математики, которые внесли немалый вклад в развитие этой науки, оставили нам в наследство еще один знаменитый пример парадоксального решения задачи. Один шейх, лежа на смертном одре, призвал к себе троих сыновей, чтобы огласить свою последнюю волю: «Как вы знаете, у меня есть 17 верблюдов, и я хочу разделить их между вами по старшинству. Старший сын Али получит половину верблюдов, средний сын Омар – одну треть, а младший Хаммед – одну шестую». С этими словами он умер.
А теперь попробуйте разделить 17 верблюдов в соответствии с завещанием. Впору звать мясника с ножом, потому что одна треть от 17 верблюдов – это 5,6666666… (периодическая дробь). Кроме того, мертвый верблюд, разделенный на части, не представляет такой ценности, как живой. Но тут пришел сосед, который помог братьям решить задачу по справедливости.
«От вас потребуются дополнительные затраты в размере стоимости еще одного верблюда», – сказал он. Все трое согласились и собрали нужную сумму. Сосед купил верблюда и добавил его к стаду, после чего произвел раздел: 9 верблюдов – для Али, 6 – для Омара и 3 – для Хаммеда. И никаких фокусов. Каждому досталась своя доля, а сосед радостный пошел домой, хотя и не получил ничего за свою смекалку.
Есть еще один вариант этой задачи, которую теперь вы сможете решить сами. Умирающий шейх оставляет после себя 11 верблюдов, но на этот раз у него четыре сына. Али должен получить одну треть, Омар – четверть, а два младших брата-близнеца – по одной шестой.
Решив данную задачу, вы убедитесь, что на этот раз хитрый сосед остался с неплохой прибылью. Каким образом? В отличие от первого завещания, второе скрывает в себе небольшой подвох, в связи с чем подобные задачи часто относят к категории шуточных, но для любителей головоломок это не должно быть препятствием. Ведь если задачу удается решить только с помощью какого-то фокуса, это свидетельствует о подлинном мастерстве. Подвох в данном случае заключается в том, что указанные в завещании доли в сумме не дают целой единицы. Если привести дроби к общему знаменателю, выяснится, что 11 верблюдов составляют одиннадцать двенадцатых от всего стада. Однако те, кто решает задачу, исходят из того, что умирающему шейху не до шуток и он относится к своему завещанию всерьез. Это и заводит их в тупик парадокса.
К числу мнимых проблем можно отнести и так называемый парадокс дней рождения. Здесь в общем-то нет никакого противоречия. Данный пример лишь демонстрирует нашу неспособность оценивать вероятность. Вопрос, который с успехом можно задавать на вечеринках и конференциях, звучит так: какова вероятность того, что из 23 присутствующих найдутся двое с одинаковой датой рождения? Если вы не математик, то можно с полной уверенностью утверждать, что вы ошибетесь. Вероятность составляет вовсе не 5 процентов (как чаще всего считают), а превышает 50 процентов. Если же группа состоит из 50 человек, то вероятность увеличивается до 97 процентов.
Творческому мышлению требуется свободное пространство
Одним из интересных аспектов умственных упражнений является то, что правильного решения может и не быть, если понимать «правильность» в математическом смысле. На вопрос, сколько восьмых частей содержится в единице, есть только один-единственный верный ответ. Но бывают вопросы, на которые существует множество ответов, и их нельзя однозначно отнести к категории «правильных» или «неправильных».
Искусство творческого мышления вырабатывается именно на таких вопросах, где поиск решения важнее самого решения. Каждому хорошему шахматисту известно, что порой выигранная, но неинтересная партия доставляет меньше удовольствия, чем проигранная, но полная напряжения и нестандартных ситуаций. Путь к цели доставляет больше творческих радостей, чем результат. Большинство приведенных в этой книге задач имеет только одно решение, и читатели с интересом его ищут. В то же время задача с неопределенным ответом поначалу ставит нас в тупик, хотя в жизни мы на каждом шагу сталкиваемся с проблемами, имеющими несколько решений. Например, после работы шеф решил устроить совещание и предлагает вам выступить, хотя вы к этому не готовы. К тому же вы обещали как раз в это время забрать детей с тренировки домой. Такие расплывчатые проблемы возникают чуть ли не каждый день, и большинство из них мы решаем очень быстро и без особого анализа ситуации. Дело в том, что и условие подобных задач зачастую сформулировано очень нечетко, в виде каких-то не связанных между собой заданий и требований, и мы пытаемся найти приемлемое решение в зависимости от своего характера и ситуации. Мы можем справиться с проблемой лучше или хуже, но единственного и самого правильного решения не бывает. Такова жизнь.
Насколько нечетко поставленная задача может активизировать нашу способность к творческому мышлению, хорошо демонстрирует пример с черным цилиндром. Английский психолог и консультант по вопросам менеджмента Эдвард де Боно придумал эту задачу более тридцати лет назад и получил с тех пор несколько тысяч ответов, но ни одного правильного. Дело в том, что здесь и нет правильных ответов. Они могут быть только лучше или хуже.
Этот эксперимент де Боно проводил более чем с тысячей людей. На белом столе стоит высокий черный цилиндр (имеется в виду не шляпа, а геометрическое тело). Примерно через 20 минут он внезапно падает. К цилиндру за это время никто не приближался, перед падением не было никаких звуков, в цилиндр не кидали никаких предметов и не толкали стол. Землетрясения тоже не было. К цилиндру не прикреплены никакие нити. Вы должны подумать и дать ответ, почему он упал. Для этого у вас есть 10 минут.
Рис. 17. Черный цилиндр
Попробуйте решить эту задачу прямо сейчас. Отложите книгу в сторону и подумайте. Можете взять лист бумаги и карандаш, потому что вам может понадобиться нарисовать схему. Посвятите этому заданию 10 минут, а потом продолжайте читать дальше.
Вы плодотворно провели это время? Пришли к какому-нибудь удовлетворительному решению? Каким бы оно ни было, вам пришлось сражаться с теми же трудностями, что и другим читателям. У вас было слишком мало информации. Какова величина цилиндра? Из какого материала он сделан? Какова температура в комнате? Вам некого об этом спросить, а значит, данные, с которыми приходится работать, создаются у вас в голове. Вы мысленно воссоздаете и стол, и сам цилиндр, и механизм, который заставляет его опрокинуться. Вот это и есть творческое мышление.
Эдвард де Боно уже много десятилетий назад предостерегал, что не стоит отводить слишком значимое место логическому мышлению, как это традиционно принято на Западе. По его мнению, в том, что совершенство логических построений вызывает у человека ложное чувство превосходства и собственной правоты, кроется большая опасность. Логическое обоснование признается единственно правильным, поэтому люди на Западе с недоверием относятся к новым и поражающим воображение решениям. Они подавляют в себе легкость и свободу мышления, хотя известно, что самые крупные открытия являются результатом проявления интуиции, спонтанности, а также хаоса и сомнений в аксиомах. Здесь требуется сочетание игры мыслей и логического контроля над ними.
Для того чтобы прийти к удовлетворительному решению расплывчатой задачи (имеется в виду не нечеткость поставленного вопроса, а недостаток имеющейся в распоряжении информации), необходимо прибегнуть к приемам, которые практически не используются в решении технических проблем, – латеральному мышлению, фантазии и юмору. Эта мысленная акробатика должна восприниматься как тренировка. Вы должны мыслить свободно и необычно. Допускайте любую, даже самую абсурдную возможность, а затем контролируйте полученные выводы с помощью строгой и беспощадной логики. Не довольствуйтесь единственным решением. Всегда ищите второе или альтернативное. Обсуждайте их с друзьями и коллегами.
Кто бреет цирюльника, если он не бреется сам?
Этот парадокс был сформулирован математиком Бертраном Расселом: «Севильский цирюльник бреет всех мужчин в Севилье, за исключением тех, кто бреется сам. Но если так, то бреет ли себя севильский цирюльник?» Мы исходим из того, что он не отпускает бороду, так как предлагаемая задача не относится к категории шуточных.
Из условия следует, что если он не бреет себя сам, то бреется сам (такого, естественно, быть не может). Если он бреется сам, то, значит, не может себя брить (это тоже невозможно). Одно сплошное противоречие. Таким образом, следует признать невозможным само условие задачи. На первый взгляд оно сформулировано разумно и логично, но при ближайшем рассмотрении оказывается парадоксом.
Проблема данного парадокса заключается в том, что он начинается с ложной посылки. Само допущение, что такой цирюльник может существовать, уже ложно. Это все равно что утверждать: «Цирюльник одновременно жив и мертв». В математике это называется доказательством от обратного. Мы делаем некое предположение и приходим к выводу о его противоречивости. Это доказывает ложность предположения, что существование такого цирюльника возможно.
Отсюда вытекает первое правило решения логических задач: «Для начала проанализируй постановку вопроса!»
● Достаточно ли подробно он сформулирован?
● Содержит ли он полную информацию?
● Нет ли в нем скрытых противоречий?
● Выполнимы ли в принципе условия, изложенные в вопросе?
В повседневной жизни это означает, что прежде, чем приступить к решению проблемы, необходимо тщательно проверить условие. Это позволяет избежать ненужной работы, а также оградить себя от всяких бездельников и шарлатанов, которые крадут у вас драгоценное время или пытаются всучить что-то бесполезное.
Веселые парадоксы
Парадоксы могут заставить смеяться, и лучше всего это доказывают ученые, не относящиеся к числу обладающих развитым чувством юмора, – статистики. Так называемый феномен Уилла Роджерса является следствием формирования усредненных данных по тем или иным группам: при перемещении элементов из одной группы в другую средние значения могут повышаться в обеих группах, даже если индивидуальные показатели при этом ухудшаются (или наоборот). Если вам все еще не смешно, значит, вы пока не осознали всех последствий этого приема, который статистики называют «злонамеренным манипулированием данными». Человек, чьим именем назван этот феномен, был не статистиком, а комиком. Ему принадлежит фраза «При переселении жителей Оклахомы в Калифорнию повышается средний уровень интеллекта в обоих штатах».
Парадоксальные вопросы: с какого момента кучу можно называть кучей?
На вопрос «Когда мужчина становится мужчиной?» ответить ничуть не легче, чем на вопрос, начиная с какого объема куча может именоваться кучей. Хотя сам по себе вопрос кажется простым, при ближайшем рассмотрении этот парадокс кучи, приписываемый Зенону Элейскому, заставляет задуматься.
«Пятьдесят зерен пшеницы составляют кучку. Если убрать одно зерно, остается 49, которые по-прежнему являются кучкой. Продолжая убирать зерно за зерном, мы доходим до двух зерен, которые также составляют кучку». Такое положение можно по праву считать парадоксальным. Образует ли одно зерно кучку? Если нет, значит, граница между кучкой и некучкой проходит между одним зерном и двумя. Но любители логики строят на этом допущении элегантный вывод, который, в частности, утверждает, что куча существовать вообще не может.
Они доказывают это с помощью так называемой полной индукции, соединяя между собой две аксиомы:
● Одно зерно – не кучка.
● Добавляя второе зерно, которое также кучкой не является, невозможно создать кучку.
Отсюда следует, что существование кучи вообще невозможно, сколько бы зерен ни добавлялось. Но парадокс в том, что мы прекрасно знаем: кучи существуют.
Конечно, такие мнимые парадоксы легко разрешаются, потому что в их основе лежит смешение математических и общеупотребительных формулировок. Если бы математику нужно было иметь дело с понятием «куча», он предварительно дал бы ей определение, например: «Кучей является количество однородных предметов х, равное или превышающее 44х». Таким образом, перед ним даже не стоял бы вопрос, являются ли 43 зерна кучей. С математической точки зрения, безусловно, нет. Но если подходить к вопросу с позиций общеупотребительного значения слова «куча», то 30 тысяч зерен, аккуратно разложенных в один слой, для нас кучей не являются, а для математика – вполне.
Но самое забавное начинается, когда мы пытаемся развить эту мысль. Когда лес становится лесом? Когда овечье стадо становится стадом? Когда дом становится домом? Хотя дом представляет собой некоторое количество уложенных соответствующим образом кирпичей, два кирпича – это еще не дом. И три тоже нет. Тогда попробуем подойти с другой стороны. Когда дом перестает быть домом? Ведь на пути от дома к одному кирпичу есть определенные стадии: подведенная под крышу коробка, стена и т. д.
Размышления о том, что целое больше, чем сумма составляющих его частей, вновь возвращают нас к мозгу. Ведь мозг не перестает быть мозгом, если удалить из него несколько нейронов. Он не является суммой составляющих его элементов, а представляет собой сложное образование, в котором организация играет более важную роль, чем количество и свойства компонентов.
Из этих парадоксов можно извлечь важные уроки для повседневной профессиональной и личной жизни. Например, неразрешимые проблемы часто возникают из-за того, что люди говорят на разных языках. Нет, речь идет не об иностранных языках, а о разных социальных коммуникационных системах. Если муж улаживает разногласия со своей женой в том же духе, в котором решает проблемы у себя в офисе, может возникнуть парадокс. «Ты постоянно всюду опаздываешь. Научись, наконец, распоряжаться своим временем, иначе в наших отношениях может наступить разлад». И дело здесь не в том, что претензия изложена канцелярским языком, а в том, что муж рассматривает семью как некую фирму, которая должна работать по установленным правилам.
Парадоксальное и латеральное мышление
Дилеммы и парадоксы – отличная пища для мозга. Неразрешимые на первый взгляд проблемы и нелогичные взаимосвязи (которые мы тем не менее воспринимаем как реальность) стимулируют свободное латеральное мышление. Понятие латерального (или бокового) мышления было введено в обиход уже известным нам Эдвардом де Боно в 1967 году. В научной среде такой тип мышления предпочитают называть дивергентным или нелинейным. Кроме того, де Боно принадлежит также понятие «параллельное мышление», которое отражает способность систематически использовать различные подходы и точки зрения при рассмотрении любой темы.
В отличие от вертикального мышления, которое предполагает последовательное обдумывание вопроса шаг за шагом на основании привычных моделей, латеральному мышлению присущи следующие признаки:
● вся поступающая информация оценивается субъективно и используется избирательно;
● детали воспринимаются не аналитически, а интуитивно;
● ассоциации и отвлечение на смежные темы не только допускаются, но и приветствуются;
● не каждый промежуточный результат является правильным;
● решения могут быть размытыми, то есть не носящими категоричного характера (или – или, да – нет);
● даже решения, которые невозможно реализовать, считаются шагом к лучшему пониманию проблемы;
● традиционные модели решения подвергаются сомнению и предпочтение отдается необычным подходам;
● исходная ситуация и рамочные условия не считаются чем-то раз и навсегда определенным.
Тому, кому присуще латеральное мышление, решить приведенную ниже задачу будет легче, чем приверженцу строгой логики. Сколько матчей надо провести, чтобы определить победителя в турнире на выбывание, в котором участвуют 128 игроков? Логик рассуждает так: в первом круге проводится 64 игры, во втором – 32 игры, в третьем – 16, в четвертом – 8, в пятом – 4, затем еще 2 игры и финал. В сумме получается 127 игр.
Латеральное мышление предполагает совершенно иной подход без лишних подсчетов. Если в турнире участвует 128 человек, а побеждает только один, значит, должно быть 127 проигравших. Каждый из них проигрывает только один раз. Следовательно, столько же должно быть и матчей.
Оба метода приводят к одному и тому же результату, но разными путями. Латеральное мышление позволяет прийти к цели значительно быстрее и изящнее.
Любимые задачи на латеральное мышление
● Две обезьяны смотрят в трубу, лежащую на земле. Труба прямая, не очень длинная и ничем не забитая. Тем не менее обезьяны не видят друг друга. Почему?
● У господина Майера, живущего в многоквартирном доме, вечером вдруг выключается свет. Он спускается в подвал, чтобы осмотреть предохранитель, но подвальная дверь внезапно защелкивается. Открыть ее изнутри невозможно. Дверь слишком толстая, поэтому стучать и кричать бесполезно. Тем не менее ему удается позвать на помощь. Каким образом?
● Посетитель ресторана обнаруживает в своей чашке кофе муху и зовет официанта. Тот забирает чашку и через некоторое время приносит новую. Но клиент недоволен и обвиняет официанта в том, что тот просто выбросил муху вместо того, чтобы налить свежий кофе. Как он это определил?
● Два шахматиста сыграли пять партий. Количество выигрышей и проигрышей у обоих оказалось одинаковым, хотя ни в одной из партий не была зафиксирована ничья. Как такое возможно?
● Два человека побывали на экскурсии в угольной шахте. Когда они оттуда вышли, у одного было чистое лицо, а у другого – грязное. Человек с чистым лицом сразу пошел умываться, а с грязным – нет. Почему?
● Пятерых человек по пути застал дождь. Четверо ускорили шаг, а пятый не обратил на дождь никакого внимания. Тем не менее все прибыли к месту назначения одновременно, причем четверо промокли, а пятый остался сухим. Каким образом?
Кроме задач на латеральное мышление, которые можно решить, только отвлекшись от привычной логической модели мышления, существуют еще латеральные загадки (или загадки-расследования), в которых даются лишь фрагменты информации, складывающиеся, казалось бы, в абсурдную ситуацию. Разгадывающему предстоит обнаружить в ней смысл. Ведущий, которому известна суть истории, рассказывает загадку, а игроки задают уточняющие вопросы, на которые можно ответить только «да» или «нет». Чтобы вы могли получить представление о том, как выглядят такие загадки, мы приводим здесь несколько наиболее известных. С их помощью вы можете развлечь членов семьи или друзей на вечеринке.
Итак, у вас имеется следующая информация: мертвые Ромео и Джульетта лежат на полу у открытого окна. На мокром полу повсюду разбросаны осколки стекла. Что произошло?
Ответ таков: Ромео и Джульетта – это имена аквариумных рыбок. Из-за сквозняка распахнулось окно, столкнувшее аквариум на пол. Аквариум разбился, и рыбки задохнулись.
А теперь испытайте свои силы на следующих загадках:
● На снегу лежит труп голого человека. В руке у него зажата спичка. Поблизости не видно никаких следов. Что произошло?
● Мертвый человек сидит в помещении на стуле перед шахматной доской, на которой расставлена проигранная им партия. В руке у него пистолет. Что произошло?
● Грабитель оказался в здании. Хотя оно хорошо охраняется, ему удалось попасть туда без всяких проблем. Он находился в этом здании долгое время, а затем вышел, вновь не вызвав никакой тревоги. Но если бы он попытался выйти раньше, то был бы схвачен. Где он находился?
● Слон стоит на поле. В этот момент к нему подходит конь, после чего слон бесследно исчезает. Как такое может быть?
● Мужчина смотрит в окно и видит красивую женщину, проходящую возле его дома. Вскоре после этого он умирает. Если бы он не увидел эту женщину, то был бы жив. Из окна он не выпадал. Что произошло?
● Более двадцати музыкантов симфонического оркестра играют для публики, но их никто не слушает. Почему?
● Фриц купил себе диск с записью нового фильма. Придя домой, он решил сразу же посмотреть диск вместе с Францем. Но Франц уже через несколько секунд сказал, что конец фильма им посмотреть не удастся, так как запись повреждена. Каким образом Франц выяснил это так быстро?
● Господин Майер ехал на автомобиле по дороге с односторонним движением и внезапно столкнулся со встречной машиной. Во время аварии он получил лишь легкие повреждения. Водитель, нарушивший правила движения, оказался зажат в своей машине, и его удалось высвободить только через несколько часов. Тем не менее он выжил. Хотя в столкновении участвовало только два автомобиля и ни в одном из них не было пассажиров, один человек во время аварии все же погиб. Кто он?
Логическое мышление
В философии логику называют этикой мышления. Строго говоря, это наука о законах и формах мышления. Основные принципы формальной логики были разработаны еще в античные времена. Они, подобно пирамиде, основываются на изначально неопровержимых и многократно проверенных истинах. С их помощью можно решать как сложнейшие математические формулы, так и задачи судоку. Софисты привнесли в логику такие понятия, как аргумент и умозаключение. Сократ открыл индуктивные умозаключения, а Платон – диалектику. Учение об умозаключениях и принципе непротиворечивости доказательств является главным критерием истины как в гуманитарных, так и в естественных науках. Даже если вы пришли к решению каким-то другим путем, оно должно выдержать проверку логикой.
То, что мы думаем, чаще всего оказывается неправильным. Правильно лишь то, что мы знаем.
Логика – прочная опора мысли
Логика – чудесная вещь. Она способна объяснить все в мире и сделать жизнь легче. Логика служит инструментом, с помощью которого можно разгадывать традиционные задачи и головоломки. Она нужна нам каждый день. Порой логика может даже выручить нас. Вот вам пример: двое изможденных и голодных путешественников подходят к реке, через которую им надо переправиться. Река глубока, а мост через нее разрушен. Что же делать? И тут один из них замечает на берегу двух мальчиков в лодке. Правда, лодка настолько мала, что может выдержать только двух мальчиков или одного взрослого. И все же им удается переправиться на другой берег. Каким образом?
Без логики многие экспедиции потерпели бы провал. После того как люди узнали, что Земля имеет форму шара, можно было со спокойной совестью плыть на запад, если вам нужно было попасть на восток. Сегодня времена великих путешествий остались позади. Люди подвергают себя опасностям только в телевизионных шоу, где им надо, к примеру, выжить в джунглях. Но и там без логики не обойтись. Предположим, участники такого шоу на протяжении нескольких недель были предоставлены самим себе. Провизии у них было достаточно, но они не подумали об одной важной вещи. Через пять дней фитиль в их керосиновой лампе выгорел настолько, что его кончик уже не доставал до керосина. Запасов керосина, чтобы долить его в лампу, у них не было. В самой лампе керосина было еще достаточно, но без фитиля от него было мало проку. Что сделали участники, чтобы лампа могла гореть?
Ввиду того что природа строго подчиняется законам логики, естественные науки как нельзя лучше годятся для тренировки мозга. Попробуйте решить следующую задачу: если подняться на высокую гору, вес тела уменьшается, так как сила тяготения по мере удаления от центра Земли убывает. А что произойдет, если вы спуститесь в очень глубокую шахту? Как изменится вес вашего тела?
Логика для лжецов: принцип лжи и правды
В логических задачах все точно так же, как в реальной жизни. Здесь присутствуют ложь и правда, и отличить одну от другой не всегда бывает легко. Но в мире загадок правила более благосклонны к людям, потому что здесь лжецы всегда говорят неправду, а правдолюбы никогда не лгут. Все логично!
Если вы способны разоблачать лжецов, жить становится легче. Представьте себе, что на заседании правления одного немецкого банка за круглым столом собрались все руководители подразделений. Одни из них всегда говорят правду, а другие всегда лгут. Каждый обвиняет своего соседа во лжи. И это действительно логично. Начальник кредитного отдела говорит, что в заседании принимает участие 47 человек. Ему возражает начальник отдела недвижимости: «Это неправда. Вы лжец. Нас здесь 50 человек». Сколько человек на самом деле сидит за столом?
На маленьком островке в южной части Тихого океана живет ровно 100 человек, часть из которых всегда говорит правду, а часть всегда лжет. На остров прибывает путешественник и начинает спрашивать каждого жителя, сколько здесь лжецов. Первый говорит: «На острове всего один лжец». Второй возражает: «На острове два лжеца». Третий уверяет: «Ровно три лжеца». Так продолжается вплоть до последнего жителя, который заявляет: «Все сто – лжецы». Сколько же на самом деле лжецов на острове?
После того как вы научились отличать людей, говорящих правду и неправду, задавая перекрестные вопросы, вам нетрудно будет решить следующую задачу. Представьте себе, что в телевизионном шоу вы дошли до финала и у вас на выбор есть три приза: фен, зарядное устройство для аккумулятора и автомобиль. Но речь идет не о простом выборе. Вы должны предсказать решение ведущего относительно того, какой приз вам будет вручен. Если это высказывание будет признано не соответствующим действительности, вы получите фен, а если правильным, то зарядное устройство или автомобиль. Что надо сказать, чтобы ведущий вручил вам автомобиль?
А как вы решите следующую непростую задачу? Менеджер говорит своему коллеге: «Я задам тебе вопрос, на который можно ответить только „да“ или „нет“. Но даже если ты будешь знать правдивый ответ, то не сможешь дать его мне. Любой другой сможет дать этот ответ за тебя, а ты нет». Что это за вопрос?
Логические умозаключения – упражнения с гантелями для лобных долей мозга
Наконец-то мы нашли область мышления, с которой компьютер справляется лучше, чем мы. Приведенные ниже задачи будут для него парой пустяков, а для вас – хорошей тренировкой мозга. Логические выводы, которые необходимо сделать на основании многих фрагментарных посылок, заставляют мозг сильно напрягаться, так как требуют хорошего воображения. Поэтому для решения таких задач целесообразно составлять наглядные схемы. Изобразив на бумаге элементы условия, соединяйте их стрелками, отмечайте разными цветами переменные факторы и взаимосвязи. В этом случае вам легче будет найти ответ, например, на следующий вопрос. После допроса подозреваемых Марка, Роберта и Джона Шерлок Холмс говорит своему другу доктору Ватсону: «Если убийца Роберт или Джон, тогда алиби Марка подтверждается. Если Марк или Джон невиновны, то убийца Роберт. Если Джон виновен, значит, в преступлении участвовал и Марк». Подумав немного, доктор Ватсон улыбается. Теперь он знает, кто убийца. А вы знаете?
● Встречаются три дамы: Желтовская, Краснова и Зеленцова. Одна из них в желтом платье, вторая – в красном, а третья – в зеленом. «Заметьте, – говорит дама в зеленом платье, – что ни у одной из нас цвет платья не соответствует фамилии». «Вы правы», – отвечает Краснова. У кого из них платье зеленого цвета?
● Один человек проводил отпуск в глухой деревушке в Южном Тироле. Он решил подстричься и узнал, что в деревне целых два парикмахера. У первого был грязный салон, испорченные зубы и ужасная прическа. У второго был аккуратный салон, белоснежные зубы и прическа по последней моде. К какому парикмахеру пошел наш отпускник?
● На полке в ряд стоят часы. Двое из них – с кукушкой. Одни часы с кукушкой занимают шестое место справа, а вторые – восьмое слева. Между обоими часами с кукушкой стоят еще трое часов. Назовите минимальное количество часов, которые могут стоять на полке.
● В подвале есть три выключателя света. Один из них включает свет на втором этаже, но вы не знаете, какой именно. Вы можете только один раз подняться на второй этаж, чтобы выяснить, горит свет или нет. Как определить нужный выключатель?
● У вас есть два бикфордовых шнура. Время горения каждого из них – один час. Шнуры разрезать нельзя. Как можно при помощи этих шнуров и без всяких других вспомогательных средств (кроме спичек, разумеется) отмерить временной промежуток в 45 минут?
● Из десяти женщин, присутствующих на вечеринке, семь пьют алкоголь, шесть курят, а четыре и пьют, и курят. Сколько женщин из десяти не пьют и не курят?
● Вы покупаете себе новый комплект шин для автомобиля (четыре основные и одну запасную). Периодически вы меняете все шины местами, чтобы они изнашивались равномерно. Сколько километров проедет каждое из пяти колес, если пробег автомобиля составит 15 тысяч километров?
● Господин Э. едет на работу на машине. Через 14 километров лопается правое переднее колесо, а запасного у него с собой нет. Он звонит в автомастерскую и просит поменять колесо, а затем отогнать машину к нему на работу. Остаток пути до офиса он проходит пешком, потому что ему надо успеть на важное совещание. После обеда ему привозят машину, и вечером он возвращается на ней домой. Вернувшись, он решает подсчитать, на сколько километров дистанция, преодоленная сегодня на автомобиле, превышает дистанцию, пройденную пешком.
● Фабрика выпускает за один час 6 тысяч колесных дисков. Каждый из восьми станков типа А производит за час 500 дисков. Станки типа Б несколько старше и могут выпускать за час только 400 дисков такого же качества. Сколько на фабрике станков старого типа?
● В школе нас учили, что тело человека на 60 процентов состоит из воды. Кроме того, мы знаем, что 1 литр воды весит 1 килограмм. А теперь представьте себе, что в вашем теле 55 литров воды. Сколько вы весите?
● На Южном полюсе базируются самолеты дальней авиации. Перед одним из самолетов ставится задача облететь весь земной шар по меридиану, то есть преодолеть Северный полюс и прилететь снова на базу. Топливный бак каждого самолета вмещает 5 тысяч литров, и этого хватает только на половину пути, однако самолеты могут заправлять друг друга в полете. Какое минимальное количество самолетов требуется, чтобы один из них мог совершить беспосадочный кругосветный перелет?
● Четыре человека должны перейти в темноте реку по мосту. Мост может одновременно выдержать двоих. У путешественников с собой только один фонарик, поэтому кому-то надо каждый раз возвращаться, чтобы передать фонарик оставшимся. Один из них может преодолеть мост за 5 минут, второй – за 10, третий – за 20, а четвертый – за 25. На то, чтобы все вчетвером оказались на другом берегу, им отводится 1 час. Смогут ли они уложиться в это время?
● В трех коробках лежат кексы – шоколадные и ванильные. Мать считает, что дочке не следует слишком увлекаться сладостями, поэтому старается максимально усложнить ей задачу. Она говорит: – В одной коробке лежат только шоколадные кексы, в другой – только ванильные, а в третьей – и те и другие. Коробки снабжены надписями: «Шоколадные», «Ванильные», «Шоколадные и ванильные», но они все перепутаны, и ни на одной коробке надпись не соответствует содержимому. Ты можешь каждый день брать только один кекс из одной коробки, но внутрь заглядывать нельзя. В тот день, когда ты точно скажешь мне, какие кексы лежат в какой коробке, можешь забрать их все. – Это совсем не трудно, – отвечает дочь. – Я возьму только один кекс из одной коробки, и сразу же скажу тебе, где что лежит.
Числа и даты – символы логики
Если предыдущие задания показались вам лишь легкой разминкой, то теперь начинается настоящая тренировка для мозга. Вы заметите, что большинство задач имеет сходство с ситуациями, с которыми вам приходится сталкиваться в повседневной жизни. В некоторых случаях вам придется производить расчеты, чтобы прийти к правильному ответу, но будьте внимательны и не позволяйте себе запутаться в числах и датах!
● На лугу растут 22 цветка: красные, голубые и желтые. Проходящий мальчик хочет сорвать три цветка и замечает, что в любом случае по крайней мере один из них окажется красным. Сколько красных, голубых и желтых цветов растет на лугу?
● Если двум братьям в общей сложности одиннадцать лет и один из них на десять лет старше другого, назовите возраст каждого из них.
● Уильям Шекспир умер 23 апреля 1616 года в Стратфорде-на-Эйвоне, а Мигель Сервантес Сааведра – тоже 23 апреля 1616 года в Мадриде (если не верите, загляните в энциклопедию). Мог ли в принципе один из них узнать о смерти другого?
● Какой месяц в Центральной Европе длиннее других?
● Встречаются два банкира, и один говорит другому: «У нас с тобой одинаковый уставный капитал. Сколько я должен тебе дать, чтобы у тебя было на 10 миллионов больше, чем у меня?»
● Плакат стоит на 50 евроцентов больше, чем рамка к нему, а вместе они стоят 2 евро. Сколько стоят плакат и рамка по отдельности?
● По инструкции производителя, концентрат фруктового сока следует разбавлять водой в соотношении 1:6. Сколько сока можно получить из бутылки концентрата емкостью 0,75 литра при соблюдении этого соотношения?
● Бутылка и пробка стоят вместе 1,1 евро. Бутылка стоит на 1 евро дороже пробки. Сколько стоит пробка?
● Решите уравнение: два раза по столько + половина + четверть + 1 = 100.
● Колода, обычно состоящая из 52 карт, оказалась неполной. Если раздать ее на девятерых человек, остается две карты. Если раздать на четверых, остается три карты, а если на семерых – пять карт. Сколько карт в колоде?
● В ящике комода лежат в разрозненном виде носки: 24 пары белых и 6 пар черных. Свет выключен, и вам надо достать из ящика одну пару черных носков. Какое наименьшее количество носков надо взять из ящика, чтобы быть полностью уверенным в том, что у вас в руках хотя бы одна пара черных носков?
● На горном курорте сломалась канатная дорога. Мужчина, женщина и ребенок остались наверху отрезанными от остального мира. Запасов провизии не так уж много. Мужчине их хватило бы на 9 дней, женщине – на 12 дней, а ребенку – на 18. На сколько дней хватит еды для этих трех человек?
● Вы собрали 100 граммов грибов, содержание воды в которых составляет 95 процентов, и решили подсушить их до 80-процентного содержания воды. Сколько будут весить грибы после сушки?
● Пять обычных игральных кубиков поставлены в произвольном порядке один на другой. Количество очков на верхней грани верхнего кубика составляет 2. Какой будет сумма очков на всех видимых гранях кубиков?
● Позавчера ему было 17 лет, а в этом году исполнится 19.
● В квадратном помещении надо расставить вдоль стен десять стульев, чтобы их количество у каждой стены было одинаковым.
От частного к общему: поиск и разрушение закономерностей
Хорошенько прогрев логический аппарат, вы можете использовать свои сфокусированные и ясные мысли в практических целях. Умение делать общие выводы на основании отдельных событий и за счет этого предугадывать мысли окружающих считается венцом работы тренированного мозга. Вы уже знаете, что для решения проблем можно использовать как линейное, так и латеральное мышление. Вы умеете мыслить логически и находить в вопросах маленькие хитрости и скрытые парадоксы.
Но надо уметь не только находить закономерности и правила, но и нарушать их, ставить под сомнение. Приведенные ниже задачи объединяют в себе как логику, так и маленькие хитрости. Для их решения применяются общие принципы: наглядно представьте себе проблему, если надо, нарисуйте схему, наметьте возможные пути решения и рассмотрите их со всех сторон.
Индейцы взяли в плен трех ковбоев и привязали их к столбам пыток. Вождь племени сказал им: «Вообще-то следовало бы снять с вас скальпы, но я хочу дать вам шанс. Говорят, что бледнолицые очень хитры. Докажите мне это. У меня есть пять орлиных перьев: три черных и два белых. Каждому из вас я воткну перо в шляпу сзади, чтобы вы не могли их видеть. Подсказывать друг другу нельзя. Если хоть один из вас угадает, какого цвета у него перо, я отпущу всех троих». Столбы стоят в ряд, и ковбои привязаны к ним так, что могут смотреть друг другу только в спину. Таким образом, задний ковбой видит двух своих передних товарищей, средний – только одного, а передний – никого.
Ковбои довольно долго молчат, но затем один из них дает правильный ответ. Их отпускают целыми и невредимыми. Кому из трех ковбоев удалось решить задачу и какого цвета перо было в его шляпе?
Директор одной фирмы известен тем, что использует при увольнении сотрудников чрезвычайно изощренный метод. Если сотрудник что-то напортачил, директор вызывает его к себе в кабинет и ставит на стол деревянную шкатулку. «В этой шкатулке лежат два шарика – черный и белый, – говорит он. – Вы должны с закрытыми глазами достать один из них. Если будет белый, я вас прощу, а если черный, то немедленно уволю. По-моему, это справедливо. Шансы составляют 50:50». В один прекрасный день он вызывает к себе на ковер для этой процедуры господина Зайденмана. Секретарша директора (у которой с Зайденманом роман) открывает ему тайну. Оказывается, в шкатулке лежат два черных шарика, поэтому вытащить белый до сих пор никому не удавалось. Можно, конечно, достать из шкатулки два черных шарика и уличить директора в обмане, но это вряд ли поможет. Директор, поняв, что его хитрость раскрыта, все равно уволит Зайденмана. И все же у него рождается идея, которая позволяет сохранить работу. Какая?
На лекциях новой преподавательницы математики постоянный ажиотаж. Туда сбегаются студенты не только математического факультета, но и остальных тоже. Дело не в том, что все вдруг полюбили математику, а в том, что преподавательница стала победительницей конкурса красоты «Мисс Европа». Чтобы перекрыть доступ на свои лекции посторонним студентам, она решила спрашивать при входе в аудиторию пароль, который знают только математики. В первый же день происходит следующее: к двери подходит первый студент. Преподавательница называет ему число: «Двадцать шесть». Подумав некоторое время, студент отвечает: «Тринадцать», – и проходит в аудиторию. Подходит второй студент. Преподавательница говорит: «Двадцать два». «Одиннадцать», – отвечает студент и тоже входит в аудиторию. Наблюдающий за происходящим студент факультета экономики решает, что уже понял закономерность, и подходит к двери. Преподавательница спрашивает:
– Вы математик?
– Естественно.
– Тогда вы должны знать пароль. Двадцать.
– Десять, – отвечает экономист, собираясь пройти мимо нее.
– Стоп! Мне очень жаль, но вам сюда нельзя. Вы не с этого факультета.
Как она это поняла?
Логика и юмор не исключают друг друга
Юмор ничуть не вредит ясности ума. Напротив. Люди, обладающие чувством юмора, мыслят более легко, потому что умеют находить странные, необычные, даже абсурдные взаимосвязи и решения. Пришло и нам время обратиться к так называемым шуточным задачам. В них скрыты различные подвохи, которые специально предназначены для того, чтобы сбить вас с толку. Поэтому к решению надо всегда подходить с юмором, находить новые грани проблемы и предпринимать необычные шаги. Остроумные анекдоты легче запоминаются. Постарайтесь и вы запомнить самые удачные из предлагаемых шуточных задач. Они помогут вам мыслить по-новому.
Юмор может оказаться самой выигрышной стратегией, особенно там, где требуется латеральное мышление, как, например, в случае с задачей де Боно о черном цилиндре. В каждой хорошей шутке, как и в каждом шутливом вопросе, кроется глубокий смысл. Творческое мышление лучше всего проявляет себя в свободной и радостной атмосфере, а результаты, достигнутые «просто ради шутки», при ближайшем рассмотрении оказываются настоящими открытиями. Вы не должны отметать с порога даже самые глупые и невероятные предположения и решения, как это делается, к примеру, при мозговом штурме. В конце нашей тренировки предлагаем вам несколько веселых упражнений.
● В тюрьме строгого режима заключенного ведут мыться. Для этого предусмотрена специальная камера. Ее размеры составляют 1,8 метра в длину, 1,8 метра в ширину и 2,6 метра в высоту. В ней прочно забетонирована в пол ванна емкостью 250 литров. В помещении нет окон и только одна толстая стальная дверь. Она полностью водонепроницаема. В середине потолка имеется вентиляционное отверстие диаметром 12 сантиметров, закрытое решеткой. Надзиратель говорит заключенному, что вернется за ним ровно через три часа, запирает его и уходит. Заключенный начинает наполнять ванну, но кран ломается, и из него хлещет вода, перекрыть которую нет никакой возможности. Она прибывает со скоростью 60 литров в минуту. Что нужно сделать заключенному, чтобы не утонуть?
● Два отца и два сына пришли в бар и заказали три коктейля. При этом каждому досталось по коктейлю. Как такое возможно?
● Между двумя столбами висит веревка длиной 10 метров. В середине она провисает на 5 метров вниз. На каком расстоянии друг от друга установлены столбы?
● В такси садится телеведущая, известная как большая зануда и болтушка. Водитель не настроен на разговор с ней и решает прикинуться глухонемым. Он показывает ей жестами, что ничего не слышит и не может говорить. Женщина молчит всю дорогу. Когда они подъезжают к нужному месту, водитель указывает ей на счетчик. Она расплачивается и выходит из машины, и только тут до нее доходит, что водитель вовсе не глухонемой. Как она это поняла?
● Ежедневно из Вены отправляется самолет в Нью-Йорк, а из Нью-Йорка – в Вену. В обоих городах самолеты стартуют в 12 часов дня по местному времени. Где-то над Атлантическим океаном они встречаются. Какой из них находится в этот момент ближе к Нью-Йорку?
● Вы стоите в абсолютно темной комнате и знаете, что в ней находится семь предметов: полено для камина, лист бумаги, коробок спичек, керосиновая лампа, свеча, канистра с бензином и динамитная шашка. Что вы подожжете первым делом? Чтобы предупредить ненужные вопросы, сразу скажем, что у вас есть инфракрасные очки, и вы можете все разглядеть в темноте.
В философии логику называют этикой мышления. Строго говоря, это наука о законах и формах мышления. Основные принципы формальной логики были разработаны еще в античные времена. Они, подобно пирамиде, основываются на изначально неопровержимых и многократно проверенных истинах. С их помощью можно решать как сложнейшие математические формулы, так и задачи судоку. Софисты привнесли в логику такие понятия, как аргумент и умозаключение. Сократ открыл индуктивные умозаключения, а Платон – диалектику. Учение об умозаключениях и принципе непротиворечивости доказательств является главным критерием истины как в гуманитарных, так и в естественных науках. Даже если вы пришли к решению каким-то другим путем, оно должно выдержать проверку логикой.
То, что мы думаем, чаще всего оказывается неправильным. Правильно лишь то, что мы знаем.
Логика – прочная опора мысли
Логика – чудесная вещь. Она способна объяснить все в мире и сделать жизнь легче. Логика служит инструментом, с помощью которого можно разгадывать традиционные задачи и головоломки. Она нужна нам каждый день. Порой логика может даже выручить нас. Вот вам пример: двое изможденных и голодных путешественников подходят к реке, через которую им надо переправиться. Река глубока, а мост через нее разрушен. Что же делать? И тут один из них замечает на берегу двух мальчиков в лодке. Правда, лодка настолько мала, что может выдержать только двух мальчиков или одного взрослого. И все же им удается переправиться на другой берег. Каким образом?
Без логики многие экспедиции потерпели бы провал. После того как люди узнали, что Земля имеет форму шара, можно было со спокойной совестью плыть на запад, если вам нужно было попасть на восток. Сегодня времена великих путешествий остались позади. Люди подвергают себя опасностям только в телевизионных шоу, где им надо, к примеру, выжить в джунглях. Но и там без логики не обойтись. Предположим, участники такого шоу на протяжении нескольких недель были предоставлены самим себе. Провизии у них было достаточно, но они не подумали об одной важной вещи. Через пять дней фитиль в их керосиновой лампе выгорел настолько, что его кончик уже не доставал до керосина. Запасов керосина, чтобы долить его в лампу, у них не было. В самой лампе керосина было еще достаточно, но без фитиля от него было мало проку. Что сделали участники, чтобы лампа могла гореть?
Ввиду того что природа строго подчиняется законам логики, естественные науки как нельзя лучше годятся для тренировки мозга. Попробуйте решить следующую задачу: если подняться на высокую гору, вес тела уменьшается, так как сила тяготения по мере удаления от центра Земли убывает. А что произойдет, если вы спуститесь в очень глубокую шахту? Как изменится вес вашего тела?
Логика для лжецов: принцип лжи и правды
В логических задачах все точно так же, как в реальной жизни. Здесь присутствуют ложь и правда, и отличить одну от другой не всегда бывает легко. Но в мире загадок правила более благосклонны к людям, потому что здесь лжецы всегда говорят неправду, а правдолюбы никогда не лгут. Все логично!
Если вы способны разоблачать лжецов, жить становится легче. Представьте себе, что на заседании правления одного немецкого банка за круглым столом собрались все руководители подразделений. Одни из них всегда говорят правду, а другие всегда лгут. Каждый обвиняет своего соседа во лжи. И это действительно логично. Начальник кредитного отдела говорит, что в заседании принимает участие 47 человек. Ему возражает начальник отдела недвижимости: «Это неправда. Вы лжец. Нас здесь 50 человек». Сколько человек на самом деле сидит за столом?
На маленьком островке в южной части Тихого океана живет ровно 100 человек, часть из которых всегда говорит правду, а часть всегда лжет. На остров прибывает путешественник и начинает спрашивать каждого жителя, сколько здесь лжецов. Первый говорит: «На острове всего один лжец». Второй возражает: «На острове два лжеца». Третий уверяет: «Ровно три лжеца». Так продолжается вплоть до последнего жителя, который заявляет: «Все сто – лжецы». Сколько же на самом деле лжецов на острове?
После того как вы научились отличать людей, говорящих правду и неправду, задавая перекрестные вопросы, вам нетрудно будет решить следующую задачу. Представьте себе, что в телевизионном шоу вы дошли до финала и у вас на выбор есть три приза: фен, зарядное устройство для аккумулятора и автомобиль. Но речь идет не о простом выборе. Вы должны предсказать решение ведущего относительно того, какой приз вам будет вручен. Если это высказывание будет признано не соответствующим действительности, вы получите фен, а если правильным, то зарядное устройство или автомобиль. Что надо сказать, чтобы ведущий вручил вам автомобиль?
А как вы решите следующую непростую задачу? Менеджер говорит своему коллеге: «Я задам тебе вопрос, на который можно ответить только „да“ или „нет“. Но даже если ты будешь знать правдивый ответ, то не сможешь дать его мне. Любой другой сможет дать этот ответ за тебя, а ты нет». Что это за вопрос?
Логические умозаключения – упражнения с гантелями для лобных долей мозга
Наконец-то мы нашли область мышления, с которой компьютер справляется лучше, чем мы. Приведенные ниже задачи будут для него парой пустяков, а для вас – хорошей тренировкой мозга. Логические выводы, которые необходимо сделать на основании многих фрагментарных посылок, заставляют мозг сильно напрягаться, так как требуют хорошего воображения. Поэтому для решения таких задач целесообразно составлять наглядные схемы. Изобразив на бумаге элементы условия, соединяйте их стрелками, отмечайте разными цветами переменные факторы и взаимосвязи. В этом случае вам легче будет найти ответ, например, на следующий вопрос. После допроса подозреваемых Марка, Роберта и Джона Шерлок Холмс говорит своему другу доктору Ватсону: «Если убийца Роберт или Джон, тогда алиби Марка подтверждается. Если Марк или Джон невиновны, то убийца Роберт. Если Джон виновен, значит, в преступлении участвовал и Марк». Подумав немного, доктор Ватсон улыбается. Теперь он знает, кто убийца. А вы знаете?
● Встречаются три дамы: Желтовская, Краснова и Зеленцова. Одна из них в желтом платье, вторая – в красном, а третья – в зеленом. «Заметьте, – говорит дама в зеленом платье, – что ни у одной из нас цвет платья не соответствует фамилии». «Вы правы», – отвечает Краснова. У кого из них платье зеленого цвета?
● Один человек проводил отпуск в глухой деревушке в Южном Тироле. Он решил подстричься и узнал, что в деревне целых два парикмахера. У первого был грязный салон, испорченные зубы и ужасная прическа. У второго был аккуратный салон, белоснежные зубы и прическа по последней моде. К какому парикмахеру пошел наш отпускник?
● На полке в ряд стоят часы. Двое из них – с кукушкой. Одни часы с кукушкой занимают шестое место справа, а вторые – восьмое слева. Между обоими часами с кукушкой стоят еще трое часов. Назовите минимальное количество часов, которые могут стоять на полке.
● В подвале есть три выключателя света. Один из них включает свет на втором этаже, но вы не знаете, какой именно. Вы можете только один раз подняться на второй этаж, чтобы выяснить, горит свет или нет. Как определить нужный выключатель?
● У вас есть два бикфордовых шнура. Время горения каждого из них – один час. Шнуры разрезать нельзя. Как можно при помощи этих шнуров и без всяких других вспомогательных средств (кроме спичек, разумеется) отмерить временной промежуток в 45 минут?
● Из десяти женщин, присутствующих на вечеринке, семь пьют алкоголь, шесть курят, а четыре и пьют, и курят. Сколько женщин из десяти не пьют и не курят?
● Вы покупаете себе новый комплект шин для автомобиля (четыре основные и одну запасную). Периодически вы меняете все шины местами, чтобы они изнашивались равномерно. Сколько километров проедет каждое из пяти колес, если пробег автомобиля составит 15 тысяч километров?
● Господин Э. едет на работу на машине. Через 14 километров лопается правое переднее колесо, а запасного у него с собой нет. Он звонит в автомастерскую и просит поменять колесо, а затем отогнать машину к нему на работу. Остаток пути до офиса он проходит пешком, потому что ему надо успеть на важное совещание. После обеда ему привозят машину, и вечером он возвращается на ней домой. Вернувшись, он решает подсчитать, на сколько километров дистанция, преодоленная сегодня на автомобиле, превышает дистанцию, пройденную пешком.
● Фабрика выпускает за один час 6 тысяч колесных дисков. Каждый из восьми станков типа А производит за час 500 дисков. Станки типа Б несколько старше и могут выпускать за час только 400 дисков такого же качества. Сколько на фабрике станков старого типа?
● В школе нас учили, что тело человека на 60 процентов состоит из воды. Кроме того, мы знаем, что 1 литр воды весит 1 килограмм. А теперь представьте себе, что в вашем теле 55 литров воды. Сколько вы весите?
● На Южном полюсе базируются самолеты дальней авиации. Перед одним из самолетов ставится задача облететь весь земной шар по меридиану, то есть преодолеть Северный полюс и прилететь снова на базу. Топливный бак каждого самолета вмещает 5 тысяч литров, и этого хватает только на половину пути, однако самолеты могут заправлять друг друга в полете. Какое минимальное количество самолетов требуется, чтобы один из них мог совершить беспосадочный кругосветный перелет?
● Четыре человека должны перейти в темноте реку по мосту. Мост может одновременно выдержать двоих. У путешественников с собой только один фонарик, поэтому кому-то надо каждый раз возвращаться, чтобы передать фонарик оставшимся. Один из них может преодолеть мост за 5 минут, второй – за 10, третий – за 20, а четвертый – за 25. На то, чтобы все вчетвером оказались на другом берегу, им отводится 1 час. Смогут ли они уложиться в это время?
● В трех коробках лежат кексы – шоколадные и ванильные. Мать считает, что дочке не следует слишком увлекаться сладостями, поэтому старается максимально усложнить ей задачу. Она говорит: – В одной коробке лежат только шоколадные кексы, в другой – только ванильные, а в третьей – и те и другие. Коробки снабжены надписями: «Шоколадные», «Ванильные», «Шоколадные и ванильные», но они все перепутаны, и ни на одной коробке надпись не соответствует содержимому. Ты можешь каждый день брать только один кекс из одной коробки, но внутрь заглядывать нельзя. В тот день, когда ты точно скажешь мне, какие кексы лежат в какой коробке, можешь забрать их все. – Это совсем не трудно, – отвечает дочь. – Я возьму только один кекс из одной коробки, и сразу же скажу тебе, где что лежит.
Числа и даты – символы логики
Если предыдущие задания показались вам лишь легкой разминкой, то теперь начинается настоящая тренировка для мозга. Вы заметите, что большинство задач имеет сходство с ситуациями, с которыми вам приходится сталкиваться в повседневной жизни. В некоторых случаях вам придется производить расчеты, чтобы прийти к правильному ответу, но будьте внимательны и не позволяйте себе запутаться в числах и датах!
● На лугу растут 22 цветка: красные, голубые и желтые. Проходящий мальчик хочет сорвать три цветка и замечает, что в любом случае по крайней мере один из них окажется красным. Сколько красных, голубых и желтых цветов растет на лугу?
● Если двум братьям в общей сложности одиннадцать лет и один из них на десять лет старше другого, назовите возраст каждого из них.
● Уильям Шекспир умер 23 апреля 1616 года в Стратфорде-на-Эйвоне, а Мигель Сервантес Сааведра – тоже 23 апреля 1616 года в Мадриде (если не верите, загляните в энциклопедию). Мог ли в принципе один из них узнать о смерти другого?
● Какой месяц в Центральной Европе длиннее других?
● Встречаются два банкира, и один говорит другому: «У нас с тобой одинаковый уставный капитал. Сколько я должен тебе дать, чтобы у тебя было на 10 миллионов больше, чем у меня?»
● Плакат стоит на 50 евроцентов больше, чем рамка к нему, а вместе они стоят 2 евро. Сколько стоят плакат и рамка по отдельности?
● По инструкции производителя, концентрат фруктового сока следует разбавлять водой в соотношении 1:6. Сколько сока можно получить из бутылки концентрата емкостью 0,75 литра при соблюдении этого соотношения?
● Бутылка и пробка стоят вместе 1,1 евро. Бутылка стоит на 1 евро дороже пробки. Сколько стоит пробка?
● Решите уравнение: два раза по столько + половина + четверть + 1 = 100.
● Колода, обычно состоящая из 52 карт, оказалась неполной. Если раздать ее на девятерых человек, остается две карты. Если раздать на четверых, остается три карты, а если на семерых – пять карт. Сколько карт в колоде?
● В ящике комода лежат в разрозненном виде носки: 24 пары белых и 6 пар черных. Свет выключен, и вам надо достать из ящика одну пару черных носков. Какое наименьшее количество носков надо взять из ящика, чтобы быть полностью уверенным в том, что у вас в руках хотя бы одна пара черных носков?
● На горном курорте сломалась канатная дорога. Мужчина, женщина и ребенок остались наверху отрезанными от остального мира. Запасов провизии не так уж много. Мужчине их хватило бы на 9 дней, женщине – на 12 дней, а ребенку – на 18. На сколько дней хватит еды для этих трех человек?
● Вы собрали 100 граммов грибов, содержание воды в которых составляет 95 процентов, и решили подсушить их до 80-процентного содержания воды. Сколько будут весить грибы после сушки?
● Пять обычных игральных кубиков поставлены в произвольном порядке один на другой. Количество очков на верхней грани верхнего кубика составляет 2. Какой будет сумма очков на всех видимых гранях кубиков?
● Позавчера ему было 17 лет, а в этом году исполнится 19.
● В квадратном помещении надо расставить вдоль стен десять стульев, чтобы их количество у каждой стены было одинаковым.
От частного к общему: поиск и разрушение закономерностей
Хорошенько прогрев логический аппарат, вы можете использовать свои сфокусированные и ясные мысли в практических целях. Умение делать общие выводы на основании отдельных событий и за счет этого предугадывать мысли окружающих считается венцом работы тренированного мозга. Вы уже знаете, что для решения проблем можно использовать как линейное, так и латеральное мышление. Вы умеете мыслить логически и находить в вопросах маленькие хитрости и скрытые парадоксы.
Но надо уметь не только находить закономерности и правила, но и нарушать их, ставить под сомнение. Приведенные ниже задачи объединяют в себе как логику, так и маленькие хитрости. Для их решения применяются общие принципы: наглядно представьте себе проблему, если надо, нарисуйте схему, наметьте возможные пути решения и рассмотрите их со всех сторон.
Индейцы взяли в плен трех ковбоев и привязали их к столбам пыток. Вождь племени сказал им: «Вообще-то следовало бы снять с вас скальпы, но я хочу дать вам шанс. Говорят, что бледнолицые очень хитры. Докажите мне это. У меня есть пять орлиных перьев: три черных и два белых. Каждому из вас я воткну перо в шляпу сзади, чтобы вы не могли их видеть. Подсказывать друг другу нельзя. Если хоть один из вас угадает, какого цвета у него перо, я отпущу всех троих». Столбы стоят в ряд, и ковбои привязаны к ним так, что могут смотреть друг другу только в спину. Таким образом, задний ковбой видит двух своих передних товарищей, средний – только одного, а передний – никого.
Ковбои довольно долго молчат, но затем один из них дает правильный ответ. Их отпускают целыми и невредимыми. Кому из трех ковбоев удалось решить задачу и какого цвета перо было в его шляпе?
Директор одной фирмы известен тем, что использует при увольнении сотрудников чрезвычайно изощренный метод. Если сотрудник что-то напортачил, директор вызывает его к себе в кабинет и ставит на стол деревянную шкатулку. «В этой шкатулке лежат два шарика – черный и белый, – говорит он. – Вы должны с закрытыми глазами достать один из них. Если будет белый, я вас прощу, а если черный, то немедленно уволю. По-моему, это справедливо. Шансы составляют 50:50». В один прекрасный день он вызывает к себе на ковер для этой процедуры господина Зайденмана. Секретарша директора (у которой с Зайденманом роман) открывает ему тайну. Оказывается, в шкатулке лежат два черных шарика, поэтому вытащить белый до сих пор никому не удавалось. Можно, конечно, достать из шкатулки два черных шарика и уличить директора в обмане, но это вряд ли поможет. Директор, поняв, что его хитрость раскрыта, все равно уволит Зайденмана. И все же у него рождается идея, которая позволяет сохранить работу. Какая?
На лекциях новой преподавательницы математики постоянный ажиотаж. Туда сбегаются студенты не только математического факультета, но и остальных тоже. Дело не в том, что все вдруг полюбили математику, а в том, что преподавательница стала победительницей конкурса красоты «Мисс Европа». Чтобы перекрыть доступ на свои лекции посторонним студентам, она решила спрашивать при входе в аудиторию пароль, который знают только математики. В первый же день происходит следующее: к двери подходит первый студент. Преподавательница называет ему число: «Двадцать шесть». Подумав некоторое время, студент отвечает: «Тринадцать», – и проходит в аудиторию. Подходит второй студент. Преподавательница говорит: «Двадцать два». «Одиннадцать», – отвечает студент и тоже входит в аудиторию. Наблюдающий за происходящим студент факультета экономики решает, что уже понял закономерность, и подходит к двери. Преподавательница спрашивает:
– Вы математик?
– Естественно.
– Тогда вы должны знать пароль. Двадцать.
– Десять, – отвечает экономист, собираясь пройти мимо нее.
– Стоп! Мне очень жаль, но вам сюда нельзя. Вы не с этого факультета.
Как она это поняла?
Логика и юмор не исключают друг друга
Юмор ничуть не вредит ясности ума. Напротив. Люди, обладающие чувством юмора, мыслят более легко, потому что умеют находить странные, необычные, даже абсурдные взаимосвязи и решения. Пришло и нам время обратиться к так называемым шуточным задачам. В них скрыты различные подвохи, которые специально предназначены для того, чтобы сбить вас с толку. Поэтому к решению надо всегда подходить с юмором, находить новые грани проблемы и предпринимать необычные шаги. Остроумные анекдоты легче запоминаются. Постарайтесь и вы запомнить самые удачные из предлагаемых шуточных задач. Они помогут вам мыслить по-новому.
Юмор может оказаться самой выигрышной стратегией, особенно там, где требуется латеральное мышление, как, например, в случае с задачей де Боно о черном цилиндре. В каждой хорошей шутке, как и в каждом шутливом вопросе, кроется глубокий смысл. Творческое мышление лучше всего проявляет себя в свободной и радостной атмосфере, а результаты, достигнутые «просто ради шутки», при ближайшем рассмотрении оказываются настоящими открытиями. Вы не должны отметать с порога даже самые глупые и невероятные предположения и решения, как это делается, к примеру, при мозговом штурме. В конце нашей тренировки предлагаем вам несколько веселых упражнений.
● В тюрьме строгого режима заключенного ведут мыться. Для этого предусмотрена специальная камера. Ее размеры составляют 1,8 метра в длину, 1,8 метра в ширину и 2,6 метра в высоту. В ней прочно забетонирована в пол ванна емкостью 250 литров. В помещении нет окон и только одна толстая стальная дверь. Она полностью водонепроницаема. В середине потолка имеется вентиляционное отверстие диаметром 12 сантиметров, закрытое решеткой. Надзиратель говорит заключенному, что вернется за ним ровно через три часа, запирает его и уходит. Заключенный начинает наполнять ванну, но кран ломается, и из него хлещет вода, перекрыть которую нет никакой возможности. Она прибывает со скоростью 60 литров в минуту. Что нужно сделать заключенному, чтобы не утонуть?
● Два отца и два сына пришли в бар и заказали три коктейля. При этом каждому досталось по коктейлю. Как такое возможно?
● Между двумя столбами висит веревка длиной 10 метров. В середине она провисает на 5 метров вниз. На каком расстоянии друг от друга установлены столбы?
● В такси садится телеведущая, известная как большая зануда и болтушка. Водитель не настроен на разговор с ней и решает прикинуться глухонемым. Он показывает ей жестами, что ничего не слышит и не может говорить. Женщина молчит всю дорогу. Когда они подъезжают к нужному месту, водитель указывает ей на счетчик. Она расплачивается и выходит из машины, и только тут до нее доходит, что водитель вовсе не глухонемой. Как она это поняла?
● Ежедневно из Вены отправляется самолет в Нью-Йорк, а из Нью-Йорка – в Вену. В обоих городах самолеты стартуют в 12 часов дня по местному времени. Где-то над Атлантическим океаном они встречаются. Какой из них находится в этот момент ближе к Нью-Йорку?
● Вы стоите в абсолютно темной комнате и знаете, что в ней находится семь предметов: полено для камина, лист бумаги, коробок спичек, керосиновая лампа, свеча, канистра с бензином и динамитная шашка. Что вы подожжете первым делом? Чтобы предупредить ненужные вопросы, сразу скажем, что у вас есть инфракрасные очки, и вы можете все разглядеть в темноте.
ТЕЛЕГРАМКанал с обзорами, анонсами новинок и книжными подборками
Книжный Вестник
Бот для удобного поиска книг (если не нашлось на сайте)
Поиск книг
Свежие любовные романы в удобных форматах
Любовные романы
О психологии, саморазвитии и личностном росте
Саморазвитие
Детективы и триллеры, все новинки
Детективы
Фантастика и фэнтези, все новинки
Фантастика
Отборные классические книги
Классика
ВКОНТАКТЕБиблиотека с любовными романами, которая наверняка придётся по вкусу женской части аудитории
Любовные романы
Библиотека с фантастикой и фэнтези, а также смежных жанров
Фантастика
Самые популярные книги в формате фб2
Топ фб2
книги