Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Московский государственный авиационный институт (технический университет) (МАИ)

1. Сумма первых одиннадцати членов арифметической прогрессии 418. Найдите шестой член этой прогрессии.

2. Решите уравнение

cos 2x = 2 − 2√3 cos x sin x.

3. Основанием наклонной треугольной призмы служит равносторонний треугольник. Сечение, проходящее через среднюю линию верхнего основания и одну из сторон нижнего основания, перпендикулярно основаниям призмы. Найдите объем призмы, если известно, что площадь сечения 30 м², а радиус окружности, описанной около основания, ¹⁰/₃ √3 м.

4. Решите систему уравнений

5. Решите неравенство

8(−2^x + 3^x)(−2^{x − 1} + 3^x)(−2^x + 3^{x + 1})(−2^{x − 2} + 3^x) + 81^x ≤ 0.

6. Сторона треугольника имеет длину 9 см, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см. Найдите наименьшее возможное значение, которое может достигать площадь данного треугольника.

Московский государственный инженерно-физический институт (технический университет) (МИФИ)

1. Решите уравнение

|−sin x| = 2 cos x.

2. Решите неравенство

(9x² − 9x + 2) log₂ 3x ≥ 0.

3. Разность цифр двузначного натурального числа A равна 4, а сумма квадратов цифр этого числа больше произведения его цифр на 37. Найдите число A.

4. Найдите сумму действительных корней уравнения

x² + 2(с² + 2с)x + 4с³ − 2с² + 40 = 0

и укажите, при каких с ∈ R эта сумма принимает наибольшее значение.

5. Основанием треугольной пирамиды SABC служит треугольник АВС, y которого ВС = 1, СА = 13, а высота СЕ = √105. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью АВС угол величиной α. Определите площадь основания и объем пирамиды.

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) (МИЭМ)

1. Решите уравнение

2. Решите уравнение

|6 cos x − 1| = 4 cos 2x + 3.

3. Решите неравенство

log₂ (3x − 5) + log_¼ (2x − 1) < 1.

4. В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера, которая касается основания и всех боковых граней. Сфера делит высоту пирамиды в отношении 1 : 3, считая от вершины. Найдите объем пирамиды, если апофема пирамиды равна а.

5. При а = 1 решите уравнение

(4a + 2) sin x + 2a cos 2x + а + 1 = 0

и определите все значения а, при которых это уравнение имеет ровно одно решение, принадлежащее отрезку [0; ^5π/₆].

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана (МГТУ)

1. Из пункта А в пункт В одновременно вышли два пешехода. Когда первый прошел половину пути, второму осталось пройти 24 км, а когда второй прошел половину пути, первому осталось пройти 15 км. Найдите расстояние от пункта А до пункта В.

2. Найдите все корни уравнения

cos 2x + cos 6x = cos 4x,

принадлежащие промежутку [^π/₂; π].

3. Решите уравнение

4. Решите неравенство 2^{x + 1} + 3 < 2^{1 − x}.

5. Какая наибольшая площадь может быть y прямоугольного треугольника, одна вершина которого совпадает с точкой M(5; 0), другая лежит на графике функции y = x³(5 − x), 0 ≤ x ≤ 5, а вершина прямого угла — на оси Ox?

6. Найдите все значения p, при которых система уравнений

имеет единственное решение.

7. Основанием пирамиды ТАВС служит треугольник АВС с углом А, равным 60°. Боковое ребро ТА совпадает с высотой пирамиды и равно h; ребро ТС перпендикулярно стороне основания ВС, а угол между ребром ТВ и биссектрисой основания АD равен 60°. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через биссектрису АD и пересекающую ребро ТВ?

Московский государственный университет им. M. В. Ломоносова (МГУ) (экономический факультет)

1. Решите уравнение

3^|x| = 5^{x² + 3x}.

2. Решите систему неравенств

3. В треугольнике АВС со стороной AB = √5 из вершины В к стороне AC проведены медиана ВМ = 2√2 и высота ВН = 2. Найдите сторону ВС, если известно, что ∠АВС + ∠ACВ < 90°.

4. Банк планирует вложить на один год 40% имеющихся y него средств клиентов в проект X, а остальные 60% — в проект Y. В зависимости от обстоятельств проект X может принести прибыль в размере от 19 до 24% годовых, а проект Y — от 29 до 34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке. Определите наименьший и наибольший возможный уровень процентной ставки по вкладам, при которых чистая прибыль банка составит не менее 10% и не более 15% годовых от суммарных вложений в проекты X и Y.

5. Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной, периодической с периодом 4, и на промежутке 0 ≤ x ≤ 2 ее значения вычисляются по правилу f(x) = 1 − |x − 1|. Решите уравнение

2 f(x) f(x − 8) + 5 f(x + 12) + 2 = 0.

6. Найдите все значения параметра а, при которых периметр фигуры, заданной на координатной плоскости условием

будет наименьшим.

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

1. Найдите положительный тангенс угла между касательными к гиперболе xy = 1 в точках с абсциссами х₁ = 1, х₂ = 2.

2. Найдите (в радианах) все решения уравнения

tg³ x² + tg² x² + ctg² x² + ctg³ x² − 4 = 0.

3. Найдите наименьшее значение выражения

x² + y² + ²/_|x|·|y|.

4. Вычислите, если x < 0:

5. Вектор , коллинеарный вектору {12; −16; −15}, образует острый угол с осью Oz. Зная, что = 100, найдите его первую координату.

6. Решите уравнение

log_{1 + 2x} (6x² + 5x + 1) − log_{1 + 3x} (4x² + 4x + 1) = 2.

7. Найдите наибольшее целое решение неравенства

9 · 16^−1/x + 5 · 36^−1/x < 4 · 81^−1/x.

8. Производительность труда рабочего повышалась дважды на одно и то же число процентов. На сколько процентов возрастала каждый раз производительность труда, если за одно и то же время рабочий раньше вырабатывал изделий на 25 000 р., а теперь — на 28 000 р.?

9. Найдите квадрат биссектрисы внутреннего угла С треугольника АВС, если АВ = 2, ВС = 4, АС = 2.

10. Ребро куба равно 36. Найдите кратчайшее расстояние между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю основания куба.