Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

1

Эту задачу нужно решать с особым вниманием.

2

Ответы к упражнениям 1—22 см. на с. 326—328.

3

Для краткости равенства можно располагать в строку или писать (x, y, z, ...) = (а, b, с, ...).

4

Имеется в виду применение абсолютного тождества, см. с. 42. Для неабсолютных тождеств это утверждение неверно.

5

Под применением тождества мы понимаем замену его левой части на правую.

6

Два совпадающих решения считаются за одно.

7

Ответы к упражнениям 1—9 см. на с. 360.

8

Если какая-то точка уже была отмечена светлым кружком, то изменять обозначение не следует.

9

Так в источнике (прим. от верстальщика fb2).

10

Требуется найти не только положительные значения x.

11

Требуется найти не только положительные значения x.

12

1 карат = 0,2 г.

13

Плотности всех растворов предполагаются одинаковыми; при сливании двух растворов объем нового раствора равен сумме объемов исходных растворов.

14

Первое соотношение — неабсолютное тождество, остальные — абсолютные тождества.

15

Так в тексте. От верстальщика fb2.

16

[x] — целая часть числа x.

17

Такое преобразование системы, вообще говоря, может привести к приобретению постороннего решения, в котором y = 0.

20

Хотя метод интервалов был изложен во введении применительно к многочленам, им можно пользоваться при решении более широкого класса неравенств. В частности, для этого неравенства получаем

(3^√x − 2)(x + 1)(x − ³/₂) >0.

Первый множитель обращается в нуль при причем он больше нуля при и меньше нуля при Нанесем точки −1, и ³/₂ на числовую ось и воспользуемся тем обстоятельством, что при x > ³/₂ все три скобки положительны. Так как, кроме того, x ≥ 0, окончательно получим

21

Заметим, что если бы мы перешли к основанию 2, то получили бы уравнение, равносильное данному. Убедитесь в этом самостоятельно.

22

Формулы для и т. п. доказываются аналогично с помощью тождеств: (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1, (x + 1)⁴ = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1.

23

Во всех случаях удобно граничную точку относить к обоим интервалам, чтобы не столкнуться с ситуацией, когда наименьшее значение не достигается.