100 великих научных открытий

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Даже те, кто в своей жизни далек от математики, продолжают сохранять воспоминания о «пифагоровых штанах» — квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора ясна: это простота — красота — значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Противоречие двух начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение. Она применяется в геометрии буквально на каждом шагу. Существует около пятисот различных доказательств этой теоремы, что свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

Исторические исследования датируют появление на свет Пифагора приблизительно 580 годом до нашей эры. Счастливый отец Мнесарх окружает мальчика заботами. Возможности дать сыну хорошее воспитание и образование у него были.

Будущий великий математик и философ уже в детстве обнаружил большие способности к наукам. У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знания основ музыки и живописи. Для упражнения памяти Гермодамас заставлял его учить песни из «Одиссеи» и «Илиады». Первый учитель прививал юному Пифагору любовь к природе и ее тайнам.

Прошло несколько лет, и по совету своего учителя Пифагор решает продолжить образование в Египте. При помощи учителя Пифагору удается покинуть остров Самос. Но пока до Египта далеко. Он живет на острове Лесбос у своего родственника Зоила. Там происходит знакомство Пифагора с философом Ферекидом — другом Фалеса Милетского. У Ферекида Пифагор учится астрологии, предсказанию затмений, тайнам чисел, медицине и другим обязательным для того времени наукам.

Затем в Милете он слушает лекции Фалеса и его более молодого коллеги и ученика Анаксимандра, выдающегося географа и астронома. Много важных знаний приобрел Пифагор за время своего пребывания в Милетской школе.

Перед Египтом он на некоторое время останавливается в Финикии, где, по преданию, учится у знаменитых сидонских жрецов.

Учеба Пифагора в Египте способствует тому, что он сделался одним из самых образованных людей своего времени. Здесь же Пифагор попадает в персидский плен.

Согласно старинным легендам, в плену в Вавилоне Пифагор встречался с персидскими магами, приобщился к восточной астрологии и мистике, познакомился с учением халдейских мудрецов. Халдеи познакомили Пифагора со знаниями, накопленными восточными народами в течение многих веков: астрономией и астрологией, медициной и арифметикой.

Двенадцать лет пробыл в вавилонском плену Пифагор, пока его не освободил персидский царь Дарий Гистасп, прослышавший о знаменитом греке. Пифагору уже шестьдесят, он решает вернуться на родину, чтобы приобщить к накопленным знаниям свой народ.

С тех пор как Пифагор покинул Грецию, там произошли большие изменения. Лучшие умы, спасаясь от персидского ига, перебрались в Южную Италию, которую тогда называли Великой Грецией, и основали там города-колонии Сиракузы, Агригент, Кротон. Здесь и задумывает Пифагор создать собственную философскую школу.

Довольно быстро он завоевывает большую популярность среди жителей. Пифагор умело использует знания, полученные в странствиях по свету. Со временем ученый прекращает выступления в храмах и на улицах. Уже в своем доме Пифагор учил медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики. Пифагор развил теорию музыки и акустики, создав знаменитую «пифагорейскую гамму» и проведя основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найденные соотношения он выразил на языке математики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, идеи «гармонии мира» и «музыки сфер», впоследствии приведшие к революции в астрономии, впервые появились именно в Школе Пифагора.

Многое сделал ученый и в геометрии. Прокл так оценивал вклад греческого ученого в геометрию: «Пифагор преобразовал геометрию, придав ей форму свободной науки, рассматривая ее принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения. Именно он нашел теорию иррациональных количеств и конструкцию космических тел».

В школе Пифагора геометрия впервые оформляется в самостоятельную научную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически — как теоретическое учение о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию.

Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику, и, прежде всего, в геометрию. Строго говоря, только с этого момента математика и начинает существовать как наука, а не как собрание древнеегипетских и древневавилонских практических рецептов. С рождением же математики зарождается и наука вообще, ибо «ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства» (Леонардо да Винчи).

Так вот, заслуга Пифагора и состояла в том, что он, по-видимому, первым пришел к следующей мысли: в геометрии, во-первых, должны рассматриваться абстрактные идеальные объекты, и, во-вторых, свойства этих идеальных объектов должны устанавливаться не с помощью измерений на конечном числе объектов, а с помощью рассуждений, справедливых для бесконечного числа объектов. Эта цепочка рассуждений, которая с помощью законов логики сводит неочевидные утверждения к известным или очевидным истинам, и есть математическое доказательство.

Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение 1 книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя еще Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики.

Михаил Ломоносов по этому поводу писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось».

А.В.Волошинов в своей книге о Пифагоре отмечает: «И хотя сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета I (около 2000 года до нашей эры), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII веке до нашей эры), и в древнейшем китайском трактате „Чжоу-би суань цзинь“ („Математический трактат о гномоне“), время создания которого точно не известно, но где утверждается, что в XII веке до нашей эры китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI веку до нашей эры — и общий вид теоремы, и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII–V веках до нашей эры „Сульва сутра“ („Правила веревки“), — несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется. То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем красивые древние предания.

Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов. Поэтому нам ничего не остается, как рассмотреть некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные из древних трактатов. Сделать это полезно еще и потому, что в современных школьных учебниках дается алгебраическое доказательство теоремы. При этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура теоремы, теряется та нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине, а путь этот почти всегда оказывался кратчайшим и всегда красивым».

Теорема Пифагора гласит: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах». Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.

Во II веке до нашей эры в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается создание древних книг. Так возникла «Математика в девяти книгах» — главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений. В IX книге «Математики» помещен чертеж, доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами и гипотенузой. С уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной А+В, а внутренний — квадрат со стороной С, построенный на гипотенузе. Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника, то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна С в квадрате, а с другой — А+В, т. е. С=А+В. Теорема доказана.

Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сид-дханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XII века в Бхаскары помещен чертеж с характерным для индийских доказательств словом «смотри!». Прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат С перекладывается в «кресло невесты» квадрат А плюс квадрат В. Частные случаи теоремы Пифагора встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII–V веках до нашей эры).

Доказательство Евклида приведено в предложении 1 книги «Начал». Здесь для доказательства на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника строятся соответствующие квадраты.

«Багдадский математик и астроном X века ан-Найризий (латинизированное имя — Аннариций), — пишет Волошинов, — в арабском комментарии к „Началам“ Евклида дал следующее доказательство теоремы Пифагора. Квадрат на гипотенузе разбит у Аннариция на пять частей, из которых составляются квадраты на катетах. Конечно, равенство всех соответствующих частей требует доказательства, но мы его за очевидностью оставляем читателю. Любопытно, что доказательство Аннариция является простейшим среди огромного числа доказательств теоремы Пифагора методом разбиения: в нем фигурирует всего 5 частей (или 7 треугольников). Это наименьшее число возможных разбиений».

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово «геометрия» греческое, в переводе означает «землемерие».

Люди очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Это требовало определенного запаса геометрических и арифметических знаний. Постепенно люди начали измерять и изучать свойства более сложных геометрических фигур.

«По дошедшим до нас египетским папирусам и древневавилонским текстам видно, что уже за 2 тысячи лет до нашей эры люди умели определять площади треугольников, прямоугольников, трапеций, приближенно вычислять площадь круга, — пишет И. Г. Башмакова. — Они знали также формулы для определения объемов куба, цилиндра, конуса, пирамиды и усеченной пирамиды. Сведения по геометрии вскоре стали необходимы не только при измерении земли. Развитие архитектуры, а несколько позднее и астрономии предъявило геометрии новые требования. И в Египте и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строительство которых могло производиться только на основе предварительных расчетов…И все же, несмотря на то, что человечество накопило такие обширные знания геометрических фактов, геометрия как наука еще не существовала.

Геометрия стала наукой только после того, как в ней начали систематически применять логические доказательства, начали выводить геометрические предложения не только путем непосредственных измерений, но и путем умозаключений, путем вывода одного положения из другого, и устанавливать их в общем виде. Обычно этот переворот в геометрии связывают с именем ученого и философа VI века до нашей эры Пифагора Самосского».

Однако все новые проблемы и созданные в связи с ними теории привели к тому, что совершенствовались сами способы математических доказательств, возрастала потребность создания стройной логической системы в геометрии.

«Но как строить такую систему? — спрашивает И.Г. Башмакова. — Ведь каждое отдельное предложение мы доказываем, опираясь на некоторые другие предложения. Эти предложения в свою очередь доказываются ссылкой на какие-тр третьи предложения и т. д., эти ссылки мы могли бы продолжать до бесконечности, и процесс доказательства никогда бы не закончился. Как же быть? Это обстоятельство заметили еще в древности, и тогда же был найден выход. Не позднее IV века до нашей эры греческие математики при построении геометрии выбирали некоторые предложения, которые принимались без доказательства, а все остальные предложения выводили из них строго логически. Предложения, принятые без доказательства, назывались аксиомами и постулатами. Наиболее совершенным образцом такой теории на протяжении более 2 тысяч лет служили „Начала“ Евклида, написанные около 300 года до нашей эры».

О жизни Евклида (около 365 г. до нашей эры — 300 г. до нашей эры) почти ничего не известно. До нас дошли только отдельные легенды о нем. Первый комментатор «Начал» Прокл (V век нашей эры) не мог указать, где и когда родился и умер Евклид. По Проклу, «этот ученый муж» жил в эпоху царствования Птолемея I. Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII века: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем „Геометра“, ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».

Одна из легенд рассказывает, что царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил указать ему легкий путь к математике. «К геометрии нет царской дороги», — ответил ему ученый. Так в виде легенды дошло до нас это ставшее крылатым выражение.

Царь Птолемей I, чтобы возвеличить свое государство, привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них храм муз — Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, астрономический кабинет, астрономическая башня, комнаты для уединенной работы и главное — великолепная библиотека. В числе приглашенных ученых оказался и Евклид, который основал в Александрии — столице Египта — математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд.

Именно в Александрии Евклид основывает математическую школу и пишет большой труд по геометрии, объединенных под общим названием «Начала» — главный труд своей жизни. Полагают, что он был написан около 325 года до нашей эры.

Предшественники Евклида — Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для развития геометрии. Но все это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема.

Как современников, так и последователей Евклида привлекала систематичность и логичность изложенных сведений. «Начала» состоят из 13 книг, построенных по единой логической схеме. Каждая из книг начинается определением понятий (точка, линия, плоскость, фигура и т. д.), которые в ней используются, а затем на основе небольшого числа основных положений (5 аксиом и 5 постулатов), принимаемых без доказательства, строится вся система геометрии.

В то время развитие науки и не предполагало наличия методов практической математики. Книги I–IV охватывали геометрию, их содержание восходило к трудам пифагорейской школы. В книге V разрабатывалось учение о пропорциях, которое примыкало к Евдоксу Книд-скому. В книгах VII–IX содержалось учение о числах, представляющее разработки пифагорейских первоисточников. В книгах X–XII содержатся определения площадей в плоскости и пространстве (стереометрия), теория иррациональности (особенно в X книге); в XIII книге помещены исследования правильных тел, восходящие к Теэтету.

«Начала» Евклида представляют собой изложение той геометрии, которая известна и поныне под названием Евклидовой геометрии. В качестве постулатов Евклид выбрал такие предложения, в которых утверждалось то, что можно проверить простейшими построениями с помощью циркуля и линейки. Евклид принял также некоторые общие предложения-аксиомы, например, что две величины, порознь равные третьей, равны между собой. На основе таких постулатов и аксиом Евклид строго и систематично развил всю планиметрию.

В «Началах» он описывает метрические свойства пространства, которое современная наука называет Евклидовым пространством.

Евклидово пространство является ареной физических явлений классической физики, основы которой были заложены Галилеем и Ньютоном. Это пространство пустое, безграничное, изотропное, имеющее три измерения. Евклид придал математическую определенность атомистической идее пустого пространства, в котором движутся атомы. Простейшим геометрическим объектом у Евклида является точка, которую он определяет как то, что не имеет частей. Другими словами, точка — это неделимый атом пространства.

Бесконечность пространства характеризуется тремя постулатами:

«От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию». «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой». «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг».

Учение о параллельных и знаменитый пятый постулат («Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых») определяют свойства Евклидова пространства и его геометрию, отличную от неевклидовых геометрий.

Обычно о «Началах» говорят, что после Библии это самый популярный написанный памятник древности. Книга имеет свою, весьма примечательную историю. В течение двух тысяч лет она являлась настольной книгой школьников, использовалась как начальный курс геометрии. «Начала» пользовались исключительной популярностью, и с них было снято множество копий трудолюбивыми писцами в разных городах и странах. Позднее «Начала» с папируса перешли на пергамент, а затем на бумагу. На протяжении четырех столетий «Начала» публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6–7 изданий. До двадцатого века книга считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

«Начала» Евклида были основательно изучены арабами, а позднее европейскими учеными. Они были переведены на основные мировые языки. Первые подлинники были напечатаны в 1533 году в Базеле. Любопытно, что первый перевод на английский язык, относящийся к 1570 году, был сделан Генри Биллингвеем, лондонским купцом.

Конечно, все особенности Евклидова пространства были открыты не сразу, а в результате многовековой работы научной мысли, но отправным пунктом этой работы послужили «Начала» Евклида. Знание основ Евклидовой геометрии является ныне необходимым элементом общего образования во всем мире.

Можно смело утверждать, что Евклид заложил основы не только геометрии, но и всей античной математики.

Лишь в девятнадцатом веке исследования основ геометрии поднялись на новую, более высокую ступень. Удалось выяснить, что Евклид перечислил далеко не все аксиомы, которые на самом деле нужны для построения геометрии. В действительности при доказательствах ученый ими пользовался, но не сформулировал.

Тем не менее все выше сказанное нисколько не умаляет роли Евклида, первого показавшего, как можно и как нужно строить математическую теорию. Он создал дедуктивный метод, прочно вошедший в математику. А значит, все последующие математики в известной степени являются учениками Евклида.

ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ

Считается, что эллины заимствовали первые сведения по алгебре у вавилонян. Греческий философ-неоплатоник Прокл Диадох отмечал в своем сочинении: «Согласно большинству мнений, геометрия была впервые открыта в Египте, имела свое происхождение в измерении площадей». Воздействие традиций вавилонской алгебры на математику Древней Греции и алгебраическую школу стран ислама подчеркивается в «Истории математики». Создание основ математики в том виде, к которому мы привыкли при изучении этой науки в школе, выпало на долю греков и относится к VI–V векам до нашей эры. Античная наука достигла вершины в работах Евклида, Архимеда, Аполлония.

Новый подъем античной математики в III веке нашей эры связан с творчеством великого математика Диофанта. Его основной труд — «Арифметика». К сожалению, лишь шесть книг из тринадцати книг дошли до нашего времени. Диофант сумел возродить и развить числовую алгебру вавилонян, освободив ее от геометрических построений, которыми пользовались греки. У Диофанта впервые появляется буквенная символика. Он ввел обозначения: неизвестной, квадрата, куба, четвертой, пятой и шестой степеней, а также первых шести отрицательных степеней. В «Истории математики» это отмечено особо: «Книга Диофанта свидетельствует о наличии у него буквенной символики. Значение этого шага огромно. Только на такой основе могло быть создано буквенное исчисление, развит формульный аппарат, позволяющий часть наших мыслительных операций заменить механическими преобразованиями. Однако Диофант, видимо, не нашел в этом деле последователей ни в его эпоху, ни много позднее. Лишь с конца XV века в Европе началась интенсивная разработка алгебраической символики, а завершение создания буквенного исчисления произошло только в конце XVI — начале XVII века в трудах Виета и Декарта».

«Диофант — пишет В.А. Никифоровский, — сформулировал правила алгебраических операций со степенями неизвестной, соответствующие нашим умножению и делению степеней с натуральными показателями, и правила знаков приумножении. Это дало возможность компактно записывать многочлены, производить умножение их, оперировать с уравнениями. Он указал также правила переноса отрицательных членов уравнения в другую часть его с обратными знаками, взаимного уничтожения одинаковых членов в обеих частях уравнения».

Начиная с V века центр математической культуры постепенно перемещается на восток — к индусам и арабам. Математика индусов была числовой. Она отмечена стремлением достичь строгости эллинов в доказательствах и обосновании геометрии, довольствуясь чертежами. Основные достижения индусов состоят в том, что они ввели в обращение цифры, называемые нами арабскими, и позиционную систему записи чисел, обнаружили двойственность корней квадратного уравнения, двузначность квадратного корня и ввели отрицательные числа. Первое известное нам применение десятичной позиционной системы относится к 595 году — сохранилась плита, на которой число лет 346 записано в такой системе.

Наиболее известными математиками Индии были Ариабхата (прозванный «первым», около 500 г.) и Брахмагупта (около 625 г.). Индусы рассматривали числа безотносительно к геометрии. Они распространили правила действия над рациональными числами на числа иррациональные, производя над ними непосредственные выкладки.

Еще одно достижение индусов в совершенствовании алгебраической символики состоит в том, что они ввели обозначения нескольких различных неизвестных и их степеней. Как у Диофанта, они были по сути дела сокращениями слов.

Вслед за индийскими математиками пользоваться правилом положения стали математики Ближнего и Среднего Востока. Особую роль в истории развития алгебры в первой половине IX века сыграл трактат аль-Хорезми на арабском языке под названием «Книга о восстановлении и противопоставлении» (на арабском языке — «Китаб аль-джебр валь-мукабала»). Позднее при переводе на латинский язык арабское название трактата было сохранено. С течением времени «аль-джебр» сократили до «алгебры».

В трактате решение уравнений рассматривается уже не в связи с арифметикой, а как самостоятельный раздел математики. Арабский математик показывает, что в алгебре применяются неизвестные, их квадраты и свободные члены уравнений. Аль-Хорезми назвал неизвестное «корнем». При решении различных видов уравнений аль-Хорезми предлагает переносить отрицательные члены уравнений из одной части в другую, называя это восстановлением. Вычитание равных членов из обеих частей уравнения при этом он называет противопоставление (валь мукабала).

«В своем трактате аль-Хорезми, — отмечает Александр Свечников, — рассматривает неизвестное число как величину особого рода, вводит термин корень, свободный член называет дирхем (так в то время называли и денежную единицу). Он распределяет уравнения по видам, разъясняет, как применять правила восполнения и противопоставления, формулирует правила решения уравнений различных видов.

В рукописях аль-Хорезми все математические выражения и все выкладки записаны словами, вот почему алгебру того времени и более поздних времен называли риторической, т. е. словесной. В период работы над алгебраическим трактатом аль-Хорезми уже знал о числовой алгебре Вавилона и других стран Востока. Он был знаком с геометрической алгеброй греков и достижениями индийских астрономов и математиков.

Аль-Хорезми выделил алгебраический материал в особый раздел математики и освободил его от геометрического толкования, хотя в некоторых случаях пользовался геометрическими доказательствами. Алгебраический труд аль-Хорезми стал образцом, который изучали и которому подражали многие математики более позднего времени. Последующие алгебраические сочинения и учебники по своему характеру стали приближаться к современным. Алгебраический трактат аль-Хорезми послужил началом создания науки алгебры. Он был в числе первых сочинений по математике, переведенных на латинский язык. В то время в Европе все научные труды писали и печатали на латинском языке».

При решении задачи главное — осмысление содержания задачи, способность выразить его на языке алгебры. Проще говоря, записать условие задачи посредством символов — математических знаков.

Диофант, как уже говорилось, дал понятие об алгебраическом уравнении, записанном символами, однако очень далекими от современных. Первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины Франсуа Виет. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона.

Франсуа Виет (1540–1603) родился на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт. Отец Виета был прокурором. По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери — двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

В 1671 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.

В 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать от имени короля выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

Находясь на государственной службе, Виет оставался ученым. Он прославился тем, что сумел расшифровать код перехваченной переписки короля Испании с его представителями в Нидерландах, благодаря чему король Франции был полностью в курсе действий своих противников.

В 1584 году по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Именно на этот период приходится пик его творчества. Получив неожиданный досуг, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи. У него сложилось убеждение в том, «что должна существовать общая, неизвестная еще наука, обнимающая и остроумные измышления новейших алгебраистов, и глубокие геометрические изыскания древних».

Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Перечисление шло в том порядке, в каком эти труды должны были издаваться, чтобы составить единое целое — новое направление в науке. К сожалению, единого целого не получилось. Трактаты публиковались в совершенно случайном порядке, и многие увидели свет только после смерти Виета. Один из трактатов вообще не найден. Однако главный замысел ученого замечательно удался: началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Само название «алгебра» Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство». Он писал в письме к де Партене: «Все математики знали, что под алгеброй и алмукабалой… скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти. Задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства…»

Основы своего подхода Виет называл видовой логистикой. Следуя примеру древних, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему «видов». В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т. д., а также множество скаляров, которым соответствовали реальные размеры — длина, площадь или объем. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных — согласные.

Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.

Демонстрируя силу своего метода, ученый привел в своих работах запас формул, которые могли быть использованы для решения конкретных задач. Из знаков действий он использовал «+» и «-», знак радикала и горизонтальную черту для деления. Произведение обозначал словом «in». Виет первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты над многочленом. Но многие знаки, введенные до него, он не использовал. Так, квадрат, куб и т. д. обозначал словами или первыми буквами слов.

Символика Виета позволила и решать конкретные задачи, и находить общие закономерности, полностью обосновывая их. Таким образом, алгебра выделались в самостоятельную ветвь математики, не зависящую от геометрии. «Это нововведение и особенно применение буквенных коэффициентов положило начало коренному перелому в развитии алгебры: только теперь стало возможным алгебраическое исчисление как система формул, как оперативный алгоритм».

Символики Виета придерживался впоследствии Пьер Ферма. Дальнейшее значительное усовершенствование алгебраической символики принадлежит Декарту. Рене Декарт ввел для обозначения коэффициентов строчные буквы латинского алфавита. Для обозначения неизвестных он использовал последние буквы того же алфавита. Это нововведение получило широкое распространение в работах математиков и с небольшими изменениями сохранилось до наших дней.

ЛОГАРИФМЫ

На всем протяжении XVI века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего в астрономии. Исследование планетных движений требовало колоссальных расчетов. Астрономы просто могли утонуть в невыполнимых расчетах. Очевидные трудности возникали и в других областях, таких как финансовое и страховое дело. Основную трудность представляли умножение и деление многозначных чисел, особенно же тригонометрических величин.

Иногда для приведения умножения к более легкому сложению и вычитанию пользовались таблицами синусов и косинусов. Была также составлена таблица квадратов до 100 000, с помощью которой умножение можно было производить по определенному правилу.

Однако эти приемы не давали удовлетворительного решения вопроса. Его принесли с собой таблицы логарифмов.

«Открытие логарифмов опиралось на хорошо известные к концу XVI века свойства прогрессий, — пишут М.В. Чириков и А.П. Юшкевич. — Связь между членами геометрической профессии и арифметической прогрессией не раз отмечалась математиками, о ней говорилось еще в „Псаммите“ Архимеда. Другой предпосылкой было распространение понятия степени на отрицательные и дробные показатели, позволившее перенести только что упомянутую связь на более общий случай…

Многие… авторы указывали, что умножению, делению, возведению в степень и извлечению корня в геометрической прогрессии соответствуют в арифметической — в том же порядке — сложение, вычитание, умножение и деление. Здесь уже скрывалась идея логарифма числа как показателя степени, в которую нужно возвести данное основание, чтобы получить это число. Оставалось перенести знакомые свойства прогрессии с общим членом на любые действительные показатели. Это дало бы непрерывную показательную функцию, принимающую любые положительные значения, а также обратную ей логарифмическую. Но эту идею глубокого принципиального значения удалось развить через несколько десятков лет».

Логарифмы изобрели независимо друг от друга Непером и Бюрги лет на десять позднее. Их цель была одна — желание дать новое удобное средство арифметических вычислений. Подход же оказался разный. Непер кинематически выразил логарифмическую функцию, что позволило ему по существу вступить в почти неизведанную область теории функций. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Надо заметить, что у обоих определение логарифма не походило на современное.

Первый изобретатель логарифмов — шотландский барон Джон Непер (1550–1617) получил образование на родине в Эдинбурге. Затем после путешествия по Германии, Франции и Испании, в возрасте двадцати одного года, он навсегда поселился в семейном поместье близ Эдинбурга. Непер занялся главным образом богословием и математикой, которую изучал по сочинениям Евклида, Архимеда, Региомонтана, Коперника.

«К открытию логарифмов, — отмечают Чириков и Юшкевич, — Непер пришел не позднее 1594 года, но лишь двадцать лет спустя опубликовал свое „Описание удивительной таблицы логарифмов“ (1614), содержавшее определение Неперовых логарифмов, их свойства и таблицы логарифмов синусов и косинусов от 0 до 90 градусов с интервалом в 1 минуту, а также разности этих логарифмов, дающие логарифмы тангенсов. Теоретические выводы и объяснения способа вычисления таблицы он изложил в другом труде, подготовленном, вероятно, до „Описания“, но изданном посмертно, в „Построении удивительной таблицы логарифмов“ (1619). Упомянем, что в обоих сочинениях Непер рассматривает и некоторые вопросы тригонометрии. Особенно известны удобные для логарифмирования „аналогии“, т. е. пропорции Непера, применяемые при решении сферических треугольников по двум сторонам и углу между ними, а также по двум углам и прилежащей к ним стороне.

Непер с самого начала вводил понятие логарифма для всех значений непрерывно меняющихся тригонометрических величин — синуса и косинуса. При тогдашнем состоянии математики, когда еще не было аналитического аппарата исчисления бесконечно малых, естественным и единственным средством для этого являлось кинематическое определение логарифма. Быть может, здесь не остались без влияния и традиции, восходившие к оксфордской школе XIV века».

В основе определения логарифма у Непера лежит кинематическая идея, обобщающая на непрерывные величины связь между геометрической профессией и арифметической прогрессией показателей ее членов.

Теорию логарифмов Непер изложил в сочинении «Построение удивительных таблиц логарифмов», посмертно опубликованном в 1619 году и переизданном в 1620 году его сыном Робертом Непером. Вот выдержки из нее:

«Таблица логарифмов — небольшая таблица, с помощью которой можно узнать посредством весьма легких вычислений все геометрические размеры и движения. Она по справедливости названа небольшой, ибо по объему превосходит таблицы синусов, весьма легкой, потому что с ее помощью избегают всех сложных умножений, делений и извлечений корня, и все вообще фигуры и движения измеряются посредством выполнения более легких сложения, вычитания и деления на два. Она составлена из чисел, следующих в непрерывной пропорции.

16. Если из полного синуса с добавленными семью нулями ты вычтешь его 10000000-ую часть, а из полученного таким образом числа — его 10000000-ую часть и так далее, то этот ряд можно легко продолжить до ста чисел в геометрическом отношении, существующем между полным синусом и синусом, меньшим его на единицу, а именно между 10000000 и 9999999, и этот ряд пропорциональных мы назовем Первой таблицей.

17. Вторая таблица следует от полного синуса с шестью добавленными нулями через пятьдесят других чисел, пропорционально убывающих в отношении, которое является простейшим и возможно более близким к отношению между первым и последним числами Первой таблицы.

Поскольку первое и последнее числа Первой таблицы суть 10000000.0000000 и 9999900.004950, то в этом отношении трудно образовать пятьдесят пропорциональных чисел. Близким и в то же время простым отношением является 100000 к 99999, которое можно с достаточной точностью продолжить, добавив к полному синусу шесть нулей и последовательно вычитая из предшествующего его 100000-ую часть. Эта таблица содержит, кроме полного синуса, являющегося первым числом, еще пятьдесят пропорциональных чисел, последнее из которых (если ты не ошибешься) будет 9995001.222927.

18. Третья таблица состоит из шестидесяти девяти столбцов и в каждом столбце расположено двадцать одно число, следующее в отношении, которое является простейшим и возможно более близким к отношению, существующему между первым и последним членами Второй таблицы.

Поэтому ее первый столбец может быть очень легко получен из полного синуса с пятью добавленными нулями и из последующих чисел вычитанием из них 2000-ой части.

19. Первые числа всех столбцов следуют от полного синуса с добавленными четырьмя нулями в отношении, которое является простейшим и близким к отношению, существующему между первым и последним числами первого столбца…

20. В том же отношении должна быть образована прогрессия со второго числа первого столбца для вторых чисел всех столбцов, и с третьего для третьих, и с четвертого для четвертых, и соответственно с остальных для остальных.

Таким образом, из любого числа предыдущего столбца вычитанием его сотой части получается число того же порядка следующего столбца…

21…. этих трех таблиц (после их составления) достаточно для вычисления таблицы логарифмов».

В 1620 году швейцарец Иост Бюрги (1552–1632) — высококвалифицированный механик и часовых дел — мастер опубликовал книгу «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях» (1620).

Как писал сам Бюрги, он исходил из соображений о соответствии между умножением в геометрической прогрессии и сложением в арифметической. Задача состояла в выборе прогрессии со знаменателем, достаточно близким к единице, с тем, чтобы ее члены следовали друг за другом с интервалами, достаточно малыми для практических вычислений.

Однако таблицы Бюрги не получили значительного распространения. Они не могли конкурировать с таблицами Непера, более удобными и к тому времени уже широко известными.

Ни у Непера, ни у Бюрги не было, строго говоря, основания логарифмов, поскольку логарифм единицы отличается от нуля. И значительно позднее, когда уже перешли к десятичным и натуральным логарифмам, еще не было сформулировано определение логарифма, как показателя степени данного основания.

В руководствах оно появляется впервые, вероятно, у В Гардинера (1742). Впрочем, сам Гардинер использовал при этом бумаги преподавателя математики В. Джонса. Широкому распространению современного определения логарифма более других содействовал Эйлер, который применил в этой связи и термин «основание».

Термин «логарифм» принадлежит Неперу, он возник из сочетания греческих слов «отношение» и «число», и означает «число отношения». Хотя первоначально Непер пользовался другим термином — «искусственные числа».

Таблицы Непера, приспособленные к тригонометрическим вычислениям, были неудобны для действий с данными числами. Чтобы устранить эти недостатки, Непер предложил составить таблицы логарифмов, приняв за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти просто единицу. Это предложение он сделал в ходе обсуждения с посетившим его в 1615 году профессором математики Грешем колледжа в Лондоне Генри Бригсом (1561–1631), который и сам задумывался, как усовершенствовать таблицы логарифмов. Заняться осуществлением своего плана Непер не мог из-за пошатнувшегося здоровья, но указал идею двух вычислительных приемов, развитых далее Бригсом.

Бриге опубликовал первые результаты своих кропотливых вычислений — «Первую тысячу логарифмов» (1617) в год смерти Непера. Здесь даны были десятичные логарифмы чисел от 1 до 1000 с четырнадцатью знаками Большинство десятичных логарифмов простых чисел Бриге нашел с помощью извлечения квадратных корней Позднее, уже став профессором в Оксфорде, он выпустил «Логарифмическую арифметику» (1624). В книге содержались четырнадцатизначные логарифмы чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000.

Оставшийся пробел был восполнен голландским книготорговцем и любителем математики Андрианом Флакком (1600–1667). Несколько ранее семизначные десятичные таблицы логарифмов синусов и тангенсов вычислил коллега Бригса по Грешем колледжу, воспитанник Оксфордского университета Эдмунд Гунтер (1581–1626), опубликовавший их в «Своде треугольников» (1620).

Открытие Непера в первые же годы приобрело исключительно широкую известность. Составлением логарифмических таблиц и совершенствованием их занялись очень многие математики. Так, Кеплер в Марбурге в 1624–1625 годах применил логарифмы к построению новых таблиц движений планет. В приложении ко второму изданию «Описания» Непера (1618) было вычислено и несколько натуральных логарифмов. Здесь можно усмотреть подход к введению предела. Вероятнее всего, это дополнение принадлежит В. Отреду. Вскоре лондонский учитель математики Джон Спейделл издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000. Термин «натуральные логарифмы» ввели П. Менголи (1659), а несколько позднее — Н. Меркатор (1668).

Практическое значение вычисленных таблиц было очень велико. Но открытие логарифмов имело также глубочайшее теоретическое значение. Оно вызвало к жизни исследования, о которых не могли и мечтать первые изобретатели, преследовавшие цель только облегчить и ускорить арифметические и тригонометрические выкладки с большими числами. Открытие Непера, в частности, открыло путь в область новых трансцендентных функций и сообщило мощные стимулы в развитии анализа.

ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА

В одном из некрологов Пьеру Ферма говорилось: «Это был один из наиболее замечательных умов нашего века, такой универсальный гений и такой разносторонний, что если бы все ученые не воздали должное его необыкновенным заслугам, то трудно было бы поверить всем вещам, которые нужно о нем сказать, чтобы ничего не упустить в нашем похвальном слове».

К сожалению, о жизни великого ученого известно не так много. Пьер Ферма (1601–1665) родился на юге Франции в небольшом городке Бомон-де-Ломань, где его отец — Доминик Ферма — был «вторым консулом», т. е. помощником мэра.

Доминик Ферма дал своему сыну очень солидное образование. В колледже родного города Пьер приобрел хорошее знание языков: латинского, греческого, испанского, итальянского. Впоследствии он писал стихи на латинском, французском и испанском языках.

Ферма славился как тонкий знаток античности, к нему обращались за консультацией по поводу трудных мест при изданиях греческих классиков. Однако Пьер направил всю силу своего гения на математические исследования. И все же математика не стала его профессией. Ученые его времени не имели возможности посвятить себя целиком любимой науке.

Ферма избирает юриспруденцию. Степень бакалавра была ему присуждена в Орлеане. С 1630 года Ферма переселяется в Тулузу, где получает место советника в Парламенте (т. е. суде). О его юридической деятельности говорится в «похвальном слове», что он выполнял ее «с большой добросовестностью и таким умением, что он славился как один из лучших юристов своего времени».

При жизни Ферма об его математических работах стало известно главным образом через посредство обширной переписки, которую он вел с другими учеными. Собрание сочинений, которое он неоднократно пытался написать, так и не было им создано. Да это и неудивительно при той напряженной работе в суде, которую ему пришлось выполнять. Ни одно из его сочинений не было опубликовано при жизни Однако нескольким трактатам он придал вполне законченный вид, и они стали известны в рукописи большинству современных ему ученых. Кроме этих трактатов осталась еще обширная и чрезвычайно интересная его переписка. В XVII веке, когда еще не было специальных научных журналов, переписка между учеными играла особую роль. В ней ставились задачи, сообщалось о методах их решения, обсуждались острые научные вопросы.

Корреспондентами Ферма были крупнейшие ученые его времени: Декарт, Этьен и Блез Паскали, де-Бееси, Гюйгенс, Торричелли, Валлис. Письма посылались либо непосредственно корреспонденту, либо в Париж аббату Мерсенну (соученику Декарта по колледжу); последний размножал их и посылал тем математикам, которые занимались аналогичными вопросами.

Одной из первых математических работ Ферма было восстановление двух утерянных книг Аполлония «О плоских местах».

Крупную заслугу Ферма перед наукой видят обыкновенно во введении им бесконечно малой величины в аналитическую геометрию, подобно тому, как это несколько ранее было сделано Кеплером в отношении геометрии древних. Он совершил этот важный шаг в своих, относящихся к 1629 году, работах о наибольших и наименьших величинах, — работах, открывших собою тот из важнейших рядов исследований Ферма, которые являются одним из самых крупных звеньев в истории развития не только высшего анализа вообще, но и анализа бесконечно малых в частности.

В конце двадцатых годов Ферма открыл методы нахождения экстремумов и касательных, которые, с современной точки зрения, сводятся к отысканию производной В 1636 году законченное изложение метода было передано Мерсенну, и с ним могли познакомиться все желающие.

До Ферма систематические методы вычисления площадей разработал итальянский ученый Кавальери. Но уже в 1642 году Ферма открыл метод вычисления площадей, ограниченных любыми «параболами» и любыми «гиперболами» Им было показано, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной.

Ферма одним из первых занялся задачей спрямления кривых, т. е. вычислением длины их дуг. Он сумел свести эту задачу к вычислению некоторых площадей.

Таким образом, понятие «площади» у Ферма приобретало уже весьма абстрактный характер. К определению площадей сводились задачи на спрямление кривых, вычисление сложных площадей он сводил с помощью подстановок к вычислению более простых площадей. Оставался только шаг, чтобы перейти от площади к еще более абстрактному понятию «интеграл».

У Ферма есть много других достижений. Он первым пришел к идее координат и создал аналитическую геометрию. Он занимался также задачами теории вероятностей. Но Ферма не ограничивался одной только математикой, он занимался и физикой, где ему принадлежит открытие закона распространения света в средах.

Несмотря на отсутствие доказательств (из них дошло только одно), трудно переоценить значение творчества Ферма в области теории чисел. Ему одному удалось выделить из хаоса задач и частных вопросов, сразу же возникающих перед исследователем при изучении свойств целых чисел, основные проблемы, которые стали центральными для всей классической теории чисел. Ему же принадлежит открытие мощного общего метода для доказательства теоретико-числовых предложений — так называемого метода неопределенного или бесконечного спуска, о котором будет сказано ниже. Поэтому Ферма по праву может считаться основоположником теории чисел.

В письме к де-Бесси от 18 октября 1640 года Ферма высказал следующее утверждение: если число а не делится на простое число р, то существует такой показатель к, что а — делится на р, причем к является делителем р-1. Это утверждение получило название малой теоремы Ферма. Оно является основным во всей элементарной теории чисел. Эйлер дал этой теореме несколько различных доказательств.

Во второй книге своей «Арифметики» Диофант поставил задачу представить данный квадрат в виде суммы двух рациональных квадратов. На полях, против этой задачи, Ферма написал:

«Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». Это и есть знаменитая Великая теорема.

Теорема эта имела удивительную судьбу. В прошлом веке ее исследования привели к построению наиболее тонких и прекрасных теорий, относящихся к арифметике алгебраических чисел. Без преувеличения можно сказать, что она сыграла в развитии теории чисел не меньшую роль, чем задача решения уравнений в радикалах. С той только разницей, что последняя уже решена Галуа, а Великая теорема до сих пор побуждает математиков к исследованиям.

С другой стороны, простота формулировки этой теоремы и загадочные слова о «чудесном доказательстве» ее привели к широкой популярности теоремы среди не математиков и к образованию целой корпорации «ферматистов», у которых, по словам Дэвенпорта, «смелость значительно превосходит их математические способности». Поэтому Великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств.

Сам Ферма оставил доказательство Великой теоремы для четвертых степеней. Здесь он применил новый метод. Ферма пишет, что «поскольку обычные методы, находящиеся в книгах, были недостаточны для доказательства столь трудных предложений, то я, наконец, нашел совершенно особый путь для их достижения. Я назвал этот способ доказательства бесконечным или неопределенным спуском».

Именно этим методом были доказаны многие предложения теории чисел, и, в частности, с его помощью Эйлер доказал Великую теорему для n=4 (способом, несколько отличным от способа Ферма), а спустя 20 лет и для n=3.

Этот метод Ферма описывал в своем письме к Каркави (август 1659 года) следующим образом:

«Если бы существовал некоторый прямоугольный треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы тем же свойством. Если бы существовал второй, меньший первого, который имел бы то же свойство, то существовал бы, в силу подобного рассуждения, третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый, пятый, спускаясь до бесконечности. Но если задано число, то не существует бесконечности по спуску меньших его (я все время подразумеваю целые числа). Откуда заключают, что не существует никакого прямоугольного треугольника с квадратной площадью».

Далее Ферма говорит, что после долгих размышлений он смог применить свой метод и для доказательства других утвердительных предложений. «Но для применения метода к доказательству других предложений, — пишет И.Г Башмакова, — например, для доказательства того, что каждое число представимо суммой не более четырех квадратов, требуется применение „новых принципов“, на которых Ферма подробнее не останавливается. Далее идет перечисление всех теорем, которые Ферма доказал, пользуясь методом спуска. Среди них находится и великая теорема для случая n=3. В конце письма Ферма выражает надежду, что этот метод окажется полезным для последующих математиков и покажет им, что „древние не все знали“. К сожалению, это письмо было опубликовано только в 1879 году. Однако Эйлер восстановил метод по отдельным замечаниям Ферма и с успехом применил его к проблемам неопределенного анализа. Ему, в частности, принадлежит и доказательство великой теоремы для n=3. Напомним, что первая попытка доказать неразложимость куба натурального числа в сумму двух кубов была сделана около 1000 года на арабском Востоке.

Метод спуска вновь начал играть ведущую роль в исследованиях по диофантову анализу А. Пуанкаре и А. Вейля. В настоящее время для применения этого метода вводится понятие высоты, т. е. такого натурального числа, которое определенным образом ставится в соответствие каждому рациональному решению. При этом если удастся доказать, что для каждого рационального решения высоты А найдется другое решение высоты меньше А, то отсюда будут следовать неразрешимость задачи в рациональных числах».

Вся последующая алгебраическая теория чисел вплоть до работ Гаусса развивалась, отталкиваясь от проблем Ферма. В XIX веке исследования, связанные с великой теоремой Ферма и законами взаимности, потребовали расширения области арифметики. Куммер, занимаясь Великой теоремой Ферма, построил арифметику для целых алгебраических чисел определенного вида. Это позволило ему доказать Великую теорему для некоторого класса простых показателей п. В настоящее время справедливость Великой теоремы проверена для всех показателей n меньше 5500.

Отметим также, что Великая теорема связана не только с алгебраической теорией чисел, но и с алгебраической геометрией, которая сейчас интенсивно развивается.

Но Великая теорема в общем виде еще не доказана. Поэтому мы вправе ожидать здесь появления новых идей и методов.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

«Можно считать, — пишет В.А. Никифоровский, — что теория вероятностей не как наука, а как собрание эмпирических наблюдений, сведений существует издавна, столько, сколько существует игра в кости. Действительно, опытный игрок знал и, вероятно, учитывал в игре, что разные выпадения числа очков имеют разную частоту появления. При метании трех костей, например, три очка могут выпасть только одним способом (по очку на каждой кости), а четыре очка — тремя способами: 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2. Элементарные понятия теории вероятностей возникли, как уже было сказано, в связи с задачами азартных игр, обработки результатов астрономических наблюдений, задачами статистики, практики страховых обществ. Страхование получило широкое распространение вместе с развитием мореплавания и морской торговли».

Еще в шестнадцатом веке видные математики Тарталья и Кардано обратились к задачам теории вероятностей в связи с игрой в кости и подсчитали различные варианты выпадения очков.

Кардано в своей работе «Об азартной игре» привел расчеты, очень близкие к полученным позднее, когда теория вероятностей уже утвердилась как наука.

Тот же Кардано сумел подсчитать, сколькими способами даст метание двух или трех костей то или иное число очков. Он определил полное число возможных выпадений. Другими словами, Кардано вычислил вероятности тех или иных выпадений. Однако все таблицы и вычисления Тартальи и Кардано стали лишь материалом для будущей науки. «Исчисление вероятностей, всецело построенное на точных заключениях, мы находим впервые только у Паскаля и Ферма», — утверждает Цейтен.

Ферма и Паскаль действительно стали основателями математической теории вероятностей.

Блез Паскаль (1623–1662) родился в Клермоне. Вся семья Паскалей отличалась выдающимися способностями. Что касается самого Блеза, он с раннего детства обнаруживал признаки необыкновенного умственного развития.

В 1631 году, когда маленькому Паскалю было восемь лет, его отец переселился со всеми детьми в Париж, продав по тогдашнему обычаю свою должность и вложив значительную часть своего небольшого капитала в Отель де-Вилль.

Имея много свободного времени, Этьен Паскаль почти исключительно занялся умственным воспитанием сына. Он сам много занимался математикой и любил собирать у себя в доме математиков. Но, составив план занятий сына, он отложил математику до тех пор, пока сын не усовершенствуется в латыни. Каково же было удивление отца, когда он увидел сына, самостоятельно пытавшегося доказать свойства треугольника.

Собрания, проходившие у отца Паскаля и у некоторых из его приятелей, приобрели характер настоящих ученых заседаний. С шестнадцатилетнего возраста молодой Паскаль также стал принимать деятельное участие в занятиях кружка. Он был уже настолько силен в математике, что овладел почти всеми известными в то время методами, и среди членов, наиболее часто делавших новые сообщения, он был одним из первых.

Шестнадцати лет Паскаль написал весьма примечательный трактат о конических сечениях. Однако усиленные занятия вскоре подорвали и без того слабое здоровье Паскаля. В восемнадцать лет он уже постоянно жаловался на головную боль, на что первоначально не обращали особого внимания. Но окончательно расстроилось здоровье Паскаля во время чрезмерных работ над изобретенной им арифметической машиной.

Придуманная Паскалем машина была довольно сложна по устройству, и вычисление с ее помощью требовало значительного навыка. Этим и объясняется, почему она осталась механической диковинкой, возбуждавшей удивление современников, но не вошедшей в практическое употребление.

Со времени изобретения Паскалем арифметической машины имя его стало известным не только во Франции, но и за ее пределами.

В 1643 году Торричелли предпринял опыты по подъему различных жидкостей в трубках и насосах. Торричелли вывел, что причиною подъема, как воды, так и ртути, является вес столба воздуха, давящего на открытую поверхность жидкости.

Эти эксперименты заинтересовали Паскаля. Зная, что воздух имеет вес, он решает объяснить явления, наблюдаемые в насосах и в трубках, действием этого веса. Главная трудность, однако, состояла в том, чтобы объяснить способ передачи давления воздуха. Блез рассуждал так: если давление воздуха действительно служит причиной рассматриваемых явлений, то из этого следует, что чем меньше или ниже, при прочих равных условиях, столб воздуха, давящий на ртуть, тем ниже будет столб ртути в барометрической трубке.

В результате эксперимента Паскаль показал, что давление жидкости распространяется во все стороны равномерно и что из этого свойства жидкостей вытекают почти все остальные их механические свойства. Далее ученый нашел, что и давление воздуха по способу своего распространения совершенно подобно давлению воды.

В области математики Паскаль в первую очередь известен своим вкладом в теорию вероятностей. Как выразился Пуассон, «задача, относившаяся к азартным играм и поставленная перед суровым янсенистом светским человеком, была источником теории вероятностей». Этим светским человеком был кавалер де Мере, а «суровым янсенистом» — Паскаль. Считается, что де Мере был азартнейшим игроком. На самом деле он серьезно интересовался наукой.

Как бы там ни было, де Мере задал Паскалю следующий вопрос: каким образом разделить старку между игроками в случае, если игра не была окончена? Решение этой задачи совершенно не поддавалось всем известным до того времени математическим методам.

Здесь предстояло решить вопрос, не зная, который из игроков мог бы выиграть в случае продолжения игры? Ясно, что речь шла о задаче, которую надо было решить на основании степени вероятности выигрыша или проигрыша того или другого игрока. Но до тех пор ни одному математику еще не приходило в голову вычислять события только вероятные. Казалось, что задача допускает лишь гадательное решение, то есть что делить ставку надо совершенно наудачу, например, метанием жребия, определяющего, за кем должен остаться окончательный выигрыш.

Необходим был гений Паскаля и Ферма, чтобы понять, что такого рода задачи допускают вполне определенные решения и что «вероятность» есть величина, доступная измерению. Допустим, требуется узнать, как велика вероятность вынуть белый шар из урны, содержащей два белых шара и один черный. Всех шаров три, и белых шаров вдвое больше, чем черных. Ясно, что правдоподобнее предположить при доставании наудачу, что будет вытянут белый шар, нежели черный. Может как раз случиться, что мы вынем черный шар; но все же мы вправе сказать, что вероятность этого события меньше, чем вероятность вынуть белый. Увеличивая число белых шаров и оставляя один черный, легко видеть, что вероятность вынуть черный шар будет уменьшаться. Так, если бы белых шаров было тысяча, а черных — один и если бы кому-либо предложили побиться об заклад, что будет вынут черный шар, а не белый, то только сумасшедший или азартный игрок решился бы поставить на карту значительную сумму в пользу черного шара.

Уяснив себе понятие об измерении вероятности, легко понять, каким образом Паскаль решил задачу, предложенную де Мере. Очевидно, что Для вычисления вероятности надо узнать отношение между числом случаев благоприятных событию и числом всех возможных случаев (как благоприятных, так и неблагоприятных). Полученное отношение и есть искомая вероятность. Так, если белых шаров сто, а черных, положим, десять, то всех «случаев» будет сто десять, из них десять в пользу черных шаров. Поэтому вероятность вынуть черный шар будет 10 к 110, или 1 к 11.

Две задачи, предложенные кавалером де Мере, сводятся к следующему. Первая: как узнать, сколько раз надо метать две кости в надежде получить наибольшее число очков, то есть двенадцать; другая: как распределить выигрыш между двумя игроками в случае неоконченной партии. Первая задача сравнительно легка: надо определить, сколько может быть различных сочетаний очков; лишь одно из этих сочетаний благоприятно событию, все остальные неблагоприятны, и вероятность вычисляется очень просто. Вторая задача значительно труднее. Обе были решены одновременно в Тулузе математиком Ферма и в Париже Паскалем. По этому поводу в 1654 году между Паскалем и Ферма завязалась переписка, и, не будучи знакомы лично, они стали лучшими друзьями. Ферма решил обе задачи посредством придуманной им теории сочетаний. Решение Паскаля было значительно проще: он исходил из чисто арифметических соображений. Нимало не завидуя Ферма, Паскаль, наоборот, радовался совпадению результатов и писал: «С этих пор я желал бы раскрыть перед вами свою душу, так я рад тому, что наши мысли встретились. Я вижу, что истина одна и та же в Тулузе и в Париже».

Вот краткое решение Паскаля. Предположим, говорит Паскаль, что играют два игрока и что выигрыш считается окончательным после победы одного из них в трех партиях. Предположим, что ставка каждого игрока составляет 32 червонца и что первый уже выиграл две партии (ему не хватает одной), а второй выиграл одну (ему не хватает двух). Им предстоит сыграть еще партию. Если ее выиграет первый, он получит всю сумму, то есть 64 червонца; если второй, у каждого будет по две победы, шансы обоих станут равны, и в случае прекращения игры каждому, очевидно, надо дать поровну.

Итак, если выиграет первый, он получит 64 червонца. Если выиграет второй, то первый получит лишь 32. Поэтому, если оба согласны не играть предстоящей партии, то первый вправе сказать: 32 червонца я получу во всяком случае, даже если я проиграю предстоящую партию, которую мы согласились признать последней. Стало быть, 32 червонца мои. Что касается остальных 32 — может быть, их выиграю я, может быть, и вы; поэтому разделим эту сомнительную сумму пополам. Итак, если игроки разойдутся, не сыграв последней партии, то первому надо дать 48 червонцев, или же s, всей суммы, второму 16 червонцев, или, из чего видно, что шансы первого из них на выигрыш втрое больше, чем второго (а не вдвое, как можно было бы подумать при поверхностном рассуждении).

Несколько позднее Паскаля и Ферма к теории вероятностей обратился Хейнгенс Христиан Гюйгенс (1629–1695). До него дошли сведения об их успехах в новой области математики. Гюйгенс пишет работу «О расчетах в азартной игре». Она впервые вышла в виде приложения к «Математическим этюдам» его учителя Схоотена в 1657 году. До начала восемнадцатого века «Этюды…» оставались единственным руководством по теории вероятностей и оказали большое влияние на многих математиков.

В письме Схоотену Гюйгенс заметил: «Я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории». Подобное высказывание говорит о том, что Гюйгенс глубоко понимал существо рассматриваемого предмета.

Именно Гюйгенс ввел понятие математического ожидания и приложил его к решению задачи о разделении ставки при разном числе игроков и разном количестве недостающих партий и к задачам, связанным с бросанием игральных костей. Математическое ожидание стало первым основным теоретико-вероятностным понятием.

В XVII веке появляются первые работы по статистике. Они посвящены, главным образом, подсчету распределения рождений мальчиков и девочек, смертности людей различных возрастов, необходимого количества людей разных профессий, величины налогов, народного богатства, доходов. При этом применялись методы, связанные с теорией вероятностей. Подобные работы способствовали ее развитию.

Галлей при составлении таблицы смертности в 1694 году осреднял данные наблюдений по возрастным группам. По его мнению, имеющиеся отклонения «видимо, вызваны случаем», что данные не имели бы резких отклонений при «намного большем» числе лет наблюдений.

Теория вероятностей имеет огромное применение в самых различных областях. Посредством нее астрономы, например, определяют вероятные ошибки наблюдений, а артиллеристы вычисляют вероятное количество снарядов, могущих упасть в определенном районе, а страховые общества — размер премий и процентов, уплачиваемых при страховании жизни и имущества.

А во второй половине девятнадцатого столетия зародилась так называемая «статистическая физика», представляющая собой область физики, специально изучающей огромные совокупности атомов и молекул, составляющие любое вещество, с точки зрения вероятностей.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ СЧИСЛЕНИЕ

Задолго до Ньютона и Лейбница многие философы и математики занимались вопросом о бесконечно малых, но ограничились лишь самыми элементарными выводами. Еще древние греки употребляли в геометрических исследованиях способ пределов, посредством которого вычисляли, например, площадь круга. Особенное развитие дал этому способу величайший математик древности Архимед, открывший с его помощью множество замечательных теорем. Кеплер и в этом отношении ближе всех подошел к открытию Ньютона. По случаю чисто житейского спора между покупщиком и продавцом из-за нескольких кружек вина Кеплер занялся геометрическим определением емкости бочкообразных тел. В этих исследованиях видно уже весьма отчетливое представление о бесконечно малых. Так, Кеплер рассматривал площадь круга как сумму бесчисленных весьма малых треугольников или, точнее, как предел такой суммы. Позднее тем же вопросом занялся итальянский математик Кавальери. В особенности много сделали в этой области французские математики XVII века Роберваль, Ферма и Паскаль. Но только Ньютон и несколько позднее Лейбниц создали настоящий метод, давший огромный толчок всем отраслям математических наук.

По замечанию Огюста Конта, дифференциальное исчисление, или анализ бесконечно малых величин, есть мост, перекинутый между конечным и бесконечным, между, человеком и природой: глубокое познание законов природы невозможно при помощи одного грубого анализа конечных величин, потому что в природе на каждом шагу — бесконечное, непрерывное, изменяющееся.

Ньютон создал свой метод, опираясь на прежние открытия, сделанные им в области анализа, но в самом главном вопросе он обратился к помощи геометрии и механики.

Когда именно Ньютон открыл свой новый метод, в точности неизвестно. По тесной связи этого способа с теорией тяготения следует думать, что он был выработан Ньютоном между 1666 и 1669 годами и во всяком случае раньше первых открытий, сделанных в этой области Лейбницем. «Математику Ньютон считал основным инструментом физических исследований, — отмечает В.А. Никифоровский, — и разрабатывал ее для многочисленных дальнейших приложений. После длительных размышлений он пришел к исчислению бесконечно малых на основе концепции движения; математика для него не выступала как абстрактный продукт человеческого ума. Он считал, что геометрические образы — линии, поверхности, тела — получаются в результате движения: линия — при движении точки, поверхность — при движении линии, тело — при движении поверхности. Эти движения осуществляются во времени, и за сколь угодно малое время точка, например, пройдет сколь угодно малый путь. Для нахождения мгновенной скорости, скорости в данный момент, необходимо найти отношение приращения пути (по современной терминологии) к приращению времени, а затем — предел этого отношения, т. е. взять „последнее отношение“, когда приращение времени стремится к нулю. Так Ньютон ввел отыскание „последних отношений“, производных, которые он называл флюксиями…

…Использование теоремы о взаимной обратности операций дифференцирования и интегрирования, известной еще Барроу, и знание производных многих функций дало Ньютону возможность получить интегралы (по его терминологии, флюенты). Если интегралы непосредственно не вычислялись, Ньютон разлагал подынтегральную функцию в степенной ряд и интегрировал его почленно. Для разложения функций в ряды он чаще всего пользовался открытым им разложением бинома, применял и элементарные методы…»

Новый математический аппарат был апробирован ученым уже ко времени создания основного труда своей жизни — «Математических начал натуральной философии». В тот период Ньютон свободно владел дифференцированием, интегрированием, разложением в ряд, интегрированием дифференциальных уравнений, интерполированием.

«Свои открытия Ньютон, — продолжает В.А.Никифоровский, — сделал раньше Лейбница, но своевременно не опубликовал их; все его математические сочинения были изданы после того, как он стал знаменитым. Зимой 1664–1665 годов Ньютон нашел вид общего разложения бинома с произвольным показателем степени. В 1666 году он подготовил рукопись „Следующие предложения достаточны, чтобы решать задачи с помощью движения“, содержащую основные открытия по математике. Рукопись осталась в черновом варианте и была опубликована только через триста лет.

В „Анализе с помощью уравнений с бесконечным числом членов“, написанном в 1665 году, Ньютон изложил свои результаты в учении о бесконечно малых рядах, в приложении рядов к решению уравнений…

…В 1670–1671 годах Ньютон стал готовить к изданию более полную работу — „Метод флюксий и бесконечных рядов“. Издателя найти не удалось: в то время книги по математике приносили убыток…В „Методе флюксий“ учение Ньютона выступает как система: рассматривается исчисление флюксий, приложение их к определению касательных, нахождению экстремумов, кривизны, вычисление квадратур, решение уравнений с флюксиями, что соответствует современным дифференциальным уравнениям».

Лишь в 1704 году вышел первый из всех трудов Ньютона по анализу — написанное им в 1665–1666 годах. Еще через семь лет опубликовали «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов». «Метод флюксий» увидел свет только после смерти автора в 1736 году.

Долгое время Ньютон и не подозревал, что на континенте успешно занимается подобной проблемой немец Лейбниц До поры до времени высоко ценившие заслуги друг друга, в конце концов, ученые втянулись в полемику о приоритете открытия исчисления бесконечно малых.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) родился в Лейпциге. Мать Лейбница, заботясь об образовании сына, отдала его в школу Николаи, считавшуюся в то время лучшей в Лейпциге. Готфрид целыми днями просиживал в отцовской библиотеке. Без разбора читал он Платона, Аристотеля, Цицерона, Декарта.

Готфриду не было еще четырнадцати лет, когда он изумил своих школьных учителей, проявив талант, которого в нем никто не подозревал. Он оказался поэтом, — по тогдашним понятиям истинный поэт мог писать только по-латыни или по-гречески.

Пятнадцатилетним юношей Готфрид стал студентом Лейпцигского университета. Официально Лейбниц считался на юридическом факультете, но специальный круг юридических наук далеко не удовлетворял его. Кроме лекций по юриспруденции, он усердно посещал и многие другие, в особенности по философии и математике.

Желая пополнить свое математическое образование, Готфрид отправился в Иену, где славился математик Вейгель. Возвратившись в Лейпциг, Лейбниц блистательно выдержал экзамен на степень магистра «свободных искусств и мировой мудрости», то есть словесности и философии. Готфриду в то время не было и 18 лет. На следующий год, на время обратившись к математике, он пишет «Рассуждение о комбинаторном искусстве».

Осенью 1666 года Лейбниц уехал в Альторф, университетский город маленькой Нюрнбергской республики. Здесь 5 ноября 1666 года Лейбниц блистательно защитил докторскую диссертацию «О запутанных делах».

В 1667 году Готфрид отправился в Майнц к курфюрсту, которому был немедленно представлен. В течение пяти лет Лейбниц занимал видное положение при майнцском дворе Этот период в его жизни был временем оживленной литературной деятельности. Лейбниц написал целый ряд сочинений философского и политического содержания.

18 марта 1672 года Лейбниц выехал во Францию с важной дипломатической миссией. Знакомство с парижскими математиками в самое короткое время доставило Лейбницу те сведения, без которых он, при всей своей гениальности, никогда не смог бы достичь в области математики ничего истинно великого. Школа Ферма, Паскаля и Декарта была необходима будущему изобретателю дифференциального исчисления.

Настоящие занятия математикой начались для Лейбница лишь после посещения Лондона в 1675 году. По возвращении в Париж Лейбниц разделял свое время между занятиями математикой и работами философского характера. Математическое направление все более одерживало в нем верх над юридическим, точные науки привлекали его теперь более, чем диалектика римских юристов.

В последний год своего пребывания в Париже в 1676 году Лейбниц выработал первые основания великого математического метода, известного под названием «дифференциальное исчисление». Факты с достаточной убедительностью доказывают, что Лейбниц хотя и не знал о методе флюксий, но был подведен к открытию письмами Ньютона. С другой стороны, несомненно, что открытие Лейбница по общности, удобству обозначения и подробной разработке метода стало орудием анализа значительно могущественнее и популярнее Ньютонова метода флюксий. Даже соотечественники Ньютона, из национального самолюбия долгое время предпочитавшие метод флюксий, мало-помалу усвоили более удобные обозначения Лейбница; что касается немцев и французов, они даже слишком мало обратили внимания на способ Ньютона, в иных случаях сохранивший значение до настоящего времени.

Математический метод Лейбница находится в теснейшей связи с его позднейшим учением о монадах — бесконечно малых элементах, из которых он пытался построить Вселенную. Математическая аналогия, применение теории наибольших и наименьших величин к нравственной области дали Лейбницу то, что он считал путеводною нитью в нравственной философии.

Политическая деятельность Лейбница в значительной мере отвлекала его от занятий математикой. Тем не менее все свое свободное время он посвятил обработке изобретенного им дифференциального исчисления и в промежуток времени между 1677 и 1684 годами успел создать целую новую отрасль математики.

В 1684 году Лейбниц напечатал в журнале «Труды ученых» систематическое изложение начал дифференциального исчисления. Все опубликованные им трактаты, особенно последний, появившийся почти тремя годами раньше появления в свет первого издания «Начал» Ньютона, дали науке такой огромный толчок, что в настоящее время трудно даже оценить все значение реформы, произведенной Лейбницем в области математики. То, что смутно представлялось умам лучших французских и английских математиков, исключая Ньютона, обладавшего своим методом флюксий, стало вдруг ясным, отчетливым и общедоступным, чего нельзя сказать о гениальном методе Ньютона.

«Лейбниц в противовес конкретному, эмпиричному, осмотрительному Ньютону, — пишет В.П. Карцев, — был в области исчисления крупным систематиком, дерзким новатором. Он с юности мечтал создать символический язык, знаки которого отражали бы целые сцепления мыслей, давали бы исчерпывающую характеристику явления. Этот амбициозный и нереальный проект был, конечно, неосуществим; но он, видоизменившись, превратился в универсальную систему обозначений исчисления малых, которой мы пользуемся до сих пор. Он свободно оперирует знаками… которые он справедливо считает знаками обратных операций, и обращается с ними столь же вольно и свободно, как с алгебраическими символами. Он легко оперирует производными высших порядков, в то время как Ньютон вводит флюксии высшего порядка строго ограниченно, если это необходимо для решения конкретной задачи.

Лейбниц видел в своих дифференциалах и интегралах всеобщий метод, сознательно стремился к созданию жесткого алгоритма упрощенного решения ранее не решавшихся задач.

Ньютон же нисколько не заботился о том, чтобы сделать свой метод общедоступным. Его символика введена им лишь для „внутреннего“, личного потребления, он ее строго не придерживался».

Вот мнение советского математика А. Шибанова: «Склоняясь перед непререкаемым авторитетом своего великого соотечественника, английские ученые впоследствии канонизировали каждый штрих, каждую мельчайшую деталь его научной деятельности, даже введенные им для личного употребления математические знаки». «Над английской наукой тяготела традиция почитания Ньютона, и его обозначения, неуклюжие по сравнению с обозначениями Лейбница, затрудняли прогресс», — соглашается голландский ученый Д.Я. Стройк.

В письме, написанном в июне 1677 года, Лейбниц прямо раскрывал Ньютону свой метод дифференциального исчисления. Тот на письмо Лейбница не ответил. Ньютон считал, что открытие принадлежит ему навечно. При этом достаточно того, что оно было запрятано лишь в его голове. Ученый искренне считал: своевременная публикация не приносит никаких прав. Перед Богом первооткрывателем всегда останется тот, кто открыл первым.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ

«Основная теорема алгебры в виде утверждения: алгебраическое уравнение имеет столько корней, какова его степень, высказана Жираром и Декартом, — отмечает в своей книге „В мире уравнений“ В.А. Никифоровский. — Ее формулировка, состоящая в том, что алгебраический многочлен с действительными коэффициентами раскладывается в произведение действительных линейных и квадратичных множителей, принадлежит Д'Аламберу и Эйлеру. Эйлер впервые сообщил об этом в письме Николаю I Бернулли (1687–1759) от 1 сентября 1742 года. Отсюда следовало, что корни алгебраических уравнений с действительными коэффициентами принадлежат полю комплексных чисел».

Первое доказательство теоремы предпринял в 1746 году Д'Аламбер (1717–1783). Доказательство основной теоремы алгебры, выполненное Д'Аламбером, было, однако, аналитическим, а не алгебраическим. Французский математик воспользовался не оформившимися еще в то время понятиями анализа, такими, как степенной ряд, бесконечно малая. Неудивительно, что доказательство теоремы страдало погрешностями и позднее подверглось разгромной критике Гаусса, а затем было забыто.

Новый и значительный шаг в доказательстве основной теоремы алгебры сделал Эйлер.

Леонард Эйлер (1707–1783) родился в Базеле. По окончании домашнего обучения тринадцатилетний Леонард был отправлен отцом в Базельский университет для слушания философии.

Среди других предметов на этом факультете изучались элементарная математика и астрономия, которые преподавал Иоганн Бернулли. Вскоре Бернулли заметил талантливость юного слушателя и начал заниматься с ним отдельно.

Получив в 1723 году степень магистра, после произнесения речи на латинском языке о философии Декарта и Ньютона, Леонард, по желанию своего отца, приступил к изучению восточных языков и богословия. Но его все больше влекло к математике. Эйлер стал бывать в доме своего учителя, и между ним и сыновьями Иоганна Бернулли — Николаем и Даниилом — возникла дружба, сыгравшая очень большую роль в жизни Леонарда.

В 1725 году братья Бернулли были приглашены в члены Петербургской академии наук. Они способствовали тому, что и Эйлер переехал в Россию.

Открытия Эйлера, которые благодаря его оживленной переписке нередко становились известными задолго до издания, делают его имя все более широко известным. Улучшается его положение в Академии наук в 1727 году он начал работу в звании адъюнкта, то есть младшего по рангу академика, а в 1731 году он стал профессором физики, т. е. действительным членом Академии. В 1733 году получил кафедру высшей математики, которую до него занимал Д Бернулли, возвратившийся в этом году в Базель. Рост авторитета Эйлера нашел своеобразное отражение в письмах к нему его учителя Иоганна Бернулли. В 1728 году Бернулли обращается к «ученейшему и даровитейшему юному мужу Леонарду Эйлеру», в 1737 году — к «знаменитейшему и остроумнейшему математику», а в 1745 году — к «несравненному Леонарду Эйлеру — главе математиков».

В 1736 году появились два тома его аналитической механики. Потребность в этой книге была большая. Немало было написано статей по разным вопросам механики, но хорошего трактата по механике еще не имелось.

В 1738 году появились две части введения в арифметику на немецком языке, в 1739 году — новая теория музыки.

В конце 1740 года власть в России перешла в руки регентши Анны Леопольдовны и ее окружения. В столице сложилась тревожная обстановка. В это время прусский король Фридрих II задумал возродить основанное еще Лейбницем Общество наук в Берлине, долгие годы почти бездействовавшее. Через своего посла в Петербурге король пригласил Эйлера в Берлин. Эйлер, считая, что «положение начало представляться довольно неуверенным», приглашение принял.

В Берлине Эйлер поначалу собрал около себя небольшое ученое общество, а затем был приглашен в состав вновь восстановленной королевской Академии наук и назначен деканом математического отделения. В 1743 году он издал пять своих мемуаров, из них четыре по математике. Один из этих трудов замечателен в двух отношениях. В нем указывается на способ интегрирования рациональных дробей путем разложения их на частные дроби и, кроме того, излагается обычный теперь способ интегрирования линейных обыкновенных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Вообще большинство работ Эйлера посвящено анализу. Эйлер так упростил и дополнил целые большие отделы анализа бесконечно малых, интегрирования функций, теории рядов, дифференциальных уравнений, начатые уже до него, что они приобрели примерно ту форму, которая за ними в большой мере остается и до сих пор. Эйлер, кроме того, начал целую новую главу анализа — вариационное исчисление. Это его начинание вскоре подхватил Лагранж, и сложилась новая наука.

Доказательство Эйлера основной теоремы алгебры опубликовано в 1751 году в работе «Исследования о воображаемых корнях уравнений».

Эйлер выполнил наиболее алгебраическое доказательство теоремы. Позднее его основные идеи повторялись и углублялись другими математиками. Так, методы исследования уравнений получили развитие сначала у Лагранжа, а затем вошли составной частью в теорию Галуа.

Основная теорема состояла в том, что все корни уравнения принадлежат полю комплексных чисел. Для доказательства подобного положения Эйлер установил, что всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение действительных линейных или квадратичных множителей.

Значения чисел, не являющиеся действительными, «Эйлер называл воображаемыми, — пишет Никифоровский, — и указывал, что обычно считают их такими, которые попарно в сумме и произведении дают действительные числа Следовательно, если воображаемых корней будет 2 т, то это даст т действительных квадратичных множителей в представлении многочлена. Эйлер пишет. „Поэтому говорят, что каждое уравнение, которое нельзя разложить на действительные простые множители, имеет всегда действительные множители второй степени. Однако никто, насколько я знаю, еще не доказал достаточно строго истинность этого мнения; я постараюсь поэтому дать ему доказательство, которое охватывает все без исключения случаи“.

Такой же концепции придерживались Лагранж, Лаплас и некоторые другие последователи Эйлера. Не согласен с ней был Гаусс.

Эйлер сформулировал три теоремы, вытекающие из свойств непрерывных функций.

1. Уравнение нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень. Если таких корней больше одного, то число их нечетно.

2. Уравнение четной степени либо имеет четное число действительных корней, либо не имеет их совсем.

3. Уравнение четной степени, у которого свободный член отрицательный, имеет по меньшей мере два действительных корня разных знаков.

Вслед за этим Эйлер доказал теоремы о разложимости на линейные и квадратичные действительные множители многочленов с действительными коэффициентами…

При доказательстве основной теоремы Эйлер установил два свойства алгебраических уравнений: 1) рациональная функция корней уравнения, принимающая при всех возможных перестановках корней А различных значений, удовлетворяет уравнению степени А, коэффициенты которого выражаются рационально через коэффициенты данного уравнения; 2) если рациональная функция корней уравнения инвариантна (не меняется) относительно перестановок корней, то она рационально выражается через коэффициенты исходного уравнения».

П.С. Лаплас в лекциях по математике 1795 года, вслед за Эйлером и Лагранжем, допускает разложение многочлена на множители. При этом Лаплас доказывает, что они будут действительными.

Таким образом, и Эйлер, и Лагранж, и Лаплас строили доказательство основной теоремы алгебры на предположении существования поля разложения многочлена на множители.

Особая роль в доказательствах основной теоремы принадлежит «королю математиков» Гауссу.

Карл Фридрих Гаусс родился (1777–1855) в Брауншвейге. Он унаследовал от родных отца крепкое здоровье, а от родных матери яркий интеллект. В семь лет Карл Фридрих поступил в Екатерининскую народную школу. В 1788 году Гаусс переходит в гимназию. Впрочем, в ней не учат математике. Здесь изучают классические языки. Гаусс с удовольствием занимается языками и делает такие успехи, что даже не знает, кем он хочет стать — математиком или филологом.

О Гауссе узнают при дворе. В 1791 году его представляют Карлу Вильгельму Фердинанду — герцогу Брауншвейгскому. Мальчик бывает во дворце и развлекает придворных искусством счета. Благодаря покровительству герцога Гаусс смог в октябре 1795 года поступить в Геттингенский университет. Первое время он слушает лекции по филологии и почти не посещает лекций по математике. Но это не означает, что он не занимается математикой.

В 1795 году Гаусса охватывает страстный интерес к целым числам. Осенью того же года Гаусс переезжает в Геттинген и прямо-таки проглатывает впервые попавшуюся в его руки литературу: работы Эйлера и Лагранжа.

«30 марта 1796 года наступает для него день творческого крещения. — пишет Ф. Клейн, — Гаусс уже занимался с некоторого времени группировкой корней из единицы на основании своей теории „первообразных“ корней. И вот однажды утром, проснувшись, он внезапно ясно и отчетливо осознал, что из его теории вытекает построение семнадцатиугольника… Это событие явилось поворотным пунктом жизни Гаусса. Он принимает решение посвятить себя не филологии, а исключительно математике».

Работа Гаусса надолго становится недосягаемым образцом математического открытия. Один из создателей неевклидовой геометрии Янош Бойяи называл его «самым блестящим открытием нашего времени или даже всех времен». Только трудно было это открытие постигнуть! Благодаря письмам на родину великого норвежского математика Абеля, доказавшего неразрешимость в радикалах уравнения пятой степени, мы знаем о трудном пути, который он прошел, изучая теорию Гаусса. В 1825 году Абель пишет из Германии: «Если даже Гаусс — величайший гений, он, очевидно, не стремился, чтобы все это сразу поняли…» Работа Гаусса вдохновляет Абеля на построение теории, в которой «столько замечательных теорем, что просто не верится». Несомненно влияние Гаусса и на Галуа.

Сам Гаусс сохранил трогательную любовь к своему первому открытию на всю жизнь.

30 марта 1796 года, в день, когда был построен правильный семнад-цатиугольник, начинается дневник Гаусса — летопись его замечательных открытий. Следующая запись в дневнике появилась уже 8 апреля. В ней сообщалось о доказательстве теоремы квадратичного закона взаимности, которую он назвал «золотой». Частные случаи этого утверждения доказали Ферма, Эйлер, Лагранж. Эйлер сформулировал общую гипотезу, неполное доказательство которой дал Лежандр. 8 апреля Гаусс нашел полное доказательство гипотезы Эйлера. Впрочем, Гаусс еще не знал о работах своих великих предшественников. Весь нелегкий путь к «золотой теореме» он прошел самостоятельно!

Два великих открытия Гаусс сделал на протяжении всего 10 дней, за месяц до того, как ему исполнилось 19 лет! Одна из самых удивительных сторон «феномена Гаусса» заключается в том, что он в своих первых работах практически не опирался на достижения предшественников, переоткрыв за короткий срок то, что было сделано в теории чисел за полтора века трудами крупнейших математиков.

В 1801 году вышли знаменитые «Арифметические исследования» Гаусса. Эта огромная книга (более 500 страниц крупного формата) содержит основные результаты Гаусса. «Арифметические исследования» оказали огромное влияние на дальнейшее развитие теории чисел и алгебры. Законы взаимности до сих пор занимают одно из центральных мест в алгебраической теории чисел.

В Брауншвейге Гаусс не имел возможности знакомиться с литературой, необходимой для работы над «Арифметическими исследованиями». Поэтому он часто ездил в соседний Гельмштадт, где была хорошая библиотека. Здесь в 1798 году Гаусс подготовил диссертацию, посвященную доказательству основной теоремы алгебры.

Гаусс оставил после себя сразу четыре доказательства основной теоремы алгебры. Первому доказательству он посвятил выпущенную в 1799 году докторскую диссертацию под названием «Новое доказательство теоремы о том, что всякая целая рациональная алгебраическая функция одного непременного может быть разложена на действительные множители первой и второй степени».

Гаусс не преминул обратить внимания на пробелы у Эйлера, а главное, подверг критике саму постановку вопроса, когда заранее предполагалось существование корней уравнений.

Первое доказательство Гаусса, как и Д'Аламбера, было аналитическим. Во втором доказательстве, выполненном им в 1815 году, знаменитый математик опять вернулся к критике доказательства основной теоремы алгебры при помощи рассуждения, когда заранее предполагается существование корней уравнения.

Гаусс так пояснил во вводном параграфе необходимость нового доказательства: «Хотя доказательство о разложении целой рациональной функции на множители, которое я дал в мемуаре, опубликованном 16 лет тому назад, не оставляет желать лучшего в отношении строгости и простоты, надо надеяться, что математики не будут считать нежелательным, что я вновь возвращаюсь к этому чрезвычайно важному вопросу и предпринимаю построение второго не менее строгого доказательства, исходя из совершенно иных принципов. А именно, это первое доказательство зависело частично от геометрических рассмотрений, тогда как то, которое я здесь начинаю объяснять, покоится на чисто аналитических принципах». Надо заметить, то, что Гаусс называет аналитическим методом, сегодня именуется алгебраическим.

Для доказательства Гаусс использовал построения поля разложения многочлена. Прошло более шестьдесяти лет, когда и Л Кронекер усовершенствовал и развил метод Гаусса для построения поля разложения любого многочлена. Впоследствии Гаусс дал еще два доказательства основной теоремы алгебры. Четвертое и последнее относится к 1848 году.

Главный итог доказательств основной теоремы алгебры Эйлером, Лагранжем и Гауссом, считает И.Г. Башмакова, было то, что «алгебраические доказательства основной теоремы алгебры ценны именно тем, что для их проведения были развиты новые глубокие методы самой алгебры и были испробованы силы уже созданных методов и приемов».

ТЕОРИЯ ГРУПП

Группами перестановок корней занимались ранее других Лагранж и Гаусс. Но бесспорна заслуга того, кто сформулировал существенные свойства понятий, применил их к решению новых и трудных задач. Это сделал французский математик Галуа для понятия группы. Только после его работ оно стало предметом изучения математиков.

Эварист Галуа (1811–1832) родился в городе Бур-ля-Рен. В 1823 году родители отправили Эвариста учиться в Королевский коллеж в Париже. Здесь он увлекся математикой и стал самостоятельно изучать сочинения Лежандра, Эйлера, Лагранжа, Гаусса.

Идеи Лагранжа целиком овладевают Галуа. Ему, как когда-то Абелю, кажется, что он нашел решение уравнения пятой степени. Он предпринимает безуспешную попытку поступить в Политехническую школу, но знаний работ Лежандра и Лагранжа оказалось недостаточно, и Галуа возвращается в коллеж.

Здесь ему впервые улыбается счастье — он встречает учителя, который смог оценить его гениальность. Ришар умел подниматься выше официальных программ, он был в курсе успехов наук и стремился расширить кругозор своих учеников. Отзывы Ришара о Эваристе просты: «Он работает лишь в высших областях математики».

И действительно, уже в семнадцать лет Галуа получает первые научные результаты. В 1829 году была опубликована его заметка «Доказательство одной теоремы о периодических непрерывных дробях». Тогда же Галуа представил в Парижскую академию наук другую работу. Она затерялась у Коши.

Галуа пытается вторично поступить в Политехническую школу, и вновь неудача. К этому вскоре добавилось событие, потрясшее юношу: затравленный политическими противниками, его отец покончил с собой. Обрушившиеся на Эвариста несчастья неизбежно повлияли на него: он стал нервным и вспыльчивым.

В 1829 году Галуа поступил в Нормальную школу. В ней готовились кандидаты на звание преподавателя. Здесь Эварист выполнил исследование по теории алгебраических уравнений и в 1830 году представил работу на конкурс Парижской академии наук Его судьба была в руках бессменного секретаря Академии — Фурье. Фурье начинает читать рукопись, но вскоре умирает. Вторая рукопись, как и первая, исчезает.

В жизни Галуа наступило время, заполненное важными событиями. Он примкнул к республиканцам, вступил в «Общество друзей народа» и записался в артиллерию Национальной гвардии. За выступление против руководства его исключили из Нормальной школы.

14 июля 1831 года, в ознаменование очередной годовщины взятия Бастилии, состоялась манифестация республиканцев. Полиция арестовала многих манифестантов, среди них был и Галуа. Суд над Галуа состоялся 23 октября 1831 года. Его осудили на 9 месяцев заключения. Галуа продолжал свои исследования и в тюрьме.

Утром 30 мая 1832 года на дуэли в местечке Жантийи Галуа был смертельно ранен пулей в живот. Через день он скончался.

Математические работы Галуа, по крайней мере, те, что сохранились, составляют шестьдесят небольших страниц. Никогда еще труды столь малого объема не доставляли автору такой широкой известности.

В 1832 году Галуа, сидя в тюрьме, составляет программу, которую опубликовали лишь спустя семьдесят лет после его смерти. Но и в начале двадцатого века она не вызвала серьезного интереса и скоро была забыта. Только математики нового времени, продолжившие работу многих поколений ученых, осуществили, наконец, мечту Галуа.

«Я умоляю моих судей по крайней мере прочесть эти несколько страниц», — так начал Галуа свой знаменитый мемуар. Однако идеи Галуа были настолько глубоки и всеобъемлющи, что в то время их действительно трудно было оценить какому бы то ни было ученому.

«…Итак, я полагаю, что упрощения, получаемые за счет усовершенствования вычислений (при этом, конечно, имеются в виду упрощения принципиальные, а не технические), вовсе не безграничны. Настанет момент, когда математики смогут настолько четко предвидеть алгебраические преобразования, что трата времени и бумаги на их аккуратное проведение перестанет окупаться. Я не утверждаю, что анализ не сможет достигнуть чего-нибудь нового и помимо такого предвидения, но думаю, что без него в один прекрасный день все средства окажутся тщетными.

Подчинить вычисления своей воле, сгруппировать математические операции, научиться их классифицировать по степени трудности, а не по внешним признакам, — вот задачи математиков будущего так, как я их понимаю, вот путь, по которому я хочу пойти.

Пусть только никто не смешивает проявленную мной горячность со стремлением некоторых математиков вообще избегнуть каких бы то ни было вычислений. Вместо алгебраических формул они используют длинные рассуждения и к громоздкости математических преобразований добавляют громоздкость словесного описания этих преобразований, пользуясь языком, не приспособленным для выполнения таких задач. Эти математики отстали на сто лет.

Здесь не происходит ничего подобного. Здесь я занимаюсь анализом анализа. При этом самые сложные из известных сейчас преобразований (эллиптические функции) рассматриваются всего лишь как частные случаи, весьма полезные и даже необходимые, но все же не общие, так что отказ от дальнейших более широких исследований был бы роковой ошибкой. Придет время, и преобразования, о которых идет речь в намеченном здесь высшем анализе, будут действительно производиться и будут классифицироваться по степени трудности, а не по виду возникающих здесь функций».

Здесь надо обязательно обратить внимание на слова «сгруппировать математические операции». Галуа, несомненно, подразумевает под этим теорию групп.

В первую очередь Галуа интересовали не отдельные математические задачи, а общие идеи, определяющие всю цепь соображений и направляющие логический ход мыслей. Его доказательства основываются на глубокой теории, позволяющей объединить все достигнутые к тому времени результаты и определить развитие науки надолго вперед. Через несколько десятков лет после смерти Галуа немецкий математик Давид Гильберт назвал эту теорию «установлением определенного остова понятий». Но какое бы название за ней не укрепилось, очевидно, что она охватывает очень большую область знаний.

«В математике, как в любой другой науке, — писал Галуа, — есть вопросы, требующие решения именно в данный момент. Это те насущные проблемы, которые захватывают умы передовых мыслителей независимо от их собственной воли и сознания».

Одна из проблем, над которой работал Эварист Галуа, — решение алгебраических уравнений. Что будет, если рассматривать лишь уравнения с числовыми коэффициентами? Ведь может же случиться, что хотя общей формулы для решения таких уравнений нет, корни каждого отдельного уравнения можно выразить в радикалах. А если это не так? Тогда должен быть какой-то признак, позволяющий определить, решается данное уравнение в радикалах или нет? Что же это за признак?

Первое из открытий Галуа состояло в том, что он уменьшил степень неопределенности их значений, т. е. установил некоторые из «свойств» этих корней. Второе открытие связано с методом, использованным Галуа для получения этого результата. Вместо того чтобы изучать само уравнение, Галуа изучал его «группу», или, образно говоря, его «семью».

«Группа, — пишет А. Дальма, — это совокупность предметов, имеющих определенные общие свойства. Пусть, например, в качестве таких предметов взяты действительные числа. Общее свойство группы действительных чисел состоит в том, что при умножении любых двух элементов этой группы мы получаем также действительное число. Вместо действительных чисел в качестве „предметов“ могут фигурировать изучаемые в геометрии движения на плоскости; в таком случае свойство группы заключается в том, что сумма любых двух движений дает снова движение. Переходя от простых примеров к более сложным, можно в качестве „предметов“ выбрать некоторые операции над предметами. В таком случае основным свойством группы будет то, что композиция любых двух операций также является операцией. Именно этот случай и изучал Галуа. Рассматривая уравнение, которое требовалось решить, он связывал с ним некоторую группу операций (к сожалению, мы не имеем возможности уточнить здесь, как это делается) и доказывал, что свойства уравнения отражаются на особенностях данной группы. Поскольку различные уравнения могут иметь одну и ту же группу, достаточно вместо этих уравнений рассмотреть соответствующую им группу. Это открытие ознаменовало начало современного этапа развития математики.

Из каких бы „предметов“ ни состояла группа: из чисел, движений или операций, — все они могут рассматриваться как абстрактные элементы, не обладающие никакими специфическими признаками. Для того чтобы определить группу, надо только сформулировать общие правила, которые должны выполняться для того, чтобы данную совокупность „предметов“ можно было назвать группой. В настоящее время математики называют такие правила групповыми аксиомами, теория групп состоит в перечислении всех логических следствий из этих аксиом. При этом последовательно обнаруживаются все новые и новые свойства; доказывая их, математик все более и более углубляет теорию. Существенно, что ни сами предметы, ни операции над ними никак не конкретизируются. Если после этого при изучении какой-нибудь частной задачи приходится рассмотреть некоторые специальные математические или физические объекты, образующие группу, то, исходя из общей теории, можно предвидеть их свойства. Теория групп, таким образом, дает ощутимую экономию в средствах; кроме того, она открывает новые возможности применения математики в исследовательской работе».

Введение понятия группы избавило математиков от обременительной обязанности рассматривать множество различных теорий. Оказалось, что нужно лишь выделить «основные черты» той или иной теории, и так как, по сути дела, все они совершенно аналогичны, то достаточно обозначить их одним и тем же словом, и сразу становится ясно, что бессмысленно изучать их по отдельности.

Галуа стремится внести в разросшийся математический аппарат новое единство. Теория групп — это, прежде всего, наведение порядка в математическом языке.

Теория групп, начиная с конца XIX века, оказала огромное влияние на развитие математического анализа, геометрии, механики и, наконец, физики. Оно впоследствии проникло в другие области математики — появились группы Ли в теории дифференциальных уравнений, группы Клейна в геометрии. Возникли также группы Галилея в механике и группы Лоренца в теории относительности.

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

По определению Евклида параллельные линии — прямые, лежащие в одной плоскости и никогда не встречающиеся, как бы далеко мы их ни продолжали.

Но уже древнейшие комментаторы Евклида Посидоний (II век до нашей эры), Геминус (I век до нашей эры), Птолемей (II век нашей эры) — не считали пятый постулатум Евклида имеющим ту же очевидность, как другие по-стулатумы и аксиомы Евклида, и пытались или вывести его, как следствие других положений, или заменить определение параллельных, данное Евклидом, другим определением.

Во второй половине XVII столетия Лейбниц также критически относился к основным положениям Евклида. Как известно, он хотел также построить чисто геометрической анализ, который непосредственно выражал бы свойства положения, подобно тому как алгебра выражает величину.

Но только в первой половине XVIII века приходит мысль применить к вопросу о параллельных линиях и систематически провести в теории параллельных линий тот метод доказательства от противного, которым так часто пользовались греческие математики.

Эта гениальная идея принадлежала Саккери. В сочинении, появившемся в год его смерти «Евклид, избавленный от всякого пятна», Саккери берет исходным пунктом четырехугольник, которого две противоположные стороны, перпендикулярные к основанию, равны между собой. В таком четырехугольнике углы, образуемые равными сторонами с стороною, противоположною основанию, равны, и доказательство этого свойства четырехугольника не зависит от постулатума Евклида. Если они прямые, то постулатум Евклида доказан, так как в этом случае сумма углов треугольника равна двум прямым. Но Саккери (и в этом состоит его оригинальная гениальная мысль) делает и две другие гипотезы — гипотезу острого и гипотезу тупого угла, выводит из этих гипотез вытекающие следствия и пытается доказать невозможность этих следствий, т. е. допустимость только одной гипотезы прямого угла. Ему легко удается доказать, что гипотеза тупого угла недопустима, так как приводит к противоречиям. Для того чтобы найти такое же противоречие в гипотезе острого угла, он выводит ряд замечательных теорем, которые потом были снова доказаны Лежандром. Таковы, например, теоремы, по которым если та или другая или третья гипотеза имеет место для одного четырехугольника, то она имеет место и для всякого другого.

Через три года после ее появления, в 1766 году, Ламберт ставит ту же задачу, что и Саккери. Вместо четырехугольника с двумя прямыми углами и двумя равными сторонами Ламберт рассматривает четырехугольник с тремя прямыми углами и делает три гипотезы относительно четвертого угла. Его изложение имеет некоторые особенности сравнительно с изложением Саккери: он избегает прибегать к соображениям, основанным на непрерывности. Из того, что в гипотезах тупого и острого угла не существует подобия фигур, Ламберт выводит заключение о существовании абсолютной меры.

В 1799 году гениальный математик Карл Гаусс пошел по тому пути, по которому до него шли Саккери и Ламберт, — по пути планомерного вывода всех следствий гипотезы острого угла. Но его размышления привели к сомнению в возможности доказать аксиому Евклида, и к 1816 году у математика созрело убеждение в невозможности такого доказательства.

Высказанное публично мнение Гаусса о недоказуемости аксиомы Евклида не имело влияния и даже подверглось грубым нападкам. Это было одной из причин, почему он решился не публиковать своих исследований и мыслей по вопросу об основаниях, «боясь крика бео-тийцев» (письмо к Бесселю от 27 января 1829 года). Но он не прервал своих исследований и с величайшим интересом и сочувствием приветствовал те работы и мысли, которые совпадали с его исследованиями и взглядами.

Как далеко он пошел по этому пути, показывает его письмо к Вольфгангу Болиаи от 6 марта 1832 года, в котором Гаусс говорит, что между 1797 и 1802 годами он нашел те результаты, к которым пришел Иоганн Болиаи. Например, чисто геометрическое доказательство теоремы, что в неевклидовой геометрии разность суммы углов треугольника от 180 градусов пропорциональна площади треугольника.

Вольфганг Болиаи, друг школьных лет Гаусса, проявлял большой интерес к теории параллельных линий. Этот необычайный интерес, по свидетельству его письма к сыну в 1820 году, отравил ему все радости жизни, сделал его мучеником стремления освободить геометрию от пятна, «удалить облако, затемняющее красоту девы-истины». Но в то время как усилия почти всей жизни отца были направлены к доказательству 5-го постулатума, и ему не удалось достигнуть цели, его талантливый сын явился одним из творцов неевклидовой геометрии.

Иоганн Болиаи родился в 1802 году в Клаузенбурге. Уже в 1807 году отец с восторгом и гордостью пишет Гауссу о необыкновенных математических способностях мальчика, который к тринадцати годам уже изучил планиметрию, стереометрию, тригонометрию, конические сечения, а в 14 лет уже решал с легкостью задачи дифференциального и интегрального исчисления. Вольфгангу не удалось послать сына учиться в Геттингене у «математического колосса», и в 1818 году Иоганн поступил в Венскую инженерную академию, где уделялось большое внимание высшей математике. В 1823 году он кончил курс в академии и, как военный инженер, был послан в крепость Теметвар.

Вполне естественно, что обладавший необыкновенными математическими способностями Иоганн еще почти мальчиком решил испытать свои силы на решении того вопроса, над которым мучился отец, но про который отец же говорил ему, что решивший его достоин алмаза величиною в земной шар. В 1820 году Иоганн сообщает отцу, что он уже нашел путь к доказательству аксиомы, и тогда-то отец пишет ему горячее письмо, предостерегающее его от занятия теориею параллельных линий.

В зимнюю ночь 1823 года он нашел то основное соотношение между длиною перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, и углом, который составляет с этим перпендикуляром ассимптота (параллельная линия Лобачевского), которое является ключом к неевклидовой тригонометрии. В восторге от своего открытия, которое, казалось ему, открывало путь к доказательству XI аксиомы, он пишет 3 ноября из Теметвара отцу: «Я создал новый, другой мир из ничего. Все, что посылал до сих пор, есть только карточный домик в сравнении с воздвигаемою теперь башнею».

В 1829 году Вольфганг закончил большое математическое сочинение, над которым трудился около двадцати лет. Как приложение к этой книге, было напечатано и бессмертное сочинение Иоганна Болиаи. Конечно, Болиаи не подозревали, что в это же самое время в далекой Казани Лобачевский печатал свою первую работу «О началах геометрии» (1829 год).

Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) родился в Макарьевском уезде Нижегородской губернии. Отец его занимал место уездного архитектора и принадлежал к числу мелких чиновников, получавших скудное содержание. Бедность, окружавшая его в первые дни жизни, перешла в нищету, когда в 1797 году умер отец и двадцатипятилетняя мать осталась одна с детьми без всяких средств. В 1802 году она привезла троих сыновей в Казань и определила их в Казанскую гимназию, где очень быстро заметили феноменальные способности ее среднего сына.

Когда в 1804 году старший класс Казанской гимназии был преобразован в университет, Лобачевский был включен в число студентов по естественно-научному отделению. Учился юноша блестяще.

Лобачевский получил прекрасное образование. Лекции по астрономии читал профессор Литрофф. Лекции по математике он слушал у профессора Бартельса, воспитанника такого крупного ученого, как Карл Фридрих Гаусс.

Уже в 1811 году Лобачевский получил степень магистра, и его оставили в университете для подготовки к профессорскому званию. В 1814 году Лобачевский получил звание адъюнкта чистой математики, а в 1816 году был сделан профессором.

С 1819 года Лобачевский преподавал астрономию. Административная деятельность ученого началась с 1820 года, когда он был избран деканом.

Несмотря на изнурительную практическую деятельность, не оставлявшую ни минуты отдыха, Лобачевский никогда не прекращал своих научных занятий и во время своего ректорства напечатал в «Ученых записках Казанского университета» лучшие свои сочинения.

Если Иоганн Болиаи начал заниматься теорией параллельных линий под влиянием своего отца, то Лобачевский мог начать заниматься ею только потому, что интерес к этой теории особенно оживился в конце XVIII и начале XIX столетия.

В двадцатипятилетие, предшествующее появлению первой работы Лобачевского, не проходило и года, в которой не появилось бы одно или несколько сочинений по теории параллельных линий. Известно до 30 сочинений, напечатанных только на немецком и французском языках с 1813 по 1827 год.

Работы Лежандра возбудили интерес к теории параллельных линий и в среде русских математиков. Первый академик из русских, заслуживший своими печатными трудами почетное место в истории русского математического преподавания, СЕ. Гурьев в наиболее важном из своих сочинений «Опыт о усовершении элементов геометрии», напечатанном в 1798 году, обратил особое внимание на теорию параллельных линий и на доказательства, данные Лежандром. Критикуя эти доказательства, Гурьев предлагает и свое собственное.

Основываясь на утверждении, что при определенных условиях прямые, которые кажутся нам параллельными, могут пересекаться, Лобачевский пришел к выводу о возможности создания новой, непротиворечивой геометрии. Поскольку ее существование было невозможно представить в реальном мире, ученый назвал ее «воображаемой геометрией». Но к этой мысли и он, как и И. Болиаи, пришел не сразу.

Лекции 1815–1817 годов, учебник геометрии 1823 года и не дошедшая до нас «Exposition succincte des principes de la geometrie», прочтенная в заседании физико-математического отделения 12 февраля 1826 года, — таковы три этапа мысли Лобачевского в области теории параллельных линий. В лекциях он дает три различных способа для ее обоснования; в учебнике 1823 года он заявляет, что все до сих пор данные доказательства не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими, и, наконец, через три года он дает уже ту систему построения геометрии на положении, отличном от постулатума Евклида, которая обессмертила его имя.

«Exposition» не дошло до нас. Первое печатное сочинение Лобачевского, которое он называет извлечением из «Exposition», печаталось в «Казанском вестнике» в 1829–1830 годах. Эта дата устанавливает приоритет опубликования открытия Лобачевского сравнительно с И. Болиаи, так как «Appendix» последнего был напечатан в 1831 году, а вышел из печати только в 1832 году. Как показывает заглавие «Exposition», оно имело своим предметом не только точную теорию параллельных линий, но посвящено было вместе с тем вопросу о началах геометрии.

Хотя и И. Болиаи, и Лобачевский за это открытие были избраны членами Ганноверской академии наук, права гражданства получила в Западной Европе именно геометрия Лобачевского.

В 1837 году труды Лобачевского печатаются на французском языке. В 1840 году он издал на немецком языке свою теорию параллельных, заслужившую признание великого Гаусса. В России же Лобачевский не видел оценки своих научных трудов.

Очевидно, исследования Лобачевского находились за пределами понимания его современников. Одни игнорировали его, другие встречали его труды грубыми насмешками и даже бранью. В то время как наш другой высокоталантливый математик Остроградский пользовался заслуженной известностью, никто не знал Лобачевского; к нему и сам Остроградский относился то насмешливо, то враждебно.

Совершенно правильно или, вернее, основательно один геометр назвал геометрию Лобачевского звездной геометрией. О бесконечных же расстояниях можно составить себе понятие, если вспомнить, что существуют звезды, от которых свет доходит до Земли тысячи лет. Итак, геометрия Лобачевского включает в себя геометрию Евклида не как частный, а как особый случай. В этом смысле первую можно назвать обобщением геометрии нам известной. Теперь возникает вопрос, принадлежит ли Лобачевскому изобретение четвертого измерения? Нисколько. Геометрия четырех и многих измерений создана была немецким математиком, учеником Гаусса, Риманом. Изучение свойств пространств в общем виде составляет теперь неевклидову геометрию, или геометрию Лобачевского. Пространство Лобачевского есть пространство трех измерений, отличающееся от нашего тем, что в нем не имеет места постулат Евклида. Свойства этого пространства в настоящее время уясняются при допущении четвертого измерения. Но этот шаг принадлежит уже последователям Лобачевского.

Естественно возникает вопрос, где же находится такое пространство. Ответ на него был дан крупнейшим физиком XX века Альбертом Эйнштейном. Основываясь на работах Лобачевского и постулатах Римана, он создал теорию относительности, подтвердившую искривленность нашего пространства.

В соответствии с этой теорией любая материальная масса искривляет окружающее ее пространство. Теория Эйнштейна была многократно подтверждена астрономическими наблюдениями, в результате которых стало ясно, что геометрия Лобачевского является одним из фундаментальных представлений об окружающей нас Вселенной.

КИБЕРНЕТИКА

«Винер по праву назван отцом кибернетики, — пишет в своей „Кибернетической смеси“ В.Д. Пекелис. — Его книга „Кибернетика“ появилась в 1948 году и потрясла многих неожиданностью выводов, оказала ошеломляющее влияние на общественное мнение. Ее появление можно уподобить исподволь подготовленному взрыву.

В истории кибернетики, как и в любой другой науке, два периода: накопление материала и оформление его в новую науку… Здесь стоит упомянуть посвященные теории регулирования работы инженера А. Стодолы, опубликованные в конце прошлого века в одном из швейцарских журналов. В них рассматривался принцип управления с помощью обратной связи. Своеобразие истории вычислительной техники знаменательно тем, что первые счетные машины сразу же открыли перед человеком возможность механизации умственной работы. Здесь нельзя обойти вниманием „Математическое исследование логики“ Джорджа Буля. Оно положило начало разработке алгебры логики, которой широко пользуется теперь кибернетика.

Когда в теории вероятностей возник новый раздел — теория информации, универсальность новой теории, хоть и не сразу, стала ясна всем. Обнаружилось, например, соответствие между количеством информации и мерой перехода различных форм энергии в тепловую — энтропией. Впервые на это указал в 1929 году известный физик Л. Сциллард. Впоследствии теория информации стала одной из важных основ в кибернетике.

В XIX веке заметны достижения и в физиологии высшей нервной деятельности. Особенно в исследовании процессов обучения животных. В 30-х годах нашего столетия явлением стала теория физиологической активности Беркштейна, еще позже принцип функциональной системы Анохина».

Вместе с прогрессом происходит и сближение технических средств, используемых и в физиологии и в автоматике. Такое сближение сопровождается взаимным обменом принципами построения структурных схем, идеями моделирования, методами анализа и синтеза систем.

Подобную тенденцию одним из первых уловил русский философ Александр Александрович Богданов. «Мой исходный пункт, — писал ученый, — заключается в том, что структурные отношения могут быть обобщены до такой формальной чистоты схем, как в математике и отношениях величин, и на такой основе организационные задачи могут решаться способами, аналогичными математическим».

Таким образом, Богданов предвосхитил появление общей теории систем — одной из ключевых концепций кибернетики. Русский ученый сумел обосновать и принцип обратной связи, назвав его «механизмом двойного взаимного регулирования».

Позднее, в 1936 году английский математик А. Тьюринг опубликовал работу, описывающую абстрактную вычислительную машину. Некоторые положения его труда во многом предвосхитили различные проблемы кибернетики.

Однако решающее слово в рождении новой науки сказал крупный американский математик Винер.

Норберт Винер (1894–1964) родился в городе Колумбия штата Миссури. Читать он научился с четырех лет, а в шесть уже читал Дарвина и Данте. В девять лет он поступил в среднюю школу, в которой начинали учиться дети с 15–16 лет, закончив предварительно восьмилетку. Среднюю школу он окончил, когда ему исполнилось одиннадцать. Сразу же мальчик поступил в высшее учебное заведение, Тафте-колледж. После окончания его, в возрасте 14 лет, получил степень бакалавра искусств. Затем учился в Гарвардском и Корнельском университетах, в 17 лет в Гарварде стал магистром искусств, в 18 — доктором философии по специальности «математическая логика».

Гарвардский университет выделил Винеру стипендию для учебы в Кембриджском (Англия) и Геттингенском (Германия) университетах. Перед Первой мировой войной, весной 1914 года Винер переехал в Геттинген, где в университете учился у Э.Ландау и великого Д.Гильберта.

В начале войны Винер вернулся в США, год провел в Кембридже, но в сложившихся условиях научных результатов добиться не мог. В Колумбийском университете он стал заниматься топологией, но начатое до конца не довел. В 1915–1916 учебном году Винер в должности ассистента преподавал математику в Гарвардском университете.

Следующий учебный год Винер работал по найму в университете штата Мэн. После вступления США в войну он работал на заводе «Дженерал электрик», откуда перешел в редакцию Американской энциклопедии в Олбани. Затем Норберт какое-то время участвовал в составлении таблиц артиллерийских стрельб на полигоне, где его даже зачислили в армию, но вскоре из-за близорукости уволили. Потом он перебивался статьями в газеты, написал две работы по алгебре, вслед за опубликованием которых получил рекомендацию профессора математики В.Ф. Осгуда и в 1919 году поступил на должность ассистента кафедры математики Массачусетсского технологического института (МТИ). Так началась его служба в этом институте, продолжавшаяся всю жизнь.

Здесь Винер ознакомился с содержанием статистической механики У. Гиббса. Ему удалось связать основные положения ее с лебеговским интегрированием при изучении броуновского движения и написать несколько статей. Такой же подход оказался возможным в установлении сущности дробового эффекта в связи с прохождением электрического тока по проводам или через электронные лампы.

Возвратившись в США, Винер усиленно занимается наукой. В 1920–1925 годах он решает физические и технические задачи с помощью абстрактной математики и находит новые закономерности в теории броуновского движения, теории потенциала, гармоническом анализе.

В 1922, 1924— и 1925 годах Винер побывал в Европе у знакомых и родственников семьи. В 1925 году он выступил в Геттингене с сообщением о своих работах по обобщенному гармоническому анализу, заинтересовавшим Гильберта, Куранта и Борна. Впоследствии Винер понял, что его результаты в некоторой степени связаны с развивавшейся в то время квантовой теорией.

Тогда же Винер познакомился с одним из конструкторов вычислительных машин — В. Бушем и высказал пришедшую ему однажды в голову идею нового гармонического анализатора. Буш претворил ее в жизнь.

Продвижение Винера по службе шло медленно. Он пытался получить приличное место в других странах, но у него не вышло. Однако пришла пора, наконец, и везения. На заседании Американского математического общества Винер встретился с Я.Д. Тамаркиным, геттингенским знакомым, всегда высоко отзывавшимся о его работах. Такую же поддержку оказывал ему неоднократно приезжавший в США Харди. И это повлияло на положение Винера: благодаря Тамаркину и Харди он стал известен в Америке.

Особо значимой оказалась совместная деятельность Винера с приехавшим из Германии в Гарвардский университет Э. Хопфом — в результате чего в науку вошло «уравнение Винера — Хопфа», описывающее радиационные равновесия звезд, а также относящееся к другим задачам, в которых ведется речь о двух различных режимах, отделенных границей.

В 1929 году в шведском журнале «Акта математика» и американском «Анналы математики» вышли две большие итоговые статьи Винера по обобщенному гармоническому анализу.

С 1932 года Винер — профессор МТИ. В Гарварде он познакомился с физиологом А. Розенблютом и стал посещать его методологический семинар, объединявший представителей различных наук. Этот семинар сыграл важную роль в формировании у Винера идей кибернетики. После отъезда Розенблюта в Мехико заседания семинара проводились иногда в Мехико, иногда в МТИ.

В 1934 году Винер получил приглашение из университета Цинхуа (в Пекине) прочитать курс лекций по математике и электротехнике. Год посещения Китая он считал годом полного своего становления как ученого.

Во время войны Винер почти целиком посвятил свое творчество военным задачам. Он исследует задачу движения самолета при зенитном обстреле. Обдумывание и экспериментирование убедили Винера в том, что система управления огнем зенитной артиллерии должна быть системой с обратной связью; что обратная связь играет существенную роль и в человеческом организме. Все большую роль начинают играть прогнозирующие процессы, осуществляя которые нельзя полагаться лишь на человеческое сознание.

Существовавшие в ту пору вычислительные машины необходимым быстродействием не обладали. Это заставило Винера сформулировать ряд требований к таким машинам. По сути дела, им были предсказаны пути, по которым в дальнейшем пошла электронно-вычислительная техника. Вычислительные устройства, по его мнению, «должны состоять из электронных ламп, а не из зубчатых передач или электромеханических реле. Это необходимо, чтобы обеспечить достаточное быстродействие». Следующее требование состояло в том, что в вычислительных устройствах «должна использоваться более экономичная двоичная, а не десятичная система счисления». Машина, полагал Винер, должна сама корректировать свои действия, в ней необходимо выработать способность к самообучению. Для этого ее нужно снабдить блоком памяти, где откладывались бы управляющие сигналы, а также те сведения, которые машина получит в процессе работы.

Если ранее машина была лишь исполнительным органом, всецело зависящим от воли человека, то ныне она становилась думающей и приобретала определенную долю самостоятельности.

В 1943 году вышла статья Винера, Розенблюта, Байглоу «Поведение, целенаправленность и телеология», представляющая собой набросок кибернетического метода.

В 1948 году в нью-йоркском издательстве «Джон Уили энд Санз» и парижском «Херманн эт Ци» выходит книга Винера «Кибернетика».

«Основной тезис книги, — пишет Г.Н. Поваров в предисловии к „Кибернетике“, — подобие процессов управления и связи в машинах, живых организмах и обществах, будь то общества животных (муравейник) или человеческие. Процессы эти суть, прежде всего, процессы передачи, хранения и переработки информации, т. е. различных сигналов, сообщений, сведений. Любой сигнал, любую информацию, независимо от ее конкретного содержания и назначения, можно рассматривать как некоторый выбор между двумя или более значениями, наделенными известными вероятностями (селективная концепция информации), и это позволяет подойти ко всем процессам с единой меркой, с единым статистическим аппаратом. Отсюда мысль об общей теории управления и связи — кибернетике.

Количество информации — количество выбора — отождествляется Винером с отрицательной энтропией и становится, подобно количеству вещества или энергии, одной из фундаментальных характеристик явлений природы. Таков второй краеугольный камень кибернетического здания. Отсюда толкование кибернетики как теории организации, как теории борьбы с мировым хаосом, с роковым возрастанием энтропии.

Действующий объект поглощает информацию из внешней среды и использует ее для выбора правильного поведения. Информация никогда не создается, она только передается и принимается, но при этом может утрачиваться, исчезать. Она искажается помехами, „шумом“, на пути к объекту я внутри его и теряется для него».

Основоположником современной теории управления сам Винер считал Дж. К. Максвелла, и это совершенно справедливо. Теория автоматического регулирования была в основном сформулирована Дж. Максвеллом, И. Вышнеградским, А. Ляпуновым и А. Стодолой. В чем же заслуга Н. Винера? Может быть, его книга просто представляет собой компиляцию известных сведений, собирает воедино известный, но разрозненный материал?

Основная заслуга Винера в том, что он впервые понял принципиальное значение информации в процессах управления. Говоря об управлении и связи в живых организмах и машинах, он видел главное не просто в словах «управление» и «связь», а в их сочетании. Точно так же, как в теории относительности важен не сам факт конечности скорости взаимодействия, а сочетание этого факта с понятием одновременности событий, протекающих в различных точках пространства. Кибернетика — наука об информационном управлении, и Винера с полным правом можно считать творцом этой науки.

«С выходом книги в свет кончился первый, инкубационный период истории кибернетики, — пишет Г.Н. Поваров, — и начался второй, крайне бурный — период распространения и утверждения. Дискуссии потрясли ученый мир. Кибернетика нашла горячих защитников и столь же горячих противников…

…Одни усматривали в кибернетике сплошной философский выверт и „холодную войну“ против учения Павлова. Другие, энтузиасты, относили на ее счет все успехи автоматики и вычислительной техники и соглашались видеть уже в тогдашних „электронных мозгах“ подлинных разумных существ. Третьи, не возражая против сути проекта, сомневались, однако, в успехе предпринятого синтеза и сводили кибернетику к простым призывам.

…Вокруг всего этого бушевали страсти. Однако кибернетика выиграла, в конце концов, сражение и получила право гражданства в древней семье наук. Период утверждения занял приблизительно десятилетие. Постепенно решительное отрицание кибернетики сменилось поисками в ней „рационального зерна“ и признанием ее полезности и неизбежности. К 1958 году уже почти никто не выступал совсем против. Винеровский призыв к синтезу раздался в чрезвычайно благоприятный момент, обстоятельства работали на кибернетику, несмотря на ее несовершенства и преувеличения».

В 1959 году академик А.Н. Колмогоров писал: «Сейчас уже поздно спорить о степени удачи Винера, когда он в своей известной книге в 1948 году выбрал для новой науки название „кибернетика“. Это название достаточно установилось и воспринимается как новый термин, мало связанный со своей греческой этимологией. Кибернетика занимается изучением систем любой природы, способных воспринимать, хранить и перерабатывать информацию и использовать ее для управления и регулирования. При этом кибернетика широко пользуется математическим методом и стремится к получению конкретных специальных результатов, позволяющих как анализировать такого рода системы (восстанавливать их устройство на основании опыта обращения с ними), так и синтезировать их (рассчитывать схемы систем, способных осуществлять заданные действия). Благодаря этому своему конкретному характеру кибернетика ни в какой мере не сводится к философскому обсуждению природы „целесообразности“ в машинах и философскому анализу изучаемого ею круга явлений».